9789140697301

­

­

gennow gustafsson silborn

exponent

2b

Denna nya upplaga av Exponent 2b har förbättrats på flera punkter utifrån de syn­ punkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnes­planen om att använda digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. Detta avspeglas i helt nyskrivna avsnitt som beskriver hur man använder kalkylprogram, GeoGebra och andra digitala verktyg (CAS) för att lösa olika matematiska problem. Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 2b tillhör den gula serien.

gennow gustafsson silborn

n

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teori­ genomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

2,3 %

ISBN 978-91-4069-730-1

9

789140 697301

µ– 3σ µ– 2σ µ– 1σ

13,6 %

Författare till Exponent 2b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av under­ visning i matematik på gymnasienivå.

13,6 %

34,1 %

Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt.

Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.

34,1 %

exponent 2b

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) n Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) n Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

exponent matematik för gymnasiet

µ

2,3 %

µ +1σ µ +2σ µ +3σ

2b

Exponent 2b, andra upplagan

Denna nya upplaga av Exponent har reviderats med utgångspunkt från de synpunkter som kommit från lärare och elever. De viktigaste skillnaderna jämfört med föregående upplaga är: Fler uppgifter på grundläggande nivå och bättre progression mot svårare uppgifter. n Teoriavsnitten har blivit mer lättlästa och vissa svårare avsnitt har markerats som överkurs eller tagits bort. Viktiga begrepp har markerats med fet stil. n Övningsuppgifter har markerats i tre svårighetsgrader med olika antal stjärnor. Till samtliga övningsuppgifter finns lösningsförslag på elev- och lärarwebb. n Träning av de olika förmågorna i Utmaningar, Gruppaktiviteter och Omfattande problem. Öva I behandlar mest förmågorna begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor. n I den nya ämnesplanen i matematik framhävs användandet av digitala och symbolhanterande verktyg.

Genom nyskrivna avsnitt och övningar används dessa verktyg t.ex. inom områdena ekvationer, ekvationssystem, funktioner och statistik.

Kurs 5

n

4

3

2

1

a

b

c

12

EK, ES, HU, SA

NA, TE

yrkesprogram

Program Exponent-serien finns till tio olika gymnasiekurser i matematik.

förord 3

Bokens olika delar I början av varje kapitel anges det centrala innehållet för kapitlet. I slutet av varje kapitel finns möjligheter till repetition med tester, blandade övningar och en sammanfattning. Det viktigaste mellan början och slutet av varje kapitel ser du i bilden nedan.

Öva I och Öva II

Tips och lösningar

Övningar på tre svårighetsnivåer. Ju fler stjärnor desto svårare uppgift. Öva I behandlar begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor.

Till vissa utvalda övningar finns tips längst bak i boken, så att man kan komma en bit på vägen i sin lösning. Tips markeras med T .

Till samtliga uppgifter under Öva I och Öva II finns lösningsförslag på elev- och lärarwebben som hör till kursen.

det uppgifter som kräver lite extra tid, eller att man arbetar i grupp.

Gruppaktivitet

Undersökning av vinkelräta linjer En triangel i ett koordinatsystem ges av punkterna A (−1, 3), B (2, 2) och C (4, 8). Är triangeln rätvinklig?

Lösning: Vi ritar en figur för att se var den räta vinkeln kan finnas.

funktionstävLing Bilda två grupper med 3 – 4 personer i varje grupp.

y

Båda grupperna antecknar exempel på några samband som kan beskrivas av linjära funktioner.

Grupperna byter exemplen med varandra och ska ange ekvationer för dessa linjära samband.

Diskutera sedan rimlighet i exemplen, definitionsmängd och värdemängd.

n

Båda grupperna antecknar andra ekvationer för några linjära funktioner. Grupperna byter exempel med varandra och ska fundera ut problem som kan lösas med de nu erhållna funktionerna.

Diskutera sedan rimlighet i exemplen, definitionsmängd och värdemängd.

7 6 5 4

A (–1, 3)

2−3 −1 1 = =– 2 − (−1) 3 3

3 2

B (2, 2)

1

n

C (4, 8)

8

Vinkeln vid punkten B ser ut att vara rät.

Om triangeln är rätvinklig blir produkten av riktnings­ koefficienterna för kateterna −1 under förutsättning att kateterna inte är parallella med koordinataxlarna.

k AB =

Utmaning, Reflektera och Gruppaktivitet Med jämna mellanrum finns

5 6

1 –2 –1

8−2 6 = =3 4−2 2 1 k AB · k BC = – · 3 = –1 3

0

1

2

3

4

5

6 x

k BC =

öva i

· begrepp och procedur

1057

Beräkna riktningskoefficienten för en linje som är vinkelrät mot linjen y = 4x − 2.

1058

Bestäm ekvationen för den linje som går genom origo och är vinkelrät mot linjen a) x − y +1 = 0 b) x + y − 2 = 0 c) 3x + 2y + 2 = 0

1059

Rita en romb med hörnen i punkterna (0, 0), (5, 0), (3, 4), (8, 4). Visa att rombens diagonaler är vinkelräta mot varandra. L

Två bilar kör från Malmö mot Stockholm. Den ena startar 8.00 och kör med medelhastigheten 80 km/h. Den andra startar 40 minuter senare och kör med medelhastigheten 90 km/h. Hur dags kommer den andra bilen ikapp den första och hur långt har de kört då?

öva ii

* 1060

** 1061 ** 1062

· flera förmågor

Rita linjen y = −2x + 2. Dess normal är en rät linje som är vinkelrät mot den ursprungliga linjen. Rita en normal till linjen i punkten (2, −2) och bestäm normalens ekvation.

4

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.1–1.2 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

Linjen ax + by + c = 0 är given. (a och b är ej lika med noll)

2 Den räta linjen x – y + 1 = 0 har riktningskoefficienten 1.

a) Bestäm ett uttryck för linjens riktningskoefficient. b) Bestäm ett uttryck för normalens riktningskoefficient.

1

1 Den räta linjen y = –2x + 2 skär x­axeln där x = 2.

5 6

3 Funktionen y = 2x – 5 är avtagande.

4

Den räta linjen y = 5 saknar k­värde.

5

Värdet på k byter tecken om punkterna (x2, y2) och (x1, y1) byter plats i formeln k =

y2 − y1 x2 − x1

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

k apitel 1 ; R äta linjen och analy tisk geometRi

k apitel 1 ; R äta linjen och analy tisk geometRi

Hänvisningar till elevwebben

Förmågor

Med jämna mellanrum finns små symboler som visar när det är lämpligt att gå till webben och träna, se på en genomgång, laborera eller kanske hämta extra material.

I det övergripande syftet i ämnes­­ planen i matematik beskrivs 7 olika matematiska förmågor som du ska få träna på. Några av uppgifterna i boken har märkts med vilken förmåga de avser att träna.

förord

1 2 3 4

Bestäm konstanten a så att linjen 3x + ay + 4 = 0 blir vinkelrät mot linjen 4x + 5y + 8 = 0. T

Ord och begrepp Koll på avsnittet

32

utmaning

biLfärd

svar: Triangeln är rätvinklig.

33

1. Begreppsförmåga 2. Procedurförmåga 3. Problemlösningsförmåga 4. Modelleringsförmåga 5. Resonemangsförmåga 6. Kommunikationsförmåga 7. Relevansförmåga

Bok + webb är allt som behövs Varje kurs har en bok, en elevwebb och en lärarwebb. Det som inte ryms i boken finns på webben!

På webben kan du testa dig själv, träna mer, laborera, se på genomgångar och mycket mer. visar när det kan vara lämpligt att På så sätt blir lärandet mer varierat. Denna symbol gå till webben.

Elevwebben • Teorigenomgångar • Självrättande tester (Ord och begrepp, Koll på avsnittet) • Självrättande prov • Interaktiva laborationer • Lösningsförslag • m.m.

För läraren finns en särskild webb med tester, prov, kommentarer m.m. Symbolen visar på övningar i boken vars svar finns på lärarwebben.

Lärarwebben • Extra övningar • Tester • Prov • Laborationer och gruppövningar • Lösningsförslag • m.m.

Om man vill arbeta helt digitalt kan man använda sig av Gleerups digitala läromedel. Dessa innehåller allt som finns i den tryckta boken och i webben. Gå till www.gleerups.se för att ta reda på mer.

förord 5

INNEHÅLL 1

Räta linjen och analytiskgeometrı 8

Potenser,budgetering och algebra 64

Räta linjen i olika sammanhang, 9

Matematik i olika sammanhang, 65

1.1 Funktioner och räta linjer – en repetition 10

2.1 Potenser 66

2

Olika sätt att beskriva funktioner, 10 Graf och ekvation, 10

Potenser med heltalsexponent, 66 Potenser med rationella exponenter, 68 Kvadratroten ur en produkt eller kvot, 71

1.2 Räta linjens ekvation 13

2.2 Budgetering 73

Lutningen för en rät linje, 16 Ange ekvationen för en rät linje, 21 Användning av digitala verktyg, 26 Problemlösning, 28 Vinkelräta linjer, 29

Intäkter, 73 Kostnader, 76

1.3 Linjära ekvationssystem 32 Grafisk lösning av ekvationssystem, 33 Algebraisk lösning, 37 Ställa upp ekvationssystem, 43 Lösa ekvationssystem med CAS, 46

1.4 Analytisk geometri 49 Avståndsformeln, 49 Koordinatgeometri, 51

2.3 Algebra 78 Multiplikation av parentesuttryck, 78 Konjugatregeln , 83 Kvadreringsreglerna, 85 Konjugat- och kvadreringsreglerna i uttryck och ekvationer, 87 Faktorisering, 90 Faktorisering med konjugat- och kvadrerings­reglerna, 92 Problemlösning, 94

Andragrads­ekvationer och andragradsfunktioner 102 3

Andragradsekvationer i Babylonien, 103

3.1 Andragradsekvationer 104 Reella tal och räkneregler, 104 Enkla andragradsekvationer, 105 Andragradsekvationer i faktoriserad form, 108 Lösning med hjälp av faktorisering, 110 En formel för lösning av andragradsekvationer, 112 Konjugat- och kvadreringsregeln i samband med ekvationslösning, 118 Andragradsekvationer med komplexa rötter, 121

3.2 Andragradsfunktioner 126 Funktioner på formen f (x) = ax2 + bx + c, 130 Mer om andragradsfunktioner och grafer, 134 Problemlösning, 139

3.3 Digitala verktyg 145 6

Exponential­funktioner och exponential­ekvationer 158 4

Bakgrund, 159

4.1 Exponentialfunktioner och grafisk lösning av ­exponen­tialekvationer 160 4.2 A lgebraisk lösning av exponentialekvationer 166 Tiologaritmen lg x, 166 En viktig logaritmisk lag, 170 Algebraisk lösning av exponentialekvationer, 172 5

Geometri 186

6

Statistik 226

Statistik i olika sammanhang, 227

6.1 Statistiska metoder 228 Att göra och rapportera en statistisk undersökning, 228 Svarsbortfall och andra felkällor, 232 Korrelation, 235 Kausalitet, 235 Regressionsanalys, 236

6.2 Lägesmått och spridningsmått 242 Lägesmått, 242 Spridningsmått och lådagram, 248 Varians och standardavvikelse, 252

Geometri i olika sammanhang, 187

6.3 Normalfördelning 256

5.1 G rundläggande geometriska begrepp 188

Histogram och normalfördelning, 256

Vinklar, 188 Månghörningar, 191

5.2 Geometriska satser 196 Likformighet och kongruens, 196 Triangelsatser, 200 Bisektrissatsen, 205 Randvinkelsatsen, 207 Kordasatsen, 212 Problemlösning, 214

Tips 272 Lösningar 274 Facit 278 Register, 303 Bildförteckning, 304

7

Lösa ekvationssystem med CAS Undervisningen i Ma2b ska förutom algebraiska och grafiska metoder för lösning av ekvationssystem även behandla lösning med symbolhanterande verktyg. Ett symbolhanterande verktyg förstår ma­ tematiska symboler och kan utföra beräkningar med formler och ekvationer. Ett annat namn är CAS (computer algebra system). I GeoGebra finns verktyget CAS som vi använder i följande exempel.

Lösning av ekvationssystem med CAS En företagare placerar 500 000 kr på två olika konton i en bank. En del av beloppet placeras på ett sparkonto med årsräntesatsen 1,3 %. Resterande belopp placeras på ett tidsbundet konto med års­ räntesats 2,1 %. Hur mycket placerar företagaren på respektive konto om den sammanlagda avkast­ ningen efter 1 år ska var 8 900 kr?

Lösning: Vi sammanställer det som är givet och inför två variabler.

Sparkonto x kr, räntesats 1,3 %, årlig avkastning 0,013x.

Tidsbundet konto y kr, räntesats 2,1 %, årlig avkastning 0,021y.

Vi ställer upp ekvationssystemet I II

x + y = 500000 0,013x + 0,021y = 8900

Vi använder GeoGebra CAS-verktyg för att lösa ekvationssystemet.

Mata in ekv. I i första fältet och tryck ENTER. Mata in ekv. II i andra fältet och tryck ENTER. Markera ekv. I. Håll Ctrl-knappen nedtryckt och markera ekv. II. Gå till X= för att få ett exakt svar.

Svar: Han ska placera 200 000 kr på sparkontot och 300 000 kr på det andra kontot.

46

k apitel 1 ; R äta linjen och analy tisk geometri

· begrepp och procedur

öva i 1092

Lös ekvationssystemen med verkty­ get CAS. ⎧ 1,5 x + 2,9 y = 5,4 a) ⎨ ⎩ 0,8 x − 3,1 y = 2,3

⎧ 31,5 x − 74,1 y = 213

b) ⎨

⎩ 82,3x + 27,9 y = 78,3

⎧ ⎪ 2x − 4 y + 2 = 0 c) ⎨ 3 5 7 ⎪ 2 8 x − y + 11 = 0 ⎩ ⎧ ⎪⎪ d) ⎨ ⎪⎪ ⎩ 1093

b) H ur lång tid ska han tillbringa vid varje maskin?

* 1095 En idrottsklubb ska köpa nya bollar.

De valde mellan typerna A och B. Olika alternativ jämfördes. Vid köp av 15 A-bollar och 5 B-bollar blev priset 3 715 kr. Om de istället köpte 8 A-bollar och 12 B-bollar blev priset 3 372 kr. De bestämde sig slutligen för att köpa tio bollar av varje sort.

Hur mycket fick de betala?

6x 2 y 2 − = 7 3 5 x 2y 1 + = 4 9 12

Lös ekvationssystemet ⎧ 1122x + 3344 y = 12276 ⎨ ⎩ 3344x + 1122 y = 10054 algebraiskt.

öva ii

· flera förmågor

* 1094 Peter kör ett 45 minuter långt

träningspass i ett gym med dels en roddmaskin och dels en spinning­ cykel. När han använder roddmaski­ nen förbrukar han 8,3 kcal/min och med spinningcykeln 5,9 kcal/min.

Han vill totalt förbränna 300 kcal under sitt träningspass. a) Inför lämpliga variabler och ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att beräkna hur lång tid Peter bör träna vid varje ­maskin och hur många kcal han då förbränner vid varje maskin. k apitel 1 ; R äta linjen och analy tisk geometri 47

* 1096 Alma, Bror och Carl handlar lös­

viktsgodis och naturgodis. Alma betalar 40 kr för 235 gram lösvikts­ godis och 164 gram naturgodis. Bror plockar ihop lösviktsgodis som väger 306 gram och naturgodis som väger 201 gram naturgodis. För detta får han betala 51 kr. Hur mycket får Carl betala för 213 gram lösviktsgodis och 132 gram naturgodis?

** 1097 När grön färg framställs används ett

Ord och begrepp Koll på avsnittet

gult och ett blått pigment. Beroende på antal gram av respektive pigment kan olika nyanser av grön färg till­ verkas. Till färgnyans A används 80 g gult pigment och 110 g blått pigment per liter färg. Till färgnyans B behövs 120 g gult pigment och 90 g blått pigment per liter färg.

Hur många liter av respektive nyans har framställt om 3,2 kg gult och 3,5 kg blått pigment har gått åt?

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.3 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

1 Ett linjärt ekvationssystem kan ha fler än en lösning.

1

5 6

är man adderar ekvationer i ett ekvationssystem elimineras 2 N alltid en variabel. tt ekvationssystem med två variabler 3 E har alltid en lösning.

Gruppaktivitet

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

Färgade bilar

1

I en påse finns det rosa, gröna och vita bilar, minst en av varje färg. Antalet gröna och vita bilar är tillsammans fyra gånger antalet rosa bilar. Antalet rosa och vita är tillsammans sex gånger större än antalet gröna bilar. Vilket är det minsta antalet bilar som finns i påsen?

Ålder

utmaning

Amy och Carla är tillsammans 51 år, Amy och Bill är tillsammans 57 år och Bill och Carla är tillsammans 42 år. Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm var och ens ålder.

48

k apitel 1 ; R äta linjen och analy tisk geometri

5 6

1 2 3 5 6

3.3 Digitala verktyg Det är viktigt att kunna använda tekniska hjälpmedel vid problemlösning. I kursplanen för Ma2c kan man läsa att man ska kunna – lösa andragrads- och rotekvationer grafiskt – använda numeriska och symbolhanterande verktyg vid ekvationslösning – konstruera grafer och bestämma funktionsvärden och nollställen med digi-tala verktyg – utföra regressionsanalys med digitala verktyg Matematiska beräkningar kan delas upp i symboliska och numeriska.

Ett symbolhanterande verktyg förstår matematiska symboler och kan utföra beräkningar med hjälp av formler eller ekvationer. Ett annat namn för symbolhantering är CAS, en förkortning av Computer Algebra System.

Ett numeriskt verktyg kan inte hantera formler utan använder så kallade numeriska metoder för att göra beräkningar och presentera närmevärden med en acceptabel noggrannhet.

Ett annat hjälpmedel är regressionsanalys. Med det menas att anpassa en funktion till några kända värden. Regressionsanalys presenteras närmare i kapitel 6.

Det finns olika metoder för att använda tekniska hjälpmedel vid problemlösning: 1. Använda CAS-funktionen för att lösa ekvationer.

2. Bestämning av t.ex. funktionsvärden, nollställen eller skärningspunkter med hjälp av avläsningar i ett grafritande program för att 3. Använda regressionsanalys för att med hjälp av några givna värden bestämma funktioner.

4. Göra geometriska konstruktioner och låta programmet presentera önskvärda vinklar, sträckor, areor eller annat.

Här följer en presentation av hur några metoder kan användas med hjälp av ett par uppgifter från tidigare givna nationella prov.

k apitel 3 ; Andr agr adsek vationer och andr agr adsfunk tioner 145

Lådtillverkning (NP MaB ht-06) Kalle och Lisa ska tillverka var sin öppen låda. De har några kartongark i A4-format med måtten 21,0 cm × 29,7 cm.

Först tar de var sitt ark och viker upp kortsidorna och sedan klipper de till två remsor av ett annat ark och tejpar fast dem på långsidorna, se figuren. Bredden på remsorna blir höjden på lådan. De vill båda tillverka en låda med volymen 2000 cm3. Efter en stunds pysslande har de gjort var sin låda.

Remsans bredd (x)

Kalles remsor är bredare än Lisas. Är det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med volymen 2000 cm3?

21,0

LÖSNING: Först måste ett uttryck för lådans volym bestämmas. Sätt lådans höjd till x cm.

29,7

Bottenareans två sidor blir 21,0 cm och (29,7 – 2x) cm eftersom de två uppvikta delarna är x cm vardera. Följden blir att volymen V(x) cm3 kan skrivas V(x) = 21,0 · (29,7 – 2x) · x Eftersom volymen ska vara 2000 cm3 får vi ekvationen 21,0 · (29,7 – 2x) · x = 2000 Vi använder GeoGebras CAS-funktion och matar in enligt figuren.

Först skriver vi Lös[21(29.7 – 2x)x = 2000] och trycker på Enter.

Då beräknas rötterna exakt enligt punkt 1.

Därefter trycker vi på ≈ - symbolen och får då även rötterna som närmevärden enligt punkt 2.

Eftersom ekvationen ger två rötter som är tillåtna är det möjligt att Kalle och Lisa har använt olika breda remsor.

SVAR: Det finns två lådor med olika höjder som ger samma volym så svaret är ja.

146

k apitel 3 ; Andr agr adsek vationer och andr agr adsfunk tioner

(cm)

Sydney Harbour Bridge (NP MaB vt-11) En av sevärdheterna i Sydney är den stora stålbron, Sydney Harbour Bridge. Mellan bropelarna löper ett brospann som har formen av en andragradskurva. Den högsta punkten är belägen 85 meter över vägbanan. Vägbanan ligger i sin tur 49 meter över vattenytan. Brospannet befinner sig ovanför vägbanan längs en 400 meter lång vägsträcka. Se figur. y

(m)

Brospann

85

49

x

400 Avstånd mellan bropelare

Ekvationen för andragradskurvan som beskriver brospannet kan skrivas som y = ax2 + b, där a och b är konstanter. a) Vilket värde har konstanten b för den andragradskurva som beskriver brospannet? b) Hur långt är avståndet mellan bropelarna?

LÖSNING: Genom text och figur kan vi konstatera att om man placerar brospannet i ett koordinatsystem gäller följande: Funktion: y = ax2 + b Skärning med y-axeln: y = 85 Skärning med x-axeln: x = –200 och x = 200 Punkten (0, 85) ger ekvationen 85 = a · 02 + b, vilket medför att b = 85.

Punkten (200, 0) ger ekvationen 0 = a · 2002 + 85, vilket medför att 85 = –0,002125 a=– 200 2 Slutsats: y = –0,002125x2 + 85 Bropelarna finns enligt figuren där y = –49. Vi ska därför bestämma skärningspunkterna mellan parabeln som beskriver brospannet och linjen y =–49 som beskriver var vattenytan finns, k apitel 3 ; Andr agr adsek vationer och andr agr adsfunk tioner 147

Vi matar därför in funktionen f(x) = -0,002125x2 + 85 och linjen y = 2000 och bestämma skärningspunkterna mellan dessa.

Enligt figuren är avståndet mellan skärningspunkterna 251 – (–251) = 502 Svar: Avståndet mellan bropelarna är ungefär 500 m.

Kommentar: Med hjälp av regression, som vi återkommer till i kapitel 6, kan vi mata in tre punkter i GeoGebras kalkylblad och beställa ett polynom av grad två (en andragradsfunktion) som passar till dessa, Då får vi direkt funktionen y = -0,002125x2 + 85.

Du får lära dig mer om detta i kapitel 6.

öva ii

· flera förmågor

h(x)

Kommande övningar är huvudsakligen hämtade från delar av nationella prov, där tekniska hjälpmedel är tillåtna. Använd därför gärna något sådant i dina lösningar.

3134

3135

148

För funktionen f gäller att f(x) = x2 – 4x + C, där C är en konstant. Punkten (5, 7) ligger på funktionens graf. Bestäm koordina­ terna för en annan punkt som också ligger på grafen. (NP Ma2b vt-15) Det längsta dokumenterade grodhop­ pet utfördes 1986 av en groda med namnet Rosie the Ribiter vid det berömda Calaveras County Fair and Jumping Frog Jubilee. Studera figuren nedan. Rosies hopp kan beskrivas med följande matematiska modell h(x) = x − 0,15x2, där h är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter längs marken från avstampet.

a) Hur långt hoppade Rosie the Ribiter?

x

b) Hur högt hoppade Rosie the Ribiter?

(NP MaB ht-03) 3136

Pelle står på en klippa invid en sjö, och kastar en sten ut över sjön.

Efter t sekunder är stenens höjd över vatten­ytan h(t) meter där h(t) = 8,5 + 9,8t − 4,9t2.

a) När befinner sig stenen på höjden 10 meter över vattenytan?

b) Bestäm stenens högsta höjd över vattenytan.

(NP MaB vt-02)

k apitel 3 ; Andr agr adsek vationer och andr agr adsfunk tioner

3137

Lisa sa till Melker:

• Tänk på ett tal mellan −100 och 100.

• Kvadrera talet.

• Addera det ursprungliga talet två gånger till det tal du fick.

• Subtrahera 168 från detta.

• Vad får du då?

Melker: Jag fick noll.

Lisa: Tänkte du på talet 12?

Melker: Nej.

Vilket tal tänkte Melker på?

(Förutsatt att han har räknat rätt.)

(NP MaB vt-07)

** 3139 En gräsmatta formad som en

rektang­el i kombination med en halvcirkel har en omkrets som är 200 m. Hur stor area kan gräsmattan ha under dessa förutsättningar?

* 3138 Bensinförbrukningen f(v) liter/mil för en bil beror av dess hastighet v km/h och kan ungefärligen uttryckas med formeln f(v) = 0,50 + 3,7 ⋅ 10-5 ⋅ v2.

Formeln är giltig i intervallet 70 ≤ v ≤ 150.

En familj kör ett antal mil med has­ tigheten 110 km/h. Hur mycket skulle familjens bensinförbrukning minska i procent om hastigheten på den körda sträckan sänks till 90 km/h?

(NP MaB ht-02)

k apitel 3 ; Andr agr adsek vationer och andr agr adsfunk tioner 149

6.3 Normalfördelning

Teorigenomgång Laboration

I många statistiska material fördelas mätvärdena symmetriskt kring medelvärdet enligt en typ av fördelning som kallas normalfördelning. Den kallas också Gaussfördelning efter den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777–1855) som undersökte fel vid beräkning av planeters banor och då upptäckte normalfördelningen.

Normalfördelningen används mycket både inom natur- och samhällsvetenskaper för att beskriva variation för olika variabler t.ex. kroppsmått, blodtryck och olika typer av mätfel.

Kurvan är klockformad och kallas ibland ”klockkurvan”.

Histogram och normalfördelning För att förklara och komma fram till normalfördelning börjar vi med att rita ett histogram. Vi använder data från medicinska födelse­ registret. Tabellen nedan visar hur många nyfödda barn som hade födelsevikt i kg i intervallen 1,5 – 2,0, 2,0 – 2,5, 2,5 – 3,0 osv.

Vikt(kg)

Vi gör ett histogram på datorn med vikten på x-axeln och frekvensen på y-axeln. Klassmitten i varje intervall och frekvensen läggs in i två listor i ett kalkylblad.

Genom att välja analys av histogrammet kan datorn approximera en normalfördelningskurva till histogrammet som visas i figuren nedan. Datorn ger också värden för medelvärdet (≈ 3,6 kg) och standardavvikelsen (≈ 0,57 kg) 40 000

40 000

30 000

30 000

20 000

20 000

10 000

10 000

1,6

2,0

2,4

2,8

3,2

3,6

4,0

4,4

4,8

5,2

0

1,6

2,0

2,4

2,8

3,2

Frekvens

1,5 ≤ x < 2,0

875

2,0 ≤ x < 2,5

2 504

2,5 ≤ x < 3,0

10 606

3,0 ≤ x < 3,5

32 691

3,5 ≤ x < 4,0

38 793

4,0 ≤ x < 4,5

18 053

4,5 ≤ x < 5,0

4091

5,0 ≤ x < 5,5

584

Summa

108 197

3,6

4,0

4,4

4,8

Om stapelbredderna också görs mindre blir approximationen ännu bättre.

Normalfördelningskurvan har följande karaktäristiska egenskaper: Den är symmetrisk kring medelvärdet och klockformad.

Med standardavvikelsen kan man dela in observationerna i intervall där varje intervall innehåller en bestämd andel av observationerna.

256

k apitel 6 ; statistik

5,2

13,6 %

2,3 %

13,6 %

I exemplet med födelsevikter för de nyfödda barnen var medelvärdet μ ≈ 3,6 kg och standardavvikelsen σ ≈ 0,57 kg.

34,1 %

68 % av observationerna avviker högst 1 standardavvikelse från medelvärdet.

95 % av observationerna avviker högst 2 standardavvikelser från medelvärdet.

34,1 %

μ = medelvärdet σ = standardavvikelse

µ– 3σ µ– 2σ µ– 1σ

µ

2,3 %

µ +1σ µ +2σ µ +3σ

Vi kan då göra följande sammanställning av procentsatser: Normalfördelning

Av de nyfödda barnen vägde 68 % mellan 3,0 kg och 4,2 kg.

(Medelvärdet – 1 standardavvikelse = 3,6 kg – 0,57 kg ≈ 3,0 kg) (Medelvärdet + 1 standardavvikelse = 3,6 kg + 0,57 kg ≈ 4,2 kg)

fördelning där mätvärdena från en statistisk undersökning fördelas symmetriskt kring medelvärdet.

Av de nyfödda barnen vägde 95 % mellan 2,5 kg och 4,7 kg.

(3,6 kg − 2 ∙ 0,57 kg ≈ 2,5 kg) (3,6 kg + 2 ∙ 0,57 kg ≈ 4,7 kg)

Normalfördelning Hur stor del av det normalfördelade materialet svarar mot det grå området?

Lösning: Ur grafen fås: 34,1 % + 34,1 % = 68,2 %.

Svar: 68,2 % µ– 1σ µ

µ +1σ

Standardavvikelse En maskin tillverkar skruvar. Längden av skruvarna är normalfördelad med medelvärdet 60 mm och standardavvikelsen 0,50 mm. Hur stor del av skruvarna kan vara a) längre än 61 mm b) kortare än 59,5 mm c) mellan 59,5 och 60,5 mm Lösning: a) L ängre än 61 mm innebär längre än medelvärdet plus 2 standardavvikelser, μ + 2σ.

I normalfördelningskurvan avläses detta till 2,3 %. b) K ortare än 59,5 mm innebär kortare än medelvärdet minus 1 standardavvikelse, μ − 1σ. I normalfördelningskurvan avläses detta till 13,6 % + 2,3 % = 15,9 % ≈ 16 %. c) M ellan 59,5 mm och 60,5 mm innebär längden x i intervallet μ − 1σ < x < μ + 1σ.

I normalfördelningskurvan avläses detta till 34,1 % + 34,1 % = 68,2 % ≈ 68 %.

Svar: a) 2,3 % b) 16 % c) 68 %

k apitel 6 ; statistik 257

Standardavvikelse med digitalt hjälpmedel Vid en undersökning av marmeladburkar med angiven vikt 450 g fann man att vikten var normalfördelad med medelvärdet 450 g och standardavvikelsen 12 g. a) Hur många procent av burkarna innehöll mellan 450 g och 470 g? b) Vilket medelvärde motsvarar kravet att minst 95 % ska innehålla 450 g med samma standardavvikelse?

Lösning: a) Procenttalet kan inte avläsas direkt i normalfördelningskurvan, eftersom avvikelsen inte är jämna standardavvikelser. Med ett digitalt hjälpmedel kan detta lösas, t.ex. GeoGebra.

1. Välj Sannolikhet.

2. Ett nytt fönster öppnas med en normalfördelningskurva.

Skriv in medelvärdet µ = 450, standardavvikelsen σ = 12 och gränserna P(450 ≤ x ≤ 470).

Vi kan avläsa att 45 % innehöll mellan 450 g och 470 g.

b) 1. Välj Sannolikhet.

2. Ett nytt fönster öppnas med en normalfördelningskurva.

Skriv in standardavvikelsen σ = 12 och P(450 ≤ x).

Pröva sedan med olika värden för medelvärdet så att sannolikheten P blir minst 95 %.

För medelvärdet blir sannolikheten P minst 95 %.

SVAR: a) 45 % innehöll mellan 450 g och 470 g.

b) Medelvärdet blir 470 g om minst 95 % ska innehålla minst 450 g.

258

k apitel 6 ; statistik

öva i 6047

· begrepp och procedur

6049

Hur stor del av det normalfördelade materialet svarar mot det skuggade området i figuren? a)

Vid en undersökning av vetemjöls­ påsar med angiven vikt 2 kg fann man vikten vara normalfördelad med medelvärdet 2030 g och standard­ avvikelsen 15 g. Hur stor del av pake­ ten kan antas väga mindre än 2 kg?

T

6050

µ– 3σ µ– 2σ µ– 1σ

µ

µ +1σ µ +2σ µ +3σ

b)

Vikten av nyfödda flickor är normal­ fördelad med medelvärdet 3,45 kg och standardavvikelsen 0,52 kg.

Bestäm sannolikheten för att en nyfödd flicka väger a) mindre än 2,41 kg b) mer än 3,97 kg c) mellan 2,41 kg och 4,49 kg

detta område

µ– 3σ µ– 2σ µ– 1σ

µ

µ +1σ µ +2σ µ +3σ

µ– 3σ µ– 2σ µ– 1σ

µ

µ +1σ µ +2σ µ +3σ

c)

6048

Hur stor procentuell andel av obser­ vationerna vid en normalfördelning avviker med a) högst en standardavvikelse från medelvärdet b) mer än två standardavvikelser från medelvärdet

k apitel 6 ; statistik 259

öva ii

· flera förmågor

a) Hur många procent av paketen kan förväntas innehålla mindre än de 500 g som anges på konservburken?

Företaget vill ha mycket nöjda kun­ der och tänker därför fylla paketen lite mer. De ändrar kravet till minst 99 % av paketen ska innehålla minst 500 g tomater. Standardavvikelsen antas fortfarande vara 5,0 g.

b) Beräkna vilket medelvärde på vik­ ten som motsvarar detta nya krav.

* 6051 Använd digitalt hjälpmedel för att

bestämma sannolikheten för att en nyfödd flicka väger mellan 4,00 kg och 5,00 kg. Medelvärdet är 3,45 kg och standardavvikelsen 0,52 kg.

* 6052 Längden för nyfödda barn är normal­ fördelad med medelvärdet 50 cm och standardavvikelsen 3 cm. Ange ett symmetriskt intervall kring medel­ värdet där 95 % av värdena ligger.

* 6053 Ett företag fyller paket med krossade

tomater. Enligt märkningen innehål­ ler ett paket 500 g tomater. Toma­ ternas vikt är normalfördelad kring medelvärdet 495 g och standardav­ vikelsen är 5,0 g.

260

k apitel 6 ; statistik

* 6054 Vid tillverkning av spik bör minst

80 % av dessa ha en längd ­mellan 4,8 cm och 5,2 cm. Längden är ­normalfördelad kring medelvärdet 5,0 cm. Bestäm det största tillåtna värdet på standardavvikelsen.

** 6055 En Galtonbräda är en anordning

som används för att illustrera nor­ malfördelning. Kulor släpps ner och ändrar riktning genom att passera ett antal spikar. Kulorna hamnar i olika fack och antalet kulor i facken blir ungefär normalfördelat kring mitten av brädan. Se figur.

Vid ett experiment släpptes 1478 kulor ner i en Galtonbräda med 16 fack. I fack 6 hamnade 136 kulor, i fack 7 hamnade 223 kulor och i fack 8 hamnade 281 kulor.

Hur många kulor bör ha hamnat i fack 5?

(NpMa2 vt 2015)

Ord och begrepp Koll på avsnittet

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 6.3 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

1 För att rita en normalfördelningskurva utgår man från ett stolpdiagram.

1

5 6

2 En normalfördelningskurva är alltid symmetrisk kring medelvärdet.

3 I normalfördelningskurvan kan observationerna delas in i intervall med hjälp

av standardavvikelsen, där varje intervall innehåller lika stora andelar av observationerna.

4

En normalfördelningskurva har alltid samma utseende.

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

k apitel 6 ; statistik 261

­

­

gennow gustafsson silborn

exponent

2b

Denna nya upplaga av Exponent 2b har förbättrats på flera punkter utifrån de syn­ punkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnes­planen om att använda digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. Detta avspeglas i helt nyskrivna avsnitt som beskriver hur man använder kalkylprogram, GeoGebra och andra digitala verktyg (CAS) för att lösa olika matematiska problem. Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 2b tillhör den gula serien.

gennow gustafsson silborn

n

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teori­ genomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

2,3 %

ISBN 978-91-4069-730-1

9

789140 697301

µ– 3σ µ– 2σ µ– 1σ

13,6 %

Författare till Exponent 2b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av under­ visning i matematik på gymnasienivå.

13,6 %

34,1 %

Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt.

Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.

34,1 %

exponent 2b

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) n Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) n Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

exponent matematik för gymnasiet

µ

2,3 %

µ +1σ µ +2σ µ +3σ

2b