9789144038698 by Smakprov Media AB

978-91-44-03869-8_05_cover.indd

Cyan Magenta Yellow Black

2008-02-19

ANALYS I FLERA VARIABLER

I denna tredje upplaga har texten bearbetats på många ställen i syfte att göra den tydligare och mer lättläst. En del omdisponeringar har gjorts, och fler exempel har tillkommit.

Tredje upplagan Art.nr 2692

www.studentlitteratur.se

ANALYS I FLERA VARIABLER

Lämpliga förkunskaper är inledande kurser i envariabelanalys och linjär algebra av ungefär den omfattning som är normal vid tekniska högskolor och universitet i Sverige.

Denna bok behandlar grunderna i differential- och integralkalkyl för funktioner av flera variabler. Speciellt ingår studiet av vektorvärda funktioner – s.k. vektoranalys. Framställningen är rik på exempel som visar hur man använder de teoretiska resultaten vid konkret problemlösning. För att underlätta förståelsen av tredimensionella förhållanden har särskild omsorg ägnats figurerna. Många tillämpningar i tekniska och naturvetenskapliga ämnen diskuteras.

ARNE PERSSON LARS-CHRISTER BÖIERS

Arne Persson och Lars-Christer Böiers är högskolelektorer i matematik och har mångårig erfarenhet av undervisning vid högskola.

ANALYS I FLERA VARIABLER

Arne Persson Lars-Christer Böiers

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Presskopias skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 2692 ISBN 978-91-44-03869-8 Upplaga 3:12 © Författarna och Studentlitteratur 1988, 2005 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Henry Sivula Printed by Printinghouse, Country 2013

978-91-44-03869-8_12_p01-02.indd 2

2013-02-07 10.24

Förord Denna bok behandlar grunderna i differential- och integralkalkyl för funktioner av flera variabler. Nödvändiga förkunskaper är inledande kurser i envariabelanalys och linjär algebra av den omfattning som är normal vid de flesta tekniska högskolor och universitet i Sverige. Innehållet är brett, bland annat diskuteras vektoranalys i två och tre dimensioner. Boken torde kunna användas som kurslitteratur vid de flesta av landets högskolor. Vi har valt följande utgångspunkter för skrivandet av denna bok: • att i rimlig utsträckning presentera teorin på ett matematiskt acceptabelt och strikt sätt; alltför tekniska eller långa bevis utelämnas emellertid helt eller ersätts med översiktliga resonemang som syftar till att göra den aktuella satsen trolig. • att med talrika exempel visa hur man använder teorin vid konkret räkning. • att anknyta de erhållna resultaten till olika användningar i tekniska och naturvetenskapliga ämnen. • att arrangera stoffet på ett överskådligt sätt så att läsaren inte tappar tråden. Boken är i huvudsak organiserad i fyra delar, en inledande del om olika typer av funktioner av flera variabler samt tre huvuddelar om respektive differentialkalkyl, integralkalkyl och vektoranalys. Dessutom finns ett appendix med bland annat några korta historiska notiser. Delarna två och tre innehåller vardera ett kapitel med exempel på användningar av differential- respektive integralkalkyl. I vektoranalysen är det naturligt att ge tillämpningarna i direkt anslutning till teorin. © Författarna och Studentlitteratur

iii

Förord

Övningar med svar och vissa lösta typuppgifter har utarbetats vid matematiska institutionen i Lund. De kan rekvireras från KF-SIGMA, Lund. Avsnitt, definitioner, satser, exempel och formler är numrerade inom varje kapitel. Vid hänvisning inom det aktuella kapitlet anges endast numret, ibland tillsammans med en sidangivelse. Vid hänvisning till ett annat kapitel anges även kapitelnumret, till exempel sats 3.2, som betyder sats 2 i kapitel 3. Vi tackar alla kolleger i Lund som bidragit med värdefulla råd och synpunkter. Ett speciellt tack går till Tomas Claesson för flera ideer och metodiska förbättringar i teorin för integraler. Vi vill också rikta ett särskilt tack till Lars Vretare som svarat för de figurer som gjorts med dator. Övriga figurer har ritats av AP. Utskriften har gjorts av LCB med ordbehandlingsprogrammet LATEX, vilket matematiska institutionen i Lund välvilligt ställt till förfogande. Lund, Alla Helgons Dag, Nådens år 1987 Författarna

Förord till andra upplagan I den andra upplagan har vi utnyttjat de tekniska möjligheter som nu står till buds för att förbättra typograﬁn. Samtidigt har vi tagit tillfället i akt för att göra några smärre omskrivningar av texten där vi funnit det befogat. Lund, Midsommarafton 1996 Författarna

Förord till tredje upplagan I den nya upplagan av föreliggande bok har vi gjort större eller mindre förändringar i nästan varje avsnitt. En del omdisponeringar av stoﬀet har skett. Texten har skrivits om på många ställen i syfte att göra framställningen tydligare och mer lättläst. Vi har också tagit tillfället i akt att introducera ytterligare exempel, ofta sådana som visar på matematikens tillämpningar inom tekniska ämnen. Trots förändringarna har med något undantag den ursprungliga indelningen i kapitel och avsnitt kunnat bibehållas. En omarbetning av detta slag kan naturligtvis inte ske utan bidrag, mer eller mindre omedvetna, från studenter och kolleger som använt boken. Vi tackar dem alla. Ett speciellt tack riktas till Tomas Carnstam, som gett värdefulla råd om utformningen av en del tillämpade exempel, och Henrik Stewenius, som svarat för bildbehandlingen av exemplet med gråskalebilden. (Originalet har snidats av AP.) Lund 1:e advent 2004 Författarna

Innehåll

FUNKTIONER

1 Funktioner av ﬂera variabler 1.1 Inledning . . . . . . . . . . 1.2 Rummet Rn . . . . . . . . . 1.3 Mängder i Rn . . . . . . . . 1.4 Funktioner från Rn till Rp . 1.5 Gränsvärden . . . . . . . . . 1.6 Kontinuitet . . . . . . . . .

. . . . . .

DIFFERENTIALKALKYL

2 Differentialkalkyl för reellvärda funktioner 2.1 Partiella derivator . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Differentierbarhet . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kedjeregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Gradient och riktningsderivata . . . . . . . 2.5 Partiella derivator av högre ordning . . . . . 2.6 Lokala undersökningar . . . . . . . . . . . . 2.7 Differentialer . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 . . . . . . .

3 Diﬀerentialkalkyl för vektorvärda funktioner 3.1 Kurvor och ytor . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Funktionalmatriser . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Funktionaldeterminanter . . . . . . . . . . . . 3.4 Implicit givna funktioner . . . . . . . . . . . . © Författarna och Studentlitteratur

vii

3 3 5 10 15 34 40

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

45 45 52 60 74 85 94 113

. . . . . . .

. . . .

119 . 119 . 128 . 140 . 146

viii

Innehåll

4 Optimering 157 4.1 Optimering på kompakta områden . . . . . . . . . . . . . 158 4.2 Optimering på icke-kompakta mängder . . . . . . . . . . . 163 4.3 Optimering med bivillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5 Användningar av diﬀerentialkalkyl 5.1 Derivation under integraltecken . . . 5.2 Derivator och termodynamik . . . . 5.3 Elektriskt fält och potential . . . . . 5.4 Några viktiga diﬀerentialekvationer . 5.5 Materiederivata . . . . . . . . . . . . 5.6 Rörelse i roterande koordinatsystem 5.7 Krökning och torsion . . . . . . . . . 5.8 Några exempel från geodesi . . . . .

III

. . . . . . . .

INTEGRALKALKYL

183 183 192 196 198 203 206 209 217

225

6 Dubbelintegraler 6.1 Dubbelintegral över rektangel . . . . . 6.2 Integration över godtyckliga områden . 6.3 Approximation med Riemannsummor . 6.4 Variabelbyte i dubbelintegraler . . . . 6.5 Integration med hjälp av nivåkurvor . 6.6 Generaliserade dubbelintegraler . . . .

. . . . . .

227 . 227 . 240 . 252 . 259 . 269 . 272

7 Multipelintegraler 285 7.1 Trippelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7.2 Multipelintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8 Användningar av integraler 8.1 Volymberäkningar . . . . . . . . 8.2 Area av buktig yta . . . . . . . . 8.3 Tröghetsmoment . . . . . . . . . 8.4 Masscentrum . . . . . . . . . . . 8.5 Integraler som medelvärden . . . 8.6 Flerdimensionell normalfördelning

. . . . . .

299 299 304 311 313 317 320

Innehåll

VEKTORANALYS

323

9 Vektoranalys i planet 9.1 Kurvintegraler . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Greens formel . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Tillämpningar av Greens formel . . . . . 9.4 Potentialer och exakta diﬀerentialformer 10 Vektoranalys i rummet 10.1 Kurv- och ytintegraler 10.2 Gauss’ sats . . . . . . 10.3 Stokes’ sats . . . . . . 10.4 Nablaräkning . . . . . 10.5 Potentialer . . . . . . 10.6 Kontinuitetsekvationen

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

325 . 325 . 335 . 341 . 344

. . . . . .

359 . 359 . 367 . 375 . 386 . 389 . 395

APPENDIX A Allmänna matematiska grundbegrepp A.1 Mängdlära . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 De reella talen . . . . . . . . . . . . . A.4 Ordobegreppen . . . . . . . . . . . . . A.5 Summa- och produkttecken . . . . . .

401 . . . . .

. . . . .

403 403 408 414 420 423

B Några historiska notiser

427

Litteraturförteckning

431

Index

433

Det grekiska alfabetet alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta

A B Γ Δ E Z H Θ

α β γ δ ε ζ η θϑ

iota kappa lambda my ny xi omikron pi

I K Λ M N Ξ O Π

ι κ λ μ ν ξ o π&

rho sigma tau ypsilon ﬁ chi psi omega

P Σ T Υ Φ X Ψ Ω

ρ σς τ υ ϕφ χ ψ ω

Kapitel 3

Diﬀerentialkalkyl för vektorvärda funktioner 3.1 3.1.1

Kurvor och ytor Kurvor

Den enklaste typen av en vektorvärd funktion är en kurva, dvs. en funktion av formen x = x(t) = (x1 (t), . . . , xp (t)) deﬁnierad på ett intervall α ≤ t ≤ β på R och med värden i Rp . Vi har gett ﬂera exempel på sådana i kapitel 1, på sidorna 23 och 24. Allteftersom funktionerna x1 , . . . , xp har en viss egenskap talar man om en kurva med motsvarande egenskap. Till exempel säger vi att en kurva är av klassen C 1 om x1 , . . . , xp är C 1 -funktioner. Redan i avsnitt 1.4, sidan 23, såg vi att den geometriska bilden av (värdemängden till) en plan kurva (p = 2) och en rymdkurva (p = 3) utgöres av en punktmängd i planet respektive rummet försedd med en orientering. Eftersom den intuitiva föreställningen av en kurva är direkt

x(α)

x(β) γ

119

120

Kapitel 3. Diﬀerentialkalkyl för vektorvärda funktioner

knuten till denna geometriska representation föredrar man att identiﬁera kurvor som har samma bild (inklusive orientering). Detta betyder att man betraktar kurvor som uppkommer ur varandra genom ett parameterbyte som identiska. Om alltså kurvan γ ges av x = x(t),

α ≤ t ≤ β,

och om ϕ är en strängt växande funktion deﬁnierad på något intervall a ≤ s ≤ b och med intervallet α ≤ t ≤ β som värdemängd, så identiﬁerar vi γ och kurvan x = x(ϕ(s)),

a ≤ s ≤ b.

För en kontinuerlig kurva γ kräver vi här att ϕ och ϕ−1 är kontinuerliga, och om γ är en C 1 -kurva kräver vi dessutom att ϕ och ϕ−1 är C 1 -funktioner. Egenskapen hos en kurva att vara till exempel av klassen C 1 blir därigenom oberoende av parameterframställningen. I fortsättningen av detta kapitel betraktar vi bara kurvor som är åtminstone av klassen C 1 . Med derivatan av funktionen x(t) = (x1 (t), . . . , xp (t)) menar vi naturligtvis (1)

x (t) = (x 1 (t), . . . , x p (t)).

I mekaniken, i de fall då t betyder tid, brukar man för derivatan använda beteckningen ˙ x(t) = (x˙ 1 (t), . . . , x˙ p (t)). I denna bok kommer vi dock genomgående att använda skrivsättet (1). Enligt formel (1.8), sidan 35, kan gränsvärdet av en vektorvärd funktion återföras på gränsvärdet av dess komponenter. Därför inser man att deﬁnitionen (1) av x (t) är ekvivalent med att sätta (2)

x(t+h) − x(t) . h→0 h

x (t) = lim

Differenskvoten i högerledet är parallell med differensen x(t+h) − x(t). Om h > 0 är vektorerna dessutom lika riktade. För p = 2 och p = 3 har vi då följande figur: © Författarna och Studentlitteratur

121

3.1. Kurvor och ytor x(t+h) − x(t)

x(t)

x (t)

x(t+h) − x(t) h

x(t+h)

Vi ser att det är rimligt att kalla x (t) i (2) för tangentvektorn till kurvan x = x(t) i punkten x(t). Antag att x (t) = 0. Eftersom (3)

d x(ϕ(s)) = x (ϕ(s)) ϕ (s) ds

(kedjeregeln i en variabel på varje komponent xj ) är tangentvektorns riktning (men inte dess längd) oberoende av valet av parameterframställning. Vi kallar den räta linjen x = x(t0 ) + t x (t0 ),

t∈R

för tangenten till kurvan i den punkt som svarar mot parametervärdet t0 . Tangentvektorn är alltså riktningsvektor till tangenten. Det ﬁnns också en viktig fysikalisk tolkning av tangentvektorn x (t). Om nämligen x(t) betyder läget vid tiden t av en partikel som rör sig i det tredimensionella rummet, så framgår av (2) att x (t) kan uppfattas som (den momentana) hastigheten av partikeln vid tiden t. Längden |x (t)| av hastighetsvektorn kallas farten och utgör det värde en medföljande hastighetsmätare visar. Förutom farten ger vektorn x (t) även upplysning om den riktning i vilken rörelsen sker vid tiden t. Hastighetsvektorn x (t) är en ny vektorvärd funktion av t, vars derivata är x (t). Av naturliga skäl kallas denna vektor för accelerationen av partikeln vid tiden t. Inom mekaniken använder man vanligtvis beteckningarna r(t), r (t), r (t) för läget (ortsvektorn), hastigheten respektive accelerationen av en partikel i rymden. Vi kommer i fortsättningen ofta att använda detta skrivsätt. © Författarna och Studentlitteratur

122

Kapitel 3. Diﬀerentialkalkyl för vektorvärda funktioner

Exempel 1. Betrakta en partikel som rör sig i en elliptisk bana r(t) = (a cos kt, b sin kt, 0) i x1 x2 -planet (a, b och k är positiva konstanter). Partikelns hastighet vid tiden t är r (t) = k(−a sin kt, b cos kt, 0) och dess acceleration är r (t) = −k2 (a cos kt, b sin kt, 0), dvs.

r (t) = −k2 r(t).

Accelerationen är alltså riktad rakt in mot ellipsens medelpunkt. Enligt Newtons andra lag (kraften = massan gånger accelerationen) är därför även den kraft som krävs för att upprätthålla rörelsen riktad mot origo. Rörelse av detta slag kallas för centralrörelse. x2 r (t) b

r (t)

2 Exempel 2. Låt r = r(t) vara kurvan i föregående exempel. Beräkna beloppet av vektorprodukten r(t) × r (t), och tolka resultatet geometriskt. Lösning: Vi får e1 e2 b sin kt r(t) × r (t) = a cos kt −ak sin kt bk cos kt

e3 0 = 0

123

3.1. Kurvor och ytor x2 r (t)h r(t) x1

Vektorn r(t) × r (t) är ortogonal mot rörelseplanet (x1 x2 -planet). Dess längd är |r(t) × r (t)| = abk. Tolkningen kan vi göra så här: under ett kort tidsintervall av längd h förﬂyttar sig partikeln approximativt sträckan r (t)h. Arean av den i ﬁguren skuggade triangeln är enligt den geometriska tolkningen av vektorprodukt lika med 1 2 |r(t)

× r (t)h| = 12 abkh.

Men denna triangel approximerar tydligen den av vektorn r(t) översvepta arean i tidsintervallet från t till t+h. Division med h och gränsövergång då h → 0 ger därför följande intressanta resultat: den av ortsvektorn r(t) per tidsenhet översvepta arean är oberoende av t (och lika med 1 2 abk). Detta är en lag som i själva verket gäller för all centralrörelse. Den upptäcktes på empirisk väg av Kepler vid studiet av planetbanor och kallas Keplers andra lag.1 Vi återkommer till centralrörelse i exempel 4. 2 Exempel 3. Längden av en (två- eller) tredimensionell C 1 -kurva r = r(t), ges som bekant av β (4) |r (τ )| dτ = α

α ≤ t ≤ β,

x 1 (τ )2 + x 2 (τ )2 + x 3 (τ )2 dτ .

1 Vårt exempel beskriver emellertid inte planetrörelse, som ju sker med kraften och accelerationen riktad mot ellipsens ena brännpunkt.

124

Kapitel 3. Diﬀerentialkalkyl för vektorvärda funktioner

Antag att r (t) = 0 för alla t. Sätter vi

s= α

|r (τ )| dτ

blir s en strängt växande funktion av t, som betyder längden av kurvan mellan punkterna med parametervärdena α och t. Man kallar s för båglängden. Det ﬁnns ofta anledning att införa denna som parameter på kurvan. Enligt analysens huvudsats är ds = |r (t)| dt och därmed

1 dt = . ds |r (t)|

Av formel (3) för parameterbyte får vi därför att dr dt r (t) dr = · = . ds dt ds |r (t)| Detta visar att då båglängden är parameter har tangentvektorn den konstanta längden 1. Tänk efter att detta är i överensstämmelse med deﬁnitionen (2) om parametern t där betyder båglängden s ! 2 Anmärkning. Man inför ofta bågelementet ds = |r (t)|dt på en kurva γ. För längden av kurvan, dvs. för integralen i (4), använder man då skrivsättet ds. γ

Denna parameteroberoende beteckning kan användas eftersom integralen i (4) faktiskt är oberoende av kurvans parameterframställning. Detta brukar bevisas i kurser i envariabelanalys. Det är praktiskt att fastställa några räkneregler för derivation av funktioner från R till Rp . Det är klart att d c x(t) = c x (t) (5) dt © Författarna och Studentlitteratur

125

3.1. Kurvor och ytor

för reella konstanter c, och att d x(t) + y(t) = x (t) + y (t). dt

(6)

För derivation av skalärprodukt gäller d x(t) · y(t) = x (t) · y(t) + x(t) · y (t). dt

(7)

Detta visas antingen genom utnyttjande av formeln x · y = x1 y 1 + . . . + xp y p för skalärprodukten samt regeln för derivation av en produkt av reellvärda funktioner, eller genom användning av gränsvärdet (2). Vi utför det senare beviset (som ser ut precis som motsvarande bevis då p = 1): x(t+h) · y(t+h) − x(t) · y(t) = h =

y(t+h) − y(t) x(t+h) − x(t) · y(t+h) + x(t) · → h h

→ x (t) · y(t) + x(t) · y (t) då h → 0. Då p = 3 kan man även bilda vektorprodukten av x(t) och y(t). Precis som för skalärprodukt ﬁnner man att (8)

d x(t) × y(t) = x (t) × y(t) + x(t) × y (t). dt

Observera att ordningen mellan faktorerna är väsentlig vid vektorprodukt. Exempel 4. En partikel som rör sig i rymden under inverkan av en kraft som är riktad mot en och samma punkt (origo) säges vara underkastad centralrörelse (se exempel 1). Vi skall nu visa att all centralrörelse sker i ett plan. Låt r(t) beteckna partikelns läge. Enligt formel (8) är d r(t) × r (t) = r (t) × r (t) + r(t) × r (t). dt © Författarna och Studentlitteratur

126

Kapitel 3. Diﬀerentialkalkyl för vektorvärda funktioner

Den första termen till höger är lika med nollvektorn. Vidare är enligt Newtons andra lag kraftvektorn och accelerationsvektorn r (t) parallella. Enligt förutsättningen om centralrörelse är därför lägesvektorn r(t) och accelerationsvektorn r (t) parallella, varför deras vektorprodukt är noll för alla t. För centralrörelse får vi alltså resultatet att d r(t) × r (t) = 0, dt vilket betyder att r(t) × r (t) = c, där c är en konstant vektor. Men vektorprodukten är vinkelrät mot var och en av sina faktorer. Speciellt är r(t) för alla t vinkelrät mot den konstanta vektorn c. Detta betyder att rörelsen sker i ett normalplan till c, och beviset är klart. (Om c = 0 blir rörelsen rätlinjig.) Observera att vi samtidigt har bevisat att |r(t) × r (t)| = |c| = konstant, ett resultat som vi tidigare sett i ett specialfall i exempel 2 ovan. Enligt tolkningen där betyder detta att den per tidsenhet av vektorn r(t) översvepta arean (sektorhastigheten) är konstant. All centralrörelse har alltså denna egenskap. 2

3.1.2

Ytor

Betrakta en funktion från R2 till R3 , dvs. en vektorvärd funktion av formen r = r(s, t) = (x1 (s, t), x2 (s, t), x3 (s, t)), där (s, t) genomlöper ett visst område D i st-planet. I avsnitt 1.4 (på sidan 27) har vi sett att denna beskriver en yta i rummet. För ﬁxt s utgör t −→ r(s, t) en kurva i ytan som vi kallar en parameterkurva. För ﬁxt t får vi på motsvarande sätt parameterkurvan s −→ r(s, t). © Författarna och Studentlitteratur

127

3.1. Kurvor och ytor r s r s ×r t

r(s0 , t0 ) r t

Man kan tänka sig ytan uppbyggd av endera av dessa kurvskaror, eventuellt av båda. Vi betraktar bara ytor av klass C 1 , dvs. där alla komponentfunktionerna x1 , x2 , x3 är av klass C 1 . Om vi ﬁxerar en punkt på ytan svarande mot parametervärdena (s0 , t0 ) och bildar derivatorna ∂x1 ∂x2 ∂x3 , , rs = ∂s ∂s ∂s

och r t

∂x1 ∂x2 ∂x3 , , ∂t ∂t ∂t

för dessa parametervärden, så får vi tangentvektorerna för respektive parameterkurvor i punkten r(s0 , t0 ). Så snart dessa tangentvektorer inte är parallella spänner de upp ett plan genom r(s0 , t0 ). Kravet att vektorerna inte skall vara parallella kan vi formulera med hjälp av vektorprodukt på så sätt att (9) r s × r t = 0. Vi förutsätter alltid i fortsättningen att detta villkor är uppfyllt i varje punkt. Planet som då spänns upp av vektorerna r s och r t , och vars normal är r s × r t , kallas ytans tangentplan i punkten r(s0 , t0 ). Vidare kallas r s × r t för ytans normalvektor i denna punkt. Exempel 5. Normalen till en sfär med centrum i origo bör vara parallell med motsvarande ortsvektor. Vi kontrollerar detta med den standardiserade parameterframställningen r = (x, y, z) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ) © Författarna och Studentlitteratur

978-91-44-03869-8_05_cover.indd

Cyan Magenta Yellow Black

2008-02-19

ANALYS I FLERA VARIABLER

I denna tredje upplaga har texten bearbetats på många ställen i syfte att göra den tydligare och mer lättläst. En del omdisponeringar har gjorts, och fler exempel har tillkommit.

Tredje upplagan Art.nr 2692

www.studentlitteratur.se

ANALYS I FLERA VARIABLER

Lämpliga förkunskaper är inledande kurser i envariabelanalys och linjär algebra av ungefär den omfattning som är normal vid tekniska högskolor och universitet i Sverige.

ARNE PERSSON LARS-CHRISTER BÖIERS

Arne Persson och Lars-Christer Böiers är högskolelektorer i matematik och har mångårig erfarenhet av undervisning vid högskola.

ANALYS I FLERA VARIABLER

Arne Persson Lars-Christer Böiers