9789144015736

STATISTISK DATAANALYS Den här boken handlar om sannolikhetslära, statistisk slutledning med mera …

Nyheter i den fjärde upplagan av denna moderna klassiker är avsnitt om relativa risker, oddskvoter och logistisk regression.

Datorn är ofta ett självklart verktyg. Boken visar hur man tolkar resultaten från de båda statistikprogrammen SPSS och Minitab.

Statistik upplevs av många som svårt och tråkigt. Med denna bok visar författarna ännu en gång att statistik både kan vara lätt och roligt. www.studentlitteratur.se/dataanalys

STATISTISK DATA­­ANALYS

| STATISTISK DATAANALYS

Statistik kan presenteras på olika sätt. Här sker det med exempel och praktiska tillämpningar och utan onödig krånglig matematik.

De övningsuppgifter som finns i varje kapitel är väl strukturerade.

För den som vill ha lite extra tips hur man löser bokens övningsuppgifter finns sådana att ladda ner från bokens hemsida. Därför fungerar boken bra även för den som vill lära sig statistik på egen hand.

Svante Körner Lars Wahlgren

Svante Körner och Lars Wahlgren är lärare vid statistiska institutionen i Lund och välkända läromedelsförfattare.

Fjärde upplagan

Svante Körner Lars Wahlgren Art.nr 2052

www.studentlitteratur.se

978-91-44-01573-6_05_Cover HB.indd 1

2014-05-26 10:22

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt.

Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet.

För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 2052 ISBN 978-91-44-01573-6 Upplaga 4:9 © Svante Körner, Lars Wahlgren och Studentlitteratur 1983, 2006 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Mikael Körner Printed by Elanders Beijing Printing Co. Ltd, China 2011

978-91-44-01573-6-09_p002.fm 25 August 2011 08.57:20

sida 1 av 1

Innehåll

Före tal

7

Del I: Sannolikhetslära 1 Introduktion 11 1.1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 1.2 Sannolikhet och relativ frekvens 14 1.3 Subjektiv sannolikhet 16 1.4 Odds 17 1.5 Mängdlära 18 1.6 Kombinatorik 24

11

2 Sannolikhetsbegreppet 33 2.1 Slumpförsök, utfallsrum, händelse 33 2.2 Sannolikheten för en händelse 36 2.3 Slumpförsök med två händelser 42 2.4 Betingade sannolikheter. Bayes sats 49 2.5 Oberoende händelser 59 2.6 Urval med och utan återläggning 63 3 Diskret slumpvariabel 75 3.1 Sannolikhetsfördelning 75 3.2 Väntevärde och varians 78 3.3 Linjär variabeltransformation 83 3.4 Tvåpunktsfördelad variabel 85 3.5 Binomialfördelning 86 3.6 Poissonfördelning 91 3.7 ffg-fördelning 93 3.8 Hypergeometrisk fördelning 94

3

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 3

2008-09-24 11:44:58

4 Tvådimensionell slumpvariabel 100 4.1 Simultan sannolikhetsfördelning 100 4.2 Betingad sannolikhetsfördelning 102 4.3 Oberoende slumpvariabler 103 4.4 Kovarians och korrelation 105 4.5 Linjära kombinationer 106 5 Normalfördelning 112 5.1 Kontinuerlig slumpvariabel 112 5.2 Normalfördelning – förekomst, egenskaper, beräkningsteknik 114 5.3 Sannolikhetsfördelningen för stickprovsmedelvärden och summor – centrala gränsvärdessatsen 124 5.4 Normalapproximation av binomialfördelningen 133

Del II: Statistisk slutledning 6 Slumpmässigt urval och punktskattning 141 6.1 Varför urval? 141 6.2 Enkelt slumpmässigt urval 142 6.3 Väntevärdesriktiga punktskattningar och bias 6.4 Effektiva skattningar 147 6.5 Medelfel och statistisk felmarginal 151 6.6 Svarsbortfall 152

144

7 Intervallskattning 158 7.1 Konfidensintervall för populationens medelvärde μ 158 7.2 Konfidensintervall för populationens andel π 165 7.3 Den statistiska felmarginalen 167 7.4 Stickprovets storlek 168 7.5 Konfidensintervall vid jämförelser 170 7.6 Ensidiga konfidensintervall 178 8 Hypotesprövning 182 8.1 Klassisk hypotesprövning steg för steg 191 8.2 Mer om klassisk hypotesprövning 196 8.3 Hypotesprövning med p-värde 207 8.4 Mer om hypotesprövning av medelvärden 210 8.5 Hypotesprövning av proportionstal 215 8.6 Hypotesprövning vid jämförelser 220 8.7 Hypotesprövning av korrelationskoefficienter 229 8.8 Hypotesprövning är svårt! 231 4

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 4

2008-09-24 11:44:58

9 Analys av frekvenstabeller 237 9.1 Analys av enkla frekvenstabeller 227 9.2 Jämförelse mellan en observerad och en anpassad fördelning 9.3 Analys av korstabeller 248 9.4 Fishers exakta test 252 9.5 Relativ risk och oddskvot 258

245

Del III: Med mera . . .

10 Beslutsteori 269 10.1 B-tabell, strategier, framtiden 270 10.2 Beslut under säkerhet 271 10.3 Beslut under osäkerhet 272 10.4 Beslut under risk 278 10.5 Nollsummespel för två personer 288 10.6 Beslutsträd 290 10.7 Nyttoteori 296 10.8 Bestämning av marknadsandelar 299 11 Urval från ändliga populationer 305 11.1 Enkelt slumpmässigt urval 305 11.2 Stratifierat urval 314 12 Icke-parametriska metoder 328 12.1 Teckentest 329 12.2 Mann-Whitneys test 337 12.3 Wilcoxons teckenrangtest 347 12.4 Kruskal-Wallis test 352 12.5 Spearmans rangkorrelation 355 13 Enkel linjär regression 359 13.1 Stickprovets regressionslinje 360 13.2 ANOVA-tablån 362 13.3 Den linjära regressionsmodellen 366 13.4 Skattning och test av α och β 368 13.5 Skattning med regressionslinjen 375 13.6 Residualanalys 381

5

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 5

2008-09-24 11:44:58

14 Mer om regression 386 14.1 Linjär regression med två förklarande variabler 386 14.2 Något om linjär regression med flera förklarande variabler 14.3 Dummy-variabel – dikotom förklarande variabel 400 14.4 Icke-linjära samband 402 14.5 Logistisk regression 410 15 Analys av varianser. Ensidig variansanalys 15.1 Analys av varianser 423 15.2 Ensidig variansanalys 431 Svar till övningsuppgifter Sakregister

398

423

446

463

6

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 6

2008-09-24 11:44:58

Före tal

För att förstå statistiska metoder måste man kunna en del sannolikhetslära.

Tänk dig att var tredje student på en högskola har invandrarbakgrund. Vad är då sannolikheten att ett stickprov från denna population – samtliga studerande – kommer att innehålla mellan 31 och 35 procent studenter med invandrarbakgrund? Och om medelåldern bland samtliga studerande är 23 år, vad är då sannolikheten att medelåldern i stickprovet hamnar mellan 21 och 25 år?

Hur man räknar ut detta får du lära dig i bokens första del, som handlar om sannolikhetslära. Med kunskap om populationen gäller det alltså att göra sannolikhetsbedömningar för stickprovet.

I bokens andra del vänder vi på frågeställningen. Här är populationen okänd. I en partisympatiundersökning säger 32 procent av de 1750 tillfrågade att de skulle rösta på regeringspartiet om det vore val idag. Men hur många procent skulle rösta på regeringspartiet i hela väljarkåren, som består av ungefär sju miljoner röstberättigade?

Med den information som ett enda relativt litet stickprov ger ska vi alltså försöka säga något förnuftigt om hela populationen, som ofta är mycket stor. Detta kallas statistisk slutledning.

Slutsats om stickprov: Sannolikhetslära

Population Stickprov

x

μ

p

π Slutsats om population: Statistisk slutledning

Dessutom finns en tredje del: Med mera . . .

7

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 7

2008-09-24 11:44:59

Statistik kan presenteras på olika sätt. Vi har valt att göra det med hjälp av enkla exempel och utan onödigt krånglig matematik. All vår erfarenhet visar att detta är den bästa metoden.

Alla kapitel i denna nya upplaga har omarbetats i större eller mindre omfattning. Helt nya är avsnitten om relativa risker, oddskvoter och logistisk regression. De övningsuppgifter som finns har fått en tydligare struktur. Tips hur man löser de flesta av uppgifterna i boken finns i en pdffil som kan laddas ner från bokens hemsida. Därför bör boken fungera bra även för den som vill lära sig statistik på egen hand. Bayes sats är ingen nyhet precis, men nu förekommer den med både namn och bevis. Och Wilcoxons rangsummatest får även i denna bok i fortsättningen heta Mann-Whitneys test.

Datorn är ofta ett självklart verktyg. Minitab eller SPSS används idag i den grundläggande statistikutbildningen. Boken beskriver utförligt hur man tolkar resultaten från båda dessa statistikprogram.

Vid manuella beräkningar och examination behövs ofta tabeller över statistiska fördelningar. I boken hänvisar vi genomgående till Körner: Tabeller och formler för statistiska beräkningar, Studentlitteratur 2000.

Varje statistiker vet att eventuella tryckfel i en bok aldrig beror på författaren. Det är Poissonfördelningen som bär hela ansvaret. Men om du, käre läsare, hittar något i denna bok som du vill anmärka på eller diskutera blir vi glada om du hör av dig. Dina synpunkter är alltid välkomna. Om något tryckfel mot förmodan skulle hittas informerar vi om detta på bokens hemsida http://www.studentlitteratur.se/dataanalys.

Peking och Paris pingsten 2006

Svante Körner

Lars Wahlgren

Svante.Korner@stat.lu.se

Lars.Wahlgren@stat.lu.se

8

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 8

2008-09-24 11:44:59

3 Diskret slumpvariabel

I detta kapitel definierar vi begreppen sannolikhetsfördelning, väntevärde och varians för en diskret sannolikhetsfördelning. Vi går igenom räknereglerna vid linjära variabeltransformationer. Avslutningsvis behandlar vi några olika diskreta slumpvariabler, bland annat binomialfördelning, Poissonfördelning och hypergeometrisk fördelning.

3.1

Sannolikhetsfördelning

Hur många pojkar finns det i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj? Svaret är självklart: det beror naturligtvis på vilken familj vi råkar välja, dvs på slumpen. En statistiker säger att ”antalet pojkar” är en slumpvariabel eller en stokastisk variabel. Vi inser direkt att slumpvariabeln ”antalet pojkar i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj” måste anta något av värdena 0, 1, 2 eller 3. Dessa värden är variabelns utfallsrum.

Hur mycket väger ett slumpmässigt valt nyfött barn? Även nu måste vi svara att det beror på vilket barn vi råkar välja. Även vikten är alltså en slumpvariabel. Och utan att fundera alltför länge inser vi att vikten för ett slumpmässigt valt nyfött barn strängt taget kan anta oändligt många olika värden om vi väger tillräckligt noggrant.

Antalet pojkar är en diskret slumpvariabel medan vikten är en kontinuerlig slumpvariabel. Diskreta variabler kan bara anta vissa värden i isolerade punkter på talaxeln, ofta heltal. Kontinuerliga variabler kan anta alla värden inom ett eller flera intervall av talaxeln. I detta kapitel behandlas diskreta variabler. Till kontinuerliga variabler återkommer vi i kapitel 5.

Det enklaste sättet att definiera en diskret slumpvariabel är att tala om vilka värden den kan anta, – variabelns utfallsrum – och motsvarande sannolikheter. Vi låter (stora) X beteckna en slumpvariabel och (lilla) x de värden denna variabel kan anta. Du kommer snart att inse varför dessa beteckningar är praktiska.

75

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 75

2008-09-24 11:45:03

p(x ) betecknar sannolikheten att variabeln X antar värdet x, dvs

Pr ( X = x ) = p(x )

Talen p(x ) kallas slumpvariabelns sannolikhetsfördelning.

Exempel 1 Vad är sannolikhetsfördelningen för X = antalet pojkar i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj? Det är strängt taget inte möjligt att besvara frågan korrekt om vi inte känner populationen. Men även utan denna kunskap kan vi genom teoretiska överväganden få en uppfattning om hur fördelningen ser ut. Vi konstruerar en sannolikhetsmodell som beroende på hur pass realistiska antaganden den bygger på mer eller mindre väl beskriver verkligheten. Låt oss göra ett försök!

Vårt första antagande är att sannolikheten för pojkfödsel är 0,5. Detta är inte helt korrekt, men nästan. Från den officiella statistiken vet vi ju att det föds något fler pojkar än flickor.

Vårt andra antagande är att ett barns kön är oberoende av äldre syskons kön. Är detta ett korrekt antagande? Den frågan får läsaren själv grubbla över.

Med dessa två förutsättningar är det lätt att bestämma sannolikhetsfördelningen. Vi skriver direkt upp de olika sannolikheterna:

Pr ( X = 0) = 0,53 = 0,125 § 3· Pr ( X = 1) = ¨¨ ¸¸ ⋅ 0,51 ⋅ 0,5 2 = 0,375 ©1¹

§ 3· Pr ( X = 2 ) = ¨¨ ¸¸ ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,51 = 0,375 © 2¹ Pr ( X = 3) = 0,53 = 0,125 Vi sammanfattar resultatet i en tabell: x p(x)

0

l

2

3

0,125

0,375

0,375

0,125

76

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 76

2008-09-24 11:45:03

Variabeln X måste anta ett av värdena 0, 1, 2 eller 3. Därför blir summan av sannolikheterna 1. Mer komprimerat kan de två villkoren för talen p(x ) i en sannolikhetsfördelning skrivas: 1) p(x ) ≥ 0 2)

¦ p(x) = 1

En sannolikhetsfördelning kan också beskrivas med ett diagram. När variabeln är diskret är det ofta lämpligt med ett stolpdiagram. I vårt exempel ser detta ut så här:

Med hjälp av sannolikhetsfördelningen kan vi beräkna sannolikheterna för olika händelser. Sannolikheten att det är minst en pojke i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj blir

Pr ( X ≥ 1) = p (1) + p (2) + p (3) = 0,375 + 0,375 + 0,125 = 0,875 Sannolikheten att det är högst en pojke blir

Pr ( X ≤ 1) = p (0) + p (1) = 0,125 + 0,375 = 0,500 Som vi redan påpekat bygger beräkningarna på antaganden, som kan vara mer eller mindre korrekta. Sannolikhetsfördelningen är alltså en modell.

Om modellen speglar verkligheten på ett rimligt sätt vet vi ännu inte. Det kan man avgöra genom att testa modellen med hjälp av resultat från en empirisk undersökning. Om hur sådana test går till – hypotesprövning – handlar en stor del av denna bok.

77

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 77

2008-09-24 11:45:03

Diskret sannolikhetsfördelning

p(x ) betecknar sannolikheten att variabeln X antar värdet x, dvs

Pr ( X = x ) = p( x ) För talen p(x ) gäller följande två villkor: 1) p(x ) ≥ 0 2) ¦ p( x ) = 1

Övningsuppgifter 301 I detta avsnitt har vi använt en sannolikhetsmodell för att beskriva fördelningen av antalet pojkar i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj. Diskutera de förutsättningar modellen bygger på. Tror du att modellen är realistisk? Hur kan man avgöra om modellen ger en god bild av verkligheten?

302 Vi antar att 40 procent av väljarkåren vid ett visst tillfälle sympatiserar med det borgerliga blocket. Slumpmässigt väljs tre personer ur denna population. Bestäm en sannolikhetsmodell som beskriver fördelningen av antalet borgerliga sympatisörer i stickprovet. Ange också vilka antaganden sannolikhetsmodellen bygger på.

303 Ur populationen i uppgift 302 väljer man slumpmässigt individer, en efter en, tills man valt en person som säger sig vara borgerlig sympatisör. Högst väljer man dock fyra personer. Låt X vara antalet personer man väljer. Bestäm sannolikhetsfördelningen för denna slumpvariabel.

3.2

Väntevärde och varians

När man på ett enkelt sätt vill beskriva ett stickprov anger man ofta det aritmetiska medelvärdet. Medelvärdet är summan av de observerade värdena dividerad med antalet observationer (se Körner–Wahlgren: Praktisk statistik, kap 3, Studentlitteratur).

78

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 78

2008-09-24 11:45:04

Medelvärdet x för n observationer x1 , x 2 ,..., x n är

x=

x1 + x2 + ... + xn ¦ x = n n

Medelvärdet kan också beräknas för en sannolikhetsfördelning. Det kan då tolkas som medelvärdet i den population som sannolikhetsfördelningen avser att beskriva. Medelvärdet för en slumpvariabel kallas väntevärde.

Ibland talar man också om en slumpvariabels förväntade värde.

Väntevärde Väntevärdet för variabeln X definieras

E ( X ) = μ = ¦ x ⋅ p ( x) Summeringen ska omfatta alla värden variabeln kan anta.

E i uttrycket E(X) står för Expected value.

Vi ser att väntevärdet för en variabel beräknas genom att de värden variabeln kan anta vägs samman med motsvarande sannolikheter.

Exempel 2 Vad är väntevärdet för antalet pojkar i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj?

Sannolikhetsfördelningen har vi just bestämt i exempel 1.

Väntevärdet blir

E ( X ) = μ = ¦ x ⋅ p( x) =

= 0 ⋅ 0,125 + 1 ⋅ 0,375 + 2 ⋅ 0,375 + 3 ⋅ 0,125 = 1,5 Namnet väntevärde är inte helt lyckat. Vi väntar oss inte att finna 1,5 pojkar i en trebarnsfamilj. Det är ett värde som vi i själva verket aldrig kan få, eftersom variabeln ”antal pojkar” bara kan anta heltalsvärden.

79

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 79

2008-09-24 11:45:04

Istället får vi göra följande tolkning. Studerar vi flera trebarnsfamiljer väntar vi oss att i genomsnitt finna 1,5 pojkar per familj.

Det finns en viktig principiell skillnad mellan ett medelvärde x som beräknas på stickprovsdata och ett medelvärde μ för en sannolikhetsfördelning (population). Stickprovsmedelvärdet kan anta olika värden beroende på vilka individer som råkar komma med i stickprovet. Stickprovsmedelvärdet är alltså en slumpvariabel. Populationsmedelvärdet är däremot konstant – vi säger att populationsmedelvärdet är en parameter.

Lägg märke till denna distinktion; den spelar som vi kommer att se en stor roll i den statistiska teorin.

Ofta studerar vi olika funktioner av slumpvariabler. Väntevärdet för en funktion beräknar man genom att väga samman de värden funktionen kan anta med motsvarande sannolikheter.

Väntevärdet för kvadraten på en variabel blir E ( X 2 ) = ¦ x 2 ⋅ p ( x)

För X = antal pojkar i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj får vi:

E ( X 2 ) = 0 2 ⋅ 0,125 + 12 ⋅ 0,375 + 2 2 ⋅ 0,375 + 3 2 ⋅ 0,125 = 3 För ett stickprov kan man beräkna stickprovsvariansen, som är kvadraten på standardavvikelsen (se Körner–Wahlgren: Praktisk statistik, kap 4, Studentlitteratur).

Stickprovsvariansen s 2 för n observationer x1 , x 2 ,..., x n är

¦ (x − x )

2

s2 =

n −1

Variansen för en slumpvariabel X definieras som väntevärdet för funktionen ( X − μ ) 2 , dvs

Var ( X ) = σ 2 = ¦ ( x − μ ) 2 ⋅ p ( x)

80

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 80

2008-09-24 11:45:04

Den positiva kvadratroten ur variansen kallas för standardavvikelsen och betecknas σ. Det gäller alltså att σ = Var ( X ) . Standardavvikelsen σ för en slumpvariabel motsvarar standardavvikelsen s för ett stickprov.

Variansen för X = antal pojkar i en trebarnsfamilj blir alltså:

(0 − 1,5)2 ⋅ 0,125 + (1 − 1,5)2 ⋅ 0,375 + (2 − 1,5)2 ⋅ 0,375 + (3 − 1,5)2 ⋅ 0,125 = 0,75 Nu nöjer vi oss med att visa hur man definierar och beräknar variansen för en slumpvariabel. Men snart ska vi också visa att variansen är ett nödvändigt instrument vid analys av statistiska material. För variansen gäller dessutom liksom för väntevärdet flera enkla räkneregler, som vi ska återkomma till.

Beräkningsformel för variansen När man räknar ut variansen är det ofta enklast att använda uttrycket

( )

Var ( X ) = E X 2 − [E ( X )]2 = ¦ x 2 ⋅ p ( x ) − μ 2

Genom att utveckla definitionsformeln får man enkelt fram detta uttryck.

( )

Lägg märke till skillnaden mellan uttrycken E X 2 och [E ( X )] 2 . I första fallet avses väntevärdet av den kvadrerade variabeln, i andra fallet kvadraten på väntevärdet.

Om vi använder ovanstående formel för att beräkna variansen för antalet pojkar (X) i en trebarnsfamilj får vi

( )

Var ( X ) = E X 2 − [E ( X )] 2 = 3,0 − 1,5 2 = 0,75 Detta resultat stämmer med våra tidigare beräkningar.

81

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 81

2008-09-24 11:45:04

Exempel 3 En affär öppnar klockan nio varje dag. Antalet kunder som kommer till affären inom en halvtimme har följande fördelning: Antal kunder, x

0

1

2

3

Sannolikhet, p(x)

0,15

0,25

0,35

0,25

Väntevärdet blir

E ( X ) = μ = ¦ x ⋅ p ( x) = 0 ⋅ 0,15 + 1 ⋅ 0,25 + 2 ⋅ 0,35 + 3 ⋅ 0,25 = 1,7 I genomsnitt anländer alltså 1,7 kunder inom en halvtimme.

När vi ska bestämma variansen beräknar vi först

E ( X 2 ) = ¦ x 2 ⋅ p ( x) = 0 2 ⋅ 0,15 + 12 ⋅ 0,25 + 2 2 ⋅ 0,35 + 32 ⋅ 0,25 = 3,9 Variansen blir

Var ( X ) = ¦ x 2 ⋅ p (x ) − μ 2 = 3,9 − 1,7 2 = 1,01

Övningsuppgifter 304 Antalet tryckfel på en slumpmässigt vald sida i en tjock lärobok i statistisk dataanalys har följande sannolikhetsfördelning: Antal tryckfel, x

0

1

2

Sannolikhet, p(x)

0,90

0,09

0,01

Bestäm väntevärdet och variansen för antalet tryckfel på en slumpmässigt vald sida.

305 I ett lotteri med 100 lotter finns en vinst på 100 kronor, fyra på 25 kronor och tjugo på fem kronor. Låt X vara vinsten vid köp av en lott. a) Ställ upp sannolikhetsfördelningen för X. b) Beräkna väntevärdet och standardavvikelsen för X.

82

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 82

2008-09-24 11:45:04

3.3

Linjär variabeltransformation

När man räknar om temperaturuppgifter i grader Fahrenheit till grader Celsius drar man ifrån 32 och multiplicerar sen med 5/9. Detta är exempel på en linjär variabeltransformation.

När man gör denna typ av omräkningar gäller följande samband. (Jämför Körner–Wahlgren: Praktisk statistik, kap 4.4.5, Studentlitteratur) Linjära variabeltransformationer Om

Y = a +b⋅ X där a och b är konstanter, gäller att

E (Y ) = a + b ⋅ E ( X ) Var (Y ) = b 2 ⋅ Var ( X )

σY = | b |σ X

Vi ser tydligt väntevärdets och standardavvikelsens betydelse som lägesrespektive spridningsmått. Adderas en konstant (a) ökar väntevärdet lika mycket (förskjutning av skalan). Multipliceras variabeln med en konstant (b), multipliceras också standardavvikelsen med samma konstant.

Exempel 4 X är en slumpvariabel med väntevärdet E ( X ) = μ och standardavvikelsen σ. Vi gör den linjära variabeltransformationen

Z=

X −μ

σ

Man säger att Z är en standardiserad variabel. Med hjälp av räknereglerna för transformationer är det lätt att visa att en standardiserad variabel alltid har väntevärdet 0 och standardavvikelsen 1. Gör det!

83

978-91-44-01573-6-04_bookNY.pdf 83

2008-09-24 11:45:04

STATISTISK DATAANALYS Den här boken handlar om sannolikhetslära, statistisk slutledning med mera …

Nyheter i den fjärde upplagan av denna moderna klassiker är avsnitt om relativa risker, oddskvoter och logistisk regression.

Datorn är ofta ett självklart verktyg. Boken visar hur man tolkar resultaten från de båda statistikprogrammen SPSS och Minitab.

Statistik upplevs av många som svårt och tråkigt. Med denna bok visar författarna ännu en gång att statistik både kan vara lätt och roligt. www.studentlitteratur.se/dataanalys

STATISTISK DATA­­ANALYS

| STATISTISK DATAANALYS

Statistik kan presenteras på olika sätt. Här sker det med exempel och praktiska tillämpningar och utan onödig krånglig matematik.

De övningsuppgifter som finns i varje kapitel är väl strukturerade.

För den som vill ha lite extra tips hur man löser bokens övningsuppgifter finns sådana att ladda ner från bokens hemsida. Därför fungerar boken bra även för den som vill lära sig statistik på egen hand.

Svante Körner Lars Wahlgren

Svante Körner och Lars Wahlgren är lärare vid statistiska institutionen i Lund och välkända läromedelsförfattare.

Fjärde upplagan

Svante Körner Lars Wahlgren Art.nr 2052

www.studentlitteratur.se

978-91-44-01573-6_05_Cover HB.indd 1

2014-05-26 10:22