9789147115938

SAMBAND OCH FÖRÄNDRING Proportionalitet

Förkortning av bråk

Om till exempel en kostnad är proportionell mot antalet kilogram så innebär det att man får betala lika mycket för varje kilogram man köper. kr pris En proportionalitet graf kan ritas som en graf 30 i ett koordinatsystem.

20 Grafen är en rät linje som går genom origo. 10

Att förkorta ett bråk innebär att täljare och nämnare divideras med samma tal.

vikt 1

2

3

kg

Enheter för tid

4 4/4 1 = = 12 12 / 4 3

Här har vi förkortat med 4.

Förlängning av bråk Att förlänga ett bråk innebär att täljare och nämnare multipliceras med samma tal.

17 17 · 5 85 = = 20 20 · 5 100

Här har vi förlängt med 5.

Andel

1 år = 12 mån = 365 dygn

1 timme (h) = = 60 minuter (min) = = 3 600 sekunder (s)

1 år ≈ 52 veckor 1 skottår = 366 dygn

1 kvart = 15 min

1 kvartal = 3 månader

delen det hela En andel kan skrivas i bråkform, procentform eller decimalform.

Andelen =

1 min = 60 s

1 dygn = 24 timmar

Procent

Mellan sträcka (s), hastighet (v) och tid (t) finns sambandet: s=v∙t

Ordet procent betyder ”hundradel”.

1 = 0,01 1%= 100 2 2 kr av 5 kr = = 0,4 = 40 % 5 delen

det hela

bråkform

decimalform

procentform

Matematik X är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp

matematIK X

Sträcka, tid och hastighet

matematIK X

Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.

Bas

Utmaning

matematik

matematik

Lärarrguid de Med d be edömningsstö öd

och h extram materia al

SAnnolikhet och statistik matematik

Sannolikhet

Lägesmått

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Medelvärde

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla värden och sedan dividera med antalet värden.

Om vi kallar en händelse för A så gäller att: P(A) + P(inte A) = 1

Median

4 2 6 7 3 n = 22

10 8

f

Linjediagram

10

milj. inv. folkmängd 4

8

6

6

4

4

2

2 1

Omslag X original.indd 1

Stapeldiagram

2

3

4

5

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Frekvens f

1 2 3 4 5

1

Utmaning X

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Lärarguide X

matematik

Matematik XYZ hemsida

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Tabeller och diagram Antal rätt x

Bas X

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

Undvall Johnson Welén

Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Stolpdiagram

1

www.matematikxyz.com

Median är det värde som finns i mitten om alla värden skrivs i storleksordning. Om det finns två värden i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två värdena.

Typvärde

Frekvenstabell

Matematik X

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt

matematik

Cirkeldiagram

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

12 %

3

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

Best.nr 47-11593-8 Tryck.nr 47-11593-8

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2017-03-03 09:00

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny WelĂŠn

matematIK X Liber

s 1-5 X-boken Framvagn SLUTKORR.indd 1

2017-02-23 08:52

SÅ HÄR ANVÄNDER DU matematIK X matematik X innehåller fem kapitel som är uppdelade i avsnitt. I avsnitten finns det uppgifter på tre nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå tre ger rejäla utmaningar.

Du kan välja att arbeta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bas X med enklare uppgifter. Om nivå tre inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaning X .

Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering.

P

Problemlösning

B

Begrepp

M

Metod

R

Resonemang

K

Kommunikation

Kapitlen innehåller: Ingress – En kort diagnos visar vad du redan kan och kan hjälpa dig att välja nivå. Här finns

även Centralt innehåll från kursplanen och en lista med matematiska begrepp ur kapitlet.

Inledningar – Vid exemplen på lösningar hittar du kommentarrutor. De blåa rutorna

hjälper dig med metoder och resonemang. De röda rutorna hjälper dig att kommunicera matematiskt och redovisa dina lösningar på ett bra sätt.

Miniteman – När några uppgifter handlar om samma ämne är de inramade tillsammans med bild och bildtext. I bildtexten finns det information som behövs för att lösa uppgifterna.

Ledtrådar – Till en del uppgifter finns det ledtrådar som du kan ta hjälp av. Dessa uppgifter

är markerade med ett

L

.

Aktiviteter – Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Aktiviteterna belyser centrala matematiska begrepp.

När du har gjort Blandade uppgifter från hela kapitlet och en Diagnos går du vidare till Träna eller Utveckla.

Förmågorna i fokus hjälper dig att utveckla en eller ett par förmågor i taget. Uppgifterna finns i slutet av varje kapitel.

Kapitlen avslutas med en Sammanfattning av centrala begrepp och metoder.

Det finns fyra Läxor till varje kapitel. Läxorna innehåller först uppgifter från de avsnitt som du senast har arbetat med och sedan uppgifter som repeterar sådant du jobbat med tidigare.

Lennart, Kristina och Conny

3

s 1-5 X-boken Framvagn SLUTKORR.indd 3

2017-02-23 08:52

1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

6

1.1

Naturliga tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2

Numeriska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Träna Taluppfattning och tals användning . . . 54

1.3

Hela tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Utveckla Taluppfattning och tals användning 57

1.4

Rationella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.5

Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.6

Multiplikation och division . . . . . . . . . . 35

1.7

Division med stora och små tal . . . . . . 40

1.8

Avrundning och överslagsräkning . . . 45

2 ALGEBRA

66

2.1

Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.2

Mönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Träna Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.3

Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . 78

Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.4

Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.5

Problemlösning med ekvation . . . . . . . 88

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.6

Ekvationer med obekanta i båda leden 93

3 GEOMETRI

112

3.1

Prefix och enheter. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.2

Längd och skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.3

Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Utveckla Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.4

Vinkelsumma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.5

Omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.6

Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4

s 1-5 X-boken Framvagn SLUTKORR.indd 4

2017-02-23 08:52

4 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

164

4.1

Proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.2

Tid och rörelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Träna Samband och förändring . . . . . . . . . . . 207

4.3

Sträcka, tid och hastighet . . . . . . . . . . 176

Utveckla Samband och förändring . . . . . . . . 211

4.4

Andel i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.5

Andel i procentform (I) . . . . . . . . . . . . 187

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.6

Andel i procentform (II) . . . . . . . . . . . 192

4.7

Hur stor är delen? . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5 SANNOLIKHET OCH STATISTIK

220

5.1

Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

5.2

Tabeller och diagram . . . . . . . . . . . . . . 228

Träna Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . 258

5.3

Relativ frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Utveckla Sannolikhet och statistik . . . . . . . . 261

5.4

Lägesmått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

5.5

Lägesmått från tabeller och diagram 244

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

5.6

Cirkeldiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Läxor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Problemlösningsstrategier. . . . . . . . . . . . . . . . 316 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

5

s 1-5 X-boken Framvagn SLUTKORR.indd 5

2017-02-23 08:52

KAN DU DET HÄR? 1 Vilken siffra är tiondelssiffra i talet 13,725?

A: 7 B: 1

C: 2

ETT D: 5

2 Hur mycket är 100 · 1,25?

A: 0,125

B: 12,5

C: 125

D: 1 250

3 4

3 Vilket tal är lika med 1 ?

A:

13 4

B:

4 7

C:

4 13

B: 0,95

7 4

TVÅ

1 4

4 Hur mycket är 0,7 + ?

A: 0,9

D:

C: 0,714

D: 0,84

5 Vilket svar får du om du avrundar 1,7853 till hundradelar?

A: 1,77 B: 1,78

C: 1,79

D: 1,80

6 Hur mycket är 150 · 300?

A: 4 500 000 C: 45 000

B: 450 000 D: 450

7 Vilket tal är lika med ”trettiotre hundradelar”?

A: 3,33 B: 0,33 C: 0,033

TRE D: 30,30

8 Hur mycket är 0,03 · 0,7?

A: 0,21

B: 0,0021 C: 2,1

D: 0,021

9 Hur mycket är 32 – 8 / 4 + 6?

A: 12

B: 2,4

C: 36

D: 31,2

6

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 6

2017-02-23 08:54

1 tal

1 Taluppfattning och tals användning

naturliga tal

Rationella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.

jämna tal udda tal primtal

Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik.

Metodernas användning i olika situationer.

delbarhet negativa tal olikhetstecken rationella tal

Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

bråkform blandad form decimalform positionssystemet addition subtraktion multiplikation division

Begrepp

utvecklad form

Vilka begrepp känner du till sedan tidigare?

Kan du beskriva dem?

avrundning närmevärde

överslagsräkning

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 7

2017-02-23 08:54

Naturliga tal

1.1

Det är skillnad på siffror och tal Det finns tio siffror:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 Ett tal består av en eller flera siffror. Med de tio siffrorna kan vi bilda hur många tal som helst. Med siffran 3 kan vi till exempel skriva talen 3, 33 och 333.

Den plats en siffra har i ett tal kallas position. I vårt positionssystem är det en siffras position i ett tal som avgör siffrans platsvärde. I till exempel talet 4 327 har siffran 3 platsvärdet 3 · 100 = 300.

Om vi använder oss av siffrornas platsvärden så kan talet 4 327 skrivas så här:

4 327 = 4 000 + 300 + 20 + 7 Talet sägs då vara skrivet i utvecklad form.

tusentalssiffra hundratalssiffra tiotalssiffra

4327

entalssiffra

40 00 300 20 + 7 4 3 27

4 tusental 3 hundratal 2 tiotal 7 ental

Att vi har 10 siffror är troligtvis för att vi har 10 fingrar.

8

1.1

N AT U R L I G A TA L

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 8

2017-02-23 08:54

Olika slags tal 1 tal

Talen 0, 1, 2, 3, 4 … kallas med ett gemensamt namn för naturliga tal.

Dessa tal kan sedan delas in i grupper, till exempel jämna tal och udda tal.

Primtal är naturliga tal som är större än 1 och som endast är delbara med 1 och sig självt. I tabellen finns de sju första primtalen.

Sammansatta tal är tal som kan delas upp som en multiplikation av primfaktorer.

Till exempel kan talet 30 skrivas 2 · 3 · 5. I tabellen finns de nio första sammansatta talen.

Naturliga tal

0

Jämna tal

0

Udda tal

1

2 2

1

Primtal

2

Sammansatta tal

3

4

5

4

6

7

6 5

7

3

5

7 6

9

8

3

4

8

10 10

9

8

11

9

10

12

13

12

14

15

14

11

13

11

13 12

16

Uppdelning i primfaktorer

…

16 15

14

17

15

…

17

…

17

…

16

…

60

När stora sammansatta tal ska delas upp i primfaktorer, kan man använda så kallade faktorträd. Med ett sådant kan uppdelningen ske i flera steg.

I det här faktorträdet ser du hur talet 60 kan delas upp i primfaktorer.

Vi ser att 60 = 2 · 5 · 2 · 3 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5.

2

30 6

5 2

3

Delbarhet Talet 20 är delbart med till exempel 4 och 5. Med det menas att det inte blir någon rest när 20 divideras med något av dessa tal. För att lätt kunna avgöra om ett tal är delbart med ett annat tal så finns det några delbarhetsregler som är bra att känna till.

Delbart med…

Regel

Till exempel…

2

Den sista siffran i talet ska vara jämn, det vill säga 0, 2, 4, 6 eller 8.

talet 576, eftersom sista siffran är 6 – ett jämnt tal.

3

Talets siffersumma ska vara delbar med 3.

talet 516, eftersom 5 + 1 + 6 = 12, vilket är delbart med 3.

4

Talets sista två sista siffror ska bilda ett tal som är delbart med 4.

talet 712, eftersom 12 är delbart med 4.

5

Den sista siffran ska vara 0 eller 5.

talet 265, eftersom sista siffran är 5.

1.1

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 9

N AT U R L I G A TA L

9

2017-02-23 08:54

ETT 1

Skriv talen med siffror.

B

a) 849

b) 8 309

b) tolvtusen femton

c) 12 586

d) 84 167

6

d) en miljon

3

Vilket värde har siffran 8 i talen?

a) sjutusen tvåhundratolv c) femtiotvåtusen trehundra

2

5

Bilda med siffrorna 2, 3, 1, 9 och 5 ett tal som är så nära 20 000 som möjligt.

P B

Vilka av talen i rutan är delbara med a) 2

b) 3

18

21

B M

7 8

c) 5

35

40

Skriv talen i utvecklad form. a) 742

b) 6 837

c) 20 805

d) 120 580

Förklara varför 17 är ett primtal, men inte 15.

Vilket tal är jag?

B

B M

B R

P B K

– Jag är större än 10 men mindre än 30.

60

– Jag är ett primtal.

– Summan av mina siffror är 10.

4

Dela upp talen i primfaktorer. a) 9

b) 10

c) 21

d) 18

B M K

9

10

Antalet månar i solsystemet är delbart med 2 och 3. Hur många månar finns P B det i solsystemet?

K

Skriv avståndet till månen med siffror.

B

Det finns mellan 170-180 månar i vårt solsystem.

Avståndet till vår måne är trehundraåttiofyratusen fyrahundra kilometer.

10

1.1

N AT U R L I G A TA L

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 10

2017-02-23 08:54

11

Skriv talen med siffror.

B

16

a) tjugofemtusen sextiofem b) tvåhundrafemtiotusen etthundrafem

a) 2

c) etthundrasextusen tjugofem d) en halv miljon

12

b) 40

c) 40 000

d) 4

4 315 5 419

13

B

17

18

746 9 314 45 136

2

4

d) 5

5

Dela upp talen i primfaktorer. a) 42

b) 60

c) 72

d) 300

7 B M K

a) Vilka är de tre följande talen i den här talföljden? L

P

b) Förklara varför.

B R

b) 4

B M

c) 5

19 42

15

c) 4

B

1 4 6 8 9 10 12 14 15 16 …

Vilka av talen i rutan är delbara med a) 3

14

b) 3

0

I vilket av talen i rutan har siffran 4 värdet a) 400

Vilken eller vilka av siffrorna i rutan kan ersätta frågetecknet så att det fyrsiffriga talet 3 83 ? är delbart med P

1 tal

TVÅ

50

112

123

200

Det finns bara ett primtal som är ett jämnt tal. Varför är det så?

20

Hur många gånger starkare än solen lyser stjärnan R136a1 om talet är P delbart med 3 och 4?

B K

Skriv avståndet till solen med siffror.

B

B R

Skriv två femsiffriga tal som har två treor. Den ena trean ska ha 100 gånger P B så stort värde som den andra.

Solen är vår närmaste stjärna. Den är etthundrafyrtionio miljoner sexhundratusen kilometer bort. På grund av sin enorma storlek är R136a1 en av de starkast lysande stjärnorna vi känner till. Den lyser 260-270 gånger starkare än solen.

R136a1

blå superjätte

solen

liten röd dvärg

1.1

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 11

N AT U R L I G A TA L

11

2017-02-23 08:54

TRE 21

Skriv talen med siffror.

B

25

a) en kvarts miljon b) en och en halv miljard

22

Vilka tal saknas i faktorträden? a)

b)

72

2

y

2

2

3

23

24

Talen 153, 9 693 och 15 318 är alla delbara med 9. Men det är inte till exempel talen 6 762 och 12 345. Försök formulera en regel som gäller för tal som är P B R delbara med 9. L

27

Sidorna i en tidning är numrerade med sammanlagt 198 siffror. Hur många P B K sidor har tidningen? L

28

Talen 108, 252 och 594 är alla delbara med 6. Men det är till exempel inte talen 524 och 314. Försök att formulera en regel som gäller för tal som är delbara P B R med 6. L

29

Kalle samlar på bilder av ishockeyspelare. Han vet att han har färre än 50 bilder. När Kalle lägger bilderna i tre högar med lika många i varje, får han två bilder över. När han lägger bilderna i fyra högar, blir det tre bilder över.

Men om han lägger bilderna i fem högar, blir det ingen bild över. Hur P K många bilder har Kalle? L

30

De hundra första primtalen multipliceras med varandra.

x

y

5

z

z

B

26

225

5

x

B M

Två udda tal, som följer efter varandra och som båda är primtal, kallas för primtalstvillingar. Vilka är de fyra P första primtalstvillingarna?

z

3

Dela upp talen i primfaktorer. a) 54

b) 90

c) 120

d) 252

B M K

Ett personnummer består av tio siffror.

Cajsas personnummer är etthundrasex miljoner tvåhundratjugofemtusen trehundratjugonio. a) Skriv Cajsas personnummer med siffror. L

B

b) När är Cajsa född?

B

c) Bilden är tagen den 22 maj 2010.

Hur gammal var Cajsa då? Svara M i år och månader.

K

a) Vilken är den sista siffran i produkten? L

P B

b) Förklara varför.

R

utmaning X KAPITEL 1

12

1.1

N AT U R L I G A TA L

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 12

2017-02-23 08:54

Numeriska uttryck 1 tal

1.2

De fyra räknesätten ADDITION

SUBTRAKTION

54 + 39 = 93 term term

125 – 97 = 28

summa

term term

MULTIPLIKATION

DIVISION

12 · 35 = 420 faktor faktor produkt

differens

täljare

65 __ = 13 5

nämnare

kvot

Uttryck med flera räknesätt och parenteser När det förekommer flera räknesätt i en uppgift är det viktigt att beräkningarna görs i rätt ordning. Det finns så kallade prioriteringsregler som vi måste följa.

PRIORITERINGSREGLER 1. Först räknas det som är innanför parentes.

2. Sedan utförs multiplikation och division.

3. Till slut utförs addition och subtraktion.

I det numeriska uttrycket 15 + 9 / 3 ska alltså divisionen beräknas först.

Vi får då 15 + 3 = 18.

Men om vi vill att additionen ska beräknas först, sätter vi en parentes runt 15 + 9.

Vi får då (15 + 9) / 3 vilket är lika med 24 / 3 = 8.

1.2

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 13

NUMERISKA UTTRYCK

13

2017-02-23 08:54

EXEMPEL

Esra köper ett nagellack och tre hårsnoddar.

Teckna ett uttryck och beräkna sedan hur mycket hon ska betala.

89 kr

8 kr/st

Ska betala: (89 + 3·8) kr = (89 + 24) kr = 113 kr

K • Presentera och teckna din beräkning.

För att få rätt svar måste du räkna multiplikationen först, det vill säga vad hårsnoddarna kostar sammanlagt.

• Skriv mellanleden med enheter.

• Parentesen gör att du bara behöver skriva enheten en gång per led.

Svar: Esra ska betala 113 kr.

• Svara med hel mening.

EXEMPEL

a) 25 + 3 · 7

b) 7 · 3 – 36 / 4

c) (28 + 12) / 5

a) 25 + 3·7 = 25 + 21 = 46

Multiplikationen beräknas först.

b) 7·3 – 36 / 4 = 21 – 9 = 12

Multiplikationen och divisionen beräknas först.

c) (28 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8

Parentesen beräknas först.

K • Skriv av uppgiften.

Svar: a) 46

b) 12

c) 8

• Visa mellanledet i dina beräkningar.

• Skriv svar.

14

1.2

NUMERISKA UTTRYCK

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 14

2017-02-23 08:54

ETT

32

33

a) 452 + 295

b) 1 675 + 417

c) 311 – 259

d) 1 205 – 712

a) 3 · 143 723 c) 3

b) 675 · 5 d) 1 132 / 4

35 M K

M K

Vilket eller vilka av talen i rutan är en a) faktor

b) summa

c) kvot

d) term

B

a) Teckna ett uttryck för hur många kronor som Magda ska betala.

B

b) Räkna ut hur mycket Magda ska betala.

M

36

a) 7 · (2 + 18) b) 40 / (10 – 5)

37

När Leo räknar 16 – 3 · 4 tänker han så här:

16 + 19 = 35

M K

3·4 är lika med 12 och 12 – 16 är lika med 4.

Det stämmer med facit.

Alltså har jag tänkt rätt.

7 ∙ 13 = 91 45 / 9 = 5

34

En apelsin kostar 5 kr och ett äpple 4 kr. Magda köper två apelsiner och tre äpplen.

1 tal

31

a) 22 – 3 · 5 b) 15 / 3 – 2 c) 5 · 9 – 3 · 10 d) 16 / 2 + 24 / 3

Förklara vilket fel Leo gör.

M R

M K

38

Fem lyktstolpar står i en rad på lika avstånd från varandra. Det är 80 m från den första stolpen till den sista. Hur långt är det mellan två stolpar? L P K

39

I ett stort skogsområde i Japan fanns det sjutusen etthundrafem flygekorrar. Hur många färre än tiotusen är det? B M K

40

För att komma undan fiender glidflyger flygekorrarna mellan träden.

Hur många träd behöver en flygekorre minst för att den ska kunna glidflyga P K 250 m? L

De enda EU-länder som har flygekorrar är Finland och Estland. En flygekorre kan glidflyga upp till 50 m.

1.2

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 15

NUMERISKA UTTRYCK

15

2017-02-23 08:54

TVÅ 536 b) 2 317 – 745 8 Vilket eller vilka av talen ovan är en

41

a)

c) term

d) nämnare

42

a) 423 · 5

b) 673 + 84 + 9

43

Marie subtraherar ibland så här:

M K

46

B

Rita av kvadraten. Skriv sedan in talen 13, 29, 45, 53, 61 och 69 i de tomma rutorna så att summan i alla rader vågrätt, lodrätt och diagonalt blir 111. P M

21 5 37

M K

93 – 19 = 83 – 9 = 74

44

a) Hur tror du att hon tänker?

M R

b) Räkna 72 – 16 på samma sätt.

M K

a) 40 / 4 + 6

b) 40 + 4 · 6

c) 40 / (4 + 6) d) (40 – 4) / 6

45

M K

47

b) 15 – 3 · (4 + 3) + 11

48

Ett skidspår är 4 km långt. Johan tänker åka 60 km som träning inför Vasaloppet. a) Teckna ett uttryck för hur många kilometer Johan har kvar att åka när han har åkt 11 varv. b) Räkna ut hur långt han har kvar att åka.

a) (30 – 5) / 5 + 9

I subtraktionen står bokstäverna för olika siffror. Du får veta att R = 8.

Vilka siffror finns då bakom de övriga bokstäverna? L

B

M K

Valrosshonor blir ofta dräktiga som fyraåringar och kan sedan föda en unge vart tredje år under hela sitt liv. a) Teckna ett uttryck för hur många ungar de kan föda under sitt liv. b) Räkna ut hur många ungar det kan bli.

50

Valrossen lever i de arktiska haven och på isen vid Nordpolen. Den kan bli närmare 40 år gammal. När valrossen dyker efter mat kan den stanna under ytan i hela fem minuter.

1.2

P

RAR –ADA AAA

49

16

M K

B

M K

Valrossen kan dyka efter mat flera dygn i sträck utan att vila. Hur många dykningar kan den göra som mest per dygn? Utgå från att valrossen stannar under ytan så länge den kan och att den hämtar andan P K en minut mellan varje dyk. L

NUMERISKA UTTRYCK

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 16

2017-02-23 08:54

51

54

a) 0 + 1 · 2 + 3 · 4 + 5 b) 75 – 20 · (5 – 2)

52

M K

a) Hur tror du att Mustafa tänker när M han räknar så här?

25·14 = 50·7 = 350

a) 145 + 1 231 – 678 b) 5 432 / 8 – 5 · 123

M K

Räkna på samma sätt.

53

Längs en väg ligger fyra byar: A-by, B-by, C-by och D-by. Rita av tabellen och fyll i de tal som saknas. Måtten är i kilometer. L A-by

R

1 tal

TRE

B-by

C-by

b) 35 · 18

55 P

A-by

0

15

47

?

B-by

15

0

?

53

C-by

47

?

0

?

D-by

?

53

?

0

c) 55 · 16

a) Vem har räknat rätt? b) Vilket fel har den andra gjort?

D-by

M K

M M R

Agnes 16 – 10·(14 – 11) + 5·8 = = 16 – 10·3 + 5·8 = = 6·3 + 5·8 = = 18 + 40 = = 58 Matilda 16 – 10·(14 – 11) + 5·8 = = 16 – 10·3 + 5·8 = = 16 – 30 + 40 = = 56 – 30 = = 26 56

57

Summan av fem olika naturliga tal är 25. Produkten av talen är 945.

Vilka är de fem talen om alla är P ental? L

Linda samlar på mynt. Hon har dubbelt så många enkronor som femkronor.

Sammanlagt är mynten värda 1 260 kr.

Hur många mynt har Linda av varje P K sort? L

1.2

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 17

B K

NUMERISKA UTTRYCK

17

2017-02-23 08:54

58

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Viktor skjuter fyra skott med luftgevär.

Sammanlagt får han 24 poäng. Medelvärdet per skott är alltså 6 poäng. a) Lina skjuter också fyra skott och får medelvärdet 7 poäng. Ge två förslag på hur Linas skott kan ha träffat. P

1 2 3 4 5 6 7 8 9

b) Mendez skjuter tio skott. Han räknar ut att medelvärdet blev 9. Kan han ha missat något skott? Förklara P R hur du tänker.

59

Studera talföljden 16, 24, 40, 56, 88.

Dela upp talen i primfaktorer. När du ser mönstret kan du sen räkna ut vilket nästa tal i talföljden är.

P Vilket är det?

60

B K

10

9 8 7 6 5 4 3 2 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

B

Med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6 kan man bilda 720 sexsiffriga tal. Om alla tal skrivs i storleksordning med det minsta först, vilket tal kommer som nummer P K 241? L utmaning X KAPITEL 1

AKTIVITET: Räknar miniräknaren alltid rätt?

Materiel: Antal deltagare:

Miniräknare 1–2 st

Räknar miniräknaren alltid rätt? Svaret är ja, om du använder den på rätt sätt. Det kommer du att märka när du löser uppgifterna.

A Lös alla uppgifter utan miniräknare.

1 a) 12 + 3 · 5

b) (12 + 3) · 5

c) (12 + 3) / 5

2 a) 25 + 5 / 5 c)

25 + 5 5

b)

15 ⋅ 3 5

25 + 5 15 − 5

15 3⋅5 15 − 5 c) 5

3 a)

b)

B Lös uppgifterna med miniräknare.

C Om du får olika svar i A och B, så använder du kanske miniräknaren fel.

Försök komma på hur du ska göra för att använda miniräknaren rätt. Jämför med en kompis.

18

1.2

NUMERISKA UTTRYCK

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 18

2017-02-23 08:54

Hela tal 1 tal

1.3

Negativa och positiva heltal I vissa sammanhang möter man negativa tal.

Det kan till exempel vara i en hiss eller på en termometer.

Den här termometern visar –10 °C. På en tallinje finns de negativa talen till vänster om 0.

°C 40 30 20 10 0 – 10

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

– 20

5

– 30

negativa tal

–11

Hela tal

De naturliga talen och de negativa hela talen bildar tillsammans de hela talen.

I bilden ser du vilka tal som tillhör de båda talmängderna. Bilden visar till exempel att –11 är ett heltal men inte ett naturligt tal.

Talet 6 däremot är både ett heltal och ett naturligt tal.

–23 Naturliga tal 9

2 6 5

0

–2

– 40

positiva tal

–5 –7

Jämföra tal –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Ju längre åt höger på en tallinje ett tal finns, desto större är det.

Till exempel är 3 ett större tal än −5 och −9 är ett mindre tal än 0.

Vi kan skriva så här: 3 > −5

3

–5

−9 < 0

Tecknet > betyder ”är större än”.

Tecknet < betyder ”är mindre än”.

Med ett gemensamt namn kallas tecknen < och > för olikhetstecken.

Tänk dig olikhetstecknet som munnen på en krokodil som alltid gapar stort mot det större talet.

1.3

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 19

H E L A TA L

19

2017-02-23 08:54

Addition och subtraktion EXEMPEL

a) –8 + 5

b) –2 – 3

c) –5 + 2 · 4

a) –8 + 5 = –3 –9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

Du kan visa beräkningen på en tallinje.

Du startar på talet –8. Därifrån ritar du en pil som går fem steg åt höger. Du ska gå åt höger eftersom talen på en tallinje blir större när du går åt höger.

Pilen slutar vid talet –3, vilket alltså är svaret.

–2

b) –2 – 3 = –5 –6

–5

–4

–3

–2

Du börjar på talet –2 och ritar en pil som går tre steg åt vänster. Du ska gå åt vänster eftersom talen på en tallinje blir mindre när du går åt vänster.

–1

c) –5 + 2·4 = –5 + 8 = 3 –5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

Räkna multiplikationen först.

3

4

K • Skriv av uppgiften.

Svar: a) –3

b) –5

c) 3

• Visa mellanledet i dina beräkningar.

• Skriv svar.

EXEMPEL

a) En höstdag visar termometern 3 °C. Teckna ett uttryck för hur många grader termometern visar om temperaturen sjunker 9 °C. b) Vilken blir temperaturen?

K

a) (3 – 9) °C b) Ny temperatur: (3 – 9) °C = –6 °C Svar: a) (3 – 9) °C

b) Temperaturen blir –6 °C.

• Teckna din beräkning.

• Skriv enheter i alla steg.

• Parentesen gör att du bara behöver skriva enheten en gång per led.

• Svara med hel mening.

20

1.3

H E L A TA L

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 20

2017-02-23 08:54

61

Vilka uträkningar visas?

M

a) 2

3

4

5

6

7

8

9 10

–4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6

7

–2 –1 0

1

67

a) 5 – 2 · 4

68

Stella har löst en uppgift så här:

b) –9 + 3 · 4

12 – 7·3 = 21 – 12 = 9

b)

a) Förklara vilket fel hon har gjort.

62

63 64 65

8

b) Vad är det rätta svaret?

Vilket tecken saknas, > eller <? a) 4 ? 9

b) 2 ? –3

c) –2 ? 0

d) –5 ? –3

a) 1 – 6

b) –3 – 1

c) –5 + 9

d) 4 – 3 – 3

a) 2 – 8

b) –14 + 14

c) –4 + 7

d) –1 – 2 – 3

a) Teckna ett uttryck för hur många grader termometern visar om temperaturen sjunker 10 °C.

M K

1 tal

ETT

B

69

M R M

När du har kommit på sambandet mellan talen kan du räkna ut vilket tal som ska stå istället för X. Vilket tal då? L P

1

3

M

7 6 11

M

°C 40

X 24 25

30 20 10

B 0

b) Räkna ut vilken temperaturen blir.

– 10

M

– 20 – 30 – 40

66

a) Teckna ett uttryck för hur många grader som termometern visar om temperaturen stiger 8 °C. b) Räkna ut vilken temperaturen blir.

°C 40 30 20 10

B

0 – 10

M

– 20 – 30 – 40

1.3

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 21

H E L A TA L

21

2017-02-23 08:54

TVÅ 70

Vilken uträkning visas?

M

a) –5 – 4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

75

a) –3 + 18 / 2 b) 4 – 25 / 5

76

I hissar ser man ibland negativa tal på knapparna. Om du till exempel åker till den våning som heter –2 så innebär det att du åker till andra våningen under markplanet.

b) –5 – 4 –3 –2 –1

71 72

a) –8 + 4

b) 3 – 9

c) –5 + 8

d) –7 + 2 + 3

Antag att du åker från våning –1.

Teckna ett uttryck för, och räkna sen ut, på vilken våning du hamnar om du åker

M

a) sex våningar uppåt Vilket tecken saknas, >, = eller <?

B

a) –2 ? –9

b) 2 – 3 ? –1

73

a) –4 – 2 · 4

b) –7 + 3 · 4

74

När Elise ska räkna ut −4 + 10 räknar hon så här:

b) en våning uppåt

Vilket tal saknas? a) 10 b) –20

b) Räkna –3 + 14 med samma metod.

78 R

3

–4 –19

–11 –17

? ?

–10

B R

M K

Alla naturliga tal är hela tal.

Benjamin 1.3

P K

P

Vem har rätt av Benjamin och Joel?

Förklara varför med hjälp av exempel.

Alla heltal är naturliga tal.

22

M

c) fem våningar nedåt och sedan tre våningar uppåt

77

a) Förklara hur du tror att hon tänker.

B M

Antag att du kliver ur hissen på våning –2. På vilken våning steg du in i hissen om du åkt

M K

−4 + 4 = 0 0+6=6

M K

Joel

H E L A TA L

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 22

2017-02-23 08:54

79

a) 4 – 5 · 2

80

Vilket tecken saknas, =, > eller <?

b) –8 – 3 · 3

M K

84

B M

Vilket tal är C om avståndet mellan A och C är en tredjedel av avståndet mellan A och B? A

a) –8 + 3 ? 10 – 2 b) 5 – 11 ? 1 – 15 / 3

81

82

83

C

B

–35

Vilka värden saknas?

M

Temp var

Temp steg

Temp sjönk

Temp blev

0 °C

3 °C

8 °C

A

–5 °C

4 °C

B

–12 °C

–8 °C

C

7 °C

2 °C

70

Vilket tal saknas? b) 12 – ? – 4 = –9

86

Vilket tal ska stå i rutorna? Det ska vara samma tal i alla tre. Det finns två lösningar. Försök komma på båda. P

K

12 + ? · ? – 7 · ? = 0

87

Rita av kvadraterna nedan. Fyll sen i de tomma rutorna med tal så att summan är lika stor i alla rader: vågrätt, lodrätt P B och diagonalt. a)

b)

K

–4 12 3

0 Luften består av 78 % kväve, 21 % syre och 0,9 % argon. Kväve blir vätska vid –196 °C, syre vid –183 °C och argon vid –189 °C.

P K

a) ? + 3 – 9 = –5

Gaserna i luften blir vätska om man kyler dem. Tänk dig att vi sakta kyler luft till –200 °C. Vilken av gaserna blir först R flytande? Förklara hur du tänker.

Hur många graders skillnad är det mellan de temperaturer då kväve och M syre blir flytande?

85

P

1 tal

TRE

–3

5

Summa: 0

Summa: 9

utmaning X KAPITEL 1

1.3

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 23

H E L A TA L

23

2017-02-23 08:54

förmågorna i fokus

VAD MINNS DU?

1 Vad kallas talet 84 i multiplikationen 12 · 7 = 84?

A: summa C: kvot

3 000 · 0,08 = ?

B: produkt D: term

2 Vilket tal är störst?

A: 1,19 C: 1,2

B: 1,199 D: 1,1999

2 kan man 0,04 börja med att multiplicera täljare och 2 ⋅ 100 nämnare med 100, så här: 0,04 ⋅ 100 Vad kallas det när man multiplicerar så här?

jämna tal udda tal

A: förstoring C: förkortning

primtal delbarhet

B: förlängning D: division

4 Hur mycket är 47,5 / 10?

A: 0,475 C: 475

negativa tal

B: 47,5 D: 4,75

olikhetstecken rationella tal

5 Vad kallas talet 12 i subtraktionen

bråkform blandad form

19 – 7 = 12?

A: differens C: produkt

A: 300 · 8 C: 3 · 0,8

B: 30 · 80 D: 30 · 8

7 Talet 56,789 ska avrundas till heltal.

3 När man ska räkna ut

naturliga tal

6 Vilket alternativ är rätt?

B: kvot D: summa

decimalform

Vilken siffra är avrundningssiffra?

A: 5 C: 7

B: 6 D: 8

8 Vilken avrundning är riktig om talet ska avrundas till tiondelar?

A: 17,83 ≈ 18,0 C: 0,849 ≈ 0,9

B: 213,7 ≈ 210 D: 9,34 ≈ 9,3

9 När talet 3,45 skrivs som 3 + 0,4 + 0,05 är det skrivet i A: utåtriktad form B: utbuktad form C: utvecklad form D: utpressad form

10 Hur mycket är 0,97 · 88?

A: litet mindre än 88 B: litet mer än 88 C: mycket mindre än 88 D: mycket mer än 88

11 Vilket tal är täljare i bråket 1 2 ?

positionssystemet

A: 1

B: 2

addition

C: 3

D:

subtraktion multiplikation division

Välj tre av begreppen och beskriv hur de hör ihop.

utvecklad form

3

2 3

12 Vilket av talen är inte lika med 0,2?

1 5 2 C: 100

A:

20 100 3 D: 15

B:

avrundning närmevärde överslagsräkning 58

1.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 58

2017-02-23 08:56

1 tal

förmågorna i fokus

VEMS PÅSTÅENDE STÄMMER? 2 på rätt plats.

3 Talen x, y och z finns bland talen i rutan.

I bilden står talen 9, –11 och

• x är ett naturligt tal • y är ett heltal • z är ett rationellt tal

3 4

11 0

Rationella tal Hela tal Naturliga tal

–4

9

1,7

2 3

–11

A

x kan vara 0 eller 11, y är –4 och z är 1,7.

B

z kan vara vilket av talen som helst.

Jag tror att x är 0 eller 11, y är –4 och z kan vara vilket av talen som helst.

Jag vet i alla fall att 0 och 11 kan vara x.

D C

– Är det något eller några av påståendena som stämmer?

Diskutera med en kompis och kom överens.

VEMS METOD ÄR KORREKT? Beräkna 17 + 7 · 2 – 10 / 2.

Anya Bill Carl

17 + 7·2 – 10 / 2 = 14 – 5 = 9 + 17 = 26 17 + 7·2 – 10 / 2 = 17 + 14 – 5 = 26 17 + 7·2 – 10 / 2 = 24·2 – 10 / 2 = 48 – 5 = 43

– Vem har löst uppgiften korrekt?

– Vilka fel har de andra gjort?

1.

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 59

FÖRMÅGORNA I FOKUS

59

2017-02-23 08:56

förmågorna i fokus

FYRFÄLTSPROBLEM – SKAKA HAND På ett kalas träffas 10 personer.

Alla skakar hand med alla.

Hur många handskakningar blir det sammanlagt?

RITA EN BILD

TÄNK LOGISKT

HITTA MÖNSTER

EGEN STRATEGI

Matematiska problem kan lösas på olika sätt – med olika strategier.

På sidorna 316–320 här i boken finns exempel på sådana strategier.

I rutorna ser du tre förslag på strategier som du kan använda för att lösa problemet, men kanske kommer du även på en egen fjärde strategi.

RÄKNA OCH HÄPNA – RÄKNA TILL EN MILJON Tänk dig att du ska räkna till en miljon och att varje tal ska sägas tydligt.

Hur lång tid skulle det ta?

E C A P B M R K

1 Gissa hur lång tid du tror att det skulle ta? Tänk på att de flesta talen är sexsiffriga och att du inte kan räkna dygnet runt. Du måste äta, sova och gå på toaletten också.

2 Räkna fram ett svar.

3 Räkna ut hur lång tid det skulle ta att räkna till en miljard.

60

1.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 60

2017-02-23 08:56

RESONERA OCH UTVECKLA – MAGISKA MÅTT

E C A P B M R K

Ålder

1 tal

förmågorna i fokus

1 a) Skriv ett tvåsiffrigt tal, vilket som helst, till exempel din mammas ålder. b) Kasta om talets siffror så att du får ett nytt tvåsiffrigt tal. c) Beräkna differensen av det största och det minsta av de två talen. d) Upprepa samma sak med det nya tvåsiffriga talet. e) Fortsätt på samma sätt tills du får ett ensiffrigt tal. Vilket är det?

2 Upprepa samma räkneprocedur med ett nytt tvåsiffrigt tal.

3 Beskriv resultatet av din undersökning. Jämför ditt resultat med en kompis.

Längd

4 a) Skriv ett tresiffrigt tal, vilket som helst, till exempel din längd i centimeter. b) Skriv det tal som bildas om du vänder på talet. c) Beräkna differensen av det största och det minsta av de två talen. d) Upprepa samma sak med det nya tresiffriga talet.

5 Fortsätt på samma sätt tills du får ett tvåsiffrigt tal. Vilket är det?

Upprepa samma räkneprocedur med ett nytt tresiffrigt tal.

6 Beskriv resultatet av din undersökning.

Jämför ditt resultat med en kompis.

Skostorlek

7 a) Skriv ett tvåsiffrigt tal, vilket som helst, till exempel din skostorlek. b) Kasta om talets siffror så att du får ett nytt tvåsiffrigt tal. c) Beräkna differensen av det största och det minsta av de två talen. d) Differensen är lika med det tal man får om man tar den stora siffran i det tvåsiffriga talet minus den mindre siffran och sen multiplicerar med ett visst tal. Vilket tal då? e) Gör om undersökningen med ett annat tvåsiffrigt tal.

Jämför med en kompis.

8 Gör en liknande undersökning som den ovan men istället för att beräkna differensen av de två talen beräknar du summan.

Alla summor har något gemensamt. Vad?

1.

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 61

FÖRMÅGORNA I FOKUS

61

2017-02-23 08:56

förmågorna i fokus

VÄRDERA OCH REDOVISA – STORA OCH SMÅ DJUR A Till uppgiften finns fyra olika lösningar som alla leder fram till rätt svar.

– Vilken lösning är bäst?

– Vilka brister ser du i de andra lösningarna?

1 Vissa fladdermöss flyttar under vintern till varmare trakter. Vi antar att sträckan är 1 500 km, att flygturen tar 12 dygn och att fladdermössen flyger halva dygnet.

Hur många kilometer flyger de i så fall varje timme i genomsnitt? Avrunda till heltal.

62

Jasmine 1 500 ~ 10 km 144

Rebecca 24 / 2 = 12·12 = 144 1500 / 144 ~ 10 km Svar: 10 km

Wilhelm 24 / 2 = 12 timmar Antal timmar: 12·12 = 144 timmar Hur långt på en timme: 1500 / 144 = = 10,4166667... km = = 10 km Svar: De flyger 10 km varje timme.

Hassan 1/2 dygn = 24 / 2 h = 12 h Antal flygtimmar: 12·12 h = 144 h Genomsnitt: 1500 km /144 = = 10,416... km ~ 10 km Svar: Fladdermössen flyger 10 km per timme i genomsnitt.

1.

FÖRMÅGORNA I FOKUS

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 62

2017-02-23 08:56

1 tal

förmågorna i fokus

B Nu ska du arbeta med en kompis. Lös uppgift 2 var och en för sig.

Byt sedan lösningar med varandra.

– Är det enkelt att förstå hur din kompis har löst uppgiften?

– Är lösningen korrekt redovisad?

2 Den högsta dinosaurien, Sauroposeidon, var 18 m hög.

En våning i ett flervåningshus är ungefär 2,5 m hög.

Hur många våningar hög var Sauroposeidon? Avrunda till heltal.

C Lös uppgifterna 3–5 själv. Försök att redovisa så bra och korrekt som möjligt.

3 Hos en sorts mygga har man uppmätt 62 760 vingslag per minut.

Hur många vingslag per sekund motsvarar det? Avrunda till tusental.

4 Tyrannosaurus Rex var ungefär 15 m lång och 6 m hög.

Den kunde väga 10 ton och tänderna i munnen var 18 cm långa.

Hur lång skulle en Tyrannosarus Rex vara i skala 1 : 200? L

5 Den snabbaste dinosaurien var Dromiceiomimus.

Den kunde springa med en hastighet av 60 km/h.

Tänk dig att en Dromiceiomimus jagar ett djur som är 140 m bort och flyr med hastigheten 10 m/s.

Hur lång tid skulle det ta för Dromiceiomimus att springa ikapp bytet? L

1.

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 63

FÖRMÅGORNA I FOKUS

63

2017-02-23 08:56

Naturliga tal

0, 1, 2, 3, 4, 5 …

Negativa tal

–1, –2 –3, –4…

Hela tal

Rationella tal 5 8

De hela talen är de naturliga talen och de negativa hela talen.

Rationella tal

Tal som kan skrivas i bråkform. Även tal som 0,7 och 13 % är rationella tal eftersom de kan skrivas respektive

13 100

7

10 . Även hela tal är

rationella tal. Till exempel 6 = och −7 = −

7

0,7

– –11

Hela tal

7 2

–23 Naturliga tal –3,5

9

2 6

7 10

5

0

0,42

–2 13 %

6

–5 –7

13 100

42 %

1

.

1

Jämna tal

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 …

Udda tal

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 …

Primtal

Naturliga tal som är större än 1 och endast är delbara med 1 och med sig självt.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

Sammansatta tal

Tal som kan skrivas som en produkt av två eller flera primfaktorer.

Exempel på sammansatta tal är 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 och 21 = 3 · 7.

Bråkform

Exempel på tal i bråkform är täljare

5 3 Blandad form

Ett bråk som är större än 1 kan skrivas i blandad form.

5 3

Decimalform

nämnare

=1

2 3

Talet 0,15 är exempel på tal i decimalform.

Ett tal i bråkform eller blandad form kan skrivas i decimalform.

1 2

= 0,5

2

3 4

= 2,75

Positionssystemet Vilket värde en siffra har i ett tal beror på dess plats (position).

För varje position blir varje siffras värde 10 gånger större eller mindre.

Utvecklad form

64

1.

72,35 = 70 + 2 + 0,3 + 0,05

S A M M A N FAT T N I N G

s 6-65 LIBER X-boken kapitel 1 SLUTKORR.indd 64

2017-02-23 08:56

Till vart och ett av bokens fem kapitel hör fyra läxor. Varje läxa innehåller 10 uppgifter.

Läxor Läxa 1

Efter avsnitt 1.2

1 a) 147 + 536

b) 1 053 – 785

c) 4 · 129

d) 895 / 5

2 a) 9 + 6 · 3

M K

b) (9 + 6) / 3

c) 9 · (6 – 3)

d) 9 / 3 + 6

e) 9 / (3 + 6)

f) (9 – 3) ∙ 6

M K

3 Vilket eller vilka av talen i rutan är ett a) jämnt tal

B

b) primtal

c) naturligt tal d) sammansatt tal 48

17

2

15

7 Eiffeltornet i Paris invigdes år 1889

7

4 Förklara varför siffran 3 är mer värd än siffran 7 i talet 143 789.

B R

5 Centraleuropas högsta berg, Mont Blanc, är 4 810 m högt. Nordens högsta berg, Galdhöpiggen, är 2 340 m lägre. Afrikas högsta berg, Kilimanjaro, är 3 450 m högre än Galdhöpiggen. Världens högsta P K berg, Mount Everest, är 8 850 m.

8 En affär säljer burkar med 4 liter färg. En burk kostar 348 kr. En dag sänks priset till 298 kr. Hur mycket sänks priset per B M liter?

bokstäverna?

b) Hur mycket högre är Mount Everest än Kilimanjaro?

a)

A5B + 7C1 994

b)

c)

ABC · 7 1729

d)

kon blir produkten 90. Inget av syskonen är över 15 år. Hur gamla är syskonen?

Försök komma på så många lösningar P B K som möjligt.

K

9 Vilka siffror ska stå istället för

a) Hur hög är Galdhöpiggen?

6 Om man multiplicerar åldern på tre sys-

270

och hade det året 1,9 miljoner besökare.

När tornet fyllde 100 år besöktes det av 4 600 000 personer. Hur många fler besökare hade tornet 1989 jämfört med när det invigdes? Svara i miljoner. B M K

P K

A1B – 2C9 274

9AB = C17 8

10 Summan av två tal är 1 309. Det ena talet är sex gånger så stort som det andra.

Vilken är differensen mellan de två P talen? L

B K

LÄXOR KAPITE L 1

s 270-289 LIBER X-boken Läxor SLUTKORR.indd 270

2017-03-03 09:50

Efter avsnitt 1.4

1 a) –5 + 8

8 En flaggstång är 12 m hög. En snigel

b) –6 – 4

c) –9 + 3

d) –2 – 3 – 4

M

2 Skriv talen i bråkform.

B

a) 0,7

b) 0,17

c) 0,03

d) 0,023

7 − 0,15 10 1 1 c) − 4 10

L

15 + 0,9 100 1 d) 2,7 + 1 2

3 a)

kryper uppför flaggstången. Varje dag kryper den 4 m uppåt. Varje natt glider den 3 m nedåt. Hur lång tid tar det för snigeln att nå toppen på flaggstången?

Läxor

Läxa 2

P K

b)

M K

4 Vilket tal ligger mitt emellan a) 1,1 och 1,8 1 och 1 c) 2

M K

b) –4 och 2 1 1 d) och 10 2

5 a) Vilken av följande subtraktioner ger den största differensen?

B M

A: 10 – 1,78

B: 10 – 1,8

C: 10 – 1,779

D: 10 – 1,81

b) Förklara hur du kan veta svaret utan att räkna ut det exakt.

6 Vilket tal är

R

B

a) två tiondelar större än 1,6 b) två hundradelar mindre än 0,45 c) tre hundradelar större än 0,98

9 Ronja arbetar normalt 40 timmar i

d) en tusendel mindre än 9,95

7 Vilka temperaturer saknas?

M

Temp. var

Temp. steg

Temp. sjönk

Temp. blev

0°

2°

6°

A

–1°

3°

B

–8°

–6°

C

8°

–2°

veckan. Hennes timlön är 160 kr. När Ronja arbetar övertid får hon mer betalt.

En vecka arbetade hon 42 timmar och tjänade då 6 880 kr. Hur mycket får Ronja P K betalt för varje timme övertid?

10 En burk med tabletter väger 400 g. En tom burk väger 130 g och 10 tabletter väger 60 g. Hur många tabletter finns det P K i burken? L

LÄXOR KAPITE L 1

s 270-289 LIBER X-boken Läxor SLUTKORR.indd 271

271

2017-02-24 10:27

ISBN 978-91-47-11593-8 © 2017 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People printing, Kina 2017

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material.

Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post kundservice.liber@liber.se

2

s 1-5 X-boken Framvagn SLUTKORR.indd 2

2017-02-23 08:52

SAMBAND OCH FÖRÄNDRING Proportionalitet

Förkortning av bråk

Om till exempel en kostnad är proportionell mot antalet kilogram så innebär det att man får betala lika mycket för varje kilogram man köper. kr pris En proportionalitet graf kan ritas som en graf 30 i ett koordinatsystem.

20 Grafen är en rät linje som går genom origo. 10

Att förkorta ett bråk innebär att täljare och nämnare divideras med samma tal.

vikt 1

2

3

kg

Enheter för tid

4 4/4 1 = = 12 12 / 4 3

Här har vi förkortat med 4.

Förlängning av bråk Att förlänga ett bråk innebär att täljare och nämnare multipliceras med samma tal.

17 17 · 5 85 = = 20 20 · 5 100

Här har vi förlängt med 5.

Andel

1 år = 12 mån = 365 dygn

1 timme (h) = = 60 minuter (min) = = 3 600 sekunder (s)

1 år ≈ 52 veckor 1 skottår = 366 dygn

1 kvart = 15 min

1 kvartal = 3 månader

delen det hela En andel kan skrivas i bråkform, procentform eller decimalform.

Andelen =

1 min = 60 s

1 dygn = 24 timmar

Procent

Mellan sträcka (s), hastighet (v) och tid (t) finns sambandet: s=v∙t

Ordet procent betyder ”hundradel”.

1 = 0,01 1%= 100 2 2 kr av 5 kr = = 0,4 = 40 % 5 delen

det hela

bråkform

decimalform

procentform

Matematik X är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp

matematIK X

Sträcka, tid och hastighet

matematIK X

Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.

Bas

Utmaning

matematik

matematik

Lärarrguid de Med d be edömningsstö öd

och h extram materia al

SAnnolikhet och statistik matematik

Sannolikhet

Lägesmått

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Medelvärde

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla värden och sedan dividera med antalet värden.

Om vi kallar en händelse för A så gäller att: P(A) + P(inte A) = 1

Median

4 2 6 7 3 n = 22

10 8

f

Linjediagram

10

milj. inv. folkmängd 4

8

6

6

4

4

2

2 1

Omslag X original.indd 1

Stapeldiagram

2

3

4

5

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

Frekvens f

1 2 3 4 5

1

Utmaning X

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén 1

Lärarguide X

matematik

Matematik XYZ hemsida

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Tabeller och diagram Antal rätt x

Bas X

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

Undvall Johnson Welén

Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Stolpdiagram

1

www.matematikxyz.com

Median är det värde som finns i mitten om alla värden skrivs i storleksordning. Om det finns två värden i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två värdena.

Typvärde

Frekvenstabell

Matematik X

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén Sara Ramsfeldt

matematik

Cirkeldiagram

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

12 %

3

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

Best.nr 47-11593-8 Tryck.nr 47-11593-8

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2017-03-03 09:00