9789144120232 by Smakprov Media AB

Kร SYSTEM

Ulf Kรถrner

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 31321 ISBN 978-91-44-12023-2 Upplaga 3:1 © Författaren och Studentlitteratur 2003, 2017 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2017

Inneh˚ all F¨ orord

1 Inledning

2 Definitioner och begrepp 2.1 Betj¨ aningssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Notationsprincipen . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Stabila system . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Tillst˚ andsf¨ ordelningar . . . . . . . . . . . 2.2 Telefon- och datatrafik . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trafikbegreppet . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Belastning, utnyttjning, genomströmning 2.2.3 Littles sats . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

13 18 18 20 23 27 27 31 32

3 Grundl¨ aggande k¨ oteori 3.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 K¨ odiscipliner . . . . . . . . . . . . . 3.3 M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 M/M/m . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 V¨ antetidsf¨ ordelning . . . . . . . . . . 3.6 Begr¨ ansat antal k¨ oplatser . . . . . . 3.7 Begr¨ ansat antal kunder . . . . . . . . 3.8 Begr¨ ansat antal k¨ oplatser och kunder 3.9 M/M/∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 N˚ agra l¨ osta uppgifter . . . . . . . . . ¨ 3.11 Ovningsuppgifter . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

35 35 35 39 51 58 64 66 71 72 74 79

. . . .

87 87 89 90 97

4 Upptagetsystem 4.1 Bakgrund . . . . . . . . . . . . . . 4.2 M/M/m ∗ upptagetsystem . . . . . 4.3 M/M/m ∗ upptagetsystem, Erlang 4.4 M/M/m ∗ upptagetsystem, Engset 1

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

INNEH˚ ALL

2 4.5 4.6 4.7

M/M/m ∗ upptagetsystem, Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 100 Sammanfattning av upptagetsystem . . . . . . . . . . . . . 101 ¨ Ovningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Stegmetoden 5.1 Ang˚ aende v˚ ara exponentiella antaganden . . . . . . . . 5.1.1 M¨ atningar p˚ a verkliga system . . . . . . . . . . . 5.1.2 Sammanslagning och delning av traﬁkstr¨ommar . 5.2 Stegmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Er - och Hr -f¨ ordelningarna . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Tillst˚ andsbeskrivning . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 M/Er /1 ∗ upptagetsystem . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 M/H2 /1 ∗ upptagetsystem . . . . . . . . . . . . . 5.2.6 En generell anv¨ andning av stegmetoden . . . . . ¨ 5.3 Ovningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

107 107 107 109 110 110 111 114 115 118 120 122

6 M/G/1 6.1 Inledning . . . . . . . . . . . 6.2 Medelantal kunder i systemet 6.3 Residual life . . . . . . . . . . 6.4 Tillst˚ andsf¨ ordelningen . . . . 6.5 V¨ antetidsf¨ ordelningen . . . . 6.6 Busy periods . . . . . . . . . ¨ 6.7 Ovningsuppgifter . . . . . . .

. . . . . . .

125 125 128 133 137 139 140 146

7 Prioriterade k¨ oer 7.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . 7.2 Prioriterade k¨ oer, non-preemptive 7.3 Prioriterade k¨ oer, preemptive . . 7.4 Kleinrocks konservationslag . . . 7.5 M/G/1 * LCFS . . . . . . . . . . ¨ 7.6 Ovningsuppgifter . . . . . . . . .

. . . . . .

151 151 154 156 158 160 167

8 K¨ on¨ atsteori 8.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Avg˚ angsprocessen fr˚ an ett k¨ osystem . . 8.3 Tandemk¨ oer . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 K¨ oer med ˚ aterkoppling . . . . . . . . . . 8.5 Jacksons k¨ on¨ at . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Slutna k¨ on¨ at . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 BCMP-k¨ on¨ at . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Normaliseringskonstanten i slutna k¨on¨at

. . . . . . . .

171 171 172 175 177 179 180 182 185

. . . . . . .

INNEH˚ ALL 8.9 8.10

Mean Value Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 ¨ Ovningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9 Optimering av betj¨ aningssystem 9.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Total kapacitet, C, uppdelad p˚ a m kanaler 9.3 ”The bigger, the better” . . . . . . . . . . 9.4 Inverkan av λ och C p˚ a T och W . . . . . 9.5 Optimal tilldelning av kanalkapaciteter . . ¨ 9.6 Ovningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

199 199 200 203 205 207 211

10 N˚ agot om tillf¨ orlitlighetsteori 10.1 Inledning och deﬁnitioner . . . . 10.1.1 Badkarskurvan . . . . . . . 10.1.2 Monotona felintensiteter . . 10.1.3 Medeltid till fel . . . . . . . 10.1.4 Serie–parallellstrukturer . . 10.1.5 Aktiv och passiv redundans 10.2 Reparationsproblem . . . . . . . 10.2.1 Inledning . . . . . . . . . . 10.2.2 Tillst˚ and och systemfel . . 10.2.3 Two-state-machine . . . . . 10.2.4 Tillg¨ angligheten AV(t) . . . 10.2.5 Tid till systemfel . . . . . . 10.3 Underh˚ allsstrategier . . . . . . . 10.3.1 Inledning . . . . . . . . . . 10.3.2 Underh˚ all baserat p˚ a˚ alder ¨ 10.4 Ovningsuppgifter . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

213 213 216 216 218 219 220 221 221 222 223 227 231 234 234 235 239

11 Sannolikhetsteori 11.1 Element¨ ar sannolikhetsteori . . . 11.2 Betingad sannolikhet . . . . . . . 11.3 Statistiskt oberoende . . . . . . . 11.4 Total sannolikhet . . . . . . . . . 11.5 Bayes sats . . . . . . . . . . . . . 11.6 Stokastiska variabler . . . . . . . 11.7 Moment av stokastiska variabler . ¨ 11.8 Ovningsuppgifter . . . . . . . . .

. . . . . . . .

247 247 248 248 249 250 252 256 258

12 Transformer 261 12.1 z-transformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 12.2 Laplace-transformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.3 N˚ agra olikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

INNEH˚ ALL

4 12.4 12.5

N˚ agra l¨ osta uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 ¨ Ovningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

13 Stokastiska processer 13.1 Inledning - definitioner . . . . . 13.2 Markovkedjor i diskret tid . . . 13.3 Tid till absorption . . . . . . . 13.4 Klassificering av tillst˚ and . . . 13.5 Minnesl¨ osheten . . . . . . . . . 13.6 Markovkedjor i kontinuerlig tid 13.7 F¨ odelse–d¨ ods-processer . . . . . 13.8 Poissonprocessen . . . . . . . . 13.9 Den minnesl¨ osa triangeln . . . 13.10 Fl¨ ode in - fl¨ ode ut . . . . . . . . ¨ 13.11 Ovningsuppgifter . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

277 277 279 282 286 291 291 293 296 300 302 304

Referenser

307

Sakregister

311

Kapitel 3

Grundl¨ aggande k¨ oteori 3.1

Inledning

Nu skall vi b¨ orja v˚ ar analys av betj¨ aningssystem med kö. Vi kommer i det h¨ ar avsnittet att fullst¨ andigt h˚ alla oss i den exponentiella världen, dvs. vi kommer att titta p˚ a M/M/1- och M/M/m-system. Vi kommer dessutom att ta upp ytterligare n˚ agra system, n¨ amligen M/M/m ∗ begränsad kö (ofta betecknad M/M/m/K), M/M/m ∗ begr¨ ansat antal kunder (M/M/m//M ) samt M/M/m/K/M system. Det b¨ or redan nu p˚ apekas att flera av dessa modeller inte skiljer sig ˚ at n¨ amnv¨ art. T.ex. f˚ ar vi fram modellen för ett M/M/1 ∗ begr¨ ansad k¨ o enbart genom en trunkering av antalet tillst˚ and i modellen f¨ or M/M/1.

3.2

K¨ odiscipliner

D˚ a vi beskriver en k¨ omodell med notationen A/B/m, t.ex. M/M/1, gäller underf¨ orst˚ att att de kunder som v¨ antar i k¨ on kommer att betjänas i den ordning, de anl¨ ander till k¨ on. Denna, f¨ or m˚ anga till synes självklara ködisciplin, “f¨ orst till kvarn f˚ ar f¨ orst mala“, ¨ ar emellertid inte alltid till fyllest. I m˚ anga system har vissa typer av kunder ibland kallar vi dem jobb prioritet över andra. I andra sammanhang, d¨ ar vi inte st¨ aller normala rättvisekrav p˚ a behandling i betj¨ anare, ¨ ar det b¨ attre att anv¨ anda n˚ agon annan ködisciplin. I vissa system ¨ ar det vidare enkelt att implementera en ködisciplin av speciellt slag. Dessutom vet vi att i allehanda vardagliga ködiscipliner, kan kunder st¨ ora den allm¨ anna ordningen genom att luras, muta eller med maktmedel tr¨ anga sig f¨ ore i k¨ on. Vi kan dela in k¨ odisciplinerna i ett antal olika klasser. För den f¨ orsta typen, och det ¨ ar framf¨ or allt den vi kommer att behandla i denna bok, g¨ aller att alla kunder har samma prioritet och vidare att 35

¨ ¨ KAPITEL 3. GRUNDLAGGANDE KOTEORI

k¨ odisciplinerna ej ¨ ar beroende av systemets eller kundernas parametrar. Den andra typen ger oss m¨ ojligheter att ge prioritet till vissa typer av kunder. Vi kan t.ex. dela in alla kunder i P prioritetsklasser, vilket innebär att en kund av klass p har prioritet o ¨ver en kund av klass r om p < r. Den sista typen av k¨ odiscipliner ger oss m¨ ojligheter att t.ex. ta in till betjänaren den kund fr˚ an k¨ on som har minst betj¨ aningsbehov eller den kund som har störst betj¨ aningsbehov. Vidare kan vi naturligtvis t¨ anka oss ködiscipliner uppbyggda av principer fr˚ an flera av dessa grundl¨ aggande typer. L˚ at oss nu titta p˚ a n˚ agra k¨ odiscipliner av den första typen. FCFS: First-Come-First-Served

(¨ aven FIFO)

Figur 3.1 First-Come-First-Served. Kunder anl¨ ander till betj¨ anaren i den ordning de anlände till systemet. Mycket ofta ser man beteckningen FIFO: first-in-first-out i stället. D˚ a vi behandlar system med flera betj¨ anare m˚ aste, f¨ or att FIFO = FCFS, FIFO gälla för k¨ on och inte f¨ or hela betj¨ aningssystemet. LCFS: Last-Come-First-Served

(¨ aven LIFO)

Figur 3.2 Last-Come-First-Served. H¨ ar kan vi t¨ anka oss flera olika m¨ ojligheter. a) D˚ a en kund anl¨ ander till systemet placeras denne först i kön och f˚ ar tillg˚ ang till betj¨ anaren d˚ a den kund, som vid ankomsten fanns i betjänaren, ¨ ar färdigbetj¨ anad. Detta fall g˚ ar ofta under den allmänna beteckningen LCFS, ibland ¨ aven LIFO: Last-In-First-Out. b) d˚ a en kund anl¨ ander till systemet f˚ ar han omedelbart tillg˚ ang till betjänaren och den kund, som finns i betj¨ anaren slängs ut i kön och fortsätter sin betj¨ aning n¨ ar ingen senare anl¨ and kund finns i systemet. Denna princip kallas LCFS-Preemtive-Resume.

¨ 3.2. KODISCIPLINER

c) som i fall b), dock den kund, som blir utslängd av en anländande kund m˚ aste, d˚ a denne ˚ anyo f˚ ar tillg˚ ang till betjänaren, ges en full betjäning. LCFS-Preemtive a r beteckningen. ¨ RANDOM: Slumpm¨ assig uth¨ amtning fr˚ an k¨ on. N¨ ar en kund har blivit f¨ ardigbetj¨ anad v¨ aljer man p˚ a slump bland dem som finns i k¨ on vilken som skall f¨ oras til betj¨ anaren. Denna ködisciplin används ibland i v˚ ara modeller f¨ or att illustrera uppf¨ orandet i bl.a. roterande köer, men den ¨ ar ocks˚ a i m˚ anga andra sammanhang en beprövad princip.

Figur 3.3 Random. Principen anv¨ ands p˚ a ﬂera st¨ allen i ¨ aldre telefonisystem. Ett annat exempel kan vara utl¨ asning av data fr˚ an minnen i datorsystem. RR: Round Robin Under Round-Robin-principen, kan till synes att antal processer behandlas parallellt i betj¨ anaren. Detta a ¨r en helt vanlig princip i dagens datorsystem. Vi har samtidigt ett stort antal processer p˚ ag˚ aende och dessa delar datorns kapacitet enligt denna princip. F¨ or oss som brukar datorn tycks alla p˚ ag˚ aende processer behandlas parallellt, om a n faktiskt en i taget. ¨

Figur 3.4 Round Robin. En kund, som n˚ ar betj¨ anaren f˚ ar endast utnyttja den under ett tidskvantum q. D¨ arefter l¨ aggs kunden sist i k¨ on och den kund, som st˚ ar först i kön tas in till betj¨ anaren och ocks˚ a den f˚ ar en betj¨ aning under ett tidskvantum q. En kund med betj¨ aningsbehov x1 tidsenheter f˚ ar detta tillgodosett i form av x1 /q delbetj¨ aningar. Denna princip ¨ ar implementerad i de flesta s˚ a kallade tidsdelnings- (Time-Sharing) datorsystem, dvs. i m˚ anga av dagens datorsystem.

¨ ¨ KAPITEL 3. GRUNDLAGGANDE KOTEORI

PS: Processor Sharing Processor Sharing kan s¨ agas vara en teoretisk modell av Round Robin, där vi l˚ ater tidskvantum q g˚ a mot noll. Det innebär att alla kunder roterar oerh¨ ort snabbt och man kan illustrera det med att alla kunder samtidigt delar betj¨ anarens kapacitet. Processor Sharing a anga fall a¨r väl lämpad för analys ¨r en algoritm, som i m˚ av k¨ oer. Den kan v¨ al illustrera uppf¨ orandet i mer koplexa algoritmer, vilka anv¨ ands i verkliga system. I kapitel 8, K¨ on¨ atsteori, kommer vi att ˚ atervända till Processor Sharings principer. HOL: Head Of the Line system I kapitel 7 kommer vi att studera modeller av prioriterade kösystem. Kunder tillh¨ or olika prioritetsklasser, p, (p = 1, .., P ), där kunder av prioritetsklass i har prioritet ¨ over de som tillh¨ or prioritetsklass j om i < j. Med prioritet menar vi h¨ ar att en kund i k¨ on med h¨ ogre prioritet än en annan kund i kön, kommer att bli betj¨ anad f¨ ore den senare, oavsett vem av dessa som kom f¨ orst till k¨ osystemet. Kunder inom samma prioritetsklass behandlas enligt FCFS-principen.

...

λp Figur 3.4b Ett Head of the line system. SPT: Shortest Processing Time first Det inneb¨ ar att k¨ osystemet m˚ aste k¨ anna betj¨ aningstiderna för de som finns i k¨ on och n¨ ar betj¨ anaren blir ledig ta in den kund som har kortast betjäningstid. K¨ odisciplinen SPT medf¨ or oftast att medelk¨ olängden blir lägre än i de flesta andra fall. LPT: Longest Processing Time first P˚ a samma s¨ att som f¨ or SPT m˚ aste man k¨ anna de kommande betjäningstiderna f¨ or dem som ligger i k¨ on. LPT leder oftast till att man ser en längre medelk¨ ol¨ angd och d¨ armed ocks˚ a en l¨ angre medeltid i systemet.

3.3. M/M/1

3.3

M/M/1

Vi kommer nu att behandla en rad Markovska betjäningssystem och kommer d˚ a i fr¨ amsta hand vara intresserade av att ta fram ett uttryck för den station¨ ara tillst˚ andsf¨ ordelningen pk = P (k kunder i systemet). I detta kapitel, som behandlar enbart M/M/-system, kommer vi att relativt enkelt ta fram tillst˚ andsf¨ ordelningarna f¨ or systemen genom en enkel Markovanalys. I detta delkapitel g˚ as noggrant igenom fyra relaterade angreppssätt för att f˚ a fram den stationära tillst˚ andsf¨ ordelningen f¨ or ett M/M/1-system. Dessa fyra angreppss¨ att ¨ ar relevanta f¨ or alla de M/M/-system, som behandlas i detta kapitel. Utg˚ aende i fr˚ an den station¨ ara tillst˚ andsfördelningen kan vi sedan ¨ vi dessutom övertygade ta fram ett antal basala storheter f¨ or v˚ ar modell. Ar om att v˚ ar modell mycket v¨ al illustrerar t.ex. ett visst nätverksystem, kan vi utnyttja dessa storhetsm˚ att f¨ or att g¨ ora uttalande om detsamma. Utg˚ aende ifr˚ an tillst˚ andsf¨ ordelningen kan vi f˚ a fram ett antal storheter som t.ex. medelantal kunder i systemet N= kpk k

Vi kan vidare utnyttja Littles sats N = λef f · T f¨ or att f˚ a fram medeltid en kund tillbringar i systemet, T . Vidare kan vi med hj¨ alp av relationerna N = Nq + Ns T =x+W f˚ a fram medelantal kunder i k¨ on N q samt medelväntetiden, W . F¨ or v˚ art M/M/1 system g¨ aller att A(t) = 1 − e−λt B(x) = 1 − e−µx dvs. ankomstavst˚ anden ¨ ar exponentialf¨ ordelade med medelvärde t = 1/λ och betj¨ aningstiderna ¨ ar ocks˚ a exponentialf¨ ordelade, dock med medelvärde x = 1/µ. Vi s¨ oker f¨ or detta system pk = P (k kunder i systemet)

¨ ¨ KAPITEL 3. GRUNDLAGGANDE KOTEORI

Eftersom b˚ ade ankomstavst˚ and och betj¨ aningstider är exponentialfördelade kommer vi att i varje intervall ∆t ha en konstant sannolikhet för en ankomst lika med λ∆t + σ(∆t) samt, d˚ a vi har en kund i betjänaren, en konstant sannolikhet f¨ or att denna kund skall bli f¨ ardigbetjänad lika med µ∆t+σ(∆t). Detta inneb¨ ar vidare att vi har en konstant intensitet λ för en ankomst, en konstant f¨ odelse-intensitet, samt en konstant intensitet µ för avg˚ ang av en kund som betj¨ anas, en konstant d¨ ods-intensitet. Dessa storheter är vidare oberoende av tillst˚ andet. λk = λ

k≥0

µk = µ

k>0

Vi kan rita upp f¨ oljande tillst˚ andsdiagram λ 0

λ 1

λ ···

k−1

λ k+1

k µ

···

Figur 3.5 Tillst˚ andsdiagram f¨ or M/M/1. Vi b¨ orjar med att ¨ overtyga oss om att tillst˚ anden bildar en Markovprocess. L˚ at oss t.ex. titta p˚ a tillst˚ andet k. λ k µ Figur 3.6 Tiden i tillst˚ and k. D˚ a vi anl¨ ander till tillst˚ and k fr˚ an tillst˚ and k − 1, dvs. vi f˚ ar en ankomst till systemet, utg¨ ors tiden i tillst˚ andet, z˜, av minimum av tiden till nästa ankomst respektive tiden till det att kunden i betj¨ anaren är färdigbetjänad. Eftersom betj¨ aningstiderna ¨ ar exponentialf¨ ordelade ¨ ar ocks˚ a˚ aterst˚ aende betjäningstid exponentialf¨ ordelad med medelv¨ ardet 1/µ. Det innebär att z˜ = min(t˜, x˜) och P (˜ z > t) = P (t˜ > t, x ˜ > t) Eftersom t˜ och x ˜¨ ar oberoende f˚ ar vi P (˜ z > t) = P (t˜ > t) · P (˜ x > t)

3.3. M/M/1

⇒ P (˜ z > t) = e−λt · e−µt ⇒ P (˜ z > t) = e−(λ+µ)t ⇒ P (˜ z ≤ t) = 1 − e−(λ+µ)t Tiden i tillst˚ and k ¨ ar allts˚ a exponentialf¨ ordelad med medelvärdet 1/(λ + µ). När vi nu har konstaterat att tillst˚ anden bildar en Markovprocess har vi, som vi sett i kap. 13, fyra olika m¨ ojligheter att ta fram den stationära tillst˚ andsf¨ ordelningen, n¨ amligen a) Utnyttja relationen f¨ or Markovprocesser 0 = pQ där Q ¨ ar intensitetsmatrisen och p ¨ ar tillst˚ andsvektorn (p0 , p1 , p2 , . . . , pk , . . .).

b) Vidare inser vi att v˚ ar Markovprocess a ¨r en f¨odelse-d¨odsprocess. Dessa a¨r ju Markovprocesser f¨ or vilka vi endast har o angar mellan granntillst˚ and. ¨verg˚ F¨ or dessa g¨ aller pk =

λ0 λ1 . . . λk−1 p0 µ1 µ2 . . . µk

c) Vidare kan vi utnyttja resonemanget fl¨ ode-in = flöde-ut för ett tillst˚ and, vilket i princip bygger p˚ a att antalet g˚ anger ett tillst˚ and lämnas bör över en l¨ angre tidsperiod vara lika med antalet g˚ anger man kommer till tillst˚ andet. d) Vi kan slutligen ¨ aven utnyttja snittmetoden, dvs. flöde över ett snitt i ena riktningen ¨ ar lika med fl¨ odet i andra riktningen. L˚ at oss f¨ or M/M/1-systemet g˚ a igenom dessa fyra principer för att ta fram tillst˚ andsf¨ ordelningen.

¨ ¨ KAPITEL 3. GRUNDLAGGANDE KOTEORI

42 a) 0 = pQ 

   Q=   

−λ λ 0 µ −(λ + µ) λ 0 µ −(λ + µ)

0 0 λ

0 0 0

−(λ + µ) λ

p = (p0 , p1 , p2 , . . . , pk−1 , pk , pk+1 , . . .) 0 = (0, 0, 0, . . . , 0, 0, 0, . . .) Det f¨ orsta elementet i vektorn 0 0 = −λp0 + µp1 De ¨ ovriga elementen kan uttryckas i 0 = λpk−1 − (λ + µ)pk + µpk+1

k≥1

L˚ at oss skriva om denna relation som λpk − µpk+1 = λpk−1 − µpk

k≥1

Eftersom denna relation g¨ aller f¨ or k ≥ 1 kan vi skriva λpk−1 − µpk = λpk−2 − µpk−1 och s¨ atta in detta i h¨ ogerledet i den f¨ orra ekvationen λpk − µpk+1 = λpk−2 − µpk−1 genom att upprepa detta ett antal g˚ anger f˚ ar vi λpk − µpk+1 = λp0 − µp1 D˚ a vi betraktade det f¨ orsta elementet i 0-vektorn ﬁck vi λp0 − µp1 = 0 vilket ger λpk − µpk+1 = 0

k≥1

 0 ··· 0 ···   0 ···   ···   

3.3. M/M/1

och allts˚ a k≥1

pk+1 = (λ/µ)pk ; Det inneb¨ ar att

k≥2

pk = (λ/µ)pk−1 ; och allts˚ a pk = (λ/µ)k−1 · p1

Vidare k¨ anner vi ju uttrycket f¨ or p1 i p0 och f˚ ar d˚ a slutligen pk = (λ/µ)k p0 Vi ser att vi f˚ att tillst˚ andsf¨ ordelningen uttryckt i λ, µ och p0 . Vi f˚ ar fram uttrycket f¨ or p0 genom normeringsvillkoret ∞

pk = 1

∞

(λ/µ)k · p0 = 1

⇒

⇒ 1/p0 =

∞

(λ/µ)k

⇒ 1/p0 = ⇒

1 ; 1 − λ/µ

λ/µ < 1

p0 = 1 − λ/µ Eftersom medelbetj¨ aningstiden x = 1/µ ¨ ar λ/µ lika med den trafik, som avverkas av systemet. Vi har ett o¨ andligt stort köutrymme och all trafik som erbjuds systemet kommer ocks˚ a att avverkas. Vi sätter ρ = λ/µ och uttrycker slutligen tillst˚ andsf¨ ordelningen pk = ρk (1 − ρ)

¨ ¨ KAPITEL 3. GRUNDLAGGANDE KOTEORI

b) N¨ ar vi nu i st¨ allet utnyttjar det faktum att v˚ ar Markovkedja a¨r en födelsedödsprocess och vi k¨ anner uttrycket f¨ or tillst˚ andsfördelningen för en s˚ adan, kan vi direkt st¨ alla upp pk =

λ0 λ1 . . . λk−1 p0 µ1 µ2 . . . µk

d¨ar λk = λ

k≥0

µk = µ

k>0

och allts˚ a pk = (λ/µ)k p0 c) För Markovprocessen kan vi ju ¨ aven utnyttja ett flöde-in = flöde-ut resonemang f¨ or varje tillst˚ and i kedjan (se kap. 13). Tag t.ex. tillst˚ and k λ λ k−1

k+1

k µ

Figur 3.7 Fl¨ ode-in = fl¨ ode-ut. ﬂ¨ ode ut : (λ + µ)pk ﬂ¨ ode in :

λpk−1 + µpk+1

⇒

k≥1 k≥1

(λ + µ)pk = λpk−1 + µpk+1 ⇒ λpk − µpk+1 = λpk−1 − µpk Detta ¨ ar precis den relation vi fick fram under a) d˚ a vi utnyttjade relationen 0 = pQ och fr˚ an denna punkt kan vi naturligtvis till punkt och pricka följa g˚ angen i a) och f˚ ar allts˚ a pk = ρk (1 − ρ) d) Slutligen kan vi ta fram tillst˚ andsf¨ ordelningen med hjälp av snittmetoden.

3.3. M/M/1

45 λ k−1

k µ

Figur 3.8 Snittmetoden. Fl¨ ode ¨ over snittet fr˚ an v¨ anster till h¨ oger = λpk−1 Flöde ¨ over snittet fr˚ an h¨ oger till v¨ anster = µpk vilket ger λpk−1 = µpk och allts˚ a pk = (λ/µ)pk−1 vilket leder till pk = ρk (1 − ρ) F¨ or att detta skall g¨ alla kr¨ avs att ρ < 1. Om s˚ a ej är fallet, är systemet ej stabilt: k¨ on kommer att v¨ axa ¨ over alla gr¨ anser och en stationär tillst˚ andsfördelning existerar inte. Vi observerar vidare att denna tillst˚ andsfördelning gäller oberoende av k¨ odisciplinen s˚ avida den senare inte i sin tur beror p˚ a t.ex. x ˜. Genom att utnyttja tillst˚ andsf¨ ordelningen kan vi nu beräkna medelantalet kunder i systemet, N . N=

∞

kpk

∞

kρk (1 − ρ)

⇒ N=

¨ ¨ KAPITEL 3. GRUNDLAGGANDE KOTEORI

Eftersom M/M/1-systemet ¨ ar det f¨ orsta system vi g˚ ar igenom, skall vi göra det grundligt. Vi kommer att m¨ arka att d˚ a vi utnyttjar relationen ovan kommer vi att st¨ ota p˚ a problem, som visserligen ¨ ar lösbara, men änd˚ a existerar. Ett annat s¨ att att ta fram N p˚ aa ¨r via z- transformen, dvs. vi definierar Q(z) =

∞

z k pk

och vet att N=

dQ(z) |z=1 dz

Vi b¨ orjar med den f¨ orsta varianten, dvs. N=

∞ 0

kρk (1 − ρ)

Vi skriver om uttrycket p˚ a f¨ oljande form N = (1 − ρ)ρ

∞

kρk−1

Vi inser vidare att ∞

k ρk−1 =

∞ d k ( ρ ) dρ 0

Vidare ¨ ar ∞ 0

ρk = 1/(1 − ρ)

och 1 1 d ( )= dρ 1 − ρ (1 − ρ)2 Detta inneb¨ ar att ∞ 0

k ρk−1 =

1 (1 − ρ)2

och allts˚ a N = ρ/(1 − ρ)

3.3. M/M/1

Samma resultat f˚ ar vi via Q(z) =

∞ 0

z k ρk (1 − ρ)

⇒ Q(z) = (1 − ρ) ⇒ Q(z) =

∞ (zρ)k 0

1−ρ 1 − ρz

ρ dQ(z) |z=1 = dz 1−ρ Utnyttjar vi nu Littles sats N =λ · T f˚ ar vi uttrycket f¨or medeltiden i systemet T =

ρ λ(1 − ρ)

T =

1 µ(1 − ρ)

⇒

eller

T =

x 1−ρ

Emellertid vet vi att T =x+W och vi f˚ ar uttrycket f¨ or medelv¨ antetiden W =

ρ µ(1 − ρ)

a systemet. Figur 3.9 visar N , T och W som funktion av belastningen ρ p˚ Vi ser att d˚ a ρ ⇒ 1 s˚ a kommer N , T och W att bli oändligt stora, vilket naturligtvis ¨ ar att v¨ anta d˚ a vi n¨ armar oss ett instabilt system. F¨ or systemet M/M/1 har vi nu f˚ att fram tillst˚ andsfördelningen samt med hj¨ alp av Little’s sats tagit fram uttrycket f¨ or medelväntetiden. Vi har ännu inte tagit fram uttrycket f¨ or v¨ antetidsf¨ ordelningen dvs. sannolikheten för att v¨ antetiden ¨ ar mindre eller lika med t. Vi v¨ antar med detta tills efter det att vi g˚ att igenom systemet M/M/m.

¨ ¨ KAPITEL 3. GRUNDLAGGANDE KOTEORI

µT

µW

Figur 3.9 N , T och W som funktion av belastningen. Beteckningen M/M/1 preciserar, som vi vet, v˚ ar kömodell väl. Vi kan dock analysera en stor m¨ angd k¨ osystem, vilka alla g˚ ar under beteckningen M/M/1, men vilka skiljer sig ˚ at en del. T.ex. kan vi t¨ anka oss ett M/M/1-system för vilket anl¨ andande kunder med en viss sannolikhet väljer att direkt lämna systemet om det finns en stor m¨ angd kunder i detsamma. Vi kan se det som att vissa kunderna inte accepterar l˚ anga v¨ antetider. I andra sammanhang kan vi modellera M/M/1-system f¨ or vilka kunder i kön blir ot˚ aliga efter en viss tid i k¨ on och d¨ arf¨ or l¨ amnar systemet utan att ha f˚ att betjäning. I m˚ anga fall kan vi f¨ or dessa situationer f˚ a en tillst˚ andsbeskrivning för antalet kunder i systemet, vilken bildar en Markovprocess, som vi kan lösa p˚ a precis samma s¨ att, som vi gjort f¨ or det grundl¨ aggande M/M/1-systemet.

3.3. M/M/1

Exempel: Till ett M/M/1-system ankommer kunder med den konstanta intensiteten λ, och dess medelbetj¨ aningstider a ¨r 1/µ. En kund, som kommer till systemet och ﬁnner kunder i k¨ on, l¨ amnar direkt k¨ osystemet med sannolikheten (1 − α) utan att ha f˚ att betj¨ aning. F¨ or detta system g¨aller λk = λ;

k=0

λk = αλ;

k≥1

De kunder, som p˚ a detta s¨ att frivilligt l¨ amnar systemet kommer egentligen aldrig in i detsamma. Vi kan se det som att de avviker fr˚ an kösystemet i samma ¨ ogonblick, som de anl¨ ander. Detta kommer att synas i v˚ ar tillst˚ andsgraf liksom i definitionen av λk f¨ or k ≥ 1. Det är allts˚ a bara αλ av de ankommande λ kunderna, som verkligen kommer in i kösystemet d˚ a det finns kunder i k¨ on. F¨ or detta k¨ osystem f˚ ar vi f¨ oljande tillst˚ andsgraf λ 0

αλ 1

αλ ···

k−1

αλ k+1

k µ

αλ

···

Figur 3.10 Tillst˚ andsdiagram. F¨ or att f˚ a fram tillst˚ andsf¨ ordelningen utnyttjar vi snittmetoden, vilken ger λp0 = µp1 αλpk−1 = µpk ;

k = 2, 3, . . .

Det sista uttrycket ger pk =

αλ pk−1 ; µ

k≥2

⇒ pk = (

αλ k−1 ) p1 µ

Detta ger tillsammans med relationen mellan p0 och p1 λ k pk = αk−1 ( ) p0 ; µ

k≥1

Författaren är Ulf Körner, professor emeritus vid institutionen för Elektro- och informationsteknik vid Lunds Tekniska Högskola.

KÖSYSTEM I denna bok ges läsaren en inblick i köteorins möjligheter att via modeller analysera olika typer av kösystem. Köteorin utgör också ett kraftfullt redskap för att bedöma delar av allt från allmänna distribuerade system, nya accessprotokoll i trådlösa lokala datanät till prioritetsmekanismer i Internetroutrars utgångsköer. Boken beskriver de redskap som är nödvändiga för att analysera och förstå tekniska system, t.ex. mobilsystem, datacentra, webbservrar, liksom system som IoT (Internet of Things) och lokala system t.ex. WiFi. Boken bygger till en del på två tidigare böcker av författaren, Köteori och Tillförlitlighetsteori, Studentlitteratur, 1992 samt Köteori, Studentlitteratur, 2003. Boken är i första hand avsedd för studenter inom datateknik samt elektro- och informationsteknik.

Tredje upplagan

Art.nr 31321

studentlitteratur.se