9789127414662

Kurs

Kurs

AB

ABlĂĽB

&

BlĂĽ

LENA ALFREDSSON ∙ HANS BROLIN ∙ PATRIK ERIXON HANS HEIKNE ∙ ANITA RISTAMĂ„KI

&

MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fÜregüngaren Matematik 3000 baserad pü färdigheter – fÜrstüelse – problemlÜsning, men nu med Ükat fokus pü kommunikation. Nya begrepp introduceras pü ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

BĂśckerna i Matematik 4000 ďŹ nns i tre svĂĽrighetsnivĂĽer: RĂśd, GrĂśn och BlĂĽ, där BlĂĽ är den mest krävande.

FĂśr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

*4#/

4000

Eleverna für med hjälp av denna bok och tillhÜrande kompletterande material münga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken – genom elevnära exempel, aktiviteter och Üvningar, de senare av olika slag och svürighetsgrad.

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

4000 MATEMATIK

Till lärare och elever Matematik 4000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxen­utbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning.

Den ger eleven goda möjligheter att utveckla de förmågor och nå de mål som beskrivs i kursplanen.

2. I varje kapitel finns Aktiviteter och Historik i anslutning till teorin. Aktiviteterna är främst avsedda för arbete i par eller i grupp och finns i fyra olika kategorier: Undersök, Upptäck, Laborera och Diskutera. På några ställen i boken finns också *-märkta fördjupningsavsnitt samt lite svårare uppgifter, utan facit, i form av ­Utmaningen.

Denna bok, Kurs A & B Blå lärobok, riktar sig främst till dem som planerar för vidare studier i ­matematik, som t ex naturvetare och tekniker.

3. Kapitlet avslutas med

Kurs A & B Blå lärobok är en komplett lärobok för kurs A och B. Den förutsätter att eleven har tillgång till en grafritande räknare, men ger även några exempel på hur kraftfulla symbolhanterande räknare kan användas.

Framställningen är oberoende av vilken typ av grafritande räknare som används. För att underlätta användningen av räknare finns aktiviteter, tips samt markeringar i marginalen som visar när eleven kan behöva instrueras i hur räknaren ska användas.

• en Sammanfattning där eleven kan repetera det viktigaste i kapitlet.

• Blandade övningar som består av två likvärdiga och parallella test med uppgifter även från tidigare kapitel. Blandade övningar innehåller A-, B- och C-uppgifter och har en struktur liknande ett Nationellt prov.

Del I ska lösas utan räknare och Del II avslutas med Utredande uppgifter.

Varje enskilt avsnitt har följande struktur:

Boken avslutas med

1. Teorin framställs så att eleverna ges en chans att förstå och upptäcka matematiken och så att den är möjlig att läsa på egen hand. Teorin utgår oftast från ett konkret Exempel.

• Repetitionsuppgifter, vilka är texten till de lösta uppgifterna i varje kapitel. Dessa kan användas som en självständig repetition av enstaka kapitel eller hela kursen.

2. Lösta uppgifter belyser det viktigaste och stärker förståelsen.

Lärarhandledningen innehåller bl a

3. Övningsuppgifterna är uppdelade i tre nivåer A, B och C i stigande svårighetsgrad.

• förslag till Hemuppgifter som är grupperade efter momentrubrikerna.

• en sida Problem för alla med problemlösning av annorlunda slag.

• didaktiska kommentarer till bokens olika avsnitt och Aktiviteter.

• kopieringsunderlag till ytterligare Aktiviteter.

Varje kapitel har följande struktur:

• förslag till diagnos och prov till varje kapitel.

1. De olika momenten har delats in i mindre avsnitt med underrubriker för att underlätta lektionsplaneringen. Varje sådant avsnitt har den struktur som beskrivs ovan.

Vi hoppas att Matematik 4000 är lätt att använda, att den inbjuder till en variation av arbetssätt samt att den erbjuder många olika möjligheter för lärare och elever att lägga upp undervisningen.

Lycka till med matematiken! önskar Författarna

förord

MA4000 A+B Bla Inledning.indd 3

3

08-06-05 08.08.42

Innehåll KURS A 1. Aritmetik – Om tal 8 Från vargben till datorer 9

1.1 Hela tal 10

Olika typer av tal 10 Aktivitet: Undersök – Olika tal och de fyra räknesätten 11 Positiva tal – räkneordning och räknesätt 12 Primtal – delbarhet och faktorisering 14 Negativa tal 17

1.2 Rationella och reella tal 20

Bråkbegreppet 20 Räkna med bråk 23 Tal i decimalform 25 Överslagsräkning och antal siffror 28

1.3 Potenser 30

Positiva heltalsexponenter 30 Exponenten noll och negativa exponenter 32 Stora tal och små tal 34 Tillämpningar 36 Historik: Olika talsystem 39

1.4 Procent och procentuella förändringar 40

Procentbegreppet och tre basproblem 40 Procentenheter 42 Promille och ppm 43 Aktivitet: Upptäck – Jämförelser 44 Förändringsfaktor 45 Upprepade procentuella förändringar 47 Taluppfattning och procent 50 *Närmevärden och fel 52

2. Algebra och ekvationer 66 2.1 Algebraiska uttryck och förenklingar 67

Algebra 67 Algebraiska uttryck 68 Aktivitet: Diskutera – Räkna med bokstäver 71 Algebraiska förenklingar 72 Aktivitet: Undersök – Symbolhanterande räknare 76

2.2 Ekvationer 77

Ekvationsbegreppet 77 Ekvationslösningens grunder 80 Problemlösning med ekvationer 84 Historik: X? 86 Kvadratrötter och kubikrötter 87 Enkla x 2- och x 3-ekvationer 89 Potensekvationer 91

2.3 Formler och mönster 93

Formler 93 Mönster och formler 95 Lösa ut ur formler 97

2.4 Undersöka och bevisa 100

*Är 0,9999… = 1? 103 Problem för alla 2 104

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 105 Hemuppgifter 2 106 Sammanfattning 2 108 Blandade övningar 2A 110

Blandade övningar 2B 112

1.5 Problemlösning 54 En problemlösningsstrategi 54 Problem för alla 1 56 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 57 Hemuppgifter 1 58 Sammanfattning 1 60 Blandade övningar 1A 62

Blandade övningar 1B 64

4

MA4000 A+B Bla Inledning.indd 4

innehåll

08-06-05 08.08.42

3. Geometri 114

4. Grafer och funktioner 186

3.1 Area, omkrets och volym 115

4.1 Grafer och proportionaliteter 187

Geometri 115 Area och omkrets för några enkla områden 115 Cirkel och cirkelsektor 119 Historik: Talet π – historiska fakta 122 Enheter och omvandlingar 124 Volym och area för några enkla kroppar 126 Kon och klot 129 Aktivitet: Laborera – Pucken 132 Ställa upp en formel 133

3.2 Vinklar 134

Några begrepp 134 Vinklar och vinkelsumma 135 Några bevis 137

3.3 Likformighet 139

Skala 139 Aktivitet: Upptäck – Area – volymskala 142 Area- och volymskala 143 Historik: Fraktaler 146 Likformiga månghörningar och trianglar 147 Pythagoras sats 151 Historik: Pythagoras sats 154

Aktivitet: Upptäck – Kvoter i en rätvinklig triangel 155

Koordinatsystem 187 Aktivitet: Laborera – Speglingar och symmetrier 197 Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp 191 Direkt proportionalitet 194 Grafritande räknare 195 Olika typer av proportionaliteter 298

Aktivitet: Upptäck – Finn regeln 200

4.2 Linjära funktioner 201

Funktionsbegreppet 201 Linjära modeller 207 Aktivitet: Undersök – Räta linjer 205 Den linjära funktionen y = kx + m 206

4.3 Exponentialfunktioner 208 Linjär och exponentiell tillväxt 208

Olika matematiska modeller 212

*Logaritmer – ett annat namn för exponenter 214 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 215 Hemuppgifter 4 216 Sammanfattning 4 218 Blandade övningar 4A 220 Blandade övningar 4B 223

Problem för alla 4 225

3.4 Trigonometri 156

Inledning 156 Räkna med tangens 158 Sinus och cosinus 162 Blandade uppgifter 165

3.5 Problemlösning och geometri 167

Historik: Geometri i konst och natur 170

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 172 Hemuppgifter 3 173 Sammanfattning 3 176 Blandade övningar 3A 179 Blandade övningar 3B 182

Problem för alla 3 185

5. Statistik 226 5.1 Tolka tabeller och diagram 227

Vad handlar statistik om? 227 Avläsa tabeller och diagram 228 Index 231

5.2 Lägesmått 233

Medelvärde, median och typvärde 233

5.3 Sammanställa data 238

Göra tabeller och rita diagram 238 Histogram 243 Aktiviet: Undersök – Räknaren och statistik 245 Missbruk av statistik 246

5.4 Kalkylprogram 248

Bakgrund 248

Öva och förstå principen 249

Rita diagram och beräkna 251 Problem för alla 5 252 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 253 Hemuppgifter 5 254 Sammanfattning 5 256 Blandade övningar 5A 258

Blandade övningar 5B 262 innehåll

MA4000 A+B Bla Inledning.indd 5

5

08-06-05 08.08.43

KURS B 6. Algebra och geometri 264

Inledande aktivitet: Rektanglar och algebra 265

7. Funktioner 322

Inledande aktivitet: Rektangel med given omkrets 32

6.1 Polynom 266

7.1 Grundbegrepp 324

Vad är ett polynom? 266 Värdet av ett polynom 267 Räkna med polynom 269 Multiplikation av binom 273 Konjugat- och kvadreringsreglerna 276 Faktorisera 279 Aktivitet: Undersök – Kan du förklara regeln? 281

6.2 Andragradsekvationer 282

Enkla andragradsekvationer 282 Kvadratkomplettering 284 En lösningsformel 286 Aktivitet: Upptäck – Samband mellan rötter och koefficienter 289 Historik: Ekvationer och lösningsformler 290 Algebra och tillämpningar 292

6.3 Några geometriska satser 295

Yttervinkelsatsen 295 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 297 Aktivitet: Laborera – Randvinklar 300 Randvinklar och medelpunktsvinklar 301 Historik: Den axiomatiska metoden 304 Några bevis med likformighet 305 *Kongruens 307

6.4 Koordinatgeometri 309

Avståndsformeln 309

Mittpunktsformeln 311 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 312 Hemuppgifter 6 313 Sammanfattning 6 315 Blandade övningar 6A 317 Blandade övningar 6B 319

Problem för alla 6 321

MA4000 A+B Bla Inledning.indd 6

Funktionsbegreppet 324 Symbolen f ( x ) 327

7.2 Linjära funktioner 329

Linjers lutning 329 Parallella och vinkelräta linjer 333 Räta linjens ekvation 334 Aktivitet: Laborera – Trästavar med skruv 338 Räta linjens ekvation i allmän form 339 Linjära modeller 341 *Linjär anpassning 344

7.3 Linjära ekvationssystem 346

Vad menas med en lösning? 346 Grafisk lösning 347 Substitutionsmetoden 348 Additionsmetoden 349 Några speciella ekvationssystem 351 Tillämpningar 353

7.4 Olikheter 355

Algebraisk lösning 355 Grafisk lösning 357

Aktivitet: Undersök – Andragradsfunktioner 358

7.5 Icke-linjära funktioner 359

Andragradsfunktioner 359

Kvadratiska modeller 365

Icke-linjära modeller 368

*Funktionsanpassning 370

Problem för alla 7 371 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 372 Hemuppgifter 7 373 Sammanfattning 7 375 Blandade övningar 7A 378

Blandade övningar 7B 381

Innehåll

08-06-05 08.08.44

8. Sannolikhetslära och statistik 384

Inledande aktivitet: Byta eller inte? 385

8.1 Enkla slumpförsök 386

Inledning 386 Den klassiska sannolikhetsmodellen 387 Experimentella sannolikheter 390

8.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 392

Försök med två föremål 392 Träddiagram 394 Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 397 Komplementhändelse 400 Historik: Sannolikhetslärans födelse 402

8.3 Statistik 403

Repetition av lägesmått 403 Några spridningsmått 404

8.4 Statistiska undersökningar 409

Population, stickprov och urvalsmetoder 409 Formulera frågor 412 Några felkällor vid undersökningar 414 Aktivitet: Undersök – En egen undersökning – några tips 417

*Standardavvikelse – Normalfördelning 418 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 421 Hemuppgifter 8 422 Sammanfattning 8 424 Blandade övningar 8A 426 Blandade övningar 8B 429

Problem för alla 8 431

Repetition 432 Svar 444 Register 492

INNEhåll

MA4000 A+B Bla Inledning.indd 7

08-06-05 08.08.44

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 8

3.1  area, omkrets och volym

08-06-03 07.12.55

1

ARITMETIK – OM TAL

Från vargben till datorer Aritmetik kallas ibland ”läran om talen” och ordet kommer från grekiskans arithmos, som betyder just tal.

Ett av de äldsta fynden med matematisk anknytning man hittat är ett vargben som hittades 1937 i Mähren. Benet har regelbundet inristade skåror.

Den matematik vi idag känner till och använder oss av, har utvecklats under tusentals år och härstammar från många olika kulturer: • Nästan 4 000 år gamla egyptiska papyrusrullar och babyloniska lertavlor visar oss hur och till vad matematiken användes.

• Grekerna skapade för ca 2 500 år sedan den rena matematiken och den struktur med satser och bevis som används än idag.

• Den arabiska matematiken gav oss bl a algebran, men bidrog också till att sprida känd matematik som t ex siff ror och talsystem, från indierna.

• I Europa fi ck matematiken en stark ställning och blev ett viktigt verktyg när naturvetenskapen utvecklades från 1500­talet och framåt.

Idag spelar datorer och matematiska modeller en viktig roll i vårt samhälle och dess utveckling.

1 aritmetik – om tal

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 9

gammal babylonisk lertavla. Babylonien var beläget vid floderna eufrat och tigris i nuvarande irak.

9

08-06-03 07.13.15

1.1 Hela tal Olika typer av tal

tvecklingen av matematiken har gett oss flera olika mängder av tal som U kan beskrivas med följande figur:

2

7/9 –1

–13 0

R

Q

Z

N

7 1

π –2/3

–8

N Naturliga tal

D e här talen använder vi när vi börjar räkna och behöver hålla reda på antal.

Ett exempel på detta är skårorna på vargbenet från Mähren.

Z Hela tal

Temperaturen är +6 °C och sjunker 8°. Vad blir den då?

6 – 8 = ? (Här krävs negativa tal.)

Q Rationella tal

6 personer ska dela på 4 st bröd. Hur mycket får var och en?

4 /6 = ? (Här krävs bråktal)

R Reella tal

Detfinns oändligt många tal som inte går att skriva som bråk och därför kallas irrationella tal, t ex 2 och π.

{0, 1, 2, 3, 4, …}

{…, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

{alla tal a/b, där a och b tillhör Z och b ≠ 0}

{alla rationella + irrationella tal}

v figuren ovan kan vi se att ett naturligt tal också är ett heltal, ett heltal A också är ett rationellt tal och att alla taltyper ovan är exempel på reella tal.

Alla reella tal kan hittas på tallinjen, t ex −

10

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 10

–5 – 4 – 3 – 2 –1

1 2

2 0

1

2

π

13 4

3

4

Behöver vi fler taltyper?

De reella talen räcker långt, men i kurs E studerar vi de komplexa talen och vad de kan användas till!

1.1 HELA TAL

08-06-03 07.13.20

Aktivitet

Undersök

Olika tal och de fyra räknesätten Skriv av uppställningarna och lös uppgifterna.

Uppgift 1–3: Placera talen 1, 2, 5 och 7 i rutorna så att …

1 produkten blir så stor som möjligt.

( + ) ∙ ( + )

Liten matematisk gloslista

2 kvoten är det naturliga talet 2.

Term adderad med term ger en summa.

_________ ( – ) = 2 ( – )

2 Subtraktion:

1 Addition:

_________ ( − ) = ( − )

9 – 1 = 8

Term subtraherad från term ger en differens.

Kan du göra det på mer än ett sätt?

3 kvoten är det rationella talet

4 + 3 = 7

1 .

2

1 2

3 Multiplikation:

3 · 12 = 36

Faktor multiplicerad med faktor ger en produkt.

15 =5 3

4 Division:

Täljare dividerad med nämnare ger en kvot.

Kan du göra det på mer än ett sätt?

4 Hur ska vi ändra i uppgift 3 om vi istället vill ha det negativa talet (−2) som kvot?

På hur många olika sätt kan vi göra det?

5 Placera ut heltalen 1–9 i rutorna så att alla tre likheterna stämmer.

(OBS! Du får bara använda varje siffra en gång.)

1.1 HELA TAL

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 11

+

= −

= ∙

=

11

08-06-03 07.13.25

Positiva tal – räkneordning och räknesätt

Exempel

6 + 3 ∙ 5

Milla: ”Det blir 9 ∙ 5 = 45”

Sofie: ”Nej, det blir 6 + 15 = 21”

e fick olika resultat trots att ingen ”räknat fel”. Milla har utfört D additionen först och Sofie har börjat med multiplikationen.

Men en beräkning med flera räknesätt måste naturligtvis ge samma resultat oavsett vem som utför den.

räkneordning

Milla och Sofie ska beräkna värdet av uttrycket

Därför har man inom matematiken kommit överens om enräkneordning som innebär att multiplikation går före addition. Sofie hade alltså ”rätt”.

Räkneordning

1 Parenteser först, vilket ger

15 / (8 – 3) + 4 ∙ 32 – 10 15 / 5 + 4 ∙ 32 – 10

Prioriteringsregler

2 Därefter upphöjt till (32 = 3 ∙ 3 = 9)

15 / 5 + 4 · 9 – 10

3 Sedan multiplikationer och divisioner (från vänster till höger)

3 + 36 – 10

4 Till sist additioner och subtraktioner (från vänster till höger)

29

G rafritande och symbolhanterande räknare följer reglerna ovan. Du kan mata in uttryck i samma ordning som du skriver dem, men du måste känna till några saker:

◗ Matematiken är full av ”osynliga” multiplikationstecken: Vi kan t ex skriva 2(5π + 3) och mena 2 ∙ (5 ∙ π + 3).

◗ Ibland kan det vara lite osäkert hur ett uttryck ska tolkas: Vad menar vi t ex med 25/2π? Ska det vara 25/2 ∙ π eller 25/(2 ∙ π)?

Undersök hur din räknare gör! Sätt alltid ut multiplikationstecken och parenteser om du är osäker.

◗ När vi ska utföra divisioner med räknare behöver vi ofta använda paren­teser:

12

008-019 Kapitel 1.1.indd 12

5 ⋅ 3 +1 skrivs med parenteser (5 ∙ 3 + 1) / (7 + 52) 7 + 52

1.1 HELA TAL

08-06-17 13.55.32

1101

1102

Beräkna utan räknare a) 35 + 3 ∙ 4 – 48 / 6

b) 22(9 – 1) – 12 / 3 · 2

a) 35 + 3 ∙ 4 – 48 / 6 = = 35 + 12 – 8 = 47 – 8 = 39

b) 22(9 – 1) – 12 / 3 · 2 = = 4 · 8 – 4 · 2 = 32 – 8 = 24

13 ⋅ 19 + 5 4 ⋅ 17 − 50 Vi sätter in parenteser och matar in (13 ∙ 19 + 5) / (4 ∙ 17 – 50).

Kontrollera att din räknare ger resultatet 14.

Beräkna med räknare

1103 I vilken ordning ska operationerna utföras?

A B ↓ ↓

C ↓

a) 8 + 3 ∙ (4 – 1)

A B C D ↓ ↓ ↓ ↓ b) 5 ∙ 23 + 3 ∙ 4

1109 a) 51 ∙ 37 + 47 ∙ 17

  51 ⋅ 37 + 47 ⋅ 17 b)   17 

1104 Beräkna utan räknare

1110 Skriv ut de ”osynliga” multiplikations­ tecknen i

a) 17 – 3 ∙ 2 + 5 – 18 / 3

b) 18 / 3 ∙ 5 – 24 /4 ∙ 16 / 4

c) 12 + 12 / 3 + 1

d) (12 + 12) / 3 + 1

1105 Skriv av och sätt ut parenteser så att likheterna gäller.

a)

2 +1 = 2 + 1/4 – 1 4 −1

b)

4 = 4 / 13 ∙ 5 13 ⋅ 5

Beräkna 1106–1109 med räknare.

5 494 med parenteser 41 ⋅ 67 och utför beräkningen.

1106 Skriv om uttrycket

155 ⋅ 17 1107 a)

31 1108 a)

1 0 1

23+ 24

6 279 ⋅ 6 b) 23 ⋅ 39 b)

3 + 5 9 19

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 13

b) πrs + π r2

1111 Är 7(4 + 3) lika med (7 ∙ 4 + 7 ∙ 3)?

Visa med beräkningar.

1112 Sätt in en parentes som ändrar räkne ordningen så att värdet av uttrycket

2 ∙ 52 + 3 ∙ 4 blir så

a) stort som möjligt

b) litet som möjligt.

1113 Förklara med hjälp av följande figur varför 3 ∙ 4 = 4 ∙ 3.

1114 Vi antar att siffertangenten 4 är trasig på din räknare. Hur räknar du då ut 478 ∙ 444?

1115 Skriv om multiplikationerna till upprepad addition och förklara varför 2∙3+4∙3=6∙3 1116 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36 / (a/10)

1.1 HELA TAL

a) 3(4 + 5π)

a) mindre än 1

b) större än 36?

13

08-06-03 07.13.39

Primtal – delbarhet och faktorisering

Exempel 1

Jennie ska dela upp 17 st kompisar i olika grupper. Hur hon än gör så är det omöjligt att dela upp kompisarna i ett antal grupper med lika många i varje grupp.

J ennie funderar vidare och ser att om de varit 14, 15, 16 eller 18 st så hade det inte varit några problem. Men 13 eller 19 st kompisar hade också varit omöjligt att fördela jämnt.

Primtal

Talet 17 går bara att dela med 1 och sig självt.

Tal som bara går att dela med 1 och sig självt kallas primtal.

Heltalet 18 är inte ett primtal, det är delbart med 6 därför att kvoten 18/6 = 3 dvs ett heltal. 6 är en delare till 18.

delbarhet delare

faktorisera Att skriva 18 som produkten 3 ∙ 6 kallas att faktorisera eftersom

3 och 6 är faktorer i en produkt. Vi kan direkt inse att detta innebär att 18 är delbart med både 3 och 6.

Sammansatta tal

Primfaktorer

Exempel 2

Talet 1 001 är sammansatt eftersom 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1 001.

Uppdelningen i primfaktorer av de sammansatta talen är entydig.

Detta betyder att om 391 = 17 ∙ 23 så kan 391 inte vara lika med t ex 37 ∙ 13.

Att antalet primtal är oändligt visade den grekiske matematikern Euklides redan på 300-talet f Kr. (Se Euklides bevisidé i uppgift 1129.)

För tal som är delbara finns några enkla regler:

1 Vilka tal är delbara med 2?

Svar: Alla jämna tal, t ex 18, 280 och 6 590.

Tal som går att skriva som en produkt av andra tal kallas sammansatta tal.

Alla heltal större än 1 kan indelas i primtal och sammansatta tal. Är talet inte ett primtal så är det ett sammansatt tal som kan delas upp i primfaktorer, dvs faktorer som är primtal, t ex 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3.

De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13 och 17.

2 är det enda jämna ­primtalet.

2 Vilka tal är delbara med 3?

Delbarhetsregler

Svar: Alla tal vars siffersumma är delbara med 3, 111, 201 och 642.

3 Vilka tal är delbara med 5?

Svar: Alla tal som slutar på 0 eller 5, t ex 45, 920 och 1 015.

14

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 14

1.1 HELA TAL

08-06-03 07.13.40

Största kända?

ör att undersöka om riktigt stora tal är primtal eller inte, har dagens F matematiker kraftfulla datorer till hjälp. En datagrupp i USA höll i slutet av år 2006 rekordet med det största kända primtalet: M32582657. Det är ett 9 808 358 siffror långt tal. Vi vet tack vare Euklides att det finns oändligt många primtal. Jakten på nya rekord pågår hela tiden!

Primtal och kryptering

rimtal och deras egenskaper har länge fascinerat matematiker. G H Hardy P (1877–1947) var en engelsk matematiker som beskrev skönheten hos de ”onyttiga” primtalen.

rimtalen har dock fått en mycket nyttig tillämpning inom datasäkerhet: P För att hindra åtkomst kan känsliga data krypteras med den s k RSA-kryp­ teringen. Krypteringen sker med ett mycket stort tal (200 siffror), som är en produkt av två stora primtal (100 siffror). Finessen är att bara de som har tillgång till de 100-siffriga primtalen kan dekryptera datafilerna. Även om metoden är välkänd så är det idag, trots datorhjälp, tidsmässigt omöj­ ligt att faktorisera det 200-siffriga talet och knäcka koden!

1117

Faktorträd

a) Dela upp talet 42 i primfaktorer. b) Ange alla delare till 42 ­(utöver 1 och 42). a) Faktoruppdelningen underlättas om vi ritar ett s k faktorträd: 42 2

21 3

6 7

42 = 6 · 7

42

42 = 2 · 21

2

7 3

De båda faktorträden ger naturligtvis samma slutresultat: 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7

b) Svar: Delare till 42 är alla primfaktorer samt de möjliga produkterna av dem, dvs 2, 3, 6 (2 ∙ 3), 7, 14 (2 ∙ 7) och 21 (3 ∙ 7).

1.1 HELA TAL

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 15

15

08-06-03 07.13.53

1118 Vilka av talen 135, 235, 448, 640 och 2 001 är delbara med

a) 2

c) 5

b) 3

d) 15?

1119 Vilka är primtal och vilka är sammansatta tal?

a) 4

d) 27

b) 63

e) 39

c) 19

f) 41

1126 Förklara varför produkten av tre på var­ andra följande heltal alltid är delbar med 6.

1127 Erathostenes var en grekisk matematiker som införde en metod att ”sålla ut” primtal.

För att hitta alla primtal mindre än 100 kan man göra på följande sätt:

” Skriv upp talen 1 till 100 på ett papper, t ex i tio rader. Börja med det minsta talet 1.

1 är inget primtal och kan därför strykas.

Ta sedan nästa tal, 2. 2 är ett primtal och ska därför ringas in. Stryk sedan alla tal som är delbara med 2 och därför inga primtal. Fortsätt med 3, ringa in 3 och stryk alla tal som är delbara med 3. Gå sedan vidare på samma sätt med nästa tal som inte är struket eller inringat och upprepa proceduren tills alla tal är inringade (= primtal) eller strukna (= sammansatta tal).”

a) Finn alla primtal mindre än 100 med Erathostenes såll.

b) Talet 13 är ett primtal. Låter vi siffrorna byta plats får vi talet 31 som också är ett primtal. Vilka fler tvåsiffriga tal med denna egenskap finns?

c) Bör vi hitta fler eller färre primtal mellan 101 och 200 än i a)? Motivera!

1120 Dela upp i primfaktorer och ange alla delare (utöver 1 och talet självt) till

a) 36

b) 68

1121 Rita av och fullborda faktorträdet

a)

b) 54 2

6

5

3

11

1122 Vilket är det största tvåsiffriga primtalet?

1123 Varför måste ett tal som är delbart med 10 också vara delbart med både 2 och 5?

1124 Jonas: ”Om ett tal är delbart med både 3 och 4 så är det delbart med 12.”

Jenny:”Om ett tal är delbart med 2 och 6 så är det delbart med 12.”

Visa med ett exempel att en av dem har fel!

1125 Om talet A är delbart med 4 är då också (A + 4) delbart med 4? Motivera ditt svar.

16

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 16

1128 Talet 101 är inte delbart med något av talen 2, 3, 5, 7 och 11. Förklara hur du då kan veta att 101 är ett primtal.

1129 Euklides bevisade att antalet primtal är oändligt med ett s k motsägelsebevis:

Vi antar t ex att bara primtalen 2, 3, 5 och 7 finns.

Bilda talet n = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 + 1.

Förklara varför n måste vara ytterligare ett primtal och varför vårt antagande är fel.

1.1 HELA TAL

08-06-03 07.13.56

Negativa tal

e negativa talen har använts i kinesisk matematik i över 2 000 år och i D indisk matematik åtminstone sedan 600-talet. I många delar av världen accepterades de negativa talen relativt sent. Flera kända europeiska ma­ tematiker tyckte så sent som på 1600-talet att tal mindre än noll saknade ­mening, men när man gjorde affärer betecknade man sedan lång tid till­ baka skulder som något negativt.

10 + (–15) = 10 – 15 = –5 10 – (–15) = 10 + 15 = 25

Räkneregler

3 ∙ (– 4) = –12  (– 10) ∙ 5 = –50 24 / (– 8) = –3  (–30) / 3 = –10 

Olika tecken ger minus.

(–3) ∙ (–1) = 3  10 ∙ 5 = 50 (–24) / (– 8) = 3   30/3 = 10

Lika tecken ger plus.

Motsatta tal

temperaturskalan

◗ T emperaturen är 12°. Den sjunker 15° (förändringen är –15°).

Sluttemperaturen blir i grader: 12 – 15 = 12 + (–15) = – 3

◗ H ögsta temperaturen var 12°. Lägsta temperaturen var –15°.

Temperaturskillnaden i grader: 12 – (–15) = 12 + 15 = 27

bakgrund till produktreglerna

◗ 3 ∙ (– 4) = (– 4) + (– 4) + (– 4) = – 12

(upprepad addition)

◗ (– 4) ∙ 3 = 3 ∙ (– 4) = – 12

(ordningen betyder inget)

◗

1.1 HELA TAL

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 17

e negativa talen och reglerna ovan har du mött i grundskolan, D men vi ger här en liten bakgrund till dem: Talen 5 och – 5 kallas motsatta tal. Det motsatta talet till 7 är –7 och det motsatta talet till – 35 är 35.

Subtraktion kan vi definiera som ”addition av det motsatta talet”: 12 – 15 = 12 + (–15) = – 3 12 – (–15) = 12 + 15 = 27 Beräkningar på temperaturskalan är en modell för detta:

Vad betyder produkterna 3 ∙ (– 4), (– 4) ∙ 3 och (–3) ∙ (– 4)?

Om vi vill räkna med negativa tal enligt samma regler som för positiva tal, får vi:

(–3) ∙ [(– 4) + 4] = 0 (–3) ∙ (– 4) + (–3) ∙ 4 = 0 (–3) ∙ (– 4) – 12 = 0 (–3) ∙ (– 4) = 12

(multiplicera in (–3))

17

08-06-03 07.13.57

minustecknets betydelser

Observera att minustecknet kan ha tre olika betydelser: 1 För att ange en subtraktion, t ex 17 – 5. Resultatet är en differens (skillnad).

2 För att beteckna ett negativt tal: –15 är ett negativt tal, ett tal 15 enheter mindre än noll.

3 För att beteckna det motsatta talet: –5 är det motsatta talet till 5 (och tvärtom).

Det är vanligt att det på räknare finns två olika knappar för minustecken. används för negativa tal. används för subtraktion och (—) —

5 –5 – 8 = (—)

—

8 Är du osäker kan du alltid sätta ut

paren­teser kring ­negativa tal.

1130 Beräkna

a) 23 + (–15)

d) 4 – (– 4) ∙ (–5)

b) – 23 – 15

e) 30 / (–10)

c) – 4 – (–5)

f) (–2) ∙ (–3) ∙ (– 4)

a) 23 + (–15) = 23 – 15 = 8

d) 4 – (– 4) ∙ (–5) = 4 – 20 = –16

b) –23 – 15 = –38 c) – 4 – (–5) = – 4 + 5 = 1

e) 30 / (–10) = –3 f) (–2) ∙ (–3) ∙ (– 4) = 6 ∙ (– 4) = –24

1131 En senvinterdag är det – 4 °C på morgonen,

6 °C mitt på dagen och 0 °C på kvällen.

Beräkna temperaturskillnaden från

a) morgonen till mitt på dagen

b) mitt på dagen till kvällen.

a) En skillnad eller förändring kan vi beräkna med differensen

( Nya värdet) – (gamla värdet) = = 6 – (– 4) = 6 + 4 = 10

dvs temperaturen har ökat med 10 °C.

b) (Nya värdet) – (gamla värdet) = 0 – 6 = – 6 dvs temperaturen har sjunkit med 6 °C.

Svar: Temperaturskillnaden är a) 10 °C b) – 6 °C.

18

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 18

1.1 HELA TAL

08-06-03 07.14.06

Lös 1132–1135 utan räknare.

Kontrollera svaren med räknare.

1141 Beräkna utan räknare −1 − (−1) ·

1132 a) 13 + (–8) b) 5 – (–12)

c) –13 – 24 d) 40 – 50

1133 a) 4 ∙ (–7)

c) 3 ∙ (– 4) ∙ (–4)

d) (–5) ∙ (–2) ∙ (–2)

b) (–6) ∙ (–9)

1134 a) (–10) / 2

c) 18 / (–3)

d)

b) (–24) / (–6)

1135 a) – 4 + (–9) – 6

b)

(− 5) · (−6) (− 10)

c) 13+ (–9)/3 – 4

(− 24)

2 ⋅ (− 6)

d) 12 – (– 4) ∙ 3

1136 Ordna talen 22 , 0 , –1, 21 och – 4 i storleks­ ordning med det minsta talet först.

1137 Sommarstugeägare Svensson har en s k max­–min-termometer som inte nollställts på 5 år. Maxtemperaturen är 35 °C och min-temperaturen är –31°C. Hur stor är temperaturdifferensen mellan max- och mintemperaturen?

1138 Ange temperaturändringen med ett positivt eller negativt tal.

Starttemperatur

Sluttemperatur

a) +21 °C + 32 °C b) +21 °C + 13 °C c) – 7 °C + 7 °C d) – 3 °C – 29 °C

(−1) (−1)

1142 I en s k aritmetisk talföljd är differensen mel­ lan två på varandra följande tal konstant.

Vilka tal ska stå i rutorna?

a) 4, –2, –8,

b) 12, , –26

1143 I en frågesport får du +2 poäng om du svarar rätt men –3 poäng om du svarar fel.

Undersök: Är det möjligt att du kan ha

a) 0 poäng efter att ha svarat på 10 st frågor b) 0 poäng efter att ha svarat på 8 st frågor?

1144 Talen …, – 4, –2, 0, 2, 4, ... är jämna.

Talen …, –3, –1, 1, 3, … är udda.

n kompis hävdar att differensen mellan E två udda tal alltid är ett jämnt tal. Har din kompis rätt? Motivera!

1145 För ett positivt heltal a och dess mot- satta tal –a gäller att a – (–a) = p, där p är ett primtal. Vilket tal är a?

1146 En smältande glaciär drar sig tillbaka 4 dm per dygn. Efter tre dygn har glaciärens läge förändrats enligt produkten 3 ∙ (– 4) dm = –12 dm

Tolka och förklara vad produkten (–3) ∙ (– 4) dm = +12 dm innebär för glaciären.

1139 Om innehållet (saldot) på ditt konto är negativt så innebär det att du har en skuld.

Vi säger att du den 1/1 har 2 500 kr på ditt konto. Den 11/1 har du –200 kr på ditt konto.

ilket är saldot på ditt konto den 21/1 om V saldot fortsätter att sjunka i samma takt?

1140 Sätt in negativa tal i parenteserna så att likheten stämmer.

a) ( ) ∙ ( ) = 32 c) ( ) – ( ) = 8

b) ( ) + ( ) = –10

1.1 HELA TAL

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 19

19

08-06-03 07.14.21

1.2 Rationella och reella tal Bråkbegreppet

Bråkform

m bara hela tal hade funnits, skulle vi kunna utföra divisionen 15/3 = 5 O men inte divisionen 2/3. Vi behöver införa tal i bråkform.

Ett tal i bråkform kan skrivas med ett rakt eller ett snett bråkstreck:

2 = 2 / 3 3

Täljare Nämnare

Talet ovanför bråkstrecket kallas täljare och talet under bråkstrecket kallas nämnare.

Täljare

2 – 3

Nämnare

”Antal” (Förtäljer, från tyskans zähler.)

”Namn” (Benämning, från tyskans n ­ enner.)

Får inte vara noll.

Rationella tal

et är viktigt att förstå att flera olika bråk kan beskriva samma sak.

D Vi kan därför förlänga eller förkorta ett bråk utan att ändra dess värde.

Vi förlänger med 2.

förlänga/ förkorta

Tal i bråkform bildar tillsammans med heltalen de rationella talen.

Vi förkortar med 2:

1 1⋅2 2 = = 3 3⋅2 6 Täljare och nämnare multipliceras med 2.

1 3

2 2/2 1 = = 6 6/2 3 Täljare och nämnare divideras med 2.

2 6

1201

20

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 20

1202

I en skola med 450 elever är 270 flickor. Beskriv andelen flickor med ett bråk i enklaste form (förkorta så långt som möjligt).

270 270 /10 27 27 / 9 3 = = = = Svar: 3/5 av eleverna är flickor.

450 450 /10 45 45 / 9 5 11 med 5.

Förläng 17 11 11 ⋅ 5 55 = = 17 17 ⋅ 5 85

(55/85 har samma värde som 11/17.)

1.2 rationella och reella tal

08-06-03 07.14.28

1203 Avgör vilket bråk som är minst och ange sedan ett bråk mellan

2 16 a) och 3 21

Bråk är enklast att jämföra om de har samma nämnare (är av samma sort). Sök därför en gemensam nämnare.

3 2 b) och 7 5

2 2 ⋅ 7 14

a) = = 3 3⋅7 21

b)

2 2·7 14 3 3 ⋅ 5 15 och = = = = 5 5·7 35 7 7⋅5 35

< betyder ”mindre än”

2 16 14 16 dvs <

< 3 21 21 21

14 15 2 3 dvs < < 35 35 5 7

15 14 16 är ett bråk mellan och

21 21 21

Vi förlänger med 2 vilket ger

15 5 kan förkortas till 21 7

15 30 14 28 = och

= 35 70 35 70

a) Svar:

5

7

b) Svar:

29 70

Med ett förhållande mellan två tal menas kvoten av talen.

Förhållande Förhållandet mellan 360 och 540 är

Förhållandet

2 skrivs ofta 2:3.

3

360 2 = 540 3

Förenklat till enklaste form

1204

Sofie och Eva äger aktier i ett gemensamt företag. Sofie äger 210 st aktier och Eva 490 st.

Ange i enklaste form förhållandet mellan antalet aktier som Sofie och Eva äger.

210 21 3

= = eller 3:7 Av 10 st aktier äger Sofie tre och Eva sju.

490 49 7 Förhållandet är tre till sju.

Av exemplen kan vi se att ett bråk kan användas för att beskriva flera saker, t ex

− Ett tal (på tallinjen eller resultatet av en division). − En andel (hur många av … eller hur stor del av det hela). − Ett förhållande (hur två olika tal eller mängder förhåller sig till varandra).

1.2 rationella och reella tal

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 21

21

08-06-03 07.14.50

1205 Hur stor andel är färgad? a)

1213 En TV kan ha olika förhållanden mellan bredd och höjd på bilden. 4:3 är ett standardformat medan 16:9 är widescreen. Ayla mäter bred­ den på sin TV till 56 cm och höjden till 42 cm. Är Aylas TV standard eller widescreen?

b)

1206 Rita av figurerna och skugga andelen 2/5.

a)

b)

1208 Vilka av följande bråk har samma värde?

2 4 4 10 5

5

6

15

7

1209 Förläng bråket 3/8 så att

a) nämnaren blir 24

b) täljaren blir 24.

a) 36 och 72

b) 75 och 225.

1211 Ange ett bråk som har samma värde som 2/7 men en nämnare som är

a) 21

a) större än 1/2

b) mindre än 1/2.

a) Hur stor är andelen vita kulor i ask A?

b) I vilken ask är andelen vita kulor störst?

1216 Förklara varför

a)

b)

5

11 3

är större än är större än

5 12

1 .

3

1217 Två tal förhåller sig som 3:4. Vilka är talen om deras summa är 28?

1210 Skriv i enklaste form förhållandet mellan

1215 I ask A ligger 11 vita och 14 svarta kulor.

I ask B ligger 20 vita och 30 svarta kulor.

1207 Hur stor del av en timme är 24 minuter?

Svara i enklaste form.

3

1214 Skriv ett bråk med nämnaren 36 som ligger så nära 1/2 om möjligt, men är

1218 En rektangel har omkretsen 240 cm. Förhål­ landet mellan sidorna är 3:7.

Hur långa är sidorna?

1219 Ange ett bråk mellan

b) 56.

6 13 eller ?

1212 Vilket bråk är störst, 11 22 Visa!

a)

1

2

och

1

3

b)

4

7

och

5

1220 Dela upp täljare och nämnare i primfakto-

35 inte går att

rer och förklara varför 66 förkorta.

Bråk på räknaren De flesta räknare kan räkna med bråk.

Kan din? Undersök din räknare.

1 Går 23/47 att förkorta?

2 Är 44/444 = 33/333?

22

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 22

3 Vad blir 1/3 + 1/3 + 1/3? Varför?

4 Vad blir 2 ∙ 1/3? Varför?

1.2 rationella och reella tal

08-06-03 07.15.07

Räkna med bråk

å British Museum finns ett för matematiken viktigt dokument, P ­Rhindpapyrusen.Den skrevs för nästan 4 000 år sedan och visar bl a hur de gamla egyptierna räknade med bråk. Metoderna har sedan dess utvecklats. Vi repeterar här några metoder/regler som du mött tidigare.

Vid addition och subtraktion förlänger vi bråken så att de får samma Addition och nämnare, samma ”sort”. subtraktion 5 3 1 10 9 6 10 + 9 − 6 13

+ − = + − = = 6 4 2 12 12 12 12 12

Blandad form

13 1 kan också skrivas 1 vilket kallas blandad form.

12 12

Vid multiplikation av bråk multipliceras täljarna för sig och nämnarna för sig.

3 2 3⋅ 2 6 ⋅ = = 5⋅ 7 35 5 7

Multiplikation

3⋅

4 31 4 1 4 ⋅ = ⋅ = 93 5 3 5 15

4 3 4 3⋅ 4 12 = ⋅ = = 19 1 19 19 19

3·

(Förkorta först om det går.)

4 3· 4 = 19 19

7

Inverterat tal Man säger att är det inverterade talet till . Täljare och nämnare

7 har bytt plats.

Observera att

7 ⋅ =1 7

Att dividera med ett bråk är detsamma som att multiplicera med ­bråkets inverterade tal.

Vi kan visa detta genom att förlänga med det inverterade talet vilket gör att nämnaren blir 1.

Division

3 4 = 8 9 5

3 9 3 9 ⋅ ⋅ 4 8 = 4 8 = 3 ⋅ 9 = 27 8 9 1 4 8 32 ⋅ 9 8

3 8 3 9 = ⋅ 4 9 4 8

7 35 3 4 = 5⋅ = = 8 7 4 4 4

1.2 rationella och reella tal

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 23

23

08-06-03 07.15.19

1221 Beräkna

a)

7 11 13 + −

30 30 30

a)

7 11 13 7 + 11 − 13 5 1 = = + − = 30 30 30 30 30 6

b) 1 −

b) 1 −

2 1 + 5 3

2 1 1 · 15 2 ·3 1 · 5 15 6 5 15− 6 + 5 14 − + = + = − + = = 5 3 15 5·3 3 · 5 15 15 15 15 15

1222 Förklara varför 2 ⋅

2 4 = 7 7

2 2 2 Förväxla inte 2 · 7 med 2 7 som betyder 2 + 7

2 2 2 4 Omvandla: 2 ⋅ = + = 7 7 7 7

1223 Beräkna

a)

a) Vi kan resonera så här: 1/3 av 300 kr = 300/3 kr = 100 kr.

b)

2 av 300 kr 3

2 5 b) av 3 16

2 2 ⋅ 300 av 300 kr = kr = 2 ∙ 100 kr = 200 kr 3 3 2 5 av = 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 1 ⋅ 5 = 5 3 16 3 16 3 ⋅ 16 3⋅ 8 24

1224 Hur många tredjedelar går det på 4 hela, dvs vad blir 4

12 Det går alltså 12 tredjedelar på 4 hela, dvs 4 3 3 1 = 4 ⋅ = 12 Med beräkning får vi direkt: 4 3 1

4 =

1225 Beräkna a)

3 6

4 5

b)

3 5 1⋅ 5 5 3 6 = ⋅ = = 4 5 4 6 4 ⋅2 8

a)

b) Hälften av 4/5 är 2/5. Beräkning:

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 24

1 = 12 3

4 2 5

24

1 ?

3

4 1 2⋅1 2 4 4 2 2= = ⋅ = = 5 5 1 5 2 5 ⋅1 5 1.2 rationella och reella tal

08-06-03 07.15.42

1236 Vilket tal i bråkform ska man

Beräkna 1226–1229 utan räknare.

1226 a)

4 2 + 7 7

c)

1 1 − 3 6

11 5

− 1 1

d)

2 1 + +2 3 4

b)

1 1227 a) 5 ⋅ 6

1 6 c) ⋅ 2 7

a) subtrahera från 27/16 för att differensen ska bli 1

b) multiplicera 9/13 med för att produkten ska bli 1

c) dividera 6/11 med för att kvoten ska bli 1?

1237 Beräkna utan räknare 2 5 ⋅3⋅ 15 6

4 5 b) 3 −  − 6   5

b)

4 ⋅ 2 9

d)

5 ⋅ 11 9

1228 a)

2 3

9 5

c)

12 / 13 6

1238 Egyptierna räknade nästan bara med bråk där nämnaren är lika med 1, s k stambråk.

2/7 kan skrivas som summan av två stam­ bråk. Det ena är 1/4. Vilket är det andra?

1 7 b) 3 4

1229 a) 4 −

b)

1 2 d) 3 4 3

5

3 8 5

1230 Förklara varför 2

c)

15 2 ⋅ 32 75

d) 4

4 3

3 13 = 5 5

1231 Skriv på formen a / b ett rationellt tal som är

a) 3 mer än 7/9

b) 1 mindre än 8/5.

1232 Hur många minuter är 3/5 timme?

1233 Hur förändras värdet på bråket 4/5 om du

a) multiplicerar täljaren med 2

b) multiplicerar nämnaren med 2

c) dividerar bråket med 1/2?

1239 Du och dina kompisar ska dela på en jätte­pizza. Fatana får 1/6 av hela pizzan.

Benjamin får 1/5 av det som är kvar.

Mahmoud får 1/4 av det som sedan är kvar.

Dani får 1/3 av resten och Erik får 1/2 av åter­stoden. Vad blir kvar till dig?

1240 Vilket tal är det som

a) dividerat med 24 ger 3/4

b) multiplicerat med 2/3 ger 3/2?

1241 Beräkna i bråkform medelvärdet av talen 1/2, 5/8 och 7/16.

1242 En maskins värde sjunker varje år till 4/5 av värdet året innan. Idag är maskinens värde 320 000 kr.

a) Vad blir värdet om 3 år?

b) Vad var värdet för 3 år sedan?

1243 Tal 1 / Tal 2 = 10 ∙ Tal 1 Vilket tal måste Tal 2 vara ?

1234 Hur många glas räcker 1 ½ liter läsk till om varje glas rymmer ¼ liter?

1235 Andrea och Sofie tippade tillsammans.

Andrea satsade 150 kr och Sofie 200 kr.

De vann 7 000 kr. Hur ska de dela vinsten?

1.2 rationella och reella tal

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 25

a)

1244 För ett bråk B gäller att B

Vad blir B

2 ?

3

1 . = 3 21

25

08-06-03 07.16.00

Tal i decimalform

Decimalform

decimal- utvecklingar

Om vi använder räknaren så kan vi snabbt överföra några rationella tal till decimalform: 1/2 = 0,5 3/16 = 0,1875

Avslutade (ändliga)

2/3 = 0,66666…

12/37 = 0,324324…

Oavslutade (oändliga)

Vad betyder de olika siffrorna i ett tal med decimaler?

HELTALSDEL

DECIMALDEL

375,125

3 · 100 (platsvärde 100)

7 · 10 (platsvärde 10) 5 · 1 (platsvärde 1)

Decimalsystemet

5 · 0,001 (platsvärde 1/1000) 2 · 0,01 (platsvärde 1/100) decimaltecken

1 · 0,1 (platsvärde 1/10)

årt talsystem har 10 siffror och är ett positionssystem med talet tio som V bas. Det innebär att en siffras platsvärde divideras med 10 när vi går från ­vänster till höger: hundratal, tiotal, ental, tiondelar, hundradelar, tusen­ delar osv.

Systemet kallas decimalsystemet eller tiosystemet, decem betyder 10 på

tiosystemet latin. Tal skrivna i decimal­systemet sägs vara skrivna i decimalform.

I Sverige använder vi decimalkomma, men i många andra länder använder man decimalpunkt liksom räknare och datorer gör.

utvecklad form Talet 375,125 kan med hjälp av platsvärdena skrivas i s k utvecklad form:

375,125 = 3 ∙ 100 + 7 ∙ 10 + 5 ∙ 1 + 1 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,01 + 5 ∙ 0,001

1245 a) Förklara varför 0,7 är större än 0,17.

b) Skriv 0,24 som ett bråk.

a) 0,7 = 0,70 = 70/100 = 70 hundradelar 0,17 = 17/100 = 17 hundradelar

a) Svar: 70 > 17, alltså är 0,7 > 0,17

b) Svar: 6/25

0,24 = 24 hundradelar 24/100 = 12/50 = 6/25

> betyder ”större än”

26

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 26

1.2 rationella och reella tal

08-06-03 07.16.03

I de flesta fall är det inte meningsfullt att ta med alla decimaler som räk­ naren visar. Vi måste avrunda. Om vi t ex ska avrunda 7,43 och 7,48 till en decimal så kallas 4:an för avrundningssiffra.

Följande avrundningsregler används:

Avrundningssiffra Om siffran efter avrundningssiffran är

Avrundningsregler ◗ 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran 7,43 ≈ 7,4

◗ 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran ett steg. 7,48 ≈ 7,5

Närmevärde Ett avrundat tal är ett närmevärde. 0,67 är t ex ett närmevärde till 2/3 eftersom 2/3 ≈ 0,67.

1246 Ange det minsta och det största möjliga tal med två decimaler som båda avrundade till en decimal blir 1,9.

Det minsta talet är 1,85 och det största är 1,94.

Vi skriver 1,85 ≈ 1,9 och 1,94 ≈ 1,9.

Lägg märke till att enligt våra avrundningsregler så avrundas 1,85 till 1,9.

Svar: 1,85 och 1,94.

1247 Avrunda följande tal genom att betrakta 3:an som avrundningssiffra.

a) 53,48 c) 2,0397 e) 357

b) 132,51

d) 0,3499

f) 0,0135

1251 Vilket tal pekar pilarna A och B på?

A

B

0,1

0,2

1248 Skriv med siffror

1252 Vilka bör de två utelämnade talen vara?

a) etthundratvå och sju tiondelar

b) ettusenett och trettionio tiotusendelar

c) fem och femhundrafyrtiofem tusendelar.

2 1 0,5 0,25 ___ ___

1253 Ordna talen i storleksordning med det minsta först

1249 Avrunda 503,752 till

a) 3,453

3,493

3,4524

3,4053

b) −0,1

−0,09

−1,245

−1,24

a) hundradelar b) tiondelar

c) heltal d) tiotal.

1250 Skriv som ett bråk i enklaste form

a) 0,18

b) 0,028

c) 1,04

1254 Skriv tre tal mellan

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 27

b) 0,24 och 0,243.

1255 Vilket tal ligger mitt emellan

1.2 rationella och reella tal

a) 7,2 och 7,22

a) 0,55 och 0,56

b) −1,2 och 1,0?

27

08-06-03 07.16.04

Överslagsräkning och antal siffror

Maria tittar på sin räknare och funderar:

Ӏr svaret rimligt?

Hur mycket ska jag avrunda det?”

Om du behöver kontrollera ett svar eller saknar en räknare är det bra att kunna överslagsräkning.

Ersätt de givna talen med så enkla tal att

Överslagsräkning

tumregler

beräkningarna blir enkla att utföra i huvudet resultatet blir ungefär detsamma.

◗ Vid multiplikation:

en ena faktorn ökas och den andra minskas.

D 2,71 ∙ 85 ≈ 3 ∙ 80 = 240

◗ Vid addition:

en ena termen ökas och den andra minskas.

D 751 + 453 ≈ 700 + 500 = 1 200

◗ Vid division:

Både täljare och nämnare ökas eller minskas.

◗ Vid subtraktion:

548 600 ≈ = 300 1, 53 2 e till att du får så enkla tal att divisionen går S lätt att utföra i huvudet.

Båda termerna ökas eller minskas.

6 321 – 834 ≈ 6 300 – 800 = 5 500

antal siffror Hur många av de siffror som visas i räknarens fönster ska du ta med i ett

svar? Räknar vi med exakta tal så är det oftast bäst att svara exakt. Men ofta räknar vi istället med närmevärden, uppskattade eller avrundade, och svaret är då att låta de givna värdenas noggrannhet styra.

Vid multiplikation och division av närmevärden:

Låt det närmevärde som har minst antal siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. 0,01020 har t ex fyra gällande siffror (värde­ siffror).

Tumregler för Vid addition och subtraktion av närmevärden: avrundning av svar Låt det närmevärde som har minst antal decimaler bestämma antalet decimaler i slutresultatet.

OBS! Reglerna ovan gäller för svar. I deluträkningar räknar vi exakt eller tar med minst en extra värdesiffra för undvika att avrund­ningsfel följer med i vårt svar.

28

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 28

1.2 rationella och reella tal

08-06-03 07.16.06

1256 Följande tal är alla närmevärden. Gör först en överslagsräkning, använd sedan räknaren och avrunda till ett lämpligt antal siffror.

509,1

22

a)

Överslag:

Täljare och nämnare avrundas båda nedåt.

509,1 500 = 25 ≈ 22 20

Med räknare:

509,1 = 23,140909 ...

22

Nämnaren har minst antal gällande siffror (2 st) och styr avrundningen.

a) Svar: 23

a)

1257 Vilken överslagsräkning är bäst? Förklara varför!

a) A 5,89 ∙ 65,1 ≈ 6 ∙ 70 eller B 5,89 ∙ 65,1 ≈ 6 ∙ 60

b) A 378/4,48 ≈ 360/4 eller B 378/4,48 ≈ 400/4

1258 Vilken överslagsräkning väljer du? Förklara varför!

A 479/6,89 ≈ 480/7 eller B 479/6,89 ≈ 490/7

1259 67 st elever betalar 55 kr vardera till en utflykt. Gör ett överslag. Hur mycket pengar blir det totalt?

1260 Gör en överslagsräkning.

a) 1 435 + 2 845

b) 372/3,86

c) 334,6 – 246,9

1261 Hur många gällande siffror har följande närmevärden?

b) 1 213,4 + 386,123 Överslag:

Den ena termen avrundas uppåt och den andra nedåt.

b) 1 213,4 + 386,123 ≈ 1 200 + 400 = 1 600 Med räknare: 1 213,4 + 386,123 = 1 599,523 ≈ 1 599,5 1 213,4 har minst antal decimaler och styr avrundningen. b) Svar: 1 599,5

1262 700 kan vara ett närmevärde givet i ental, tiotal eller hundratal. Hur många gällande siffror har 700 i de olika fallen?

1263 Erik gör ett överslag och säger att

13 5 1 + + ≈ 1,5. Verkar det rimligt?

12 9 11

1264 Gör först ett överslag, använd sedan räkna­ ren och avrunda slutligen till ett lämpligt antal siffror.

a) Beräkna omkretsen av en rektangel med sidorna 30,47 m och 67 m.

b) Nina mäter att en bil passerar en sträcka på 509 m på 22 s. Beräkna bilens hastig­ het.

c) Jossan håller en jämn fart av 5,9 m/s.

Hur lång tid behöver hon för att springa 1 engelsk mil som är 1 609 m?

d) Silver har densiteten 10,5 g/cm3 (dvs 1 cm3 silver väger 10,5 g). Vilken volym har ett silverstycke som väger 241,5 g?

a) 21,0 b) 0,34 c) 0,340

1.2 rationella och reella tal

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 29

29

08-06-03 07.16.11

1.3 Potenser Positiva heltalsexponenter

I tidiga matematiska skrifter använde man ett ganska omständligt skrivsätt med långa meningar och få symboler. Dagens effektiva och kortfattade matematiska språk har sedan utvecklats och förfinats under århundraden.

Potens För produkten 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 inför vi skrivsättet 27.

Exponent 27 kallas potens med basen 2 och exponenten 7.

27 utläses ”två upphöjt till sju” eller ”sjunde potensen av två”.

Exponent

27

Bas

Potens

1301 Tolka potenserna och förenkla.

1 tolka

2 förenkla

3 slutsats

a) 23 ∙ 24

b) (23)4

c)

35

32

d) (5 ∙ a)3

a) 23 ∙ 24 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 27

        

    

  

3 faktorer

4 faktorer

7 faktorer

Vi kan direkt skriva 23 ∙ 24 = 23 + 4 = 27

b) (23)4 = (23) ∙ (23) ∙ (23) ∙ (23) = 212

c)

Vi kan direkt skriva

d) (5 ∙ a)3 = (5 ∙ a) ∙ (5 ∙ a) ∙ (5 ∙ a) = 53 ∙ a3

Vi kan direkt skriva (5 ∙ a)3 = 53 ∙ a3

m x och y är positiva heltal så kan vi tydligen formulera följande O allmänna regler:

35 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3⋅ 3 = = 33 (förkortning två gånger med faktorn 3) 2 3⋅ 3⋅ 3 3 35 = 35− 2 = 33 32

a x · a y = a x + y

multiplikationsregeln

(a ) = a · Potenslagarna ax

= a x – y x > y och a ≠ 0 ay x y

x

y

”Skiljt från”, a får

(a · b)x = a x · b x inte vara noll!

30

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 30

regeln för potens av en potens divisionsregeln regeln för potens av en produkt

1.3 potenser

08-06-03 07.16.16

Potenser på din räknare Vanliga tangenter för ”upphöjt till” är ∧ eller x y

23 = 2 ∧ 3

1302 Skriv som en potens med basen 5

1311 Nina känner sig lite osäker på potens­ lagarna. Hjälp Nina och förklara med ett eget exempel varför

a) 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5

b) 5 ∙ 5 ∙ 510

1303 Förklara vad potensen betyder och beräkna dess värde utan att använda räknare.

a) 34

1304 Förenkla, dvs skriv som en potens a) 52 ∙ 54

b)

c) 35 ∙ 38

1015

1012

d)

ax = a x − y (x > y > 0 och a ≠ 0) ay

1312 Förenkla

b) 43

a) 6 x / 6

c) (6 ∙ 6 x )2

b) 6 ∙ 6 x ∙ 6 x

d) (6 x 3y 2 )3

1313 Förenkla

79 75

a) (a – 2) ∙ (a – 2)3

 2a 2 b)    3 

1314 Beräkna utan räknare

1305 Förenkla

a) 2 ∙ 2

c) 4 / 4

b) (34 )2

d) 52 ∙ 53 ∙ 54

3

5

(–1)2 + (–1)3 + (–1)4 + (–1)5 + (–1)6

1315 Skriv som en potens med basen 2

1306 Jens skriver:

23 + 42 = 65

a) 4

d) 85

b) 64

e) hälften av 28

Anders skriver: 23 + 42 = 8 + 16 = 24

c) 4

f) dubbelt mot 28

Vem har gjort rätt?

1316 a) Skriv om 6200 med exponenten 100.

1307 Beräkna, först utan och sedan med räknare.

a) 10 + 10

c) 3 – 2

b) 33 + (6 – 4)2

d) (–1)2 – 13

3

2

2

3

b) (10x)3

a) 2x ∙ 23 = 27

c) 2x / 26 = 210

b) (2 ) = 2

d) 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 ?

15

3

x

13

1310 Förenkla a) (4m)3 ∙ m2 b) (4p3 )2 / (2p)2

1.3 potenser

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 31

c) Vilket tal är störst, 6200 eller 2500 ?

a) 2300 eller 3200

b) 10120 eller 4180

1318 Bestäm x så att 3 x = 3300 + 3300 + 3300

1309 För vilken exponent x är

b) Skriv om 2500 med exponenten 100.

a) (4 ∙ a)2

x 5

1317 Avgör utan att använda räknare vilket tal som är störst

1308 Förenkla

20

c) (a2 )3 ∙ a4 d) (–3x)3 ∙ (–2x)4

1319 Ordna i storleksordning utan räknare

224 318 415 56 1320 Undersök vilken siffra 31, 32, 33, osv slutar på.

Vilken siffra slutar 3100 på?

31

08-06-03 07.16.25

Exponenten noll och negativa exponenter Vad ska vi mena med t ex 30 ?

exponenten noll

32 ––2 = 3

Vi bör alltså definiera 30 som 1.

negativ exponent

3 ––4 = 3

Vi bör alltså definiera 3–2 som

Allmänt gäller:

1 eftersom täljare och nämnare är lika stora.

Vad ska vi mena med t ex 3–2 ?

3⋅ 3 1 = 2 om vi använder definitionen av potens.

3⋅ 3⋅ 3⋅ 3 3

32 – 4 = 3–2 om vi använder divisionsregeln.

2

Definitioner a 0 = 1

1321

32 – 2 = 30 om vi använder divisionsregeln för potenser.

och

a –x =

1 .

32

1 (a ≠ 0) ax

otenslagarna på föregående uppslag gäller alltså för alla heltalsvärden P på x och y (positiva, negativa och noll).

Tolka och beräkna värdet av följande uttryck.

 4 −1 a) 5 b) (3 ) c) (7 ∙ 11 ∙ 13) d)    5

a) 5 –2 =

b) (34)–1 =

32

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 32

–2

4 –1

1 1 =

2 25 5 1 1 =

4 81 3

0

c) (7 ∙ 11 ∙ 13 )0 = 1  4 −1 1 5 d)   = =  5  4 4 5

1.3 potenser

08-06-03 07.16.32

1322

Skriv som en potens av 3 a) 36 ∙ 3–11 b) (3 – 4) –5 c) 3– 4 / 3–9 d) 3 / 3– 4

a) 36 ∙ 3–11 = 36 + (–11) = 36 – 11 = 3–5

c) 3– 4 / 3–9 = 3– 4 – (–9) = 3– 4 + 9 = 35

d) 3 / 3– 4 = 31 – (– 4) = 35

b) (3– 4)–5 = 3(– 4) ∙ (–5) = 320

1323 Förklara vad potensen betyder och beräkna dess värde utan att använda räknare.

a) 5–1

b) 2–2

1324 Skriv som en potens av 5

a) 57 ∙ 5–3

c) 53 / 5–4

b) (53)–2

d) (5–4)–3

1331 Visa och förklara varför

 2 −1 3  4 −2 25

b)   =

a)   =  3   5  2 16 1332 Beräkna summan.

1325 Förenkla

a) 20/2–4

b) 3 ∙ 32 / 33 ∙ 30

1326 Tiopotenser är mycket användbara, som t ex 103 = 1 000. Förklara varför

a) 10–1 = 0,1

b) 10–2 = 0,01.

1327 Beräkna värdet av uttrycken, först utan räknare, sedan med.

a) 2 ∙ 3 ∙ 105 ∙ 10–2 b)

4

12 ⋅ 10

6 ⋅ 103

c) 5 ∙ 10–4 ∙ 3 ∙ 102 d)

36 ⋅ 10−2 9 ⋅ 10−4

1328 Beräkna

a) 50 ∙ 1,050

b) (50 ∙ 1,05)0

1329 Beräkna utan räknare, svara i decimalform.

a) 2–1 + 5–1 + 10–1

b) 2–2 + 5–2 + 10–2

1330 För vilken exponent x är

a) 2x ∙ 212 = 29

b) (32)x = 3–14 ?

 1 −1  1 −1  1 −1  1 −1   +   +   +    4   5   2   3 

1333 Förenkla

a) – (–2)3

c) – (–1)10

b) – (–2)–3

d) (–1)–10

1334 På frågan ”Vad menar vi med 30?” svarade Jimmy: ”Det är noll treor, alltså blir det 0.”

Zoreh svarade istället: ”3:an har ingen exponent, då blir det 3.”

Förklara varför båda har fel!

1335 Skriv som en potens av 3 1 9

a)

b) 1 27 1336 Skriv i enklaste bråkform

a) (0,4)–1

1337 Förenkla

 a−2 −3

a)  5   b 

b) (0,8)–2

5a2b b) 4 a

 a−3 −2    b   

1338 Samir ska motivera definitionerna av 50 och 5–x. Slutför hans resonemang, om han börjar med multiplikationsregeln så här:

1.3 potenser

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 33

a) 50 ∙ 5x =

b) 5x ∙ 5–x = 33

08-06-03 07.16.42

Stora tal och små tal

Jordens massa är 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.

En elektron har massan 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg.

Tiopotens

1 500 = 1,5 ∙ 1 000 = 1,5 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1,5 ∙ 103

0,015 = 1,5 ∙ 0,01 = 1,5 ∙ 10–2

Jordens massa är 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5,98 ∙ 1024 kg

Tal med många nollor är besvärliga att skriva och svåra att läsa, men med tiopotenser kan vi hantera både stora och små tal på ett bekvämt sätt.

24 steg

Elektronens massa är 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg = 9,11 ∙ 10–31 kg 31 steg

Grundpotensform

Det här skrivsättet brukar kallas grundpotensform (eller tiopotensform eller ”scientific notation”). Man skriver då talet som en produkt av två faktorer, a ∙ 10n. Den första faktorn a är ett tal i decimalform mindre än 10 och större än eller lika med 1. Den andra faktorn 10n är en tiopotens.

Tal i grundpotensform = a ∙ 10n, där 1 ≤ a < 10.

1339

Skriv i grundpotensform

a) 650 000

b) 0,000 063

a) 650 000 = 6,5 ∙ 100 000 = 6,5 ∙ 105

b) 0,000 063 = 6,3 ∙ 0,000 01= 6,3 ∙ 10–5 5 steg

5 steg

1340

Skriv utan tiopotenser

a) 5,4 ∙ 106

b) 6,7 ∙ 10–4

a) 5,4 ∙ 106 = 5,4 ∙ 1 000 000 = 5 400 000

b) 6,7 ∙ 10–4 = 6,7 ∙ 0,0001 = 0,000 67

6 steg

34

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 34

4 steg

1.3 potenser

08-06-03 07.16.51

1341 Beräkna

5 · 107 · 12 · 10–5 utan att använda räknare.

0,15 · 104 · 20 · 10–6

Det underlättar oftast om man först skriver om uttrycket:

5 ⋅ 12 ⋅ 107 ⋅ 10−5 60 ⋅ 102 = = 20 ⋅ 104 = 2 ⋅ 105 (= 200 000) 4 −6 3 ⋅ 10 −2 0,15 ⋅ 20 ⋅ 10 ⋅ 10

1342 Skriv i grundpotensform

a) 234

b) 160 000

c) 251 000 000

d) 720 000 000 000 000

1343 Skriv i grundpotensform

a) 0,025

c) 0,000 000 001

b) 0,001 35

d) 0,000 000 000 216

1344 Skriv talen i grundpotensform

a) 9 miljarder

b) 7 miljondelar.

1345 Skriv utan tiopotenser

a) 5,42 ∙ 102

c) 6,93 ∙ 106

b) 5,01 ∙ 10–3

d) 1,3 ∙ 10–6

1348 Skriv i grundpotensform och beräkna utan räknare

a) 2 000 000 ∙ 0, 000 4

b) 6 000 000 / 0,000 000 3

1349 Skriv utan tiopotenser och beräkna

a) 102 + 104

c) 10–1 – 10–2

b) 104 + 103

d) 10–3 – 10–2

1350 Skriv i grundpotensform

a) 83,5 miljoner

c) 720,3 ∙ 10–4

b) 0,12 miljondelar d) 0,016 ∙ 10–3

1351 Beräkna utan räknare och svara i grundpotensform.

a) 0,004 · 80 000 · 300

b)

2 · 10−3 · 6 · 10 7 6 · 1013 · 8 · 10 −6

1346 Beräkna utan räknare

a) 3 ∙ 105 ∙ 2 ∙ 106

b) (3 ∙ 10 )

c)

(2 ⋅ 103) d) 2 (2 ⋅ 103)

6 2 9

8

6 · 10 · 5 · 10 2,5 , · 102 · 4 · 10−11 3

1347 Vad blir hälften av 6,6 ∙ 106 ?

1.3 potenser

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 35

1352 123 = 1 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 3 ∙ 100

Skriv på samma sätt 3 002,0087 som en summa av heltal multiplicerade med tiopotenser.

1353 För vilka positiva värden på a är kvoten

1, 0 ⋅ 10−3 större än 100? a

1354 Ett riktigt stort tal är en Googol, som är lika

med 10100. Ännu större är en Googolplex, som kan skrivas 10Googol.

En Googol är en etta följd av 100 nollor.

Hur många nollor har en Googolplex?

35

08-06-03 07.16.58

Tillämpningar

Prefix

Ett kärnkraftverk kan ge 5 TWh elenergi per år.

TWh är en förkortning för ”terawattimmar”.

T är ett prefix framför wattimmar. Det läses tera och står för 1012.

5 TWh = 5 ∙ 1012 Wh

Här följer en tabell över de vanligaste prefixen.

Exempel

Du har sett att vi kan skriva stora och små tal med hjälp av tiopotenser.

Ett annat sätt är att använda prefix.

Tiopotens

Prefix

1012 T G 109 106 M k 103 h 102 d 10–1 c 10–2 m 10–3 μ 10–6 n 10–9 p 10–12

Namn

tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko

1355

a) 5 km (kilometer)

b) 1,2 mm (millimeter)

a) Svar: 5 km = 5 ∙ 103 m

(Vi byter ut k mot 103.)

b) Svar: 1,2 mm = 1,2 ∙ 10–3 m

Grundpotensform på din räknare

Exempel

1 TWh 1 GW 1 MV 1 km 1 hl 1 dm 1 cm 1 mm 1 μm 1 nm 1 pA

= = = = = = = = = = =

1 terawattimme 1 gigawatt 1 megavolt 1kilometer 1 hektoliter 1 decimeter 1 centimeter 1 millimeter 1 mikrometer 1 nanometer 1 pikoampere

I en formelsamling kan du hitta ännu fler prefix!

Skriv utan prefix c) 6,4 Gb (gigabyte)

c) Svar: 6,4 Gb = 6,4 ∙ 109 byte

(Vi byter ut m mot 10–3.)

De flesta räknare har en snabbtangent för tiopotenser, märkt t ex EXP eller EE. Använder du den så blir många beräkningar lättare!

3.2 E –12 är många räknares sätt att presentera tal i grundpotens- form, här 3,2 ∙ 10–12.

36

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 36

I bland är det praktiskt att ändra räknarens sätt att svara, och många räknare kan till och med svara med prefix. Lär dig din räknare!

1.3 potenser

08-06-03 07.16.59

1356

Tvåelektroner påverkar varandra med en kraft på grund av sina laddningar.

Om av­ståndet mellan dem är 2,25 μm, kan kraftens storlek i newton (N) beräknas med uttrycket 8,988 · 109 · (1,60 · 10–19)2

Beräkna uttryckets värde med räknare. Svara i grundpotensform.

Matar du in talen korrekt bör du få

8, 988 ⋅ 109 ⋅ (1, 60 ⋅ 10−19 )2 = 4,545 04 ... ⋅ 10−17 ≈ 4, 55 ⋅ 10−17 (2, 25 ⋅ 10−6 )2

(Svaret avrundas till 3 gällande siffror enligt avrundningsregeln för närmevärden.)

Svar: Kraften är 4,55 ∙ 10 –17 N.

(2,25 · 10–6)2

Gällande siffror och grundpotensform

7 200 kan ha 2, 3 eller 4 värdesiffror, men 7,2 ∙ 103 har exakt 2 gällande siffror.

1357 Skriv utan prefix

1360 Ljushastigheten i luft är 3,00 ∙ 108 m/s.

a) 8 MW (megawatt)

b) 2 ns (nanosekunder)

c) 3,5 pA (pikoampere).

a) Hur lång tid tar det för ljuset att färdas 150 000 000 km (avståndet mellan solen och jorden)? Svara i sekunder.

b) Hur lång tid tar det för ljuset att färdas 1,5 m? Svara i nanosekunder.

c) Hur långt hinner ljuset på 1,5 ms?

Svara i kilometer.

d) Hur lång sträcka hinner ljuset på ett år, ett s k ljusår? Svara i meter.

1358 Beräkna och avrunda till tre siffror

a) 5,753 ∙ 108 ∙ 1,679 ∙ 10–3

b)

4,732 ⋅ 10 20 1,623 ⋅ 10−9 ⋅ 9,894 ⋅ 1013

1359 En mp3-spelare har en minneskapacitet på 60 Gb. Hur många låtar ryms, om varje låt kräver ca 7,0 Mb i minnesutrymme?

1361 Beräkna och avrunda till tre siffror

a) 5 760 000 000 ∙ 0,000 000 493

b) 0,000 000 341 / 589 000 000

1362 En bläckstråleskrivare kan ha en droppstorlek på bara 3 pikoliter. Hur många sådana droppar går det på 1,5 milliliter?

1.3 potenser

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 37

1363 Patriks skägg växer 2,0 mm på ett dygn.

Hur långt växer skägget på 1,0 s, dvs hur lång är en skäggsekund? Svara med ett lämpligt prefix.

37

08-06-03 07.17.10

1364 Sveriges årliga elanvändning är ungefär 150TWh. Hur mycket extra till statskassan ger en energiskattehöjning med 1 öre per kWh? 1365 Undersök vilket som är det största positiva talet på formen 1 ∙ 10? som din räknare klarar av. Vad ska du multiplicera talet med för att få produkten 1?

1366 Vår galax Vintergatan innehåller ett par hundra miljarder stjärnor. Hur många år skulle det ta att räkna dem för hand, om vi antar att vi räknar tre stjärnor i sekunden och att de är 300 miljarder?

1367 I april 2007 spreds nyheten att en ny jordliknande planet upptäckts 20,5 ljusår från jorden. Ett ljusår är den sträcka ljus med hastigheten 3,00 ∙ 108 m/s färdas på ett år. Hur lång tid skulle det ta för en rymdsond från jorden att nå planeten, om sondens hastighet är 4,0 ∙ 104 km/h?

38

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 38

1368 En sandstrand är 2 km lång, 30 m bred och 3m djup. Vi antar att ett sandkorn ryms inom ett kubiskt område med sidan 0,2 mm.

Hur många sandkorn finns det på stranden?

1369 Laser kan användas vid precisions­mät­ningar.

Avståndet till månen kan mätas med en fel- marginal på bara ett par centimeter. Laser- ljuset färdas med hastigheten 2,997 9 ∙ 108 m/s och mätapparaturen mäter hur lång tid det tar för ljuset att färdas till månen fram och till- baka. Noggrannheten ges av hur exakt tid­mät­ ningen är. Med vilken noggrannhet måste tiden mätas för att sträckan (fram och till­ baka) ska kunna mätas med 4 cm felmarginal?

Utmaningen Vilket tal är störst? 99100 eller 10099 ?

1.3 potenser

08-06-03 07.17.29

Historik

Olika talsystem Vårt decimalsystem nådde väst för ca 1 000 år sedan via Arabien. Därför kallas våra siffror ofta arabiska, trots att talsystemet härstammar från Indien. Några andra historiska talsystem är: Det egyptiska talsystemet • Ca 5 000 år gammalt. • Inget positionssystem.

• Talen adderas bara.

Symbol

I ∩ 9

Beskrivning

Tal

Streck Åsnehov Hårlock

1 10 100

Lotusblomma

Det babyloniska talsystemet • Ca 4 000 år gammalt.

• Talet 60 bas.

• Delvis ett positionssystem.

Symbol

1 000

Tal

1, 60, 3 600 osv (600, 601, 602 osv)

10, 600, 36 000 osv (10 ∙ 600, 10 ∙ 601, 10 ∙ 602 osv)

Mayafolkets talsystem • Ca 2 000 år gammalt. • Talet 20 bas.

• Positionssystem med ental (200), tjugotal (201), fyrahundratal (202) osv.

• 20 olika ”siffror”.

•

1

•

10 1

0

• ••

11 2

•• 2

••• •••• 3

4

•• ••• •••• ••• •••• 12 3

13 4

14 5

5

•

••

••• ••••

•

••

••• ••••

6

•

••

16 7

15 6

7

8

Det binära talsystemet • Grundidén är antik men Leibniz (1646−1716) beskrev systemet utförligt.

• Talet 2 bas.

• Har bara två siffror, 0 och 1, som beskriver ental (20), tvåtal (21), fyrtal (22) osv.

• I datorer används binära tal: 0 kan representeras av t ex ”ström av”.

1 kan representeras av t ex ”ström på”.

9

••• •••• 17 8

18 9

19

• •• ••• •••• • •• → ••• 12 •••• E x: fyrahundratal 12 · 400 = 4 800

••• •••• 3 5 •4 ••

•

••

••• 10 •••• 11 12

13

11

12

13

16

14

15

4

5

6

•• 6 ••• •••• → ental

7 8 9• •••• •• ••• •••• 14

16

15

17

18

7

•• 17

8

9

6 · 1 = 6

••• ••••

18

4 866

19

  

3

• 6 ••• •

2

  

2

••

  

10

0

17 •••• 19 12 → 13 314 15 • 16 •• ••• 11 tjugotal 18 3 · 20 = 60 •• ••• ••••

•

1

E x 1: Binära 1101 = 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20

8 4 0 1

Binära talet 1101 = decimala talet 13 E x 2: 23 = 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 1 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1

Decimala talet 23 = binära talet 10111   

0

10 • 1

12

Att 1 h = 60 min = 3 600 s och 1 varv = 360° är rester från det babyloniska talsystemet.

Talen lästes uppifrån med entalen längst ner.

0

60

  

e

}

Ex: Vårt tal 72 skrevs

E x : 327 skrevs 999∩∩IIIIIII eller IIIIIII∩ ∩ 999

19

• •• ••• •••• •• ••• •••• 4 Vilket decimaltal svarar mot det binära 1 Översätt till1•våra tal 3 a) 99∩II b) 7 0 2 6 •••• 8 9 • •• ••• •••• •4 ••5 ••• 0 1 2 3• 4 5 6 8 9 b) 100001 c) 1111?

2 Skriv vårt tal 133 med talsystemet från•• ••• •••• 7 a) 110 •

••

••• ••••

• •• ••• •••• a) Mayafolket b) Babylonien.

10 11 12 13 14 15 16 17 11 12 13 3 Nollan är en symbol 10 för ”tom plats”.

Varför är det svårt att utan nolla veta

vad t ex det babyloniska 1.3 potenser

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 39

14

betyder?

•

18 15

19 16

••

••• ••••

5 Vilket binärt tal svarar mot det decimala 17talet 1820?

19 6 Vad blir summan av de binära talen a) 100 + 11 b) 111 + 1

c) 101 + 101?

39

08-06-03 07.17.34

1.4 Procent och procentuella förändringar Procentbegreppet och tre basproblem

procent = hundradel

Exempel 1

Redan i Romarriket förekom skattesatser som angavs i hundradelar.

nder medeltiden användes olika förkortningar, t ex per 0 för per cento, U 0 ”per hundra” eller ”hundradel”. Skrivsättet utvecklades sedan till dagens %.

Procentbegreppet är mycket användbart för att jämföra andelar, mängder m m.

I en liten klass var 7 av 20 vänsterhänta.

Hur stor andel av eleverna var vänsterhänta?

Vi kan besvara frågan i bråkform, decimalform eller procentform.

Andelen

Undersökningar visar att 12–15 % i landet är vänsterhänta.

Vi kan se att det var ovanligt hög andel vänsterhänta i klassen.

7 35 = = 0,35 = 35 % 20 100

Vad menar vi med mer än 100 %?

Exempel 2

Janet arbetar

35 = 0, 75 = 7,5 % 40

Louise arbetar

44 = 1,1 = 110 % 40

40

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 40

Normalt heltidsarbete är 40 timmar per vecka. Janet arbetar 35 timmar och Louise 44 timmar per vecka. Hur många procent arbetar de?

1.4 PROCENT OCH PROCENTUELLA FÖRÄNDRINGAR

08-06-03 07.17.52

1401 All procenträkning handlar i grunden om tre basproblem.

b) Hur många procent är 35 g av 0,15 kg?

c) Vilket lån är sådant att 8 % av lånet är 2 000 kr?

a) 2,5 % av 6 hg = 0,025 ∙ 600 g = 15 g

Enheter för massa 1 ton = 1 000 kg 1 kg = 1 000 g 1 g = 1 000 mg 1 kg = 10 hg 1 hg = 100 g

a) Hur många gram är 2,5 % av 6 hg ?

35 = 0,233... ≈ 23 % b) 0,15 kg = 150 g, 150

c) Metod 1: ”Vägen över 1 %”

Metod 2: Med ekvation

8 % svarar mot 2 000 kr.

1 % svarar mot 250 kr.

100 % svarar mot 25 000 kr.

Låt lånet vara x kr.

0,08x = 2 000 2 000 x= 0, 08

x = 25 000

Svar: a) 15 g b) 23 % c) Lånet är på 25 000 kr.

1407 På en förpackning fruktsoppa står det:

1402 Skriv i decimalform a) 12,5 %

b) 3,6 %

c) 208 %

1403 Hur många procent är

a) 0,042

b) 2/5

c) 3 av 12

1404 Beräkna

a) 8,2 % av 400 kr

b) hur många procent 12 kr är av 80 kr

c) totala antalet elever om 300 är 24 %.

1405 Var är arbetslösheten bland byggnads­ arbetare störst, i Persboda eller Västerstad?

Antal byggnadsarbetare

Persboda

Totalt Arbetslösa

Vitamin C 25 mg

Västerstad

75

1 500

9

165

Undersök och diskutera.

1406 På en enkätfråga svarade 32 % Ja, 28 % Nej och resten Vet inte. Hur många svarade Vet inte, om antalet tillfrågade var 1 200?

42 % av RDI (rekommenderat dagligt intag)

a) Hur stort är RDI?

b) Hur många procent av RDI ger två C-vitamintabletter om vardera 50 mg?

1408 En aktie är värd 62 kr. Hur många procent ändrar den sitt värde om den

a) minskar i värde till 52 kr

b) ökar i värde till 144 kr?

1409 En vara minskar i pris med 10 %. En tid senare höjs priset med 10 %. Har priset totalt sett ökat, minskat eller är det oförändrat?

1410 I en skola skulle eleverna få rösta JA eller NEJ till ett förslag från rektor. I valet röstade 62 % JA och 38 % NEJ. Av skolans totala antal elever var 24 % frånvarande vid röstningen. Beräkna hur många elever som gick på skolan, om vi vet att 224 röstade JA. 1411 Du vet att M är 30 % av Q, att Q är 20 % av P och att N är 50 % av P. Beräkna M/N.

1.4 PROCENT OCH PROCENTUELLA FÖRÄNDRINGAR

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 41

41

08-06-03 07.17.58

Procentenheter Räntan höjs från 3 % till

6 %!

Exempel

ia: ”Det är otroligt! Räntan har höjts från 3 % till 6 %, en ökning med 3 %.”

M Iliana: ”Detkan väl inte stämma! Den har ju fördubblats, dvs ökat med 100 %.”

Vem har rätt?

När ett procenttal förändras måste vi vara noga med att skilja mellan Procentenheter procentenheter och procent. Tittar du i en dagstidning kan du ibland se att de inte lyckats med det!

I exemplet ovan har räntan ökat med 3 procentenheter, men med 100 procent.

Iliana har alltså rätt!

1412

a) i procentenheter

b) i procent?

a) Höjningen är från 8 % till 10 %.

Höjningen är 2 procentenheter.

b) Höjningen är 2 på 8.

2/8 = 0,25 = 25 %

a) Svar: 2 procentenheter

b) Svar: 25 %

Banken höjde räntesatsen från 8 % till 10 %.

Hur stor var räntehöjningen

1413 Marknadsandelen för ett bilmärke ökade från 12,4 % till 15,5 %. Hur stor var ökningen i

a) procentenheter

b) procent?

1414 En butik lämnade ett år 5 % i återbäring. Året därpå sänktes återbäringen till 4 %.

Hur stor var sänkningen i

a) procentenheter b) procent?

1415 För ett lån på 50 000 kr betalas från början 7,5 % ränta. Räntesatsen minskar med 0,5 procentenheter. Beräkna den procentuella förändringen i årsräntan.

1416 Anne ser på sitt kontoutdrag att hon fått 213 kr i årsränta på sitt sparkonto med räntesatsen 2,25 %. Hur många kronor mer hade Anne fått i årsränta, om räntesatsen varit 1,5 procentenheter högre?

42

Ma 4000 Bla A+B kap 1.indb 42

1417 Det röda partiet ökade sin väljarandel enligt den senaste opinionsundersökningen från 40 % till 44 %. Samtidigt ökade det gröna partiet från 4,5 % till 6,5 %. Vilket parti har ökat mest?

1418 Sant eller falskt?

”Om en andel eller procentsats minskar upprepade gånger med samma procentenhet så innebär det att den procentuella minskningen blir större och större.”

1419 I en bolagsstyrelse med 3 kvinnor och 20män vill samtliga att andelen kvinnor ska öka. Företaget sätter upp som mål att öka andelen kvinnor med 20 procentenheter.

Vid nästa bolagsstämma beslutas att styrelsen ska utökas med ett antal kvinnor så att målet blir uppnått. Hur många kvinnor ska väljas in i styrelsen?

1.4 PROCENT OCH PROCENTUELLA FÖRÄNDRINGAR

08-06-03 07.18.00

08-06-03 07.18.00

Kurs

Kurs

AB

ABlĂĽB

&

BlĂĽ

LENA ALFREDSSON â&#x2C6;&#x2122; HANS BROLIN â&#x2C6;&#x2122; PATRIK ERIXON HANS HEIKNE â&#x2C6;&#x2122; ANITA RISTAMĂ&#x201E;KI

&

MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fĂśregĂĽngaren Matematik 3000 baserad pĂĽ färdigheter â&#x20AC;&#x201C; fĂśrstĂĽelse â&#x20AC;&#x201C; problemlĂśsning, men nu med Ăśkat fokus pĂĽ kommunikation. Nya begrepp introduceras pĂĽ ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

BĂśckerna i Matematik 4000 ďŹ nns i tre svĂĽrighetsnivĂĽer: RĂśd, GrĂśn och BlĂĽ, där BlĂĽ är den mest krävande.

FĂśr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

*4#/

4000

Eleverna fĂĽr med hjälp av denna bok och tillhĂśrande kompletterande material mĂĽnga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken â&#x20AC;&#x201C; genom elevnära exempel, aktiviteter och Ăśvningar, de senare av olika slag och svĂĽrighetsgrad.

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

4000 MATEMATIK