9789140671462

d Didaktik d (delta) är en bok i matematikdidaktik för lärarstuderande och verksamma lärare. Den tar upp matematikdidaktiska frågor som inte är knutna till något visst matematiskt tema. Det handlar bl.a. om lärandeteori och undervisnings­ teori för matematik, samt om matematikundervisningens historia, om under­ byggnadsproblem i matematikundervisningen och om olika uppfattningar om vad själva matematikämnet är. I d finns många exempel på elevarbeten och klassrumsdiskussioner, vilket kan knyta innehållet till skolans verklighet och bidra till läsarens yrkesmässiga utveckling. d ger en god grund för alla som ska undervisa i matematik. Den är tänkt för lärarstuderande och för verksamma lärare som vill fördjupa sina kunskaper i matematikdidaktik.

d har följande indelning: I Matematiklärande II Undervisning i matematik III Matematikdidaktiska skolor IV Metaperspektiv på matematik och matematikundervisning Författare: Jeppe Skott, Kristine Jess, Hans Christian Hansen och Sverker Lundin (kap. 12).

De tre förstnämnda är verksamma inom den danska lärarutbildningen. Jeppe Skott är även professor i matematikdidaktik vid Växjö universitet. Sverker Lundin är verksam vid Göte­ borgs Universitet. Översättning: Joachim Retzlaff Fackgranskare för den svenska utgåvan: Mikael Holmquist, universitetslektor vid Enheten för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet samt Johan Häggström, universitetslektor vid En­ heten för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet och vid Nationellt Centrum för Matematik­ utbildning.

ISBN 978-91-40-67146-2

9 789140 671462

40671462.1.2_omslag.indd 1

d

J. Skott, K. Jess, H.C. Hansen & S. Lundin

I serien Matematik för lärare finns även Y (Ypsilon ) Grundbok band 1 och 2 . Dessa två band behandlar det matematiska innehållet i grundskolan.

I direkt anslutning till ämnesinnehållet behandlas de matematikdidaktiska frågeställningar som är relevanta.

Matematik för lärare

Matematik för lärare

Matematik för lärare

Jeppe Skott, Kristine Jess & Hans Christian Hansen med Sverker Lundin

d Didaktik

2012-11-15 13.43

Innehåll Förord 9 Fackgranskarnas förord 12 Inledning 13 Matematikdidaktik – ett nytt ämne 14 Valet av matematikdidaktiskt innehåll till denna bok 15 Lärande av matematik 16 Matematikundervisning 16 Övergripande perspektiv 18

1 Matematik, lärande och undervisning 21 Matematik i skolan: produkter och processer 23 Matematiska processer – kompetenser och ”standarder” 25

Matematiklärande 32 Två perspektiv på lärande 34 Fler aspekter av matematiklärande 36

Matematikundervisning 37 Resultatet är inte målet 38

En ”reformering” av skolmatematiken 41 Summering av kapitel 1 45 DEL I Matematiklärande 47 Introduktion 49 Erlwanger och kritiken av programmerad undervisning 50 2 Lärande som tillägnande 55 Lärande med förståelse 56 Den radikala konstruktivismen 61 Assimilation och ackommodation – en biologisk inspiration 62 Mentala scheman 66 Reflektiva abstraktioner 75 Social interaktion och förmodat-gemensam förståelse 76

Lärande som tillägnande – ett förbehåll angående metaforens ­tillämplighet 79 Summering av kapitel 2 80 3 Lärande som deltagande 83 Sfard och deltagandemetaforen 84 The social turn 87

Vygotskij och den kulturhistoriska skolan 88 3

Delta - s 1-12.indd 3

10-07-06 16.06.51

Språk och praktisk aktivitet 89 Språk och begreppsbildning 90 Vardagliga (spontana) begrepp och vetenskapliga begrepp 91 Sfard och commognition 94 Utveckling och lärande hos Vygotskij 100

Lärande och social praxisteori 106 Situerat lärande och legitimt, perifert deltagande 109

Lärande som deltagande – en sammanfattning och ett förbehåll angående metaforens tillämplighet 112 Summering av kapitel 3 114 4 Socialkonstruktivism – ett alternativ till tillägnande och deltagande 117 Tillägnande- och deltagandeperspektivet på lärande – en sammanfattning 119 Paul Cobb och socialkonstruktivismen 121 En konstruktivistisk början och dess utmaningar 122 Nyckelbegrepp hos Cobb och hans kolleger 124

Kan och bör man lära med förståelse? 142 Språk och lärande 144 Symbolers roll i lärprocesser 145 Språk och symbolers roll hos Cobb – ett exempel 147 Representationer i matematikundervisningen 151

Summering av kapitel 4 153 DEL II Undervisning i matematik 159 Introduktion 161 5 Matematikundervisning 165 Att undervisa – det kan vara så mycket 166 Undervisning som fackterm: att underlätta elevernas lärande 168 Att undervisa för förståelse 174 Lärarens reflektiva praxis 177

Summering av kapitel 5 189 6 Att arbeta med planering för elevaktiviteter 191 Att analysera och bearbeta undervisningsplaneringar 193 Krav på upplägg 193

Hur man konstruerar öppna aktiviteter 201 Summering av kapitel 6 209 7 Kommunikation i klassrummet 211 Kommunikation i Standards 2000 och i KOM-rapporten 213 IRE-modellen för kommunikation i klassen 216 Utmaningar mot den klassiska IRE-modellen 220 4

Delta - s 1-12.indd 4

10-07-07 10.35.54

Lampert: en förändrad roll för läraren i initiering och evaluering 220 Cobb: reflektiv diskurs och metakognitiva skiften 224 Stephan: att fråga efter motiveringar och underbyggnad 225 Lärarens frågor och metaprocessdiskussioner 230 Att ge feedback utifrån elevernas tänkande 235

Kommunikation som leder till lotsning och Topaze-effekten 239 Att ta hänsyn till allmänpedagogiska aspekter 244 Critical Incidents of Practice – CIP:s 251 Undervisningstriaden 254

Summering av kapitel 7 256 8 Målsättning och planering 259 Ämnesmässiga brännpunkter 261 Brännpunkter i årskurs 8 264

Kompetens och lärande i matematik 265 Att fråga och svara inom, med och om matematik 268 Att kunna hantera matematikens språk och redskap 269 Kompetenser och brännpunkter 273

Planering av undervisningen 276 Didaktisk analys 276

Summering av kapitel 8 285 9 Utvärdering i matematikundervisningen 287 En historisk tillbakablick 290 Utvärderingens syften, karakteristika och riktpunkter 292 Principer för formativ utvärdering 300

Utvärderingens innehåll och komplexitet 301 Utvärderingens effekter 306 Backwash och synen på matematik 306 Backwash och elevernas omedelbara utbyte 308

Utvärderingsformer 311 Exempel på utvärderingsformer 313

Summering av kapitel 9 333 DEL III Matematik­didaktiska skolor 335 Introduktion 337 10 Hans Freudenthal och realistisk ­matematikundervisning 343 Division i årskurs 3 – ett exempel 346 Det realistiska i RME 348 Det matematiska i RME 353 Matematisering 354 Horisontell och vertikal matematisering 358 Kontexten, matematikdidaktiken och de matematiska produkterna 363

5

Delta - s 1-12.indd 5

10-07-06 16.06.51

Undervisning och utbildning i RME 366 Guided reinvention 368 RME och andra infallsvinklar till matematikundervisning 371

Summering av kapitel 10 374 11 Brousseau och teorin om didaktiska situationer 377 Det didaktiska kontraktet 379 Topaze- och Jourdain-effekten 383

Didaktiska situationer 385 Teorin bakom didaktiska situationer 386

Summering av kapitel 11 396 DEL IV Metaperspektiv på matematik och matematik­undervisning 401 Introduktion 403 12 Den svenska skolmatematikens historia i fågelperspektiv 405 Den nyttiga räknekonsten 405 Den sanna och logiska matematiken 407 Lärandet och undervisningen 410 Barnet och det matematiska sinnet 415 Matematik som gallringsinstrument 417 En vetenskap om matematikundervisning 420 Matematikdidaktikens landskap 424 Summering av kapitel 12 425 13 Vari består matematik­undervisningens existensberättigande? 429 Matematik – ett bidrag till formalbildningen? 431 1960-talets reformering av skolmatematiken: den nya matematiken 432

Matematik – ett kritiskt-demokratiskt bidrag? 438 Det demokratiska åtagandet och kritisk pedagogik 439 Matematik och demokrati 441 Matematik och demokrati – var står vi? 448

Summering av kapitel 13 449 14 Vad är matematik? 453 Finns matematik? 454 Platons svar: existens i idévärlden 455 Historiska exempel på konstruktion 459 Intuitionism, en konstruktivistisk matematikuppfattning 461 Formalism 462 Exempel på formalism: MIU-universumet 465

Är matematiken mer sann än en schackbok? 466 Matematiken som naturens språk 470 6

Delta - s 1-12.indd 6

10-07-06 16.06.52

Hur produceras matematisk kunskap? 473 Eulers polyedersats som fallstudie 475 Har matematiska objekt snarare en social existens? 478

Summering av kapitel 14 480 Litteratur 483 Register 497

7

Delta - s 1-12.indd 7

10-07-06 16.06.52

Inledning Vad kan du som läsare förvänta dig av en matematikbok med undertiteln Didaktik? För det första kan man inte med några få ord förklara vad ”ämnesdidaktik” eller ”matematikdidaktik” är. För det andra är det vad som hela boken handlar om. Men vi skulle kunna presentera Matematik för lärare, d Didaktik som en bok om undervisning i och lärande av matematik som särskilt vänder sig till lärarstuderande, lärare och lärarutbildare i ämnet. Det innebär att boken genomgående är orienterad mot praxis, även när teoretiska perspektiv på matematikundervisning och matematiklärande diskuteras.

Praxisinriktningen märks genom att vi ständigt hänvisar till konkreta exempel på matematikundervisning från olika klassrum. Ja, de teoretiska perspektiven presenteras ofta med utgångspunkt i sådana exempel. En allmän strävan är att du i kraft av de teoretiska perspektiv som utvecklas ska förstå undervisningens praxis på nya sätt. En annan strävan är att läsningen av och arbetet med boken ska ge insikt om didaktiska aspekter som i framtiden kan omsättas i praxis och underbyggda och nyansera denna.

Boken har alltså ett dubbelt syfte. Å ena sidan är målsättningen att du ska få inblick i några av de teoribildningar som nuförtiden diskuteras mycket inom matematikdidaktiken. Å andra sidan ska dessa teoribildningar inte bara vara av teoretiskt intresse utan just också göra det möjligt för dig som matematiklärare att tänka annorlunda och agera annorlunda i klassrummet.

Detta dubbla syfte – att utveckla en teoretisk förståelse och utveckla undervisningens praxis – avspeglar det som disciplinen matematikdidaktik under sin korta livstid har utvecklats till. Det ska vi se närmare på i denna inledning. Vi ska alltså kort diskutera vad som utmärker matematikdidaktiken i början av 2000-talet. Syftet är att du efter avslutad läsning av denna inledning • har fått en orientering om vad matematikdidaktik är • har fått en överblick över boken och blivit inspirerad av att ta del av den, med en känsla av att det här finns spännande kunskaper med relevans för undervisningens praxis.

13

Delta - s 13-20 - inledning.indd 13

10-07-06 15.39.26

inledning

Matematikdidaktik – ett nytt ämne Matematikdidaktik är ett relativt nytt forskningsfält. När ett visst forskningsfält kan anses ha blivit etablerat kan alltid diskuteras, men i detta fall är det rimligt att datera början till omkring 1960. Det har naturligtvis funnits institutionaliserad matematikundervisning i århundraden, och även tidigare seriösa reflektioner kring varför man ska undervisa i matematik, hur innehållet ska väljas ut och hur undervisningen bör läggas upp och genomföras.

Det var emellertid först på 1960-talet som systematiska och teoretiskt baserade undersökningar av matematikundervisning och -lärande vann terräng. Då etablerades något som man med fog kan kalla ett forskningsfält.

Men matematikdidaktik är ett stort och sammansatt fält. Bent Christiansen, den förste internationellt erkände danske matematikdidaktikern (se t.ex. Schubring 2008), brukade säga att matematikdidaktik innebär ett försök att förstå ”matematikundervisningens problemfält i hela dess komplexitet”. Möjligen har denna bredd bidragit till att det aldrig har uppnåtts någon enighet om vad matematikdidaktik egentligen bör sysselsätta sig med. Den utmärks i alla händelser av en vittförgrenad uppsättning brännpunkter och av en mångfald forskningsmetoder.

Trots mångfalden frågor och metoder tycks stora delar av matematikdidaktiken under senare år ha två kännetecken. Det ena är mycket omsorgsfulla studier av lärande och undervisning så som de faktiskt pågår på skolor och gymnasier. Grunden för matematikdidaktikernas forskning är alltså i stor utsträckning själva klassrummet. Detta till skillnad från förr, då en stor del av ansträngningarna inriktades på att teoretiskt analysera och strukturera ett matematiskt innehåll som lärare sedan kunde undervisa i.

Det andra kännetecknet är viljan att bidra till undervisningens praxis.

Det finns alltså en förväntan att det man lär sig av att studera ett eller flera klassrum allmänt kan användas till att förbättra matematikundervisningen i stort.

Kravet att forskningsrönen ska vara användbara formuleras kanske så skarpt just för att förbindelsen mellan teori och praktik inte är enkel. Det är inte som i ingenjörsvetenskapen, där man inom vetenskapen direkt kan komma fram till hur man bör göra i en viss situation, t.ex. vid konstruktionen av en järnvägsbro. Matematikdidaktiken ger bara i undantagsfall klara handlingsföreskrifter. Vanligen erbjuder den begrepp och teorier som kan bidra till förståelsen av vad som försiggår före, under och efter matematik14

Delta - s 13-20 - inledning.indd 14

10-07-06 15.39.27

inledning lektionerna – eller kan den användas till att ställa sig själv och andra kritiska och fruktbara frågor. Det handlar om teorier som också kan användas av dem som har till uppgift att utforma nya läroplaner i ämnet, skriva läromedel eller ta fram utvärderingsmaterial.

Att teorierna sällan ger klara praktiska anvisningar betyder alltså inte att man inte kan bli en bättre praktiker genom att stifta bekantskap med teorierna. Det kan man nämligen, om de behandlas i tillräckligt nära anslutning till praxis. Och det är vad vi ska försöka göra i stora delar av boken.

Valet av matematikdidaktiskt innehåll till denna bok I vårt val av innehåll till denna bok och i vår strukturering av det har vi alltså fäst vikt vid att teori och praktik inte ska framstå som åtskilda arenor i matematiklärarens värld. Syftet med införandet av den verksamhetsförlagda utbildningen (VFU) som ersatte praktiken i 2001 års reform av den svenska lärarutbildningen, var att ”de lärarstuderande i skolorna skulle tilllämpa sina teoretiska kunskaper och att de praktiska erfarenheterna från den verksamhetsförlagda utbildningen sedan skulle utgöra en grund för de fortsatta teoretiska studierna”. I förslaget till den nya lärarutbildning som planeras till 2011 får VFU:n en stärkt roll. Samtidigt betonas det ämnesdidaktiska perspektivet och att den vetenskapliga grunden för lärarutbildningen måste bli starkare (Utbildningsdepartementet 2010).

Vi vill i denna bok försöka uppfylla lärarutbildningens ambitioner att de studerande kan förena praktiska och teoretiska erfarenheter samtidigt som de teoretiska erfarenheterna omfattar rön från aktuell forskning och utveckling.

Eftersom utlandet är så mycket större än det egna landet måste vi ofta dra in internationella forskningsrön av relevans för matematikdidaktiken.

Vi har bl.a. valt att åberopa erfarenheter från USA, dels för att de där har internationellt erkända forskare, dels för att forskningen där ofta är nära knuten till praxis i klassrummet – inte minst genom det förmedlande arbete som utförs av den amerikanska matematiklärarföreningen NCTM. Sverige och de andra skandinaviska länderna skiljer sig förvisso från USA både till sin storlek och till hela sin undervisningskultur, så resultaten är inte direkt överförbara. Men reflektioner kring utländska erfarenheter kan ändå tjäna som flödande inspirationskälla till undervisningen även på våra längdgrader.

15

Delta - s 13-20 - inledning.indd 15

10-07-06 15.39.27

inledning

Lärande av matematik Bokens första del handlar om barns och ungdomars lärande. Men inte bara om lärande i största allmänhet utan också mer specifikt om deras matematiklärande i skolsammanhang. Här analyseras och utvecklas de viktigaste teorierna om lärande och sätts i relation till matematikundervisningens praxis.

I kapitel 2 betraktar vi lärande som tillägnande. Vi försöker med hjälp av den kunskapsteori som kallas radikal konstruktivism bringa reda i vad det innebär att tillägna sig kunskap. Det gör vi bl.a. genom att ta in begrepp som assimilation, ackommodation, mentala scheman samt förhållandet mellan det sociala och det individuella lärandet. Och inte minst relaterar vi dessa begrepp och förhållanden till praktisk matematikundervisning genom att använda dem i tolkningen av elevers matematiska verksamhet.

I kapitel 3 lämnar vi det fokus som i kapitel 2 låg på subjektet, den enskilda elevens privata lärande. Vi förskjuter fokus till det som sker mellan individerna, alltså till det sociala fältet. Därmed framkommer en ny syn på lärande, som bättre kan beskrivas som deltagande än som tillägnande. Om konstruktivismen särskilt uppehåller sig vid hur människor var för sig bygger upp sin individuella förståelse, så pekar deltagandemetaforen på att kunskap är en oskiljaktig del av deltagandet i social praxis. Forskare som Vygotskij samt Lave och Wenger är förknippade med denna syn på lärande i allmänhet och matematikdidaktiker som Sfard, Cobb och Lerman är förknippade med tillämpningen av teorin på matematiklärande.

Vi menar att båda synsätten på lärande, som deltagande och som tillägnande, är viktiga. De är mycket olika och till stora delar teoretiskt oförenliga.

Båda är dock nödvändiga för att man ska förstå praktiskt lärande, så som det t.ex. försiggår under matematiklektioner. Huvudsyftet med kapitel 4 är att jämföra de båda teorierna och forma dem till ett dubbelsidigt verktyg med vilket matematikläraren kan tolka och planera arbetet i klassrummet.

Matematikundervisning Bokens grundtanke är att återupprätta begreppet undervisning efter att fokus i några år i hög grad legat på lärande. I det avseendet håller vi fast vid att läraren är centralgestalten i klassrummet. Inte minst i en matematikdidaktik för lärarutbildningen är det naturligt att skriva utförligt om just undervisning, eftersom det ju är på det området som läraren tänker och handlar. Det går emellertid inte att skriva så mycket vettigt om undervisning utan att först ha avhandlat elevers lärande av matematik.

16

Delta - s 13-20 - inledning.indd 16

10-07-06 15.39.27

inledning Därför kommer den omfattande behandlingen av matematikundervisningen i bokens andra del. I kapitel 5 diskuteras begreppet undervisning, alltså hur man kan se på matematiklärarens undervisande roll. Det kommer att framgå att läraren borde ha en mer central gestalt i den praktiska matematikundervisningen än för några årtionden sedan. Vi kommer att se att detta bl.a. beror på en reformerad matematikundervisning med förändrad syn på ämnet och lärandet, och att detta kommer till uttryck i att undervisningen uppfattas som en reflektiv praxis. Ett syfte med detta och följande kapitel är därför att läsaren med utgångspunkt i några konkreta exempel börjar utveckla en kompetens att reflektera över matematikundervisning.

Det vi i Y-boken kallade övningar, uppgifter och undersökningar kallas allmänt för ”aktivitet” i denna bok. Innehållet i aktiviterna kan vara av karaktären ”fundera på”, ”överväg och diskutera” eller ge exempel på upplägg till elevaktiviteter. I kapitel 6 ska vi se på hur olika typer av upplägg ger olika möjligheter till lärande. Det är en viktig uppgift för matematikläraren att finna, bearbeta och utveckla upplägg till elevaktiviteter. I detta kapitel ger vi därför läsaren tillfälle att skilja mellan olika öppna och slutna upplägg för att bedöma om de ställer lämpligt stora kognitiva krav på eleverna. Men läsaren ska också lära sig att själv utforma upplägg eller, kanske mer korrekt uttryckt, skapa en arbetsgemenskap i klassen där det blir en naturlig del av klassrumskulturen att ställa frågor och uppgifter till varand­ ra (problem posing). Vi kommer in på några av de kända teknikerna, t.ex. att ställa frågan ”hur vore det om (om inte)” till läroböckernas uppgifter genom att tillfoga eller avlägsna information. Ett viktigt krav på ett bra upplägg – oavsett om det kommer från läraren eller eleverna själva – är att det ger eleverna möjlighet att formulera och pröva hypoteser och antaganden samtidigt som det kan stödja elevernas utveckling och konsolidering av matematiska färdigheter och begrepp.

För att skapa en sådan kultur i klassen, med frågvishet och intresse för förslag och förklaringar, måste läraren veta något om kommunikation i klassrummet, vilket vi tar upp i kapitel 7. I detta kapitel diskuterar och utmanar vi förhärskande kommunikationsformer och presenterar några möjligheter att utvidga kommunikationssätten. Bl.a. kommer vi in på hur allmänpedagogiska och icke-matematiska hänsyn kan råka i konflikt med elevernas matematiklärande om de inte beaktas i kommunikationen.

I de därpå följande kapitlen, 8 och 9, kommer vi in på några centrala uppgifter förbundna med längre undervisningsförlopp. Det gör vi genom att betrakta målsättning, planering och utvärdering. Vi behandlar dessa tre begrepp tillsammans eftersom det ena inte har någon mening utan de andra.

17

Delta - s 13-20 - inledning.indd 17

10-07-06 15.39.27

inledning I synnerhet är det meningslöst att utvärdera om det inte finns något mål med undervisningen.

I kapitel 8 ser vi på hur man klarar den vanskliga uppgiften att formulera en plan för läsåret utifrån föränderliga läroplaner och olika läromedel.

Vid varje given tidpunkt finns det naturligtvis en gällande läroplan och andra bestämmelser som uppställer några mål med undervisningen, men vi föreslår att läsårets undervisning centreras kring några få så kallade brännpunkter i ämnet. En möjlig nackdel med detta är att ämnet inskränks, men det går att motverka genom att man anlägger ett kompetensperspektiv på matematikundervisningen.

Syftet med kapitel 9 om utvärdering är att läsaren efter avslutad genomgång ska kunna planera hur utvärdering kan bli en viktig del av undervisningen, en del som allsidigt stödjer både elevernas lärande och lärarens fortsatta undervisning. Därför ger vi läsaren möjlighet att analysera och diskutera grundläggande avsikter med, kännetecken på och principer för utvärdering, och går igenom en rad olika utvärderingsformer. Vi betonar att utvärdering starkt kan påverka vad som uppfattas som viktigt i undervisningen. Utvärdering är alltså inte en neutral registrering av elevernas lärande, utan har betydelse för vad de anser vara viktigt att lära sig.

Med kapitel 9 avrundar vi bokens andra del och har därmed täckt många av de begrepp, teorier och verktyg som är viktiga för matematiklärarens praxis.

Övergripande perspektiv Vi sade tidigare att vi i stor utsträckning skulle anföra internationella forskningsrön och att en betydande del av dem är amerikanska. Men för att språnget från andra länders erfarenheter till skandinavisk praxis inte ska bli alltför stort har vi också sökt inspiration i länder vilkas skolkultur ligger närmare vår än USA:s, däribland i Nederländerna. Dessutom har en fransk matematikdidaktisk skola väckt stort internationellt intresse under de senaste femton åren, varför vi också har tagit med dem bland våra utländska källor till inspiration och kunskap.

I bokens tredje del presenteras tre matematikdidaktiska ”skolor”. Vad gäller den ena, den amerikanska, består presentationen av en kort sammanfattning av de mycket omfattande hänvisningar vi har gett till den på många ställen i boken. De båda andra ägnas var sitt kapitel. De tre skolorna är: 18

Delta - s 13-20 - inledning.indd 18

10-07-06 15.39.28

inledning • En amerikansk matematikdidaktisk skola med Paul Cobb som centralfigur. Denna skola har på ett fruktbart sätt försökt förena de två tongivande perspektiven på lärande som vi presenterade i del I. • En nederländsk matematikdidaktisk skola som har sin utgångspunkt i tysk-holländaren Hans Freudenthals arbeten. Skolan kallas Realistisk matematikundervisning (RME, Realistic Mathematics Education) och kännetecknas av att matematisk aktivitet är och ska vara meningsfull också för eleverna medan de lär sig.

• Den franska matematikdidaktiska skolan med Guy Brousseau som centralgestalt. Här möter vi begrepp som kan låta teoretiska och främmande – didaktisk situation, adidaktisk situation och didaktiskt kontrakt – men som visar sig ha mycket att säga om praktisk undervisning.

En möjlighet till fördjupning av den nederländska och franska skolan erbjuds i kapitel 10 respektive 11 i denna bok.

På liknande sätt kan metaperspektiven i bokens fjärde del behandlas efter den enskilde läsarens egna behov. Man kan t.ex. tänka sig att en grupp avsätter tid till att diskutera de viktigaste skälen till att matematik är ett så stort ämne i skolan. Då kan kapitel 13 tjäna som en lämplig bakgrund till diskussionen. Även kapitel 12 om den svenska matematikundervisningens historia kan ingå i en sådan diskussion, eftersom en poäng i detta historiska kapitel är att ämnets existensberättigande i stor utsträckning har förändrats från att vara ett ämne som var nödvändigt för den formella bildningen till ett ämne som tjänar nyttan eller kanske rent av den demokratiske medborgaren.

Det historiska kapitlet kan också åberopas för att anlägga ett historiskt perspektiv på behandlingen av lärandeteorierna i bokens andra del genom att en stor del av kapitlet ägnas åt att visa hur tonvikten historien igenom har böljat mellan färdighet och förståelse i matematikundervisningen. Även det mer vetenskapsteoretiska kapitel 14 om vad matematik är kan läsas tillsammans med kapitlen om lärande genom att kapitlets sista del, ”Hur produceras matematisk kunskap?”, visar att moderna teorier för lärande på flera punkter stämmer bra överens med forskarens sätt att vinna kunskap.

Det genomgående exemplet i detta avsnitt är Eulers polyedersats, så kapitlet kan läsas i samband med en behandling av denna sats.

Men innan vi går till del I om lärande ska vi ”kratta manegen”. Det gör vi i kapitel 1 med en grundlig diskussion av ett exempel på matematikundervisning.

Vi har i denna korta inledning presenterat bokens innehåll. Samtidigt 19

Delta - s 13-20 - inledning.indd 19

10-07-06 15.39.28

inledning har vi velat visa att bokens syfte är att diskutera matematikdidaktisk teori i nära förbindelse med undervisningens praxis. Detta är i god överensstämmelse med den vetenskap som har etablerats som matematikdidaktik under de senaste femtio åren och med målsättningarna för utbildningen av matematiklärare.

20

Delta - s 13-20 - inledning.indd 20

10-07-06 15.39.28

1 Matematik, lärande och undervisning I detta inledande kapitel presenteras tre teman. Det första temat är hur synen på skolämnet matematik har förändrats under de senaste årtiondena, och också vad förändringen innebär för de situationer eleverna försätts i under matematikundervisningen. Det andra temat handlar om lärande och ställer frågan hur lärande bör uppfattas. Det är inget lätt gripbart begrepp, och det kan uppfattas på minst två sätt. Det tredje temat är hur man som lärare kan agera för att stödja elevernas arbete med matematik nu när synen på ämnet har förändrats. Det handlar alltså om undervisning i bemärkelsen vad en lärare kan göra.

Samtliga tre teman behandlas här bara kort och inledningsvis för att senare fördjupas. Idén med detta första kapitel är bara att ”kratta manegen” för det kommande arbetet med matematik, med barns matematiklärande och med matematikundervisning. Det gör vi med följande aktivitet som genomgående exempel:

Aktivitet 1 a) ____ grupper om 12 = 10 grupper om 6 b) ­30 grupper om 2 = ____ grupper om 4 c) ____ grupper om 7 = ____ grupper om 21 d) ____ grupper om 18 = ____ grupper om 21 e) Hur många lösningar kan du finna på d)? Finns det något mönster i de lösningar du har funnit? f) Konstruera andra likartade uppgifter. Kan du finna ett allmänt svar på frågor av samma typ som i e)?

Aktiviteten har inspirerats av en liknande uppgift för årskurs 5 som Mag21

Delta - s 21-46 - kap 1.indd 21

10-07-06 15.41.14

1. matematik, lärande och undervisning dalena Lampert beskriver i sin bok Teaching Problems and the Problems of Teaching (Lampert 2001, s. 104). I Lamperts bok består uppgiften bara av a), b) och c). Den är ett exempel på det som Lampert kallar the Problem of the Day, ett inledande problem som eleverna i hennes klass får i början av lektionen utan så värst många förklaringar och anvisningar.

Aktivitet 2 Analysera arbetet med aktivitet 1, helst tillsammans med en studiekamrat. Skriv ned hur ni löste uppgifterna, inbegripet provisoriska och misslyckade försök.

Vad kan tala för att använda en sådan uppgift i en klass i årskurs 5?

I sin bok redogör Lampert för sina överväganden när hon valde att låta eleverna gripa sig an uppgiften. Idén var att ge dem möjlighet att göra flera erfarenheter med uträkningar i samband med multiplikation och att få dem att fokusera på att räkna i grupper, d.v.s. att ”hoppräkna” med t.ex.

6 (alltså räkna: 6 – 12 – 18 …). Dessutom förväntade hon sig att eleverna skulle arbeta med: • • • • •

Talmönster och -samband.

Sambandet mellan addition och multiplikation.

Sambandet mellan multiplikation och division.

Sexans tabell och med upprepad addition av tvåor, fyror och tolvor.

Olika sätt att representera tal på (Lampert 2001, s. 107).

Aktivitet 3 Jämför Lamperts intentioner med uppgiften med ert eget arbete med den. Fungerade uppgiften enligt Lamperts avsikter för er del?

Syftet med detta kapitel är att läsaren med Lamperts uppgift i aktivitet 1 som genomgående exempel och utifrån egna erfarenheter med sådana uppgifter ska få en första kännedom om: • Utvecklingen inom skolämnet matematik under de senaste årtiondena. Ämnet ska nu uppfattas både i termer av processer och i termer av resultat.

22

Delta - s 21-46 - kap 1.indd 22

10-07-06 15.41.14

Matematik i skolan: produkter och processer • En modern syn på elevers matematiklärande i skolan: Lärande kan ses som både tillägnande av matematisk kunskap och som en aspekt av deltagande i gemenskaper som arbetar med matematik.

• En modern syn på matematikundervisningen i skolan: Undervisningen består i att skapa så goda betingelser som möjligt för att eleverna ska lära sig och nå den avsedda förståelsen.

Matematik i skolan: produkter och processer Matematiken i skolan håller på att förändras. Förr dominerades ämnet av att eleverna skulle känna till och kunna använda en rad matematiska begrepp och färdigheter, t.ex. de fyra räknesätten, procent och bråk, ekvationslösning och metoder för att bestämma area och volym av olika två- och tredimensionella figurer. Behärskningen av sådana begrepp och metoder är en väsentlig del av skolmatematikens identitet.

Intentionerna i de senare kursplanerna i matematik är att samtidigt som eleverna ska känna till och kunna använda begrepp och metoder som de nämnda ska de också kunna ge sig i kast med att t.ex. undersöka, förklara och förutsäga samband och mönster av olika slag.

Den uppgift vi presenterade i början av kapitlet innehåller också den sista typen av krav. Eleverna ska här arbeta med multiplikativa samband, men de ska inte öva tabeller eller skriftliga räkneuppgifter. De har inte fått veta hur de ska lösa uppgiften, så en väsentlig del av deras insats består i att systematisera sin egen aktivitet och söka samband mellan de svar de finner.

De ska alltså göra mycket mer än att bara upprepa en procedur som har beskrivits i läroboken eller som läraren har visat på tavlan.

Denna förändring av skolmatematiken kan beskrivas som en rörelse från ett ensidigt fokus på ämnets produkter (t.ex. de nämnda begreppen och färdigheterna) till en alltså större betoning av ämnets processer. Produkter och processer anger två perspektiv på matematik som båda är relevanta i ett skolsammanhang.

I samband med det inledande exemplet skulle man kunna tänka på multiplikationstabellerna eller på sätt att ställa upp och lösa skriftliga uppgifter i multiplikation enligt en given schablon eller procedur, d.v.s. enligt det man också kallar en given multiplikationsalgoritm. Den traditionella skolmatematiken har som nämnts kretsat kring sådana produkter.

Men produkterna har inte uppstått ur intet. På skolmatematikens område är de resultat av långvariga och ihärdiga försök att systematisera arbe23

Delta - s 21-46 - kap 1.indd 23

10-07-06 15.41.14

1. matematik, lärande och undervisning tet med tal och geometri. En multiplikationsalgoritm är t.ex. ett resultat eller en produkt av en lång utvecklingsprocess som har systematiserat upprepad addition och överfört den till en relativt enkel form. Syftet med denna process har varit att finna svaret på frågan: Hur löser man multiplikationsuppgifter lättast och mest ändamålsenligt?

Det är emellertid en helt annan sak att finna möjliga svar på den frågan än att använda algoritmen – eller att lära sig använda den – när den väl har utvecklats. Det senare, att använda eller att lära sig använda den, är ett arbete med en av ämnets produkter, den färdiga algoritmen. Det förra, att utveckla algoritmen, är ett arbete inom en annan sida av matematikämnet, dess processida.

Till för inte alltför många år sedan var det i skolmatematiken givet att eleverna lade ned nästa hela sin energi på produkterna, t.ex. på att öva multiplikationsuppgifter, som skulle lösas enligt en på förhand uppställd algoritm som läraren hade gått igenom. Det finns flera skäl till att ämnets processer har fått en starkare ställning, d.v.s. att processen det är att skapa matematik har beretts mer utrymme.

För det första finns det inte nödvändigtvis ett starkt samband mellan att lära sig färdigheter och att utveckla en grundläggande förståelse i ämnet.

Man kan mycket väl lära sig att multiplicera flersiffriga tal med varandra utan att för den skull utveckla en god förståelse av varför metoden fungerar (du kan t.ex. pröva att multiplicera 3123 och 45 på papper och efteråt se om du kan förklara varför metoden fungerar). Av att man ”kan” algoritmen följer inte heller att man i en given situation kan bedöma om det är en god idé att använda multiplikation.

Det är slutligen inte säkert att behärskningen av färdigheter bygger på och ytterligare bidrar till elevernas förståelse av talen. Man kan t.ex. mycket väl lära sig att multiplicera 3 123 med 45 utan att vidareutveckla sin förståelse av positionssystemet, t.ex. att den första och sista 3:an i 3 123 har olika värde i kraft av sin placering eller position i sifferraden. Lärandeproblem av olika slag kan alltså vara förbundna med en alltför ensidig fokusering på ämnets produkter.

För det andra ges en ensidig och skev bild av vad matematik är om ämnet i skolan uteslutande presenteras som övning i på förhand bestämda begrepp och procedurer. Sådana begrepp och procedurer är ju resultat av matematisk verksamhet. Om eleverna i skolan uteslutande arbetar med färdiga algoritmer blir de snuvade på den insikt och förståelse som följer av arbete med processen, och själva aktiviteten att utveckla algoritmer förblir osynlig.

Eleverna kan få uppfattningen att det i matematiken enbart handlar om 24

Delta - s 21-46 - kap 1.indd 24

10-07-06 15.41.14

Matematik i skolan: produkter och processer att komma ihåg hur man ska göra snarare än att komma underfund med vad man ska göra. Man skulle alltså kunna säga att eleverna i en sådan undervisning bara presenteras för matematikens ena sida, produkten, medan dess andra sida, processerna att utveckla produkterna, inte ingår i elevernas bild av ämnet, i deras matematikuppfattning.

För det tredje har vi nu elektroniska hjälpmedel med vilka vi snabbare, enklare och bättre kan utföra en stor del av det arbete som man förr var tvungen att utföra på papper. Det gör att det inte är lika viktigt som tidigare att eleverna behärskar t.ex. den snabbaste metoden att multiplicera två flersiffriga tal. En del av den uppmärksamhet som förr riktades mot övning i färdigheter kan därför nu användas till något annat. Av teknologiska skäl är färdighetsövningen alltså inte lika betydelsefull som förr.

Matematiska processer – kompetenser och ”standarder” Synen på matematiken som en process har fått en starkare ställning i matematikdidaktiken under de senaste två årtiondena. Det framgår bl.a. av att matematikdidaktisk forskningslitteratur rymmer allt fler hänvisningar till matematikfilosofiska texter med en processorienterad syn på ämnet. Det framgår också av att fler publicerade praktiska analyser och beskrivningar av vad matematikundervisningen bör ägnas åt betonar ämnets processer.

Matematiska kompetenser I Danmark är det starkaste uttrycket för processorienteringen den beskrivning av matematik i termer av kompetens som finns i undervisningsmini­ steriets rapport Kompetencer og matematiklæring (det s.k. KOM-projektet, Niss & Højgaard Jensen 2002). Där definieras matematisk kompetens som en ”insiktsfull beredskap att handla ändamålsenligt i situationer som rymmer ett visst slags matematiska utmaningar” (s. 43).

Kompetens (kallas ibland förmåga) handlar alltså om att vilja och kunna reda sig inom matematiken. Det innebär t.ex. att ha en känsla för vilka typer av frågor man ställer i ämnet och vilka typer av svar man kan förväntas finna. Det förutsätter också att man själv kan formulera och lösa problem inom matematiken och i samband med det använda matematiska resonemang och symboler. Vidare innebär det att man kan kommunicera matematik som både avsändare och mottagare, och då välja en symbolanvändning som är ändamålsenlig i ett givet sammanhang.

En utgångspunkt för kompetensrapportens författare är att de vill göra 25

Delta - s 21-46 - kap 1.indd 25

10-07-06 15.41.15

1. matematik, lärande och undervisning upp med pensumformuleringar inom skolmatematiken. Sådana beskrivningar är helt uppbundna till matematiska begrepp och metoder, d.v.s. det som vi kallade matematikens produkter. Att identifiera matematisk kompetens med behärskning av ett visst pensum innebär ”en reduktion av kompetensens idé som leder till en alltför låg ambitionsnivå i undervisningen” (s. 40, org. kurs.). KOM-rapporten har haft stort inflytande över arbetet med de senaste kursplanerna i de skandinaviska länderna. Kompetensrapporten kan alltså uppfattas som ett danskt uttryck för en processorientering av skolmatematiken.1 Kompetenstänkandet inom matematiken har väckt internationell uppmärksamhet. Det har t.ex. påverkat den del av PISA (en internationell jämförelse av skolelevers prestationer i några olika ämnen) som rör matematik. Det finns också andra dokument som på liknande sätt lyfter fram matematikämnets procedurer. Det internationellt viktigaste av dem är The Principles and Standards for School Mathematics. Den ingår i ett stort och omfattande material från den amerikanska matematiklärarföreningen NCTM (National Council of Teachers of Mathematics). Den gavs ut år 2000 och kallas därför ofta Standards 2000 (NCTM 2000).2 Standards 2000 I Standards 2000 ska ordet ”standard”3 inte uppfattas som ett minimimål för elevernas lärande, d.v.s. ett minimikrav som eleverna ska uppfylla. Det är i stället en avsiktsförklaring om vad som bör ske i undervisningen, alltså ett riktmärke för undervisningen med hänsyn tagen till de resurser som står till förfogande. Det finns vissa paralleller mellan KOM-projektet och Standards 2000.

Standards 2000 bygger på en vision om matematikundervisningen som bl.a. formuleras på följande sätt: [The students] draw on knowledge from a wide variety of mathematical topics, sometimes approaching the same problem from different mathematical perspectives or representing the mathematics in different ways until they find

1. Vi ska återkomma med en fördjupad beskrivning av begreppet kompetens (förmåga) inom matematiken. Kompetensbegreppet åberopas också i Y-boken.

2. Hela Standards 2000 kan läsas på http://www.nctm.org/standards, där man kan ladda ned ”the executive summary”.

3. Ordet ”standard” kan närmast översättas med norm eller kvalité, men inget av dessa fångar hela innebörden.

26

Delta - s 21-46 - kap 1.indd 26

10-07-06 15.41.15

Matematik i skolan: produkter och processer methods that enable them to make progress. Teachers help students make, refine, and explore conjectures on the basis of evidence and use a variety of reasoning and proof techniques to confirm or disprove those conjectures (NCTM 2000, s. 3).

Som framgår av citatet är visionen alltså att eleverna använder kunskaper från många områden och undersöker matematiska problem på olika sätt tills de finner metoder som gör dem i stånd att komma vidare. Med lärarens hjälp formulerar och undersöker de antaganden (”conjectures”) mot bakgrund av erfarenheter och på grundval av resonemang. Det är en vision om aktivt undersökande och utforskande elever som med lärarens hjälp når fram till väsentligt matematiskt kunnande.

Standards 2000 ger ett omfattande och detaljerat förslag till en matematikundervisning som ska förverkliga denna vision. Beskrivningen täcker alla nivåer i skolsystemet, från förskola till gymnasium, uppdelat i fyra faser: från förskola t.o.m. årskurs 2, årskurs 3–5, årskurs 6–8 och årskurs 9–12. På samtliga nivåer beskrivs undervisningen i termer av 10 ”standarder” som anger viktiga innehålls- och processområden i skolarbetet.

De första fem ”standarderna”, ”produktstandarderna”, berör ämnesinnehållet i traditionell mening, medan de fem sista är ”processtandarder”:4 1) Tal och räknesätt 2) Algebra 3) Geometri 4) Mätning 5) Dataanalys och sannolikhet

6) Problemlösning 7) Resonemang och bevis 8) Kommunikation 9) Förbindelser/samband 10) Representation

Produkteller innehållsstandarder

Processtandarder

4. I förslaget till ny svensk kursplan i matematik för grundskolan återfinns motsvarigheten till ”produktstandarderna” i det centrala innehållet, medan ”processtandarder” motsvarar de förmågor som eleverna ska ges förutsättningar för att utveckla (Skolverket 2010).

27

Delta - s 21-46 - kap 1.indd 27

10-07-06 15.41.15

DEL I

Matematikl채rande

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 47

10-07-06 15.45.31

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 48

10-07-06 15.45.31

Introduktion Som vi såg i kapitel 1 finns det flera synsätt på vad matematik i skolan är.

Dels kan den betraktas som förändringar i den enskildes förståelse eller kunnande inom ett konkret område, dels kan den ses som en aspekt av deltagande i den sociala praxis som skapas under motsvarande lektioner.

Vi betecknade dessa synsätt som ”lärande som tillägnande” respektive ”lärande som deltagande”. Denna terminologi härrör från Sfard (1998), som använder tillägnande (acquisition) och deltagande (participation) som grundläggande metaforer för lärande.

Om tillägnandemetaforen säger Sfard att ur detta perspektiv uppfattas lärande som en utveckling av begreppsförståelse, och […] concepts are to be understood as basic units of knowledge that can be accumulated, gradually refined, and combined to form ever richer cognitive structures. The picture is not much different when we talk about the learner as a person who constructs meaning. This approach […] brings to mind the activity of accumulating material goods (Ibid. s. 5).

I denna beskrivning kan lärande som tillägnande alltså jämföras med ackumulation av materiella ting. Men det som tillägnas är inte rikedom utan begrepp, vilka samlas, finslipas och förbinds med varandra i större sammanhang. Man kan t.ex. tänka sig att elevernas förståelse för de naturliga talen har sin utgångspunkt i enkla uppräkningar och att den utvecklas och förfinas genom att undan för undan förbindas med räknesätten, mätningar m.m. I detta sammanhang är den viktigaste aspekten av tillägnandemetaforen att den genomgående uppfattar lärande som en individuell aktivitet.

Det är den enskilda individen som ska tillägna sig begreppsförståelse och färdigheter. Detta står i motsättning till lärande som deltagande. Att delta innebär att ta del av och bli en del av en större helhet. Sfard uttrycker det så här: Just as different organs combine to a living body, so do learners contribute to the existence and functioning of a community of practitioners. While [the acquisition metaphor] stresses the individual mind [… the participation

49

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 49

10-07-06 15.45.31

introduktion metaphor] focuses on the evolving bonds between the individual and others (Ibid. s. 6).

I citatet drar Sfard en parallell med levande organismer, som enligt henne kan betraktas som helheter som upprätthålls av samspelet mellan de olika organen. På liknande sätt kan en social praxisgemenskap uppfattas som en helhet som upprätthålls av samspelet mellan de deltagande individerna.

Deltagandemetaforen fokuserar alltså på hur individen är och blir deltagare i gemenskaper som hålls samman av vissa sätt att vara och fungera.

Syftet med de båda följande kapitlen är att se närmare på begreppet lärande. Vi ska diskutera de båda grundläggande synsätten på matematiklärande: lärande som tillägnande och lärande som deltagande. Dessutom ska vi betrakta relationen mellan dem och diskutera förhållandet mellan deras bakomliggande inspirationskällor. Slutligen är avsikten att betrakta den ställning de båda synsätten på lärande har fått i matematikdidaktiken som reaktion på problem som har uppstått i praktisk undervisning. Kapitlets behandling av lärande rymmer alltså en viss historisk tillbakablick på de senaste årtiondena. Vi ska därför inleda med att bereda marken genom att referera till en äldre artikel av Erlwanger (1977), vilken visade sig bli en av de mest inflytelserika artiklarna i matematikdidaktiken.1

Erlwanger och kritiken av programmerad undervisning Erlwangers artikel från början av 70-talet handlar om en pojke, Benny, som går i årskurs 6. I Bennys klass används läromedel som ingår i den tradition som kallas programmerad undervisning. I programmerad undervisning koncentrerar man sig på att eleverna ska komma att behärska fakta och färdigheter genom att arbeta med självinstruerande läromedel som är organiserade som en kontrollerad följd av små steg av stigande svårighetsgrad.

Materialet är mycket individualiserat i den meningen att eleverna arbetar enskilt med att svara på de ställda frågorna, och det är orienterat mot facit genom att det finns positiv feedback på rätta svar och att ett korrekt svar på en viss uppgift är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att gå vidare.

1. Att Erlwangers artikel verkligen har haft ett stort inflytande framgår av att den är med i den antologi med inalles sjutton artiklar som den amerikanska matematiklärarföreningen NCTM 2004 samlade under rubriken Classics in Mathematics Education Research.

50

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 50

10-07-06 15.45.31

Erlwanger och kritiken av programmerad undervisning Den enskilda eleven kontrollerar alltså själv sina resultat och bestämmer när han/hon är redo för ett prov rörande innehållet ifråga.

Benny räknar ofta rätt och tar sig därmed snabbt fram i läromedlet. Både läraren och Benny tycker därför att det går bra för honom i ämnet. Men i en intervju med Erlwanger visar det sig att Benny har utvecklat några säregna regler och procedurer t.ex. för bråk och tal i decimalform. Han säger bl.a. att 0,3 + 0,4 är 0,07 eftersom: […] there’s two points [decimaltecken], at the front of 4 and the front of 3.

So you have to have two numbers after the decimal, because … you know … two decimals. Now if I had [0,44 + 0,44], I have to have four numbers after decimal” (Ibid., s. 10).

Den regel som Benny här tillämpar på addition av tal i decimalform kan vara en otillåten generalisering av motsvarande regel för multiplikation.

Det är mindre uppenbart varifrån han hämtat sin procedur för att omvandla tal från bråkform till decimalform och omvänt. Denna procedur kan 2 429 illustreras med att Benny får resultaten = 1, 2 ; = 5, 29 och 10 100 3 27 15 = 1, 003 . Dessutom är = = 4, 2 . Genom att lägga samman 1 000 15 27 täljare och nämnare och sätta kommat efter den första siffran när resultatet är över 10, kan Benny entydigt omvandla tal från bråkform till decimalform.

Det bekymrar honom inte att det finns många lösningar till den omvända proceduren. När han ombeds skriva 0,5 som bråk säger han så här: 3 2 or anything as long as it comes out with 2 3 the answer 5, because you’re adding them (Ibid., s. 9). .5 … it will be like this … or

Sådana metoder gör att Benny emellanåt får andra resultat än i facit. Men det tycker han inte är så konstigt eftersom tal kan representeras på flera 1 1 2 sätt. Han säger exempelvis att + är detsamma som , som i sin tur 4 4 4 1 är detsamma som . Så när det för en viss uppgift står något annat i facit 2 än hans resultat är det nog bara ett annat sätt att skriva samma tal på. Liksom hans metod för att addera tal i decimalform är en otillåten generalisering av en korrekt multiplikativ procedur, kan Bennys bekymmerslöshet över att facit anger något annat än hans egna resultat uppfattas som en generalisering av hans korrekta iakttagelse att tal kan representeras på flera olika sätt.

51

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 51

10-07-06 15.45.35

introduktion Ett resultat av Bennys arbete med matematik är att ämnet för honom består av en rad från varandra isolerade regler som ska följas. Han berättar t.ex. hur han lägger samman 2 och 0,8: ”I look at it like this: 2 + 8 is 10; put my 10 down; put my decimal in front of the zero” (ibid., s. 17). Regeln är alltså att man ska se på de ingående siffrorna, lägga samman talen utan hänsyn till decimalkommat och efteråt sätta dit kommat. Det finns enligt Benny sådana regler för vartenda matematiskt problem – minst hundra bara för bråk, tror han. Alla dessa regler måste ha uppfunnits av någon smart kille och det måste ha tagit lång tid: It must have took this guy a long time … about 50 years … because to get the rules he had to work all of the problems out like that (Ibid., s. 17).

Erlwangers studie handlade egentligen om elever som hade svårigheter med matematik, och på så sätt stod Benny inte i medelpunkten för den ursprungliga studien. Han ansågs ju vara duktig i matematik. Men artikeln om Benny fick ett stort gensvar genom att den levererade en fundamental kritik av programmerad undervisning och dess fokus på enskilt arbete och svar enligt facit.

I programmerad undervisning uppfattas lärande som en förändring i elevens förmåga att lösa förelagda uppgifter och avspeglas därmed i hur snabbt eleven tar sig framåt i följden av uppgifter av ökande svårighetsgrad.

Lärande av matematik uppfattas alltså som en beteendemässig reaktion på en given situation: när du befinner dig i en situation av detta slag ska du göra si eller så.

Som medvetet program fick programmerad undervisning aldrig något starkt genomslag i Skandinavien (inte ens på 70-talet). Möjligen var den inneboende synen på lärande något extrem för ett skandinaviskt sammanhang. Dock genomfördes i Sverige ett stort projekt (IMU-projektet) om individualiserad matematikundervisning baserat på idéerna bakom den programmerade undervisningen (se t.ex. Larsson 1973). Men utöver kritiken av programmerad undervisning har Erlwangers studie tre andra, sammanhängande och mer allmänna, poänger.

För det första pekade undersökningen på de ofruktbara föreställningar som inte bara svaga elever kan utveckla om inte tillräcklig vikt fästs vid begreppsutveckling och förståelse i anslutning till undervisningen i matematik. Benny hade t.ex. byggt sin additionsstrategi för tal i decimalform på multiplikativa procedurer, men om han hade satt sin procedur i relation till betydelsen av begreppet rationellt tal (i decimalform) hade han kanske 52

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 52

10-07-06 15.45.35

Erlwanger och kritiken av programmerad undervisning insett varför hans additionsstrategi inte håller.

För det andra klargjorde Erlwangers artikel att eleverna också under matematiklektionerna försöker skapa mening i de situationer de försätts i, även om den mening de skapar inte alltid är den avsedda. De bygger alltså upp egna uppfattningar om metoder och begrepp i de matematiska aktiviteter de dras in i. Benny, eleven i Erlwangers studie, hade exempelvis utvecklat några metoder för att hantera rationella tal i bråk- och decimalform som byggde på hans tidigare erfarenheter av multiplikation och av att tal kan skrivas på många olika sätt. Man skulle alltså kunna säga att Benny har byggt upp en förståelse som är meningsfull för honom trots att den för de flesta andra inte överensstämmer med hur man ska hantera tal i bråk- och decimalform.

För det tredje klargjorde exemplet Benny att överdriven vikt kan fästas vid regler inom matematiken. Det kan leda till att eleverna huvudsakligen är sysselsatta med att komma ihåg lösryckta regler i stället för att uppfatta regler som meningsfulla generaliseringar av arbetet med metoder och begrepp. Det kan i sin tur leda till uppfattningen att matematik bara består av en sådan samling inbördes orelaterade regler som någon ”smart kille” har hittat på.

Dessa tre punkter, som även andra har tagit upp, bidrog till försök att utveckla teoretiska alternativ till lärande som beteendemodifiering. Ett sådant alternativ är synen på lärande som tillägnande.

53

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 53

10-07-06 15.45.35

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 54

10-07-06 15.45.35

2 Lärande som tillägnande I detta kapitel ska vi studera lärande som tillägnande. Vi ska alltså försöka förstå vad det kan innebära att tillägna sig kunskap och färdigheter. I detta sammanhang ska vi huvudsakligen ta upp en syn på lärande som kallas radikal konstruktivism och som har haft stor betydelse i matematikdidaktiken under de senaste årtiondena. Den radikala konstruktivismen har t.ex. varit avgörande för formuleringen att eleverna i skolan ska lära sig matematik med förståelse.

I likhet med andra betydande teorier omfattar den radikala konstruktivismen en stor begreppsapparat med många facktermer och fackuttryck som är nödvändiga att känna till för att kunna värdesätta teorin. Men det är naturligtvis viktigare för en lärare att kunna koppla teorins huvudsakliga idéer till praktisk undervisning. Därför är syftet med detta kapitel att ge läsaren möjlighet att • diskutera och utveckla sitt kunnande om vad det kan innebära att lära sig matematik med förståelse.

• utveckla en förståelse av en rad centrala begrepp och förhållanden i den radikala konstruktivismen (assimilation, ackommodation, mentala scheman, förhållandet mellan det sociala och det individuella i lärande).

• relatera dessa begrepp och förhållanden till praktisk matematikundervisning genom att tillämpa dem i tolkningen av elevers matematiska aktivitet.

Men först ska vi gå in på vad det kan betyda att lära sig matematik med förståelse.

55

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 55

10-07-06 15.45.35

2. Lärande som tillägnande

Lärande med förståelse Standards 2000, som vi nämnde i kapitel 1, omfattar jämte de tio ”standarder” som anger matematiska mål och processer också sex principer. Principerna är de mer allmänna orienteringar som ligger under den vision om skolmatematiken som Standards 2000 vill bidra till att förverkliga. Den ena av dessa principer är lärandeprincipen.2 Som inledning till principen heter det i Standards 2000: Students must learn mathematics with understanding, actively building new knowledge from experience and prior knowledge (NCTM 2000, s. 20).

Fokus ska alltså ligga på förståelse och den enskilda elevens aktiva uppbyggnad av kunskap. Denna syn på lärande står i bjärt kontrast mot den uppfattning av lärande som ligger bakom programmerad undervisning, vilket vi såg i samband med Benny (s. 50 ff.). Enligt Standards 2000 är det inte tillräckligt att eleverna lär sig behärska olika procedurer om de inte samtidigt förstår deras matematiska innehåll och hur och när de kan användas.

Liknande formuleringar om lärande med förståelse återfinns också i svenska styrdokument, t.ex. ”Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem” och ” Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven […] utvecklar sin förmåga att förstå …”

(Skolverket 2008)3. Lärande med förståelse har under lång tid diskuterats 2. De övriga fem principerna är • Principen om lika tillgång till kvalitetsundervisning.

• Läroplansprincipen, som pekar på behovet av ett sammanhang i matematikundervisningen tvärs igenom skolsystemet.

• Undervisningsprincipen, som handlar om behovet av att utveckla undervisningen som en utmaning av elevernas nuvarande förståelse.

• Utvärderingsprincipen, som säger att utvärdering bör användas för att stödja lärandet genom att ge lärare och elever viktiga upplysningar om elevernas aktiviteter.

• Teknologiprincipen, som handlar om hur i synnerhet IKT kan stödja elevernas lärande.

Vi ska återkomma till flera av dessa principer i de följande kapitlen.

3. Aktuella kursplaner finns på skolverkets webbplats, www.skolverket.se. En sammanställning av alla tidigare kursplaner i matematik finns på http://ncm.gu.se/ node/3605 (2010-02-25).

56

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 56

10-07-06 15.45.36

Lärande med förståelse (se kap. 12) och är fortfarande aktuellt i en del av dagens lärandeteoretiska diskussioner.

Det kan tyckas självklart att eleverna ska lära sig matematik med förståelse, men det är inte lika självklart vad som ska till för att de ska göra det.

En rad olika försök har gjorts för att beskriva vad lärande med förståelse innebär. Ett av de gemensamma dragen i dessa försök är att de visar på behovet av att begrepp och färdigheter inte blir isolerade element i elevens kunskaper, utan att eleven får möjlighet att finna och konstruera samband mellan olika begrepp och metoder. Därmed kan matematik komma att framstå som en sammanhängande begreppsbyggnad och inte som en lång rad isolerade regler och begrepp utan inbördes sammanhang.

En sådan uppfattning av matematiklärande med förståelse kommer t.ex. till uttryck hos Carpenter & Lehrer (1999). De föreslår närmare bestämt att lärande med förståelse har fem, med varandra intimt förbundna, kännetecken. De fem kännetecknen är att eleven: • Upprättar relationer mellan det han/hon redan kan och det nya han/hon ska lära sig. Möjligheter för detta kan skapas på alla nivåer i skolsystemet, eftersom också barn som just har börjat skolan har omfattande erfarenheter av tal och storheter från uppräkning, delning, jämförelser och andra situationer.

• Utvidgar och tillämpar matematisk kunskap. Detta hänger samman med föregående punkt, men utöver att eleverna bygger på det de redan kan ska de efter hand också spinna strukturella nät av matematiska begrepp och metoder. Det är t.ex. rimligt att introducera multiplikation som upprepad addition, men förståelsen av multiplikation ska sedan kopplas till begreppets relation till symmetriska situationer, d.v.s. situationer där det inte finns en given skillnad mellan multiplikator och multiplikand4 (t.ex. areaberäkning), till division, till talnotation (347 som 3 · 100 + 4 · 10 + 7 · 1) och till olika tillämpningar.5 4. I några multiplikativa situationer finns det en tydlig skillnad mellan de roller de båda faktorerna spelar. Detta gäller t.ex. om man ska räkna ut hur många äpplen som finns i 7 påsar med 5 i varje. I multiplikationen 7 · 5 spelar 7:an och 5:an olika roller. 5:an anger hur många det finns i varje påse och 7:an anger antalet påsar. Om man tänker sig multiplikation som upprepad addition kan man säga att 5:an anger storleken av varje term och 7:an antalet termer. Man säger då att 7 är multiplikatorn och 5 multiplikanden.

5. Detta slag av strukturellt samband mellan matematiska begrepp är kärnan i vår representation av matematiska innehåll i kunskapspaket i -boken.

57

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 57

10-07-06 15.45.36

2. Lärande som tillägnande • Reflekterar kring sina matematiska erfarenheter, d.v.s. medvetet överväger och undersöker nya begrepp och metoder i stället för att sluka en definition eller en procedur med hull och hår. Reflektion kan dessutom leda till att man konsoliderar och eventuellt omstrukturerar redan uppnådd förståelse. Arbete med multiplikation och multiplikationsalgoritmer på mellanstadiet kan t.ex. leda till att eleverna utvecklar en djupare och mer nyanserad förståelse av positionssystemet.

• Uttrycker sin matematiska förståelse i tal, skrift, teckningar, diagram, matematiska symboler eller på annat sätt. Kommunikation kan tvinga eleverna till reflektion.

• Gör det matematiska innehållet till sitt. Det innebär att eleverna måste komma att uppfatta kunskap som något annat och något mer än sådant som andra har sagt, samt att de genom att arbeta med det kan komma i besittning av det matematiska innehållet. Det betyder naturligtvis inte att de inte kan lära sig av en lärares förklaringar eller av samarbete sinsemellan, utan att de inte enbart förväntas överta andras metoder och begrepp, så som var fallet för Benny i Erlwangers undersökning (jfr s.

50 ff.).

Sowder & Philip (1999, s. 90 ff.) beskriver ett exempel från mellanstadiet där undervisningen syftar till att eleverna ska bygga nya kunskaper och färdigheter på gamla. Undervisningen kan även på andra sätt tolkas med utgångspunkt i Carpenters & Lehrers fem kännetecken på lärande med förståelse.

Den klass som Sowder & Philip beskriver har tidigare arbetat med division som likadelning (som när 4 barn ska dela 17 småkakor) och som upprepad subtraktion/mätning (som när man ska ta reda på hur många påsar som behövs för 17 småkakor om det ska vara 4 i varje). De har också arbe2 tat med bråk och diskuterat att t.ex. kan uppfattas både som ett sätt att 3 skriva upp en division och som ett tal, d.v.s. som resultatet av divisionen ifråga. Under lektionen före den vi ska betrakta har eleverna arbetat med division av ett helt tal med ett bråk. De har då använt den sedvanliga no1 2 eller 2 ) och använt upprepad subtationen för division (i Sverige: 1 2 2 traktion (mätning) som modell för divisionen. Frågan var alltså: Hur många halvor går det i 2? Fem minuter före timmens slut skriver läraren, som kallas

58

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 58

10-07-06 15.45.37

Lärande med förståelse 1 2 Ms. A, på tavlan och ber eleverna fundera över vilken betydelse som kan 2 tillskrivas detta uttryck.

Som inledning till nästa lektion, som vi ska se här närmare på, diskuterar 1 3 2 1 klassen uttryck som , och . Därefter skriver Ms. A upp 2 på tavlan, 1 1 1 2 varpå följande diskussion utspelar sig: Vicki: So it means if you have one cookie and half a person – no, I mean if you have half a cookie and one person, how much cookie does that person get? And the person gets it all.

Ms. A: What do you mean by all?

Vicki: That the person gets the whole half.

1 Ms. A: Well then, what is meant by over 2? We are going to keep half a 2 cookie and share it with a greater and greater number of people and see what 1 over 2? [Pause] How much cookie would each person happens. So what is 2 get, Jack?

Jack: One cookie. [Pause] No, two parts of a cookie.

Ms. A: Two parts of a cookie? Does that mean that each person gets a half?

Jack: Each person gets a fourth of a cookie.

1 Ms. A: Good. Now let’s try divided by 3 (Sowder & Philip 1999, s. 92).

2

Figur 1.

Ms. A uppmanar eleverna att använda teckningar, liksom de gjort tidigare, och efter det att de arbetat enskilt en stund ritar hon figur 1 på tavlan. En elev, Liza, argumenterar sedan för att de skulle få var sin sjättedel ”för den 59

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 59

10-07-06 15.45.40

2. Lärande som tillägnande andra halvan har också tre delar”. Därefter ska eleverna komma underfund med hur mycket 4, 5, 6, 7 och 8 personer får vardera, och till sist ska de ange en regel för hur man finner resultatet. Då utspelar sig följande samtal i klassen: Sheena: I just double the number of people.

Robert: Just add itself to it.

Ms. A: Anyone else? [Pause] I am interested in a rule, no matter what the 1 denominator is, what is over N? 2 Billy Jean: Double the N. Ms. A: So what would I say mathematically to double this?

Sandy: Multiply by 2!

Ms. A: So the answer is 2N? Each person gets 2N pieces?

Karen: No, each person gets one two-Nth piece.

1 1 2 on the board] (Ibid., s. 93).

Ms. A: Like this? [writes = N 2N

Efter att ha kontrollerat resultaten är eleverna överens, och klassen fortsät1 ter med situationer där täljaren ändras till . Det leder till en generaliser3 1

1 ing av en regel som i gemensamt formuleras och skrivs som k = .

N kN Aktivitet 1 Bedöm lärandepotentialen i episoden från Ms. A:s klass. Fundera särskilt över om och i så fall hur eleverna får möjligheten att lära sig med förståelse i Carpenters & Lehrers mening (jfr de fem kännetecknen på lärande med förståelse ovan). Vilka element i elevernas förförståelse försöker Ms. A exempelvis att bygga på, och finns det alternativ?

En mer traditionell och regelorienterad undervisning (jfr t.ex. Erlwangers beskrivning av Benny s. 50 ff.) kan leda till att en elev som har fått grepp om regeln säger något i stil med: man dividerar ett bråk med ett helt tal genom att multiplicera bråkets nämnare med heltalet. Fundera över hur en undervisning, som presenterar regeln och låter eleverna öva in den, kan karakteriseras med hjälp av Carpenters & Lehrers fem punkter.

Fundera över om det kan knytas ytterligare förbindelser i nätet av matematiska insikter (jfr den andra punkten hos Carpenter & Lehrer), t.ex. genom att sätta regeln i relation till förlängning av bråk.

60

Delta - s 47-158 - kap 2-4.indd 60

10-07-06 15.45.42

d Didaktik d (delta) är en bok i matematikdidaktik för lärarstuderande och verksamma lärare. Den tar upp matematikdidaktiska frågor som inte är knutna till något visst matematiskt tema. Det handlar bl.a. om lärandeteori och undervisnings­ teori för matematik, samt om matematikundervisningens historia, om under­ byggnadsproblem i matematikundervisningen och om olika uppfattningar om vad själva matematikämnet är. I d finns många exempel på elevarbeten och klassrumsdiskussioner, vilket kan knyta innehållet till skolans verklighet och bidra till läsarens yrkesmässiga utveckling. d ger en god grund för alla som ska undervisa i matematik. Den är tänkt för lärarstuderande och för verksamma lärare som vill fördjupa sina kunskaper i matematikdidaktik.

d har följande indelning: I Matematiklärande II Undervisning i matematik III Matematikdidaktiska skolor IV Metaperspektiv på matematik och matematikundervisning Författare: Jeppe Skott, Kristine Jess, Hans Christian Hansen och Sverker Lundin (kap. 12).

De tre förstnämnda är verksamma inom den danska lärarutbildningen. Jeppe Skott är även professor i matematikdidaktik vid Växjö universitet. Sverker Lundin är verksam vid Göte­ borgs Universitet. Översättning: Joachim Retzlaff Fackgranskare för den svenska utgåvan: Mikael Holmquist, universitetslektor vid Enheten för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet samt Johan Häggström, universitetslektor vid En­ heten för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet och vid Nationellt Centrum för Matematik­ utbildning.

ISBN 978-91-40-67146-2

9 789140 671462

40671462.1.2_omslag.indd 1

d

J. Skott, K. Jess, H.C. Hansen & S. Lundin

I serien Matematik för lärare finns även Y (Ypsilon ) Grundbok band 1 och 2 . Dessa två band behandlar det matematiska innehållet i grundskolan.

I direkt anslutning till ämnesinnehållet behandlas de matematikdidaktiska frågeställningar som är relevanta.

Matematik för lärare

Matematik för lärare

Matematik för lärare

Jeppe Skott, Kristine Jess & Hans Christian Hansen med Sverker Lundin

d Didaktik

2012-11-15 13.43