9789127420427

Kurs

D Blå Lösningshäfte

PATRIK ERIXON ∙ INGVAR KROON

MATEMATIK 4000

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

Framställningen är precis som i föregångaren Matematik 3000 baserad på färdigheter – förståelse – problemlösning, men nu med ökat fokus på kommunikation. Nya begrepp introduceras på ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

4000

Böckerna i Matematik 4000 finns i tre svårighetsnivåer: Röd, Grön och Blå, där Blå är den mest krävande.

Detta lösningshäfte omfattar Kurs D Blå Lärobok samt Kurs D i Kurs C & D Blå Lärobok.

För aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

ISBN 978-91-27-42042-7

9

M4000 BLUE kurs D LösningshäfteNY OMSLAG.indd 1

Kurs

D Blå

Lösningshäfte

4000 MATEMATIK

1 0 0 0 0

789127 420427

10-03-03 14.50.06

D Bla Lsg-hft - K1.indd 2

10-03-02 13.12.25

Till lärare och elever Matematik 4000

Problemlösning − en handledning

är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning. Den ger eleven goda möjligheter att utveckla de förmågor och nå de mål som beskrivs i kursplanen.

Problemlösning innebär att du använder dina kun­ skaper i nya och okända situationer. Du kanske inte ser någon färdig plan för hur du ska göra. Du måste då tänka efter först. Den här fyrstegsmetoden kan då vara till hjälp:

Detta lösningshäfte ska användas tillsammans med läroboken Kurs D Blå eller Kurs CD Blå, som främst riktar sig till naturvetare och tekniker.

1. Förstå problemet • Läs problemtexten noggrant flera gånger.

• Vad frågas efter? Kan svaret uppskattas?

• Är angivna data tillräckliga (för många)?

Kurs D Blå lösningshäfte ger lösningar till nästan alla övningsuppgifter till kurs D som finns i läroböckerna och som inte är lösta i svarsavsnitten.

Lösningar ges också till de olika kapitlens fördjupningsavsnitt samt till Historik, Problem för alla, Hemuppgifter och Blandade övningar.

På flera ställen ges dessutom allmänna kommentarer och tips som hjälp. Där de två läroböckerna Kurs D Blå och Kurs CD Blå skiljer sig åt, är hänvisning till Kurs CD Blå, t ex till annat uppgiftsnummer, angivet inom parentes.

Till redovisningsuppgifterna (kap 4) är lösningar medvetet utelämnade för att dessa ska kunna användas som inlämningsuppgifter. Kontakta förlaget om tips eller lösningsförslag önskas till någon av dessa uppgifter.

Lärobokens övningsuppgifter är uppdelade i tre nivåer i stigande svårighetsgrad. Uppgifterna har olika karaktär för att, i enlighet med kursplan och betygskriterier, bl a öva standardprocedurer i ett eller flera steg, begreppsförståelse, kommunikation, problemlösning och olika tillämpningar. Flera av uppgifterna förutsätter att eleven har tillgång till grafritande räknare.

Ett lösningshäfte måste användas med omdöme. Försök alltid att först lösa problemet själv. Om du misslyckas, kan du sedan använda häftet för att få tips på hur du kan göra. Skriv inte bara av lösningarna. Stanna upp och reflektera. Du kan kontrollera att du förstått genom att t ex försöka göra om lösningen helt på egen hand vid ett senare tillfälle.

För att underlätta arbetet med uppgifter av problemlösningskaraktär påminner vi om en välkänd problemlösningsstrategi med en kort handledning. förord

D Bla Lsg-hft - K1.indd 3

2. Gör upp en plan • Rita figur.

• Inför beteckningar på obekanta storheter.

• Hur har du gjort i liknande problem?

• Överväg olika sätt att angripa problemet.

• Dela upp problemet i mindre delproblem.

• I vilken ordning ska delproblemen lösas?

3. Utför planen • Vilket räknehjälpmedel behövs?

• Kontrollera varje steg.

• Använder du korrekta data?

• Fungerar din plan? Ändra den i annat fall.

4. Kontrollera svaret • Är svaret rimligt? Stämmer din uppskattning?

• Kan du lösa problemet på annat sätt?

• Överensstämmer svaret med givna villkor?

• Svarar du på det som efterfrågas?

• Avrunda svaret på lämpligt sätt och ange enhet.

• Svara med en hel mening.

Aktuell information Aktuell information om serien med bl a förslag till tidsplaner finns på nätplatsen www.matematik4000.nu Vi hoppas att Matematik 4000 är lätt att använda, att den inbjuder till en variation av arbetssätt samt att den erbjuder många olika möjligheter för lärare och elever att lägga upp undervisningen.

Lycka till med matematiken! önskar Författarna

3

10-03-02 13.12.25

1 (5) Trigonometri och formler 1.1 (5.1) Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 1103 (5103) x a) = tan 34° 35 x = 35 · tan 34° cm ≈ 24 cm (23,607…) x b) = cos 40° 61 x = 61 · cos 40° cm ≈ 47 cm (46,728…) c)

43 = tan 56° x

x=

d)

x = sin 53° 75 x = 75 · sin 53° ≈ 60 cm (59,897…)

44 56 v = cos–1 (44/56) ≈ 38° (38,213…)

b) cos v =

50 73 v = sin–1 (50/73) ≈ 43° (43,230…)

c) sin v =

23 30 v = tan–1 (23/30) ≈ 37° (37,476…)

d) tan v =

1105 (5105) Antag att Eiffeltornet är x m högt. x = tan 63,4° x = 150 · tan 63,4° 150 x ≈ 300 (299,543…)

Eiffeltornet är 300 m högt.

y

x

180

240

tan x =

v

(m)

v

120

9m

9 cos v

1108 (5108)

43 ≈ 29 cm (29,003…) tan 56°

1104 (5104) 27 a) tan v = 42 v = tan–1 (27/42) ≈ 33° (32,735…)

1107 (5107) 9 cos 64° ≈ 3,9 (3,9453…)

9 cos 78° ≈ 1,9 (1,8712…)

Stegens avstånd från väggen ska vara mellan 1,9 m och 3,9 m.

120 240

x = tan–1 (120/240) 120 tan y = 420 y = tan–1 (120/420) Enligt yttervinkelsatsen är v = x – y ≈ 11° (10,619...).

1109 (5109) a) Se figur i läroboken.

12 12 tan 42° = , AD = AD tan 42°

BD tan 57° = 12 BD = 12 tan 57°   12  tan 42° + 12 tan 57° ⋅ 12 Arean = = 2

 1  = 72 ∙  tan 42° + tan 57° ≈ 190 (190,834…)

Triangelns area är 190 m2.

b) AC =

12 sin 42°

BC =

1106 (5106) AM = 0,5AB = 6,23 2, 52 tan v = 6, 23

Omkrets =

+

v = tan–1 (2,52/6,23)

Omkretsen är 72 m.

12 cos 57°

12 12 + 12 tan 57° + + tan 42° sin 42°

12 ≈ 72 (71,772…) cos 57°

v ≈ 22° (22,023…)

4

D Bla Lsg-hft - K1.indd 4

1 trigonometri och formler

10-03-02 13.12.33

1110 (5110)

1117 (5117) Med kateten a närmast vinkel v, b motstående katet och c hypotenusan i en rätvinklig triangel gäller: b c sin v b = = = tan v. Likheten gäller. a) a cos v a c

(cm) 30 35°

30–h h

30 − h 30 30 sin 35° = 30 – h h = 30 – 30 sin 35° ≈ 13 (12,792…)

Höjden h är 13 cm. sin 35° =

1111 (5111) För v < 45° är motstående katet kortare än närliggande katet i en rätvinklig triangel.

Detta betyder att sin v < cos v för v < 45°.

1112 (5112) 1 cos v = 2 I t ex en triangel med hypotenusan c = 2 l.e., en spetsig 1 vinkel v och närliggande katet a = 1 l.e. är cos v = .

2 Motstående katet b blir enligt Pythagoras sats: b = c 2 − a2 = 22 − 12 = 3 Då är sin v =

b 3 = c 2

1114 (5114) v

tan v

sin v

cos v

30°

1 3

1 2

3 2

45°

1

1 2

1 2

60°

3

3 2

1 2

1115 (5115) Använd t ex tabellen i uppgift 1114 (5114). sin 45° ∙ cos 45° + sin 60° ∙ tan 60° = 1 1 3 1 3 = ∙ + ∙ 3 = + =2 2 2 2 2 2 1116 (5116) Förläng Wilmas värde med

b Rita figur. c

Vinkeln 90° – v är vinkeln närmast sidan b.

Alltså cos (90° – v) =

Likheten sin v = cos (90° – v) gäller.

b c

1118 (5118) a) Se figur i läroboken samt tabell i uppgift 1114 (5114).

AD= AC = 2 eftersom triangeln ACD är likbent.

(Eller tan 45° = 1 = 2/AD ger AD = 2.)

BD tan 60° = ger BD = tan 60° = 2 3 2

(2 + 2 3 ) ⋅ 2 a e = 2 + 2

Arean =

2

3 ae

b) cos 60° =

2 2 2 ger BC = = =4 BC cos 60° 0, 5

sin 45° =

2 2 2 ger AC = = =2 2 AC sin 45° 1 2

Omkretsen = (2 2 + 2 + 2 3 + 4) l.e. =

= (6 +2 2 + 2 3 ) l.e.

Alternativ lösning: Vinkeln B = 30° Triangeln ACD är en ”halv kvadrat” (45°, 45°, 90°) AD = 2 l.e. och AC = 2 2 l.e. (Se tabell på s 254 (494).)

Triangeln BCD är en ”halv liksidig triangel” (30°, 60°, 90°).

BC = 2 l.e. och BD = 3 l.e. (Se tabell på s 254 (494).) a) Arean =

(

2 2+2 3 2

)

a.e. = 2 + 2 3 a.e.

b) Omkretsen = (2 +2 3 +2 2 +42) l.e. =

= (6 +2 2 +2 3 ) l.e.

2

2 2 1 2⋅ 2 = = = 2 2⋅ 2 2 2⋅ 2

( = tabellvärdet ovan).

1 trigonometri och formler

D Bla Lsg-hft - K1.indd 5

b) sin v =

5

10-03-02 13.12.48

1119 (5119) sin 45° = 3 /CD, CD= 3 /sin 45° = 3 /(1 / 2 ) = 3 2 l.e.

CD är hypotenusa i en halv kvadrat, BCD. 3 3 3⋅2 sin 60° = , CF = = = 2 3 l.e.

CF sin 60o 3 CF är hypotenusa i en halv liksidig triangel, BCF. CF DF = BD – BF = 3 – = (3 – 3 ) l.e.

2 ∧CDF = 45° ∧CFD = 180° – 60° = 120° ∧ BCF = 45° – 30° = 15° (∧ BCF kan också fås ur vinkelsumman i triangel DCF.)

1125 (5125)

1122 (5122) 0° ≤ v ≤ 180°

1127 (5127)

a) sin v = 0,821 v1 ≈ 55,2° (55,185…), v2 ≈ 180° – 55,2° = 124,8° b) cos v = 0,821 v ≈ 34,8° (34,8149…) c) sin v = 0,043 v1 ≈ 2,5° (2,4644…)… v2 ≈ 180° – 2,5° = 177,5° d) cos v = –0,942 v ≈ 160,4° (160,3901…)

a) sin v är punktens y-koordinat. sin v = 0,28 b) cos v är punktens x-koordinat. cos v = –0,96 1126 (5126) x-koordinaten för P = cos 61° ≈ 0,485 (0,4848…) y-koordinaten för P = sin 61° ≈ 0,875 (0,8746…)

P = (cos 61°, sin 61°) ≈ (0,485; 0,875)

a) sin v = sin 56° = sin (180° – 56°) = sin 124° v = 56° eller v = 124° b) cos v = cos 100° v = 100° c) sin v = – sin 56° < 0 Lösning saknas. d) cos v = – cos 70° = cos (180° – 70°) = cos 110° v = 110°

a) cos v = – 0,560 v ≈ 124,1° (124,0557…)

1128 (5128) För Q gäller b = cos (90° – v), a = sin (90° – v) För P gäller a = cos v, b = sin v Alltså: cos v = sin (90° – v) sin v = cos (90° – v)

b) sin v = – 0,560 < 0 Lösning saknas.

1129 (5129)

1123 (5123) 0° ≤ v ≤ 180°

c) sin v = 0,333 v1 ≈ 19,5° (19,4509…), v2 ≈ 180° – 19,5° = 160,5° d) cos v = 1,03 > 1 Lösning saknas eftersom – 1 ≤ cos v ≤ 1 1124 (5124) a) sin v = 1 för v = 90°

a) Q:s koordinater = (–b, a) b) x-koordinaten för Q = cos (v + 90°) = –b = = – sin v y-koordinaten för Q = sin (v + 90°) = a = cos v

Alltså: sin (v + 90°) = cos v cos (v + 90°) = – sin v

b) cos v = –1 för v = 180° c) cos v = 0 för v = 90° d) sin v = 0 för v = 0° och v = 180°

6

D Bla Lsg-hft - K1.indd 6

1 trigonometri och formler

10-03-02 13.12.50

1.2 (5.2) Triangelsatserna 1203 (5203) Areasatsen ger arean

1207 (5207) Areasatsen med vinkel 30,5° ger arean i dm2.

10, 0 ⋅ 12, 0 ⋅ sin 30, 5o ≈ 30,5 (30,4523..)

2

28 ⋅ 22 ⋅ sin 105o cm2 ≈ 300 cm2 (297,505…)

2

Areasatsen med vinkel 149,5° ger arean i dm2.

1204 (5204) Hörntomtens tredje vinkel = 180° – (37° + 113°) = 30° Areasatsen ger arean i m2

Båda triangelareorna är 30,5 dm2.

36 ⋅ 55 ⋅ sin 30o ≈ 500 (495) 2 Hörntomtens area är 500 m2.

10, 0 ⋅ 12, 0 ⋅ sin 149, 5o ≈ 30,5 (30,4523..)

2 Kommentar: Summan av vinklarna är 180°. sin 30,5° = sin(180° – 30,5°)= sin 149,5°. Rita figur. Höjden mot sidan som står mot de givna vinklarna är lika stor i båda fallen.

1205 (5205) a) Areasatsen ger:

6, 0 ⋅ 7, 0 ⋅ sin v = 15, 0° < v < 90° 2

21 sin v = 15 sin v = 15/21 v ≈ 46° (45,584…)

Vinkeln v är 46°.

b) Areasatsen ger:

4, 4 ⋅ 7, 8 ⋅ sin v = 15, 0° < v < 90° 2

17,16 sin v = 15

15 sin v = 17,16

v ≈ 61° (60,941…)

Vinkeln v är 61°.

1206 (5206) a) Triangeln är likbent. Basvinklarna är vardera 69,0°.

Den tredje vinkeln blir då 180° – (69,0° + 69,0°) = 42,0° Areasatsen ger arean i m2:

10, 0 ⋅ 10, 0 ⋅ sin 42, 0° = 33,5 (33,4565…)

2

Triangelns area är 33,5 m2.

1208 (5208) Vinkeln A är mellanliggande vinkel till AB och AC. Areasatsen ger: 8,1 ⋅ 9, 9 ⋅ sin A = 24 2 40,095 sin A = 24 sin A = 24/40,095 A1 ≈ 37° (36,768…) eller A2 ≈ 180° – 37° =143° (143,231…)

Vinkeln A är 37° eller 143°.

1209 (5209) a) Enligt areasatsen fås 11 ⋅ 28 ⋅ sin A 140 = 2 280 10 = 11 ⋅ 28 11

sin A =

A1 ≈ 65° (65,380…) eller A2 ≈ 115° (114,619…)

Vinkeln A är 65° eller 115°.

b) Enligt areasatsen är arean i cm2 11 ⋅ 28 ⋅ sin A

= 154 sin A 2 Största värdet på arean är 154 cm2 som vi får för sin A = 1, A = 90°.

b) Triangeln är likbent. Basvinklarna är vardera 70,0°.

Den tredje vinkeln blir då: 180° – (70,0° + 70,0°) = 40,0° Areasatsen ger arean i m2

20, 0 ⋅ 20, 0 ⋅ sin 40, 0° = 129 (128,557..)

2

Triangelns area är 129 m2.

1 trigonometri och formler

D Bla Lsg-hft - K1.indd 7

7

10-03-02 13.12.55

Kurs

D Blå Lösningshäfte

PATRIK ERIXON ∙ INGVAR KROON

MATEMATIK 4000

MATEMATIK

är en ny läromedelsserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen.

Framställningen är precis som i föregångaren Matematik 3000 baserad på färdigheter – förståelse – problemlösning, men nu med ökat fokus på kommunikation. Nya begrepp introduceras på ett pedagogiskt och metodiskt sätt.

4000

Böckerna i Matematik 4000 finns i tre svårighetsnivåer: Röd, Grön och Blå, där Blå är den mest krävande.

Detta lösningshäfte omfattar Kurs D Blå Lärobok samt Kurs D i Kurs C & D Blå Lärobok.

För aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu

ISBN 978-91-27-42042-7

9

M4000 BLUE kurs D LösningshäfteNY OMSLAG.indd 1

Kurs

D Blå

Lösningshäfte

4000 MATEMATIK

1 0 0 0 0

789127 420427

10-03-03 14.50.06