2c LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE
2c
Matematik 5000
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.
Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och komvux.
Matematik
5000
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt komvux BLÅ SERIE
för NA och TE
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-42253-7
9 789127 422537
Matematik5000_BLA_2c_3c.indd 1
2011-12-06 12.42
Bla 2c_ Titelsida innehall.indd 1
2011-12-22 09.32
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.
Varje kapitel avslutas med:
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
• K an du det här? och Diagnos som tillsammans
Denna bok, Kurs 2c Blå lärobok, riktar sig till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet.
Hur är boken upplagd? • T eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel
som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.
• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera
undervisningen. De finns i fem olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera, Laborera och Modellera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.
• E n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-
tion: Sant eller falskt?
• E n kort Sammanfattning av kapitlet.
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper.
• O m en elev behöver repetera delar av kapitlet
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt.
• T vå olika varianter av Blandade övningar av-
slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.
I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade
till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
• På många sidor blandas uppgifter av standard-
karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning.
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000
Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik
förord
Bla 2c_ Titelsida innehall.indd 3
3
2011-12-22 09.32
Innehåll 1. Algebra och linjära modeller
2. Algebra och ickelinjära modeller
6 8
Räkna med algebraiska uttryck 8 Ekvationer och omskrivning av formler 11 Funktionsbegreppet 14 Aktivitet: Diskutera – Graf, formel, tabell och beskrivning 18
1.2 Räta linjens ekvation
20
Inledning 20 En formel för linjens lutning 23 Aktivitet: Upptäck – Vinkelräta linjer 27 Parallella och vinkelräta linjer 28 k-form och enpunktsform 29 Aktivitet: Laborera – Trästavar med skruv 32 Linjära modeller 33 Tema: Några linjära fysikaliska samband 36 Mer om räta linjer 38 Linjär anpassning 41
1.3 Linjära ekvationssystem
2.1 Polynom
72
Vad är ett polynom? 72 Räkna med polynom 73 Aktivitet: Upptäck – Kvadreringsreglerna 75 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 76 Faktorisera 79 Aktivitet: Undersök – Kan du bevisa regeln? 81
2.2 Andragradsekvationer
82
Enkla andragradsekvationer 82 Kvadratkomplettering 84 En lösningsformel 86 Aktivitet: Upptäck – Samband mellan rötter och koefficienter 89 Tillämpningar och problemlösning 90 Historik: Ekvationer och lösningsformler 92 Mer om ekvationer 94 Komplexa tal – en introduktion 98 Aktivitet: Undersök – Andragradsfunktioner
43
Grafisk lösning 43 Substitutionsmetoden 46 Additionsmetoden 48 Några speciella ekvationssystem 50 Ekvationssystem med tre obekanta 52 Tillämpningar och problemlösning 54 Tema: Nu är det NOG 57 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 1 61 Kan du det här? 1 62 Diagnos 1 63 Blandade övningar 1A 64 Blandade övningar 1B 67
2.3 Andragradsfunktioner
Bla 2c_ Titelsida innehall.indd 4
101
102
Andragradsfunktionens graf 102 Andragradsfunktionens största/minsta värde Tillämpningar 110
2.4 Exponentialfunktioner och logaritmer 60
106
113
Inledning 113 Potenser och potensekvationer 114 Potensfunktioner och exponentialfunktioner 116 Exponentialekvationer och logaritmer 118 Logaritmlagarna 121 Logaritmer med olika baser 123 Historik: Logaritmerna – ett tidigt räknehjälpmedel 124 Tillämpningar på exponentialekvationer 125 Historik: Värdens befolkning 127 Tema: Åldersbestämning med kol-14 130 Mer om grafer 132 Aktivitet: Laborera – Termosen 134 Laborera – Radioaktiva pärlor 134 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 2 136 Kan du det här? 2 138 Diagnos 2 139 Blandade övningar kapitel 2 140 Blandade övningar kapitel 1–2 143
4
71
Inledande aktivitet: Rektanglar och algebra
Inledande aktivitet: Algebratrianglar 7
1.1 Repetition av algebra och funktioner
70
135
innehåll
2011-12-22 09.32
3. Geometri
146
Inledande aktivitet: Fyrhörningar
3.1 Vinklar
4. Statistik 147
148
4.1 Statistiska metoder
Inledning 148 Yttervinkelsatsen 150 Aktivitet: Upptäck – Randvinklar 152 Randvinklar och medelpunktsvinklar 153 Inledning 157 Topptriangelsatsen och transversalsatsen Area- och volymskala 162 Historik: Fraktaler 165 Några bevis med likformighet 166 Kongruens 168
188
4.2 Läges- och spridningsmått 158
170
4.4 Modellering 176
216
220
Funktionsanpassning 220 Aktivitet: Modellera – Funktioner 223 Historik: Minsta kvadratmetoden och regression Tema: Peak oil 225 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 4 229 Kan du det här? 4 230 Diagnos 4 231 Blandade övningar kapitel 4 232 Blandade övningar kapitel 1– 4 234
Repetitionsuppgifter
Register
224
228
238
Svar, ledtrådar och lösningar
Bla 2c_ Titelsida innehall.indd 5
215
216
Egenskaper hos normalfördelat material
Avståndsformeln 172 Mittpunktsformeln 174
innehåll
198
Lägesmått 198 Några spridningsmått 202 Tema: Bäst i test 207 Standardavvikelser 208 Tema: Hjärtinfarkt och statistik 212 Aktivitet: Laborera – Hur lång är en mandel?
4.3 Normalfördelning
3.3 Koordinatgeometri 172
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 3 177 Kan du det här? 3 178 Diagnos 3 179 Blandade övningar kapitel 3 180 Blandade övningar kapitel 1–3 182
187
Sammanställning och presentation av mätdata 188 Population, stickprov och urvalsmetoder 191 Några felkällor vid statistiska undersökningar 194 Aktivitet: Laborera – Ett modellförsök av en väljarundersökning 197
3.2 Likformighet 157
Aktivitet: Undersök – Dynamisk geometri
186
Inledande aktivitet: Gissa längden
244
282
5
2011-12-22 09.32
1
ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER
Centralt innehåll ✱ hantering av algebraiska uttryck och ekvationer. ✱ konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe. ✱ Räta linjens ekvation. ✱ begreppet linjärt ekvationssystem. ✱ algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationssystem med två och tre obekanta tal. ✱ Matematiska problem av betydelse för tillämpningar i andra ämnen på na- och te-programmet.
I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.
Bla 2c Kap 1.1.indd 6
2011-12-22 09.32
894789475849
89478947584
112 777
1
482398678567
7547 55
238876744
15343274
Inledande aktivitet ALGEBRATRIANGLAR 1 I ”trianglarna” nedan beror värdet i en ruta på de två undre angränsande rutorna. Skriv av trianglarna och fyll i de tomma rutorna om de två undre rutorna ska a) adderas
d) multipliceras
b) adderas
x + (x + 2)
x 2x + 1
2x + 2 x+2
x
x–4
4
2x x
x 2x
x
x
f) subtraheras.
c) subtraheras (2 x + 1) – 2
x 2x
2x – 1 2x + 1
Bla 2c Kap 1.1.indd 7
e) adderas
2
x
x
2011-12-22 09.33
1.1 Repetition av algebra och funktioner Räkna med algebraiska uttryck algebraiskt uttryck
Ett algebraiskt uttryck är ett uttryck som innehåller tal och variabler samt tecken för räkneoperationer. Med räkneoperationer menas här de fyra räknesätten, rotutdragning och upphöjande till en potens. 3 x – 5 är ett algebraiskt uttryck med en variabelterm och en konstantterm. a b2 + 5 b + 12 är ett algebraiskt uttryck med två variabler. Många av våra räkneregler för algebraiska uttryck är en direkt följd av de grundläggande egenskaper som gäller alla reella tal. 1 Ordningen mellan termerna i en addition kan kastas om: 12 + 95 = 95 + 12 2 Ordningen mellan faktorerna i en produkt kan kastas om: 15 ∙ 3 = 3 ∙ 15 3 Additioner får utföras i vilken ordning man vill: (45 + 28) + 12 = 45 + (28 + 12) 4 Multiplikationer får utföras i vilken ordning man vill: (37 ∙ 5) ∙ 20 = 37 ∙ (5 ∙ 20) 5 Vi kan multiplicera in i en parentes: 8 ∙ (2 + 7) = 8 ∙ 2 + 8 ∙ 7 och 2 x(x + 5) = 2 x ∙ x + 2 x ∙ 5 = 2 x2 + 10 x Dessa regler kan sammanfattas i följande lagar
Kommutativa lagarna Associativa lagarna Distributiva lagen
a+b=b+a
a∙b=b∙a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
a (b + c) = a b + a c 6 Att vi får utföra additioner i vilken ordning vi vill leder till att en parentes som föregås av ett plustecken utan vidare kan tas bort: (3 x + 4 y – 2) + (5 x – y + 7) = 3 x + 4 y – 2 + 5 x – y + 7 = 8 x + 3 y + 5 7 Vi har tidigare definierat subtraktion som ”addition av det motsatta talet”: 5 – (–3) = 5 + (+3) = 5 + 3 = 8 5 x – (3 x – 4) = 5 x + (–3 x + 4) = 5 x –3 x + 4 = 2 x + 4
8
Bla 2c Kap 1.1.indd 8
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
2011-12-22 09.33
En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort.
Parentesreglerna
Exempel
En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort om man då ändrar tecken för alla termer i parentesen (även den första).
Samband kan ofta motiveras geometriskt. x+3
x
x
Area = x (x + 3)
x
3
x2
3x
Area = x 2 + 3 x
Rektanglarna och dess areor är lika: x( x + 3) = x 2 + 3 x Detta är den distributiva lagen som ofta beskrivs så här: multiplicera in
”Faktorn x har multiplicerats in”, ”uttrycket har skrivits som en summa” eller ”multiplikationen har utförts”. Omvänt ger lagen att x2 + 3 x = x(x+3)
1101
Förenkla a) (3 x + 4 y + 15) + (2 x + y – 2) b) (5 x2 – 0,6 x + 3) – (–2 x2 – 3 x + 1) a) (3 x + 4 y + 15) + (2 x + y – 2) = 3 x + 4 y + 15 + 2 x + y – 2 = 5 x + 5 y + 13 b) (5 x2 – 0,6 x + 3) – (–2 x2 – 3 x+ 1) = 5 x2 – 0,6 x + 3 + 2 x2 + 3 x – 1 = 7 x2 + 2,4 x + 2
1102
Förenkla a) 4(a + b) – 3(b – a)
b) 4 x(x – y) – (x – 2 y)2 y
Vi multiplicerar först in och tar därefter bort parenteserna. a) 4(a + b) – 3(b – a) = (4 a + 4 b) – (3 b – 3 a) = 4 a + 4 b – 3 b + 3 a = 7 a + b b) 4 x(x – y) – (x – 2 y)2 y = (4 x2 – 4 x y) – (2 x y – 4 y2) = 4 x2 – 4 x y – 2 x y + 4 y2 = = 4 x2 – 6 x y + 4 y2 obs! (x – 2 y ) 2 y = 2 y (x – 2 y )
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
Bla 2c Kap 1.1.indd 9
9
2011-12-22 09.33
1103 Förenkla a) (5 x + 2 y) + (2 x + y) b) (3 x – 2 y) + (4 x – 2 y) c) 9 y – (5 y + 3)
1104 Multiplicera in a) 3(x + 4)
c) 2 a b(a3 – b2)
b) x(x + y + 1)
d) –2 x2(x – y)
1105 Förenkla
b) arean.
a) (x + 3 x – 5) + (–3 x – 8 x + 9) 2
b) (x – 4 x + 8) – (– x – 4 x + 7) 2
1109 Förenkla a) a b(a – b) – a(a b – b2) b) 2 x(x2 – x + 1) + x(2 x2 – x – 3) c) 4 x(x2 – 3 x – 6) + x2(x – 9) – 3 x(x2 – 2)
2
2
c) (a + 2) + (3 a – 3) – (2 a + 1) d) (b – 2) – (2 – b) – (– b – 2) 1106 Förenkla a) 3 a – 2(a – b) b) a(a + b) – (a – b)b c) 3 x(2 + y) + 3 y(2 – x) d) 4(x2− x) − 3(x2− x)
Bla 2c Kap 1.1.indd 10
a) omkretsen
1108 Gäller den kommutativa lagen för alla fyra räknesätten? Motivera ditt svar.
d) 13 x – (6 x – 4)
10
1107 En rektangulär äng ska inhägnas. Kortsidan är x m och långsidan är 130 m längre. Skriv ett förenklat uttryck för
d) 2 x(x – y) – y(2 x + y) + x(x + 3 y) 1110 Rita en rektangel med sidorna (a + b) och a. Förklara varför (a + b)a = a2 + a b. 1111 a) Undersök om summan av fem på varandra följande hela tal alltid är delbar med 5. b) Undersök om summan av sex på varandra följande hela tal alltid är delbar med 6. 1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
2011-12-22 09.33
Ekvationer och omskrivning av formler ekvation
satisfierar
En ekvation är ett matematiskt påstående som innehåller en likhet. En ekvation beskriver ett samband och innehåller ofta en eller flera obekanta (variabler). Ekvationens lösning är de variabelvärden för vilka sambandet är uppfyllt, dvs de tal som gör att det vänstra ledet (VL) är lika med det högra ledet (HL). Man säger att en lösning satisfierar ekvationen. Likheten 2 x – 5 = 9 är en ekvation med en obekant, x. Ekvationens lösning är x = 7. x + y = 10 är en ekvation som innehåller två obekanta, x och y. Ekvationen har oändligt många lösningar.
formel
1112
En formel beskriver ett samband mellan variabler. Ofta skrivs formeln som en ekvation med en variabel i vänsterledet och ett uttryck med en eller flera variabler i högerledet. Med en formel gör vi ofta en beräkning genom att sätta in variabelvärden i högerledet. b·h , där b är basen och h är höjden. Formeln för triangelns area är A = 2 Då vi löser ut en variabel ur en formel använder vi samma metoder som vid ekvationslösning. Lös ekvationen a) 5 y = 2(y – 3)
b) x – 2(2 x – 3) = 18
a) 5 y = 2(y – 3)
b) x – 2(2 x – 3) = 18
5y = 2y – 6
x – 4 x + 6 = 18
5y – 2y = 2y – 2y – 6
–3 x + 6 = 18
3y = – 6
–3 x = 12
y = –2
x = 12/(–3) x = –4
1113
Lös ut y ur sambandet 12 x – 4 y + 8 = 0 12 x − 4 y + 8 = 0
addera 4y till båda leden.
12 x + 8 = 4 y 4 y = 12 x + 8
Dividera båda leden med 4.
y = 3x + 2
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
Bla 2c Kap 1.1.indd 11
11
2011-12-22 09.33
1114
Summan av tre på varandra följande hela tal är 36. Vilka är talen? Metod 1 (minsta talet = x)
Metod 2 (mellersta talet = x)
Talen är x, x + 1 och x + 2
Talen är x – 1, x och x + 1
x + (x + 1) + (x + 2) = 36
(x – 1) + x + (x + 1) = 36
3 x + 3 = 36
3 x = 36
3 x = 33
x = 12
x = 11 x + 1 = 12 och x + 2 = 13
x – 1 = 11 och x + 1 = 13
Svar: Talen är 11, 12 och 13. En symbolhanterande räknare löser enkelt de flesta algebraiska uppgifter. Har du en sådan så använd den gärna för kontroll −men lös först uppgifterna för hand. Lös följande ekvationer 1115 a) 3 x = x + 16 b) 7 y = 15 + 2 y 1116 a) 3 y = 20 – 5 y
c) x + 20 = 5 x d) 5 y – 7 = 2 y + 11 b) 2 x = 32 – 2 x
c) 4(x – 3) = 2 x + 8 Lös ut y c) y + x = 3
b) y – x = 0
d) y + x = 0
b) 9 x = 3 y – 6
c) y + x + 7 = 0 d) y – x + 2 = 5
Fem biobiljetter kostar lika mycket som tre konsertbiljetter. Vad kostar en biobiljett? a) Ställ upp en ekvation. b) Lös ekvationen och besvara frågan.
Bla 2c Kap 1.1.indd 12
h
c) 4 x – y = 0 d) 10 x – 5 y = 5
1121 Biobiljett: x kr Konsertbiljett: (x + 60) kr
12
b·h beskriver sambandet 2 mellan area, bas och höjd i en triangel.
1124 Formeln A =
1118 a) y – x = 3
1120 a) 2 x + 2 y – 12 = 0
1123 Formeln s = v ∙ t beskriver sambandet mellan sträcka, hastighet och tid. b) Beräkna tiden om sträckan 175 km körs med hastigheten 70 km/h.
b) 5(6 + 2 x) = 20
b) 4 y + 12 x = 0
Vilket tal är a?
a) Lös ut tiden t.
1117 a) 9(y – 4) = 3 y
1119 a) 2 y – 10 x = 0
1122 Ekvationen 5x – 18 = ax har lösningen x = 6
b
a) Lös ut h ur formeln. b) Beräkna höjden i en triangel med basen 5 cm och arean 18 cm2. 1125 Kan formeln a – b = c skrivas om till b = c – a? Motivera ditt svar. 1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
2011-12-22 09.33
1126 Lös ekvationen a) 8 x – (3 x + 10) = 15 b) 10 – (2 x – 4) + 3 x = 16 c) 9(z – 1) – 2(3 z + 4) = 7 d) 2(x + 1) – 5(x – 3) = 5 1127 Multiplicera in och lös sedan ut y. a) y – 3 = 2(2 x – 4) b) y – 7 = –3(x – 2) c) y – (–5) = 7(x – 3) d) y – (–11) = –6(x – 1) x x + = 10 genom 2 3 att först multiplicera alla termer med 6.
1128 Lös ekvationen
1129 Vilka är talen? Summan av
1130 Bestäm värdet på a om ekvationen 2 a(x – 4) = ax – 8 har lösningen x = 5 1131 Lös ekvationen a)
x x – 15 = 2 5
b)
1132 a) Lös ekvationen b) Lös ut y ur
1 1 1 + = x 5x 3
1 1 1 + = x 5x y
1133 Konstruera en ekvationen av typen ax + by + c = 0 där a, b och c är konstanter. Ekvationen ska ha lösningen x = 2 och y = 3
a) tre på varandra följande hela tal är 72 b) fem på varandra följande jämna tal är 70.
2y y +1= 3 4
1134 Lös ekvationen
2 5 = x+3 x
Algebraisk höghussudoku: De vanligaste bokstäverna och talen i algebra är x, y, a, b, 0 och 1. Varje tecken får bara förekomma en gång i varje rad, kolumn och blå ruta. I den lilla sudokun ska x, y, a och b placeras ut. I den stora ska även 0 och 1 finnas med.
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
Bla 2c Kap 1.1.indd 13
13
2011-12-22 09.33
Funktionsbegreppet Många situationer kan beskrivas av en storhet som påverkar och bestämmer värdet av en annan storhet, t ex: ◗
Inkomsten bestämmer den preliminära skatten.
◗
Tiden bestämmer temperaturen i en kopp varmt kaffe som svalnar.
◗
Hastigheten på bilen bestämmer längden på bromssträckan.
Dessa och liknande situationer kan beskrivas av en funktion.
Funktion
En regel som till varje tillåtet x -värde ger exakt ett y -värde kallas en funktion.
Definitionsmängd
De tillåtna x -värdena kallas funktionens definitionsmängd.
Värdemängd
Exempel 1
De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd.
Hastighet x Oberoende variabel x
f
Bromssträcka f(x)
Funktionsregel f
Beroende variabel y
Definitionsmängd: De hastigheter (x) som bilen kan ha.
olika sätt att beskriva
Ord
Bromssträckan är proportionell mot hastigheten i kvadrat.
Funktionsvärdet y = f (x)
Värdemängd: De bromsträckor (y) som fås.
En formel
En tabell
En graf y
x
y = 0,1 x 2
y
0
0
10
10
20
40
30
90
x
I många av våra tillämpningar kommer funktionsregeln att kunna beskrivas algebraiskt av en formel eller en ekvation, t ex f (x) = 0,1 x2.
14
Bla 2c Kap 1.1.indd 14
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
2011-12-22 09.33
Exempel 2 y = f (x )
Beräkningar med funktionens formel Skrivsättet y = f (x) innebär att y är en funktion av x och f är funktionens namn. Om funktionen f t ex definieras av regeln f (x) = 2 x + 3 så innebär det att funktionen f ”tar hand om ett tal x, dubblar det och lägger till 3”. f (5) är det funktionsvärde vi får om x = 5 sätts in. f (5) = 2 ∙ 5 + 3 = 13 f (5 a) är det funktionsvärde vi får om x = 5 a sätts in. f (5 a) = 2 ∙ 5 a + 3 = 10 a + 3 När vi, i en funktion, sätter in ett uttryck med flera termer eller ett negativt tal skriver vi en parentes runt uttrycket eller talet. (Se uppgift 1135.)
Exempel 3
Avläsningar i funktionens graf Figuren visar grafen till funktionen y = f (x). Vi avläser värdet på f(4) som y-värdet då x =4 f (4) = 3
y 3 2 1
Vi avläser lösningen till ekvationen f (x) = 0 som de x-värden på grafen där y = 0
x 1
2
3
4
x1 = 1 och x2 = 3 nollställen
Lösningen till ekvationen f (x) = 0 kallas funktionens nollställen. Grafen i exempel 3 visar andragradsfunktionen y = x2 – 4x + 3
linjär funktion
1135
Funktioner vars grafer är räta linjer kallas linjära funktioner. (Det finns även andra benämningar, men detta gäller i gymnasiets matematikkurser.)
Låt f (x) = 4 − x och bestäm a) f (–5)
b) f (a + h)
a) f (–5) = 4 − (–5) = 4 + 5 = 9
parentes
b) f (a + h) = 4 − (a + h) = 4 – a – h
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
Bla 2c Kap 1.1.indd 15
15
2011-12-22 09.33
1136
Låt f (x) = 2 x – x 2 och bestäm
a) f (5)
b) f (–5)
c) f (3a)
a) Vi ersätter x i f (x) = 2 x – x2 med 5 f (5) = 2 ∙ 5 – 52 = 10 – 25 = –15 b) Vi ersätter x med –5 f (–5) = 2 ∙ (–5) – (– 5) 2 = –10 – 25 = –35
obs! –5 2 = –25 (–5) 2 = 25
c) Vi ersätter x med 3 a f(3 a) = 2 ∙ 3 a – (3 a)2 = 6 a – 9 a2
1137
Figuren visar grafen till funktionen y = f (x). Använd den för att avläsa
y y = f(x)
a) f (4) b) f (0) c) lösningen till ekvationen f (x) = 0 1
a) Vi avläser y-värdet på grafen där x = 4
x 1
5
f (4) = –3 b) Vi avläser y-värdet på grafen där x = 0. Det är där grafen skär y-axeln. f (0) = 5 c) Vi avläser x-värdena där y = 0. Det är där grafen skär x-axeln. x1 = 1 och x2 = 5
1138
Låt f (x) = 3 x – 4 och g (x) = 5 x – 1 Bestäm x så att
16
Bla 2c Kap 1.1.indd 16
a) f (x) = x
b) f ( g (x)) = x
a) 3 x – 4 = x
b) 3(5 x – 1) – 4 = x
ersätt x med g (x ) = 5 x – 1
2x = 4
15 x – 3 – 4 = x
x=2
14 x = 7 ger x = 1/2
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
2011-12-22 09.33
1148 Vilket värde har talet k om
1139 Låt f (x) = 10 – 3 x och bestäm a) f(2)
b) f(0)
c) f(–2)
a) f (x) = kx + 3 och f (4) = 5
d) f (2 a)
b) g (x) = 2 x2 – 3 x + k och g (–2) = 8?
1140 Låt f(x) = x2 – 4 x och bestäm a) f(2)
b) f(0)
c) f(–2)
1149 Finn en formel som uppfyller hur y beror av x enligt tabellen
d) f (2 a)
1141 Låt f(x) = 5 x – 2 x2 och bestäm a) f (1)
b) f(0)
c) f (–1)
a) d) f (3 a)
1142 Figuren visar grafen till funktionen y = f (x). Bestäm med hjälp av grafen a) f (6)
b)
y
x
0
1
2
y
3
5
7
x
0
2
4
y
1
5
17
b) f (0) c) x så att f (x) = 0 1
d) x så att f (x) = 3 e) funktionens nollställe.
x 1
1150 Figuren visar grafen till f (x) = 6 x – x 2
y C
Bestäm längden av a) AB
A
b) CD 1143 Ange funktionsregeln f med en formel om f
c) AC
1
B 1
x
D 4
a) kvadrerar ett tal x och lägger till 3 b) subtraherar 3 från ett tal x och kvadrerar resultatet. 1144 Bestäm x så att f (x) = 8 om a) f(x) = 5 x – 12
1151 Av en 12 dm bred plåt bockar vi en öppen ränna med rektangulär tvärsnittsarea y dm2. (dm)
b) f(x) = x2 – 1
1145 Visa att f (a + 2) = 4a + 11 om f(x) = 4x + 3 1146 En koppargruva beräknas innehålla ca 500 miljoner ton brytbar malm. Man planerar att varje år bryta ca 20 miljoner ton malm. a) Ställ upp en funktion som beskriver hur mycket brytbar malm, y miljoner ton, som finns kvar efter x år. b) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd. 1147 Låt f (x) = x2 och visa att a) f (3 + 4) inte är lika med f (3) + f (4)
x
y
xx
Ställ upp en formel för den funktion som beskriver arean y och ange funktionens definitionsmängd och värdemängd. 1152 Låt f (x) = 3 x + 2 och g(x) = 5 x Förenkla a) f (x) ∙ g(x)
c) f (g(x))
b) f (2 x + 6)
d) g ( f (x))
1153 Låt f (x) = ax + b. Bestäm a och b så att f (ax + b) = x + 1
b) f (3 a) inte är lika med 3 f (a).
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
Bla 2c Kap 1.1.indd 17
17
2011-12-22 09.33
Aktivitet
DISKUTERA
Graf, formel, tabell och beskrivning Materiel: Sax, papper och tejp. Arbeta i par eller grupp. Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fyra rutor: 1 En graf
3 En värdetabell
2 En formel
4 En funktionsbeskrivning
Tabellen är inte korrekt ordnad radvis. Gör så här: Kopiera tabellen (ev uppförstorad), klipp den i rutor och klistra upp rutorna radvis i rätt ordning. Graf
Formel y = 2x + 3
y
1
1
x 1
y = –2x2 – 1
y
2
1
x 1
18
Bla 2c Kap 1.1.indd 18
Värdetabell x
y
–2
0
–1
–3
0
–4
1
–3
2
0
x
y
0
2
1
3
2
3,4
3
3,7
4
4
Funktionsbeskrivning y är 2 mindre än x
y är alltid 2
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
2011-12-22 09.33
Graf
Formel
y
3
y = x2 – 4
1
x 1
y
y= x +2 1
x
4
1
y
y=x–2
1
x 1
5
y
y = –2x + 2
6 1
x 1
y
7
y=2
1
x 1
1.1 Repetition av algebRa och funktioneR
Bla 2c Kap 1.1.indd 19
Värdetabell x
y
–2
2
–1
2
0
2
1
2
2
2
x
y
–2
6
–1
4
0
2
1
0
2
–2
x
y
–1
3,5
0
4
1
5
2
7
3
11
x
y
–2
–4
–1
–3
0
–2
1
–1
2
0
x
y
–2
–9
–1
–3
0
–1
1
–3
2
–9
Funktionsbeskrivning y är 3 mer än 2 upphöjt till x
y är 2 mer än kvadratroten ur x
y är 1 mindre än –2 gånger kvadraten på x
y är 2 minskat med 2 gånger x
y är 4 mindre än kvadraten på x
19
2011-12-22 09.33
1.2 Räta linjens ekvation Inledning Många samband kan beskrivas med funktioner vars grafer är räta linjer. Dessa funktioner kallas därför ibland för linjära funktioner. Exempel
Vi ritar grafen till två funktioner av typen y = kx + m y = 2x + 3 y=–x+5
Vad betyder m ?
Vad betyder k ?
y y = 2x + 3
k = 2 och m = 3 k = –1 och m = 5
y = –x + 5
I den punkt där linjen skär y-axeln är x = 0. Om x = 0 kan y = kx + m skrivas y = k ∙ 0 + m. Vi får y = m. m är detsamma som y-värdet där linjen skär y-axeln.
1
x 1
Vi undersöker hur y-värdet ändras då x-värdet ökar med 1. y = 2x + 3 +1 +1
y = –x ++1 5 +1
+1 +1 +1 +1 +1 +1
+1 +1 +1 +1 +1 +1
xx
+1 +1 +1 +1 00+1 11 +122+1 33 +144
xx
+1 +1 +1 +1 00+1 11 +122+1 33 +144
yy xx
33 00
11 99 11 33 44
yy xx
55 00
yy
33+2 55 +2 77+2 99 +211 11 +2 +2 +2 +2
yy
55 –1–144–1–133 –1–122 –1–111
55 11
77 22
+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2
–1 –1
Om x-värdet ökar med 1, ökar y-värdet med 2.
yy
yy
yy
mm==55 mm==55
mm==33 mm==33
11 11
11
k = 2 och 1linjen stiger. 1
33 22
–1 –1
22 33
–1 –1
11 44
–1 –1
Om x-värdet ökar med 1, minskar y-värdet med 1.
yy
stegåtåthöger höger 11steg steguppåt uppåt 22steg höger =steg k1k1=steg 22 åtåthöger 22steg steguppåt uppåt kk==22
44 11
xx
11
xx
11
stegåtåthöger höger 11steg stegnedåt nedåt 11steg 1 steg steg höger =–1 –1åtåthöger k1k= 11steg stegnedåt nedåt kk==–1 –1
xx 11
xx
k = –1 och 1linjen faller. 1
k är ett mått på linjens lutning och anger hur mycket linjen ändras (stiger eller faller) för varje enhet vi går framåt i x-led.
20
Bla 2c Kap 1.2.indd 20
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2011-12-22 09.34
y
y
y
x
x
k>0
x
k<0
k=0
Grafen till en funktion y = kx + m är en rät linje. Sammanfattning
m-värdet anger y-värdet för linjens skärningspunkt med y-axeln. Skärningspunktens koordinater är (0, m ). k-värdet är ett mått på linjens lutning. Det anger hur mycket linjen ändras (stiger eller faller) för varje steg vi går åt höger i x-led.
1201
Här är en värdetabell till funktionen y = kx + m x
0
1
2
3
y
4
7
10
13
a) Bestäm m.
b) Bestäm lutningen k.
c) Vilken är funktionen?
a) Vi avläser m som y-värdet då x = 0. Vi får m = 4. b) För varje steg åt höger i x-led ökar y med 3. Vi får k = 3. c) I linjens ekvation y = kx + m sätter vi in k = 3 och m = 4. Vi får funktionen y = 3x + 4
1202
En rät linje går genom punkten (1, 4) och har lutningen 3. a) Bestäm linjens k-värde.
c) Rita linjen.
b) Ge exempel på en annan punkt på linjen.
d) Vilken är funktionen?
a) Lutningen 3 betyder att k=3
c)
b) Vi startar i punkten (1, 4). Om vi går 1 steg åt höger i x-led så ökar y med 3. (2, 7) är en annan punkt på linjen. d) k = 3 Linjen går genom punkten (0, 1), dvs m = 1 Funktionen kan skrivas y = 3x + 1 1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
Bla 2c Kap 1.2.indd 21
y
1
x 1
21
2011-12-22 09.34
1203 Ange k och m till funktionerna.
1209 Vilken linje har
a) y = 5 x + 3
c) y = x
a) störst k-värde
b) y = –2x + 1
d) y = 4
b) minst k-värde
0
1
2
3
y
–3
–5
–7
–9
b) Bestäm lutningen k.
y = 0,5 x
c) Vilken är funktionen?
y=x+1
c) k = –1
Rita linjen om b) k = – 3
B C D x
Har han rätt? Förklara.
1207 Bestäm linjens
1212 En rät linje kan skrivas y = 4x – 8
y
a) m-värde c) ekvation.
A
1211 Jonte påstår att uttrycken 3x +2 y = 0,75 x + 0,5 och y = 4 har samma k- och m-värden.
1206 En linje går genom punkten (1, –2).
b) k-värde
y
x
y=4x
Bestäm en annan punkt på linjen om
a) k = 1
D
y=x+4
1205 En linje går genom punkten (2, 3). b) k = 1
C
1210 Vilken formel och graf beskriver samma funktion?
a) Bestäm m.
a) k = 5
B
c) störst m-värde?
1204 Här är en värdetabell till funktionen y = kx + m x
A
y
1
x 1
a) Vilket värde har x där linjen skär y-axeln? b) I vilken punkt skär linjen y-axeln? 1213 Förklara vad det betyder för grafen att funktionen y = kx + m har k = 3 och m = –2
1208 Bestäm linjens
y
1214 Bestäm ekvationen för en linje genom origo och punkten
a) m-värde b) k-värde c) ekvation.
1
x 1
a) (1, 3)
c) (3, –12)
b) (2, 10)
d) (–1, –2)
1215 Ge exempel på en rät linje som går genom punkten (3, 5) och som har ett a) positivt k-värde b) negativt k-värde c) k-värde som är noll.
22
Bla 2c Kap 1.2.indd 22
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2011-12-22 09.34
En formel för linjens lutning Exempel 1
Vi beräknar lutningen för en linje genom punkterna A = (4, 1) och B = (6, 5). Hur förändras xoch y-värdet då vi går från A till B?
y B (6, 5)
Vi kallar förändringen i x-led för ∆ x och förändringen i y-led för ∆ y. Avläsning i figuren ger ∆ x = 2 och ∆y = 4
∆y
1
∆ x och ∆y kan även bestämmas utan hjälp av figuren. Vi använder då punkternas koordinater. A = (4, 1) och B = (6, 5)
A (4, 1) ∆x
x
1 ∆ i ∆ x och ∆y utläses delta.
∆x = 6 – 4 = 2 ∆y = 5 – 1 = 4
Lutningen k = förändringen i y-led = ∆ y = 4 = 2 förändringen i x-led ∆ x 2 Exempel 2
Vi beräknar lutningen för en linje genom punkterna (–1, 5) och (1, 2). Punkt 1: (–1, 5) Punkt 2: (1, 2) x1 , y1
x2 , y2
∆x = x2 – x1 = 1 – (–1) = 2 ∆y = y2 – y1 = 2 – 5 = –3 Lutningen k = ∆y = –3 = –1,5 ∆x 2 Om vi istället väljer Punkt 1: (x1 , y1 ) = (1, 2) och Punkt 2: (x2 , y2 ) = (–1, 5) så får vi k=
∆ y y2 – y1 5–2 3 = = = = –1,5 ∆ x x2 – x1 –1 – 1 –2
Vi kan alltså börja med vilken punkt vi vill, men vi måste börja med samma punkt i täljaren och nämnaren. riktningskoefficient
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
Bla 2c Kap 1.2.indd 23
Eftersom lutningen k anger linjens riktning och är lika med talet (koefficienten) framför x, kallas linjens k-värde för riktningskoefficient.
23
2011-12-22 09.34
Formeln för k
horisontell linje
Lutningen för en linje genom punkterna (x1 , y1 ) och (x2 , y2 ) beräknas med formeln förändring i y-led ∆y y2 – y1 = = k= förändring i x-led ∆x x2 – x1
En linje som är parallell med x-axeln kallas vågrät eller horisontell. Eftersom ∆y = 0 är också k = 0.
(x2, y2)
y
∆y
(x1, y1) ∆x
y
(2, 3)
(−2, 3)
y=3
Linjen i figuren skrivs y = 3.
1
x 1
Linjen i figuren skrivs x = 3. 1216
∆ y –4 = k= 3 ∆x
y
(3, 4) x=3 1
(3, 1)
Bla 2c Kap 1.2.indd 24
x
1
Rita en linje som går genom punkten (1, 5) och har lutningen k = – 4/3. Vi börjar med att pricka in punkten (1, 5). k = – 4/3 betyder att om vi går 3 steg åt höger i x-led (∆ x = 3) så ska vi gå 4 steg nedåt i y-led (∆ y = –4). Vi kommer till punkten (4, 1) som ligger på linjen.
24
Horisontell linje
Vertikal linje
vertikal linje
En linje som är parallell med y-axeln kallas lodrät eller vertikal. Eftersom ∆x = 0 är k inte definierat. (Vi kan inte dividera med noll!) En vertikal linje saknar alltså k-värde.
x
y ∆x = 3
(1, 5)
∆y = −4 (4, 1)
1
x
1
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2011-12-22 09.34
1217
En rät linje går genom punkterna (–1, –3) och (3, 5). Bestäm linjens riktningskoefficient. Punkt 1: (x1, y1) = (–1, –3) Punkt 2: (x2, y2) = (3, 5) y –y 5 – (–3) 8 Formeln för k ger k = 2 1 = = =2 x2 – x1 3 – (–1) 4 Svar: Linjens riktningskoefficient är 2.
1218 Vi går från punkt A till punkt B på linjen. Bestäm
1223 a) Ange k-värdet för linjen.
y
b) Ange linjens ekvation.
B
a) ∆ x
y
y
A
1
b) ∆ y
1
c) k-värdet.
1
x
1
a
1
x
b
1219 Vi går från punkt (–2, 3) till (2, 14) på en linje. Bestäm a) ∆x 1220
b) ∆y
c) linjens lutning.
d c
1224 Alicia vill ha långt hår. När hon fyller 16 år bestämmer hon sig för att inte klippa sig under ett helt år. Hårets längd, y cm, är en linjär funktion av tiden, x månader efter födelsedagen. Efter 2 månader är håret 27 cm långt och efter 7 månader 34,5 cm.
y B
A 1
x 1
x 1
a) Vilket värde har y1 om x1 = 2? b) Vilket värde har x2 om y2 = 34,5? c) Beräkna och tolka funktionens k-värde.
Bestäm linjens lutning. 1221 Rita en linje som går genom punkten (0, 0) och har lutningen a) 2
b) 3/4
c) –3/5
1222 Bestäm lutningen för en linje genom punkterna a) (3, 6) och (4, 1)
c) (3, 1) och (6, 1)
b) (–3, –5) och (4, 2)
d) (–4, –1) och (2, –4)
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
Bla 2c Kap 1.2.indd 25
2012-07-02 14:42
1225 Linjerna har k-värdena –3, 0, 1/2, 1 och 5. En linje saknar k-värde. Tilldela varje linje rätt k-värde. y
1231 Bestäm linjens lutning om kvadraten A har arean 25 areaenheter och kvadraten B arean 16 areaenheter. y
y f
c b
e
a d
x
x
A
B x
1226 För en funktion vars graf är en rät linje är f(2) = 6 och f(0) = 3 Vilken lutning har linjen? 1227 Ligger de tre punkterna på en linje? a) (–2, 1), (–1, 0) och (2, –2)
1232 För en linjär funktion gäller f (a) = 1 och f (a+2) = 5 Bestäm linjens lutning med formeln för k och visa att det inte spelar någon roll vilken punkt som är den första.
b) (0, 4), (7, –6) och (–7, 14) 1228 Välj själv två punkter så att linjen genom punkterna får lutningen a) 6
b) –3
1229 En linje genom punkterna P(0, 2) och Q(a, 0) är parallell med linjen y = 2 x + 1
1233 En linje går genom punkten (3, 5) och a har lutningen 3 Bestäm a så att linjen även går genom a) punkten (5, a) b) punkten på y-axeln där y = –4a
Bestäm talet a. 1230 Två uthyrningsfirmor tar y kr för att hyra en båt med förare i x timmar enligt graferna i figuren. kr 8000
y
B
6000
A
4000 2000
x 1
2
3
4
h
a) Bestäm k och m för linje A. b) Bestäm ekvationen för linje A. c) Bestäm ekvationen för linje B. d) Hur stor är skillnaden i pris mellan A och B om du hyr en båt 7 timmar? 26
Bla 2c Kap 1.2.indd 26
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2011-12-22 09.35
Aktivitet
UPPTÄCK
Vinkelräta linjer 1 Linjen L1 går genom origo och punkten P. Om man vrider den blå figuren 90° moturs A runt origo så hamnar den på den gula figuren.
y
L2 Q
L1
Linjerna L1 och L2 är vinkelräta. a) Bestäm koordinaterna för punkten Q.
P (4, 2)
1
b) Bestäm lutningen på linjerna L1 och L2.
x
1
c) Beräkna produkten av linjernas k-värden.
2 a) Rita av figuren till höger i ett koordinatsystem. Rita också den bild du får om A figuren roterar 90° moturs runt origo.
y
b) Bestäm lutningen på de två vinkelräta linjerna. 1
c) Beräkna produkten av linjernas k-värden.
x 1
3 Rita av figuren. Linjerna L1 och L2 är vinkelräta. Punkterna P och Q har samma A avstånd till origo. a) Bestäm lutningen på linjen L1 om punkten P har koordinaterna (a, b). b) Bestäm koordinaterna för punkten Q och lutningen på linjen L2.
L2 Q
y
L1 P (a, b)
x
c) Beräkna produkten av linjernas k-värden. d) Formulera en slutsats.
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
Bla 2c Kap 1.2.indd 27
27
2011-12-22 09.35
Parallella och vinkelräta linjer Parallella linjer har samma k-värde, men vad gäller för linjer som är vinkelräta mot varandra? Bevis
I figuren har den räta vinkeln AOB mellan koordinataxlarna vridits till läget POQ.
y Q ( b, a)
Om P = (a, b) så är Q = (–b, a) Formeln för k ger b−0 b a−0 a kOP = = kOQ = =− (−b)− 0 b a−0 a
B P (a, b)
a
b x a
b O
A
Om vi multiplicerar k-värdena får vi b a kOP ⋅ kOQ = ⋅ − = −1 a b
( )
Två icke-vertikala linjer med riktningskoefficienterna k 1 och k 2 är Sammanfattning
– parallella om och endast om k 1 = k 2 – vinkelräta om och endast om k 1 · k 2 = –1, dvs k 2 = –
1234 A(– 4, –2), B(4, –1), C(8, 6) och D(0, 5) är hörn i en fyrhörning ABCD. Visa att diagonalerna AC och BD är vinkelräta. k AC =
6 - (-2 ) 8 2 = = 8 - (-4 ) 12 3
k AC × kBD =
2 3
æ 3ö × ççç- ÷÷÷ = - 1 è 2ø
kBD =
b) vinkelräta.
1236 Är triangeln rätvinklig, då hörnen har koordinaterna a) (–2, 3), (1, –5) och (6, 6) b) (0, 0), (7, 4) och (2, 11)? 1237 Bestäm k så att linjen y = kx – 10 blir vinkelrät mot linjen genom punkterna (2, –5) och (4, 9). 28
Bla 2c Kap 1.2.indd 28
y C(8, 6)
D(0, 5)
5 - (-1) 6 3 = =0-4 -4 2
1 A(–4, –2)
x 1
B(4, –1)
Diagonalerna är vinkelräta.
1235 Bestäm k så att linjerna y = kx – 7 och y = 2 x + 3 blir a) parallella
1 k1
1238 En månghörning har hörnen i A (4, 5), B (0, 8), C (–6, 0) och D (–2, –3). Visa att ABCD är en rektangel. 1239 R(–3, 2), S(5, 4) och T(7, 8) är hörn i en triangel. Visa att en linje genom mittpunkterna på sidorna TR och TS är parallell med sidan RS. 1240 Linjen y =
2x – 1 är vinkelrät mot linjen 3
genom punkterna (a, 3) och (6, 0). Bestäm talet a.
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2011-12-22 09.35
k - form och enpunktsform Exempel
En rät linje går genom punkten (4, 3) och har lutningen k = 5. Hur kan vi bestämma linjens ekvation? Metod 1 Vi vet att x = 4, y = 3 och k = 5 y = kx + m 3=5·4+m 3 = 20 + m m = –17 Linjens ekvation är y = 5x – 17 Finns det något sätt som ger oss ekvationen, utan att först bestämma m-värdet? y –y I formeln k = 2 1 låter vi punkt 1 vara den punkt som vi vet ligger på x2 – x1 linjen och punkt 2 en godtycklig punkt (x, y). Formeln kan då skrivas k=
y – y1 eller y – y1 = k(x – x1) x – x1
Metod 2 Vi vet att x = 4, y = 3 och k = 5 y – y1 = k(x – x1 ) y – 3 = 5(x – 4) y – 3 = 5 x – 20 y = 5 x – 17 k-form
enpunktsform
1241
y = kx + m är räta linjens ekvation i k-form, där k är lutningen och m skärningen med y-axeln. y – y1 = k(x – x1 ) är räta linjens ekvation i enpunktsform, där k är lutningen och (x1 , y1) är koordinaterna för en punkt på linjen. Bestäm ekvationen för en rät linje som går genom punkten (–3, 2) och har lutningen k = 4 Metod 1 (med k-form) x = –3, y = 2 och k = 4 y = kx + m 2 = 4 · (–3) + m 2 = –12 + m m = 14 y = 4 x + 14
Metod 2 (med enpunktsform) x1 = –3 , y1 = 2 och k = 4 y – y1 = k(x – x1 ) y – 2 = 4 (x – (–3)) y – 2 = 4 x + 12 y = 4 x + 14
Svar: Linjens ekvation är y = 4x + 14 1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
Bla 2c Kap 1.2.indd 29
29
2011-12-22 09.35
1242
Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkterna (2, –5) och (–1, 1). 1 – (–5) 6 = = –2 –1 –2 –3 k = –2 och koordinate rna (2, –5) sätts in i y = kx + m Formeln för k ger k = –5 = –2 ∙ 2 + m –5 = –4 + m m = –1
Du kan också använda enpunktsformen.
Svar: Linjens ekvation är y = –2x – 1
1243
Bestäm ekvationen för en linje som är parallell med linjen y = –7x + 8 och som skär x-axeln där x = 5. Parallella linjer har samma k-värde. Vi sätter in k = –7 och (x1 , y1) = (5, 0) i enpunktsformen. y – 0 = –7(x – 5) y = –7x + 35 Svar: Linjens ekvation är y = –7x + 35
1244 Bestäm ekvationen för en rät linje som har riktningskoefficienten k = 5 och går genom punkten a) (3, 4)
1247 Bestäm ekvationen för linjen som går genom punkterna a) (4, 6) och (2, 2)
b) (–2, 6)
1248 Vilken linje tillhör vilken ekvation?
1245 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (5, 4) och har riktningskoefficienten a) k = 3
Ange de fem paren ekvation – linje.
b) k = – 6
e) y = –5
y P
Q
R S
1
x
a b
Bla 2c Kap 1.2.indd 30
d) y = 2 x
y
1
30
a) y = 3 b) y = 0,5x + 2 c) y = – x + 1
1246 Linjerna i koordinatsystemet är inbördes parallella. Ange en ekvation för var och en av linjerna a, b och c.
b) (–2, 1) och (1, –5)
1
x 1
c
T
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2011-12-22 09.35
Bla 2c Kap 1.2.indd 31
2011-12-22 09.35
2c LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE
2c
Matematik 5000
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.
Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och komvux.
Matematik
5000
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt komvux BLÅ SERIE
för NA och TE
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-42253-7
9 789127 422537
Matematik5000_BLA_2c_3c.indd 1
2011-12-06 12.42