9789147105359

LARS BERGSTRÖM BERTIL SNAAR

Laplaceoch z-transformer

Laplace- och z-transformer Lars Bergstrรถm Bertil Snaar

ISBN 978-91-47-10535-9 © 2012 Lars Bergström, Bertil Snaar och Liber AB Projektledare: Kajsa Lindroth Förläggare: Peter Rajan Form: Nette Lövgren Ombrytning: Integra Software Sevices, Indien Illustrationer: författarna Omslag: Nette Lövgren Omslagsbild: Thinkstock Produktion: Jürgen Borchert Andra upplagan 1 Repro: Integra Software Sevices, Indien Tryck: Multivista, Indien

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

Innehåll 1

Övergångsförlopp och stationärtillstånd i linjära elektriska kretsar

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Grundläggande begrepp Stationärtillstånd vid likspänningsmatning Stationärtillstånd vid sinusspänningsmatning Inkoppling till likspänning Inkoppling av en induktor och en kondensator till en sinusgenerator Partikulärlösningar och den komplexa metoden Sammanfattning

1 2 4 7 11 17 22

2

Laplacetransformen

26

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Inledning Definition Linearitet Laplacetransformen för några elementära funktioner Fördröjningssatsen Transformerna för en funktions derivator Transformen för en funktions integral Likformighetssatsen Poler. Gränsvärdessatserna

26 27 28 29 36 41 43 46 48

3

Återtransformering

52

3.1 3.2 3.3 3.4

Inledning Entydigheten Återtransformering av partialbråksuppdelade uttryck Expansionssatsen

52 52 53 56

4

Lösning av differentialekvationer med begynnelsevillkor

70

4.1 4.2 4.3 4.4

Inledning 70 Begynnelsevärdesproblem 70 Lösning av begynnelsevärdesproblem med hjälp av laplacetransformation 71 Inkoppling av en seriekrets till en sinusgenerator 73

5

Nätanalys

77

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Inledning Beräkningsschema för ideal resistor Beräkningsschema för ideal induktor Beräkningsschema för ideal kondensator Impedans Ideal spännings- och strömgenerator i beräkningsschema

77 78 79 80 82 82

5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

Beräkningsschema för magnetiskt kopplade spolar Nätanalys med laplacetransformerade storheter Några exempel på analys av nät utan begynnelseenergi Några exempel på analys av nät med begynnelseenergi Slutnings- och brytningssatserna

83 86 87 93 100

6

Linjära system. Överförings- och frekvensfunktion.

121

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

System och signaler Linjära dynamiska system Ett linjärt dynamiskt systems överföringsfunktion Några exempel på överföringsfunktionen Överföringsfunktionen och signalsvar Ett linjärt dynamiskt systems frekvensfunktion Poler och nollställen Faltningsintegral. Viktfunktion.

121 125 127 128 132 136 144 150

7

Bodediagram

158

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Logaritmiska skalor. Bodediagram Decibel Konstruktion av bodediagram Asymptoter i amplituddiagrammet Exempel på bodediagram för amplitudfunktionen

158 160 161 164 174

8

Tiddiskreta signaler och system

181

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Tiddiskreta signaler Sampling och pulssekvenser Några speciella pulssekvenser Differensekvationer Komponenter för tiddiskreta system

181 182 183 187 190

9

z-transformen

196

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Laplacetransformen för en impulsfunktionssekvens Definition av z-transformen Avbildning från s-planet till z-planet Några egenskaper hos z-transformen z-transformen för några pulssekvenser

196 197 198 199 203

10

Återtransformering av z-transformer

210

10.1 Entydigheten 10.2 Metoder för återtransformering

210 210

10.3 Expansionssatsen 10.4 Lösning av differensekvationer

213 216

11

Linjära diskreta system

223

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Matematisk modell för ett linjärt tiddiskret system Överföringsfunktion Beräkningsschema för z-transformerade storheter Frekvensfunktion Poler och nollställen – stabilitet Amplitud- och fasfunktion Enhetsimpulssvar och faltning

223 224 226 229 233 235 238

Appendix Appendix 1

Visardiagram

245

Appendix 2 jV-metoden för bestämning av partikulärlösning

249

Appendix 3

Partialbråksuppdelning av rationella funktioner

250

Appendix 4

Magnetiskt kopplade spolar

256

Appendix 5

Expansionssatserna

260

Svar och anvisningar till Övningsuppgifterna

264

Sakregister

291

Formelblad 1

Laplacetransformationer

295

Formelblad 2 Laplace återtransformering

296

Formelblad 3

297

z-transformationer

Formelblad 4 z–återtransformering

298

1.

1.1

Övergångsförlopp och stationärtillstånd i linjära elektriska kretsar

Grundläggande begrepp

Vi ska i denna bok studera tillstånden i system med tre egenskaper. Dessa skall vara • tidinvarianta, d.v.s. system vars parametrar (komponentvärden) ej är beroende av tiden, • linjära, d.v.s. system som karakteriseras av att superpositionsprincipen kan tillämpas vid analys av tillståndet i systemet. Principen innebär, att om det finns flera energikällor inkopplade, kan tillståndet beräknas genom att man först räknar med endast en källa i taget inkopplad, övriga energikällor nollställda, och att man därefter summerar delresultaten för att få slutresultatet, • dynamiska, d.v.s. system där tillståndet kan beskrivas med hjälp av differentialekvationer eller differensekvationer.

Noggrannare definitioner av begreppen ovan följer i senare kapitel.

De sex första kapitlen ägnas åt system med tidkontinuerliga signaler, d.v.s. signaler som beskrivs av kontinuerliga tidsfunktioner. De sista kapitlen ägnas åt system med tiddiskreta signaler, d.v.s. signaler definierade endast vid diskreta tidpunkter (såsom exempelvis digitala signaler).

I de sex första kapitlen behandlar vi alltså tidinvarianta linjära dynamiska system1 med tidkontinuerliga signaler. Det skall visa sig att tillståndet i sådana system kan beskrivas med hjälp av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Till denna typ av system hör elektriska kretsar med linjära komponenter. Om man vid analys av sådana kretsar tillämpar Kirchhoffs lagar och använder tidsderivator för att beskriva sambanden mellan spänning och ström hos t.ex. induktorer och kondensatorer, hamnar man nämligen just i linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter för beskrivningen av tillståndet i kretsen. Exempel följer i detta kapitel.

Vid analys av linjära system brukar man särskilja följande två typer av tillstånd: 1. Stationärtillstånd (fortvarighetstillstånd) som är det tillstånd som utbildas i ett linjärt system ”lång tid” efter det att man kopplat in eller ur energikällor (t.ex. generatorer i elkretsar) eller gjort andra förändringar i systemet, förutsatt att energikällorna • antingen håller i tiden konstanta värden (t.ex. likspänningar), • eller har värden som är i tiden periodiska funktioner (t.ex. sinusfunktioner).

1 Fortsättningsvis för korthets skull benämnda endast linjära system.

2

2. Transientförlopp (övergångsförlopp) d.v.s. det förlopp som äger rum omedelbart efter det att en förändring har skett i systemet, t.ex. in- eller urkoppling av en signal eller komponent. Det beskriver övergången från det stationärtillstånd som råder före förändringen till det nya stationärtillstånd som kommer att råda efter lång tid.

Vad som ligger i begreppet ”lång tid” kommer att framgå av exempel i detta kapitel.

Den matematiska definitionen är förstås att t S .

I de följande två avsnitten (1.2 och 1.3) belyser vi med exempel begreppet stationärtillstånd. Exemplen gäller två enkla elektriska kretsar. I de två därpå följande avsnitten (1.4 och 1.5) bestämmer vi för samma kretsar även övergångsförloppet vid inkopplingen av respektive generator.

Vid bestämningen av övergångsförloppet ställer vi upp och löser den för kretsen aktuella differentialekvationen. I dessa exempel använder vi oss då av den klassiska, traditionella lösningmetoden. Vi övergår därefter till att använda ett helt annat och överlägset verktyg, nämligen laplacetransformering.

De fyra här följande avsnitten är således enbart avsedda att ge exempel på de båda begreppen stationärtillstånd och transientförlopp och att samtidigt ge en bild av den matematiskt direkta lösningsmetoden för differentialekvationer.

1.2

Stationärtillstånd vid likspänningsmatning

I enlighet med tidigare erfarenheter från likströmläran kan vi konstatera följande: Vid stationärtillstånd i nät matade med likspänningskällor är samtliga komponentspänningar och komponentströmmar likspänningar respektive likströmmar, d.v.s. konstanta i tiden. Deras tidsderivator har därmed alla värdet noll.

Bestämningen av stationärtillstånd i likspänningsmatade kretsar baseras därför på kretskomponenternas likströmsegenskaper så som framgår av följande två exempel.

EXEMPEL 1.1

Kretsen på nästa sida befinner sig i stationärtillstånd innan strömställaren1 bryts vid tidpunkten t 0. Bestäm strömmen i(t) i detta stationärtillstånd samt i det stationärtillstånd som utbildas lång tid efter brytningen.

1 Vi kommer för denna komponent att använda olika benämningar såsom strömställare, brytare, kontakt och kontaktdon.

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

t=0 t=0

R1

+ E–

i(t)

R1

+ E −

R2 L

R2 L

i(t) Beräkningsschema

Kopplingsschema

LÖSNING:

Situationen kan beskrivas med beräkningsschemat till höger på föregående sida.

1. Stationärtillståndet omedelbart före brytningen (t 0 ) Det slutna strömställaren representerar en kortslutning. I kretsen flyter likströmmmen i(t) I1 genom R2 och L. Den induktiva spänningen + E L i (t) är noll, ( i (t) 0!). − Situationen illustreras av beräkningsschemat till höger där induktansen L ersatts med en kortslutning. Av schemat framgår att strömmen i detta stationärtillstånd är

R2 i(t) = I1

+ − + 0V −

i(t) I1 E/R2 2. Stationärtillståndet lång tid efter brytningen (t S ) Lång tid efter brytningen flyter likströmmen i(t) I2 genom R1, R2 och L. Situationen illustreras av beräkningsschemat till höger som visar att ström+ E men i det nya stationärtillståndet blir − i(t) I2 E/(R1 R2)

R1 R2 i(t) = I2

EXEMPEL 1.2

Kretsen till höger befinner sig i stationärtillstånd då brytaren sluts vid tidpunkten t 0. Bestäm spänningen + u(t) över kondensatorn i stationärtill- E − stånden före och efter slutningen.

t=0

R1 C

+ u(t) −

R2

3

4

LÖSNING:

1. Stationärtillståndet vid(t 0 )

R1

Då batteriet inkopplades började en ström flyta genom R1 och C så att kondensatorn efter hand + E kom att laddas upp till batterispänningen. Det − så uppkomna stationärtillståndet kan illustreras med beräkningsschemat till höger, där kondensatorn ersatts med ett avbrott eftersom ingen ström flyter i denna gren. Kondensatorspänningen är här

+ u(t) = U1 − i(t) = 0

u(t) U1 E 2. Stationärtillståndet då t S

R1

Lång tid efter det att brytaren slutits är + + + R2 kondensatorn åter uppladdad, men nu u(t) = U2 E − − − till en ny spänning U2. Likström flyter genom R1 och R2, men ingen ström går genom grenen med den uppladdade kondensatorn. Situationen illustreras av schemat till höger. Kondensatorspänningen U2 är lika med spänningen över R2.

Formeln för spänningsdelning ger u(t) U2

1.3

R2 E R1 R2

Stationärtillstånd vid sinusspänningsmatning

Enligt tidigare erfarenheter från växelströmsläran gäller följande förutsättning: Förutsättning: I linjära nät matade med sinusspänningsgeneratorer med gemensam frekvens är samtliga komponentspänningar och komponentströmmar i stationärtillståndet sinusspänningar respektive sinusströmmar med samma frekvens som generatorerna.

Bestämningen av stationärtillståndet baseras därför på kretskomponenternas egenskaper vid stationär sinusström/spänning. För beräkningarna använder man då den komplexa metoden (jv- metoden).

I de två följande exemplen är kretsarna desamma som i exemplen 1.1 respektive 1.2, dock med den skillnaden att energikällan nu är en sinusgenerator.

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

EXEMPEL 1.3

t=0

Kretsen till höger befinner sig i stationärtillstånd innan kontaktdonet bryts vid tidpunkten t 0.

Bestäm strömmen i(t) i detta tillstånd samt i det stationärtillstånd som utbildas lång tid efter brytningen, då

+ e(t) G ∼ −

R1

R2 L

i(t) Kopplingsschema

e 0 E 0 cos vt

LÖSNING:

1. Stationärtillståndet omedelbart före brytningen Figuren till höger visar det aktuella komplexa beräkningsschemat. Ur detta schema får vi I1

0 I1 0

0 E 0 e jvt R2 jvL 0E0

E

+ −

3R22 (vL)2

I1 E = |E|e jωt

0 I1 0 e j(vt a) där och

R2+ jωL

a arctan

vL R2

Stationärströmmen är således här i(t) 0 I1 0 cos (vt a) 2. Stationärtillståndet lång tid efter brytningen Det för situationen aktuella komplexa beräkningsschemat visas i figuren till höger. Härur finner vi I2

0 E 0 e jvt

R1 R2 jvL

0 I2 0

0 I2 0 e

j(vt b)

0E0

3(R1 R2)2 (vL)2

,

R1 E

+ −

R2 + jωL I2

där

b arctan

Strömmen är alltså i detta stationärtillstånd

vL R1 R2 i(t) 0 I2 0 cos (vt b)

5

6

EXEMPEL 1.4

Kretsen till höger befinner sig R1 i stationärtillstånd då brytaren + sluts vid tidpunkten t 0. Bestäm e(t) G spänningen u(t) över kondensa− ∼ torn i stationärtillstånden före och efter slutningen, då R1 = 50 Ω,

t=0 + u(t) −

R2

R2 = 100 Ω,

C = 5,0 μF

C

v 2 000 rad/s

e 25 cos vt V, LÖSNING:

1. Stationärtillståndet omedelbart före slutningen Ur det komplexa beräkningsschemat till höger får vi genom att utnyttja spänningsdelningsformeln:

R1 E + −

1 jvC 1 U1 E E 1 1 jvR1C R1 jvC U1

+ 1 U jωC 1 −

E = 25e jωt V

1 25e jvt V⬇22,4e j(vt 26,6 ) V 1 0,5j

I detta stationärtillstånd är således spänningen u(t) 22,4 cos (vt 26,6 ) V 2. Stationärtillståndet lång tid efter slutningen Impedansen hos parallellkopplíngen i beräkningsschemat till höger är 1 E + R2 − jvC R2 Zp

1 1 jvR2C R2 jvC

R1 + 1 U jωC −2 E = 25e jωt V

Zp 50 j50 Spänningsdelning ger U2

Zp Zp R1

E

50 j50 25e jvt V⬇15,8e j(vt 18,4 ) V 50 j50 50

R2

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

Alltså är stationärspänningen i detta fall u(t) 15,8 cos (vt 18,4 ) V

1.4

Inkoppling till likspänning

I följande två exempel bestämmer vi det fullständiga förloppet för en ström eller en spänning vid inkoppling av en induktor respektive en kondensator till en likspänningskälla. Därvid kommer vi att kartlägga både övergångsförloppet och det därpå följande stationärtillståndet.

Vid beräkningar av övergångsförlopp väljer man lämpligen att räkna tiden från den tidpunkt då förändringen sker, det vill säga man sätter t 0 vid denna tidpunkt. En förutsättning för beräkningen är att tillståndet i nätet är känt vid starttidpunkten. Begynnelsevärdena på vissa spänningar och strömmar i nätet måste alltså vara kända, eller matematiskt uttryckt, problemets begynnelsevillkor måste vara givna.

EXEMPEL 1.5

Beräkna strömmen vid inkoppling av en spole med induktansen L och resistansen R till en likspänning E enligt kopplingsschemat nedan. Beräkna även strömmens värde i det stationärtillstånd som utbildas lång tid efter inkopplingen. t=0

E

+ −

R L

i(t) Kopplingsschema

R

E E+ − i(t)

L

+ uR (t) − + uL (t) −

Beräkningsschema för t ≥ 0

LÖSNING:

För t 0:

Kretsen är bruten varför i detta stationärtillstånd gäller i(t) 0

Detta gäller även tiden omedelbart före inkopplingen (t 0 ), d.v.s. i(0 ) 0 För t 0: Enligt Kirchhoffs spänningslag gäller i varje ögonblick uL(t) uR(t) E vilket ger differentialekvationen Li (t) Ri(t) E (DE) Begynnelsevillkoret erhålles efter följande konstaterande: Strömmen genom en induktor kan inte ändras språngartat.

7

8

Anledningen härtill är att ett språng hos strömmen skulle innebära oändlig derivata, ”i ”, i språngtidpunkten, vilket i sin tur skulle betyda att den inducerade spänningen L i skulle bli oändligt stor i detta ögonblick, något som är orimligt.

Strömmen i inkopplingsögonblicket t 0 kommer därför att ha samma värde som strömmen i ögonblicket t 0 omedelbart före inkopplingen, d.v.s. i(0) i(0 ). Vi konstaterade ovan att i(0 ) 0, varför begynnelsevillkoret blir i(0) 0

(BV)

Ögonblicket efter inkopplingen verkar således spolen som ett avbrott.

Vi löser differentialekvationen (DE) med begynnelsevillkor (BV) i följande fem steg.

1. Den allmänna lösningen till (DE) består av summan av den allmänna lösningen till motsvarande homogena differentialekvation och n å g o n partikulärlösning till den fullständiga differentialekvationen (DE).

Vi löser först den homogena differentialekvationen Li (t) Ri(t) 0

(HD)

Observera att denna ekvation inte innehåller någon information om energikällan, utan enbart om storlekarna på de passiva kretskomponenterna!

Den till (HD) hörande karakteristiska ekvationen L l R 0

l R/L

har lösningen

Den homogena differentialekvationen har därför den allmänna lösningen ih(t) Ke (R/L)t Ke t/τ

(1)

där τ L/R är induktorns tidskonstant 1 och K en godtycklig konstant.

Observera att ih(t) S 0 då t S , oberoende av K! 2. Vi bestämmer en partikulärlösning ip(t) till den fullständiga ekvationen (DE).

Eftersom högerledet är en konstant ansätter vi ip(t) a 1 i p(t) 0.

Insättning i (DE) ger: L 0 R a E

1

a E/R.

En partikulärlösning är därför ip(t) E/R

(2)

3. Den allmänna lösningen ia(t) till (DE) är summan av de två lösningarna (1) och (2): ia(t) ih(t) ip(t) K e t/τ E/R 4. Vi lägger nu på begynnelsevillkoret (BV): Härur får vi värdet av konstanten K:

ia(0) K e0 E/R 0

K E/R

1 Tidskonstanten τ definieras som den tid det tar för exponentialfunktionen att uppnå värdet 1e .

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

5. Lösningen, d.v.s. strömmen efter inkopplingen av induktorn till likspänningskällan, är således

E/R

i(t)

(tidskonstanten τ L/R ): t

E i(t) (1 e t/τ) R

τ

3τ

2τ

4τ

Strömmens tidgraf återges till höger.

i(t) S E/R

då

R

E + −

Stationärtillstånd utbildas då t S .

Lösningen ger

+ 0_V

i(t)

tS

vilket ju är vår partikulärlösning och vilket stämmer med beräkningsschemat för stationärtillståndet till höger.

Stationärtillståndet ges av differentialekvationens partikulärlösning.

Strömmens tidgraf visar att stationärtillståndet är praktiskt taget utbildat redan efter några tidskonstanter. Man finner exempelvis att strömmen efter fem tidskonstanter blir i(5τ) 99,3 % i( ) ”t ” kan således för praktiskt bruk definieras som ”t några tidskonstanter”.

EXEMPEL 1.6

En oladdad kondensator med kapacitansen C kopplas i serie med en resistor med resistansen R till en likspänning E. Beräkna kondensatorspänningen samt strömmen i kretsen efter inkopplingen. Bestäm även det stationärtillstånd som utbildas. t=0 + E−

+ R

C

i(t) Kopplingsschema

+ uc(t) −

E + −

uR(t) R i(t)

− C

+ q(t) + uc(t) − q(t) −

Beräkningsschema för t ≥ 0

9

10

LÖSNING:

För t 0 gäller enligt KU uR(t) uC(t) E

(1a)

R i(t) uC(t) E

d.v.s.

(1b)

där q(t) är kondensatorladdningen vid tidpunkten t.

Med referenser enligt figuren gäller att • sambandet mellan strömmen och kondensatorladdningen är i(t) q (t), • sambandet mellan kondensatorladdningen och -spänningen är q(t) C uC(t).

Dessa samband kombinerade och insatta i ekv. (1b) ger differentialekvationen RC u C(t) uC(t) E

(DE)

Begynnelsevillkoret ges av komponenternas fysikaliska egenskaper: Spänningen över en kondensator kan inte ändras språngartat.

Anledningen är att ett språng i kondensatorspänningen skulle kräva en oändligt snabb laddningspåfyllning av kondensatorn, vilket i sin tur skulle kräva en oändligt stor ström under ett ögonblick. Detta är fysikaliskt orimligt i en krets med resistans (vilket är det enda i praktiken förekommande!).

Vi kan sålunda dra slutsatsen att uC(0) uC(0 ) och alltså i vårt fall att uC(0) 0

(BV)

uR(0) = E + − Omedelbart efter inkopplingen gälR ler således att kondensatorn uppträder + + E uc(0) = 0 som en kortslutning och hela batteri− − i(0) spänningen ligger över resistorn. Detta åskådliggörs av beräkningsschemat till Beräkningsschema för t = 0 höger.

Lösningen av differentialekvationen (DE) sker på samma sätt som i föregående exempel. Den motsvarande homogena differentialekvationen har lösningen uCh(t) K e t/RC K e t/τ där K är en godtycklig konstant och τ RC är kretsens tidskonstant.

En partikulärlösning finner man omedelbart vara uCp(t) E , varför differentialekvationens allmänna lösning blir uCa(t) uCh(t) uCp(t) K e t/τ E

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

Slutligen utnyttjar vi begynnelsevillkoret (BV) uC(t) och finner då kondensatorspänningen: E uC(t) E (1 e t/τ), τ RC Strömmen i(t) bestämmer vi ur detta uttryck och med hjälp av sambanden

t τ

i(t) q (t) C u C(t) Vi finner i(t)

E/R

2τ

4τ

3τ

5τ

i(t)

E t/τ e R

t

Motsvarande tidgrafer återges till höger.

Observera att då t S så gäller att

τ

2τ

4τ

3τ

5τ

i(t) S 0 och uC(t) S E. I det stationärtillstånd som utbildas är strömmen noll (uppladdningen av kondensatorn är avslutad) och kondensatorn har antagit batteriets spänning.

Beräkningsschemat illustrerar situationen.

Vi kan även i detta fall konstatera:

+ E + −

uR(t) = 0 R i(t) = 0

−

+ uc(t) = E −

Beräkningsschema för t → ∞ (stationärtillståndet).

Stationärtillståndet ges av differentialekvationens partikulärlösning.

Inkoppling av en induktor och en kondensator till en sinusgenerator 1.5

I de följande två exemplen bestämmer vi förloppen vid inkoppling av en spole respektive en kondensator till en växelströmsgenerator med sinusformad polspänning.

Inkoppling till en likspänningskälla behandlades i exemplen 1.5 och 1.6. Det enda som skiljer från dessa tidigare exempel är uttrycket för generatorspänningen. Denna ingår emellertid enbart i differentialekvationernas högerled, varför de motsvarande homogena ekvationerna kommer att vara desamma och ha samma lösningar som i de tidigare exemplen. Endast partikulärlösningarna kommer att variera.

11

12

EXEMPEL 1.7

Beräkna strömmen i(t) vid inkoppling av en spole med induktansen L och resistansen R till en generator med polspänningen e 0 E 0 cos (vt 90 ) 0 E 0 sin vt enligt kopplingsschemat nedan. Beräkna även strömmen i det stationärtillstånd som utbildas lång tid efter inkopplingen. t=0 + e(t) G − ∼

i(t)

e(t)

R L

R

+ − i(t)

L

+ uR(t) − + uL(t) −

Beräkningsschema för t ≥ 0

Kopplingsschema

LÖSNING:

Vi ställer upp samma differentialekvation som i exempel 1.5 bortsett från att vi byter högerledet mot det aktuella uttrycket för generatorspänningen: L i (t) R i(t) 0 E 0 sin vt

(DE)

Begynnelsevillkoret är liksom tidigare i(0) 0

(BV)

Homogenlösningen kan vi hämta från exempel 1.5, varför vi koncentrerar oss på partikulärlösningen ip(t). Eftersom högerledet nu är en sinusfunktion ansätter vi ip(t) a cos vt b sin vt

1

i p(t) av sin vt bv cos vt

Vi bestämmer konstanterna a och b genom att sätta in dessa uttryck i differentialekvationen och identifiera koefficienterna för cos vt och sin vt i vänster- och högerleden. Vi får då b

cos vt: sin vt:

vL b R a 0 vL a R b 0 E 0

Ur detta ekvationssystem löser vi ut konstanterna a och b och får på så sätt partikulärlösningen ip(t)

vL 0 E 0 R 0E0 sin vt 2 cos vt 2 R (vL) R (vL)2 2

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

Till denna adderar vi homogenlösningen ih(t) Ke t/τ , där τ L/R, och får då den allmänna lösningen R 0E0 vL 0 E 0 ia(t) Ke t/τ 2 sin vt 2 cos vt 2 R (vL) R (vL)2 Begynnelsevillkoret ger följande samband: vL 0 E 0 vL 0 E 0 K 2 2 1 0 0 3 R (vL) R (vL)2 Därmed får vi slutligen lösningen: 0E0 i(t) 2 (vL e t/τ vL cos vt R sin vt) (τ L/R) R (vL)2 i(0) K

2

Stationärtillståndet lång tid efter inkopplingen får vi genom att bestämma uttryckets värde då t S . Första termen i parentesen går mot noll, varför vi får 0E0 istat(t) 2 (R sin vt vL cos vt) R (vL)2 Vi kan återigen konstatera: Stationärtillståndet ges av differentialekvationens partikulärlösning.

Sinus- och cosinustermerna i parentesen −ω Le j0° har gemensam vinkelfrekven. Summan kan därför skrivas som ett enda sinusuttryck.

Amplitud och faskonstant för detta bestämmer vi enklast med hjälp av ett visardiagram (se appendix 1) såsom visas till höger. −(ωL + jR) Ur visardiagrammet får vi

ωL

Im

R

Re α

Re−j90°

R sin vt vL cos vt 3R2 (vL)2 cos (vt a), där a arctan

R vL

Den stationära strömmen kan därför skrivas istat(t)

0E0

3R2 (vL)2

cos (vt a)

Detta resultat stämmer med vad den komplexa metoden ger. Ur beräkningsschemat till höger får vi + nämligen E − 0 E 0 e j(vt 90 ) E

I R jvL 3R2 (vL)2 e jb

I R + jω L E = |E|e jωt

13

14

där b arctan I

0E0

vL 90 a. Detta ger R

0E0

e j(vt 180 a) 1 i

cos (vt a) 3R2 (vL)2 3R2 (vL)2 i överensstämmelse med uttrycket ovan för den stationära strömmen!

Med ovanstående omskrivning kan vi skriva det fullständiga uttrycket för strömmen inklusive övergångsförloppet: i(t) °

vL 3R2 (vL)2

e t/τ cos (vt a) ¢

0E0 3R2 (vL)2

Grafen nedan visar övergången från startförlopp till stationär sinussvängning.

A

i(t) =

2

Data:

10 . e−t – cos(10t + arctan 0,1) √101

R 1 , L 1 H v 10 rad/s

T

τ 1s, (T⬇0,6 τ)

0 E 兩 2101 V 1 0E0 t

1

τ

2τ

3τ

4τ

5τ

3R2 (vL)2

1 A

–1

EXEMPEL 1.8

En oladdad kondensator med kapacitansen C kopplas i serie med en resistor med resistansen R till en generator med polspänningen e 0 E 0 sin vt. Beräkna kondensatorspänningen efter inkopplingen. Bestäm även spänningen i det stationärtillstånd som utbildas efter ”lång tid”. t=0 + e(t) G − ∼

+ R C i(t)

Kopplingsschema

+ uc(t) −

e(t) + −

uR(t)

R i(t)

− C

+ q(t) +

uc(t)

− q(t) −

Beräkningsschema för t ≥ 0

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

LÖSNING:

Den differentialekvation som beskriver situationen är här densamma som i exempel 1.6, frånsett att vi skall byta uttrycket för spänningskällans polspänning i högerledet: RC u C(t) uC(t) 0 E 0 sin vt

(DE)

Begynnelsevillkoret är liksom i exempel 1.6 att uC(0) 0

(BV)

Den mot (DE) svarande homogena differentialekvationen är densamma som i exempel 1.6 (den är ju oberoende av generatorspänningen), varför homogenlösningen också är densamma, d.v.s. uCh(t) K e t/RC K e t/τ ,

τ RC kretsens tidskonstant

Liksom i det föregående exemplet 1.7 är högerledet en sinusfunktion. På samma sätt som där ansätter vi här partikulärlösningen uCp(t) a cos vt b sin vt 1 u Cp(t) av sin vt bv cos vt Insättning i differentialekvationen (DE) leder på samma sätt som i exemplet 1.7 till ett ekvationssystem. Konstanterna bestäms ur detta, och vi finner på så sätt uCp(t)

0E0 vRC 0 E 0 sin vt 2 cos vt 1 (vRC) 1 (vRC)2

Med hjälp av visardiagramsteknik bestämmer vi de nödvändiga två konstanterna för att beskriva summan i högerledet med en enda sinusfunktion och finner då: uCp(t)

0E0

31 (vRC)2

cos (vt a), där a arctan

1 vRC

Den allmänna lösningen till (DE) är summan av homogen- och partikulärlösningarna:

0E0

cos (vt a) 31 (vRC)2 Med hjälp av begynnelsevillkoret (BV) bestämmer vi konstanten K och får uttrycket för kondensatorspänningen för t 0: uCa(t) Ke t/τ

uC(t) °

där

vRC 31 (vRC)2

e t/τ cos (vt a) ¢

0E0

21 (vRC)2

τ RC kretsens tidskonstant och a arctan (1/vRC)

15

16

Man ser direkt, liksom i alla tidigare exempel, att homogenlösningen går mot 0 då t S . Således kan vi liksom tidigare dra slutsatsen beträffande stationärtillståndet: Stationärtillståndet ges av differentialekvationens partikulärlösning.

Vi kontrollerar att den komplexa metoden (jv-metoden) ger samma resultat som ovan för den stationära spänningen. Spänningsdelningsformeln tillämpad på schemat till höger ger 1 jv C E UC E 1 1 jv RC R jv C UC där

0 E 0 e j(vt 90 )

21 ( v RC)2 e jb

0E0

21 ( v RC)2

Komplext beräkningsschema R

E + −

+ 1 jωC UC −

E = |E|e jωt

e j(vt 90 b)

b arctan v RC 90 a.

Alltså blir uC

0E0

31 ( v RC)2

cos ( v t a)

vilket överensstämmer med den partikulärlösning uCp(t) som vi fann tidigare.

Här ger vi ett exempel på tidgraf för kondensatorspänningen.

Data: V 2

20 . e−t – cos(20t + arctan 0,05) uC (t) = √401

R 1 , C 1 F v 20 rad/s τ 1s, (T⬇0,3 τ)

T 1 t τ

2τ

3τ

4τ

5τ

0 E 兩 2401 V 1 0E0 3R2 ( v RC)2

1 V

–1

Grafen har i princip samma utseende som strömkurvan vid inkopplingen av spolen i exemplet 1.7 (s. 14). Tidskonstanten är densamma. Graferna skiljer sig endast med avseende på generatorfrekvensen som här är dubbelt så stor, d.v.s. periodtiden är hälften så stor. Generellt definieras ju periodtiden T av v T 2π . I detta fall gäller

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

vτ 20, varför här T/τ π/10 ⬇0,3. Periodtiden för sinussvängningen är alltså cirka 30 % av kretsens tidskonstant.

1.6

Partikulärlösningar och den komplexa metoden

Exemplen i de föregående avsnitten har visat, att vi kan bestämma stationärtillstånd i linjära nät med sinusformade generatorer på i princip två sätt: 1. med den komplexa metoden (jv-metoden) 2. som partikulärlösning till den differentialekvation som gäller för den aktuella strömmen/spänningen i nätet.

Vi ska nu visa att den komplexa metoden i själva verket generellt erbjuder en möjlighet att bestämma partikulärlösningen till linjära differentialekvationer med reella konstanta koefficienter och en sinusfunktion i högerledet, d.v.s. differentialekvationer av typen an y(n) an 1 y(n 1) c a1 y a0 y 0 A 0 cos (vt a)

(1)

där alla koefficienterna aj är reella konstanter, 0 A 0 en positiv konstant sinusfunktionens amplitud och a sinusfunktionens faskonstant.

För att förkorta texten och öka översikten inför vi för fortsättningen följande begrepp: • deriveringsoperatorerna D med betydelsen Dy

d dt

dy y (t) dt

D2

d2 , c dt2

D 2 y

d2 y y (t), c dt2

• den mot differentialekvationen (1) svarande differentialoperatorn n

P(D) anD n an 1D n 1 c a1D a0 a akD k k 0

med betydelsen n

P(D)y anD n y an 1D n 1 y c a1Dy a0 y a akD k y k 0

Differentialoperatorn är således ett polynom i operatorn D. Koefficienterna i detta polynom överensstämmer med koefficienterna i differentialekvationen (1) varför P(D)y an y(n) an 1 y(n 1) c a1 y a0 y differentialekvationens vänsterled.

Sålunda kan differentialekvationen skrivas på följande kondenserade form: P(D)y(t) 0 A 0 cos (vt a)

(RDE)

Beteckningen (RDE) används för att beteckna, att denna differentialekvation avser reella storheter.

17

18

Användningen av den komplexa metoden, jω-metoden, för bestämning av en partikulärlösning till denna ekvation bygger på att

0 A 0 cos (vt a) Re 3 0 A 0 e j(vt a) 4

Denna likhet gör det intressant att analysera lösningen till differentialekvationen P(D)Y(t) 0 A 0 e j(vt a)

(KDE)

Här använder vi beteckningen (KDE) för att markera att denna differentialekvation avser komplexa storheter. Exempelvis är Y(t) en komplexvärd funktion.

Lösningarna till de två differentialekvationerna (RDE) och (KDE) hänger ihop på följande sätt: Om man till den komplexa differentialekvationen (KDE) bestämmer en partikulärlöning Yp(t), så är dennas realdel en partikulärlösning till den reella differentialekvationen (RDE). Med andra ord: Re {Yp(t)} yP(t) är en reellvärd funktion som är en partikulärlösning till den reella differentialekvationen.

Beviset för detta påstående återfinns i appendix 2.

Sålunda bestämmer man i första hand en partikulärlösning Yp(t) till den komplexa differentialekvationen (KDE). Högerledet i denna är en exponentialfunktion, varför det är naturligt att ansätta en tidfunktion av samma slag. Vi gör därför här ansatsen Yp(t) 0 Y 0 e j(vt h) 0 Y 0 e jh e jvt

där konstanterna 0 Y 0 och h bestäms genom insättning i differentialekvationen och en åtföljande identifiering av vänster- och högerleden. Vi skall därvid bestämma uttrycken för derivatorna DYp(t), D 2 yp(t), c Det är i denna process som den stora fördelen med den komplexa metoden visar sig! Vi finner nämligen DYp(t) 0 Y 0 e jh De jvt 0 Y 0 e jh jve jvt jv Yp(t)

D 2Yp(t) DY p(t) D(jv Yp(t)) jv D(Yp(t)) (jv)2 Yp(t) ........ (t) D((jv)n 1 Yp(t)) (jv)n 1 D(Yp(t)) (jv)n Yp(t) D n yp(t) DY(n 1) p Ur detta mönster framgår den viktiga, för den komplexa metoden karakteristiska, egenskap som även givit metoden namnet jv-metoden: Varje derivering av den komplexa funktionen Yp(t) ger som resultat en multiplikation av Yp(t) med uttrycket jv.

1. ÖVERGÅNGSFÖRLOPP OCH STATIONÄRTILLSTÅND I LINJÄRA ELEKTRISKA KRETSAR

Detta faktum utnyttjar vi då vi sätter in derivatauttrycken i differentialekvationen (KDE). Vi får då, efter utbrytning av den gemensamma faktorn Yp(t) i vänsterledet, (an(jv)n an 1(jv)n 1 c a1 jv a0) Yp(t) 0 A 0 e j(vt a)

Inom parentesen i vänsterledet återfinner vi polynomet P, nu med produkten jv som argument. Utnyttjar vi detta, kan vi skriva likheten betydligt kortare: P(jv) Yp(t) 0 A 0 e j(vt a)

Under förutsättning att P( jv) ⬆0 finner vi därmed enkelt den sökta partikulärlösningen: Yp(t)

0 A 0 e jvt a) P(jv)

P(jv) ⬆ 0

Villkoret P(jv) ⬆0 innebär att den mot den homogena ekvationen svarande karakteristiska ekvationen inte får ha rötterna {jv. Detta är liktydigt med att differentialekvationens homogenlösning inte får innehålla funktionerna sin vt eller cos vt, d.v.s. odämpade svängningar med samma frekvens som sinusfunktionen i differentialekvationens högerled. Detta innebär i praktiken endast undantagsvis någon inskränkning i metodens användbarhet.

EXEMPEL 1.9

Lös differentialekvationen y (t) 3y (t) 2y 4 cos 2t 3 sin 2t med begynnelsevillkoren y(0) 1 och y (0) 1.

Bestäm partikulärlösning med hjälp av jω-metoden.

LÖSNING:

Den karakteristiska ekvationen, associerad med motsvarande homogena differentialekvation, är P(l) l2 3l 2 0 med rötterna l1 1 och l2 2 Homogenlösningen är därför yh C1e t C2e 2t Vi kan således konstatera att P(j2) ⬆0 och att homogenlösningen därför inte innehåller funktionen sin 2t eller cos 2t. Därmed kan vi använda den komplexa metoden (jv-metoden) för att bestämma partikulärlösningen.

19

Sakregister A

D

A/D-omvandlare 182 addition i visardiagram 246 additionsenhet 191 allmän lösning 8 amplitud 17, 245 amplitudfunktion 141, 162, 241 amplitudkarakteristik 141 analog-digital-omvandlare 182 analytisk utvidgning 30 andra ordningens differensekvation 219 areaskalad puls 183 areasampling 183 argument 141 asymptot 164

decibel 160 dekad 158 deriveringsoperator 17 deterministisk signal 122 differensekvation 1, 189, 216 differenskvot 187 differentialekvation 1 differentialekvation med konstanta koefficienter 125 differentialoperator 17 digital signal 182 digitalisering 181 Diracs deltafunktion 33 dubbelsidig laplacetransform 26 dynamiskt system 1, 123 dynamiskt tiddiskret system 224 dämpad sinussvängning 186 dämpare 129 dämpningssatsen 32, 207

B begynnelseenergi 85 begynnelsevillkor 7, 70, 126 begynnelsevärden 7, 125, 189 begynnelsevärdesproblem 70 begynnelsevärdessatsen 48, 202 belopp 141 beräkningsschema för ideal induktor 79 beräkningsschema för ideal kondensator 80 beräkningsschema för ideal resistor 78 beräkningsschema för laplacetransformerade storheter 77 beräkningsschema för magnetiskt kopplade spolar 83 beräkningsschema för z-transformerade storheter 226 bodediagram 159 bodeform 167, 169 Bromwich-Wagners integral 52 brytfrekvens 142 brytningssats 100, 106 brytvinkelfrekvens 168

E enhetsimpuls 183 enhetsimpulsfunktion 33 enhetsimpulssvar 238 enhetspuls 203 enhetssteg 29, 184, 204 enkelsidig laplacetransform 26, 27 enkla nollställen 253 entydighet 210 exciterad signal 121 exciterande signal 121 expansionssatsen 53 expansionssatsen vid en reell enkelpol av högre multiplicitet 63 expansionssatsen vid enkelpol 57 expansionssatsen vid komplexkonjugerat polpar 5 expansionssatserna 260

292

exponentialfunktion 185 exponentialfunktionssekvens 185 exponentialsekvens 205 F faktorsatsen 251 faktoruppdelning 251 faltning 239 faltningsintegral 151 faltningssatsen 239 faltningssumma 225, 239 fasfunktion 141, 162, 235 faskarakteristik 141 faskonstant 17, 245 fjäder 129 fjäderkonstant 129 fortvarighetstillstånd 1 fouriertransform 231 frekvensfunktion 136, 236 frekvensfunktion för tiddiskret system 230 frekvensfunktionens argument 141 frekvensfunktionens belopp 141 fysikaliskt system 123 fördröjd funktion 37 fördröjd funktions laplacetransform 37 fördröjningsenhet 191 fördröjningssatsen 37, 200 förskjutningssatsen 200 första ordningens differensekvation 216 förstärkning 160 G gränsvärdessats 48 H handpåläggningsmetoden 253 Heavisides stegfunktion 29 homogen differentialekvation 8 hybridsystem 122 högfrekvensasymptot 168, 170 I ickekausalt system 123 ickestabilt system 124

impedans 78 impulsfunktion 27 impulsfunktionssekvens 196 impulsfunktionssvar 135, 225, 238 insignal 121 inversion 52 inversionssatsen 52 inversionssatsen för laplacetranformation 53 inverstransform 52 J j -metoden 4, 18, 249 K kausalt system 122 kausalt tiddiskret system 223 klassificering av signaler 122 klassificering av system 122 komplexa metoden 4, 18, 19 komplexkonjugerat polpar 215 kraftekvationen 130 kretskomponenter för tiddiskreta system 190 L laplacetransform 27, 37 laplacetransformering 2 LBS 90 likformighetssatsen 46 linearitet 28, 199 linjära diskreta system 223 linjära dynamiska system 125 linjära system 1, 17 linjärt tiddiskret system 223 logaritmisk skala 158 lågfrekvensasymptot 167 M magnetiskt kopplade spolar 256 massa 129 mekaniska system 129 mittfrekvens 177

SAKREGISTER

momentant system 123 multiplikationsenhet 191 N normerad vinkelfrekvens 186, 230, 235 nätanalys 77 O Ohms lag för transformstorheter 78 oktav 160 olinjärt system 125 P partialbråk 53, 252 partialbråksuppdelning 210, 250, 252 partikulärlösning 8, 136, 249 periodicitet 230 pol 48 poler och nollställen 144 prickmarkering 257 produkt av transformer 239 pulssekvens 182 pulståg 182 R rampfunktion 30, 185, 204 rampfunktionssekvens 185 rationell funktion 48, 250 rationellt transformuttryck 52 realiserbart system 122 rekursionsformel 188 relativ dämpkonstant 173 relativ dämpning 169 resonans 162

signalsvar 132 självinducerad spänning 256 självinduktans 256 slutningssats 100 slutvärdessatsen 49, 202 stabilitet 233 stabilitetsgräns 148, 234 stabilitetsvillkor 233 stabilt system 124, 148 stationärtillstånd 1, 136 statiskt system 123 stegfunktion 29 stegfunktionssvar 132 stokastisk signal 122 superpositionsprincipen 1, 125 system 1, 122 T tidinvariant system 1, 124 tidinvariant tiddiskret system 223 tiddiskret enhetsimpuls 183 tiddiskret enhetssteg 184 tiddiskret signal 1, 122 tiddiskret system 122, 224 tiddiskreta signaler 182, 224 tidfördröjd signal 65 tidskonstant 8 tidkontinuerlig signal 1, 122 tidkontinuerligt system 122 tidvariabelt system 124 transform 22, 77 transformera 22 transformimpedans 79 transientförlopp 2 translation bakåt 201 translation framåt 200

S samplad signal 181 sampling 181 samplingsfrekvens 182, 230 samplingsintervall 182 samplingsperiod 182, 230 samplingsvinkel 186, 230, 235 signal 121

U utsignal 121 V viktfunktion 135, 225 visardiagram 245

293

294

Z z-transform 196, 197 Å återtransform 22, 78 återtransformering 52, 53, 210 Ö ömsesidig induktans 83 ömsesidig induktion 258

ömsesidigt inducerade spänningar 258 överföringsfunktion 127, 132, 161 överföringsfunktion för tiddiskret linjärt system 224 överföringsfunktion i frekvensplanet 138 övergångsförlopp 2

Laplace- och z-transformer är en lärobok inom elektriska kretsar och linjära system som huvudsakligen analyserar stadigvarande tillstånd ur signalbehandlingsperspektiv. Boken kompletteras vid behov med Fourieranalys (av samma författare) som i högre grad behandlar problem förknippade med start- och förändringssituationer. Boken är i första hand avsedd för ingenjörsutbildningar på högskolenivå med inriktning mot datateknik och elektronik.

Laplace- och z-transformer utgör en brygga mellan matematikkursen i analys och de tillämpade elektrotekniska ämnena (reglerteknik, filterteori, signalbehandling etc.). Den matematiska bakgrunden är väl täckt samtidigt som det rikliga urvalet av lösta exempel huvudsakligen är hämtat från elkretsteorin. Laborationer med olika typer av datorprogram (t.ex. Pspice) kan erbjuda en värdefull komplettering och anknytning till praktiskt tillämpbara och ingenjörsmässiga analysmetoder.

Boken är pedagogiskt genomarbetad med många lösta räkneexempel och ett uttömligt appendix. Varje kapitel avslutas med övningsuppgifter med svar i facit i slutet av boken.

Författarna Lars Bergström och Bertil Snaar har båda lång erfarenhet av undervisning i ämnet vid Chalmers tekniska högskola.

Best.nr 47-10535-9 Tryck.nr 47-10535-9