10 mm
Statistik i ett nötskal är kortfattad introduktion till statistik. Boken är heltäckande och ger läsaren färdigheter i statistikens grund läggande byggstenar: beskrivande statistik, sannolikhetslära, fördelningar, estimering och hypotesprövning, linjär regression samt icke-parameteriska metoder. Detta gör att boken blir mer än en lättsam orientering i ämnet, den ger läsare de verktyg som krävs för att använda såväl som att tolka statistik. Verktyg som kan vara själva grunden för en bra uppsats och en konkurrens fördel i ett framtida yrkesliv. Boken ger även en introduktion till viktiga statistikfunktioner i Excel. Den innehåller även många övningsuppgifter med full ständiga lösningar och Excel-lösningar finns att ladda ner på www.studentlitteratur.se
| Statistik i ett nötskal
Statistik i ett nötskal
Morten Helbæk
Morten Helbæk är docent vid högskolan i Nord-Trøndelag (Norge) och är utbildad kemist och civilekonom. Han har i många år undervisat i diverse ekonomiämnen och statistik. Han har gett ut ett flertal läroböcker på norska varav Finansmodeller i Excel (Studentlitteratur) är översatt till svenska.
Statistik
i ett nötskal
Morten Helbæk
Statistik i ett nötskal vänder sig till humanister, samhällsvetare och ekonomer, på universitets och högskolenivå, som behöver en introduktion till statistik. Boken kan även med fördel användas som en repetition inför uppsatsskrivande och som stöd under detsamma.
Art.nr 38283
www.studentlitteratur.se
978-91-44-09656-8_01_cover.indd 1
2014-06-30 14:27
Originalets titel: Statistikk – kort o godt. 3. utgave ©Universitetsforlaget, Oslo, Norge 2011
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av a llmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 38283 ISBN 978-91-44-09656-8 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2014 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Översättning: Leif B. Magnusson, Ordkonst Sakgranskning: Linus Liljeberg Omslagslayout: Francisco Ortega Printed by Eurographic Danmark A/S, Denmark 2014
Förord
Denna bok är tänkt att vara en kortfattad och anpassad introduktion inom ämnet statistik och avsedd att täcka de flesta grundkurserna inom ämnet på högskolor och universitet. Boken är först och främst tänkt som ett komplement till mer omfattande läroböcker. Dessutom kan den passa bra för dem som behöver en snabbrepetition eller en uppslagsbok i statistik. Alla ämnen som tas upp illustreras med exempel på beräkningar, men det finns också övningsuppgifter i slutet av varje kapitel med fullständiga lösningar som bilaga. Dessutom finns lösningar i Excel till de flesta exemplen och uppgifterna (via en länk) på Studentlitteraturs hemsida (www.studentlitteratur.se). Jag vill framföra ett stort tack till Eric Rehn och Studentlitteratur AB för gott samarbete.
Levanger i april 2014
Morten Helbæk
INNEHÅLL 1 Beskrivande statistik 7 1.1 Observationer och osäkerhet 7 1.2 Signifikanta siffror 9 1.3 Centralmått och spridningsmått 10 1.4 Uppgifter 18 2 Sannolikhetslära 19 2.1 Sannolikhetsmodeller 19 2.2 Mängdlära 21 2.3 Betingade sannolikheter 22 2.4 Oberoende händelser 24 2.5 Kombinatorik 25 2.6 Uppgifter 28 3 Sannolikhetsfördelningar 29 3.1 Diskreta sannolikhetsfördelningar 29 3.2 Presentation av data 30 3.3 Centralmått och spridningsmått för diskreta fördelningar 33 3.4 Binomialfördelningen 39 3.5 Hypergeometrisk fördelning 42 3.6 Poissonfördelningen 45 3.7 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar 48 3.8 Matematisk beskrivning av kontinuerliga fördelningar 49 3.9 Exponentialfördelningen 52 3.10 Normalfördelningen 54 3.11 Summa och genomsnitt av normalfördelade variabler 59 3.12 Centrala gränsvärdessatsen 61 3.13 Uppgifter 64 4 Estimering och hypotesprövning 67 4.1 Värdering av medelvärden vid känd standardavvikelse (Z-tester) 68 4.2 Styrkefunktioner 78 4.3 Värdering av medelvärden vid okänd standardavvikelse (t-tester) 82 4.4 Värdering av varians ( χ2-tester) 89 4.5 χ2-test för analys av kategoriska variabler i korstabeller 93 4.6 Jämförelse mellan två varianser (F-tester) 96 4.7 Envägs ANOVA, jämförelse mellan tre eller flera väntevärden 99 4.8 Tvåvägs ANOVA med additiva faktorer 103 4.9 Tvåvägs ANOVA med interaktion mellan faktorerna 107 4.10 ANOVA med interaktion mellan tre eller flera faktorer 111 4.11 Uppgifter 115
© Studentlitteratur
5
5 Linjär regression 123 5.1 Korrelation 124 5.2 Regressionsmodellen 126 5.3 Osäkerheten för regressionslinjer 128 5.4 Residualanalys 131 5.5 Prediktion 135 5.6 Multipel linjär regression 136 5.7 Förklaringsgraden 139 5.8 Konfidensintervall för den beroende variabeln y 140 5.9 ANOVA för regressionsmodellen 141 5.10 Konfidensintervall och t-tester för regressionskoefficienterna 141 5.11 Partiellt F-test för en regressionsmodell 142 5.12 Interaktion i regressionsmodeller 143 5.13 Logistisk regression 145 5.14 Uppgifter 148 6 Icke-parametriska metoder 153 6.1 Teckentest 153 6.2 Wilcoxons teckenrangtest 155 6.3 Mann-Whitneys test 156 6.4 Uppgifter 159 Lösningar på uppgifter 161 Symboler 183 Engelska ord och uttryck 185 Tabeller 187 Index 195
6
© Studentlitteratur
3 SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR 3.1 Diskreta sannolikhetsfördelningar När en undersökning är genomförd, bör data presenteras på ett sådant sätt att mesta möjliga information kommer fram. Viktig information i detta sammanhang är tyngdpunkten för data (centralmått) och spridning. Låt oss illustrera detta med ett exempel. En butik har registrerat antal sålda kylskåp varje dag under en period på 50 dagar. Resultaten är återgivna i tabell 3.1. Tabell 3.1 Antal sålda kylskåp per dag. 5
3
7
1
4
6
7
5
6
2
4
3
8
4
3
3
5
4
6
2
4
2
4
1
6
6
4
3
4
5
5
4
4
5
5
4
4
1
2
4
0
4
3
3
3
5
5
7
4
5
Resultatet från undersökningen är sammanställt i figur 3.1 genom att antal dagar med 0 sålda o.s.v. är uppräknade under «frekvens». Ant. skåp Frekvens 0 1 1 3 2 4 3 8 4 14 5 10 6 6 7 3 8 1
p 0,02 0,06 0,08 0,16 0,28 0,20 0,12 0,06 0,02
0,28
14
p
0,24
12
0,20
10
0,16
8
0,12
6
0,08
4
0,04
2
0,00
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figur 3.1 Översikt över försäljning av kylskåp.
© Studentlitteratur
29
Kapitel 3
Sannolikhetsfördelningar
Uppräkningen visar att det försäljningstal som oftast förekommer inom loppet av de 50 dagarna är 4 kylskåp. Vi ser också att låga och höga försäljningssiffror förekommer alltmer sällan ju lägre/högre de är. Resultaten illustreras också i diagrammet till höger i figur 3.1 med det antal dagar försäljningsställena förekommer på den högra vertikala axeln. Detta kallas frekvensfördelning. Det såldes alltså 4 kylskåp på 14 av totalt 50 dagar, d.v.s. på 28 % av dagarna. Om vi använder dessa upplysningar till att beräkna en frekvensbaserad sannolikhet, får vi p = 0,28 för att försäljningen ska bli 4 kylskåp under en slumpmässigt vald dag. I översikten till vänster i figur 3.1 är alla sådana sannolikheter beräknade. Dessa sannolikheter illustreras på den vänstra vertikala axeln i frekvensfördelningen. Summan av alla sannolikheter i en sådan fördelning är alltid lika med 1. Eftersom diagrammet i figur 3.1 innehåller ett begränsat antal åtskilda värden längs x-axeln, kallas det för en diskret fördelning. Den vänstra vertikala axeln i diagrammet i figur 3.1 visar frekvensbaserade sannolikheter för att försäljningen under en slumpvis vald dag blir 0, 1 o.s.v. Denna fördelning baseras på ett urval av 50 observationer. Om man hade observerat hela populationen, d.v.s. alla tänkbara försäljningsdagar, skulle man ha fått korrekta sannolikheter. I så fall kunde man ha kallat fördelningen en diskret sannolikhetsfördelning.
3.2 Presentation av data Som redan nämnts är presentations1 1 3 3 formen avgörande för den informa4 6 tion som kommer fram när vi presenterar våra data. I figurerna 1.2 8 och 3.1 kunde vi se exempel på stapeldiagram. Vilket slags diagram 10 som är mest relevant, beror naturligtvis på problemställningarna och 14 data. Ett dåligt alternativ för data i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 figur 3.1 är ett cirkeldiagram. Detta illustreras i figur 3.2. Storleken på sektorerna illustrerar antalet dagar Figur 3.2 Cirkeldiagram för försäljningssiffrorna i figur 3.1. för varje försäljningstal. 30
© Studentlitteratur
Kapitel 3
Sannolikhetsfördelningar
Illustrationer för dataserier. För dataset med en tydlig utveckling kan punktdiagram eller linjediagram vara aktuella. Tidseriedata, d.v.s. data som visar en bestämd utveckling över tid, är exempel på detta. Data i tabell 3.1 har samlats in under 50 efterföljande dagar. Anta att första linjen i tabellen är antal sålda kylskåp under dag 1, dag 2 o.s.v. Vi förstår att försäljningstalen varierar slumpmässigt från dag till dag och att det inte finns någon bestämd utveckling. Låt oss därför se på ett annat exempel. I figur 3.3 har vi till vänster ett antal sålda metspön av ett visst märke under ett år för en sportfirma. Dessa data presenteras som ett linjediagram till höger i figuren. (Ett annat alternativ skulle kunnat vara ett punktdiagram där man bara markerat datapunkterna.) Detta är ett exempel på tidsseriedata. Vi ser att försäljningen av fiskeutrustning visar en klar tendens att vara lägre på vintern än om sommaren. Diagrammet tydliggör i detta fall säsongsvariationerna för försäljningen av fiskeutrustning. Månad Jan
Ant. sålda 2
Feb
2
Mar
5
Apr
9
Maj
12
Jun
16
Jul
16
Aug
15
Sep
13
Okt
10
Nov
4
Dec
3
Figur 3.3 Antal sålda metspön under ett år.
Klassindelning. Det är vanligt att insamlade data utgörs av reella tal. I så fall är det inte lika enkelt att systematisera resultaten som dem vi såg i figur 3.1. Då kan det vara ett alternativ att dela data i klasser. Låt oss illustrera detta med ett exempel.
© Studentlitteratur
31
Kapitel 3
Sannolikhetsfördelningar
Till vänster i figur 3.4 finner vi inkomsterna för 60 slumpvis utvalda kvinnor i Sverige. I frekvenstabellen har vi definierat klasserna 0–50 000, 50 001– 100 000 o.s.v. och angivit antal i varje klass. Den så kallade klassbredden är 50 000 kr. Det ger 12 klasser i stapeldiagrammet. Vilken information man får genom den grafiska framställningen, beror på den valda klassbredden. Med för få eller för många klasser kommer fördelningen att vara mindre tydlig genom att det blir svårare att se tyngdpunkten och spridningen.
Inkomster för 60 slumpmässigt valda kvinnor 190 341 200 564 288 341 99 340 485 312 56 098 311 987 229 546 243 562 350 567 296 445 341 938 23 045 306 234 263 495 187 909 367 930 278 454 559 352 344 290 244 857 289 426 264 987 284 560 367 523 239 404 312 340 156 386 300 120 144 997 344 644 239 471 209 934 478 320 394 566 286 200 409 653 255 034 175 008 524 678 133 808 305 824 356 230 420 153 99 377 128 345 330 456 387 234 144 788 349 129 436 993 401 678 229 596 286 432 254 678 244 067 333 987 500 234 384 085 167 980
Figur 3.4 Lönestatistik.
32
© Studentlitteratur
Frekvenstabell 0–50 000 50 001–100 000 100 001–150 000 150 001–200 000 200 001–250 000 250 001–300 000 300 001–350 000 350 001–400 000 400 001–450 000 450 001–500 000 500 001–550 000 Över 550 000
1 3 4 5 9 11 11 7 4 2 2 1
12 10 8 6 4 2 0 0 ‐ 50'
50' ‐ 100' ‐ 150' ‐ 200' ‐ 250' ‐ 300' ‐ 350' ‐ 400' ‐ 450' ‐ 500' ‐ Over 100' 150' 200' 250' 300' 350' 400' 450' 500' 550' 550'
Kapitel 3
Sannolikhetsfördelningar
3.3 Centralmått och spridningsmått för diskreta fördelningar En stokastisk variabel är en variabel som varierar slumpmässigt. Denna kan vara diskret eller kontinuerlig. En kontinuerlig variabel kan ha alla reella tal som värde. Antalet möjliga värden för variabeln går därmed mot oändligheten. Olika sannolikhetsfördelningar för kontinuerliga variabler presenteras från och med kapitel 3.7. En diskret variabel kan bara ha räkningsbara och åtskilda värden. Ett exempel är 1, 2, 3 o.s.v. Diskreta fördelningar framställs därför som ett stapeldiagram med ett begränsat antal giltiga värden för variabeln längs den horisontella axeln. Detta såg vi ett exempel på i figur 3.1, där variabeln var antalet sålda kylskåp per dag. Denna fördelning var dock baserad på ett urval av observationer. Vi kan därför inte vara säkra på att de frekvensbaserade sannolikheterna är riktiga eller att frekvensfördelningen ger en god grund för att värdera sannolikheten för hur många kylskåp man kommer att sälja under en slumpmässigt vald dag. Låt oss då se på ett exempel, där vi kan återge den korrekta sannolikhetsfördelningen. Anta att du kastar två tärningar. Summan av de två tärningarna kan bli 2, 3, ... 12. Alla möjliga utfall visas i tabellen överst till vänster i figur 3.5. Det är ett utfall som ger 2 (1 + 1), två utfall som ger 3 (1 + 2 och 2 + 1) o.s.v. I tabellen nederst till vänster finns ett antal utfall som ger den enkla summan, uppräknad. Vi ser t.ex. att det finns 4 olika talkombinationer för de två tärningarna som ger summan 5. Tillsammans är det 36 möjliga utfall. I tabellen är också sannolikheter för varje summa beräknade. Sannolikheten för summan 2 är lika med 1/36 = 0,0278, o.s.v. Utgångspunkten för detta försök är att vi antar att vart och ett av de 36 möjliga utfallen är lika sannolika. Om vi kastar de två tärningarna t.ex. 100 gånger, har vi ett urval av observationer och kan framställa en frekvensfördelning. Om vi låter ett antal tärningskast gå mot oändligheten, kommer frekvensfördelningen att närma sig den diskreta sannolikhetsfördelningen i figur 3.5. Här ser vi att den mest sannolika summan är 7 och de minst sannolika summorna är 2 och 12.
© Studentlitteratur
33
Kapitel 3
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
Summa 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sannolikhetsfördelningar 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 7 8 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
Antal 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
p 0,0278 0,0556 0,0833 0,1111 0,1389 0,1667 0,1389 0,1111 0,0833 0,0556 0,0278
0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Figur 3.5 Sannolikhetsfördelning för resultat från kast med två tärningar.
Förväntat värde (eller väntevärdet). Om man letar efter ett okänt värde µ, gör man upprepade mätningar x1, x2, ..., xn och anger genomsnittet x för de mätningar som ett estimat för µ. Man kan också säga att man mäter på den stokastiska variabeln X och letar efter det förväntade värdet E(X). Symbolerna µ och E(X) har alltså samma betydelse. (Här står E för Expected value.) En kontinuerlig sannolikhetsfördelp ning visar sannolikheter som en kurva för en kontinuerlig variabel. Ett exempel på en symmetrisk sannolikhetsfördelning visas i figur 3.6. Vi p = 0,5 p = 0,5 kan också tänka oss att vi får denna X kontinuerliga fördelning när antalet staplar i ett stapeldiagram går mot Figur 3.6 Kontinuerlig sannolikoändligt. I figur 3.6 ser vi att det för- hetsfördelning. väntade värdet till vänster om µ är lika med 0,5 (och motsvarande till höger om µ). Vi återkommer till de kontinuerliga sannolikhetsfördelningarna i kapitel 3.7.
34
© Studentlitteratur
Kapitel 3
Sannolikhetsfördelningar
För diskreta sannolikhetsfördelningar beräknas det förväntade värdet som ett viktat genomsnitt av alla värdena med sannolikheterna som vikter. n
= E X =
P X = xi xi
(3.1)
i=1
Det förväntade värdet av fördelningen i figur 3.5 blir därmed: 1 2 3 2 1 = ------ 2 + ------ 3 + ------ 4 + + ------ 11 + ------ 12 = 7 36 36 36 36 36
Eftersom figur 3.5 visar den korrekta sannolikhetsfördelningen, kommer 7 att vara det förväntade värdet när man slår med två tärningar. Varians som beräknats på grundval av ett urval (ett begränsat antal observationer) definierades i ekvation 1.2 och givet symbolen s2. Detta är en empirisk storhet med osäkerhet. När man letar efter ett okänt, förväntat värde, är spridningen i mätningarna beroende på osäkerheten i mätmetoden. Om du vill mäta koncentrationen av bly i ett prov med fiskkött och gör upprepade mätningar på samma prov, kommer värdena att variera på grund av slumpmässiga variationer i den apparat du använder (samt hur blyet fördelar sig i olika fiskprov, handhavandet av fisken och apparaten etc.). Denna osäkerhet kan uttryckas med variansen som därmed har ett bestämt, men okänt värde. När man mäter variansen för en mätmetod och använder ekvation 1.2, kommer man att närma sig det riktiga värdet för variansen, när man låter antalet observationer gå mot oändligt eller mäter hela populationen. Denna riktiga och okända varians symboliseras med σ2. Varians definieras också för en diskret sannolikhetsfördelning och säger något om fördelningens bredd: n
Var X = 2 =
P X = xi xi – 2
(3.2)
i=1
Variansen för fördelningen i figur 3.5 kan beräknas till: 1 2 2 1 2 = ------ 2 – 7 2 + ------ 3 – 7 2 + + ------ 11 – 7 2 + ------ 12 – 7 2 = 5 83 36 36 36 36
© Studentlitteratur
35
Kapitel 3
Sannolikhetsfördelningar
Detta är alltså den riktiga variansen σ2 för kast med två tärningar. Denna kan också beräknas på de 36 möjliga utfallen. Då delas kvadratsumman: n
2
n
xi – x =
i=1
xi –
2
= 210
i=1
på n = 36, eftersom vi känner till det förväntade värdet µ = 7 och har 36 frihetsgrader kvar. (Genomsnittet x kommer att gå mot 7 när n .) Slutligen påminner vi om att standardavvikelsen beräknas som kvadratroten av variansen. I detta exempel blir σ = 2,42. Standardavvikelsen har samma dimension som den observerade storheten. Det betyder i detta fall 2,42 prickar på tärningarna. Andra centralmått. När data har samlats in, behöver man som nämnts tidigare ett värde som representerar data på ett representativt sätt. Detta kan vara genomsnittet om data har samlats in för att hitta ett okänt värde. Det kan också vara aktuellt att använda det värde som förekommer oftast. Detta är exempel på centralmått. I kapitel 1.3 definierades centralmåtten medelvärde, median och typvärde. Dessa storheter kan också beräknas för en diskret sannolikhetsfördelning. Använder vi återigen fördelningen i figur 3.5 som exempel, kan dessa centralmått beräknas på grundval av de 36 möjliga utfallen: x
= 7, 0
Median = 7
Typvärde = 7
I figur 3.5 har vi en symmetrisk fördelning. Därför kommer dessa centralmått att ha samma värde. I figur 3.7 ser vi ett exempel på en skev fördelning med data presenterade överst i figuren. En beräkning av medelvärde, median och typvärde ger: x
= 4,52
Median = 4
Typvärde = 4
Medelvärdet beräknas utifrån ekvation 1.1, medianen är den mellersta observationen och typvärdet är det värde som förekommer flest gånger. Vi ser att medelvärdet och medianen förskjuts i förhållande till varandra när fördelningen är skev. Här delar medianen fördelningen på så sätt att summan av sannolikheterna är 0,5 på varje sida. Samtidigt kommer en del observationer med extra höga värden att dra upp 36
© Studentlitteratur
Kapitel 3
Sannolikhetsfördelningar
genomsnittet. Detta ligger därför till höger om medianen i detta fall, då fördelningen är skev åt höger (med svans åt höger). 8 7 6
Summa
Antal
5
2
2
4
3
4
3
2
6
6
2
8
4
8
6
4
3
7
4
5
5
4
3
4
5
3
6
3
5
4
5
3
7
7
2
4
5
5
4
4
8
1
2 1 0 2
3
4
5
6
7
8
Figur 3.7 Exempel på skev fördelning.
Ett tydligare fall av en skev fördelning visas i figur 3.8. Här är det också markerat hur medelvärde, median och typvärde ligger till i förhållande till varandra. Typvärde
50
Median Medelvärde
40
30
20
10
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Figur 3.8 Positivt skev, diskret fördelning.
© Studentlitteratur
37
10 mm
Statistik i ett nötskal är kortfattad introduktion till statistik. Boken är heltäckande och ger läsaren färdigheter i statistikens grund läggande byggstenar: beskrivande statistik, sannolikhetslära, fördelningar, estimering och hypotesprövning, linjär regression samt icke-parameteriska metoder. Detta gör att boken blir mer än en lättsam orientering i ämnet, den ger läsare de verktyg som krävs för att använda såväl som att tolka statistik. Verktyg som kan vara själva grunden för en bra uppsats och en konkurrens fördel i ett framtida yrkesliv. Boken ger även en introduktion till viktiga statistikfunktioner i Excel. Den innehåller även många övningsuppgifter med full ständiga lösningar och Excel-lösningar finns att ladda ner på www.studentlitteratur.se
| Statistik i ett nötskal
Statistik i ett nötskal
Morten Helbæk
Morten Helbæk är docent vid högskolan i Nord-Trøndelag (Norge) och är utbildad kemist och civilekonom. Han har i många år undervisat i diverse ekonomiämnen och statistik. Han har gett ut ett flertal läroböcker på norska varav Finansmodeller i Excel (Studentlitteratur) är översatt till svenska.
Statistik
i ett nötskal
Morten Helbæk
Statistik i ett nötskal vänder sig till humanister, samhällsvetare och ekonomer, på universitets och högskolenivå, som behöver en introduktion till statistik. Boken kan även med fördel användas som en repetition inför uppsatsskrivande och som stöd under detsamma.
Art.nr 38283
www.studentlitteratur.se
978-91-44-09656-8_01_cover.indd 1
2014-06-30 14:27