AL GE BR AI SK A ST RU KT UR ER
FÖ RG YM NA SI ET
HE NR IK JA NS SO N
ALGEBRAISKA STRUKTURER
FÖR GYMNASIET
Henrik Jansson
Automatiserad teknik vilkenanvänds föratt analysera text ochdata idigital form isyfte att generera information, enligt 15a, 15b och15c §§ upphovsrättslagen(text- och datautvinning), är förbjuden.
©2024 Henrik Jansson
henjansson@gmail.com
Förlag:BoD ·Books on Demand, Stockholm, Sverige Tryck: LibriPlureos GmbH,Hamburg, Tyskland
ISBN:978-91-8080-138-6
Till Vendela
Innehåll
1Grupper
Förord
Våren 2022 fickjag infallet att undersöka om det gåratt undervisa abstrakt algebraför eleveriårskurs 1pågymnasiet. Mångaskulle nog höja på ögonbrynen ochundra hur jag tänkte där.Men sagt ochgjort: försöksgruppen bestod av elever på spetsutbildningen imatematik på Danderyds gymnasium. Då vi hade väldigt gott om tid förkursen vi egentligen skulle ägna oss åt, fanns det möjlighet att under ett par månader läggaenlektion iveckan på grundläggande gruppteori. Detvisade sig att dessa elevervar mycketväl mottagligaför detta ämne, varför jagtvå år senare, våren 2024, valde att undervisa en hel kurs iMatematikspecialisering med abstrakt algebra ochendel linjär algebra som fokus. Detta föll väldigt välut: eleversom ett drygthalvårtidigare gått igrundskolan visade fantastiskt god förmågaatt tillgodogöra sig begrepp som gruppaxiom, linjära transformationer,homomorfier ochkroppsutvidgningar.
Då jag inte tyckte det fanns någon lärobok som riktigt varanpassad försyftet, valde jag att under kursens gång skrivamin egen text. Detta resulterade i föreliggande bok som alltså är skriven med ovanstående målgrupp iåtanke.
Jagvill här passa på att riktaett storttacktill mina eleverpåspetsutbildningen på Danderyds gymnasium –utan er hade inte denna bok existerat. Jag vill också tackaKarin Saxén ochFredrik Nordlander förmöjligheten att få undervisa kursenMatematik- specialisering, samt Anders Enbom förtips till omslagsdesign.
Henrik Jansson
Åkersberga,November 2024
Inledning
Titeln på denna bok, Algebraiskastrukturer förgymnasiet,äravsiktligt vald för flera målgrupper.Ävenomtexten från början är skriven föravancerade gymnasieelever, är det författarens förhoppning att den också ska vara intressant förlärarstudenter,verksamma lärare ochvem som helstsom vill skaffasig en översiktlig bildavinledande abstrakt algebra.
Förkunskaperna har medvetet hållits på en minimal nivå. Den som har läst Matematik 1&21,och som är bekant med mängder,kongruensräkning och permutationer från Matematik -fördjupning2 har goda förutsättningar att tillgodogöra sig materialet. Fördesom inte lästMatematik -fördjupning finns en kort sammanfattning av dessa begrepp iBilagaA,där man också kan hitta en lite merformell introduktion till funktionsbegreppet än vadsom gesi gymnasiekurserna. Särskilt funktionssammansättning är bra att ha en hyfsad förståelse för innan man gersig på gruppteori, men så mycketmer än så krävs egentligen inte föratt förstå grunderna om algebraiska strukturer.Påett fåtal ställen förutsätts grundläggandetrigonometrifrån Matematik F13,komplexa tal från Matematik F24 samt induktion från Matematik -fördjupning, men det allra mesta gåratt följa ochförstå utan dessa begrepp.
Ikapitel 1kommer läsaren få en introduktion till gruppbegreppet. Detta liggertill grund förmycketi fortsättningen av boken ochvisar hur man kan bygga uppenmatematisk teoriutifrån ettlitet antal axiom (närmare bestämt tre stycken). Det är författarens ambition att manska få möjlighet att ägna sig åt lite
1Detta syftar här på Matematiknivå1 &2 iGy25.
2Tidigare Matematik 5.
3Matematikfortsättning nivå1 (tidigare Matematik 3)
4Matematik fortsättning nivå 2(tidigare Matematik 4)
mer formell matematik än vadsom gesnågot större utrymme idevanligagymnasiekurserna. Men föratt ämnet inte ska bli alltför abstrakt kommer mycket introduceras genom exempel, samt övningsuppgifter som med jämna mellanrum är insprängda itexten. Tanken med dessa övningsuppgifter (kallade ”övningar”) är att de helstska genomföras innan man gårvidare itexten –deärenkoll på att manhar förstått de grundläggande idéerna, ochibland gerdeläsaren möjlighet att fylla idetaljer inågot resonemang. Islutet av varjekapitel finns ytterligare övningsuppgifter (kallade ”uppgifter”) av blandad svårighetsnivåsom t.ex. kangöras mellan lektionerna som extra övning eller fördjupning. Till en del övningsuppgifter finns tips ienbilaga– dessa är markerade med (T).
Föratt det ska vara lättare att hitta itexten ochveta vadsom är vad, är delaravtexten markerade på följande sätt:
Exempel 0.1
Exempel hittas inramade.
Övningar är markerade med Ö ochärnumrerade löpande genom hela boken.
Definition 0.1. Definitioner är givna igrå rutor.
Sats 0.1. Satser är skrivna med kursiv text irutor med skugga.
Bevis avslutas med högerställd fyrkant:
Med detta sagt önskar författaren trevlig läsning!
Algebraiskastrukturerför gymnasiet är primärtavseddför Matematik specialisering på gymnasiet, menkan ocksåvararelevantför lärarstudenter, verksammalärareoch vemsom helstsom vill skaffa sig en grundläggandeförståelseför abstrakt algebra. Iförstakapitletfår läsarenenintroduktiontillgruppbegreppet. Detta ligger till grundför mycket ifortsättningenavboken ochvisar hur mankan byggaupp en matematisk teoriutifrån ettlitet antalaxiom. Detärförfattarensambitionatt möjlighetska finnas attägnasig åt lite merformell matematikänvad somges någotstörreutrymme ide vanligagymnasiekurserna. Menför attämnet inte skabli alltför abstrakt introduceras mycket genomexempel ochövningarsom med jämnamellanrum är insprängda itexten. Islutetavvarje kapitelfinns dessutomett antalextra uppgifterför repetition ochfördjupning.
Bokeninnehållerfullständigalösningar till de drygt180 övningsuppgifterna.
Henrik Janssonärutbildadmatematiker vidGöteborgs universitet ochMichiganState University.Han harävenenfil kand ifysik från Uppsalauniversitet ochenlärarexamen från Stockholms universitet. Sedan2017arbetar Henrik somlärarepåDanderyds gymnasiumdär hanbland annatundervisarpåspetsutbildningen imatematik.
