matematik
Attila Szabo
Niclas Larson
Daniel Dufåker
Roger Fermsjö
nivå
1b/1c vux
Smakprov!
Innehåll
Gemensam bok
2 Algebra
1.1 Tal i olika former 8
Talmängder 8 Negativa tal 9 Bråk 12
Addition och subtraktion av bråk 15
Multiplikation och division av bråk 17
Tal i decimalform 20
1.2 Räkneregler för potenser 25
Potenser med positiva heltalsexponenter 25
Potenser med negativa exponenter och med exponenten noll 29 Potenser med rationella tal i exponenten 33
1.3 Prefix och prioriteringsregler 37
Prefix 37 Prioriteringsregler 41
Tankekarta 45
Programmering:
Gissa ett tal 46
Kvadratrötter 47
Uppslaget 48
Historia: Talsystem genom historien 50
Blandade uppgifter 52
Kapiteltest 54
Nya ämnesplanen
Innehållet i Matematik
Origo nivå 1b/1c vux är anpassat efter ämnesplanen som träder i kraft 2025.
2.1 Algebraiska uttryck 58
Teckna och tolka uttryck 58 Förenkla uttryck 62
Multiplikation av uttryck i parenteser 66
Faktorisera uttryck 70
Eleverna kan jobba i samma bok oavsett om de läser nivå 1b eller nivå 1c. Avsnitt som endast hör till nivå 1b är märkta med 1b och avsnitt som endast hör till nivå 1c är märkta med 1c
2.2 Ekvationer 72
Ekvationslösningens grunder 72
Mer om ekvationer 76 Ekvationer med nämnare 79
Problemlösning med ekvationer 82
2.3 Potensekvationer och olikheter 87
Enkla andra- och tredjegradsekvationer 87
Potensekvationer 91 Olikheter 95
2.4 Formler och talföljder 100
1b Att använda formler 100 1c Att använda formler 104 Formler i kalkylprogram 108 Mönster och formler 113 Aritmetiska talföljder 117
Programmering: Fibonaccis talföljd 121 Uppslaget 122 Historia: Fibonaccis talföljd 124
3 Procent
3.1 Procentuella förändringar 134
Procent, promille och ppm 134
Förändringsfaktor 139 Upprepade procentuella förändringar 144 1b Index och KPI 149
3.2 Privatekonomi i kalkylprogram 153
Sparande och ränteberäkningar 153 Lån och ränteberäkningar 157
Programmering: Perfekta tal 162
Historia: Procenttecknet och Big Mac-index 163 Uppslaget 164
4
Samband och funktioner
4.1 Linjära samband 176
Koordinatsystem 176 Linjära modeller 179
Proportionalitet 184
1c Mer om proportionaliteter 189
4.2 Räta linjens ekvation 193
Från ekvation till graf 193 Från graf till ekvation 196
Räta linjens ekvation i k-form och i enpunktsform 202
Parallella och vinkelräta linjer 206
4.3 Funktioner 212
Funktion och funktionsvärde 212
Ekvationslösning med grafritande hjälpmedel 217
Definitionsmängd och värdemängd 222
Exponentialfunktioner 226 Potensfunktioner 232
Uppslaget 238
Historia: Kryptering
Blandade uppgifter
5 Statistik och sannolikhet
5.1 Statistiska undersökningar 250
Felkällor inom statistik 250 Felmarginal och signifikans 256 Korrelation och kausalitet 263
5.2 Enkla slumpförsök 270
Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 270
Sannolikhet som relativ frekvens 274
5.3 Slumpförsök i flera steg 279
Produktregeln 279 Träddiagram 284
Komplementhändelse 290
Programmering: Slumpförsök med tärningar..
Historia: Sannolikhetslära och spel
6 Trigonometri och vektorer
6.1 Trigonometri
Likformiga trianglar 310 Tangens för en vinkel 314
Sinus och cosinus 318 Att bestämma vinklar med hjälp av inversa funktioner 322 Att bestämma sträckor och vinklar i koordinatsystem 325
6.2 Vektorer 328
Vektorer och skalärer 328 Räkneoperationer med vektorer 334 Subtraktion av vektorer 337
Vektorer i koordinatform 340 Längden av en vektor 346
Approximera π
Trigonometri och planeter
Ledtrådar
Register
Nyhet!
Ledtrådar finns nu till vissa uppgifter. De hjälper eleverna att komma igång när de kört fast och är en bra resurs vid enskilt arbete hemma.
3
Procent
3.1 Procentuella förändringar
3.2 Privatekonomi i kalkylprogram Delkapitel
Förkunskaper
■ Tal i bråk- och decimalform
■ Grundläggande procentberäkningar
■ Ekvationslösning
■ Potenser med heltalsexponenter
■ Avrundning
Centralt innehåll
■ Begreppet förändringsfaktor och beräkning av förändringar i flera steg.
■ Begreppet index.
■ Exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder. 1b
■ Användning av kalkylprogram för beräkning av ränta och amortering.
Inledande uppgift
De inledande uppgifterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om och utmanar deras resonemangs- och problemlösningsförmåga.
Procenträkning förekommer överallt i samhället. Till exempel uttrycker man valresultat, löneökningar, rabatter, moms och räntekostnader i procent. Förr kallade man till och med en person som lånade ut pengar mot orimligt hög ränta för procentare. Även om det ordet inte längre används, möter vi i dag ständigt erbjudanden om avbetalningsköp och snabba lån. Efter att du har arbetat med det här kapitlet kommer du att bättre kunna avgöra om räntan i sådana erbjudanden är rimlig.
I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att du kan
u använda begreppen procent, promille och ppm
När du är klar med kapitlet ska du kunna
u utföra beräkningar med förändringsfaktor
u hantera upprepade procentuella förändringar med förändringsfaktor
u tolka och använda begreppet index
Du ska kunna
u beräkna ränta och amortering med hjälp av kalkylprogram 1b
Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Procentfunderingar
Priset på en spikmatta höjs från 400 kr till 500 kr. Därefter sänks priset från 500 kr tillbaka till 400 kr.
u Hur stor var prishöjningen i procent?
u Är den procentuella prishöjningen större än, mindre än eller lika stor som prissänkningen? Motivera ditt val.
u Gör om undersökningen men låt prisförändringen vara ett annat antal kronor. Vad kan du dra för slutsats?
Ungdomar och procent
I Umeå kommun var år 2023 ca 39 % av invånarna under 30 år. I Stockholms län var motsvarande andel bara 35 %.
u Informationen här ovanför är riktig. Trots det bor det fler personer under 30 år i Stockholms län än i Umeå. Hur kan det komma sig?
u Det bodde 2 455 914 personer i Stockholms län i slutet av år 2023. Hur många av dessa var under 30 år?
u Befolkningen i Stockholms län ökade med ca 0,4 % under år 2023. Man antog att folkmängden skulle fortsätta att öka med 0,4 % varje år under de kommande nio åren. Med hur många procent har då befolkningen ökat från slutet av år 2022 till slutet av år 2032?
u Behöver man veta hur stor befolkningen var i slutet av år 2022 för att kunna svara på föregående fråga? Motivera ditt svar.
2.4 Formler och talföljder
Att använda formler
Formler används i många olika sammanhang, till exempel inom ekonomi, statistik och teknik. En formel som du kanske känner igen är
v = s t
Den formeln kan man använda för att beräkna medelhastigheten v km/h hos en bil som färdats s km på t timmar.
Lösa ut en variabel Vill man använda formeln för att beräkna den sträcka som bilen färdas om man kör i 80 km/h under 3,5 timmar, kan man börja med att skriva om formeln så att man får variabeln s ensam i ena ledet. Det kallas för att lösa ut s
Teori och exempel
v = s t För att få s ensamt multiplicerar vi båda leden med t
v · t = s t · t Vi förkortar och låter sedan leden byta plats
s = v · t
Nu när vi har löst ut s ser vi att sträckan beräknas som hastigheten gånger tiden. Vi beräknar sträckan som bilen färdats genom att sätta in v = 80 km/h och t = 3,5 h i formeln
s = v · t = 80 km/h · 3,5 h = 280 km
Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar. I samband med exemplen finns ibland kortfattade instruktioner till hur man använder ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra.
Ekvation med flera obekanta En formel är en likhet som beskriver ett samband mellan två eller flera storheter, i det här fallet sambandet mellan hastighet, sträcka och tid. Eftersom en formel är en likhet, säger man ibland att det är en ekvation med flera obekanta (i det här fallet s, v och t).
Exempel: Ränta kan beräknas med formeln r = K · p · t, där r är räntan i kronor, K är det innestående kapitalet i kronor, p är räntesatsen i decimalform och t är tiden i år.
Juanita har satt in 3 850 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 1,4 %. Hon tar ut pengarna efter ett halvt år. Hur stor blir räntan?
Lösning: Vi vet att K = 3 850 kr, p = 1,4 % = 0,014 och t = 1 2 år. Insättning i formeln ger:
r = K · p · t = 3 850 · 0,014 · 1 2 kr = 26,95 kr
Svar: Räntan blir 26,95 kr.
Nivå 1
Exempel: a) Lös ut x ur 16 = 2x + 6
b) Lös ut a ur O = 2a + 2b
Lösning: Vi löser uppgifterna parallellt för att kunna jämföra lösningarna .
a) 16 = 2x + 6
16 − 6 = 2x + 6 − 6
2x = 10
2x 2 = 10 2
x = 5
b) O = 2a + 2b
O − 2b = 2a + 2b − 2b
2a = O − 2b Vi dividerar med 2
a = O − 2b 2 Vi har löst ut a
Exempel: Ansgar kör på E4:an med hastigheten 105 km/h. Han ser en skylt med texten JÖNKÖPING 147. Eftersom Ansgar vet att det är motorväg ända fram, räknar han med att hålla samma hastighet hela tiden. Hur länge dröjer det innan Ansgar är framme i Jönköping?
Lösning: Vi vet att formeln för att beräkna hastighet är
v = s t Medelhastigheten beräknas som sträckan dividerat med tiden
Vi löser ut t för att besvara frågan.
v · t = s t · t Vi multiplicerar båda led med t och förkortar
v · t v = s v Vi dividerar båda led med v och förkortar
t = s v Tiden beräknas som sträckan genom medelhastigheten
t = 147 km 105 km/h = 1,4 h = 1 h 24 min v = 105 km/h, s = 147 km
Svar: Det tar 1,4 h, alltså 1 timme och 24 minuter, för Ansgar att köra den återstående sträckan.
2401 I början av 2000-talet kunde kostnaden K kr för ett telefonsamtal till det fasta nätet beräknas med formeln K = 0,23t + 0,45, där samtalet varade i t minuter.
a) Hur mycket kostade ett samtal som pågick i 12 minuter?
b) Hur länge kunde man prata för 5 kr?
Enklare ingångar Den nya upplagan innehåller fler enkla inledande uppgifter för att bättre möta elevernas förkunskaper.
2402 En akties värde ges av formeln
y = 178 · 1,18t, där y kr är aktiens värde t år efter inköpet.
a) Hur mycket var aktien värd efter 3 år?
b) Hur mycket kostade den när den köptes, alltså då t = 0?
2403 Lös ut x ur ekvationen
a) 2x = y b) x − 4 = a c) 3x + 7 = 3m
3137 Vid den senaste löneförhöjningen ökade
Faridas timlön från 104 kr till 115 kr.
a) Vilken är förändringsfaktorn för löneökningen?
b) Med hur många procent ökade hennes lön?
3138 En spelbutik rear ut förra årets spel. För att beräkna reapriset multiplicerar man alla priser med 0,7. Ulrika skriver på en skylt att det är 70 % rea på alla spel från förra året. Har hon skrivit rätt eller fel på skylten?
Motivera ditt svar.
3139 En tröja har kostat 1 300 kr. Affären höjer först priset med 25 % för att sedan sänka det med 20 %. Vilket eller vilka alternativ visar priset efter de två prisförändringarna?
A 1 300 · 0,25 · 0,20
B 1 300 · 1,25 · 1,20
C 1 300 + 1,25 − 0,80
D 1 300 · 1,25 · 0,80
3140 En klädbutik rear ut alla sina varor vid en så kallad säsongsrensning. Priset på alla kläder ska sänkas med 25 %.
a) Vilken förändringsfaktor ska man multiplicera de ordinarie priserna med för att få reapriset?
b) Efter ytterligare några dagar sänker man priset med ytterligare 20 %. Vad blir det nya priset för en tröja som från början kostade 450 kr?
3141 En aktie värd 340 kr ökar i värde med 10 % under en dag och minskar i värde med 10 % under nästa dag. Hur mycket är aktien värd efter dessa två dagar?
3142 En biobiljett kostar olika mycket i olika länder. Priset för en biobiljett i Indien motsvar 4 euro och i Schweiz 17,5 euro. Hur många procent dyrare är en biobiljett i Schweiz jämfört med i Indien?
Nivå 2
3143 Momsen på livsmedel är 12 %. En matkasse kostar 398 kr med moms. Vad skulle matkassen ha kostat utan moms?
3144 En moped säljs med 15 % rabatt för 7 225 kr. Vad kostade mopeden utan rabatt?
Öppna uppgifter
3145 Vilken blir den totala prisändringen i procent om man
a) höjer priset med 10 % två gånger efter varandra
En färgad ruta signalerar att uppgiften är öppen. Det innebär att den inte har ett givet svar och många gånger kräver en matematisk diskussion.
b) först höjer priset med 5 % och sedan sänker det med 8 %
c) sänker priset med 3 % två gånger efter varandra
3146 Skriv en text till en uppgift som kan lösas med följande beräkning:
1 700 · 1,20 · 0,70
3147 Diagrammet visar hur mycket personer i åldrarna 16–65 år tittar på rörlig bild.
per dygn och person
Linjär tv Onlinevideo Övrigt
a) Hur mycket har tittartiden ökat i procent från år 2015 till 2019?
b) Med hur många procent har tittartiden på onlinevideo ökat mellan år 2015 och 2019?
3148 Värdet på Ainos aktier minskar med en fjärdedel under ett år. Året efter ökar värdet med en åttondel. Med hur många procent har värdet förändrats efter de två åren?
3149 Skriv en formel som uttrycker att a är 20 % mer än b.
3150 En hyresrättsförening har valt att installera laddstolpar för elbilar. För att finansiera laddstolparna kommer hyran att höjas med 300 kr per månad. Året därpå tillkommer en hyreshöjning på 2,1 procent. Den nya hyran blir efter de bägge höjningarna 6 340 kr/mån. Hur stor var den ursprungliga hyran före höjningarna?
3151 Enligt en enkel modell minskar värdet av en ny bil med 20 % per år. Anton räknar ut att hans två år gamla bil är värd 236 800 kr enligt denna modell. Hur mycket kostade Antons bil när den var ny?
3152 I en rektangel ökar längden med 30 % och bredden med 40 %.
a) Med hur många procent ökar rektangelns area?
3153 Antalet besökare på en hemsida ökar med lika många procent per år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent om den totala ökningen var 40 % under tvåårsperioden.
3154 Omsättningen på den svenska spelmarknaden var år 2017 ca 17,2 miljarder kronor. År 2019 hade omsättningen ökat till ca 24,8 miljarder kronor. Hur många procent hade omsättningen ökat i genomsnitt per år mellan 2017 och 2019?
3155 Världsmarknadspriset på råolja ökade under en tvådagarsperiod med sammanlagt 3 %. Under den första dagen ökade priset med 5 %. Hur ändrades priset under den andra dagen?
Nivå 3
3156 Med hur många procent måste man öka radien i en cirkel, för att cirkelns area ska öka med 50 %?
3157 Värdet på en tavla ökade under ett år med a procent. Året därpå minskade värdet med a procent.
Uppgifter på tre nivåer Till varje avsnitt finns varierade uppgifter på tre nivåer, både för den elev som behöver enkla ingångar och för den elev som behöver utmaningar.
b) Med hur många procent skulle rektangelns area öka om i stället längden ökar med 40 % och bredden med 30 %?
a) Visa att förändringsfaktorn som beskriver den totala värdeförändringen kan skrivas
1 – a2 10 000
b) Bestäm a om tavlans värde efter dessa två år totalt minskat med 20 %.
1180 Fredrik löser följande uppgift från läroboken:
”Beräkna arean av ett rektangulärt område med måtten 13,9 m × 9,1 m och ange resultatet med lämpligt antal värdesiffror.”
Nivå 3
Gissa ett tal
Här nedanför ser du ett program skrivet i programspråket Python 3.
Fredrik beräknar arean till 126,49 m2, men i facit står det 130 m2.
skriver ut text eller värdet på variabler
a) Förklara varför hans resultat inte överensstämmer med det som står i facit.
while upprepar en bit kod så länge ett villkor är uppfyllt
b) Vilket resultat är korrekt? Motivera ditt svar.
if, elif, else
1181 Mätetalet 72 000 kan vara angivet med olika antal värdesiffror.
utför en bit kod endast om ett visst villkor är uppfyllt
a) Hur många värdesiffror kan det finnas i 72 000?
!=
betyder ”ej lika med” (≠)
b) Ange exempel från verkligheten till de olika möjligheterna ovanför med respektive antal värdesiffror.
antal_gissningar = antal_gissningar + 1 print("Rätt! Det framslumpade talet var", tal) print("Du behövde", antal_gissningar, "gissningar.")
1182 I en mattverkstad vill man bygga en rektangelformad vävram med måtten 2,60 m × 5,80 m av fyra plankor. Felmarginalen blir ±1 cm när man sågar plankorna. En felmarginal på ±1 cm innebär att varje planka kan bli 1 cm kortare eller längre jämfört med den önskade längden. Bestäm skillnaden mellan vävramens minsta och största area med lämpligt antal värdesiffror
1 Kör programmet ett par gånger. Vad gör det?
1183 Farbror Jan har en gammal grammofon. På skivtallriken placerar han en spelpjäs, så att det ska vara lättare att se hur skivan rote rar. Du får till uppgift att bestämma hur lång tid det tar för tallriken att snurra ett varv. Genom att titta på rotationen, uppskattar du att ett varv tar drygt en sekund. Farbror Jan tycker om siffror och vill att du bestämmer rotationstiden med tre värdesiffror. Som hjälp har du ett tidtagarur som räknar hundradels sekunder. Beskriv hur du kan gå till väga för att lösa uppgiften.
import random tal = random.randint(1,100) gissning = int(input("Gissa talet som datorn slumpat fram:")) antal_gissningar = 1 while gissning != tal: if gissning < tal: gissning = int(input("För litet! Gissa igen.")) elif gissning > tal: gissning = int(input("För stort! Gissa igen."))
2 Förklara vad varje del av programkoden gör.
3 Kör programmet 10 gånger. Notera hur många gissningar du behöver varje gång.
4 Hur många gissningar behövde du i genomsnitt?
1184 I chokladaskarna som Dennis och Mao köper finns en rabattkupong. Om man samlar 10 kuponger, får man en likadan chokladask gratis. Dennis säger att varje sådan ask med kupong egentligen är värd 1,10 askar, men Mao säger att varje ask är värd 1,11 sådana askar.
5 Oskar säger att han aldrig behöver mer än 7 gissningar för att gissa rätt tal. Det visar sig att det stämmer. Kan du komma på hur Oskar gör?
a) Hur kan Dennis resonerat? b) Vem har rätt? Motivera ditt svar.
Resonemang och begrepp
Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp.
6 Hur många gissningar behöver man som mest med Oskars strategi, om talet ligger mellan a) 1 och 1 000 b) 1 och 10 000
u Vilka olika betydelser kan minustecknet ha? Resonemang och begrepp
Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder dem att samtala om matematik.
u Hur många reella tal finns det mellan 3 och 5?
7 Vad finns det för samband mellan det högsta antalet gissningar som behövs och potenser med basen 2?
upprepar en bit kod ett angivet antal gånger
Kvadratrötter
I den här aktiviteten får du skriva program som beräknar ett närmevärde till kvadratroten av ett positivt tal.
För att beräkna ett närmevärde till kvadratroten ur 2 kan man först göra en gissning och därefter använda följande formel:
Nästa värde = gissning + 2/gissning 2
Nästa värde kommer att vara ett bättre närmevärde till √2 än gissningen. Genom att sätta in detta Nästa värde som gissning i formeln, får man ett ännu bättre närmevärde. Man kan sedan upprepa proceduren tills man får ett så bra närmevärde till √2 som man önskar.
Programmeringsaktiviteter
Till nästan varje kapitel i Matematik Origo nivå 1b/1c vux finns en eller flera programmeringsaktiviteter.
Programmet här nedanför är skrivet i programspråket Python 3. Det ger först variabeln gissning värdet 1,5. Sedan ger det instruktion om att koden på följande tre rader ska upprepas tre gånger. Dessa tre rader skapar en ny variabel nästa_värde, ger den ett värde närmare √2 enligt formeln här ovanför och skriver därefter ut det värdet. Slutligen ges variabeln gissning samma värdet som nästa_värde innan koden upprepas.
Där får eleverna se exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid till exempel problemlösning.
gissning = 1.5 for i in range(3): nästa_värde = (gissning + 2/gissning)/2 print(nästa_värde) gissning = nästa_värde
6 Ändra i programmet så att det i stället ger ett närmevärde till √3 . print skriver ut text eller värdet på variabler for
1 Skriv in och kör programmet. Kontrollera att de utskrivna värdena närmar sig √2 .
2 Ändra i programmet så att den första gissningen är mindre än √2 . Kör programmet och kontrollera att de utskrivna värdena även nu närmar sig √2
3 Ändra i programmet så att programmet skriver ut tio närmevärden till √2 . Med hur många korrekta värdesiffror ger det √2 ?
4 Hur många upprepningar krävs för att (den usla) gissningen 100 ska ge √2 med lika många korrekta värdesiffror som det tionde närmevärdet i uppgift 3?
5 Förklara varför formeln ger ett värde som är närmare √2 än vad gissning är. (Ledtråd: Formeln beräknar medelvärdet av två tal.)
Rätt eller fel?
Värdet av 2n + 3 är alltid större än värdet av n + 3.
a2 är alltid ett positivt tal, oberoende av värdet på a
Ekvationen 4x = x saknar lösningar.
Det finns ekvationer som har oändligt många lösningar.
Ekvationen x + 1 = x + 2 saknar lösningar.
Rätt eller fel?
I Rätt eller fel? får eleverna tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.
Kvadratroten ur 121 är ± 11.
Om du dividerar båda sidorna i en olikhet med samma tal, så måste du vända på olikhetstecknet.
−2, 0, 2, 4, 6, … är en aritmetisk talföljd.
Figuren visar talen som uppfyller olikheten
2x + 1 ≥ −5
Undersök
Klubbstugan
En förening har en klubbstuga med 30 sängplatser, vackert belägen vid en sjö. På föreningens hemsida kan man läsa att stugan hyrs ut för 2 000 kr per dygn med ett tillägg på 150 kr per gäst. Där vill man också lägga ut en kalkylator som snabbt beräknar kostnaden om man knappar in antalet nätter och gäster.
u Hjälp föreningen genom att ange vilka formler som ska stå i cell B3−B5. Testa gärna dina formler i ett kalkylprogram.
1 Antal gäster
2 Antal nätter
3 Total summa
4 Total summa per gäst
5 Total summa per natt för varje gäst
Omvänd sifferföljd
u Välj ett tvåsiffrigt tal 59
u Kasta om ordningen mellan siffrorna 95
u Bilda differensen av de två talen 95 − 59 = 36
Undersök
u Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa proceduren. Vilket mönster ser du?
Under rubriken Undersök finns undersökande och utmanande uppgifter. Här får eleverna träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt.
u Visa att mönstret du ser gäller för alla tvåsiffriga tal. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal kan skrivas 10a + b, där a och b är ensiffriga heltal och a ≠ 0.
Problemlösning och modellering
Mount Everest − världens tak
”Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner.”
Citatet är från Rob Hall, som omkom år 1996 på världens högsta berg Mount Everest, efter att ha bestigit toppen för sent på eftermiddagen. Regeln är att inte nå toppen senare än klockan 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära toppen, vilket är väldigt riskabelt.
Man kan dela in berget i olika zoner:
Zon I: Upp till 3 600 m
Zon II: 3 600 till 5 500 meter
Baslägret ligger på 5 200 m.
Zon III: 5 500 till 7 000 meter
Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möjligt att befinna sig på dessa höjder endast under kortare tider.
Zon IV: Över 7 000 meter
Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna höjd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klättring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m.
u När behöver man lämna läger 4 för att inte nå toppen för sent?
u Skriv ett numeriskt uttryck för höjdskillnaden mellan toppen av Mount Everest och baslägret.
Problemlösning och modellering
u Lufttrycket ändras med höjden över havet enligt formeln p = 1 013 · 2,72 h 8,6 där p är lufttrycket i millibar och h är höjden över havet i kilometer. Beräkna lufttrycket vid toppen av Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan.
På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering
u Vilken genomsnittlig hastighet i höjdled har en klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen?
u En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att det tar lika lång tid att ta sig ner till läger 4 som att ta sig upp. Skriv en formel för höjden y meter som klättraren befinner sig på efter x minuter.
u Hitta på en egen formel utifrån texten. Formulera ett problem där formeln kan användas. Låt en kamrat lösa problemet.
Definitionsmängden för en funktion behöver inte alltid vara tal utan kan, som här, t.ex. vara bokstäver.
Klartext Kryptotext f
Kryptering
Hemlig skrift
Ordet kryptering kommer från grekiskans krypto som betyder dölja. Behovet av att kryptera information man skickar, genom att skapa hemlig skrift, har alltid varit stort. Ofta är ett krypterat meddelande arrangerat så att varje bokstav i klartexten, alltså den okrypterade texten, byts ut mot en annan bokstav. Det kallas för ett substitutionskrypto. Ett sådant omnämns redan i Julius Caesars skildring av sitt fälttåg i Gallien. Han lät bokstäverna i alfabetet förskjutas ett visst antal steg. En förskjutning med två steg gav exempelvis ett C i stället för A och ett F i stället för D. Den här formen av krypto kallas därför ofta för ett Caesarkrypto.
Historia
I avsnittet Historia sätter vi matematiken i ett historiskt sammanhang och lyfter fram hur den används i samhälle och vetenskap.
Den regel som används för att överföra en klartext till en kryptotext är ett exempel på en funktion. För funktionen som beskriver kryptotexten här ovanför gäller exempelvis att f(A) = C och f(D) = F. För att avkryptera meddelandet används en omvänd funktion (invers), f −1, som kallas nyckel. Den omvända funktionen visar vad varje bokstav i kryptotexten ska ersättas med för att få klartexten. Exempelvis gäller för den omvända funktionen att f −1(C) = A och f −1(F) = D.
Om man flyttar om bokstäverna i stället för att förskjuta dem, har man fått ett transpositionskrypto. Ett exempel på ett sådant är brädgården. Där skriver man meddelandet på två rader med varannan bokstav på övre och varannan på undre raden. Sedan sätter man ihop övre och undre raden efter varandra. Om meddelandet som ska krypteras är ”vi anfaller i gryningen” så blir det krypterat ”vafleirnneinalrgyign”.
Rad 1 v a f l e i r n n e
Rad 2 i n a l r g y i g n
Krypteringsmaskiner
TGIPGV UVÖT UQO URBP K DCEMGP ?
Försök att lista ut Caesarkoden. Ge en algoritm och en nyckel för att få klartext.
HMITEDLNEELGMDEAD ?
Tyd meddelandet som är ett brädgårdskrypto.
Genom århundradena har allt mer komplicerade krypton tagits fram, men det har också utvecklats allt mer avancerade metoder för att knäcka koderna. Under 1900-talet tillverkades maskiner för att underlätta krypteringen. En känd sådan krypteringsmaskin är Enigma. Det var den som gav den tyska armén en mycket svårforcerad kod under andra världskriget. Enigmakoden knäcktes till slut av matematiker och detta hade stor betydelse för slutfasen av de allierades seger. I dag krypteras stora mängder information med hjälp av datorer. Det är exem pelvis tack vare den krypteringen som vi kan betala för saker via nätet utan att någon utomstående kommer åt våra betalningsuppgifter.
Tankekarta
Vi sammanfattar innehållet
i kapitlet i en tankekarta. Det ger möjlighet att repetera kapitlets viktiga begrepp och schematiskt visa hur de hör ihop.
Koordinatsystem
u x-axel och y-axel
u origo
u fyra kvadranter
u en punkts läge beskrivs av två koordinater (x, y)
Samband och funktioner
Linjära funktioner
u räta linjens ekvation i k-form: y = kx + m
allmän form: ax + by + c = 0
u riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning
u parallella linjer, k1 = k2
u vinkelräta linjer, k1 k2 = -1
u konstanttermen m anger linjens skärning
med y-axeln
u förstagradsfunktion
u grafen är en rät linje
u proportionalitet: y = kx
u linjära modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar i jämn takt
4
Funktion
u samband
u regel
u oberoende och beroende variabel
u definitionsmängd och värdemängd
u funktionsuttryck
Representation av funktioner
u funktionsuttryck
u ekvation
u graf
u värdetabell
Exponentialfunktioner
u f(x) = Cax
u variabeln x är i exponenten
u a > 1 0 < a < 1
y x y x
u exponentiella modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar med lika många procent
Potensfunktioner
u f(x) = Cxa
u variabeln x är bas i en potens
u proportionaliteter: y = kx, y = kx2 ,
y = k 1 x , y = k 1 x2
27 En bagare vill räkna ut vad det kostar att tillverka en chokladboll. I kostnaden räknar bagaren in en arbetskostnad samt kostnaden för ingredienserna. En stor chokladboll som väger 80 g kostar då totalt 8 kr att tillverka.
29 Sannolikheten att få en vinstlott i ett lotteri är 1/10. Hur stor är sannolikheten att du får minst en vinstlott om du köper 10 lotter?
30 Använd figuren och beräkna utan digitalt hjälpmedel
Blandade uppgifter
Många kunder tycker att en sådan chokladboll är för stor. Därför har bagaren även börjat göra små chokladbollar. En liten chokladboll väger 45 g och kostar totalt 6 kr att tillverka.
Bagaren räknar med att det är samma arbetskostnad att tillverka en stor chokladboll som att tillverka en liten chokladboll. Bestäm arbetskostnaden för en chokladboll.
I Blandade uppgifter finns extra övningsuppgifter till kapitlet. Här får eleverna öva på samtliga begrepp och metoder, utan någon inbördes ordning. En nyhet i den här upplagan är att uppgifterna är hämtade både från det aktuella kapitlet, och från de föregående kapitlen i boken.
(Np Ma 2c ht 2012)
28 Vilken eller vilka av informationspunkterna (1) och (2) behöver du för att kunna avgöra om de två vektorerna › v1 och › v2 är lika? Välj bland alternativen A−E.
(1) › v1 och › v2 har samma längd
(2) › v1 och › v2 är parallella
A (1) men inte (2)
B (2) men inte (1)
C Både (1) och (2) räcker var för sig
D (1) och (2) tillsammans
E (1) och (2) räcker inte för att lösa uppgiften
√3 1 30° 60° 2 a) sin 30° b) cos 60° c) arcsin √3 2 d) arccos √3 2
31 Visa att cirkelns area upptar π 8 av rektangelns area. x x 2
32 ABCD är en parallellogram där AB är parallell med CD. Är det sant att › AD − › AB = › BD? Motivera ditt svar.
Kapiteltest
Del 2 Med digitalt hjälpmedel
9 Från en stad med fyra gymnasieskolor ska man skicka 25 elever till en miljökonferens. Antalet elever vid skolorna är 372, 912, 217 och 632. På vilket sätt ska man göra urvalet?
10 För att få reda på vad passagerarna tyckte om servicen, lämnade ett flygbolag ut en enkät till 800 personer. Av de 336 personer som besvarade enkäten tyckte 188 personer att servicen var bra eller mycket bra. Mellan vilka värden skulle resultatet kunnat ligga om alla tillfrågade hade besvarat enkäten?
11 Sannolikheten att träffa en måltavla vid luftgevärsskytte är 0,7. Beräkna hur stor sannolikheten är att få två träffar och en miss på tre skott.
12 Ett läxförhör består av fem frågor. Varje fråga har tre svarsalternativ varav ett är rätt. Beräkna sannolikheten för att åtminstone få ett rätt om man bara chansar.
13 Roulett är ett hasardspel där en kula faller ner i ett av 37 fack i ett snurrande hjul. Facken är numrerade från 0 till 36. Tre personer spelar roulett och satsar en mark var per spelomgång. Spelare A satsar på nummer 17. Spelare B satsar på fyra nummer och spelare C satsar på att det ska bli ett udda nummer. Alla tre har betalt lika mycket för sin spelmark.
Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med och en del utan digitalt hjälpmedel.
u Beräkna de tre sannolikheterna för att spelare A, B respektive C vinner. u Borde vinsten bli lika stor för de tre spelarna? Motivera ditt svar.
Putte har funderat länge på hur man kan kamma hem storvinsten från kasinot. Han vet att om man satsar på rött och vinner, så får man tillbaka dubbla insatsen. Han säger att om man använder sig av följande strategi så kommer man alltid att vinna i längden.
Satsa lägsta möjliga insats så länge som du vinner och dubbla insatsen varje gång du förlorar ända tills du vinner igen. Genom dubbleringen så vinner du tillbaka allt du har förlorat när du vinner nästa gång. Efter varje vinst börjar du om och satsar den lägsta möjliga insatsen igen.
u Putte testar sin teori. Han satsar minsta insatsen 10 kronor på rött och tänker sedan dubbla ända tills han vinner. Vilken är sannolikheten att han vinner innan han gjort av med de 1 000 kronor han har med sig till kasinot?
u Är det troligt att Putte kommer att bli miljonär genom att använda sig av sin strategi? Motivera ditt svar.
Ledtrådar
1 Tal
1.1 Tal i olika former
1145 Börja med att förlänga 3 8 till sextondelar.
1146 Utnyttja att differensen 1 4 kan skrivas som 3 12
1147 En tredjedel av provtiden plus 20 minuter är halva provtiden. Anta att provtiden är x minuter eller rita en figur.
1158 a) Tänk på att inte alla tal är delbara med 3.
1159 Ställ upp totala andelen som en summa av två bråk. Gör liknämnigt och förenkla.
1160 Studera figurerna i teoritexten på sidan 17.
1162 Ställ upp en ekvation, där två tredjedelar av en tredjedel av hjorden motsvarar 70 oxar.
1163 Hur stor andel av en hel vägg målar var och en på en timme? Hur stor andel av en hel vägg målar de tillsammans på en timme?
1182 Observera att här behöver vi beräkna vävramens ytterarea. Men vävramens sidomått varierar beroende på plankornas felmarginal, vilket leder till att vävramens area kan bli större eller mindre.
1.2 Räkneregler för potenser
1215 Använd potenslagen (a ∙ b)n = an ∙ bn.
1216 Om baserna i VL och HL är lika, så måste också exponenterna vara lika för att likhet ska gälla mellan VL och HL.
1221 Välj några konkreta värden för a och b. Tänk på att (a ∙ b)n betyder a ∙ b multiplicerat med sig själv n gånger.
1222 Använd räknereglerna för potenser för att skriva talen med samma exponent. Vilken slutsats kan du då dra?
1223 Beräkna 5n för n = 1, 2, 3, 4, … Vilka mönster kan du se i talens slutsiffra? Gör sedan motsvarande undersökning för 9n och 2n
1224 Skriv potenserna i respektive uttryck med samma bas.
1245 Kalla antalet glas för x. Vilken ekvation kan du då ställa upp?
1246 Börja med att förenkla uttrycket innanför parentesen.
1247 Räkna produkten av tiopotenserna för sig och produkten av de övriga talen för sig. Det kan bli lättare att räkna om du skriver talen utan decimaler, t.ex. 1,2 ∙ 10−5 = 12 ∙ 10−6
1250 Skriv potenserna som tal i bråkform.
Vad blir 1 1 10 ?
1252 b) Notera att du i täljaren har 21 + 4 = 25 stycken 52, och 25 går att skriva med basen 5.
c) Utnyttja att 1010 = (2 ∙ 5)10
1253 Vad är värdet av ett positivt tal upphöjt till noll?
1265 Titta på Exempel 1, uppgift c).
1269 Titta på Exempel 3, uppgift b) och c).
1271 Tänk på att (a ∙ b)n = an ∙ bn
1273 a) Utnyttja att 8 1 3 = ( 8 1 3 ) −1
1274 Upphöj båda led i ekvationen till samma exponent.
1276 Förenkla först uttrycket under rottecknet i täljaren. Använd sedan lämplig potensregel.
1277 Jordens omloppstid runt solen är 1 år.
1278 Tänk på att inte alla tal kan upphöjas till en exponent som är ett rationellt tal.
1.3 Prefix och prioriteringsregler
1311 Tänk på att svaret ska anges med lämpligt antal gällande siffror.
1315 Tänk på att areaskalan är längdskalan i kvadrat.
1322 Hur många tabletter behövs för 30 g kosttillskott?
1338 Till exempel är (4 + 4 + 4)4 − 4 = 1 och 4 − 4 4 − 4 4 = 2
1339 Fundera över hur pengarna som vaktmästaren tog bör skrivas i uttrycket.
2 Algebra
2.1 Algebraiska uttryck
2109 Tänk dig att Cilla har t.ex. 4 km till skolan. Hur beräknar du då de andra elevernas avstånd till skolan? Gör sedan samma sak, men anta att Cilla har a km till skolan.
2113 a) Heltalet närmast före m är 1 mindre än m
2118 100 km = 10 mil. Hur mycket bensin förbrukar bilen på s mil?
2119 Pröva dig fram med olika värden på n. Vilken typ av tal blir 2n? 2n + 1?
2120 a) Jämför uttrycken 2x + 7 och 2x + 12. Vad är lika?
Vad är olika?
2122 a) Vilken temperatur är det rimligt att bastun har när den sätts på?
b) Vad är en rimlig temperatur att ha i bastun när den är helt uppvärmd?
2124 a) Skriv två olika formler för hyreskostnaden, en som beskriver kostnaden om man kör mindre än eller lika med 30 mil och en som beskriver kostnaden om man kör mer än 30 mil.
2153 a) Hur många x 1 3 har du i täljaren?
b) Utnyttja att √a kan skrivas som a 1 2
2154 Börja med att förenkla uttrycket i täljare respektive nämnare.
2155 Vad händer med kvoten B B + 1 då B ökar?
2172 Sätt in a i den tomma rutan. Multiplicera sedan ihop uttrycken i det vänstra ledet och bestäm därefter värdet på a
2175 Dela upp figuren i en triangel och en rektangel.
2197 b) Två godtyckliga udda tal kan uttryckas som 2n + 1 respektive 2m + 1.
2198 a) (x + 5) är en gemensam faktor i uttrycket.
2199 Bryt ut faktorn 3n i vänsterledet.
2.2 Ekvationer
2219 Lös först ekvationen 3x + 13 = 25.
2224 Använd potensreglerna och förenkla. Tänk på att t.ex. 642 = (2 ∙ 3)42 = 242 ∙ 342
2240 a) Skriv termerna med gemensam nämnare.
2241 Samla x termer i ena ledet och faktorisera.
2259 Anta att Tamara köpte x hg godis och teckna sedan en ekvation.
2262 b) Sätt de två formlerna du fick i deluppgift a) lika med varandra.
2263 Anta att Anna är x år. Hur gamla är då Johan och Gustav?
2265 a) Anta att klassen sålde x st biljetter. Teckna sedan en ekvation där intäkter minus lokalkostnad blir noll.
2267 b) Sätt de två formlerna lika med varandra.
2270 Bestäm hur lång tid det tar för Emma respektive Hanna att springa 7 km genom att lösa ut t ur sambandet v = s t .
2273 Eftersom triangeln är likbent delar höjden basen i två lika delar.
2275 Anta att backen är s m. Bestäm tiden det tar att cykla upp respektive ner genom att lösa ut t ur sambandet v = s t
2276 Anta att sträckan till stranden är s m. Skriv uttryck för tiden det tar att springa fram respektive tillbaka från stranden. Utnyttja sedan att den totala tiden ska vara 15 min.
2277 Kalla det första talet för 2x och det andra talet för 3x
2.3 Potensekvationer
och olikheter
2310 I vilken enhet mäts volym?
2315 Anta att den kortaste sidan är x cm. Då är de övriga sidorna 2x respektive 5x cm.
2318 a) Byt ut (x + 2) mot y.
2334 Hur lång tid tar det för jorden att ta sig ett varv runt solen?
2335 Hur många x 5 2 finns i täljaren?
2345 Teckna uttryck för respektive taxikostnader. Ställ upp och lös lämplig olikhet.
2352 Lös en olikhet i taget. Tolka och sammanställ båda lösningarna.
2355 Ställ upp lämplig olikhet. Lös olikheten och tolka lösningen.
2357 Teckna uttryck för respektive area. Ställ upp och lös lämplig olikhet.
2.4 Formler och talföljder
2436 Använd summaformeln som skrivs =Summa(startcell:slutcell)
2437 b) Skriv en formel i cell B8 som tar värdet i cell B7 och dividerar det med 7. Denna formel kan sedan kopieras till cellerna C8 och D8 med fyllnadshandtaget.
2443 Du kan antingen låsa en rad eller en kolumn när du använder $ tecknet. Det gör du genom att placera $ tecknet framför antingen bokstaven eller numret i cellens namn.
2459 a) De färgade rutorna bildar en kvadrat. Hur lång är kvadratens sida i figur n?
2461 Hur många rader och kolumner finns det i figur n? Hur många stickor finns det i varje sådan rad respektive kolumn?
2463 Föreställ dig att du pusslar ihop figur n med en roterad kopia av sig själv så att det bildas en rektangel. Hur många rutor kommer rektangelns bas respektive höjd att ha? Rektangeln innehåller då dubbelt så många rutor som figur n.
2477 Dag två stickar Clara 22 cm.
2481 b) Hur många stickor finns i figur p?
2484 Vad blir resultatet om du subtraherar den första termen i den ena talföljden med den första termen i den andra, den andra termen i den första talföljden med andra termen i den andra osv.?
3 Procent
3.1 Procentuella förändringar
3117 Vilken rabattkupong som är bäst beror på varans pris. Vid vilket pris är de båda rabattkupongerna lika bra?
3121 Tänk på att en kub med volymen 1 m3 har sidorna 10 dm 10 dm 10 dm, dvs. 1 m3 = 1 000 dm3. På motsvarande sätt är t.ex. 1 dm3 = 1 000 cm3
nivå
1b/1c vux
Matematik Origo nivå 1b/1c vux är en modern lärobok anpassad till Gy25 med utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel
Till Matematik Origo nivå 1b/1c vux finns även en Lärarguide samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.
Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram. 9