Att förenkla uttryck 81 Uttryck med parenteser 83 Uttryck av andra graden 86 Multiplikation av uttryck inom parentes 89 Att faktorisera uttryck 93
3.3 Ekvationer 97
Vad är en ekvation? 97 Ekvationslösningens grunder 100 Mer om ekvationslösning 103
Problemlösning med hjälp av ekvationer 106
Att lösa ut ur formler 110
och yrkesliv
4.1 Procent och procentberäkningar 126
Procent – ett sätt att skriva hundradelar 126
Huvudräkning med procent 132
4.2 Procentuella förändringar 135
Förändringsfaktor 135
Förändringar i flera steg 139
4.3 Procentberäkningar i samhället 143
Ränta 143 Lån och kreditköp 145
Ränta, lån och kreditköp i kalkylprogram 148
Promille och ppm 151 Procentenheter 154
Index och KPI 157
Sannolikhetslära
5.1 Enkla slumpförsök 174
Sannolikheten för en händelse 174
Att bestämma sannolikhet med experiment 179
5.2 Slumpförsök i flera steg 183
Träddiagram 183 Beroende och oberoende händelser 188 Komplementhändelse 192
Samhälle och yrkesliv
Uppslaget
Koll på kapitlet
Blandade uppgifter
Kapiteltest
6
Funktioner
6.1 Grafer och koordinatsystem ........... 206
Koordinatsystemet 206 Tolka grafer 210
6.2 Linjära funktioner 214
Vad är en funktion? 214 Linjära funktioner 220
Proportionalitet 226 Funktioner och grafritande hjälpmedel 231
6.3 Exponentialfunktioner
Exponentialfunktioner 236 Matematiska modeller 242 Samhälle och yrkesliv
Koll på kapitlet
7.1 Statistiska undersökningar 262
Population och urval 262 Svarsbortfall 267
7.2 Att tolka och granska statistik 271
Tabeller och diagram 271
Felmarginal och signifikans 276
7.3 Statistiska samband
Korrelation och kausalitet 281
8.1 Omkrets, area och volym
Omkrets och area 302 Volym 307 Enhetsomvandlingar 312 Kvadratrötter 315
8.2 Vinklar, likformighet och symmetri 318 Olika slags vinklar 318 Vinklar i månghörningar 321 Skala 324 Likformighet och kongruens 327 Symmetri 330
8.3 Rätvinkliga trianglar och trigonometri 334 Pythagoras sats 334 Tangens 337 Sinus och cosinus 340 Beräkna vinklar med trigonometri 343
8.4 Vektorer
Vad är en vektor? 347 Addition av vektorer 351 Vinkelräta komposanter 354
När du är klar med kapitlet ska du kunna
u skriva andelar i bråk-, decimal- och procentform
u beräkna andelen, delen och det hela med hjälp av sambandet andelen = delen det hela
u använda huvudräkning för att göra procentberäkningar
u använda och tolka begreppet förändringsfaktor
u beräkna procentuella förändringar i flera steg
u göra beräkningar med ränta
u beräkna kostnader för olika typer av lån och kreditköp med och utan kalkylprogram
För vissa program
u använda promille och ppm
u skilja på procent och procentenheter
u tolka och använda index
Du ska kunna
Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Inledande aktivitet
De inledande aktiviteterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om. Aktiviteterna är utmärkta verktyg för att undersöka elevernas förkunskaper.
Procentjakten
Arbeta i en grupp om 2−4 personer. Ni behöver en tärning och var sin spelmarkör. Varje spelare startar med 1 200 poäng.
u Slå tärningen och flytta spelmarkören så många steg som tärningen visar.
u Rutan du hamnar på anger med hur många procent din poängsumma förändras. Räkna ut din nya poängsumma och anteckna resultatet.
u Vinner gör den spelare som har flest poäng när alla deltagare har gått i mål.
3.1 Formler, uttryck och mönster
Även om du sällan tänker på det, används formler och uttryck både till vardags och i yrkeslivet. Vågen i livsmedelsaffären använder en formel för att beräkna rätt pris, en sjuksköterska använder formler för att beräkna mängden medicin som en patient behöver och en hantverkare kan ta hjälp av ett uttryck för att beräkna vad arbetet kommer att kosta för kunden.
Formler och uttryck
Formel Josef är hovslagare. Vid kundbesök tar han 1 050 kronor i grundavgift och dessutom 470 kronor för varje påbörjad timme. Han beräknar kostnaden för kunden i ett datorprogram där han har skrivit in formeln
Teori och exempel
K = 1 050 + 470x 470x = 470 ∙ x
I formeln är K kostnaden i kronor och x är antalet arbetstimmar. Beroende på hur många timmar Josef arbetar får kunden betala olika mycket.
Att veta vad matematiken används till skapar motivation. I både teori och exempel ger vi exempel på matematikens relevans. Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den skull väja för det som är svårt.
3 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 3 = 2 460 kr
5 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 5 = 3 400 kr
Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar.
10 timmars arbete ger K = 1 050 + 470 · 10 = 5 750 kr
Variabel Vi ser att kostnaden K och antalet timmar x varierar. Därför kallar man x och K för variabler. K = 1 050 + 470x
Koefficient
Konstantterm Variabelterm
Algebraiskt uttryck Vi kan också beskriva kostnaden med ett algebraiskt uttryck
1 050 + 470x
En skillnad mellan ett uttryck och en formel är att en formel har ett likhetstecken. Ett sådant finns inte i ett uttryck.
Starter
Exempel: Beräkna värdet av uttrycket
a) 7a + 5 om a = 4
b) 2a + b2 om a = −3 och b = −1
Lösning: a) Vi sätter in a = 4 i uttrycket och får
7 ∙ 4 + 5 = 33
b) Vi sätter in a = −3 och b = −1 i uttrycket och får
2 ∙ (−3) + (−1)2 = −6 + 1 = −5
Exempel: Amina ska ta körkort. På körskolans hemsida hittar hon formeln
K = 4 100 + 800x. Den beskriver den totala kostnaden K kr för att ta körkort om man tar x stycken körlektioner. Beräkna den totala kostnaden för Aminas körkort om hon
a) tar 15 körlektioner
b) inte tar några körlektioner
Lösning: a) Vi sätter in x = 15 i formeln K = 4 100 + 800x
K = 4 100 + 800 ∙ 15 = 16 100
Svar: Aminas körkort kostar 16 100 kronor om hon tar 15 körlektioner.
Starter
Uppgifterna inleds med en Starter. Det är ofta en uppgift av öppen karaktär som bjuder in till olika lösningar och svar. Inte sällan är uppgiften konstruerad för att ge möjlighet att diskutera vanliga missuppfattningar.
b) Vi sätter in x = 0 i formeln.
K = 4 100 + 800 ∙ 0 = 4 100
I beloppet 4 100 kronor kan t.ex. kostnaden för teori- och riskutbildning ingå
Svar: Aminas körkort kostar 4 100 kronor om hon inte tar några körlektioner.
Uttrycken 5x och 5 + x ser ganska lika ut.
a) Vad är skillnaden mellan uttrycken?
b) Vad är värdet av uttrycken om x = 4?
c) Är värdet av 5x alltid större än värdet av 5 + x?
Nivå 1
3101 Beräkna värdet av uttrycken om a = 4.
a) 7 + a
c) a 2
b) 4a
d) 5 − 3a
3102 Vilka variabler innehåller uttrycket
9a + 15b + 17?
3103 Beräkna värdet av y i formeln y = 20x + 50 om
a) x = 1
b) x = 0
c) x = −0,5
3104 Omkretsen av triangeln kan beräknas med uttrycket 2x + 7. Hur stor är omkretsen om x = 12?
7 x x (cm)
3105 Vilka av alternativen i rutan är
a) formler
b) algebraiska uttryck
y = 2x − 3 2x − 3 U = R ∙ I 3a + 5b
3107 Med hjälp av formeln V = π ∙ r2 ∙ h kan man beräkna volymen av en cylinder med radien r och höjden h. Vilka två beräkningar ger volymen av cylindern i figuren?
(cm) 12 4
3108 Beräkna värdet av uttrycken om
a = −3 och b = 6.
a) 2a + b b) a − b
Uppgifter på tre nivåer Till varje avsnitt finns rikligt med uppgifter, både för den elev som behöver enkla ingångar och för den elev som behöver utmaningar.
c) ab d) b a
3109 Uttrycken 3 + a och 3a ser ganska lika ut.
a) Vad är skillnaden mellan dem?
b) Vad är värdet av uttrycken om a = 5?
c) Är värdet av 3a alltid större än värdet av 3 + a ?
3106 Kostnaden K kronor för att hyra en moped i Thailand x dagar kan man beräkna med formeln K = 150 + 50x.
a) Vad kostar det att hyra en moped i 3 dagar?
b) Vad kostar det att hyra en moped i 3 veckor?
3110
71nn Om man säljer a stycken produkter som kostar p kronor styck, så kan man beräkna intäkten I kronor med formeln
I = p ∙ a
a) Beräkna intäkten om man säljer 1 500 produkter till priset 299 kronor per styck.
b) Ge förslag på vilka värden a och p kan ha om I = 100 000 kronor.
Nivå 2
3111 Beräkna värdet av uttrycken för a = 3 och b = −2.
a) a − b b) 2a − 3b
c) ab + b2 d) 4a2 − ab
3112 Jämför uttrycken x2 och 2x.
a) Förklara vad som skiljer uttrycken åt.
b) Vad är värdet av uttrycken om x = 3?
Förstoringsglas
c) Är värdet av x2 alltid större än värdet av 2x?
71nn Kostnaden för att åka taxi kan beräknas med formeln
K = 65 + 15x + 600y
där K är kostnaden i kronor, x är antalet kilometer och y är tiden i timmar. Vad skulle det kosta att åka taxi från skolan hem till dig?
3113 Bromssträckan s meter för en personbil med hastigheten v km/h är s = 0,005 ∙ v2
a) Beräkna bromssträckan för en bil med hastigheten 50 km/h.
Uppgifter märkta med förstoringsglas är uppgifter där eleverna själva får ta reda på eller uppskatta den information som saknas. Uppgifterna övar modelleringsförmågan och lämpar sig för helklassarbete, eftersom olika antaganden leder till olika svar.
b) En tumregel säger att om hastigheten fördubblas, så fyrdubblas bromssträckan. Undersök med ett räkneexempel om tumregeln stämmer.
71nn En gris som väger x kg ska enligt
Jordbruksverket ha ett utrymme som är minst y m2, där
y = 0,20 + x 84
a) Hur stort utrymme behöver en gris som väger 50 kg?
b) En bonde har ett utrymme på 30 m2. Hur många grisar kan han ha där?
Nivå 3
Vattnets kokpunkt ändras med höjden över havet. Den kan beräknas med formeln
t = 100 · 0,961h
där t är kokpunkten i grader Celsius och h är höjden över havet i kilometer. Äggula koagulerar vid temperaturen 70 grader.
Är det möjligt att koka och servera ett hårdkokt ägg på toppen av Mount Everest?
3117 Beräkna värdet av uttrycken för
x = −2, y = 1 och z = −3.
a) x2 + 3xy − z2
b) 2xz + 5y − z3
c) 4xyz − xz2
8113 Åke ska spraymåla utsidan av lådan.
8119 Hur mycket tyg går åt för att tillverka tältet?
a) Hur stor yta ska han måla?
b) En sprayburk räcker till 2 m2. Hur många burkar färg måste Åke köpa?
Nivå 2
8114 Emma ska lägga stenplattor på sin uteplats.
Uteplatsen är 5 m × 7 m och stenplattorna har måtten 35 cm × 35 cm. Hur många plattor ska hon köpa?
8115 Förklara varför den färgade triangeln har exakt hälften så stor area som rektangeln.
8120 Hur mycket plåt går det åt för att tillverka konservburken?
71nn Kommunen vill bygga en ny parkeringsplats på en tomt som har måtten 25 m × 35 m. Uppskatta hur många bilar som kan få rum på parkeringsplatsen.
8117 Hur stor area har de färgade områdena? a) 4,1 r = 3,2 b)
8121 En 400 meter lång löparbana består av två raksträckor och två halvcirkelformade kurvor. Raksträckorna har samma längd som kurvorna. Beräkna kurvornas radie.
Nivå 3
8122 Hur stor andel av området är färgat?
Ungefär hur många kvadratmeter tyg består din tröja, din t-shirt eller dina byxor av?
71nn Kommunen vill bygga en ny tennishall. Hallen har formen av en halvcylinder och ska rymma två banor. Vilken form ska kommunen välja för att arean av tak och väggar ska bli så liten som möjligt?
Volymenheter
Volym
När vi frågar hur stor en grushög är eller hur mycket en vattentunna rymmer, så frågar vi efter volymen. Begreppet volym beskriver hur stort ett föremål är eller hur mycket det innehåller.
Beroende på vad man mäter, använder man olika volymenheter. Grushögen kanske mäts i kubikmeter (m3), medan volymen av vattentunnan mäts i liter (l).
Programanpassning
När man vill beräkna volymen av ett föremål, använder man ofta en färdig formel. I rutan här nedanför har vi samlat formlerna man använder för att beräkna volymen av några vanliga geometriska kroppar.
En del avsnitt har vi valt att markera som programanpassning. Det ger dig som lärare möjlighet att anpassa innehållet efter din elevgrupp och efter de karaktärsämnen som eleverna läser.
Volym för några geometriska kroppar
Rätblock
Volym = Bh
B = a · b
Prisma
Volym = Bh
B är basytans area
Pyramid
Volym = Bh 3
B är basytans area
Klot
Volym = 4πr3 3
Area = 4πr2
Cirkulär cylinder
Volym = Bh
B = πr2
Mantelytans area = 2πrh
Man beräknar volymen av ett rätblock, en cylinder och ett prisma på samma sätt: Först beräknar man basytans area, sedan multiplicerar man den med höjden.
Cirkulär kon
Volym = Bh 3
B = πr2
Mantelytans area = πrs
När man beräknar volymen av en pyramid eller en kon multiplicerar man basytans area med höjden och dividerar produkten med tre
6329 Värdena i tabellen beskriver ett samband.
x f(x)
0 8 000
1 9 600
2 11 520
3 13 824
a) Är sambandet linjärt eller exponentiellt?
b) Beskriv sambandet med ett funktionsuttryck.
Nivå 3
6330 Louis tillverkar glas. Han sätter in det heta glaset i en avsvalningsugn för att det ska svalna i lagom takt. Glasets temperatur i ugnen kan beskrivas med funktionsuttrycket
f(x) = 500 + 700 · 0,60x
där f(x) är temperaturen i grader Celsius och x är tiden i timmar.
a) Hur varmt är glaset från början?
b) Vilken temperatur närmar sig glaset efter lång tid i ugnen?
c) Det tar 16 timmar för glaset att svalna till ugnens temperatur. Hur skulle funktionsuttrycket se ut om avsvalningen tar lika lång tid, men temperaturen minskar linjärt?
Resonemang och begrepp
Sant eller falskt
Avgör om påståendena är sanna eller falska.
Ó Formeln y = 300 · 0,92x beskriver något som ökar exponentiellt.
Ó Funktionsuttrycket f(x) = 200x5 beskriver en exponentialfunktion.
6331 Lena har 30 000 kr i månadslön. Hon ska få en löneförhöjning varje år och får välja mellan två alternativ.
Alternativ 1: Höjning av månadslönen med 1 000 kr
Alternativ 2: Höjning av månadslönen med 3 %
Skriv ett funktionsuttryck som visar Lenas månadslön efter t år enligt
a) Alternativ 1 b) Alternativ 2
c) Undersök för vilka värden på t som månadslönen är högst med alternativ 1 respektive alternativ 2.
6332 Amina och Ulrik undersöker utbredningen av mangroveskog. Amina menar att skogens utbredning minskar linjärt. Ulrik menar att den minskar exponentiellt.
Antal år Miljoner hektar skog 0 15 1 14,7 2 14,4
Kommunikationsuppgifter
3 14,1
a) Har någon av dem rätt?
b) Var och en beräknar hur mycket skog det kommer att finnas om 30 år. Hur mycket kommer deras prognoser att skilja sig åt?
Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder eleverna att samtala matematik.
Sammanfatta själv
Ì Ge ett exempel på en linjär funktion och beskriv den med en tabell, med en graf och med en formel.
Ì Ge ett exempel på en exponentialfunktion och beskriv den med en tabell, med en graf och med en formel.
?
Ge exempel på när man kan ha nytta av att använda matematiska modeller.
Matematiska modeller
Matematiska samband
Vi kan använda matematiska funktioner för att beskriva saker i vår omvärld. Det kallas för att använda matematiska modeller. Med
modellernas hjälp kan vi förutspå hur ett företags vinster kommer att förändras med tiden, visa hur antalet bakterier växer i livsmedel eller beskriva sambandet mellan fetma och högt blodtryck.
Simuleringar
Matematiska modeller kan också användas för att göra simuleringar. Då visar man ett verkligt förlopp virtuellt på en dator. I den virtuella miljön kan man enkelt testa det som är dyrt eller tidskrävande att testa i verkligheten. Man kan till exempel undersöka vad som händer med en människa i en bilkrock, utan att behöva göra ett enda krocktest. I den matematiska modellen kan man enkelt göra om försöket, och testa vad som händer om man t.ex. ändrar bilens hastighet.
Samhälle och yrkesliv
I avsnittet Samhälle och yrkesliv sätter vi matematiken i ett historiskt eller samhälleligt sammanhang och lyfter fram hur den används i yrkeslivet.
Matematik i stället för djurförsök
De senaste åren har liknande simuleringar börjat användas i stället för djurförsök. Tekniken har bland annat använts i forskning om nya cancerbehandlingar.
En vanlig behandling mot cancer är cellgifter. Cellgifterna påverkar inte bara tumörernas celler, utan också kroppens alla friska celler. Om en patient får för stor dos cellgift, kan patienten drabbas av hemska biverkningar. Därför är det viktigt att patienten får precis rätt dos cellgift.
Forskare vid Uppsala universitet har skapat en matematisk modell som beskriver hur kroppens celler reagerar på cellgift. Med hjälp av formlerna kan forskarna simulera vad som händer med kroppens friska celler om de ökar eller minskar dosen. På så sätt kan de hitta den optimala dosen cellgift, utan att behöva göra tester på ett djur eller på en människa.
Försök med matematiska modeller är billigare och tar kortare tid, än att göra motsvarande studier på djur. Men de nya metoderna erbjuder också helt nya möjligheter. Genom att mata in information om en patient, till exempel vikt, längd eller ålder, i den matematiska modellen, tror forskare att man i framtiden kommer att kunna skräddarsy läkemedel efter varje persons individuella behov.
Vem har rätt?
1 Grafen visar vikt och pris för några chokladkartonger.
Uppslaget
På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna.
Kajtek: Kartong A och B har samma pris.
Remy: Kartong A och B har samma vikt.
Chris: Kartong B och C har samma pris per kilo.
Har någon av dem rätt? Motivera.
2 En båt kostade 220 000 kr i inköp. Båtens värde minskade sedan med 10 % per år. Vem beskriver värdeminskningen med rätt funktionsuttryck?
Ailin: Minskningen är 10 %, alltså 0,1. Funktionsuttrycket blir f(x) = 220 000 · 0,1x .
Bella: Eftersom minskningen är 10 % varje år blir funktionsuttrycket f(x) = 220 000 − 0,1x.
Clara: Förändringsfaktorn är 0,9. Funktionsuttrycket blir y = 220 000 · 0,9x .
3 Aileya och Melvin läser i tidningen att ett företag med 400 anställda behöver anställa 50 personer det närmaste året.
Aileya: Så bra! Om det fortsätter på samma sätt har företaget blivit dubbelt så stort om 8 år.
Melvin: Nej, om företaget fortsätter att växa i samma takt kan det vara dubbelt så stort redan om 6 år.
Vem har rätt? Hur kan de ha tänkt?
Problemlösning
1 Punkterna med koordinaterna (1, 2) och (−4, −3) är två av hörnen i en kvadrat. Vilka koordinater kan de övriga två hörnen ha?
2 Vad kostar en 15bitars tårta?
6 bitar 360 kr
10 bitar 560 kr
12 bitar 660 kr
3 Under en fotbollsmatch måste en fullsatt läktare evakueras på grund av bengalbränning. Grafen visar hur antalet personer på läktaren minskar. Om läktaren fortsätter att tömmas i samma takt, hur lång tid tar det då innan läktaren är tom?
Antal st Tid 3 000
2 000 1 000 min
2 4 6 8 10
Vikt Pris C D B A
Modellering
1 Mattias inventerar ett område för att bestämma hur vanlig en viss växt är. Han lägger ut en provruta och räknar alla plantor av den arten i det området. Han hittar 22 exemplar. Efter 1 år gör han om inventeringen och finner då 26 exemplar i samma ruta. Hur många exemplar borde han finna efter ytterligare 4 år?
2 Vid arkeologiska utgrävningar hittar man ibland skelett. Genom att mäta längden av skelettets lårben kan forskare uppskatta den avlidna personens kroppslängd.
Åke och Lisa utbildar sig till arkeologer och hittar en tabell som visar längden av en mans lårben och mannens längd.
Lårbenets längd (cm) Kroppslängd (cm)
43,0 162,0
45,0 167,4
46,5 171,5
47,0 172,8
a) Åke säger att sambandet mellan kroppslängd och lårbenets längd är en proportionalitet. Lisa säger att sambandet är linjärt men inte en proportionalitet. Har någon av dem rätt?
b) Vid en utgrävning hittar Lisa ett lårben som är 46,0 cm. Ungefär hur lång borde mannen ha varit?
Matematik i användning
Det finns klockor som kan mäta din puls, dina steg och hur långt du går på en dag. Ofta räcker det att du skriver in din längd, så kan klockan utifrån antalet steg du tar beräkna hur långt du har gått. Då utnyttjar klockan att det finns ett samband mellan kroppslängd och steglängd.
I diagrammet här nedanför kan du se sambandet mellan steglängd och kroppslängd.
Steglängd cm
60
70 80 cm
Kroppslängd
150 160 170 180 190
u Vilken är din steglängd enligt diagrammet?
u Hur långt har du gått om du har tagit 651 steg?
Relevans
u Klockan kan räkna ut hur långt du har gått eftersom den vet din kroppslängd och hur många steg du har tagit. Hur ser formeln ut som klockan använder?
I Matematik i användning får eleverna se konkreta exempel på hur matematiken används i samhället.
Du ska kunna Exempel
5.1 Enkla slumpförsök s. 174−182
använda begreppen slumpförsök, utfall och händelse
Ett slumpförsök är ett försök som kan upprepas flera gånger och där man inte kan förutse resultatet av varje enskilt försök.
Exempel: Ett kast med en tärning.
Resultatet av ett slumpförsök kallas utfall
Exempel: Att få en trea vid ett tärningskast.
Ett eller flera utfall utgör en händelse
Exempel: Att få ”udda antal prickar” vid ett tärningskast.
beräkna sannolikheten för en händelse när alla utfall är lika sannolika
uppskatta sannolikheten för en händelse med hjälp av relativ frekvens
En påse innehåller 11 gula och 14 röda kulor. Sannolikheten att få en gul kula om man plockar upp en kula utan att titta är
11 25 = 0,44 = 44 %.
P(händelse) = antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall
Av 3 600 tillverkade bilar har 3 st fabrikationsfel. Sannolikheten att en bil har ett fabrikationsfel är
3 3 600 = 1 1 200 ≈ 0,0008 = 0,08 %
5.2 Slumpförsök i flera steg s. 183−194
beräkna sannolikheten för slumpförsök i flera steg
rita och använda träddiagram
Sammanfattning
Sannolikheten att slå en fyra med en tärning tre gånger i rad är
1 6 ∙ 1 6 ∙ 1 6 = 1 216
Diagrammet visar utfallen när man singlar slant två gånger.
P(klave, klave) = 0,5 ∙ 0,5 = 0,25
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
Självskattning
förklara skillnaden mellan oberoende och beroende händelser
I Koll på kapitlet sammanfattar vi innehållet i kapitlet utifrån de lärandemål vi formulerade i inledningen. Till varje lärandemål finns både konkreta exempel och en självvärdering.
beräkna sannolikheten för en händelse med hjälp av komplementhändelse
Två händelser är oberoende, när sannolikheterna i det andra försöket inte beror av utfallet i det första försöket.
Exempel: Ur en kortlek drar du två kort med återläggning.
Två händelser är beroende, när sannolikheterna i det andra försöket beror av utfallet i det första försöket.
Exempel: Ur en kortlek drar du två kort utan återläggning.
Sannolikheten för att minst en pojke föds i en trebarnsfamilj är
Kan inte Känner mig ganska säker Känner igen men behöver repetera Är helt säker
Klave
Klave Krona Krona Krona Klave
1 Av 3 000 bilförare som passerade en kontrollstation saknade 143 förare bilbälte. Hur stor är sannolikheten att en slumpvis utvald bilförare saknar bilbälte enligt undersökningen?
2 Ett kort dras slumpmässigt ur en vanlig kortlek. Hur stor är sannolikheten att det är en hjärter?
3 Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald person
8 Du spelar roulett och satsar på ett och samma nummer hela tiden. Efter att du har förlorat tre gånger i rad satsar du en fjärde gång. Nu är chansen att du vinner
A högre än tidigare
B lägre än tidigare
C samma som tidigare
9 Vilken är komplementhändelsen till en trea när man kastar en tärning?
Blandade uppgifter
a) är född på en söndag b) är född på en måndag, tisdag eller onsdag
I Blandade uppgifter finns extra övningsuppgifter till kapitlet. Här får eleverna öva på samtliga begrepp och metoder i kapitlet, utan någon inbördes ordning.
4 I en besticklåda finns 5 gafflar, 3 skedar och 7 knivar. Hur stor är sannolikheten att du får upp en gaffel när du slumpmässigt väljer ett bestick? Svara i bråkform.
5 Om sannolikheten att göra mål på straff i fotboll är 80 %, hur många mål borde man då göra på 300 straffar?
6 Använd träddiagrammet och svara på frågorna.
0,3 0,7
0,6 0,2
A B C D
a) Hur stor är sannolikheten för händelse A?
b) Hur stor är sannolikheten för att antingen händelse C eller D inträffar?
7 I en studie undersökte forskare risken för att drabbas av en ärftlig sjukdom. Man fann att P(sjuk) = 0,003. Förklara vad det betyder.
10 Frida kastar en tändsticksask rakt upp i luften 200 gånger och noterar att den landar stående på högkant 23 gånger. Ungefär hur stor är sannolikheten att tändsticksasken inte hamnar på högkant efter landningen?
11 Sannolikheten för grönt ljus vid ett trafikljus är 0,35. Hur stor är sannolikheten att det är grönt ljus två gånger i rad?
12 Timmo går i en klass med 14 pojkar och 11 flickor. Två elever, en pojke och en flicka, ska få åka till London.
a) Hur stor är sannolikheten att Timmo får åka?
b) Har man större chans att få åka om man är flicka än om man är pojke? Motivera ditt svar.
Kapiteltest
1 Du har talet 37 561. Om du låter hundratalssiffran och tusentalssiffran
byta plats får du talet
1 37 651
X 73 561
2 35 761
2 Avrunda 0,4269 till hundradelar.
1 0,427
X 0,400
2 0,43
3 Beräkna 0,57 − 0,3
1 0,54
X 0,27
2 0,24
Kapiteltest
4 Vilket av följande tal är inte lika med 9 24 ?
1 3 8 X 18 48
2 4 12
5 Beräkna 12 3 + 5 · 23
1 44 X 72
2 1 004
6 Jämför talen 5 6 och 6 7 . Vilket alternativ är rätt?
1 5 6 är större än 6 7
X 5 6 är mindre än 6 7
2 5 6 är lika med 6 7
7 En ny förskola köper in uteleksaker för
8 914 kr, spel och pussel för 3 876 kr och pysselmaterial för 3 016 kr. Gör en överslagsberäkning och beräkna den totala kostnaden.
1 14 000 kr
X 15 000 kr
2 16 000 kr
8 Jämför talen 0,000 47 och 4,7 · 10−3. Vilket alternativ är rätt?
Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med flervalsfrågor och en del där eleverna ska redovisa sina lösningar.
1 0,000 47 är större än 4,7 · 10−3
X 0,000 47 är mindre än 4,7 · 10−3
2 Talen är lika stora
9 Vilket alternativ är lika mycket som 12 000 kJ?
1 12 MJ
X 1 200 MJ
2 12 000 000 MJ
10 Vilket alternativ är lika mycket som 0,022 m?
1 0,000 22 km
X 22 mm
2 2 200 µm
Del 2
11 Hanna springer 400 meter häck på 57,23 sekunder. Vilken tid får Amira om hon är fyra hundradelar snabbare?
12 En nystartad förening har 15 medlemmar år 2024. Under år 2025 tredubblades medlemsantalet. Om antalet medlemmar fortsätter att tredubblas varje år, hur många medlemmar kommer föreningen att ha år 2029?
13 Laura ska beräkna 1 7 + 1 2 och kommer fram till det felaktiga svaret 2 9 . Hur kan man direkt se att 1 7 + 1 2 inte kan vara 2 9 utan att beräkna summan?
14 En godisaffär säljer rosa och vita godishjärtan i påsar, där mängderna förhåller sig som 1:4. Hur många godishjärtan finns det av varje sort om det finns totalt 20 godishjärtan i påsen?
15 En kolibri är en väldigt liten fågel. Den rör vingarna 130 gånger per sekund när den flyger. Anta att den flyger 8 timmar per dygn. Hur många gånger rör den vingarna under ett dygn? Svara i grundpotensform.
16 Elise, Olof och Sahin uppskattar värdet av 1 032 + 2 877. De gör på olika sätt:
Elise 1 032 + 2 877 ≈ 1 000 + 3 000 = 4 000
Olof 1 032 + 2 877 ≈ 1 000 + 2 900 = 3 900
Sahin 1 032 + 2 877 ≈ 1 100 + 2 900 = 4 000
a) Vilken överslagsberäkning ligger närmast det rätta värdet?
b) Ge ett exempel på när det är klokt att avrunda som Sahin har gjort.
17 En liter av en vätska innehåller 20 ml av ett giftigt ämne. Resten är vatten.
a) Beräkna andelen av det giftiga ämnet i blandningen.
b) Beräkna förhållandet mellan det giftiga ämnet och vattnet.
18 Storleksordna följande längder. Börja med den minsta.
3 µm 300 pm 0,0003 mm 30 nm
19 En simklubb har dubbelt så många kvinnliga medlemmar som manliga. En fjärdedel av kvinnorna och hälften av männen tävlar i bröstsim. Hur stor andel av medlemmarna är bröstsimmare?
20 Sidorna i en rätvinklig triangel förhåller sig som 3:4:5. Omkretsen är 156 cm. Hur stor är triangelns area?
Ledtrådar
2 Tal i vardag och yrkesliv
2.1 Positionssystemet
2103 Jämför varje talsort för sig eller skriv talen med lika många decimaler.
2107 Se Exempel 2 på s. 25.
2113 b) Tänk på att 10 tiondelar = 1. c) Tänk på att 100 hundradelar = 1.
2121 Tänk dig att du markerar talet 6,502 på en tallinje.
2131 Vilket är det minsta tal som kan avrundas till 2,1? Vilket är det största tal som kan avrundas till 2,1?
2134 a) Vilket är det största tal som kan avrundas till 13?
Till 21? Vilket är det minsta tal som kan avrundas till 13? Till 21?
2144 Om tanken rymt 60 l och bilen dragit 0,6 l/mil, så hade hon kunnat köra precis 100 mil.
2150 Sverige är ungefär 160 mil långt. Börja med att omvandla hastigheten från m/s till km/h.
2.2 Bråk
2201 1 hel = 7 7
2202 Se Exempel 1 på s. 36.
2208 Undersök om bråken är nära 0, 1 2 eller 1.
2210 Se Exempel 2 på s. 36.
2211 c) Börja med att förkorta 4 12 .
2240 Hur mycket fläskfärs behövs till 1 kg älgfärs?
2241 Paketet som väger 10 kg kan vara antingen det lättare eller det tyngre paketet. Det gör att uppgiften har två svar.
2243 b) Tänk på att om den färdiga blandningen innehåller 1 dl olja och 50 dl bensin, så är den totala mängden är 51 dl.
2244 Du kan börja med att beskriva innehållet i varje behållare med en figur.
2.3
Potenser och prefix
2309 Skriv båda talen som en multiplikation av faktorer.
2311 a) Kom ihåg parentesen runt (−5).
b) Kom ihåg att sätta en parentes runt täljaren.
2312 −52 betyder −(5 ∙ 5), medan (−5)2 betyder (−5) ∙ (−5).
2314 Rita en figur. Kom ihåg att 3 m = 300 cm.
2315 Ett tal blir dubbelt så stort om man multiplicerar det med 2.
2318 a) 26 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 4m
Nyhet! Ledtrådar
2319 Beräkna potensens värde för n = 1, 2, 3, 4, ... och notera slutsiffran. Ser du något mönster?
I slutet av boken, före facit, finns ledtrådar till vissa uppgifter. Ledtrådarna hjälper eleverna att komma i gång när de kört fast och är en bra resurs vid enskilt arbete hemma.
2213 Om han har kört 2 5 av vägen, hur stor andel av vägen har han då kvar? Hur många kilometer motsvarar den andelen?
2218 Vilket tal ska du förlänga 3 7 med för att få nämnaren 14? Täljaren 12?
2220 Hur stor andel av sin pizza har Olof ätit? Hur kan du avgöra vilken andel som är störst?
2221 Förläng bråken så att de får samma nämnare.
2223 Börja med att förlänga bråken.
2225 Rita en bild. När de träffas har de lika långt kvar till skolan, men den sträckan är olika stor andel av deras totala skolvägar.
2237 Se Exempel 2 på s. 40.
2238 Juni har 30 dagar.
2332 a) 0,65 = 6,5 10
b) 12,1 = 1,21 ∙ 10
2333 Hur många celler är smittade efter 1 timme? 2 timmar? 3 timmar? 11 timmar?
2334 Ungefär hur många slag slår ditt hjärta varje minut? Du kan ta reda på det genom att räkna hjärtslagen under 15 sekunder och sedan multiplicera resultatet med 4.
2340 Se exemplet på s. 50.
2341 791 125 byte är ungefär 800 000 byte. Med vilka prefix kan du uttrycka det talet?
2346 Hur skulle du lösa uppgiften om det var enklare tal? Till hur många lågenergilampor räcker t.ex. 800 W?
2351 Börja med att skriva alla tal med samma enhet, t.ex. enheten liter.
3 Algebra
3.1 Formler, uttryck och mönster
3109 c) Testa dig fram med olika värden på a. Kom ihåg att värdet på a även kan vara 0 eller negativt.
3110
c) Bestäm något värde på p, t.ex. p = 100. Vilket värde måste a då ha för att I = 100 000 kr?
3112 c) Testa dig fram med olika värden på x. Kom ihåg att x inte måste vara ett heltal.
3114 b) Svaret beror på hur mycket grisarna väger. Du får själv bestämma grisarnas vikt.
3115 Här behöver du själv uppskatta värdet av x och y. Hur många kilometer är det från skolan till ditt hus? Hur lång tid (i timmar) tar det att åka taxi från skolan hem till dig?
3116 När vatten väl kokar, ökar inte dess temperatur. För att äggulan ska koagulera måste alltså vattnets kokpunkt vara 70 grader eller mer.
3126 b) 2 450 är värdet av uttrycket när x = 0. Vad betyder det?
Minustecknet framför 20 betyder att något minskar.
3129 Du kan pröva dig fram:
a) Behåll samma värde på l och öka m. Vad händer då med BMI?
b) Behåll samma värde på m och öka l. Vad händer då med BMI?
3131 Pröva att ge x, y och z konkreta värden. Du kan till exempel tänka dig att du har 2 stycken tiokronor , 3 stycken femkronor och 4 stycken enkronor. Hur tolkar du nu uttrycken?
3132 a) 90 km är värdet av uttrycket när t = 0. Vad betyder det?
b) Beräkna värdet av uttrycket för några olika värden på t. Vad betyder −11?
3133 b) Hur varm kan bastun bli som mest? Uttrycket är bara rimligt tills det når den temperaturen.
3135 Anta att x anger antalet personer på festen. Vad betyder uttrycket då?
3136 Vinst = intäkter − utgifter
3137 b) Vad händer med värdet av P om du sätter in 2v i stället för v i formeln?
3139 b) Hur får du reda på det totala antalet mynt om du vet figurens nummer?
3140 Se uppgift b) i exemplet på s. 74.
3143 Börja med att beräkna värdet av a för n = 1, 2 och 3. Rita sedan figurer med så många prickar/tändstickor/ rutor.
3145 Pröva dig fram med olika värden på n. eller
Sätt in a = 100 och lös ekvationen. Hur kan du tolka resultatet?
3147 b) För att beräkna antalet båtar som får plats vid 5 sektioner kan man tänka så här:
u Den yttersta bryggan rymmer 8 båtar.
u Därtill finns det 5 − 1 = 4 sektioner med 6 båtar på varje.
u Det ger totalt 8 + 6(5 − 1) = 8 + 6 ∙ 4 = 32 båtar. Hur kan man på liknande sätt beräkna antalet båtar som får plats vid n sektioner?
3148 b) Börja med att uppskatta eller ta reda på antalet elever på din skola. Pröva dig sedan fram. c) Studera tabellen:
Vecka (n) Antalet smittade (a)
3149 b) Hur många rader har den n:te figuren? Hur många tändstickor i varje rad?
Hur många kolumner i den n:te figuren? Hur många tändstickor i varje kolumn?
Hur många tändstickor blir det totalt?
3158 Du får själv uppskatta eller ta reda på kilopriset för de olika varorna.
3160
3.2 Arbeta med uttryck
3216 Kalla det första talet för x. Hur kan du då uttrycka de följande fyra heltalen?
3217 Börja med att förenkla uttrycken.
3231 Kalla talet som Kajsa tänker på för x och genomför beräkningarna. Vad blir resultatet?
3246 Arean av en rektangel beräknas som basen ∙ höjden. Hur kan du skriva x2 + 5x som en multiplikation?
3251 Dela in figuren i två rektanglar. Vilka är rektanglarnas mått?
3252 Anta att triangelns höjd är x. Vad måste då dess bas vara för att arean ska bli 6x2 + 3x?
3262 c) Eftersom det är ett minustecken framför produkten, måste du behålla parentesen när du multiplicerar. Se Exempel 1 s. 90, uppgift c).
3268 Dela in figuren i en rektangel och en triangel. Vilken är triangelns höjd?
3269 Skriv uttrycket som en produkt.
3270 Börja med att förenkla varje bråk för sig.
3271 Multiplicera varje term i den första parentesen med varje term i den andra.
3283 Multiplicera 7(x + 1)(x − 7) och visa att du får det första uttrycket.
3284 Om πr2 = π ∙ 49x2, vad är då ett uttryck för r?
3285 Börja med att skriva x2 + 4x som en multiplikation. Jämför sedan med uttrycket för triangelns area b ∙ h 2
3289 a) Hur många (x + 1) har du totalt? b) x − 2 är en gemensam faktor.
nivå
Matematik Origo nivå 1a är en modern lärobok anpassad till Gy25 med
utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter
matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla
målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel
Till Matematik Origo nivå 1a finns även komponenterna Lärarguide, Skriva-bok, Lärarstöd+ samt Prov, övningsblad och aktiviteter.
Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram.
