9789152366332

Niclas Larson

Daniel Dufåker

Attila Szabo

Roger Fermsjö

Innehåll

1.1 Tal i olika former 8

1.2 Räkneregler för potenser 25

1.3 Prefix och prioriteringsregler 37 Tankekarta, Programmering, Uppslaget, Historia, Blandade uppgifter, Kapiteltest 45

2 Algebra

2.1 Algebraiska uttryck 58

2.2 Ekvationer 72

2.3 Potensekvationer och olikheter 87

2.4 Formler och talföljder 100

Programmering, Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 117

4

4.1 Linjära samband

Räta linjens ekvation

Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 230

5 Statistik och sannolikhet 240

Statistiska undersökningar

5.2 Enkla slumpförsök

5.3 Slumpförsök i flera steg 271

Programmering, Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest

6

Trigonometri och vektorer

3.1 Procentuella förändringar 130

3.2 Privatekonomi i kalkylprogram 145

Programmering, Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 154

Nya ämnesplanen

Innehållet i Matematik Origo nivå 1c är anpassat efter ämnesplanen som träder i kraft 2025.

Programmering, Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest

Matematik Origo nivå 1c

Matematik Origo är en serie matematikböcker för gymnasiet som gör det lätt att arbeta med problemlösning, resonemang och förståelse. Till Matematik Origo nivå 1c hör en elevbok, en Lärarguide, kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter och det digitala presentationsmaterialet Lärarstöd+ samt appen Alva. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.

Elevboken består av sex kapitel och lyfter särskilt fram matematikens relevans. Här finns tydliga genomgångar med ett lättillgängligt språk och varierade uppgiftstyper på tre nivåer.

Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.

Prov, Övningsblad och Aktiviteter är ett kopieringsmaterial med prov, övningsblad och aktiviteter till varje kapitel i elevboken. Materialet säljs som nedladdningsbara pdf:er.

Prov, övningsblad och aktiviteter

I Lärarstöd+ har vi samlat elevboken, Lärarguiden och Prov, Övningsblad och Aktiviteter på ett ställe. Allt innehåll från elevboken – teoritext, exempel och uppgifter – kan visas separat och klickas fram stegvis.

I appen Alva får dina elever hjälp när de ska jobba på egen hand efter lektionerna. Där finns förklarande matematikfilmer och lösningar till vissa uppgifter.

Algebra och ekvationer

Algebrans framskjutna ställning inom matematiken är obestridlig. I vardagslivet är algebrans roll också betydelsefull, även om den kanske inte är lika tydlig. Algebra finns bakom formler som är till grund för t.ex. mobilräkningar och prisberäknande vågar i affärer. Den finns också med i beräkningsmodeller för befolkningstillväxt, vid riskberäkningar i försäkringssammanhang osv.

Inom matematiken är algebran ett viktigt redskap vid införande av matematiska modeller, som hjälper oss att lösa problem av olika slag. Algebran är också kraftfull när det gäller att bevisa matematiska samband, i och med sin förmåga att representera det generella. Att lära sig algebrans grunder är ett stort steg mot att förstå matematikens uppbyggnad och struktur.

Kommentarer till kapitlets innehåll

I det första delkapitlet 2.1 Algebraiska uttryck repeterar vi begrepp från grundskolan samt behandlar uttryck och förenkling av uttryck.

Delkapitlet 2.2 Ekvationer fokuserar inledningsvis på likhetstecknet och strategier för ekvationslösning. Därefter beskriver vi hur man kan använda ekvationer vid problemlösning.

Delkapitel 2.3 Potensekvationer och olikheter inleds med potensekvationer av grad 2 och 3. Sedan studerar vi olika metoder för att lösa fullständiga potensekvationer där exponenten är ett heltal eller ett bråk. Därefter följer en introduktion av algebraiska olikheter.

I det sista delkapitlet 2.4 Formler och talföljder behandlas formler, mönster och talföljder med betoning på aritmetiska talföljder och summor. Talföljder är inte uttalat en del av Matematik nivå 1c, men enligt det centrala innehållet ska undervisningen behandla problemlösning som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband. Avsnittet är en bra träning för eleven att upptäcka mönster, formalisera dessa och förstå matematikens generaliserbarhet.

2 Algebra

Delkapitel

2.1 Algebraiska uttryck

2.2 Ekvationer

2.3 Potensekvationer och olikheter

2.4 Formler och talföljder

Förkunskaper

■ Prioriteringsreglerna

■ Beräkningar med negativa tal

■ Potenser

Centralt innehåll

■ Hantering av formler och algebraiska uttryck, däribland faktorisering och multiplicering av uttryck.

■ Metoder för att lösa linjära ekvationer.

■ Begreppen intervall och linjär olikhet. Metoder för att lösa linjära olikheter.

■ Metoder för att lösa potensekvationer.

■ Problemlösning som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband.

■ Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning och problemlösning.

■ Exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder.

56

Kapitelintroduktion

I Lärarguiden får du en bakgrund till varje kapitel och kommentarer kring hur författarna har tänkt kring kapitlets innehåll och struktur. Här finns även kommentarer och lösningar till kapitlets introduktionsproblem.

Ordet algebra kommer från arabiskans al-jabr och betyder ungefär metoder för ekvationslösning. Det första vetenskapliga arbetet om algebra skrevs 830 e.Kr. av den persiske matematikern al-Khwarizmi. Kring år 1600 började man beteckna tal med hjälp av bokstäver eller symboler. Det räknas som den moderna algebrans födelse.

I dag är algebra inte bara ett eget matematiskt område, utan också ett hjälpmedel inom alla grenar av matematiken. Många matematiska formler som bygger på algebra har stor betydelse i vardagslivet, ofta utan att vi är medvetna om dem. Till exempel används en typ av formler i frukt- och grönsaksvågen i affären, i taxibilens taxameter och när du streamar musik till din mobiltelefon.

När du är klar med det här kapitlet ska du kunna

u förenkla, tolka och faktorisera algebraiska uttryck

u lösa förstagradsekvationer och olikheter

u lösa potensekvationer

u använda ekvationer för att lösa problem

u ställa upp, använda och skriva om formler u använda formler i kalkylprogram

Bottental

I figuren här nedanför har vi skrivit talen 3, 11, 4 och 17 på den första raden. Talen i de tomma rutorna får man genom att addera talen närmast ovanför.

Resultatet i den nedersta rutan kallas bottentalet till 3, 11, 4 och 17.

u Beräkna bottentalet till utgångstalen 3, 11, 4, 17

u Vilket tal ska stå i rutan längst till höger om bottentalet ska bli 30?

Introduktionsproblem

Introduktionsproblemet Bottental ger möjlighet att repetera viktiga begrepp som algebraiskt uttryck och ekvation. Problemet lyfter också fram olika problemlösningsstrategier som att jobba baklänges, lösa en ekvation eller undersöka specialfall. I den sista deluppgiften lämpar sig ett undersökande arbetssätt.

Det finns flera sätt att variera och bygga vidare på deluppgifterna, t.ex. genom att lägga till ytterligare rader eller byta räknesätt i rutmönstret. I varianten här nedanför fås talet i en ruta genom att beräkna medelvärdet av de två övre rutornas värden. Låt gärna eleverna fundera på vad som ska stå i de tomma rutorna.

10 8 9

u Kan man utifrån utgångstalen avgöra om bottentalet blir jämnt eller udda?

Formulera en regel. 3 11 4 17 14 8 5 1 30

Svar till Bottental

u 3 11 4 17 14 15 21 29 65 36

u Vi antar att det okända talet är x. 8 5 1 x 13 6 1 + x 19 30 7 + x

Vi får ekvationen 26 + x = 30, som har lösningen 4. Alltså är det talet 4 som ska stå i rutan längst till höger. u Ett sätt att lösa uppgiften är att utgå ifrån att bottentalet ska vara udda och undersöka vilka typer av tal som då kan stå i de övre rutorna. Genom att jobba baklänges och undersöka olika fall kan man visa att bottentalet är udda om 1 eller 3 av utgångstalen är udda. I de fall där det finns noll, 2 eller 4 udda tal bland utgångstalen, så är bottentalet jämnt.

Koordinatsystemet

Den grundläggande idén med ett koordinatsystem är att man kan ange en punkts läge med hjälp av talpar. Samma idé används i kartböcker för att ange en plats eller för att beskriva en schackpjäs placering på ett schackbräde, men i dessa fall anges läget med en bokstav och ett tal. En annan viktig skillnad är att koordinaterna i kartböcker och på schackbräden beskriver ett område och inte en exakt punkt. Ett sätt att introducera koordinatsystem är att markera en punkt på tavlan och instruera eleverna att ange var punkten befinner sig. Eleverna brukar ganska snart komma på att man kan beskriva punktens läge med hjälp av koordinataxlar.

Viktiga begrepp

koordinat, ett av de tal som används för att ange en punkts läge i ett koordinatsystem. koordinatsystem, ett referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal, så kallade koordinater. rätvinkligt koordinatsystem, ett (kartesiskt) koordinatsystem där koordinataxlarna är vinkelräta mot varandra. punkt, ett objekt med position som saknar utsträckning. kvadrant, en av de fyra sektorer som de två koordinataxlarna delar in planet i. origo, punkten som i ett koordinatsystem i planet har koordinaterna (0, 0).

Historia: Descartes och

koordinatsystemet

Vårt koordinatsystem skapades av den franske matematikern och filosofen René Descartes (1596–1650).

Hans latinska namn är Cartesius, och därför kallas vårt koordinatsystem kartesiskt. Det sägs att han kom på idén till koordinatsystemet när han såg en fluga i taket och funderade på hur han skulle beskriva dess läge.

4.1 Linjära samband

Koordinatsystemet

I figuren har vi ritat två tallinjer som skär varandra under rät vinkel. De bildar tillsammans ett koordinatsystem Tallinjerna kallas koordinataxlar. Den horisontella koordinataxeln kallas oftast för x­ axel och den vertikala för y­ axel Den punkt där de båda axlarna skär varandra kallas origo och svarar mot talet noll på båda axlarna. Koordinataxlarna delar planet i fyra kvadranter som numreras moturs.

Vi kommer endast att arbeta med tvådimensionella koordinatsystem där koordinataxlarna skär varandra under rät vinkel, så kallade rätvinkliga koordinatsystem.

Ett koordinatsystem är ett slags referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal , som kallas koordinater. Punkter namnges ofta med stora bokstäver. I figuren här ovanför har punkten A koordinaterna (2, 3). Det första talet är punktens position i förhållande till x-axeln och det andra talet punktens position i förhållande till y-axeln. Punkten B har på samma sätt koordinaterna (−3,5; 2,5), punkten C koordinaterna (−2, −3) och origo som brukar betecknas O har koordinaterna (0, 0). De streckade linjerna i figuren är hjälplinjer för att visa var på axlarna koordinaterna ska avläsas.

Exempel I koordinatsystemet till höger är punkterna

A, B, C och D markerade.

a) Ange punkternas koordinater.

b) Vilken av punkterna ligger i andra kvadranten?

c) Bestäm avståndet mellan punkterna A och B

Lösning: a) Vi avläser punkternas koordinater i koordinatsystemet.

x-koordinaten avläses på x-axeln

Svar: A = (1, −2), B = (1, 2), C = (−1, 4), D = (−2, −3)

De centrala begreppen Lärarguiden lyfter fram de centrala begreppen. Här finner du definitioner och kommentarer till de viktigaste begreppen i varje avsnitt.

y-koordinaten avläses på y-axeln

b) Punkten C ligger i andra kvadranten.

c) B ligger 4 steg ovanför A

Svar: Avståndet mellan A och B är 4 l.e.

ett koordinatsystem anger man avstånd i längdenheter, som förkortas l.e.

SAMBAND OCH FUNKTIONER u 4.1 LINjäRA SAMBAND 168

Descartes var en av dem som var först med att binda samman geometri och algebra, det område inom matematik som i dag kallas analytisk geometri. Han var också en framstående filosof, bland annat känd för att ha myntat uttrycket ”Cogito, ergo sum”, som betyder ”Jag tänker, alltså finns jag”. År 1649 kom Descartes till Sverige för att arbeta som lärare och rådgivare åt drottning Kristina, men avled året därpå i lunginflammation.

Nivå 1

Exempel Beräkna arean av en rektangel vars hörn har koordinaterna (1, 1), (1, 4), (9, 4) och (9, 1)

Lösning: Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem.

Avståndet mellan (1, 1) och (9, 1) ger längden av rektangelns bas, som är 8 l.e.

Avståndet mellan (1, 1) och (1, 4) ger rektangelns höjd, som är 3 l.e.

Rektangelns area = 8 · 3 a.e. = 24 a.e.

I ett koordinatsystem anger man area i areaenheter, som förkortas a.e.

4101 Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter.

a) A med koordinaterna (3, 5)

b) B med koordinaterna (−1, 4)

c) C med koordinaterna (2, −3)

d) D med koordinaterna (2,5; 4,5)

4102 Vilka är punkternas koordinater?

4104 När Stina kommer till fjällstugan slår hon på värmen. Hon antecknar temperaturen de första sex timmarna.

Tid efter start (h) Temperatur (°C)

Att tänka på

De flesta elever är vana vid att arbeta med koordinatsystem och har en god uppfattning om hur man till exempel anger koordinaterna för en punkt. Däremot kan de ha en begränsad erfarenhet av att arbeta med något annat än heltalskoordinater. Det kan därför vara bra att ägna särskild uppmärksamhet åt hur man skriver koordinater för punkter som inte har heltalskoordinater, t.ex. (1,5; −3,5).

En del elever kan missa att skriva ut parenteserna runt en punkts koordinater. Påpeka gärna att (2, 3) är koordinaterna för en punkt medan 2,3 är ett tal skrivet i decimalform.

Det kan också vara bra att framhålla att (2, 3) utläses ”två tre” medan 2,3 utläses ”två komma tre”.

4103 Figuren visar en rät linje i ett koordinatsystem. Ange koordinaterna för

a) den punkt där linjen skär y-axeln

b) den punkt där linjen skär x-axeln

Exempel

Markera punkterna i ett koordinatsystem. Låt tiden vara x-koordinat och temperaturen y-koordinat.

Kommentarer och exempel

4105 Bestäm avståndet mellan punkterna med koordinaterna a) (5, −1) och (5, 8) b) (2, −3) och (−3, −3) c) (111, 114) och (111, −57) Svara i längdenheter. y x 1 1 C D B A y x 1 1 SAMBAND OCH FUNKTIONER u 4.1 LINjäRA SAMBAND 169

I Lärarguiden finns författarnas kommentarer till teoritexter och exempel. Det finns också kompletterande exempel till varje avsnitt. I några avsnitt ger vi även förslag till Exituppgifter som du kan använda för att utvärdera vad eleverna har lärt sig.

Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter:

A = (5, −4), B = (−3,5; −2,5) och C = (0, 3).

Ange också i vilken kvadrant punkterna ligger.

Lösning/Kommentar

Punkt A ligger i fjärde kvadranten och punkt B i tredje kvadranten. Punkt C ligger på y-axeln och tillhör därmed inte någon kvadrant.

Att origo har koordinaterna (0, 0) är de flesta elever medvetna om. Men det är inte självklart för alla elever att x-koordinaten är 0 för samtliga punkter på y-axeln, och att y-koordinaten är 0 för samtliga punkter på x-axeln. Detta är viktigt att känna till, exempelvis när man grafiskt ska bestämma f(0) eller algebraiskt bestämma var en linje skär x-axeln.

Exempel

a) Ange koordinaterna för några punkter som ligger 8 l.e. från punkten (1, 2).

b) Hur många sådana punkter finns det?

Lösning/Kommentar

a) T.ex. (−7, 2), (9, 2), (1, 10), (1, −6).

b) Det finns oändligt många sådana punkter, nämligen alla punkter på cirkeln med medelpunkt i (1, 2) och radien 8 l.e. y x 2 2

En möjlig utvidgning av deluppgift a) är att ange koordinaterna i exakt form för en punkt i den tredje kvadranten som ligger 8 l.e. från punkten (1, 2). Eleverna behöver då känna till Pythagoras sats.

Övningsblad

■ Koordinatsystem

Kommentarer till uppgifterna

I uppgift 5122 och 5128 får eleverna göra beräkningar med formeln för felmarginal.

Uppgift 5123 lyfter en vanlig missuppfattning och bör tas upp i helklass.

I uppgift 5124 ska eleverna själva förklara vad det innebär att en förändring är statistiskt säkerställd. Uppmuntra gärna eleverna att genomföra uppgiften muntligt i par.

I uppgift 5128 handlar det inte om en förändring mellan två stickprovsundersökningar, utan om en enstaka undersökning som jämförs med valresultatet som vi betraktar som en totalundersökning. Därmed ska man använda formeln på sidan 248.

I uppgift 5129 introducerar vi formeln för att beräkna felmarginal för skillnaden mellan resultat i två stickprovsundersökningar. Ett sätt att låta eleverna bekanta sig med formeln är att kontrollräkna värdena i den nedre tabellen på sidan 249.

Eleverna behöver använda formeln som introduceras i uppgift 5129 även i andra uppgifter. Det tipsar vi eleverna om i 5130 och 5131. I 5134 behöverna eleverna själva inse att formeln är användbar.

Ledtrådar till uppgifterna

5119 b) Vilket resultat kan partiet ha som lägst enligt den felmarginal du räknat ut (på konfidensnivån 95 %)?

5121 Är skillnaden mellan mätresultaten större än felmarginalen?

5121 Vid en marknadsundersökning lät man ett antal personer smaka på tre sorters chokladpraliner: A, B och C. Av dessa personer tyckte 42,3 % att B var godast. Man la till mer kakao i pralin B och gjorde sedan om undersökningen. Då fann man att 43,7 % svarade att B var godast. Felmarginalen för skillnaden i mätningarna var 2,5 procentenheter. Är ökningen signifikant?

5122 Använd formeln

f = 1,96 · √ p(100 − p) n för att beräkna felmarginalerna för svarsandelarna i tabellen.

Antal tillfrågade Svarsalternativets andel 800 30 % 1 000 2 % 500 50 %

5123 På nyheterna får Sanna och Olof höra att stödet för statsministern har ökat med 2,3 procentenheter det senaste halvåret. Förändringen är signifikant.

– Då vet vi med 95 % säkerhet att stödet för statsministern har ökat med 2,3 procentenheter, säger Olof.

– Nej, vi vet bara med 95 % säkerhet att stödet för statsministern har ökat, inte med hur många procentenheter, säger Sanna. Vem har rätt?

Kommentarer och ledtrådar till uppgifterna Till varje avsnitt finns kommentarer till avsnittets uppgifter. Där diskuteras bland annat svårigheter och uppgifternas koppling till olika förmågor. Vi ger också förslag på ledtrådar till utvalda uppgifter.

5124 I samband med väljarundersökningar kan man höra uttrycket ”Förändringen är statistiskt säkerställd”. Förklara innebörden av detta uttryck. Ge även ett exempel.

Resonemangsuppgift

5126 Eftersom de exakta värdena från undersökningarna inte finns i tabellen på sidan 249, så får du göra en uppskattning.

5134 Använd formeln i 5129.

Nivå 2

5125 En stickprovsundersökning visade med 95 % säkerhet att andelen Ja­ svar i hela populationen var 20,0 ± 2,5 %. Vilka av följande alternativ stämmer överens med slutsatsen?

A Det var ca 1 000 personer som tillfrågades i stickprovet.

B Det är 5 % sannolikhet att andelen Ja­ svar i hela populationen är mer än 22,5 %. C Det är säkert att andelen Ja­ svar i hela populationen ligger mellan 17,5 % och 22,5 %. D Andelen Ja­ svar i hela populationen kan vara högre än 30 %.

5126 Efter att Gula partiets ledare gjort kontroversiella uttalanden i pressen sjönk partiets sympatier mellan två opinionsundersökningar. De minskade från 20,2 % till 16,1 % på en månad. Var minskningen signifikant, om det var 1 000 personer som ingick i båda stickproven? Använd den nedre tabellen på sidan 249

5127 I kommunvalet 2018 fick det lokala partiet Heja kommunen 7,3 % av rösterna. Ett år senare genomfördes en opinionsundersökning bland 1 000 personer. Då hade sympatierna ökat till 10,0 %. a) Trots att det handlar om en förändring mellan två undersökningar, ska man inte använda den nedre tabellen på sidan 249 för att bedöma om ökningen är signifikant. Varför då?

b) Använd tabellen högst upp på sidan 249 för att bedöma om ökningen var signifikant.

5128 I valet till regionfullmäktige år 2022 fick det regionala partiet ”Sjukvårdens väl” 23,8 % av rösterna. Ett år senare genomfördes en opinionsundersökning. Då hade sympatierna minskat till 22,7 %. Använd formeln i uppgift 5122 för att bedöma om minskningen var signifikant, om antalet tillfrågade personer i stickprovsundersökningen var a) 800 b) 1 000 c) 6 000

Du ska genomföra en stickprovsundersökning om vilket av fyra alternativ som stadens invånare föredrar gällande en ny park. Eftersom det är en stickprovsundersökning, så kommer resultatet att ha en felmarginal.

u Förklara varför det blir en felmarginal.

u Nämn två möjligheter för att minska felmarginalen i resultatet.

Lösning/Kommentar

u Eftersom det är en stickprovsundersökning så finns det en risk att urvalet inte är representativt för hela populationen. Därmed blir det en felmarginal i resultatet.

u Att ha ett större stickprov och att göra ett obundet slumpmässigt urval av stickprovet.

5129 När man jämför resultatet från två stickprovsundersökningar beräknar man felmarginalen i procentenheter för skillnaden mellan de två undersökningarna med formeln f = 1,96 · √ p1(100 − p1) n1 + p2(100 − p2) n2 där p1 och p2 är procentandelen i respektive undersökning och n1 och n2 är stickprovens storlek. Formeln ger en felmarginal som med 95 % säkerhet täcker den verkliga förändringen.

Riktningskoefficient På samma sätt beräknar man en linjes lutning i förhållande till x-axeln.

5131 Vid en opinionsundersökning tillfrågades

Värdet på lutningen kallas linjens riktningskoefficient

Linjens riktningskoefficient = förändring i y-led förändring i x-led = Δy Δx

Vi visar hur man beräknar riktningskoefficienten för tre olika linjer.

L1: y = 3x + 1 Vi utgår från en valfri punkt på linjen L1 Här väljer vi linjens skärningspunkt med y-axeln. Om vi går ett steg åt höger i x-led, så måste vi gå tre steg uppåt i y-led för att nå linjen igen.

a) Använd formeln för att beräkna felmarginalen när Gröna partiet mellan två opinionsundersökningar gick från 7,6 % till 4,4 %. Det var 1 000 personer som besvarade båda stickprovsundersökningarna.

1 000 personer om vilket parti de skulle rösta på om det vore val i dag. 40 % svarade att de skulle rösta på A­partiet och 10 % sa att de skulle rösta på B­partiet. En månad senare gjordes en ny undersökning med 1 000 tillfrågade. Då hade båda partiernas sympatier sjunkit med 2,5 procentenheter.

a) Var förändringarna signifikanta eller låg de inom felmarginalen? (Använd formeln i uppgift 5129 )

b) Tolka betydelsen av ditt svar i deluppgift a).

Linjens riktningskoefficient = Δy Δx = 3 1 = 3

5132 För att beräkna felmarginal på 95 %­nivån använder man formeln f =1,96 · √ p(100 − p) n

b) Var förändringen statistiskt säkerställd?

L2: y = − 1 2 x + 1 Vi gör på samma sätt med linjen L2. När vi utgår från en punkt på linjen och tar två steg åt höger i figuren, så måste vi gå ett steg nedåt i y-led för att nå linjen igen.

5130 Vid en undersökning av skolelevers matvanor fick 1 000 elever besvara en enkät där en av frågorna var: ”Äter du frukost varje dag innan skolan börjar?” På den frågan svarade 692 av de tillfrågade eleverna Ja.

Linjens riktningskoefficient = Δy Δx = −1 2 = − 1 2

Faktorn 1,96 är en konstant som är kopplad till just 95­procentig säkerhet. Hur skulle konstanten behöva ändras om man ville ha en större säkerhet än 95 %? Motivera ditt svar.

a) Hur stor andel av eleverna äter frukost varje dag innan skolan börjar? Ge svaret med felmarginal.

L3: y = 1 Vi gör på samma sätt med linjen L3. När vi utgår från en punkt på linjen och tar ett steg åt höger i figuren, behöver vi varken gå uppåt eller nedåt i y-led.

5133 Emma och Sara ville testa om en tärning var symmetrisk. De gjorde därför 1 000 kast med tärning. Resultatet ser du i tabellen:

Antal prickar 1 2 3 4 5 6

Efter en hälsokampanj gjorde man om undersökningen med ett nytt stickprov om 1 000 personer, och då svarade 739 elever Ja.

Linjens riktningskoefficient = Δy Δx = 0 1 = 0

Tips till din undervisning

Antal kast 185 160 164 187 141 163

Riktningskoefficienten k I alla tre fallen ser vi att linjens riktningskoefficient är lika med värdet av k i respektive linjes ekvation: k = 3, k = − 1 2 och k = 0. En linjes lutning i förhållande till x-axeln ges alltså av ekvationens riktningskoefficient k

b) Använd formeln i uppgift 5129 för att beräkna felmarginalen för skillnaden mellan de två stickprovsundersökningarna.

c) Är ökningen signifikant?

a) Gör en tabell som visar den relativa frekvensen med felmarginaler.

b) Kan de utifrån sitt försök säga att det är troligt att tärningen är symmetrisk?

5134 Ett år genomförde man opinionsundersökningar varje månad under sista kvartalet. Här ser du hur stor andel som svarade att de skulle rösta på Mittenpartiet

Räta linjens ekvation u Ekvationen y = kx + m, där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation och beskriver en rät linje i ett koordinatsystem.

I Lärarguiden hittar du mängder med tips till din undervisning. Det kan vara förslag på inledande problem, kommentarer till kritiska punkter i lärandet, en historisk utvikning eller en matematisk fördjupning.

Månad Okt Nov Dec

Andel sympatier (%) 11,0 9,1 7,9

u Riktningskoefficienten k anger linjens lutning i förhållande till x-axeln: k = Δy Δx

Antal tillfrågade 843 812 866

Är Mittenpartiets minskning under perioden signifikant?

u Värdet av m anger y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

STATISTIK OCH SANNOLIKHET

Problemlösningsuppgift

När man genomfört en stickprovsundersökning redovisar man ofta resultatet med felmarginal på en viss konfidensnivå.

u För vilken av konfidensnivåerna 95 % och 99 % är felmarginalen för de olika alternativen minst?

Övningsblad och Aktiviteter

u Stickprovsundersökningen visar att alternativ A får resultatet 20 % och alternativ B får resultatet 30 %. För vilket av alternativen är felmarginalen minst?

Lösning/Kommentar

u Konfidensnivån 95 % ger minst felmarginal, eftersom det är större risk att det verkliga resultatet ligger utanför konfidensintervallet.

En del elever behöver mer färdighetsträning än vad som erbjuds i läroboken, medan andra elever i stället behöver mer utmanande arbetsuppgifter. Till många avsnitt i läroboken finns därför extra färdighetsträning i form av Övningsblad och mer omfattande uppgifter, inte sällan med en laborativ vinkel, som vi kallar Aktiviteter. Övningsbladen och aktiviteterna säljs separat som nedladdningsbara dokument.

u Tabellen på sidan 248 (och formeln på sidan 249) visar att felmarginalen är mindre för alternativ A, som har 20 % i stickprovsundersökningen.

Lektionstips

Lutningen på en trappa

Lägg ca 10 000 pärlor av olika färg i en stor burk. Det exakta antalet pärlor per färg är känt för dig, men inte för eleverna. Pärlorna skulle då kunna representera en stor population, och de olika färgerna skulle kunna representera t.ex. olika politiska partier. Bilda 10 elevgrupper från din klass och ge dem följande uppgifter:

u Ta ett stickprov ur burken. (Ge dem inte mer information än så, de ska själva fundera över hur detta görs på lämpligt sätt. Varje elevgrupp får då troligtvis lite olika stora stickprov).

u Det är 10 000 pärlor totalt i burken. Skatta totala antalet pärlor per färg med hjälp av ert stickprov. Skriv ert resultat på tavlan.

Idén bakom lutningen för en rät linje kan introduceras genom att jämföra med lutningen för en trappa. Branta trappor har höga men grunda trappsteg, medan mindre branta trappor har lägre, djupare trappsteg. Förhållandet mellan höjd och djup på trappstegen ger ett mått på trappans lutning. Detta kan konkretiseras genom att man anger värdet 1 dm på trappstegets djup och jämför lutningen på trappor med olika värden på trappstegets höjd, t.ex. 1 dm, 3 dm och 0,5 dm. Om man ritar en rät linje längs med trappans steg, blir det förhoppningsvis tydligt att en rät linjes lutning kan bestämmas enligt samma princip. y x = höjd = djup

u Summera totala antalet pärlor per färg från alla 10 grupper, skriv på tavlan. Gör nu (i helklass) en ny skattning av hur många kulor det finns per färg i burken.

u Bestäm i helklass, med hjälp av formeln från sidan 248, felmarginalerna i procent för respektive färg (på det stora stickprovet). Beräkningarna kan med fördel fördelas på de olika grupperna.

Gruppaktivitet

Med ett digitalt hjälpmedel kan eleverna själva undersöka hur värdena på k och m i räta linjens ekvation påverkar grafens utseende. Här följer en enkel instruktion till en sådan undersökning.

u Jämför klassens resultat från det stora stickprovet, inklusive felmarginaler, med det korrekta antalet pärlor per färg. (Som du nu ger eleverna).

u Rita linjen y = 2x + m för några olika värden på m. Beskriv likheter och skillnader i grafernas utseende. Vilken slutsats kan du dra om m-värdets betydelse för en linjes utseende?

Täcker stickproven, med felgränser, in de korrekta värdena? (Detta brukar ofta stämma väldigt bra, vilket kan förvåna eleverna. Det stora stickprovet brukar bli ca 1 000 pärlor).

u Diskutera hur väl de första mindre stickproven överensstämmer med det stora stickprovet från alla 10 grupperna.

u Rita linjen y = kx + 1 för några olika värden på konstanten k. Variera både storleken och tecknet för k. Beskriv likheter och skillnader i grafernas utseende. Vilka slutsatser kan du dra om k-värdets betydelse för en linjes utseende?

I Lärarstöd+ finns färdiga simuleringar där du kan låta eleverna undersöka motsvarande samband i GeoGebra.

Övningsblad

■ Räta linjens ekvation 1

Aktiviteter

■ Para ihop SAMBAND

Rika problem

I boken Rika matematiska problem − inspiration till variation (Hagland m.fl., 2005) hittar ni exempel på uppgifter som kan lösas på flera olika sätt. Där finns bland annat uppgifterna Tornet och Stenplattor som kan passa bra att göra i anslutning till att man arbetar med talföljder och aritmetiska summor.

Kommentarer till uppgifterna

Uppgifterna 2460 och 2462 är verklighetsanknutna och övar elevernas förmåga att tillämpa aritmetisk summa som matematisk modell.

Vid lösning av uppgift 2460 har en del elever svårt att förstå hur mycket Clara stickar varje dag. Hjälp då gärna eleverna att upptäcka den aritmetiska talföljden.

Uppgift 2461 inbjuder till variation. Eleverna kan till exempel få i uppgift att beräkna summan av alla tal mellan 100 och 300 som är delbara med 7 eller summan av alla tresiffriga tal som slutar på 5.

I uppgift 2464 behöver eleverna använda summaformeln och där sätta in ett uttryck för sista termen.

Uppgift 2465 kräver god förståelse för algebraiska uttryck och aritmetiska talföljder. Dessutom övar den elevernas resonemangs- och kommunikationsförmåga.

Beviset som eleverna ska göra i uppgift 2466 är ganska krångligt, så här kan eleverna eventuellt behöva några bra tips. De kan t.ex. teckna summan sn på två olika sätt och addera ledvis, sn = a1 + a2 + … + an − 1 + an = = an + an − 1 + … + a2 + a1. Sedan kan de använda resultatet i uppgift 2465 för att förenkla uttrycket för 2sn

Ledtrådar till uppgifterna

2460 Dag två stickar Clara 22 cm.

2464 b) Hur många stickor finns i figur p?

2467 Vad blir resultatet om du subtraherar den första termen i den ena talföljden med den första termen i den andra, den andra termen i den första talföljden med andra termen i den andra osv.?

Nivå 2

Nivå 2

2455 Var i den aritmetiska talföljden 82; 80,5; 79, … hittar du talet 65,5? Motivera ditt svar.

2455 Var i den aritmetiska talföljden 82; 80,5; 79, … hittar du talet 65,5? Motivera ditt svar.

2456 I en aritmetisk talföljd är a5 = 17 d = 2,1.

2456 I en aritmetisk talföljd är a5 = 17 och d = 2,1.

a) Bestäm de tre första elementen.

a) Bestäm de tre första elementen.

b) Beskriv talföljden med en formel.

b) Beskriv talföljden med en formel.

c) Beräkna summan av de 20 första elementen.

c) Beräkna summan av de 20 första elementen.

2457 Undersök om följande talföljder är aritmetiska.

2457 Undersök om följande talföljder är aritmetiska.

a) an = 2 − 4n för n ≥ 1

b) bn = 2 4n för n ≥ 1

a) an = 2 − 4n för n ≥ 1 b) bn = 2 · n för n ≥

2458 Torvald säger att om man vet att summan av en talföljd är 214 och att det första elementet är 7, så kan man beräkna differensen. Har Torvald rätt? Motivera ditt svar.

2458 Torvald säger att om man vet att summan av en aritmetisk talföljd är 214 och att det första elementet är 7, så kan man beräkna differensen. Har Torvald rätt? Motivera ditt svar.

2459 Förklara med hjälp av uttrycket för entisk summa varför av de n första positiva heltalen kan beräknas n(n + 1)

2459 Förklara med hjälp av uttrycket för en aritmetisk summa varför summan av de n första positiva heltalen kan beräknas med uttrycket n(n + 1) 2

2460 Clara stickar en halsduk. Den första dagen stickar hon 18 cm av halsduken och senare stickar hon varje dag 4 cm mer än dagen Hur dagar tar det för henne en halsduk som är 2 meter

2460 Clara stickar en halsduk. Den första dagen stickar hon 18 cm av halsduken och senare stickar hon varje dag 4 cm mer än dagen före Hur många dagar tar det för henne att sticka en halsduk som är 2 meter lång?

2461 Beräkna summan av alla tvåsiffriga tal.

2461 Beräkna summan av alla tvåsiffriga tal.

Resonemang och begrepp

Resonemang och begrepp

u Vilken skillnaden mellan ett uttryck och en formel?

u Vilken är skillnaden mellan ett uttryck och en formel?

u Vad menas med att lösa ut en variabel ur en formel?

u Vad menas med att lösa ut en variabel ur en formel?

u Vad skiljer en sluten formel och en rekursiv formel?

u Vad skiljer en sluten formel och en rekursiv formel?

u 4, 4, 4, 4, … en aritmetisk talföljd? Motivera ditt svar.

u Är 4, 4, 4, 4, … en aritmetisk talföljd? Motivera ditt svar.

ALGEBRA u 2.4 FoRMLER ocH tALFöLJDER 116

ALGEBRA u 2.4 FoRMLER ocH tALFöLJDER 116

2462 I en konsertlokal finns det rader med sittplatser. På varje rad finns det två platser fler än på raden innan. rad 15 finns sittplatser. Hur många sittplatser finns det totalt i konsertlokalen?

2462 I en konsertlokal finns det 30 rader med sittplatser. På varje rad finns det två platser fler än på raden innan. På rad 15 finns det 50 sittplatser. Hur många sittplatser finns det totalt i konsertlokalen?

Nivå 3

Nivå 3

2463 Det första elementet i en aritmetisk talföljd är 2 och summan av de 20 första elementen är 268. Beskriv talföljden med en formel. 2464 Gabriel bygger figurer med tändstickor

2463 Det första elementet i en aritmetisk talföljd är 2 och summan av de 20 första är 268. Beskriv talföljden en formel. 2464 Gabriel bygger med

2

3 a) Hur många tändstickor behöver han totalt om han bygga 100 b) Hur många tändstickor behöver han totalt om han bygga p

aritmetisk

2466 Visa att summan av de n första termerna i en aritmetisk talföljd ges formeln sn = n a1 an)

2467 Bestäm

Svar till Resonemang och begrepp

u En formel är en likhet som beskriver ett samband mellan olika variabler. Formler är vanliga i naturvetenskapliga sammanhang och beskriver där samband mellan olika storheter, t.ex. mellan kraft och massa eller mellan sträcka och tid. Ett uttryck innehåller till skillnad från en formel inget likhetstecken utan endast variabler, siffror och symboler.

u Man skriver om formeln så att variabeln står ensam i vänster eller höger led.

u Med en sluten formel kan man direkt räkna ut värdet av ett element i en talföljd genom att sätta in elementets index i formeln. Man behöver alltså inte känna till föregående element. En rekursiv formel bygger på att man känner till värden av tidigare element i talföljden. Man beskriver varje element i talföljden med hjälp av föregående element.

u Ja, talföljden 4, 4, 4, 4, … är en aritmetisk talföljd eftersom den uppfyller kriteriet att differensen mellan två på varandra följande tal är konstant. I det här fallet är differensen 0. Varje element an i talföljden kan skrivas som an = 4 + (n − 1) · 0 = 4.

Fibonaccis talföljd

Fibonaccis talföljd

print

skriver ut och värdet på variabler for upprepar en kod angivet

13, 21, i talföljden, tal talföljden är 13 + 34. Följden talföljd, efter mer Fibonaccis talföljd på

En känd talföljd börjar med talen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. Om man vill beräkna nästa tal i talföljden, summerar man de två föregående talen. Nästa tal i talföljden är alltså 13 + 21 = 34. Följden har fått namnet Fibonaccis talföljd, efter matematikern Leonardo Fibonacci som levde på 1200-talet. Du kan läsa mer om Fibonaccis talföljd på sidan 120.

I den här aktiviteten får eleverna använda programmering för att undersöka Fibonaccis talföljd. De får bland annat ta reda på slutsiffran i det 159:e Fibonaccitalet och undersöka kvoten mellan konsekutiva Fibonaccital.

1 Jonathan vill konstruera ett program i Python 3 som skriver ut de 10 första Fibonaccitalen. Han skriver in följande kod:

a = 1

1 konstruera Han skriver in = = Fibonaccitalen for

b = 1 print("De 10 första Fibonaccitalen är") for i in range(10): print(a)

Inled gärna aktiviteten genom att berätta om Leonardo Fibonacci och hans talföljd. Du kan utgå från texten i avsnittet Historia på sidan 120 i elevboken. Låt sedan eleverna arbeta med aktiviteten enskilt eller i par.

a b b b a När han fel.

a = b b = b + a

När han kör programmet upptäcker han att något blivit fel. Förklara varför det blir fel.

2 ändrar sin for

2 Jonathan ändrar sin kod i for-slingan till: for i in range(10): print(a)

c = a + b a b b c

c a b a b b c Kontrollera programmet nu som Jonathan

Kontrollera att programmet nu gör som Jonathan har tänkt.

1 Problemet är att värdet av a uppdateras innan det nya värdet av b beräknas.

2 Ja, programmet fungerar.

3 Ändra for i in range(10): till for i in range(50):

4 Det 159:e Fibonaccitalet är 75779161866773113924 7631372100066. Slutsiffran är alltså 6.

3 Ändra i koden så att programmet skriver ut de 50 första Fibonaccitalen.

3 i koden

4 Vilken slutsiffra har det 159:e talet i Fibonaccis talföljd?

Om vi dividerar varje Fibonaccital med det föregående talet i talföljden, så får vi en ny talföljd:

1 1 , 2 1 , 3 2 5 3 , 8 5 , 13 8 , …

4 slutsiffra har det 159:e talet Fibonaccis talföljd? föregående talet får vi en 1 1 2 1 , 13 …

5 a) Kvoten stabiliserar sig kring ca 1,618. Talet brukar kallas för det gyllene snittet och kan exakt skrivas 1 + √5

2

5 Ändra i programmet så att det skriver ut de 20 första talen i den nya talföljden.

5 Ändra i skriver de första i nya

a) Vilket mönster kan du se?

b) Vad händer = 1 och 1 till

b) Vad händer med mönstret om du ändrar Fibonacciföljdens första två tal a = 1 och b = 1 till andra tal?

PROGRAMMERING

ALGEBRA u PROGRAMMERING 117

Kommentar: Uppgiften kan lösas med programmet: a = 1 b = 1 for n in range (20): print(b/a)

c = b

b = a + b

a = c

b) Det blir samma kvot.

I den sista deluppgiften får eleverna undersöka kvoten mellan två konsekutiva Fibonaccital. Eleverna kommer att märka att kvoten stabiliserar sig kring talet 1,618. Lyft gärna fram att talföljden konvergerar mot det så kallade gyllene snittet: 1 + √5 2 .

Fibonaccitalen har många intressanta egenskaper som man kan undersöka med hjälp av programmering, t.ex. Om man kvadrerar Fibonaccitalen, får man en ny följd av tal. Om man adderar två på varandra följande tal i den följden, så får man alltid ett Fibonaccital.

Man kan också låta eleverna undersöka de så kallade Lucastalen. Den talföljden är uppbyggd på samma sätt som Fibonaccitalen, men med 2 och 1 som de första elementen i stället för 1 och 1.

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, …

Det finns intressanta samband mellan Lucastalen och Fibonaccitalen, som eleverna kan undersöka med hjälp av programmering, t.ex. Ln = Fn − 2 + Fn , n > 3.

Svar till Rätt eller fel?

1 Rätt.

2 Fel. Förkortningen ppm betyder miljondelar (parts per million).

3 Rätt.

4 Fel. Förändringsfaktorer är större än 1 när den beskriver en ökning. Exempelvis ger ökning med 12 % förändringsfaktorn 1,12.

5 Fel. Ränta är avgiften man betalar för att få låna pengar och amortering är avbetalning på lånet.

6 Fel. Den årliga förändringsfaktorn för en ökning med 2 % är 1,02. Den totala förändringsfaktorn över tre år blir då 1,023 = 1,0612, vilket motsvarar en ökning med ca 6,1 % och inte med 8 %.

7 Fel. Ökningen är 4 procentenheter. Förändringsfaktorn ges av 23 19 ≈ 1,21, dvs. ökningen är 21 %.

8 Fel. Om priset först ökar med 10 % och sedan minskar med 10 %, så blir den totala förändringsfaktorn 1,1 ∙ 0,9 = 0,99 dvs. en minskning av det ursprungliga priset med 1 %.

9 Rätt. De totala förändringsfaktorerna blir 1,15 ∙ 0,94 respektive 0,94 ∙ 1,15, dvs. i båda fallen 1,081.

Svar till Undersök

Månadskort

u 1 900 ∙ 1,06 = 2 014 kr

u Eftersom Intäkt = pris ∙ antal, så ges intäktsförändringen av 1,06 ∙ 0,94 ≈ 0,996, dvs. totalt sett en minskning med ca 0,4 %. Alltså är alternativ C rätt.

u Man behöver bara känna till den procentuella ökningen av priset och den procentuella minskningen av antalet sålda månadskort. För om x är antalet sålda månadskort och y är priset innan prisökningen så är intäkterna före prisökningen

I1 = x ∙ y och intäkterna efter prisökningen

I2 = 0,94x ∙ 1,06y = 0,9964xy ≈ 0,996 ∙ I1 vilket motsvarar en minskning med ca 0,4 %.

Löneförhöjning

Anta att Andreas lön var x kr och att Lisas lön var y kr.

0,05x = 0,025y

2x = y

Det är alltså möjligt att de fick lika stor löneförhöjning i kronor om Lisa hade dubbelt så hög lön som Andreas.

Rätt eller fel?

Om man vill beräkna delen, så kan man multiplicera andelen med det hela.

förkortningen ppm betyder tusendelar.

Att få 50 % rabatt betyder att man betalar halva priset.

förändringsfaktorn kan aldrig vara större än 1.

Ränta och amortering är samma sak.

Undersök

Månadskort

Ett bussbolags intäkter för månadskort är under en månad 5 931 800 kr. Månadskortet kostar 1 900 kr. När priset på månadskortet höjs med 6 % minskar antalet sålda månadskort med 6 %.

u Vad kostar månadskortet efter höjningen?

u Vilket av följande alternativ stämmer?

A Bussbolagets intäkter för månadskorten är desamma som tidigare.

B Bussbolagets intäkter för månadskorten kommer att öka.

C Bussbolagets intäkter för månadskorten kommer att minska.

u Vilken av informationen i den inledande texten behöver man minst känna till för att kunna avgöra vilket av svarsalternativen som stämmer? Motivera ditt svar.

Om din lön ökar med 2 % tre år i rad, så har den ökat med totalt 2 · 2 · 2 = 8 %.

Om andelen som röstar på ett parti ändras från 19 % till 23 % mellan två val, så är ökningen 4 %.

Om priset på ett par jeans först ökar med 10 % och därefter minskar med 10 %, så är priset detsamma som det ursprungliga.

En ökning med 15 % följd av en minskning med 6 % ger samma resultat som en minskning med 6 % följd av en ökning med 15 %.

Löneförhöjning

Andreas och Lisa fick båda löneförhöjning med lika många kronor vardera. Andreas löneförhöjning var 5 % och Lisas var 2,5 %. undersök med beräkningar och resonemang för vilka löner detta kan vara möjligt. (Np MaA vt 2002)

Kalkylblad och fördubblingstid

Använd ett kalkylblad och undersök hur lång tid det tar för ett kapital att fördubblas om den årliga räntesatsen är

u 1 % u 2 % u 5 % u 10 %

Anna påstår att, om man vet räntesatsen p %, så kan man uppskatta fördubblingstiden T år med formeln

T ≈ 70 p u undersök om Annas formel stämmer.

Kalkylblad och fördubblingstid

Med räntesatserna 1 %, 2 %, 5 % och 10 % ser kalkylbladet ut så här

En formel som kan användas för kopiering med fyllnadshandtaget är i cell B3 =B2*1,01, i cell C3 =C2*1,02, osv.

Efter ca 70 år, ca 35 år, drygt 14 år och 7 år har kapitalet fördubblats. Annas formel fungerar. Den ger 70 år, 35 år, 14 år och 7 år vilket stämmer bra med beräkningarna i kalkylbladet.

Problemlösning och modellering

En korg full

Tänk dig en stor korg som innehåller varor och tjänster som hushållen i Sverige brukar köpa. för att undersöka prisutvecklingen i Sverige följer

Statistikmyndigheten SCB hur priset på den här korgen utvecklas över tid. Resultatet sammanfattas i Konsumentprisindex, KPI

% KPI-korgen år 2020

u Vad lägger de flesta hushåll mest respektive minst pengar på?

u familjen Palmstiernas totala utgifter per månad är 32 000 kr. Hur mycket lägger de på alkohol och tobak per månad om de följer det allmänna köpmönstret?

u familjen Torstensson använder runt 3 000 kr per månad till transporter. uppskatta familjens samlade utgifter per månad.

u familjen Sibaharti använder ungefär 700 kr till hälso- och sjukvård per månad. Gör en uppskattning av familjens boendekostnad.

u Anta att utgifter för kläder och skor i KPikorgen ökar till 4 %. Hur stor är den procentuella ökningen?

u familjen Modins totala utgifter per månad var 40 000 kr i början av år 2020. i tabellen här nedanför ser du hur familjens utgifter förändrades under år 2020. Skriv av tabellen och uppskatta de nya värdena Med hur många procent har familjens totala utgifter förändrats under året?

Förändring (%) under 2020 Nytt värde (kr)

KPI-korgen

Boende 4,2

Kläder, skor −15,2

Alkohol, tobak 5,4

Livsmedel 5,0

Diverse −1,4

Restaurang och logi −21,8

Rekreation 0,8

Post, tele 5,6

Transporter −2,3

Hälso- och sjukvård 2,9

Inventarier 7,8

Utbildning 0 Summa

u utgå från KP -korgen för år 2020. Hur stor andel skulle boendet uppta om utgiften för boende ökar med 10 % medan alla andra utgifter är oförändrade?

u UPPSLAGET 157

Svar till Problemlösning och modellering

u Hushållen lägger mest pengar på boendet och minst på utbildning.

u Enligt det allmänna köpmönstret går 3,9 % av hushållens utgifter till alkohol och tobak. I familjen Palmstiernas fall motsvarar detta 0,039 ∙ 32 000 = 1 248 ≈ 1 250 kr per månad.

u Om familjen Torstensson följer det allmänna köpmönstret motsvarar de 3 000 kronorna ca 13,4 % av familjens totala utgifter. Utgifter totalt: 3 000 0,127 ≈ 23 622 ≈ 23 600 kr.

u 700 kr motsvarar enligt KPI-korgen 3,5 % av de totala utgifterna. 1 % av utgifterna är då 700 3,5 = 200 kr.

Enligt det allmänna köpmönstret går 24,9 % till boende, dvs. 200 ∙ 24,9 = 4 980 kr.

u Förändringsfaktorn är 4 3,9 ≈ 1,026. Det motsvarar en ökning på ca 2,6 %.

u Vi ser i tabellen att hushållens utgifter ligger på ungefär samma nivå som förra året. Eftersom vi antar att innehållet i korgen är detsamma, kan vi tolka det som att priserna i stort sett är oförändrade. KPI blir alltså i princip samma som förra året.

KPI-korgen Förändring (%) under 2020 Nytt värde (%)

Fullständiga lösningar

I Lärarguiden finns svar och lösningar till Resonemang och begrepp, Historia och Uppslaget.

u Om utgifterna för boendet ökade med 10 % skulle hushållets totala utgifter öka med 0,1 ∙

= 2,49 %. De totala utgifterna skulle då motsvara 102,49 % av de totala kostnaderna för år 2020. Boendets andel av denna nya utgiftskostnad är 24,9 ∙ 1,1

PROCENT

Kryptiska funktioner

Ett substitutionskrypto kan ses som en funktion som till varje bokstav i klartexten ordnar precis en bokstav i kryptotexten. Om man i ett sådant krypto låter slumpen bestämma vilken bokstav som ska krypteras med vilken, är det svårt att beskriva krypteringsfunktionen med en ekvation eller en formel. Då passar det bra att i stället beskriva funktionen med en tabell, t.ex.

Klartext (invärde) Kryptering (utvärde)

A K

B C

C Ö

D A

E E

F U

Om f är krypteringsfunktionen så gäller alltså f(A) = K; f(B) = C osv.

Exemplet visar att det inte alltid lämpar sig att beskriva en funktion med en ekvation och att definitionsmängd och värdemängd inte alltid består av tal.

Svar till historiefrågorna

u Caesarkoden: Regnet står som spön i backen Alfabetet är i koden förskjutet två steg åt höger.

u Brädgårdskryptot: HEMLIGTMEDDELANDE

Lästips

Mer om kryptering finns att läsa i Kodboken av Simon Singh (2000).

Kryptering

?

?

Definitionsmängden för en funktion behöver inte alltid vara tal utan kan, som här, t.ex. vara bokstäver.

f f

Hemlig skrift

Hemlig

Ordet kryptering kommer från krypto som skickar, genom

stav i alltså texten, kallas ett Ett redan Julius Caesars fälttåg i steg. En förskjutning F i D. Den av krypto kallas

Ordet kryptering kommer från grekiskans krypto som betyder dölja. Behovet av att kryptera information man skickar, genom att skapa hemlig skrift, har alltid varit stort. Ofta är ett krypterat meddelande arrangerat så att varje bokstav i klartexten, alltså den okrypterade texten, byts ut mot en annan bokstav. Det kallas för ett substitutionskrypto. Ett sådant omnämns redan i Julius Caesars skildring av sitt fälttåg i Gallien. Han lät bokstäverna i alfabetet förskjutas ett visst antal steg. En förskjutning med två steg gav exempelvis ett C i stället för A och ett F i stället för D. Den här formen av krypto kallas därför ofta för ett Caesarkrypto

Den används på en För att = C och f(D)

Den regel som används för att överföra en klartext till en kryptotext är ett exempel på en funktion. För funktionen som beskriver kryptotexten här ovanför gäller exempelvis att f(A) = C och f(D) = F. För att avkryptera meddelandet används en omvänd funktion (invers), f −1 som kallas nyckel. Den omvända funktionen visar vad varje bokstav i kryptotexten ska ersättas med för att få klartexten. Exempelvis gäller för den omvända funktionen att f −1(C) = A och f −1(F) = D.

funktionen visar varje bokstav klartexten. Exempelvis funktionen f = A och f −1(F) = Om man flyttar om bokstäverna i stället för att förskjuta dem, har man fått man meddelandet varannan bokstav undre raden. sätter man är ”vi

Om man flyttar om bokstäverna i stället för att förskjuta dem, har man fått ett transpositionskrypto. Ett exempel på ett sådant är brädgården. Där skriver man meddelandet på två rader med varannan bokstav på övre och varannan på undre raden. Sedan sätter man ihop övre och undre raden efter varandra. Om meddelandet som ska krypteras är ”vi anfaller i gryningen” så blir det krypterat ”vafleirnneinalrgyign”.

Rad 1 v a f l e i r n n e

1 a f l i 2 i n a l y i

Rad 2 i n a l r g y i g n

Krypteringsmaskiner

Försök att ut algoritm och en nyckel för att få klartext.

DCEMGP

Försök att lista ut Caesarkoden. Ge en algoritm och en nyckel för att få klartext. TGIPGV UVÖT UQO URBP K DCEMGP

Tyd meddelandet som är ett brädgårdskrypto.

Tyd meddelandet är ett brädgårdskrypto. ? en behöver inte vara utan som t.ex. vara bokstäver.

HMITEDLNEELGMDEAD

Krypteringsmaskiner har allt utvecklats allt avance koderna. Under verkades maskiner underlätta krypteringen. sådan krypteringsmaskin är Enigma. Det var den som gav den tyska armén en mycket svårforcerad kod under andra slut av ker och detta hade stor betydelse för slutfasen av och de allierades seger. I dag krypteras stora mäng der information med hjälp av datorer. Det är den krypteringen vi saker via åt våra

Genom århundradena har allt mer komplicerade krypton tagits fram, men det har också utvecklats allt mer avance rade metoder för att knäcka koderna. Under 1900-talet till verkades maskiner för att underlätta krypteringen. En känd sådan krypteringsmaskin är Enigma. Det var den som gav den tyska armén en mycket svårforcerad kod under andra världskriget. Enigmakoden knäcktes till slut av matemati ker och detta hade stor betydelse för slutfasen av och de allierades seger. I dag krypteras stora mäng der information med hjälp av datorer. Det är exempelvis tack vare den krypteringen som vi kan betala för saker via nätet utan att någon utomstående kommer åt våra betalningsuppgifter.

Klartext

SAMBAND

Arbetsförslag 1

Samband och

Samband och funktioner

funktioner

Linjära funktioner

u räta linjens ekvation i k-form: y = kx + m allmän form: ax + by + c = 0

u riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning

u räta linjens ekvation k-form: y = m allmän ax + by + c = riktningskoefficienten linjens lutning

u parallella linjer, k1 = k2

u parallella k1 vinkelräta k1 2

u vinkelräta linjer, k1 k2 = -1

Koordinatsystem

Koordinatsystem

u x-axel och y-axel

u origo

u fyra kvadranter

u en punkts läge beskrivs av två koordinater (x y

fyra kvadranter en y)

Funktion

u samband

u regel

u oberoende och beroende variabel

variabel och

u definitionsmängd och värdemängd

u funktionsuttryck

Representation av funktioner

u funktionsuttryck

u konstanttermen m anger linjens skärning med y-axeln

konstanttermen linjens med y-axeln

u förstagradsfunktion

förstagradsfunktion

4

u grafen linje proportionalitet: y

u grafen är en rät linje

u proportionalitet: y kx

linjära beskriver där något ökar eller minskar i jämn takt

u linjära modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar i jämn takt

Ett sätt att repetera viktiga begrepp i kapitlet är att låta eleverna fundera kring den öppna frågan: ”Hur kan en graf till en funktion se ut?” Det ger möjlighet att sammanfatta egenskaperna hos graferna till exponential- och potensfunktioner samt funktioner som beskriver linjära samband. Men det kan också leda vidare till frågan om en graf till en funktion kan se ut hur som helst. Kan en graf till en funktion ha formen av ett U? Av ett S? På det här sättet kan definitionen av en funktion repeteras och fördjupas.

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

u f(x) = Cax

u variabeln x är i exponenten

u a > 1 0 < a < 1

f Cax variabeln a 0 a 1 u exponentiella modeller situationer något ökar eller med lika procent av funktioner

u exponentiella modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar med lika många procent

Potensfunktioner

u f(x) = Cxa

Arbetsförslag 2

För att sammanfatta funktionsavsnittet kan det vara en god idé att låta varje elev skriva ner eller rita allt de associerar till ordet funktion. Elevernas associationer i form av ord, formler, grafer och exempel kan sedan sammanfattas på tavlan och en liknande tankekarta som den i boken kan växa fram.

u ekvation

u graf

u ekvation graf u

u värdetabell

u variabeln x är bas i en potens

u proportionaliteter: y = kx y = kx2

f Cxa u variabeln x en proportionaliteter: y kx y kx2 y 1 y 1 x2

y = k 1 x y = k 1 x2

233

SAMBAND OCH FUNKTIONER  TANKEKARTA 233

Arbetsförslag

I varje kapitel ges ett nytt förslag på hur man kan arbeta med tankekartan.

En variant på övningen är att eleverna får ett antal post-itlappar där de antecknar alla ord, formler eller bilder som de associerar till ordet funktion. Exempel på begrepp kan vara koordinatsystem, kvadrant, värdetabell, graf, ekvation, linjär modell, beroende variabel, oberoende variabel, funktion, definitionsmängd, värdemängd, riktningskoefficient, m-värde, proportionalitet, exponentialfunktion och potensfunktion. Eleverna kan också välja att skissa grafer eller skriva formler

som y = kx + m, f(x) = C ∙ ax eller k = Δy Δx .

Eleverna ska sedan fästa post-it-lapparna på ett A4-papper och dra streck mellan de lappar som de tycker hör ihop.

De får sedan muntligt förklara sin tankekarta för en kamrat. Om en elev dragit ett streck mellan begreppen funktion och graf, eller funktion och ekvation, så ska eleven förklara hur dessa begrepp är relaterade till varandra. Tankekartorna kan utgöra ett rikt underlag då man som lärare vill göra sig en bild av hur långt en klass, eller en enskild elev, har kommit i sin begreppsförståelse.

Om eleverna har tillgång till dator kan motsvarande övning göras i något digitalt verktyg.

7 Vi söker en linje med ekvationen y = kx + m

k-värdet är

Lösningar

k = ∆y ∆x = 5 − 4 3 − 1 = 1 2

Vi sätter in den första punkten i ekvationen vilket ger y = kx + m

4 = 1 2 ∙ 1 + m

m = 4 − 1 2 = 7 2

Det ger ekvationen y = 1 2 x + 7 2

11 a) s = v ∙ t

t = s v ger

t = 484 100 h = 4,84 h

Fullständiga lösningar

Kostnaden är grundavgiften (45 kr) + timavgift (4,84 ∙ 395 kr) + kilometeravgift (484 ∙ 10,90 kr) = = (45 + 1 911,80 + 5 275,60) kr = 7 232,40kr

Här följer lösningarna till Nivå 3-uppgifterna och Kapiteltesten i elevboken Matematik Origo nivå 1c. Vi presenterar för det mesta en lösning till varje uppgift. Inte sällan finns det flera möjliga lösningar som är lika bra − eller kanske till och med bättre. Utrymmet tvingar oss att skriva kortfattat. I många fall finns liknande uppgifter lösta i läroboken. De lösningarna innehåller som regel fler steg och är dessutom mer utförligt kommenterade.

Svar: Det kostar 7 232 kr.

Längst bak i Lärarguiden finns även lösningar till bokens Nivå 3­uppgifter samt till Kapiteltesten.

b) Priset är grundavgift (45 kr) + + timavgift (395 kr/h ∙ tiden t h) + + kilometeravgift (10,90 kr/km ∙ sträckan x km)

Lösningar till Uppslaget och Historia finner du på motsvarande uppslag i Lärarguiden.

8 a) Vi prövar det första villkoret genom att utveckla

båda sidor:

Tiden, t = s v = x 100 h

I Lärarguiden finns även förslag på svar till diskussionsfrågorna i Resonemang och begrepp

VL = f(x + y) = k(x + y) + m = kx + ky + m

HL = f(x) + f(y) = (kx + m) + (ky + m) = kx + ky + 2m

Innehåll

Om vi jämför utvecklingen av VL och HL, ser vi att de är lika endast då m = 0. Det innebär att funktionen y = kx + m inte är en linjär funktion.

1

b) Vi provar det första villkoret genom att utveckla båda sidor:

VL = g(x + y) = k(x + y) = kx + ky

HL = g(x) + g(y) = k(x) + k(y) = kx + ky

2 Algebra

Vi ser att VL och HL är lika, vilket innebär att det första villkoret håller. Vi provar det andra villkoret på samma sätt:

VL = a ∙ g(x) = a ∙ k(x) = akx

HL = g(ax) = k(ax) = akx

3

Vi ser att även det andra villkoret håller. Det innebär att funktionen g(x) = kx är en linjär funktion.

9 a) Vi ska teckna en exponentialfunktion i formen

V(t) = Cat C är den ursprungliga investeringen, alltså är C = 12 000. a är den förändringsfaktor som motsvarar en ökning med 4,4 %, alltså är a = 1,044.

Svar: V(t) = 12 000 ∙ 1,044t

b) Vi ritar upp graferna y = 12 000 ∙ 1,044t och y = 15 500 och ser att deras skärningspunkt ligger vid t = 5,94. Lösningen till ekvationen är alltså t ≈ 6. Det innebär att det tar ca 6 år tills värdet i fonden är 15 500 kr.

Svar: Det tar 6 år tills värdet i fonden är 15 500 kr.

10 a) Då priset är proportionellt mot volymen kan vi skriva ekvationen i formen y = kx. Vi vet att 48,32 l kostar 509,29 kr. Det ger

k = ∆y ∆x = 509,29 48,32 ≈ 10,54

Alltså är ekvationen y = 10,54x

b) Proportionalitetskonstanten är k = 10,54. Det innebär att E85 kostar 10,54 kr/liter.

Alltså: p(x) = 45 + 395t + 10,90x = 45 + 395 ∙ x 100 + 10,90 ∙ x = 45 + 3,95x + 10,90x = 45 + 14,85x

Svar: p(x) = 45 + 14,85x

12  Kommunen tappade 300 invånare under 10 år.

4

Det innebär att de i genomsnitt tappade

300 10 = 30 invånare per år.

 Kommunen tappar 30 invånare per år. Det ger k-värdet k = −30. Vi har 2 442 invånare år 2020, vilket är år 0. Det ger m-värdet m = 2 442. Vi får modellen y = −30x + 2 442 där y är antalet personer x år efter 2020.

 x är förändringsfaktorn och beskriver hur stor andel som är kvar varje år.

 Vi delar båda sidor av ekvationen med 2 742 och får

6

x10 = 2 442 2 742

x = ( 2 442 2 742 ) 1 10 ≈ ±0,988

Förändringsfaktorn är positiv, alltså är den 0,988. Vi vill beskriva befolkningsutvecklingen från år 2020. Det ger ekvationen y = 2 442 ∙ 0,988x där y är antalet invånare x år efter år 2020.

 Modellerna bygger på uppgifter från år 2010 till år 2020. Därmed kan vi anta att modellen gäller bakåt till år 2010, men inte före det året. Det betyder att x ≥ −10 för båda modellerna. Dessutom måste antalet invånare i kommuen vara ett positivt tal, vilket gör att den linjära modellen omöjligt kan vara giltig för x ≥ 81,4. Det ger definitionsmängden −10 ≤ x ≤ 81,4 för den linjära modellen, och x ≥ −10 för den exponentiella modellen.

5 Statistik och sannolikhet

5.1 Statistiska undersökningar

5115 Under mötet var 125 av medlemmarna för att bygga stugan och 60 var emot. Av de resterande 315 medlemmarna gav undersökningen att 26 75 var för att bygga stugan. Det innebär att vi kan anta att 26 75 ∙ 315 ≈ 109 av medlemmarna som inte var med på mötet var för att bygga stugan. Det innebär att det totalt var 109 + 125 = 234 medlemmar som var för att bygga

stugan. Det motsvarar 234 500 = 46,8 % av det totala medlemsantalet, vilket är mindre än 50 %.

Svar: Styrelsen bör inte besluta sig för att bygga stugan eftersom 46,8 % inte är en majoritet.

5116 Anta att fackföreningen har N medlemmar och att a stycken kom på mötet. Vi vet att 70 % av dem som deltog röstade nej, dvs. 0,7a stycken. För att vi ska vara säkra på att detta är en majoritet av alla medlemmar måste 0,7a > 0,5N. Det ger a > 0,5N 0,7 ≈ 0,714N Mer än 71,4 % av medlemmarna måste alltså ha deltagit på mötet. Bortfallet kan alltså som högst vara 28,5 %.

Svar: Bortfallet kan högst vara 28,5 %.

5135 Vi vet att vi kan räkna ut felmarginalerna med hjälp av formeln på sidan 248. Med n = 1 000 ger det

f 1 000 = 1,96 ∙ √ p(100 − p) 1 000

Sätter vi in stickprovets storlek som n = x får vi i stället

f x = 1,96 ∙ √ p(100 − p) x

Vi vill att felmarginalerna ska bli hälften så stora. Det motsvarar

f 1 000 ∙ 1 2 = f x

1,96 ∙ √ p(100 − p) 1 000 ∙ 1 2 = 1,96 ∙ √ p(100 − p) x

√ p(100 − p) 1 000 ∙ 1 2 = √ p(100 − p) x

√p(100 − p) √1 000 ∙ 1 2 = √p(100 − p) √x 1

√1 000 ∙ 1 2 = 1 √x

√x = 2√1 000

x = ( 2√1 000 ) 2

x = 4 ∙ 1 000 = 4 000

Svar: Man måste fråga 4 000 personer för att felmarginalerna ska bli hälften så stora.

5136

Anta att både parti U och parti W fick 20 % i den första undersökningen. I så fall fick U 22 % i den andra undersökningen och W fick 18 %. I den nedre tabellen på sidan 252 i läroboken, kan vi avläsa att felmarginalen för parti U:s förändring då är 3,6 procentenheter medan felmarginalen för W:s förändring är 3,4 procentenheter. Felmarginalen för parti U:s förändring är alltså större i detta exempel. Att felmarginalen är större för det parti som ökar sin procentandel gäller allmänt så länge procentandelen är mindre än 50 %. Det kan man troliggöra genom att titta på den nedre tabellen på sidan 252 eller genom att undersöka formeln i uppgift 5213. Det senare gör vi här nedanför. I formeln i uppgift 5213 ser vi att storleken av felmarginalen kommer att bero på storleken av uttrycket under rottecknet.

f = 1,96 ∙ √ p1(100 − p1) n1 + p2(100 − p2) n2

Den första termen under rottecknet, kommer att vara densamma för både parti U och W, eftersom de i den första undersökningen hade samma procentandel. Om vi antar att den procentandelen är 20 % kommer den första termen att vara 20 ∙ 80 n1 . Den andra termen under rottecknet kommer att se olika ut för de båda partierna. Därför är det också den termen som kommer att avgöra vilket av partierna som får högst felmarginal. För parti U blir den andra termen i vårt exempel 22 ∙ 78 n2 och för parti W blir den 18 ∙ 82 n2 .

Eftersom 22 ∙ 78 > 18 ∙ 82, kommer U:s felmarginal att vara större än W:s i detta exempel. Man kan visa att detta gäller för alla procentandelar mindre än 50 %. För att göra det kallar vi U:s och W:s procentandel i den första undersökningen för x %. Den andra termen under rottecknet kan då skrivas:

(x + 2)(100 − (x + 2)) n2 och

(x − 2)(100 − (x − 2)) n2

Betraktar vi täljarna i dessa uttryck som funktionsuttryck och ritar deras grafer kan vi se att felmarginalen för parti U (den blå grafen) är större än felmarginalen för parti W (den röda grafen) för alla värden på x mindre än 50 %.

200

100 0

300 x y 25 50 75 100

Kan vi då vara säkra på att både parti U:s och parti W:s procentandel är lägre än 50 %? Ja, eftersom det anges i uppgiften att flera partier ligger över 3 %.

Svar: B Felmarginalen är större för parti U:s förändring.

nivå

Lärarguiden till Matematik Origo nivå 1c följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.

Här finns bland annat extra exempel didaktiska tips och kommentarer förslag på hur du kan inleda och avsluta lektionen lösningar till flera av elevbokens uppgifter

Till Matematik Origo nivå 1c finns även komponenterna elevbok, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.

Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram.