matematik
Attila Szabo Niclas Larson Daniel Dufåker Roger Fermsjö
1b
Sm a
kpro v!
Innehåll 1 Tal
6
1.1 Tal i olika former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Talmängder 8 Negativa tal 9 Bråk 12 Addition och subtraktion av bråk 15 Multiplikation och division av bråk 17 Tal i decimalform 20
1.2 Räkneregler för potenser
...............
25
Potenser med positiva heltalsexponenter 25 Potenser med negativa exponenter och med exponenten noll 29 Potenser med rationella tal i exponenten 33 Prioriteringsregler 37
3 Procent
120
3.1 Procentuella förändringar . . . . . . . . . . . . . 122 Procent, promille och ppm 122 Förändringsfaktor 127 Upprepade procentuella förändringar 132 Index och KPI 137
3.2 Privatekonomi i kalkylprogram . . . . . . . . 141 Sparande och ränteberäkningar 141 Lån och ränteberäkningar 145
Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Historia: Procenttecknet och Big Mac-index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Nya ämnesplanen Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Historia: Talsystem genom historien . . 42 Innehållet i Matematik Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Origo . . . . . . 1b . 44 är anpassat efter Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ämnesplanen som träder
Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i .kraft . . . . . .2021. 48
2 Algebra
50
2.1 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Teckna och tolka uttryck 52 Förenkla uttryck 56 Multiplikation av uttryck i parenteser 60 Faktorisera uttryck 64
2.2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Ekvationslösningens grunder 66 Mer om ekvationer 70 Ekvationer med nämnare 73 Problemlösning med ekvationer 76
2.3 Potensekvationer och olikheter. . . . . . . . 81 Enkla andra- och tredjegradsekvationer 81 Potensekvationer 85 Olikheter 89
2.4 Formler och talföljder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Att använda formler 94 Formler i kalkylprogram 98 Mönster och formler 103 Aritmetiska talföljder 107
Historia: Fibonaccis talföljd. . . . . . . . . . . . 111 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 Samband och funktioner
162
4.1 Linjära samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Koordinatsystemet 164 Linjära modeller 167 Proportionalitet 172
Från ekvation till graf 177 Från graf till ekvation 180 Mer om riktningskoefficienten 186 Räta linjens ekvation i k-form 189 Räta linjens ekvation i allmän form 193 ................................
198
Funktion och funktionsvärde 198 Ekvationslösning med grafritande hjälpmedel 203 Definitionsmängd och värdemängd 208 Exponentialfunktioner 212 Potensfunktioner 218
Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Historia: Kryptering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5 Statistik
276
6.1 Enkla slumpförsök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 278 Sannolikhet som relativ frekvens 282
6.2 Slumpförsök i flera steg . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.2 Räta linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.3 Funktioner
6 Sannolikhet
234
5.1 Tolka och granska statistik . . . . . . . . . . . . . 236 Tolka och granska tabeller och diagram 236 Felkällor inom statistik 244
5.2 Statistiska samband. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Felmarginal och signifikans 251 Korrelation och kausalitet 258
Historia: Opinionsundersökningar . . . . 265 Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Produktregeln 287 Träddiagram 292 Komplementhändelse 298
Uppslaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Historia: Sannolikhetslära och spel . . 304 Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Kapiteltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Facit
314
Register
348
2
Algebra
Delkapitel 2.1 Algebraiska uttryck 2.2 Ekvationer och olikheter 2.3 Formler och talföljder
Förkunskaper ■ Prioriteringsreglerna ■ Beräkningar med negativa tal ■ Potenser
Centralt innehåll ■ Hantering av formler och algebra
iska uttryck, inklusive att faktorisera och multiplicera uttryck.
■ Metoder för att lösa linjära
ekvationer.
■ Begreppen intervall och linjär
olikhet. Metoder för att lösa linjära olikheter.
■ Metoder för att lösa potens
ekvationer.
■ Problemlösning som omfattar att
upptäcka och uttrycka generella samband.
■ Användning av digitala verktyg för
att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning.
50
O
rdet algebra kommer från arabiskans al-jabr och betyder ungefär metoder för ekvationslösning. Det första vetenskapliga arbetet om algebra skrevs 830 e.Kr. av den persiske matematikern al-Khwarizmi. Kring år 1600 började man beteckna tal med hjälp av bokstäver eller symboler. Det räknas som den moderna algebrans födelse. I dag är algebra inte bara ett eget matematiskt område, utan också ett hjälpmedel inom alla grenar av matematiken. Många matematiska formler som bygger på algebra har stor betydelse i vardagslivet, ofta utan att vi är medvetna om dem. Till exempel används en typ av formler i frukt- och grönsaksvågen i affären, i taxibilens taxameter och när du streamar musik till din mobiltelefon. När du är klar med det här kapitlet ska du kunna u förenkla, tolka och faktorisera algebraiska uttryck u lösa förstagradsekvationer och olikheter u lösa potensekvationer u använda ekvationer för att lösa problem
Du ska kunna
u ställa upp, använda och skriva om formler
Vi inleder varje kapitel
u använda formler i kalkylprogram med att formulera
lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Bottental I figuren här nedanför har vi skrivit talen 3, 11, 4 och 17 på den första raden. Talen i de tomma rutorna får man genom att addera talen närmast ovanför. Resultatet i den nedersta rutan kallas bottentalet till 3, 11, 4 och 17.
Inledande uppgift
De inledande uppgifterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om och utmanar deras resonemangs- och problemlösningsförmåga.
u Beräkna bottentalet till utgångstalen
3, 11, 4, 17
u Vilket tal ska stå i rutan längst till höger
om bottentalet ska bli 30?
3
11
4
5
1
17
14
8
30 u Kan man utifrån utgångstalen avgöra om bottentalet blir jämnt eller udda?
Formulera en regel. u Hur ändras regeln som du kom fram till om första raden innehåller fem rutor?
51
4.2 Räta linjens ekvation Från ekvation till graf I de föregående avsnitten visade vi hur linjära samband kan användas för att Teorii och beskriva situationer där något ökar eller minskar jämnexempel takt, t.ex. hur kostTeorigenomgångarna skrivna för naden för lösviktsgodis ökar med antalet hekto du köper. I det häräravsnittet att vara lätta att följa, utan att för visar vi hur man ritar grafen till ett linjärt samband för hand.
Lösningen till ekvationen
4
den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade Varje linjärt samband kan beskrivas med en ekvation av formen y = kx + m, och har utförliga förklaringar. I där k och m är konstanter. Om till exempel ksamband = 2 och med m=1 får vi ekvatioexemplen finns nen y = 2x + 1. Den ekvationen innehåller två obekanta, x ochinstruktioner y. Till varje till ibland kortfattade hur man använder digitalt värde på x som vi sätter in i ekvationen, så finns det precis ettett värde på yverktyg. Vi utgår från GeoGebra. som gör likheten sann.
Väljer vi till exempel x = 1, så får vi y = 2 · 1 + 1 = 3. Och väljer vi x = 2, så får vi y = 2 · 2 + 1 = 5. Lösningen till ekvationen y = 2x + 1 består av alla sådana par av tal x och y. Ekvationens graf
Rita grafen
Det finns oändligt många par av tal, x och y, som är lösningar till ekvationen y = 2x + 1. När varje sådan lösning markeras som en punkt med koordinaterna (x, y) i ett koordinatsystem, bildar de tillsammans ekvationens graf. Eftersom ekvationen beskriver ett linjärt samband är grafen en rät linje. För att rita grafen till ekvationen y = 2x + 1 för hand, kan man göra så här: 1 Välj lämpliga x-koordinater och beräkna motsvarande
y-koordinater med hjälp av ekvationen. 2 Sammanställ koordinaterna i en värdetabell. Koordinater på samma rad
motsvarar x- och y-koordinater för en punkt. 3 Pricka in punkter i koordinatsystemet med hjälp av koordinaterna
i värdetabellen. Dra en rät linje genom punkterna. 1 Ekvation
y = 2x + 1 Välj lämpliga värden på x, t.ex. x = 1 ger y = 2 · 1 + 1 = 3 x = 2 ger y = 2 · 2 + 1 = 5 o.s.v.
176
SAMBAND OCH FUNKTIONER 4.2 RäTA LINjENS EKvATION
2 Värdetabell
Sammanställ i en tabell x
y
–1
–1
0
1
1
3
2
5
3 Graf
Pricka in punkterna och sammanbind dem y
y = 2x + 1 (1, 3) x
1 1
Ekvation, tabell, graf
Ekvationen, värdetabellen och grafen på föregående sida är olika sätt att beskriva samma samband. Ekvationen gäller för alla värden på x medan värdetabellen endast visar fyra talpar som löser ekvationen. Av praktiska skäl kan man endast rita grafen i ett begränsat område i koordinatsystemet. Det området bör väljas med omsorg, så att till exempel skärningen med y-axeln framgår. Grafen bör ritas ut i hela området för att visa att linjen inte har ett slut.
Exempel: Priset på en taxiresa bestäms av framkörningsavgiften 40 kr och kilometerkostnaden 21 kr/km. a) Ange en ekvation som beskriver hur den totala kostnaden y kr beror av sträckan x km. b) Rita grafen till ekvationen. Lösning: a) y = 21x + 40
Fast kostnad
kr
Kostnaden ökar med 21 kr/km
600
1 x = 0 ger y = 21 · 0 + 40 = 40
x = 10 ger y = 21 · 10 + 40 = 250 2
x
y = 4x – 1 saknas y-värderna.
a) Rita av värdetabellen och fyll i de tal som saknas. b) Rita grafen till y = 4x – 1 för hand i ett koordinatsystem.
500 400 300
y
200
0
40
100
10
250
x 5
Nivå 1 4201 I värdetabellen till ekvationen
y
700
b) Vi följer de tre stegen på sidan 177. Det räcker med två punkter för att rita en rät linje
4
3
10 15 20 25 30 km
4203 I värdetabellen till ekvationen
y = –3x + 2 saknas y-värderna.
x
y
0 1 2 3 4
4202 En punkt med x-koordinaten 3 ligger på den
räta linje som beskrivs av ekvationen y = 0,5x + 6. Vilken är punktens y-koordinat?
a) Rita av värdetabellen och fyll i de tal som saknas. b) Rita grafen till y = –3x + 2 för hand i ett koordinatEnklare ingångar system.
x
y
–2 –1 0 1 2
Den nya upplagan innehåller fler enkla 4204 Bestäm en för lösning inledande uppgifter att till ekvationen y = 3x + 5. bättre möta elevernas förkunskaper. 4205 Avgör om punkten med koordinaterna (2, –4)
ligger på den räta linje som beskrivs av ekvationen y = 4x – 12.
SAMBAND OCH FUNKTIONER 4.2 RäTA LINjENS EKvATION
177
Nivå 1
Nivå 2
3208 Återskapa kalkylbladet i exemplet på förra
3212 Kalkylbladet här nedanför kan användas för
sidan och besvara frågorna.
att beräkna den totala månadskostnaden för ett bolån den första månaden.
a) Hur stor bli räntan vid den 15:e inbetalningen? b) Hur stor är den 17:e inbetalningen?
3209 Gå tillbaka till exemplet på sidan 146. a) Hur stor är räntan vid denUppgifter första inbetalpå tre nivåer Till varje avsnitt ningen om årsräntan i stället är 7,95 %? finns
3
varierade uppgifter på tre b) Vad ska de betala vid första inbetalningen nivåer, både för den elev som om de i stället amorterar lånet på 10 år?
behöver enkla ingångar och för den elev som behöver 3210 Josefin och Carina lånar 240utmaningar. 000 kr för att
köpa en bil. Årsräntan på lånet är 6 % och amorteringstiden är 10 år. Amorteringen sker månadsvis. a) Hur mycket ska de amortera varje månad? b) Hur mycket ska de betala vid den första inbetalningen? c) Hur stor blir räntekostnaden vid den 15:e inbetalningen?
Skapa ett kalkylblad enligt mallen här ovanför. Celler som är markerade med grå färg ska kunna ändras, medan övriga celler ska beräknas automatiskt med hjälp av formler.
3213 Använd kalkylbladet i föregående uppgift för att besvara följande frågor.
a) För en viss lägenhet är köpeskillingen 1 675 000 kr och avgiften till föreningen 3 807 kr. Räntesatsen för lånet är 2,3 %. Hur stor blir den totala kostnaden för lägenheten den första månaden?
3211 Erik har köpt en lägenhet där kontantinsatsen är 675 000 kr. Han får låna 80 % av insatsen. a) Hur mycket pengar får han låna? b) Erik ska amortera 3 000 kr varje månad. Hur lång tid tar det innan lånet är betalt? c) Årsräntan på lånet är 4,29 %. Hur stor är räntekostnaden första månaden? d) Hur mycket kommer Erik betala totalt för lånet?
148
PROCENT u 3.2 PRIVaTEkONOMI I kalkylPROgRaM
b) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen sänks med 0,5 procentenheter? c) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om räntesatsen ökar med 1,5 procentenheter? d) Hur förändras kostnaden i uppgift a) om du köper en lägenhet som är dubbelt så dyr, men med en hälften så hög avgift till föreningen? Räntesatsen är 2,3 % och amorteringstiden är 40 år.
3214 Hitta en bostadsrätt i din kommun som du
3216 Två lån är beskrivna i nedanstående diagram,
skulle kunna tänka dig att köpa. Ta reda på aktuella räntor och använd ett kalkylprogram för att beräkna vad månadskostnaden för bostadsrätten skulle bli.
Nivå 3
ett annuitetslån och ett lån med rak amortering. Betalningen (räntekostnad och amortering) sker varje månad under 4 år. I varje diagram presenteras varje månads amorteringsoch räntekostnad. Lånebeloppen är 84 000 kr och räntesatserna är lika för de båda lånen.
Öppna uppgifter
2 500
köpa en bil. Amorteringstiden årinte ochhar Det innebärär att10 den årsäntan på lånet ärett 6 %. Bilfirman erbjuder givet svar och många ett så kallat annuitetslån, att gångervilket kräverinnebär en samma belopp betalas varje månad. I det fasta matematisk diskussion. beloppet ingår både ränta och amortering.
2 000 1 500 1 000 500
För att bestämma hur stort belopp som ska betalas in varje månad (annuiteten) kan följande formel användas
4 kr
r(1 + r)n a = L ∙ __________ (1 + r)n – 1
3 500
där a är annuiteten, L är lånebeloppet, r är månadsräntan i decimalform och n är antalet inbetalningar.
2 500
d) rak amortering e) annuitetslån
mån
Lån med rak amortering
2 000 1 500 1 000 500 4
b) Hur stor blir den totala räntekostnaden för lånet?
Vilka fördelar och nackdelar finns det med
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
3 000
a) Skriv in formeln i ett kalkylprogram och beräkna hur stor annuitet som Robin och Sander ska betala varje månad.
c) Beräkna den totala räntekostnaden för lånet i uppgift 3210 (Josefin och Carina). Vilka slutsatser kan du dra?
Annuitetslån
kr
En färgad ruta signalerar
3215 Robin och Sander lånar 240 000 kr för att att uppgiften är öppen.
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Räntekostnad
mån
Amortering
a) Trots att räntesats och lånebelopp är lika för de båda lånen, är räntekostnaden för Kommunikationsuppgifter lånen olika. Bestäm räntekostnaden för Varje delkapitelvarje avslutas lån. med
Resonemang och begrepp. b) Räntekostnaden är olika för de två lånen Det är uppgifter som prövar trots att räntesatsen och lånebeloppen är elevernas begreppsförståelse lika. Förklara varför. och inbjuder dem att samtala (Np Ma1b ht 2012, omarbetad) om matematik.
Resonemang och begrepp u I vilka sammanhang används ränta? u Förklara vad som menas med att ett kapital växer med ränta på ränta. u Vad innebär det att amortera på ett lån? u Varför blir inbetalningarna olika stora vid så kallad rak amortering? u Vad menas med en absolut referens i ett kalkylblad? PROCENT u 3.2 PRIVaTEkONOMI I kalkylPROgRaM
149
3
Uppslaget Problemlösning och modellering Mount Everest – världens tak
u När behöver man lämna läger 4 för att inte nå
”Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner.”
2
toppen för sent?
u Skriv ett numeriskt uttryck för höjdskillnaden Citatet är från Rob Hall, som omkom år 1996 på mellan toppen av Mount Everest och baslä världens högsta berg Mount Everest, efter attProblemlösning ha gret. bestigit toppen för sent på eftermiddagen. och modellering u Lufttrycket ändras med höjden över havet h ___ Regeln är att inte nå toppen senare än klockanPå Uppslaget finns uppgifter som enligt formeln p = 1 013 · 2,72– 8,6 där p är luft särskilt tränar de matematiska 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära trycket i millibar förmågorna. Bland annat finnsoch en h är höjden över havet i toppen, vilket är väldigt riskabelt. kilometer. Beräkna lufttrycket vid toppen av större uppgift av tematisk karaktär, Man kan dela in berget i olika zoner: Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan. som vi har valt att kalla
Zon I: Upp till 3 600 m
Problemlösning och modellering.
u Vilken genomsnittlig hastighet i höjdled har en
Zon II: 3 600 till 5 500 meter
klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen?
Baslägret ligger på 5 200 m.
u En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att
Zon III: 5 500 till 7 000 meter Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möj ligt att befinna sig på dessa höjder endast under kortare tider. Zon IV: Över 7 000 meter Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna höjd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klätt ring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m.
112
ALGEBRA UPPSLAGET
det tar lika lång tid att ta sig ner till läger 4 som att ta sig upp. Skriv en formel för höjden y meter som klättraren befinner sig på efter x minuter.
u Hitta på en egen formel utifrån texten. Formu
lera ett problem där formeln kan användas. Låt en kamrat lösa problemet.
Rätt eller fel?
Rätt eller fel?
Värdet av 2n + 3 är alltid större än värdet av n + 3.
I Rätt eller fel? får eleverna tillfälle att resonera om kapitlets Kvadratroten ur 121 är ± 11. viktiga begrepp.
a2 är alltid ett positivt tal, oberoende av värdet på a.
Om du dividerar båda sidorna i en olikhet med samma tal, så måste du vända på olikhetstecknet.
Ekvationen 4x = x saknar lösningar.
–2, 0, 2, 4, 6, … är en aritmetisk talföljd.
Det finns ekvationer som har oändligt många rötter.
Figuren visar talen som uppfyller olikheten 2x + 1 ≥ –5
2
x
Ekvationen x + 1 = x + 2 saknar lösningar.
–4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
Undersök Klubbstugan En förening har en klubbstuga med 30 säng platser, vackert belägen vid en sjö. På förening ens hemsida kan man läsa att stugan hyrs ut för 700 kr per dygn med ett tillägg på 120 kr per gäst. Där vill man också lägga ut en kalkylator som snabbt beräknar kostnaden om man knappar in antalet nätter och gäster. Undersök Under rubriken Undersök u Hjälp föreningen genom att ange vilka formler finns undersökande och som ska stå i cellHär B3–B5. Testa gärna dina utmanande uppgifter. formler i ett kalkylprogram. får eleverna träna på problemlösning och ett A B undersökande arbetssätt. 1
Antal gäster
2
Antal nätter
3
Total summa
4
Total summa per gäst
5
Total summa per natt för varje gäst
Omvänd sifferföljd u Välj ett tvåsiffrigt tal u Kasta om ordningen
mellan siffrorna
u Bilda differensen av
de två talen
59 95 95 – 59 = 36
u Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa
proceduren. Vilket mönster ser du?
u Visa att mönstret du ser gäller för alla tvåsiff
riga tal. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal kan skrivas 10a + b, där a och b är ensiffriga heltal och a ≠ 0.
ALGEBRA UPPSLAGET
113
Historia
Procenttecknet och Big Mac-index Procenttecknet
Ser du procenttecknet i den italienska texten från 1684?
3
40 per cento → o 40 per c → 40 poo__ → 40 % Procenttecknets utveckling.
Land
Bic Mac-index
USA
100
Ryssland
32
Kanada
93
Mexiko
47
Kina
61
Danmark
87
Schweiz
129
Norge
108
Sydafrika
38
Sverige
113
Thailand
75
Big Mac-index 2020
?
Vad kostar en Big Mac i Kina om den kostar 35 kr i Sverige?
152
PROCENT HISTORIA
Historia
I avsnittet vi ”Vid den tiden utfärdade kejsar Augustus en förordning omHistoria att helasätter världen matematiken i ett historiskt skulle skattskrivas.” Så inleds berättelsen om Jesu födelse i Lukasevangeliet sammanhang och lyfter fram och det är kanske den mest lästa av alla texter i världslitteraturen när det gälhur den används i samhälle ler skatter. Kejsar Augustus (65 f.Kr.–14 e.Kr.) genomförde skattereformer och vetenskap. som omvandlade naturaskatter till penningskatter och la därmed grunden till Roms blomstringstid som varade i 200 år. Skatten för varje såld slav var 4/100 och för varje frigiven slav 5/100. Det infördes även en arvsskatt på 5/100 av alla större arv. Samtidigt infördes en skatt med 1/100 på allt som såldes på auktion. Räkning med hundradelar kan man alltså se långt tillbaka i vår historia. Vårt procenttecken härstammar från 1400-talets Italien. Där skrev man 40 hundradelar som 40 per cento. Från detta skrivsätt utvecklades sedan procenttecknet.
Big Mac-index Big Mac-index uppfanns 1986 av tidskriften The Economist för att mäta hur olika valutor är värderade mot varandra. Det används också för att jämföra prisnivåerna i olika länder, men det ger absolut inte hela bilden. I Sverige och västvärlden är en Big Mac relativt billig snabbmat. Men den är förhållandevis dyr i jämförelse med en måltid på ett lokalt matställe i stora delar av Asien, Afrika och Sydamerika. Big Mac-index anses ändå ge resenärer en viss vägledning när man ska räkna ut hur stor reskassa man bör ha i olika länder. Anledningen till att tidskriften valde just Big Mac sägs vara att den kan tillverkas helt inom det egna landets gränser och att den går lika snabbt att tillverka över hela världen. Om en Big Mac i Sverige är dyrare än i Danmark, så innebär det att ingredienserna eller arbetskraften måste vara dyrare i Sverige än i Danmark.
Tankekarta
Statistik Presentation av statistik
Tolka och kritiskt granska statistik
u tabell
u metod
u stolpdiagram
u rubrik
u stapeldiagram
u gradering av axlar
u histogram
u enhet
u cirkeldiagram
u vilseledande statistik
5
Tankekarta
u linjediagram
Samband mellan två variabler
Metod
u spridningsdiagram
u stickprovsundersökning
u korrelation
u population
u kausalt samband
u urval
u totalundersökning
Vi sammanfattar innehållet i kapitlet i en tankekarta. Det ger möjlighet att repetera kapitlets viktiga begrepp och schematiskt visa hur de hör ihop.
u skensamband
Felkällor
Stickprovs undersökning
u mätfel u urvalsfel
u obundet slumpmässigt urval
u svarsbortfall
u stratifierat urval
Säkerhet i resultat u stickprovets storlek u felmarginal u signifikans
STATISTIK TANKEKARTA
267
Blandade uppgifter 7 Anna sätter in en summa pengar på ett konto
Nivå 1
med en fast räntesats. Enligt banken kan hon beräkna behållningen i kronor på kontot efter ett år med uttrycket 8 500 ∙ 1,013 under förutsättning att hon inte gör några insättningar eller uttag under året.
1 Skriv i procentform a) 0,035
b)
4 ___
c) 10 –2
25
Blandade uppgifter a) Hur mycket satte Anna in på kontot från 2 Beräkna med digitalt hjälpmedel. Svara med tre decimaler.
___ a) √12
3
«
I Blandade uppgifter finns extra början?
__ 3 b) √9
c)
övningsuppgifter till kapitlet. Här får ______ b) Hur många procents ränta får Anna på
√1,681 eleverna öva på samtliga begrepp pengarna?
och metoder, utan någon inbördes c) Hur mycket pengar finns på kontot efter 3 Maria har ett lån på 40 000 kr. Hur mycket får En nyhet i den ordning. här upplagan ett år? är att uppgifterna är hämtade både hon betala i årsränta om räntesatsen är 9,8 %? från det aktuella kapitlet, och från de föregående kapitlen i boken. 8 Teckna ett uttryck för 3x + 1 4 Vilken procentuell ökning/minskning motsvarar
förändringsfaktorn a) 1,2
b) 0,95
c) 0,6
d) 2,1
fyrhörningens omkrets och förenkla uttrycket så långt som möjligt.
5 Vilket tal saknas i parentesen? –121 _____ = –11
a) 17 + ( ) = –17
b)
c) ( ) · (–7) = 91
4 · (–8) d) _______ = 2
( )
( )
6 Niclas arbetar på en skola. Där kan han spara
datafiler på en gemensam server. Vid ett tillfälle stod följande information på skärmen: Kapa citet 558 GB, använt 481 GB, ledigt 77,4 GB. Hur många procent av kapaciteten var ledig?
154
PROCENT BLANDADE UPPGIFTER
x+2
x 3x
9 Lös ekvationerna. Svara med tre decimaler. a) n2 = 0,83
b) 3m4 = 21
c) p7 = 36
10 I ishockey har man vanligtvis fem utespelare på planen. I en match mellan Brynäs och Färjestad får Färjestad en spelare utvisad. a) Hur många procent fler utespelare har då Brynäs jämfört med Färjestad? b) Hur många procent färre utespelare har då Färjestad jämfört med Brynäs?
Del 2 Med digitalt hjälpmedel 8 Frida kastar en tändsticksask rakt upp i luften 200 gånger och noterar att den landar stående på högkant 23 gånger. Hur stor är sannolikheten att tändsticksasken inte hamnar på högkant efter landningen?
9 Sannolikheten att träffa en måltavla vid luftgevärsskytte är 0,7. Beräkna hur stor sannolikheten är att få två träffar och en miss på tre skott.
Kapiteltest
Sist i varje kapitel ligger ett test, 10 som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrol11 lera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med och en del utan digitalt hjälpmedel.
Du spelar poker och har tre hjärter och två klöver. Vad är sannolikheten att du får två hjärter till, om du byter de båda klöverkorten? Ett läxförhör består av 5 frågor. Varje fråga har tre svarsalternativ varav ett är rätt. Beräkna sannolikheten för att åtminstone få ett rätt om man bara chansar.
12 Roulett är ett hasardspel där en kula faller ner i ett av 37 fack i ett snurrande
hjul. Facken är numrerade från 0 till 36. Tre personer spelar roulett och satsar en mark var per spelomgång. Spelare A satsar på nummer 17. Spelare B satsar på fyra nummer och spelare C satsar på att det ska bli ett udda nummer. Alla tre har betalt lika mycket för sin spelmark. 22
19
16
13
10
7
4
26
23
20
17
14
11
8
5
2
24
21
18
15
12
9
6
3
18 — 36
u Beräkna u Borde
2nd 12 ODDC
0
27
30
33
3rd 12
A
1
25
32
36
29
35
2 to 1
28
34
2 to 1
31
2 to 1
B
1st 12 EVEN
1 — 18
de tre sannolikheterna för att spelare A, B respektive C vinner.
vinsten bli lika stor för de tre spelarna? Motivera ditt svar.
Putte har funderat länge på hur man kan kamma hem storvinsten från kasinot. Han vet att om man satsar på rött och vinner, så får man tillbaka dubbla insatsen. Han säger att om man använder sig av följande strategi så kommer man alltid att vinna i längden. Satsa lägsta möjliga insats så länge som du vinner och dubbla insatsen varje gång du förlorar ända tills du vinner igen. Genom dubbleringen så vinner du tillbaka allt du har förlorat när du vinner nästa gång. Efter varje vinst börjar du om och satsar den lägsta möjliga insatsen igen. u Putte
testar sin teori. Han satsar minsta insatsen 10 kronor på rött och tänker sedan dubbla ända tills han vinner. Vilken är sannolikheten att han vinner innan han gjort av med de 1 000 kronor han har med sig till kasinot?
u Är
det troligt att Putte kommer att bli miljonär genom att använda sig av sin strategi? Motivera ditt svar.
SANNOLIKHET KAPITELTEST
313
6
1b Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för ämnesplanen som träder i kraft 2021 Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel Serien består av Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen Matematik Origo 1b, 2b och 3b för Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet
ISBN 978-91-523-5908-2