9789152353820 by Smakprov Media AB

overprint preview disabled

430 x 297 mm

2428-88695 - Vāks

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Erica Lundkvist

Lärarguide

Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med didaktiska kommentarer, tips och inspiration. Här hittar ni bland annat:

●● Hänvisningar till extra material i form av

varje avsnitt

aktiviteter, arbetsblad, programmeringskod och litteraturtips

●● Tydliga lärandemål ●● Kommentarer till elevuppgifter och förslag på hur de kan utvecklas och användas i klassrummet

●● Lösningar till alla svarta uppgifter ●● Facit till alla repetitionsuppgifter ●● Begreppslista med förklaringar och

●● Vanliga fel och missuppfattningar

297

●● Presentation av syfte och innehåll till

exempel

●● Förslag på start- och slutuppgifter som ger underlag till ett formativt arbetssätt Matte Direkt 9 består av:

●● Elevbok ●● Träningshäften ●● Lärarguide ●● Arbetsblad, prov och aktiviteter Matte Direkt 9 finns även som digitalt läromedel för lärare och elever samt som onlinebok.

Lärarguide

ISBN 978-91-523-5382-0

MD9_LG_cover.indd 2 2428-88695-066499-Sanoma Utbildning AB-Matte Direkt 9 Lärarguide - Vaks.indd 1

2019-03-12 10:53

212

MD9_LG_cover.indd 1

2019-03-12 21/03/2019 10:53 13:07

212 3

Innehåll Presentation av Matte Direkt

III

Presentation av Elevbok

Presentation av Lärarguide

Presentation av Arbetsblad, Prov, Aktiviteter

1 Tal

VII 6

2 Geometri

3 Samband och funktioner

4 Procent och statistik

142

Genrepet

180

Styva linan

242

Inför gymnasiet

270

?! Problemlösning

286

Repetitionsuppgifter

294

Verktygslådan

310

Begreppslista

336

Kursplan

342

Begreppskartor

345

Bedömningsmatriser

349

Sammanställning av Aktiviteter och Begreppskartor 352 Sammanställning av Arbetsblad

353

Läs mer (7–9)

355

362

Bildförteckning

364

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Thomas Aidehag, Pia Ersmark, Erik Sundberg Grafisk form: AB Typoform, Andreas Lilius Layout: AB Typoform, Karin Olofsson Omslag: AB Typoform, Andreas Lilius Illustrationer: AB Typoform, Jakob Robertsson Matte Direkt 9 Lärarguide ISBN 978-91-523-5382-0 © 2019 Synnöve Carlsson, Karl-Bertil Hake, Erica Lundkvist och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen Tryck: Livonia Print, Lettland 2019 Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

01-07_MD9_LG_fram.indd 2

2019-03-12 11:01

Matte Direkt

Matte Direkt ger dig som lärare möjlighet att arbeta med matematiken helt i kursplanens anda. Matte Direkt består av elevbok, lärarguide, prov, arbetsblad och aktiviteter samt träningshäften. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.

Elevbok bestående av fyra kapitel, ett avsnitt för repetition och fördjupning: ”Slut tampen”, ett avsnitt som inspirerar ”Inför gymnasiet” samt ett problemlösnings avsnitt. Dessutom finns ett avsnitt för repetition, en verk tygslåda samt facit.

Arbetsblad, Prov, Aktiviteter finns som nedladdnings bara pdf:er till varje kapitel i boken.

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Erica Lundkvist

Lärarguide med pedagogiska tips och kommentarer till varje sida i elev boken, tydliga lärandemål och start- och slutuppgifter till varje avsnitt i de fyra kapitlen.

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Erica Lundkvist

Lärarguide

Träningshäften som i första hand vänder sig till elever som har svårigheter med grundkursen. Häftena fungerar som elevens egen arbetsbok där de skri ver direkt i boken.

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Erica Lundkvist

Synnöve Carlsson Anna Teledahl

Träningshäfte Arbetsblad, prov och aktiviteter

9:1

Matte Direkt digital innehåller samma texter och uppgifter som den tryckta boken, men innehåller också nya interaktiva funktioner som gör det smidigt, tidsbesparande och tryggt att arbeta digitalt.

introduktion

01-07_MD9_LG_fram.indd 3

III

2019-03-12 11:01

Elevboken

Matte Direkt ger alla elever goda förutsättningar att utvecklas i matematik. Elever lär på olika sätt. En del behöver stöttning för att kunna gå vidare, andra behöver utmaningar för att göra framsteg. Här möter eleverna vardagsnära uppgifter som gör matematikämnet levande. Elevboken har ●● förstärkt fokus på de grundläggande begreppen inom taluppfattning, algebra och geometri ●● parallella kurser som på olika nivåer täcker in det centrala innehållet ●● avsnitt som särskilt lyfter fram problemlösning, resonemang och kommunikation ●● övningar i programmering med digitala vertyg

Elevbokens struktur Ingressuppslag

Tänk dig att du räknar från talet ett och att du räknar ett nytt heltal varje sekund. ●● Hur lång tid tar det att räkna till en miljon?

Tal

Behöver du räkna i några dagar, några veckor eller några månader?

●● Har du levt i en miljard sekunder?

Mål

Det finns en klassisk historia som har berättats sedan 1200-talet.

Varje kapitel inleds med ett uppslag som kan användas som en gemensam, intres seväckande start på kapit let. Avsikten är att ingressen ska leda till diskussion kring frågor och påståenden – inte till direkta räkneövningar. Den rika Indiska konungen Shirma hade fruktansvärt tråkigt om dagarna och lät utlysa en tävling. Den som kunde komma på något som verkligen intresserade honom skulle få en belöning.

Innehåll

När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att

En dag kom Sissa ben Dahir till konungen med ett schackspel. Kungen blev förtjust i spelet och ville belöna Sissa. Sissa pekade på schackbrädet och förklarade att han skulle bli nöjd om han blev belönad med ett riskorn på första rutan, två riskorn på andra rutan, fyra på den tredje, åtta på den fjärde och så vidare till den sista rutan. Antalet riskorn skulle alltså fördubblas på varje efterföljande ruta. Konungen gick med på den blygsamma önskan.

Begrepp namnge stora och små tal ●●

●● skriva stora och små tal med prefix

●● skriva tal i grundpotensform och räkna med

tal i grundpotensform

●● skriva tal i potensform och räkna med

potenser

●● förstå vad som menas med kvadratrot och

kunna beräkna kvadratroten ur ett tal

●● talsystemet utvecklats från naturliga tal till

reella tal

●● Hur många rutor fanns det på brädet?

●● Hur många riskorn skulle det finnas på den

Begrepp prefix

potens

tiopotens bas

exponent

grundpotensform

heltal

kvadrattal

irrationella tal

kvadratrot

naturliga tal

åttonde rutan?

●● Hur många riskorn skulle det finnas på den

rationella tal

16:e rutan?

●● Gissa hur mycket ris det skulle ha funnits

reella tal

på brädet om kungen haft möjlighet att uppfylla mannens önskan.

Innehåll På ingressuppslaget presenteras innehållet i kapitlet med ett elevnära språk. Lärarguiden lyfter fram det centrala innehåll som tas upp i kapitlet. Dessutom finns det läran demål till varje avsnitt. Begrepp För varje kapitel har vi valt att lyfta fram några begrepp som är särskilt viktiga. För gärna en kontinuerlig dialog med eleverna om vad begreppen står för och hur de ska tolkas och beskrivas.

Skala

Grundkurs

Tändstickan är avbildad i längdskala 1:1. Bilden är i naturlig storlek.

36 mm

Myran är avbildad i skala 4:1

Bilden är en förminskning. I verkligheten är fisken 10 gånger större.

Bilden är en förstoring. I verkligheten är myran 4 gånger mindre.

Fisken är 3 cm på bilden.

Myran är 36 mm på bilden. 36 mm I verkligheten är den _______ = 9 mm. 4

Grundkursen behandlar det innehåll och de begrepp som presenteras på ingress uppslaget. Varje nytt avsnitt inleds med en grön genomgångsruta som förklarar teori, metoder och begrepp för avsnittet. Dessa rutor kan vara bra att titta tillbaka på när något moment behöver repeteras. I verkligheten är den 3 ∙ 10 cm = 30 cm.

Vilken eller vilka av längdskalorna visar

a) naturlig storlek

b) en förminskning

50:1 1:3 1:1 20:1 1:30

c) en förstoring

Rita pilen i skala

a) 5:1

b) 1:3

Mät och räkna ut storleken på djuren i verkligheten.

Uppslaget Begrepp och resonemang

Vem eller vilka har rätt? Linjerna A och B beskrivs med ekvationerna i rutan.

Linjerna är parallella.

Linje A: y = 2x + 1 Linje B: y = x + 2

Linjerna skär y-axeln i samma punkt.

Grundkursen avslutas med ett uppslag där uppgifterna har fokus på begrepps-, resonemangs-, kommunikations- och problemlösningsförmågan. Låt gärna eleverna arbeta i mindre grupper och följ upp med gemensam diskussion. Lärarguiden ger tips på hur diskussionerna kan utvecklas. Benjamin

Anna

Linje A är brantare än linje B.

Båda linjerna går genom punkten (1, 3).

Clara

Dilan

Bygga torn

Bilden visar ett torn byggt av klossar. Hur många klossar behövs för att bygga ett liknande torn som har höjden

a) 4 klossar b) 5 klossar

c) 10 klossar

d) Skriv en formel som beskriver hur antalet klossar y beror av höjden n klossar.

Begreppskarta

Gör en eller flera begreppskartor över det du har lärt dig i det här kapitlet. Förslag på begrepp: koordinatsystem, x-axel, y-axel, tabell, origo, koordinater, linjer, räta linjens ekvation, riktningskoefficient (k), konstantterm (m), proportionalitet.

Förslag på länkord: är vinkelräta, består av, kan skrivas som, lutar mer, lutar mindre, skär y-axeln.

112

3 samband och funktioner

Vem eller vilka har rätt? Här får eleverna ta ställning till olika påståenden. Låt eleverna öva på att föra resonemang i grupp eller helklass. Begreppskarta Ett annat sätt att repetera de begrepp som presenteras i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangs förmåga, är att låta dem arbeta med begreppskartor. Arbeta tillsammans Här ges möjlighet för eleverna att både träna på att arbeta i grupp och lära av varandra på ett lekfullt sätt.

Man säger ett till ett.

3 cm

Fisken är avbildad i skala 1:10.

Uppslaget Grundkurs

Skala 1:80

Problemlösning Uppgifterna kan användas som en ingång i de olika strategierna som presenteras i avsnittet Problemlösning.

Skala 5:1

a) På en bild i skala 1:5 är en giraff 64 cm hög. Vilken höjd har giraffen på en bild som är gjord i skala 1:8? b) En krokodil är 4 m lång i verkligheten. På en bild är den 5 cm. I vilken skala är bilden ritad?

2 geometri

Sant eller falskt? Här får eleverna ta ställning till olika påståenden som handlar om begrepp och metoder.

introduktion

01-07_MD9_LG_fram.indd 4

2019-03-12 11:01

Diagnos Begrepp och metod

Diagnos

Beräkna vinkeln som är markerad med x.

x 50°

c) 135°

Linje L1 och L2 är parallella. Beräkna vinkel u, v och y.

140°

110°

Beräkna vinklarna som är markerade med x och y.

25°

Sammanfattning

●●Koordinatsystem I ett koordinatsystem kan en punkts läge beskrivas med två tal, en x-koordinat och en y-koordinat.

y x-koordinat

A (4, 3)

3 2

Punkten A har koordinaterna (4, 3).

y-koordinat

Talet 4 är punktens x-koordinat.

–5 –4 –3 –2 –1 –1

Talet 3 är punktens y-koordinat.

1 2 3 4 5

–2

Punkten som har koordinaterna (0, 0) kallas för origo.

Origo

–3 –4 –5

55° y

30°

Diagnosen testar Grundkursens mål. Den är indelad i olika delar för att även ge möjlighet att testa de olika matema tiska förmågorna. I Lärarguiden finns facit och förslag på uppgifter som eleverna kan arbeta vidare med. Arbeta gärna formativt tillsammans med eleverna, analysera resultatet och diskutera hur eleven kan arbeta vidare med Blå eller Röd kurs. I materialet Arbetsblad, Prov, Aktiviteter finns bedömningsmatriser kopplade till bedömningsuppgifterna. 4

a) Vad kallas sidan som är markerad med x?

a) Rita triangeln i längdskala 3:1.

Varje kapitel avslutas med en samman fattning som förklarar kapitlets viktigaste metoder och begrepp.

(cm)

b) Beräkna längden av sidan som är markerad med x.

b) Hur många gånger längre blir sidorna? c) Hur förändras vinklarna? d) Hur förändras arean?

6 7

På en ritning har Lisas rum arean 12 cm2. Ritningen är i skala 1:100. Hur stor area har hennes rum i verkligheten? Pernilla tillverkar ljus. Ljusmassan räcker till 12 stora ljus. Hon gör också ljus som är hälften så breda och hälften så höga som de stora. Hur många små ljus kan hon göra av samma mängd ljusmassa?

Fotoramarna är likformiga. Beräkna längden av de sträckor som är markerad med x och y.

(cm)

Blå kurs

Pythagoras a2 + b2 = c2

Med Pythagoras sats kan du beräkna längden av sidorna i rätvinkliga trianglar.

sats

Formel

a) Hur lång är stigen?

5 6

(2, 6)

4 (–1, 3)

3 2

Kostnad

–5 –4 –3 –2 –1 –1

1 2 3 4 5

–2 Tid

min

Formel y=x+4 x = 1 ger y = 1 + 4 = 5

y = 50x + 100

3 samband och funktioner

Använd olika metoder

Problemlösning

Anki tillverkar pallar som har antingen fyra eller tre ben. En dag tillverkar hon 7 pallar som hon monterar sammanlagt 25 ben på. Hur många pallar med tre ben tillverkade hon? Rita en bild

Gör en tabell Pall (tre ben) Pall (fyra ben) Totalt antal ben 0·3=0

7 · 4 = 28

1·3=3

6 · 4 = 24

2·3=6

5 · 4 = 20

3·3=9

4 · 4 = 16

För lite!

2 · 3 + 5 · 4 = 26

För mycket!

3 · 3 + 4 · 4 = 25

Rätt!

Antal fyrbenta pallar är (7 – x).

3x + 4(7 – x) = 25

x=3

Svar: Anki tillverkade 3 pallar med 3 ben.

(cm)

y 3

1 2

200

100

3x + 28 – 4x = 25

(m) 9

300 200

28 – x = 25

(dm) x

100 150

Graf

Det negativa svaret är inte intressant eftersom det är en sträcka vi söker.

c=5

0 1

Lös med ekvation

Beräkna längden av sidan som är markerad med x.

x –1

Graf Alla punkter på en linje, t.ex. (–1, 3) och (2, 6), tillhör samma funktion.

Kostnad y kr

Kalla antalet 3-benta pallar för x.

Svar: Sidan markerad med c är 5 cm lång.

Tid x min

I slutet av boken finns ett problemlös ningskapitel som tar upp olika strategier för att lösa matematiska problem. Kapit let är fristående och uppgifter kan läggas in i undervisningen när det passar. Problemlösningsuppgifterna på uppslagen går alltid att koppla till någon av strategierna som presenteras här. Kommentarer och lösningsförslag finns i Lärarguiden.

(cm) 4

25 = c2 + ___ c = (–)√25

Blå kurs tar upp samma innehåll som Grundkursen och ligger parallellt med denna. Blå kurs kan användas som en egen kurs för de elever som har svårt att arbeta med Grundkursen.

Tabell

Gissa och pröva dig fram

Pythagoras sats

32 + 42 = c2

Tabell

Exempel

4 · 3 + 3 · 4 = 24

Triangeln är rätvinklig. Beräkna längden av sidan markerad med c.

9 + 16 = c2

Om en graf är en rät linje beskriver den en linjär funktion. En linjär funktion kan beskrivas med:

En funktion kan beskrivas med hjälp av en tabell, en graf eller en formel.

140

Exempel a2 + b2 = c2

En funktion är ett samband mellan två variabler, ofta kallade x och y. För varje värde på x finns endast ett värde på y.

Att hyra en cykel kostar 50 kr/h och en grundavgift på 100 kr. Kostnaden y kr är en funktion av x antal timmar.

2 geometri

I en rätvinklig triangel finns det ett samband mellan sidornas längd. Sambandet kallas Pythagoras sats.

●●Linjär funktion

Pythagoras sats

●●Funktioner

b) Hur lång är rutschbanan? Svara i meter med en decimal.

På en gård finns det hästar och strutsar. Det är totalt 20 djur på gården. Tillsammans har de 56 ben. Hur många hästar finns det?

a) Rita en bild.

b) Gör en tabell.

c) Pröva dig fram.

d) Lös med ekvation.

Ett leksakståg består av blå och röda vagnar. De blå vagnarna är 6 cm och de röda vagnarna är 4,5 cm. Tåget har 10 vagnar och är 54 cm långt. Hur många vagnar är det av varje sort?

a) Rita en bild.

b) Gör en tabell.

c) Pröva dig fram.

d) Lös med ekvation.

problemlösning

290

8m 15 m 9m

a) Vilken ekvation i rutan ger längden av sidan x? x2 = 122 + 82

122 = x2 + 82

(cm)

82 = 122 + x2

b) Beräkna längden av sidan x. Avrunda till en decimal.

2 geometri

Sluttampen

Uppslaget Blå kurs

Uppslaget Begrepp Rita av begreppskartan och gör den klar.

Punkten med koordinaterna

(3, 4)

(0, 0)

Blå kurs avslutas med ett uppslag med fokus på förmågorna problem, resone mang, kommunikation och begrepp. Låt gärna eleverna arbeta i mindre grupper och uppmuntra till diskussion. Uppgif terna på det Blå uppslaget är formulerade utifrån nivån på uppgifterna i den Blå kursen. har x-koordinaten

kallas

Resonemang och kommunikation

På Pelles födelsedag hissar farfar flaggan på flaggstången i trädgården. Graferna visar hur flaggans höjd på stången är en funktion av tiden det tar att hissa flaggan. Höjd

Höjd

Tid

a) Vilken graf beskriver bäst hur farfar hissat flaggan? Motivera ditt svar.

b) En graf är omöjlig. Förklara varför.

Sluttampen består av Genrepet och Styva linan. Genrepet är en repetition av högstadiets matematik och varje avsnitt inleds med en begreppskarta. Styva linan är en fördjupning. Både Genrepet och Styva linan avslutas med Test med blandade uppgifter.

Problemlösning

Bilden visar torn byggda av klossar. Torn 2 är 2 klossar högt. Hur många klossar behövs för att bygga

a) torn 2

b) ett liknande torn som är 3 klossar högt

c) ett liknande torn som är 4 klossar högt

d) Visa att det går att använda uttrycket n ∙ (2n – 1) för att beräkna antalet klossar i ett torn som är n klossar högt? Testa om uttrycket stämmer för n = 1, n = 2, n = 3 och n = 4.

3 samband och funktioner

129

Inför gymnasiet Inför gymnasiet ger ett smakprov på matematik som eleverna kan möta på olika gymnasieprogram.

Röd kurs Problemlösning med procent

Röd kurs

1 2

Gränsen för godkänt på ett körkortsprov var 44 rätt. Det motsvarade 80 % av frågorna.

b) Oskar hade 12 fel. Med hur många procent måste han höja sitt resultat för att klara provet?

Röd kurs är till stor del parallell med Grön kurs och innehåller fördjupande och mer utmanande uppgifter. I Lärarguiden finns det lösningsförslag till de flesta uppgifterna på Röd kurs.

Andelen 18-åringar som tar körkort för bil ökade från 30,4 % år 2011 till 34,8 % år 2015. Med hur många procent har andelen ökat?

a) Hur många frågor var det på provet?

5 6

På en datormässa var priset på en laptop nedsatt med 25 %. Eftersom det var sista dagen på mässan fick Johan ytterligare 15 % rabatt. Hur många procents rabatt fick Johan, jämfört med ursprungspriset? Kocken Tina ska göra en sås och till den använder hon en grönsaksfond. En liter sås ska innehålla 4 % fond. Hur mycket sås kan hon göra av 180 ml fond? I ett torgstånd ligger en melon som väger 1 kg. Under solen torkar den tills den förlorat halva sin vikt. En färsk melon har en vattenhalt på 90 %. Hur stor är vattenhalten nu?

Repetition 2

3 500

Antal y 3 000

a) Hur lång tid tar det innan det finns 1 000 bakterier?

2 500

b) Hur många bakterier finns det efter 50 minuter?

2 000

c) Beräkna hur många bakterier det finns efter 3 minuter. Avrunda svaret till tiotal.

1 500

Repetition 2 kan du göra efter grön kurs sidan 13 eller blå kurs sidan 31.

Repetition

Majken har hittat ett par jeans som hon vill köpa. De kostar 1 290 kr men är nu nedsatta med 30 %. I Majkens storlek erbjuds jeansen dessutom till halva reapriset. Vad får Majken betala för jeansen? I en skål finns det från början 400 bakterier. Antalet bakterier ökar med 3,5 % per minut. Läs av i diagrammet.

1 000 500

b) 106

c) 3 · 109

d) 5 · 104

Skriv talen i grundpotensform

a) 5 tusen

b) 2 miljoner

c) 3 miljarder

Beräkna utan räknare

a) 238,2 + 17,9

b) 76 – 69,3

870 d) ____ 6

c) 6 · 172

Skriv talen med lämpligt prefix.

a) 600 g

Tid x 10 20 30 40 50 60 min

Skriv talen på vanligt sätt

a) 103

b) 7 000 g

c) 3 500 000 Hz

Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.

Skriv talen i grundpotensform.

d) 134 000 000 000 B

Repetitionsuppgifter till varje kapitel finns i slutet av boken. Uppgifterna trä nar moment för det aktuella kapitlet och repeterar även tidigare moment. I upp gift 7, Sjuan, ska eleven föra resonemang eller ge en förklaring. Diskutera gärna dessa uppgifter gemensamt med eleverna. Avsnittet kan användas som läxor. a) 6 000 000

6 · 10

b) 30 000

5 · 106 3 · 107 7 · 103 5,5 · 104

c) 140 000

d) 395 000 000

S7uan Förklara och ge exempel på hur man kan skriva stora tal med hjälp av

168

tiopotenser.

4 procent och statistik

Ordna uttrycken i storleksordning. Börja med det minsta.

I Afrika observerades en enorm gräshoppssvärm. Den täckte ett område av 5 000 km2. På varje kvadratmeter uppskattade man att det fanns 600 gräshoppor.

10 _________ 40

104 + 104

104 · 104

1020 · 1020

10 __________

Repetition

Uppslaget Röd kurs

Uppslaget Problemlösning, resonemang och kommunikation

På bilden ser du ett torn byggt av klossar. Hur många klossar behövs för att bygga liknande torn som har höjden

a) 3 klossar

b) 5 klossar

Sist i Röd kurs finns ett uppslag med uppgifter av problemlösande karaktär, vilka även tränar resonemang och kom munikation. Uppmuntra gärna eleverna att arbeta tillsammans och redovisa sina lösningar för varandra.

c) 9 klossar d) Skriv en formel som beskriver hur antalet klossar y beror av höjden n klossar.

Den tyske matematikern Gauss (1777–1855) fick som tioåring i uppgift av sin lärare att beräkna summan av de 100 första positiva heltalen. Hans lärare trodde nog att det skulle ta lång tid att lösa men han löste uppgiften på någon minut.

a) Fundera ut ett sätt att lösa problemet – utan ledtråd. b) Ledtråd: Gauss började med att skriva termerna fram och baklänges under varandra. 1

…

100

…

295

Fundera ut hur Gauss fortsatte och löste problemet.

c) Från detta resonemang kan man härleda en formel för hur man beräknar summan av de n första heltalen. Skriv ett uttryck för denna formel. d) Använd formeln för att beräkna summan av de 1 000 första positiva heltalen. e) Förklara varför man kan beräkna summan av de första hundra talen genom att addera kvadrattal nr 50 och rektangeltal nr 50.

Agnes var på en fest och började fundera hur många hälsningar det skulle bli om alla skulle skaka hand med varandra en gång. Hur många hälsningar blir det om det är 50 personer på festen.

D Sambandet mellan Farenheitgrader (F), och Celsiusgrader (C) kan

beskrivas med formeln F = 1,8C + 32. Beskriv sambandet som en linje i ett koordinatsystem.

3 samband och funktioner

137

Samband och förändring

f) Skriv en formel för det du visade i e).

Verktygslådan

1 2

Räta linjens ekvation En rät linje i ett koordinatsystem kan beskrivas med ekvationen y = kx + m

y = 2x + 1

k är riktningskoefficienten. Den visar hur mycket linjen lutar, alltså förändringstakten.

y=x

3 2

m visar punkten (0, m). Det är den punkt där linjen skär y-axeln.

y = 3 − 0,5x

−2 −1 −1

−2

Verktygslådan är en sammanställning av bokens viktigaste begrepp och metoder.

Tolka grafer Bägarna fylls med en jämn vattenstråle. Graferna visar vattnets höjd i bägarna som en funktion av tiden. h

h t

Koordinatsystem Den vågräta tallinjen kallas x-axel. Den lodräta tallinjen kallas y-axel. Skärningspunkten mellan axlarna kallas origo. En punkt anges med koordinater.

Svarta sidorna

1020 + 1020

a) Hur många gräshoppor fanns det sammanlagt i svärmen? Svara i grundpotensform. b) En gräshoppa väger ungefär 2 g. Hur stor var svärmens totala massa?

Punkten A har koordinaterna (3, 2)

Lisa ritar en kvadrat i ett koordinatsystem. En av kvadratens diagonaler ligger på y-axeln. Koordinaterna för två av hörnen är (0, 4) och (3, 1). Bestäm koordinaterna för kvadratens två övriga hörn.

x-koordinat

y-koordinat

C (−3, 4)

4 3

origo

(3, 2)

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3

x 3

B (1, −2)

−4

En affär säljer måttbeställda mattor. Priset för en matta är 395 kr/m . Att sätta kant på mattan kostar 140 kr/m. 2

a) Vad kostar en rektangulär matta med måtten 2,50 m och 3,20 m? Mattan ska kantas runt om.

330

verktygslådan

b) Skriv en formel som gör att det enkelt, t.ex. med hjälp av ett program i Python, går att beräkna priset genom att sätta in värden på längden och bredden. Formeln ska innehålla variablerna P för priset, l för längden och b för bredden.

c) Skriv en motsvarande formel för en rund matta. Använd lämpliga variabler.

a Punkterna (2, –3), (4, 3) och __, 5 ligger på en rät linje. Bestäm värdet på a. 3

( )

Till varje kapitel finns ett uppslag; Svarta sidorna, med extra utmanande uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga innehåll. Elever som är klara med Röd kurs kan finna ytterligare utmaning här. Facit till de Svarta sidorna finns i boken. Lösningsförslag och kommentarer till uppgifterna finns i Lärarguiden. 4 5

Bestäm talet a, så att en linje genom punkterna med koordinaterna (a + 1, a – 1) och (2, –2) får lutningen 2. Talföljden 2, 3, 6, 8, 8, ... kan beskrivas på följande sätt: De två första talen är 2 och 3. Därefter får vi varje tal genom att ta sista siffran i produkten av de två föregående talen. Skriv det tal som har plats nummer

a) 11

b) 1 111

Vi har ett mönster som upprepas enligt figuren. 0

…

Vilket av alternativen A) – E) visar hur mönstret ser ut från punkt 1 997 till punkt 2 000?

Figur 1

138

Figurerna är de tre första i ett mönster. Ange en formel som beskriver antalet ofärgade kvadrater y i den n:te figuren.

Figur 2

Figur 3

3 samband och funktioner

introduktion

01-07_MD9_LG_fram.indd 5

2019-03-12 11:01

Lärarguiden

Lärarguiden följer elevboken och är full med kommentarer och tips för din undervisning.

Ingressuppslag Kapitelintroduktion Varje kapitel introduceras av författarna med kommentarer kring innehåll och struktur.

Tänk dig att du räknar från talet ett och att du räknar ett nytt heltal varje sekund. ●● Hur lång tid tar det att räkna till en miljon?

Tal

Behöver du räkna i några dagar, några veckor eller några månader?

●● Har du levt i en miljard sekunder?

Mål

Det finns en klassisk historia som har berättats sedan 1200-talet. Den rika Indiska konungen Shirma hade fruktansvärt tråkigt om dagarna och lät utlysa en tävling. Den som kunde komma på något som verkligen intresserade honom skulle få en belöning.

Innehåll När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att

Begrepp namnge stora och små tal ●●

●● skriva stora och små tal med prefix

Centralt innehåll Här presenteras det centrala innehåll som tas upp i kapitlet. För att få en bild av vilka kunskaper eleverna bör ha med sig från tidigare årskurser presenteras även det centrala innehållet för årskurs 4–6.

Grundkurs Avsnittsintroduktion Varje avsnitt introduceras med en presentation av syfte och innehåll.

●● skriva tal i grundpotensform och räkna med

tal i grundpotensform

●● skriva tal i potensform och räkna med

potenser

●● förstå vad som menas med kvadratrot och

kunna beräkna kvadratroten ur ett tal

●● talsystemet utvecklats från naturliga tal till

reella tal

prefix

Tänk på Här presenteras vanliga fel och missuppfattningar samt tips på hur man kan motverka dem och ibland historiska inslag eller praktiska tips.

●● Hur många riskorn skulle det finnas på den grundpotensform

potens

16:e rutan?

irrationella tal

●● Gissa hur mycket ris det skulle ha funnits

reella tal

naturliga tal

exponent

●● Hur många riskorn skulle det finnas på den

rationella tal

kvadratrot

bas

åttonde rutan?

heltal

kvadrattal

tiopotens

på brädet om kungen haft möjlighet att uppfylla mannens önskan.

Tal i kvadrat

Kvadratrot

Talet 9 är ett kvadrattal eftersom det kan skrivas som ett heltal multiplicerat med sig självt.

3 i kvadrat

Hur lång är kvadratens sida?

Tre upphöjt till två

3 =9 2

För att beräkna vilket tal som multiplicerat med sig självt blir 9, beräknar man kvadratroten ur 9.

Kvadraten på 3

Talet 9 kan skrivas 3 · 3 = 32

√9 = 3

Tecknet för kvadratrot.

Så här skriver man kvadratroten ur 9.

Det är endast vissa kvadratrötter som kan anges som ett exakt tal. Kvadrattal

Beräkna

a) 42

a) ”5 i kvadrat”

74 75

Lärandemål Mål för varje avsnitt.

●● Hur många rutor fanns det på brädet?

Begrepp

b) 82

c) 122

d) 252

12 = 1 ∙ 1 = 1

Exempel

22 = 2 ∙ 2 = 4

Sätt ut talen på tallinjen. ___ ___ a) √16 b) √25

32 = 3 ∙ 3 = 9

b) ”kvadraten på 50”

42 =

Alla kvadrattal kan skrivas som summan av talet 1 och ett eller flera av de följande udda talen. 1 + 3 = 4 = 22

b) Gör på samma sätt tills du har beräknat de 10 första kvadrattalen. c) Förklara hur det kommer sig att du får nästa kvadrattal genom att addera nästa udda tal. Använd gärna figuren till höger.

Beräkna. Ta gärna hjälp av din tabell från uppgift 74 och mönstret i rutan.

a) 0,2

b) 0,4

c) 0,02

d) 0,04

Ser du mönstret? 2

a) 0,52

b) 0,92

c) 0,052

d) 0,092

a) 1,12

b) 1,52

c) 0,112

d) 0,152

a) (–2)2

b) (–3)2

c) (–0,5)2

d) (–12)2

Beräkna utan att använda räknare. __ ___ a) √4 b) √36

122 = 12 · 12 = 144 1,22 = 1,2 · 1,2 = 1,44 0,122 = 0,12 · 0,12 = 0,0144

85 86

___

_____

√0,04

a) x2 = 4

b) x2 = 9

c) x2 = 25

d) x2 = 100

a) x2 = 0,04

b) x2 = 0,25

c) x2 = 0,36

d) x2 = 0,64

1 tal

___ √60

% M–

7 4

M+

√

–

___ d) √49

____

√0,25

MC MR

d) √0,01 __

___

√3 √8 √10 √15 √30 √50

____ d) √120

_____ e) √150

_____

√500

Beräkna kvadratens sida. Använd en räknare och avrunda till två decimaler. Kontrollera genom att mäta sidan.

b) 7,85 cm2

_____

b) √0,09

Mellan vilka heltal ligger talen ___ ___ a) √12 b) √40 c)

4.4721 4 C

_____ c) √100

Rita av tallinjen i genomgångsrutan och markera ungefär var talen till höger ska placeras.

Bestäm vilka värden på x som gör att likheten stämmer. Varje x kan här ha två värden.

___

√16 √20 √25

____

√20

1 + 3 + 5 = 9 = 32

a) Lägg till nästa udda tal. Beräkna summan. Är summan ett kvadrattal?

___

Svar:___ a) √16 = 4 eftersom 4 · 4 = 16 ___ b) √25 = 5 eftersom 5 · 5 = 25 ___ c) √20 går inte att ange som ett heltal eftersom 20 inte kan skrivas som ett heltal i kvadrat. ___Med en räknare kan man ange ett ungefärligt värde på √20 ≈ 4,47.

osv.

Gör en tabell där du skriver alla kvadrattal som är mindre än eller lika med 400.

c) 4,52 cm2

3,48 cm2

ArbetsblAd 1:7 1 tal

Start Förslag på inledande övning som väcker elevernas intresse och ger dig som lärare en bild av deras förkunskaper. Kommentarer till uppgifter Till varje avsnitt finns kommentarer till hur uppgifterna kan användas i klassrummet och förslag på hur de kan utvecklas. Här uppmärksammas också vanliga fel och missuppfattningar. Facit Facit till uppgifterna på uppslaget så att du som lärare lätt kan hitta svar på uppgifterna i elevboken. Slut Till varje avsnitt finns minst en övning som du kan avsluta lektionen med. Uppgiften ger dig som lärare en bild av vad eleverna har lärt sig eller har svårt med. Uppgiften blir ett sätt att utvärdera undervisningen och ger underlag för ett formativt arbetssätt. Gå vidare Hänvisar till de parallella avsnitten på Blå och Röd kurs, samt vilka sidor i r epetitionsavsnittet som passar efter kapitelavsnittet. Extra material Här finns tips på ytterligare färdighetsträning i form av Arbetsblad och Aktiviteter, med laborativa inslag, samt lämpliga artiklar som passar till avsnittet.

introduktion

01-07_MD9_LG_fram.indd 6

2019-03-12 11:01

Uppslaget

Begrepp och resonemang

Begrepp och resonemang Här finns kommentarer till Vem eller vilka har rätt? och hänvisning till förslag på begreppskartor.

Arbeta tillsammans

Vem eller vilka har rätt?

Ni behöver: 2 tärningar i olika färg, miniräknare. 64 000 000 000 B kan skrivas med prefix som 64 GB

64 000 000 000 B kan skrivas i potensform som 649 B

64 000 000 000 B kan skrivas i grundpotensform som 64 · 109 B

64 000 000 000 B kan skrivas i grundpotensform som 6,4 · 1010 B

Beräkna 2 020 + 2 020 + 2 020 b) ____________________

10 · 10 c) ________ 5

2 020 · 2 020 · 2 020 d) __________________

2 020

Värde

Sant eller falskt? 1 En miljon är tusen gånger mer än ett

I en bägare finns en lösning av etanol och vatten. Lösningen väger 200 gram, varav en femtedel är etanol. Du vill öka andelen etanol genom att hälla mer etanol i lösningen. Hur mycket etanol måste du hälla i den ursprungliga lösningen om

tusen.

2 En miljard är hundra miljoner. 3 En miljon är hälften av en miljard. 4 Om man delar en miljon kronor i

hundra lika stora delar så är en del hundratusen kronor.

a) hälften av lösningen ska bestå av

2 020

5 20 MB är detsamma som 20 miljoner

etanol

a·a a+a Andrea säger att _____ = 2 och att ____ = a. Förklara varför Andrea har rätt. a a

b) en tredjedel av lösningen ska bestå

b2 · b2 b2 + b2 Peder säger att ______ = 2b och att _____ = b3 . Förklara varför Peder b b också har rätt.

c) en tredjedel av lösningen ska bestå

Bytes.

6 3 GB är en tiondel av 3 TB. 7 107 är 10 gånger större än 106. 8 1 biljon kan skrivas 1012. 9 23 = 6 ___ 10 √64 = 32 11 –5 är ett naturligt tal.

av etanol

av vatten

Begreppskarta Rita en begreppskarta där du kopplar samman följande begrepp och länkord med varandra. Förslag på begrepp: stora tal, prefix, tera, giga, mega, kilo, potensform, grundpotensform, bas, exponent, tusen, miljon, miljard, biljon Förslag på länkord: kan skrivas som, betyder, är alltid ett tal mellan 1 och 10, är detsamma som

Sant eller falskt Kommentarer och facit till påståendena.

Potens

De lag som har störst summa efter fem omgångar har vunnit.

Problemlösning

Dilan

Leyla säger att 3a2 – 2a = a. Förklara varför Leyla har fel.

10 + 10 a) _________ 5

Exponent

Clara

Bas

Benjamin

Resonemang

Turas om att kasta de båda tärningarna. Välj vilken tärning som ska vara bas och vilken som ska vara exponent. Bilda en potens som har så stort värde som möjligt. För in värdet i en tabell. Omgång

Anna

Arbeta tillsammans Kommentarer och tips på hur man kan arbeta.

Arbeta i par eller i grupp.

38 personer köper glass. De kan välja smakerna vanilj, hallon eller päron och våffla eller bägare. 23 personer väljer glass med våffla, 5 personer väljer glass med päronsmak, 3 personer väljer bägare med vaniljsmak, 12 personer väljer glass med hallonsmak och ingen väljer bägare med päronsmak

3 12 __ är ett rationellt tal. 4

Hur många väljer hallonsmak och våffla?

1 tal

Problemlösning Kommentarer, lösningar samt hänvisning till fler övningar i problemlösningsavsnittet. Diagnos

Diagnos

Begrepp och metod

Skriv talen med siffror.

a) tre miljoner femhundratusen

Välj rätt prefix till talet.

a) tusen

Här finns facit till diagnosen samt kommentarer och lösningsförslag till bedömningsuppgiften. Här finns även hänvisning till avsnitt i Grön och Blå kurs samt Arbetsbladen. På sidorna 349–351 finns bedömnings matriser till bedömningsuppgifterna.

b) miljon

b) 108

c) 7 ∙ 10

Blå och Röd kurs samt Svarta sidorna Till den Blå och Röda kursen finns kommentarer till uppgifter, extramaterial i form av Arbetsblad och Aktiviteter samt Facit och lösningar. Till de Svarta sidorna finns lösningsförslag till alla uppgifterna.

Bas

a) Skriv 106 på vanligt sätt utan tiopotens. b) Skriv 10 000 som tiopotens.

b) 890 000

c) 15 miljoner

Beräkna och svara i grundpotensform.

b) 8 ∙ 10 ∙ 5 ∙ 10

Vilken tiopotens hör ihop med prefixet? Välj i rutan.

b) 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

Skriv utan tiopotenser.

a) 102

b) centi

4 ∙ 106

102

c) milli

b) 24

10–3

10–2

10–6

109

Bedömningsuppgift

___

Planeten jorden har funnits i cirka 4,6 miljarder år. Det har funnits liv på jorden i cirka 3,5 miljarder år. Tänk dig att jordens ålder representeras av ett måttband som är 4,6 meter långt, där 0 på måttbandet är jordens födelse. Lös uppgifterna genom att motivera och redovisa dina beräkningar.

d) √49

c) ”5 i kvadrat”

__ Rita en tallinje och markera √5 .

Beräkna kvadratens sida.

B 13 cm2

b) 104

b 1 000 000

1 109 2 108

C en miljard

3 106

D hundra miljarder

d 1 000 000 000

100 000 000 100 000 000 000

b) 10 000

c) 1 000 000

b) tio miljoner

d) 1 000 000 000

c) hundra miljarder

Vilket prefix betyder detsamma som

a) 103

b) 106

c) 109

d) 1012

1 tal

Prefix

Tiopotens

kilo (k)

103

mega (M)

106

giga (G)

109

tera (T)

Till vardags säger vi ofta kilo när vi egentligen menar kilogram (kg).

rationella tal Q

reella tal R

komplexa tal C

__ √3 är ett irrationellt tal som hör till de reella talen.

b) hela tal

d) reella tal

e) komplexa tal

4 5

c) rationella tal

Tillhör talet

b) –9 talmängden N

d) –7 talmängden Z

e) 0,5 talmängden Q

b) Q men inte Z

c) R men inte Q

d) C men inte R

3 ____

b) √125

En kvadrat har arean 81 cm2. Förklara varför sidan är 811/2 cm.

–6 π

45 ___

76 3,98

–0,43 35

1 tal

3 ___

√64

__ (√a )2 = a1/2 · a1/2 = a1/2 + 1/2 = a1 = a 3 __ √a = a1/3 3 __ (√a )3 = a1/3 · a1/3 · a1/3 = a1/3 + 1/3 + 1/3 = a1 = a

En kub har volymen 125 cm3. Förklara varför kanten har längden 1251/3 cm.

Platsvärde Siffra

Talet 23 104fem är skrivet med basen fem. Så här kan man skriva om talet till basen 10.

104 103 102 101 100 3

Platsvärde

Siffra

Följande tal är skrivna med basen fem. Skriv om talen till basen tio.

a) 20332fem

Tips ax · bx = (a · b)x = (ab)x a2x = ax + x = ax · ax

Bestäm värdet av x i ekvationen 420 + 420 = 2x Kuben har volymen 27 cm3. Kantlängden är 3 cm eftersom 3 ___ 3 cm · 3 cm · 3 cm = 27 cm3. Kubikroten ur 27 är 3, √27 = 3.

23104fem = 2 · 54 + 3 · 53 + 1 · 52 + 0 · 51 + 4 · 50 = = 2 · 625 + 3 · 125 + 1 · 25 + 0 · 5 + 4 · 1 = 1 654tio

√3 4i

Vilket tal är störst, 1040 eller 580? Motivera.

3 · 104 + 2 · 103 + 5 · 102 + 6 · 101 + 7 · 100 = = 3 · 10 000 + 2 · 1 000 + 5 · 100 + 6 · 10 + 7 · 1 = 32 567tio

i) 3i talmängden R

Skriv ett tal som tillhör

a) Z men inte N

Ange ett tal i potensform som ligger mellan 6 · 10–4 och 6 · 10–3.

Tal kan skrivas i olika baser. Vanligtvis skriver vi tal med basen tio, till exempel talet 32 567.

3 __ talmängden Z

f) 8 talmängden Q

h) √2 talmängden N

Rita av diagrammet och placera in talen i delmängderna.

Avståndet från jorden till solen är ca 8 ljusminuter. Ljusets hastighet är 3 · 105 km/s. Hur lång tid skulle det ta för ett flygplan att nå solen, om medelhastigheten är 900 km/h? Svara med lämplig tidsenhet.

Beräkna 3 __ a) √8

Kombinera talmängden med rätt beteckning ur rutan.

a) naturliga tal

g) π talmängden R

Skriv först talen på vanligt sätt och sedan som en tiopotens.

Ett ljusår är ungefär 10 000 000 000 000 km. Det är den sträcka som ljuset färdas på ett år. Skriv sträckan med en tiopotens.

2 hela tal Z

hela tal.

a) 5 talmängden Q

Skriv som en tiopotens.

naturliga tal N

●● Alla reella tal är komplexa tal, men alla komplexa tal är inte reella tal.

4 1011

Felix är 15 år. Hur lång sträcka motsvarar hans ålder på ”måttbandsskalan”?

Svarta sidorna

●● Alla rationella tal är reella tal, men alla reella tal är inte rationella tal.

I den här skalan så är tidpunkten för dinosauriernas utdöende placerad vid 453,5 cm. För hur länge sedan dog dinosaurierna ut?

1 tal

●● Alla hela tal är rationella tal, men alla rationella tal är inte

d) 1010

B hundra miljoner

a) hundratusen

c) 107

A en miljon

Var på måttbandet ska man placera livets uppkomst?

1 tal

men alla hela tal är inte naturliga tal.

Vilka tal hör ihop?

a) 100

Skriv produkterna som en tiopotens.

a) 10 ∙ 10 ∙ 10 c) 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

6 ∙ 10 ______

Beräkna

●● Alla naturliga tal är också hela tal,

Bra att kunna: Ett tusen = 103 En miljon = 106 En miljard = 109

c) blå pennor finns det

Här är de olika talmängderna markerade med sina beteckningar.

Svar:

a) 106 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 = 1 000 000 b) 10 000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 104

–1,95

Hur många

a) 9 000

För att få med de imaginära talen införde matematiker de komplexa talen, där både de imaginära och reella talen ingår.

Exempel

Karl-Bertil har 30 pennor. De är antingen blyertspennor eller kulspetspennor och antingen röda eller blå.

a) kulspetspennor finns det

Mer om talmängder Exponent

3 __

• Det finns 8 blå blyertspennor.

–2

b) röda blyertspennor finns det

103

102

• Det finns 6 röda kulspetspennor.

b) 3,5 ∙ 10

Uttalas tio upphöjt till tre

• Det finns 18 blyertspennor.

9 cm2

Talet 1 000 kan skrivas som 10 ∙ 10 ∙ 10. 10 ∙ 10 ∙ 10 kan också skrivas 103 och är då skrivet som en tiopotens.

–3

Förklara varför 3,7 ∙ 105 har samma värde som 37 ∙ 104

Skriv i grundpotensform.

Tiopotenser

d) reella

Jordens avstånd till solen är i medeltal 1,5 ∙ 108 km. Jordens avstånd till månen är cirka 4 ∙ 105 km. Benjamin påstår att längden av resa till solen motsvarar ungefär 380 månresor. Visa att det stämmer.

Problemlösning

16 4

a) 42

10 ∙ 10 c) ________ 5

a) mikro

c) 0,000 01

10 b) ____3

a) 3 ∙ 10 ∙ 2 ∙ 10

b) heltal

c) rationella

Resonemang och kommunikation

mega

c) 101

b) 10 000 000

kilo

Skriv utan tiopotens.

a) 2 ∙ 10

hekto

Beräkna, svara med en tiopotens.

a) 106 ∙ 102

giga

Vilka av talen är

a) naturliga

Skriv talet med tiopotens.

a) 10 000

tera

c) miljard

Skriv talet på vanligt sätt utan potens.

a) 103

b) fyra miljarder tre miljoner

b) 24404fem

c) 344fem

d) 121013fem

Följande tal är skrivna med olika baser. Skriv om talen till basen 10.

a) 12tre

b) 201tre

c) 1020tre

d) 22012tre

e) 43sex

f) 342sex

g) 5034sju

h) 30767åtta

Tal som är skrivna med basen 2 kallas för binära tal. Skriv talen 1tio – 20tio i basen 2. 1 tal

Arbetsblad, Prov, Aktiviteter

Utöver elevboken och lärarguiden består Matte Direkt av nedladdningsbara filer med Arbetsblad, Prov och Aktiviteter. I materialet finns dessutom programmeringskod att hämta till de uppgifter vi tipsat om i Lärarguiden. Koden finns i både txt- och wordfiler.

Arbetsblad För att möta alla elevers behov behöver man ibland ha tillgång till fler övningar inom ett moment än vad boken erbjuder. Till varje kapitel finns det därför Arbetsblad med extra övningar. Ikoner i elevboken hänvisar till dem. I Lärarguiden finns hänvisningar till Arbetsbladen som visar vilken nivå uppgifterna tränar.

Prov och bedömning Efter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är

önskvärt att eleverna får visa sina kunskaper på olika sätt. Till varje kapitel finns kapitelprov på E-A-nivå, kapitelprov på E-nivå och även muntligt prov. Till samtliga prov finns bedömningsmallar.

Aktiviteter För att befästa matematiska begrepp och uppmuntra till samtal och samarbete finns det Aktiviteter kopplade till varje kapitel. I Lärarguiden finns hänvisningar till passande Aktiviteter.

introduktion

01-07_MD9_LG_fram.indd 7

VII

2019-03-12 11:01

Procent och statistik I det här kapitlet repeteras innehållet om procent som eleverna arbetade med i åk 7 och 8. Här sätter vi det matematiska innehållet i en ny kontext med lån och ränta. Vi tycker att det är mycket viktigt att eleverna får lära sig om och reflektera kring olika typer av lån. Alltför många försätter sig i besvärliga ekonomiska situationer som de kanske kunnat undvika med större kunskaper om lån och ränta och insikt om de höga kostnader vissa typer av lån medför. Nytt för Matte Direkt 9 är skrivsättet för upprepad förändring med förändringsfaktor i potensform. Sammanhanget med lån, ränta och avbetalning har eleverna inte mött tidigare i Matte Direkt. Nytt är även att visa median och variationsbredd med hjälp av lådagram. Begreppet procentenheter införs också för första gången. På Röd kurs kommer eleverna även möta begreppen promille och ppm.

Procent och statistik

Innehåll När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att ●● förstå och utföra de tre olika typerna av

procentberäkningar – beräkna delen – beräkna det hela – beräkna andelen

●● använda procentberäkningar i olika

praktiska sammanhang, som till exempel ränteberäkningar och statistik

●● tolka lådagram och andra typer av diagram ●● skilja på procent och procentenheter

Kapitlets innehåll Vi inleder kapitlet med repetition av att beräkna delen, andelen och det hela samt att använda förändringsfaktor, nu i det nya sammanhanget med lån, ränta och avbetalning. Sedan följer beräkningar med förändringsfaktor, som eleverna arbetade med i åk 8. Här utökar vi med potensformen för att uttrycka upprepade förändringar. Eleverna får sedan arbeta med ett avsnitt med procent i statistiska sammanhang. Många begrepp inom statistiken lämpar sig väl för procentkapitlets innehåll. Det var dessutom länge sedan eleverna behandlade statistik i matematiken. Vi använder här lådagram för att på ett effektivt sätt illustrera spridningen i ett material. Kapitlet avslutas med hur förändringar kan uttryckas med hjälp av procent och procentenheter. Eleverna får arbeta med uppgifter som syftar till att visa skillnaden mellan dessa begrepp som så ofta sammanblandas. Blå kurs är parallell med Grön kurs och alla moment på Grön kurs, förutom att skriva förändringsfaktorn i potensform och att tolka lådagram, finns på Blå kurs. Röd kurs är parallell med Grön kurs. Här kan eleverna fördjupa sina kunskaper om problemlösning med procent. Här behandlar vi även promille och ppm.

Begrepp ränta

lägesmått

nedre kvartil

räntesats

medelvärde

övre kvartil

inlåningsränta

median

kvartilavstånd

förändringsfaktor

variationsbredd

spridningsmått

typvärde

procentenheter

lådagram

142

Centralt innehåll I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet: Samband ●● Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och i situationer inom olika ämnesområden. Statistik ●● Tabeller, diagram och grafer samt hur de kan tolkas och användas för att beskriva resultat av egna och andras undersökningar, såväl med som utan digitala verktyg. Hur lägesmått och spridningsmått kan användas för bedömning av resultat vid statistiska undersökningar.

142

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 142

2019-03-14 08:43

Patricio har 1 000 kronor på ett sparkonto med 3 % ränta. Med hjälp av förändringsfaktorn 1,03 kan han beräkna beloppet på kontot efter 10 år, till exempel med hjälp av ett kalkylblad eller ett datorprogram.

4 Kommentarer och svar Här visas två exempel på hur upprepad förändring kan beskrivas med hjälp av digitala verktyg, dels med ett kalkylblad, dels med ett program skrivet i Python 3.

Kalkylblad = 1 000 * 1.03 = B1 * 1.03

Kalkylblad

Programmering belopp = 1000

Sätt variabelns belopp till 1000.

for n in range(10):

Upprepa följande två rader 10 gånger.

belopp = belopp * 1.03 Multiplicera belopp med förändringsfaktorn 1.03.

print(int(round(belopp, 0))) Avrunda belopp till heltal, alltså 0 decimaler, och skriv ut det.

1030 1061 1093 1126 1159 1194 1230 1267 1305 1344

Det är bra att uppmärksamma eleverna på att beräkningar och formler i kalkylblad ska inledas med ett likhetstecken, annars kommer kalkylbladet att uppfatta den inmatade beräkningen som vanlig text. Det är även viktigt att visa att man i ett kalkylblad hänvisar till olika celler med hjälp av koordinater. Koordinaten B1 anger till exempel cellen i kolumn B på rad 1. I beräkningar kan man hämta värden från andra celler och på så sätt utföra beräkningar som bygger på varandra. I det här fallet beräknar man ränta på ränta genom att hämta värdet från det föregående årets beräkning. Programmering

●● Beräkna hur stort belopp Patricio har på

sitt sparkonto efter 20 år.

●● Undersök efter hur lång tid beloppet på

kontot har fördubblats.

143

Motsvarande centrala innehåll från åk 4-6 är: Samband ●● Proportionalitet och procent samt deras samband. ●● Grafer för att uttrycka olika typer av proportionella samband vid enkla undersökningar. Statistik ●● Tabeller och diagram för att beskriva resultat från undersökningar, såväl med som utan digitala verktyg. Tolkning av data i tabeller och diagram. ●● Lägesmåtten medelvärde, typvärde och median samt hur de kan användas i statistiska undersökningar.

I exemplet används programspråket Python 3. Programmet sätter värdet på variabeln belopp till 1 000 och därefter används en for-sats för att skapa en upprepning. Du kan uppmärksamma eleverna på att raden med for-satsen avslutas med ett kolon och att de efterföljande raderna, som ska upprepas, är indragna. På den tredje raden sätts variabeln belopp till det föregående värdet av belopp multiplicerat med förändringsfaktorn 1.03. På så sätt beräknar programmet ränta på ränta. På den sista raden skriver programmet ut värdet av variabeln belopp för varje repetition. Programmet skriver alltså ut beloppet på kontot för varje år. På den här raden finns även kommandot round(belopp, 0). Det talar om att programmet ska skriva ut värdet av variabeln belopp avrundat till heltal. Den svarta rutan visar hur det ser ut när man kör programmet. Om eleverna vill pröva koden själva kan de göra det i programmet IDLE (Python 3) som går att ladda ner gratis, eller i en onlinetjänst som exempelvis https://repl.it/. Kodförslag finns i txt- och wordfil i materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter.

Svar till frågorna ●● Patricio kommer ha 1 806 kr efter 20 år. ●● Efter 24 år har beloppet fördubblats.

143

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 143

2019-03-14 08:43

Beräkna delen Beräkna det hela Eleverna får här repetera hur man beräknar delen när man vet det hela och andelen. På Grön kurs presenteras metoden att använda procentsatsen i decimalform medan vi på Blå kurs visar två metoder; metod 1 där man gör beräkningen via en procent och metod 2 där man använder decimalformen. Innehållet som behandlas är lån, ränta och räntesats. På sidan 145 med beräkningar av det hela, presenteras två metoder. Metod 1 visar att man först kan räkna ut vad en procent motsvarar för att sedan multiplicera med 100 och i metod 2 använder man en ekvation för att ta reda på det hela. På det här uppslaget bör eleverna ha tillgång till räknare. Många elever kan också ha egna metoder som fungerar vid vissa procentsatser. När man vet hela tiotal procent; 10 %, 20 % osv så är det enkelt att gå över 10 %.

Lärandemål Här ska eleverna lära sig: ●● metoder för att beräkna delen av något och för att beräkna det hela ●● begreppen delen, det hela, ränta, räntesats, inlåningsränta

Tänk på ●● Här möter eleverna beräkningar med lån, ränta och räntesats kanske för första gången, begrepp som kan behöva förklaras. Kostnaden när man lånar pengar kallas ränta och ofta är den en procentsats (räntesats) på lånet. Med räntesatsen kan man beräkna hur mycket pengar man ska betala på ett år. Ofta måste man också betala av på lånet, amortera. Det har vi dock valt att inte ta med här. När man sparar pengar på ett bankkonto kan man få pengar av banken, vilket kallas inlåningsränta. ●● I genomgångsrutan beräknas delen genom att skriva om procentsatsen i decimalform. En del elever kan fortfarande vara obekväma med det. Visa då att man kan räkna via 1 %, som vi gör på Blå kurs på sidan 158. Fördelen med att lära sig att använda decimalform är att den leder vidare till förändringsfaktor. Det finns Arbetsblad som hör till Genrepet som repeterar grundläggande procentberäkningar, se hänvisning. ●● På sidan 145 visar vi två metoder för att beräkna det hela och eleverna bör få ta del av båda. Låt dem sedan välja vilken metod de känner sig mest bekväma med. ●● En utvidgning av området kan vara att låta eleverna lägga upp en privatekonomi. Det kan vara en ekonomisk kalkyl över hur det kan tänkas se ut i deras liv om 5–10 år med ev bostadslån, billån, lön och skatt mm. Aktivitet 4:2 ger förslag på en uppgift där man

144

Grundkurs Beräkna delen

Lån och ränta När du lånar pengar av en bank måste du betala ränta till banken. Räntan är kostnaden för lånet av pengarna. Hur stor räntan är beror på hur stort lånet är och vilken räntesats banken tar. Räntan beräknas vanligtvis på ett år. När du sätter in pengar på en bank får du i stället ränta av banken. Det kallas inlåningsränta.

Exempel Hur stor är årsräntan om du lånar 30 000 kronor och räntesatsen är 4 %? 4 % av 30 000 kr = 0,04 · 30 000 kr = 1 200 kr 4 ____ 100

Svar: Årsräntan är 1 200 kronor.

Beräkna årsräntan om räntesatsen är 4 % och lånet är

a) 10 000 kr

b) 100 000 kr

c) 590 000 kr

d) 5 900 000 kr

Beräkna årsräntan om lånet är 1 500 000 kr och räntesatsen är

a) 2 %

3 4 5 6

b) 3,6 %

c) 5,6 %

d) 7,2 %

Peter lånar 3 000 kr och räntesatsen är 9,5 %. Han betalar tillbaka lånet tillsammans med räntan efter ett halvår. Beräkna hur mycket han betalar. Sama har 35 000 kr på ett bankkonto. Inlåningsräntan är 1,5 %. Hur mycket har hon på bankkontot efter ett år?

Om man ska betala ränta varje månad delar man räntan för ett år med 12.

Familjen Osman har ett huslån på 1,8 miljoner. Räntesatsen på huslånet är 4,5 %. Hur mycket ska de betala i ränta varje månad? Jonas köper en motorcykel för 56 000 kronor. När han säljer den efter några år har värdet minskat med 30 %. Vilken beräkning ger

a) värdeminskningen b) det nya värdet efter värdeminskningen

144

Årsräntan är proportionell mot hur mycket pengar man lånar.

0,3 · 56 000 kr 1,3 · 56 000 kr 0,7 · 56 000 kr 0,97 · 56 000 kr

4 procent och statistik

jämför olika lån. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns ett kodförslag som simulerar årskostanden om räntesatsen ändrar sig. Det gör det lätt att snabbt titta på hur mycket kostnaden kan förändras om räntesatsen går upp eller ner.

Start När man lånar pengar betalar man ränta till banken. Elisa lånar 25 000 kr och räntesatsen är 4 %. Vilken eller vilka av beräkningarna visar hur stor årsränta Elisa får betala? 4 ∙ 25 000    A   _________   100 B 0,04 ∙ 25 000 ∙ 12

C 0,04 ∙ 25 000 Alternativ start När man sätter in pengar på banken kan man få inlåningsränta. Ines sätter in 10 000 kr på sitt bankkonto. Inlåningsräntan är 1,5 %. Hon räknar ut att hon efter ett år kommer ha 10 150 kr på sitt konto. Visa att Ines har rätt.

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 144

2019-03-14 08:43

Slut Beräkna det hela

Exempel Anja betalar 6 480 kronor i ränta på sitt banklån för ett år. Räntesatsen är 3,6 %. Hur mycket pengar har hon lånat? Metod 1

Metod 2

3,6 % av lånet = 6 480 kr

Låt x vara beloppet Anja lånat.

6 480 kr 1 % av lånet = ________ = 1 800 kr 3,6

3,6 % = 0,036

0,036 · x = 6 480

100 % av lånet = 100 · 1 800 kr = 180 000 kr

480 kr 0,036 · x 6 ________ = ________

Svar: Hon har lånat 180 000 kr.

x = 180 000 kr

0,036

och lånet är 100 000 kr?

8 9

b) 3 %

d) 7,2 %

c) 3,75 %

d) 7,5 %

B 100 kr

C 1 000 kr

D vet ej

C 5 435 ∙ 2,7

Edgar arbetar som telefonförsäljare. Han har en fast lön på 8 500 kr i månaden och får också 6 % av det belopp han säljer för. En månad var hans lön 21 100 kr. Hur mycket hade han sålt för?

Procent

4 procent och statistik

145

Kommentarer till uppgifter 4

Var observant på om eleverna har förståelse för att räntan ska läggas på beloppet.

Diskutera gärna vad övriga uttryck betyder. Uppgiften kräver en lösning i flera steg. Låt gärna eleverna göra uppgiften parvis och diskutera sedan i helklass hur man kan arbeta.

Facit

D vet ej

Alternativt slut

Redan på romartiden, alltså långt före decimaltecknets tid, räknade man med tiondelar, tjugondelar och hundradelar. På kejsar Augustus tid fanns till exempel en särskild skatt på varor som såldes på auktion (centesima rerum venalium) och som utgjorde 1/100 av köpeskillingen. Den huvudsakliga användningen av "procenträkning" under medeltiden var i samband med ränteberäkningar.

1 a) 400 kr

A 1 200 kr

5 435 5 435   ∙ 100 B   ______      A   _____ 2,7 0,027

Dina köper en ny cirkelsåg. I affären är det 12 % rea och hon får 420 kr i rabatt. Hur mycket kostade sågen före rean?

D vet ej

ett år. Räntesatsen är 2,7 %. Vilka beräkningar visar hur mycket pengar Erik har lånat?

Leyla ska köpa en lägenhet. Hon har råd att betala 2 700 kr i ränta varje månad. Hur mycket kan hon låna om räntesatsen är

b) 5 %

C 3 000 kr

3 Erik betalar 5 435 kr i ränta på ett banklån för

David får 15 % rabatt när han köper en soffa. Rabatten är 552 kr. Hur mycket kostade soffan från början?

a) 3 %

c) 3,6 %

B 30 kr

15 000 kr. Hur mycket får han betala i ränta varje månad?

Basim betalar 3 600 kronor i ränta på ett år. Hur mycket pengar har han lånat om räntesatsen är

a) 2 %

A 300 kr

2 Räntesatsen på ett lån är 8 %. Fred lånar

0,036

Svar: Hon har lånat 180 000 kr.

1 Hur stor blir årsräntan om räntesatsen är 3 %

Vad vet du om begreppen ränta, räntesats och inlåningsränta.

Gå vidare Blå kurs Mer grundläggande genomgångar och uppgifter på beräkna delen, lån och ränta samt beräkna det hela finns på sidorna 158–160.

Extramaterial Arbetsblad G:43

Procent, beräkna delen

●●

G:46

Procent, beräkna det hela

●●

Aktiviteter b) 4 000 kr

7 a) 180 000 kr

c) 23 600 kr

b) 120 000 kr

d) 236 000 kr

c) 100 000 kr

2 a) 30 000 kr b) 54 000 kr c) 84 000 kr d) 108 000 kr 3 3 142,50 kr 4 35 525 kr 5 6 750 kr 6 a) 0,3 ∙ 56 000 kr

4:2

Jämföra lån

●●

d) 50 000 kr 8 3 680 kr 9 a) 1 080 000 kr b) 648 000 kr c) 864 000 kr d) 432 000 kr 10 3 500 kr 11 210 000 kr

b) 0,7 ∙ 56 000 kr

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 145

145

2019-03-14 08:43

Uppslaget Begrepp och resonemang

Uppslaget

Vem eller vilka har rätt? Uppgiften tar upp några vanliga fel som elever kan göra när de räknar med potenser. Gör övningen parvis eller i helklass.

A Anna har fel. Faktorn 2 i uträkningen 2 · 1,015 · 10 000 innebär att pengarna på kontot (1 000 kr + första årets ränta) fördubblas.

Begrepp och resonemang

Vem eller vilka har rätt? I slutet av vårterminen satte klass 7b in 10 000 kr på ett bankkonto med 1,5 % ränta. Deras lärare bad dem räkna ut hur mycket pengar de skulle ha på kontot efter två år om de inte satte in några mer pengar. Vem har gjort rätt? Motivera ditt svar.

2 ∙ 1,015 ∙ 10 000

B Benjamin har rätt. Korrekt uträkning är 1,015 · 1,015 · 10 000. Förändringsfaktorn är 1,015. Förändringen under två år är 1,015 · 1,015 = 1,030225, vilket motsvarar en ökning med ca 3,023 %. D Dilan har fel. Eftersom ökningen andra året räknas från en större summa blir den procentuella ökningen större än 3 %. Se kommentaren till Benjamins uträkning.

1,015 ∙ 1,015 ∙ 10 000

Benjamin

Anna

1,5 % +1,5 % = 3 % 1,03 ∙ 10 000

Dilan

Begreppskarta Gör en eller flera begreppskartor över det du har lärt dig i det här kapitlet: Lån

Förslag på begrepp: Lån, ränta, räntesats, avbetalning, inlåningsränta. Förslag på länkord: När man lånar pengar får man betala, räntan beror på, man kan få, man kan betala varje månad, man kan betala allt på en gång, exempelvis.

Begreppskarta

Procent

Ett bra sätt att arbeta med de begrepp och metoder som presentas i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga är att arbeta med begreppskartor. På sidan 347 finns det förslag på begreppskartor till det här området.

Förslag på länkord: Beräknas så här, beräknas på en gång, visar ökningen, visar minskningen, exempelvis.

Förslag på begrepp: Delen, det hela, andelen, förändringsfaktor, procentenhet.

Statistik

Förslag på begrepp: Medelvärde, median, typvärde, variationsbredd, kvartilavstånd, cirkeldiagram, stapeldiagram, stolpdiagram, linjediagram, lådagram. Förslag på länkord: Beräknas så här, bestäms så här, kan visas med, passar bäst för, exempelvis.

Begreppskarta 4:1 Lån Begreppskarta 4:2 Procent Begreppskarta 4:3 Statistik

Arbeta tillsammans A Sant. T.ex. om priset stiger från 5 kr till 15 kr så har priset ökat med 200 %. B Falskt. Om något minskar med 100 % så finns inget kvar. C Sant. T.ex. kostnaden för en bostad är 150 % av en genomsnittlig årsinkomst. Priserna ökar rejält under ett år och kostnaden blir 270 % av en genomsnittlig årsinkomst. Ökningen är 120 procentenheter. D Sant. T.ex. kostnaden för en bostad är ett år 270 % av en genomsnittlig årsinkomst. Priserna minskar kraftigt och kostnaden blir 150 % av en genomsnittlig årsinkomst. Minskningen är då 120 procentenheter.

154

4 procent och statistik

Problemlösning Fler problem finns på sidorna 286–293.

A a) Svar: Det tar 6 månader. Strategi 1 Multiplicera med förändringsfaktorn 1,2 tills summan överstiger 50 000. Efter 1 månad: 1,2 · 20 000 = 24 000 Efter 2 månader: 1,2 · 24 000 = 28 800 Efter 3 månader: 1,2 · 28 800 = 34 560 Efter 4 månader: 1,2 · 34 560 = 41 472 Efter 5 månader: 1,2 · 41 472 ≈ 49 766 Efter 6 månader: 1,2 · 49 766 ≈ 59 720 I början av månad 6 överstiger antalet användare 50 000. Strategi 2 Utan förändringsfaktor Månad 1: 20 % av 20 000 = 0,2 · 20 000 = 4 000 Nytt värde: 20 000 + 4 000 = 24 000 Månad 2: 20 % av 24 000 = 0,2 · 24 000 = 4 800 Nytt värde: 24 000 + 4 800 = 28 800 Osv. till månad 6 på samma sätt.

154

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 154

2019-03-14 08:43

Arbeta tillsammans

Vilka påståenden är sanna och vilka påståenden är falska? Motivera ditt svar.

A Något kan öka med 120 %. B Något kan minska med 120 %. C Något kan öka med 120 procentenheter.

Problemlösning

a) Hur länge dröjer det tills antalet användare blir fler än 50 000? Lös problemet med två olika strategier.

b) Vilken strategi tycker du är bäst för den här uppgiften? Motivera ditt svar.

Maja och Måns undersöker hur många personer som bor i varje lägenhet i området de bor. Maja säger att 20 % bor ensamma i sin lägenhet. Måns säger att det i 40 % av lägenheterna endast bor en person. Har båda rätt? Motivera ditt svar. Antal personer

●● Om svaret är sant, hur visar du att påståendet är sant? ●● Om svaret är falskt, hur visar du att påståendet är falskt? Hur kan du ändra påståendet så att det blir sant?

Sant eller falskt?

I början av året hade ett spel 20 000 användare. Varje månad ökar sedan antalet användare med 20 %.

3 4 5

Antal lägenheter 12 10 5 2 1

Påståendena behandlar begrepp och metoder. Om övningen genomförs gemensamt så eleverna får diskutera, tränas både resonemangs- och kommunikationsförmågan. Bra frågor att ställa kan vara:

D Något kan minska med 120 procentenheter. Ge exempel på händelser när de sanna påståendena kan ske.

Sant eller falskt

Uppslaget

Facit

Typvärde är det värde som inte förekommer i en undersökning.

Median är värdet i mitten när man skrivit värdena i storleksordning.

Ett lådagram visar spridningen av värden.

I ett lådagram är 50 % av värdena mellan den nedre och den övre kvartilen.

I ett lådagram är 25 % av värdena mindre än den övre kvartilen.

När man köper på avbetalning så brukar det bli dyrare.

Om priset ökar med 40 %, så ska jag multiplicera med 1,4 för att få det nya priset.

Om priset sänks med 25 %, så ska jag multiplicera priset med 0,25 för att få det nya priset.

Om räntesatsen stiger från 3,5 % till 4,5 %, så har den ökat med 1 %.

1 Falskt. Typvärdet är det värdet som förekommer flest antal gånger. I vissa undersökningar kan det finnas flera olika typvärden. 2 Sant. (Om det är ett jämt antal värden är medianen medelvärdet av de två talen i mitten). 3 Sant 4 Sant 5 Falskt. 75 % av värdena är mindre än den övre kvartilen. 6 Sant 7 Sant

10 Om räntesatsen sjunker från 10 % till

8 Falskt. Man ska multiplicera med 0,75.

11 Om räntesatsen stiger från 4 % till 9 %,

9 Falskt. Ökningen är 1 procentenhet. Ökningen i procent 1 är  ___    ≈ 0,29 = 29 %. 3,5

5 %, så har den minskat med 50 %.

så har den ökat med 5 procentenheter.

4 procent och statistik

155

10 Sant 11 Sant

b) Strategi 1 är mest effektiv eftersom man med räknare kan slå in utgångsvärdet 20 000 och räkna antalet gånger man måste multiplicera med 1,2 innan man överstiger värdet 50 000. Om man har svårt för den metoden så fungerar även strategi 2.

Extramaterial Läs mer ●● Grevholm, Barbro. (2014). Begrepp i kartor eller bubblor? Nämnaren 2, 2014.

Kodförslag finns till problemlösningsuppgift A, se txt- och wordfiler i materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter.

B Båda har rätt. Maja har rätt eftersom det är 12 60 personer totalt och  ___   = 0,2 = 20 %. Måns har rätt 60 eftersom det finns 30 lägenheter totalt och 12  ___   = 0,4 = 40 %. 30 Antal personer

Antal lägenheter (frekvens)

Totalt antal personer

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 155

155

2019-03-14 08:43

Diagnos

I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet Matte Direkt 9 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där finns även en alternativ diagnos för elever som behöver genomföra ytterligare en diagnos.

Diagnos Begrepp och metod

Beräkna

a) 3 % av 600 kr

b) 17 % av 350 kr

c) 12,5 % av 80 kr

Hur mycket ska du betala i ränta på ett år om

a) räntesatsen är 3 % och lånet är 350 000 kr

Begrepp och metod Arbets blad

Sida kurs

Avsnitt

Sida kurs

Facit

b) räntesatsen är 15 % och lånet är 80 000 kr

a) 18 kr b) 59,50 kr c) 10 kr

Beräkna delen 144

158– 159

G:43

a) 10 500 kr b) 12 000 kr

Beräkna delen 144

158– 159

G:43

a) 48 000 kr b) 96 000 kr c) 160 000 kr

Beräkna det hela

145

160

G:46

a) 25 % b) 2,5 % c) 5 %

Beräkna andelen

146– 147

161

≈ 17 %

Beräkna andelen

146– 147

161

a) sänkning med 20 % b) höjning med 15 % c) sänkning med 8%

Förändringsfaktor

148

162– 163

≈ 65 160,50 kr Rimligast är att beräkna värdet till ca 65 000 kr.

Upprepad förändring

149

a) ≈ 1,6 (42 syskon/ 27 elever) b) 1 c) 1 d) 4

Statistik

150– 152

a) 26 poäng b) 36 poäng c) 15 personer d) 45 personer

Statistik

150– 152

a) 10 procentenheter b) 25 %

Procentenheter

153

4 5 6

På ett år betalar Amir 4 800 kr i ränta. Hur mycket har han lånat om räntesatsen är

a) 10 %

c) 3 %

Beräkna räntesatsen om räntan är 500 kr och man har lånat

a) 2 000 kr

b) 5 %

b) 20 000 kr

c) 10 000 kr

Sune köper en tvättmaskin på avbetalning och betalar 350 kr i månaden i ett år. Om han hade betalat direkt hade kostnaden varit 3 600 kr. Hur många procent dyrare är det att köpa tvättmaskinen på avbetalning än att köpa den direkt? Priset för ett månadskort på ett gym har ändrats två gånger. Det nya priset kan beräknas så här: 0,8 · 1,15 · 750 kr. Med hur många procent ändrades priset

a) första gången b) andra gången c) totalt efter de två ändringarna

G:45 7

G:45

Sara köper en bil för 80 000 kr. Hon räknar med att den minskar i värde med 5 % per år. Hur mycket bör den vara värd efter 4 år? Stolpdiagrammet visar hur många syskon eleverna i klass 9a har.

a) Beräkna medelvärdet. b) Bestäm medianen. c) Bestäm typvärdet. d) Beräkna variationsbredden.

163

166

Antal elever

8 6 4 2 0 1 2 3 4

Antal syskon

4:1 156

164– 165

4 procent och statistik

4:2 A

Resonemang och kommunikation 4:2 B

För de elever som behöver träna mer på resonemang och kommunikation kan man förslagsvis arbeta vidare på Uppslagssidorna på Grön och Blå kurs. Låt även eleverna arbeta med Aktiviteter till respektive avsnitt för att utveckla den muntliga kommunikationen.

4:3

Lösningar och kommentarer:

11 Svar: Båda kan ha rätt. Benjamin jämför i procent. En ökning från 13 % till 16 %, motsvarar en ökning 3 med  ___   ≈ 0,23 = 23 % 13 En ökning från 28 % till 32 %, motsvarar en ökning 4 med  ___   ≈ 0,14 = 14 % 28 Anna jämför i procentenheter. En ökning från 13 % till 16 % motsvarar en ökning med 3 procentenheter. En ökning från 28 % till 32 % motsvarar en ökning med 4 procentenheter. Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 146–147, 153, Blå kurs s. 161, 166, Arbetsblad 4:3

156

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 156

2019-03-14 08:43

Bedömningsuppgift 9

Lådagrammet visar resultatet av ett test där 60 personer deltog. Läs av i diagrammet och svara på frågorna.

a) Avläs medianen.

Lösningar och kommentarer:

Poäng

b) Beräkna variationsbredden.

d) Hur många personer hade mellan 14 och 40 poäng?

Andelen kvinnor i en förening ökade från 40 % till 50 %. Beräkna ökningen i

a) procentenheter

b) procent

Benjamin och Anna jämför resultatet i skolvalet. Kan båda ha rätt? Motivera. En ökning från 13 % till 16 % är större än en ökning från 28 % till 32 %.

Anna

Kalla ursprungspriset för y. Nya priset blir då 1,2y.

Det ursprungliga kilopriset kan skrivas som

x 0,96y 1,2y _____ =       . Det nya kilopriset kan skrivas som  ______    1,25x x

Bedömningsuppgift Mer för pengarna!

Om vikten ökar med 25 % och priset ökar med 20 % sänks alltid kilopriset med 4 %.

Kommentar: På sidan 351 finns en bedömningsmatris kopplad till denna uppgift.

Mängden cornflakes ökar med 25 % och priset ökar med 20 %. Lös följande uppgifter med så effektiva metoder som möjligt.

a) Beräkna den nya vikten och det nya priset. c) Beräkna hur många procent kilopriset ändras.

___

y  __   kr/kg

Rakel har utvecklat ett spel. Antalet användare ökar med 25 % varje månad. Efter tre månader har hon 8 000 användare. Hur många användare hade hon första månaden? Motivera ditt val av strategi.

b) Beräkna kilopriset från början och det nya kilopriset.

( 753 ) 72 det ursprungliga priset  (     = 0,96 ). 75 Den nya mängden blir då 1,25x.

Problemlösning

___

d) Kalla den ursprungliga mängden cornflakes för x.

Jag håller inte med, det är tvärtom.

Benjamin

30 ( 0,4 ) 36 Det nya kilopriset är 72 kr/kg  (       ). 0,5

c) Kilopriset har sänkts med 4 %   ___       , alltså till 96 % av

Resonemang och kommunikation

Det nya priset är 36 kr (1,2 · 30 kr).

b) Kilopriset från början är 75 kr/kg   ___       .

c) Hur många personer hade 30 poäng eller mer?

a) Den nya vikten är 500 g = 0,5 kg (1,25 · 400 g).

30 kr

d) Visa att förändringen av kilopriset inte beror på ursprungspriset eller ursprungsvikten.

4 procent och statistik

157

Problemlösning Lösningar och kommentarer: Elever som behöver utveckla sin problemlösningsförmåga kan arbeta vidare med uppgifter på sidan 286–293 i problemlösningskapitlet alternativt med problemlösning på Uppslagssidorna.

12 Svar: 4 096 användare Lösning med ekvation: Kalla antalet användare den första månaden för x. Det ger ekvationen 1,25 · 1,25 · 1,25 · x = 8 000 8 000        x =   _________________ 1,25 · 1,25 · 1,25 x = 4 096 Hänvisning till innehåll: Grön kurs s. 149, Blå kurs s. 163, Arbetsblad 4:1

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 157

157

2019-03-14 08:43

Blå kurs Beräkna delen

Lån och ränta

Exempel

När du lånar pengar måste du betala ränta. För att kunna beräkna räntan så måste du veta räntesatsen och hur mycket pengar du lånar.

Hur mycket är 8 % av 600 kr?

Metod 1

Metod 2

Börja med att beräkna 1 %.

Börja med att skriva andelen i decimalform.

600 kr 1 % av 600 kr = ______ = 6 kr 100

8 % av 600 kr = 0,08 ∙ 600 kr = 48 kr

Svar: 8 % av 600 kr är 48 kr.

Räntesatsen visar hur många procent räntan är på ett år.

Exempel

8 % = 0,08

8 % av 600 kr = 8 ∙ 6 kr = 48 kr

Claire lånar 5 000 kr. Räntesatsen är 6 %. Beräkna årsräntan.

Svar: 8 % av 600 kr är 48 kr.

Lån: 5 000 kr Räntesats: 6 % Ränta: 6 % av 5 000 kr = 0,06 ∙ 5 000 kr = 300 kr

Vilka uttryck i rutan betyder

a) 2 % av 900 kr

0,2 · 900 kr

b) 20 % av 900 kr

a) 3,5 % av 120 kr

5 6 7

0,02 · 900 kr

0,35 · 120 kr

b) 35 % av 120 kr

2 · 9 kr

0,035 · 120 kr

35 · 1,2 kr

2 · 90 kr

Svar: Årsräntan är 300 kr.

20 · 9 kr

3,5 · 1,2 kr

Beräkna med huvudräkning. Använd metod 1 i rutan.

c) 6 % av 300 kr

d) 1 % av 150 kr

e) 10 % av 150 kr

f) 20 % av 150 kr

g) 1 % av 50 kr

h) 4 % av 50 kr

i) 20 % av 50 kr

b) 13 % av 80 kg

c) 24 % av 4 kg

d) 6 % av 750 kr

e) 65 % av 120 kr

f) 2,5 % av 350 kr

Hamid köper hörlurar som har kostat 580 kr. Hur stor blir hans rabatt i kronor?

Namie köper högtalare i samma butik. De har kostat 1 200 kr. Vad får hon betala? Vilket alternativ är bäst? Gör ett överslag och välj i rutan.

a) 9 % av 506 50

111

Bara i dag: 5 % rabatt på allt!

100

c) 12 %

Hur stor blir årsräntan om räntesatsen är 6 % och lånet är

b) 30 000 kr

c) 90 000 kr

Du har pengar på ett sparkonto i en bank som ger 3 % i ränta. Hur mycket kommer du ha på sparkontot efter ett år om du från början har

a) 1 000 kr

Beräkna med räknare. Använd metod 2 i rutan.

a) 3 % av 500 kg

b) 4 %

a) 15 000 kr

b) 4 % av 500 kr

Hur stor blir årsräntan om du lånar 8 000 kr och räntesatsen är

a) 8 %

3,5 · 12 kr

a) 3 % av 900 kr

b) 21 % av 530

b) 12 000 kr

c) 4 500 kr

Alex lånar 24 000 kr till en motorcykel. Räntesatsen är 8,5 %. Efter ett år betalar han tillbaka lånet med ränta. Hur mycket får han då betala? Familjen Nilsson har lånat 1 400 000 kr för att köpa ett hus. Räntesatsen är 4 %. Hur mycket ska de betala i ränta varje månad? Samet tar ett snabblån med mobilen och lånar 4 000 kr. Räntesatsen är 81 %. Efter ett år ska han betala tillbaka lånet och räntan. Hur mycket pengar ska Samet betala tillbaka?

SNABBLÅN! Pengarna inom 15 minuter

c) 59 % av 80

4 procent och statistik

158

4 procent och statistik

Blå kurs inleds med repetition av att beräkna delen med metod 1 och metod 2. Vi låter eleverna jämföra metoderna. De bör lära sig att använda metod 2 för att kunna förstå förändringsfaktor.

Kommentarer till uppgifter 3 7

Att kunna lösa den här typen av uppgifter med huvudräkning är mycket användbart. Var uppmärksam på vilka strategier eleven använder. Här ska eleverna göra ett överslag. Ta tillfället i akt och diskutera lämplig avrundning.

Uppgiften kan utökas med att eleverna får ta reda på aktuella inlåningsräntor för olika sparanden i banker.

Månadsräntan ska beräknas, så årsräntan ska divideras med 12. Syftet med uppgifterna är att eleverna ska lära sig att snabblån, sms-lån, har mycket höga kostnader.

Om man har pengar på banken kan man få ränta. Det kallas inlåningsränta.

Syftet med uppgiften är att eleverna ska lära sig att snabblån, sms-lån, har mycket höga kostnader.

159

Facit 1 a) 0,02 ∙ 900 kr 2 ∙ 9 kr

2 a) 0,035 ∙ 120 kr 3,5 ∙ 1,2 kr b) 0,35 ∙ 120 kr 35 ∙ 1,2 kr 3,5 ∙ 12 kr b) 20 kr

c) 18 kr

d) 1,50 kr

e) 15 kr

f) 30 kr

g) 0,50 kr

h) 2 kr

i) 10 kr

b) 10,4 kg

c) 0,96 kg d) 45 kr

b) 0,2 ∙ 900 kr 2 ∙ 90 kr (två gånger 10 % av beloppet) 20 ∙ 9 kr (20 gånger 1 % av beloppet)

3 a) 27 kr

4 a) 15 kg e) 78 kr

f) 8,75 kr

5 29 kr 6 1 140 kr 7 a) 45 b) 111 c) 47 8 a) 640 kr

b) 320 kr

c) 960 kr

9 a) 900 kr

b) 1 800 kr

c) 5 400 kr

10 a) 1 030 kr b) 12 360 kr c) 4 635 kr

11 26 040 kr 12 4 666, 67 kr 13 7 240 kr

Extramaterial Arbetsblad G:43

Procent, beräkna delen

158–159

●●

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 158

2019-03-14 08:43

Exempel

Hur mycket är 100 % om 6 % är 30 kr?

Beräkna andelen

Beräkna det hela

Steg 1

Steg 2

Steg 3

100 %

Andreas köper en mobil. Kostnaden är 4 000 kr om han betalar kontant och 4 800 kr om han köper på avbetalning. Hur många procent dyrare är det att köpa mobilen på avbetalning?

Betala nu: 4 000 kr På avbetalning: 400 kr i 12 månader

Pris: 4 000 kr Kostnad med avbetalning: 4 800 kr Skillnad i kronor: 4 800 kr – 4 000 kr = 800 kr 800 kr Skillnad i procent: ________ = 0,2 = 20 % 4 000 kr 30 kr 1 % är då _____ = 5 kr 6

6 % är 30 kr

Svar: Mobilen blir 20 % dyrare.

100 % är 100 · 5 kr = 500 kr

Svar: 100 % är 500 kr.

22 Hur mycket är 100 % om

a) 1 % är 8 kr

b) 1 % är 12 kr

a) 3 % är 24 kr

b) 4 % är 24 kr

c) 12 % är 24 kr

a) 8 % är 56 kr

b) 9 % är 81 kr

c) 13 % är 52 kr

17 18 19 20 21

a) 400 kr

c) 2 % är 12 kr

b) 100 kr

b) 750 kr

Olivia gör 12 mål under en säsong. Det är 30 % av vad spelarna i hennes lag gjorde tillsammans. Hur många mål gjorde laget?

Anton delar ut reklamblad för Kämpa SK. När han har delat ut 108 reklamblad så har han delat ut 60 % av reklambladen. Hur många reklamblad ska han dela ut totalt?

Klubben betalar 57 500 kr under ett år i ränta på ett lån. Räntesatsen är 5 %. Hur stort är lånet?

b) 6 000 kr

b) efter skatt

Clara köper en elcykel på avbetalning. Efter ett år har hon betalat tillbaka lånet och räntan. Hon har betalat 24 000 kr. Hur många procent är räntesatsen?

b) Vera har rätt

Benjamin ska köpa en båt. Den kostar 60 000 kr om man betalar direkt. Benjamin väljer i stället att betala 5 750 kr i månaden i ett år. Hur många procent dyrare är båten om han köper på avbetalning? 4 procent och statistik

Kommentarer till uppgifter 14–16 27

Låt eleverna göra uppgiften muntligt i par och motivera för varandra.

För elever som har svårt att komma vidare så kan man fråga hur mycket pengar han får betala totalt om han betalar båten på avbetalning.

14 a) 800 kr

b) 1 200 kr

Arbetsblad

15 a) 800 kr

b) 600 kr

c) 200 kr

16 a) 700 kr

23 a) 10 %

b) 15 %

c) 24 %

c) 600 kr

Extramaterial

24 a) 20 % b) 13 % (13,3)

b) 900 kr

c) 6,7 % (6,67)

25 4 %

c) 400 kr

17 300 lotter

26 20 %

18 40 mål

27 a) Elsas lön har ökat med 33 % jämfört med Veras som bara har ökat med 31 %.

19 180 st

G:45

Procent, beräkna andelen

●●

20 1 150 000 kr

G:46

Procent, beräkna det hela

●●

21 a) 24 300 kr b) 16 767 kr

Repetition 13 finns på sidan 306.

161

Facit

Uppgifterna är lämpliga att lösa med huvudräkning.

Repetition

Betala nu: 20 000 kr På avbetalning: 2 000 kr i månaden

Elsas timlön har ökat från 90 kr till 120 kr. Veras timlön har ökat från 107 kr till 140 kr. Båda säger att deras timlön har ökat mest. Förklara varför

4 procent och statistik

160

c) 12 000 kr

Love har ett lån på 500 000 kr och han betalar 20 000 kr i ränta på ett år. Beräkna räntesatsen.

a) Elsa har rätt

Jolin är tränare i klubben. Hon betalar 7 533 kr i skatt varjemånad. Det motsvarar 31 % av hennes lön före skatt. Hur stor är Jolins månadslön

c) 1 200 kr

Dilan får 800 kr rabatt när han köper en kajak. Hur många procent är rabatten om kajaken kostar

a) 4 000 kr

c) 1 200 kr

En dator kostar 5 000 kr. Hur många procent billigare blir den om priset sänks med

a) 500 kr

Fabian har sålt 45 stycken av de lotter han ska sälja för fotbollsföreningen. Han räknar ut att det motsvarar 15 % av lotterna. Hur många lotter ska Fabian sälja totalt?

a) före skatt

En mobil kostar 4 000 kr. Hur många procent dyrare blir den om priset ökar med

22 a) 10 % c) 30 %

b) 2,5 %

b) Veras lön har ökat med 33 kr jämfört med Elsas lön som bara har ökat med 30 kr.

28 15 %

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 159

160–161

2019-03-14 08:43

Röd kurs Problemlösning med procent 1 2

Andelen 18-åringar som tar körkort för bil ökade från 30,4 % år 2011 till 34,8 % år 2015. Med hur många procent har andelen ökat?

a) 4 minuter b) Skriv en formel för hur många bakterier y, det finns efter x minuter.

Gränsen för godkänt på ett körkortsprov var 44 rätt. Det motsvarade 80 % av frågorna.

a) Hur många frågor var det på provet? b) Oskar hade 12 fel. Med hur många procent måste han höja sitt resultat för att klara provet?

3 4 5 6

I en näringslösning finns det 50 bakterier per milliliter. Antalet bakterier ökar med 15 % varje minut. Hur många bakterier finns det i varje milliliter efter

Yasmine har 750 kr i månadspeng. Hon får välja mellan att få månadspengen höjd med 7 % i månaden i 6 månader eller att få den höjd med 65 kr varje månad i 6 månader.

2 3

a) Vilket alternativ ger Yasmine den största månadspengen efter 6 månader?

b) Vilka av graferna 1, 2 och 3 visar de olika alternativen? Motivera ditt svar. c) Skriv två olika formler som beskriver Yasmines månadspeng y utifrån de två alternativen. Kalla antalet månader för x.

Kocken Tina ska göra en sås och till den använder hon en grönsaksfond. En liter sås ska innehålla 4 % fond. Hur mycket sås kan hon göra av 180 ml fond?

d) En graf blir över. Skriv en formel till grafen så att den beskriver hur Yasmines månadspeng y ökar. Efter 6 månader ska den vara ungefär lika mycket som de övriga alternativen.

I ett torgstånd ligger en melon som väger 1 kg. Under solen torkar den tills den förlorat halva sin vikt. En färsk melon har en vattenhalt på 90 %. Hur stor är vattenhalten nu?

3 500

a) Hur lång tid tar det innan det finns 1 000 bakterier?

2 500

b) Hur många bakterier finns det efter 50 minuter?

2 000

c) Beräkna hur många bakterier det finns efter 3 minuter. Avrunda svaret till tiotal.

1 500

Sofia jobbar x timmar per dag och tjänar y kronor per timme. Max jobbar 20 % längre tid varje dag men tjänar 10 % mindre per timme än vad Sofia gör. Vem tjänar mest? Under vintersäsongen håller man noga koll på isens tjocklek på den lilla sjön. En söndag började den frysa till. Tjockleken ökade med 2 cm varje vecka. En söndag några veckor senare hade isens tjocklek ökat med 25 % sedan söndagen innan. Hur tjock var isen då?

Antal y 3 000

1 000 500

Tid x 10 20 30 40 50 60 min

168

4 procent och statistik

169

Facit 1 Svar: 14,5 % Ökning i procent: 34,8/30,4 ≈ 1,1447, vilket motsvarar en ökning med 14,47 %.

2 a) Svar: 55 frågor Kalla antalet frågor för x. x · 0,8 = 44 44 x =  ___   = 55 0,8 b) Svar: 2 % 12 fel motsvarar 43 rätt. Han behöver ytterligare 1 rätt. Motsvarande höjning i procent: 1  ___   ≈ 0,023 ≈ 2 %. 43

3 36,25 %

5 Svar: 80 % 10 % av 1 kg = 0,1 kg av den färska melonen är fruktkött, som inte försvinner i solen. Efter att ha torkat i solen väger melonen nu 0,5 kg, varav 0,4 kg är vatten. Andel vatten är 0,4  ___   = 0,8 = 80 %. 0,5

6 451,50 kr 7 a) ca 27 minuter b) ca 2 250 st c) Svar: 440 bakterier 400 · 1,035 · 1,035 · · 1,035 ≈ 444 ≈ 440

8 a) 87 st (87,45) b) y = 50 ∙ 1,15x

9 a) 65 kr i månaden i 6 månader

b) Graf 2 visar höjning med 7 % i månaden. Graf 3 visar höjning med 65 kr i månaden. c) y = 750 ∙ 1,07x och y = 65x + 750 d) 190x Månadslön där graferna möts efter 6 månader är ca 1 140 kr. 1 140     = 190   _____ 6

10 Svar: Max tjänar 8 % mer. Sofia tjänar x · y = = xy kr/dag. Max tjänar 1,2x · 0,9y = = 1,08xy kr/dag.

11 10 cm Se tabellen. Ökning i procent

Vecka

Tjocklek på isen (cm)

4 __      = 2

6  __   = 1,5

8 __      ≈ 1,3

2 100 % 4 50 % 6 33 %

10  ___  = 1,25

8 25 %

4 4,5 liter

168–169

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 162

2019-03-14 08:43

Mer om statistik

På ett körkortsprov fick två grupper resultaten:

Kontroll A

Grupp A

18 20 25 23 22 36 17 15 30 33 36

53 54 54 50 50 52 48 52 53 47 48 49 53

Kontroll B

Grupp B

26 26 26 23 28 22 28 23 24 23 26

58 61 64 64 22 52 58 30 36 50 51 65 52

I vilken av kontrollerna stämmer mängden i askarna bäst? Motivera med hjälp av statistik.

Ett sätt att jämföra resultaten för grupperna är att rita lådagram. Vi börjar med resultaten för grupp A:

1. Börja med att storleksordna värdena. 47 48 48 49 50 50 52 52 53 53 53 54 54 Nedre kvartil = 48,5

Median = 52

Grupp A

Övre kvartil = 53

2. Vi ritar en tallinje som börjar strax före det minsta värdet och slutar strax efter det största värdet.

Median

Övre kvartil Största värde

d) Vad är det för likheter och skillnader mellan resultaten för grupp A och grupp B?

Flickor 17–19 år

55 50 65 52 48 32 53 47 48 49 40

11 40

11 9

26 15

Eleverna kan behöva hjälp att tolka diagrammet. Formuleringen ”Åtminstone varje vecka”, innebär dagligen och varje vecka och ”minst varje månad”, innebär alla alternativ utom ”någon gång”.

Varje månad

Varje vecka

Dagligen

14 16

Har ingen uppfattning 1 instämmer inte alls

10 4

90 100

3 4 5 instämmer helt och hållet Källa: www.svenskarochinternet.se

c) Av alla ungdomar 11–19 år, är det 67 % fler pojkar än flickor som instämmer helt och hållet med påståendet.

4 procent och statistik

171

Facit 12 a) Median = 52

14 Båda kontrollerna har

samma medelvärde, men om man beskriver hur värdena har fördelats med lådagram

b) Övre kvartil = 62,5

Nedre kvartil = 43

d) Värdena i grupp A är mer samlade kring medianen. Spridningen runt medianen är större i grupp B.

En utvidgning av uppgiften kan vara att låta eleverna använda den angivna källan och söka reda på och presentera någon annan information om svenskars internetanvändande. Även detta diagram kan behöva diskuteras för att ge eleverna hjälp med att förstå hur det är uppbyggt.

Någon gång

4 procent och statistik

Båda kontrollerna har samma medelvärde. Uppmana gärna eleverna att rita lådagram med resultaten så framkommer spridningen tydligt.

8 8 2017

8 2016

b) Bland ungdomar 17–19 år, är det 110 % fler pojkar än flickor som instämmer helt och hållet med påståendet.

b) Rita ett lådagram som visar resultatet för grupp C.

a) Beräkna variationsbredden.

Kommentarer till uppgifter

a) Bland ungdomar 11–13 år, är det 3 % fler pojkar än flickor som instämmer helt och hållet med påståendet.

När grupp C gör körkortsprovet får de följande resultat:

Flickor 14–16 år Pojkar 17–19 år

Pojkar 14–16 år

c) Rita ett lådagram som visar resultatet.

Flickor 11–13 år

a) Bestäm medianen för grupp B.

170

Källa: www.svenskarochinternet.se

Andel (%) som har hört talas om "internet of things"

b) Bestäm nedre och övre kvartil för grupp B.

Diagrammet visar hur ungdomar i olika grad instämmer i att de hört talas om ”internet of things” år 2017. Stämmer nedanstående påståenden? Motivera ditt svar. Om påståendet är falskt, hur kan det förändras så att det blir sant?

Pojkar 11–13 år

c) minst varje månad

5. Rita en ”låda” som börjar i nedre kvartil och slutar i övre kvartil.

Minsta värde

b) åtminstone varje vecka

4. Markera medianen och nedre och övre kvartil.

R Andel (%) som använder videosamtal

Diagrammet visar andelen internetanvändare i åldersgruppen 12 år och uppåt, som använder videosamtal dagligen, varje vecka, varje månad eller någon gång. Hur många procent har andelen förändrats från år 2016 till år 2017 av de som använder videosamtal

a) enbart någon gång

3. Markera det minsta och det största värdet.

Nedre kvartil

En fabrik tillverkar halstabletter. Med jämna mellanrum gör de kontroller för att undersöka om det är rätt mängd tabletter i askarna. Mängden i en ask bör vara 25 g. Resultatet för två kontroller är (vikt i gram):

13 a) 33 b) 30

B A 5

ser man att värdena i kontroll B är mer samlade kring medianen. Spridningen är mindre i kontroll B än A. Därför kan man säga att kontroll B visar bäst resultat.

15 a) ökat med 47 % (47,37) b) minskat med 16 % (0,1579) c) minskat med 13 % (0,1290)

16 a) Falskt. Ändra till 3 procentenheter.

b) Sant c) Falskt. Ändra till 61 %.

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 163

170–171

2019-03-14 08:43

Svarta sidorna De svarta sidorna är avsedda för de elever som är färdiga med Röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga innehåll och ibland även utanför det centrala innehållet. För att underlätta för dig som lärare finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter.

Kommentarer och lösningar till uppgifter 1 Svar: 400 kr Läsplatta 1: 35 % rabatt som motsvarar 595 kr ger ett 595    = 1 700 kr. Läsplatta 2: 45 % ursprungspris på _____   0,35 rabatt som motsvarar 945 kr ger ett ursprungspris på 945 _____      = 2 100 kr. 0,45 Skillnaden i pris: 2 100 kr – 1 700 kr = 400 kr.

Svarta sidorna 1

4 5 6

Matilda ska köpa en läsplatta och hon väljer mellan två olika modeller. På den ena läsplattan lämnas 35 % rabatt och hon sparar då 595 kr jämfört med ordinarie pris. På den andra läsplattan får hon 45 % rabatt och hon sparar då 945 kr jämfört med ordinarie pris. Hur stor är prisskillnaden mellan läsplattornas ordinarie pris? Ge exempel på tre positiva heltal så att 15 % av det första talet plus 10 % av det andra talet minus 20 % av det tredje talet är lika med 30. I en rektangel är sidornas längder a och b. Du får i uppgift att öka den ena sidan med ett visst antal procent och minska den andra sidan med ett annat antal procent så att storleken på arean inte ändras. Föreslå procenttal för ökning och minskning av a och b. Priset på en vara höjs med 30 % och sänks därefter med 10 %. Tänk dig att varan i stället först höjs med 10 %. Hur ska priset sedan förändras för att varan ska få samma slutpris? Paulina är tyngdlyftare och tränar hårt. Ju starkare hon blir, desto tyngre vikter lyfter hon. Hon har ökat vikterna tre gånger, från 43 kg till 67 kg. Ge exempel på hur stora de tre ökningarna kan vara i procent. Jonathan bakar kakor. På hälften har han choklad, på en tredjedel av resten har han nötter och på en fjärdedel av de som varken har choklad eller nötter har han russin. På 9 kakor har han ingenting. Hur många kakor bakar Jonathan? I fäktningsklubben Värjan består ungdomssektion av 6 tjejer och 40 killar. Klubben gör en satsning för att öka andelen tjejer med 20 procentenheter. Hur många tjejer måste gå med i klubben för att nå det uppsatta målet? Inga nya killar tillkommer.

2 Svar: T.ex. 200, 100 och 50 Kalla talen för x, y och z. Hitta tre tal, x, y, z, så att 0,15x + 0,1y – 0,2z = 30. Prova att ge x och y olika värden och beräkna värdet på z så att ekvationen stämmer. Lösningar finns alltid för z, men inte alltid som positivt heltal. Se exempel i tabellen. x

0,15x + 0,1y – 0,2z = 30

200

100

200

0,15 · 200 + 0,1 · 100 – 0,2z = 30 30 + 10 – 0,2z = 30 0,2z = 10 z = 50

0,15 · 100 + 0,1 · 200 – 0,2z = 30 15 + 20 – 0,2z = 30 0,2z = 5 z = 25

0,15 · 10 + 0,1 · 5 – 0,2z = 30 1,5 + 0,5 – 0,2z = 30 0,2z = – 28 z = –140 OBS: z ej positivt

174

–140

Uppgiften kan kontrolleras med kod, vilken ger massor av lösningar och man kan variera inom vilka intervall man vill ha lösningar, se txt- och wordfil i materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter.

3 Svar: T.ex. Öka a med 25 % och minska b med 20 %. Kalla förändringsfaktorn till a för x och förändringsfaktorn till b för y. Då gäller att a · b = xa · yb, där x >1 och y < 1. Förenkling av ekvationen ger att xy = 1, vilket betyder att 1 y = __     . Pröva med olika värden på x och beräkna y. x Ökning av a

Förändringsfaktor x

Förändringsfaktor y

25 %

1,25

1 ____       = 0,8

20 %

50 %

1,5

1 ___       ≈ 0,67

33 %

100 %

1 __      = 0,5

50 %

1,25 1,5 2

Minskning av b

4 procent och statistik

4 Svar: Höjning med 6,4 %. 1,3 ∙ 0,9 = 1,1 ∙ x 1,3 ∙ 0,9    =x     _______ 1,1 x = 1,064 1,064 motsvarar en höjning med 6,4 %.

5 Svar: T.ex. ökningar med 10 %, 20 % och 18 %. Kalla de tre förändringsfaktorerna för x, y och z. 67 Då gäller att x · y · z = ___      ≈ 1,558. 43 Välj värden på x och y och bestäm därefter värdet på z. x

1,1

1,2

1,1 · 1,2 · z = 1,558 1,32z = 1,558 1,558 z =  ______   ≈ 1,18 1,32

x · y · z = 1,558

1,18

Ökning 10 % 20 % 18 %

1,15

1,3

1,15 · 1,3 · z = 1,558 1,495z = 1,558 1,558   z = ______    ≈ 1,04 1,495

1,04

15 % 30 % 4%

Lösningar finns alltid för z, men inte alltid som ger z > 1, dvs. en ökning även tredje gången.

Man kan alltid hitta ett värde på y, men det är få värden på x och y som ger heltalsvärden på de procentuella förändringarna.

174

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 174

2019-03-14 08:43

8 9 10 11 12

p = 0,7 · 240 240 240 = 0,7 · q, vilket ger q = ____      0,7

Sonja har 196 blå knappar och 4 röda knappar. Hur många knappar måste hon plocka bort för att 80 % av knapparna ska vara blå.

7 · 240 · 0,7 10p 10 · 0,7 · 240 __________ ____ =         = 4,9       =  ____________      240 q 240 ____   

Henry har flera traktorer. De två lättaste väger 25 % av den totala vikten och de tre tyngsta väger 60 % av den totala vikten. Hur många traktorer har Henry?

0,7

Medelvärdet av de positiva heltalen x och y är 20 % mindre än x. Hur många procent större än y är medelvärdet?

Du är kemist och har olika lösningar som innehåller ämnena 1, 2 och 3. Tabellen visar hur stor andel av respektive ämne som lösningarna innehåller. Lösning Ämne 1 Ämne 2

Ämne 3

20 %

40 %

25 %

55 %

20 %

15 %

75 %

10 %

9 Svar: 180 blå knappar Om de blå knapparna ska vara 80 % av alla knappar så är de röda knapparna 20 % av alla. 20 % av knapparna är 4. 100 % av knapparna är 5 ∙ 4 = 20. Det ska vara 16 blå knappar. 196 – 16 = 180 knappar. Kodförslag finns till den här uppgiften, se Arbetsblad, prov och aktiviteter.

10 Svar: 6 st

a) Du tillsätter ett fjärde ämne till lösning A så att lösningen

De återstående 15 % motsvarar en traktor. Det kan inte vara fler eftersom 2 traktorer inte kan väga mindre än de 2 lättaste som tillsammans väger 25 % av den totala vikten.

innehåller 50 % av det fjärde ämnet. Hur stor andel av ämne 1, 2 och 3 innehåller då den nya lösningen?

b) Du blandar lösning A och C. Ge förslag på hur mycket av respektive lösning du ska använda för att få en lösning med 30 % av ämne 3.

11 Svar: 33 % större

x+y Algebraisk lösning _____     = 0,8x 2 y x+y y 4y ___ Förenkling ger att x =        . Alltså är _____     = 0,8 · ___       = ___    ,  0,6 2 0,6 3 dvs. medelvärdet är 33 % större än y.

c) Ge förslag på vilken mängd av de tre olika lösningarna

du ska blanda för att få en fjärde lösning som innehåller två liter av ämne 2.

8 Svar: 4,9

10p 70 % av 240 är p. 70 % av q är 240. Beräkna ____ . q

a) Hur många procent måste man öka sidlängden av en kvadrat för att arean ska bli dubbelt så stor?

b) Hur många procent måste man öka sidlängden i en kub

12 a) Svar: 10 %, 20 %, 20 %. A innehåller hälften av ämnena

för att volymen ska bli dubbelt så stor?

1, 2 och 3 jämfört med tidigare, alltså 10 %, 20 % och 20 %. Det nya ämnet har andelen 50 %.

4 procent och statistik

175

6 Svar: 36 kakor.

Nötter Rita en bild. 3 Choklad RussinInget 9 kakor är __      av de som varken har 4 Inget Inget choklad eller nötter. Alltså har 12 kakor varken choklad eller nötter. 2 Dessa 12 är __      av de som inte har choklad. 18 kakor har 3 alltså inte choklad. Dessa är hälften av alla, vilket ger att han bakat 36 kakor.

Alternativ lösning: Kalla antalet kakor för x. 1 x 1 __ x x __      av __      = __      ·      = __       3

3 2

x x ___ 2x x Nu återstår x –  __   – __      =     =  __    av antalet.

2 6 6 3 1 x x På en fjärdedel av resten har han russin: __      av __      = ___       . 4 3 12 x x ___ x Det ger ekvationen __      + __      +       + 9 = x 2 6 12 Multiplikation med 12 ger 6x + 2x + x + 108 = 12x x = 36

7 Svar: 14 tjejer.

6 Andelen tjejer är ___      ≈ 13 %. En ökning med

46 1 20 procentenheter motsvarar andelen 33 % ≈ __      . 3 Kalla antalet tjejer som måste gå med i klubben för x. Antal tjejer efter ökningen: (6 + x). Antal medlemmar efter 6+x .     ökningen: (46 + x). Andelen tjejer efter ökningen: ______   46 + x 6 + x __ 1 Det ger ekvationen ______   =          46 + x 3 x = 14

b) Svar: T.ex. 2 liter av lösning A och 1 liter av lösning C. Kalla mängden av A för x och mängden av C för y. Det finns 0,4x av ämne 3 i lösning A och 0,1y av ämne 3 i lösning C. Blandar man lösning A och C finns (0,4x + 0,1y) av ämne C i den nya blandningen. Den nya blandningen ska innehålla 30 % av ämne 3: 0,3(x + y). Förenkling ger att x = 2y dvs. dubbelt så mycket av lösning A som av lösning C för att blandningen ska innehålla 30 % av ämne 3. c) Svar: T.ex. 1,75 liter av lösning A och vardera 1 liter av lösningarna B resp. C.

En liter av varje lösning ger av ämne 2; 4 dl från lösning A, 5,5 dl från lösning B och 7,5 dl från lösning C. Det ger totalt 1,7 liter av ämne 2. 3 Det behövs ytterligare 3 dl. Om vi tar  __  liter = 0,75 liter 4 av lösning A får vi precis 3 dl. Alternativ lösning: Kalla den totala mängden av blandningen för x. Då gäller att 0,4x + 0,55x + 0,75x = 2 liter 2 2       liter av varje Förenkling ger att x = ___       liter, man tar ___ 1,7 1,7 ämne. 2 Lösning A = 0,4 · ___       ≈ 0,47 liter 1,7 2 Lösning B = 0,55 · ___       ≈ 0,65 liter 1,7 2 Lösning C = 0,75 · ___       ≈ 0,88 liter 1,7

13 a) Svar: 41 % är 2x2 Kalla sidan för x. Arean är då x2. Den ____nya arean __ 2 och sidan i den nya kvadraten är 2x     = x 2    ≈ 1,41x. __ Förändringsfaktorn = 2  ≈ 1,41

√

b) Svar: 26 % Kalla sidan för x. Volymen är då x3. Den nya volymen är 3 2x ____och sidan __ i den nya kvadraten är

√

√  3

2x3  = x · 2  ≈ 1,26x. 3 __ Förändringsfaktorn = 2  ≈ 1,26

√

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 175

175

2019-03-14 08:43

Sammanfattning Sammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder som behandlas i kapitlet. Den ger en bra överblick av kapitlet och är därför en god hjälp för eleverna när de ska repetera.

Begreppskartor Ett bra sätt att repetera de begrepp och metoder som presenteras i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga, är att låta dem arbeta med begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gör att eleverna blir uppmärksammade på sina egna kunskaper. På sidorna 347–348 finns förslag på begreppskartor:

Sammanfattning

●●Ränta Den ränta man betalar på ett lån beror på: – lånets storlek (kr) – räntesatsen (%) – hur länge man har lånet Räntesatsen gäller för ett år om inget annat anges.

Lån

Begreppskarta 4:2

Procent

Begreppskarta 4:3

Statistik

Vilken är räntesatsen om ett lån är på 4 000 kr och räntekostnaden är 640 kr? Räntekostnad ________ 640 kr ____________ = = 0,16 = 16 % Lån

4 000 kr

Svar: Räntesatsen är 16 %.

●●Förändringsfaktor

Exempel

När du ska beräkna en upprepad procentuell ökning eller minskning är det effektivt att använda förändringsfaktor.

Hur stor är årsräntan om man lånar 50 000 kr och räntesatsen är 2,5 %? 2,5 % av 50 000 kr = 0,025 · 50 000 kr = = 1 250 kr Svar: Årsräntan är 1 250 kr

Exempel Priset på en tröja är 400 kr. Priset höjs med 20 % och sänks sedan med 15 %. Vilket blir det nya priset och vilken blir den totala procentuella förändringen? Det nya priset: 100 % – 15 % = 85 % = 0,85

1,20 · 0,85 · 400 kr = 1,02 · 400 kr = 408 kr

Exempel Oliver betalar 3 500 kr i ränta på ett år. Hur mycket har han lånat om räntesatsen är 2,5 %? Metod 1 2,5 % av lånet = 3 500 kr 3 500 kr 1 % av lånet = ________ = 1 400 kr 2,5 100 % av lånet = 1 400 kr · 100 = 140 000 kr Svar: Oliver har lånat 140 000 kr. Metod 2 Låt x vara beloppet Oliver har lånat. 0,025 · x = 3 500 kr 3 500 kr x 0,025 · ______ = ________ 0,025 0,025 x = 140 000 kr Svar: Oliver har lånat 140 000 kr.

176

Exempel

●●Beräkna delen

●●Beräkna det hela

Begreppskarta 4:1

●●Beräkna andelen i procent

100 % + 20 % = = 120 % = 1,20

Förändringsfaktorn 1,02 betyder att ökningen är 2 %.

Svar: Det nya priset är 408 kr och den totala procentuella förändringen är en ökning med 2 %.

●●Procentenheter Exempel Andelen medlemmar i en kör ökar från 8 % till 15 %. Hur stor var ökningen i a) procentenheter

b) procent

Svar: a) 15 % – 8 % = 7 procentenheter 7 b) __ = 0,875 = 87,5 % 8

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 176

2019-03-14 08:43

Bedömning ●●Upprepad förändring

●●Spridningsmått

Exempel

Variationsbredd Skillnaden mellan största och minsta värde.

Emelie sätter in 10 000 kr på ett bankkonto som har en fast ränta på 3 %. Hur mycket pengar har hon på kontot efter 5 år? Belopp: 1,035 · 10 000 kr ≈ 1,16 · 10 000 = = 11 600 Svar: Efter 5 år har Emelie 11 600 kr på kontot.

●●Lägesmått Medelvärde Summan av värdena dividerat med antalet värden.

Variationbredden för 2, 2, 3, 5, 6, 10, 13: Största värde: 13

Minsta värde: 2

Variationsbredd: 13 – 2 = 11 Lådagram Visar spridningen av värdena med hjälp av ett diagram. Lådagram för värdena 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30, 39: Nedre kvartil: Median av nedre halvan

Median

Minsta värdet

Övre kvartil: Median av övre halvan

Efter kapitlet kan det vara lämpligt att utvärdera hur väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är önskvärt att eleverna får visa sina kunskaper på olika sätt. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns kapitelprov på E- till A-nivå, kapitelprov på E-nivå och även ett muntligt prov. Till proven finns dessutom bedömningsmallar och bedömningsmatriser.

Största värdet

Medelvärdet av 7, 11, 0, 3, 4: 7 + 11 + 0 + 3 + 4 ___ 25 ________________ = =5 5

Median Värdet i mitten när värdena är skrivna i storleksordning. Medianen av 12, 3, 15, 9, 10: 3 9 10 12 15

Storleksordna

Medianen av 12, 3, 15, 9, 10, 12:

Medianen är medelvärdet av de två talen i mitten.

Typvärde Det vanligaste värdet.

Röd kurs ●●Promille Promille betyder per tusen. 1 1 promille = 1 ‰ = ______ = 0,001 1 000

●●ppm

Typvärdet av 12, 3, 15, 9, 10, 12:

ppm betyder per miljon. 1 1 ppm = _________ = 0,000 001 1 000 000

4 procent och statistik

177

4 procent och statistik

MD9_3uppl_LG_kap4.indd 177

177

2019-03-14 08:43

Problemlösning

Centralt innehåll I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet:

Rita en bild

●● Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder.

Exempel I en bägare finns en lösning av etanol och vatten. Lösningen väger 240 gram, varav en tredjedel är etanol. Du vill öka andelen etanol genom att hälla mer etanol i lösningen. Hur mycket etanol måste du hälla i

●● Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden.

a) för att hälften av lösningen ska bestå av etanol lösningen ska bestå av vatten

80 g 240 g

●● Hur algoritmer kan skapas, testas och förbättras vid programmering för matematisk problemlösning.

80 g 80 g

Lösningen väger 240 gram varav en tredjedel är etanol.

80 g 80 g 80 g

80 g

Om vi fyller på 80 gram etanol är hälften av lösningen etanol.

80 g 80 g 80 g

Om vi i stället fyller på 240 gram etanol är en tredjedel av lösningen vatten.

240 ____ = 80 3

Motsvarande innehåll från åk 4–6 är:

Svar: a) 80 g etanol

●● Strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer.

b) 240 g etanol

En lösning med vatten och etanol väger 480 g, varav en fjärdedel är etanol. Hur mycket etanol måste du hälla i

a) för att hälften av lösningen ska bestå av etanol

●● Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer.

Strategin att rita en bild är viktig eftersom den kan användas i många olika sammanhang och vara en del i andra strategier. En del elever har uppfattningen att strategin inte är en tillräckligt bra lösning. Undervisa därför om att det är en problemlösningsstrategi som är viktig och användbar och i många fall nödvändig för att kunna lösa ett problem.

80 g

b) den ursprungliga lösningen för att en tredjedel av

●● Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.

Rita en bild Gör en tabell

Problemlösning

b) den ursprungliga lösningen för att andelen vatten ska vara en fjärdedel

En saltlösning väger 1 000 g, varav en tiondel är salt. Per vill öka salthalten genom att koka bort en del av vattnet. Hur mycket vatten ska han koka bort för att andelen salt ska vara 1 a) __

1 b) __

286

1 c) __

problemlösning

Facit med lösningsförslag 1 a) Svar: 240 g

Etanol

120 g 120 g 120 g 120 g

480 g

120 g 120 g 120 g 120 g 120 g 120 g

240 g 480 g

Efter

Före

Alternativ lösning utan bild: 1 Etanol: __      av 480 g = 120 g 4 3 Vatten: __      av 480 g = 360 g 4 Om hälften ska bestå av etanol, måste etanolen väga 360 g. 360 g – 120 g = 240 g b) Svar: 960 g

Etanol 360 g

360 g 120 Före

120 120 120 120 120 120 120 120 120 Efter

Alternativ lösning (utan bild): 1 __      ska vara vatten, dvs hela lösningen måste då väga 4 4 ∙ 360 = 1 440 g 1 440 g – 480 g = 960 g

286

MD9_3uppl_LG_kap8.indd 286

2019-03-14 08:50

1 a) __

1 b) __

Per vill nu öka salthalten men ändå ha kvar 1 000 g lösning. Han kokar då bort en mindre mängd vatten och fyller på med lika mycket salt. Hur mycket vatten ska ersättas med salt för att andelen salt ska vara

4 Svar: De flickor som inte sjunger i skolkören utgör 15 % av eleverna på skolan.

1 c) __

Andelen flickor i Läringe skola är 60 %. Av dessa sjunger 75 % i skolkören. Hur många procent av alla elever utgör de flickor som inte sjunger i skolkören?

10 %

En låda full med likadana böcker väger 80 kg. Om man plockar ur hälften av böckerna, så väger lådan med resterande böcker 45 kg. Vad väger lådan?

Flickor som ej sjunger i kör 1,5 · 10 % = 15 % 60 % flickor

Gör en tabell

Flickor som sjunger i skolkör

Exempel I ett pennställ finns det 40 pennor. De är antingen blyertspennor eller bläckpennor och antingen röda eller blå. 8

16 – 12 = 4

8 + 4 = 12

Röd

24 – 8 = 16

40 – 12 = 28

Totalt 24

Svar: Det finns 12 blå pennor.

Blå

Böcker

40 – 24 = 16 40 Alla pennor minus antalet blyertspennor.

45 kg 35 kg

Hur många blå pennor finns det?

5 Svar: Lådan väger 10 kg.

Blyertspennor Bläckpennor Totalt

80 kg

Det finns 24 blyertspennor, 12 röda bläckpennor och 8 blå blyertspennor.

Låda Kajsa har 56 leksaksbilar. De är antingen gjorda av plast eller metall och är rosa eller blå. Hur många blå plastbilar har Kajsa?

100 elever i årskurs 9 är indelade i 4 grupper; A, B, C eller D. 46 elever är flickor. Hur många

a) pojkar finns det i grupp C

Det finns 7 bilar av metall. Det finns 12 rosa plastbilar. Det är 19 rosa bilar totalt.

Grupp A: 20 elever Grupp C: 30 elever Grupp D: 40 elever

En trave böcker väger 80 kg – 45 kg = 35 kg Lådan väger 45 kg – 35 kg = 10 kg 6 Svar: Det finns 37 blå plastbilar.

Grupp A: 10 pojkar Grupp C: 16 flickor Grupp D: 14 flickor

Rosa

Blå

Totalt

372)

491)

Plast

b) flickor finns det i grupp B

problemlösning

287

Metall

Totalt

7 19

Rita tabellen och sätt in de givna värdena. Då framgår att det finns 1) 56 – 7 = 49 plastbilar 2) 49 – 12 = 37 blå plastbilar 2 a) 500 g

b) 600 g a)

c) 800 g

7 a) Svar: Det finns 14 pojkar i grupp C. b) Svar: Det finns 6 flickor i grupp B.

c) 800 g

600 g

Pojkar A C

3 a) 100 g a)

100 g

150 g

b) 150 g

1 000 g

1  __   salt 5

1 __      salt 4 c) 400 g c)

1 __      salt 2

10b1)

14a) 54

100

Rita tabellen och sätt in de givna värdena. Då framgår att det finns 30 – 16 = 14 pojkar i grupp C. b1) Det finns 20 – 10 = 10 flickor i grupp A. b2) Det finns 46 – 10 – 16 – 14 = 6 flickor i grupp B.

400 g

Före

1  ___   salt 10

Flickor Totalt 6b2)

D Totalt

1 000 g

500 g

Före

287

MD9_3uppl_LG_kap8.indd 287

2019-03-14 08:50

Repetition 7

Repetition 8

Repetition 7 kan du göra efter grön kurs sidan 63 eller blå kurs sidan 79.

Repetition 8 kan du göra efter grön kurs sidan 69 eller blå kurs sidan 82.

Rummet är ritat i skala 1:100.

a) Hur långt är rummet i verkligheten?

Rita en figur som har

a) 1 symmetrilinje 3 cm

b) Hur brett är rummet i verkligheten?

b) 2 symmetrilinjer

c) 3 symmetrilinjer

Vilka av figurerna har

a) spegelsymmetri 5 cm

Rektangeln avbildas i skala 3:1. Hur många gånger större blir

a) omkretsen

b) arean

Beräkna 4 2 a) __ + __ 5 5

4 1 b) __ – __ 5 3

2 cm

4 cm

4 3 c) __ · __ 5 4

4 d) ___ 1 __ 3

b) 4 cm på kartan

I vilken skala är djuren avbildade?

c) På en bild är ett kvalster 2 cm. I verkligheten är det 0,5 mm.

volymen att bli dubbelt så stor”, säger Ida. Förklara varför Ida har fel.

300

d) h = 15 cm

h = 15 cm

B = 12 cm2

B = 20 cm2 (cm)

b) y

12 9

I en rätvinklig triangel har kateterna längderna 3 cm och 4 cm. I en annan rätvinklig triangel är kateternas längder 4 cm och 5 cm. Är trianglarna likformiga? Förklara med hjälp av bilder av trianglarna.

S7uan Varför är alla kvadrater likformiga men inte kongruenta?

S7uan ”Om jag fördubblar längden på alla kanter i en kub så kommer 8

(cm) 10

b) På en bild är en blåval 5 cm. I verkligheten är den 30 meter.

B = 40 cm2

”Drake”

1 __ 2 d) ___ 1 __ 4

Trianglarna är likformiga. Hur långa är sidorna x och y?

a) På en bild är en älg 3 cm. I verkligheten är den 180 cm.

Parallellogram

8 dm

12 dm

b) area

Romb

h = 10 cm

144 cm2

a) omkrets

5 dm

Kvadratens area är 144 cm . Beräkna hela figurens

Rektangel

Beräkna volymen av kropparna.

c) 35 mm på kartan

Kvadrat

Beräkna och svara med så liten nämnare som möjligt. 4 1 4 2 3 a) __ + __ b) 3 · __ c) __ · __ 5 6 9 5 4

På en karta är Sverige 16 cm långt. I verkligheten är Sverige 160 mil långt. Hur många mil i verkligheten motsvarar

a) 1 cm på kartan

b) rotationssymmetri

Hos ett rätblock har de olika sidoytorna arean 60 cm2, 72 cm2 och 120 cm2. Beräkna rätblockets volym.

En cirkel med diametern 5 cm ska förstoras så att den får en area som är 100 gånger större än den ursprungliga cirkeln. Hur stor ska diametern vara i den förstorade cirkeln?

Staffan råkar hälla ut en hel liter mjölk på golvet. Hur stor area har ”mjölkpölen”? Motivera hur du har tänkt och beräknat.

Repetition

301

Facit Repetition 7 1 a) 5 m

Repetition 8 1 a) T.ex.

b) 3 m

b) T.ex.

c) T.ex.

2 a) 3 gånger större b) 9 gånger större 6

3 a)  __    = 1 __       5 5

7 b)  ___     15

12 3 c)  ___   = __       20 5

4 a) 10 mil

b) 40 mil

5 a) ca 75 cm

b) ca 370 cm2

6 a) 1:60

b) 1:600

d) 12 c) 35 mil

c) 40:1

S7uan Om vi kallar alla kanter på kuben för a. Då är volymen

a3. Om vi fördubblar längden av alla kanter blir varje kant 2a. Volymen blir då 2a · 2a · 2a = 8a3. Volymen blir alltså 8 gånger så stor.

8 Rätblockets volym är

6 cm · 10 cm · 12 cm = 720 cm3. Kan även lösas med Pythonprogram: for x in range(100): for y in range(100): for z in range(100): if x * y == 60 and y * z == 72 and z * x == 120: print(”x =”, x, ”y =”, y, ”z =”, z)

2 a) Kvadraten, rektangeln, romben och ”draken” b) Kvadraten, rektangeln, romben och parallellogrammen

3 a)  ___    30

4 b)  __    3

3 c)  ___     10

d) 2

4 a) 480 dm3

b) 400 cm3

c) 60 cm3

d) 100 cm3

5 a) x = 7,5 cm, y = 12,5 cm

b) x = 8 cm, y = 12 cm

4 cm 4 cm    ≈ 1,33 och _____    = 1,25. 6 _____       3 cm 5 cm Förhållandet mellan sidorna är olika i trianglarna. Därför är trianglarna inte likformiga.

S7uan I alla kvadrater är hörnen vinklar som är 90°. Alltså har

de samma form och är likformiga. Däremot kan deras sidor vara olika långa och är alltså inte kongruenta.

8 10 gånger större, alltså 50 cm. 9 Svar: A ≈ 98 dm2 ≈ 1 m2 1 liter = 1 dm3 = 1 000 cm3 Om vi antar att pölen bildar en cirkel med höjden ca 0,1 cm och volymen är 1 000 cm3, får vi: V = π ∙ r2 ∙ h _____ _________ V 1 000 ____ =   _________ ≈ 56 cm        r =         π∙h 3,14 ∙ 0,1 En cirkel med radien ca 56 cm ger arean: A = π ∙ r ∙ r ≈ 3,14 ∙ 56 cm ∙ 56 cm ≈ 9 847 cm2 ≈ 98 dm2 ≈ ≈ 1 m2

√  √

300–301

repetition

MD9_3uppl_LG_kap9.indd 298

2019-03-14 08:51

Repetition 9

Repetition 10

Repetition 9 kan du göra efter grön kurs sidan 99 eller blå kurs sidan 117.

Repetition 10 kan du göra efter grön kurs sidan 103 eller blå kurs sidan 121.

Använd diagrammet när du löser uppgift 1 och 2.

1 2 3

a) 5 kg

c) 3(x + 5) = 22,5

Antal

(4, 2)

(–1, 5)

200

300

400

Vikt (g) 1 050 2 000 2 950 3 900

b) Hur mycket väger lådan?

(3, –1)

b) 15 – 4(6 – 3)

S7uan Funktionen som beskrivs med formeln y = 4x + 300 är ingen proportionalitet. Förklara varför den inte är det.

2,5 c) 45 – 5 · 1,5 + ___ 0,5

Lös ekvationen

b) 8x – (32 + 5x) = 37

c) 5x – (2x – 89) = 164

Bengt har många skruvar. Linjen visar sambandet mellan vikten och antalet skruvar. Skruvarna ligger i en låda.

Vikt

100 80

a) Hur mycket väger lådan?

b) Hur mycket väger en skruv?

Hur snabbt snurrar jorden runt vår sol? Medelavståndet från solen till jorden är 1,496 · 108 km. Räkna med att jordbanan är cirkelformad. Det tar ett år (365 dygn) för jorden att fullborda ett varv runt solen. Svara i km/s och avrunda på lämpligt sätt.

8 d) 0,75 + ___ 10

En rektangel har tre av sina hörn i punkterna (–2, –3), (2, 4) och (2, –3) i ett koordinatsystem. I vilken punkt ligger det fjärde hörnet?

a) 3x + (x + 17) = 58

c) Skriv en formel som beskriver sambandet mellan antal kulor x och vikten y.

(–2, –3)

Beräkna

a) 12 · 6 – 4 100

Rita ett koordinatsystem med x- och y-axlarna graderade från –5 till 5. Sätt sedan ut punkterna med koordinaterna i rutan.

(4, 0)

c) variabeln y

Ett företag packar stenkulor i lådor. Tabellen visar hur mycket lådan och olika antal kulor väger. Man använder samma typ av låda oavsett antal.

5 kg

b) variabeln x

A 1 2 3 4

–3 –4

Vikt 1

d) (–2) · (–5)

b) 8x + 5 = 3x + 20

–4 –3 –2 –1 –1 C –2

a) Hur mycket väger en kula?

b) (–2) + (–5)

4 B

Funktionen y = 15,75x beskriver kostnaden för bensin på Beppes mack. Vad betyder

a) talet 15,75

Vilka koordinater har punkterna A-D i koordinatsystemet?

Lös ekvationen

a) 3x + 45 = 76,5

Kostnad

Beräkna

c) (–2) – (–5)

b) 1 kg

Hur mycket apelsiner får du för 30 kronor?

a) 2 + (–5)

Du ska köpa apelsiner. Hur mycket kostar

c) Skriv en formel som visar sambandet mellan vikt, y, och antal, x.

Antal 10 20 30 40 50 60

S7uan Förklara hur ett koordinatsystem är uppbyggt och hur man skriver koordinaterna för en punkt.

302

En kvadrat har två av sina hörn i punkterna (–2, 0) och (4, 0). Vilka koordinater kan de övriga hörnen ha? Det finns flera lösningar.

Repetition

303

Facit Repetition 9 1 a) 60 kr

Repetition 10 1 A: (3, 1) B: (–2, 2) C: (–4, –2) D: (2, –3)

b) 12 kr

2 2,5 kg

3 a) (–3)

b) (–7)

c) 3

4 a) x = 10,5

b) x = 3

c) x = 2,5

(–1, 5) 4

d) 10

6 a) 9,5 g

b) 100 g

1 –4 –3 –2 –1 –1

c) y = 9,5x + 100

S7uan y beror inte endast av x. Om t.ex. x blir dubbelt så stor så blir inte y dubbelt så stor. Exempel: x = 2 ger y = 4 · 2 + 300 = 308 medan x = 4 ger y = 4 · 4 + 300 = 316, som inte är dubbelt så stort som 308.

8 Omkretsen 2 · 1,496 · 108 · 3,14 ≈ 9,39 · 108 km 365 dygn = 365 · 24 · 3 600 s ≈ 3,15 · 107 s 9,39 · 108 km  ≈ 29,8 km/s.       Hastigheten  ____________ 3,15 · 107 s Hastigheten är alltså ca 30 km/s.

(4, 2)

5 a) priset per liter b) antal liter c) den totala kostnaden

–2 (–2, –3)

3 a) 68

(4, 0) x 1 2 3 4 (3, –1)

–3

b) 3

c) 42,5

d) 1,55

5 a) x = 10,25

b) x = 23

c) x = 25

6 a) 15 g

b) 1,7 g

c) y = 1,7x + 15

4 (–2, 4)

S7uan Ett koordinatsystem består av en vågrät x-axel och en lodrät y-axel. En koordinat anges som (x, y) där x anger läget på x-axeln och y läget på y-axeln.

8 De övriga två hörnen kan

ligga i koordinaterna (1, 3) och (1, –3), (–2, 6) och (4, 6) respektive (–2, –6) och (4, –6).

(–2, 6)

(4, 6) (1, 3)

1 (–2, 0)

x (4, 0)

(1, –3) (–2, –6)

repetition

MD9_3uppl_LG_kap9.indd 299

(4, –6)

302–303

2019-03-14 08:51

Begreppskartor Begreppskarta 1:1 Stora tal Stora tal före enhet kan skrivas med

kan skrivas i

potensform

prefix kan vara exempelvis

kan skrivas som exempelvis

kan skrivas i

kilo k

mega M

giga G

tera T

grundpotensform

som betyder

exempelvis

tusen

miljon

miljard

biljon

4,5 · 103

siffran 5 kallas för bas

betyder

siffran 4 kallas för

5·5·5·5

exponent

Begreppskarta 2:1 Vinklar Vinklar

som bildas när i en triangel har

som är

vinkelsumman 180°

två räta linjer skär varandra

en rät linje skär två räta linjer

kan vara

mindre än 90°

lika med 90°

större än 90°

vertikalvinklar

sidovinklar

kallas

är

har

spetsiga vinklar

räta vinklar

trubbiga vinklar

lika stora

vinkelsumman 180°

likbelägna vinklar

alternatvinklar

är lika stora om de två räta linjerna är parallella

begreppskartor

MD9_LG_kap12.indd 345

345

2019-03-12 11:45

2 Geometri Förmågor

Lägre kvalitet

Högre kvalitet

Problemlösning Hur väl eleven förstår problemet och väljer strategier.

●●Väljer en strategi för att lösa problemet i A.

●●Väljer en strategi för att lösa problemet i B.

●●Väljer en strategi för att lösa problemet i C.

Begrepp Hur väl eleven visar kunskaper om matematiska begrepp. Hur väl eleven ser samband mellan begrepp.

●●Visar grundläggande kunskaper om sambanet mellan tidskalan och längdskalan genom att lösa A.

●●Visar goda kunskaper om sambandet mellan tidska lan och längdskalan genom att lösa B.

●●Visar mycket goda kunskaper om sambandet mellan tidskalan och längdskalan genom att lösa C.

Metod Hur väl eleven använder lämpliga metoder för att göra beräkningar.

●●Gör en korrekt längdskala.

●●Löser A och B med funge rande metoder genom att använda längdskalan.

●●Löser alla uppgifterna på ett väl fungerande sätt genom att använda längd skalan.

Resonemang Hur väl eleven följer och för matematiska resone mang samt tolkar resul tatet och drar slutsatser.

●●För ett enkelt resone mang om något samband mellan tidskalan och längdskalan.

●●För ett utvecklat resonemang som inne fattar B.

●●För ett välutvecklat resonemang som innefattar C.

Kommunikation Hur väl eleven använder matematikens olika uttrycksformer.

●●Redovisningen omfattar en del av uppgiften och eleven använder ett i huvudsak fungerande matematiskt språk.

●●Redovisningen omfattar större delen av uppgiften och eleven använder ett ändamålsenligt matematiskt språk.

●●Redovisningen omfattar hela uppgiften och eleven använder ett korrekt matematiskt språk.

Kvalitén på elevens redovisning.

3 Samband och funktioner Förmågor Problemlösning Hur väl eleven förstår problemet och väljer strategier.

Lägre kvalitet ●●Väljer lämpligt diagram som visar sambandet mellan vattnets volym och tiden det tar att fylla/ tömma badkaret i någon av a) och b). ●●Väljer en strategi som kan leda fram till en formel för någon av graferna.

Högre kvalitet ●● Väljer lämpligt diagram som visar sambandet mellan vattnets volym och tiden det tar att fylla och tömma badkaret i a) och b).

●● Väljer lämpligt diagram som visar sambandet mellan vattnets volym och tiden det tar att fylla och tömma badkaret i a) och b).

●●Väljer en strategi som leder fram till formler för graferna i a) och b).

●●Väljer en strategi som leder fram till en formel för graferna i a) och b) samt ett svar i d).

Begrepp Hur väl eleven visar kunskaper om matematiska begrepp. Hur väl eleven ser samband mellan begrepp.

●●Visar grundläggande kunskaper om begreppen graf och diagram.

●●Visar kunskaper om sambandet mellan graf och formel genom att teckna formeln för minst en av graferna.

●●Visar goda kunskaper om sambandet mellan graf och formel genom att teckna formeln för alla graferna.

Metod Hur väl eleven använder lämpliga metoder för att göra beräkningar.

●●Ritar minst ett lämpligt diagram med graf.

●●Ritar lämpliga diagram med grafer i a) och b).

●●Skriver en formel för någon av graferna.

●●Skriver formler för graferna i a) och b).

●●Skriver formlerna för graferna i a) och b). ●●Löser d) med lämplig metod.

Resonemang Hur väl eleven följer och för matematiska resone mang samt tolkar resul tatet och drar slutsatser. Kommunikation Hur väl eleven använder matematikens olika uttrycksformer. Kvalitén på elevens redovisning.

350

●●Redovisningen omfattar en del av uppgiften och eleven använder ett i huvudsak fungerande matematiskt språk.

●●Redovisningen omfattar större delen av uppgiften och eleven använder ett ändamålsenligt matema tiskt språk.

●●Redovisningen omfattar hela uppgiften och eleven använder ett korrekt matematiskt språk.

bedömningsmatriser

MD9_LG_kap13.indd 350

2019-03-12 11:46

overprint preview disabled

430 x 297 mm

2428-88695 - Vāks

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake Erica Lundkvist

Lärarguide

Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med didaktiska kommentarer, tips och inspiration. Här hittar ni bland annat:

●● Hänvisningar till extra material i form av

varje avsnitt

aktiviteter, arbetsblad, programmeringskod och litteraturtips

●● Tydliga lärandemål ●● Kommentarer till elevuppgifter och förslag på hur de kan utvecklas och användas i klassrummet

●● Lösningar till alla svarta uppgifter ●● Facit till alla repetitionsuppgifter ●● Begreppslista med förklaringar och

●● Vanliga fel och missuppfattningar

297

●● Presentation av syfte och innehåll till

exempel

●● Förslag på start- och slutuppgifter som ger underlag till ett formativt arbetssätt Matte Direkt 9 består av:

●● Elevbok ●● Träningshäften ●● Lärarguide ●● Arbetsblad, prov och aktiviteter Matte Direkt 9 finns även som digitalt läromedel för lärare och elever samt som onlinebok.

Lärarguide

ISBN 978-91-523-5382-0

MD9_LG_cover.indd 2 2428-88695-066499-Sanoma Utbildning AB-Matte Direkt 9 Lärarguide - Vaks.indd 1

2019-03-12 10:53

212

MD9_LG_cover.indd 1

2019-03-12 21/03/2019 10:53 13:07

212 3