9789151101682

­

­

gennow gustafsson silborn

exponent

1b

Denna tredje upplaga av Exponent 1b har förbättrats på flera punkter utifrån de synpunkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnes­ planen om att använd digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. I denna tredje upplaga finns ett helt nytt kapitel 7 som visar hur man kan använda symbolhante­ rande och numeriska metoder samt kalkylprogram. Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 1b tillhör den gula serien.

exponent matematik för gymnasiet

1b

gennow gustafsson silborn

y

n

exponent 1b

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) n Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) n Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5) Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teori­ genomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt.

Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.

6

1

5 4

3

3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

Författare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.

1

2

3

–2 ISBN 9789151101682

9

789151 101682

–3 –4 –5

2

4

5

6

x

Exponent 1b, tredje upplagan

Denna tredje upplaga av Exponent har reviderats med utgångspunkt från de synpunkter som kommit från lärare och elever. De viktigaste skillnaderna jämfört med föregående upplagor är: Fler uppgifter på grundläggande nivå och bättre progression mot svårare uppgifter. n Teoriavsnitten har blivit mer lättlästa och vissa svårare avsnitt har markerats som överkurs eller tagits bort. Viktiga begrepp har markerats med fet stil. n Övningsuppgifter har markerats i tre svårighetsgrader med olika antal stjärnor. Till samtliga övningsuppgifter finns lösningsförslag på elev- och lärarwebb. n Träning av de olika förmågorna i Utmaningar, Gruppaktiviteter och Omfattande problem. Öva I behandlar mest förmågorna begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor. n I den nya ämnesplanen i matematik framhävs användandet av digitala hjälpmedel. I denna tredje upp- ­lagan finns ett helt nytt kapitel 7 som visar hur man kan använda symbolhanterande och numeriska metoder samt kalkylprogram.

Kurs 5

n

4

3

2

1

a

b

c

12

EK, ES, HU, SA

NA, TE

yrkesprogram

Program Exponent-serien finns till tio olika gymnasiekurser i matematik.

förord 3

Bokens olika delar I början av varje kapitel (utom kapitel 6 och 7) finns ett repetionsavsnitt som hjälper dig att komma ihåg ­matematiken från grundskolan. I slutet av varje kapitel finns möjligheter till repetition med tester, blandade övningar och en sammanfattning. Det viktigaste mellan början och slutet av varje kapitel ser du i bilden nedan. Öva I och Öva II

Tips och lösningar

Övningar på tre svårighetsnivåer. Ju fler stjärnor desto svårare uppgift. Öva I behandlar begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor.

Till vissa utvalda övningar finns tips längst bak i boken, så att man kan komma en bit på vägen i sin lösning. Tips markeras med T .

Till samtliga uppgifter under Öva I och Öva II finns lösningsförslag på elev- och lärarwebben som hör till kursen.

Utmaning, Reflektera och Gruppaktivitet Med jämna mellanrum finns det uppgifter som kräver lite extra tid, eller att man arbetar i grupp.

    Finn sätter in 1000 kr på ett bankkonto vid varje årsskifte.

Vid dessa årsskiften får han dessutom en insatt ränta på 4 % av det belopp som har funnits på kontot det senaste året.

1

■

Hur mycket har Finn på kontot direkt efter den tionde insättningen?

■

Visa att beloppet som Finn har efter den tionde insättningen kan beräknas med uttrycket 1000(1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,049)

■

4.1

3 4 5 6 7

Visa att summan s = 1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,049 kan 1,04 10 – 1 skrivas om till genom att först teckna uttrycket 0,04 för 1,04s och sedan förenkla värdet av uttrycket 1,04s – s

Bestäm förändringsfaktorn då den procentuella förändr a) + 6 % b) – 6 % c) + 4 ‰ d) – 4

2

En bok kostar 235 kr exklusive moms. Bokmomsen är 6 Vad blir priset inklusive moms?

3

Studiebidraget för gymnasieelever var 750 kr år 1998 oc Hur stor var den procentuella ökningen från 1998 till 20

4

En skoaffär har sänkt samtliga priser med 30 % på en re Vad kostar ett par skor om de kostade 699 kr innan rean

5

Ett kilo kravodlad potatis kostar 10,00 kronor hos en torghandlare. I priset ingår moms med 12 %.

Potatishandlaren måste betala in momsen till staten. Hur mycket återstår då momsen är avdragen?

6

Efter en prissänkning på 12 % kostade en moped 6 600 kr. Vad kostade den innan prissänkningen?

7

Priset för en charterresa har höjts vid tre tillfällen under en treårsperiod. Höjningarna har i tur och ordning varit 5 %, 8 % och 3 %. Hur stor är den sammanlagda procentuella höjningen under denna treårsperiod?

8

5 000 kr fick växa på ett konto under 50 år med en årlig räntesats på 2 % efter skatt.

Hur mycket finns det på kontot efter 50 år?

och använda att uttrycket också kan skrivas 0,04s.

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 4.3 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

1

1 Rak amortering innebär att man betalar av lika mycket på ett lån vid varje tillfälle.

5 6

2 Om man får köpa något på kredit betyder det att man får rabatt på varan.

3 Effektiv årsränta är räntan efter skattereduktionen på 30 %.

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

Gruppaktivitet I inledningen av kapitlet fick ni till upgift att undersöka ett sms-lån och jämföra med ett banklån. Det här är en fortsättning på den uppgiften. Tänk er att ni vill köpa en ny mobiltelefon och måste låna till en del av kostnaden.

■

Sök information på Internet om mobil- och sms-lån och jämför kostnaderna och räntesatserna för lån via ett par av våra banker.

■

Ange skillnaderna i kostnader i procentform och beräkna gärna effektiva räntor där det är möjligt.

■

Redovisa era resultat i skriftlig form och dra slutsatser av era jämförelser.



1 3 5 6 7

   ; 

e1b_Kapitel_4.indd 186-187

4

Hänvisningar till elevwebben

Förmågor

Med jämna mellanrum finns små symboler som visar när det är lämpligt att gå till webben och träna, se på en genomgång, laborera eller kanske hämta extra material.

I det övergripande syftet i ämnes­­ planen i matematik beskrivs 7 olika matematiska förmågor som du ska få träna på. Några av uppgifterna i boken har märkts med vilken förmåga de avser att träna.

förord

1. Begreppsförmåga 2. Procedurförmåga 3. Problemlösningsförmåga 4. Modelleringsförmåga 5. Resonemangsförmåga 6. Kommunikationsförmåga 7. Relevansförmåga

 – 

1

Bok + webb är allt som behövs Varje kurs har en bok, en elevwebb och en lärarwebb. Det som inte ryms i boken finns på webben!

På webben kan du testa dig själv, träna mer, laborera, se på genomgångar och mycket mer. visar när det kan vara lämpligt att På så sätt blir lärandet mer varierat. Denna symbol gå till webben.

Elevwebben • Teorigenomgångar • Självrättande tester (Ord och begrepp, Koll på avsnittet) • Självrättande prov • Interaktiva laborationer • Lösningsförslag • m.m.

För läraren finns en särskild webb med tester, prov, kommentarer m.m. Symbolen visar på övningar i boken vars svar finns på lärarwebben.

Lärarwebben • Extra övningar • Tester • Prov • Laborationer och gruppövningar • Lösningsförslag • m.m.

Om man vill arbeta helt digitalt kan man använda sig av Gleerups digitala läromedel. Dessa innehåller allt som finns i den tryckta boken och i webben. Gå till www.gleerups.se för att ta reda på mer.

förord 5

INNEHÅLL 1

Taluppfattning 8

Tal i olika sammanhang, 8

1.0 R epetition av grundläggande begrepp 10 De fyra räknesätten, 10 Heltal, 11 Rationella tal, 14 Reella tal, 20

1.1 Heltal 26 Primtal och delbarhet, 27 Delbarhetsregler, 29 Problemlösning, 31

1.2 Reella tal 34 Potensform, 37 Räkneregler för potenser med heltalsexponenter, 37 Potenser med negativ bas och rationell bas, 42 Problemlösning, 43 Storheter, mätetal, enheter och gällande siffror, 44

1.3 Talsystem 49 Det decimala talsystemet, 49 Binära talsystemet, 50 Andra baser, 52

2

Algebra 62

Linjära ekvationer, 80 Ekvationer med parenteser, 83 Ekvationer med variabelterm i båda leden, 86 Problemlösning, 90 Linjära olikheter, 93

2.3 Potensekvationer 99 Kvadratrötter och andragradsekvation, 99 Kubikrötter och tredjegradsekvation, 103 Potensekvation, 105 Mer om potensekvationer, 107

3

Geometri 118

Geometri i olika sammanhang, 119

3.0 R epetition av grundläggande begrepp 120 Omkrets och area, 120 Fyrhörningar och trianglar, 121 Andra månghörningar, 122 Cirkeln, 124 Volymenheter, 125 Cylinder och prisma, 126 Pyramid, kon och klot, 128

3.1 Symmetrier 130

Algebra i olika sammanhang, 63

Symmetriska transformationer av figurer i planet, 132

2.0 Repetition av grundläggande begrepp 64

3.2 S ymmetri och geometri i natur och konst 135

Uttryck och formler, 64 Ekvationer, 66

Mosaik, 137 Gyllene snittet, 139

2.1 Algebraiska uttryck 71

3.3 A rgumentation, definition, axiom, sats och bevis 142

Formulera uttryck och formler, 75

6

2.2 Linjära ekvationer och olikheter 80

innehåll

Definition, axiom, sats och bevis, 142 Implikation och ekvivalens, 145 Pythagoras sats, 146

4

Procent 156

Procenträkning i olika sammanhang, 157

4.0 R epetition och grundläggande procenträkning 158 Procent-, bråk- och decimalform, 158 Andelen, delen och hela mängden, 159

4.1 P romille, ppm och procentenheter 162 Promille och ppm, 162 Procentenheter, 165

4.2 Förändringsfaktor

– procentuell förändring 167 Upprepad förändring, 172

4.3 Index 175 Konsumentprisindex, 178 Fasta priser*, 182

5.2 E genskaper hos olika typer av funktioner 228 Linjära funktioner, 228 Potensfunktioner, 235 Grafisk lösning av linjära ekvationer, olikheter och potensekvationer, 237 Exponentialfunktioner, 239

Sannolikhetslära och statistik 256 6

Sannolikhetsberäkningar inom olika ämnes­områden, 257

6.0 B egrepp och enkla slumpförsök 258 6.1 Relativa frekvenser 263 Spelet ”Kasta gris”, 263

4.4 Lån 175

6.2 Oberoende händelser 266

Avbetalningsköp och krediter, 185 Lån, räntor och amorteringar, 188 Räntor och amorteringar med kalkylprogram, 191 Effektiv ränta*, 197

Försök i två steg med likformig s­ annolikhetsfördelning, 266 Träddiagram, 270 Komplementhändelse, 274 Försök i många steg, 278 Mer om multiplikationsprincipen och riskbedömningar, 282

5

Funktioner 210

Funktioner i olika sammanhang, 211

6.3 Beroende händelser 284

5.0 Repetition 212

6.4 S tatistik 288

Koordinatsystemet, 212 Koordinataxlarnas gradering och avläsning i en graf, 214

5.1 Vad är en funktion? 216 Funktionsbegreppet, 216 Olika sätt att beskriva funktioner, 219 Definitionsmängd och värdemängd, 224

7

Digitala verktyg 310

Tips 316 Lösningar 318 Facit 316 Register, 358 Bildförteckning, 360 innehåll 7

7

Digitala verktyg

Centralt innehåll n

Strategier för användning av digitala verktyg.

n

Hantering av algebraiska uttryck, såväl med som utan symbol­hanterande verktyg

Algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationer och olikheter samt potensekvationer, såväl med som utan numeriska och symbolhanterande verktyg. n

Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg. n

Introduktion I ämnesplanen för matematik framhålls vikten av att kunna använda digitala verktyg vid problem­ lösning. Dessa verktyg kan delas upp i symbolhanterande och numeriska.

Ett symbolhanterande verktyg förstår matematiska symboler och kan utföra beräkningar med hjälp av formler eller ekvationer. Ett annat namn för symbolhantering är CAS, en förkortning av Computer Algebra System.

Ett numeriskt verktyg kan inte hantera ekvationer utan använder numeriska metoder för att göra beräkningar och presentera närmevärden med en acceptabel noggrannhet. Om man t.ex. löser ekva­ tionen 100 · 1,05x = 150 genom att bestämma skärningspunkten mellan y = 100 · 1,05x och y = 150, är det ett exempel på en numerisk lösning. Du har mött sådana lösningar i kapitel 5.

310

k apitel 7 ; Digital a verk t yg

Symbolhanterande och numeriska verktyg samt kalkylprogram Här följer ett par exempel på hur digitala verktyg kan användas. I det andra exemplet jämförs tre metoder att lösa samma problem, CAS, grafritning samt användning av ett kalkylprogram.

Medicinering För att beräkna dosen d mg av en medicin till ett litet barn används två olika formler.

50 ⋅ a , där a är barnets ålder i månader.

A: d = 10 + a B: d = 24 · b, där b är barnets ålder i år. a) Vid vilken ålder blir dosen 25 mg enligt formel A? b) Vid vilken ålder ger formel A och formel B samma dos? lösning: 50 ⋅ a a) Sätt i d = 25 i formel A: 25 = 10 + a Vi använder CAS-verktyget i det fria programmet GeoGebra för att lösa uppgiften.

1. Välj Visa – CAS. 50 ⋅ a 2. Skriv Lös och mata in ekvationen = 25 i parentesen.

10 + a 3. Läs av svaret: a = 10 svar: Vid tio månaders ålder är dosen 25 mg. b) För att bestämma när formlerna ger samma dos, skriver vi om en av formlerna så att vi får samma tidsenhet. Eftersom 12 · b = a kan formel B skrivas om enligt d = 2 · a.

Därefter sätter vi upp ekvationen som gäller då doserna är lika stora: 50 ⋅ a 2·a= 10 + a Ekvationen matas in i CAS-läget.

Svaret blir a = 0 eller a = 15.

Vi kan bortse från åldern 0 månader som ger dosen 0 mg. svar: Vid 15 månaders ålder är doserna lika stora.

k apitel 7 ; Digital a verk t yg 311

Studsande boll En boll släpps från höjden 1,50 m. Bollen studsar på golvet på ett sådant sätt så att den vid varje studs når 90 % av föregående höjd. Efter hur många studsar når bollen lägre än 0,50 m upp från golvet? lösning: Vi ska visa tre sätt att lösa problemet med digitala verktyg.

1. Symbolhanterande verktyg Först analyseras problemet och lämpliga uttryck sätts upp. En liten tabell kan underlätta.

N (antal studsar)

Höjd efter N studsar

1

1,50 · 0,90

2

1,50 · 0,90 · 0,90 = 1,50 · 0,902

3

1,50 · 0,903

n

1,50 · 0,90n

För varje studs ska föregående höjd multipliceras med 0,90.

Höjden är mindre än 0,50 m medför olikheten 1,50 · 0,90n < 0,50.

Då denna olikhet matas in i CAS fås svaret n > –

()

ln 3 ln

9 10

Beteckningen ln i figuren står för naturlig logaritm och detta begrepp behandlas i senare kurser. Genom att trycka på knappen ≈ fås emellertid svaret i form av ett närmevärde. n > 10,43

312

2. Numeriskt verktyg För att bestämma lösningen till 1,50 · 0,90x = 0,50 matas funktionerna f(x) = 1,50 · 0,90x och y = 0,50 in i inmatningsfältet.

Skärningspunkten bestäms, vilket ger x = 10,43.

3. Kalkylprogram (GeoGebra) 1. I kolumn A matas värden in som anger antalet studsar (1, 2, 3, …).

2. I cell B2 skrivs formeln 1,5 · 0,9A2 enligt det format som visas i figuren (1.5 · 0.9^A2). Om du istället använder Excel, måste du inleda formeln med ett likhetstecken.

3. Formeln kopieras nedåt (jämför med kalkylprogram för räntor i kapitel 4).

När n = 10 är h = 0,52 och när n = 11 är h = 0,47. svar: Det krävs elva studsar för att höjden ska understiga 0,50 m.

k apitel 7 ; Digital a verk t yg 313

öva ii

· flera förmågor

* 7001 För att omvandla en temperatur

från grader Celsius (°C) till grader Fahrenheit (°F) kan följande algoritm användas: 1. Dela temperaturen i °C med 5.

2. Multiplicera resultatet med 9.

3. Lägg till 32.

För att underlätta beräkningarna finns det en tumregel. Den är enklare att använda och avvikelsen från det korrekta värdet är vanligtvis inte så stor.

1. Dubbla temperaturen i °C. 2. Lägg till 30. a) Undersök vilka värden i °F som erhålls med de två metoderna om det är 25 °C. b) Vid vilken temperatur i °C ger båda metoderna samma resultat i °F?

Just då stod växlingskursen i 9,75 euro för 100 svenska kronor.

Efter genomförd växling hade Paulina 38 euro. Hur mycket hade hon betalat i svenska kronor?

* 7003 Då skatten på böcker sänktes från

25 % till 6 %, blev ett paket med böcker 114 kr billigare. Vad blev det nya priset för bokpaketet?

* 7004 Familjen Chang åker tåg från Bei-

jing till Shanghai. Familjen består av mormor och morfar, mamma, pappa och dottern Ling. Tillsammans kostar biljetterna 1 755 Yuan. Ling som är 15 år får 25 % rabatt och mormor och morfar som är pensionärer reser för halva priset. Föräldrarna betalar fullt pris. Hur många Yuan kostar en tågbiljett för en förälder? (Ämnesprov åk9 vt-10)

* 7005 Solens massa är 1,99 · 10

kg. För himlakroppar som rör sig i cirkulära banor runt solen gäller sambandet r3

= 1,69 · 10–12 · M, T2 där r är banans radie i m, T är tiden för ett helt varv i s och M är solens massa i kg.

a) Hur långt från solen befinner sig jorden?

b) Jordens massa är 5,97 · 1024 kg.

Medelavståndet mellan jorden och månen är 384 400 km. Samma samband gäller för månens rörelse runt jorden under förutsättning att M sätts till jordens massa i kg. Hur lång tid tar det för månen att gå ett helt varv runt jorden? Avrunda till hela dygn.

30

* 7002 Under en semesterresa, behövde

Paulina kontanter. Utanför ett växlingskontor hittade hon ett anslag, där det stod att växlingsavgiften var 1 euro samt 5 % av växlat belopp.

314

k apitel 7 ; Digital a verk t yg

** 7006 Frida tar ett sms-lån på 1 000 kr.

Lånet ska betalas tillbaka efter en månad och den procentuella månadsräntan är 20 %. När månaden är slut har Frida inte råd att betala sin skuld.

För att betala skulden tar hon ett nytt sms-lån på hela det belopp hon är skyldig. Det nya lånet har samma procentuella månadsränta.

Frida fortsätter att låna på samma sätt varje månad. Hur stor är Fridas skuld ett år efter att hon har tagit sitt första sms-lån?

**

7007

En aktie har från början värdet 200 kronor. Första veckan ökar värdet med 10 % och andra veckan minskar värdet med 10 %. Aktiens värde fortsätter att förändras enligt samma mönster. a) Hur mycket är aktien värd efter två veckor? b) Hur mycket är aktien värd efter 100 veckor?

(NP Ma1b ht-16)

(NP Ma1b och Ma1c ht-16)

k apitel 7 ; Digital a verk t yg 315

­

­

gennow gustafsson silborn

exponent

1b

Denna tredje upplaga av Exponent 1b har förbättrats på flera punkter utifrån de synpunkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnes­ planen om att använd digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. I denna tredje upplaga finns ett helt nytt kapitel 7 som visar hur man kan använda symbolhante­ rande och numeriska metoder samt kalkylprogram. Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 1b tillhör den gula serien.

exponent matematik för gymnasiet

1b

gennow gustafsson silborn

y

n

exponent 1b

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) n Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) n Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5) Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teori­ genomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt.

Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.

6

1

5 4

3

3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

Författare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.

1

2

3

–2 ISBN 9789151101682

9

789151 101682

–3 –4 –5

2

4

5

6

x