9789151101217

­

­

exponent

gennow gustafsson silborn

exponent

s

3c

Denna nya upplaga av Exponent 3c har förbättrats på flera punkter utifrån de syn­ punkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnes­planen om att använda digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. Detta avspeglas i helt nyskrivna avsnitt som beskriver hur man använder digitala verktyg och metoder som exempelvis CAS samt numeriska och grafiska metoder för att lösa olika mate­ matiska problem. Programmering är ett nytt moment som finns i ämnes­planen för matematik från höstterminen 2018. Eftersom detta område kommer att vara under stark utveckling framöver, har vi valt att placera allt material om programmering på webben. Denna sida är under ständig utveckling och kommer att innehålla både exempel och övningar. Adressen till denna webbsida finns i bokens inledning.

3c

gennow gustafsson silborn

15

exponent 3c

Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 3c tillhör den röda serien. n

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) n Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) n Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

10

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teori­ genomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt.

Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.

5

(2, 4)

Författare till Exponent 3c är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn.

Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.

ISBN 9789151101217

0

9

(3, 5)

(1, 1)

789151 101217

0

1

2

3

4

Exponent 3c, andra upplagan Denna nya upplaga av Exponent har reviderats med utgångspunkt från de synpunkter som kommit från lärare och elever. De viktigaste skillnaderna jämfört med föregående upplaga är: Fler uppgifter på grundläggande nivå och bättre progression mot svårare uppgifter. n Teoriavsnitten har blivit mer lättlästa och vissa svårare avsnitt har markerats som överkurs eller tagits bort. Viktiga begrepp har markerats med fet stil. n Övningsuppgifter har markerats i tre svårighetsgrader med olika antal stjärnor. Till samtliga övningsuppgifter finns lösningsförslag på elev- och lärarwebb. n Träning av de olika förmågorna i Utmaningar, Gruppaktiviteter och Omfattande problem. Öva I behandlar mest förmågorna begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor. n I den nya ämnesplanen i matematik framhävs användandet av digitala och symbolhanterande verktyg.

Genom nyskrivna avsnitt och övningar används dessa verktyg.

Programmering kan ibland användas vid problem­lösning. Det är ett nytt område i ämnesplanen som är under stark utveckling. Vi har därför valt att lägga exempel och övningar på webbadressen: n

Kurs 5

4

3

2

1

a

b

c

12 yrkes-

EK, ES, HU, SA

NA, TE

program

www.gleerups.se/51101217-product

Program Exponent-serien finns till tio olika gymnasiekurser i matematik.

förord 3

Bokens olika delar I början av varje kapitel anges det centrala innehållet för kapitlet. I slutet av varje kapitel finns möjligheter till repetition med tester, blandade övningar och en sammanfattning. Det viktigaste mellan början och slutet av varje kapitel ser du i bilden nedan.

4

Öva I och Öva II

Tips och lösningar

Övningar på tre svårighetsnivåer. Ju fler stjärnor desto svårare uppgift. Öva I behandlar begrepp och procedur, medan Öva II behandlar flera förmågor.

Till vissa utvalda övningar finns tips längst bak i boken, så att man kan komma en bit på vägen i sin lösning. Tips markeras med T .

Till samtliga uppgifter under Öva I och Öva II finns lösningsförslag på elev- och lärarwebben som hör till kursen.

Utmaning, Reflektera och Gruppaktivitet Med jämna mellanrum finns det uppgifter som kräver lite extra tid, eller att man arbetar i grupp.

Hänvisningar till elevwebben

Förmågor

Med jämna mellanrum finns små symboler som visar när det är lämpligt att gå till webben och träna, se på en genomgång, laborera eller kanske hämta extra material.

I det övergripande syftet i ämnes­­ planen i matematik beskrivs 7 olika matematiska förmågor som du ska få träna på. Några av uppgifterna i boken har märkts med vilken förmåga de avser att träna.

förord

1. Begreppsförmåga 2. Procedurförmåga 3. Problemlösningsförmåga 4. Modelleringsförmåga 5. Resonemangsförmåga 6. Kommunikationsförmåga 7. Relevansförmåga

Bok + webb är allt som behövs Varje kurs har en bok, en elevwebb och en lärarwebb. Det som inte ryms i boken finns på webben!

På webben kan du testa dig själv, träna mer, laborera, se på genomgångar och mycket mer. visar när det kan vara lämpligt att På så sätt blir lärandet mer varierat. Denna symbol gå till webben.

Elevwebben • Teorigenomgångar • Självrättande tester (Ord och begrepp, Koll på avsnittet) • Självrättande prov • Interaktiva laborationer • Lösningsförslag • m.m.

För läraren finns en särskild webb med tester, prov, kommentarer m.m. Symbolen visar på övningar i boken vars svar finns på lärarwebben.

Lärarwebben • Extra övningar • Tester • Prov • Laborationer och gruppövningar • Lösningsförslag • m.m.

Om man vill arbeta helt digitalt kan man använda sig av Gleerups digitala läromedel. Dessa innehåller allt som finns i den tryckta boken och i webben. Gå till www.gleerups.se för att ta reda på mer.

förord 5

INNEHÅLL

Funktioner och gränsvärden 8 1

Inledning, 9

1.1 Polynom 10 Några grundläggande polynom, 10 Räknelagar för polynom, 18 Egenskaper hos polynom, 20 Antal nollställen och lokala extrem­punkter hos polynom, 24 Nollställen till faktoriserade polynom, 27 Nollställen till polynom av högre grad, 29 Att bestämma polynom, 31

1.2 Absolutbelopp 35 1.3 Rationella uttryck 41 Förenkling av rationella uttryck, 41 Lösning av rationella ekvationer, 45

1.4 Diskreta och kontinuerliga funktioner samt gränsvärden 48 Diskreta och kontinuerliga funktioner, 48 Gränsvärden, 51 Gränsvärde av typen ”0/0”, 52

1.5 Problemlösning 57 2

Derivata 66

Inledning, 67

2.1 Ändringskvot 68 2.2 Derivata 73 Grafisk tolkning av derivata, 73 Uppskattning av derivata med symmetrisk ändringskvot, 77 Funktionen y = kx + m, 79 Analys av en kulas rörelse, 82 Derivatans definition, 84

6

2.3 Deriveringsregler för ­potens­funktioner 87 Deriveringsregel för potensfunktioner med positiv heltalsexponent, 87 Deriveringsregler för summor av funktioner, 90 Deriveringsregel för potensfunktioner, 93 Andra beteckningar för derivata, 97 Derivata med digitala verktyg, 99

2.4 Tangenter 101 Tangent och derivata, 101 Tangentens ekvation, 104 Problemlösning, 107

Användning av derivata 118 3

Inledning, 119

Primitiva funk­tioner och enkla integraler 170 4

Inledning, 171

4.1 Primitiva funktioner 172 Primitiva funktioner med villkor, 177

4.2 Integraler 179 Samband mellan integral och derivata, 183 Beräkning av bestämda integraler med primitiva funktioner, 184

4.3 Beräkning av integraler med digitala verktyg 187 4.4 Tillämpningar och problemlösning 189 5

Trigonometri 196

3.1 Extremvärdesproblem 120

Trigonometri i olika sammanhang, 197

Växande och avtagande funktioner, 120 Lokala extrempunkter, 124 Största och minsta värde, 128 Tillämpningar, 131 Andraderivata, 135 Extrempunktsbestämning med andraderivata, 136 Andraderivatan och konkavitet, 138

5.1 Trigonometriska grundbegrepp 198

3.2 Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata 142 Derivatans graf, 142

3.3 Deriveringsregler för exponential­funktioner 149 Derivata av exponential­funktioner och talet e, 149 Talet e och den naturliga logaritmen, 153 Derivatan av a x, 155 Naturvetenskapliga tillämpningar, 157

5.2 Cirkelns ekvation och enhetscirkeln 202 Cirkelns ekvation, 202 Enhetscirkeln och trigonometri, 205 Vinklar på enhetscirkeln, 209 Samband mellan trigonometriska värden i de fyra kvadranterna, 213 Trigonometriska ekvationer, 217

5.3 Triangelsatser 221 Areasatsen, 222 Sinussatsen, 224 Mer om sinussatsen, 227 Cosinussatsen, 230

5.4 Problemlösning 234 Tips 244 Lösningar 246 Facit 252

7

utmaning Geometrisk lösning av andragradsekvation René Descartes visade på 1600-talet hur man geometriskt kan lösa en andragradsekvation. För att lösa en ekvation av typen x2 – ax – b2 = 0 ritade han en rätvinklig triangel med kateterna b och a/2 tillsammans med en ­cirkel enligt figuren. Med hjälp av Pythagoras sats tecknade han ett samband som han sedan använde för att geometriskt bestämma en rot till ekvationen. x Förklara varför sträckan x (den förlängda a hypotenusan i figuren) motsvarar den 2 positiva roten till ekvationen a a x– x2 – ax – b2 = 0. Negativa rötter 2 2 var på den tiden ointressanta.

1 2 3 5

b

Räknelagar för polynom Polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med hjälp av samma räknelagar som du är van vid. Vi utgår från två polynom och studerar resultaten av tre av räkneoperationerna. Division ingår inte i kursen. q(x) = x2 + 3x r(x) = x2 – 2x + 4 p1(x) = q(x) + r(x) = (x2 + 3x) + (x2 – 2x + 4) = x2 + 3x + x2 – 2x + 4 = 2x2 + x + 4 p2(x) = q(x) – r(x) = (x2 + 3x) – (x2 – 2x + 4) = x2 + 3x – x2 + 2x – 4 = 5x – 4 p3(x) = q(x) ∙ r(x) = (x2 + 3x)(x2 – 2x + 4) = x4 – 2x3 + 4x2 + 3x3 – 6x2 + 12x = x4 + x3 – 2x2 + 12x Lägg märke till följande:

18

n

V id addition och subtraktion av två polynom får summan och differensen högst samma grad som polynomet med högst grad (grad(p) ≤ max(grad(q), grad(r)).

n

V id multiplikation av två polynom multipliceras varje term i det första polynomet med varje term i det andra polynomet. En följd av det är att graden hos produkten av två polynom är summan av graderna hos de två polynomen (grad(p) = grad(q) + grad(r)). Regeln gäller dock inte om ett av polynomen är nollpolynomet (p(x) = 0) eftersom detta polynom saknar grad.

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

Nollställen till polynom av högre grad Om ett polynom av grad tre eller högre inte är skrivet i faktoriserad form är det vanligtvis svårt att bestämma dess nollställen. Då kan man ta hjälp av något digitalt verktyg.

Bestämning av nollställen med hjälp av digitala verktyg Ett polynom av grad fyra ges av f(x) = X4 + X³ – 3X² – X + 2.

Bestäm dess nollställen och skriv polynomet i faktoriserad form.

LÖSNING: Vi visar tre sätt att använda GeoGebra för att undersöka polynomet.

1. Grafiskt: Polynomet f(x) skrivs in i inmatningsfältet och grafen ritas.

2. CAS: Ekvationen f(x) = 0 löses genom att skriva Lös(f = 0) i CAS. Om man skriver ekvationen f = 0 här, förutsätter det att f först har definierats enligt punkt 1.

3. Faktorisera: Polynomet ges i faktoriserad form genom att i inmatningsfältet skriva Faktorisera(f). Då bildas funktionen g(x) i figuren.

Oavsett om vi väljer grafisk metod, symbolhanterande verktyg (CAS) eller faktorisering, får vi fram polynomets tre nollställen, x = –2, x = –1 och x = 1. Fördelen med den faktoriserade formen är att man kan se att x = 1 är en så kallad dubbelrot. I koordinatsystemet kan vi se att grafen tangerar x-axeln just för det x-värdet, där det finns en dubbelrot. Det är ingen tillfällighet att grafen vänder på x-axeln. I en kommande övning kan du själv försöka förklara det.

SVAR: Nollställen: x = –2, x = –1 och x = 2. Faktoriserad form: f(x) = (x – 1)2(x + 1)(x + 2)

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden 29

öva i 1064

1065

1066

· begrepp och procedur Använd något digitalt verktyg för att bestämma nollställen till funktionerna a) f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 b) f(x) = x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 c) f(x) = 2x4 – 12x3 + 26x2 – 24x + 8 d) f(x) = x4 + x3 – 6x2 – 4x + 8 Använd något digitalt verktyg för att bestämma rötterna till ekvationerna a) x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 b) x4 – 5x3 + x2 + 21x – 18 = 0 c) 2x4 – 18x2 – 8x + 24 = 0 d) 3x4 – 9x3 – 9x2 + 33x – 18 = 0 Använd något digitalt verktyg för att faktorisera funktionsuttrycken a) f(x) = x3 + 10x2 – 125x – 750 b) f(x) = x4 – 4x3 – 52x2 + 112x + 384 c) f(x) = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1 d) f(x) = 8x3 – 12x2 + 6x – 1

1067

Om du i GeoGebra skriver in ett polynom f i faktoriserad form, kan polynomet fås i den vanliga standardformen genom att skriva Expandera(f). Använd valfri metod, t.ex. GeoGebras möjligheter, för att skriva följande polynom på standardformen

f(x) = anxⁿ + an–1xn–1 + … + a₁x + a0. a) b) c) d)

30

f(x) = (x – 2)(x + 3)(x + 5) f(x) = (x – 2)2(x + 3)(x + 5) f(x) = (x + 1)4 f(x) = (x – 1)2(x + 1)3

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden

öva ii

· flera förmågor

** 1068 I figuren visas 2grafen till polynomet

p(x) = x(x – 2) (x + 1). I polynomet finns det en faktor i kvadrat, (x – 2)2.

Förklara varför detta medför att xaxeln tangerar grafen i punkten (2, 0). Gäller generellt även det omvända, att faktorn (x – a)2 måste ingå i polynomet, om x-axeln tangerar grafen i punkten (a, 0)? T 5

y

4

3

2

1

–2

–1

0 –1

–2

1

2

3

x

1.5 Problemlösning I detta kapitel har vi bland annat studerat polynom, absolutbelopp, rationella uttryck och gränsvärden. Vi avslutar med några uppgifter av problemlösningskaraktär inom dessa områden. Vid problemlösning kan det ofta vara lämpligt att dela upp lösningen i följande fyra steg.

1. Förstå problemställningen.

2. Gör en plan.

3. Genomför planen.

4. Se tillbaka; behöver planen revideras eller är du nöjd med lösningen?

Lösningen kan ibland också underlättas av att använda följande strategier: n

L ös först ett liknande men enklare problem.

n

F örenkla om möjligt ingående uttryck.

n

B yt variabler mot tal för att se eventuella mönster och återgå sedan till variabler.

Följande problem har Oskar, en elev på Polhemskolan i Lund, tillverkat som övningsuppgifter till klasskamrater inför ett kapitelprov. Försök att lösa dem utan digitala verktyg.

öva ii

· flera förmågor

**

1146

**

1147

* 1141 Bestäm |a – b| + |b – a| – |2a – 2b|. *

1142

För två polynom p(x) och q(x) gäller att grad(p(x) · q(x)) = grad(p(x)).

Bestäm grad(q(x)).

har polynomet * 1143 Vilka nollställen n n–1 n–2 p(x) = x + 2x + x heltal större än 2?

* 1144 p(x) = 2x

då n är ett

Ge ett polynom p(x) av grad tre om polynomets graf går genom punkten (–1, 3) och om p(0) = p(1) = p(–2) = 2. T

Figuren visar grafen till en rationell funktion, f(x) = p(x ) , q(x ) där q(x) = 2x2 – 8x + 6. Dessutom gäller att grad (p(x) – q(x)) = 1.

Bestäm p(x). T

– 4x2 – 10x + 12 har tre nollställen varav ett då x = 3 och ett då x = 1.

Skriv p(x) i faktoriserad form.

3

* 1145 Lös ekvationen

x2 1 2 2 2 x + x – 6 4x –1 2 – x + 2 – = – x 1 x 4 – 2x 2x + 1 – 2 2

y 4 3 2 1 –4

–3

–2

–1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4

k apitel 1 ; Funk tioner och gr änsvärden 57

Derivatans definition Vi har nu sett hur man kan definiera derivatan i en punkt för funktionen s(t) = t2. Vi ska gå över till hur man kan definiera derivatan i en punkt för en godtycklig funktion f(x).

Låt oss anta att vi vill tillverka ett uttryck för derivatan av f(x) i punkten x = a. Då kommer s(t) − s(1) f(x) − f(a) från föregående avsnitt ersättas av f’(a) = lim . s’(1) = lim t→ 1 x→ a t−1 x−a Detta gränsvärde är ett sätt att definiera en funktions derivata i en punkt x = a. Om man ersätter x med a + h i den definitionen får vi ett annat sätt att definiera derivatan: f(a + h) − f(a) f’(a) = lim h→ 0 h Om x = a + h gäller nämligen att h = x – a och att x → a kan ersättas av h → 0. Det betyder att båda uttrycken är identiska trots att de är skrivna på två olika sätt. Jämför gärna de två figurerna för att övertyga dig om det. y

y

y = f(x)

y = f(x)

(x, f(x))

(a + h, f(a + h))

f(a + h) – f(a)

f(x) – f(a) (a, f(a))

(a, f(a))

h

x–a a

x

x

a

a+h

x

Vi har nu visat att man kan definiera derivatan f’(a) för en funktion f(x) i punkten x = a på två sätt Derivatans definition i en punkt x = a

f’(a) = lim

x→ a

f(a + h) − f(a) f(x) − f(a) = lim h → 0 h x−a

Om gränsvärdet existerar för alla x i definitionsmängden till f(x), sägs funktionen f(x) vara ­deriverbar. Derivatan blir då en ny funktion, f΄(x), som ges av gränsvärdet f’(x) = lim

h→ 0

f(x + h) − f(x) h

Derivatans definition kommer du att använda många gånger för att bestämma derivatan för olika funktioner. Följande exempel visar en modell för hur man kan gå till väga och som kan användas för de allra flesta funktioner som du stöter på.

84

k apitel 2 ; derivata

Derivatans definition för en linjär funktion Bestäm med hjälp av derivatans definition f’(x) då f(x) = 3x + 4 Lösning: Vi ska använda derivatans definition f(x + h) – f(x ) f’(x) = lim . h→ 0 h Vi börjar därför med att teckna och förenkla uttrycket f(x + h). f(x) = 3x + 4 x ersätts med x + h i funktionsuttrycket. f(x + h) = 3(x + h) + 4 = 3x + 3h + 4 f(x + h) – f(x ) 3h = lim (3x + 3h + 4) – (3x + 4) = lim 3x + 3h + 4 − 3x − 4 = lim = h→ 0 h h→ 0 h→ 0 h h h = lim 3 = 3 f’(x) = lim

h→ 0

h→ 0

Svar: f’(x) = 3

Derivatans definition för potensfunktion av grad 2 Funktionen f(x) = 3x2 är given. Bestäm med hjälp av derivatans definition a) f’(4) b) f’(x) Lösning: a) f(4) = 3 ∙ 42 = 48 f(4 + h) = 3(4 + h)2 = 3(42 + 8h + h2) = 48 + 24h + 3h2 2 f(4 + h) – f(4) h (24 + 3h) 24h + 3h2 = lim 48 + 24h + 3h − 48 = lim = lim = h→ 0 h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h h = lim (24 + 3h) = 24

f’(4) = lim h→ 0

Slutsats: f’(4) = 24 b) f(x) = 3x2 f(x + h) = 3(x + h)2 = 3(x2 + 2xh + h2) = 3x2 + 6xh + 3h2 2 2 2 f(x + h) – f(x ) 6xh + 3h2 = lim 3x + 6xh + 3h − 3x = lim = lim h(6x + 3h) = h→ 0 h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h h lim (6 x + 3 h ) = 6x = h→ 0

f’(x) = lim

Slutsats: f’(x) = 6x Svar: a) f’(4) = 24

b) f’(x) = 6x

k apitel 2 ; derivata 85

öva ii

*

2044

Bestäm med hjälp av derivatans ­definition a) f΄(x) då f (x) = –2x + 4 b) f΄(x) då f (x) = x + m c) f΄(x) då f (x) = kx + m

*

2045

Bestäm med hjälp av derivatans ­definition a) f΄(2) då f (x) = x2 b) f΄(2) då f (x) = x2 + 3 c) f΄(2) då f (x) = x2 + 3x

*

2046

* 2047 a)

B estäm med hjälp av derivatans definition f΄(x) då f (x) = – 3x2 + 3x + 1. b) Använd resultatet från aupp­giften för att bestämma f΄(1). c) Vad är riktningskoefficienten för en tangent till kurvan i punkten (1, 1)?

· flera förmågor

** 2048 Vad beräknar man med hjälp av följande gränsvärden? f (h) − f (0) a) lim h→ 0 h s(t + h) − s(t ) b) lim h→ 0 h s(t ) − s(a) c) lim t→a t −a

Bestäm med hjälp av derivatans ­definition a) f΄(x) då f (x) = 4x2 b) f΄(x) då f (x) = 4x2 + 5 c) f΄(x) då f (x) = 4x2 + 5x

Ord och begrepp Koll på avsnittet

utmaning

Derivata av potensfunktion f(x ) – f(a) x–a och upprepad användning av konjugatregeln för att bestämma derivatan av f(x) = x4 då x = 1 och därefter då x = a.

1 2 3 4

Använd definitionen f’(a) = lim

x→ a

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 2.2 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. är lutning samma sak som derivata.

1 Grafiskt

ndringskvot är samma sak som derivata.

2 Ä

1

5 6

erivatan av en linjär funktion f(x) är oberoende av x.

3 D

86

4

Derivatan av y = kx + m är oberoende av m.

5

D erivatan av y = kx + m ges av y’ = k.

6

D efinitionen av derivata skrivs f’(x) = lim

k apitel 2 ; derivata

f(x + h) – f(x ) x→ h h

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

Derivera med digitala verktyg Du har nu lärt dig regler för att derivera potensfunktioner och polynomfunktioner. Längre fram i kursen kommer du även lära dig att derivera exponentialfunktioner. I kurs Ma4 får du bland annat lära dig att derivera produkter och kvoter av funktioner. När det gäller derivering av mer komplicerade funktioner kan det vara bra att ta till ett digitalt verktyg. Vi visar med några exempel hur du kan använda GeoGebra för att derivera funktioner.

Derivera med GeoGebra a) Derivera f(x) = (2x – 3)3 b) Bestäm f´(1) Lösning: Vi skulle kunna utveckla uttrycket (2x – 3)3 och därefter derivera den polynomfunktion som erhålls. Vi visar två metoder med GeoGebra: Metod 1: Mata in f(x) = (2x – 3)3 i inmatningsfält.

Tryck Enter. Algebrafönstret visar funktionsuttrycket och ritområdet funktionens graf.

Skriv Derivera (f(x)) i inmatningsfältet. Tryck Enter.

Avläs f´(x) = 24x2 – 72x + 54 i algebrafönstret.

I ritområdet ser vi även grafen till f´(x).

Skriv f´(1) i inmatningsfältet och tryck Enter. Svaret visas under tal, som a = 6.

Metod 2: Vi använder CAS-verktyget.

Rad 1, mata in funktionen f(x) = (2x – 3)3 , ENTER, derivatan skrivs ut.

Rad 2, tryck på knappen Rad 3, tryck på knappen

, ENTER för att bestämma f´(1). , ENTER, uttrycket för derivatan utvecklas.

Rad 4, tryck på knappen för substituera Svar: a) f´(x) = 24x2 – 72x + 54

och ersätt x med 1.

b) f´(1) = 6

k apitel 2 ; derivata 99

öva i

· begrepp och procedur

2086

Bestäm med digitala verktyg f(2) och f(2) då

2088

f ( x ) = 3x 4 + 2 x 3 − 3x 2 + 6 x + 2

2087 Bestäm f(–1) då

f (x ) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)(x + 4)

Derivera med digitala verktyg 2 1

a) f (x) = 2x 2 − x 1 b) g (x ) = x 4 − 3 + 2 x x

(

)

5 c) f (x ) = 3(4x − 1)

1 ⎞ ⎛ d) g(x) = x 2 ⎜ 4 − ⎟ ⎝ x⎠

2

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 2.3 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. f ’(x) av en polynomfunktion f(x) är en polynomfunktion.

1 Derivatan

är potensfunktionen f (x) = x n deriveras så minskar exponenten n med 1 2 N

1

5 6

är potensfunktionen f (x) = x n deriveras så minskar variabeln x med 1.

3 N 4

D(f(x)) är ett annat skrivsätt för f ’(x).

Motsatta tal

Gruppaktivitet

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

utmaning

Visa att om andragradsfunktionen f(x) = ax2 + bx + c har två reella nollställen så är funktionens derivata i dess punkter varandras motsatta tal. Gör även en geometrisk tolkning.

1 2

5 6

1

Funktioner och derivata Den här gruppaktiviteten handlar om två funktioner f (x) och g(x) och deras respektive derivata f’(x) och g’(x). Ni ska diskutera några påståenden och motivera deras giltighet. n

För funktionerna f och g gäller att f (5) = g(5). Gäller då att f’(5) = g’(5)?

n

F ör funktionerna f och g gäller att f (x) = g(x) för varje x. Gäller även att f’(x) = g’(x) för varje x?

n

För funktionerna f och g gäller att f’(5) = g’(5)? Är då också f (5) = g(5)?

n

F ör funktionerna f och g gäller att f’(x) = g’(x) för varje x. Är då också f (x) = g (x) för varje x?

100

k apitel 2 ; derivata

5 6

4.3 Beräkning av integraler med digitala verktyg Med verktyget CAS i t.ex. GeoGebra kan bestämda integraler beräknas exakt. Man kan också bestämma primitiva funktioner och jämföra dess graf med den ursprungliga funktionen. Detta visas här med några exempel, så att du även kan använda t.ex. GeoGebra för att lösa övningarna i de naturvetenskapliga tillämpningarna i nästa avsnitt.

Bestäm samtliga primitiva funktioner F(x) till f(x) = x2 med hjälp av digitalt verktyg.

Lösning: T.ex. med CAS i GeoGebra: 1

S kriv in funktionen f(x) = x2 i inmatningsfältet och tryck Enter.

2

V älj Visa.

3

V älj verktyget CAS.

4

S kriv in Integral (f(x)) och tryck Enter.

1 3 D å får du alla primitiva funktioner x + c 1 .

3 1 3 M arkera x + c 1 och du får grafen till den primitiva funktion då c1 = 0.

3 M arkera c1 och du får en glidare i graffönstret där värdet på konstanten c1 kan ändras och du kan se olika grafer för den primitiva funktionen i graffönstret beroende på konstanten c1.

5 6

1 Svar: Samtliga primitiva funktioner till f(x) = x2 är F(x) = x 3 + c 1 .

3 k apitel 4 ; Primitiva funk tioner och enkl a integr aler 187

1

Lös integralen

1

∫ 1+ x

2

dx med digitalt verktyg.

0

Lösning:

T.ex. med CAS i GeoGebra: 1

V älj Visa

2

V älj verktyget CAS och Tangentbord.

3

V älj verktyget Tangentbord för att kunna mata in specialtecken.

4

S kriv in Integral(1/(1+x2),0,1) och tryck Enter.

1

Du får då exakt lösning för

1

∫ 1+ x

2

dx som är

0

1

1

∫ 1+ x

Svar:

0

öva i 4053

4054

2

dx =

π .

4

π 4

· begrepp och procedur Bestäm med hjälp av digitala verktyg a) alla primitiva funktioner till f(x) = (x–1)(x+2)dx b) graferna till f(x) och F(x) då C = −2.

4055

Beräkna integralerna med hjälp av digitala verktyg.

0

a) ∫ (x + 1)(x − 2)dx b)

x

1 dt . Beräkna med hjälp t −1 2 av digitala verktyg ett exakt värde för g (4). g (x ) = ∫

2

c)

–1 2

0 5

∫

x 2 + 2 dx

1

5

d) ∫ 2

188

x +1

∫ x + 5 dx

k apitel 4 ; Primitiva funk tioner och enkl a integr aler

e 2x dx x +1

Teorigenomgång

4.4 T illämpningar och problemlösning Vi har visat att integraler kan användas för att beräkna ändringen i sträcka s(t) mellan två t2

tidpunkter om funktionen för hastigheten v(t) är given: s(t2) – s(t1) = ∫ v(t) dt t1

Det finns många fler användningsområden: n

B eräkna ändringen i hastighet v(t) mellan två tidpunkter om funktionen för t2

accelerationen a(t) är given: v(t2) – v(t1) = ∫ a(t) dt t1

n

B eräkna ändringen i populationsstorlek p(t) mellan två tidpunkter om funktionen för t2

tillväxthastigheten p’(t) är given: p(t2) – p(t1) = ∫ p (t) dt t1

n

B eräkna förbrukningen mellan två tidpunkter om funktionen för t2

förbruknings­hastigheten är given: f(t2) – f(t1) = ∫ f (t) dt t1

n

B eräkna energiförbrukningen W(t) mellan två tidpunkter om funktionen för t2

effekten P(t) är given: W(t2) – W(t1) = ∫ P(t) dt t1

n

x2

Beräkna arbetet W(x) om funktionen för kraften F(x) är given: W(x2) – W(x1) = ∫ F(x) dx x1

Beräkna sträckan om hastigheten är känd Den hastighet v m/s som ett föremål rör sig med kan beskrivas av funktionen v(t) = 4,0 t + 5,0 där t är tiden i sekunder. Beräkna sträckan s meter som föremålet rört sig i tidsintervallet 2,0 ≤ t ≤ 5,0.

Lösning: t2

s(t) = ∫ v(t) dt = t1

5,0

5,0

∫ (4t + 5,0) dt = 2,0t 2 + 5,0t 2,0= (2,0 · 5,0 2 + 5,0 · 5,0) – (2,0 · 2,02 + 5,0 ·2,0) = 57

2,0

Svar: 57 m

Tillämpning En raket skjuts rakt uppåt. Dess hastighet v m/s efter t sekunder ges av funktionen v(t) = 20t + 50. Hur högt upp befinner sig raketen efter 100 sekunder?

Lösning: Hastigheten är derivatan av sträckan med avseende på tiden. Vi får då funktionen för sträckan s(t) genom att bestämma den primitiva funktionen till v(t). s(t) = 10t 2 + 50t + C När t = 0 skjuts raketen upp och därför är s(0) = 0.

Det villkoret ger C = 0. Den sökta funktionen blir s(t) = 10t 2 + 50 t.

Raketens höjd i km efter 100 s fås av s(100) = 10 ∙ 100 2 + 50 ∙ 100 = 105 000.

Svar: Raketen befinner sig på 105 kilometers höjd. k apitel 4 ; Primitiva funk tioner och enkl a integr aler 189

· begrepp och procedur

öva i 4056

4057

Ett föremål rör sig med hastigheten v m/s enligt funktionen v(t) = 6,0t. Beräkna den sträcka som föremålet rör sig i tidsintervallet 1,0 ≤ t ≤ 10.

En bil accelererar från 25 m/s till 30 m/s på två sekunder med likformig acceleration och har hastigheten v(t) = 25 + 2,5t m/s under accelerationen. a) Teckna med hjälp av en integral ett uttryck för sträckan som bilen har färdats under de två sekunderna. b) Beräkna sträckan.

4058 Temperaturändringen T΄(t) °C/h på en

ort kan beskrivas med funktionen T΄(t) = t2 − 6t + 4 där t är tiden i timmar efter midnatt. Beräkna temperaturen klockan 8 på morgonen om temperaturen vid midnatt var 0 °C. Svara med hela grader. L

4059

4,0

b) Beräkna ∫ f΄(t) dt och beskriv

Vattenvolymen i en behållare ändras med hastigheten f΄(t) liter/min där t är tiden i minuter. Tolka med ord 60 vad det betyder att ∫ f ´(t) dt = –5

0

med ord vad du beräknat.

4062

* 4063 För en viss typ av fjäder gäller samban-

det F = 25x där F är kraften i N och x är förlängningen i meter. Hur långt har fjädern dragits ut från ursprungsläget om det utförda arbetet är 0,80 Nm?

*

4064

En bakteriekultur har tillväxthastigheten P΄(t) bakterier/h enligt funktionen P΄(t) = 1000e 0,2t där t är tiden i timmar.

Hur stor är tillväxten i tidsintervallet 1,0 ≤ t ≤ 2,0?

öva ii 4061

kapsel som sätts in under huden och som långsamt avger insulin till blodet. En viss typ av kapsel avger insulin med hastigheten 0,52 · e−0,89t cm3/dygn, där t är tiden i dygn. Hur mycket insulin avger kapseln under den första månaden?

*

4066

190

5

Tolka innebörden av ∫ F(x) dx där 0

F(x) är kraften i N och x är sträckan i meter.

* 4067 En population med insekter ökar med

hastigheten P΄(t) insekter/dag, vilket kan beskrivas med funktionen P΄(t) = 20 · 1,023t där t är tiden i ­dagar.

Hur många fler insekter finns det efter 7,0 dagar? L

· flera förmågor

Vid flod strömmar vattnet in i en hamn med hastigheten f΄(t) m3/h där f΄(t) = −120t 2 + 600t, 0 ≤ t ≤ 4,0. t är tiden i timmar från att vattnets inströmning startat. a) När är inströmningshastigheten störst? T

16

Tolka innebörden av ∫ P (t) dt = 40 8 där P(t) är effektförbrukning i kW och t är tiden i timmar efter midnatt.

* 4065 Diabetes kan ibland behandlas med en

0

4060

En kopp varmt te svalnar med hastig­ heten −6e−0,070t °C/min. Hur ändras temperaturen under de första 5,0 minuterna?

** 4068 En bilförare ska minska hastigheten från

k apitel 4 ; Primitiva funk tioner och enkl a integr aler

90 km/h till 70 km/h. Hastig­heten v(t) m/s under inbromsningen är v(t) = 25 · e−0,060t där t är tiden i sekunder från inbromsningens början. Hur lång sträcka hinner bilen under inbromsningen? T

utmaning Två punkter på en enhetscirkel Låt P = (cos u, sin u) och Q = (cos v, sin v) vara två punkter på enhetscirkel. Härled ett uttryck för cos (u – v) genom att bestämma längden av PQ på två olika sätt.

1 2 3 5 6

REFLEKTERA OCH DISKUTERA 5.3 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.

1 Om två vinklar och mellanliggande sida är givna kan arean av en triangel beräknas med areasatsen.

1

5 6

inussatsen säger att i varje triangel är längden av en sida direkt proportionell 2 S mot motstående vinkel. m man känner två sidor och en vinkel i en triangel kan sinussatsen 3 O alltid användas.

4

O m man känner två sidor och en vinkel i en triangel kan cosinussatsen alltid användas.

5

O m tre sidor i en triangel är givna kan samtliga vinklar bestämmas med cosinussatsen.

6

Pythagoras sats är ett specialfall av cosinussatsen.

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

k apitel 5 ; Trigonometri 233

5.4 Problemlösning I det här avsnittet kommer du att möta uppgifter där du bland annat får användning för dina ­hittills förvärvade kunskaper i trigonometri. Du får också möjlighet att utveckla samtliga ­förmågor. När det gäller problemlösning kan du behöva använda olika strategier. n n n n n n n

Vad är givet och vad efterfrågas är det första som du måste formulera.

Har du sett något liknande problem?

Går det att förenkla problemet?

Kan jag finna ett mönster?

Behöver jag rita en figur?

Vilka matematiska redskap behöver jag använda?

Kan jag ställa upp ekvationer?

När du väl har bestämt dig för en lösningsmetod håll då fokus på vad som efterfrågas. Glöm inte att din lösning ska vara förstålig för en utomstående som inte är insatt i problemet.

öva ii

· flera förmågor

5105

I triangeln ABC är ∠C = 90°. Bestäm 7 . sin B, cos A och tan B om sin A = 25

5106

Niklas använder sin skugga för att beräkna solens höjd över horisonten.

Hur högt över horisonten står solen om skuggan är ungefär sju gånger Niklas längd?

*

5107

I triangel ABC är ∠C = 90°. Man drar två medianer, en från hörnet A och en från hörnet B. Bestäm ∠A och ∠B om medianernas längder är 5 l.e. respektive 40 l.e.

*

5108

I triangeln ABC är sidan AB dubbelt så lång som sidan BC. Bestäm ∠A om ∠C = 67,8°.

234

k apitel 5 ; Trigonometri

*

5109

Från en luftballong som befinner sig 560 m upp i luften ser man rakt framför sig en långsmal sjö. Hur lång är sjön om den ena ändpunkten syns under 7,5° och den andra ändpunk­ ten under 21,9° relativt en lodrät linje rakt ner?

* 5110 A = (–2, 3) och B = (2, –3) är två

punkter på en cirkel. Bestäm cirkelns ekvation om AB är en diameter.

**

5118

I den regelbundna femhörningen har diagonalerna dragits från ett hörn, varvid femhörningen delas i tre trianglar. Bestäm förhållandet mellan areorna av två närliggande trianglar.

**

5119

En triangel har sina hörn i punkterna (–2, –4), (–1, 3) och (2, 4). Bestäm ekvationen för den omskrivna cirkeln. L

**

5120 Triangeln ABC är inskriven i en

räta linjen y = 2 – x skär cirkeln * 5111 Den 2 2 x + y = 34 i två punkter A och B. Bestäm längden av kordan AB.

räta linjen y = x – 4 skär cirkeln * 5112 Den 2 2 x + y = 40 i två punkter C och D. Bestäm skärningspunkten P mellan tangenterna till cirkeln i punkten C respektive punkten D. L

* 5113 Förenkla cos x 2 cos x +

2

· tan x + sin x sin x * 5114 Beräkna summan cos 1° + cos 2° + cos 3° + …+ cos 179°.

*

5115

Bestäm vinkeln mellan vektorerna u = (2, 1) och v = (1, 5). T

­cirkel med radien R. B

* 5116 Sök förhållandet mellan den kortaste och den längsta diagonalen i en regelbunden tiohörning. L

**

5117

Bestäm utan räknare värdet av 5 7 + om uttrycket 2 tan A cos 2 B 2 cos A = − och 3 3 sin B = och tan B < 0.

4

c

a

A b

C

a) Visa att a b c = = = 2R sin A sin B sin C abc b) Visa att R = 4T där T är triangelns area.

k apitel 5 ; Trigonometri 235

*

25

*

26

*

**

I en triangel förhåller sig två av sidorna som 5:8. Den mellanliggande vinkeln är 35°. Bestäm triangelns övriga vinklar.

A, B och C är vinklar i en triangel.

Visa följande samband: a) sin (A + B) = sin C b) cos (A + B) = –cos C c) tan (A + B) = –tan C A+ B C = cos d) sin 2 2 27 En cirkel går genom punkterna (1, –8), (–3, –6) och (5, 2). Bestäm en ekvation för cirkeln.

28

5 6

29

Bestäm ekvationen för den tangent till cirkeln (x – 2)2 + y 2 = 5 som går genom punkten (1, –2).

** 30 Visa med hjälp av triangeln

formeln sin 2v = 2 sin v cos v .

35°

**

31

50°

1

Visa med hjälp av triangeln ABC formeln sin(u + v ) = sin u cos v + cos u sin v .

B u

A

v

C

B

omfattande problem 32

En cirkel har medelpunkten i (x0, y0) och radie r. a) Skriv upp ekvationen för cirkeln. b) V isa att ekvationen kan omvandlas till x2 + y2 + ax + by + c = 0 och förklara vad värdena hos koefficienterna a, b och c har för betydelse för cirkelns position och storlek. c) D u ska nu undersöka om ekvationen x2 + y2 + ax + by + c = 0 alltid representerar en cirkel. n D u kan börja med att välja a = 0 och b = 0 och undersöka grafen för olika värden på c. n V älj några andra värden på a och b och undersök grafen för olika värden på c. n F ormulera en slutsats.

242

2v 1

Klockan 18 befinner sig ett fartyg i posi­ tion A på avståndet 6,0 distans­minuter från fyren F. 90 minuter senare befinner sig fartyget i position B. Bestäm fartygets hastighet i knop.

(1 knop = 1 distansminut/h).

F

A 1 2 3

**

k apitel 5 ; Trigonometri

Kapitelprov

­

­

exponent

gennow gustafsson silborn

exponent

s

3c

Denna nya upplaga av Exponent 3c har förbättrats på flera punkter utifrån de syn­ punkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnes­planen om att använda digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. Detta avspeglas i helt nyskrivna avsnitt som beskriver hur man använder digitala verktyg och metoder som exempelvis CAS samt numeriska och grafiska metoder för att lösa olika mate­ matiska problem. Programmering är ett nytt moment som finns i ämnes­planen för matematik från höstterminen 2018. Eftersom detta område kommer att vara under stark utveckling framöver, har vi valt att placera allt material om programmering på webben. Denna sida är under ständig utveckling och kommer att innehålla både exempel och övningar. Adressen till denna webbsida finns i bokens inledning.

3c

gennow gustafsson silborn

15

exponent 3c

Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 3c tillhör den röda serien. n

Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) n Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) n Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)

10

Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teori­ genomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m.

Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material.

Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt.

Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.

5

(2, 4)

Författare till Exponent 3c är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn.

Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.

ISBN 9789151101217

0

9

(3, 5)

(1, 1)

789151 101217

0

1

2

3

4