Liber Matematik är en läromedelsserie för gymnasiet, helt anpassad till läroplanen såsom den gäller från 2021.
Liber Matema tik
Utmärkande för Liber Matematik: • övningsuppgifter kopplade till förmågorna • betonar tydlighet och förståelse • ett stort antal klassrumsaktiviteter baserade på GeoGebra och Python. Serien innehåller fullständiga och fristående tryckta och digitala läromedel och kommer på sikt att omfatta samtliga matematikkurser på gymnasiets a-, b-, och c-spår.
LIBER
Matematik
3b
Best.nr 47-14630-7 Tryck.nr 47-14630-7
Omslag-Liber matematik 3b.indd All Pages
3b 23/09/22 1:19 PM
LIBER
matematik b
LIBER
.indb 1
202
5 1 :1
Välkommen till Liber Matematik 3b! Den reviderade ämnesplanen
Historia och teoretisk bakgrund
Skolverkets ämnesplan från 2021 för kursen Matematik 3b bjuder inte på några stora förändringar jämfört med tidigare versioner. Men läser man dokumenten noggrant upptäcker man finstilta skillnader, som exempelvis den nya formuleringen ”Villkor för deriverbarhet”, den starkare skrivningen kring begreppet gränsvärde (nu inte endast ”orientering”) och utvidgade och preciserade användningsområden för digitala och symbolhanterande verktyg. Allt detta har vi efter bästa förmåga försökt beakta i detta läromedel.
Matematik 3b som kurs domineras av den så kallade envariabelanalysen, med introduktion av begreppen derivata och integral. Utvecklingen av denna gren av matematiken, så som vi möter den i gymnasiet, är nästan helt knuten till europeiskt sexton- till artonhundratal. Vi hoppas att det inte framstår som tanklös eurocentrism, när detta också präglar de historiska utvikningar vi har gjort.
Med och utan digitala verktyg Vi har delat in bokens övningsuppgifter i sådana som är avsedda att lösas utan andra verktyg än penna och papper och i sådana där digitala verktyg bör användas. Vi har här förutsatt att de digitala verktygen är symbolhanterande, det vill säga att de innehåller något slags CAS-funktioner och att de är grafritande. Det vi har utgått ifrån är GeoGebras funktionalitet, men det går naturligtvis bra att använda även andra, jämförbara verktyg.
Nivåer och förmågor Liksom i tidigare läromedel i serien, har vi delat in övningsuppgifterna i tre svårighetsnivåer. Man bör dock inte göra den direkta översättningen ”E-, C- och Auppgifter”. En sådan kategorisering är mer komplex. Liksom tidigare har vi också etiketterat uppgifterna efter de förmågor de efterfrågar: B för begrepp, P för Procedur, PL för Problemlösning, M för Modellering, R för Resonemang och K för Kommunikation. I de test som avslutar kapitlen finner man nivåer och förmågor i en avslutande matris.
Programmering och digitala verktyg Avsnitten under denna rubrik innehåller aktiviteter kring mer omfattande uppgifter som utgår från problemlösning med GeoGebra eller Python. Även här kan andra tekniska lösningar väljas, även om detta kanske i vissa fall kräver en del omarbetning. Aktiviteterna är i första hand tänkta att lösas i grupp, under lärares översyn, och vi tror att gemensam uppföljning är betydelsefull. Många viktiga moment presenteras huvudsakligen eller endast inom ramen för dessa aktiviteter, och de ska alltså ses som en integrerad del av framställningen.
Den teoretiska grunden för momenten i Matematik 3b är på flera sätt ofta mer avancerad än för det mesta av stoffet i de föregående gymnasiekurserna. Ändå tror vi att den till sina viktigaste delar är möjlig för intresserade gymnasieelever att greppa. Hur djupt man väljer att gå här är alltid den undervisande lärarens val. Vi har märkt vissa avsnitt med fördjupning. Sådant som presenteras där tror vi exempelvis knappast kommer att prövas på nationella prov. Det går att nå ett gott resultat på kursen även dessa partier förutan.
Digital version Liber Matematik 3b finns också som heldigitalt läromedel. Teorimaterialet i detta är detsamma som i denna tryckta bok. Även övningsmaterialet är till stora delar likt, även om det i den digitala utgåvan ofta fått en mer interaktiv utformning. Liber Matematik 3b Digital erbjuder också utarbetade lösningsförslag till flertalet övningsuppgifter.
Tack Slutligen vill vi rikta ett stort tack till alla inblandade – författare, illustratör, formgivare, bildredaktörer, projektledare och andra, som gjort denna produktion möjlig! Tack också till dig som valt att arbeta med Liber Matematik 3b i undervisningen. Vi hoppas att läromedlet ska motsvara dina förväntningar! Redaktionen för Liber Matematik
Innehåll 1 1.1 1.2
ALGEBRA OCH FUNKTIONER
Algebra . . . . Funktioner. . . BLANDADE UPPGIFTER . KAPITELTEST . . . .
2 2.1 2.2 2.3 2.4
. . . .
3.1 3.2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2 18 34 37
POLYNOM OCH RATIONELLA UTTRYCK
Polynom . . . . Rationella uttryck . Linjär optimering . Geometrisk summa . BLANDADE UPPGIFTER . . KAPITELTEST . . . . .
3
. . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
40 52 72 76 79 83
.
86
FÖRÄNDRINGAR OCH DERIVATA
Två viktiga begrepp . . . . . Ändringskvoter och förändringshastighet . . . . . . . . 3.3 Gränsvärden . . . . . . . 3.4 Derivatans definition . . . . 3.5 Deriveringsregler . . . . . BLANDADE UPPGIFTER . . . . . .
. . . . .
91 107 121 125 160
KAPITELTEST
4
. . . . . . . . . .
DERIVATAN I TILLÄMPNINGAR
4.1 4.2 4.3 4.4
Kurvor och derivator . . . . . Andraderivatan . . . . . . . Skissa grafer . . . . . . . . Tillämpningar och problemlösning . BLANDADE UPPGIFTER . . . . . . . KAPITELTEST . . . . . . . . . .
5
163
166 200 211 215 235 237
PRIMITIVA FUNKTIONER OCH INTEGRALER
5.1 5.2 5.3
Primitiva funktioner . Integraler . . . . . Integraler i tillämpningar BLANDADE UPPGIFTER . . . KAPITELTEST . . . . . .
. . . . .
. . . . .
242 253 283 298 300
SVAR TILL KONTROLLFRÅGOR
. . . .
303
SVAR TILL PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . BILDFÖRTECKNING . . . . . . . REGISTER . . . . . . . . . . FACIT
. . . .
308 311 340 341
1.1 Algebra Potenser Vi repeterar räknereglerna för potenser. Räkneregler y
ax · ay = ax+y x
ax · bx = (a · b)
(ax ) = ax·y a x ax = bx b
För a ̸= 0 gäller ax = ax−y ay
EXEMPEL 1
Beräkna
a0 = 1
1 = a−x ax
2−2 · 27 23
Lösning Vi adderar exponenterna för multiplikationen i täljaren och subtraherar nämnarens exponent. 2−2 · 27 = 2−2+7−3 = 22 = 4 23
EXEMPEL 2
Förenkla −a1/4
4
Lösning −a1/4 = (−1) · a1/4 , så 4 4 −a1/4 = (−1) · a1/4 = (−1)4 · a4/4 = (−1)4 · a1 = a
EXEMPEL 3
Förenkla uttrycket
x7 · y 3 x4 · y −6
Lösning x7 · y 3 = x7−4 · y 3+6 = x3 y 9 x4 · y −6
2 KAPITEL 1. ALGEBRA OCH FUNKTIONER
Hur gör man med exponenterna vid
KONTROLL
a) multiplikation av potenser med samma bas? b) division av potenser med samma bas? Skriv
1 som en potens med bas 3 9
UTAN DIGITALA VERKTYG
B P PL M R K
NIVÅ 1
1101
B P PL M R K
1108
Förenkla uttrycken. 4
4
4
a) 4 + 4 + 4 + 4
254 b) 7 5 + 57 + 57
4
B P PL M R K
1109
B P PL M R K
1102
c) y −4
b) −a · a −3x
d)
x−2
b) x3
1112
Vad gäller alltid för en potens där ett negativt tal är upphöjt till ett b) udda tal?
Hur mycket är en fjärdedel av 410 ? Svara i potensform.
b) 649 = 410 · 16a
Förklara med hjälp av potensreglerna varför a0 = 1 för a ̸= 0
Förenkla uttrycket. −3/2
−
y −5 y −3
Utveckla parenteserna. a) (4x − 5)(4x + 5) c) 25x − 22x
B P PL M R K
1114
Beräkna. a)
362 4,52
b) 34x + 35x
2
2
Beräkna. 4 6−4
a) 4−2 · 5 · 25
b) 3−4 ·
c) 9 · 6−1 − 43 + 72
d) 5 · 5−3 + 3 ·
B P PL M R K
1107
1 93
Bestäm talet a om
y −4/3 1113
b) 9x+9 =
−2 2 1 4 2 + + 3 3 3
35 − 32
Beräkna
a) 78 = 49a
c) x4
NIVÅ 2
1106
1111
4
(x2 )
Låt x = −2. Beräkna
a) jämnt tal? 1105
a) 6x+11 · 64 = 66x
1110
−12
7
a) x2 1104
Lös ekvationerna.
Skriv som en potens. a2 a) −6 a
1103
Vilket tal ligger mitt emellan 23 och 24 ?
1 52
b) 21/2 · 181/2
1.1. ALGEBRA
3
NIVÅ 3
1115
B P PL M R K
B P PL M R K
Bestäm talet a då 83 + a · 23 = 162
1116
Vilket av talen 3300 och 5200 är störst? Motivera.
1117
Vad är 2−3x om 125x = 0,20?
Kvadratrötter Ett icke negativt tal är noll eller större. Med kvadratroten ur ett icke √ negativt tal a menar vi det icke negativa tal vars kvadrat är a, så att ( a)2 = a √ En kvadratrot kan också skrivas i potensform: a = a1/2 Räkneregler för kvadratrötter
√ √ a· b= a·b r √ a a √ = b b √ 1/2 a=a √
(a, b ≥ 0) (a ≥ 0, b > 0) (a ≥ 0) √
EXEMPEL 1
Förenkla uttrycket
4· √
√
15
12
Lösning r √ √ √ √ 4 · 15 4 · 15 60 60 √ √ = √ =√ = = 5 12 12 12 12
EXEMPEL 2
Skriv om x7,5 genom att använda kvadratrotssymbolen. Lösning x7,5 = x7+1/2 = x7 · x1/2 = x7 · eller x7,5 = x15·1/2 = x15
4 KAPITEL 1. ALGEBRA OCH FUNKTIONER
1/2
=
√
√
x15
x
KONTROLL
√ 18 √ √ a) Förenkla √ + 3 · 27 2 1 √ b) Visa att x−1,5 = x· x
1124
UTAN DIGITALA VERKTYG NIVÅ 1
1118
Beräkna.
B P PL M R K
Bestäm hypotenusan √ i en rätvinklig triangel med kateterna 3a och a
a) 1125
1120
a)
Förenkla uttrycket. √ √ √ √ a+ b a− b Beräkna. r 16 a) 9
c) 1126
b)
√
a)
1123
Förenkla ett bråk.
√ 5− √ 5 5
till ett uttryck som inte är
Beräkna. √ 2,25 a) 2 2 b) 30,5 · 33 · 3/2 3 √ √ √ c) 3 · 12 − 27 √ √ √ √ d) 3+ 2 · 3− 2
√ b)
10
√ √ 3· 6 2 · 2 4
√ √
324
b)
144
d)
√ √
625 4 096
√
81x · x2,5 −
p
49x2 y 3
√
4x6
√ 1 b) √ · 15x2 3x √ √ d) 6z · 3z 2
NIVÅ 3
B P PL M R K
1122
c)
B P PL M R K
√ 4,5 a 1121 Bestäm a då √ =√ a 2
√
Förenkla.
16 · 4 · 9
NIVÅ 2
5 · 21/2 ·
Beräkna genom att först faktorisera talen under rottecknen.
B P PL M R K
1119
√
1127
B P PL M R K
Förenkla uttrycket √ √ 2 √ √ 2 a+ b − a− b a) med hjälp av kvadreringsreglerna. b) med hjälp av konjugatregeln.
r q p √ 1128 Skriv a a a a som en potens.
1.1. ALGEBRA
5
Förstagradsekvationer En ekvation är ett påstående om en likhet. Ekvationens vänstra led, VL, påstås vara lika med ekvationens högra led, HL. Ofta innehåller en ekvation en eller flera obekanta. Det är vanligt att beteckna dessa obekanta med bokstäver som till exempel x, y, eller z. En förstagradsekvation är en ekvation där de obekanta endast förekommer i första potens, alltså inte som exempelvis kvadratrötter, nämnare i bråk eller kvadrater. 2x + 8 = 22 är en förstagradsekvation med en obekant. Vi löser denna ekvation: [ställ upp ekvationen]
2x + 8 = 22 [subtrahera 8 från båda led]
2x + 8 − 8 = 22 − 8 [förenkla]
2x = 14 [dividera båda led med 2]
14 2x = 2 2 x=7 På varje ny rad i ekvationslösningen finns en ny ekvation som är ekvivalent med ekvationen ovanför, vilket innebär att likheten i den undre ekvationen gäller om och endast om likheten i den övre gäller. Hela lösningen består på detta sätt av en kedja av ekvivalenta ekvationer, som leder till slutsatsen att 2x + 8 = 22 är ett sant påstående om och endast om x = 7. Därmed är x = 7 den enda roten eller lösningen till ekvationen 2x + 8 = 22. En förstagradsekvation med en obekant, som förekommer i endast en term, har alltid precis en rot. Andra typer av ekvationer kan ha flera rötter, eller ingen rot. Den fullständiga lösningen till en ekvation innehåller ekvationens samtliga rötter.
KONTROLL
Lös om möjligt ekvationerna. 1. 2x = 3x 2. x − 1 = x − 2 3. 6x + 5 = 1
6 KAPITEL 1. ALGEBRA OCH FUNKTIONER
Andragradsekvationer I kurs 2 behandlade vi ingående andragradsekvationer. I sådana ekvationer finns en obekant i andra potens, det vill säga i kvadrat. En andragradsekvation kan också innehålla termer med obekanta i första potens och konstanttermer. En andragradsekvation kan ha två olika rötter, eller endast en rot, som i så fall kallas dubbelrot. En andragradsekvation kan också sakna rötter bland talen längs tallinjen. Vi säger då att ekvationen saknar lösning. KONTROLL
1. Ge exempel på en andragradsekvation med lösningen x1 = −2, x2 = 2 2. Ge exempel på en andragradsekvation med dubbelroten x1 = x2 = 1 3. Ge exempel på en andragradsekvation som saknar lösning. Det är lämpligt att välja olika lösningsmetoder till olika andragradsekvationer, beroende på hur de ser ut. Till andragradsekvationer som saknar förstagradsterm använder vi kvadratrotsmetoden. Exempelvis löser vi ekvationen 3x2 −24 = 0 genom 2 att först skriva om till √ 3x2 = 24 och sedan √ till x = 8. Vi ser nu att det finns två rötter, x1 = 8 och x2 = − 8. Tillsammans utgör de två rötterna den fullständiga lösningen till ekvationen. Andragradsekvationer som saknar konstantterm kan vi alltid uttrycka på formen ax2 +bx = 0 och lösa med den så kallade nollproduktsmetoden. Ekvationen 2x2 = 6x skriver vi om till 2x2 − 6x = 0. Vi bryter ut 2x och skriver vänsterledet som en produkt av två faktorer: 2x(x − 3) = 0. Om en produkt är noll så måste minst en faktor vara noll. Alltså är antingen 2x = 0 eller (x − 3) = 0, vilket ger rötterna x1 = 0 och x2 = 3. Andragradsekvationer som innehåller såväl andragradsterm, som förstagradsterm och konstantterm kan vi lösa med hjälp av kvadratkomplettering, eller med en lösningsformel. I Sverige är den så kallade pq-formeln vanligast.
1.1. ALGEBRA
7
Register ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 abc-formeln . . . . . . . . . . . . . . 8 absolutbelopp . . . . . . . . . . 88 acceleration-tid-diagram 289 algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 allmän form . . . . . . . . . . . . 25 andraderivata . . . . . . . . . 204 graf . . . . . . . . . . . . . . . 223 andragradsekvationer . . . . 7 andragradsfunktioner . . . 29 graf . . . . . . . . . . . . . . . . 28 nollställen . . . . . . . . . . 29 på annan form . . . . . 50 andragradspolynom . . . . . 40 anta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 antiderivata . . . . . . . . . . . 242 arbete . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 avbildning . . . . . . . . . . . . . . 18 barometrisk formel . . . . 162 bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 31 belopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 beroende variabel . . . . . . . 19 binom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 räkneregler . . . . . . . . . 41 bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 blandad form . . . . . . . . . . . 69 Coulombs konstant . . . . . 38 Coulombs lag . . . . . . . . . . . 38 definiera funktion . . . . . . . . . . . 20 definitionsmängd . . . . . . . 18 begränsad. . . . . . . . .171 delbart med . . . . . . . . . . . . 70 delintervall . . . . . . . . . . . . 181 derivata . . . . . . . . . . . . . . . 101
√ av x . . . . . . . . . . . . 131 av x1 . . . . . . . . . . . . . . 129 av ax . . . . . . . . . . . . . 151 av ekx . . . . . . . . . . . . 149 av kf (x) . . . . . . . . . . 139 av xn . . . . . . . . 134, 137 av funktioner . . . . . 125 av hastighet . . . . . . 285 av rät linje . . . . . . . . 126 av sträcka . . . . . . . . 243 av summor. . . . . . . .139 definition . . . . . . . . . 121 deriveringsregler . . 153 graf . . . . . . . . . . . . . . . 195 i GeoGebra . . . . . . . 142 med GeoGebra CAS 158 ursprung . . . . . . . . . . 132 deriveringsregler . . . . . . . 153 differenskvot . . . . . . . . . . . . 94 differentialer . . . . . . . . . . . 133 diskontinuitet . . . . . . . . . 175 dubbelrötter . . . . . . . . . . . . . 7 e . . . . . . . . . . . . . . . . . 115, 145 effekt-tid-diagram . . . . . 289 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 276 ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . 6 kvadrera . . . . . . . . . . . 11 lösning . . . . . . . . . . . . . . 6 lösningsformler . . . . . . 8 lösningsmetoder . . . . . 7 prövning . . . . . . . . . . . 12 rationella . . . . . . . . . . 63 saknar lösning . . . . . . . 7 ekvivalent . . . . . . . . . . . . . . . 6 elektrisk effekt . . . . . . . . . . 10
enklaste form . . . . . . . . . . . 52 Euler, Leonhard . . . . . . . 133 exponent . . . . . . . . . . . . . 2, 31 exponentialfunktioner . . . 31 extrempunkter . . . . . . . . 186 extremvärden . . . . . . . . . . 186 faktorform . . . . . . . . . . . . . . 42 faktorisera . . . . . . . . . . . 5, 45 falska rötter . . . . . . . . 11, 66 fullständig lösning . . . . . . . 6 funktioner . . . . . . . . . . . . . . 18 avtagande . . . . . 32, 179 avtagande i ett intervall . . . . . . 180 begränsade. . . . . . . .268 deriverbara . . 157, 175 diskontinuerliga . . . 175 entydiga . . . . . . . . . . . 21 form . . . . . . . . . . . . . . . 19 icke deriverbara . . 156, 175 konkava. . . . . . . . . . .201 konstanta . . . . . . . . . . 25 kontinuerliga . . 86, 111 konvexa . . . . . . . . . . . 201 linjära . . . . . . . . . . . . . 24 primitiva. . . . . . . . . .242 till k · f (x) . . . . . 245 till xn . . . . . . . . . . 245 till exponentialfunktioner . . . . . . . . 249 till summor . . . . . 247 rationella . . . . . . . . . 111 sammanhängande . . 86 strängt avtagande . 180 strängt växande . . . 180
växande . . . . . . . 32, 179 växande i ett intervall 180 funktionssamband . . . . . . 20 funktionsvärde . . . . . . . . . . 18 förstaderivata . . . . . . . . . 204 graf . . . . . . . . . . . . . . . 223 förstagradsekvationer . . . . 6 förändringsfaktor . . . . . . . 31 förändringshastighet . . . . 98 förändringskvot . . . . . . . . . 98 Galileo Galilei . . . . . . . . . 243 gemensamma faktorer . . 44 genomsnittlig förändring 91 genomsnittlig lutning . . . 96 geometrisk summa . . . . . . 76 formel . . . . . . . . . . . . . 77 gradtal . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 gravitationskonstanten 290 gränsvärden . . . . . . . . . . . 107 av differenser . . . . . 114 av geometrisk summa 116 av kvoter . . . . . . . . . 114 av produkter . . . . . . 114 av rationella uttryck 114 av summor. . . . . . . .114 egentliga . . . . . 108, 109 från höger . . . . . . . . 108 från vänster . . . . . . . 108 går mot . . . . . . . . . . . 107 i en punkt . . . . . . . . 110 i GeoGebra . . . . . . . 144 mot oändligheten . 110 oegentliga . . . . 108, 109 räkneregler. . . . . . . .114 Gustav Riemann . . . . . . 276 hastighet-tid-diagram . . 289 hastighetsändring. . . . . .289 heltalskvot . . . . . . . . . . . . . 69 Hookes lag . . . . . . . . . . . . 292 höger led . . . . . . . . . . . . . . . . 6 icke negativt tal . . . . . . . . . 4 impuls. . . . . . . . . . . . . . . . .289 inflexionspunnkt . . . . . . . 202 ingående värde . . . . . . . . . 18 inre punkter . . . . . . . . . . . 171
insättningsformeln 270, 279 integraler . . . . . . . . . 253, 266 bestämda . . . . . . . . . 266 historik . . . . . . . . . . . 275 i GeoGebra . . . . . . . 280 i verkligheten . . . . . 285 nedre gräns . . . . . . . 267 räkneregler. . . . . . . .273 övre gräns . . . . . . . . 267 integralkalkylens fundamentalsats 278 integralkalkylens medelvärdessats 277 integralkalyl . . . . . . . . . . . 253 integrand . . . . . . . . . . . . . . 267 intervall . . . . . . . . . . . . . . . 171 halvöppet . . . . . . . . . 171 slutet . . . . . . . . . . . . . 171 öppet . . . . . . . . . . . . . 171 inverterade tal . . . . . . . . . . 62 inverterade uttryck . . . . . 62 Isaac Barrow . . . . . . . . . . 275 Isaac Newton . . . . . . . . . . 230 James Gregory . . . . . . . . 275 Jean Gaston Darboux . 276 k-form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 karaktär . . . . . . . . . . . . . . . 186 katet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 konjugatregeln . . . . . . . 5, 41 konvergera . . . . . . . . . . . . 234 korda. . . . . . . . . . . . . . . . . .200 kraft-sträcka-diagram . . 289 kraft-tid-diagram . . . . . . 289 kvadratrotsfunktionen . . 21, 86 kvadratrotsmetoden . . . . . 7 kvadratrötter . . . . . . . . . . . . 4 räkneregler . . . . . . . . . . 4 kvadreringsregler . . . . . 5, 41 andra . . . . . . . . . . . . . . 41 första . . . . . . . . . . . . . . 41 laddning. . . . . . . . . . . . . . .289 Lagrange, Joseph-Louis 133 Leibniz, Gottfried Wilhelm 133 likhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
lim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 linjär optimering. . . . . . . .72 ljusets hastighet . . . . . . . . 10 logaritmer naturliga . . . . . . . . . . 146 luftmotstånd . . . . . . . . . . . 10 lutning . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 marginalkostnad . . . . . . . 161 massenergi . . . . . . . . . . . . . 10 maximipunkt . . . . . . . . . . 166 maximum . . . . . . . . . . . . . 166 globala. . . . . . . . . . . .169 lokala . . . . . . . . . . . . . 169 MGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 minimipunkt . . . . . . . . . . 166 minimum . . . . . . . . . . . . . . 166 globala. . . . . . . . . . . .169 lokala . . . . . . . . . . . . . 169 minsta gemensamma nämnare. . . . . . .60 mittpunktsformeln. . . . .296 monom . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 naturliga logaritmen . . . 146 Newton Raphson-metoden 231 Newtons avsvalningslag230 Newtons metod. . . . . . . .231 nollproduktsmetoden . . . . 7 obekanta . . . . . . . . . . . . . . . . 6 oberoende variabel. . . . . .19 odefinierad . . . . . . . . . . . . . 52 omgivning . . . . . . . . . . . . . 169 optimering . . . . . . . . . 72, 215 optimeringsproblem. . . . .72 oändligheten . . . . . . . . . . 108 parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 polynom . . . . . . . . . . . . . . . . 40 division . . . . . . . . . . . . 69 grad . . . . . . . . . . . . . . . 40 nollställen . . . . . . . . . . 44 polynomdivision . . . . . . . . 69 potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 andra . . . . . . . . . . . . . . . 7 första . . . . . . . . . . . . . . . 6 räkneregler . . . . . . . . . . 2 potensform . . . . . . . . . . . . . . 4 potensfunktioner. . . . . . . .31 pq-formeln . . . . . . . . . . . . . . . 8
prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 punkter icke deriverbara . . . 174 karaktär . . . . . . . . . . 186 stationära . . . 177, 182, 183 rationella uttryck . . . . . . . 52 addition. . . . . . . . . . . .60 division . . . . . . . . . . . . 62 förkorta . . . . . . . . . . . . 55 förlänga . . . . . . . . . . . . 56 multiplikation . . . . . . 61 subtraktion . . . . . . . . 60 restterm . . . . . . . . . . . . . . . . 69 riktningskoefficient . . . . . 24 rotekvationer . . . . . . . . . . . 11 med kvadrering . . . . 14 räta linjer . . . . . . . . . . . . . . 24 ekvationer . . . . . . . . . 24
horisontella . . . . . . . . 25 lodräta. . . . . . . . . . . . .25 vertikala . . . . . . . . . . . 25 vågräta . . . . . . . . . . . . 26 rörelseenergi . . . . . . . . . . . . . 9 rötter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 samband . . . . . . . . . . . . . . . 18 sekant . . . . . . . . . . . . . . 96, 98 stambråk . . . . . . . . . . . . . . . 81 steglängd . . . . . . . . . . . . . . 293 sträcka . . . . . . . . . . . . . . . . 289 ström-tid-diagram . . . . . 289 substitution . . . . . . . . . . . . 13 symmetrilinje . . . . . . . . . . . 29 symmetrisk kurva. . . . . . .29 tangent . . . . . . . . . . . . . . . . 101 tangentlinje . . . . . . . . . . . 101 tangeringspunkt . . . . . . . 103 Taylorutveckling . . . . . . . . 42
teckentabell . . . . . . . . . . . 186 terrass. . . . . . . . . . . . . . . . .189 terrasspunkter . . . . . . . . . 184 torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 trapetsmetoden. . . . . . . .293 tyngdacceleration . . . . . . . 10 tyngdkraft . . . . . . . . . . . . . 290 undersummor . . . . . . . . . 262 utvecklade form . . . . . . . . 41 variabelfaktor . . . . . . . . . 112 vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 vänster led. . . . . . . . . . . . . . .6 värdemängd . . . . . . . . . . . . 18 värdetabell . . . . . . . . . . . . . 20 äkta rötter . . . . . . . . . . 15, 64 ändpunkter . . . . . . . . . . . . 171 ändringskvot . . . . . . . . 92, 94 översummor . . . . . . . . . . . 264
ISBN 978-91-47-14630-7 © 2022 Liber AB PROJEKTLEDARE: Theres Lagerlöf REDAKTÖR: Jonas Klingberg FÖRFATTARE: Jonas Klingberg och Mikael Cronhjort, Jaime Dols Duxans, Olof Klingberg, Anders Lundkvist, Andreas Rung, Jonas Sjunnesson, Eva von Heijne, Wictor Zawadzki OMSLAG: Tove Freiij (foto), Lotta Rennéus (form) FORMGIVNING: Nette Lövgren, Cecilia Frank, Typesetters, OK Education BILDREDAKTÖR: Lena Andersson, Margareta Söderberg ILLUSTRATIONER: Björn Magnusson PRODUKTION: Eva Runeberg Påhlman Första upplagan 1 REPRO: Integra Software services TRYCK: Livonia Print, Lettland 2022
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Liber AB, 113 98 Stockholm KUNDSERVICE TFN 08-690 90 00 www.liber.se E-POST kundservice.liber@liber.se
Liber Matematik är en läromedelsserie för gymnasiet, helt anpassad till läroplanen såsom den gäller från 2021.
Liber Matema tik
Utmärkande för Liber Matematik: • övningsuppgifter kopplade till förmågorna • betonar tydlighet och förståelse • ett stort antal klassrumsaktiviteter baserade på GeoGebra och Python. Serien innehåller fullständiga och fristående tryckta och digitala läromedel och kommer på sikt att omfatta samtliga matematikkurser på gymnasiets a-, b-, och c-spår.
LIBER
Matematik
3b
Best.nr 47-14630-7 Tryck.nr 47-14630-7
Omslag-Liber matematik 3b.indd All Pages
3b 23/09/22 1:19 PM