9789147140800

LIBER

Matematik

1c

LIBER

matematik 1C

ANDREAS RUNG EVA VON HEIJNE THOMAS RUNDLÖF

LIBER

Välkommen till Liber Matematik 1c!

HUR ÄR BOKEN UPPLAGD?

PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG

Boken är indelad i 6 kapitel. Vart och ett av dessa börjar med en kort text om syftet med kapitlet.

Sedan varvas avsnitt med förklarande text, kontrollfrågor, lösta exempel och uppgifter att lösa.

I varje kapitel finns en eller flera större datorbaserade övningar under rubriken Programmering och digitala verktyg. Övningarna fungerar både som lektionsaktiviteter i grupp och för enskilt arbete. Här tränar du användning av symbolhanterande verktyg, kalkylering och programmering.

De program som används är Microsoft Excel, GeoGebra och programmeringsspråket Python 3. Inga förkunskaper krävs.

KONTROLLFRÅGOR OCH EXEMPEL

Genom att svara på Kontrollfrågor kan du testa att du har förstått den förklarande texten. Det är också bra om du studerar lösta Exempel innan du börjar med uppgifterna. Exemplen är konkreta och tar upp det viktigaste i teorin.

UPPGIFTER MED FÖRMÅGEMARKERINGAR

Uppgifterna är indelade i tre olika svårighetsgrader. Dessutom är de indelade efter matematisk förmåga. Ett streck över en eller flera uppgifter anger nivån (svårighetsgraden), och små bokstäver till höger på strecket anger vilka förmågor som tränas i uppgiften: NIVÅ 2

B P PL M R K

Syftet med markeringen är att du själv ska ha koll på att du verkligen tränar alla förmågor under kursens gång, och veta på vilken nivå du klarar dem. En bred matematisk förmåga har du nytta av i dina studier, ditt arbete och i vardagen.

SAMMANFATTNING OCH BLANDADE UPPGIFTER

I slutet av kapitlen finns en Sammanfattning som ger dig en tydlig översikt över de viktigaste momenten i kapitlet. Därefter följer Blandade uppgifter från kapitlet, sorterade efter nivå och förmåga.

KAPITELTEST MED BEDÖMNINGSMALL

Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest med bedömningsmall. Mallen fyller du själv i. Syftet är att du ska kunna identifiera vad du behöver träna mer på. Bedömningsmallen gör det också lättare för din lärare att få en bild av dina kunskaper.

Lycka till med studierna!

Författarna och Liber AB

DISKUTERA, RESONERA OCH MODELLERA

I boken finns större problemlösningsuppgifter, som kallas Diskutera, resonera och modellera. Du kan lösa dessa uppgifter på egen hand, men de är också lämpliga att diskutera med någon annan.

III

P – PROCEDUR

FÖRMÅGOR

Förmåga att hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.

EXEMPEL

Ekvationen 6x = 36 har lösningen x = 6.

Grundläggande procedurförmåga visar du till exempel genom att lösa en ekvation eller förenkla ett uttryck.

B – BEGREPP

Förmåga att använda och beskriva matematiska begrepp och samband mellan begrepp.

EXEMPEL

Viktiga begrepp är funktion, ekvation, uttryck och variabel. Att förstå dessa begrepp och att kunna använda dem korrekt räknas som begreppsförmåga.

FÖRMÅGOR När du arbetar med Matematik 1c kommer du att träna olika matematiska förmågor.

K – KOMMUNIK ATION

Förmåga att kommunicera matematik muntligt, skriftligt och i handling.

EXEMPEL

Kommunikation handlar om det matematiska språket. Om du använder korrekta begrepp och symboler kan andra förstå hur du tänker. Det kan till exempel vara att skriva ”6x = 36 som har lösningen x = 6”, i stället för att inkorrekt skriva ”6x = 36 = 6”.

IV

MATEMATIK

PL – PROBLEMLÖSNING

Förmåga att analysera och lösa problem med hjälp av matematik.

EXEMPEL

”I en förening med 24 medlemmar är 1/6 män. Hur många i gruppen är inte män?” Vid problemlösning ska du tolka ett problem och översätta det till matematiska symboler och uttryck.

Sedan behöver du en strategi för att lösa problemet. I exemplet är målet att komma fram till att 5/6 inte är män och att det motsvarar 20 personer.

M – MODELLERING

Förmåga att tillämpa, formulera och utvärdera matematiska modeller.

EXEMPEL

”Du köper x äpplen för 5 kr/st och y bananer för 7 kr/st. Ställ upp en formel för den totala kostnaden.”

R – RESONEMANG

Modellering går ut på att översätta mellan verklighet och modell. Här handlar det om att kunna formulera sambandet 5x + 7y = total kostnad. Du ska sen kunna använda sambandet för att räkna ut kostnaden för till exempel 8 bananer och 10 äpplen.

Förmåga att föra och följa matematiska resonemang.

EXEMPEL

”Förklara vad det innebär att en rät linje har riktningskoefficienten –2”.

Resonemangsförmåga visar du när du diskuterar matematik. Målet är här att beskriva, muntligt eller skriftligt, hur riktningskoefficienten påverkar linjens lutning.

FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR

V

Innehåll 1 ARITMETIK OCH ALGEBRA 1.1

Kvadratrötter och kubikrötter ...............................2

1.2

Tal i potensform

1.3

Uttryck

........................................................7

4.3 4.4 4.5

...................................................................... 22

Linjära samband ................................................... 159 Funktioner av olika slag ..................................... 182 Grafisk ekvationslösning och modellering ................................................... 191 SAMMANFATTNING ...............................................206

SAMMANFATTNING ................................................. 35

BLANDADE UPPGIFTER .......................................209

BLANDADE UPPGIFTER ......................................... 36

KAPITELTEST .......................................................... 215

KAPITELTEST ............................................................ 39

2 LIKHETER OCH OLIKHETER

5 STATISTIK 5.1

Att sammanställa och presentera statistik .... 224 Vilseledande statistik .......................................... 235 Analys och hantering av statistiska data ....... 240 Samband och orsakssamband .......................... 249

2.1

Ekvationer

................................................................ 42

5.2

2.2

Tecken i matematiska utsagor ............................ 53

5.3

2.3

Intervall ..................................................................... 56

5.4

2.4

Olikheter ................................................................... 58

SAMMANFATTNING ............................................... 259

2.5

Formler och mönster

............................................ 64

BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 261

SAMMANFATTNING ................................................. 89

KAPITELTEST .......................................................... 265

BLANDADE UPPGIFTER ......................................... 91 KAPITELTEST ............................................................ 96

3 UPPREPADE FÖRÄNDRINGAR OCH SANNOLIKHET 3.1

Procentuella förändringar

3.2

Lån och ränta

3.3

6 TRIGONOMETRI OCH VEKTORER 6.1 6.2

Trigonometri ......................................................... 272 Vektorer .................................................................. 281

................................. 100

SAMMANFATTNING ............................................... 298

........................................................ 108

BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 299

Sannolikhetslära ................................................... 118

KAPITELTEST .......................................................... 301

SAMMANFATTNING ............................................... 132 BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 133

SVAR TILL KONTROLLFRÅGOR ......................... 341

KAPITELTEST .......................................................... 138

SVAR OCH LÖSNINGAR TILL PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG ...................................344 SVAR OCH LÖSNINGAR TILL

4 FUNKTIONER 4.1

Koordinatsystemet

4.2

Funktioner i matematiken

VI . MATEMATIK

ÖVNINGSUPPGIFTER ............................................ 348

.............................................. 142 ................................ 146

REGISTER ................................................................401 BILDFÖRTECKNING ............................................. 404

Kapitel 1

1.1 Kvadratrötter och kubikrötter 1.2 Tal i potensform 1.3 Uttryck

ARITMETIK OCH ALGEBRA Vad du kommer att lära dig …

Sätt att räkna med olika typer av tal. Att hantera algebraiska och numeriska uttryck. … och varför För att kunna lösa problem med hjälp av matematik måste du kunna räkna med olika typer av tal, med algebraiska symboler och med uttryck. De basfärdigheter som du lär dig i det här kapitlet kommer du att ha användning för i resten av gymnasiematematiken.

CENTRALT INNEHÅLL ■ Hantering av formler och algebraiska uttryck, inklusive att faktorisera och multiplicera uttryck.

■ Motivering och hantering av räkneregler för potenser.

1.1 Kvadratrötter och kubikrötter Kvadratrötter En kvadrat har arean 25 cm2. Hur lång är kvadratens sida? a

För att lösa problemet måste vi hitta ett tal som är sådant, att talet multiplicerat med sig självt får värdet 25. Om vi kallar talet för a får vi problemet a · a = 25 att lösa.

Här är det enkelt att se, med huvudräkning, att lösningen är a = 5 eftersom 5 · 5 = 25.

Vi säger att ”5 i kvadrat är 25”. Uttryckssättet hänger ihop med det geometriproblem vi just har löst. Andra exempel på ”kvadrattal” är 4, 9, 16 och 36 eftersom 2 i kvadrat är 4, 3 i kvadrat är 9, 4 i kvadrat är 16 och 6 i kvadrat är 36.

En matematisk formulering av lösningen innehåller begreppet kvadratrot.

Kvadratroten ur 25 är 5, eftersom 5 · 5 = 25. Vi skriver detta

25 = 5 .

Kvadratrot

Med kvadratroten ur ett positivt tal a menar vi det positiva tal vars kvadrat är a. Vi skriver a . Kvadratroten ur noll är noll. 0 = 0 .

Med hjälp av kvadratrot kan vi lösa ett annat, liknande problem.

EXEMPEL 1

En kvadrat har arean 21 cm2.

Hur lång är kvadratens sida?

21 cm2

a

Här hittar vi inget heltal som passar. Eftersom 4 · 4 = 16 och 5 · 5 = 25 så måste svaret ligga någonstans mellan 4 och 5.

Lösningen till problemet är att sidan är a = 21 ≈ 4,582575695 (avrundat värde). Det exakta värdet är a = 21 .

Om sidan är 21 cm är arean 21cm ⋅ 21cm = 21 cm 2 .

2 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

NIVÅ 1

1101

1102

B P PL M R K

B P PL M R K

Beräkna följande tal med hjälp av huvudräkning. a)

49

b)

81

c)

10000

d)

0,25

Beräkna följande tal med din räknare.

Svara med två decimalers noggrannhet. a)

2

b)

13

c)

20,25

d)

117

1103

En kvadrat har arean 64 cm2. Hur lång är kvadratens sida?

1104

En kvadrat har arean 121 cm2. Vilken omkrets har kvadraten?

1105

Beräkna kvadratens omkrets, och svara med två decimaler, om arean är a) 45 cm2

b) 91 cm2

c) 42,25 cm2

d) 114,49 cm2

1106

En rektangel består av tre kvadrater i rad.

Dess area är 192 cm2. Vilken omkrets har rektangeln?

1107

En kvadrat delas så att man får två trianglar. En triangel har arean 47 cm2. Vilken omkrets har kvadraten?

Räkneregler för kvadratrötter

Ibland kan man få komplicerade uttryck som innehåller kvadratrötter, eller stora tal vars kvadratrot ska beräknas, och då kan man behöva förenkla uttrycken för att de ska bli lättare att beräkna.

EXEMPEL 2

Hur mycket är

9 ⋅ 25 och

36 ?

16

Vid multiplikation och division får vi dela upp kvadratroten i två separata kvadratrötter: 9 ⋅ 25 = 9 ⋅ 25 = 3 ⋅ 5 = 15 En snabb kontroll: 9 · 25 = 225, och

225 = 15 enligt räknaren.

36 6 3 36 = = = =1,5 = 1,5 16 16 4 2

En snabb kontroll:

36 = 2,25 och 16

2,25 = 1,5 enligt räknaren.

1.1 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

3

Förenkla uttrycket

EXEMPEL 3

32 ⋅ 2 8

2 ⋅ 16 ⋅ 2 2 ⋅ 16 ⋅ 2 2 ⋅4⋅ 2 4⋅ 2 32 ⋅ 2 = = = = = 2⋅ 2 2 8 2⋅4 2⋅ 4 2 ⋅2 Längre än så kommer vi inte, men vi kan välja att skriva 2 som

4:

2⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 2⋅4 = 8 Räkneregler för kvadratrötter

a⋅b = a ⋅ b

NIVÅ 1

B P PL M R K

1108

Jämför uttrycken 9 + 4 och Har de samma värde?

1109

Förenkla uttrycken

1110

16 + 9 25

b)

8 ⋅ 18 12

c)

8⋅ 2 4

d)

2⋅

(

32 − 8

)

Förenkla a)

3⋅ 6 2

b)

c)

2 ⋅ 12 3

d)

3⋅ 6 18 15 ⋅ 12 5 ⋅ 25 B P PL M R K

Vilket tal ska stå i stället för a?

2⋅ 4 a⋅ a =1 b) =1 a) 5 a c)

25 ⋅ a = 10 2

d)

4 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

3 1 = a 2

a a = b b

1112

Lotte påstår att 64 + 25 = 13 . Har hon tänkt rätt? Hur har hon tänkt tror du?

1113

Låt a och b vara två olika positiva heltal. Visa med två exempel att a + b ≠ a+b .

9+ 4 .

a)

NIVÅ 2

1111

a⋅a = a ⋅ a = a

NIVÅ 3

B P PL M R K

1 2 = 2 2

1114

Visa att

1115

En så kallad pythagoreisk trippel består av tre positiva heltal a, b, c som uppfyller att a · a + b · b = c · c. a) Visa att talen 3, 4 och 5 är en pythagoreisk trippel. b) Om de två minsta talen är 8 och 15, vilket är det tredje? c) Det största talet är 29 och det minsta 20. Vilket är det tredje?

Kubikrötter En kub har volymen 27 cm3. Hur lång är dess kant? Vi låter kanten vara b cm. För en kub gäller att kantlängd · kantlängd · kantlängd = volym, så b · b · b = 27.

Den som kan sin multiplikationstabell inser snart att b = 3, eftersom 3 · 3 · 3 = 27. Kantlängden är alltså 3 cm.

Vi säger att kubikroten ur 27 är 3 och skriver 3 27 = 3.

27 cm3

b cm

Kubikrot

Kubikroten ur talet a betecknas 3 a . Det gäller att 3 a ⋅ 3 a ⋅ 3 a = a EXEMPEL 1

En kub har volymen 10 m3. Hur lång är dess kant?

Längden måste var lite större än 2 m, men betydligt mindre än 3 m.

(Varför?). Det exakta svaret är 3 10 m . Med något digitalt verktyg kan vi bestämma närmevärdet 3 10 ≈ 2,15443 .

Med GeoGebra beräknar du ett närmevärde för 3 10 så här: Välj önskat antal decimaler under Inställningar. Välj Visa-CAS. Klicka på verktyget ≈. Skriv i CAS-fönstret: nrot(10, 3). Tryck ENTER.

För att få kvadratroten, skriver du 2 i stället för 3.

Med den matematik vi hittills använt, kan vi inte dra kvadratroten ur negativa tal. När ett tal på tallinjen multipliceras med sig självt, blir produkten alltid noll eller större. Att dra kubikroten ur ett negativt tal går däremot bra.

1.1 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

5

Eftersom (−2) · (−2) · (−2) = −8 är 3 −8 = −2

EXEMPEL 2

Räkneregler för kubikrötter 3

a ⋅b = 3 a ⋅ 3 b

NIVÅ 1

1116

B P PL M R K

Beräkna utan hjälpmedel. a) 3 8 b) 3 1000 c)

1117

d)

−1

3

Beräkna utan hjälpmedel. a) c)

1118

−27

3

0,027

3

3

5 ⋅ 3 25

b) d)

−64

3 3

3

40 5

Bestäm med digitalt hjälpmedel närmevärden med 4 decimaler. a) c)

3

15

b)

81 4

d)

3 3

3

3

6 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

100 −11 ⋅ 3 7

3

a ⋅a ⋅a = 3 a ⋅ 3 a ⋅ 3 a = a

3

NIVÅ 2

1119

a 3a = b 3b

B P PL M R K

Vilket tal ska stå i stället för b? a)

3

b)

3

c)

3

d)

3

8 ⋅ 100 =1 b b =2 27 ⋅ 3 27 b =4 −125 ⋅ 3 125 −0,001 ⋅ 100 = 0,5 b

1.2 Tal i potensform Potenser med heltalsexponenter Additionen 4 + 4 + 4 + 4 + 4 kan vi skriva som en produkt: 5 · 4. Även en upprepad multiplikation kan skrivas enklare. Produkten 5 · 5 · 5 skriver vi i stället 53.

Vi beräknar potenser före multiplikation och division, till exempel 5 · 23 = 5 · 8.

Skrivsättet kallas potensform. 53 kallas för en potens och utläses ”5 upphöjt till 3”. 5 är bas och 3 är exponent.

bas

53

potens

exponent

Så här gör vi när vi räknar med potenser: Multiplikation av potenser 45 · 42 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 47 Vi adderar exponenterna.

Division av potenser 54 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 4− 2 = 5 2 = 52 5⋅5 52 5⋅5 1 = = 2 = 5−2 4 5 5⋅5⋅5⋅5 5

2−2 52 = 5 = 50 = 1 2 5

Vi subtraherar exponenterna.

Enligt regeln för division av potenser 52 gäller 4 = 52−4 = 5−2 . Slutsatsen blir 5 1 att 2 = 5−2 .

5 52 = 1 eftersom ett tal dividerat med 52 sig självt blir 1. Slutsaten blir att 50 = 1.

Potens av en potens (52)3 = 52 · 52 · 52 = = 5 2 + 2 + 2 = 52 · 3 = 56

Vi multiplicerar exponenterna.

Potens av en produkt (5 · 2)3 = 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 = = 5 · 5 · 5 · 2 · 2 · 2 = 53 · 23 Potens av en kvot ⎛ 2 ⎞2 2 2 22 ⎜ ⎟ = ⋅ = 2 ⎝3⎠ 3 3 3

Vi upphöjer varje faktor i parentesen.

Vi upphöjer nämnare och täljare var för sig.

1.2 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

7

Räkneregler för potenser

ax · ay = ax+y

Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas exponenterna.

ax = a x − y , (a ≠ 0) Vid division av potenser med samma bas subtraay heras exponenterna.

1 = a− x , (a ≠ 0) En positiv exponent i nämnaren kan skrivas som ax en negativ exponent i täljaren. a0 = 1, (a ≠ 0)

Alla tal utom 0 som upphöjs till 0 blir 1.

(ax)y = axy

Vid potens av en potens multipliceras exponenterna.

(a · b)x = ax · bx

Vid potens av en produkt upphöjs varje faktor för sig.

⎛ a ⎞x a x ⎜ ⎟ = x , (b ≠ 0) Vid potens av en kvot upphöjs nämnare och ⎝b ⎠ b täljare för sig.

KONTROLL

1 Vad kallas 5:an och vad kallas 3:an i potensen 53?

2 Vad blir 30?

3 Hur gör du med exponenterna vid a) multiplikation av potenser med samma bas? b) division av potenser med samma bas? c) en potens av en potens?

EXEMPEL 1

Skriv som en potens med hjälp av räknereglerna. a) 72 · 76 Här har vi multiplikation av två potenser med samma bas och vi adderar då exponenterna.

72 · 76 = 72 + 6 = 78 b)

76 72 Här har vi division mellan två potenser med samma bas och vi subtraherar då exponenterna.

76 = 7 6− 2 = 7 4 72

8 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

NIVÅ 1

1201

B P PL M R K

1202

b) 5x2 – 4x2

Skriv som en potens b) 32 · 33

a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 1203

Skriv som en potens a) 52 · 57

1204

b) a3 · a2

1206

1207

1208

b)

Ofta använder vi regeln ”baklänges”: 43 · 2,53 = (4 · 2,5)3 = 103

⎛ 2 ⎞2 22 ⎜ ⎟ = 2 ⎝3⎠ 3 Även här använder vi ofta regeln ”baklänges”:

4a 2 b) 2a5

a) 50

(4 · 2)3 = 43 · 23

Här har vi en potens av en kvot och vi upphöjer då nämnare och täljare var för sig:

Skriv som en potens 43 43 b) 5 a) 4 4

Förenkla

Här har vi en potens av en produkt och vi upphöjer då varje faktor var för sig.

b) ⎜ ⎟

b) a4 · a

Förenkla 6b 2 a) 3b

a) (4 · 2)3

⎛ 2 ⎞2 ⎝3⎠

Skriv som en potens a) 5 · 52

1205

Förenkla med hjälp av räknereglerna

Skriv som en potens a) 2a3 + a3

EXEMPEL 3

3 103 ⎛ 10 ⎞ = = 43 ⎜ ⎟ 2,53 ⎝ 2,5 ⎠

17 0 x0

1209

Förenkla 32 ⋅ 33 a) 34

b)

5

5 5 ⋅ 54

Förenkla a) 23 · 2-2 · 5-2 · 53

3

b) 52 · 3–1 · 24 · 5–1 · 2–2 · 32

EXEMPEL 2

Förenkla 52 · 34 · 5–1 · 3–2 med hjälp av räknereglerna och svara i potensform.

Vi beräknar varje bas för sig: 2

4

–1

–2

2–1

5 ·3 ·5 ·3 =5

4–2

·3

1210

Beräkna a) (1,5 · 2)2

1211 2

=5·3

1212

Beräkna ⎛ 1 ⎞2 a) ⎜ ⎟ ⎝4⎠ Beräkna ⎛ 3 ⎞2 a) ⎜ ⎟ ⎝4⎠

b) 28 · 0,58

b)

2 2 2 · · 3 3 3

b)

63 1,53

1.2 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

9

1213

1214

Skriv som en potens 332 x 20 b) 20 a) 2 3 y Skriv som en potens a) (53)2

1215

b) (53)–2

Förenkla a) (5x)

1216

Förenkla

2

b) (2 · y)

Förenkla 3

a) 4 + 4 NIVÅ 2

1217

1219

b)

Förenkla (5 x )3 a) 5x

b)

2(3a 2 )2 4ab 2 3

a) (3xy2z3)3

b) (–3x)2 · (–2x)3

1227

Bestäm x om

(n ) ⋅ (n ) n9

b) 34x = 81

1228

Förenkla och skriv som en potens 1 1 av 24 b) av 2–4 a) 4 4

1229

Förenkla ⎛ 1 ⎞–1 a) ⎜ ⎟ + 5–1 ⎝3⎠

1231

–2

⎛1 ⎞ b) ⎜ ⎟ · 9–1 ⎝3⎠

Förenkla a) (23)4

2 2

52 ⋅ 4 2 b) 2 −2 2 ⋅5

Skriv som en potens b) (y–3)–2

Förklara hur du resonerar när du beräknar x −1 . x −3 B P PL M R K

Förenkla

1223

1226

1230

B P PL M R K

1222

b) –x3 · ( – x)–3

b) 23

Beräkna 4

4

⎛ 1 ⎞−1 ⎜ ⎟ ⎝2⎠

Förenkla och svara i potensform

a) (x3)–2x

1221

a) –x3 · x–3

Förenkla

23 ⋅ 5−2 a) −1 −1 2 ⋅5 1220

1225

a) 2x = 8

B P PL M R K

a) (2y · x2)3 1218

(n – 3)(n – 3)2(n – 3)–3

3

6 b) 3 2 3 −3

2

1224

⎛ 2 ⎞⎟–2 b) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 1 ⎞−2 a) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝4⎠ –1

–2

a) 4 + 3 · 2

⎛ 1 ⎞2 ⎛ 9 ⎞–1 b) 3–2 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝7 ⎠

10 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

B P PL M R K

1232

Försök att förklara för dina kamrater hur det kan komma sig att a0 alltid är lika med 1, (a ≠ 0).

EXEMPEL 4

Vilket värde har k om 22 = 4k ?

22 = (22)k Vi skriver om 4 som 22 så att vi får

samma bas på båda sidor om likhetstecknet.

22 = 22k 2 = 2k k=1

Vi förenklar med hjälp av räknereglerna och jämför exponenterna.

NIVÅ 3

1233

B P PL M R K

1234

Anta att ett klots radie fördubblas. Hur mycket ökar då klotets a) area

Vilket värde har k? a) 620 = 36k

1236

b) 92 ·3–3 = 90,5n

1241

Vilket värde har n? a) 83 = 4n

1235

b) 25 = 23 · 4n

Ett klot har mantelarean 4πr 2 och volymen 4π r 3 .

3

Vilket värde har n? a) 3n · 3–5 = 34

B P PL M R K

Beräkna utan räknare a) (4x)3 · 2,53

b) volym?

b) 85 = 25 · 4k b)

1242 3

3

(2 x ) ⋅ (2,5 x ) 5x 6

1237

a) Skriv som en potens med basen 6 60 3 ⋅ (−2)2 + 3 ⋅ 23 b) Skriv som en potens med basen 3 32⋅ ⋅ 22 − 2 ⋅ (−2)5 − 19 3

1238

Bestäm n så att

Begreppet halveringstid är den tid det tar för ett material att minska till hälften.

Ett visst radioaktivt material har en halveringstid på cirka 6 minuter. Hur lång tid tar det för materialet att minska till ungefär 1 tusendel av den ursprungliga mängden?

a) 5n = 510 + 510 + 510 + 510 + 510 16n b) 10 10 10 10 = 45 4 +4 +4 +4 B P PL M R K

1239

Vilket tal a) ligger mitt emellan 22 och 24? b) är störst av 315 och 96? Lös uppgiften utan räknare.

1240

Om 8 x =

1 , vad blir då 2–3x?

2

1.2 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

11

Grundpotensform

Avståndet till solen är ungefär 149 600 000 000 m.

Radien av en väteatom är ungefär 0,000 000 000 025 m.

Ljusets hastighet är ungefär 299 800 000 m/s.

Massan av en proton är ungefär 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 673 kg.

Det är svårt att hålla reda på alla nollor, både i stora och små tal. Därför skrivs stora och små tal lättast med hjälp av 10-potenser och helst i grundpotensform. Grundpotensform innebär att faktorn framför tiopotensen är ett tal mellan 1 och 10 och att exponenten är ett heltal.

Grundpotensform

Stora och små tal skrivs lättast med hjälp av 10-potenser i grundpotensform.

Grundpotensform:

12 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

a · 10n 1 ≤ a < 10 och n är ett heltal.

KONTROLL

1 Varför skriver vi tal i grundpotensform?

2 Mellan vilka värden ska faktorn före tiopotensen ligga då ett tal är angivet i grundpotensform?

EXEMPEL 1

Skriv i grundpotensform. a) Avståndet till solen som är ungefär 149 600 000 000 m.

Vi skriver ett stort tal som en tiopotens med positiv exponent. Vi tänker oss att det finns ett kommatecken efter den sista nollan. Vi flyttar kommat 11 steg åt vänster. Potensen blir 1011.

149 600 000 000 m = 1,496 · 1011 m b) Radien av en väteatom som är ungefär 0,000 000 000 025 m.

Vi skriver ett litet tal som en tiopotens med negativ exponent. Vi ”flyttar kommat 11 steg” åt höger. Potensen blir 10–11.

0,000 000 000 025 m = 2,5 · 10–11 m

NIVÅ 1

1243

1244

B P PL M R K

Skriv i grundpotensform.

Beräkna och svara i grundpotensform.

a) 125

a) 12 · 102 · 2 · 103 · 5 · 10

b) 4 000

Skriv i grundpotensform. a) 0,25

1245

b) 0,004

Skriv i grundpotensform. a) 78 000

1246

EXEMPEL 2

Vi multiplicerar koefficienterna för sig och tiopotenserna för sig.

12 · 102 · 2 · 103 · 5 · 10 = 12 · 2 · 5 · 102+3+1 = = 120 · 106 = 1,2 · 108 b) 12,5 · 103 – 5,0 · 102

b) 0,000 000 157

Här har vi subtraktion av potenser.

Skriv i grundpotensform.

12,5 · 103 – 5,0 · 102 = 12 500 – 500 = = 1,2 · 104

a) 750 miljarder b) 9 tusendelar 1247

Skriv utan tiopotens a) 2,3 · 109

b) 0,72 · 10–6

1.2 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

13

NIVÅ 1

B P PL M R K

Beräkna och svara i grundpotensform.

1248

a) 8 · 102 · 9 · 105

1249

a) 7 · 102 + 7 · 103 b) 3 · 104 − 5 · 103

1250

3 · 104 · 2 · 105 · 5 · 103

1251

2 ⋅ 103 ⋅ 5 ⋅ 106 ⋅ 3 ⋅ 10−4 4 ⋅ 105 ⋅ 5 ⋅ 10−3

1252

a) 80 000 · 0,05

1254

1257

b) (4 · 105)2

b)

Wilhelm får 2 kr när han fyller 1 år. När han fyller 2 får han 22 kr, och när han fyller 3 år får han 23 kr, och så vidare.

Hur mycket har Wilhelm fått totalt när han fyller 10 år?

NIVÅ 3

1258

80 000 0,05

NIVÅ 2

1253

B P PL M R K

B P PL M R K

Anta att en svensk i genomsnitt äter 1,5 kg mat om dagen. Hur mycket äter då Sveriges befolkning på ett år om den sammanlagda folkmängden är 9,5 miljoner?

Svara i grundpotensform.

Skriv med tiopotenser talet 243,5 som en summa av hundratal, tiotal, ental och tiondelar.

B P PL M R K

1255

Avståndet till solen är ungefär 1,496 · 1011 m. Ljusets hastighet är 2,998 · 108 m/s. Hur lång tid tar det för ljuset från solen att nå jorden? Svara i grundpotensform.

1256

Hur långt hinner ljuset på ett år, det vill säga hur långt är ett ljusår? Svara i grundpotensform.

14 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

B P PL M R K

Välj heltalen a, b, c och d så att uttrycket a · 10b + c · 10–d får värdet a) 5 100

b) 0,0024

1259

Ange i grundpotensform det tal som ligger mitt emellan 1,0 · 103 och 1,0 · 105.

1260

Vilket är det minsta heltal, n, som uppfyller olikheten 4 · 102 · 3 · 10n > 6 · 104

De vanligaste prefixen.

Tiopotens Prefix 1012

T

Namn tera

109

G

giga

106

M

mega

103

k

kilo

2

10

h

hekto

10–1

d

deci

10–2

c

centi

10–3

m

milli

10–6

µ

mikro

10–9

n

nano

10–12

p

piko

Prefix Stora och små tal kan skrivas med tiopotenser. Ett annat alternativ är att använda prefix.

EXEMPEL 1

Skriv med lämpligt prefix a) 0,02 liter = 2 · 10–2 liter = 2 cl EXEMPEL 2

Skriv i meter som tiopotens a) 5,4 Mm = 5,4 · 106 m

NIVÅ 1

1261

b) 700 gram = 7 hg

B P PL M R K

Skriv med lämpligt prefix a) 3 000 m

b) 250 g

c) 0,000 007 m

d) 0,012 m

NIVÅ 2

b) 2,3 µm = 2,3 · 10–6 m

B P PL M R K

1266

En atom av ett visst grundämne har diametern 0,1 nm. Hur många atomer får plats på 1 cm om man lägger atomer av grundämnet i en lång rad?

1267

Energiförbrukningen i en region beräknas till 11 TWh.

1262

En mätkolv har volymen 50 · 10–3 liter.

Skriv volymen med lämpligt prefix.

1263

Med ett elektronmikroskop går det att se så små föremål som en atom.

a) Skriv förbrukningen i grundpotensform.

En väteatom har en diameter på ungefär 50 pm. Skriv diametern i grundpotensform.

b) Hur stor blir energiförbrukningen per person om det i området bor 25 miljoner människor? Svara med lämpligt prefix.

1264

Hur mycket surf har du på din mobil?

Skriv i grundpotensform: a) 250 MB

1265

b) 15 GB

Med en mikrometerskruv kan man mäta föremål som är tunna som ett hårstrå.

Ett hårstrå har tjockleken 0,02 mm. Skriv detta mått med ett mindre prefix.

NIVÅ 3

1268

B P PL M R K

När ett bi sticker utsöndrar det cirka 1µg av en kemisk substans. Hur många gram av substansen utsöndras totalt om andelen människor som blir stungna i Sverige är en på tusen? Anta att den sammanlagda befolkningen är cirka 9,5 miljoner. Svara med lämpligt prefix.

1.2 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

15

Exponenter som inte är heltal För alla tal a är a1 = a. Minns också räknereglerna för kvadrat- och kubikrötter: För ett tal a som är noll eller större gäller a ⋅ a =a

3

och

a ⋅ 3 a ⋅ 3 a =a

Detta och räknereglerna för potenser gör det möjligt att skriva rotuttryck i potensform.

För ett tal a som är noll eller större gäller 1

och

a = a2

3

1

a = a3

Räknereglerna för rottal och potenser stämmer överens.

1

1

1 1 + 2

a ⋅ a = a2 ⋅a2 = a2

2

= a 2 = a1 = a

och 3

1

1

1

1 1 1 + + 3 3

a ⋅ 3 a ⋅ 3 a = a3 ⋅a3 ⋅a3 = a3

3

= a 3 = a1 = a

Även de övriga räknereglerna för potenser fungerar och med hjälp av dem kan vi komma fram till andra exponenter som inte är heltal.

EXEMPEL 1

a)

3

1

8 = 83 = 2 5

( ) = 3 = 243 = − (125 ) = −5

1

⋅5

1 5

b) 9 2 = 9 2 = 9 2 1

c) −125 3

1

1

1 1 + 3

2 ⋅ 2 = 83 ⋅ 83 = 83

och

2

= 83 = 4

5

1 3

Observera att potensens bas är positiv i c). En exponent ”binder starkare” än ett minustecken.

Exponenten i en potens kan vara vilket rationellt tal, bråktal, som helst. Men om exponenten inte är heltal, måste basen i potensen vara noll eller större. Om basen är noll, får exponenten inte vara negativ.

1

( ) =a 1 n

Om n och m är heltal, är a n ett tal sådant att a n och a

16 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

m n

= (a )

1 m n

EXEMPEL 2

a)

(7 ) = 7 1 4 4

2

2

1

b) 0,0013 = (10−3 ) 3 = (10−3 ) 3 =10 c) 16

−

1 4

1

=

16

1 4

=

1 (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2)

1 4

⋅2

=

1 −3⋅ ⋅2 3

=10−2 = 0,01

1 2 3

Med GeoGebra beräknar du ett närmevärde för 1000 5 så här: Välj önskat antal decimaler under Inställningar. Välj Visa-CAS. Klicka på verktyget ≈. Skriv i CAS-fönstret: 1000^(3/5).

(Glöm inte parentesen.)

Tryck ENTER.

1 = a 3 3 a· a

2 – 3

1.2 K VADR ATRÖT TER OCH KUBIKRÖT TER

17

NIVÅ 1

B P PL M R K

Bestäm och skriv om på enklaste form, utan att använda digitala verktyg. a) 25 2

b) 27 3 1 d) 1 83

1

c) 814 1270

a) 1000 c)

2 3

b) 900

3 2

1 4

c) 25

3 2

1277

b) 0,01 d) 900

−

1 2

5 ⋅81 − 9 2 2 3

125 ⋅ 27 300

b) 8000 −

−

2 3

2 3

Två olika tal kan stå i stället för x, vilka?

1

Bestäm med digitalt verktyg närmevärden med 5 gällande siffror.

2

b) −1000 7

c) 5 ⋅ 0,95

1 4

(

1 3

d) 30 + 40

18 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

5 2

1 3

2 3

4 7

1 3 −2 4

)

–

2 3

–5 +3

Hur många olika tal kan stå i stället för x?

Vilka är dessa tal? Bestäm utan hjälpmedel. a) ( x + 5)3 = 4 b)

( x − 3)2 = 64 3

1

11

3 +1,5 1278

3 2

a) 7 3

2

5 +3 6

Bestäm utan hjälpmedel.

c) 0,04

1 2

3 2

Beräkna med digitalt verktyg närmevärde med tre decimaler.

35 7 – 2 3

B P PL M R K

3

1275

1 2

2

1 − 2

a) 49 2

1274

2

c)

2

3 2

1 2

1 3

216 3 –11 d) 625

NIVÅ 2

1273

25 − 64

b)

1 2

d) 216 3

2 − 3 −

1 2

125 3

b) 9 2

5

a) 8

Beräkna utan digitala verktyg.

3

a) 32 5

27 3 c) 27 1272

B P PL M R K

a)

9 25

d)

2

1271

1276

1

1

1269

NIVÅ 3

−

3 2

625 = 256 (2 − x )4

PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG

PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG Programmering: Jämförelser I ett kalkylprogram kan du göra jämförelser mellan tal, till exempel för att kunna ge respons på något. Öppna ett nytt kalkylblad och skriv in talen nedan i cellerna A1 till B4.

9

5

3

2

7

8

4

4

Med OM-kommandot kan vi göra jämförelser mellan talen i A-kolumnen och talen i B-kolumnen.

I koden

Utläses som

>

Större än

<

Mindre än

=

Lika

>=

Större än eller lika

<=

Mindre än eller lika

<>

Olika

Skriv =OM(A1>B1; A större ; B större ) i cellen C1. Markera därefter C1 och dra ut markeringen till och med cell C4. Är responsen du får i C-kolumnen riktig?

Du ser att det inte stämmer för det sista fallet, där talen är lika. Det beror på hur programmet tolkar OM-kommandot: Är A > B? Om ja, skriv ”större”, annars skriv ”mindre”. Det betyder att en likhet kommer att ge responsen ”mindre”.

För att lösa problemet måste vi göra ytterligare en jämförelse.

Vi börjar med att undersöka om A = B. Vi skriver om kommandot i cell C1 till =OM(A=B; lika ; olika ). Vi markerar cellen och drar nedåt till och med cell C4. Vad blir resultatet?

Nu kombinerar vi de två OM-satserna. I stället för ”olika” skriver vi in vår tidigare kommandorad. I cell C1 ska det alltså stå

=OM(A1=B1; Lika ;OM(A1>B1; A större ; B större ))

Vi markerar cell C1 och drar ut markeringen till och med cell C4.

K APITEL 1 . PROGR 1. 2 K AMMERING VADR ATRÖTOCH TER DIGITAL OCH KUBIKRÖT A VERK T TER YG

19

PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG

Vi ändrar talen i A1–A4 och B1–B4 och undersöker om responsfunktionen fungerar.

Relativa referenser och absoluta referenser

När vi skriver en formel i kalkylprogrammet, till exempel med OM-kommandot, har vi hittills använt relativa referenser. Det betyder att när vi markerar en cell med en formel och drar ut markeringen kommer formeln att ändras.

Markera cell C1 i jämförelseexemplet ovan. Du ser i formelraden att raden börjar med OM(A1=B1;… Markera cell C2. I formelraden står OM(A2=B2;…. När du fyller nedåt från en markerad cell kommer formeln att ändras så att de värden som används alltid hämtas från celler på samma rad som formeln står.

I kalkylprogrammet kan du också använda fasta, eller absoluta referenser, det vill säga värdet från en bestämd cell oavsett vilken rad en formel står på.

Mata in talen från tabellen ovan i cellerna A1–A4 och B1–B4.

Markera cell D1 och skriv =OM($A$1>B1; Större ; Mindre ). Markera cell D1 och dra ut markeringen till och med cell D4. Vad blir resultatet?

Här är $A$1 en absolut referens och B1 en relativ referens. Det innebär att talen i B1–B4 kommer att jämföras med talet i A1, och eftersom A1 innehåller värdet 9, som är större än vart och ett av talen i B1–B4, kommer responsen alltid att bli ”Större”.

20 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG

UPPGIFTER

Öppna ett nytt kalkylblad och mata in 10 tal i cellerna A1-A10 och 10 tal i cellerna B1–B10.

1. Gör en jämförelse i C-kolumnen mellan talen A1 och B1, A2 och B2

och så vidare. Responsen ska vara ”Större” eller ”Mindre eller lika”.

2. Gör en jämförelse i D-kolumnen mellan talet A1 (fast referens) och

talen B1–B10. Responsen ska vara ”Större” eller ”Mindre eller lika”.

3. Gör en jämförelse i E-kolumnen mellan talen A1 och B1, A2 och B2

och så vidare. Responsen ska vara ”Större eller lika” eller ”Mindre”

4. Gör en jämförelse i F-kolumnen mellan talen A1 och B1, A2 och B2

och så vidare. Responsen ska vara ”Lika” eller ”Olika”.

K APITEL 1 . PROGR AMMERING OCH DIGITAL A VERK T YG

21

1.3 Uttryck

250 KR

84 KR

5 KR

Numeriska uttryck är beräkningar som bara innehåller siffertermer.

Elsa köper 3 kastruller för 250 kr styck, 2 skålar för 84 kr styck och en papperskasse för 5 kr. Den totala kostnaden i kronor kan skrivas med ett numeriskt uttryck: 250 · 3 + 84 · 2 + 5 Algebraiska uttryck är uttryck som innehåller minst en bokstav.

Om Elsa i stället köper x stycken kastruller, y stycken skålar och en papperskasse för 5 kr kan totalkostnaden skrivas: 250x + 84y + 5 Vi skriver vanligen inte ut multiplikationstecknen i variabeltermerna.

I det algebraiska uttrycket är x och y variabler. Här betyder det att x och y kan anta olika värden. 250x och 84y är variabeltermer där talen före bokstäverna kallas koefficienter. 5 är en konstantterm.

Uttryckets värde

Om x = 8 och y = 5 kan vi beräkna värdet av uttrycket ovan genom att ersätta x och y med de givna talen: 250 · 8 + 84 · 5 + 5 = 2 425 Kostnaden för 8 kastruller, 5 skålar och en plastkasse är 2 425 kr.

KONTROLL

Ange koefficienter, variabler, variabeltermer och konstantterm för uttrycken a) 12x – 6y + 27 b) 151 – a – 8b

22 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

Algebraiska uttryck Koefficienter

Variabler

18 x − 5 y + 15

Konstantterm

Variabeltermer

Uttryckets värde beräknas genom att man ersätter variablerna med siffror.

EXEMPEL 1

I en vintagebutik kostar filmer på blu-ray x kr/st och filmer på DVD y kr/st. Tolka följande algebraiska uttryck. a) 2x + 3y Uttrycket beskriver den sammanlagda kostnaden för 2 filmer på blu-ray och 3 filmer på DVD. b) x – y Uttrycket beskriver prisskillnaden mellan en film på blu-ray och en på DVD. Om subtraktionen blir negativ kostar en DVD mer än en blu-ray. c) 500/x Uttrycket beskriver antalet filmer på blu-ray som man kan köpa för 500 kr.

EXEMPEL 2

Beräkna värdet av uttrycket 12s – 3t då s = 7 och t = 5.

12 · 7 – 3 · 5 = 84 – 15 = 69

EXEMPEL 3

Teckna ett uttryck för figurens a) omkrets 3x + 3x + x + x = 8x b) area

x 3x

3x · x = 3x2

1.3 UT TRYCK

23

NIVÅ 1

1301

1302

B P PL M R K

Ange vad som är koefficienter, variabler, variabeltermer och konstanttermer i uttrycken. a) 12x + 4y + 8

b) 2a + 5b

c) 19s – 11t – 7

d) 50/x + y

Beräkna värdet av uttrycken i uppgift 2101 då a = 10, b = 5 x = 2, y = 8 s = 7, t = 3

1303

1306

2y

2x

3y EXEMPEL 4

Du ska köra 50 mil. Teckna ett uttryck för den totala bensinkostnaden, om bensinen kostar a kr/l och bilen förbrukar b l/mil. kr l 50 mil ⋅ b ⋅a = 50ba kr = 50ab kr mil l

NIVÅ 2

b) 12 mindre än a c) 4 gånger värdet av x

B P PL M R K

Assar får 800 kronor i grundlön för att sälja tidningsprenumerationer. Grundlönen ges oavsett antalet sålda prenumerationer. a) Teckna ett utttryck för hur mycket han tjänar totalt om han säljer n st prenumerationer och tjänar 35 kr/st. b) Beräkna värdet av uttrycket då n = 20. Årskostnaden i kronor för att hyra film från ”Fantasy online” beskrivs med uttrycket 8x + 300, där x är antalet hyrda filmer. a) Tolka konstanttermen 300 i ord. b) Beräkna och tolka uttrycket 8 · 45 + 300 i ord.

24 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

B P PL M R K

1307

En trälist kostar a kr/m. Teckna ett uttryck för hur mycket det kostar att köpa b m trälist.

1308

Att anlita en hantverkare kostar 650 kr i ”startavgift” och sedan x kr/h.

d) 3 mer än 6 gånger värdet av z

1305

x

Teckna ett uttryck med betydelsen a) 6 mer än y

1304

Ge ett uttryck för det färgade områdets area.

a) Teckna ett uttryck för hur mycket det kostar att anlita en hantverkare i två och en halv timme. b) Hur ser uttrycket ut när man har kompenserat för att 3/10 av kostnaden för arbetet får dras av som minskad skatt?

Svara i enklaste form.

1309

Bestäm ett uttryck för figurens a) omkrets

y

1,5x

x

b) area.

B P PL M R K

1310

y

Lösgodis kostar s kr/hg i butik A och t kr/hg i butik B. Hildur köper x hg i butik A och Vanja x hg i butik B. Tolka följande uttryck. a) tx + sx b) tx – sx tx + sx c) 2 d) ”Värdet av det algebraiska uttrycket tx – sx är – 3 kr”

x x

Förenkling av uttryck Vi kan bara addera och subtrahera likformiga termer. Till exempel så har x, y, x2, y3 och xy inte samma betydelse och kan därför inte adderas eller subtraheras.

3x + xy + 2y +3x – 5y – yx = = 3x + 3x + 2y – 5y + xy – yx =

Vi samlar likformiga termer intill varandra för att lättare kunna addera och subtrahera dem.

= 6x – 3y

Vi har förenklat uttrycket.

Observera att xy = yx. Man brukar skriva variabler i bokstavsordning.

KONTROLL

Förenkla uttrycken a) 2x + 2x – x2 b) 12a + 3b – 7a – 3b + ab Uttryck med parenteser

I uttrycket 2x + (3 – x) ska hela parentesen adderas till 2x. När parentesen tas bort får vi: Som tidigare ger lika tecken efter varandra ett positivt resultat och olika tecken efter varandra ett negativt resultat.

2x + (3 – x) = 2x + (+3) + (–x) = 2x + 3 – x = x + 3 I uttrycket 2x – (3 – x) ska vi istället subtrahera hela parentesen från 2x.

När parentesen tas bort får vi: 2x – (3 – x) = 2x – (+3) – (– x) = 2x – 3 + x = 3x – 3

1.3 UT TRYCK

25

Regler vid förenkling

EXEMPEL 1

3y2 + 2yx + y2 – xy = 4y2 + xy

Likformiga termer adderas / subtraheras.

2x + (y – x) = 2x + y – x = x + y

Vid addition ändras inga tecken i parentesen då den tas bort.

2x – (y – x) = 2x – y + x = 3x – y

Vid subtraktion ändras alla tecken i parentesen då den tas bort.

Förenkla uttrycket 11ba – 8 – (4 – 3ab).

11ba – 8 – (4 – 3ab) = 11ab – 8 – 4 + 3ab = 14ab – 12

EXEMPEL 2

Förenkla uttrycket –4x + 7 + (4y – x) + 3 – (x – 2y + 8) och beräkna sedan värdet då x = 3 och y = 4.

–4x + 7 + (4y – x) + 3 – (x – 2y + 8) = = –4x + 7 + 4y – x + 3 – x + 2y – 8 = 6y – 6x + 2 Uttryckets värde då x = 3 och y = 4 är 6 · 4 – 6 · 3 + 2 = 24 – 18 + 2 = 8

EXEMPEL 3

Albin tjänar dubbelt så mycket som Lea så när som på 1 200 kr.

Astrid tjänar 700 kr mer än Albin. Om vi vill visa hur deras genomsnittslön ser ut kan vi göra det med ett algebraiskt uttryck. ”Så när som på 1 200” betyder ”det fattas 1 200”.

Anta att Lea tjänar x kr.

Albin (2x – 1 200) kr.

Astrid (2x – 1 200 + 700) kr = (2x – 500) kr.

Uttrycket för genomsnittslönen blir då: x + (2 x − 1 200) + (2 x − 500) x + 2 x − 1 200 + 2 x − 500 5 x − 1700 = = 3 3 3 Om Leas lön är 16 540 kr blir värdet av uttrycket: 5 ⋅ 16 540 − 1 700 82 700 − 1 700 = = 27 000 3 3 Tolkningen av detta är att om Lea tjänar 16 540 kr är genomsnittslönen för de tre personerna 27 000 kr.

26 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

NIVÅ 1

1311

B P PL M R K

1316

a) summan av figurernas omkrets

Förenkla uttrycken

b) skillnaden mellan fyrhörningens och triangelns omkrets.

a) 2x + 3 + x b) 1,5y – 2,5 – 0,2y

2x – 3

c) 3x – 0,6y – 3x + 1,4y

y+1

d) 0,5s + 1,6t – 0,6s – 1,7t 1312

Skriv ett uttryck för

x

y+2

y+3

Förenkla uttrycken

B P PL M R K

a) 5x + 3 – (2x – 3) b) 3a + (b – 2a) – 5 + b

1317

c) 3s – 3 – (7s – 8t) + 8 + 3t d) 4xy – 3y + (3yx + 2y) – 4 1313

Pear j-phone 8 s, pris a kr

Förenkla uttrycken b) 17 + (3ab – b) – (3a – 6ba) – 33 + + (b – 4a) Förenkla uttrycket och beräkna sedan värdet då s = 8 och t = 15.

55s – 12t – (48s – t – 8) – 27 + + (4t – 5 + 21)

NIVÅ 2

1315

Tolka uttrycken

MOBILTELEFONER

a) 5xy – (2x – y) + 8 + (5y + 3xy) + 3x – 5

1314

2y – 3

x+2

B P PL M R K

Dony Excitera 18, pris (a + 300) kr Damsung Universe 8 t, pris (2a – 700) kr Delbetalas på 24 månader utan avgift

a) 2 · (a + 300) b) a + (2a – 700) c) (2a – 700) – (a + 300) (a + 300) + (2a − 700) d) 24

Ett åkband för vuxna till Blåalund kostar 8 kr mer än två åkband för barn under 12 år. Tonåringars åkband är 30 kr billigare än vuxnas åkband. a) Skriv ett algebraiskt uttryck för hur mycket det kostar att köpa åkband till en vuxen, ett barn under 12 år och en tonåring. b) Beräkna värdet av uttrycket då ett barns åkband kostar 80 kr. c) Skriv ett uttryck för den genomsnittliga kostnaden per person för köpet i uppgift a).

1.3 UT TRYCK

27

Multiplikation med parenteser

Vi multiplicerar en faktor före en parentes med varje term i parentesen och summerar efteråt.

9 · (5 + 2) = 9 · 5 + 9 · 2 = 45 + 18 = 63 Vi skriver ett generellt uttryck genom att använda a, b och c i stället för siffror: a(b + c) = (b + c)a = ab + ac Utför multiplikationen utan att förenkla parentesen.

KONTROLL

a) 5 · (3 + 4) b) 6 · (14 – 8) När vi ska förenkla ett uttryck med två parenteser efter varandra multipliceras varje term i den ena parentesen med varje term i den andra parentesen. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a+b ad

bd

d

ac

bc

c

a

b

Vi kan förstå regeln med hjälp av en areaberäkning. Arean av hela rektangeln är lika stor som summan av de fyra delarna.

Vi kan också visa att regeln gäller med hjälp av ett numeriskt exempel:

c+d

(12 – 3)(5 + 2) = 12 · 5 + 12 · 2 – 3 · 5 – 3 · 2 = 60 + 24 – 15 – 6 = 63 Om vi utför samma beräkning men först förenklar parenteserna får vi: (12 – 3)(5 + 2) = 9 · 7 = 63 Resultaten är lika.

Regler vid parentesmultiplikation

EXEMPEL 4

a(b + c) = (b + c)a = ab + ac

En faktor multipliceras med varje term i en parentes.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Varje term i en parentes multipliceras med varje term i den andra parentesen.

Multiplicera in faktorerna i parenteserna. a) 3(5 – 4x) 3(5 – 4x) = 15 – 12x

28 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

b) (7a + 9b)5 (7a + 9b)5 = 35a + 45b

EXEMPEL 5

Förenkla uttrycken a) 6(2x – 3) – 5(4 – 5x) b) 6 – (3x + 2y) + (5y – 9)7 – 3(12 – 7x) – 3 c) (2x – 3)(3 – y) – (5 – 2yx) –5 · (–5x) = 25x

a) 6(2x – 3) – 5(4 – 5x) = 12x – 18 – 20 + 25x = 37x – 38 b) 6 – (3x + 2y) + (5y – 9)7 – 3(12 – 7x) – 3 = = 6 – 3x – 2y +35y – 63 – 36 + 21x –3 = 18x + 33y – 96 c) (2x – 3)(3 – y) – (5 – 2yx) = 6x – 2xy – 9 + 3y – 5 + 2xy = = 6x + 3y – 14

NIVÅ 1

1318

1319

B P PL M R K

Förenkla uttrycken

B P PL M R K

1320

a) 7(4x + 5)

b) (2a + 3b)6

c) 5(3x – 8)

d) –3(4s – 5t)

Multiplicera in faktorerna i parenteserna och förenkla a) 12(x + 2y) – 4(3x – 6y) b) 5a – (7 – 3b) + 3(2a + 3) – 2b c) 3(t – 4s + 2) – 7(3s – 14t) + 18

En motorcykel förbrukar x l bensin per mil. En bil förbrukar 3 gånger så mycket så när som på 0,2 l. En buss förbrukar dubbelt så mycket som en bil. a) Skriv ett uttryck för hur mycket 1 motorcykel, 2 bilar och 3 bussar förbrukar tillsammans. Förenkla sedan uttrycket. b) Beräkna och tolka uttrycket då x = 0,3.

d) 5x – 17(3y – 2x) + 12 + (21 – 6y)4 – 7

1.3 UT TRYCK

29

B P PL M R K

1321

1324

Regeln kan användas för att multiplicera större tal med huvudräkning. Till exempel är 26 · 24 = (25 + 1)(25 – 1) = 252 – 12 = = 624. Använd metoden för att med huvudräkning beräkna

Vanessa är a år gammal. Hon har tre kompisar som är trillingar och är två år äldre än hon och en storebror som är 7 år äldre än trillingarna. a) Tolka uttrycket a + 3(a + 2) b) Tolka uttrycket (a + 9) – a c) Skriv ett uttryck för den genomsnittliga åldern för de 5 personerna. Om man känner värdet på a ska man kunna utläsa personernas åldrar i uttrycket.

1325

1322

B P PL M R K

1326

b) (2x + 5)(3 – 4y) NIVÅ 3

1327 B P PL M R K

1323

Suheyla ska förenkla uttrycket 17(x – y) – 16(x – y) och beräkna dess värde då x = 22 och y = 19. Suheyla inser snabbt, utan att göra några förenklingar och beräkningar, att uttrycket blir mycket enkelt och att uttryckets värde blir 3.

Förklara hur hon löste detta med huvudräkning.

30 K APITEL 1 . ARITMETIK OCH ALGEBR A

c) 37 · 43

d) 20,7 · 19,3

Förenkla uttrycken

B P PL M R K

a) (x – 2)(y + 4)

d) 3t – (2s + 11)(5 – 3t) – (5 – 29t)

b) 28 · 32

b) (a – b)(a + b)(a + b)

Förenkla uttrycken

c) 16 + (3a – 7)(b – 9) + 7b

a) 19 · 21

a) (x + y)(x + y)(x + y)

d) Förenkla uttrycket i c) och beräkna och tolka dess värde då Vanessa är 9 år.

NIVÅ 2

Man kan visa att (x + a)(x – a) = x2 – a2.

En uteplats som är x meter bred och y meter lång har en swimmingpool i ena hörnet. Poolen har bredden b och längden h. Skriv ett förenklat uttryck för den area som inte upptas av poolen.

B P PL M R K

Runt en kvadratisk gräsmatta med arean 400 m2 lägger Stefan en smal gång med stenplattor. Plattorna är kvadratiska med sidan x dm. Stefan gör gången 2 plattor bred. a) Skriv ett uttryck för antalet plattor som behövs för att lägga en gång runt hela gräsmattan. b) Skriv ett uttryck för arean av gången.

Faktorisering av uttryck Vi kan multiplicera in en faktor i en parentes: 3(x – 12) = 3x – 36 När vi faktoriserar uttrycket 3x – 36 går vi i motsatt riktning och bryter ut en faktor: 3x – 36 = 3(x – 12) 3 är den största faktor som ingår i båda termerna.

Faktorisering

ab + ac = a(b + c)

Att faktorisera kallas ofta ”att bryta ut”.

Faktorn a ingår i alla termer och kan därför brytas ut.

ab – ac = a(b – c)

EXEMPEL 1

Faktorisera a) 6x + 18y

a) 6x + 18y = 6x + 6 · 3y = 6(x + 3y)

b) 14a2 – 28a + 21

b) 14a2 – 28a + 21 = 7 · 2a2 – 7 · 4a + 7 · 3 = = 7(2a2 – 4a + 3)

c) 12ab – 28ac

c) 12ab – 28ac = 4a · 3b – 4a · 7c = = 4a(3b – 7c)

d) 15x2 – 40x

d) 15x2 – 40x = 5x · 3x – 5x · 8 = 5x(3x – 8)

Du behöver inte redovisa mellanleden.

NIVÅ 1

1328

1329

B P PL M R K

Faktorisera följande uttryck a) 4x + 12

b) 3y + 9

c) 15 – 3a

d) 18t – 27

1330

Faktorisera följande uttryck a) 14xy + 21xz b) 12x2 + 24x – 12 c) 34ab – 17b d) 6t2 + 30t – 18

Faktorisera följande uttryck a) 12x – 15y

b) 9a + 21b

c) 24s – 28t

d) 33x + 55y

1.3 UT TRYCK

31

ISBN 978-91-47-14080-0 © 2021 Andreas Rung, Eva von Heijne, Thomas Rundlöf och Liber AB PROJEKTLEDARE: Suzana Löfman

REDAKTÖR: Jonas Klingberg OMSLAG: Tove Freiij (foto), Lotta Rennéus (form) FORMGIVNING: Nette Lövgren och Cecilia Frank BILDREDAKTÖR: Marie Olsson ILLUSTRATIONER: Björn Magnusson PRODUKTION: Eva Runeberg Påhlman

Första upplagan 1 REPRO: Exakta Print, Malmö TRYCK: Livonia Print, Lettland 2021

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm KUNDSERVICE TFN 08-690 90 00

www.liber.se E-POST kundservice.liber@liber.se

Bildförteckning Omslagsbild: Tove Freij 1

SPL/TT

11

Andreas Kindler/Johnér

12

plainpicture/Johnér

37

plainpicture/Johnér

41

Dirk Bromm/Getty Images

47

Jesper Molin/Scandinav/TT

48, 49 Maskot/Johnér 63 (2) Tomas Oneborg/TT

112

Cultura Creative/Johnér

193

114

Maskot/Johnér

225 (2) Ulf Palm/TT

117

Karl Forsberg/Johnér

229

Jakob Fridholm/Johnér

129

CC-BY-SA Vesihiisi.Wikimedia

233

Izabelle Nordfjell/TT

235

Håkan Hjort/Johnér

136

Christine Olsson/TT

243

Johan Bjurer/TT

141

Fredrik Ludvigsson/Johnér

248

Pontus Orre/TT

153

Jakob Helbig/Getty Images

253

Granger/REX/TT

154

Henrik Trygg/Johnér

261

Rebecca Wallin/Johnér

157

Getty Images

262

Jens Lindström/Johnér

163

Stina Gränfors/Johnér

267

Cultura Creative/Johnér

271

Jeppe Wikström/Johnér

280

Mikael Svensson/Johnér

66

Sebastian Neitzke/Getty Images

91

Westend61/Getty Images

170

Philip Laurell/Johnér

103

Ingela Nyman/Johnér

181

John Birdsall/REX/TT

111

Nora Lorek/TT

184

Neil Hanna/AFP/TT

filo/Getty Images

Övriga foton: Shutterstock.com

BILDFÖRTECKNING

355

Liber Matematik är en läromedelsserie för gymnasiet, helt anpassad till ämnesplanen som gäller från 2021.

Utmärkande för Liber Matematik: • uppgifter kopplade till förmågorna • utförliga lösningsanvisningar i facit • klassrumsaktiviteter, många av dem baserade på GeoGebra och Python Serien innehåller fullständiga och fristående tryckta och digitala läromedel och kommer på sikt att omfatta samtliga matematikkurser på gymnasiets a-, b- och c-spår.

Best.nr 47-14080-0 Tryck.nr 47-14080-0