LIBER
Matematik
2c
LIBER
matematik 2C
ANDREAS RUNG EVA VON HEIJNE
LIBER
ISBN 978-91-47-14078-7 © 2021 Andreas Rung, Eva von Heijne och Liber AB PROJEKTLEDARE: Suzana Löfman
REDAKTÖR: Jonas Klingberg OMSLAG: Tove Freiij (foto), Lotta Rennéus (form) FORMGIVNING: Nette Lövgren och Cecilia Frank BILDREDAKTÖR: Marie Olsson ILLUSTRATIONER: Björn Magnusson PRODUKTION: Eva Runeberg Påhlman
Första upplagan 1 REPRO: Exakta Print, Malmö TRYCK: Livonia Printing, Lettland 2021
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm KUNDSERVICE TFN 08-690 90 00
www.liber.se E-POST kundservice.liber@liber.se
Välkommen till Liber Matematik 2c! HUR ÄR BOKEN UPPLAGD?
PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG
Boken är indelad i 5 kapitel. Vart och ett av dessa börjar med en kort text om syftet med kapitlet. Sedan varvas avsnitt med förklarande text, kontrollfrågor, lösta exempel och uppgifter att lösa.
I varje kapitel finns en eller flera större datorbaserade övningar under rubriken Programmering och digitala verktyg. Övningarna fungerar både som lektionsaktiviteter i grupp och för enskilt arbete. Här tränar du användning av symbolhanterande verktyg, kalkylering och programmering. De program som används är Microsoft Excel, GeoGebra och programmeringsspråket Python 3. Inga förkunskaper krävs.
KONTROLLFRÅGOR OCH EXEMPEL
Genom att svara på Kontrollfrågor kan du testa att du har förstått den förklarande texten. Det är också bra om du studerar lösta Exempel innan du börjar med uppgifterna. Exemplen är konkreta och tar upp det viktigaste i teorin. UPPGIFTER MED FÖRMÅGEMARKERINGAR
Uppgifterna är indelade i tre olika svårighetsgrader. Dessutom är de indelade efter matematisk förmåga. Ett streck över en eller flera uppgifter anger nivån (svårighetsgraden), och små bokstäver till höger på strecket anger vilka förmågor som tränas i uppgiften: NIVÅ 2
B P PL M R K
Syftet med markeringen är att du själv ska ha koll på att du verkligen tränar alla förmågor under kursens gång, och veta på vilken nivå du klarar dem. En bred matematisk förmåga har du nytta av i dina studier, ditt arbete och i vardagen.
SAMMANFATTNING OCH BLANDADE UPPGIFTER
I slutet av kapitlen finns en Sammanfattning som ger dig en tydlig översikt över de viktigaste momenten i kapitlet. Därefter följer Blandade uppgifter från kapitlet, sorterade efter nivå och förmåga. KAPITELTEST MED BEDÖMNINGSMALL
Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest med bedömningsmall. Mallen fyller du själv i. Syftet är att du ska kunna identifiera vad du behöver träna mer på. Bedömningsmallen gör det också lättare för din lärare att få en bild av dina kunskaper. Lycka till med studierna! Författarna och Liber AB
DISKUTERA, RESONERA OCH MODELLERA
I boken finns större problemlösningsuppgifter, som kallas Diskutera, resonera och modellera. Du kan lösa dessa uppgifter på egen hand, men de är också lämpliga att diskutera med någon annan.
III
P – PROCEDUR
FÖRMÅGOR
Förmåga att hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.
EXEMPEL
Ekvationen 6x = 36 har lösningen x = 6.
Grundläggande procedurförmåga visar du till exempel genom att lösa en ekvation eller förenkla ett uttryck.
B – BEGREPP
Förmåga att använda och beskriva matematiska begrepp och samband mellan begrepp. EXEMPEL
Viktiga begrepp är funktion, ekvation, uttryck och variabel. Att förstå dessa begrepp och att kunna använda dem korrekt räknas som begreppsförmåga.
FÖRMÅGOR När du arbetar med Matematik 2c kommer du att träna olika matematiska förmågor.
K – KOMMUNIK ATION
Förmåga att kommunicera matematik muntligt, skriftligt och i handling. EXEMPEL
Kommunikation handlar om det matematiska språket. Om du använder korrekta begrepp och symboler kan andra förstå hur du tänker. Det kan till exempel vara att skriva ”6x = 36 som har lösningen x = 6”, i stället för att inkorrekt skriva ”6x = 36 = 6”.
IV
MATEMATIK 2C
PL – PROBLEMLÖSNING
Förmåga att analysera och lösa problem med hjälp av matematik. EXEMPEL
”I en förening med 24 medlemmar är 1/6 män. Hur många i gruppen är inte män?” Vid problemlösning ska du tolka ett problem och översätta det till matematiska symboler och uttryck. Sedan behöver du en strategi för att lösa problemet. I exemplet är målet att komma fram till att 5/6 inte är män och att det motsvarar 20 personer.
M – MODELLERING
Förmåga att tillämpa, formulera och utvärdera matematiska modeller. EXEMPEL
”Du köper x äpplen för 5 kr/st och y bananer för 7 kr/st. Ställ upp en formel för den totala kostnaden.”
R – RESONEMANG
Modellering går ut på att översätta mellan verklighet och modell. Här handlar det om att kunna formulera sambandet 5x + 7y = total kostnad. Du ska sen kunna använda sambandet för att räkna ut kostnaden för till exempel 8 bananer och 10 äpplen.
Förmåga att föra och följa matematiska resonemang. EXEMPEL
”Förklara vad det innebär att en rät linje har riktningskoefficienten –2”. Resonemangsförmåga visar du när du diskuterar matematik. Målet är här att beskriva, muntligt eller skriftligt, hur riktningskoefficienten påverkar linjens lutning.
FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR
V
Kapitel 1
1.1 Repetition av algebra 1.2 Repetition av ekvationer och funktioner 1.3 Ekvationssystem
LINJÄRA EKVATIONER Vad du kommer att lära dig … Hur man kan använda system av ekvationer för att lösa problem där flera obekanta ingår. Dessutom repeterar vi några grundläggande begrepp från tidigare. … och varför Problem där flera obekanta ska bestämmas kommer du ofta att möta inom matematik, ekonomi, samhällsvetenskap, teknik och naturvetenskap.
CENTRALT INNEHÅLL ■ Begreppen implikation och ekvivalens. ■ Begreppet linjärt ekvationssystem. Metoder för att lösa linjära ekvationssystem. ■ Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning. ■ Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer.
1.1 Repetition av algebra Inledande aktivitet Utgå från tabellen och utför de angivna räkneoperationerna. Skriv resultaten i de tomma fälten. Addera 2x 5
Subtrahera 3x – 1
Multiplicera med x
Dividera med 3x/2
5 + 2x
3x – 1 –x + 1 3x2 – 5x + 8
Algebraiska uttryck – Kommer du ihåg? Algebraiska uttryck innehåller tal, variabler och tecken för räkneoperationer. I det algebraiska uttrycket 25x + 2y – 20 är x och y variabler. 25x och 2y är variabeltermer med koefficienterna 25 och 2. –20 är en konstantterm. Vi kan beräkna värdet av ett algebraiskt uttryck genom att ersätta x och y med givna siffror. Den räkneordning som vi måste följa när flera olika räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är: Prioriteringsregler
1. Beräkna alla parenteser. 2. Utför sedan alla multiplikationer och divisioner. 3. Avsluta med att addera och subtrahera alla termer. KONTROLL
8 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
Förenkla uttrycket 7⋅3 14 − ⋅5 9−2
Vi repeterar också hur man förkortar och förlänger bråk eller rationella tal. Att förlänga och förkorta bråk
När vi förlänger ett bråktal multiplicerar vi täljare och nämnare med samma tal. När vi förkortar ett bråktal dividerar vi täljare och nämnare med samma tal. Kom ihåg!
När vi adderar och subtraherar rationella tal måste talen ha samma nämnare. När vi multiplicerar och dividerar rationella tal behöver talen däremot inte ha samma nämnare. EXEMPEL 1
Utför additionen
5 3 + och svara i enklaste bråkform. 6 7
Vi förlänger det första bråket med 7 och det andra bråket med 6 för att få samma nämnare. 5 3 5 ⋅ 7 3 ⋅ 6 5 ⋅ 7 + 3 ⋅ 6 35 + 18 53 + = + = = = 6 7 6⋅7 7⋅6 6⋅7 42 42
NIVÅ 1
1101
1102
B P PL M R K
Beräkna och svara i enklaste form 9 2 − 11 3 3 Förläng eller förkorta bråket − så att 7 a) täljaren blir 9
1103
Beräkna vilket tal som är störst utan att använda räknare. a)
9 7 eller 11 9
b)
8 7 eller 15 13
b) nämnaren blir –56
1.1 REPETITION AV ALGEBR A
9
Multiplikation och division av rationella tal
Vid multiplikation av rationella tal multiplicerar vi täljare och nämnare var för sig. a c a ⋅ c ac ⋅ = = b d b ⋅ d bd Vid division av rationella tal multiplicerar vi täljarens bråk med nämnarens inverterade bråk. a b = a ⋅ d = ad c b c bc d
EXEMPEL 2
3 4 ⋅ och svara i enklaste bråkform. 8 5 Vi multiplicerar täljare och nämnare var för sig och förkortar:
a) Utför multiplikationen
3 4 3⋅ 4 3⋅ 4 3 ⋅ = = = 8 5 8 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 5 10 3 12 och svara 7 14 i enklaste bråkform.
b) Utför divisionen
Vi multiplicerar bråket i täljaren med nämnarens inverterade bråk och förkortar: 3⋅ 2⋅7 1 3 12 3 14 = ⋅ = = 7 14 7 12 7 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2
NIVÅ 1
1104
B P PL M R K
Beräkna 1 1 a) 4 ⋅ ⋅ 3 16
B P PL M R K
1105
b)
12 8 13 3
I en förening med 24 medlemmar är 1/6 män. a) Hur stor andel kvinnor är det i gruppen? b) Hur många kvinnor är det i gruppen?
10 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
NIVÅ 2
1106
1107
B P PL M R K
Förklara för din kamrat vad produkten av x2 bråket 2 och dess inverterade bråk blir. y x ≠ 0 och y ≠ 0. 1 1 + Beräkna 412 3 7
NIVÅ 3
1108
1109
B P PL M R K
−a har ett värde som ligger mitt 72 1 4 emellan och . Vilket är talet a? 3 9 Bråket
2 21 För ett bråk gäller att x = . 7 16 4 ? Vad är x 3
Räkneregler vid lika tecken/olika tecken
Vid addition ändras inga tecken i parentesen då den tas bort. 2a + (b – a) = 2a + b – a = a + b Vid subtraktion ändras alla tecken i parentesen då den tas bort. 2a – (b – a) = 2a – b + a = 3a – b För alla räknesätt gäller att lika tecken ger ett positivt resultat och att olika tecken ger ett negativt resultat. Från föregående kurs vet vi också att 1. Ordningen mellan termer i en addition kan kastas om. 2. Ordningen mellan faktorer i en produkt kan kastas om. 3. Additioner får utföras i valfri ordning, likaså multiplikationer. 4. En faktor framför en parentes ska multipliceras med alla termer i parentesen. Dessa regler kan sammanfattas i tre lagar: Räknelagar
1. De kommutativa lagarna 2. De associativa lagarna 3. Den distributiva lagen
a+b=b+a a·b=b·a (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) a(b + c) = (b + c)a = ab + ac
1.1 REPETITION AV ALGEBR A
11
EXEMPEL 3
Förenkla uttrycket 2x(x – y) – (2x – y)4x Framför 2x(x – y) står ett plustecken. Vi kan multiplicera in faktorn framför och bara ta bort parentesen. Framför (2x – y) står ett minustecken. Vi utför därför operationen i två steg: först multiplicerar vi in 4x och därefter tar vi bort parentesen och byter tecken.
2x(x – y) – (2x – y)4x = = 2x2 – 2xy – (8x2 – 4xy) = = 2x2 – 2xy – 8x2 + 4xy = –6x2+ 2xy
NIVÅ 1
1110
B P PL M R K
1111
a) b(a – b) – (a – b)
En kohage ska inhägnas. Långsidan ska vara x m och kortsidan 30 m kortare. Skriv ett förenklat uttryck för kohagens a) omkrets.
Beräkna b) 3x(x2 – y) – x(x – y)
1112
Beräkna a) 2x(x – y) – (y – x) · 2x
b) area.
b) 2u(u + v) – v(2u + 2v) + u(u + 3v) NIVÅ 2
1113
B P PL M R K
Beräkna abc( a + b + c) – (a – b – c)abc
NIVÅ 3
1114
12 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
B P PL M R K
I uttrycket a(x + 2b) + 2c är x en variabel och a, b och c är konstanter. Om x = 4 har uttrycket värdet 12. Ange ett förenklat samband som måste gälla mellan a, b och c. Ge förslag på möjliga heltalsvärden för a, b och c.
1.2 Repetition av ekvationer och funktioner Ekvivalens och implikation När man argumenterar i matematiken använder man ett rikt symbolspråk. Två av de viktigaste symbolerna är symbolerna för ekvivalens, ⇔, och implikation, ⇒. Man använder symbolerna mellan två påståenden P och Q. Ett påstående kallas ibland utsaga.
EXEMPEL 1
Ekvivalensen P ⇔ Q betyder att P är ekvivalent med Q och innebär att om P är sant så är också Q sant. Eftersom pilen är dubbelriktad innebär det också att om Q är sant så är P sant. Ekvivalens används ofta i ekvationslösning. 2x + 5 = 11 ⇔ x = 3 Påståendet att 2x + 5 = 11 leder till att x = 3. En konsekvens av att x = 3 är att 2x + 5 = 11. Ekvivalensen gäller alltså. Implikationen P ⇒ Q betyder att P medför Q. Om P är sant så är Q sant. Implikationen är en enkelriktad pil, vilket innebär att omvändningen inte gäller. Implikationspilen kan peka åt höger eller vänster, beroende på i vilken ordning man skriver påståendena.
EXEMPEL 2
2x = 10 ⇒ x2 = 25 Här gäller inte omvändningen, eftersom ekvationen x2 = 25 har två lösningar, x = 5 och x = –5. Det är endast x = 5 som uppfyller ekvationen 2x = 10.
1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER
13
NIVÅ 1
1201
B P PL M R K
Vilken av symbolerna ⇒, ⇐ och ⇔ ska stå i rutan? a) Figuren har fyra hörn en kvadrat.
Figuren är
b) En kvadrat har sidan 4 cm ratens area är 16 cm2. c) Talet n är ett naturligt tal ett reellt tal. d) Idag är det torsdag fredag. 1202
Kvad-
Talet n är
Imorgon är det
Avgör om symbolerna används korrekt i följande satser. Motivera varför eller varför inte. a) Oskar har körkort för bil ⇒ Oskar är 18 år eller äldre. b) Nilla är törstig ⇔ Nilla dricker ett glas vatten. c) Triangeln är liksidig ⇔ Alla triangelns vinklar är lika stora. d) Figuren är rund ⇐ Figuren är en cirkel.
14 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
NIVÅ 2
1203
B P PL M R K
Skriv ett eget påstående som kan stå efter pilen. a) x = 3 ⇒ b) Figuren är en triangel ⇔ c) Figuren ABCD är en rektangel ⇒ d) Filip tycker om biologi ⇒ e) x2 = 36 ⇔ f) x > 2 ⇔
Ekvationer En ekvation är ett påstående om en likhet.
VL 4x
HL
obekant =
20
Ekvationens vänstra led, VL, påstås vara lika med ekvationens högra led, HL. En ekvation innehåller ofta en eller flera obekanta. En vanlig beteckning för en obekant är x. En rot till en ekvation med en obekant, är ett värde på den obekanta som gör att påståendet om likhet stämmer. Vissa ekvationer har flera rötter. En fullständig lösning till en ekvation måste innehålla samtliga rötter. Ekvationslösning
Grundregeln när vi löser ekvationer är att vi måste göra exakt samma räkneoperationer i ekvationens vänstra led som i ekvationens högra led. Vi strävar alltid efter att få den obekanta ensam på ena sidan om likhetstecknet. KONTROLL
Lös ekvationen x + 4 = 7 – 2x
EXEMPEL 1
Lös ekvationen 2x – 3(x + 5) = 4(6 – x) Vi multiplicerar in –3 och 4 i parenteserna och byter tecken i den vänstra parentesen eftersom det står ett minustecken framför 3. 2x – 3(x + 5) = 4(6 – x)
ställ upp ekvationen
2x – 3x – 15 = 24 – 4x
multiplicera in parenteserna, glöm inte att byta tecken i VL
2x – 3x + 4x = 24 + 15
addera 15 + 4x till båda sidor och förenkla
3x = 39 x = 13
summera i VL och HL dividera båda led med 3
1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER
15
NIVÅ 1
1204
B P PL M R K
Lös ekvationen
NIVÅ 3
Ange en ekvation, på formen ax2 + bx + c = 0, som har lösningarna x = 3 och x = 5.
1210 2
a(2a + 1) = 6 + 2a – a 1205
Lös ekvationen
B P PL M R K
EXEMPEL 2
a – 2(a + 4) = 3(5 – 4a)
Lös ekvationen NIVÅ 2
B P PL M R K
1206
Summan av tre på varandra följande udda tal är 15. Vilka är talen?
1207
Bestäm värdet på a om ekvationen 3a(4 – x) = 12 – ax har lösningen x = 3.
3x3x xx −− 2= 2==4 +4 + ställ upp ekvationen 44 22 3x x − ==6 6 4 2
B P PL M R K
1208
4
För vilket värde på x har triangeln och rektangeln samma omkrets?
4
x+3
x+1
x
x
3x – 2x = 24
Anna ska blanda bål till midsommarfesten. Bålen ska innehålla 90 % läsk och 10 % lemonad. Hur många cl läsk ska Anna ta till 25 cl lemonad?
16 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
3x
4 2 ==4 ⋅46· 6
4 ⋅ 3x 4 ⋅ x − ==4 ⋅46· 6 4 2
2x – 1
B P PL M R K
1209
3x x −2 = 4+ 2 4
x = 24
NIVÅ 1
addera 2, subtrahera x / 2 på båda sidor och förenkla multiplicera båda sidor med den minsta gemensamma nämnaren 4 multiplicera in i parentesen förkorta och räkna ihop förenkla VL
B P PL M R K
1211
Lös ekvationerna 12s − 5 x x = 2s + 1 b) a) + +4 =9 8 3 2
1212
Lös ekvationen x 3x 4 x − − = 21 2 4 5
NIVÅ 2
1213
NIVÅ 3
1214
B P PL M R K
Inträdet till ett nöjesfält är hälften så dyrt för barn som för vuxna. Pensionärer betalar 3/4 av vuxenpriset. Familjen Widlund, som bestod av två vuxna, tre barn och en pensionär, besökte nöjesfältet en dag. Hur mycket betalade var och en om den sammanlagda kostnaden för inträdet var 1 700 kronor? B P PL M R K
EXEMPEL 3
Lös ekvationen
12 2 1 = + a 5 2a
1212 2 2 1 1 === + + a a 5 5 2a2a
ställ upp ekvationen
1212 2 2 1 1 1010 a a⋅ ⋅ === + + ⋅ 10 ⋅ 10 a a multiplicera båda a a 5 5 2a2a led med MGN
10a.
⋅ 12 2 2⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 1010 a a⋅ 12 a a 1 1⋅ 10 aa multiplicera in === ++ aa 55 2a2a
Bestäm värdet på a i ekvationen a 2ax − 5 y − z = , om x = 2 och y är 1/3 av 2 x och z är 1/4 av y. a=
120 = 4a + 5
förkorta och räkna ihop
115 = 4a
subtrahera 5 från båda sidor och räkna ihop
115 ==28,75 a 4 aa==
dividera båda sidor med 4 och förkorta i HL
115 = 28,75 4
låt leden byta plats
NIVÅ 1
1215
B P PL M R K
Lös ekvationerna 4 1 +5 = a) 3a 2a
b)
14 1 = +4 3x 6
1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER
17
EXEMPEL 4
Lös ekvationen
1 4 +3 = x +1 x
11 44 + 3+=3== x +x1+ 1 xx
ställ upp ekvationen
1 1 4 ⋅ 4x⋅( x (+x1) + 1) multiplicera båda led med MGN x(x + 1) x ( x (+x1) + ⋅1) ⋅ + 3+ 3=== x +x1+ 1 x x x 1) + 1) ⋅ 1⋅ 1 x 1) + 1) x (xx(+ 4 ⋅4x⋅(xx(+ x 1) + 1) + 3+x3(xx(+ === multiplicera in i VL ( x(+ x 1) + 1) xx x + 3x2 + 3x = 4x + 4 multiplecera in en gång till i VL, förkorta i båda led
3x2 = 4 4 x2 = 3 4 4 x =– eller x = 3 3
NIVÅ 2
1216
subtrahera med 4x från båda sidor och räkna ihop dividera båda sidor med 3 och förkorta i VL ekvationen har två rötter
B P PL M R K
Lös ekvationen 4 1 = 4 x + 5 6x
NIVÅ 3
1217
B P PL M R K
Bestäm sambanden mellan a, b och c så att a b c = + x 2 + 3x x x + 3 (x ≠ 0 och x ≠ –3)
1218
Lös ekvationen 6x 6 − =2 3x − 1 x − 2
Ordet ekvation kommer av equare, som betyder ”jämna ut”, eller ”göra lika”.
18 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
Funktioner I matematiska funktioner talar man om oberoende och beroende variabler. Om den oberoende variabeln betecknas x och den beroende variabeln betecknas y, ger funktionen ett bestämt värde på y åt varje tillåtet värde på x. Mängden av samtliga tillåtna värden på den oberoende variabeln kallas funktionens definitionsmängd. Mängden av alla värden på den beroende variabeln kallas funktionens värdemängd. Funktion
För varje tillåtet värde på den oberoende variabeln, ger en funktion ett bestämt värde på den beroende variabeln. Funktionens definitionsmängd är mängden av alla tillåtna värden på den oberoende variabeln. Funktionens värdemängd är mängden av alla de möjliga värdena på den beroende variabeln. Funktioner betecknas ofta med bokstäver som f eller g. Den oberoende variabeln kan betecknas med x, men också med exempelvis t eller r. Om den oberoende variabeln i en funktion f är x, betecknas den beroende variabeln f(x). En funktion kan beskrivas på flera olika sätt: Med ord
Med en formel
Arean av en cirkel är π gånger radien i kvadrat.
A(r) = π · r2 där den beroende variabeln A(r) är cirkelns area och den oberoende variabeln r är cirkelns radie.
Med en värdetabell
Med en graf
Radie
Area
0
0
1
π
2
4π
3
9π
4
16π
8
A
6 4 2 r –2
2
Om vi studerar värdetabellen ovan ser vi att 0 ≤ r ≤ 4 och att 0 ≤ y ≤ 16π.
1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER
19
Dessa r-värden är funktionens definitionsmängd. y-värdena är funktionens värdemängd. KONTROLL
Representerar a) en funktion? Representerar b) en funktion? Motivera svaren. a) y = 5x – 2 b)
KONTROLL
EXEMPEL 1
x-värde
y-värde
0
0
1
1
2
8
3
12
3
15
Vilken är definitionsmängden och vilken är värdemängden för 1 y= ? x −3 Funktionen y(x) bestäms av uttrycket y(x) = 2x2 – 4 a) Bestäm y(1) y(1) = 2 · 12 – 4 = −2
Vi söker funktionens värde då x = 1, och ersätter därför x med 1. Funktionen har värdet –2 för x = 1.
b) Bestäm y(2a) y(2a) = 2 · (2a)2 – 4 = 8a2 – 4 Funktionen har värdet 8a2 – 4 för x = 2a. c) Lös ekvationen y(x) = 1
20 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
Här är frågeställningen den omvända.
2x2 – 4 = 1
Vi söker det eller de x-värden för vilka funktionen har värdet 1.
x ≈ –1,58 eller x ≈ 1,58
De två rötterna utgör tillsammans ekvationens fullständiga lösning.
EXEMPEL 2
Figuren visar grafen till funktionen f (x).
8
y
6 4 2 x –4
–2
2
a) Bestäm f (1) Vi söker funktionens värde för x = 1. Alltså läser vi av y-koordinaten för den punkt på grafen där x = 1. f (1) = 8
Funktionens värde är 8 för x = 1.
b) Bestäm f (0) Vi söker funktionens värde för x = 0. Vi läser av y-koordinaten för den punkt på grafen där x = 0, det vill säga grafens skärningspunkt med y-axeln. f (0) = 3
Funktionens värde är 3 för x = 0.
c) Lös ekvationen f (x) = 0 Vi söker de x-värden för vilka funktionen är 0, det vill säga funktionens nollställen. Vi läser av de punkter där y-koordinaten är 0, det vill säga grafens skärningspunkter med x-axeln. x = –1 eller x = –3
Funktionens värde är 0 för x = –1 och för x = –3.
1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER
21
NIVÅ 1
1219
B P PL M R K
Funktionen y(x) bestäms av uttrycket y(x) = x3 + 5x – 6
B P PL M R K
1223
a) Bestäm y(0)
a) y(0)
b) Bestäm y(2)
b) y(x) = 0
1220
Du har funktionen y(x) = 2x2 + 8. Bestäm x om y(x) = 12,5.
1221
Figuren visar grafen till funktionen y = y (x)
NIVÅ 2
1224
a) y(1)
y
1226
4 2 x 2
–2 –2
B P PL M R K
När Märta var 2 år vägde hon 12 kg. Idag är Märta 10 år och väger 35 kg.
NIVÅ 3
b) Teckna med matematiska symboler ett funktionsuttryck som anger att Märta vägde 12 kg när hon var 2 år.
9 +3. x
Värdetabellen beskriver en funktion. Ange funktionens formel. x
y
–1
5
0
3
1
1
2
–1
B P PL M R K
1227
Funktionerna f(x) och g(x) definieras som 1 f (x ) = − 3x + 2 och g(x) = x2 – 2x. 2x Bestäm f(g(1)).
1228
Skissa en graf som visar sambandet mellan
a) Vilken är den beroende variabeln och vilken är den oberoende variabeln?
22 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
Du har funktionen f ( x ) = Bestäm x om f(x– 2) = 12.
c) y(0) 6
Du har funktionen h(x) = 5x2 + 4 b) Bestäm h(a/3)
1225
b) funktionens nollställen.
B P PL M R K
a) Bestäm h(x – 2)
Bestäm med hjälp av grafen
1222
Du har funktionen y = y(x). Förklara i ord betydelsen av
a) en kubs volym och dess sida. b) en kubs totala begränsningsarea och dess sida.
Räta linjens ekvation I ett koordinatsystem kan varje rät linje som inte är lodrät beskrivas med en ekvation på formen y = kx + m. För en och samma räta linje är k och m konstanta. Värdena för x och y kan variera och ger koordinaterna för varje punkt på linjen. y y=x+2
y = –0,5x + 1 4 2
x –4
2
–2
4
m-värdet
Längs y-axeln gäller att x = 0 för alla punkter. x = 0 i ekvationen y = kx + m ger y = k · 0 + m, det vill säga y = m. Värdet på m anger var linjen skär y-axeln. Detta värde kallas också för linjens intercept med y-axeln. k-värdet
I ekvationen y = kx + m är k den räta linjens riktningskoefficient. Värdet på k anger hur mycket y ökar eller minskar då x ökar med 1. Om k > 0 har linjen positiv lutning. Om k < 0 har linjen negativ lutning. y
y=x+2
4
2
1 steg 1 steg 1 steg 1 steg
För 1 steg i x-riktningen tar vi 1 steg i y-riktningen för att komma tillbaka till linjen. Lutningen k = 1.
x –2
2
4
1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER
23
y För 2 steg i x-riktningen tar vi 1 steg i negativ y-riktning för att komma tillbaka till linjen. För 1 steg i x-riktningen tar vi alltså 0,5 steg i negativ y-riktning. k = –0,5.
4
2
2 steg
y = –0,5 x + 1
–1 steg 2 steg
–2
2
x –1 steg
Parallella linjer
Två räta linjer som är parallella har samma lutning och alltså samma värde på riktningskoefficienten k. 6
y
4 2 x 2
–2 –2
Horisontella och lodräta linjer
En linje parallell med x-axeln kan beskrivas med en ekvation på formen y = a, där a är konstant. En linje parallell med y-axeln kan beskrivas med en ekvation på formen x = b, där b är konstant. 4 2
y
4 y=2
2
y x=1 x
x 2
–2 –2
2
–2 –2
Vinkelräta linjer
Om två linjer som beskrivs av y = k1 x + m1 och y = k2 x + m2 är vinkelräta mot varandra, är produkten av deras riktningskoefficienter k1 · k2 = −1.
24 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
Även det omvända gäller: om produkten av två linjers riktningskoefficienter är −1, är linjerna vinkelräta mot varandra. Räta linjens ekvation på allmän form
En ekvation y = kx + m kan skrivas om på olika sätt. Om a, b och c är konstanta, är ax + by + c = 0 den räta linjens ekvation på allmän form. Alla ekvationer som innehåller de obekanta x, y, eller både x och y i första potens och inga andra obekanta, beskriver räta linjer. Linjära funktioner
En funktion f av x, vars graf är är en rät linje, kan beskrivas med ekvationen f(x) = kx + m. Definitionsmängden är alla tal längs tallinjen. En sådan funktion kallas linjär. En linjär funktion kan också ha ett begränsat intervall på tallinjen som definitionsmängd. I sådana fall kallas dess graf för ett linjestycke.
NIVÅ1
1229
B P PL M R K
Bestäm riktningskoefficient och intercept med y-axeln för den räta linjen a) y = −x + 3 2x b) y = 3 c) 3x + 4y − 1 = 0
NIVÅ 2
1232
Bestäm på formen y = kx + m ekvationen för den räta linje som går genom a) (2, −3) och (−3, −11) b) (4, 1) och (2, 2).
1231
Bestäm på formen y = kx + m ekvationen
Hur kan man se att 2x−3y2 −1 = 0 inte beskriver en rät linje? B P PL M R K
1233
d) y = 7. 1230
B P PL M R K
NIVÅ 3
1234
Bestäm på formen y = kx + m ekvationen för den räta linje som är vinkelrät mot y = −2x + 3 och går genom (4, −2). B P PL M R K
Bestäm de linjära funktioner vars grafer tillsammans bildar den likbenta triangel som har hörn i (−2, −3), (1, 5) och (4, −3).
för den räta linje som är parallell med 3x y = – 7 och går genom (−3, −2). 5
1. 2 REPETITION AV EK VATIONER OCH FUNK TIONER
25
1.3 Ekvationssystem Niklas och Thea har varit i godisbutiken och handlat. Niklas handlade 2 chokladbitar och 4 gelébollar och betalade 28 kr. Thea handlade 4 chokladbitar och 2 gelébollar och betalade 32 kr. Vad kostade chokladbitarna och gelébollarna per styck? Anta att chokladbitar kostar x kr per styck och gelébollar y kr per styck. Då kan vi ställa upp följande ekvationer: 2x + 4y = 28
2 chokladbitar + 4 gelébollar = 28 kr
4x + 2y = 32
4 chokladbitar + 2 gelébollar = 32 kr
Var för sig har ekvationerna ett oändligt antal lösningar, men tillsammans utgör de ett linjärt ekvationssystem som ofta har en lösning. Ordet linjärt innebär här att de okända står i första potens, alltså inte ingår i rotuttryck, kvadrater, eller liknande. Vi sätter en klammer om ekvationerna samt numrerar dem för att visa att de utgör ett system:
⎧2x + 4 y = 28 (1) ⎨ ⎩4x + 2y = 32 (2) Numreringen gör att vi enklare kan hänvisa till ekvationerna när vi löser systemet.
26 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
Grafisk lösning Båda ekvationerna är ekvationer för räta linjer. Alla lösningar till en ekvation blir en punkt på linjen. Vi är intresserade av att veta vilken lösning som löser båda ekvationerna samtidigt. Det innebär att vi letar efter en punkt som är gemensam för de båda linjerna, alltså en skärningspunkt mellan dem. Vi ritar linjerna i ett koordinatsystem: y
y = 16 – 2x
8 6 4
Skärningspunkt: (6, 4)
y = 7 – 0,5x
2 x 2
4
6
8
10
12
I GeoGebra kan du lösa ekvationssystemet grafiskt, genom att först skriva in först den ena ekvationen i Inmatningsfältet, följt av Enter, och sedan den andra på samma sätt. Välj punktverktyget och klicka på skärningspunkten mellan linjerna i ritområdet. Punkten A är skärningspunkt och dess koordinater (6, 4) visas i Algebrafönstret.
x = 6 och y = 4 är ekvationssystemets lösning.
⎧2x + 4 y = 28 har lösningen ⎨ 4x + 2y = 32 ⎩
⎧x = 6 ⎨ ⎩y = 4
En chokladbit kostar 6 kr och en geléboll kostar 4 kr.
1.3 EK VATIONSSYSTEM
27
Ekvationssystem
Lösningen till ett ekvationssystem är en gemensam lösning för båda ekvationerna. I ett linjärt ekvationssystem med två okända är lösningen skärningspunkten mellan två räta linjer. EXEMPEL 1
Romina jobbar på en teater där hon säljer biljetter till barn för 50 kr/st och biljetter till vuxna för 120 kr/st. En kväll hade hon sålt 234 biljetter och i biljettkassan fanns 21 290 kr. Hur många vuxna och hur många barn såg föreställningen? Romina låter antalet vuxna vara x och antalet barn y. Totalt hade hon sålt 234 biljetter, det vill säga x + y = 234. x vuxenbiljetter kostar totalt 120x kr. y barnbiljetter kostar totalt 50y kr. I biljettkassan fanns det alltså 120x kr + 50y kr = 21 290 kr. Hon ställer upp ett ekvationssystem av de två ekvationerna som beskriver försäljningen:
⎧ x+ y + 234 (1) ⎨ ⎩120x + 50y = 21 290 (2) Romina skriver in båda ekvationerna i GeoGebra-appen på sin mobil. Hon zoomar ut och klickar på skärningspunkten mellan linjerna. y 250
y = 425,8 – 2,4x
200 150
y = 234 – x
100
(137, 97)
50 x 50
100
150
200
250
300
⎧ x = 137 Ekvationssystemet har lösningen ⎨ ⎩ y = 97 Romina hade alltså sålt 137 vuxenbiljetter och 97 barnbiljetter.
28 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
Linjärt beroende och linjärt oberoende
Att två ekvationer i ett ekvationssystem är linjärt beroende innebär att linjerna, som svarar mot ekvationerna, är parallella med varandra. Det betyder att ekvationssystemet saknar lösning, eller så har systemet oändligt många lösningar. 4
y
2 x –2
2
4
–2
Om linjerna har olika m-värde saknas skärningspunkt, och ekvationssystemet saknar lösning. Om de parallella linjerna har samma m-värde beskriver båda ekvationerna samma linje. Ekvationerna är då identiska, och ekvationssystemet har oändligt många lösningar. Om det går att multiplicera en av ekvationerna med någon konstant, så att koefficienterna för x-termerna blir lika och koefficienterna för y-termerna blir lika i båda ekvationerna, är ekvationerna linjärt beroende. De räta linjer som ges av ekvationerna är då parallella eller lika. Motsatsen är att ekvationerna är linjärt oberoende. Då har ekvationssystemet precis en lösning. Linjärt oberoende innebär grafiskt att de räta linjerna har olika lutning, och då existerar alltid precis en skärningspunkt mellan linjerna. Skärningspunktens koordinater utgör lösningen till ekvationssystemet. 4
y
2 x –2
2
4
–2
1.3 EK VATIONSSYSTEM
29
EXEMPEL 2
Ekvationerna 2x + y = 4 och 4x + 2y = 9 är linjärt beroende. Varför? Den första ekvationen går att skriva om till y = –2x + 4 Den andra ekvationen går att skriva om till y = –2x + 4,5 Linjerna har samma k-värde, och är alltså parallella. Det innebär att skärningspunkt saknas. Vi kan också förstå att de är linjärt beroende genom att algebraiskt studera vänsterleden i ekvationerna: 2(2x + 2y) = 4x + 2y
2 gånger VL i ekvation 1 = VL i ekvation 2
Genom att multiplicera den ena ekvationens vänsterled med en konstant, i det här fallet 2, får vi precis samma vänsterled som i den andra ekvationen. Då är de ursprungliga ekvationerna linjärt beroende av varandra.
EXEMPEL 3
⎧ y = ax + 4 Bestäm talen a och b så att ekvationssystemet ⎨ ⎩ y = 3x + b a) har oändligt många lösningar b) saknar lösning c) har en enda lösning a) Om ekvationssystemet ska ha oändligt många lösningar måste linjernas k- och m-värden vara lika i båda ekvationerna. Då beskriver båda ekvationerna samma räta linje. Då måste vi välja a = 3 och b = 4. 8
y
6 4 2 x –2
2
Båda linjerna är y = 3x + 4.
30 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
b) Om ekvationssystemet ska sakna lösning måste k-värdena vara lika men m-värdena olika. Vi måste välja a = 3 och b ≠ 4. Då beskriver ekvationerna räta linjer med samma lutning, men med olika m-värden. 8
y
6 4 2 x 2
–2
Vi kan välja till exempel y = 3x + 1.
c) För att ekvationssystemet ska ha en enda lösning måste linjerna ha olika lutning. Vi måste välja a ≠ 3. Oavsett vilket värde på b vi väljer så har linjerna en skärningspunkt. 8
y
6 4 2 x –2
2
Vi kan välja till exempel y = x + 5.
Antalet lösningar till ett ekvationssystem
Om linjerna har samma k-värde men olika m-värden saknas lösning. Om linjerna har samma k-värde och samma m-värde finns oändligt många lösningar. Om linjerna har olika k-värden finns endast en lösning.
1.3 EK VATIONSSYSTEM
31
1 Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna
KONTROLL
⎧ y = 30 – 2x œ ⎨ ⎩ y = 3x –17 2 Har ekvationssystemet någon entydig lösning? Motivera. ⎧2x + y = 10 ⎨ ⎩6x + 3y = 33
NIVÅ 1
1301
B P PL M R K
Lös ekvationssystemen grafiskt
⎧ y = –2x + 6
⎧ y = 3x – 2 b) ⎨ ⎩ y = 2x
a) ⎨
⎩y = x ⎧ y = –5x – 2
1304
Beskriv med ord och bilder hur det går till att lösa ekvationssystem grafiskt.
1305
Motivera varför ekvationssystemet
⎧y = x – 4 d) ⎨ ⎩ y = 2x +1
c) ⎨
⎩ y = –4x
1302
B P PL M R K
⎧ y = 2x + 3 saknar lösning. ⎨ ⎩ y = 2x + 4
Lös först ut y ur båda ekvationerna. Lös därefter ekvationssystemen grafiskt.
⎧ x − 2y = 4
a) ⎨
⎧2x – y = 5 b) ⎨ ⎩3x – 2y = 8
⎧5x – 2y = 1 c) ⎨ ⎩2x – 2y = 4
⎧4x + y = 5 d) ⎨ ⎩–2x + 4 y = 11
⎩–x + y = –6
y
1303 4
y = 1,5x – 4
y = –0,5x + 4
2 x 2
4
6
8
a) Ställ upp det ekvationssystem som kan lösas grafiskt med hjälp av figuren. b) Vilken lösning har ekvationssystemet?
32 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
B P PL M R K
1306
Summan av två tal är 115 och differensen mellan talen är 31. Vilka är talen? Ställ upp ett ekvationssystem och lös det grafiskt.
1307
En kasse med 5 bananer och 4 apelsiner väger 3,5 kg. Det skiljer 0,2 kg i vikt mellan en apelsin och en banan. Hur mycket väger en kasse med 10 bananer och 5 apelsiner?
B P PL M R K
1310
⎧–5x + 4 y = 10 ⎨ ⎩ ax + 8y = 22 1311
Bestäm talet p så att ekvationerna blir linjärt beroende. ⎧ 2x + py = 8 ⎨ ⎩−4x + 3y = 9
1312
För vilka värden på talet a är ekvationssystemet lösbart?
1313
1308
NIVÅ 2
1309
Herman och Ivar köper varsin godispåse. Herman köper 10 lakritsbåtar och 12 geléhallon och betalar 17 kr. Ivar köper 15 lakritsbåtar och 7 geléhallon och betalar 14,50 kr. Hur mycket kostar lakritsbåtarna och geléhallonen per styck?
1314
B P PL M R K
1315
Illustrera begreppen linjärt beroende och linjärt oberoende grafiskt med en kort förklarande text.
För vilka värden på talet a saknar ekvationssystemet entydig lösning?
⎧(a 2 −1)x + y = 7 ⎨ 3x + y = 2 ⎩ ⎧ax + y = 5 ⎨ ⎩bx + 2y = 5 a) Bestäm sambandet mellan a och b då ekvationerna är linjärt beroende b) Lös ekvationssystemet om a = –1 och b = 3. För vilket eller vilka värden på talet q är ekvationerna linjärt beroende?
⎧qx + 4 y = 7 ⎨ ⎩ 2x + qy = 8 NIVÅ 3
B P PL M R K
Bestäm villkoren för talen a och b så att ekvationssystemet
⎧ax + 8y = 4 ⎨ ⎩ 2x + by = 8 a) saknar lösning. b) har oändligt många lösningar. c) har en enda lösning.
1.3 EK VATIONSSYSTEM
33
Substitutionsmetoden Det finns även andra metoder för att lösa ekvationssystem, till exempel substitutionsmetoden. Substitution betyder ”utbyte” och innebär att vi ersätter (substituerar) en variabel med ett uttryck som innehåller den eller de andra variablerna från ekvationssystemet. EXEMPEL 1
⎧2x + y = 29
Vi ska lösa ekvationssystemet ⎨
⎩ x – 2y = 2
genom substitution.
Vi löser ut y ur den första ekvationen: y = 29 – 2x. y har värdet 29 – 2x även i den andra ekvationen, eftersom ekvationerna hör ihop i ett ekvationssystem. Vi kan därför ersätta y med 29 – 2x i den andra ekvationen. Den andra ekvationen blir då x – 2(29 – 2x) = 2 Ekvationen innehåller bara en variabel, som vi kan lösa ut på vanligt sätt genom att först förenkla vänsterledet. VL: x – 2(29 – 2x) = x – 58 + 4x = 5x – 58 Ekvationen 5x – 58 = 2 har lösningen x = 12. Om x = 12 är y = 29 – 2x = 29 – 2 · 12 = 29 – 24 = 5.
⎧ x = 12
Lösningen till ekvationssystemet är ⎨
⎩y = 5
NIVÅ 1
1316
B P PL M R K
Lös ut variabeln som står inom parentes a) x + 3y = 12
(x)
b) 10x – 2y = 4
(y)
c) x – 4y = –3
(y)
d) 5x + 8y = 10
(x)
34 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
1317
Lös ekvationssystemen med substitutionsmetoden
⎧ x + 2y = 16
⎧ x – 5y = –3 b) ⎨ ⎩2x – 2y = –10 ⎩2x –1,5y = 2,5
a) ⎨
⎧4a + 6b = 10 c) ⎨ ⎩b = 8 – 4a
⎧2r – s = 12
d) ⎨
⎩–3r + 3s = –3
EXEMPEL 2
1318
På ett hotell finns två pooler. Tillsammans innehåller de 400 m3 vatten. Den stora poolen innehåller 180 m3 mer än den lilla poolen. Hur mycket vatten innehåller den lilla poolen? Den stora? 120 KR
Vi betecknar den lilla poolens volym med x och den stora poolens volym med y. Tillsammans innehåller poolerna (x + y) m3 = 400 m3 vatten. Den stora poolen innehåller (x + 180) m3 = y m3 vatten. Vi ställer upp ett ekvationssystem:
145 KR
Guppy och svärdbärare
⎧ x + y = 400 ⎨ ⎩ y = x +180
x + (x + 180) = 400 2x + 180 = 400
b) Hur mycket kostar fiskarna per styck?
1320
⎧5x – 3y = 2 Ekvationssystemet ⎨ har sin ⎩2x + 2y = 7,2 lösning då y = 2. Vilket värde har x? Lös ekvationssystemen med substitutionsmetoden.
⎧s = 2t a) ⎨ ⎩t + 5s = 132 ⎧2y − x = 0 b) ⎨ ⎩ x + 4 y = 18 ⎧4x + 2y = 16 c) ⎨ ⎩–x + 2y = 19 ⎧x y ⎪⎪ + = 7 d) ⎨ 3 5 ⎪ x – y = –2 ⎪⎩ 4 3
(2)
Vi sätter in ekvation (2) i ekvation (1):
a) Ställ upp ett ekvationssystem som beskriver innehållet i bilden.
1319
(1)
2x = 220 x = 110 y = x + 180 = 110 + 180 = 290 Den lilla poolen innehåller 110 m3 vatten, och den stora innehåller 290 m3.
NIVÅ 2
B P PL M R K
1321
I en simhall finns två bassänger. Tillsammans innehåller de 640 m3 vatten. Den lilla bassängen innehåller 240 m3 mindre än den stora. Hur mycket vatten innehåller den lilla respektive den stora bassängen?
1322
5 skruvar och 2 muttrar väger tillsammans 70 gram. 8 skruvar och 5 muttrar väger tillsammans 121 gram. Hur mycket väger 100 skruvar?
1.3 EK VATIONSSYSTEM
35
1323
1324
Till en fotbollsmatch kom 4 220 åskådare, både barn och vuxna. En barnbiljett till matchen kostade 60 kr och en vuxenbiljett kostade 90 kr. Totalt såldes biljetter för 339 690 kr. Hur många vuxna och hur många barn såg matchen? A och B är två tal. 40 % av A plus 60 % av B är 166. 120 % av A minus 50 % av B är 153. Vilka är talen A och B?
1325
En djuraffär sålde kaniner och undulater. Totalt hade djuren i affären 30 huvuden och 86 ben. Hur många undulater hade djuraffären?
1326
Ett staket runt en rektangulär tomt är 204 meter långt. Den ena sidan är 12 meter längre än den andra. Hur stor area har tomten?
36 K APITEL 1 . LINJÄR A EK VATIONER
NIVÅ 3
B P PL M R K
1327
Bestäm talen a och b så att ekvationssystemet ⎧ax – by = 7 ⎨ ⎩bx + y = 2a – 5 får lösningarna x = 2 och y = 5
1328
Lös ekvationssystemet ⎧4 2 ⎪⎪ a – b = 6 ⎨ ⎪ 3 + 1 = 22 ⎪⎩ a b 1 1 genom att sätta x = och y = . a b
Bildförteckning Omslagsbild: Tove Freij 6
Håkan Hjort/Johnér
10
Per Magnus Persson/Johnér
20
Maskot/Johnér
30
Andreas Hillergrend/TT
34
Maskot/Johnér
42
Hussein El-alawi/Sydsv/TT
65
Mel Longhurst/Capital Pictures/TT
79
EvrenKalinbacak/Shutterstock.com
99
SPL/TT
117
Maskot/Johnér
237
Christian Beutler/Keystone/ TT
123
Håkan Hjort/Johnér
240
Matton Collection/Johnér
133
Hulton Archive/Getty Images
241
Bernd Wuestneck/DPA/TT
254
Cultura Creative/Johnér
139
© Edinburgh University Library/Bridgeman/TT
256
Claudio Bresciani/TT
150
Universal Images Group/ Getty Images
258
Matton Collection/Johnér
262
Maskot/Johnér
268
Hans Bjurling/Johnér
272
Matton Collection/Johnér
275
Peter Carlsson/Johnér
158
Pia Ulin/Johnér
188
Susanne Walström/Johnér
82
Mikael Svensson/Johnér
217
Thomas Adolfsén/Johnér
88
Johanna Hanno/TT
221
Ulf Palm/TT
Övriga foton: Shutterstock.com
BILDFÖRTECKNING
333
Liber Matematik är en läromedelsserie för gymnasiet, helt anpassad till ämnesplanen som gäller från 2021. Utmärkande för Liber Matematik: • uppgifter kopplade till förmågorna • utförliga lösningsanvisningar i facit • klassrumsaktiviteter, många av dem baserade på GeoGebra och Python Serien innehåller fullständiga och fristående tryckta och digitala läromedel och kommer på sikt att omfatta samtliga matematikkurser på gymnasiets a-, b- och c-spår.
Best.nr 47-14078-7 Tryck.nr 47-14078-7