9789144134987 by Smakprov Media AB

Envariabelanalys för teknisk högskola Del 1 Del 1

Håkan Blomqvist

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 40584 ISBN 978-91-44-13498-7 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2022 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Faktagranskning: Olow Sander Formgivning omslag: Jens Martin Printed by GraphyCems, Spain 2022

FÖRORD Bokens målgrupp Denna lärobok är den första delen av tre i en serie böcker, som behandlar matematisk analys för teknisk högskola. Andra delen i bokserien behandlar talföljder och serier, integralkalkyl, komplexa tal samt differentialekvationer. Tredje delen behandlar flervariabelanalys. Böckerna är avsedda att användas vid högskole- och civilingenjörsutbildningar. Bokens innehåll Huvudområdena är elementära funktioner, gränsvärden och differentialkalkyl. Kapitel 1 ger en inblick i matematikens uppbyggnad genom axiom, definitioner, satser och logiska regler. Detta är något som i liten utsträckning tas upp på gymnasiet. Kapitel 2 innehåller några resultat från algebran och den analytiska geometrin som studenten måste behärska. Dessa behövs senare i boken, så det är viktigt att den studerande behärskar innehållet i detta kapitel, (vilket med fördel kan användas till en introduktionskurs). Kapitel 3 introducerar funktionsbegreppet. Kapitel 4 och 5 ger en, jämfört med gymnasiet, fördjupad framställning av exponentialfunktioner, logaritmfunktioner och trigonometriska funktioner. Dessutom behandlas arcusfunktioner och hyperboliska funktioner. Kapitel 6 innehåller gränsvärdesdefinitionerna och viktiga resultat om gränsvärden, vilka lägger grunden till kapitel 7, som handlar om derivata. De flesta tillämpningarna av derivator har samlats i kapitel 8. I kapitel 9 behandlas högre derivator med tillämpningar. För att göra boken mer lättläst, men ändå ge ambitiösa studenter möjlighet att ta del av en fullständig framställning, har några av de svåraste bevisen samlats i appendix. Bokens utformning Boken kan användas på olika sätt, beroende på kursens ambitionsnivå. Framställningen är matematiskt grundlig, definitioner ges för införda begrepp, satser formuleras med förutsättningar och fullständiga bevis genomförs i de flesta fall. Boken är dock utformad så att man, för t.ex. högskoleingenjörsutbildningar, kan hoppa över svårare teoretiska moment. Varje kapitel i boken är uppdelat i ett antal avsnitt. De satser som behandlas har numrerats och ofta getts ett namn. Som exempel skall beteckningen ”Sats 9.5.2” utläsas som att satsen är den andra sats som behandlas i kapitel 9, avsnitt 5. Definitionerna är numrerade enligt samma princip. Efter de flesta avsnitt finns testuppgifter (markerade med T), som studenten bör försöka lösa direkt efter genomgånget avsnitt. Studenten får på så vis en uppfattning om hur väl det nyss genomgångna avsnittet har förståtts. Boken innehåller även ett stort antal övningsuppgifter och utförligt lösta exempel, © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

iiiiii

FÖRORD

som ökar förståelsen av begrepp och teori. Facit till testuppgifter och övningsuppgifter finns i slutet av boken och innehåller inom klammer ledtrådar till lösningen av svårare uppgifter. Viktiga påpekanden och förtydliganden har införts under rubriken ”OBS!” De kommentarer  som inte är nödvändiga för huvudinnehållet och kan förbigås om så önskas  har rubriken ”Anm.”. Hur boken skall användas Idealstudenten använder böckerna på följande sätt: 1. Förbered dig inför nästa föreläsning genom att läsa motsvarande avsnitt i boken. Även om du inte förstår allt, underlättar det att ha sett stoffet en gång förut. 2. Efter föreläsningen repeterar du det som läraren gått igenom och studerar noggrant de lösta exemplen (markerade med Ex., följt av kapitelnummer och ordningsnumret för uppgiften inom kapitlet). Tecknet  markerar att redovisningen av exemplets lösning är avslutad. 3. Försök att lösa de testuppgifter (oftast placerade i slutet av ett avsnitt) som hör till det genomgångna avsnittet i boken, för att se om du har förstått texten och exemplen. Facit till testuppgifterna finns i slutet av boken (sid. 299318) omedelbart före övningsuppgifterna. Kör du fast, finns vissa ledtrådar i facit. 4. Repetera stoffet i boken på motsvarande avsnitt. 5. Räkna de övningsuppgifter (sid. 319349), som tillhör det avsnitt du nyss repeterat. Facit med vissa ledtrådar finns på sid. 351382. Att tänka på vid lösning av övningsuppgifter Då man löser ett matematikproblem som inte är direkt knutet till någon tillämpning, skall alltid den exakta lösningen anges. Vid lösning av ett problem som är knutet till en tillämpning skall även närmevärden anges. Avrunda inte för tidigt eftersom avrundning i mellanräkningarna ger onödiga avrundningsfel, som förstoras då man successivt använder dessa värden i följande kalkyler. Det avrundade svaret ges lämpligen med lika många värdesiffror som mätvärdena har. Det är också bra att ha en beredskap för att vissa problem kan ta relativt lång tid att lösa. Många nya studenter, som är ovana vid högskolestudier, lever i tron att varje problem skall kunna lösas på 5 10 minuter. Gör också till en vana att kontrollera dina svar eller att åtminstone göra en rimlighetsbedömning. I verkliga livet finns sällan något facit att konsultera. iv iv

Författaren © F Ö R F A Toch T A R E Studentlitteratur N OCH STUDENTLITTERATUR

FÖRORD

Det är också viktigt att du tränar på att räkna utan miniräknare. Åtminstone vid inledande högskoletentamina i matematik får man sällan använda vare sig miniräknare eller formelsamling. Tillkännagivanden Delar av stoffet utges med tillstånd av Matematiklitteratur i Göteborg. Jag vill också tacka universitetslektor Olow Sande som granskat en preliminär version av manuskriptet och bidragit med en del konstruktiva förslag rörande textens utformning. 2021 Göteborg i augusti mars 2022 Håkan Blomqvist

Innehåll 1. Matematikens struktur 1.1 Utsagor . . . . . . . . . . . 1.2 Logiska operatorer . . . . . 1.3 Sanningsvärdestabeller . . . 1.4 Matematikens uppbyggnad . 1.5 Några bevistyper . . . . . . 1.6 Mängder . . . . . . . . . . 1.7 Hela och rationella tal . . . 1.8 Reella tal . . . . . . . . . . 1.9 Ordningsrelationer . . . . . 1.10 Räkneregler för reella tal .

. . . . . . . . . .

2. Några viktiga baskunskaper 2.1 Polynomdivision . . . . . . . 2.2 Faktoruppdelning av polynom 2.3 Olikheter . . . . . . . . . . . 2.4 Analytisk geometri . . . . . . 2.4.1 Räta linjen . . . . . . . . . 2.4.2 Cirkeln . . . . . . . . . . . 2.4.3 Ellipsen . . . . . . . . . . . 2.4.4 Hyperbeln . . . . . . . . . . 2.5 Absolutbelopp . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

1 1 1 6 8 10 14 20 25 27 30

. . . . . . . . .

33 33 35 44 48 49 51 52 55 57

3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Funktionsbegreppet Det allmänna funktionsbegreppet . Funktionsgrafer . . . . . . . . . . . Omvändbara funktioner . . . . . . . Växande och avtagande funktioner . Sammansatta funktioner . . . . . .

. . . . .

65 65 68 70 74 76

4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Exponential- och logaritmfunktioner Uttrycket ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . Den naturliga exponentialfunktionen. Talet e . . . . Den naturliga logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmlagarna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den naturliga logaritmfunktionen . . . . . . . . . . Allmänna logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De hyperboliska funktionerna och areafunktionerna .

. . . . . . . . .

79 79 81 84 85 87 92 96 97 101

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

. . . . . . . . .

viivii

INNEHÅLL

. . . . . . . . . . . . . . . . .

107 107 109 110 111 114 115 118 121 122 123 125 126 128 129 130 131 134

. . . . . .

139 139 143 153 156 162 167

7. 175 Derivata Historik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1175 Derivatans definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2176 Tangent och normal till en kurva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3182 Deriverbarhet. Höger- och vänsterderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4185 Summa- och skillnadsreglerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.5188 . . . . . . . .7.6191 Produkt- och kvotreglerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammansatta funktioners derivator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7195 De elementära funktionernas derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.8199 Implicit derivering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.9209 . . . . . . . 7.10 213Inversa funktionens derivata . . . . . . . . . . . . . . . . .

175 175 176 182 185 188 191 195 199 209 213

. . . . ar . . . . . . . nklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r . . . . . . . . . . . . . . . grafer . nu. . . . . . . . . . .

. . . . . . n” . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

5. 107 De trigonometriska funktionerna .5.1107 Vinkelmåttet radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De trigonometriska uttrycken för spetsiga vinklar . . . .5.2109 Några exakta värden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3110 De trigonometriska uttrycken för godtyckliga vinklar . .5.4111 Trigonometriska additionsformler . . . . . . . . . . . .5.5114 Formler för dubbla och halva vinkeln . . . . . . . . . .5.6115 .5.7118 Sinus- och arcussinusfunktionernas grafer . . . . . . . Ekvationen sinv = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.8121 De trigonometriska funktionernas perioder . . . . . . .5.9122 .5.10 123Tangens- och arcustangensfunktionernas grafer . . . .5.11 125Ekvationen tanv = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.12 126Cosinus- och arcuscosinusfunktionernas grafer. . . . .5.13 128Ekvationen cosv = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.14 129Cotangens- och arcuscotangensfunktionernas grafer . .5.15 130Trigonometriska ekvationer av typen sinv = sinu. . . .5.16 131Uttrycket asinv + bcosv . . . . . . . . . . . . . . . . .5.17 134Förenkling av arcusuttryck . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

6. 139 Gränsvärden .6.1139 Begreppet ”gränsvärde då x går mot a” . . . . . . Räknelagar för gränsvärden . . . . . . . . . . . . .6.2143 Ett viktigt trigonometriskt gränsvärde . . . . . . . .6.3153 Begreppet ”gränsvärde då x går mot oändligheten” .6.4156 Höger- och vänstergränsvärde . . . . . . . . . . . .6.5162 Kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6167

. . . . . .

8. 219 Tillämpningar av derivata 219 . . . . . . . .8.1219 Maximum och minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Betydelsen av derivatans tecken . . . . . . , . . . . . . . . . 229 . . . . . . . .8.2229

viii attaren och Studentlitteratur viii

Författaren © F Ö R F A T T Aoch R E N OStudentlitteratur CH STUDENTLITTERATUR

INNEHÅLL

8.3 8.4 8.5 8.6

Kurvkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . Bestämning av asymptoter . . . . . . . . . . Exempel på kurvkonstruktion . . . . . . . . Grafisk och numerisk lösning av ekvationer .

. . . .

246 249 255 261

9. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Högre derivator Andraderivata. . . . . . . . . . . . . Inversa funktionens andraderivata . . Betydelsen av andraderivatans tecken Krökning . . . . . . . . . . . . . . . Derivator av högre ordning än två . .

. . . . .

271 271 272 274 281 285

. . . . .

289 289 290 293 294 297

. . . . .

10. Appendix 10.1 Bevis av en grundläggande trigonometrisk additionsformel 10.2 Kompletterande bevis av räknelagar för gränsvärden . . . . 10.3 Ett grundläggande resultat för reella talmängder . . . . . . 10.4 Några viktiga satser om kontinuerliga funktioner . . . . . . 10.5 En analytisk definition av begreppen konvex och konkav . Svar till testuppgifter

299

Övningsuppgifter

319

Svar till övningsuppgifter

351

Index

383

©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C och H S T U Studentlitteratur DENTLITTERATUR

ix ix

GREKISKA ALFABETET

Eftersom grekiskaföljer bokstäver ofta används som symboler i matematiken följer s som symboler i matematiken kstäverna. nedan en förteckning över de grekiska bokstäverna.

FABETET

Gemener         ϑ                

GREKISKA ALFABETET alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa lambda my ny xi omikron pi rho sigma tau ypsilon fi chi psi omega

xx Författaren och Studentlitteratur

Versaler                        

Gemener         ϑ                

Författaren © F Ö R F A T Toch A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR 1.1. Utsagor En utsaga är ett språkligt eller formelmässigt uttalande om ett eller flera matematiska begrepp. En utsaga skall ha en sådan form, att den kan karakteriseras som antingen sann eller falsk. Ex. 1.1. P : 3 − 2 = 1, Q : 3 − 2 = −1, R : 3 − 2, S : π är ett heltal, T : n är ett heltal, U : 2 x = 4

P är en sann utsaga. Q är en falsk utsaga. R är ingen utsaga. S är en falsk utsaga. T och U är öppna utsagor. De innehåller en ospecificerad, så kallad fri, variabel och är sanna för vissa värden på den ospecificerade variabeln och falska för vissa andra värden. Exempelvis är T sann för n = 3, men falsk för n = π . U är sann för x = 2, men falsk för alla andra värden på x.  En utsaga som formuleras före sitt bevis brukar, innan den är bevisad, kallas ett påstående. Orden eftersom och ty kan användas för att beteckna att man gjort en liknande omkastning av ordningsföljden i bevisgången. Det som står närmast efter ”eftersom/ty” är beviset för det som står närmast före.

1.2. Logiska operatorer Med logiska operatorer kan givna utsagor sättas samman till nya utsagor. Vi kommer i denna bok att använda de fem logiska operatorerna

¬ (negation), ∧ (och), ∨ (eller),  (implikation) samt ⇔ (ekvivalens). Dessa brukar kallas de fem konnektiven. (Jämför engelskans ”connect”som betyder ”koppla ihop”.)

Definition 1.2.1. Låt P och Q vara två utsagor. ¬: ¬P är utsagan som förnekar P. ∧ : P ∧ Q är sann om både P och Q är sanna, annars falsk.

∨ : P ∨ Q är sann om minst en av P och Q är sann, annars falsk. : Om Q är en logisk konsekvens av P skriver vi P  Q . ⇔: Om P  Q och Q  P , skriver vi P ⇔ Q .

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Satslogiken behandlar hur man genom logiska operatorer kan sätta samman givna utsagor till nya utsagor. Man går inte in på vad de enstaka utsagorna säger, utan intresserar sig endast för hur deras eventuella sannhet eller falskhet påverkar de sammansatta utsagornas sannhet och falskhet. Av en utsaga P kan man bilda en ny utsaga ¬P genom att negera P, vilket betyder att att man förnekar innehållet i P. Negationen till en utsaga kallas också utsagans motsats. ¬P utläses ”P gäller inte”, ”icke P”. Två negationer tar ut varandra, dvs. ¬(¬P) är utsagan P. Då ¬P är sann sägs P vara falsk. En falsk utsaga är alltså en utsaga vars motsats kan bevisas vara sann.

Ex. 1.2. P : 1 + 2 = 3 är sann. ¬P är falsk, eftersom ¬P är utsagan 1 + 2 ≠ 3 . 

Konjunktionen P ∧ Q kan alternativt skrivas ”P och Q”. Konjunktionen kan uppfattas som en metod att skriva ihop flera utsagor till en utsaga. Ex. 1.3. (a = 1) ∧ (b = 2) betyder dels att a = 1, dels att b = 2.  Eftersom ordet ”och” är kort är symbolen ∧ inte vanlig i matematisk text. Symbolen ∧ måste dessutom sättas mellan hela utsagor, medan språkliga formuleringar tillåter språkets förkortningsmöjligheter.

Ex. 1.4. x = a ≠ 0 är detsamma som ( x = a ) ∧ (a ≠ 0) . 1 < x < 3 är detsamma som ( x > 1) ∧ ( x < 3) .  a = 1 Ex. 1.5. (a = 1) ∧ (b = 2) skrivs ibland a = 1, b = 2 eller  .  b = 2

Disjunktionen P ∨ Q kan alternativt skrivas ”P eller Q”. Symbolen ∨ är ovanlig i matematisk text av samma anledning som symbolen ∧ är ovanlig. P ∨ Q är sann om minst en av P och Q är sann, annars falsk. Ex. 1.6. ( x − a )( x − b) = 0 betyder att ( x = a) ∨ ( x = b). Observera att det inte utesluts att både x = a och x = b är sanna, vilket gäller för a = b . 

Ex. 1.7. x ≤ 0 är detsamma som ( x < 0) ∨ ( x = 0). x = ±1 är detsamma som ( x = −1) ∨ ( x = 1).  22

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Implikationen P  Q utläses ”P medför Q”. (”Om P gäller, så gäller Q”.) Man tillåter också att P  Q skrivs Q ⇐ P. (Pilen skall peka mot Q.)

Ex. 1.8. Om P : 4 x = 12 och Q : x = 3 gäller att P  Q , eftersom (ty)

4 x = 12 

4 x 12 =  x = 3.  4 4

Om man vet att P är sann och att P  Q kan man dra slutsatsen att Q är sann. Ett stort antal satser i matematiken bevisas enligt regeln: antag A, då gäller B, alltså A  B.

Ex. 1.9. Vill man bevisa satsen ”om f är en deriverbar funktion, så är f kontinuerlig” är det lämpligt att inleda beviset med ”låt f vara en deriverbar funktion”.  OBS1! Implikationstecknet kan bara användas mellan utsagor.

x = 3  4x = 12  utsaga

utsaga

Ibland ser man studenter missbruka implikationstecknet och använda det i stället för likhetstecken. Exempelvis saknar följande uttryck mening:

x 2 x+3 . + +1    ej utsaga

ej utsaga

Här skall givetvis likhetstecken användas: x + 2 + 1 = x + 3 .

OBS2! Vid beviset av A  B får man stödja sig på A, men inte på B. Däremot kan man utnyttja ¬B enligt följande: Implikationen B ⇐ A kan även utläsas ”B endast om A”. Detta innebär att om A är falsk måste även B vara falsk, vilket vi kan skriva som ¬B  ¬A. Denna omskrivning av implikationen ger oss följande metod att indirekt bevisa en implikation: Om ¬B antas vara sann och man kan visa att ¬B  ¬A, kan man dra slutsatsen A  B.

Anm. Vad händer då, om A är falsk? I detta fall är A  B alltid sann, oavsett hur B ser ut! För att bevisa A  B skall vi ju anta A och bevisa B. I och med antagandet får vi en motsägelse, eftersom A blir både sann och falsk. I en sådan teori är varje utsaga sann, speciellt då B. © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Med omvändningen av en implikation P  Q menas implikationen Q  P.

Ex. 1.10. Implikationen x > 3  x 2 > 9 är sann (inom teorin för reella tal). Däremot är dess omvändning x 2 > 9  x > 3 falsk. (Tag t.ex. x = −4. )  Om P  Q och Q  P , skriver vi P ⇔ Q . P ⇔ Q utläses ”P är ekvivalent med Q”, alternativt ”P gäller om och endast om Q gäller”.

Ex. 1.11. Om P : 4 x = 12 och Q : x = 3 , gäller att P ⇔ Q . Vi visade i exempel 1.8 att P  Q, och det gäller även att Q  P , eftersom x = 3  4 ⋅ x = 4 ⋅ 3  4 x = 12 . 

Ex. 1.12. Utsagorna R : x = 2 och S : x 2 = 4 är inte ekvivalenta. Det gäller att R  S , eftersom

x = 2  2 ⋅ x = 2 ⋅ 2  x ⋅ x = 2 ⋅ 2  x2 = 4. 2= x

Det gäller inte att S  R , eftersom x 2 = 4  x = ±2 . Däremot gäller att

x 2 = 4 ⇔ ( x = −2) ∨ ( x = 2) vilket också kan skrivas x 2 = 4 ⇔ x = ±2 .  Om lösningarna till en öppen utsaga (t.ex. en ekvation eller en olikhet), skall bestämmas, behöver man oftast förenkla den givna utsagan genom olika kalkyler. Man strävar då efter att kalkylerna skall leda till en utsaga som är så enkel att eventuella lösningar direkt kan avläsas. I gymnasiet arbetar man ofta schablonmässigt och är inte klar över vilka implikationer som finns mellan de utsagor som uppträder när man räknar. Om den förenklade utsagan inte är ekvivalent med den givna utsagan riskerar man att dra felaktiga slutsatser om lösningarna. Vanliga fel är att man

 tappar lösningar genom att dividera en ekvation med ett uttryck som kan bli 0.  får falska lösningar genom att kvadrera båda leden i en ekvation.  får falska lösningar genom att multiplicera en ekvation med ett uttryck som kan bli 0. 44

Författaren © F Ö R F A T Toch A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Ex. 1.13. Vilka implikationer gäller för utsagorna P : 3( x − 2) = x + 4, Q : x 2 = 5 x, R : 1 + 3 x + 1 = x ?

Lösning: Vi löser ekvationerna P, Q och R för att avgöra om de är sanna samtidigt.

I Lös ekvationen 3( x − 2) = x + 4. P : 3( x − 2) = x + 4 ⇔ 3 x − 6 = x + 4 ⇔ 2 x = 10 ⇔ x = 5

II Lös ekvationen x 2 = 5 x. Här får man inte schablonmässigt dividera ekvationen med x och svara x = 5. För x = 0 har man då gjort det i matematiken förbjudna att dividera med 0. Om man dividerar med 0, måste man i efterhand pröva om x = 0 är en rot till ekvationen. En korrekt lösning är Q : x 2 = 5 x ⇔ x 2 − 5 x = 0 ⇔ x( x − 5) = 0 ⇔ ( x = 0) ∨ ( x = 5) . Vi kan nu dra slutsatsen P  Q, eftersom x = 5 ger att Q : x 2 = 5 x ⇔ 5 2 = 5 ⋅ 5 ⇔ 25 = 25 men inte att Q  P eftersom x = 0 ger att P : 3( x − 2) = x + 4 ⇔ 3(0 − 2) = 0 + 4 ⇔ − 6 = 4 .

III Lös ekvationen 1 + 3 x + 1 = x. OBS!

R : 1 + 3x + 1 = x ⇔ 3 x + 1 = x − 1  ( 3 x + 1) 2 = ( x − 1) 2  OBS!

 3x + 1 = x 2 − 2 x + 1 ⇔ − x 2 + 5x = 0 ⇔ x 2 − 5 x = 0 ⇔

⇔ x( x − 5) = 0 ⇔ ( x = 0) ∨ ( x = 5) Eftersom den sista utsagan inte är ekvivalent med den första måste rötterna prövas! Observera att ( 3 x + 1) 2 = ( x − 1) 2  3 x + 1 = ±( x − 1) och att 3 x + 1 = x 2 − 2 x + 1  ( 3x + 1) 2 = ( x − 1) 2 endast då 3 x + 1 ≥ 0. © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

I en ekvation (likhet) kallas det uttryck som står till vänster om likhetstecknet för vänster led (förkortas VL) och det uttryck som står till höger om likhetstecknet för höger led (förkortas HL). Prövning av roten x1 = 5 :

VL = 1 + 3x1 + 1 = 1 + 15 + 1 = 1 + 16 = 1 + 4 = 5 ; HL = x1 = 5 (= VL) . Prövning av roten x 2 = 0 : VL = 1 + 3x 2 + 1 = 1 + 0 + 1 = 1 + 1 = 2 ; HL = x 2 = 0 (≠ VL) . Falsk rot! Det gäller alltså att R :1 + 3x + 1 = x ⇔ x = 5 .

Svar: P  Q och R ⇔ P som kan sammanfattas till R ⇔ P  Q.  OBS! Att x = 0 är en falsk rot till R kan inses direkt, eftersom R : 1 + 3 x + 1 = x ⇔ 3 x + 1 = x − 1 där VL =

3x + 1 ≥ 0 .

HL = x  1 får alltså inte vara negativt, vilket det är för x = 0. Den falska roten x = 0 kommer från ekvationen − 3x + 1 = x − 1.

1.3. Sanningsvärdestabeller De flesta intressanta utsagor består av består av ett antal delutsagor, som är ihopkopplade. Utsagor som inte kan delas upp ytterligare kallas atomära. Då man vill analysera en sammansatt utsaga är det därför praktiskt att sätta upp en sanningsvärdestabell. I tabellen tilldelas de atomära utsagorna alla tänkbara kombinationer av sanningsvärden, varefter man undersöker vad olika kombinationer får för konsekvenser för helheten. Sanningsvärdet för en sammansatt utsaga, dvs. om den sammansatta utsagan är sann eller falsk, beror av sanningsvärdena för de ingående delarna. Verkan av konnektiven kan åskådliggöras med nedanstående sanningsvärdestabell där 1 står för ”sann” och 0 står för ”falsk”. P 0 0 1 1 66

Q 0 1 0 1

P∧Q 0 0 0 1

P∨Q 0 1 1 1

PQ 1 1 0 1

PQ 1 0 0 1

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Testuppgifter till avsnitt 1.1–1.3 T1.1. Vilka av nedanstående uttryck är utsagor? P : 1 − 2, Q : 1 − 2 = 1, R : 1 − 2 = −1, U : x + 7 = 2, V : x + y

T1.2. I vilka av följande uppgifter har implikationen använts korrekt? a) 2 x − 1 = 0  x =

1 2

b) 4 x + 2 − 3 x + 1  x + 3

c) x ≤ 3  x ≤ 2 d) x ≤ 2  x ≤ 3 e) x = 0  x ≤ 0 f) x ≤ 0  x = 0 T1.3. Formulera negationen till följande utsagor: a) Minst 30 personer är närvarande. b) Högst 30 personer är närvarande. c) Högst 5 personer är frånvarande. d) Minst 5 personer är frånvarande. e) 5 personer är närvarande. T1.4. Låt P : 3 x − 6 = 0 , Q : ( x − 2)( x − 3) = 0 och R : x ≥ 2 . a) Ange ¬P respektive ¬R. b) Ange implikationerna mellan P, Q, R respektive ¬P, ¬Q, ¬R. c) För vilka x är P ∧ Q respektive P ∨ Q sanna? T1.5. Låt P : 1 + 2 = 3, Q : 1 + 2 = 4, R : 2 är ett heltal, S : π är ett heltal. Vilka av utsagorna P ∧ Q , P ∧ R, P ∧ S , Q ∧ R , Q ∧ S och R ∧ S respektive

P ∨ Q , P ∨ R , P ∨ S , Q ∨ R, Q ∨ S och R ∨ S är sanna?

T1.6. Förenkla ¬ [(y < x)∨(y > x)]. T1.7. Lös ekvationerna a) x 3 = x 2

b) x − 4 − 2 x = 2

x − 1 ⋅ x + 1 = 15 .

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

1.4. Matematikens uppbyggnad De viktigaste av en matematisk teoris sanna utsagor brukar kallas satser eller teorem. Ett bevis är en argumentationskedja som visar att en viss sats gäller, förutsatt att vissa grundvillkor som kallas förutsättningar är uppfyllda. Vanligen formulerar man satsen först och beviset för satsen efteråt. En utsaga som formuleras före sitt bevis brukar, innan den är bevisad, kallas ett påstående. Inte förrän beviset är färdigt vet man att påståendet är sant. Man får därför i beviset under inga villkor stödja sig på påståendet. Ett axiom är en grundläggande sats som måste accepteras utan bevis. Matematisk teori är uppbyggd av axiom och satser.

Ex. 1.14. Tomma mängdens axiom är ett av de mängdteoretiska axiomen som i ord formuleras: Det finns en mängd A sådan att för varje mängd B gäller att B inte är ett element i A. Axiomet betyder att: ”Den tomma mängden existerar”.  Ett system kallas axiomatiskt, om alla satser i systemet som inte är axiom, går att härleda från axiomen. En mängd av axiom kallas för ett axiomsystem eller en axiomuppsättning.

Ex. 1.15. Ett av de mest kända axiomsystemen är Euklides geometri efter den grekiske matematikern Euklides (ca 325ca 265 f.Kr.). Detta system innehåller fem axiom. Till exempel lyder det andra axiomet: ”Varje begränsad linje kan förlängas obegränsat”. Det femte axiomet är det kända och omdiskuterade parallellaxiomet: ”Givet en rät linje och en punkt som ligger utanför linjen, kan man dra en, och endast en, rät linje som går genom punkten och är parallell med linjen”. Parallellaxiomet är ekvivalent med påståendet att vinkelsumman i en plan triangel är 180o. Euklides försökte själv förgäves bevisa parallellaxiomet ur de övriga fyra. Beroende på om man godtar parallellaxiomet eller inte, och vad man i så fall ersätter det med, får man olika (icke–euklidiska) geometrier. De olika geometrierna är skilda teorier, och en viss sats kan vara sann i en teori och falsk i en annan.  88

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N OStudentlitteratur CH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Påståenden som inte är axiom och inte kan bevisas godtas inte i en matematisk teori. En utsaga som är obevisad, men som tros vara sann, kallas en förmodan. En berömd sådan är Goldbachs förmodan: Varje jämnt heltal större än 2 kan skrivas som en summa av två primtal. Datorberäkningar har visat att påståendet är sant för heltal mindre än 41014, men något allmänt bevis av Goldbachs förmodan finns ännu inte. För att kunna förstå Goldbachs förmodan måste man veta betydelsen av begreppet ”primtal”. Då man kommer till ett begrepp som kräver en längre förklaring och som förekommer upprepade gånger har man möjlighet att genom en definition införa ett kortare uttryckssätt för begreppet. En definition är alltså att uppfatta som en förkortning. Begreppet ”primtal” (av latinets primus som betyder först) definieras t.ex. enligt följande:

Definition 1.4.1. PRIMTAL Ett primtal är ett positivt heltal som är större än 1 och som endast är delbart med sig självt och 1. I stället för den långa harangen ”ett positivt heltal som är större än 1 och som endast är delbart med sig självt och 1” kan man, efter att man gjort definitionen, skriva det korta ”primtal”. I definitionen ovan förutsätts kännedom om betydelsen av begreppet ”delbar med”. Vi behöver därför en förklaring av detta begrepp.

Definition 1.4.2. DELBARHET Heltalet a är delbart med heltalet b  0 om det finns ett heltal n, sådant att a = nb.

Motiv: Att heltalet a är delbart med heltalet b  0 innebär att att a/b är ett heltal, dvs. att a/b = n där n är ett heltal. a/b = n kan skrivas a = nb. Ex. 1.16. 7 (= 17) är endast delbart med 1 och 7. 7 är alltså ett primtal, medan 9 (= 33) är delbart med 3 och därmed inte ett primtal.  Observera att alla primtal utom 2 (= 12) är udda, eftersom ett jämnt heltal alltid är delbart med 2. © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

1.5. Några bevistyper För att bevisa att en utsaga är sann skall man visa hur den genom logisk slutsatsdragning följer ur axiomen. Man behöver dock inte gå ända tillbaka till axiomen, utan det räcker att man drar logiska slutsatser från tidigare bevisade resultat. När man skall lära sig bevisen i en viss matematikkurs måste man försöka hitta balansen mellan vad som kan anses som känt och vad som behöver bevisas i just den kursen. Förutom på axiomen och kända satser stöder man sig i bevisen på så kallade antaganden. Ett antagande är en utsaga som man tills vidare betraktar som sann.

Ex. 1.17. Frasen ”låt n vara ett udda heltal” är ett antagande.  Ett jämnt heltal är ett heltal som är delbart med 2. Varje jämnt heltal kan därför skrivas 2k där k är ett heltal. De udda heltalen är de heltal som ligger mittemellan de jämna, dvs. de jämna heltalen förskjutna med en enhet. Varje udda heltal kan alltså skrivas 2k + 1 där k är ett heltal. En sats består av vissa antaganden som kallas förutsättningar (F) och satsens påstående (P), som är den slutsats som skall dras med utgångspunkt i förutsättningarna. Vi avslutar med att studera några olika typer av bevis. Den enklaste typen av bevis är direkt bevis som kan beskrivas enligt: F  U 1  U 2  ...  P dvs. att man startar med förutsättningarna F och drar med hjälp av dessa och tidigare visade resultat (U1  U 2 etc.) slutsatsen P.

Ex. 1.18. Bevisa satsen: ”Om n är ett udda heltal, så är även n 2 ett udda heltal”. Här gäller alltså: F: n är ett udda heltal, P: n 2 är ett udda heltal.

Bevis: F: n är ett udda heltal  n = 2k + 1 där k är ett heltal   n 2 = (2k + 1) 2  n 2 = 4k 2 + 4k + 1  n 2 = 2(2k 2 + 2k ) + 1   heltal

 P: n 2 är ett udda heltal VSB 10 10

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

För att markera att ett bevis är genomfört avslutar man ofta med förkortningen VSB (Vilket Skulle Bevisas). Man kan även använda den latinska motsvarigheten QED (Quod Est Demonstrandum). En annan vanlig typ av bevis är indirekt bevis eller motsägelsebevis. Det indirekta beviset använder ekvivalensen mellan implikationerna F  P och ¬F ⇐ ¬P som alternativt kan skrivas ¬P  ¬F . Idén är att det ibland kan vara lättare att bevisa den sista implikationen.

Ex. 1.19. Bevisa att: ”Om x ≠ −1 så är ( x + 1)( x − 2) ≠ x 2 + x ”. Bevis: Eftersom det är lättare att visa likhet än olikhet negerar vi implikationen F : x ≠ −1  P : ( x + 1)( x − 2) ≠ x 2 + x och skall då i stället bevisa ¬P : ( x + 1)( x − 2) = x 2 + x  ¬F : x = −1. Hopmultiplikation av parenteserna (distributiva lagen) ger att ( x + 1)( x − 2) = x 2 + x  x 2 − x − 2 = x 2 + x  −2 x = 2  x = −1. VSB Man kan även genomföra ett så kallat motsägelsebevis. Man antar då motsatsen till det man skall bevisa, dvs. att ¬P är sann och erhåller då att ¬P  ...  U där U är falsk, varav ¬P är falsk. Det följer att P är sann.

Ex. 1.20. Bevisa Euklides sats: ”Det finns oändligt många primtal”. Bevis: P: ”Det finns oändligt många primtal” verkar svår att hantera, då det är en utsaga om oändligt många tal. Vi utgår därför från motsatsen. Antag att ¬P: ”Det finns ändligt många primtal” är sann. Säg att de ändligt många primtalen är p1 , p 2 , p 3 ,  , p k ,  , p n , uppskrivna i storleksordning så att p1 är minst och p n är störst. © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

1111

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Med hjälp av dessa bildar vi, i avsikt att få en motsägelse, heltalet m = 1 + p1 ⋅ p 2 ⋅ p 3 ⋅  ⋅ p k ⋅  ⋅ p n −1 ⋅ p n .

Eftersom p k > 1 för k = 1, 2, 3, ... , n  1 blir uttrycket i HL ovan mindre om man ersätter p1 , p 2 , p 3 ,⋅  ⋅, p n −1 med ettor. Detta ger olikheten m > 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅  ⋅ 1 ⋅  ⋅ 1 ⋅ pn = 1 + pn > pn .

m kan inte vara ett primtal eftersom p n är det största primtalet. m måste alltså vara delbar med minst ett primtal, säg p k , varav följer att m = q ⋅ p k för något heltal q. Insättning ger att q ⋅ p k = ( m = ) 1 + p1 ⋅ p 2 ⋅ p 3 ⋅  ⋅ p k ⋅  ⋅ p n

vilket kan skrivas om till q ⋅ p k − p1 ⋅ p 2 ⋅ p 3 ⋅  ⋅ p k −1 ⋅ p k ⋅ p k +1 ⋅  ⋅ p n = 1.

Division med p k > 1 ger att 1 . q − p1 ⋅ p 2 ⋅ p 3 ⋅  ⋅ p k −1 ⋅ p k +1 ⋅  ⋅ p n =    pk heltal

Eftersom VL är ett heltal måste även HL vara ett heltal, och då talet 1 endast är delbart med 1 och p k är positivt följer att p k = 1 . Detta motsäger vårt antagande att p k är ett primtal, eftersom p k > 1 måste gälla enligt definitionen av primtal. Slutsatsen blir att vårt antagande ¬P: ”Det finns ändligt många primtal” är falskt varför motsatsen P: ”Det finns oändligt många primtal” är sann. VSB Alla påståenden är givetvis inte sanna. Att bevisa att ett påstående är falskt är lättare än att bevisa ett påståendes giltighet. Det räcker att hitta ett enda exempel på att påståendet inte gäller, ett så kallat motexempel.

Ex. 1.21. Visa att utsagan ”P: x 2 − 4 x + 3,99 > 0 för alla reella x” är falsk. Kvadratkompletteringen: x 2 − 4 x + 3,99 = ( x − 2) 2 − 0,01 ger idén till

Motexempel: x = 2  x 2 − 4 x + 3,99 = ( x − 2) 2 − 0,01 = −0,01 < 0 .  12 12

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Testuppgifter till avsnitt 1.4–1.5 T1.8. Ange förutsättning och påstående i satsen: ”För alla reella tal x gäller att x 2 ≥ 0 ”.

T1.9. Ge ett direkt bevis för satsen: ”Om n är udda så är n 2 + n jämnt”. T1.10. Ge direkta bevis för följande formler: a) a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) (konjugatregeln) b) a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) c) a 4 − b 4 = (a − b)(a + b)(a 2 + b 2 ) d) a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n − 2 b + a n −3 b 2 +...+ ab n − 2 + b n −1 ) (n heltal). T1.11. Antag att n är ett jämnt heltal större än 2. Ge ett direkt bevis för att 2 n − 1 inte är ett primtal. T1.12. Visa att 1013 − 97 3 är delbart med 4. T1.13. Ge direkta bevis för följande formler: a) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (första kvadreringsregeln) p

b) x 2 + px = ( x + 2 ) 2 − ( 2 ) 2 (kvadratkomplettering). T1.14. a) Ge ett direkt bevis för formeln x 2 + px + q = ( x +

p D 2 + 2 )( x

p D 2 − 2 )

(faktoruppdelning)

givet att D = p 2 − 4q ≥ 0 . (D kallas diskriminant.)

b) Faktoruppdela x 2 + 4 x − 5 . T1.15. Ge ett indirekt bevis av utsagan ” x ≠ 3 

x +1 1 ≠ ”. 8 2

T1.16. Betrakta utsagan ”Om n är ett naturligt tal så gäller att 2n  n + 1”. Bevisa att utsagan är falsk. (De naturliga talen är 0, 1, 2, ...) © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

1313

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

1.6. Mängder En mängd är en samling objekt. Dessa objekt kallas element i mängden. De mängder som används i matematiken skall vara väldefinierade. Med detta menas att det skall vara klart preciserat om ett visst objekt tillhör mängden eller inte. ”Alla läsvärda böcker” utgör t.ex. inte en mängd, eftersom det inte finns någon precis definition av begreppet ”läsvärd bok”. Har mängden bara några få element, kan mängden definieras genom att man skriver upp mängdens element inom en klammer.

Ex. 1.22. A = { 0 }, B = { 0, 1}, C = { − 4, 1, 2, 11 } och D = { a, b, c, d }  Har en mängd många element eller ett oändligt antal element kan man inte skriva upp alla mängdens element inom en klammer. Det finns olika sätt att ange dessa mängder. Ett sådant sätt är att ange några element, som bildar ett visst mönster, vilket inte ger några tvivel om hur uppräkningen av elementen skall fortsättas. Övriga element symboliseras sedan av tre punkter. Ex. 1.23. E = {1, 2, 3,..., 1000}, Z + = {1, 2, 3,...}, N = { 0, 1, 2,... }

I E anger det sist uppskrivna elementet att mängden är ändlig. E, som har de första tusen positiva heltalen som element, består av ändligt många element (1 000 st). Om man avslutar med tre punkter betyder detta att uppräkningen skall fortsätta i all oändlighet. Z+ (mängden av de positiva heltalen), och N (mängden av de naturliga talen), har oändligt många element.  Det vanligaste sättet att definiera en mängd M är att man anger en egenskap, som är gemensam för samtliga element i mängden. Man använder då en variabel, t.ex. x, och skriver M = {x: P(x)}, vilket utläses ”M är mängden av alla x som har egenskapen P(x)”. Variabeln x förutsätts tillhöra en grundmängd G. G kan t.ex. vara mängden av alla reella tal. Ex. 1.24. Mängden F = { x : x − 1 = 0} består endast av elementet 1. 

Att ”elementet x tillhör mängden M” skrivs kortare x  M. Att ”elementet x inte tillhör mängden M” skrivs kortare x  M. Ex. 1.25. För mängden C i exempel 1.23 ovan gäller t.ex. att 1  C och att 3  C. För mängderna i exempel 1.24 gäller att 0  N och att 0 ∉ Z + . 

För att kunna räkna med mängder, behöver man utveckla en mängdalgebra. 14 14

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Vi definierar först begreppet likhet för mängder. Mängderna A och B sägs vara lika, skrivs A = B, om A och B har samma element. Ex. 1.26. {1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {1, 1, 3, 3, 2, 3}

Om mängden A består av alla reella tal vars kub är 8 och mängden B består av alla jämna primtal gäller att A = B, eftersom var och en av mängderna består av enbart talet 2.  Man behöver också definiera lämpliga räknesätt för mängder. De vanligaste räknesätten är ” ∪ ” (union) och ” ∩ ” (snitt).

Definition 1.6.1. UNION OCH SNITT AV MÄNGDER A ∪ B = { x : ( x ∈ A) eller ( x ∈ B)} (Utläses ”A union B”.) A ∩ B = { x : ( x ∈ A ) och ( x ∈ B)}.

(Utläses ”A snitt B”.)

Alla punkter i planet, som omsluts av en given sluten kurva bildar en mängd. En figur av en sådan mängd används ofta för att åskådliggöra en godtycklig mängd och kallas då ett Venndiagram. Exempeivis kan union och snitt av mängder åskådliggöras med Venndiagram. G A

Figur 1.6.1 Venndiagram för A ∪ B .

G A

Figur 1.6.2 Venndiagram för A ∩ B .

Ex. 1.27. Låt A = {0, 1, 2}, B = {2, 3}, C = {−1, 0, 1} och D = {1, 2, 3, …}.

Då gäller: A ∪ B = {0, 1, 2, 3}, A ∪ C = {−1, 0, 1, 2}, A ∪ D = {0, 1, 2, …}, B ∪ C = {−1, 0, 1, 2, 3}, B ∪ D = D, C ∪ D = {−1, 0, 1, 2, 3, …}, A ∩ B = {2}, A ∩ C = {0, 1}, A ∩ D = {1, 2}, B ∩ D = B, C ∩ D = {1}.  B och C i exemplet ovan saknar gemensamma element. B ∩ C = ? © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

1515

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

För att beteckna B ∩ C behöver vi en motsvarighet till de reella talens nolla. Det naturliga valet är att som ”mängdnolla” välja en mängd utan element. En sådan mängd kallas tom. För två tomma mängder är det omöjligt att finna något element i den ena som inte tillhör den andra. Alla tomma mängder är alltså lika. Definition 1.6.2. TOMMA MÄNGDEN

En mängd utan element kallas tomma mängden. Tomma mängden betecknas . Om det gäller att A ∩ B =  sägs mängderna A och B vara disjunkta. Man kan säga att union för mängder motsvarar räknesättet addition. Det finns också en operation som motsvarar räknesättet subtraktion. Definition 1.6.3. DIFFERENS AV MÄNGDER

A \ B = { x : ( x ∈ A) och ( x ∉ B)}. (Utläses ”A differens B”.)

G A\B

Figur 1.6.3 Venndiagram för A\ B.

Ex. 1.28. Låt A = {a, b}, B = {a, c} och C = {b, c, d}.

Då gäller att A \ B = { b} och att C \ B = { b, d }.  Ibland kan det gälla att alla element i mängden A också utgör en del av elementen i en annan mängd B, t.ex. om A = {a, b} och B = {a, b, c}.

Definition 1.6.4. DELMÄNGD

Om x ∈ A  x ∈ B , säger vi att ”A är en delmängd av B” vilket skrivs A ⊆ B ( eller B ⊇ A ).

16 16

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N OStudentlitteratur CH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

G A

Om A ⊆ B gäller att

A ∪ B = B och att A ∩ B= A . Figur 1.6.4 Venndiagram för A ⊆ B .

Observera att A  A. Om A  B och A  B skriver vi att A  B, vilket utläses ”A är en äkta delmängd av B”.

Ex. 1.29. Om A = {1, 2}, B = {0, 1, 2} och C = {1, 2, 3, ...} gäller att A  A, A  B, A  C, B  B, B ⊃ A, C  C och C ⊃ A.  Om G   är en given mängd, vars delmängder man betraktar, sägs G vara en grundmängd för delmängderna.

Definition 1.6.5. KOMPLEMENTET TILL EN MÄNGD A C = G \ A = { x : ( x ∈ G ) och ( x ∉ A )} (”A-komplement”)

( )

Det gäller att A C

= A,

A ∪ A C = G och att A ∩ A C = . C

Figur 1.6.5 Venndiagram för A .

Ex. 1.30. Låt A = {1, 2, 3,..., 1000} och B = { 3, 4, 5,... }.

Om G = Z + = {1,2,3,...} gäller att A C = {1001, 1002, 1003,... } och att B C = {1, 2}.

Om G = N = { 0,1,2,...} gäller att A C = { 0, 1001, 1002, 1003,... } och att B C = {0, 1, 2}. 

Då man fastställt vilken grundmängd som gäller kan man kortare skriva A C = { x : x ∉ A}.

1717

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Historik. Den moderna mängdläran grundlades i slutet av artonhundratalet av den tyske matematikern George Cantor (1845–1918). Hans arbeten mellan 1874 and 1884 är grunden för mängdläran. Cantors definition av begreppet mängd: ”By an aggregate (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Ganzen) M of definite and separate objects m of our intuition or thought. These objects are called the elements of M”. Före Cantor var begreppet mängd elementärt; ingen hade insett att mängdläran innehöll något icke-trivialt. Man ansåg att begreppet ”oändliga mängder” var mer lämpat för filosofisk snarare än matematisk diskussion. Genom att visa att det finns många möjliga storlekar för oändliga mängder, fastslog Cantor att mängdläran inte var trivial och förtjänade att studeras. Cantor bevisade bl.a. att Q (mängden av alla rationella tal) är uppräknelig (den kan numreras med hjälp av de positiva heltalen) och att R (mängden av reella tal) inte är uppräknelig. Cantor utsattes till en början för åtskilliga hätska påhopp från kritiker, vilket antagligen bidrog till att han under senare delen av sitt liv led av depression.

En strängt axiomatisk uppbyggnad av mängdläran gavs vid 1900-talets början av tysken Ernst Zermelo (1871–1953) och senare av (den tyskfödde) israelen Abraham Fraenkel (1891–1965). År 1908 publicerade Zermelo sitt axiomsystem för mängdläran. Hans motiv var dels att eliminera de paradoxer som uppstått inom mängdläran och dels att säkerställa sitt bevis från år 1904 av välordningssatsen, som hade utsatts för kritik. Fraenkels mest kända arbete är det som handlar om axiomatisk mängdlära och som publicerades år 1919 i Einleitung in die Mengenlehre (Introduktion till mängdläran). Åren 1922 och 1925 publicerade han två arbeten, som avsåg att förbättra Zermelos axiomsystem och som resulterade i Zermelo-Fraenkels axiomsystem. Mängdläran har numera fått rollen av grundläggande teori i modern matematik, på så sätt att den tolkar påståenden om matematiska objekt, exempelvis tal och funktioner, från alla traditionella områden inom matematiken, såsom algebra, analys och topologi, i en enda teori.

Cantor

18 18

Zermelo

Fraenkel

Författaren © F Ö R F A T T och A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Testuppgifter till avsnitt 1.6 T1.17. Låt A = { 0,1}, B = {1,2,3} och C = { 2,3,4}. Ange a) A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C

b) A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C

c) C \ B .

T1.18. Ange alla delmängder till mängden B = {1,2,3}. T1.19. Förenkla följande mängduttryck: a) A ∩ φ

b) A ∪ φ

g) A\ (B \ A)

c) A ∩ G

h) A ∩ (B \ A)

d) A \ G e) A ∪ A C

i) B ∩ (B \ A)

f) A\ (A\ B)

j) A ∪ ( A \ B).

T1.20. Skriv A ∪ B som en union av tre parvis disjunkta mängder. T1.21. För en ändlig mängd M används beteckningen n (M) för antalet element i mängden.

Antag att n (A) = a, n (B) = b och n (A ∩ B) = c. a) Beräkna n [( A \ B) ∪ (B \ A )] . b) Beräkna n ( A ∪ B) . T1.22. Produktmängden av två mängder A och B betecknas A  B och definieras genom A × B = {( a, b) : ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B)} .

Bestäm A  B och B  A då A = {1, 2, 3} och B = { 2, 4}. T1.23. Betrakta grundmängden G = { a, b, c, d } med delmängderna A = { a, b, c}, B = { a, b, d } och C = { a, d }. Ange

a) A C , B C , C C b) ( A ∪ B) C , A C ∩ B C c) ( A ∩ B) C , A C ∪ B C . T1.24. Bevisa att ( A ∩ B) C = A C ∪ B C .

1919

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

1.7. Hela och rationella tal

Redan tidigt i grundskolan lär man sig att räkna med heltal. Man brukar börja med att addera de naturliga heltalen som i matematiken betecknas N = { 0,1,2,...} (de naturliga talen)

och som vi anser primärt givna. De naturliga talen kan identifieras med vissa punkter på en rät linje, som kallas tallinjen. Först fixeras två punkter på linjen, ett origo O som representerar talet 0 och, till höger om O, en enhetspunkt, som representerar talet 1. Sträckan mellan 0 och 1 används sedan som enhet vid avståndsmätning på linjen. Talet 2 avsätts en enhet till höger om talet 1 osv. Addition i N kan åskådliggöras med hjälp av tallinjen på följande sätt: 1+2=3 1 0

2 1

Figur 1.7.1 Additionen 1 + 2 = 3 åskådliggjord med hjälp av tallinjen.

Då man adderar två naturliga tal erhålls alltid ett nytt naturligt tal. Man säger att N är sluten under addition (+). Multiplikation () av naturliga tal kan definieras enligt a ⋅ b = b+ b + +b för a, b  N.   a st

Definitionen medför att N även är sluten under multiplikation (). För multiplikation gäller att det neutrala elementet är 1, det vill säga att a  1 = 1  a = a för alla a  N.

Däremot gäller att a  0 = 0  a = 0 för alla a  N (0 är neutralt element för + men ej för ).

Addition och multiplikation länkas samman genom den distributiva lagen a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c .

Efter ett tag skall grundskoleeleven också lära sig att subtrahera positiva heltal och finner då att N inte räcker till, dvs. att N är inte sluten under subtraktion. Till exempel saknar operationen ”1  2” mening i N. För att kunna subtrahera positiva heltal utvidgar man N med de negativa heltalen. 20 20

Författaren © F Ö R F A T Toch A R E N Studentlitteratur OCH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Utvidgningen sker genom att man till varje positivt heltal a associerar precis ett tal a sådant att a + (a) = a + a = 0. a kallas inversen till a. De hela talen är alltså talmängden Z = {...,−3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3,...} (från tyska Zahl = tal).

Antag att a, b, c  Z. Räkneoperationen addition (+) i Z har då följande egenskaper som utgör den grund från vilken man kan bygga vidare: A0. a + b ∈ Z

(Z är sluten under addition)

A1. a + (b + c ) = ( a + b) + c

(associativa lagen för addition)

A2. a + b = b + a

(kommutativa lagen för addition)

A3. Det finns ett entydigt bestämt 0  Z sådant att, för alla a  Z,

a+0 = a

(existens av neutralt element)

A4. Till varje a  Z finns ett entydigt bestämt a  Z sådant att

a + (−a) = 0

(existens av invers).

Anm. Man säger att Z bildar en kommutativ grupp under operationen (+).

Ekvationen x + b = a kan nu lösas i Z genom addition av b i båda leden och användning av räknelagarna ovan på följande sätt: x+b = a

( x + b) + (−b) = a + (−b)

(Använd A1)

x + (b + (−b)) = a + (−b)

(Använd A4)

x + 0 = a + ( −b )

(Använd A3)

x = a + ( −b ) .

Subtraktion av heltalen a och b kan nu definieras enligt a − b = a + (−b) för a, b  Z. DEF

För subtraktion gäller till exempel teckenregeln a − (−b) = a + b

som motiveras på följande sätt: © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

2121

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Om b byts mot b i b + (−b) = 0 får man att − b + (− (−b)) = 0 varav − (−b) = b . Det gäller alltså att a − (−b) = a + (− (−b)) = a + b . DEF

Subtraktion åskådliggörs med hjälp av tallinjen på följande sätt: 12

2 -3

-1

1 Figur 1.7.2 Subtraktionen 1  2 = 1 åskådliggjord med hjälp av tallinjen.

Många vardagsproblem kan dock inte lösas då man enbart har tillgång till Z. Ex. 1.31. En bräda med längden 1 m skall sågas itu i tre lika stora delar. Hur lång blir varje del?

Om man antar att varje del har längden x m, kan man ställa upp ekvationen 3 ⋅ x = 1. För heltal x som är mindre än 0 blir VL (vänster led) negativt. För x = 0 blir VL = 0, och för x = 1 blir VL = 3. För heltal som är större än 1 blir VL större än 3. Det finns alltså inget heltal x som ger att VL = 1. Ekvationen 3x = 1 har alltså ingen lösning om x är ett heltal.  För att kunna lösa ekvationer av denna typ, det vill säga att kunna dividera, behöver man införa de rationella talen Q (engelska Quotient = kvot). För varje heltal q  Z, utom q = 0, införs talet 1/ q = q −1 som den entydiga lösningen till ekvationen q  x = 1. Talet 1/q kallas inversen till q med avseende på multiplikation. För ett godtyckligt p  Z definierar vi division med q med hjälp av multiplikation enligt: p q

= p ⋅ 1q = 1q ⋅ p .

DEF

Vi kan nu utöka vårt talsystem till de rationella talen (ratio = kvot) Q=

22 22

{ qp : p, q ∈ Z och q ≠ 0}

(de rationella talen).

Författaren © F Ö R F A T T Aoch R E N OStudentlitteratur CH STUDENTLITTERATUR

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Antag att a, b, c  Q. Räkneoperationen multiplikation () i Q har då följande egenskaper: M0. a ⋅ b ∈ Q

(Q är sluten under multiplikation)

M1. a ⋅ (b ⋅ c) = ( a ⋅ b) ⋅ c

(associativa lagen för multiplikation)

M2. a ⋅ b = b ⋅ a

(kommutativa lagen för multiplikation)

M3. Det finns ett entydigt bestämt 1  Q sådant att, för alla a  Q,

1⋅ a = a

(existens av neutralt element)

M4. Till varje 0  a  Q finns ett entydigt bestämt a −1  Q sådant att a −1 ⋅ a = 1

(existens av invers).

Anm. Man säger att Q bildar en kommutativ grupp under operationen (). Den allmänna förstagradsekvationen qx = p, där p, q  Z, kan nu, utom för q = 0, lösas genom multiplikation med 1/q enligt följande:

q⋅x= p 1 1 ⋅ (q ⋅ x) = ⋅ p q q

(Använd M1)

1 1 ( ⋅ q) ⋅ x = ⋅ p q q

(Använd M4 och M2)

1⋅ x = p ⋅

x= p⋅

1 q

(Använd M3)

1 p = . q q

Ekvationen 3 ⋅ x = 1 i exempel 1.32 har alltså lösningen x =

1 3

i Q.

De rationella talen utmärks av att de har en decimalutveckling som är periodisk, dvs. efter ett visst ändligt antal decimaler återkommer samma grupp av decimaler i all oändlighet (eller upphör).

Ex. 1.32.

1 = 0,333 3

4 = 0,571428571428571428 7

Här återkommer siffergrupperna 3 respektive 571428 i all oändlighet. © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

23 23

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Ex. 1.33. Vilket rationellt tal har decimalutvecklingen 0,272727... ? Lösning: Om vi sätter r = 0,272727... gäller att 100r  r = 27,272727...  0,272727... Subtraktion ger oss att 99r = 27 varav följer r=

27 9 ⋅ 3 3 = .  = 99 9 ⋅ 11 11

De rationella talen kan åskådliggöras geometriskt med hjälp av punkter på tallinjen genom följande konstruktion: B

-3

-1

O 0

D 1

C x

Figur 1.7.3 De rationella talen åskådliggjorda med hjälp av tallinjen.

Linjen L dras genom O. Avsätt sträckan OA med längden q och sträckan OB med längden p längs linjen L. Drag en rät linje från A till punkten 1 på tallinjen. Drag en rät linje från B parallellt med AD. Denna linje skär tallinjen i C som svarar mot punkten x på tallinjen. Eftersom trianglarna OCB och ODA är likformiga följer att p x p = dvs. x = . q 1 q Mellan två olika rationella tal kan man skjuta in andra rationella tal så att differensen mellan två på varandra följande inskjutna tal blir godtyckligt liten. Exempelvis kan man mellan de rationella talen a och b, där b ligger till höger om a på tallinjen, skjuta in de rationella talen a + (b − a ) / n, a + 2(b − a ) / n,  , a + (n − 1)(b − a ) / n

där n ∈ Z + kan väljas godtyckligt stort. Man säger därför att Q är en överallt tät mängd. 24 24

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

1.8. Reella tal Trots att Q är en tät mängd fyller Q inte alla luckor mellan heltalen på tallinjen, vilket framgår av följande konstruktion: B x

-3

-1

O 0

1 A 1

Figur 1.8.1 Konstruktion av talet

Sträckan AB med längden 1 avsätts från punkten 1 på tallinjen vinkelrätt mot tallinjen enligt figur ovan. Om vi antar att sträckan OB har längden x ger Pythagoras sats tillämpad på den rätvinkliga triangeln OAB att x 2 = 12 + 12 dvs. x 2 = 2 .

För den positiva lösningen till ekvationen x 2 = 2 införs beteckningen 2 . Med hjälp av en passare ritas cirkeln med centrum i origo O och radien OB. Cirkeln skär positiva tallinjen i punkten 2 .

Sats 1.8.1. Talet

2 är inte rationellt.

Bevis: För att bevisa satsens påstående används ett motsägelsebevis. Man startar med att anta att motsatsen till det man skall bevisa är sant och visar sedan att detta antagande leder till en orimlighet. Antag alltså att ekvationen x 2 = 2 har en lösning x = p/q, där p och q  0 är heltal och där p och q är fullständigt förkortade. (Att p och q är fullständigt förkortade betyder att p och q inte har några gemensamma faktorer utom 1. Exempelvis kan 24 förkortas till 12 .) Insättning av x = p/q i ekvationen x 2 = 2 ger 2

 p p2 p   = 2 ⇔ 2 = 2 ⇔ p 2 = 2q 2 ⇔ ⋅ p = q ⋅ q . 2 q q

25 25

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Eftersom p och q ⋅ q är heltal måste även p/2 vara ett heltal n, vilket innebär att p = 2n. Insättning av p = 2n i den sista likheten på sid. 25 ger

2n q ⋅ 2n = q ⋅ q ⇔ n ⋅ n = q ⋅ . 2 2 Eftersom n ⋅ n och q är heltal följer att q/2 är ett heltal m varav q = 2m. Vi har nu bevisat att såväl p som q har faktorn 2 vilket strider mot vårt antagande att p och q inte har några gemensamma faktorer utom 1. Detta antagande är alltså falskt och det innebär motsatsen är sann, dvs. ”det finns inte något rationellt tal x som löser ekvationen x2 = 2”. VSB (Se även exempel 2.5 på sid. 43!) Genom att rita en kvadrat med sidan 1 dm och mäta diagonalen med en linjal finner man att 2 ≈ 1,4 . (Tecknet ≈ betyder ”ungefär lika med”.) Med hjälp av lämpliga numeriska metoder (se avsnitt 8.6 sid. 269) kan man beräkna 2 med godtyckligt antal decimaler. Man finner t.ex. att 2 = 1,414213562 ...

2 tillhör en talmängd som benämns de irrationella talen. De irrationella talen utmärks av att de har en decimalutveckling som är oändlig och ickeperiodisk. Detta betyder att för decimalutvecklingarna av irrationella tal går det aldrig att hitta ett mönster i decimalutvecklingen, hur många decimaler man än tar med. De irrationella talen fyller i alla luckor mellan de rationella talen på tallinjen. De rationella och de irrationella talen bildar tillsammans de reella talen, som betecknas R, och är den talmängd på vilken vår analys i kommande kapitel baseras. R har den fundamentala egenskapen att mot varje punkt på tallinjen svarar ett entydigt bestämt reellt tal.

Anm. 1. Kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter har samma värde för alla cirklar. Detta värde kallas π. Att π inte är ett rationellt tal ( π  Q), bevisades 1761 av tysken Lambert. π tillhör de transcendenta talen. Ett transcendent tal är ett tal, som inte kan definieras som ett nollställe till ett polynom med rationella koefficienter. Att π är transcendent bevisades 1882 av von Lindemann. Vissa transcendenta tal, t.ex. π kan i stället definieras som ett gränsvärde. De ”flesta” irrationella tal är transcendenta, i den meningen att de algebraiska talen utgör en uppräknelig oändlig mängd, medan det inte finns något sätt att räkna upp de transcendenta talen. 26 26

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Anm. 2. Inte ens de reella talen räcker dock till för att man skall kunna lösa alla andragradsekvationer med reella koefficienter! Tag t.ex. ekvationen x 2 + 1 = 0 som kan skrivas x ⋅ x = −1. HL är alltid negativt. Om x är ett positivt reellt tal gäller att VL är positivt. Om x = 0 gäller att VL = 0. Om x är ett negativt reellt tal gäller att VL är positivt (eftersom minus gånger minus är plus). Det finns alltså inget reellt tal som löser ekvationen x 2 + 1 = 0 ! För att kunna lösa ekvationen behöver man de komplexa talen C = x + iy : x, y ∈ R och i är sådant att i 2 = −1 .

{

}

1.9. Ordningsrelationer I N, Z, Q och R är en ordningsregel < (utläses mindre än) definierad. I stället för a < b (a mindre än b) kan man också skriva b > a (b större än a). Ordningsregeln har följande egenskaper:

O1. Om a och b är reella tal, gäller en och endast en av relationerna a < b, a = b, b < a

O2. (a < b) ∧ (b < c)  a < c

(transitiva lagen)

O3. a < b  a + c < b + c för alla c O4. (a < b) ∧ (0 < c)  ac < bc . Ex. 1.34. Visa att om a < b och c < d , så är a + c < b + d, dvs. att två olikheter där olikhetstecknen går åt samma håll får adderas. Bevis: a < b a + c < b + c , c < d  c + b < d + b  b + c < b + d O3

a + c < b + c och b + c < b + d  a + c < b + d VSB O2

Olikheter får inte subtraheras, även om olikhetstecknen går åt samma håll. Exempelvis ger en subtraktion av olikheten 0 < 2 från olikheten 2 < 3, det orimliga resultatet 2 < 1. OBS! O4 gäller inte för c < 0! Multplikation av olikheten 3 < 1 med 2 skulle med regeln O4 ovan t.ex. ge att (2)( 3) < (2)( 1)  6 < 2. Vårt motexempel antyder att vid multiplikation av en olikhet med ett negativt tal, måste olikhetstecknet vändas. Vi bevisar detta. © Författaren F Ö R F A T T A R E N O C H och S T U D EStudentlitteratur NTLITTERATUR

27 27

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Ex. 1.35. Bevisa att (a < b) ∧ (c < 0)  bc < ac. Bevis: c < 0 ⇔ c + (−c) < 0 + (−c) ⇔ 0 < −c (c negativt medför c positivt) (a < b) ∧ (0 < −c)  a (−c) < b(−c)  −ac < −bc  − ac + ac < −bc + ac  O4

 0 < ac − bc  0 + bc < ac − bc + bc  bc < ac VSB O3

OBS! Vid multiplikation av en olikhet med ett negativt tal, måste alltså olikhetstecknet vändas. Ex. 1.36. Lös olikheten 3 − 2 x > 7. Lösning: 3 − 2 x > 7 ⇔ 3 − 2 x + (−3) > 7 + (−3) ⇔ −2 x > 4 ⇔ Vänd!

⇔ (− 12 ) ⋅ (−2 x) < (− 12 ) ⋅ 4 ⇔ x < −2 

Sammanhängande mängder på tallinjen brukar kallas intervall.

Definition 1.9.1. INTERVALLBETECKNINGAR Antag att a och b är reella tal med a < b . Vi inför intervallbeteckningar enligt följande: (a, b) = {x : a < x < b}, [a, b) = {x : a ≤ x < b}, (a, b] ={x : a < x ≤ b}, [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} . (a, b) kallas öppet, [a, b] slutet, [a, b) och (a, b] kallas halvöppna (eller halvslutna). För obegränsade intervall införs beteckningar med hjälp av oändlighetstecknet (∞). (a, ∞) = {x : a < x < ∞}) = {x : x > a} , [a, ∞) = {x : x ≥ a} (−∞, b) = {x : −∞ < x < b} = {x : x < b} , (−∞, b] = {x : x ≤ b} 28 28

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Anm. Intervallet ( −∞, ∞) = {x : x är reell} = R är hela reella tallinjen. Ex. 1.37. Skriv, med mängdklammerbeteckning, talmängderna a) [−2, − 1)

b) ( 12 , ∞)

c) (−∞, 2] .

Lösning: a) [−2, − 1) = {x : −2 ≤ x < −1} b) ( 12 , ∞) = {x : x > 12 } c) (−∞, 2] = {x : x ≤ 2}  Ex. 1.38. Skriv talmängden {x : ( x < −1) ∧ ( x ≥ −2)} med intervallbeteckning. Lösning: Vi söker de x som tillhör både intervallet (−∞,1) och intervallet [−2, ∞). Som stöd ritar vi intervallen under tallinjen. -3

-2

-1

 x < −1 x ≥ −2 •

Svar

•



Svar: {x : ( x < −1) ∧ ( x ≥ −2)} = {x : −2 ≤ x < −1} = [−2,−1)  Ex. 1.39. Skriv talmängden {x : ( x < −2 ) ∨ ( x ≥ 3)} med intervallbeteckning. Lösning: -3

-2

-1

 x < −2 x≥3 •

Svar: {x : ( x < −2 ) ∨ ( x ≥ 3)} = (−∞,−2) ∪ [3,∞) 

29 29

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

Testuppgifter till avsnitt 1.9 T1.25. Visa att a) a < b ⇔ b − a > 0

b) (a > 0) ∧ (b > 0)  ab > 0 .

T1.26. Lös följande olikheter: a) 2 + x < 0

b) 2 − x < 0

1 <0 2− x

d) 2 x + 3 ≥ 5( x + 1) + 4 .

T1.27. Skriv följande talmängder med intervallbeteckning: a) {x : (−1 < x < 2 ) ∨ (0 < x ≤ 3)} c) {x : ( x < 2 ) ∨ ( x ≤ 3)}

b) {x : (−1 < x < 2) ∧ (0 < x ≤ 3)}

d) {x : ( x < 2 ) ∧ ( x ≤ 3)} .

[ Gör en skiss av intervallen under tallinjen.] 1.10. Räkneregler för reella tal För att ge en logisk framställning av den matematiska analysen, är det nödvändigt att precisera vilka räknelagar som används. För den teori, som skall presenteras i kommande kapitel, väljer vi (med ledning av framställningen i 1.7), egenskaperna A0A4, M0M5 och O1O6 nedan som axiom. Räknelagarna A1A4, M1M5 och O2O4 borde vara väl bekanta från gymnasiet.

Anm. Det är möjligt att starta med färre axiom än de vi har valt och sedan ur dessa härleda övriga egenskaper. Detta ligger emellertid utanför ramen för en inledande högskolekurs i matematisk analys. I R är räkneoperationerna (+) och ( ⋅ ) samt en ordningsregel (< ) definierade. För a, b, c  R gäller att

A0. a + b ∈ R

(R är sluten under addition

A1. a + (b + c ) = ( a + b) + c

(associativa lagen för addition)

A2. a + b = b + a

(kommutativa lagen för addition)

A3. Det finns ett entydigt bestämt 0  R sådant att, för alla a  R,

a+0 = a

(existens av neutralt element)

A4. Till varje a  R finns ett entydigt bestämt  a  R sådant att a + (−a) = 0 30 30

KAPITEL 1. MATEMATIKENS STRUKTUR

M0. a ⋅ b ∈ R

(R är sluten under multiplikation)

M1. a ⋅ (b ⋅ c) = ( a ⋅ b) ⋅ c

(associativa lagen för multiplikation)

M2. a ⋅ b = b ⋅ a

(kommutativa lagen för multiplikation)

M3. Det finns ett entydigt bestämt 1  R sådant att, för alla a  R,

1⋅ a = a

(existens av neutralt element)

M4. Till varje 0  a  R finns ett entydigt bestämt a −1  R sådant att a −1 ⋅ a = 1

M5. a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

(existens av invers) (distributiva lagen)

O1. För a och b gäller en och endast en av relationerna a < b, a = b, b < a

O2. (a < b) ∧ (b < c)  a < c

(transitiva lagen)

O3. a < b  a + c < b + c för alla c O4. (a < b) ∧ (0 < c)  ac < bc O5. För varje a ∈ R finns n ∈ N sådant att a < n (arkimediska egenskapen).

I appendix behövs även fullständighetsegenskapen (dedekindegenskapen).

O6. Låt A och B vara två reella talmängder sådana att (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)  a ≤ b. Då finns minst ett reellt tal r sådant att a  r för alla a  A och r  b för alla b  B.

Historik. Under senare 1800-talet insåg man att analysens vidare utveckling i stor utsträckning var beroende av en förbättring av analysens fundament. Centralt var begreppet gränsvärde. Begreppen derivata och integral kunde definieras skarpt med hjälp av gränsvärdesbegreppet. På så sätt befriades analysen från beroendet av geometrisk eller fysikalisk intuition. Det nya angreppssättet förutsatte ett talsystem i vilket konvergenta följder hade gränsvärden och motiverade en utveckling av teorin för reella tal. Mot slutet av 1800-talet vändes uppmärksamheten mot de irrationella talen. Dedekind införde begreppet dedekindsnitt, som nu är standarddefinitionen av reella tal. ©Författaren F Ö R F A T T A R E N O C Hoch S T U DStudentlitteratur ENTLITTERATUR

3131

Håkan Blomqvist är civilingenjör och teknologie doktor i matematik. Han har som universitetslektor i matematik vid Chalmers tekniska högskola fått en omfattande erfarenhet av undervisning på såväl högskole- som civilingenjörsutbildningar. Dessa erfarenheter ligger till grund för denna bok. Författaren är en mycket omtyckt föreläsare och har genom åren erhållit flera pedagogiska priser.

Envariabelanalys för teknisk högskola Del 1 Boken är den första i en serie om tre och omfattar den matematik som brukar tas upp i inledande kurser på tekniska högskolor: matematikens byggstenar och struktur, funktionsbegrepp, exponential- och logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner och arcusfunktioner, gränsvärden, derivata och högre derivator med tillämpningar samt kurvkonstruktion. Boken innehåller ett stort antal övningsuppgifter och utförligt lösta exempel, vilket bidrar till en ökad förståelse av såväl begrepp som teori. De två första böckerna i bokserien är avsedda för både högskoleingenjörs- och civilingenjörsutbildningar och är upplagda så att de förstnämnda kan välja att hoppa över mer krävande teori. Del två i bokserien behandlar integraler med tillämpningar, komplexa tal, differentialekvationer med tillämpningar, tayloroch maclaurinutvecklingar samt serier. Del tre i bokserien behandlar flervariabelanalys och är främst avsedd för civilingenjörsutbildningar.

Art.nr 40584

studentlitteratur.se