9789144119663 by Smakprov Media AB

FAVORIT MATEMATIK 8 Elevpaket – Digitalt + Tryckt

LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS SAMTLIGA DELAR

FAVORIT MATEMATIK 8 Elevpaket – Digitalt + Tryckt Favorit matematik 8 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. Favorit Matematik uppfyller alla delar i Lgr 22, kursplanen för matematik.

ELEVBOK Bokens består av genomgångar som följs av räkneexempel, samt uppgifter som är uppdelade i E/C-uppgifter i stigande svårighetsgrad, repetitionsuppgifter och A-uppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas.

DIGITALT LÄROMEDEL I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva uppgifter. Det finns även programmeringsövningar i Python och Javascript med tilllhörande editor, samt instruktioner och filmer till båda programmeringsspråken.

Interaktiv version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Interaktiva övningar

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

klicka på bilden och prova

Favorit matematik

8 Martti Heinonen • Markus Luoma • Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio • Timo Tapiainen Tommi Tikka • Timo Urpiola

Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Redaktion: Ingeli Jönsson Stegmark, Tommy Lundahl Anpassning av uppgifter: Per Berggren, Maria Lindroth, Nafi Zanjani Omslag: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Översättning: Cilla Heinonen Art.nr 39363 ISBN 978-91-44-11966-3 Upplaga 1:4 © 2019 Studentlitteratur AB för den svenska utgåvan Originalets titel: Nya Pi 8 © 2016 Publishing Company Otava, Helsingfors Heinonen, Luoma, Mannila, Rautakorpi-Salmio, Tapiainen, Tikka, Urpiola Printed by GPS Group, Austria 2022

i Arbeta med Favorit matematik 4 1 Procent

1 2 3 4

En hel är hundra procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bråk i procentform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Från procent till decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Hur många procent? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fördjupning: Problemlösning med procent och stavmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Procent av en helhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6 Hur mycket är 100 %? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Fördjupning: Problemlösning med procent . . 33 7 Förändring i procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 8 Procentuell jämförelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Fördjupning: Ökning eller minskning? . . . . . . 41 9 Beräkna det ursprungliga värdet . . . . . . . . . . . 42 10 Rabatter och prishöjningar . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11 Förändringsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Fördjupning: Flera procentuella förändringar 53 12 Räkna med procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 13 Matematik i ekonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Fördjupning: Ränta på ränta . . . . . . . . . . . . . . . 63 14 Matematik i kemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Fördjupning: Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Statistik

1 Tolka grafer och diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 Stapel- och stolpdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Fördjupning: Befolkningspyramid . . . . . . . . . . . 84 Fördjupning: Gapminder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3 Cirkel- och linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4 Bearbeta och presentera statistik . . . . . . . . . . 92 5 Medelvärde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6 Typvärde och median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7 Variationsbredd och fördelning . . . . . . . . . . . 104 8 Blandade statistiska lägesmått . . . . . . . . . . . . 108 9 Samla in data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10 Vilseledande statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Fördjupning: Vilseledande statistik . . . . . . . . 121 11 Rita linje- och stapeldiagram . . . . . . . . . . . . . 122 12 Rita cirkeldiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Digitala verktyg: Rita diagram i ett kalkylprogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

13 Kategorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14 Statistisk undersökning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3 Längder, areor och cirklar

148

1 Närmevärden och avrundning . . . . . . . . . . . . 150 2 Uppskatta och räkna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Programmering: Javascript – Avrundning av decimaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3 Mäta och uppskatta längder . . . . . . . . . . . . . . 160 Historiskt nedslag: Gamla längdenheter . . . 165 4 Längduträkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5 Mäta och uppskatta area . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Historiskt nedslag: Gamla svenska mått för area . . . . . . . . . . . . . 175 6 Arean av rektangel och parallellogram . . . . . 176 7 Triangelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8 Arean av månghörningar . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Programmering: Javascript – Arean av några geometriska figurer . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9 Kvadratroten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 11 Cirkelns omkrets och pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12 Cirkelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 13 Räkna med cirklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Historiskt nedslag: Cirkelns kvadratur . . . . . 211 14 Längden av en cirkelbåge . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 15 Sektorns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Fördjupning: Arean av ett segment . . . . . . . . 219 16 Räkna med areor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 17 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

4 Potenser 230 1 Potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 2 Produkten av potenser med samma bas . . . 236 3 Kvoten av potenser med samma bas . . . . . . 238 Fördjupning: Inverterade tal . . . . . . . . . . . . . . 241 4 Negativa heltal och noll som exponent . . . . 242 5 Räkna med potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Fördjupning: Potensekvationer . . . . . . . . . . . . 249 6 Potensen av en produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Fördjupning: Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7 Potensen av en kvot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8 Potensreglerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 9 Tiopotenser och stora tal . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10 Tiopotenser och små tal . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Fördjupning: Tiopotenser med exponenter delbara med tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11 Enheter och prefix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Fördjupning: Fler prefix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Fördjupning: Binära tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 12 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5 Algebra

278

1 Uttryck med variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Fördjupning: Uppställning med algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 2 Uttryck och dess värde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 3 Förenkling av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Historiskt nedslag: Pascals triangel . . . . . . . . 291 4 Addition av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 5 Subtraktion av uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6 Multiplikation med enkla uttryck . . . . . . . . . . 300 7 Multiplikation med ett tal och ett uttryck . . 304 Fördjupning: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8 Multiplikation med parenteser . . . . . . . . . . . . 310 9 Division av ett uttryck och ett tal . . . . . . . . . 314 10 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Facit till repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Arbeta med Favorit matematik Välkommen till Favorit matematik! Här får du en snabb introduktion till elevpaketet så att du kan lära dig så mycket som möjligt.

Elevpaketet består av en tryckt bok och en mycket omfattande digital del. Du aktiverar den med hjälp av instruktionerna och koden på omslagets insida. I den digitala delen finns bland annat cirka 300 filmer som stöd för inlärningen.

Bokens upplägg

I Favorit matematik 8 får du lära dig ett moment i taget. Momenten är indelade i lektioner. Lektionerna bygger oftast på varandra och kommer i en viss ordning för att det ska bli så lätt som möjligt att förstå. Lektionerna inleds med förklaringar och räkneexempel. Dessa finns i den digitala delen som filmer, där erfarna matematiklärare förklarar och räknar igenom alla exempel. Efter förklaringarna kommer uppgifter som är ordnade efter svårighetsgrad och märkta med förmågor. Repetitionsuppgifterna är på E/C-nivå och finns även som interaktiva uppgifter i den digitala delen. Vill du träna mer på lektionens moment, finns det länkar till många extra uppgifter: Öva mer E, Öva mer E/C och Öva mer C. Lektionerna är samlade i kapitel. Varje kapitel avslutas med repetition och sammanfattning. I den digitala delen finns interaktiva uppgifter på kapitlets begrepp och metoder. 4

Filmer

EXEMPEL 1

Alla förklaringar och räkneexempel finns som filmer i den digitala delen. En erfaren matematiklärare går igenom lektionens innehåll. Du kan lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Även alla räkneexempel finns som filmer där en annan lärare räknar exemplet och förklarar lugnt och metodiskt. Totalt finns det cirka 300 filmer som handlar om precis det som står i boken. Du har varit sjuk och missade matematiklektionerna förra veckan. Vad ska du göra? Lösning:

Läs förklaringarna i boken. Om du inte förstår, logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen med texten Förklara! Förklara!

Precis som stora tal kan små tal skrivas om med tiopotenser. Positiva tal mindre än noll har negativ exponent i tiopotensen, till exempel 0,01 = 10−2.

EXEMPEL 2

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare förklarar precis det som står i boken.

Du var med på lektionen, men du förstod inte riktigt när läraren räknade och förklarade. Du läser räkneexemplet, men förstår inte riktigt ändå. Du behöver någon som förklarar en gång till. Vad ska du göra? Lösning:

Räkna!

EXEMPEL 3

Logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen vid räkneexemplet (under den första i varje lektion står det Räkna!). En lärare räknar igenom exemplet och förklarar. Lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Skriv talet 12,036 i utvecklad form med tiopotenser. Lösning och svar:

12,036 = 1 ∙ 10 + 2 ∙ 1 + 0 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,01 + 6 ∙ 0,001

Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare räknar och förklarar exemplet i boken.

Visa!

Det finns mycket mer i den digitala delen, till exempel hela boken i digital form, inläst med textföljning (klicka på texten för att få den uppläst). Klicka på symbolen för att se en liten film om hur den digitala delen fungerar.

Bokens olika uppgifter

Det finns en kursplan som beskriver vad eleven ska kunna i matematik. För att det ska bli rättvist och tydligt gör alla elever i Sverige ett nationellt prov i årskurs 9. Eleven får då göra uppgifter som är på olika nivå och som testar olika förmågor. I Favorit matematik 8 är alla uppgifter indelade i grupper utifrån svårighetsgrad. I boken används samma bokstäver som för betygen: E, C och A. E-uppgifter är de som eleven måste klara för att få godkänt. C-uppgifterna är svårare och A-uppgifterna svårast. Det finns olika typer av E-, C- och A-uppgifter, som testar olika förmågor att lösa matematiska problem: • Begrepp (B) – testar om du förstår matematiska ord och begrepp, samt kan använda dem. • Metod (M) – testar om du kan metoder för beräkningar. • Problemlösning (P) – testar om du kan lösa olika problem som presenteras för dig, och att du kan begreppen och metoderna som krävs för att kunna lösa problemet. • Kommunikation (K) – testar om du med ord, bilder och symboler kan förklara ett matematiskt problem. Begrepp och metod är en förutsättning för att du ska klara problemlösning och kommunikation. Därför läggs stor vikt vid de förmågorna i början. I boken finns även många andra typer av uppgifter: Diskutera, Laborera, Resonera, Fördjupningar, Historiska nedslag och Programmeringsuppgifter.

Märkning av uppgifter

Det är tydligt i boken hur svår uppgiften är och vilken förmåga den tränar. E/C-uppgifter kommer först, under en egen rubrik. Uppgifterna är ordnade efter svårighetsgrad, med den lättaste först. Gränsen mellan E- och C-uppgifter är markerade med en streckad linje. E/C-UPPGIFTER

Uppgift 1 tränar framförallt förmågan Begrepp medan uppgift 9 framförallt tränar förmågan Metod.

1 Granska talet 67,103. Vilken är talets B a) heltalsdel b) decimaldel?

9 Räkna utan miniräknare. M a) 13 ⋅ 2,4 b) 5,04 ⋅ 3,9 c) 13,6 / 8 d) 6 / 0,2 Den streckade linjen visar gränsen mellan E- och C-uppgifter.

Under uppgiftsnumret ser du vilken eller vilka förmågor den uppgiften huvudsakligen handlar om: B = Begrepp, M = Metod, P = Problemlösning, K = Kommunikation.

A-uppgifterna är inte så många, men svårare. Du bör först vara säker på att du kan alla grunder på E- och C-nivå innan du går vidare med utmaningarna i A-uppgifterna och Resonera-/Laborera-uppgifterna. Försök först klara uppgifterna på egen hand innan du ber någon om hjälp. Det är viktigt att du verkligen förstår uppgifterna så att du klarar av att lösa liknande uppgifter själv på proven.

Det blir tydligt vad du kan och vad du behöver träna mer på!

Till varje kapitel hör ett prov. Det ser ut precis som det nationella provet. När du får tillbaka provet finns en tabell, där du kan se vilka olika typer av uppgifter du har klarat. Du kan titta på tabellen och se vilka typer av uppgifter du behöver träna mer på i fortsättningen! Lycka till!

UPPGIFTER 1 Bläddra i boken och hitta exempel på a) E-uppgifter, C-uppgifter, A-uppgifter och extra E-, C- och A-uppgifter b) uppgifter som tränar problem lösning, metod, begrepp och kommunikation. 2 V ad är det för skillnad på en förklaring och ett räkneexempel? 3 L äs instruktionerna på omslagets insida och aktivera den digitala delen.

4 Ö ppna den digitala boken och gå till sidan 5. Titta på filmen om den digitala delen genom att klicka på länken längst ned på sidan. 5 K licka runt i boken och hitta minst fem olika saker du kan göra. Jämför med de andra i klassen och se om ni har hittat olika saker. 6 F undera på hur du vill använda de olika delarna som finns i den digitala delen. Tänk igenom vad du tror passar dig bäst!

Procent

I det här kapitlet får du lära dig hur • du räknar med procent i olika sammanhang • du hanterar övergången mellan bråkform, decimalform och procentform • rabatter och prisförändringar beräknas • förändringsfaktor kan användas • procentuella förändringar och procentuell jämförelse beräknas • procent kan tillämpas i ekonomi och kemi.

Centralt innehåll • Procent och förändringsfaktor för att uttrycka förändring samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden. • Formulering av matematiska frågeställningar utifrån olika situationer och ämnesområden. • Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.

1 En hel är hundra procent Förklara!

Procent betyder hundradel och en helhet motsvarar 100 %. En helhet kan till exempel vara hundra rutor i en kvadrat, alla elever i en klass, det maximala antalet poäng på ett prov, längden av en lektion eller det totala priset på ett inköp. Ordet procent kommer från latinet, där pro centum betyder ”för hundra” eller ”på hundra”.

Räkna!

EXEMPEL 1

Procent kan användas för att till exempel • uttrycka hur stor del av eleverna i en klass utgör av det totala elevantalet i en skola • räkna ut hur stor del rabatter är på en vara • jämföra tal • ange prisförändring • räkna ut det hela, då en viss andel i procent är känt. Alla kvadrater nedan består av hundra rutor. Hur många procent av kvadraten har färglagts? a)

Svar: a) 100 %

b) 10 %

c) 1 %

Diskute r Procent kan användas i många sammanhang. Vilka har du stött på?

EXEMPEL 2

Figuren består av fyra lika stora trianglar. Hur många procent av figuren färglagd?

Lösning:

EXEMPEL 4

EXEMPEL 3

Eftersom hela figuren är 100 % utgör en triangel 100 % = 25 %. av den totala figuren. 4 Svar: 25 % av figuren är färglagd. Selma har laddat ner 58 % av en fil. Hur många procent av filen är kvar att ladda ner? Lösning och svar:

Selma har 100 % − 58 % = 42 % kvar att ladda ner. Hur lång är den totala staven, om den del vi ser på bilden är 20 % av staven?

Lösning:

Eftersom 100 % = 5 ∙ 20 %, är längden på den totala staven 5 ∙ 3 = 15 rutor. En femtedel av det hela är 20 %.

Svar: Hela staven är 15 rutor.

E/C-UPPGIFTER 1 H ur många procent av rutorna i kvadraten är färglagd?

3 H ur många procent av figuren har färgats?

4 Rita av rutfältet och färglägg a) 50 % b) 20 % c) 90 %.

2 H ur många procent av figuren är färglagd?

5 M ässing är en legering (blandning) av M koppar och zink. Mässing består till 63 % av koppar. Till hur många procent består mässing av zink? 6 4 1 % av eleverna i en skola går till M skolan, 34 % cyklar och resten tar sig dit på något annat sätt. Hur många procent av eleverna tar sig dit på något annat sätt? 7 M änniskor har blodgruppen A, 0, B M eller AB. I Sverige har 44 % av befolk ningen blodgrupp A, 38 % blodgrupp 0 och 12 % blodgrupp B. Resten har AB. Hur många procent av befolkningen i Sverige har blodgrupp AB?

11 E n bärbar dator visar att 20 % av MP batteriets laddning återstår, vilket motsvarar 32 minuter. Hur många minuter kan du använda datorn när den är fulladdad? 12 4 5 % av eleverna i en klass håller på MP med idrott och 30 % med musik. 10 % håller på med både idrott och musik. Hur många procent av eleverna håller varken på med idrott eller musik? 13 E bba har förbrukat 70 % av bensinen i MP en bil, varpå det är 15 liter kvar. Hur många liter bensin ryms i bilens tank när den är tom? 14 H ur många personbilar är det på BM parkeringsplatsen, om andelen blå bilar är a) 40 % b) 15 %?

8 V arje vecka går 25 % av Adams arbets M tid till möten. Hur många timmar i veckan arbetar Adam, om han sitter i möten sammanlagt 9 timmar per vecka? 9 H ur lång är den totala staven, om den M del vi ser på bilden utgör a) 100 % b) 50 % c) 75 %?

10 H ur lång är den totala staven, om den M del vi ser på bilden utgör a) 50 % b) 25 % c) 20 %?

15 B estäm hur mycket ett helt, det vill BM säga 100 %, är då a) 8 % är 12 b) 36 % är 27 c) 14 % är 35.

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Hur många procent av figuren har M a) färglagts b) inte färglagts?

17 L uft består till cirka 78 % av kväve och M 21 % syre. Hur många procent av luften utgörs av andra gaser? 18 H ur lång är den totala staven, om den M del vi ser på bilden utgör a) 20 % b) 40 % c) 30 %?

A-UPPGIFTER 22 S killnaden mellan sträcka A och B är MP 24 cm. Sträcka B är lika många procent kortare än 60 cm, som sträcka A är längre än 60 cm. a) Hur många procent längre är sträcka A än 60 cm? b) Hur många procent kortare är sträcka B än 60 cm?

19 B estäm hur mycket det hela är, alltså BM 100 %, då a) 50 % är 4 b) 30 % är 12 c) 70 % är 28. 20 E n person har 20 % kvar av sin MP samtalstid för en månad, vilket motsvarar 120 minuter. Hur mycket taltid hör det till abonnemanget per månad? 21 6 0 % av eleverna i en grupp läser MP spanska och 35 % franska. 5 % av eleverna läser båda språken. Hur många procent av eleverna läser varken spanska eller franska?

A 23 2 5 % av 80 % i Olivers plånbok är MP 30 kr. Hur mycket pengar har Oliver i plånboken?

era Reson Hur många procent av stjärnan är färglagd?

2 Förklara!

Bråk i procentform Ett bråk beskriver en helhet och dess delar. Ett bråk som uttrycker en andel kan omvandlas till procent genom att det skrivs som hundradelar.

Räkna!

EXEMPEL 1

1 =1 % 100

1 = 0,5 = 50 % 2 1 = 0,333… ≈ 33 % 3

1 = 0,25 = 25 % 4 1 = 0,2 = 20 % 5

1 = 0,125 = 12,5 % 8 1 = 0,10 = 10 % 10

Hur stor del av figuren är färglagd? Skriv andelen i bråkform och i procentform. a)

Lösning och svar:

Vi omvandlar bråket som anger andel genom att förlänga det till hundradelar.

EXEMPEL 2

1 = 1 ∙ 50 = 50 = 50 % 2 2 ∙ 50 100

Skriv i procentform. a) 31 b) 7 100 10

c) 13

Lösning och svar: 31 = 31 % a)

100

13 = 13 ∙ 4 = 52 = 52 % 25 25 ∙ 4 100

1 = 1 ∙ 25 = 25 = 25 % 4 4 ∙ 25 100

2 = 2 ∙ 20 = 40 = 40 % 5 5 ∙ 20 100

d) 14

200

7 = 7 ∙ 10 = 70 = 70 % 10 10 ∙ 10 100

14 = 14 / 2 = 7 = 7 % 200 200 / 2 100

Vid behov förlänger eller förkortar vi bråket till hundradelar.

Diskute r

Beskriv sambandet mellan bråk och procent. Finns det sammanhang då det ena fungerar men inte det andra?

EXEMPEL 3 EXEMPEL 4

Skriv i bråkform. a) 29 % b) 20 %

c) 45 %

d) 4 %

Lösning och svar: a) 29 % =

29 100

b) 20 % =

c) 45 % =

45 = 45 / 5 = 9 100 100 / 5 20

d) 4 % =

20 = 20 / 20 = 1 100 100 / 20 5

4 = 4/4 = 1 100 100 / 4 25

En familj spenderar en fjärdedel av sina inkomster på boende, en femtedel på mat, en tiondel på fritidsintressen och tre tiondelar på övrig konsumtion. Resten sparar de. Hur många procent av inkomsterna sparar familjen? Lösning:

sparande

Vi anger andelarna i procent. En fjärdedel är 100 % = 25 %, 4 en femtedel 100 % = 20 % och 5

boende 1 4 övrig konsumtion 3 10 fritidsintressen 1 10

en tiondel 100 % = 10 %. 10

mat 1 5

Tre tiondelar är därmed 3 ∙ 10 % = 30 %. 25 % + 20 % + 10 % + 30 % = 85 %. Familjen sparar 100 % − 85 % = 15 %. Svar: Familjen sparar 15 procent av sina inkomster.

EXEMPEL 5

Ett bråk är större än 1 om täljaren är större än nämnaren eller om bråket skrivs i blandad form. Bråket kan då omvandlas till ett procenttal större än 100 %. Skriv 21 i procentform a) 1 25

b) 230 % i bråkform.

Lösning och svar: a) 1

21 = 1 + 21 ∙ 4 = 1 + 84 = 100 % + 84 % = 184 % 25 25 ∙ 4 100

b) 230 % =

230 = 2 30 / 10 = 2 3 100 100 / 10 10 15

E/C-UPPGIFTER 1 a) Hur stor del av figuren är färglagd? M b) Hur många procent av figuren är färglagd?

2 Skriv i procentform. M a) 43 b) 1 c) 10 100 100 100

d) 99 100

3 Skriv i bråkform. M a) 57 % b) 93 %

d) 3 %

c) 19 %

4 a) Hur stor del av figuren är färglagd? M b) Hur många procent av figuren är färglagd?

5 H ur stor del av figuren är färglagd? BM Ange andelen i bråkform och i procentform. a)

6 Skriv i procentform. BM 2 9 13 a) b) c) 10 20 25 7 Skriv i procentform. a) 3 b) 3 c) 2 4 5 2

19 50

d) 24

8 H ur många procent av figuren är M färglagd? a)

9 Skriv i bråkform. a) 44 % b) 90 %

c) 24 %

d) 6 %

10 Ange andelen i procentform. BM a) hälften av alla svenskar b) en fjärdedel av cyklarna c) två femtedelar av kvinnorna 11 A v Lukas lön går 1 ,till skatter, 1 till 4 5 BM boende och 1 .till mat. Resten sparar 5 han eller spenderar på annat. Hur många procent av Lukas lön går till sparande och övrig konsumtion?

12 Skriv i procentform. M 178 b) 72 c) 102 a) 200 300 600 13 Skriv i procentform. M 7 5 1 a) b) c) 1 5 4 4

666 900

d) 2

3 5

14 Skriv i bråkform. M a) 132 % b) 175 % c) 250 % d) 400 % 15 A v eleverna i en klass tränar 4 efter 5 BM skolan. 1 spelar fotboll. Hur många 4 procent av eleverna i klassen spelar fotboll? Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 R ita en kvadrat (10 × 10 rutor) och M färglägg a) 30 % b) 27 % c) 89 %.

19 Skriv i procentform. BM a) 4 b) 17 c) 3 5 20 3

17 H ur stor del av figuren är färglagd? BM Ange andelen i bråkform och i procentform.

20 2 av eleverna på en skola dricker 5 BM mjölk till lunchen. Övriga dricker vatten. Hur många procent av eleverna dricker vatten?

18 Skriv i procentform. BM a) 1 b) 1 c) 1 2 4 5

d) 1

d) 130

200

21 Ange andelen i procentform. BM a) tre tiondelar b) en fjärdedel c) tre femtedelar.

A-UPPGIFTER 22 E n rektangel består av lika många vita MP och svarta rutor. 3/5 av de svarta rutorna görs om till vita. Då är det 42 fler vita än svarta rutor. Hur många rutor är nu svarta respektive vita?

A 23 I en kennel finns både valpar och MP vuxna hundar. Efter att antalet valpar fördubblats är nu andelen vuxna hundar 3/5. Hur många procent valpar fanns innan fördubblingen?

era Reson Vilka är talen a, b och c, a b c då = = och 3 4 6 abc = 576?

3 Förklara!

Från procent till decimaltal Delar av det hela går att uttrycka i procentform, bråkform eller decimalform. Ett tal i procentform kan på ett enkelt sätt omvandlas till decimalform. Först skrivs a ndelen i bråkform, med talet 100 som nämnare. Därefter skrivs bråket som ett decimaltal.

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

1 % = 1 = 0,01 100

Ental 0,

Tiondel 0

Skriv som ett decimaltal. a) 23 % b) 7 % c) 92 %

Hundradel 1

d) 125 %

Lösning och svar: a) 23 % =

23 = 0,23 100

b) 7 % =

c) 92 % =

92 = 0,92 100

d) 125 % =

Skriv i procentform. a) 0,42 b) 0,03

7 = 0,07 100

c) 1,05

125 = 1,25 100

d) 2,30

Lösning och svar: a) 0,42 =

42 = 42 % 100

b) 0,03 =

3 =3 % 100

c) 1,05 =

105 = 105 % 100

d) 2,30 =

230 = 230 % 100

EXEMPEL 3

Ett bråk som uttrycker en andel kan omvandlas till procentform genom att bråket förlängs eller förkortas till hundradelar. Om det inte går att förlänga eller förkorta till hundradelar beräknas divisionen i bråket med till exempel miniräknare eller med uppställning. Resultatet anges då i decimalform som sedan kan skrivas om till procentform. Skriv i procentform. Ange svaret med en tiondels procents noggrannhet. 1 3 a) b) 3 13 Lösning och svar: 1 a) = 0,3333... ≈ 0,333 = 33,3 %

3 = 0,2307... ≈ 0,231 = 23,1 % 13

Procent kan även illustreras med stavar eller block. Då illustreras en viss procent med en viss längd på en stav och då kan sambanden ses mellan denna stav och andra stavar och motsvarande procent. Hundra procent motsvarar hela stavens längd. ursprunglig stav

100 %

50 % av den ursprungliga staven

50 %

EXEMPEL 4

100 %

150 % av den ursprungliga staven

50 %

Rita en stav som är 50 % större än den ursprungliga staven.

Lösning och svar:

100 % = 50 % = 150 % =

E/C-UPPGIFTER 1 Skriv som ett decimaltal. M a) 33 % b) 76 % c) 29 % d) 50 % e) 5 % f) 100 % g) 135 % h) 1 % 2 Skriv i procentform. M a) 0,71 b) 0,04 c) 0,85 e) 0,08 f) 0,8 g) 1,08

d) 1,38 h) 1,0

3 Fyll i tabellen. M

Procentform

Bråkform

Decimalform

17 % 21 100 0,39

4 H ur många procent av figuren är M färglagd? Ange svaret med en tiondels procents noggrannhet. a)

5 H ur många procent av figuren är M ofärgad? a)

6 U ppskatta om andelen i procent är mer M eller mindre än 50 %. 12 27 37 57 a) b) c) d) 21 52 76 115 7 S kriv i procentform. Ange svaret med M en tiondels procents noggrannhet. 1 1 1 1 a) b) c) d) 3 6 8 12 e) 2

f) 5

g) 6

h) 9

8 Fyll i tabellen. M

Procentform

Bråkform

Decimalform

4% 11 25 1,07

9 R ita en stav som jämfört med den M ursprungliga staven a) är 10 % större c) är 80 % mindre

b) är 40 % mindre d) är 25 % större.

10 H ur lång är den 12 cm M ursprungliga sträckan, om sträckan på bilden har förstorats till a) 200 % b) 300 % c) 400 %? 11 H ur lång är skalbaggen M i sin naturliga storlek, om den på bilden har förstorats till a) 150 % b) 250 % c) 400 %? 12 I talspråk använder vi ofta olika B uttryck för att ange andelar. Vilken procentandel i rutan motsvarar bäst uttrycket a) en dryg tredjedel b) knappt hälften c) nästan allt d) varannan e) nästan en fjärdedel f) ungefär en femtedel g) en kvart?

14 V ilket bråk passar bäst in på BM ledtrådarna? a) Täljaren och nämnaren är ensiffriga, och som ett decimaltal är det ungefär 0,43. b) Täljaren är två mindre än nämnaren, och som ett decimaltal är det ungefär 0,85. c) Täljaren i bråkdelen i talet i blandad form är det minsta primtalet, och som ett decimaltal är bråket ungefär 1,18. 15 E n bild har förstorats till storleken M 125 %. Vilken är bildens ursprungliga höjd, om den nu är a) 55 mm b) 13,0 cm c) 0,85 m? 16 S idan i en kvadrat är 8,0 cm. M Du förstorar kvadraten i ett bildbehandlingsprogram så att sidan ökar till 130 procent. Hur många procent ökar kvadratens area? 17 Hur många % M a) större är ett A4-papper jämfört med ett A5-papper b) mindre är ett A4-papper jämfört med ett A3-papper c) större är ett A3-papper jämfört med ett A5-papper?

95 % 22 % 25 % 24 % 35 % 48 % 50 %

13 R ita en kvadrat (8 × 8 rutor). Använd BM miniräknare för att ta reda på hur många rutor du måste färglägga för att andelen färgade rutor ska vara a) 25 % b) 37,5 % c) 81,25 %.

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 18 Skriv som ett decimaltal. M a) 18 % b) 90 % c) 125 % d) 150 % 19 Skriv i procentform. M a) 0,07 b) 0,24 c) 1,05

d) 1,85

20 Fyll i tabellen. M

Procentform

Bråkform

21 S kriv i procentform. Använd räknare M och avrunda till tiondelar. a) 8 b) 5 c) 6 9 6 11 22 Hur många procent av figurens yta är M a) färglagd b) inte färglagd?

Decimalform

31 % 33 50 1,3

A-UPPGIFTER 23 Visa om 2 av 3 är mer, mindre eller 3 4 MK lika mycket som 40 % av 5 . 6 24 V ägmätaren i en bil visar 1 020 m efter MP att den körts 1 000 meter. Hur många procent a) är den verkliga sträckan av den sträcka som vägmätaren visar b) är den sträcka som vägmätaren visar av den verkliga sträckan c) fel visar vägmätaren?

A 25 E n rektangel har sju rutor på bredden MP och tre rutor på höjden. Av dessa är fyra rutor svarta. Vilket är det minsta antalet svarta rutor som behöver läggas till och hur många a) rader på bredden ska läggas till för att det ska bli 25 % svarta rutor? b) rader på höjden ska läggas till för att det ska bli 20 % svarta rutor?

Resonera Priset på en aktie på börsen är 250 kronor. Priset stiger först 100 % och sjunker sedan 50 %. Vad kostar aktien efter förändringarna? 21

4 Hur många procent? Förklara!

Förhållandet mellan två tal eller värden kan uttryckas som en division. Andelen av det hela är ett bråk som beräknas med en division. Andelen skrivs ofta i procentform.

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel hela Av 25 par skor är 11 par blå. Hur många procent av skorna är blå? Lösning:

11 Vi skriver andelen blå skor som förhållandet 11/25 = . 25

EXEMPEL 2

Andelen blå skor är alltså 11 = 11 ∙ 4 = 44 = 44 % 25 25 ∙ 4 100 Svar: 44 % Ange i procent hur stor andel av figuren som är färglagd.

Lösning:

EXEMPEL 3

Fem av åtta kvadrater i figuren är färglagda. 5 Vi betecknar den färgade delen av figuren med bråket 8 . Den färgade andelen i procent är 5 = 0,625 = 62,5 %. 8 Svar: 62,5 % Hur många procent av ett dygn är 7 timmar? Skriv svaret med en decimals noggrannhet. Lösning:

Den efterfrågade andelen är

7h = 0,29166... ≈ 0,292 = 29,2 %. 24 h

Svar: 7 timmar av ett dygn är ungefär 29,2 %.

Beräkning av andel i procent: 1. Skriv andelen i bråkform. 2. Beräkna divisionen. 3. Skriv decimaltalet i procentform.

Vi omvandlar tiderna till samma enhet.

E/C-UPPGIFTER 1 S kriv andelen färgade rutor i bråkform M och i procentform. a)

2 H ur många procent av M rutorna i kvadraten har färgats a) rosa b) gröna

c) blå?

3 H ur många procent av figuren är M färgad? a)

4 Hur många procent är talet 20 av talet M a) 100 b) 50 c) 40 d) 25? 5 Hur många procent är talet 48 av talet M a) 100 b) 80 c) 50 d) 48? 6 T ariq har ett 1-kronorsmynt, ett M 2-kronorsmynt och en 20-kronorssedel. Hur många procent av Tariqs pengar är a) mynt b) sedlar? Ange svaren med en procents noggrannhet.

9 H ur många procent av ordet är vokaler? M Ange svaret med en tiondels procents noggrannhet. a) SAMBAND b) BRÅK c) PROCENT 10 H ur många procent har Meja kvar av M sin taltid, sina sms och sin data? Ange svaret med en procents noggrannhet. Taltid 0

370 min kvar

600 min

SMS 0

221 st. kvar

250 st.

Data 0

8 688 MB kvar

10 240 MB

11 Hur många procent är M a) 9 timmar av ett dygn b) 27 minuter av en timme c) 12 sekunder av en minut? Ange svaret med en procents noggrannhet. 12 E tt gammalt armbandsur går 10 M minuter för snabbt på en vecka. Hur många procent före går klockan?

7 V ilken veckodag har störst andel M konsonanter i namnet? 8 T a reda på hur många procent av M eleverna i din klass som a) cyklade till skolan i dag b) läser spanska c) har svarta byxor på sig d) har husdjur.

13 Hur många procent utgör bråket 2 3 M av bråket 5 ? 6

14 E tt klädföretag ger dig 40 % rabatt på PK den dyraste varan om du köper minst två varor. Hur många procent är rabatten a) vid ett köp av ett par skor som kostar 890 kronor, en tröja som kostar 390 kronor och ett par byxor som kostar 250 kronor b) som störst? 15 U nder en hockeymatch räddar mål MK vakten 24 av 26 skott. Matcherna innan hade målvakten räddat 92 av 97 skott. Hur förändrades målvaktens totala räddningsprocent efter matchen? Motivera.

16 H ur många procent av flaggan består M av blått? Ange svaret med en procents noggrannhet. 22 18

11 5

6 1

17 B ilden visar vilket område en vind M rutetorkare torkar av. Gör en uppskattning av hur många procent av vindrutan som torkas av. 120 cm

54 cm

9 cm

39 cm

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 18 H ur många procent utgör talet 8 av M talet a) 10 b) 16 c) 25 d) 64? 19 I en skål ligger 11 äpplen och 13 M clementiner. Hur många procent av frukten är a) äpplen b) clementiner?

era Reson 19 av 28 elever i en klass har valt att ha textilslöjd. Av dem som valt textilslöjd har 3 elever också valt bild. 5 elever har varken textilslöjd eller bild. Hur många procent av eleverna i klassen har valt bild? 24

20 T iokronorsmyntet innehåller 5,874 g M koppar, 0,33 g zink, 0,33 g aluminium och 0,0066 g tenn. Hur många procent koppar innehåller myntet? Avrunda svaret till hela procent. 21 Hur många procent är M a) 15 minuter av en timme b) 32 centimeter av en meter? 22 N är du handlar i en webbshop får du PK 300 kronors rabatt när du beställer för minst 1 200 kronor. Hur många hela procent är rabatten, om du handlar för a) 1 149 kr b) 1 698 kr? c) Hur många procent kan rabatten vara som störst?

A-UPPGIFTER 23 A mir räddade 6 av 10 skott i första MP matchen. Efter andra matchen hade han räddat 70 % av skotten. Ge två alternativ till hur många skott han räddade och hur många skott det var totalt i den andra matchen?

24 E n kurs som var på 35 lektioner PK krävde minst 80 % närvaro. Påbyggnadskursen hade samma krav på närvaro. En medlem som precis klarade kravet på båda kurserna var med på 44 lektioner. Hur många lektioner var påbyggnadskursen?

FÖRDJUPNING

EXEMPEL 4

Problemlösning med procent och stavmodellen Utifrån 1 400 svar på en kundenkät besökte 1 218 kunder ett varuhus och 448 kunder en klädaffär. Hur många procent av kunderna besökte både varuhuset och klädaffären a) som minst b) som mest? Lösning och svar:

1 218 = 0,87 = 87 %. av kunderna besökte varuhuset. 1 400 448 = 0,32 = 32 %.av kunderna besökte klädaffären. 1 400 De 87 % som besökte varuhuset

De 87 % som besökte varuhuset 100 %

100 % De 32 % som besökte klädaffären

De som besökte båda

De 32 % som besökte De som inte besökte klädaffären någondera

a) Minst (87 % + 32 %) − 100 % = 119 % − 100 % = 19 % besökte båda. b) Andelen kunder som besökte båda som mest är samma som den andel kunder

som besökte klädaffären, det vill säga 32 %.

C-UPPGIFTER 25 A v de 30 eleverna i en klass sysslar MP 21 med idrott och 15 med musik. Hur många av eleverna sysslar med både musik och idrott a) som mest b) som minst?

26 T re fjärdedelar av eleverna i en klass MP spelar fotboll. Hälften av eleverna spelar basket. Hur många procent av eleverna i laget spelar både fotboll och basket a) som mest b) som minst? 25

5 Förklara!

Procent av en helhet Ofta efterfrågas hur mycket en viss procent är av något. Hur stor del av en helhet något är beräknas genom att helheten multipliceras med det decimaltal som motsvarar procentandelen.

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel eller delen = andel ∙ det hela hela Staven är 15 rutor lång. Bestäm 20 procent av stavens längd.

Lösning 1:

Eftersom 20 procent är en femtedel delar vi staven i fem lika långa delar. 100 %

20 %

20 procent av stavens längd är en femtedel av 15 rutor, det vill säga 3 rutor. Lösning 2:

Omvandla 20 % till decimalform: 20 = 0,20 100 Beräkna 20 % av 15: delen = 0,20 ∙ 15 = 3 andel

det hela

Svar: 20 procent av stavens längd är 3 rutor.

Diskute r Det finns lite

olika sätt att tänka och räkna när du beräknar procent. Hur skulle du räkna ut antal procent blommor som finns i en viss färg, ljudnivån eller lediga platser på en läktare?

EXEMPEL 2

Hur mycket är 42 % av talet 500? Lösning:

Omvandla 42 % till decimalform: 42 = 0,42. 100 Beräkna 42 % av talet 500: 0,42 ∙ 500 = 210.

EXEMPEL 3

Svar: 42 procent av talet 500 är 210.

Hur mycket är 30 % av talet 230? Lösning:

Omvandla 30 % till decimalform: 30 % = 30 = 0,30. 100 Beräkna sedan multiplikationen 0,30 ∙ 230 = 69.

EXEMPEL 4

Svar: 30 procent av talet 230 är 69.

I en ishall finns 4 700 åskådarplatser, varav 30 % är ståplatser och resten är sittplatser. 10 % av sittplatserna är loger. Hur många sittplatser finns det sammanlagt i logerna?

Lösning:

Sittplatserna är 100 % − 30 % = 70 %. Sittplatserna är 0,70 ∙ 4 700 = 3 290. I logerna finns 10 % av sittplatserna, det vill säga 0,10 ∙ 3 290 = 329 sittplatser. Svar: Det finns 329 sittplatser i logerna.

Beräkning av andelen med hjälp av procent: 1. Omvandla procent till decimalform. 2. Multiplicera decimaltalet med helheten.

E/C-UPPGIFTER 1 H ur lång är en stav jämfört med staven M på bilden, om dess längd är a) 100 % b) 50 % c) 25 %?

9 E n lärare har 40 häften. Hur många M häften delar läraren ut till sina elever, om det delas ut a) 20 % b) 70 % c) 5 %?

2 H ur lång är en stav jämfört med staven M på bilden, om dess längd är a) 50 % b) 20 % c) 10 %?

10 E n rektangel har måtten 8,0 cm och M 14,0 cm. Vilka är de nya måtten, om du förminskar måtten till a) 50 b) 75 c) 95 procent av de ursprungliga måtten?

3 H ur lång är en stav jämfört med en stav M som är 8 rutor lång, om dess längd är a) 25 % b) 50 % c) 75 %? 4 M ed vilket decimaltal ska vi M multiplicera talet, när vi vill ha a) 90 % b) 25 % c) 3 %? 5 Beräkna M a) 10 % b) 5 % av talet 300. 6 Beräkna M a) 50 % b) 25 % av 400 kronor.

c) 1 %

c) 20 %

7 Hur mycket är 15 % av talet M a) 300 b) 140 c) 80? 8 Bestäm 30 % av talet M a) 600 b) 150 c) 60.

Resonera Isak har gått 100 % mer än vad han har kvar av sin 1 200 meter långa väg till skolan. Hur långt har han kvar att gå? 28

11 U ppskatta utan miniräknare vilket M värde som är störst. a) 20 % av 80 eller 30 % av 50 b) 25 % av 70 eller 40 % av 50 c) 90 % av 60 eller 60 % av 90 12 R ussin innehåller 1 291 kJ (304 kcal) M energi per 100 gram. Hur mycket energi innehåller en ask russin som väger 42,5 g? 13 Beräkna M a) 11,3 % b) 1,5 % av talet 13 000.

c) 0,2 %

14 E n klocka går 0,1 % för långsamt. Hur PK många minuter efter går klockan på en månad? 15 U ndersök prissättningen på till PK exempel en mopedförsäkring. Undersök hur bonus, åldersrabatt och rabatt vid betalningssätt påverkar det årliga priset. Ge ett exempel på där den försäkringspremie som betalas blir billigare utifrån de nämnda grunderna. Öva mer – E

Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 Beräkna M a) 20 % b) 10 % av talet 360.

c) 5 %

17 Hur mycket är M a) 2 % av talet 150 b) 37 % av talet 300 c) 85 % av talet 180? 18 E n mässingstaty innehåller 72 % M koppar och resten zink. Beräkna hur mycket koppar och zink det är i statyn som väger 1 500 kg.

A-UPPGIFTER 21 V id en busshållplats steg 25 % av MP passagerarna av samtidigt som 12 personer steg på bussen. På nästa busshållplats steg 50 % av passagerarna av och 12 passagerare steg ombord. Då var det 24 personer på bussen. Hur många var det på bussen när den kom till första hållplatsen?

19 S idan i en kvadrat är 8,0 cm. Hur M lång är kvadratens sida om sidan förminskas till a) 90 procent b) 75 procent c) 50 procent? Ange svaret med en decimal. 20 N är ett tåg startar från Malmö har P det 400 passagerare. I Halmstad stiger 20 % av passagerarna av och 40 nya passagerare stiger på. I Göteborg stiger en fjärdedel av passagerarna av tåget och 30 nya passagerare stiger på. Hur många passagerare har tåget när det åker från Göteborg?

A 22 V ilket värde har x om 14 % av 78 är BM lika mycket som a) x % av 156 b) x % av 28 c) x % av 546.

6 Hur mycket är 100 %? Förklara!

I vissa situationer är endast delen och andelen i procent kända men inte helheten, 100 %. Helheten kan beräknas på olika sätt, till exempel genom att först beräkna vad 1 % motsvarar eller genom att dividera delen med andelen i procent.

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel eller delen = hela hela andel Hur lång är hela staven, om bilden visar 20 % av staven? Lösning och svar:

EXEMPEL 2

Eftersom 20 procent är en femtedel av 100 procent är längden för hela staven 5 ∙ 2 = 10 rutor. Av eleverna i en klass har 30 procent, det vill säga sex elever, glasögon. Hur många elever går i klassen? Lösning, metod 1:

Lösning, metod 2:

Vi beräknar antalet elever i klassen genom att först räkna ut vad en procent motsvarar.

Vi gör en tabell och listar ut antalet elever i klassen med hjälp av tabellen.

30 procent är 6. 1 procent är 6 = 0,2. 30 100 procent är 100 ∙ 0,2 = 20. Svar: Det går 20 elever i klassen.

Andel av eleverna (%)

Antal elever

100

Diskute r Vad är 100 %? Kan 100 % förändras?

E/C-UPPGIFTER 1 H ur lång är hela staven, om bilden visar M 10 % av staven? 2 Vilket är talet, då M a) 50 % är 28 c) 20 % är 14

b) 25 % är 7 d) 5 % är 3?

3 Av vilket tal är 6 M a) 20 % b) 4 %

c) 1 %?

4 2 0 % av barnen i en familj är pojkar. M Hur många barn ingår i familjen, om det finns en pojke i familjen?

9 I mars förbrukar ett hushåll 15 %, det M vill säga 1 200 kWh, av sin årliga elektricitetsförbrukning. Hur mycket elektricitet förbrukar hushållet på ett år? 10 2 5 % av eleverna i en grupp är flickor. M Hur många flickor är det i gruppen, om antalet pojkar är nio? 11 E n deciliter mjölk innehåller 120 mg M kalcium, vilket är 15 % av det rekommenderade dagliga intaget. Hur många gram kalcium måste du få i dig per dag? Ange svaret i gram.

5 L önernas andel i ett projekt utgör 30 %. M Hur mycket är de totala kostnaderna för projektet, om lönekostnaderna är 45 000 kr? 6 I ett möte deltar sex personer, vilket är M 75 % av hela arbetsgruppen. Hur många personer ingår i arbetsgruppen? 7 A v Jolines månadslön går 30 % till att M betala hyran. Hur mycket tjänar Joline, om hennes hyra är 6 300 kr? 8 Av vilket tal är 10 M a) 100 % b) 200 % c) 0 %?

12 E n konsthantverkare gjuter M bronsfigurer som består av 90 % koppar och resten tenn. Hur mycket brons kan konsthantverkaren framställa av 4 kg tenn och 45 kg koppar? Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 13 Av vilket tal är 4 M a) 25 % b) 5 % c) 2 %? 14 E n orkester har 12 manliga musiker. M Männens andel av musikerna är 40 %. Hur många musiker spelar i orkestern? 15 5 % av alla invånare i Sverige har M blodgruppen AB. Hur många elever går det utifrån den här informationen i en klass, om två av eleverna har blodgrupp AB?

A-UPPGIFTER 19 I en park är 40 % av träden barrträd. MP 70 % av lövträden är under 20 år. Av de 55 träden i parken som är över 20 år är 19 stycken barrträd. Hur många träd finns det i parken?

Resonera En rektangel har basen 7 rutlängder och höjden 4 rutlängder. Basen ökar med 2 rutlängder och höjden med 1 rutlängd. Hur många procent ökar rektangelns area? 32

16 M ässing är en legering av koppar och M zink, och innehåller 63 % koppar. Du har tillgång till 8,5 kg zink. Hur mycket mässing kan du framställa av zinkmängden? 17 P å ett bord ligger en 100- och en M 50-kronorssedel samt ett 10-kronorsoch ett 5-kronorsmynt. De utgör 75 % av Selmas pengar. Hur mycket pengar har Selma sammanlagt? 18 6 5 % av tillverkningskostnaderna för M en vara är materialkostnader. Hur mycket kostar varan, om materialkostnaderna är 455 kr?

A 20 I en tävling fick 20 % av deltagarna MP medaljer. Av dem fick 4 % guld. Hur många deltog i tävlingen om 13 personer fick guld?

FÖRDJUPNING

EXEMPEL 3

Problemlösning med procent Just nu är Noomis månadslön 23 500 kr. I början av nästa år stiger lönen med 2,0 % och i början av maj med ytterligare 1,5 %. a) Beräkna Noomis lön efter årsskiftet. b) Beräkna Noomis lön efter maj. c) Vilken månadslön skulle Noomi få om lönen steg med 3,50 % på en gång? Lösning: a) Ökningen är 0,02 ∙ 23 500 kr = 470 kr, alltså är lönen efter årsskiftet

23 500 kr + 470 kr = 23 970 kr.

b) Ökningen är 0,015 ∙ 23 970 kr = 359,55 kr, alltså är lönen efter maj månad

23 970 kr + 359,55 kr = 24 329,55 kr.

c) Ökningen är 0,035 ∙ 23 500 kr = 822,50 kr, alltså skulle lönen efter förhöjningen

vara 23 500 kr + 822,50 kr = 24 322,50 kr.

Svar: a) 23 970 kr

b) 24 329,60 kr

C-UPPGIFTER 21 E n skola får 4,2 % rabatt på en MP beställning på läroböcker. Dessutom får de ytterligare 1,5 % rabatt på det rabatterade priset eftersom de betalar direkt. Vilket är det slutgiltiga priset på beställningen, om priset var 149 605 kr innan rabatterna? 22 N ormalpriset på en cykelhjälm är MP 990 kr. Vid en rea får du ytterligare 20 procent rabatt på alla redan rabatterade varor. Hur mycket kostar hjälmen efter tilläggsrabatten, om priset redan var nedsatt med 15 %?

c) 24 322,50 kr

C 23 H ugo får en personlig löneförhöjning MP på 2,5 procent i början av februari. I början av juni får han en avtalsenlig löneökning på 4,0 procent. Beräkna Hugos lön i a) mars b) juli, då hans lön i januari var 28 600 kr/mån. 24 I nför en mässa höjs priset på hotell MP rum med 8,0 %. Efter mässan sänks priserna med 5,0 %. Beräkna priset på en övernattning som normalt kostar 1 290 kronor a) under mässan b) efter mässan.

7 Förändring i procent Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

Hur stor en förändring är kan anges i procent. Då jämförs förändringen med det ursprungliga värdet, det vill säga värdet före förändringen. Ett städföretag har 28 anställda. Antalet anställda ökar med 3. Med hur många procent ökar antalet anställda? Lösning:

Förändringen, det vill säga ökningen av antalet anställda, är 3. Det ursprungliga värdet, det vill säga antalet anställda innan förändringen, är 28. Förändringen av antalet anställda i procent är 3 = 0,1071... ≈ 0,107 = 10,7 %. 28

Vi jämför förändringen med det ursprungliga värdet.

EXEMPEL 2

Svar: Antalet anställda ökar med cirka 10,7 %.

Just nu har en kommun 7 380 invånare. Förra året var invånarantalet 7 490. Hur många procent har invånarantalet förändrats under ett år? Lösning:

Förändringen är 7 490 − 7 380 = 110. Invånarantalet har minskat med 110 personer. Det ursprungliga värdet är 7 490. Förändringen i procent är Vi kan också ange förändringen 110 = 0,0146... ≈ 0,015 = 1,5 %. som −1,5 %. 7 490 Svar: Invånarantalet i kommunen har minskat med cirka 1,5 %.

Beräkna förändring i procent: 1. Beräkna hur stor förändringen är. 2. Dividera förändringen med det ursprungliga värdet. 3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. förändringen = procentuell förändring det ursprungliga värdet

EXEMPEL 3

Vem förbättrade sig mest a) poängmässigt

b) procentuellt?

Namn

Match 1

Match 2

Nils

Elliot

Lösning: a) Nils förbättrade sina poäng med 18 − 11 = 7 (poäng).

Elliot förbättrade sina poäng med 29 − 19 = 10 (poäng).

b) Nils:

7 = 0,6363... ≈ 0,636 = 63,6 % 11

Elliot: 10 = 0,5263... ≈ 0,526 = 52,6 % 19

Svar: a) Elliot förbättrade sig poängmässigt mest. b) Nils förbättrade sig procentuellt mest.

E/C-UPPGIFTER 1 H ur många procent förändras priset på M väskan? 1 200 kr

−300 kr

2 H ur många procent ökar hyran av en M kanot, om priset stiger med 20 kr/tim?

5 T im förbättrar sitt höjdhoppsrekord M från 125 cm till 130 cm. Med hur många procent förbättrar han sitt resultat? 6 E levantalet i en klass sjunker från 28 till M 25 elever. Med hur många procent förändras elevantalet?

20 kr/timme

3 H ur många procent förändras priset, M om Lo får 200 kr rabatt på a) kappan b) jackan c) både kappan och jackan? 999 kr 1 199 kr

4 P riset på en bok stiger med 30 kr från M det ursprungliga priset 150 kr. Hur många procent förändras priset?

7 I början av säsongen består ett lag av 8 M backar och 13 mittfältare. Efter den första veckan går en back och två mittfältare med i laget. Med hur många procent ökar a) antalet backar b) antalet mittfältare c) storleken på laget?

8 H ur många procent förändras priset, då M det a) stiger från 80 kr till 100 kr b) sjunker från 100 kr till 70 kr c) sjunker från 800 kr till 760 kr? 9 Bestäm förändringen i procent. M a) Du får en femtedel rabatt på en jacka. b) Åskådarantalet ökar med en fjärdedel. c) Deltagarantalet minskar med hälften. 10 A nge förändringen i det talspråkliga M uttrycket i procent. a) Antalet besökare fördubblas. b) Frånvaron halveras. c) Det nya priset är två gånger större än det ursprungliga. 11 E n chokladkaka vägde tidigare 150 g MP och priset är 18,50 kr. Företaget bestämmer sig för att minska vikten till 130 gram. a) Hur många procent mindre blir vikten? b) Vilket skulle det nya priset på chokladkakan vara, om det förändrades i proportion till vikten?

ra Labore Rita en figur i ditt häfte och färglägg i hela rutor a) 10 % b) 25 % c) 40 %. Hur många rutor måste figuren bestå av som minst? 36

12 H ur många procent har bilens M hastighet förändrats och i vilken riktning? Den ursprungliga hastigheten är utmärkt med en streckad linje. a)

13 M ed hur många procent förändrades P invånarantalet i kommunerna under 2017? Kommun

Invånarantal

Borlänge

51 964

Förändring +360

Sundbyberg

49 424

−1 674

Tyresö

47 304

+201

Källa: SCB

14 V id en slutförsäljning såldes först alla P varor med 60 % rabatt. Under den sista veckan fick kunderna ytterligare 80 % rabatt på alla varor. Hur mycket kostade ett par ishockeyhandskar under den sista veckan, om det ursprungliga priset på handskarna var a) 450 kr b) 750 kr? Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 15 Hur många procent är rabatten? M

3 500 kr

−700 kr

16 H ur många procent förändras priset, M då det a) sjunker från 790 kr till 150 kr b) stiger från 890 kr till 1 050 kr c) sjunker från 45 kr till 39 kr? 17 E n familj konsumerar 6 800 kWh M elektricitet per år. Efter en sparkampanj minskar deras konsumtion till 6 200 kWh per år. Hur många procent minskar familjens elkonsumtion?

18 I en biltidning jämförs två M Volkswagen Golf-bilar av olika årsmodell. Beräkna hur många procent bilens mått och massa har ökat. Avrunda svaret till en decimal. Golf I

Golf VII

längd 3 705 mm

längd 4 255 mm

bredd 1 610 mm

bredd 1 799 mm

höjd 1 390 mm

höjd 1 452 mm

massa 750 kg

massa 1 205 kg

19 Bestäm förändringen i procent. M a) Invånarantalet minskar med en fjärdedel. b) Antalet observationer fördubblas. c) Vinsten är två gånger större än den ursprungliga. 20 ” Köp tre, betala för två.” Hur många MP procent är rabatten som störst?

A-UPPGIFTER 21 E tt pris sänktes med 20 % och efter M det med 40 kr. Om priset sänktes 10 % till skulle priset vara 72 kr. Vad var priset från början?

20 %

22 E n chokladkaka som vägde 150 g MP ändrades så att den vägde 135 g men priset ändrades inte. Priset på en annan chokladkaka som vägde 300 g höjdes från 27 kr till 32 kr. Båda chokladkakorna hade samma kilopris efter förändringarna. Vad var kilopriset på chokladkakan som vägde 135 g innan ändringen?

8 Procentuell jämförelse

Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

När två värden jämförs är det ofta bra att ange storleksskillnaden i procent. Den procentuella skillnaden beräknas genom att differensen, alltså skillnaden divideras med det värde som jämförs med. Hur många procent a) kortare är den rosa staven än den gröna staven b) längre är den gröna staven än den rosa staven?

Lösning:

Längdskillnaden mellan stavarna är 10 − 8 = 2 (rutor). a) Vi jämför differensen 2 med talet 10. Storleksskillnaden i procent är 2 = 0,20 = 20 %. Differensen mellan talen finns i täljaren och det tal som står efter ordet än i nämnaren. 10 b) Vi jämför differensen 2 med talet 8. Storleksskillnaden i procent är

2 = 0,25 = 25 %. 8

Resultatets storlek beror på vilket tal vi jämför differensen med.

EXEMPEL 2

Svar: a) Den rosa staven är 20 % kortare än den gröna staven. b) Den gröna staven är 25 % längre än den rosa staven.

Hur många procent större är talet 25 än talet 18? Lösning:

Differensen mellan talen är 25 − 18 = 7. Vi jämför differensen 7 med talet 18. Storleksskillnaden i procent är 7 = 0,388... ≈ 0,39 = 39 %. 18 Svar: Talet 25 är cirka 39 % större än talet 18.

Att jämföra procentuellt: 1. Beräkna differensen mellan talen. 2. Dividera differensen med det tal du jämför med. 3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. skillnaden = procentuell jämförelse jämförelsetalet 38

E/C-UPPGIFTER 1 H ur många procent kortare är den M gröna staven än den rosa staven?

2 H ur många procent fler är de gröna M cirklarna än de lila?

3 H ur många procent större är talet 12 M jämfört med talet a) 10 b) 8 c) 6? 4 H ur många procent mindre är talet 12 M jämfört med talet a) 15 b) 16 c) 20? 5 Hur många procent M a) större är talet 45 än talet 40 b) mindre är talet 45 än talet 60? 6 Vilket tal är M a) 50 % större än talet 8 b) 10 % mindre än talet 20? 7 E n spabiljett för vuxna kostar 150 kr M och en barnbiljett 90 kr. Hur många procent a) billigare är barnbiljetten än vuxenbiljetten b) dyrare är vuxenbiljetten än barnbiljetten? 8 P å bensinstation A kostar 95-bensin M 15,99 kr och på bensinstation B 17,79 kr. Hur många procent billigare är det att tanka bilen på station A än på station B?

EC 9 L aktosfri mjölk från mejeri A kostar M 13,90 kr/liter och från mejeri B 17,90 kr/liter. Hur många procent dyrare är mjölken från mejeri B? 10 S aft säljs i trepack för 14 kr och MP tiopack för 42 kr. Hur många procent billigare är en saft i den förpackning med lägst styckpris? 11 E n affär har ett erbjudande på en MP dator, 5 499 kr eller 522 kr/mån (12 månader). Hur många procent dyrare är det att köpa datorn på avbetalning? 12 F öre en prishöjning var hyran för en MP cykel 140 kr/dag. Hyran höjdes med 25 %. Hur många procent billigare var hyran innan prisökningen? 13 E n rulle tejp kostar 30 kr (20 m × 25 PK mm) i en bokhandel och 67 kr (55 m × 25 mm) i en mataffär. a) Hur är det smartast att jämföra priset på rullarna? b) I vilken affär är priset högre? c) Hur många procent är prisskillnaden?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C 39

REPETITION 14 Hur många procent M a) mindre är talet 40 än talet 50 b) större är talet 40 än talet 32 c) större är talet 40 än talet 20? 15 H ur många procent mer energi är det M i en flaska hallon-/blåbärsjuice än i en flaska spenat-/äpplejuice?

Hallon-/blåbärsjuice 249 kcal/100 ml

Spenat-/äpplejuice 172 kcal/100 ml

16 E n kaffe kostar 19 kr och en bulle M 24 kr. Hur många procent a) billigare är kaffet än bullen b) dyrare är en kaffe och en bulle tillsammans än bara en kaffe?

19 F örst ökar ett tal med 15 %. Det nya MP talet minskar sedan med 25 %. Då får du talet 138. Vilket var talet från början?

era Reson

18 E n tidningsprenumeration kostar MP 1 290 kr om du betalar allt på en gång. Om du delar upp betalningen på två tillfällen kostar det 675 kr per betalning och i fyra tillfällen 360 kr per betalning. Hur många procent billigare är det att betala hela prenumerationen på en gång än i a) två tillfällen b) fyra tillfällen?

A-UPPGIFTER

Hur många vägar hittar du från start (S) till mål (M), om du bara får gå rakt neråt eller snett neråt?

17 R iskakor av en affärs eget varumärke PK kostar 10,90 kr. En annan tillverkares riskakor kostar 13,50 kr. Jämför priserna på så många sätt som möjligt.

20 E n barnbiljett är 60 % billigare än en MP vuxenbiljett. En vuxenbiljett är 25 % dyrare än en ungdomsbiljett. Hur många procent dyrare är en ungdomsbiljett än en barnbiljett?

FÖRDJUPNING Ökning eller minskning?

EXEMPEL 3

Procentuell förändring kan också beräknas genom att dividera med talet som jämförs med och sedan beräkna hur mycket procenttalet avviker från hundra procent. Hur många procent mindre är talet 10 än talet 15? Lösning:

Vi jämför talet 10 med talet 15, varpå vi får 10 = 0,666... ≈ 0,67 = 67 %. 15 100 % − 67 % = 33 % Svar: Talet 10 är cirka 33 % mindre än talet 15.

C-UPPGIFTER 21 H ur många procent mindre är talet 30 BM än talet a) 40 b) 50 c) 60? 22 H ur många procent större är talet 48 BM än talet a) 42 b) 45 c) 39? 23 J akob är 146 cm lång och Daniel BM 173 cm. Hur många procent a) kortare är Jakob än Daniel b) längre är Daniel än Jakob? 24 E n pekplatta kostar 3 690 kr online BM och 4 490 kr i en affär. Hur många procent a) billigare är pekplattan på nätet b) dyrare är pekplattan i affären?

25 Vilket tal är B a) 20 % mindre än talet 25 b) 30 % mindre än talet 20 c) 40 % större än talet 15? 26 Vilket tal är B a) 100 % större än talet 12 b) 90 % mindre än talet 80 c) 250 % större än talet 4? 27 F ilippas ryggsäck rymmer 20 liter. MP Jasmine köper en ryggsäck som rymmer 18 liter och som går att utöka med 9 liter. Hur många procent a) mindre är Filippas ryggsäck jämfört med Jasmines ryggsäck när den är som störst b) större är Filippas ryggsäck jämfört med Jasmines ryggsäck när den som minst?

9 Beräkna det ursprungliga värdet Förklara!

På samma sätt som 100 % kan beräknas kan även det ursprungliga värdet beräknas. En allmän lösningsstrategi är att ersätta det ursprungliga värdet med x och att sedan lösa ekvationen utifrån följande samband:

Räkna!

EXEMPEL 1

delen = andel hela

eller

förändringen = procentuell förändring ursprungliga värdet

Av de totala reparationskostnaderna för en telefon utgör reservdelarna 30 %. Reservdelarna kostar 150 kr. Hur mycket kostar reparationen? Lösning:

Vi skriver 30 % i decimalform: 30 % = 0,30. Vi betecknar de totala reparationskostnaderna med bokstaven x och bildar en ekvation utifrån det vi vet. 150 = 30 % eller 150 = 0,3 x x Vi multiplicerar båda sidorna av ekvationen med x och får 150 = 0,3x. Sedan löser vi ekvationen: 0,30 ∙ x = 150 kr. 0,30 ∙ x = 150 kr x = 150 kr 0,30 x = 500 kr

Dividera sedan båda sidorna med 0,3. Eftersom 30 % är 150 kr, är 10 % 50 kr. Då är 100 % 500 kr.

EXEMPEL 2

Svar: Det kostar 500 kr att reparera telefonen.

Wilmer får 30 procent rabatt på ett par skor. Efter rabatten kostar skorna 805 kr. Beräkna det ursprungliga priset på skorna. Lösning:

Eftersom Wilmer får 30 procent rabatt betalar han 70 % av det ursprungliga priset. 100 % − 30 % = 70 % Vi skriver 70 % i decimalform: 70 % = 0,70. Vi betecknar det ursprungliga priset med bokstaven x och bildar en ekvation utifrån det vi vet. 805 kr = 70 % eller 805 kr = 0,7 x x Efter multiplikation med x på båda sidorna får vi: 805 = 0,7x 805 = 0,7x Rabatten var 0,30 ∙ 1150 kr = 345 kr. 0,7 0,7 x = 1150 kr Svar: Det ursprungliga priset på skorna var 1 150 kr.

EXEMPEL 3

Stella får 50 % lördagstillägg på sin vanliga timlön. Vilken är Stellas vanliga timlön, om hon tjänar 267 kr i timmen på lördagar? Lösning:

Den förhöjda timlönen är 100 % + 50 % = 150 % av grundlönen. Vi skriver 150 % i decimalform: 150 % = 1,50. Förändringsfaktorn är 1,5. Vi betecknar den vanliga timlönen med bokstaven x. 267 kr = 150 % x

267 kr = 1,5 x

267 = 1,5x

267 = 1,5x 1,5 1,5 x = 178 kr Svar: Stellas vanliga timlön är 178 kr.

E/C-UPPGIFTER 1 Av vilket tal är M a) 50 procent 23 b) 70 procent 42 c) 30 procent 36?

4 V id en utförsäljning får Elise 50 procent M rabatt på filmer, varefter priset är 139,50 kr. a) Hur många procent av det ursprungliga priset måste Elise betala? b) Vilket var det ursprungliga priset?

2 Av vilket tal är M a) 200 procent 50 b) 300 procent 210 c) 150 procent 300? 3 a) Hur många procent av cykelns M ursprungliga pris måste Sigrid betala? b) Vad kostade cykeln innan rabatten? % Rea 25 set är Reapärirkt på utm ran. va

5 I ris får 20 % kvällstillägg på sin timlön. M Vilken är Iris normala timlön, då hon tjänar 144 kr i timmen under en kväll? 6 P å en lördagsrea kostar en tröja 559,20 M kr. Beräkna det ursprungliga priset på tröjan, om rabatten är 20 %.

5700 kr

7 E nligt en varning har en bärbar dator M 50 minuter batteritid kvar (42 %). Hur länge kan du utifrån den här informationen använda datorn då batteriet är fulladdat?

8 J osef köper ett par byxor med M 30 procent rabatt och betalar 560 kr. Vilket var det ursprungliga priset på byxorna? 9 S portavdelningen stod för 17 % av M en butiks försäljning under sommaren. Vilken var butikens totala försäljning under sommaren, då sportavdelningen sålde varor för 260 000 kr?

11 H ur många elever var närvarande M den första skoldagen 16/8? Datum

Antal elever

Förändring från föregående

16/8 −7,0 %

22/9 18/12

240

+12,0 %

12 T ilde får grundlönen 17 000 kr/mån. MP Dessutom får hon 8 % provision på all försäljning. Hur mycket måste försäljningen vara för att Tilde ska tjäna 35 000 kr/mån? 13 U nder en vårrea säljs alla skidor med MP 40 % rabatt. På det nedsatta priset får du ytterligare 10 % rabatt, varefter ett skidpaket kostar 2 565 kr. Hur mycket kostade skidorna före rabatterna?

10 I februari var energiförbrukningen M i ett radhus 20 % större än i januari. I februari var förbrukningen 2 100 kWh. Hur mycket energi förbrukades i radhuset i januari?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

Laborera Släpp en boll från 150 centimeters höjd. a) Hur högt studsar bollen när den studsar för första gången? b) Hur högt studsar bollen när den studsar för andra gången? c) Hur många procent av 150 cm studsar bollen första gången? d) Hur många procent av höjden av första studsen studsade bollen andra gången? 44

REPETITION 14 Av vilket tal är M a) 120 procent 60 b) 75 procent 36 c) 15 procent 300?

16 O mars hyra stiger med 2,5 % och är M därefter 4 346 kr i månaden. Hur hög var hyran innan hyreshöjningen?

15 Beräkna de ursprungliga priserna. M

−20 %

−30 %

28,70 kr 36 kr c)

−45 %

32,50 kr

A-UPPGIFTER 20 E lina ökade sin tid att springa 7 km MP med 3 minuter, medan Harry minskade sin tid med 5 minuter vilket var en minskning med 12,5 %. Efter det så springer de 7 km på samma tid. Hur stor var skillnaden i procent mellan Harrys och Elinas tider från början?

17 Å ren 2005−2006 deltog 417 000 barn M och ungdomar i Finland i olika idrottsföreningars aktiviteter. Antalet deltagande barn motsvarade 42 % av alla 3–18-åringar i landet. Hur många 3−18-åringar fanns det i Finland dessa år? Avrunda till närmsta tusental. 18 A v godisbitarna i en påse är 40 % MP svarta, 35 % gula och resten röda. Hur många godisbitar finns det sammanlagt i påsen, om det finns 35 röda godisbitar? 19 L uften innehåller ungefär 21 volymMP procent syre. För att 170 gram kol ska förbrännas fullständigt krävs det 315 liter rent syre. Hur mycket luft krävs det för förbränningen?

A 21 P riset på en dator sänktes först med PK 30 % och sedan med 5 %. Priset på en tv-apparat sänktes först med 15 % och sedan med 20 %. Om slutpriset på datorn och tv-apparaten blev samma, vilken av dem var dyrast från början?

10 Rabatter och prishöjningar Förklara!

Rabatter på priser brukar anges i procent. Det rabatterade priset beräknas genom att rabatten i kronor subtraheras från det ursprungliga priset.

Räkna!

EXEMPEL 1

Precis som rabatter anges också prisökningar i procent. Det nya priset beräknas genom att prishöjningen i kronor adderas till det ursprungliga priset. Ett par skor kostar 1 290 kronor. Under en kampanj säljs skorna med 30 procents rabatt. Beräkna a) rabatten i kronor b) det nedsatta priset. Lösning: a) Rabatten är 0,30 ∙ 1 290 kr = 387 kr.

Vi kan också beräkna rabatten genom att först räkna ut hur mycket en procent motsvarar.

b) Det nedsatta priset är 1 290 kr − 387 kr = 903 kr.

EXEMPEL 2

Svar: a) Rabatten är 387 kr. b) Det nedsatta priset är 903 kr.

Hyran för en bostad är 4 600 kr/månad. Hyran ökar med 2,5 %. Beräkna a) hyreshöjningen b) den nya hyran. Lösning: a) Hyreshöjningen är 0,025 ∙ 4 600 kr = 115 kr. b) Den nya hyran är 4 600 kr + 115 kr = 4 715 kr. Svar: a) Hyreshöjningen är 115 kr. b) Den nya hyran är 4 715 kr/månad.

Diskute r Varför är det

viktigt att kunna procenträkning när du handlar? Hur många procents rabatt kan du få som mest om du köper 3 och betalar för 2 och du får den billigaste?

E/C-UPPGIFTER 1 U ndersök priser på varor och rabatter i M en affär eller i annonser i en tidning. a) Skriv upp det normala priset, det sätt som rabatten angetts på och det nedsatta priset på minst fem varor. b) Beräkna varornas rabatt i procent. 2 Beräkna M a) rabatten b) det nedsatta priset.

649 kr

−50 %

6 M ajken får en löneförhöjning på 6,0 M procent. Beräkna hennes nya timlön, då timlönen innan löneförhöjningen var 125 kr/timme. 7 P riset på tågbiljetter höjs med 4,0 M procent. Beräkna det nya priset för en resa som tidigare kostade 325 kr. 8 H ur många kronors rabatt får du på M varorna? Beräkna det nedsatta priset. a)

3 Beräkna M a) rabatten du får med studentkort b) priset som betalas med studentkort.

1 600 kr

9 Vilken resväska har M a) den största rabatten i kronor b) det billigare priset efter rabatten? 4 Beräkna M a) prishöjningen på 5 % b) det förhöjda priset med 5 % efter den 30 november.

BOKA NU 3 800 kr

5 E n handlare fyller år och erbjuder M kunderna 43 procents rabatt på alla varor. Beräkna det nya priset a) på en klocka, som kostade 1 790 kr innan rabatten b) på en vas, som kostade 750 kr innan rabatten.

900 kr

−40 %

−25 %

1 200 kr

−25 %

1 400 kr

−30 %

10 U nder våren stiger priset på cyklar M med 3,0 %. Beräkna det nya priset på en cykel med en kronas noggrannhet, då priset innan ökningen var a) 2 890 kr b) 5 490 kr c) 7 690 kr. 11 E nligt ett avtal höjs alla arbetstagares M löner med 2,5 procent. Om löneökningen är mindre än 500 kr höjs lönen med 500 kr. Beräkna de nya lönerna för Livia och Elsa, då a) Livias nuvarande lön är 24 000 kr/mån. b) Elsas nuvarande lön är 19 500 kr/mån. 47

12 E lis bor i en hyresetta med arean M 34,5 m2. Hans månadshyra är 96 kr/m2. Hyran höjs med 2,0 procent. Vilken är den nya månadshyran för Elis bostad? 13 B eräkna de nya nedsatta priserna då M rabatten är minst 30 % av det ursprungliga priset.

15 ” Köp tre, betala för två. Vi bjuder på P den billigaste.” Hur många procent rabatt fick Agnes på sitt inköp?

990 kr

750 kr

14 T a reda på med räknare vilket det P ursprungliga priset var, då a) en bärbar dator kostade 6 366,50 kr efter 15 procent rabatt b) en dunjacka kostade 1 113 kr efter 30 procent rabatt c) hyran för en sporthall efter en prisökning på 10 procent var 605 kr/tim.

449 kr

390 kr

199 kr

Favoritmode

119 kr 1 400 kr

999 kr

299 kr

249 kr

VARA SKOR TRÖJA MÖSSA

MATEMATIKVÄGEN 25 ------------------------------ANTAL Á-PRIS 1 par 790,00 1 499,00 1 199,00

SUMMA KR 790,00 499,00 199,00

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

Resonera Av tillverkningskostnaden för en soffa står materialet för 60 % och produktionskostnaden för 40 %. Kostnaden för materialet stiger med 20 % och produktionskostnaden med 10 %. Hur många procent ökar tillverkningskostnaden? 48

REPETITION 16 S ixten får 40 % rabatt på ett par jeans M som kostar 870 kronor. Hur mycket a) är rabatten i kronor b) kostar jeansen efter rabatten? 17 P riset på bussbiljetter höjs med 2,0 %. M Beräkna det nya priset, då priset innan prisökningen var a) 149 kr b) 740 kr c) 842 kr. 18 Beräkna de nya priserna. M

890 kr 1 400 kr

−10 %

19 M ånadspriset för ett mobil M abonnemang höjs med 2,5 procent. Hur många kronor a) stiger priset på ett abonnemang som tidigare kostade 160 kr b) är priset efter prisökningen? 20 E n resa kostade 3 490 kr/person. Inför P sportlovsperioden steg priset med 8 %. Efter säsongen sjönk priset med 10 %. Beräkna priset på resan a) under sportlovsperioden b) efter sportlovsperioden.

−30 %

120 kr

−50 %

A-UPPGIFTER 21 P riset på ett matbord sänktes först BM med 24 %. Senare sänktes det nya priset med ytterligare 15 %. Då kostade matbordet 5 168 kr. Vad kostade matbordet innan den första prissänkningen?

A 22 E n säng kostade 2 400 kr. Priset PK sänktes två gånger där den första sänkningen var lite större än den andra i procent. Efter båda sänkning arna kostade sängen 1 600 kr. Ge förslag på hur stora sänkningarna kan ha varit.

11 Förändringsfaktor

Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

För att få fram ett värde efter en procentuell ökning eller minskning kan förändringsfaktor användas. För att få fram förändringsfaktorn vid en ökning adderas hundra procent med den procentuella ökningen och vid en minskning subtraheras den procentuella minskningen från hundra procent, till exempel: Vid en ökning med 10 %: 100 % + 10 % = 110 % = 1,1 – Förändringsfaktorn är 1,1. Vid en minskning med 10 %: 100 % − 10 % = 90 % = 0,9 – Förändringsfaktorn är 0,9. Maryam får 30 % rabatt på en tröja som kostar 599 kr. Beräkna det nedsatta priset. Lösning:

Maryam får 30 % rabatt, alltså ska hon betala 100 % − 30 % = 70 % av det ursprungliga priset. Vi uttrycker det med 70 % i decimalform, alltså 0,70. Förändringsfaktorn är 0,70. Det nedsatta priset är 0,70 ∙ 599 kr = 419,30 kr.

EXEMPEL 2

Svar: Det nedsatta priset är 419,30 kr.

Elevantalet på en skola ökar i genomsnitt 3 % per år. Beräkna elevantalet om ett år, om skolan just nu har 272 elever. Lösning:

Det nya elevantalet är 100 % + 3 % = 103 % av det ursprungliga, det vill säga det nuvarande elevantalet. Vi skriver 103 % i decimalform: 103 % = 1,03. Förändringsfaktorn är 1,03. Det nya elevantalet är 1,03 ∙ 272 = 280,16 ≈ 280.

EXEMPEL 3

Svar: Om ett år är elevantalet ungefär 280 elever.

Bestäm förändringsfaktorn du ska multiplicera med, då det ursprungliga värdet a) ökar med 75 % b) minskar med 80 % c) ökar med 100 %. Lösning och svar: a) Det ökade värdet är 100 % + 75 % = 175 % av det ursprungliga värdet.

Förändringsfaktorn är 1,75.

b) Det minskade värdet är 100 % − 80 % = 20 % av det ursprungliga värdet.

Förändringsfaktorn är 0,20.

c) Det ökade värdet är 100 % + 100 % = 200 % av det ursprungliga värdet.

Förändringsfaktorn är 2,00.

E/C-UPPGIFTER 1 H ur många procent av det ursprungliga M priset måste betalas, om priset a) sjunker med 10 % b) stiger med 5 % c) sjunker med 30 %? 2 M ed vilken förändringsfaktor M multiplicerar du det ursprungliga värdet, om värdet ökar med a) 15 % b) 50 % c) 3 %? 3 M ed vilken förändringsfaktor M multiplicerar du det ursprungliga priset, om priset minskar med a) 5 % b) 30 % c) 75 %? 4 B eräkna det förändrade priset, då det M ursprungliga priset är 1 400 kr och det a) sjunker med 20 % b) ökar med 15 % c) sjunker med 90 %. 5 V ilken är förändringsfaktorn om M invånarantalet, utifrån det nuvarande, a) ökar med 5 % b) minskar med 3 % c) förblir oförändrat?

EC 6 P riset på bussbiljetter höjs med 5 %. M Tidigare kostade Noels biljett 144 kr. a) Hur många procent utgör det nya biljettpriset av det ursprungliga? b) Med vilken förändringsfaktor ska du multiplicera det ursprungliga priset, för att få det nya priset? c) Beräkna biljettpriset efter prisökningen. 7 I en liten by växer invånarantalet i M genomsnitt med 2 % per år. Just nu bor det 850 personer i byn. Hur många personer bor i byn om ett år utifrån den här ökningen? 8 H ur många procent är förändringen, M och innebär den en ökning eller sänkning, om du multiplicerar det ursprungliga talet med förändringsfaktorn a) 1,15 b) 0,91 c) 1,04? 9 I januari sker 2 800 lån på ett bibliotek. P I februari sjunker antalet lån med 15 %. I mars anordnas en kampanj, vilket leder till att antalet lån ökar med 20 procent. Hur många lån skedde i mars? 10 U nder det första året sjunker värdet M på en personbil med cirka 20 %. Under det andra året sjunker värdet med cirka 15 %. Vilket värde har bilen, om den kostade 280 000 kr som ny, efter a) ett år b) två år?

11 E nligt ett avtal ska arbetstagarens M grundlön öka enligt följande tabell: Tid

5 år

10 år

15 år

20 år

Löneökning

Emilias ingångslön är 28 500 kr/mån. Beräkna Emilias grundlön efter a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 år.

12 H ur många procent är förändringen, M och är det fråga om en ökning eller en sänkning, då vi multiplicerar det ursprungliga värdet med faktorn a) 2,50 b) 4,20 c) 0,00? Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 13 N ormalpriset på en faktabok är M 348 kr. Beräkna det nedsatta priset då du får 15 procent rabatt på boken. 14 M ed vilken förändringsfaktor M multiplicerar du det ursprungliga värdet, då värdet a) ökar med 30 % b) sjunker med 50 %? 15 I nvånarantalet i en kommun minskar M med cirka 3 % per år. Uppskatta hur många invånare kommunen har om ett år om den i dag har har 5 250 invånare.

A-UPPGIFTER 18 P riset sänks med 15 % sedan sänks BM priset ytterligare med 15 %. Hur stor blir rabatten om denna sänkning görs totalt fyra gånger?

16 T yra strävar efter att förbättra sitt M resultat på 800 meter med 10 procent. I föregående testlopp sprang hon på 3.00. Beräkna hur snabbt Tyra måste springa för att nå sitt mål. 17 H ur många procent är förändringen, M och är det fråga om en ökning eller en minskning, då du multiplicerar det ursprungliga värdet med förändringsfaktorn a) 2,00 b) 0,1 c) 1,00?

A 19 V ärdet på en aktie går en månad upp MP med 10 % för att nästa månad gå ned med 10 %. Hur mycket har värdet på aktierna förändrats om de fortsätter att gå upp och ned med 10 % varje månad i ett år? Svara med två decimalers noggrannhet.

FÖRDJUPNING Flera procentuella förändringar

EXEMPEL 4

Storleken på en förändring kan beräknas i procent även om det ursprungliga värdet är okänt. Den procentuella förändringen beror inte på storleken av det ursprungliga värdet. I november ökar besökarantalet i ett köpcentrum med 10 % och i december med ytterligare 15 %. Hur många procent ökar besökarantalet allt som allt? Lösning:

Vi betecknar det ursprungliga besökarantalet med bokstaven a. Besökarantalet i november är 1,10 gånger så stort som det ursprungliga besökarantalet, det vill säga 1,10 ∙ a = 1,1a. Besökarantalet i december är 1,15 gånger så stort som besökarantalet i november, det vill säga 1,15 ∙ 1,1a = 1,265 ∙ a = 1,265a. Besökarantalet i december är 1,265 gånger så stort som det ursprungliga antalet. Svar: Besökarantalet ökade med 26,5 %.

A-UPPGIFTER 20 H ur många procent förändras talet, M och är det fråga om en ökning eller en sänkning, då det a) först ökar med 15 % och sedan minskar med 20 % b) först minskar med 5 % och sedan ökar med 10 % c) först minskar med 50 % och sedan ökar med 100 %? 21 5 0 % av produktionskostnaderna för BP en vara består av löner till arbetare. Hur många procent stiger priset på varan, om lönekostnaderna ökar med 4,2 %? De andra kostnaderna förblir oförändrade.

A 22 E n biograf uppskattar att om de höjer PK biljettpriset med 10 % kommer försäljningen av biljetter att minska med 10 %. Hur många procent av de ursprungliga biljettintäkterna skulle biljettintäkterna vara efter prisökningen? Vad innebär resultatet? 23 I maj stiger bränslepriset med 3,0 % M och i juni med 2,0 %. Hur många procent har priset ökat efter de här prishöjningarna? 24 E nligt en uppskattning växer en skog BM med cirka 4 procent per år. Hur många procent växer skogen på 10 år utifrån den här uppskattningen?

era Reson Hur många procent måste sidan i en kvadrat förändras, för att kvadratens area ska a) fördubblas b) krympa till hälften? Ange svaret med en procents noggrannhet. 53

12 Räkna med procent Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

Vid beräkning av procent är det viktigt att ta reda på vad det är som efterfrågas. Antingen frågas det efter procent, vad en viss del av något är eller vad det hela är, alltså någon av de tre i sambandet delen/hela = andel. På slutrean säljs skor och väskor med 35 procents rabatt i en affär. Hur mycket kostar ett par skor för 490 kr efter rabatten? Lösning, metod 1:

Vi skriver 35 % i decimalform: 35 % = 0,35. Rabatten i kronor är 0,35 ∙ 490 kr = 171,50 kr. Priset efter rabatten är 490 kr − 171,50 kr = 318,50 kr. Lösning, metod 2:

Priset efter rabatten är 100 % − 35 % = 65 % av det nuvarande priset. Vi skriver 65 % i decimalform: 65 % = 0,65. Priset efter rabatten är 0,65 ∙ 490 kr = 318,50 kr.

EXEMPEL 2

Svar: Skorna kostar 318,50 kr efter rabatten.

Kostnaden för ett hotellrum är just nu 800 kr/natt. Kostnaden höjs med 5 %. Hur mycket kostar det att bo på hotellet i tre nätter efter prishöjningen? Lösning, metod 1:

Vi skriver 5 % i decimalform: 5 % = 0,05. Prishöjningen i kronor är 0,05 ∙ 800 kr = 40 kr. Det höjda priset per natt är 800 kr + 40 kr = 840 kr. Kostnaden för att bo tre nätter i hotellrummet är 3 ∙ 840 kr = 2 520 kr. Lösning, metod 2:

Den nya kostnaden är 100 % + 5 % = 105 %. Vi skriver 105 % i decimalform: 105 % = 1,05. Det höjda priset per natt 1,05 ∙ 800 kr = 840 kr. Kostnaden för att bo tre nätter i hotellrummet är 3 ∙ 840 kr = 2 520 kr.

EXEMPEL 3

Svar: Efter prishöjningen kostar det 2 520 kr för tre nätter.

Priset på ett bildäck sänks vid en kampanj från 849 kr till 699 kr. Hur många procent förändrades priset? Lösning:

Prisförändringen är 849 kr − 699 kr = 150 kr. Vi jämför prisförändringen med det ursprungliga priset, alltså är förändringen i procent 150 kr = 0,176... ≈ 0,18 = 18 %. 849 kr Svar: Priset förändras ungefär 18 %.

EXEMPEL 4

Ellinor köper en cykel som kostar 3 450 kr. Pennys cykel kostar 4 800 kr. Hur många procent dyrare är Pennys cykel än Ellinors cykel? Lösning:

Prisskillnaden är 4 800 kr − 3 450 kr = 1 350 kr. Vi jämför prisskillnaden med priset på Ellinors cykel, alltså är förändringen i procent 1 350 kr = 0,391... ≈ 0,39 = 39 %. Jämförelsepriset är priset på Ellinors cykel. 3 450 kr Svar: Pennys cykel är ungefär 39 % dyrare än Ellinors cykel.

E/C-UPPGIFTER 1 a) Hur många procent av priset på M väskan betalar du efter rabatten? b) Hur mycket kostar väskan efter rabatten? 1 190 kr

−30 %

2 Priset på en biobiljett höjs med 4,0 %. M a) Hur många kronor dyrare blir biljetten som kostar 125 kr? b) Beräkna biljettpriset efter prishöjningen. 3 H ur många procent sänks priset på M datorn? 5 900 kr

−1000 kr

4 A licia är 172 cm lång och Liam M 185 cm. Hur många procent kortare är Alicia än Liam?

5 I skola A går 480 elever och i skola B M 620 elever. Hur många procent fler elever går i skola B jämfört med skola A? 6 P riset på taxiresor höjs med 1,5 %. M Beräkna det nya priset på en taxiresa som innan prisökningen kostade 246 kr. 7 K ajsa fick 17/24 poäng på det första M provet och 20/24 poäng på det andra. Hur många procent bättre blev poängen? 8 V incent har som mål att förbättra sitt M resultat på 100 meter löpning med 5 procent. Beräkna Vincents mål, om hans nuvarande tid är 14,2 s.

9 E n ny mopedmodell kostar 2,0 % mer M än den tidigare modellen. a) Hur många procent utgör priset på den nya modellen av priset på den gamla modellen? b) Vilket är priset på den nya modellen, om den gamla kostade 28 500 kr?

10 E tt 10-gångers kort till en simhall MP kostar 400 kr och en enkelbiljett 55 kr. Hur många procent billigare är 10-kortet än enkelbiljetten?

11 N är träningsperioden för ett P fotbollslag börjar i maj har laget 24 spelare. En månad senare har laget 31 spelare. Hur många procent a) färre spelare än i juni hade laget i början av säsongen b) ökade antalet spelare med? 12 E levantalet på en skola förväntas öka P 2,5 % per år. Beräkna hur många elever skolan har om tre år, om det just nu går 370 elever på skolan.

13 P å en superrea sänktes först priset på MP alla varor med 40 %, vid tilläggsrean med 20 % till och i slutruschen med ytterligare 20 %. Beräkna hur många procent den slutgiltiga rabatten är för en vara som ursprungligen kostade 1 200 kr. 14 M ed vilken faktor ska vi multiplicera M det ursprungliga talet, så att förändringen blir a) +100 % b) −23 % c) +370 %? 15 H ur många procent är förändringen, M då priset först stiger med 50 % och sedan a) stiger med ytterligare 50 % b) sjunker med 50 %?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

nera o s e R Av den totala tillverkningskostnaden för en vara är materialkostnaden 70 % och produktionskostnaden är 30 %. Hur många procent och i vilken riktning förändras tillverkningskostnaden då materialkostnaden a) stiger med 10 % och produktionskostnaden stiger med 20 % b) sjunker med 10 % och produktionskostnaden sjunker med 20 % c) stiger med 10 % samtidigt som produktionskostnaden sjunker med 20 % d) stiger med 10 % samtidigt som produktionskostnaden sjunker med 15 %? 56

REPETITION 16 D u får en rabatt på 200 kr på jeans. M Hur många procent är rabatten, om normalpriset för jeansen är a) 390 kr b) 790 kr c) 1 090 kr? 17 F ilips månadslön höjs med 1,7 %. M Beräkna den nya månadslönen, då Filip tjänade 31 800 kr/mån innan löneökningen.

20 Hur många procent M a) minskade frånvaron i period 2 b) ökade frånvaron i period 3 c) förändrades frånvaron från period 1 till period 3?

Frånvaro Frånvaro i period 1

Frånvaro i period 2

Frånvaro i period 3

52 timmar

23 timmar

52 timmar

18 B eräkna den procentuella M förändringen i procent i städerna. Stad

Antal invånare

Ökning

Stockholm

949 761

14 142

Göteborg

564 039

7 399

Malmö

333 633

5 139

Källa: SCB (2017)

19 I december ökar försäljningen av M mobiltelefoner med 230 %. Hur många mobiltelefoner säljs i december, om det såldes 9 400 stycken i november?

A-UPPGIFTER 22 O m kilopriset på apelsiner en dag MP höjs med 15 % för att dagen efter sänkas med 8 % och kilopriset på bananer en dag sänks med 12 % för att nästa dag öka med 20 %, vilket kilopris ändras procentuellt mest?

21 I en bokhandel var det ursprungliga MP priset på en bok 259 kr. Boken såldes med 30 procents rabatt. I ett varuhus var priset på samma bok 229 kr och rabatten 50 kr. Hur många procent a) förändrades priset på boken i varuhuset b) billigare var boken i varuhuset än bokhandelns ursprungliga pris c) dyrare är boken i bokhandeln än i varuhuset efter rabatten?

A 23 D å kilopriset på äpplen sänks med MP 12 % och kilopriset på clementiner höjs med 12 % kostar de lika mycket. Hur stor var skillnaden i procent mellan kilopriset på äpplen och clementiner innan prisändringarna?

13 Matematik i ekonomi Procentenhet

Räkna!

Då skillnaden mellan två storheter som angetts i procent beräknas, används ofta procentenheter. Procentenheterna är differensen mellan procenttalen. Procenttecknet kan ses som en enhet preis som kronor. EXEMPEL 1

Förklara!

Innan Eltons hyra höjdes gick 20 % av hans lön till hyran. Efter hyresökningen går 22 % av lönen till hyran. a) Med hur många procentenheter steg hyran? b) Med hur många procent steg hyran? Lösning: a) 22 % − 20 % = 2 procentenheter mer. 22

Differensen är 2 procentenheter.

b) När vi jämför förändringen i den andel av lönen som går till hyran kan vi

uttrycka förändringen i procent så här: 22 % − 20 % = 2 % = 1 % = 0,10 = 10 %. 20 % 20 % 10 % 20

Talet 2 ingår i talet 20 tio gånger.

Svar: a ) 2 procentenheter b) 10 %

Beräkna ränta

EXEMPEL 2

Om en kund sätter in pengar på banken betalar banken ränta på pengarna. Om en kund lånar pengar av banken betalar kunden ränta på de lånade pengarna.

Emma sparar 40 000 kronor i ett år med årsräntan 2,0 procent. Hur stor är summan efter ett år, då hon tar ut sina besparingar? Lösning, metod 1:

Räntan efter ett år är 0,02 ∙ 40 000 kr = 800 kr. Efter att räntan har lagts till är sparsumman 40 000 kr + 800 kr = 40 800 kr.

Lösning, metod 2:

Decimaltalet vi ska multiplicera med är 100 % + 2,0 % = 102,0 %. Förändringsfaktorn är 1,02. Efter ett år har besparingarna ökat till 1,02 ∙ 40 000 kr = 40 800 kr.

EXEMPEL 3

Svar: Emmas besparingar har ökat till 40 800 kr.

William tar ett lån på 8 000 kr för att köpa en begagnad vespa. Lånet ska betalas av om ett halvår. Den årliga räntan på lånet är 6,5 %. Hur många kronor betalar William a) i ränta b) för lånet och räntan tillsammans? Lösning: 1 a) Räntan för ett halvår är ∙ 0,065 ∙ 8 000 kr = 260 kr.

2 b) Räntan och lånet tillsammans är 8 000 kr + 260 kr = 8 260 kr. Svar: a) Räntan är 260 kr. b) Lånet och räntan tillsammans är 8 260 kr.

Beräkna skatt

EXEMPEL 4

I Sverige och många andra länder betalas skola, sjukvård, tandvård m.m. med skattepengar. Alla som tjänar över en viss summa pengar betalar skatt. Hur många procent som betalas beror på lönens storlek och i vilken kommun löntagaren bor. Lova betalar 23,0 % i skatt på sin lön. Hur mycket är hennes nettolön, det vill säga den lön som återstår efter att hon betalat skatten, då hennes ursprungliga lön (bruttolönen) är 24 803 kr? Lösning, metod 1:

Skatten som Lova betalar är 0,23 ∙ 24 803 kr = 5 704,69 kr ≈ 5 704,70 kr. Lovas nettolön är 24 803 kr − 5 704,70 kr = 19 098,30 kr. Lösning, metod 2:

Av Lovas lön återstår 100,0 % − 23,0 % = 77,0 %, vilket betyder att hennes nettolön är 0,77 ∙ 24 803 kr = 19 098,31 kr ≈ 19 098,30 kr. Svar: Lovas nettolön är 19 098,30 kr.

E/C-UPPGIFTER 1 D en årliga räntan för ett lån stiger från M 2,1 procent till 2,7 procent. Hur många procentenheter stiger räntan? 2 Hur många M a) procentenheter b) procent stiger marknadsandelen? År

Marknadsandel

2012

13,0 %

2013

26,0 %

3 L eo beviljas ett lån på 100 000 kr med M räntan 2,0 %. Lånet ska betalas tillbaka inom ett år, inklusive ränta. Hur många kronor betalar Leo a) i ränta b) allt som allt? 4 H edda betalar 18,5 procent i skatt på sin M lön. Hur mycket av sin lön på 16 820 kr a) betalar Hedda i skatt b) blir kvar efter skatt? 5 M ilton sparar 35 000 kr med räntan M 1,0 procent i ett år. Hur stor a) ä r den ränta som Milton får på insättningen b) är den totala summan efter ett år?

6 M oa får ett arv på 75 000 kr som hon M sätter in på banken med 1,75 % årsränta. Hur mycket pengar har hon efter a) ett år b) två år c) tio år? 7 Hur många M a) procentenheter fler röster har kandidat A b) p rocent kan stödet för kandidat B vara som störst, enligt mätningen? Kandidat

Röster

43,0 %

37,5 %

Felmarginalen är ±2,0 procentenheter. 8 A mina sparar 85 000 kr i ett halvår M med årsräntan 2,0 procent. Hur stor är summan efter ett halvår? 9 L ovisa beviljas ett lån på 120 000 kr, M som vid den tidpunkt då lånet tas har räntan 2,8 %. Hon betalar tillbaka lånet plus räntan ett halvår efter att hon tog lånet. Hur mycket betalar Lovisa till banken efter ett halvår? 10 V ilgot ska betala 23,0 procent i skatt M av sin lön på 23 475 kr. Han får en utbetalning på 18 456 kr i lön. Dras tillräckligt med skatt av Vilgots lön? 11 H ilda betalar 25,0 % i skatt på sin M månadslön. Efter skatt har hon 24 300 kr kvar, av vilka 30 % går till hyran. Hur många procent av Hildas månadslön går till hyran?

12 J oel beviljas ett lån på 75 000 kr med MP 3,4 % i årlig ränta. Han betalar tillbaka lånet med ränta efter tre månader. Hur mycket betalar Joel till banken a) i ränta b) allt som allt?

14 E n bilförsäljare lånar ut 50 000 kr till MP sina kunder. De betalar tillbaka med 4 600 kr varje månad under ett helt år. Hur många procent är den årliga räntan för betalningssättet?

13 I början av året tar en bostadsrätts MP förening ett lån på 300 000 kr inför en takrenovering. Den årliga räntan är 3,0 %. Föreningen betalar tillbaka lånet på fem år, genom att i slutet av varje kalenderår betala 60 000 kr plus årsräntan. Hur mycket a) r änta betalar föreningen på lånet i slutet av det första året b) b etalar föreningen tillbaka i slutet av det första året c) l ån har föreningen efter det första året?

15 G reta tar ett sms-lån på 1 500 kr, där MP räntekostnaden för 14 dagar är 180 kr. Hur mycket a) ska Greta betala tillbaka efter 14 dagar b) skulle räntekostnaden vara för ett år c) är årsräntan i procent? Räkna med att ett år har 365 dagar.

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 16 A ron betalar 24,5 % i skatt på sin M inkomst. Hur mycket blir kvar efter skatt om han tjänar 26 709 kr? 17 S parräntan stiger från 1,2 procent till M 1,5 procent. Hur många a) procentenheter b) procent ökar sparräntan? 18 F reja sparar 65 000 kr på sitt sparkonto M med räntan 1,9 procent i ett år. Hur mycket pengar kan hon ta ut efter ett år?

19 F rans beviljas ett lån på 80 000 kr, M med räntan 2,5 %. Han betalar tillbaka lånet och räntan efter ett år. Hur många kronor betalar Frans allt som allt till banken för sitt lån? 20 M ila beviljas ett lån på 90 000 kr med M räntan 3,2 %. Hon betalar tillbaka lånet inklusive ränta efter ett år. Hur mycket betalar Mila för sitt lån?

A-UPPGIFTER 21 I Sverige 2018 betalar de som bor i MP Dorotea högst kommunalskatt och de som bor i Vellinge betalar lägst kommunalskatt. Efter jobbskatte avdrag betalar Ingrid som bor i Dorotea 26,04 % i skatt av sin lön på 31 000 kr. Hon får ett erbjudande om ett nytt jobb i Vellinge med 1 500 kr i löneökning. Skatten i Vellinge skulle då vara 22,05 %. Hur mycket skulle hon behöva höja sin lön i Dorotea för att tjäna lika mycket som erbjudandet i Vellinge?

Resonera

På grund av stor efterfrågan på hotellrum höjs priset med 500 kr per natt. Senare sänks priset med 20 procent, då kostar ett rum 100 kr mer än det gjorde till en början. Vilket var det ursprungliga rumspriset?

A 22 A lbin har ett lån på 250 000 kr, MP årsräntan är 2,1 %. I slutet av varje år betalar Albin tillbaka 50 000 kr på lånet så att lånet är betalt efter 5 år. Hur många procent är den totala räntan som Albin betalat under 5 år jämfört med det lånade beloppet?

FÖRDJUPNING Ränta på ränta

EXEMPEL 5

Om en viss summa sätts in på banken och står kvar där i flera år, betalar banken ränta på kapitalet varje år. Det första året läggs räntan till kapitalet, och följande år ger banken ränta på det nya kapitalet som betalades ut under det första året. Detta kallas ränta på ränta. Hedvig sparar 60 000 kr i två år med årsräntan 2,5 procent. Hur mycket pengar har Hedvig på kontot efter två år då hon bestämmer sig för att ta ut sina besparingar? Lösning, metod 1:

Räntan för det första året är 0,025 ∙ 60 000 kr = 1 500 kr. Efter att räntan för det första året har lagts till kapitalet är sparsumman 60 000 kr + 1 500 kr = 61 500 kr. Räntan för det andra året är 0,025 ∙ 61 500 kr = 1 537,50 kr. Efter att räntan för det andra året har lagts till kapitalet är sparsumman 61 500 kr + 1 537,50 kr = 63 037,50 kr. Lösning, metod 2:

Den förändringsfaktor som motsvarar ökningen är 100 % + 2,5 % = 102,5 % = 1,025. Efter det första året är besparingarna 1,025 ∙ 60 000 kr = 61 500 kr. Om n år skulle besparingarna vara Efter det andra året är besparingarna 1,025 ∙ 61 500 kr = 63 037,50 kr. n Svar: När Hedvig tar ut sina besparingar har de ökat till 63 037,50 kr.

C-UPPGIFTER 23 V ide sparar 45 000 kr på ett konto BM med räntan 1,8 % i två år. Hur mycket har Vides besparingar ökat till efter två år? 24 S ebastian placerar 30 000 kr i två år BM i en fond, där räntan är 2,1 % under första året och 3,0 % under det andra året. Hur mycket pengar i ränta får Sebastian under de två åren?

1,025 ∙ 60 000 kr.

C 25 M atilda sparar 80 000 på ett konto BM med räntan 2,4 %. Använd miniräknare för att ta reda på efter hur många år Matildas insättning har överstigit 95 000 kr. 26 U nder två år sparar Kian sammanlagt MP 150 000 kr på sitt sparkonto genom att först sätta in 80 000 kr. Ett år efter den första insättningen sätter han in resten av pengarna. Hur mycket pengar har Kian på sitt sparkonto efter två år, om sparräntan är 1,15 %? 63

14 Matematik i kemi

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

Förklara!

I ämnet kemi utförs ofta beräkningar. Till exempel kan koncentrationen i en lösning beräknas som har en viss mängd av ett ämne löst i vätskan. Lösningens koncentration anger hur många procent av den totala lösningen det upplösta ämnet utgör. Koncentration anges med mass- eller volymprocent. På samma sätt bestäms halten i en blandning. Om till exempel ett koncentrat ska spädas ut i förhållandet 1:9, ska den färdiga blandningen bestå av 1 del koncentrat och 9 delar vatten. Den färdiga blandningen innehåller 1 det 10 vill säga 10 % av koncentratet. 500 gram salt blandas i 8 liter vatten. Beräkna salthalten för lösningen i massprocent. En liter vatten har massan 1 kilogram. Lösning:

Det finns totalt 500 g + 8 ∙ 1 000 g = 8 500 g lösning. 500 g = 0,0588... ≈ 0,059 = 5,9 %. Lösningen har salthalten 8 500 g Svar: Salthalten i lösningen är ungefär 5,9 massprocent. Woods metall är en metallegering som innehåller 44,5 % vismut, 35,5 % bly, 10,0 % kadmium och 10,0 % tenn. Hur många kilogram av varje metall behövs för att framställa 500 kilogram legering? Lösning: Metall

Andel

Mängd

vismut

44,5 %

0,445 ∙ 500 kg = 222,5 kg

bly

35,5 %

0,355 ∙ 500 kg = 177,5 kg

kadmium

10,0 %

0,10 ∙ 500 kg = 50,0 kg

tenn

10,0 %

0,10 ∙ 500 kg = 50,0 kg

Svar: 222,5 kg vismut, 177,5 kg bly, 50,0 kg kadmium och 50,0 kg tenn.

Diskute r

I vilka sammanhang har du stött på matematik i NO-ämnena?

E/C-UPPGIFTER 1 E tt koncentrat ska spädas ut M i förhållandet 1:4. Hur många procent koncentrat innehåller den färdiga blandningen? 2 I en flaska med 100 g saltsyra, M hur många gram av innehållet a) är syra b) är vatten?

HCl 37 %

3 V i löser ett kilogram socker i tre M kilogram vatten. a) H ur många kilogram lösning får vi allt som allt? b) Vilken är sockerhalten i lösningen? 4 E n saltlösning består av 100 g salt och M 400 g vatten. Beräkna salthalten i lösningen. 5 M ärta framställer en kopparsulfat M lösning genom att tillsätta 128 g kopparsulfat i 672 g vatten. a) H ur många gram kopparsulfatlösning bildas? b) B eräkna lösningens koncentration i massprocent. 6 I oceanerna är salthalten i vattnet (i M massprocent) i genomsnitt 3,5 procent. Hav

Salthalt (%)

Atlanten

3,3−3,7

Östersjön

0,8

Röda havet

4,1

Döda havet

26−33

Hur många gram salt innehåller 8 kilogram havsvatten, som tagits ur a) Döda havet b) Östersjön?

7 O tto framställer en saltlösning genom M att tillsätta 500 g salt i 5,0 liter vatten. En liter vatten har massan 1 kg. a) Hur många gram färdig saltlösning får Otto? b) B eräkna salthalten i lösningen i massprocent. 8 L uften innehåller cirka 21 volym M procent syre. Hur mycket syre är det i a) en fullpumpad boll med volymen

15 dl

b) ett mätglas med volymen 400 ml c) ett klassrum med volymen 230 m3? d) U ppskatta hur mycket syre det finns

i luften i ditt klassrum.

9 M ässing är en legering av koppar och M zink. För att framställa 1 500 kg mässing behövs 945 kg koppar. Hur många procent zink innehåller mässing? 10 S polarvätska för vindrutor späds ut MP med vatten i enlighet med tabellen. Vatten

Spolarvätska

Fryspunkt

4 delar

1 del

3 delar

1 del

−9 °C

2 delar

1 del

−15 °C

1 delar

1 del

−29 °C

−7 °C

Hur många a) l iter vatten tillsätts då du framställer den svagaste lösningen i tabellen av spolarvätskan från en 1 liters flaska b) p rocent spolarvätska innehåller en lösning med fryspunkten −29 °C c) p rocent vatten innehåller en lösning med fryspunkten −9 °C? 65

11 E n saltlösning har salthalten 10 mass M procent. 3 deciliter vatten tillsätts i ett kilogram av lösningen. Vilken är salthalten i massprocent för den utspädda lösningen? 12 H ur skulle du framställa 300 g PK saltlösning med koncentrationen 15 procent?

13 H ur mycket salt måste du tillsätta MP i ett kilogram 10-procentig saltlösning, för att få 20-procentig saltlösning? 14 L iv blandar ett kilogram 15-procentig MP och tre kilogram 10-procentig saltlösning. Beräkna salthalten i lösningen. Öva mer – E

Öva mer – E/C Öva mer – C

REPETITION 15 E tt gödselmedel ska spädas i M förhållandet 1:3. Hur många procent koncentrerad gödsel innehåller en liter lösning? 16 3 00 gram salt löses i två liter vatten. M Beräkna salthalten i lösningen. 17 E n metallegering med namnet silumin M består av 87 % aluminium och resten kisel. 1 200 kg av legeringen fram ställs. Hur många kilogram behövs av a) aluminium b) kisel?

A-UPPGIFTER 20 T vå liter med 15-procentig MP saltlösning blandas med en liter 20-procentig saltlösning och sedan med ytterligare en halv liter 25-procentig saltlösning. Hur stor är saltlösningens koncentration? 66

18 D u vill framställa 5-procentig M syralösning till ett kemikalieförråd. Hur många gram syra behöver du, om du framställer 800 gram 5-procentig lösning? 19 D et går att lösa 20 g kopparsulfat MP i 100 gram vatten med temperaturen 10 °C. När vattnet har temperaturen 90 °C går det att lösa 70 g kopparsulfat i samma mängd. Hur många procent kopparsulfat innehåller en lösning med temperaturen a) 10 °C b) 90 °C?

A 21 C arl blandade kylarvätska men det PK blev fel. Han blandade 2 delar koncentrat och 7 delar vatten men det borde ha varit 1 del koncentrat och 4 delar vatten. Carl hade blandat 18 liter kylarvätska med fel proportioner. Hur ska Carl göra för att få rätt blandning?

FÖRDJUPNING Promille

EXEMPEL 4

EXEMPEL 3

Vid sidan om procent kan också andel av en hel anges med promille, det vill säga tusendelar. Promille används bland annat för att ange halter av olika metaller i legeringar, alkoholhalt i blodet och lutning av järnvägar. Ett guldföremål har en stämpel med beteckningen 540 ‰. Hur stor del av föremålets massa består av guld, i procent mätt? Lösning och svar:

Minst 540 = 0,540 = 54 % av föremålets massa består av guld. 1000 Lutningen av en järnväg anges till 14 promille. Hur många meter stiger eller sjunker banan per kilometer? Lösning och svar:

Banan sjunker eller stiger 14 meter per tusen meter, det vill säga per kilometer.

C-UPPGIFTER 22 E n guldring har beteckningen BM 580 ‰. Hur många gram rent guld innehåller ringen, om den väger 16,1 g? 23 E n gammal ljusstake av silver väger M 280 g. I bottnen finns beteckningen 813, som anger att silverhalten i ljusstaken är 813 promille. Hur många gram silver innehåller ljusstaken?

era Reson Invånarantalet i en stad ökar först med 500 invånare. Sedan minskar invånarantalet med 5,0 %, varefter det bor 400 invånare färre i staden än till en början. Vilket var det ursprungliga invånarantalet i staden?

C 24 E n silverlegering innehåller silver och MP koppar. Ange silverhalten i promille, om a) legeringen innehåller 129,5 g silver och 10,5 g koppar b) 800 g legering framställs som innehåller 136 g koppar. 25 R ödguld är en metallegering som MP förutom guld också innehåller koppar och silver (Au 585 ‰, Cu 277 ‰ och Ag 138 ‰). Hur många gram av varje metall innehåller en ring som väger 12,4 g? 26 E n ring har guldhalten 750 ‰. Hur MP många gram väger ringen, som innehåller 8,6 g guld?

15 Repetition En hel är hundra procent

Förändring i procent

1 I en familj är andelen kvinnor 57 %. M Hur många procent av familjemedlemmarna är män?

7 E levantalet på en skola stiger från 358 till M 396 elever. Hur många procent ökar elevantalet? Ange svaret med en procents noggrannhet.

Bråk i procentform

2 Skriv bråket i procent. M 11 9 18 a) b) c) 200 50 25

Procentuell jämförelse d)

4 5

Från procent till decimaltal

3 Fyll i tabellen. M

Andel

Bråk

Decimaltal

8 I en webbutik kostar ett par skor 990 kr. Du kan köpa dem på avbetalning och betala 108,50 kr/mån. i 12 månader. Inga andra avgifter tillkommer. Hur många procent dyrare är det att köpa skorna på avbetalning än att betala för dem direkt?

11 %

Beräkna det ursprungliga värdet

31 50 0,08

Hur många procent?

4 H ur många procent av bokstäverna i M ordet utgör bokstaven A? a) MATEMATIK b) LAVA c) LITTERATUR

9 E n stadsbiljett (20 resor) kostar 420 kr. Med stadsbiljetten kostar en resa 70 % av priset på en enkelresa. Beräkna hur mycket en enkelresa kostar.

Rabatter och prishöjningar

10 D u får 700 kr i rabatt på en vara som M normalt kostar 3 990 kr. a) Vilket är det nedsatta priset? b) Hur många procent är rabatten?

Procent av en helhet

5 Beräkna M a) 70 % b) 45 % c) 7 % av talet 3 800. Hur mycket är 100 %?

6 Vilket är talet då M a) 75 % är 240 b) 90 % är 72 c) 35 % är 42? 68

Förändringsfaktor

11 B eräkna Ayas nya timlön, då den nu är M 120,00 kr/h och höjs med 2,5 %. Räkna med procent

12 P å en rea är ett erbjudande: ”Ta tre, MP betala för två. Vi bjuder på den billigaste.” Idun köper en blus för 490 kr, ett par byxor för 300 kr och en tröja för 690 kr. Hur många procent billigare än normalt blir det med erbjudandet?

13 E n lågprisaffär säljer motorolja i en MP 5-litersförpackning för 439 kr. I en annan affär kostar motsvarande motorolja 369 kr, i en 4-litersförpackning. a) I vilken förpackning är oljan billigare? b) Hur många procent billigare är oljan i den billigare förpackning? Matematik i ekonomi

14 S tina lånar 80 000 kr av banken. MP Banken kräver 3,5 % ränta per år på lånet. Under det första året amorterar Stina ingenting, utan betalar enbart räntekostnaden. Hur många kronor a) betalar Stina i ränta under det första året b) har Stina i lån efter att ha betalat räntekostnaden för det första året? Matematik i kemi

15 E tt mätglas innehåller 150 g vatten. M Du löser 30 g salt i vattnet. Hur många procent salt innehåller lösningen?

Sammanfattande uppgifter

16 Hur många procent BM a) är talet 60 av talet 80 b) är talet 80 av talet 60 c) mindre är talet 60 än talet 180 d) större är talet 80 än talet 60? 17 D et säljs samma sorts toapapper MP i förpackningar med 24 eller 40 rullar. Hur många procent dyrare är en rulle i den mindre förpackningen, om den med 24 rullar kostar 73 kr och förpackningen med 40 rullar kostar 120 kr? 18 F elmarginalen för vägmätaren i en bil MP anges med +1,1 %. a) Vad innebär det? b) Beräkna den verkliga längden på en sträcka, då vägmätaren i bilen visar 18,3 km. 19 E n frukt som väger 160 g innehåller MP 85 % vatten. Efter att frukten torkats innehåller den 20 % vatten. Hur många a) gram andra ämnen innehåller frukten b) procent av den torkade frukten utgör de andra ämnena c) gram väger den torkade frukten d) procent av fruktens vatten avdunstar?

Sammanfattning Andelar i bråkform, decimalform och procentform 1 % = 1 = 0,01 100 1 = 0,5 = 50 % 2 1 ≈ 0,333… ≈ 33 % 3

Ental 0,

Tiondel 0

1 = 0,25 = 25 % 4 1 = 0,2 = 20 % 5

Hundradel 1

1 = 0,125 = 12,5 % 8 1 = 0,10 = 10 % 10

Hur många procent är? Beräkning av andel i procent: delen = andel hela 1. Skriv andelen i bråkform. 2. Beräkna divisionen. 3. Skriv decimaltalet i procentform.

Hur stor är delen? delen = andel eller delen = andel ∙ det hela hela Beräkning av andelen med hjälp av procent: 1. Omvandla procent till decimalform. 2. Multiplicera decimaltalet med helheten.

Hur mycket är 100 %? delen = andel eller delen = hela hela andel Beräkning av det hela med hjälp av procent: 1. Omvandla procent till decimalform. 2. Dividera delen med andelen.

Förändring och jämförelse i procent Beräkna förändring i procent: 1. Beräkna hur stor förändringen är. 2. Dividera förändringen med det ursprungliga värdet. 3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. förändringen = procentuell förändring det ursprungliga värdet Att jämföra procentuellt: 1. Beräkna differensen mellan talen. 2. Dividera differensen med det tal du jämför med. 3. Omvandla det decimaltal du får till procentform. skillnaden = procentuell jämförelse jämförelsetalet

Beräkna det ursprungliga värdet delen = procent förändringen eller = procentuell förändring hela ursprungliga värdet

Förändringsfaktor Vid en ökning med 10 %: 100 % + 10 % = 110 % = 1,1 – Förändringsfaktorn är 1,1. Vid en minskning med 10 %: 100 % − 10 % = 90 % = 0,9 – Förändringsfaktorn är 0,9.

Procentenhet Procentenheterna är differensen mellan procenttalen. Till exempel skillnaden mellan 7 % och 3 % är 4 procentenheter. Procenttecknet kan ses som en enhet precis som kronor.

Träna på begreppen Resonera mer 71

Favorit matematik 8 Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där alla elever får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkne exempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/Cuppgifter i stigande svårighetsgrad, repetitionsuppgifter och Auppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas. I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Inloggningen till den digitala delen är giltig i fyra år. Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematik serien Pii, och är bearbetad för svenska förhållanden.

Art.nr 39363

studentlitteratur.se