9789140676504 by Smakprov Media AB

i TEORI och PRAKTIK

Ellära i teori och praktik är en ämnesbok inom ellära med speciellt fokus på gymnasiekursen Praktisk ellära. För att kunna arbeta i moderna elanläggningar, felsöka i och komplettera elanläggningar, utan att riskera elsäkerhet och en god funktion måste tekniker i dag ha goda baskunskaper i ellära.

Ellära i TEORI och PRAKTIK

Ellära

Ellära Leif Westlund

i TEORI och PRAKTIK

Med de krav som finns i installationsreglerna på elsäkerhet bl.a. skyddsutjämning, driftssäkerhet och elektromagnetisk kompabilitet måste dagens elektriker ha förmågan att göra självständiga bedömningar i sitt arbete. Bedömningar som grundas på grundläggande baskunskaper i ellära. Kunskaper i ellära är också en förutsättning för ett fortsatt lärande i arbetslivet. Teknik, materiel och utrustning som elektriker arbetar med utvecklas ständigt. Kännetecknande för en modern elektriker är att han tänker efter – före!

40676504.1.8_Omslag.indd 1

2021-07-09 13:38

Innehåll Ellära i praktiken Inledning Det är viktigt att se sammanhanget Elektricitet – en grundläggande naturkraft

1 Ellärans grunder

7 7 7

Elektrisk jämvikt

9 Hur den elektriska jämvikten kan ändras 9 Hur elektrisk jämvikt återställs – Genom kontakt 10 Hur elektrisk jämvikt återställs – Genom luften 11 SAMMANFATTNING 12

Den elektriska kretsen 12 Ledares egenskaper 13 Varför lyser glödlampan? 15 Kortslutning 15 Rörelseriktning i ledare och strömriktning 16 SAMMANFATTNING 17 Hur spänning-ström-motstånd samverkar Ändra resistans Ändra spänning Mäta spänning – ström och motstånd Mäta spänning Mäta ström Mäta motstånd (resistans) Ohms lag

17 18 18 19 19 19 20 20

Effekt 22 23 Önskad och oönskad effekt 24 Energi kWh Spänningsfall 24 SAMMANFATTNING 25 Magnetisk jämvikt Hur den magnetiska jämvikten kan ändras

26 26

Samverkan mellan el och magnetism 29 Ström skapar magnetfält

Induktion

31 33 Det behövs kraft för att generera spänning 34 Att se spänning och ström SAMMANFATTNING 35

2 Generera och distribuera elektricitet 36 Generatorn

36 EMK 37 38 Visardiagram och kurvform Frekvens 40 Räkna med sinus 40 Visardiagram ström och spänning 41

Effektivvärde

40676504.1.8_Inlaga.indd 3

Effektivvärde i visardiagram

43 44

Tillverka och distribuera elektrisk energi

Tre spänningar 45 Tre spänningar med symmetrisk förskjutning 47 Tre spänningar med symmetri 48 Nollpunkt för spänningar 48 Beräkningsexempel 50 51 Nollpunkt för strömmar Hög spänning men liten ström i distributionsnätet 52

Transformering

53 54 Transformatorns lindningar Nedtransformering 55 Upptransformering 55 Trefastransformatorn 56

Från kraftverk till kund 57 Olika kopplingsarter 58 SAMMANFATTNING 59

3 Elanläggningens utförande 60 Symmetrisk trefasbelastning Osymmetrisk belastning

Systemjord TN Serviskabel till fastigheten

60 Elanläggningens nollpunkt 61 Anläggningens nollpunkt är en referenspunkt 63 65 TN-S 66 66 TN-C TN-C/S 66

Huvudcentralen 67 Gruppcentraler, huvud- och, gruppledningar 68 SAMMANFATTNING 69

4 Elanläggningens skydd – Elsäkerhet 70 Skyddsledarens funktion Normal funktion Skyddsledaren bruten Skyddsledaren ansluten

70 70 71 72

Utlösningsvillkoret 72 Kortslutningsströmmen 73 Exempel kortslutningsström 74 Spänningsfall och beröringsspänning 76 Exempel 1 spänningsfall 77 Beröringsspänning 79 När elektricitet blir farlig för människan

80 Påverkan på kroppen 81 Vägledning – vid elskada 81 Checklista 81 Jordade och ojordade anslutningar 82 Dubbelisolerad utrustning 82 SAMMANFATTNING 83

2021-07-02 13:19

Skyddsutjämning

84 84 85

Främmande ledande del Exempel utsatta och främmande delar Kortslutningsström via främmande ledande del 86 Huvudjordningsskena 86 88 Skyddsutjämnad zon Förändring i befintlig anläggning 90

Jordfelsbrytaren 94 Jordfelsbrytarens funktion 95 När löser jordfelsbrytaren ut? 96 Trefasig jordfelsbrytare 98 När jordfelsbrytaren inte löser ut 100 SAMMANFATTNING 100

5 Elanläggningens driftsströmmar 101 Parallellkoppling

101 Ersättningsresistans 104 105 Beräkna ström med effekt och spänning

Symmetrisk fördelning Exempel på fördelning

106 106

Säkringar 108 Utlösningskarakteristik 108 Varför man inte seriekopplar laster Spänningsfall i en elanläggning

109

110 Elkvalitet 111 SAMMANFATTNING 112

6 Elanläggningens laster

113

Resistiv belastning 114 114 Induktiv belastning Induktiv reaktans 115 Fasförskjutning 116 117 Fasförskjutning och effekt Olika slag av effekt 119 Effekttriangeln 119 Beräkning av effektfaktorn 119

Utvecklad effekt Exempel dimensionering

120 121

Faskompensering 123 Kondensatorn 123 Induktans och kapacitans i distributionsnätet Elmaskinen

125

126 Roterande magnetfält 126 Synkronmotorn 126 Asynkronmotorn 127

Olinjära laster

128 Frekvensomriktare 128 SAMMANFATTNING 129

Övertoner 130 Strömövertoner 131 Spänningsövertoner 133 THD Total harmonisk distorsion 133 Spänningsövertoner och elkvalitet 133 Värmeförluster 134

40676504.1.8_Inlaga.indd 4

Transformatorn 134 Mätfel - TRUE RMS 134 Mätfel - Effektfaktor 135 Övertoner i neutralledaren 135 SAMMANFATTNING 138

Reducering av övertoner Högre frekvenser

138

139 140 Induktans vid höga frekvenser Kapacitans vid högre frekvenser 140 EMC 140 SAMMANFATTNING 141

7 Teoretiskt och praktiskt arbete i elanläggningen

142

TN-S och TN-C PEN-ledaren Vagabonderande ström Spänningsfall i PEN-ledaren Vagabonderande ström och TN-S Vagabonderande ström och TN-C/S Vagabonderande ström och blandat TN-C/S Vagabonderande ström och skyddsutjämning Vad händer när ström vagabonderar?

Magnetfält Mätning: Symmetri – linjära laster Mätning: Osymmetri – linjära laster Mätning: Symmetri – olinjära laster

143 145 146 147 150 151 152 152 153 154 154 154 155

Sugtransformatorn Skärmning av magnetfält

156

TN-S och elsäkerhet Övervakning av TN-S system

159

158 Virvelströmsskärmning 158 Avleda magnetfält med skärm 158 160 Jordfelsövervakning 161

Att felsöka ett TN-S system 162 Att mäta ström i en trefasanläggning 162 Mätning alla ledare i en kabel Mätning L1, L2 och L3 Mätning L

162 163 163

Elektriska fält Begränsa elektriska fält Högre frekvenser

164

Installation av störkänslig och störalstrande utrustning

165 167 169

Funktionsutjämning 170 Zonindelning 170 Elmiljö och elkvalitet 172 Begreppet elkvalitet 172 Avbrott och dippar 172 Spänningsvariationer 173 Transienter 173 Nätanalys 173 Förebygga elkvalitetsproblem 174 UPS 175 SAMMANFATTNING 175

2021-07-02 13:19

Ellära i teorin 1 Storheter – enheter – prefix 176 Enhet Prefix och tiopotenser

176

177 Tiopotenser 177

Växelströms- spänningsbegrepp 178 Period 178 Frekvens 178 Vinkelhastighet (vinkelfrekvens) 178 Fasvinkel 179 Amplitud 179 Momentanvärde 179 Effektivvärde 179

2 Trigonometri Beteckningar Kalkylatorn Sinus Exempel 1 sinus Exempel 2 sinus Exempel 3 sinus

Cosinus Exempel 1 cosinus Exempel 2 cosinus Exempel 3 cosinus

Tangens Pythagoras sats

3 Spänning Laddning - potential Joner

Potentialskillnad Likspänning Växelspänning

4 Motstånd

180 180 180 180 181 181 181 182 182 182 182 183 183

184 184 184 184 185 185

186

Resistans 186 Impedans 186

Konduktivitet Resistivitet Temperaturkoefficient (resistans) Ledningsresistans

189 189 189

190 Exempel 190 Slingimpedans 190

5 Ström

193

SI-systemets beskrivning av elektrisk ström 193 Likström 193 Växelström 193

6 Effekt

195

Skenbar effekt (S) 196 Aktiv effekt (P) 196 Reaktiv effekt (Q) 197 Effekttriangeln 197 198 Effekt vid induktiv eller kapacitiv last Effektförlust 199 Verkningsgrad 199

7 Elektriska lagar

200

Ohms lag 200 Effektlagen 201 Kirchhoffs första lag – strömlagen Kirchhoffs andra lag – spänningslagen Lenz lag Ersättningsresistans Parallellkopplade resistanser Seriekopplade resistanser Kombinerade kretsar

Delspänningar i seriekoppling Delströmmar i parallellkoppling

8 Elektriska kretsar Y och D-kopplade laster Varför roten ur tre? Effekt i trefaskretsar Y- och D-koppling av motorer

Spänningsfall i ledning Fasförskjutning Fasförskjutning induktiv last Fasförskjutning kapacitiv last

202 202 203 203 203 204 205 205 206

208 208 208 209 210 211 212 212 212

Faskompensering 213 Exempel 213

9 Komponenter Resistorn Linjära resistorer Olinjära resistorer

Kondensatorn Seriekopplade kondensatorer Parallellkopplade kondensatorer

215 215 215 216 217 217 217

Halvledare Dioden

218

Tyristorn

219 219

218 Zenerdioden 218 Lysdioden 219 Fotodioden 219 Triac

Transistorn Likriktning AC/DC

219

220 Halvvågslikriktning 220 Helvvågslikriktning 221

Kilowattimmar 195

Likströmseffekt

196

5 40676504.1.8_Inlaga.indd 5

2021-07-05 07:28

10 Spänningskällor

223

Batterier 223 Primärbatterier 223 Ackumulatorer 223 Batterier och miljön 224 Batteriets inre resistans 224 Seriekoppling 224 Parallellkoppling 225 UPS Generatorn

11 Mätteknik Multimeter Mäta spänning Mäta ström

Fakta Mäta resistans

225 225

226 226 226 227 228 228

Oscilloskop

228

Vad visas på skärmen Två viktiga oscilloskopinställningar

228 229

12 Statisk elektricitet och ESD

230

13 Potentialutjämning

231

6 40676504.1.8_Inlaga.indd 6

2021-07-02 13:19

Ellära i praktiken

Ellärans grunder

Elektrisk jämvikt I atomen finns partiklar med olika elektriska laddningar. Atomkärnan har positivt laddade (+) partiklar protoner och neutrala neutroner. Hela kärnan betraktas som positivt laddad. Kring kärnan rör sig mindre partiklar, elektroner i fasta banor, ungefär som månen kretsar kring jorden. De kan vara få eller många och bildar ett elektronmoln kring kärnan. Elektroner är alltid negativt laddade (-). Om det är lika många positivt laddade partiklar (protoner) i kärnan som det finns negativt laddade partiklar (elektroner) i ”skalet”, är atomen neutral. De positiva laddningarna och de negativa laddningarna balanserar varandra. Inuti den neutrala atomen uppehåller de elektriska krafterna mellan atomkärnan och elektronerna en balans. På atomens utsida upplever vi inga elektriska fenomen. Denna elektriska jämvikt kan emellertid ändras. Om den ändras så att det blir fler elektroner än protoner eller fler protoner än elektroner i atomen, kommer vi att uppleva elektriska fenomen också på utsidan av atomen. Vi ska se på ett vanligt exempel från vardagslivet som visar detta. En atom består av en kärna av protoner och neutroner. Kring kärnan rör sig elektroner i banor. När atomen har lika många protoner (plusladdningar) som elektroner (minusladdningar) är atomen elektriskt neutral. Bilden visar en kopparatom.

Hur den elektriska jämvikten kan ändras Vi tänker oss en person, Anders, som går igenom ett rum för att hälsa på en vän. När han rör sig genom rummet går han på en matta. När han kommer fram till sin vän sträcker han ut handen för att hälsa på henne. När de rör vid varandra får de båda en kraftig stöt. Vad händer? När Anders går över golvet förflyttas negativa laddningar (elektroner) från de atomer som utgör mattan över till hans kropp. Det sker när hans skor ”gnider” mot golvet. De atomer som Anders består av får på så sätt ett överskott av negativt laddade elektroner i förhållande till antalet positiva laddningar i atomkärnan. Anders är nu inte längre ”neutral” i förhållande till sin omgivning. Han har blivit ”laddad”.

9 40676504.1.8_Inlaga.indd 9

2021-07-02 13:19

När en atom har en laddning och inte längre är neutral kallas den jon. Har den ett överskott av elektroner är det en negativ jon. Har den ett underskott av elektroner är den en positiv jon. Minusjon

Plusjon

Potentialskillnad Negativ laddning

Positiv laddning

En minusjon har fler elektroner än protoner. Det är en negativ laddning.

En plusjon har färre elektroner än protoner. Det är en positiv laddning.

När ett föremål innehåller joner är det inte längre elektriskt neutralt i förhållande till sin omgivning. Det har fått en elektrisk laddning. Det har fått en potential. Eftersom Anders ”samlat på sig” negativt laddade elektroner är hans elektriska potential (-), hans vän däremot har jämförelsevis färre elektroner. Jämfört med Anders är hon mer positivt laddad, och har därför en annan elektrisk potential (+). Mellan Anders och hans vän finns en potentialskillnad. Ett annat namn för potentialskillnad är spänning. Till skillnad från atomer som är neutrala påverkar joner sin omgivning. Det kan ske på följande sätt.

Hur elektrisk jämvikt återställs – Genom kontakt När Anders och hans vän tar varandra i handen får de en elektrisk stöt! De kanske till och med ser en liten blixt mellan varandras fingrar. Vad beror det på? En viktig och grundläggande naturlag är att det i en atom finns en inneboende kraft som alltid strävar efter att återställa den elektriska balansen i atomen dvs. att få atomen neutral. Icke neutrala atomer (joner) kommer, om möjligt, därför att avge eller ta emot det antal elektroner som krävs för att åter bli neutrala. När föremål med olika potentialer får kontakt med varandra kan en utjämning av potentialskillnaden ske. När Anders och hans vän rör vid varandra blir detta möjligt. Det överskott av negativa laddningar som utgör Anders negativa potential förflyttar sig över till vännens mer positiva potential. Den ström av laddningar (elektroner) som rör sig mellan de båda personerna upplever de som en stöt och en blixt. Eftersom de atomer

När föremål med olika potential får kontakt utjämnas potentialskillnaden.

10 40676504.1.8_Inlaga.indd 10

2021-07-02 13:19

som är joner nu kan lämna ifrån sig de elektroner de haft i överskott, kommer de att återigen bli neutrala. Efter utjämningen mellan Anders och hans vän finns inte längre någon potentialskillnad. Om de tar varandra i hand igen, får de ingen ny stöt. Potentialskillnaden har utjämnats. Mellan Anders och hans vän kan det därför inte uppstå några elektriska fenomen. Om Anders inte hade hälsat på sin vän hade de laddningar han ”samlat upp” varit kvar. Elektriska laddningar ”i vila” kallas statisk elektricitet.

Hur elektrisk jämvikt återställs – Genom luften Ett annat fenomen uppstår när ett överskott av elektriska laddningar i förhållande till marken, samlas i atmosfären. Det uppstår då en potentialskillnad mellan molnen och marken. Potentialskillnaden mellan moln och mark bildar ett elektriskt fält. De atomer som finns i luften och på ytan i andra föremål mellan mark och moln kommer att påverkas av det elektriska fältet (spänningsfältet). Det uppstår joner. Till slut är potentialskillnaden så stor så att en överföring av laddningar (blixten) jämnar ut potentialskillnaden mellan mark och moln. Det överskott på laddningar som finns i åskmolnen kommer att förflyttas ner till jorden. Blixten man ser är en ström av laddningar mellan jorden och molnen.

Foto Mike Expert, iStockphoto. Elektriskt fält

Det är samma händelse som när två personer med olika potential hälsar på varandra och får en stöt. Skillnaden är att antalet laddningar är så oerhört stort när vi har att göra med åska. Blixten medför att potentialskillnaden mellan mark och moln minskar. Då upphör också förutsättningen för det elektriska fältet att finnas till. Det försvinner. Samma förhållande finns när två föremål som har olika potential befinner sig i närheten av varandra men inte har kontakt. En utjämning av föremålens potentialskillnad till att bli neutral, kommer att försöka uppnås genom luften. Mellan föremålen uppstår ett elektriskt fält. De partiklar som befinner sig i detta fält, damm etc, kommer att dras till de olika materialen beroende på vilken potential de har. Man kan lägga märke till att elektriska apparater lätt får en dammig yta. Det beror på att de har en hög elektrisk potential i förhållande till omgivningen vilket orsakar ett elektriskt fält som påverkar partiklar i luften så att de dras till apparatens yta. Andra partiklar kommer att stötas bort och dras mot den motsatta potentialen beroende på vilken elektrisk laddning de har. Detta fenomen kallas influens.

+ –

Potentialskillnad

I en helt annan skala, men på samma sätt som mellan åskmoln och marken, bildas elektriska fält mellan alla föremål med olika potential.

11 40676504.1.8_Inlaga.indd 11

2021-07-02 13:19

SAMMANFATTNING • En atom är elektriskt neutral (i jämvikt) om de positiva och negativa laddningarna är lika många • När en atom förlorar en eller fler elektroner blir den en positivt laddad jon (+). En positiv laddning. • När en atom får ett tillskott på elektroner blir den en negativt laddad jon (–). En negativ laddning • I atomen finns en kraft som alltid strävar efter att få atomen att bli elektriskt neutral. Atomer söker alltid lägsta möjliga energitillstånd. En utjämning sker vid direkt kontakt eller i ett elektriskt fält. • När ett material består av joner har det en potential dvs. en laddning • Mellan olika material, föremål, med olika potential finns en potentialskillnad. En spänning • Potentialskillnad är detsamma som elektrisk spänning • Potentialskillnad ger upphov till ett elektriskt fält • I det elektriska fältet påverkas partiklar så att de dras till den yta som har en motsatt potential och stöts bort om de har samma potential

Den elektriska kretsen Hur använder vi elektricitet i praktiken? Vi börjar med ett exempel som de flesta använder dagligen. Hur elektricitet kan ge ljus. En förenklad principbild av ett batteri är att det innehåller två ”behållare” som innehåller olika laddningar (positiva och negativa). På batteriet finns anslutningspunkter för vardera behållaren som kallas poler. Polen som är kopplad till ”behållaren” med negativa laddningar kallas minuspol. Polen som är kopplad till ”behållaren med positiva laddningar kallas pluspol. Mellan polerna finns en potentialskillnad, en spänning. Om man skapar en fysisk kontakt mellan polerna öppnas en ”väg” för laddningarna så att potentialskillnaden mellan polerna kan utjämnas. Det material som används för att förbinda potentialerna och som leder laddningarna kallas för ”ledare”. Drivkraften för utjämningen är potentialskillnaden, spänningen. När vi förbinder två olika potentialer på detta sätt heter det att vi har gjort en elektrisk krets.

– Potentialskillnad

Potentialskillnaden, spänningen mellan batteriets poler trycker en ström genom lampans glödtråd.

Genom en kedjereaktion kommer en ström av laddningar, elektroner, i den negativt laddade behållaren av spänningen att ”tryckas” genom ledaren över till den positivt laddade behållaren och utjämna potentialskillnaden.

12 40676504.1.8_Inlaga.indd 12

2021-07-02 13:19

Den rörelse av elektroner (laddningar) som uppstår är en elektrisk ström. Strömmen pågår till dess att potentialskillnaden är utjämnad. Elektroner i en ledare rör sig inte i ljusets hastighet, men elektroner i ”början” av en ledning stöter ut elektroner i ”slutet” av ledningen. Hur snabbt en elektron stöts ut i andra änden beror på hur snabbt en elektromagnetisk våg tar sig fram i materialet. Hastigheten en elektromagnetisk våg rör sig är ungefär densamma som ljushastigheten. För enkelhetens skull säger vi ändå att elektroner i en ledare rör sig med ljusets hastighet. Förutsättningarna för att en elektrisk ström ska uppstå är: • Potentialskillnad • Ledare • En sluten krets

Plast

Om en lampa är inkopplad i kretsen kommer strömmen av elektroner som trycks genom glödtråden att få lampan att lysa. Koppar

Ledares egenskaper Alla material har inte samma förutsättningar att leda ström. I en atom kretsar elektroner kring atomkärnan på olika avstånd från kärnan. Man säger att elektronerna befinner sig i olika skal. Hur många skal det finns och hur många elektroner som befinner sig i de olika skalen varierar, beroende på vilket grundämne de bildar. I vissa material, främst metaller, finns elektroner som inte är bundna till sitt ”skal”. De kallas ”fria elektroner” eller valenselektroner. Material med många fria elektroner leder ström bra och vi kallar sådana material ledare.

I en ledare finns valenselektroner medan det i en isolator som i kabelns isolering inte finns några. I bilden symboliserar laddningssymbolerna fria elektroner.

Vissa material leder inte elektrisk ström, de har atomer med elektroner som är hårt bundna till sitt skal. I dessa material kan inte laddningar förflyttas. Sådana material är t.ex. glas, plast och porslin. Därför används sådana material som isolering på elektrisk utrustning. Sådana material kallas för isolatorer. Valenselektronerna i en ledare fördelar sig jämnt och rör sig fritt men ”planlöst” mellan atomerna. Men denna elektronrörelse kan påverkas. Om vi ansluter ett ledande material mellan två punkter med olika potential t.ex. mellan två batteripoler kommer de fria elektronerna att röra sig i samma riktning. Rörelseriktningen är från minuspol till pluspol eftersom elektronrörelsen drivs av kraften (spänningen) som vill utjämna potentialskillnaden mellan polerna.

–

När det inte finns någon potentialskillnad mellan kopparledarens ändar rör sig de fria elektronerna ”planlöst”.

–

När ledaren ansluts till två punkter med olika potential rör sig de fria elektronerna i samma riktning.

13 40676504.1.8_Inlaga.indd 13

2021-07-02 13:19

Ett materials förmåga att leda ström (ledningsförmåga) kallas konduktivitet. Om materialet innehåller många fria elektroner har det en hög konduktivitet. Om det innehåller färre är konduktiviteten lägre. Ett exempel på ett material som leder ström bra är koppar. Ett material som leder ström, men sämre, är kol. Koppar

Kol

Koppar har många fria valenselektroner och har därför en hög konduktivitet, det är en bättre ledare än exempelvis kol.

Oavsett vilket ledande material som används så finns ett motstånd för strömmen. Ett sätt att föreställa sig motstånd är att när elektroner rör sig genom ledaren kolliderar de med andra partiklar. Man kan tänka sig detta som en form av ”friktion”. Det motstånd strömmen möter i ett material kallas materialets resistivitet. Man kan säga att konduktivitet och resistivitet är två sidor av samma mynt. De avser två olika synsätt på samma sak. Båda begreppen är kopplade till materialet i ledare Ett material med hög konduktivitet har låg resistivitet. Ett material med låg konduktivitet har alltså hög resistivitet. Elektronernas ”planlösa” rörelse i en ledare ökar när den blir varmare. Det betyder att elektronerna i en elektrisk ström kommer att kollidera oftare med andra partiklar när ledaren blir varm. I och med det ökar motståndet mot strömmen.

–

Potentialskillnaden mellan batteriets poler driver de fria elektronerna i samma riktning.

–

Om ledaren blir varm kommer den samordnade elektronrörelsen att störas av elektroner som rör sig åt olika håll. Strömmen får ett större motstånd i ledaren med ökad temperatur.

När man anger ett materials resistivitet måste man därför även ange temperatur eftersom resistiviteten förändras med skiftande temperatur. Resistiviteten ökar med ökad temperatur.

14 40676504.1.8_Inlaga.indd 14

2021-07-02 13:19

Men det är inte endast materialet i en ledning som har betydelse för motståndet. Även längden och tjockleken på en ledning inverkar. En längre ledare ger större motstånd än en kort. En tunn ledning ger större motstånd än en tjock. Om vi tittar på en ledning av koppar så är motståndet lågt om den är kort, tjock och kall. Om den är varm, lång och tunn är motståndet större. Det sammanlagda motståndet i en ledning kallas resistans. +120° C

–10° C

+20° C

Högst resistans

Lägst resistans

Tre ledningar av koppar. Högst resistans ger en lång, tunn, varm ledning. Lägst resistans ger en kort, tjock och kall ledning.

Varför lyser glödlampan? Om vi sluter en krets med ett batteri, ledningar och en glödlampa kommer både ledningarna och lampans glödtråd att ge strömmen ett motstånd, en resistans. Men jämförelsevis har glödtråden en mycket större resistans. Glödtråden är mycket tunn, lång och består av ett värmetåligt material med hög resistivitet t.ex. volfram. Endast ett begränsat antal elektroner kan passera samtidigt. Potentialutjämningen kommer att ske ”lite i taget”. Den ”friktion” som elektronströmmen möter i glödtråden orsakar en värmeutveckling. Värmen ökar resistansen i glödtråden vilket ger strömmen allt större motstånd upp till en nivå där lampan nått sin arbetstemperatur. Resistansen i en kall lampa är mycket lägre än i en varm. I en glödlampa, är det en önskad effekt att glödtråden blir varm. Lampan uträttar det arbete som är avsett, den ger ett ljus. En komponent, som uträttar ett ”nyttigt arbete” i en krets, exempelvis en lampa, kallas för en last.

Koppar

Volfram

Koppar

Varm

Kall

–

I ledningarna som leder strömmen till och från glödtråden (lasten) ska så lite värme som möjligt utvecklas. De ska ha en låg resistans.

Kortslutning Om ledningarna till lampan får kontakt med varandra före lampan kommer strömmen inte att gå genom lampan (lasten). Lampan slocknar. Orsaken är att strömmen följer ”minsta motståndets lag”. Strömmen går den lättaste vägen förbi lasten eftersom den har en högre resistans än ledningarna. Detta kallas en kortslutning. När det finns flera möjliga vägar för strömmen går största andelen alltid där det finns lägst resistans.

15 40676504.1.8_Inlaga.indd 15

2021-07-02 13:19

Eftersom ledningarna inte ger strömmen ett nämnvärt motstånd finns det inte längre något som begränsar strömmen. En kortslutning innebär en okontrollerad strömrusning, en kortslutningsström. Potentialskillnaden mellan batteriets poler utjämnas på ett ögonblick. Batteriet ”töms.” Vissa batterier kan skadas och till och med explodera om de kortsluts, exempelvis sådana som används i fordon. Därför ska man aldrig kortsluta batterier. Strömmen följer ”minsta motståndets lag”, den går där motståndet, resistansen, är lägst. Om ledningarna får kontakt före lampan går strömmen ”bredvid” glödtråden som har mycket högre resistans än ledningarna. Lampan slocknar.

–

Eftersom resistansen i ledningarna är minimal blir kortslutningsströmmen stor, vilket strömpilarna på bilden visar.

Rörelseriktning i ledare och strömriktning När man beskriver hur laddningar (elektroner) rör sig i ledare för att utjämna en potentialskillnad så rör sig elektronerna från potentialen med ett överskott av minusladdningar (elektroner) till potentialen med ett underskott av elektroner. Fysiskt rör sig elektroner alltså från minuspol till pluspol. Men vi får med oss från barnsben att ”plus” är mer än ”minus” och alltså är det naturligt att tänka sig att elektronströmmen går från batteripolen med ”mer” (pluspolen) till polen med ”mindre” minuspolen. Så tänkte också de pionjärer som utforskade elläran, det fanns heller inget de kunde se eller beräkna som talade mot detta. När en ström går genom en lampa har det ingen betydelse vilken riktning den har. Lampan lyser i alla fall. Strömriktningen har ingen betydelse för den effekt som utvecklas, och så är det i nästan alla situationer. Vi kan alltså behålla vårt synsätt att ström går från plus till minus utan att det har någon praktisk betydelse. När vi ritar ut strömriktningen med en röd fylld pil är det den tänkta strömriktningen som visas från plus till minus. Inte den verkliga rörelseriktning som elektronerna har i ledaren.

–

Elektronernas rörelsriktning i ledaren är från minus till plus.

Vi ritar strömriktningen från plus till minus.

–

När vi talar om strömriktning menar vi att strömmen går från plus till minus. Att elektronströmmen fysiskt går åt motsatt håll kan vi i praktiska sammanhang bortse från.

16 40676504.1.8_Inlaga.indd 16

2021-07-02 13:19

SAMMANFATTNING • En ledare är ett material som innehåller elektroner som kan röra sig fritt i materialet, s.k. valenselektroner eller fria elektroner • Ett material som har elektroner hårt bundna till atomerna leder inte ström och kallas isolatorer. Exempelvis plaster, glas, porslin m.fl. • Material som är goda ledare har hög konduktivitet och låg resistivitet • När två föremål med olika potential får kontakt genom en ledare kommer potentialskillnaden att driva en elektronström genom ledaren till dess att potentialskillnaden är utjämnad • När en ström går genom en ledare blir den mer eller mindre varm. Med ökad värme ökar motståndet • Att ”kortsluta” innebär att förbinda två olika potentialer med varandra med lägsta möjliga motstånd

Hur spänning-ström-motstånd samverkar Ju större ström som passerar genom en lampas glödtråd, desto kraftigare kommer den att glöda. Lampan kommer då att lysa starkare. En lampas ljusstyrka kan alltså varieras genom att strömmen genom lampan förändras. För att reglera strömmens storlek kan vi använda två olika metoder. 1. Det som orsakar ström är potentialskillnaden dvs. spänningen. Om vi ökar spänningen kommer strömmen att bli större och lampan lysa starkare. Om spänningen sänks lyser lampan svagare 2. Det som bromsar strömmen är det motstånd (resistans) som glödtråden utgör. Om resistansen i glödtråden minskas ökar strömmen genom lampan och den lyser starkare. Om glödtråden får en större resistans kommer en mindre ström att kunna passera genom glödtråden och lampan lyser svagare Glödtrådens resistans kan varieras på flera olika sätt. • Byta material, dvs. välja material med högre resistivitet • Variera glödtrådens längd. Ju längre tråd, desto större motstånd • Variera glödtrådens tjocklek (area). Ju tunnare glödtråd desto högre resistans Det finns alltså två metoder att variera ljusstyrkan hos en lampa (strömmen genom glödtråden). Ändra resistansen på lampans glödtråd eller höja och sänka spänningen.

17 40676504.1.8_Inlaga.indd 17

2021-07-02 13:19

Ändra resistans I våra eluttag finns en fast, bestämd, spänning på 230 V. Vill vi exempelvis att en bordslampa ska lysa starkare måste vi byta glödlampan. Vi byter till en lampa där glödtråden har en lägre resistans. Strömmen genom lampan blir högre och den lyser starkare än den tidigare lampan. Vill vi att en lampa ska lysa svagare byter vi till en lampa med högre resistans. Strömmen genom lampan blir mindre och denna lampa lyser svagare. Resistansen minskas Strömmen ökar

Utgångsläge

Spänning

Spänning =

Ström

Resistans

Resistansen ökas Strömmen minskar

Spänning =

Ström

Resistans

Ström

Resistans

Strömmen genom en krets kan styras genom att resistansen i kretsen förändras. Ju högre resistans, desto lägre ström. Förutsatt att spänningen är stabil och oförändrad.

Ändra spänning Att byta glödlampor vid varje tillfälle man vill variera ljusflödet från en lampa är inte så praktiskt. Det andra sättet att variera ljusflödet är att variera spänningen. Det kan göras med en dimmer. Vrids dimmern upp ökar den spänning som lampan ”matas” med. Strömmen genom lampan ökar och den lyser starkare. Vrids dimmern ner minskar matningsspänningen, strömmen minskar genom lampan och den lyser svagare. Spänningen ökas Strömmen ökar

Utgångsläge

Spänning

Spänning =

Resistans

Spänningen minskas Strömmen minskar

Ström

Spänning =

Resistans

Ström

Resistans

Strömmen genom en krets kan styras genom att spänningen förändras. En spänningshöjning ger en högre ström. Förutsatt att resistansen i kretsen är stabil och oförändrad.

18 40676504.1.8_Inlaga.indd 18

2021-07-02 13:19

Mäta spänning – ström och motstånd För att kunna planera, konstruera eller felsöka en elektrisk krets – oavsett användningsområde, komplicerad eller enkel, måste man känna till de tre grundläggande storheterna: spänning, ström och motstånd (resistans). Man måste förstå sambandet mellan storheterna, kunna mäta storheterna och beräkna dem. Det instrument man oftast använder är multimetern. ”Multi” betyder ”flera” eller ”många” och syftar på instrument kan mäta flera olika storheter. Man ställer in instrumentet på vilken storhet som ska mätas: spänning, ström eller resistans. Till multimetern hör två mätsladdar med s.k. prober mätspetsar. Den svarta proben ansluts till GND (Ground) eller COM (Common) på instrumentet. Den röda antingen till V (volt/spänning) eller A (ampere/ström) beroende på vilken storhet som ska mätas. Oftast har ström och resistansmätning samma anslutning. Följande exempel visar mätningar på en enkel batteri – lampkrets.

Mäta spänning Spänning mäts mellan två punkter. Det man mäter är potentialskillnaden mellan punkterna. Man behöver inte bryta upp kretsen. För att mäta potentialskillnaden före och efter en lampa som lyser ansluts mätproberna så nära som möjligt på båda sidor om lampan. Den svarta proben sätts där man antar eller vet att lägsta potentialen finns. När spänning mäts ska instrumentet släppa genom så lite ström som möjligt. Spänning mäts i enheten volt (V).

Mäta ström

Vid spänningsmätning parallellkopplas instrumentet med mätobjektet.

Spänning måste vara ansluten så att det går en ström i kretsen. När man mäter ström med en multimeter måste man bryta upp kretsen och koppla in instrumentet i serie med ledaren. Det innebär att strömmen passerar igenom instrumentet. För att instrumentet inte ska påverka mätningen ska instrumentet ge strömmen så lite motstånd som möjligt. Ström mäts i antal laddningar per sekund. Ström mäts i enheten ampere (A).

Vid strömmätning seriekopplas instrumentet med mätobjektet.

19 40676504.1.8_Inlaga.indd 19

2021-07-02 13:19

Ellära i teorin 1 Storheter – enheter – prefix En storhet är ett begrepp inom fysiken för egenskaper hos ett föremål eller ett fenomen som kan mätas eller beräknas. Exempel på storheter inom elläran är: spänning, ström, resistans och effekt. Storheter har en storhetsbeteckning, exempelvis betecknas spänning med bokstaven U. Oftast skrivs storhetsbeteckningarna med kursiv stil.

Enhet Enheter används för att presentera t.ex. mätresultat eller beräkningsresultat på ett standardiserat sätt. För att ange exempelvis storheten längd används enheten meter. Enheter har bestämda beteckningar: exempelvis meter anges med m. Tidigt upptäckte man att det är praktiskt om alla använder samma enhetssystem. Det finns en internationell standard för enheter och prefix, SI-systemet (Système International d’Unités). Systemet bygger på 7 grundenheter. Ström är en grundenhet medan spänning resistans, effekt är beräknade, härledda, från grundenheterna. Storhetsbeteckning

Enhet

Enhetsbeteckning

Elektrisk spänning (effektivvärde)

Volt

Elektrisk spänning (momentanvärde)

Volt

Elektrisk ström (effektivvärde)

Ampere

Elektrisk ström (momentanvärde)

Ampere

Resistans

Ohm

Storhet

E eller W

Joule

Effekt (aktiv effekt)

Watt

Skenbar effekt

Voltampere

Reaktiv effekt

Voltampere reaktiv

VAr

Energi

Frekvens

Hertz

Kapacitans

Farad

Induktans

Henry

Reaktans

Ohm

Reaktans kapacitiv krets

Ohm

Reaktans induktiv krets

Ohm

Impedans

Ohm

Impedans resistiv krets

Ohm

Impedans kapacitiv krets

Ohm

176 40676504.1.8_Inlaga.indd 176

2021-07-02 13:25

Storhetsbeteckning

Enhet

Enhetsbeteckning

Ohm

φ (fi)

Vinkelgrader

Vinkelhastighet

rad/sek

Verkningsgrad

Magnetiska flödet (B-fältet)

Tesla (Wb/m )

Magnetisk fältstyrka (H-fältet)

A/m

Elektriskt fält

V/m

Arbete

Wattsekunder

Längd

Meter

Massa, vikt

Kilogram

Tid

Sekunder

Kraft

Newton

Tryck, mekanisk spänning

Pascal

Storhet Impedans induktiv krets Fasvinkel

Procent T

Prefix och tiopotenser För att göra det enklare att skriva mycket stora eller små mått använder vi prefix. För att ange tusen ohm används prefixet kilo som betyder tusen. Man skriver 1 kΩ. Om man vill ange en mycket liten ström som en tusendels ampere används prefixet milli som betyder tusendel och skriver 1 mA istället för att skriva 0,001 A.

Tiopotenser Ett annat sätt att förenkla skrivningen av stora och små mått är att använda tiopotenser. Exempelvis är 103 är ett annat sätt att skriva tusen. 10-3 är detsamma som tusendel. Några exempel: 3,5⋅103 V = 3500 V = 3,5 kV 3,5⋅10−3 V = 0,0035 V =3,5 mV 5,5 ⋅106 V = 5 500 000 V =5,5 MV 1,6 10 6 F = 0,0000016 F = 1,6 µ F Exp

Prefix

Förk.

Exempel

Förk.

1000000000000

1012

tera

terawatt

1000000000

109

giga

gigaohm

1000000

106

mega

megapascal

MPa

1000

103

kilo

kilometer

100

(hekto)

(h)

hektogram

101

(deka)

(da)

dekanewton

daN

0,1

10-1

(deci)

(d)

deciliter

0,01

10-2

(centi)

(c)

centimeter

0,001

10-3

milli

milliampere

0,000001

10-6

mikro

mikrometer

µm

0,000000001

10-9

nano

nanometer

0,000000000001

piko

pikofarad

-12

I elektriska sammanhang används endast jämna trepotenser. Ange aldrig t.ex. resistans i deciohm eller hektoohm.

177 40676504.1.8_Inlaga.indd 177

2021-07-02 13:25

Växelströms- spänningsbegrepp Period Tiden det tar att fullborda en period (cykel) kallas periodtid, betecknas T. En cykel i detta fall kan sägas börja när spännings- eller strömkurvan passerar nollinjen i positiv riktning och sluta nästa gång samma sak händer. Detta motsvaras av ett varv på generatorn, 360°. Under en period växlar spänningen mellan positiv och negativ och har alla värden mellan högsta positiva (toppvärdet) och högsta negativa spänning (bottenvärdet). Periodtiden T beräknas. 1 T= f Periodtiden för frekvensen 50 Hz beräknas. 1 1 T = = = 0,02 s f 50

Frekvens Storheten frekvens är det antal cykler (perioder) som äger rum inom en viss tid. Växelspänningens frekvens som betecknas f är antalet perioder per sekund. I Sverige har växelspänningen en frekvens på 50 Hz. Det innebär att en period är 0,02 sekunder lång. Engelska ordet för frekvens är frequency. 1 f= T Exempel Vilken frekvens har en spänningskurva som har periodtiden T = 0,02 s? f=

1 1 = = 50 Hz T 0,02

Vinkelhastighet (vinkelfrekvens) Vinkelhastighet används för att beskriva generatorns rotationshastighet och betecknas ω (omega) och anges i rad/sek.

r ω 1 radian

Cirkelbåge vars längd är densamma som cirkelns radie

178 40676504.1.8_Inlaga.indd 178

2021-07-02 13:25

Ett varv är 360° (grader). Ett annat sätt att beskriva en vinkel är att använda radianer. En cirkels omkrets är O = 2⋅ π ⋅r 360° är 2⋅ π ⋅rad 360° 1 rad = ≈ 57,3° 2⋅ π

ω=

2⋅ π eller ω = 2⋅ π ⋅ f T

Fasvinkel Fasvinkeln beskriver spänningen eller strömmens läge i förhållande till startpunkten i cirkeldiagrammets nollinje. Fasvinkeln betecknas φ (fi).

Amplitud Spänningens eller strömmens högsta värde under en period kallas amplitud. Vilket är detsamma som spänningens toppvärde û och strömmens toppvärde î.

Momentanvärde Momentanvärde är ett ögonblicksvärde av en storhet som ständigt förändras. Momentanvärden för spänning betecknas med ett litet kursivt u. För ström i.

Effektivvärde Effektivvärdet för en växelspänning eller en växelström är ett medelvärde för spänningen. Om en likspänning på 10 V får en lampa att lysa med 10 W så har den växelspänning som får samma lampa att lysa med samma effekt ett effektivvärde på 10 V. Effektivvärdet för spänning betecknas med stort kursivt U. Effektivvärdet för växelström betecknas I. Effektivvärde betecknas ofta RMS (Root Mean Square). Med utgångspunkt från toppspänning û och toppström î beräknas effektivvärdet: û Effektivvärdet för en växelspänning beräknas: U = 2 iˆ Effektivvärdet för en växelström beräknas: I = 2

179 40676504.1.8_Inlaga.indd 179

2021-07-02 13:25

2 Trigonometri Trigonometri är läran om förhållandet mellan vinklar och längden på triangelns sidor. Här beskrivs endast trigonometriska funktioner för en rätvinklig triangel. En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 vinkelgrader (90°). Summan av de tre vinklarna i en triangel är alltid 180°.

Beteckningar En rätvinklig triangels två kortaste sidor kallas kateter. Här betecknade med a och b. Den längsta sidan kallas hypotenusa, här betecknad med c. De två vinklar som inte är 90° betecknas här med de grekiska bokstäverna alfa α och beta β. Den sida som står mot den vinkel man vill beräkna eller använda i en beräkning kallas motstående katet. Den katet som ingår i vinkeln kallas närliggande katet. I bilden är katet a motstående till vinkeln α. Katet b är närliggande till vinkeln α.

β c

90°

Motstående katet till vinkeln β är b och närliggande är a.

Kalkylatorn På kalkylatorer finns de tre trigonometriska funktionerna: sinus, cosinus och tangens. Symbolerna kan se lite olika ut på olika kalkylatorer. Med kalkylatorn kan man enkelt omvandla t.ex. ett sinusvärde till en vinkel eller få fram en vinkels sinusvärde. Läs kalkylatorns handbok. För att göra noggranna uträkningar bör man behålla värden i kalkylatorn med alla decimaler. Undvik att ”ta ut” värdena och avrunda. I exemplen här har vi tagit ut och avrundat värden för att ge referensvärden.

sin Används för att få sinusvärdet för en vinkel

sin-1 Med inversfunktionen omvandlas sinusvärdet till en vinkel

Sinus Genom att dividera längderna på motstående katet och hypotenusan får man fram sinusvärdet för vinkeln. β

Motstående katet a sin α = = Hypotenusan c sin β =

Motstående katet b = Hypotenusan c

90° b

Det värde man får fram är sinusvärdet för vinkeln, inte vinkeln. För att omvandla sinusvärdet till en vinkel används sinusfunktionen på en kalkylator.

180 40676504.1.8_Inlaga.indd 180

2021-07-02 13:25

Exempel 1 sinus I en rätvinklig triangel vill vi räkna ut vinkeln α. Motstående katet har längden 10 mm. Hypotenusan har längden 20 mm. sin α =

Motstående katet a = Hypotenusan c

sin α =

10 = 0,5 20

c = 20 mm

a = 10 mm

90°

Vinkeln α har sinusvärdet 0,5. Med kalkylatorn omvandlar vi sinusvärdet 0,5 till 30°. Vinkeln α är 30°. (Eftersom summan av vinklarna alltid är 180° är β = 60°)

Exempel 2 sinus I en rätvinklig triangel vill vi räkna ut vinkeln β. Den katet som står mot vinkel, motstående katet, har längden 17,32 mm. Hypotenusan har längden 20 mm. sin α =

Motstående katet b = Hypotenusan c

sin α =

17,32 = 0,866 20

β c = 20 mm

90° b = 17,32 mm

Vinkeln β har sinusvärdet 0,866. Med kalkylatorn omvandlar vi sinusvärdet till 60°. Vinkeln β är 60°.

Exempel 3 sinus I en rätvinklig triangel vill vi räkna ut längden på sidan a. Vi vet att vinkeln α är 15° och att hypotenusan har längden 25 mm. Kateten a är motstående katet till vinkel α. Vi omvandlar grundformeln för sinus så att vi löser ut a (motstående katet) i ekvationen. a sin = a = sin c c Sinusvärdet för vinkeln 15° slår man fram på kalkylatorn, det är ca 0,259. a = sin15° 25 = 6,47 mm

c = 25 mm

a 90°

α = 15° b

Längden på sidan a är ca 6,47 mm. Vill man kontrollera svaret kan man dividera a med c och beräkna vinkeln α. 6,47 sin α = ≈ 0,259 vilket är sinusvärdet för 15°. 25

181 40676504.1.8_Inlaga.indd 181

2021-07-02 13:25

Cosinus Genom att dividera längderna på närliggande katet och hypotenusan får man fram cosinusvärdet för vinkeln. cos =

Närliggande katet b = Hypotenusan c

cos =

Närliggande katet a = Hypotenusan c

90° b

Det värde man får fram är cosinusvärdet för vinkeln, inte vinkeln. För att omvandla cosinusvärdet används cosinusfunktionen på en kalkylator.

Exempel 1 cosinus I en rätvinklig triangel vill vi räkna ut vinkeln α. Närliggande katet har längden 10 mm. Hypotenusan har längden 20 mm. cos α =

Närliggande katet b = Hypotenusan c

10 cos α = = 0,5 20 Vinkeln α har cosinusvärdet 0,5. Med kalkylatorn omvandlar vi cosinusvärdet till 60°. Vinkeln α är 60°.

c = 20 mm

90° b = 10 mm

Exempel 2 cosinus I en rätvinklig triangel vill vi räkna ut vinkeln β. Den katet som ingår i vinkeln, närliggande katet, har längden 17,32 mm. Hypotenusan har längden 20 mm. cos β =

Närliggande katet a = Hypotenusan c

17,32 c = 20 mm = 0,866 20 Vinkeln β har cosinusvärdet 0,866. Med kalkylatorn omvandlar vi cosinusvärdet till vinkeln 30°. Vinkeln β är 30°. cos β =

a = 17,32 mm

90°

Exempel 3 cosinus I en rätvinklig triangel vill vi räkna ut längden på sidan b. Vi vet att vinkeln α är 15° och att hypotenusan har längden 25 mm. Kateten b är närliggande katet till vinkel α. Vi omvandlar grundformeln för cosinus så att vi löser ut b (närliggande katet) i ekvationen. b cos = c

c = 25 mm

b = cos

90°

α = 15°

Cosinusvärdet för vinkeln 15° slår man fram på kalkylatorn, det är ca. 0,966

b = cos15⋅25 ≈ 24,15 mm Längden på sidan b är ca 24,15 mm.

182 40676504.1.8_Inlaga.indd 182

2021-07-02 13:25

Vill man kontrollera svaret kan man dividera b med c och beräkna vinkeln α. 24,15 cos α = ≈ 0,966 vilket är cosinusvärdet för 15°. 25

Tangens Tangens används inte så ofta inom elläran, därför görs här en kortare beskrivning. I tangens används endast de två kateterna. Genom att dividera längderna på motstående katet med närliggande katet beräknas tangensvärdet för vinkeln. Motstående katet a tan α = = Närliggande katet b tan =

Motstående katet b = Närliggande katet a

90° b

Pythagoras sats Pythagoras sats anger sambandet mellan längden på sidorna i en rätvinklig triangel. Vet man längden på två sidor kan den tredje beräknas. β

Grundformen för Pythagoras sats är:

c 2 = a2 + b2 För att lösa ut c skrivs formeln: c = a2 + b2

90° b

Exempel 1 Pythagoras I en rätvinklig triangel är längden på kateten a = 10 mm och b = 17,32 mm. Vi vill veta längden på hypotenusan c. c

a = 10 mm

c= a + b = 10 +17,32 = 20 mm 90° b = 17,32 mm Exempel 2 Pythagoras I en rätvinklig triangel är längden på kateten a = 6,47 mm och hypotenusan c = 25. Vi vill veta längden på katet b.

b = c 2 − a 2 = 252 − 6,47 2 ≈ 24,15 mm

c = 25 mm a = 6,47 mm 90°

Exempel 3 Pythagoras I en rätvinklig triangel är längden på kateten b = 10 mm och hypotenusan c = 20 mm. Vi vill veta längden på katet a. a = c 2 − b2 = 202 − 102 ≈ 17,32 mm

c = 20 mm

90° b = 10 mm

40676504.1.8_Inlaga.indd 183

183 2021-07-02 13:25

i TEORI och PRAKTIK

Ellära i TEORI och PRAKTIK

Ellära

Ellära Leif Westlund

i TEORI och PRAKTIK

40676504.1.8_Omslag.indd 1

2021-07-09 13:38