Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 2abc riktar sig till dig som ska läsa någon av kurserna Matematik 2a, 2b eller 2c inom vuxenutbildningen.
Matematik 5000+ finns till alla gymnasiets matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna goda förutsättningar att utveckla sina kunskaper i matematik.
Matematik
2abc
5000
5000
2abc
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning
Vux
Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46267-0
9 789127 462670
M5000Plus_2abc_VUX_Omslag_220704.indd 4-6
2abc
2022-07-05 11:53
Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Lösning av ekvationssystem Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg. Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?
Avgör om funktionen y = x – 3x2 + 5 har en maximieller minimipunkt. Motivera. Grafen har en maximipunkt. Motivering: x2-termens koefficient är negativ.
2221
REPETITIONSUPPGIFTER 2321
2
Avgör om funktionen y = x – 3x + 5 har en maximi- eller minimipunkt. Motivera.
ÖVNINGSUPPGIFTER 2123 Lös ekvationen x2 – 8x + 12 = 0 med lösningsformeln och kontrollera att din lösning är korrekt. 2134 Skriv ekvationen på formen x2 + px + q = 0 och lös den sedan algebraiskt 2
a) 5x – 15 = 10x b) 3x 2 – 102x + 720 = 0 c) –y2 + 0,4y + 1,4 = 0 d) 10y – 9 = y2 2 e) z + 0,125 = 0,5z 2
SVAR
4
Kap 0 Vux 2abc_220704.indd 4
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.
Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller ekvationslösande.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
2022-07-07 14:37
VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Aktivitet Hur lång är en vit böna?
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till ekonomi, samhälle och estetiska ämnen.
Tema Tillväxtkurvor
Historik Ekvationer och lösningsformler
KAPITELSLUT
Sant eller falskt? Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP
Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4
Kap 0 Vux 2abc_220704.indd 5
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
PROCEDUR
Testa dig själv 4
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
5
2022-07-07 14:37
Innehåll 1. Algebra 8 Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9
1.1 Repetition 10 Negativa tal och prioriteringsregler 10 Beräkningar med tal i bråkform 13 Algebraiska uttryck 16 Ekvationer 20 Ekvationer med digitala verktyg 24
1.2 Linjära modeller 26 Repetition av formel, tabell och graf 26 Repetition av räta linjens ekvation 28 Mer om räta linjer 32 Linjär regression (2b, 2c) 35 Aktivitet: Regression och kast med tärning (2b, 2c) 39 Korrelation och korrelationskoefficient (2b, 2c) 40
1.3 Linjära ekvationssystem 43 Lösning av ekvationssystem 43 Substitutionsmetoden 47 Additionsmetoden 50 Tillämpningar och problemlösning 53 Några speciella ekvationssystem 57 Tema: Nu är det NOG 59 Tema: Nollpunktsanalys 62 Tema: Utbud och efterfrågan 65
1.4 Uttryck med parenteser 68 Repetition – multiplikation av uttryck 68 Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsrelgerna 71 Konjugat- och kvadreringsrelgerna 72 Mer om konjugat- och kvaderingsreglerna 74 Faktorisera 76 Aktivitet: Sant eller falskt? 78 Sammanfattning 1 79 Kan du det här? 80 Testa dig själv 1 81 Blandade övningar 1 82
2. Algebra och icke-linjära modeller 86 Inledande aktivitet: Ekvationer med två rötter 87
2.1 Andragradsekvationer 88 Enkla andragradsekvationer 88 En lösningsformel 92 Mer om andragradsekvationer 95 Historik: Ekvationer och lösningsformler 98 Tillämpningar och problemlösning 100 Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 102
6
Kap 0 Vux 2abc_220704.indd 6
2.2 Andragradsfunktioner 103 Repetition av skrivsättet f(x) 103 Aktivitet: Andragradsfunktioner 107 Andragradsfunktionens graf 108 Andragradsfunktionens största eller minsta värde 113 Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 118 Problemlösning 119
2.3 Repetition av exponentialfunktioner och potensekvationer 123 Exponentialfunktioner 123 Potenser och potensekvationer 127 Aktivitet: Grafen till y = 10x 130
2.4 Logaritmer 131 Exponentialekvationer och logaritmer (2b, 2c) 131 Mer om logaritmer (2b, 2c) 133 Exponential- och potensekvationer (2b, 2c) 136 Aktivitet: Termosen (2b, 2c) 140 Aktivitet: Radioaktiva pärlor (2b, 2c) 140 Tillämpningar och problemlösning 141 Tema: Åldersbestämning med kol-14 146
2.5 Regressionsanalys (2b, 2c) 148 Regressionsanalys med olika modeller 148 Från graf till formel 152 Aktivitet: Sant eller falskt? 155 Sammanfattning 2 156 Kan du det här? 158 Testa dig själv 2 159 Blandade övningar 2 160 Blandade övningar 1–2 163
3. Statistik 166 Inledande aktivitet: Presentera data 167
3.1 Lägesmått och spridningsmått 168 Medelvärde, median och typvärde 168 Kvartiler och percentiler 172 Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 177 Lådagram 178 Standardavvikelse 184 Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 187
3.2 Normalfördelning 188 Normalfördelat material 188 Normalfördelat material och digitala verktyg (2b, 2c) 192 Tema: Tillväxtkurvor 195 Aktivitet: Sant eller falskt? 196 Sammanfattning 3 197 Kan du det här? 198 Testa dig själv 3 199 Blandade övningar 3 200 Blandade övningar 1–3 202 INNEHÅLL
2022-07-07 14:37
4. Geometri 206 Inledande aktivitet: Vinkelsumman i en månghörning 207
4.1 Logik och bevis 208 Geometriska begrepp och definitioner 208 Sats och bevis (2b, 2c) 212 Implikation och ekvivalens (2b, 2c) 216
4.2 Några klassiska satser i geometri I 218 Yttervinkelsatsen (2b, 2c) 218 Aktivitet: Randvinklar (2b, 2c) 221 Randvinklar och medelpunktsvinklar (2b, 2c) 222 Pythagoras sats 226 Historik: Pythagoras sats 229
4.3 Några klassiska satser i geometri II (2b, 2c) 230 Likformighet 230 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 232 Bevis med likformighet 236 Kordasatsen och bisektrissatsen 238 Aktivitet: Dynamisk geometri 240
5.2 Enkla andragradsekvationer 288 Kvadratrötter och ekvationen x2 = a 288
5.3 Linjära funktioner 292 Linjära funktioner 292
5.4 Potenser 296 Potenslagar 296 Exponenten noll och negativa exponenter 300 Mer om potenser och potenslagar 304 Tema: Potenser 306 Potensekvationen xn = a 307
5.5 Potensfunktioner 311 Potensfunktioner 311
5.6 Exponentialekvationer 315 Exponential- och potensekvationer 315 Sammanfattning 2 (2a) 318 Kan du det här? (2a) 319 Testa dig själv 2 (2a) 319 Blandade övningar 2 (2a) 320
4.4 Koordinatgeometri 242 Avståndsformeln och mittpunktsformeln 242 Problemlösning 246 Aktivitet: Sant eller falskt? 249 Sammanfattning 4 250 Kan du det här? 252 Testa dig själv 4 253 Blandade övningar 4 254 Blandade övningar 1–4 256
5. För kurs 2a 262 5.1 Räta linjens ekvation 264 Räta linjer i vardagliga sammanhang 264 Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 268 Avläsa k-värde och m-värde 269 Beräkna k-värdet och rita linjer 274 Bestäm räta linjens ekvation 278 Parallella linjer 281 Olika former för räta linjens ekvation 283 Sammanfattning 1 (2a) 286 Kan du det här? (2a) 286 Testa dig själv 1 (2a) 286 Blandade övningar 1 (2a) 287
6. För kurs 2c 322 6.1 Rotekvationer 324 Rotekvationer 324
6.2 Logaritmer 327 Logaritmlagarna 327 Sammanfattning 2 (2c) 330 Kan du det här? (2c) 330 Testa dig själv 2 (2c) 330 Blandade övningar 2 (2c) 331 Programmering: Maximal ersättning 332 Programmering: Lösningsformel för andragradsekvationer 334 Programmering: Avståndsformeln och mittpunktsformeln 336 Programmering: Öka medelvärdet 338
Repetitionsuppgifter 340 Svar, ledtrådar och lösningar 348 Register 414
INNEHÅLL
Kap 0 Vux 2abc_220704.indd 7
7
2022-07-07 14:37
1
ALGEBRA
Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.
Centralt innehåll
Med andra ord
• Begreppet linjärt ekvationssystem.
Kapitlet börjar med en repetition av räkneregler, bråkräkning, algebraiska uttryck och ekvationer samt räta linjens ekvation.
• Begreppet korrelationskoefficient. (Ej i kurs 2a) • Metoder för att lösa linjära ekvationssystem. • Motivering och hantering av konjugatoch kvadreringsreglerna. • Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i karaktärsämnen och samhällsliv.
Vi arbetar med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att lösa ekvationssystem både grafiskt och algebraiskt. Kapitlet avslutas med multiplikation av parentesuttryck och du får lära dig att använda några algebraiska regler för detta.
8
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 8
2022-07-05 17:24
Inledande aktivitet NEGATIVA TAL OCH PRIORITERINGSREGLER Arbeta tillsammans två och två. Använd fyra papperslappar och skriv talen 2, –3, –5 och 4 på lapparna. 1 Välj två av lapparna och lägg dem så att a) summan blir så stor som möjligt b) differensen blir så stor som möjligt c) produkten blir så stor som möjligt d) kvoten blir så stor som möjligt. 2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan respektive produkten blir så liten som möjligt.
–5
3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen ∙
+
∙
–3
2
4
4 Beräkna värdet på uttrycken B x2 – y
blir så
A x + 6y
a) stort som möjligt
a) då x = 2 och y = 4
b) litet som möjligt.
b) då x = –3 och y = –5.
9
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 9
2022-07-05 17:24
1.1 Repetition Negativa tal och prioriteringsregler Vi börjar med att repetera regler för beräkningar med negativa tal. 1 Addition och subtraktion –5 + 7 = 2
–6
Vi startar vid talet –5 och går 7 steg åt höger.
–5
–4
–1 – 3 = –4
–6
–3
–2
–1
0
1
2
3
Vi startar vid talet –1 och går 3 steg åt vänster.
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4 – (–3) = 4 + 3 = 7
Tecknen – (–) intill varandra ersätts med +
4 + (–3) = 4 – 3 = 1
Tecknen + (–) intill varandra ersätts med –
2 Multiplikation 7 · (–3) = (–7) · 3 = –21
Olika tecken på två faktorer ger negativ produkt.
(–7) · (–3) = 21
Lika tecken på två faktorer ger positiv produkt.
3 Division 45 45 = = –5 −9 9
Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot.
−45 =5 −9
Lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
Vi sammanfattar reglerna:
Räkneregler för negativa tal
10
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 10
Addition och subtraktion Multiplikation Division −a a a a + (–b) = a – b a · (–b) = (–a) · b = –ab = =– b b −b −a a a – (–b) = a + b (–a) · (–b) = ab = −b b
algebra
2022-07-05 17:24
Vid beräkningar med flera räknesätt använder vi prioriteringsreglerna, som anger i vilken ordning vi ska räkna.
Prioriteringsreglerna
1101
1
Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2
Därefter potenser (upphöjt till).
3
Sedan multiplikationer och divisioner.
4
Till sist additioner och subtraktioner.
Beräkna a) 5 – 9 c) –25 – (–50) b) 9 – 4 + 2
1102
d) 16 + (–9)
a) 5 – 9 = –4 c) –25 – (–50) = = –25 + 50 = 25
Tecknen – (–) ersätts med +
b) 9 – 4 + 2 = 7 d) 16 + (–9) = = 16 – 9 = 7
Tecknen + (–) ersätts med –
Beräkna a) –3 + 5 ∙ 2 – 1
b) 6 + 2(1 – 5)
a) –3 + 5 ∙ 2 – 1 = = –3 + 10 – 1 =
c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 d)
4 ( 5) 1 3
Först multiplikation Därefter addition och subtraktion
=7–1=6 b) 6 + 2(1 – 5) = = 6 + 2 ∙ (–4) =
Först parentesen Därefter multiplikation
= 6 – 8 = –2 c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 =
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
= 4 – (– 5) + 2 ∙ 9 =
Sedan multiplikationen
= 4 – (–5) + 18 =
Därefter subtraktion: – (–) ersätts med +
= 4 + 5 + 18 = 27 d)
1.1 REPETITION
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 11
4 ( 5) 20 = = 10 2 1 3
Uttrycken i täljaren och nämnaren beräknas först.
11
2022-07-05 17:24
1 1110 Beräkna
Beräkna 1103–1107
a) 32 + 2 ∙ 3 + 1
1103 a) 5 – 8 c) –3 – 12
b) 2 ∙ 42 – 5 ∙ 4 + 2
b) –7 + 2 d) –5 + 9
c) (–2)2 + 4 ∙ (–2) + 5 d) (–1)2 + 3 ∙ (–1) – 2
1104 a) 7 + (–3) c) –8 + (–2) b) 5 – (–4) d) –3 – (–9) 1105 a) 4 ∙ (–3) c) (–4) ∙ (–5) b)
1111 Nicole ska beräkna 15 – 2 ∙ (–3)2 och skriver (–3) ∙ (–3) = 9 ∙ 2 = 18 15 – 18 = –3
−15 −24 d) 3 −6
a) Är svaret –3 korrekt?
1106 a) 8 – 6 ∙ 2 d) 3 ∙ (4 – 5)
b) Nicoles beräkning är inte korrekt. Vad i beräkningen är felaktigt?
b) 16 – 6 + 4 e) (–3) ∙ (–2) ∙ (–4) c) 5 – 2 ∙ (–4) f) 8 – 2(3 – 7) 1107 a) 9 ( 6) 7 2 b)
8 − (−4) c) −7 − (−1)
−5 − (−7) −10 − 6 d) 1 − (−1) −5 − (−3)
1108 Beräkna a) 2,97 – (–1,68) b)
c) 3,5 ∙ (–26)
5, 7 − 1, 2 117 − 265 d) −2, 2 − 3, 8 4
1109 I Målilla i Småland är det ofta varmt på sommaren. Värmerekordet i Målilla är +38,0 °C och köldrekordet är –33,8 °C. Hur stor är temperaturdifferensen?
2
c) Visa en korrekt beräkning.
1112 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 18 –
= 30
b) 16 –
· 5 = –4 35 = –3 c) – 8 –
1113 Beräkna (−24) + 12 – (–4) ∙ 3 2 (−6) 18 b) +5∙ 2 (−3)2 a) –
1114 Hur ändras värdet av uttrycket 5 – 2 ∙ (1 – 4) – 32 om parentesen tas bort? 1115 Beräkna a) 14 – 32 – 4 ∙ 2 b) 14 + (–3)2 – 4 ∙ (–2) c) 14 – (–3)2 – 4 ∙ (–2)3 d) 14 + (–3)2 + (–2)3 Kontrollera dina svar med räknare.
* E n ram runt uppgiftens nummer, t.ex. 1108 , betyder att du får använda digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften.
12
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 12
algebra
2022-07-05 17:24
Ingår inte i kurs 2a.
Linjär regression Exempel
linjär anpassning
Astrid har gjort några mätningar av längden y cm av en stockros x dagar efter plantering. x (dagar)
4
6
10
12
y (cm)
14
22
26
32
Astrid markerar sina uppmätta värden i ett koordinatsystem och vill beskriva hur stockrosen växer med en linjär modell:
cm
y = kx + m
30
Hon anpassar med ”ögonmått” en rät linje till sina uppmätta värden och använder sedan den inritade linjen som modell för hur längden varierar med tiden.
20
y
Linjens ekvation kan bestämmas med hjälp av avläsningar i koordinatsystemet. Punkterna (0, 8) och (12, 32) ligger på linjen. y 32 − 8 =2 = k= x 12 − 0 y = 2x + 8 Metoden att anpassa en rät linje till uppmätta värden med ögonmått ger olika resultat beroende på hur linjen ritas.
linjär regression
I figuren är de vertikala avvikelserna mellan linjen och mätpunkterna markerade. Med hjälp av dessa avvikelser, d1, d2, d3 och d4, kan man bestämma den linje som är bäst anpassad till punkterna. Ett digitalt verktyg kan hjälpa oss med detta. Metoden att på det här sättet skapa den räta linje som är bäst anpassad till kända data kallas linjär regression.
1.2 lINJÄra MODeller
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 35
10
x 2
10 dagar
d4 d3 d2 d1
35
2022-07-05 17:24
1248
I tabellen är y stockrosens höjd i cm och x antalet dagar efter planteringen. x (dagar)
4
6
10
12
y (cm)
14
22
26
32
a) Anpassa en rät linje till mätvärdena i tabellen, dvs. gör en linjär regression. b) Tolka linjens k- och m-värde. c) Det linjära sambandet kan ses som en modell för hur höjden beror av tiden. Använd modellen och beräkna stockrosens höjd efter 7 dagar. d) Har modellen några begränsningar? a) Vi använder ett digitalt verktyg med kalkylblad eller listor och skriver in x- och y-värdena i var sin kolumn eller lista. Med hjälp av verktygets inbyggda funktion gör vi en linjär anpassning, vilket ger y = 2 x + 7,5. Det kan till exempel se ut så här: A
1 2 3 4
4 6 10 12
B
14 22 26 32
Y: B1:B4 30 20 10
3
4
Linjär modell
5
6
7
y = 2x + 7.5
8
9
10
11 12 X: A1:A4
b) k=2 Tolkning: Höjden ökar i genomsnitt med 2 cm per dag. m = 7,5 Tolkning: Höjden var 7,5 cm vid tiden för planteringen. c) y = 2 x + 7,5 och x = 7 ger y = 2 ∙ 7 + 7,5 = 21,5 Svar: Höjden var 21,5 cm. d) Ja, till exempel gäller modellen endast för positiva värden på höjden, dvs. y > 0. Stockrosen kan inte bli hur hög som helst. Om tillväxthastigheten ändras, upphör modellen att gälla.
36
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 36
algebra
2022-07-05 17:24
1 1249 Thea har med ögonmått anpassat en rät linje till fyra mätpunkter. y
1252 Tabellen visar blodtrycket hos fem personer. Undre tryck, x (mmHg) 65
75
75
80
90
Övre tryck, y (mmHg)
110
120
130
150
100
a) Gör en linjär regression. b) En person har det undre trycket 85 mmHg. Beräkna personens övre tryck enligt modellen. 1
x 1
a) Bestäm ekvationen för den linje som Thea har ritat.
1253 En villaägare i Sydsverige med en gammal oljepanna har studerat sin oljeförbrukning under ett år. Månad
b) Avläs de fyra punkterna och skriv in värdena i ditt digitala verktyg. Anpassa en rät linje till punkterna. 1250 Ronja har gjort en linjär regression och fått följande resultat. 45 40 35 30
2
25 20 15 2
3
4
Linjär modell
5
6
7
8
9
10
11
y = 3x + 12
Hon avläser m = 17,5 vid linjens skärning med y-axeln och undrar varför det inte stämmer med regressionslinjens ekvation y = 3x + 12. Kan du förklara varför? 1251 Anpassa en rät linje till punkterna (–2, –5), (0, 0), (2, 4) och (3, 5). a) för hand b) med digitalt verktyg.
1.2 LINJÄRA MODELLER
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 37
Medeltemp (°C)
Antal liter olja
Jan
2,0
550
Mars
6,4
435
Maj
11,2
275
Juli
17,6
75
Sept
14,0
200
Nov
9,6
310
Ställ upp en linjär modell och bestäm med hjälp av den oljeförbrukningen då medeltemperaturen är 4,0 °C.
1254 Tabellen visar snödjupet på en ort. Tiden anger antal dygn efter nyår. Tid (dygn)
Snödjup (cm)
2
5
4
18
6
28
8
35
10
45
a) A npassa en rät linje till värdena i tabellen. b) A nge och tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang.
37
2022-07-05 17:24
1255 Kati hänger vikter i en spiralfjäder för att bestämma ett samband mellan viktens massa, x kg, och fjäderns förlängning, y m.
Vikt (kg)
Förlängning (m)
0
0
2
0,060
3
0,085
4
0,12
5
0,20
6
0,22
7
0,27
8
0,29
a) A npassa en rät linje till punkterna i tabellen. b) Tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang. c) Hur förändras linjens ekvation om vi anger förlängningen i cm i stället?
3 1256
d) Har modellen några begränsningar?
a) Pernilla gör en linjär anpassning för hand. Hon omvandlar tiderna till minuter och prickar in punkterna i ett koordinatsystem. Sedan anpassar hon en rät linje till punkterna. Använd den för att bestämma ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter. Puls (slag/min) 170 160 150 140 130
Tid 16
x
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
y
8,6
8,3
8,2
7,3
6,8
Mätvärdena ovan bör följa sambandet y = ax + b. Ett av mätvärdena är fel. Ta bort det felaktiga värdet och bestäm a och b utifrån övriga värden. 1257 Pernilla brukar springa ett varv i ett motionsspår. Tabellen visar hennes tider och hennes puls vid målet vid åtta olika motionstillfällen. Tid (min och s) Puls (slag/min) 17 min
3s
157
17 min 24 s
136
16 min 38 s
162
18 min 11 s
129
16 min 24 s
154
18 min 59 s
148
16 min 19 s
170
17 min
146
38
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 38
9s
17
18
min
b) Bestäm ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter med hjälp av ett digitalt verktyg. Börja med att skriva alla tiderna i minuter. c) Vilken puls motsvarar tiden 17,60 min enligt det linjära sambandet i b)? d) Det linjära sambandet ger en modell för hur pulsen beror av tiden. Har modellen några begränsningar? Motivera ditt svar. e) Tolka vad k-värdet i det linjära sambandet betyder i detta sammanhang.
algebra
2022-07-05 17:24
Aktivitet Regression och kast med tärning
I den här aktiviteten ska du kasta tärning. Syftet är att du ska anpassa en rät linje till mätvärden som du själv har skapat. Materiel: En sexsidig tärning Arbeta två och två.
1 Öppna ett kalkylblad och skriv följande: A B C D 1 Antal kast Total poäng Antal kast Total poäng 2 0 10 0 80 3 1 1 4 2 2 5 3 3 ... ... ...
Ni ska turas om att kasta en tärning. En av er startar med 10 poäng och en startar med 80 poäng. Den med 10 poäng adderar tärningens poäng vid varje kast till sin totala poäng. Den med 80 poäng subtraherar vid sina kast tärningens poäng från sin totala poäng. 2 Börja med att gissa: Hur många kast krävs för att ni ska få samma totalpoäng?
3 Kasta tärningen 15 gånger var och fyll i tabellen i kalkylbladet. Anpassa, med linjär regression, två linjer till värdena i tabellen. Den ena linjen beskriver poängökningen och den andra poängminskningen. 4 Rita linjerna i samma koordinatsystem på datorn eller räknaren. Avläs skärningspunkten. Efter hur många kast hade ni samma totalpoäng? 5 Teoretiskt kan linjerna skrivas y = 10 + 3,5x och y = 80 – 3,5x a) Bestäm algebraiskt skärningspunkten mellan dessa två linjer. b) Efter hur många kast borde man få samma totalpoäng, rent teoretiskt? c) Linjerna har k = 3,5 och k = –3,5. Hur kan du förklara detta?
1.2 LINJÄRA MODELLER
01_2abc Vux kap 1_220630_HM.indd 39
39
2022-07-05 17:25
För kurs 2a: Läs sidorna 288–291 före detta avsnitt.
2.1 Andragradsekvationer Enkla andragradsekvationer Exempel 1
Vilka mått har en kvadratisk gräsmatta med arean 625 m2.
(m)
Vi beräknar sidans längd genom att lösa andragradsekvationen A=x·x=x
x 2 = 625
2
x
x = ± 625 Räknaren ger 625 = 25. Ekvationen har två rötter (lösningar) som vi betecknar x1 och x2.
x
x1 = 625 = 25 x2 = – 625 = –25 Vi använder endast den positiva roten eftersom x är en sträcka. Gräsmattan har måtten 25 m × 25 m. Exempel 2
Om vi försöker lösa ekvationen x 2 = –9 på motsvarande sätt får vi x = −9 Räknaren svarar Error. Det finns inte något ”vanligt” (reellt) tal som i kvadrat är –9. Vi säger att ekvationen saknar reella lösningar.
reella tal
De reella talen består av ◗ hela tal (t.ex. –2, 0 och 35)
(
6 3 och – 0,03 = −– 100 5 ◗ tal som inte kan skrivas som bråk (t.ex. 2 och π). ◗ tal som kan skrivas som bråk t.ex. 1,2 =
Allmän andragradsekvation
)
Allmänt kan en andragradsekvation skrivas ax 2 + bx + c = 0 där a, b och c är konstanter och a ≠ 0. Det finns olika metoder för att lösa andragradsekvationer. Vilken metod vi ska använda beror på konstanternas värde och hur ekvationen är skriven.
88
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 88
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-07-07 13:55
Kvadratrotsmetoden Om ekvationen ax 2 + b x + c = 0 saknar x-term (b = 0) kan den lösas med kvadratrotsmetoden. Exempel 3
Vi löser ekvationen 3 x 2 – 15 = 0. 3 x 2 – 15 = 0 3 x 2 = 15 x2 = 5 x=± 5
Vi dividerar båda leden med 3.
Ekvationen 3x2 – 15 = 0 har två rötter: x1 = 5 ≈ 2,24 och x2 = – 5 ≈ –2,24 Exakt svar
Närmevärde
Nollproduktmetoden Om ekvationen ax2 + bx + c = 0 saknar konstantterm (c = 0) eller om vänsterledet är faktoriserat kan vi använda nollproduktmetoden. Exempel 4
Vi löser ekvationen x2 + 6x = 0. Vi börjar med att faktorisera vänster led. x ∙ (x + 6) = 0 Om en produkt är noll, så måste minst en av faktorerna vara noll. Den första faktorn, x, är noll då x = 0. Den andra faktorn, (x + 6), är noll då x = –6. Ekvationen x2 + 6x = 0 har två rötter: x1 = 0 och x2 = –6 Vi kontrollerar om svaret är rätt genom att sätta in rötterna i ekvationen. x=0
ger VL = 0 · (0 + 6) = 0 · 6 = 0 = HL
x = –6 ger VL = –6 · (–6 + 6) = –6 · 0 = 0 = HL Exempel 5
x = 0 ersätter x på två ställen i ekvationen. x = –6 ersätter x på två ställen i ekvationen.
Vi löser ekvationen (x – 4)(x + 5) = 0. Vänster led består av två faktorer. Den första faktorn, (x – 4), är noll då x = 4. Den andra faktorn, (x + 5), är noll då x = –5. Ekvationen (x – 4)(x + 5) = 0 har två rötter: x1 = 4 och x2 = –5.
2.1 ANDRAGRADSEKVATIONER
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 89
89
2022-07-07 13:55
Aktivitet Samband mellan rötter och koefficienter
I den här aktiviteten ska du hitta samband mellan koefficienterna p och q i ekvationen x 2 + p x + q = 0 och rötterna till ekvationen. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att söka mönster och generalisera. Materiel: Ekvationslösande verktyg
1 Skriv av följande tabell: Ekvation
p
q
x1
x2
4 Använd sambanden från uppgift 2 och kontrollera om följande ekvationer har korrekt lösning:
x – 4x + 3 = 0
A x 2 + 5 x + 2,25 = 0, x1 = – 4,5 x2 = – 0,5
x 2 – 8x + 15 = 0
B x 2 + 6 x – 16 = 0,
2
x 2 + 6x + 8 = 0 x 2 + 12x – 28 = 0
Lös ekvationerna och fyll i din tabell. 2 Studera tabellens värden och försök hitta ett samband mellan p och ekvationens rötter q och ekvationens rötter. Formulera sambanden med ord och formler. 3 Lös ekvationen x 2 – 2 x – 8 = 0 och undersök om dina samband stämmer.
102
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 102
x1 = – 8
x2 = – 2
5 En ekvation x 2 + p x + 32 = 0 har en rot x = 2. a) Vilken är den andra roten? b) Vilket värde har p? 6 Ställ upp en andragradsekvation på formen x 2 + p x + q = 0 som har lösningarna a) x1 = 2
x2 = 4
b) x1 = 5
x2 = – 4
7 Använd lösningsformeln för x 2 + px + q = 0 och bevisa dina samband.
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-07-07 13:56
För kurs 2a: Läs sidorna 292–295 efter detta avsnitt.
2.2 Andragradsfunktioner Repetition av skrivsättet f (x) Exempel
Höjden på ett brinnande stearinljus beror på brinntiden. Sambandet är en funktion eftersom varje värde på tiden x ger ett värde på höjden y. Ljuset är från början 20 cm högt. Ljuset brinner i jämn takt och varje timme brinner 4 cm ner.
Vi kan beskriva funktionen på flera olika sätt.
Ord
Formel
Tabell
Graf h
Ljuset är 20 cm från början. Höjden minskar 4 cm/timme.
y = 20 – 4x
x
y
0
20
1
16
2
12
3
8
y
20
10
x 1 2 3 4 5 cm
I vårt exempel gäller funktionen bara för x-värden mellan 0 och 5, eftersom ljuset har brunnit ner efter 5 timmar. Definitionsmängd: 0 ≤ x ≤ 5 Definitionsmängden ger värdemängden: 0 ≤ y ≤ 20 Definitionsmängd och värdemängd
De tillåtna x-värdena kallas funktionens definitionsmängd. De y-värden definitionsmängden ger kallas värdemängden. Inom matematiken håller man sig oftast mycket kortfattad.
symbolen f (x )
”y är en funktion av x” skrivs som y = f(x). Om vi skriver f(3) så menar vi det y-värde som funktionen ger när x = 3. f(3) utläses ”f av 3”. Skrivsättet är mycket praktiskt. Har vi flera funktioner kan vi använda g(x), h(x) osv.
2.2 ANDRAGRADSFUNKTIONER
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 103
103
2022-07-07 13:56
2201
Figuren visar grafen till funktionen g(x) = 3 – 0,5x. a) Bestäm g(–2).
4 3 2 1
b) Lös ekvationen g(x) = 1.
a) Med hjälp av formeln: Med hjälp av grafen: g(x) = 3 – 0,5x x = –2 ger y = 4
–3 –2 –1
y y = g(x) x 1 2 3 4 5 6 7 8
g(–2) = 3 – 0,5 · (–2) = =3+1=4 Svar: g(–2) = 4 b) Med hjälp av formeln: Med hjälp av grafen: g(x) = 1 ger ekvationen
4 3 2 1
y = 1 motsvaras av
3 – 0,5x = 1 x = 4 –0,5x = –2
–3 –2 –1
−0, 5 x = −2 −0, 5 −0, 5 x=
2 =4 0, 5
y
x 1 2 3 4 5 6 7 8
2 = 2 ∙ 2 = 4= 4 0,5 0,5 ∙ 2 1
Svar: x = 4
2202
2 För funktionen f gäller att f(x) = x – 1
Lös ekvationen f(x) = 1 a) med grafritande verktyg
2
b) algebraiskt
c) med ekvationslösande verktyg.
a) Vi ritar grafen till funktionen f och linjen y = 1. Sedan avläser vi x-värdet i skärningspunkterna. Svar: x1 = –2 b)
y
x2 4 f (x) = 2 –1
x2 = 2
3
f(x) = 1
2
x2 –1=1 2
1
y=1 x
–3
x2 = 4
–2 –1
1
2
3
x=± 4 x = ±2 Svar: x1 = –2 c)
(
2 L ös x – 1 = 1 2
x2 = 2
)
x = –2, x = 2
Svar: x1 = –2
104
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 104
x2 = 2
Algebra och icke-linjära modeller
2022-07-07 13:56
2203
Figuren visar graferna till två funktioner, f och g.
6
a) Lös ekvationen f ( x) = g( x).
y y = g (x )
4
b) Lös olikheten f ( x) > g(x).
2 x –4
a) Vi avläser x-värdet i skärningspunkterna mellan grafen till y = f ( x) och y = g( x). Svar: x1 = –4
–2
2
4
6
–2 y = f (x )
–4
x2 = 1
b) Lösningen till olikheten f ( x) > g( x) är de x-värden där den röda grafen y = f ( x) har ett större funktionsvärde än den blå grafen y = g( x).
6
y y = g (x )
4 2
Detta gäller för alla x-värden mellan –4 och 1.
x
Svar: –4 < x < 1
–4
–2
2
4
6
–2 y = f (x )
–4
1 2204 Låt f (x) = 10 – 3x och bestäm a) f (2) b) f (–2)
2207 Figuren visar grafen till funktionen y = f (x).
2205 Bestäm x så att f (x) = 8 om
5 3
2206 Figuren visar grafen till funktionen y = f ( x) 2 1 –2 –1 –1
2 1 –2 –1–1
y = f(x) 1 2 3
x 4 5 6
–2
Bestäm med hjälp av grafen a) f (4) b) f (–1)
y = f (x )
4
a) f (x) = 5x – 12 b) f (x) = x2 – 1
y
y
x 1
2
3 4
a) f (4) b) f (3) – f (4) c) lösningen till ekvationen f ( x) = 4 d) lösningen till ekvationen f ( x) = 0. 2208 Lös ekvationen f ( x) = 3 då f ( x) = 4x – x2
d) lösningen till ekvationen f ( x) = –2
a) för hand
e) lösningen till olikheten f ( x) < 0.
b) med digitalt verktyg.
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 105
6
Bestäm med hjälp av grafen
c) x så att f ( x) = 2
2.2 ANDRAGRADSFUNKTIONER
5
105
2022-07-07 13:56
2209 Beskriv följande intervall både med ord och med symboler. x
a) 1
0
2 3 4 5 6 7
2214 Funktionen f ( x) = x + 7 är definierad för x > 0. Bestäm värdemängden. 2215 Vilket värde har talet k om
8 9 10
a) f ( x) = k x + 3 och f (4) = 5
x
b) –3 –2 –1
0 1 2 6 7
c)
8 9 10 x
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2210 Funktionen f ( x) = 200x beskriver sträckan i meter som Anna har sprungit efter x minuter. a) Bestäm f (2).
3
b) g( x) = 2 x 2 – 3 x + k och g(–2) = 8?
2216 Låt f ( x) = 5 x – 2 x 2 och bestäm a) f (–3a) b) f ( f (3)) 2217 Av en 12 dm bred plåt bockar vi en öppen ränna med rektangulär tvärsnittsarea, y dm 2. (dm)
b) Bestäm x så att f ( x) = 2 000. c) Tolka svaren i a) och b) med ord. 2211 Ange med hjälp av grafen definitions- och värdemängden till funktionen y = h( x). y 2
y = h(x )
1 2
3
x x
a) Ställ upp en formel för den funktion om beskriver arean, y dm2. b) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd.
x 1
y
x
4
2218 Låt f ( x) = a x + b. Bestäm a och b så att
2212 Ge exempel på två olika funktioner för vilka gäller att f (–2) = 10.
2
f (a x + b) = x + 1 2219 Figuren visar graferna till funktionerna f, g och h.
2213 I figuren visas graferna till två funktioner f och g. Graferna skär varandra i två punkter. 2
y
–1
x
y = f (x )
a) Bestäm g(4) – f (4). b) Lös ekvationen f ( x) = g( x). c) För vilka x är f ( x) > g( x)? d) För vilka x är f ( x) ≤ g( x)?
106
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 106
y = f (x )
y = h (x )
3 2 1
–2
–3
y
4
1 2 3 4
–2 –4
5
y = g (x )
1 –2
6
–1
x 1 2 3 y = g (x )
4
a) Bestäm x så att g( x + 2) = 5. b) För vilka x gäller att både h( x) > g( x) och h(x) < f ( x)? c) Lös ekvationen f ( x) – g( x) = 3. d) Bestäm h(a) så att h(2 a) = 3.
Algebra och icke-linjära modeller
2022-07-07 13:56
Aktivitet Andragradsfunktioner I den här aktiviteten ska du undersöka andragradsfunktioner. Det är funktioner som kan skrivas på formen y = a x2 + b x + c, där a, b och c är konstanter och a ≠ 0. Syftet är att du ska upptäcka sambanden mellan grafens utseende och formeln för olika värden på a, b och c. Materiel: Grafritande verktyg
1 Vilket värde har konstanterna a, b och c i följande funktioner? a) y = 2 x 2 + 4 x + 8 c) y = – x 2 + 0,5x b) y = x 2 – 4 x – 12 d) y = 0,5 x 2 – 25 2 a) Rita i samma koordinatsystem y = x 2, y = x 2 + 1 och y = x 2 – 3 b) Funktionerna är alla av typen y = x 2 + c men de har olika värden på c. Hur påverkar värdet på c grafens utseende? c) Var i koordinatsystemet kan du avläsa värdet på c? 3 a) Rita i samma koordinatsystem y = x 2, y = 2 x 2 och y = 0,5 x 2 b) Funktionerna är alla av typen y = a x 2 Hur ändras grafen när a blir större respektive mindre?
5 a) Rita grafen till y = x 2 – 4 x + 3. Avläs nollställena, dvs. för vilka x som y = 0. b) Lös ekvationen x 2 – 4 x + 3 = 0 algebraiskt. Jämför med svaret i a). Förklara! 6 a) Rita grafen till y = x 2 – 4 x + 5. Skär grafen x-axeln? b) Lös ekvationen x 2 – 4 x + 5 = 0 algebraiskt. Finns det några reella värden på x som löser ekvationen? c) Hur kan du på grafen till y = a x2 + b x + c se om ekvationen a x2 + b x + c = 0 har några reella rötter? Jämför resultatet i 5 a), b) och 6 a), b) och formulera en slutsats. y
c) Undersök hur grafen ser ut när a är negativt? 4 Rita graferna till y = 2 x 2 + 3 x y = 0,5 x 2 + 3 x + 2 y = –2 x 2 + 3 x y = – 0,5 x 2 + 3 x + 2 Två av graferna har en maximipunkt Två av graferna har en minimipunkt
x
Hur kan du se det i funktionernas formel?
2.2 ANDRAGRADSFUNKTIONER
02_2abc Vux kap 2_220706.indd 107
107
2022-07-07 13:56
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp. 1 I ett statistiskt material kan median, medelvärde och typvärde vara samma tal. 2 Median och kvartilavstånd är exempel på spridningsmått. 3 Om tre heltal har variationsbredden 14, medianen 30 och medelvärdet 30 så är det minsta talet 24. 4 Variationsbredden anger hur största värdet avviker från medianen. 5 Både medelvärde och kvartiler kan avläsas i ett lådagram. 6 Den 25:e percentilen och den nedre kvartilen har samma värde. 7 Ungefär 25 % av värdena i ett statistiskt material ligger mellan medianen och den övre kvartilen. 8 I ett normalfördelat material ligger ungefär 34 % av värdena över medelvärdet.
196
03_2abc Vux kap 3_220630_HM.indd 196
9 Figuren visar lådagram för mätvärden i två grupper. Den 70:e percentilen för grupp B är större än den 70:e percentilen för grupp A. Grupp A Grupp B 40
50
60
70
80
90
10 Standardavvikelse är ett mått på hur mycket de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medianen. 11 Hos ett normalfördelat material ligger ca 50 % av observationerna i intervallet medelvärdet ± 1 standardavvikelse (μ ± σ). 12 I ett normalfördelat material med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 10 har cirka 16 % av observationerna ett värde som är mindre än 90.
statistik
2022-07-05 17:16
Sammanfattning 3 Lägesmått
Spridningsmått
För ett statistiskt material gäller:
Exempel på spridningsmått:
• Typvärdet är det vanligast förekommande värdet.
Variationsbredd = Största värdet – Minsta värdet
• Medianen är värdet i mitten då talen är ordnade i storleksordning. Om två tal står i mitten är medianen medelvärdet av dessa. • Medelvärdet betecknas x för en hel population och μ för ett stickprov. Summan av värdena Medelvärdet = Antalet värden
Övre och nedre kvartil får vi genom att först dela värdena i två halvor med hjälp av medianen.
Standardavvikelse Spridningsmåttet standardavvikelse är ett mått på hur de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medelvärdet. En stor standardavvikelse betyder stor spridning och tvärtom. Standardavvikelsen becknas σ för en hel population och s för ett stickprov.
En normalfördelad population med medelvärdet μ och standardavvikelse σ fördelar sig enligt följande kurva: 34,1% 34,1% 2,3%
Nedre kvartilen är sedan medianen av den nedre halvan och övre kvartilen är medianen av den övre halvan. Nedre kvartilen Q1, medianen Q2 och övre kvartilen Q3 delar det statistiska materialet i fjärdedelar. Min
Nedre kvartil
Median
Övre kvartil
Max
kvartilavstånd
Normalfördelning
Kvartilavstånd = Övre kvartil – Nedre kvartil
2,3%
13,6%
13,6%
2
2
Variationsbredd
På motsvarande sätt kan man dela in ett storleksordnat material i hundradelar. De 99 gränserna kallas percentiler och betecknas P1, P2, P3 osv. Om P3 = 125 betyder det att 3 % av värdena är mindre än 125 och 97 % är större än 125.
68,2% 95,4%
Normalfördelningskurvan (den gröna ovan) är alltid symmetrisk kring medelvärdet.
statistik
03_2abc Vux kap 3_220630_HM.indd 197
197
2022-07-05 17:16
Kan du det här? Delkapitel
BEGREPP
3.1 Lägesmått och spridningsmått
Medelvärde, median och typvärde
• bestämma medelvärde, median och typvärde
Variationsbredd Kvartil och kvartilavstånd
• bestämma variationsbredd, kvartiler och kvartilavstånd
Percentil
• konstruera och tolka lådagram
Standardavvikelse
PROCEDUR
• bestämma och tolka percentiler • beräkna standardavvikelse med hjälp av ett digitalt verktyg.
3.2 Normalfördelning
Normalfördelning
• avläsa och tolka data med hjälp av en normalfördelningskurva • bestämma sannolikheter hos ett normalfördelat material med hjälp av ett digitalt verktyg. (Ej i 2a)
198
03_2abc Vux kap 3_220630_HM.indd 198
statistik
2022-07-05 17:16
Testa dig själv 3 3.1 Lägesmått och spridningsmått 1 Under två veckor avlästes kl 12.00 följande temperaturer (°C): –3 3 –2 1 0 –3 4 –2 0 –1 –2 1 –1 –2 b) Bestäm medianen och typvärdet. c) Bestäm övre kvartilen. e) Hur påverkas medianen om det största värdet tas bort?
På företaget arbetar 77 personer med en lön mellan 38 000 kr och 51 000 kr per månad.
2 Almin undersökte batteritiden på ett stort antal bärbara datorer. Han visade resultatet i ett lådagram.
2
3
4
5
6
7
5 Lönestatistik från ett företag: Median = 38 000 kr per månad 85:e percentilen = 51 000 kr per månad
d) Bestäm kvartilavståndet.
1
Värdet på den 15:e percentilen var 2 timmar per dag. Hur många elever använde mobilen mer än 2 timmar per dag?
a) Bestäm variationsbredden.
0
4 En undersökning av mobilanvändandet på en skola med 894 elever visade följande resultat:
8
9 10 11 h
Är påståendet sant eller falskt? Motivera. a) Det var fler datorer med batteritid mellan 2 h och 5 h än mellan 5 h och 6,5 h. b) Medelvärdet var 5 h. c) Variationsbredden var 11 h. d) 75 % av datorerna hade en batteritid på mer än 2 timmar.
Hur många personer arbetar på företaget? 3.2 Normalfördelning 6 Ett normalfördelat material har medelvärdet 440. 10 % av värdena ligger mellan 440 och 480. Rosa påstår att man utan räknare kan bestämma andel värden som ligger mellan 400 och 440, men inte andelen mellan 480 och 520. Stämmer det? Motivera. 7 Livslängden (antal körda mil) för bildäcket RubberGold 5000+ antas vara normalfördelad med medelvärdet 3 600 och standardavvikelsen 600.
3 Ludvig tränar längdhopp. Tabellerna visar två stickprov av hans träningsresultat. Vilket av stickproven visar störst spridning? Motivera ditt svar. Stickprov 1 n Medel σ s
6 510.8333 44.2509 48.4744
statistik
03_2abc Vux kap 3_220630_HM.indd 199
2 400
3 000
3 600
4 200
4 800
mil
Hur stor andel av däcken Stickprov 2 n Medel σ s
8 520.625 41.9075 44.8009
a) kan köras mellan 3 000 och 4 200 mil b) behöver bytas före 3 000 mil c) kan köras mer än 4 000 mil?
199
2022-07-05 17:16
Blandade övningar 3 1 Utan digitala verktyg
2
1 Ett normalfördelat material har medelvärdet 8,0 och standardavvikelsen 2,0.
4 Tre olika, positiva heltal har medelvärdet 6, medianen 8 och variationsbredden 8.
Hur många procent av observationerna ligger inom det färgade området?
a) Vilka är de tre talen? b) Yasmine påstår att man kan bestämma de tre talen även om man bara känner till medelvärdet och medianen. Är detta sant? Motivera ditt svar. 5 En veckas mätningar av kvävedioxid på en trafikerad gata har visat följande:
4
6
Den 98:e percentilen för medelvärdet under en timme är 90 μg/m3 (mikrogram per kubikmeter).
8 10 12
2 Under en säsong spelar Kevin golf 13 gånger. Hans resultat under säsongen blev: 81 82 100 86 89 91 85 91 99 87 101 83 95 a) Bestäm medianen. b) Bestäm nedre och övre kvartil.
3
Förklara vad det betyder.
6 Vid ett språktest deltog 200 elever från Skola A och 200 elever från Skola B. Maximipoängen var 80. Resultatet framgår av lådagrammen.
c) Är det sant att kvartilavståndet är mindre än halva variationsbredden? Motivera ditt svar.
Skola A Skola B
d) Presentera Kevins resultat i ett lådagram. 3 Figuren visar två normalfördelningskurvor. B
A
Är det sant att a) B har ett större medelvärde än A b) B har mindre standardavvikelse än A? Motivera ditt svar.
0
20
40
60
80
Poäng
Kan lådagrammet för samtliga 400 elever ha följande utseende? Motivera ditt svar.
0
20
40
60
80
Poäng
7 Ett normalfördelat material har medelvärdet µ. 47,7 % av värdena återfinns i intervallet a ≤ x ≤ µ. a) Teckna ett uttryck för standardavvikelsen. b) I vilket intervall finns ca 95 % av värdena symmetriskt fördelade runt medelvärdet?
200
03_2abc Vux kap 3_220630_HM.indd 200
statistik
2022-07-05 17:16
1
Med digitala verktyg
8 Priset på en dator av samma modell i fem slumpvist utvalda butiker var (kr):
2 10 Diagrammet visar längden hos de barn som föddes på ett sjukhus under en vecka. Frekvens
5 395 5 495 5 995 6 495 6 595 a) Bestäm medianen, variationsbredden, medelvärdet och standardavvikelsen. b) Anta att butikerna med priserna 5 495 kr respektive 6 495 kr byter pris till 5 795 kr respektive 6 195 kr. Bestäm nu de statistiska måtten i a) och förklara varför värdet är detsamma eller har ändrats. 9 Roger har konstaterat att vikten på de räkor han fångar är normalfördelade med medelvärdet 12 g och standardavvikelsen 2 g. a) Hur stor andel av räkorna väger mellan 10 g och 16 g? b) De räkor som väger mindre än 8 g går inte att sälja. Hur många räkor kan han sälja om han fångar 3 000 räkor? c) Hur många räkor behöver han fånga för att få 500 räkor som väger 15 g eller mer?
12 10 8 6 4 2 0
Längd 48 49 50 51 52 53 54 55
cm
Bestäm med hjälp av diagrammet a) medianen b) den 25:e percentilen c) den övre kvartilen
3
d) kvartilavståndet.
11 Fem olika positiva heltal har medelvärdet 60, medianen 70 och variationsbredden 90. Ett av talen är 55. Undersök vilka de andra talen kan vara. 12 En forskare väljer slumpmässigt ut några päron från ett genmodifierat päronträd och väger dem. De väger (i gram): 145 176 123 132 196 171 169 117 154 146 165 151 156 129 160 a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse för detta stickprov. b) För ett annat stickprov på 10 päron är medelvärdet 160 g och standardavvikelsen 23,5 g. Vad händer med medelvärdet och standardavvikelsen i detta stickprov om ytterligare två päron med vikterna 140 g och 180 g räknas med?
statistik
03_2abc Vux kap 3_220630_HM.indd 201
201
2022-07-05 17:16
5
FÖR KURS 2A Det här kapitlet innehåller moment som ingår i kurs 2a. För kurs 2b och 2c är kapitlet mestadels repetition från kurs 1.
Centralt innehåll • Räta linjens ekvation. Metoder för att bestämma linjära funktioner. • Motivering och hantering av räkneregler för potenser. Metoder för att lösa potensekvationer. • Begreppet potensfunktion. • Digitala metoder för att lösa exponentialekvationer.
262
Kap 5 vux 2abc_HM.indd 262
2022-07-07 11:42
Kapitlets innehåll 5.1 Räta linjens ekvation Läs i stället för sidorna 28–34. Sammanfattning, Kan du det här, Testa dig själv och Blandade övningar 1, Kurs 2a, tillägg 5.2 Enkla andragradsekvationer Läs innan kapitel 2.1 på sidan 88. 5.3 Linjära funktioner Läs efter sidorna 103–106. 5.4 Potenser Läs i stället för sidorna 127–129. 5.5 Potensfunktioner Läs efter för sidorna 127–129. 5.6 Exponentialekvationer Läs i stället för sidorna 136–139. Sammanfattning, Kan du det här, Testa dig själv och Blandade övningar 2, Kurs 2a, tillägg
263
Kap 5 vux 2abc_HM.indd 263
2022-07-07 11:42
6
FÖR KURS 2C Det här kapitlet innehåller moment som ingår i kurs 2c. Dessa moment ingår inte i kurs 2a och 2b.
Centralt innehåll • Metoder för att lösa rotekvationer. • Motivering och hantering av räkneregler för logaritmer. • Exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder.
322
Kap 6 Vux2abc_HM.indd 322
2022-07-07 11:49
Kapitlets innehåll 6.1 Rotekvationer Läs efter sidan 100–101. 6.2 Logaritmlagar Läs efter sidan 133–135. Sammanfattning, Kan du det här, Testa dig själv och Blandade övningar 2, Kurs 2c, tillägg
323
Kap 6 Vux2abc_HM.indd 323
2022-07-06 11:25
SVAR Kapitel 1 1103 a) –3 b) –5
1112 a) –12 1113 a) 36
d) 4
1114 Värdet ändras från 2 till –10.
b) 9 c) –10 Lösning: –8 + (–2) = = –8 – 2 = –10 d) 6
b) –5
c) 20 d) 4
1106 a) –4 b) 14
d) –3 e) –24 f) 16 1107 a) 3 b) 1 Lösning: −5 − (−7) −5 + 7 2 = = =1 2 1 − (−1) 1+1 c) –2 d) 8
b) –37
c) –91 d) –0,75
1109 Differensen är 71,8 °C. 1110 a) 16 b) 14
b) –13
1115 a) –3 Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = =14 – 9 – 8 = –3 b) 31 Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31 c) 37 Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)3 = = 14 – 9 – 4 · (–8) = = 14 – 9 + 32 = 37 d) 15 Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15
c) 13 Lösning: 5 – 2 ∙ (–4) = = 5 + 8 = 13
1108 a) 4,65
c) –7
c) –15
1104 a) 4
1105 a) –12
b) 4
c) 1 d) –4
1111 a) Ja. b) På den första raden används inte likhetstecknen på ett korrekt sätt. (–3) · (–3) ≠ –18 c) 15 – 2 ∙ (–3)2 = = 15 – 2 · 9 = = 15 – 18 = –3
348
08_Vux 2abc_Facit_kap 1-4_220630_HM.indd 348
1118 a) 6 7 3 b) 8 c) 1 3 Ledtråd: Förkorta så långt som möjligt. d) 4 5 1119 a) 1 2 Ledtråd:
Förläng 1 med 2. 3 b) 3 5 Ledtråd: Förläng 2 till nämnaren 15. 3 Kom ihåg att förkorta svaret. c) 11 12 Ledtråd: Förläng båda bråken till nämnaren 12.
d) 5 12
1120 a) 8 25 b) 3 7 1121
c) 5 6 d) 8 9
14 = 7 48 24 1 8 = 24 3 3= 9 8 24 5 10 = 12 24
1122 a) 11 7 Lösning: 4 + 1 = 4 + 7 = 11 7 7 7 7 b) 3 5 1123 a) 3 5 b) 17 10
c) 39 10 d) 27 10
1124 a) 10 27 b) 8 c) 2 13 Ledtråd: Nämnaren kan skrivas 6 1 d) 5 2 1125 a)
25 36
b)
1 16
6 6 6 1 6 3 1126 7 = 7 = ∙ = = 7 2 14 7 2 2 1 Metod A: 6 Vi utgår från och dividerar 7 täljaren 6 med 2 och får 3 7 Metod A fungerar. Metod B: Vi utgår från 6 och multiplicerar 7 nämnaren 7 med 2 och får 6 = 3 7 14 Metod B fungerar. SVAR
2022-07-07 13:25
23 24 3 b) 5
1127 a)
c) –
9 10
d) –10
1128 a) Värdet blir dubbelt så stort. b) Värdet blir hälften så stort. c) Värdet blir dubbelt så stort. 1129 a) 1 3 b) 3
1 91 = 30 30
1130 a) 32 9 b) 4
c) 2 9 5 d) 12 c)
14 15
d) 8
1131 1 50 1137 a) 7x + 4 b) 4a + 7 1138 a) 5y + 2 b) y + 4
c) 2 – 8x d) –6y c) 12x – 5 d) 3x – 5
1139 a) Uttryckets värde är 4. b) Uttryckets värde är 40. 1140 Uttrycket kan skrivas 4x – 6. Ledtråd: Omkretsen är summan av de fyra sidornas längder. x + (x – 3) + x + (x – 3) 1141 a) 8a + 2 b) 15a + 12
c) b – 2 d) –11b + 2
1142 6x + 560 Ledtråd: Uttrycket kan skrivas 4(x + 140) + 2x 1143 a) 2x – 3y b) 11y – 9 c) 3y – 9x d) 3x – 3y + 7 1144 B C E F 1145 a) Uttryckets värde är 0. b) Uttryckets värde är 16. Ledtråd: Sätt in –3 i en parentes, (–3).
1146 a) Omkrets i m: 4x + 260 b) Area i m 2: x(x + 130) eller x 2 + 130x Kommentar: Båda uttrycken är korrekta. 1147 a) 4a – 8 b) 4y
2
1153 a) Arean A: a(a + 2) Arean A1 + A 2: a2 + 2a b) a(a + 2) = a2 + 2a Kommentar: Rektanglarna har samma area, vilket innebär att uttrycket a(a + 2) kan skrivas som a 2 + 2a och tvärtom.
c) 6b – 3b2 d) 2y 2 – 3y
1148 a) x 2 + x
1154 a)
b) 3x 2 + 2x – 5
2 1 x+ 3 2
b)
x2 6
c) 3x 2 + 4x Ledtråd: (2x)2 = 2x · 2x = 4x 2
1155 4a – 4b Ledtråd: Förenkla 3(2a – b) – (2a + b)
d) x 2 – 4x + 7
1156 Uttryck B och D. Motivering: x(x – 1) kan skrivas x 2 – x
1149 a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken framför. 2. Han multiplicerar inte –3 med både termerna i andra parenteserna. b) 30 – (x – 6) – 3(6 – x) = = 30 – x + 6 – 18 + 3x = = 2x + 18 1150 Deras sammanlagda ålder är a) (6x + 10) år Ledtråd: Fredrik är (x + 2) år. Pappa är 4(x + 2) år. b) (6y – 2) år. 1151 a) Höjden i cm: 2x + 8 b) Arean i cm 2: x 2 + 4x Ledtråd: Triangelns area b⋅h A= 2 c) Arean är 96 cm 2 . Ledtråd: Lös ekvationen 2x + 8 = 24 1152 a) –2x 2 – 5x + 4 b) 2x2 + 15 c) 2a – 2
3 · (x 2 – x) = 3x 2 – 3x och –1 · (x 2 – x) = –x 2 + x = x – x 2 Stämmer med B och D. 1157 a) Uttryckets värde är 14. b) Uttryckets värde är 20. c) Uttryckets värde är 1. 1158
y 7x + 12 3 Ledtråd: x− y y x – =– + 12 12 12
1159 Uttryckets värde är 60. 1164 a) x = 4 b) x = 7 c) x = 4,5 d) x = 7,5 Lösning: 40 = 10 + 4x 40 – 10 = 10 + 4x – 10 30 = 4x 30 4 x = 4 4 30 =x 4 30 15 x= = = 7,5 4 2 1165 a) y = 8 b) y = 3
c) y = –2 d) y = 4
d) 3b – 2
SVAR
08_Vux 2abc_Facit_kap 1-4_220630_HM.indd 349
349
2022-07-07 13:25
Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 2abc riktar sig till dig som ska läsa någon av kurserna Matematik 2a, 2b eller 2c inom vuxenutbildningen.
Matematik 5000+ finns till alla gymnasiets matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna goda förutsättningar att utveckla sina kunskaper i matematik.
Matematik
2abc
5000
5000
2abc
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning
Vux
Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46267-0
9 789127 462670
M5000Plus_2abc_VUX_Omslag_220704.indd 4-6
2abc
2022-07-05 11:53