Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
2c
Matematik
5000
5000
2c
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med programmering och användning av digitala verktyg.
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar Problemlösning med programmering i alla kapitel
ISBN 978-91-27-46057-7
9 789127 460577
M5000Plus_Blå_2c_16 mm rygg.indd 1-3
2c
2022-01-17 17:00
Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord. Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Lösning av ekvationssystem Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg. Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?
1102
Förenkla
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken, ofta med exempel från vardagen.
a) 4(a + b) – 3(b – a)
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
a) 4(a + b) – 3(b – a) = = 4a + 4b – 3b + 3a = = 7a + b REPETITIONSUPPGIFTER
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
1102 Förenkla a) 4(a + b) – 3(b – a)
ÖVNINGSUPPGIFTER 2136
Lös ekvationen 2(x – 1)2 = 6 a) algebraiskt och svara med 2 decimaler b) med symbolhanterande verktyg och svara exakt.
2137
Skriv ekvationen i formen x 2 + p x + q = 0 och lös den sedan med lösningsformeln. a) 5 x 2 – 15 = 10 x b) –2 x 2 + 16 x = 30 2 c) z – 0,5z + 0,125 = 0 2
SVAR
4
00_2c_Kap 0_220116.indd 4
Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.
Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller symbolhanterande.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
2022-01-17 16:32
VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du ett symbolhanterande verktyg som t.ex. GeoGebra eller ett annat CAS-verktyg.
Aktivitet Hur lång är en vit böna?
Programmering
En aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.
Maximal ersättning
Tema
RELEVANS
Tillväxtkurvor
Historik Ekvationer och lösningsformler
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
KAPITELSLUT
Sant eller falskt? Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP
PROCEDUR
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4
00_2c_Kap 0_220116.indd 5
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Varje uppgift är märkt med den eller de förmågor som främst testas.
5
2022-01-17 16:32
Innehåll 1. Algebra 8 Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9
1.1 Repetition 10 Algebraiska uttryck 10 Ekvationer 12
1.2 Linjära modeller 15 Repetition av räta linjens ekvation 15 Mer repetition om räta linjer 17 Linjär regression 20
1.3 Linjära ekvationssystem 24 Lösning av ekvationssystem 24 Substitutionsmetoden 28 Additionsmetoden 31 Ekvationssystem med tre obekanta 34 Tillämpningar och problemlösning 36 Några speciella ekvationssystem 40 Programmering: Maximal ersättning 42 Tema: Nu är det NOG 44
1.4 Uttryck med parenteser 47 Repetition – multiplikation av parentesuttryck 47 Aktivitet: Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 49 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 50 Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna 52 Faktorisera 54 Aktivitet: Sant eller falskt? 56 Sammanfattning 1 57 Kan du det här? 58 Testa dig själv 1 59 Blandade övningar 1 60
2. Algebra och ickelinjära modeller 64 Inledande aktivitet: Ekvationer med två rötter 65
2.1 Andragradsekvationer och rotekvationer 66 Enkla andragradsekvationer 66 Kvadratkomplettering 69 En lösningsformel 71 Aktivitet: Samband mellan rötter och koefficienter 75 Tillämpningar och problemlösning 76 Rotekvationer 82 Historik: Ekvationer och lösningsformler 78 Programmering: Lösningsformel för andragradsekvationer 80 Aktivitet: Andragradsfunktioner 85
2.2 Andragradsfunktioner 86 Repetition av funktioner 86 Andragradsfunktionens graf 90 Andragradsfunktionens största eller minsta värde 95 Från graf till formel 99 Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 102 Tillämpningar på andragradsfunktioner 103
2.3 Exponentialfunktioner och logaritmer 107 Repetition av exponentialfunktioner 107 Aktivitet: Grafen till y = 10 x 110 Exponentialekvationer och logaritmer 111 Mer om logaritmer 113 Logaritmlagarna 116
2.4 Exponentialekvationer och potenskvationer 119 Likheter och skillnader 119 Aktivitet: Termosen 122 Aktivitet: Radioaktiva pärlor 122 Tillämpningar och problemlösning 123 Tema: Åldersbestämning med kol-14 128
2.5 Regressionsanalys 130 Regressionsananlys med olika modeller 130 Aktivitet: Från graf till formel 134 Aktivitet: Sant eller falskt? 135 Sammanfattning 2 136 Kan du det här? 138 Testa dig själv 2 139 Blandade övningar 2 140 Blandade övningar 1–2 143
6
00_2c_Kap 0_220116.indd 6
INNEHÅLL
2022-01-17 16:32
3. Geometri 146 Inledande aktivitet: Fyrhörningar 147
3.1 Bevis och logik 148 Några geometriska begrepp och definitioner 148 Sats och bevis 152 Historik: Geometri i tusentals år 155 Implikation och ekvivalens 156
3.2 Några klassiska satser i geometri I 158 Yttervinkelsatsen 158 Aktivitet: Randvinklar 161 Randvinklar och medelpunktsvinklar 162 Pythagoras sats 166 Historik: Pythagoras sats 169
3.3 Några klassiska satser i geometri II 170 Likformighet 170 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 172 Bevis med likformighet 176 Kordasatsen och bisektrissatsen 178 Aktivitet: Dynamisk geometri 180
3.4 Koordinatgeometri 182 Avståndsformeln och mittpunktsformeln 182 Programmering: Avståndsformeln och mittpunktsformeln 186 Problemlösning 188 Aktivitet: Sant eller falskt? 191 Sammanfattning 3 192 Kan du det här? 194 Testa dig själv 3 195 Blandade övningar 3 196 Blandade övningar 1–3 198
INNEHÅLL
00_2c_Kap 0_220116.indd 7
4. Statistik 202 Inledande aktivitet: Presentera data 203
4.1 Lägesmått och spridningsmått 204 Medelvärde, median och typvärde 204 Kvartiler och percentiler 208 Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 213 Lådagram 214 Standardavvikelse 220 Tema: Statistik och annat från kurs 2 223 Programmering: Öka medelvärdet 224 Korrelation och korrelationskoefficient 226 Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 229
4.2 Normalfördelning 230 Normalfördelat material 230 Normalfördelat material och digitala verktyg 234 Tema: Tillväxtkurvor 237 Aktivitet: Sant eller falskt? 238 Sammanfattning 4 239 Kan du det här? 240 Testa dig själv 4 241 Blandade övningar 4 242 Blandade övningar 1–4 244
Repetitionsuppgifter 250 Svar, ledtrådar och lösningar 256 Register 309
7
2022-01-17 16:32
1
ALGEBRA Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.
Centralt innehåll
Med andra ord
• Begreppet linjärt ekvationssystem.
Kapitlet börjar med en repetition av de räkneregler som vi använder när vi förenklar uttryck och löser ekvationer.
• Metoder för att lösa linjära ekvationssystem. • Motivering och hantering av konjugatoch kvadreringsreglerna. • Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i karaktärsämnen och samhällsliv.
En repetition av räta linjens ekvation förbereder för nästa moment. Vi arbetar med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att arbeta både grafiskt och algebraiskt. Kapitlet avslutas med multiplikation av parentesuttryck och du får lära dig att använda några algebraiska regler för detta.
8
01_2c_Kap 1_220114.indd 8
2022-01-17 10:28
Inledande aktivitet NEGATIVAT TAL OCH PRIORITERINGSREGLER Arbeta tillsammans två och två. Använd fyra papperslappar och skriv talen 2, –3, –5 och 4 på lapparna. 1 Välj två av lapparna och lägg dem så att a) summan blir så stor som möjligt b) differens blir så stor som möjligt c) produkten blir så stor som möjligt d) kvoten blir så stor som möjligt.
–3
2
–5
4
2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan, differensen, produkten respektive kvoten blir så liten som möjligt. 3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen ∙
+
∙
blir så a) stort som möjligt b) litet som möjligt.
4 a) Para ihop uttrycken med rätt värde om a = –3 och b = –5 a + b2 a – b2 (a + b)2 (a – b)2
4 64 –28 22
b) Vilka av uttrycken ändrar värde om a = –5 och b = –3?
9
01_2c_Kap 1_220114.indd 9
2022-01-17 10:28
Linjär regression Exempel
linjär anpassning
Astrid har gjort några mätningar av längden y cm av en stockros x dagar efter plantering. x (dagar)
4
6
10
12
y (cm)
14
22
26
32
Astrid markerar sina uppmätta värden i ett koordinatsystem och vill beskriva hur stockrosen växer med en linjär modell:
cm
y = kx + m
30
Hon anpassar med ”ögonmått” en rät linje till sina uppmätta värden och använder sedan den inritade linjen som modell för hur längden varierar med tiden.
20
y
Linjens ekvation kan bestämmas med hjälp av avläsningar i koordinatsystemet. Punkterna (0, 8) och (12, 32) ligger på linjen. y 32 − 8 =2 = k= x 12 − 0 y = 2x + 8 Metoden att anpassa en rät linje till uppmätta värden med ögonmått ger olika resultat beroende på hur linjen ritas. För att hitta den linje som är bäst anpassad till uppmätta värden kan vi beräkna avvikelserna i vertikalled mellan mätpunkterna och linjen, se figur. Om vi summerar kvadraterna på avvikelserna, kommer den minsta summan d12 + d22 + d32 + d42 att ge oss en bra anpassning av linjen.
linjär regression
20
01_2c_Kap 1_220114.indd 20
Ett digitalt verktyg kan hjälpa oss att anpassa en bästa linje. Metoden att på det här sättet skapa den räta linje som är bäst anpassad till kända data kallas linjär regression.
10
x 2
10 dagar
d4 d3 d2 d1
algebra
2022-01-17 10:28
1226
I tabellen är y stockrosens höjd i cm och x antalet dagar efter planteringen. x (dagar)
4
6
10
12
y (cm)
14
22
26
32
a) Anpassa en rät linje till mätvärdena i tabellen, dvs. gör en linjär regression. b) Tolka linjens k- och m-värde. c) Det linjära sambandet kan ses som en modell för hur höjden beror av tiden. Använd modellen och beräkna stockrosens höjd efter 7 dagar. d) Har modellen några begränsningar? a) Vi använder ett digitalt verktyg med kalkylblad eller listor och skriver in x- och y-värdena i var sin kolumn eller lista. Med hjälp av verktygets inbyggda funktion gör vi en linjär anpassning, vilket ger y = 2 x + 7,5. Det kan till exempel se ut så här: A
1 2 3 4
4 6 10 12
B
14 22 26 32
Y: B1:B4 30 20 10
3
4
Linjär modell
5
6
7
y = 2x + 7.5
8
9
10
11 12 X: A1:A4
b) k=2 Tolkning: Höjden ökar i genomsnitt med 2 cm per dag. m = 7,5 Tolkning: Höjden var 7,5 cm vid tiden för planteringen. c) y = 2 x + 7,5 och x = 7 ger y = 2 ∙ 7 + 7,5 = 21,5 Svar: Höjden var 21,5 cm. d) Ja, till exempel gäller modellen endast för positiva värden på höjden, dvs. y > 0. Stockrosen kan inte bli hur hög som helst. Om tillväxthastigheten ändras, upphör modellen att gälla.
1.2 LINJÄRA MODELLER
01_2c_Kap 1_220114.indd 21
21
2022-01-17 10:28
1 1227 I en laborationsrapport har Thea med ögonmått anpassat en rät linje till fyra mätpunkter. y
1230 Tabellen visar blodtrycket hos fem personer. Undre tryck, x (mmHg) 65
75
75
80
90
Övre tryck, y (mmHg)
110
120
130
150
100
a) Gör en linjär regression. b) En person har det undre trycket 85 mmHg. Beräkna personens övre tryck enligt modellen. 1
x
1231 En villaägare i Sydsverige med en gammal oljepanna har studerat sin oljeförbrukning under ett år.
1
a) Bestäm ekvationen för den linje som Thea har ritat.
Månad
b) Avläs de fyra punkterna och skriv in värdena i ditt digitala verktyg. Anpassa en rät linje till punkterna. 1228 Ronja har gjort en linjär regression och fått följande resultat. 45 40 35 30
2
25 20 15 2
3
4
Linjär modell
5
6
7
8
9
10
11
Medeltemp (°C)
Antal liter olja
Jan
2,0
550
Mars
6,4
435
Maj
11,2
275
Juli
17,6
75
Sept
14,0
200
Nov
9,6
310
Ställ upp en linjär modell och bestäm med hjälp av den oljeförbrukningen då medeltemperaturen är 4,0 °C.
1232 Dian vill ställa upp en linjär modell för hur A beror av B.
y = 3x + 12
Hon avläser m = 17,5 vid linjens skärning med y-axeln och undrar varför det inte stämmer med regressionslinjens ekvation y = 3x + 12. Kan du förklara varför? 1229 Anpassa en rät linje till punkterna (–2, –5), (0, 0), (2, 4) och (3, 5).
a) Vilket av följande koordinatsystem ska Dian utgå ifrån?
A
B
1
3
3
5
4
7
6
8,5
y
y 10
10
5
5
a) för hand b) med digitalt verktyg.
x
x 5
10
10
5
b) Hjälp Dian att ställa upp en linjär modell för hur A beror av B .
22
01_2c_Kap 1_220114.indd 22
algebra
2022-01-17 10:28
1233 Kati hänger vikter i en spiralfjäder för att bestämma ett samband mellan viktens massa, x kg, och fjäderns förlängning, y m.
Vikt (kg)
Förlängning (m)
0
0
2
0,060
3
0,085
4
0,12
5
0,20
6
0,22
7
0,27
8
0,29
a) A npassa en rät linje till punkterna i tabellen. b) Tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang. c) Hur förändras linjens ekvation om vi anger förlängningen i cm i stället?
3 1234
d) Har modellen några begränsningar?
Använd den för att bestämma ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter. Puls (slag/min) 170 160 150 140 130
Tid 16
17
18
min
U = E – Ri ∙ I. Ett av mätvärdena är fel.
b) Bestäm ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter med hjälp av ett digitalt verktyg. Börja med att skriva alla tiderna i minuter.
Ta bort det felaktiga värdet och bestäm E och Ri utifrån övriga värden.
c) Vilken puls motsvarar tiden 17,60 min enligt det linjära sambandet i b)?
U
8,62
8,23
8,19
7,26
6,77
I
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
Mätvärdena ovan bör följa sambandet
1235 Pernilla brukar springa ett varv i ett motionsspår. Tabellen visar hennes tider och hennes puls vid målet vid åtta olika motionstillfällen. Tid (min och s) Puls (slag/min) 17 min
3s
157
17 min 24 s
136
16 min 38 s
162
18 min 11 s
129
16 min 24 s
154
18 min 59 s
148
16 min 19 s
170
17 min
146
9s
1.2 LINJÄRA MODELLER
01_2c_Kap 1_220114.indd 23
a) Pernilla gör en linjär anpassning för hand. Hon omvandlar tiderna till minuter och prickar in punkterna i ett koordinatsystem. S edan anpassar hon för hand en rät linje till punkterna.
d) Det linjära sambandet ger en modell för hur pulsen beror av tiden. Har modellen några begränsningar? Motivera ditt svar. e) Tolka vad k-värdet i det linjära sambandet betyder i detta sammanhang.
23
2022-01-17 10:28
Historik Ekvationer och lösningsformler Matematiker har genom århundraden lyckats utveckla algebraiska lösningsformler och metoder för många olika typer av ekvationer. Men till vissa typer av ekvationer har man även kunnat visa att generella algebraiska lösningsmetoder inte finns. Andragradsekvationen Babyloniska lertavlor har visat att andragradsekvationens lösning var känd för 4 000 år sedan. Papyrusrullar från Egypten som är ungefär lika gamla visar att man där använde geometriska metoder för att lösa andragradsekvationer. Olika sätt att lösa andragradsekvationer har därefter tagits fram i bland annat grekisk, kinesisk, indisk och arabisk matematik. Tredjegradsekvationen
På 600-talet presenterade den kinesiske matematikern Wang Xiaotong lösningar till flera olika tredjegradsekvationer. Under de följande århundradena utvecklades algebran framför allt i Mellanöstern. Den persiske matematikern och astronomen Omar Khayyam la på 1100-talet fram lösningar till flera tredjegradsekvationer genom att kombinera algebraiska och geometriska lösningar. Han försökte hitta algebraiska lösningar till samtliga typer av tredjegradsekvationer, men misslyckades. Mot slutet av medeltiden började allt fler arbeta med matematik även i Europa. Matematikerna var till stor del inspirerade av de arabiska texter som översattes. I början av 1500-talet tog sig flera norditalienska matematiker an tredje- och fjärdegradsekvationerna.
Många har försökt, och misslyckats, med att hitta en generell metod för att lösa tredjegradsekvationer. Misslyckanden som till stor del har berott på vilka talmängder man hade att tillgå. I antikens Grekland vållade problemet med kubens fördubbling stora bekymmer för dåtidens tänkare. Man ville veta hur kanterna på två kuber förhåller sig, om den ena kubens volym är dubbelt så stor som den andra kubens volym. I dag vet vi att förhållandet mellan kanterna måste vara 1: 3 2. Tyvärr erkände man bara tal som gick att skriva som bråk (rationella tal, Q), och eftersom 3 2 är ett irrationellt tal lyckades man inte lösa problemet.
3
2
Niccolò Fontana Tartaglia (1499–1557)
Det sägs att matematikern Niccolò Fontana Tartaglia närmade sig en generell lösning. Mot tysthetslöfte avslöjade han sin idé för matematikern, läkaren och astrologen Girolamo Cardano, som helt fräckt tog idén och presenterade den som sin. Så här angav Cardano en lösning till ekvationen x3 + p x = q Beräkna först k =
1
78
02_2c kap 2_220114.indd 78
p3 q2 + 27 4
Om k > 0 så är en rot x = 3
q + k + 2
3
q − k 2
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-01-17 11:17
Fjärde- och femtegradsekvationen I samband med lösningen för tredjegradsekvationen presenterade en av Cardanos elever, Ferrari, den allmänna lösningen till fjärdegradsekvationer.
Bedriften brukar ofta tillskrivas norrmannen Niels Henrik Abel och fransmannen Évariste Galois, som båda för övrigt fick korta och tragiska liv.
Många gav sig nu i kast med femtegradsekvationen. Efter nästan 300 år skulle det visa sig att försöken varit lönlösa. I början av 1800-talet kunde man nämligen visa att det inte går att hitta allmänna lösningsformler för ekvationer av högre grad än fyra.
Abel dog i lungsot endast 26 år gammal, två dagar innan meddelandet om att han antagits som professor i matematik. Galois, som kommit på kant med både skolan och samhället, dog blott 20 år gammal i en duell som ska ha handlat om politik och en kärlekstvist.
Girolamo Cardano (1501–1576)
1 Från babylonisk tid kan vi hitta denna ekvation, omskriven med moderna symboler: 120 x – 120( x – 2) = 10 x( x – 2) Ekvationen ger inköpspriset x (shekel/säckar) för att vid vissa villkor få vinsten 10 shekel. Lös ekvationen och bestäm inköpspriset. 2 Flera av personerna i texten var astronomer och kalenderskapare. Varför har matematik spelat en så stor roll inom t.ex. astronomin, tror du? 3 Vissa ekvationer av högre grad kan vi lösa utan komplicerade metoder. 3
Lös tredjegradsekvationen 5x = 40
2.1 ANDRAGRADSEKVATIONER OCH ROTEKVATIONER
02_2c kap 2_220114.indd 79
Niels Henrik Abel (1802–1829)
4 Vilket är det högsta gradtalet på de ekvationer där vi kan hitta allmänna lösningsformler? 5 Vi har tredjegradsekvationen x 3 + 5x = 8 a) Beräkna talet k med Cardanos metod (dels som ett närmevärde, dels som ett exakt tal i bråkform). b) Lös ekvationen med Cardanos metod. 6 Från en av Tartaglias ekvationslösningsdueller: Ett träd, 12 m högt, bryts av så att den avbrutna delen är kuben på den del som står kvar. Hur hög är den del som står kvar? Lös ekvationen med Cardanos metod och kontrollera med räknarens ekvationslösare.
79
2022-01-17 11:17
Programmering
Lösningsformel för andragradsekvationer Skriv ett program som löser andragradsekvationer på formen x 2 + px + q = 0 där p och q är konstanter.
1 FÖRSTÅ x 2 + 6 x – 16 = 0 är ett exempel på en ekvation på formen x 2 + px + q = 0. I det fallet är p = 6 och q = –16.
2 PLANERA A Resultat
C Variabler
Om programmet ska lösa ekvationen x 2 + 6 x – 16 = 0 vill vi att det skriver ut följande resultat:
Programmet ska använda följande variabler:
Ekvationen har lösningarna x1 = 2 och x2 = -8
B Lösning Ekvationer på formen x2 + px + q = 0 har lösningarna 2
x1 = –
p p + −q 2 2
• p för värdet på p • q för värdet på q • x1 för ekvationens första lösning • x2 för ekvationens andra lösning. D Algoritm Programmet ska skrivas i följande ordning: • Spara värdet 6 i variabeln p. • Spara värdet –16 i variabeln q. 2
2
x2 = –
p p – −q 2 2
• S para uttrycket –
p p + − q i variabeln x1. 2 2
• S para uttrycket –
p – 2
2
p 2 − q i variabeln x2.
• Skriv ut ekvationens lösningar.
80
02_2c kap 2_220114.indd 80
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-01-17 11:17
3 GENOMFÖRA – KODA I programspråket Python3 skriver vi programmet så här: p = 6 q = -16
x1 = -p/2 + ((p/2)**2 - q)**0.5 x2 = -p/2 - ((p/2)**2 - q)**0.5
print(”Ekvationen har lösningarna x1 =”, x1, ”och x2 =”, x2)
4 TESTA OCH VÄRDERA Programmet kan lösa andragradsekvationer som har reella lösningar. Men om ekvationen saknar reella lösningar skrivs inget resultat ut.
Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin. 1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och kontrollera att det fungerar. 2 Ändra i programmet i uppgift 1 så att följande resultat skrivs ut om p = –4 och q = 5: Ekvationen saknar reella lösningar.
3 Ändra i programmet så att följande resultat skrivs ut om p = 2 och q = 1: Ekvationen har en dubbelrot: x1 = x2 = -1
4 Använd programmet för att lösa ekvationerna. a) x 2 – 8 x – 9 = 0 b) x 2 – 0,88 x + 0,19 = 0 x 2 – =0 c) x 2 – 3 3
2.1 ANDRAGRADSEKVATIONER OCH ROTEKVATIONER
02_2c kap 2_220114.indd 81
5 a) Skriv ett program som löser andragradsekvationer på formen a x 2 + b x + c = 0. b) Använd programmet för att lösa ekvationen 8x 2 – 56 x – 480 = 0. 6 a) Skriv ett program som finner en lösning till tredjegradsekvationer på formen x 3 + px = q genom att använda Cardanos formel: x =
3
q + k + 2
3
q − k 2
p3 q2 + 27 4 b) Använd programmet för att lösa ekvationen där k > 0 och k =
x 3 + x = 12.
81
2022-01-17 11:17
Aktivitet Termosen I den här aktiviteten ska du ställa upp matematiska modeller som beskriver hur temperaturen hos en varm vätska i en termos avtar med tiden. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att formulera en matematisk modell utifrån en verklig situation. Materiel: En termos med varm dryck, där starttemperaturen och temperaturen efter några timmar är känd, termometer 1 a) Bestäm med hjälp av dessa mätvärden dels en linjär, dels en exponentiell modell för hur dryckens temperatur beror av tiden. b) Skissa två grafer som beskriver hur temperaturen förändras beroende på tiden utifrån de två modellerna.
2 a) Bestäm när termosen ska öppnas och beräkna med de två modellerna dryckens temperatur vid denna tidpunkt. b) Öppna termosen vid den bestämda tidpunkten och mät temperaturen. Vilken modell stämmer bäst med verkligheten? Kan modellen förbättras på något sätt?
Radioaktiva pärlor I den här aktiviteten ska du simulera radioaktivt sönderfall genom att kasta en mängd pärlor. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att formulera en matematisk modell utifrån en verklig situation. Materiel: Ca 200 pärlor Arbeta gärna i par eller grupp 1 Kasta alla pärlor på golvet eller på ett stort bord. Beräkna andelen pärlor som står upp (= atomkärnor som sönderfaller). Upprepa försöket några gånger och beräkna medelvärdet av andelen sönderfall vid ett kast. 2 Plocka efter varje kast bort de pärlor som sönderfallit innan du kastar igen. a) Hur många kast behövs för att hälften av pärlorna ska vara kvar? b) Ställ upp en exponentiell modell för sönderfallet och gör en beräkning. Jämför med resultatet i a).
122
02_2c kap 2_220114.indd 122
3 Fortsätt kasta pärlorna och plocka bort de som sönderfaller allteftersom. a) Hur många kast behövs för att 90 % av pärlorna ska sönderfalla? b) Gör en beräkning med modellen och jämför med resultatet i a). 4 Analysera resultatet av simuleringen. a) Jämför de olika gruppernas resultat. b) Vilka felkällor finns? c) Hur kan simuleringen förbättras?
ALGEBRA OCH ICKE-LINJÄRA MODELLER
2022-01-17 11:18
Aktivitet Randvinklar I den här aktiviteten ska du undersöka vinklarna i figurer som är inskrivna i en cirkel. Syftet är att bli bekant med de geometriska begreppen medelpunktsvinkel och randvinkel samt upptäcka sambanden som gäller mellan dessa. Materiel: Applikation som du hittar på nok.se/matematik5000plus
Öppna applikationen. På cirkelns rand finns fyra punkter markerade med A, B, C och D. Cirkelns medelpunkt, M, är också markerad. 1 Cirkelbågen mellan A och B visas om du klickar i rutan. a) Vinkeln A M B kallas medelpunktsvinkel. Vinklarna ACB och A DB kallas randvinklar. De har sin spets på cirkelns rand. Klicka i rutorna för att se de olika vinklarna. Pröva att flytta på randvinklarna. b) Ställ in medelpunktsvinkeln 100°. Avläs storleken på de två randvinklarna. c) Ställ in medelpunktsvinkeln 34° respektive 200°. Avläs storleken på de två randvinklarna. d) Vilket samband gäller mellan medelpunktsvinkeln och en randvinkel på samma cirkelbåge? e) Vilket samband gäller mellan randvinklar på samma cirkelbåge? f) Hur stor är randvinkeln om cirkelbågen är en halvcirkel?
2 a) Visa fyrhörningen ABCD genom att klicka i rutan. Ändra utseendet på fyrhörningen genom att flytta punkterna. b) K licka i rutan för att se vinklarnas storlek. Beräkna summan av vinkel A och C och summan av vinkel B och D. c) Flytta punkterna så att en ny fyrhörning visas och beräkna samma vinkelsummor som i b). Hur vill du formulera resultatet? Kan du bevisa din upptäckt? (Klicka i rutan Medelpunktsvinklar.) 3 I figuren sammanfaller ett av randvinkelns ben med cirkelns diameter. a) Vilket samband finns mellan sträckorna AM och CM? b) Vilket samband finns mellan vinkeln MAC och vinkeln x? c) A nvänd yttervinkelsatsen och skriv ett samband mellan medelpunktsvinkeln y och randvinkeln x. Grattis, du har nu bevisat randvinkelsatsen för detta specialfall. C
C
D
x M
M y B
A
A B
3.2 NÅGRA KLASSISKA SATSER I GEOMETRI I
03_2c kap 3_220116.indd 161
161
2022-01-17 12:03
Aktivitet Dynamisk geometri I den här aktiviteten ska du rita, lösa problem och undersöka samband med ett dynamiskt geometriprogram. Syftet är att förstärka förståelsen för olika geometriska begrepp. Materiel: Dator eller räknare med ett dynamiskt geometriprogram
Vi inleder med ett exempel som anknyter till den inledande aktiviteten i början av detta kapitel. Exempel En fyrhörning har hörnen i punkter med koordinaterna (–3, 5), (3, 2), (1, –2) och (–2, –3). Sidornas mittpunkter är hörn i en annan fyrhörning. A
5
Utför mätningarna 1 − 4 för att undersöka följande:
4
• Vilket är förhållandet mellan de två fyrhörningarnas areor?
3
• Vilken typ av fyrhörning är den inskrivna fyrhörningen? • Vad händer om något av hörnen A, B, C eller D flyttas. 1 Rita fyrhörningen med hörnen i de givna punkterna och mät arean med programmet (27,5 a.e.).
E
B
2 H
1 F
–3
–2
–1
2
1
3
–1
2 Markera sidornas mittpunkter, skapa en fyrhörning med hörnen i dessa punkter och mät arean (13,75 a.e.).
–2 G D
C
–3
3 Mät sidor och vinklar i den inskrivna fyrhörningen. 4 Flytta något hörn i den ursprungliga fyrhörningen och gör om mätningarna.
3
Obs! Konstruktionerna kan hjälpa oss att finna resultat och samband, men räknas inte som bevis.
180
03_2c kap 3_220116.indd 180
E B
2 1
Resultat Förhållandet mellan fyrhörningarnas areor är alltid 2:1. Den inskrivna fyrhörningen är alltid en parallellogram.
A
H –3
–2
F
–1
2
1
3
–1 –2 G D
C
–3
gEOMETRI
2022-01-17 12:03
1 a) Rita en triangel med sidorna 20, 48 och 50 längdenheter. b) Mät triangelns vinklar. Är triangeln rätvinklig?
6 a) Konstruera en cirkel med två kordor enligt figuren. D
B
2 a) Rita en fyrhörning som liknar följande figur. A
D
E
C C
B
b) Mät fyrhörningens vinklar och beräkna vinkelsumman. c) Undersök fler fyrhörningar med liknande utseende. Har de samma vinkelsumma?
b) Flytta punkterna B, C, D och E och visa med mätningar att kordasatsen alltid gäller. 7 a) Konstruera några olika trianglar, där de tre vinklarnas bisektriser är inritade. Vad upptäcker du?
3 Kan du konstruera en triangel med sidorna 3, 4 och 8 längdenheter?
b) Konstruera några olika trianglar, där sidornas mittpunktsnormaler är inritade. Vad upptäcker du?
4 a) Rita i ett koordinatsystem en linje genom A (–1, 3) och B (5, 12).
c) K an du konstruera en triangel där alla bisektriser och mittpunktsnormaler skär varandra i en och samma punkt?
b) Hur lång är sträckan A B? c) Bestäm mittpunkten på sträckan A B. d) Bestäm ekvationen för linjen genom A och B. 5 a) Konstruera en cirkel med en medelpunktsvinkel och en randvinkel.
8 a) Rita en linje L och en punkt P. Placera punkt 1 mitt emellan punkt P och linjen, enligt figuren. Placera punkt 2 till höger så att det vinkelräta avståndet från linjen L är lika med avståndet till P.
D
P
B
2 1
A
L
C
b) Flytta punkterna B, C och D och visa med mätningar att randvinkelsatsen alltid gäller.
3.3 NÅGRA KLASSISKA SATSER I GEOMETRI II
03_2c kap 3_220116.indd 181
b) Markera på motsvarande sätt fler punkter vars vinkelräta avstånd till L är lika med avståndet till P. Punkterna ligger på en kurva. Vad kallas denna kurva?
181
2022-01-17 12:03
Kvartiler och percentiler I föregående avsnitt bestämde vi lägesmåttet median genom att placera våra mätvärden i storleksordning och ange värdet i mitten. Delar vi storleksordnade värden i fyra eller hundra lika delar kan vi ange två andra lägesmått. De kallas kvartiler och percentiler. Exempel
På Statistiska Centralbyråns (SCB:s) hemsida fanns ett år följande lönestatistik för Sveriges 4,3 miljoner anställda. Percentil
Kvinnor
10
25
50
75
90
Genomsnittlig månadslön
23 400
26 700
31 200
38 200
47 300
34 400
Män
24 500
28 100
33 700
42 000
55 000
37 900
Totalt
23 900
27 400
32 400
40 000
51 200
36 100
Hur ska värdena i tabellen tolkas? Tabellen delar in månadslönerna i grupper med hjälp av percentiler. För kvinnor var 10:e percentilen 23 400 kr. Det betyder att 10 % av alla anställda kvinnor hade en månadslön som var mindre än 23 400 kr och att 90 % av kvinnorna hade högre lön. För män var 75:e percentilen 42 000 kr. Det betyder att 75 % av alla anställda män hade en månadslön som var mindre än 42 000 kr och att 25 % hade en högre lön. Percentiler används framför allt när det statistiska materialet är stort. Man bestämmer percentilerna genom att först placera alla värden i storleksordning och sedan dela in materialet i 100 lika stora grupper. Gränserna mellan grupperna kallas percentiler och betecknas P1, P2, P3 ... P99
Percentil
208
2c Kap 4.indd 208
Om den n:te percentilen är Pn = a innebär det att n % av materialet har värden som är mindre än a.
statistik
2022-01-17 14:27
median
kvartil
50:e percentilen, P50, delar ett storleksordnat material i två lika stora delar och är alltså detsamma som medianen. 50 % av värdena är mindre än medianen och 50 % är större än medianen. Vi kan dela in ett storleksordnat material i fyra lika stora delar med hjälp av tre kvartiler. Vi får då en fjärdedel av värdena i varje del. ◗ 25 % av värdena är mindre än första eller nedre kvartilen Q1. ◗ 50 % av värdena är mindre än andra kvartilen Q2 (medianen). ◗ 75 % av värdena är mindre än tredje eller övre kvartilen Q3. Vi presenterar två sätt att beskriva spridningen av värden:
Variationsbredd
Variationsbredd = Största värdet – Minsta värdet
Kvartilavstånd
Kvartilavstånd = Övre kvartilen – Nedre kvartilen
Vi sammanfattar begreppen genom att rita en rad med prickar som symboliserar värden från en undersökning placerade i storleksordning.
Variationsbredd
Kvartilavstånd
25 %
25 %
25 %
25 %
............................................................
Största värdet
Halvor (2 delar)
Minsta värdet
Kvartiler (4 delar)
Median
Q1
Percentiler (100 delar)
.........................
Q2 .........................
P25
4.1 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT
2c Kap 4.indd 209
.........................
P50
Q3 .........................
P75
209
2022-01-17 14:27
4123
Vid en statistisk undersökning fann man att det största värdet var 150 och att det minsta värdet var 30. a) Bestäm variationsbredden. b) Den 85:e percentilen var 120. Vad betyder det? a) Variationsbredden = Största värdet – Minsta värdet = = 150 – 30 = 120 b) Det betyder att 85 % av värdena är under 120 och 15 % är över 120.
4124
Tabellen visar lönestatistik för 4,3 miljoner anställda i Sverige under ett år. Lönerna är angivna i kronor. Percentil 10
25
50
75
90
Kvinnor
23 400
26 700
31 200
38 200
47 300
Män
24 500
28 100
33 700
42 000
55 000
Totalt
23 900
27 400
32 400
40 000
51 200
a) Vilken var medianlönen för männen? b) Beräkna och tolka kvartilavstånden för lönerna i tabellen. c) Hur många anställda i Sverige tjänade år 2020 mindre än 27 400 kr? a) Medianen = 50:e percentilen. Medianlönen för män var 33 700 kr. b) Kvartilavstånd = P75 – P25 Kvinnor: 38 200 kr – 26 700 kr = 11 500 kr Män: 42 000 kr – 28 100 kr = 13 900 kr Totalt: 40 000 kr – 27 400 kr = 12 600 kr Tolkning: Kvartilavståndet 12 600 kr anger följande: Om vi tar bort den fjärdedel som tjänade mest och den fjärdedel som tjänade minst är spridningen bland resten 12 600 kr. c) 25:e percentilen är 27 400 kr. 25 % av 4,3 miljoner = 0,25 · 4,3 miljoner ≈ 1,1 miljoner Svar: Ca 1,1 miljoner anställda tjänade mindre än 27 400 kr.
210
2c Kap 4.indd 210
statistik
2022-01-17 14:27
1
2
4125 Ett företag med 850 anställda redovisar följande lönestatistik:
4129 Vid en undersökning av ljudnivån i decibel (dB) på en arbetsplats gjordes 200 mätningar.
P10 = 24 400 kr (P10 = 10:e percentilen) P50 = 31 600 kr P70 = 35 200 kr P95 = 68 500 kr a) Vilken är medianlönen? b) Hur många procent av de anställda tjänar mer än 68 500 kr? c) Hur många anställda tjänar mellan 24 400 kr och 35 200 kr? 4126 På ett museum undersökte man åldern på besökarna under några dagar. Den yngsta var 2 år och den äldsta 88 år.
Bestäm talet n. 4130 Följande gäller: Variationsbredden = 65 Kvartilavståndet = 32 Minsta värdet = 14 Nedre kvartilen = 20 Bestäm de av följande värden som går att beräkna från informationen ovan:
a) Bestäm variationsbredden.
A Största värdet
b) Lars säger att medianåldern var 45 år eftersom det är mitt emellan 2 och 88 år. Har han rätt? Motivera.
C Övre kvartilen
4127 Resultaten på intelligenstester fördelar sig så att den nedre kvartilen är IQ = 90 och den övre kvartilen IQ = 110. a) Bestäm kvartilavståndet. b) Hur många procent har IQ > 110? Motivera.
Percentil 3:e
15:e
50:e
85:e
97:e
Flickor
7,2
7,9
9,0
10,2
11,4
Pojkar
7,9
8,7
9,7
10,9
12,0
Stämmer följande påståenden? Motivera dina svar. A 70 % av alla 1-åriga flickor väger mellan 7,9 och 10,2 kg. B Medelvikten för 1-åriga pojkar är 9,7 kg. C Det är ungefär lika många pojkar (1 år) som väger mindre än 8,7 kg som flickor (1 år) som väger mer än 10,2 kg.
4.1 LÄGESMÅTT OCH SPRIDNINGSMÅTT
B Medianen D Medelvärdet E 25:e percentilen. 4131 På en gymnasieskola gjorde 80 elever samma matteprov. Maxpoängen var 40 p. Av resultaten kunde man utläsa följande: Q1 = 15 p
4128 Tabellen visar några percentiler för 1-åringars kroppsvikt i kg.
2c Kap 4.indd 211
Mellan medianen som var 61 dB och den n:te percentilen, som var 75 dB, låg 60 mätvärden.
Q2 = 22 p
Q3 = 32 p
Wilma hade 27 poäng på provet. Hon resonerar som så: 20 elever hade resultat över Q3 40 elever hade resultat över Q2 Eftersom jag hade ett resultat mitt emellan Q2 och Q3 borde det vara 30 elever som hade bättre resultat än jag. Har Wilma rätt eller fel? Motivera ditt svar. 4132 I tabellen på sidan 210 kan man avläsa att P50 är 32 400 kr och att genomsnittlig månadslön för samtliga anställda är 36 100 kr. Förklara varför värdena skiljer sig åt.
211
2022-01-17 14:27
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp. 1 I ett statistiskt material kan median, medelvärde och typvärde vara samma tal. 2 Median och kvartilavstånd är exempel på spridningsmått. 3 Om tre heltal har variationsbredden 14, medianen 30 och medelvärdet 30 så är det minsta talet 24.
Grupp A Grupp B 40
50
60
70
80
90
4 Variationsbredden anger hur största värdet avviker från medianen.
10 I ett normalfördelat material ligger ungefär 34 % av värdena över medelvärdet.
5 Både medelvärde och kvartiler kan avläsas i ett lådagram.
11 Standardavvikelse är ett mått på hur mycket de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medianen.
6 Den 25:e percentilen och den nedre kvartilen har samma värde. 7 Ungefär 25 % av värdena i ett statistiskt material ligger mellan medianen och den övre kvartilen. 8 Vid linjär regression innebär korrelationskoefficienten r = –0,9 en starkare korrelation än r = –0,5.
238
2c Kap 4.indd 238
9 Figuren visar lådagram för mätvärden i två grupper. Den 70:e percentilen för grupp B är större än den 70:e percentilen för grupp A.
12 Hos ett normalfördelat material ligger ca 50 % av observationerna i intervallet medelvärdet ± 1 standardavvikelse (μ ± σ). 13 I ett normalfördelat material med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 10 har cirka 16 % av observationerna ett värde som är mindre än 90.
statistik
2022-01-17 14:27
Sammanfattning 4 Lägesmått
Korrelation
För ett statistiskt material gäller:
Om det finns ett linjärt samband mellan två variabler kan det beskrivas med en regressionslinje. Hur stark korrelationen är anges med korrelationskoefficienten, r.
• Typvärdet är det vanligast förekommande värdet. • Medianen är värdet i mitten då talen är ordnade i storleksordning. Om två tal står i mitten är medianen medelvärdet av dessa. • Medelvärdet betecknas x för en hel population och μ för ett stickprov. Medelvärdet =
Summan av värdena Antalet värden
Spridningsmått
stark positiv korrelation r=1
svag positiv korrelation 0<r<1
stark negativ korrelation r = −1
svag negativ korrelation −1 < r < 0
Exempel på spridningsmått: Variationsbredd = Största värdet – Minsta värdet Kvartilavstånd = Övre kvartil – Nedre kvartil Övre och nedre kvartil får vi genom att först dela värdena i två halvor med hjälp av medianen. Nedre kvartilen är sedan medianen av den nedre halvan och övre kvartilen är medianen av den övre halvan. Nedre kvartilen Q1, medianen Q2 och övre kvartilen Q3 delar det statistiska materialet i fjärdedelar. Min
Nedre kvartil
Median
Övre kvartil
Max
kvartilavstånd Variationsbredd
På motsvarande sätt kan man dela in ett storleksordnat material i hundradelar. De 99 gränserna kallas percentiler och betecknas P1, P2, P3 osv. Om P3 = 125 betyder det att 3 % av värdena är mindre än 125 och 97 % är större än 125.
ingen korrelation r=0
Standardavvikelse Spridningsmåttet standardavvikelse är ett mått på hur de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medelvärdet. En stor standardavvikelse betyder stor spridning och tvärtom. Standardavvikelsen becknas s för en hel population och σ för ett stickprov. Normalfördelning En normalfördelad population med medelvärdet μ och standardavvikelse σ fördelar sig enligt följande kurva: 34,1% 34,1% 2,3%
2,3%
13,6%
13,6%
2
2 68,2% 95,4%
Normalfördelningskurvan (den gröna ovan) är alltid symmetrisk kring medelvärdet.
statistik
2c Kap 4.indd 239
239
2022-01-17 14:27
Kan du det här? Delkapitel
BEGREPP
4.1 Lägesmått och spridningsmått
Medelvärde, median och typvärde
• bestämma medelvärde, median och typvärde
Variationsbredd Kvartil och kvartilavstånd
• bestämma variationsbredd, kvartiler och kvartilavstånd
Percentil
• konstruera och tolka lådagram
Standardavvikelse Korrelation och korrelationskoefficient 4.2 Normalfördelning
Normalfördelning
PROCEDUR
• bestämma och tolka percentiler • beräkna standardavvikelse med hjälp av ett digitalt verktyg. • avläsa och tolka data med hjälp av en normalfördelningskurva • bestämma sannolikheter hos ett normalfördelat material med hjälp av ett digitalt verktyg.
240
2c Kap 4.indd 240
statistik
2022-01-17 14:27
Testa dig själv 4 4.1 Lägesmått och spridningsmått 1 Under två veckor avlästes kl 12.00 följande temperaturer (°C): –3 3 –2 1 0 –3 4 –2 0 –1 –2 1 –1 –2
4 En undersökning av mobilanvändandet på en skola med 894 elever visade följande resultat: Värdet på den 15:e percentilen var 2 timmar per dag. Hur många elever använde mobilen mer än 2 timmar per dag?
a) Bestäm variationsbredden.
5 Agnes påstår att det finns stark negativ korrelation mellan variablerna i tabellen.
b) Bestäm medianen. c) Bestäm övre kvartilen. d) Bestäm kvartilavståndet. e) Hur påverkas medianen om det största värdet tas bort? 2 Almin undersökte batteritiden på ett stort antal bärbara datorer. Han visade resultatet i ett lådagram.
Undersök om det stämmer genom att göra en linjär regression och tolka resultatet.
Antalet frånvarotimmar
Antalet poäng på ett prov
10
5
2
22
5
15
0
25
8
11
2
20
4.2 Normalfördelning 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 h
Är påståendet sant eller falskt? Motivera.
6 Ett normalfördelat material har medelvärdet 440. 10 % av värdena ligger mellan 440 och 480.
b) Medelvärdet var 5 h.
Rosa påstår att man utan räknare kan bestämma andel värden som ligger mellan 400 och 440, men inte andelen mellan 480 och 520.
c) Variationsbredden var 11 h.
Stämmer det? Motivera.
a) Det var fler datorer med batteritid mellan 2 h och 5 h än mellan 5 h och 6,5 h.
d) 75 % av datorerna hade en batteritid på mer än 2 timmar. 3 Ludvig tränar längdhopp. Tabellerna visar två stickprov av hans träningsresultat.
7 Livslängden (antal körda mil) för bildäcket RubberGold 5000+ antas vara normalfördelad med medelvärdet 3 600 och standardavvikelsen 600.
Vilket av stickproven visar störst spridning? Motivera ditt svar. Stickprov 1 n Medel σ s
6 510.8333 44.2509 48.4744
Stickprov 2 n Medel σ s
8 520.625 41.9075 44.8009
2 400
3 000
3 600
4 200
4 800
mil
Hur stor andel av däcken a) kan köras mellan 3 000 och 4 200 mil b) behöver bytas före 3 000 mil c) kan köras mer än 4 000 mil?
STATISTIK
2c Kap 4_220117.indd 241
241
2022-01-17 18:26
Blandade övningar 4 1 Utan digitala verktyg
2
1 Ett normalfördelat material har medelvärdet 8,0 och standardavvikelsen 2,0.
4 Tre olika, positiva heltal har medelvärdet 6, medianen 8 och variationsbredden 8.
Hur många procent av observationerna ligger inom det färgade området?
a) Vilka är de tre talen? b) Albert påstår att man kan bestämma de tre talen även om man bara känner till medelvärdet och medianen. Är detta sant? Motivera ditt svar. 5 En veckas mätningar av kvävedioxid på en trafikerad gata har visat följande:
4
6
Den 98:e percentilen för medelvärdet under en timme är 90 μg/m3 (mikrogram per kubikmeter).
8 10 12
2 Under en säsong spelar Kevin golf 13 gånger. Hans resultat under säsongen blev: 81 82 100 86 89 91 85 91 99 87 101 83 95 a) Bestäm medianen. b) Bestäm nedre och övre kvartil.
3
Förklara vad det betyder.
6 Vid ett språktest deltog 200 elever från Skola A och 200 elever från Skola B. Maximipoängen var 80. Resultatet framgår av lådagrammen.
c) Är det sant att kvartilavståndet är mindre än halva variationsbredden? Motivera ditt svar.
Skola A Skola B
d) Presentera Kevins resultat i ett lådagram. 3 Figuren visar två normalfördelningskurvor. B
A
Är det sant att a) B har ett större medelvärde än A? b) B har mindre standardavvikelse än A? Motivera ditt svar.
0
20
40
60
80
Poäng
Kan lådagrammet för samtliga 400 elever ha följande utseende? Motivera ditt svar.
0
20
40
60
80
Poäng
7 Ett normalfördelat material har medelvärdet µ. 47,7 % av värdena återfinns i intervallet a ≤ x ≤ µ. a) Teckna ett uttryck för standardavvikelsen. b) I vilket intervall finns ca 95 % av värdena symmetriskt fördelade runt medelvärdet?
242
2c Kap 4.indd 242
statistik
2022-01-17 14:27
1
Med digitala verktyg
8 Priset på en dator av samma modell i fem slumpvist utvalda butiker var (kr): 5 395 5 495 5 995 6 495 6 595
2 10 Tabellen visar medeltemperaturen på en ort i Sverige några dagar under en oktobermånad.
a) Bestäm medianen, variationsbredden, medelvärdet och standardavvikelsen. b) Anta att butikerna med priserna 5 495 kr respektive 6 495 kr byter pris till 5 795 kr respektive 6 195 kr. Bestäm nu de statistiska måtten i a) och förklara varför värdet är detsamma eller har ändrats. 9 Roger har konstaterat att vikten på de räkor han fångar är normalfördelade med medelvärdet 12 g och standardavvikelsen 2 g. a) Hur stor andel av räkorna väger mellan 10 g och 16 g? b) De räkor som väger mindre än 8 g går inte att sälja. Hur många räkor kan han sälja om han fångar 3 000 räkor? c) Hur många räkor behöver han fånga för att få 500 räkor som väger 15 g eller mer?
Datum
Temperatur (°C)
5
8,5
10
9,2
15
6,7
20
7,0
25
6,2
30
4,0
a) Bestäm med linjär regression en ekvation som beskriver sambandet mellan temperaturen y° C och månadens datum x. b) Medeltemperaturen den 20:e har blivit fel i tabellen. Det rätta värdet ska vara 5,2.
3
Blir korrelationen starkare eller svagare med det korrekta värdet? Motivera ditt svar.
11 Fem olika positiva heltal har medelvärdet 60, medianen 70 och variationsbredden 90. Ett av talen är 55. Undersök vilka de andra talen kan vara. 12 En forskare väljer slumpmässigt ut några päron från ett genmodifierat päronträd och väger dem. De väger (i gram): 145 176 123 132 196 171 169 117 154 146 165 151 156 129 160 a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse för detta stickprov. b) För ett annat stickprov på 10 päron är medelvärdet 160 g och standardavvikelsen 23,5 g. Vad händer med medelvärdet och standardavvikelsen i detta stickprov om ytterligare två päron med vikterna 140 g och 180 g räknas med?
statistik
2c Kap 4.indd 243
243
2022-01-17 14:27
SVAR Kapitel 1 1104 a) 7x + 3y Ledtråd: En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. b) 7 x − 3y c) 3 x − y Ledtråd: En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort om man då ändrar tecken för alla termer i parentesen. d) 7x − y 1105 a) –2 x 2 – 5 x + 4 b) –2 x 2 – 11x + 14 c) 2 a – 2
1110 a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken framför. 2. Han multiplicerar inte –3 med båda termerna i andra parentesen. b) 30 – ( x – 6) –3(6 – x) = = 30 – x + 6 – 18 + 3 x = = 2 x + 18 1111 a) 4b – a b) a2 + b2 Ledtråd: –(a – b)b kan skrivas –b(a – b) c) 6 x + 6 y d) 16x 2 + 15 1112 a) Uttryckets värde är 14.
d) 2
b) Uttryckets värde är 20.
1106 a) 11x – 17
c) Uttryckets värde är 1.
b) x + 2 Lösning: 3 x – 2(5 + x) + 12 = = 3 x – 10 – 2 x + 12 = =x+2 c) –2a + 6 d) 11 y – 20 1107 Uttryckets värde är 17. Lösning: x = –3 insatt i x 2 – 2 x + 2 ger (–3)2 – 2 ∙ (–3) + 2 = = 9 + 6 + 2 = 17 1108 A = A1 + A 2 2
a(a + 2) = a + 2a 1109 a) (4 x + 260) m Ledtråd: Kortsidan är x m. Långsidan är ( x + 130) m. b) (x 2 + 130 x) m 2
d) Uttryckets värde är –2. 1113 a) Nej. a–b≠b–a Motivering: T.ex: 5–3=2 3 – 5 = –2 Allmänt gäller a – b = –(b – a) b) Ja. a∙b=b∙a Motivering: ab = ba
c) 2 x3 – 21 x 2 – 18 x
06_Facit 2c_220117.indd 256
b) Nej. Förklaring: a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + 3) + (a + 4) + + (a + 5) = 6a + 15 = = 3(2a + 5) Summan är alltid delbar med 3 men inte med 6. 1121 a) y = 6 b) x = 3/4 = 0,75 c) x = −1/3 d) z = 1/2 = 0,5 1122 a) y = x + 3 b) y = x 1123 a) y = 6 – x b) y = 3 x + 2
c) y = 5x d) y = −3x c) y = 4 x + 5z d) y = 2 x – 1 c) z = 8 d) x = 4
1125 a) y = 4 x – 5
b) 4 x3 – 3 x 2 – x
256
1117 a) Ja. Förklaring: Om det första talet är a så kan summan skrivas a + (a + 1) + (a + 2) + + (a + 3) + (a + 4) = = 5a + 10 = 5(a + 2)
b) y = –2
1114 a) 0
d) 3 x – x y – y
1116 Uttryckets värde är 60.
1124 a) x = 5
c) Nej. a b ≠ b a Motivering: 5≠2 2 5 a = b gäller endast om b a a=b
2
1115 Arean är ( x 2 + 4 x) cm 2 . Ledtråd: Basen b = x cm Höjden h = (2 x + 8) cm
2
b) y = 13 – 3 x c) y = –6 x – 5 1126 a) x1 = −7
x2 = 4
b) x = 4 1127 a) x = 9
b) x = 30
1128 Ekvation: 5 x = 3(x + 90) En konsertbiljett kostar 225 kr. 1129 Ekvation: 2 ∙ 3 x + 2 ∙ 4,5 x = 210 x = 14 cm
SVAR
2022-01-17 18:39
1130 a) I
h=
A b
1206 a) m = 15 000 Antal invånare var 15 000 år 2010.
II h = 2A b 2A III h = a+b
b) k = −225 Befolkningen minskade med 225 personer per år.
A h 2A II b = h 2A –a III b = h 1131 a) x = 40/7 Ledtråd: Multiplicera båda leden med MGN = 8 x. b) I
b=
b) y = 6/5 Ledtråd: Multiplicera båda leden med MGN = 24. c) x = 35/2 d) y = 12/5
1207 Linjen skär x-axeln där x = 4 dvs i punkten (4, 0). Ledtråd: På x-axeln är y = 0.
1133 a) y = 5 x 6 Ledtråd: Multiplicera alla termer med MGN = 5 x y. xz b) y = z−x
1208 a) Ljusets höjd är 75 mm. b) Tiden är 3,2 h. c) y = 200 – 25 t 1209 y = −3 Ledtråd: Beräkna först linjens k-värde. 1210 Linjernas ekvationer är y = 3 x + 5 och y = – x – 5 4 4 2 2
1215 a) k = – 1
d) k = 1/3
b) T.ex. x = 2 Linjerna är vinkelräta eftersom y = 10 är en horisontell linje och x = 2 är en vertikal linje.
1216 A, C och E. De kan alla skrivas i formen ax + by + c = 0. 1217 a)
8
y
6 4
1202 a) y = 2x + 1
3
b) y = −2x – 5
x
8
1203 a) k = –0,5
6
4
2 0 2
b) k = 1
4
c) k = 2/3 ≈ 0,67
6
d) k = –3
8
4
b) L1: y = x + 2 2 L2: y = −2x – 3
1204 a) y = 4x – 14 b) y = –3x + 7 1205 a) och b)
2
c) Skärningspunkt: (−2, 1)
y = 2x – 3
1218 1−D, 2−A, 3—B, 4−C
y 4
1219 a) y = –5x + 5
2
6
1221 Elvi har rätt. Linjerna är vinkelräta. Motivering: Linjerna kan skrivas x y = och y = −2x + 3,5 2 k1 = 1/2 och k 2 = –2 vilket ger k1 ∙ k 2 = –1 1222 a) T.ex. y = x − 1 4 Linjerna är parallella eftersom de har samma k-värde, 1/4.
c) k = 0
b) k = 3
1220 Lösning: y = –3x + 1 och x = –1 ger y = –3 ∙ (–1) + 1 = 4 5x – 3y = –17 och x = –1 ger 5 ∙ (–1) – 3y = –17 – 3y = –12 y=4
1211 f(x) = −2x – 4
1132 Talen är 55, 65 och 130.
b) y = 3x – 11 Ledtråd: Lös ut y för att kunna avläsa linjens k-värde.
1223 a kan anta alla värden utom −1. Motivering: Linjerna har olika m-värden. De skär alltid varandra i en punkt om de inte är parallella. De kan alltså inte ha samma k-värde. 1224 a) 2y – x – 5 = 0 b) 3y + x – 10 = 0 c) y – 2x – 1 =0 1225 a = 4, b = 3 och c = −90 Ledtråd: Bestäm k och m med hjälp av figuren. Omvandla linjens ekvation på k-form till allmän form.
x 2
2
2
4
4 y = –1,5x + 4
SVAR
06_Facit 2c_220117.indd 257
257
2022-01-17 19:14
Lena Alfredsson • Sanna Bodemyr • Hans Heikne
Matematik
2c
Matematik
5000
5000
2c
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021 – med programmering och användning av digitala verktyg.
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Digitala verktyg såsom kalkylprogram i teori, övningar och aktiviteter Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Aktivitet, Tema och Historik bidrar till en varierad undervisning Kapitelavslutning som grundligt befäster begrepp och procedurer Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar Problemlösning med programmering i alla kapitel
ISBN 978-91-27-46057-7
9 789127 460577
M5000Plus_Blå_2c_16 mm rygg.indd 1-3
2c
2022-01-17 17:00