i n t e n s i vt rän i n g i m at emati k
HANDLEDNING
Tal i procentform Kunskapskrav åk 6
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 1
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
2019-06-05 14:56
i nt e n sivträn i ng i matematik
Materialet Intensivträning i matematik är ett hjälpmedel för att genomföra intensivundervisning, och bygger på den forskning och beprövad erfarenhet som beskrivs längre fram. Materialet består av en handledning och ett elevhäfte för vart och ett av de matematiska områden som ingår i serien.
Elevhäfte Det här elevhäftet omfattar 14 tillfällen och varje tillfälle utgör vanligtvis två uppslag, ibland bara ett. Första uppslaget, eller vänster sida, gör eleven tillsammans med läraren i skolan. Andra uppslaget, eller höger sida, med rubriken Hemma förbereder du och eleven i skolan. Sedan gör eleven uppgifterna hemma med en förälder, eller med läxhjälp i skolan. Efter en del hemmauppgifter står det Kontrollera och läs i facit. Facit till de uppgifterna finns på sista sidan i elevhäftet, och förutom rätt svar finns förklaringar till en del av lösningarna. Under Kommentarer i elevhäftet kan föräldern skriva hur hemarbetet har fungerat, eventuella frågor och hur eleven upplevt arbetet. Längst ned på sidan finns Lärandemål som gäller för det aktuella tillfället. Det sista tillfället är en sammanfattning av det eleven har arbetat med i häftet.
Handledning Innan ni startar arbetet med materialet bör du läsa igenom hela inledningen så att du vet hur det är tänkt att användas, och är väl insatt i problematiken kring begreppsförståelse, svårigheter och missuppfattningar vid tal i procentform. Till varje tillfälle i elevhäftet finns utförliga förslag på hur du och din elev kan arbeta med innehållet. I handledningen finns följande rubriker: • Lärandemål: Lärandemål för just detta tillfälle. • Material: Vad ni behöver ta fram till tillfället. • Att ta hem: Material som eleven ska ha med sig hem inför hemmauppgifterna. • Genomgång inför uppgift X: Förslag på hur undervisningen kan genomföras. Det är inte läraren som berättar hur allt fungerar, utan du och eleven för en dialog kring det nya begreppet eller
räkneoperationen som ni tillsammans undersöker genom att arbeta med konkret material, bilder och slutligen det formella symbolspråket. På sidan 6 finns förslag på olika frågeställningar som ger upphov till resonemang. • Eleven gör uppgift X: Förslag på vad du kan observera, vilket kan innebära att ställa övergripande eller direkta frågor kring viktiga begrepp samt ibland ge förslag på samband och fördjupning. • Förbered hemmauppgift X: Här förklaras uppgifter som avviker, eller spel där eleven först behöver genomgång i skolan. • Sammanfatta: Förslag till resonemang om samband och jämförelser kring inforutan, som fokuserar på det begrepp eller de räkneoperationer som ni arbetat med.
Undervisningstillfälle Intensivundervisning innebär att läraren undervisar en elev. Ibland kan två eller tre elever fungera, om eleverna har samma kunskapsbehov. Förbered varje tillfälle genom att läsa igenom uppslaget i handledningen, kopiera eventuella arbetsblad och se till att material finns så att själva undervisningstiden kan utnyttjas effektivt. Genomför arbetet med uppgifterna i elevhäftet och anteckna sådant som bör följas upp vid ett senare tillfälle. Ett positivt avslut på lektionen är viktigt, så avrunda alltid med något som eleven klarar bra. Det är också viktigt att allt som eleven ska göra hemma har introducerats i skolan, och att eleven får med sig både häftet och det material som behövs. Tanken är att ni ska hinna ett tillfälle i elevhäftet under ett undervisningstillfälle, men det är givetvis bara du som kan avgöra i vilken takt just din elev kan arbeta. Vid behov kan innehållet delas upp på två undervisningstillfällen, t ex om eleven behöver arbeta med förkunskaper. Det går även att hoppa över aktiviteter om eleven behärskar ett moment väl eller om du bedömer att något är för avancerat för eleven. Anteckna alltid på kopieringsunderlag K2, Elevuppföljning.
2
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 2
2019-06-05 14:56
Färdighetsträning För att utveckla hållbara räknestrategier och kunna göra effektiva beräkningar måste eleven ha god förståelse för tal och tals egenskaper, samt förstå vad det innebär att operera med tal (McIntosh, 2008). Kunskap om grundläggande talkombinationer samt förståelse för positionssystemet och räkneoperationer utgör grunden för att kunna hantera de fyra räknesätten med flersiffriga tal. Färdighetsträning är viktigt, men ska alltid sättas in sent i en undervisningssekvens eftersom den bygger på att eleven förstår det som hen ska öva på. Det tar tid att befästa nya kunskaper. I elevhäftet finns förslag på miniräknarövningar och spel att prova.
Målgrupp för detta häfte Innehållet i detta häfte är tänkt för elever på mellanstadiet som behöver lärarledd intensivundervisning med fokus på tal i procentform. Det kan vara elever som är osäkra på procentbegreppet och räkneoperationer med procent, eller kopplingen till tal i bråkform och decimalform. Att en elev inte kan hantera procent beror ofta på missuppfattningar och bristande kunskaper kring bråk samt kring positionssystemet. Detta leder i sin tur till att elevens möjligheter att lära sig många andra aspekter av tal och tals användning begränsas eller hindras. Ju tidigare skolan kan hjälpa dessa elever desto bättre. Det kan betyda mycket för deras självförtroende och framtid.
Diagnos För att ta reda på vilka elever som har nytta av att arbeta med detta häfte kan du använda kopieringsunderlaget K1 Diagnos 1 i klassen. Men tänk på att en skriftlig diagnos är ett osäkert instrument för att ensamt mäta begreppsförståelse. Du bör därför följa upp med muntliga frågor till en del elever.
Förkunskaper • Grundläggande kunskaper om tal i bråkform samt att förlänga och förkorta bråk. • Förtrogenhet med positionssystemets idé om enhetsgruppering, positionsvärde och nollans funktion. • Samband mellan tal i bråkform och decimalform. • Multiplikation och division med 10 och 100 vid tal i decimalform.
• Kunskaper om centrala räknemetoder för tal i decimalform: överslagsräkning, huvudräkning, skriftliga räknemetoder och miniräknare, inklusive avrundning. • Kunna välja lämplig räknemetod, och vid huvudräkning en effektiv räknestrategi.
Lärandemål • Kunna visa på sambanden mellan bråkform, decimalform och procentform. • Kunna tolka, rita och skriva tal i procentform. • Kunna välja lämplig räknemetod vid beräkningar med procent. • Kunna lösa olika typer av problemuppgifter med procent i vardagssituationer.
Material Här följer en lista över det material som ni behöver vid de olika tillfällena utöver pennor, färgpennor, blankt- och rutat papper, saxar och linjal. Korten från K4 bör finnas med vid samtliga undervisningstillfällen. Material Tillfälle K3 Hundradelar, talsortsrutor och sifferkort 1 K4 Bråkform, decimalform och procentform 1, 3 K5 Arbetsblad till tillfälle 2 2 K6 Decimalsystemet och sifferkort 5, 7 K7 Färdighetsträning A 5, 6, 7 K8 Färdighetsträning B 8, 9, 11 Kuvert 1 Enkronor 3, 9 Räkneloppor 3, 10, 12, 13 Tavellinjal 5 Stickor 6 Måttband 6, 9 Miniräknare 8, 9, 11, 14 Tärning 1–6 8 Gem 8 Snöre 9 Röd penna 12 Blå penna 12 Mobiltelefon 13 Lärplatta 13 Färgpenna 13
Eleven kan rita eller skriva anteckningar på lösa papper, om det på vissa uppgifter inte ryms i häftet.
3
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 3
2019-06-05 14:56
1 Jämföra procent med bråk och decimaltal Lärandemål: ⋆⋆ Kunna uttrycka hundradelar i bråkform, decimalform och procentform, och använda dessa samband vid 100 %, 50 %, 25 %, 10 % och 1 %. Material: Kuvert, K3 och K4. Förberedelser: Kopiera två exemplar av K3 på kraftigt färgat papper, och ett exemplar av K4 på kraftigt papper. Klipp ut och plasta in alla kort från K4. Sätt ett gummiband omkring de kort som inte ska användas vid detta tillfälle. Att ta hem: Kuvert med korten från K4 som används vid det här tillfället. Eleven får inleda med att repetera förkunskaper med hundradelar vid bråk och decimaltal samt sambanden mellan dessa två. Det lägger grunden för förståelsen av sambanden mellan procent, bråk 24 och decimaltal, t ex 24 % = 100 = 0,24. Det är viktigt att eleven får arbeta konkret med hundradelar och kommunicera både muntligt och skriftligt. För att bli säker på sambanden med decimaltal och bråk bör eleven använda korten med procenttalen vid varje tillfälle nu i början, även om det inte står utskrivet.
Genomgång inför uppgift 1 Hjälps åt att klippa ut kvadrater samt tiondelar och hundradelar från K3. Ni behöver 20 lösa hundradelar och 80 i tiogrupper, det vill säga 8 remsor med 10 hundradelar i varje. • Lägg fram en kvadrat med hundrarutor. – Hur många rutor består kvadraten av? (100) – Jämför rutornas storlek. Vad kan du säga om dem? (lika stora) – Vad kan du kalla varje ruta i kvadraten om de är lika stora? (hundradel) – Hur många hundradelar består en remsa/spalt av? (tio) – Hur många hundradelar är två remsor? Tre? Fyra? – Hur många hundradelar är tre remsor och fem lösa rutor? (35 hundradelar) – Hur skriver man 35 hundradelar som bråk? 35 ) ( 100
Samtala om begreppens namn vid t ex
35 100 :
▶ Bråkstrecket
35 100
kan vara både vågrätt och lodrätt, = 35/100.
▶ Täljaren
förtäljer (räknar), det vill säga talar om hur många delar det är. Här är det 35 delar.
▶ Nämnaren
är namnet på delarna, här hundradelar.
35 Samtala om att 100 är ett enda tal trots att både 35 och 100 finns med.
24 • Skriv några bråktal med hundradelar, t ex 100 , 7 82 och . Låt eleven visa talen genom att lägga 100 100 hundradelar på den tomma kvadraten. Säg sedan några andra tal med hundradelar som eleven visar och skriver som bråk.
• Lägg tal med hundradelar i kvadraten och låt eleven skriva dem i bråkform och sedan säga dem. • Jämför bråktal och decimaltal. Låt eleven konkret 21 visa talet 100 som bråk och lägga motsvarande decimaltal med sifferkort i talsortsrutor/ positionsrutor: 0,21. Jämför tiondelar och hundradelar och samtala om att man säger 21 och 0,21, ”tjugoen hundradelar” både för 100 men att de skrivs olika. Uppmärksamma eleven på att 0,21 även kan utläsas som ”två tiondelar och en hundradel”, men eftersom ni här ska jämföra bråk och decimaltal, och sedan även procent, blir det enklast att enbart använda hundradelar. Det är viktigt att eleven läser 0,21 som tjugoen hundradelar och inte bara säger noll komma tjugoett. • Säg tal som 35 hundradelar, 4 hundradelar och 52 hundradelar. Låt eleven visa talen både med bråkmaterial och med sifferkort i talsortsrutor samt läsa dem. • Skriv tecknet %. Fråga eleven när det används och vad det betyder. Förklara att ordet procent kommer från per cento som betyder per hundra, alltså hundradel. Samtala om att 21 % utläses 21 procent och innebär 21 hundradelar, och alltså 21 och 0,21. motsvarar 100
12
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 12
2019-06-05 14:56
Bråkform
Decimalform ental
21 100
0
,
tiondelar
hundradelar
2
1
Procentform
21 %
• Skriv de tre rubrikerna som på bilden ovan. Låt eleven visa ett tal med bråkmaterial (K3), och fylla i de två övriga uttrycken. Resonera om hur många hundradelar av kvadraten som inte är täckta av de färgade hundradelarna och låt eleven uttrycka den delen med procent. Förvissa dig om att eleven har uppfattat att 100 % innebär att hela figuren är täckt. Du avgör hur många exempel eleven bör göra.
Eleven gör uppgift 1
5 Observera om eleven skriver 100 korrekt i decimalform (0,05). Skriver eleven rätt antal procent för den omålade delen? Låt eleven muntligt förklara en av raderna. Jämför procenttalen för den målade och den omålade delen av kvadraten, och samtala om att det är 100 % tillsammans.
Genomgång inför uppgift 2
100 • Skriv 100 och låt eleven visa talet med bråkmaterial. Resonera om att hela kvadraten täcks 100 kan uttryckas som en hel (1). och att 100 En hel är alltså 100 %.
10 • Skriv 100 och låt eleven visa bråket med bråkmaterial. Låt eleven skriva uttrycket som 10 1 = 10 . Samtala om att bråket kan tiondelar: 100 uttryckas både som hundradelar och tiondelar, och hur man kan se det med bråkmaterialet. 1 10 är alltså 10 %.
50 • Visa talet 100 med bråkmaterialet och låt eleven skriva talet. – Hur stor del av kvadraten är täckt av de färgade hundradelarna? Hur skulle man kunna uttrycka 50 5 = 10 = 12 ) det på olika sätt? ( 100 – Hur många procent är alltså hälften av en figur? Låt eleven skriva 50 % = 12 . 25 Visa sedan talet 100 25 % med bråkmaterialet som på bilden. – Hur stor del av kvadraten är täckt av de färgade hundradelarna? Hur skulle man kunna uttrycka 25 = 1 = hälften av hälften) det på olika sätt? ( 100 4 – Hur många procent är alltså en fjärdedel av en figur? (Låt eleven skriva 25 % = 14 .)
• Samtala om tabellen i inforutan på sidan 3 i elevhäftet och tydliggör att man har stor nytta av att kunna dessa jämförelser.
Eleven gör uppgift 2 Är det något uttryck som eleven behöver hjälp 50 kan skrivas 0,5 eller 0,50. Skriv med? Ta upp att 100 med hundradelar (0,50) för att direkt kunna läsa 50 %.
Genomgång inför uppgift 3 Blanda de 12 första korten från K4. Låt sedan eleven sortera dem och lägga 3-grupper med kort som visar samma värde i bråkform, decimalform och procentform. Samtala om sambanden och att man har stor nytta av att lära sig dem.
Eleven gör uppgift 3 Verkar eleven säker på samtliga tal? Resonera annars om de tal som hen är osäker på, och använd konkret material.
Förbered hemmauppgift 4–5 Uppgift 4: Jämför med uppgifterna på sidan 2 och
visa att eleven ska jämföra tal i decimalform med procent, samt bråktal med procent. Inget nytt tillkommer.
Uppgift 5: Ta bort ett kort ur bunten, som eleven ska få med sig hem, utan att eleven ser vilket. När eleven sorterat korten hemma ska hen avgöra vad det står på kortet som saknas, och skriva det i häftet.
Sammanfatta Samtala om inforutan på sidan 3 i elevhäftet. Fråga eleven om det är något som hen är osäker på och vill resonera mer om.
13
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 13
2019-06-05 14:56
2 Procent vid del av helhet Lärandemål: ⋆⋆ Kunna förklara att det är helheten som delas som avgör storleken av t ex 50 %. ⋆⋆ Kunna tolka och rita 100 %, 50 % och 25 % av enkla figurer. Material: K5. Andelen i procent av helhet bygger på kunskaper om bråk som del av helhet. I det här tillfället möter eleven hel, halv, fjärdedel och tiondel, som i procentform uttrycks som 100 %, 50 %, 25 % och 10 %. Det är viktigt att eleven blir medveten om dessa samband och kan utnyttja dem. De här procenttalen utgör sedan hållpunkter för beräkning av procent med huvudräkning och överslagsräkning. Utan förståelse för detta blir procenträkning lätt ett mekaniskt chansräknande.
Låt eleven sortera några av de kort som hen har med sig hemifrån, samt muntligt förklara sambandet mellan 12 , 0,5 och 50 %. Fråga om det är någon av hemmauppgifterna som hen skulle vilja resonera om.
Genomgång inför uppgift 1–3 Använd underlag med figurer från K5, A–D. A. Låt eleven måla 50 % av varje rektangel på olika
sätt. – Jämför storleken av de målade delarna. Vad kan du säga om dem? (lika) – Hur kan man vara säker på att de är lika stora? (Alla rektanglar är lika stora och 50 % är hälften.) Klipp gärna de målade delarna i bitar så att de kan jämföras genom att läggas ovanpå varandra, t ex så här:
C. Dela rektangeln på mitten med ett lodrätt streck. – Hur många procent av hela rektangeln är en av delarna? (50 %) – Hur kan du enkelt dela för att få en del som är 25 % av hela rektangeln? Samtala om att man kan ta hälften av en figur för att få 50 % och hälften av hälften för att få 25 %. Gör sedan på motsvarande sätt med cirklarna och jämför de olika stora fjärdedelarna som var och en är 25 % av cirklarna.
rektangeln? Låt eleven visa och rita 10 % (varje rutspalt motsvarar 10 %). – Hur kan man bestämma 20 %, 30 %, 40 % osv. av rektangeln?
E. – Hur kan man markera en del som är ungefär
10 % av rektangeln? Låt eleven visa och rita 10 %. Samtala om att man kan mäta ena sidan och dela med 10. Längden 50 mm 10 = 5 mm. Varje 10 %-del är 5 mm bred. – Hur kan man bestämma 20 %, 30 %, 40 % osv. av rektangeln? • Titta på inforutan på sidan 5 i elevhäftet och resonera om procent av helhet.
Eleven gör uppgift 1–3 Uppgift 1: Låt eleven förklara hur hen bestämde
50 % respektive 25 %.
Uppgift 2: Resonera med eleven om hur delarna
a
a
Klipp ut a och lägg den ovanför b.
sätt, t ex lodrätt, vägrätt eller diagonalt. – Jämför storleken av de målade delarna. Vad kan du säga om dem? (olika) – Hur kan delarna vara olika stora när alla är 50 %? Resonera utifrån elevens förslag om att storleken av 50 % (hälften) beror på storleken av den helhet som man tar 50 % av. Jämför 50 % av ett A4-papper, en bok, en bordsyta, en golvyta m.m.
D. – Hur kan man markera en del som är 10 % av
Uppföljning av senaste tillfället
b
B. Låt eleven måla 50 % av varje kvadrat på samma
b
kan vara olika stora fast alla är 50 %.
Uppgift 3: Resonera med eleven om hur delen som
är 50 % kan vara större än den som är 100 %.
Jämför med 50%.
14
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 14
2019-06-05 14:56
Gör uppgift 4 tillsammans Låt eleven läsa instruktionen och förklara vad hen ska göra. Påpeka att uppgifterna är lite kluriga så eleven ska inte låta sig luras. Låt eleven lösa en uppgift i taget och förklara varför hen valde 50 %, 25 % eller inget av dem. Resonera sedan om elevens svar och vad som kan vara klurigt i respektive uppgift. A. Kvadraten är genom diagonalerna delad i fjärdedelar. (25 %) B. Kvadraten är indelad i fyra delar, men hur stor del av kvadraten är den målade delen? Man får tänka sig hur många delar, lik den målade, som hela figuren består av. Här är det fyra. (25 %) C. Ena halvan är målad. Att det är en halvcirkel spelar ingen roll. (50 %) D. Den omålade delen är mycket större än den målade. Här måste man dela in i lika stora delar som den målade. (25 %) E. Även här får man dela in cirkeln i lika stora delar
som den målade. (25 %)
F. Cirkeln är delad i fyra delar men delarna är inte
lika stora, alltså inte fjärdedelar.
Eleven gör uppgift 5 Uppgiften kräver ingen ny genomgång. Låt eleven förklara sin lösning av några deluppgifter.
Förbered hemmauppgift 6–9 Visa att eleven har gjort liknande uppgifter tidigare.
Sammanfatta Samtala om inforutan på sidan 5 i elevhäftet. Fråga sedan eleven om det är något som hen är osäker på och vill resonera mer om.
15
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 15
2019-06-05 14:56
Intensivträning i matematik bygger på forskning om intensivundervisning, och är ett material för elever som av någon anledning har missat grundläggande begrepp. Dessa elever kan genom en intensivinsats få möjlighet att hämta upp kunskaper, knäcka en viktig matematisk kod och vara med på banan igen! Intensivträning i matematik innebär att en elev får en-till-en-undervisning utöver undervisningen i klassen. Det sker under en begränsad tid, ungefär 30 minuter per dag, 4 – 5 dagar/vecka. Varje undervisningstillfälle har ett eller två uppslag i elevhäftet. Där finns också uppgifter och aktiviteter som eleven ska göra hemma. Till varje elevhäfte finns en handledning med aktiviteter, uppgifter och utmanande frågor. Handledningen har en tydlig arbetsgång att följa vid varje undervisningstillfälle. Arbetsgången ger eleven möjlighet att arbeta konkret, använda språket och att utveckla inre föreställningar som stöd för abstrakt tänkande och för att generalisera.
Tal i procentform Häftet är tänkt för elever som är osäkra på procentbegreppet och växling mellan bråk, decimaltal och procent. Eftersom kunskaper om bråk och decimaltal krävs för att kunna räkna med procent är det viktigt att kartlägga dessa kunskaper innan eleverna påbörjar detta häfte. Lärandemålen är: ⋆ Kunna visa på sambanden mellan bråkform, decimalform och procentform. ⋆ Kunna tolka, rita och skriva tal i procentform. ⋆ Kunna välja lämplig räknemetod vid beräkningar med procent. ⋆ Kunna lösa olika typer av problemuppgifter med procent i vardagssituationer. Följande häften siktar mot kunskapskraven i åk 6 och tar upp de vanligaste områdena som brukar vara förknippade med svårigheter för elevers lärande i matematik: I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
I N T E N S I VT RÄN I N G I M AT EMATI K
Tal i bråkform
Tal i decimalform
Tal i procentform
Algebra
Textuppgifter
Räknemetoder
Tabellkunskaper
Ingrid Olsson & Görel Sterner
Namn
NATUR & KULTUR Box , Stockholm Kundservice: Tel - , kundservice@nok.se nok.se Order och distribution: Förlagssystem, Box , Stockholm Tel - , order@forlagssystem.se fsbutiken.se Projektledare Veronica Thurén Textredaktör Eva Berg Grafisk form Kari Wahlström Foto Shutterstock (s. ) Förlaget Natur & Kultur är en stiftelse som utan ägare kan agera självständigt och långsiktigt. Vårt mål är att genom stöd, inspiration, utbildning och bildning verka för tolerans, humanism och demokrati.
Ingrid Olsson & Görel Sterner
Namn
Ingrid Olsson & Görel Sterner
Namn
Ingrid Olsson & Görel Sterner
matte
Namn
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
matte
Namn
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
matte
Namn
matte
matte
Ingrid Olsson & Görel Sterner
Namn
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen och får ej helt eller delvis kopieras. Kopiering är inte tillåten för undervisningsändamål. Detta gäller ej kopieringsunderlagen. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
© Ingrid Olsson, Görel Sterner och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Estland Första upplagans första tryckning ISBN --- -
ISBN 978-91-27-43835-4
9 789127 438354
iMatte4-6_handledning_procentform.indd 48
2019-06-05 14:56