9789147046706

Den didaktiska teori som utvecklas är knuten till Vygotskijs språkteoretiska tänkande och till de tal och de taloperationer som grundskolans elever möter. Bokens didaktiska perspektiv låter sig emellertid överföras till andra ämnen och andra åldersgrupper, och har betydelse för matematiklärandet generellt.

Marit Johnsen Høines är lärarutbildare i matematik vid Høgskolen i Bergen

matematik verksamhetsteoretiska perspektiv

som språk

Marit Johnsen Høines

och har lång erfarenhet som klasslärare på låg- och mellanstadiet.

verksamhetsteoretiska perspektiv

I Matematik som språk visar Marit Johnsen Høines hur barns informella språk och matematiska insikt kan bilda grunden för att lära sig matematik. Ett problemlösande förhållningssätt och ett språkligt perspektiv på matematiken ger läsaren insikter i hur barn utvecklar sitt talbegrepp och lär sig algoritmer.

Författaren uppmuntrar till en språklig mångfald där barnen talar, leker, ritar och skriver matematik, där matematik blir till ett kreativt samarbetsämne för både lärare och elever.

Texten är uppbyggd av verkliga exempel på ett sådant sätt att praktik förmedlar teorin och teorin förmedlar praktik.

Matematik som språk

Matematik som språk

Marit Johnsen Høines

Best.nr 47-04670-6 Tryck.nr 47-04670-6-07

liber

Ma som spra�k - omslag.indd 1

13-05-22 16.56.41

Marit Johnsen Høines

matematik som språk verksamhetsteoretiska perspektiv

liber

Ma som spra�k - s 1-8.indd 3

10-02-22 08.12.15

Förord Barnens möte med skolmatematiken kan framstå som problematisk.

Avståndet mellan den formella matematiken och barnens bakgrunds­ kunskaper kan vara stort. Den här boken vill medverka till att de for­ mella matematikkunskaperna skall bli en del av elevernas kunskaper, så att de tänker genom dem och argumenterar med hjälp av dem.

Jag imponeras ständigt av vad barn kan, hur de förmår att hålla översikt, hur de ”kommer underfund med”. Som lärare i grundskolan upp­ levde jag igen och igen att eleverna inte använde de här kunskaperna på matematiklektionerna. Det var som om de inte vore aktuella, som om eleverna inte såg de sammanhang vi arbetade utifrån när vi planerade.

Det var tankeväckande att eleverna inte reagerade på orimliga uppgifts­ svar eller att de frågade: ”Skall jag multiplicera eller dividera?” Sådana tankeställare bidrar till att utveckla undervisningen. Det blir möjligt att säga något om vilket förhållande vi vill att eleverna skall ha till kunska­ perna genom att titta på hur det inte skall vara. Så enkla var egentligen utgångspunkten och motivationen till det utvecklingsarbete som lade grunden till den här boken.

Det är naturligt att referera till den betydelse Piagets teori om intel­ ligensutveckling har haft för matematikundervisningen. En konstrukti­ vistisk syn på lärandet, en som bygger på att barn utvecklar kunskap genom erfarenheter och genom att handskas med kunskap, ligger i linje med läroplanerna i de nordiska länderna och med den pedagogiska diskussion som pågår ute i skolorna. På senare tid har man med stöd i Vygotskijs teori betonat språkets betydelse för lärandet.

I den här boken tar jag upp ämnen som jag anser är centrala hos Piaget och Vygotskij. Eftersom dessa båda teoretiker på vissa områden står i ett tydligt motsatsförhållande till varandra är det viktigt att ha klart för sig att en teori egentligen är en abstrakt modell av verklighe­ ten. En teori är inte det samma som verkligheten. Snarare då en bild av den, en som fångar centrala delar av den. Därför kan varken Piagets eller Vygotskijs teorier vara de enda sanna beskrivningarna av verklig­

Ma som spra�k - s 1-8.indd 5

10-02-22 08.12.16

heten. Det vore riktigare att säga att de är redskap som beskriver endast vissa aspekter av den. Därmed blir alla teorier otillräckliga.

Boken är ett resultat av ett utvecklingsarbete som pågått under många år, från arbete i klassrummet i början på åttiotalet. Praktiskt arbete födde ett behov av djupare teoretiska kunskaper. Det utvecklades till ett växelspel; praktiken drog nytta av teorin, samtidigt som den belyste den. Mot bakgrund av denna växelverkan utvecklade jag en teori om språk och lärande där översättningsled är ett centralt begrepp.

Jag hoppas att boken ger en bild av samspelet mellan teori- och prak­ tikutveckling, och att andra inspireras till liknande arbetsformer.

Många personer har gjort det här arbetet möjligt. Eleverna har varit min viktigaste kunskapskälla, speciellt är jag eleverna vid Kirkevoll skola stort tack skyldig. Alla projekt har sina kritiska faser. För en osä­ ker grundskolelärare var det av ovärderlig betydelse att någon trodde på mitt arbete innan det blivit skrivna ord och färdiga teorier. Stieg Mellin-Olsen gav mig modet att fortsätta, han stödde mig i uppfatt­ ningen att de kunskaper jag fann hos eleverna var viktiga. Han visade mig på teoretiska spår. Otto Bekken visade mig i startfasen vilken plats hans historiska material intog i förhållande till mitt arbete. Det blev naturligt att inleda boken med detta. Gunnhild Jonassen var en god kollega och diskussionspartner. Jag har henne och hennes elever mycket att tacka för när det gäller stora delar av kapitel 4.

Studenter och kolleger i grundskola och lärarutbildning har givit mig inspiration att fortsätta projektet. Boken, som den föreligger i dag, är en utökad bearbetning av den tidigare utgåvan. Det är många som förtjänar ett tack för bistånd i den här fasen, särskilt Einar Jahr, som stött mig mycket generöst. Kapitel 3 har bearbetats i samråd med honom. År 1997 började norska sexåringar i skolan. Vi fick en ny läroplan.

Bearbetningen av boken är en konsekvens av detta. Jag hoppas att denna nya utgåva kan ge studenter och lärare ett behövligt stöd för att möta skolans utmaningar. Och jag hoppas att det skall finnas utrymme att utveckla matematikundervisningen i samspel med planer och läro­ medel – men utan att ”gå i takt”.

Marit Johnsen Høines

Ma som spra�k - s 1-8.indd 6

10-02-22 08.12.16

”Matematik var ett frustrerande ämne. Det var frustrerande för att man hela tiden var på jakt efter rätt svar. Givetvis var det frustrerande var gång mitt svar ­ inte var rätt, men det var lika illa de gånger jag kom fram till rätt svar, eftersom jag ju inte hade förändrats på vägen dit.”

Vi bör kunna vända lärarkandidatens negativa uttalande till ett positivt mål för undervisningen i ämnet.

Ma som spra�k - s 1-8.indd 7

10-02-22 08.12.16

Ma som spra�k - s 1-8.indd 8

10-02-22 08.12.16

Innehåll 1

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling 11 Ett finger – ett märke – representerar en fisk 12 Utvecklingen av talsystem 12 Positionssystem 17 Mer om talsystemet 21 Räkning i andra talsystem än 10-talssystemet 25 Tal- och strukturförståelse. Språk och kultur 25

2

Möte med barnen 33 Hur tänker barn? 33 Utgå från barnens kunskaper 34 Lyssna aktivt. Låt barnen använda sitt språk 34 Räkneorden är en naturlig del av barns språk 36 Att räkna på fingrarna är också ett språk 37 Barn har flera uttryckssätt, flera språk 38 Vi räknar – tecknar och ritar antalsstreck 38 Dialog lärare – elev 40 Skriv hur många 40 Ett projekt 41 Vem har flest? 44 Addition/Subtraktion 48 Vi grupperar och systematiserar, utvecklar insikt i talsystemet 50 Exempel på att vi gör egna symboler och att vi skapar talsystem 53 Vi finner drag av systemet i vårt språk 54 Vi räknar dagar 55 Datumskrivning – ett sätt att mäta tiden 56 Ämnesintegrering – mot tema och projektarbete 57 Eleverna lär sig om symbolfunktionen och får matematisk insikt 63

Ma som spra k - s 9-10.indd 9

10-03-01 10.56.53

3

Teoribakgrund 67 Begreppsinnehåll och begreppsuttryck 68 Språk av första ordningen 74 Språk av andra ordningen 78 Översättningsled – ett nyckelbegrepp 83 För somliga är matematik svårt 85 Vygotskij: Språket är ett medel i begreppsutvecklingen 98 Piaget 105 Piagets uppfattning om talbegrepp 107 Vygotskij 118

4

5

Fler exempel från klassrummet 123 Mätning – ett viktigt matematiskt begrepp 123 Ungefär eller exakt? 125 Exempel från klassrummet 126 Barn lär genom lek 144 Med utgångspunkt i barns utveckling av algoritmer 149 Problemlösning 150 Problemlösning som en del av undervisning 154 Problemlösning på flera nivåer 159 Exempel på elevers lösning av addition med tiotalsövergång 162 Subtraktion 163 Subtraktion med tiotalsövergång 165 Problemet skall kunna relateras till en situation 173 Multiplikation 173 Flera tankemodeller befästes genom multiplikation 179 Flera tankemodeller befästes genom division 194 Den standardiserade divisionsalgoritmen 197 Varför har vi valt att lägga tyngdpunkten på de fyra räknesätten? 198 Konsekvenser för specialundervisning 200 Feltyper 203 Barns hemliga aritmetik 206

Litteratur 208

Ma som spra k - s 9-10.indd 10

10-03-01 10.56.54

1. Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling ”Vi fick så många fiskar” – Barnet håller upp fyra fingrar. Eller: ”Så många dagar fattas det till min födelsedag.” Vi har alla sett barn uttrycka sig på det sättet.

Man måste ibland komma ihåg antal eller kunna ge besked om antal. Är det naturligt för barnet att uppmärksamma fångstens storlek för att se hur stor den blir under hela fisketurens lopp?

Om du skulle be barnet göra det, skulle det enklaste vara att rita fiskarna. Några skulle då rita fiskar och andra skulle göra enklare figurer – kanske bara streck. Det kanske skulle vara mer tillfredsställande att bara lägga tändstickor på fönsterbrädet, rista skåror i båthusväggen eller skrapa märken i en bräda på bryggan?

11

Ma som spra k - s 11-32.indd 11

10-02-22 08.10.17

Matematik som språk

Ett finger – ett märke – representerar en fisk På samma sätt är det rimligt att anta att man började räkna redan i förhistorisk tid. (Att räkna betyder att med ord eller symboler markera vart och ett av elementen i en mängd.) Man har gjort arkeologiska fynd som styrker detta antagande. År 1937 fann man i Tjeckoslovakien ett 30 000 år gammalt vargben. Det återges här i tre olika positioner på figuren nedan.

Man har ristat in 55 skåror i grupper om 5 i det här gamla vargbenet.

De första 25 skårorna är åtskilda från de övriga av en skåra som är dubbelt så lång som de övriga. Vi tror att skårorna ristats in för att en människa velat räkna exempelvis ett visst antal djurhudar eller det antal dagar som gått sedan en viss händelse. Vi tror också att människan som ristade in markeringarna på benet lät en skåra representera ett föremål i den samling han tittade på. Om det är rätt kan vi notera två viktiga matematiska begrepp: Det ena är idén om ett till ett principen mellan elementen i två skilda mängder, i detta fall mellan mängden skåror i benet och mängden av det som personen räknade.

Det andra är idén om ett grundtal för ett talsystem.

Utvecklingen av talsystem Att skårorna ordnats i grupper på 5 och 25 tyder på en viss insikt om ett talsystem med grundtalet 5.

Vi kan redan nu peka på några förhållanden som kommer att ha betydelse för vår metodik: Föremålen som skall räknas En markering för varje föremål Markeringarna grupperas för att ge överskådlighet Markeringarna är skrivtecken Markeringarna är talsymboler – de visar antal…

12

Ma som spra k - s 11-32.indd 12

10-02-22 08.10.19

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling Har vi effektivare skrivtecken än dessa?

I det ovanstående fattas ett led. Barnet som visar antalet fiskar använder handen. Antalet fingrar är detsamma som antalet fiskar. Vi räknar med att detta är det äldsta sättet att kommunicera antal på. Övergången från handens fingrar till skrivtecken är enkel men principiellt viktig:

Handens fingrar, som ett uttryck i ett kroppsspråk, är ett flyktigt tecken.

Skrivtecknen ger en bestående uppgift med möjligheter att bevara kunskapen. Vygotskij säger att de första skrifttecknen kan ha varit ”partiella avbildningar av ett kroppsspråk”.

Om vi tänker på de romerska taltecknen ser vi hur väl det passar in: I II III IV V X L M C På vilket sätt kan vi använda en eller två händer för att framställa dessa taltecken? Nedan skall vi återge några talsystem som varit i bruk under olika historiska perioder. Vi ber läsaren att studera själva utformningen av tecknen och det sammanhang som finns mellan utformningen och det begreppsinnehåll som skall symboliseras.

Kan vi förklara något av detta för barn i fem- till sjuårsåldern? Kan vi låta barnen själva fantisera och konstruera skriftsymboler som de kan kommunicera med? Kan barnen skicka ”hemliga” meddelanden till varandra, där de själva skriver ”hur många” med hjälp av tecken?

Människan lärde sig först att räkna en – två – många.

Se figurerna nedan som exempel på tre = många.

Tre som flertal i det fornegyptiska språket

13

Ma som spra k - s 11-32.indd 13

10-02-22 08.10.21

Matematik som språk a) Flod = himlavalv med 3 vattenmuggar. b) Vatten = 3 × en våg. c) ”Många” plantor = 3 × en planta. d) Hår = 3 × hår. e) Gråta = ett öga med många (= 3) tårar. f) Rädsla = död gås med 3 vertikala streck.

Tre som flertal på kinesiska

a) Skog = 3 × ett träd. b) Päls (skinn) = 3 × ett hår. c) Alla = 3 × en man i boken. d) Tala utan uppehåll (mycket) = 3 × att prata (mun som orden kommer ur).

I flera språk, exempelvis egyptiska, hebreiska, sanskrit, arabiska och gotiska, har man haft ental, tvåtal och flertal.

Upprinnelsen till 2-talssystemet Antropologiska undersökningar styrker vårt antagande att förhistoriska talbegrepp har existerat. A.C. Haddon berättade 1889 om en stam vid Torres sund. Stammen hade inte något skriftspråk, men de räknade på följande sätt: 1 urapun 6 okosa 7 okosa – urapun 8 okosa – okosa 9 okosa – okosa – urapun 10 okosa – okosa – okosa 11 ras (många) Det kan se ut som om stammen hade början till ett talsystem med grundtalet 2. Vi finner också rester av blandade 10- och 20-talssystem i många språk, bland annat i franskans ”quatre-vingt-dix” och danskans ”firs” (fire sins tyve, dvs. 4 × 20).

Fingrarnas betydelse i vårt talsystem kan också ses i matematikböcker så sent som på 1400-talet, där det finns fingertecken för olika tal. Se illustrationen från Bede 1140 och Luca Pacioli 1494 samt Jacob Leo­ pold 1727.

14

Ma som spra k - s 11-32.indd 14

10-02-22 08.10.21

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling

Fingerräkning ur ”Summa de Arithmetica” av den italienske matematikern Luca Pacioli. Det är det första viktiga matematiska verk som trycktes och utgavs i Venedig 1494.

Hos inuiterna på Grönland märker vi tydligt vilken roll fingrarna spelat när man byggt upp talsystem: 1 atauseq 2 machdlug 3 pinasut 4 sisamat 5 tadlimat 6 achfineq-atauseq 7 achfineq-machdlug 8 achfineq-pinasut 9 achfineq-sisamat 10 qulit 11 achqaneq-atauseq 12 achqaneq-machdlug 13 achqaneq-pinasut 14 achqaneq-sisamat 15 achfechsaneq 16 achfechsaneq-autaseq

(1 (2 (3 (4

på på på på

andra andra andra andra

handen) handen) handen) handen)

(1 (2 (3 (4

på på på på

första första första första

foten) foten) foten) foten)

(1 på andra foten) 15

Ma som spra k - s 11-32.indd 15

10-02-22 08.10.24

Matematik som språk 17 achfechsaneq-machdlug 18 achfechsaneq-pinasut 19 achfechsaneq-sisamat 20 inuk navdlucho

(2 på andra foten) (3 på andra foten) (4 på andra foten) (slut på människa)

Mjölnarknutar användes av mjölnare i deras transaktioner med bagarna. Systemet användes fram till början av 1900-talet.

Figuren till vänster är en rysk ”skattebok” från mellersta Volga­om­rå­ det. För varje hushåll fanns en räknestav där man ristade in en identitetssymbol, antal medlemmar i hushållet och uppgift om hur mycket skatt man skulle betala. Varje räknestav mäter omkring 17 × 21 ×1,5 cm. Se figuren.

Figuren till höger visar en ”chimpu” av det slag som förekommer hos indianerna i Peru och Bolivia. Den visar talet 4 456. Den efterträdde ”quipun”.

16

Ma som spra k - s 11-32.indd 16

10-02-22 08.10.27

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling De första talsymbolerna avspeglar räknande och skapades antagligen för att hålla en mer varaktig översikt över egendom. Knutar på rep, repor i sten, ben eller trä. Efterhand blev det svårt och oöversiktligt. Det blev nödvändigt att utveckla ett system med gruppering.

Positionssystem Vetenskaplig kinesiska finner vi först i ”Sun-Tsu Suan-Ching”, som är en bok om aritmetik från ca år 100. Det var omkring år 1000 som man började använda symbolen 0 för noll. I övrigt är siffrorna:

När siffrorna från 1 till 9 förekommer i tiotalsposition skriver man dem på följande sätt:

Exempel: Talet 6 728 skrevs så här: Talet 7 777 skrevs så här: Talet 80 skrevs så här: Redan före det skrivna ordet hade människan symboler för tal, till och med mycket höga tal. På den fornegyptiske kungen Menes spira, från ca år 3000 f. Kr., finns följande inskription:

Symbolerna berättar att kung Menes hade 400 000 oxar, 1 422 000 getter och 120 000 fångar. De talen visas i figuren tillsammans med en bild av en oxe, en get och en fånge med händerna på ryggen.

17

Ma som spra k - s 11-32.indd 17

10-02-22 08.10.28

Matematik som språk Detta är egyptiska hieroglyfer. De utvecklades före år 3000 f. Kr. och användes vid stenåldersinskriptioner. Systemet har grundtal 10 och vidare följande symboler:

Vi kan skönja ett mönster eller ett system också när det gäller skrivningen av symboler under 10. Det har ett nära samband med att det är svårt att se fler än

Talen från 1 till 20 var:

Talen skrevs ofta från höger till vänster och värdena hos varje symbol adderades sedan. Men räkneföljden spelade egentligen ingen roll, tecknets position ger inget värde. Det var alltså inte något positionssystem.

Talet 2 345 678 skulle kunna skrivas på det här sättet av egyptierna:

Talet 234 kunde skrivas så här:

18

Ma som spra k - s 11-32.indd 18

10-02-22 08.10.33

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling Vi kallar den här grupperingsformen enkel additiv gruppering.

Maya (Mellanamerika)

Mayafolket hade ett positionssystem med grundtalet 20 som är överordnat ett additivt grupperingssystem med grundtalet 5. Talen skrevs vertikalt. Symbolen för 0 var 935 skrevs alltså på följande sätt: 2 × (20 × 20) 6 × 20 15 × 1 De använde emellertid 360 = 18 × 20 i stället för 400 = 20 × 20 för den tredje siffran vid tideräkning, men inte i andra sammanhang.

Här står det alltså 400, men om man anger tid betyder ­angivelsen 360.

När européerna kom hade mayakulturen passerat sin höjdpunkt (ca 700), men man hade en mycket avancerad kalender. Detta tyder på att man hade en väl utvecklad matematik. År 1560 brände biskop Diego de Landa alla deras skrifter. Det är därför omöjligt att i dag säga hur stora deras matematiska kunskaper egentligen var.

Exempel på tideräkning:

19 × 360 = 6 840

10 × 360 = 3 600

13 × 20 = 260

0 × 20

=

0

13 × 1 = 13 7 × 1 = 7 ––––– ––––– 7 113 3 607 19

Ma som spra k - s 11-32.indd 19

10-02-22 08.10.35

Matematik som språk

Uppgifter/Diskussion

1. Piaget hör till dem som hävdar att det finns mycket som tyder på att barns intelligensutveckling följer den historiska kunskapsutvecklingen. Där mänskligheten behövde lång tid på sig för att utveckla en bestämd kunskap är det rimligt att anta att det rör sig om en kunskap som barnen behöver god tid för att tillägna sig.

Ett exempel är utvecklingen av positionssystemet, som mänskligheten behövde flera tusen år för att fullborda. Det är också besvärligt för barn på lågstadiet.

Men hur är det då med antalsbegreppet?

Befinner barnen sig på ”ett-två-många-stadiet” innan de går vi­dare?

2. Gå noga igenom stadierna: Antal i en bestämd situation Kroppsspråk för att förmedla uppgifter om antal Skriftspråk Använd ett av de demonstrerade teckensystemen som exempel.

Redogör för hur man kan använda rollspel i en grupp barn för att visa övergången från ett stadium till ett annat.

Vilka möjligheter finns det att integrera en sådan uppläggning med andra ämnen i en förstaklass?

3. Samla laborativt material till undervisningen. Stenar, pinnar kottar och annat.

Visa hur materialet kan användas som tecken på vägen mot de siffertecken som barnen till sist skall lära sig.

Det finns flera olika möjligheter. Man kan utgå från de romerska siffrorna eller från mayafolkets system. Eller också kan man tillsammans med barnen utveckla ett eget siffersystem.

4. Positionssystemet är inte ett tema bara för nybörjarna. Det visar sig att även elever högre upp i klasserna har problem med att förstå talsystem. Att försöka skapa insikt i talsystemet är en pedagogisk utmaning även när man skall arbeta med decimaltal.

En fjärdeklass hade ett projekt där de skapade ett fantasiland på en ö. Det var ett projekt som gick över ämnesgränserna, och drama stod centralt. De hittade på ett eget talsystem och ett eget penning­ system. De kom på smarta, nya sätt att räkna på. a) Diskutera vilken form för insikt de kunde utveckla genom ett sådant projekt. b) Skissera exempel på liknande projekt. Tänk även på elever i andra åldersgrupper, kanske i 7:e eller 9:e klass.

20

Ma som spra k - s 11-32.indd 20

10-02-22 08.10.35

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling Litteratur Det finns gott om historisk litteratur om matematik. Vi rekommenderar Räknekonstens historia av George Ifrah. Den bästa källan på norska är Otto Bekkens Matematikk og samfunn. Den innehåller en fyllig litteraturhänvisning för dem som vill läsa mer.

Mer om talsystemet Den historiska orsaken till att vi fick ett siffersystem var att vi hade ett behov av att få översikt över större mängder.

Vi kan lätt ha översikt över 6–7 föremål: × × × ×

× × × × × ×

men inte över en mängd som den här: × × × × × × × × × × × × × × Det går lättare att få en uppfattning om den sista mängden om man delar in den i grupper: × × ×

× × × ×

× × ×

× × × ×

eller: × × ×

× × ×

× × ×

× × ×

× ×

Principen att dela in mängder, som vi vill ha ett talmässigt begrepp om, i lika stora grupper är grundvalen för siffersystemet.

I exemplet ovan har vi delat in 14 i 4 treor och 1 tvåa. Rent metodiskt kan vi förbereda det redan i första klass:

Exempel

En klass gör en trafikundersökning på gatan utanför skolan. Fyra elever åt gången räknar de bilar som går in mot staden och fyra åt gången de bilar som kommer från staden. De räknar bilar varje dag och skriver upp resultatet på följande sätt: /////

/////

/////

// 21

Ma som spra k - s 11-32.indd 21

10-02-22 08.10.35

Matematik som språk Eleverna antecknar statistiken på ett stort papper på väggen: Till staden

////

Från staden

/////

/////

Till staden

/////

///

Från staden

/////

/////

/

//

Man kan också gruppera uppgifterna på andra sätt, t.ex. i 3-or och 6-or. Men 5-or har den fördelen att vi kan använda handen aktivt tillsammans med eleverna. Vi kan lätt visa hur många bilar vi har räknat i dag.

Ser vi historiskt på utvecklingen hittar vi ett motsvarande schema: Man införde ett eget siffersystem för 10, 100 osv. När egyptierna skrev talet 343 gjorde de så här:

Det är en enkel princip som inte skapar några svårigheter för eleverna.

Man utvecklar ett nytt begrepp, i det här fallet ett tiotal. Man skapar en symbol för det begreppet. är ett annat tecken för På det här sättet kan man förbereda eleverna för siffersystemet innan det blir dags att skriva tal som är större än 10, tiotalsövergång osv.

Men systemet med många streck blir för enkelt. Talen blir långa när man skriver dem och det blir besvärligt att räkna med dem.

Den stora landvinningen i matematikens historia blir införandet av positionssystemet: I stället för att låta varje symbol ha ett bestämt värde låter man den plats där symbolen står bestämma vilket värde den skall ha.

Vi har sett hur mayafolket klarade sig med 3 symboler: sten, pinne och snäcka och lät positionerna ha värde efter hur högt de placerades. Hos mayafolket skrev man uppifrån och ned.

22

Ma som spra k - s 11-32.indd 22

10-02-22 08.10.36

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling Definitioner Med talsystem menar vi en metod att skriva tal på, som bygger på kombinationer av olika symboler.

Ett positionssystem är ett talsystem som bygger på att de positioner som symbolerna har ger dem deras värde.

I ett positionssystem är det alltså platsen talsymbolen står på som visar vilket värde siffran har. Vi talar också om siffrans platsvärde. Det var först med positionssystemet som man fick behov av en symbol för den tomma platsen, noll.

Man hade inte rutat papper för två tusen år sedan: 4 3 För att hindra att talen uppfattades fel använde man ett tecken som skulle stå på det tomma stället: 4 0 3 eller 4 0 0 3 Mayafolket använde tecknet för snäcka, , för att markera en tom plats.

Den historiska motiveringen för tecknet 0 ligger därför inte i behovet av att ange en talbeteckning för den tomma mängden. Därför är det sätt man inför symbolen 0 på i dagens läroböcker tvivelaktigt. Man använder helt enkelt symbolen som talbeteckning för den tomma mängden:

Mängden är tom. Där finns 0 element.

Det finns inget där. Det finns 0 där.

Problemet är att det är tveksamt om barnen kan se ett behov av att använda symbolen 0 på det sättet. Matematiskt sett har vi nämligen inte behov av det. På sidan 57 ser vi exempel på det. Barnen gör anteckningar om frånvaro. När ingen är borta noterar de ingen. Rutan är tom.

En naturligare situation uppstår i samband med subtraktion.

Vi har 3 kronor. Sedan köper vi för 1 krona. Hur många kronor har vi kvar då? Vi köper för en krona till. Hur många har vi kvar? Och för en till. Hur många har vi kvar då?

23

Ma som spra k - s 11-32.indd 23

10-02-22 08.10.37

Matematik som språk Ingen?

Noll?

Det kanske mest naturliga sättet att införa noll är att vänta med symbolen tills vi kommit fram till 9. Det är i alla fall nödvändigt att förmedla något om symbolen (0) och dess roll i systemet.

Uppgift

Gör ett litet rollspel där ni bättrar på den här dialogen och vidareutvecklar den: Vi har kommit till ”nio”, skriver 9. Vi skall ha en till.

Då har vi ”tio”.

Hur skriver vi ”tio”?

Vi kunde göra ett nytt tecken.

Och så kunde vi fortsätta att göra nya tecken för varje antal.

Men det skulle bli förfärligt många tecken.

Vi skulle aldrig komma i håg dem.

Oändligt många tecken skulle det bli.

För vi skulle ju alltid kunna få ett tal som var en mera.

Någon har bestämt för oss att vi skall ha tecken upp till och med nio, och sedan räknar vi hur många tior vi har. Vi vill se till att vi inte får så många nya symboler...

I vilka situationer grupperar människorna storheter och tänker utifrån de grupperingarna?

– En bärplockare som inte räknar bären utan korgarna som hon plockar?

– En som samlar in ägg och som räknar kartongerna?

– En som samlar in morötter och binder samman dem i knippor?

– En som samlar in flaskor och lägger dem i kartonger?

– En som arbetar på ackord och som tjänar en viss summa för varje kartong med lådor som hon plockar?

– En lagledare i ishockey som har en femma på isen?

– En rektor som har klasser med trettio elever i varje?

Ofta tänker vi inte i enheter eller enskilda föremål. Vi är intresserade av hur många grupper av olika saker vi har. De kan vara samlade i buntar, askar, lag eller annat. Det är sådana situationer vi måste försöka komma fram till när vi skall införa talsystem.

24

Ma som spra k - s 11-32.indd 24

10-02-22 08.10.37

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling

Räkning i andra talsystem än 10-talssystemet 1. a) Placera en mängd av en viss storlek framför dig, exempelvis 87 föremål av något slag.

Dela in den i talsystemet med basen 5.

Hur många 52-tal finns det i 87?

Hur många 5-tal finns det?

Och hur många 1-tal?

Hur ser 87 ut i talsystem med basen 5? b) Dela in 87 på samma sätt i talsystem med basen 6 respektive 3.

2. a) Tänk dig ett myntsystem med 1-kronor, 5-kronor och 25-kronor. Vi har två belopp: (234)5 och (123)5.

Talen visar hur många mynt vi har av varje slag. Vi skall lägga ihop mynten. Vi skall växla till större mynt så snart det är möjligt. Vad blir summan av de två beloppen? b) Räkna på samma sätt: (234)5 + (234)5 – (44), (341)5 – (401)5, 4 × (322)5. c) Och i myntsystem där vi har 3-kronor, 9-kronor och 27-kronor.

3.

Talsystemet med basen 2 är speciellt. Vi behöver bara 2 symboler här: 0 och 1.

Antingen finns tvåtalspotensen där eller också finns den inte.

Tänk på vilken betydelse det har för hålkort: Man kan skriva tal genom att stansa hål i de positioner där det skall vara en tvåtalspotens.

Eller i EDB: Strömmen skall vara på.

Skriv några tal i talsystemet med basen 2 (dela in dem i summor av 1, 2, 4, 8, 16…)

Till exempel 25, 50, 75, 100.

Tal- och strukturförståelse. Språk och kultur Det här kapitlet avser att ge insikt i det nära sammanhanget mellan språk, kultur och kunskap om tal och talsystem. Kunskaper om matematikens historia ger kulturell och matematisk insikt. De kan också ge 25

Ma som spra k - s 11-32.indd 25

10-03-01 10.58.01

Matematik som språk inspiration till att analysera sammanhang mellan kultur, språk och matematik i den egna kulturen.

I den här boken försöker vi betona att elevernas matematik ligger i deras språk och kultur. Man förmodar att om de lär sig skolmatematiken enbart genom ett auktoriserat skolspråk så är det delar av deras matematik som inte uppmärksammas utan görs inaktuell.

I Moçambique är just detta ett stort problemfält. Paulus Gerdes har i sin forskning dokumenterat matematiken i det moçambikiska folkets kultur. Han talar om ”frozen mathematics” när han hittar t.ex.

Pythagoras sats i korgflätningar. Genom grundlig dokumentation har han lyft fram kulturen och matematiken. Tillsammans med Ubiratan D’Ambrosio från Brasilien har han lagt grunden till en utveckling av praxis och teori inom etnomatematiken såsom didaktisk tradition.

I Moçambique finns otaliga stamspråk som är elevernas modersmål.

Portugisiska är skolspråket. Det är vanligt att eleverna, ända från starten, lär sig matematik på portugisiska. För oss kan det te sig orimligt att de skall lära sig matematik på ett språk som de samtidigt är i färd med att lära sig.

Det är emellertid uppenbarligen så att motargumentationen visar att många tror att den matematik de kan lära sig på sitt modersmål måste vara en ”sämre matematik”. Några hävdar att eleverna måste lära sig matematik två gånger om de får undervisning på sitt modersmål, först på modersmålet och sedan på portugisiska. Man hävdar också att eleverna inte får ”fullgod” kompetens, det finns ingen ”ordentlig matematik” på modersmålet, tror man. Det komplicerar diskussionen ytterligare att stora delar av föräldragenerationen i Moçambique är analfabeter.

Vi möter en annan argumentation när vi ser hur talbegreppet och strukturerna är inbakade i de olika språken. Det visar sig att när vi översätter de talord som används finner vi att några folkgrupper sorterar i femmor, medan andra använder sex som bas. Några använder subtraktion på samma sätt som de romerska siffrorna är konstruerade.

Samtidigt som vi finner talsystem i det muntliga språket finns det i fingerspråket. Fingrarna används aktivt för att förmedla tal. Sätten att visa antal på fälls ut som konventioner, som språk. Det ligger nära till hands att anta att talbegreppen är knutna till strukturen i språken. De följande exemplen talar för sig själva, de är hämtade ur en rapport från de pedagogiska instituten i Beira och Maputo (Gerdes, 1993).

26

Ma som spra k - s 11-32.indd 26

10-02-22 08.10.37

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling

Fingerräkning. Yao i Moçambique

27

Ma som spra k - s 11-32.indd 27

10-02-22 08.10.41

Matematik som språk

Fingerräkning. Makonde i Moçambique

28

Ma som spra k - s 11-32.indd 28

10-02-22 08.10.44

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling

Fingerr채kning. Shambaa i Kenya och Tanzania

29

Ma som spra k - s 11-32.indd 29

10-02-22 08.10.49

Matematik som språk Räkneord och struktur. Bété, Elfenbenskusten

30

Ma som spra k - s 11-32.indd 30

10-02-22 08.10.53

Talbegreppet och talsystemets historiska utveckling Räkneord och struktur. GuinÊ Bissau

31

Ma som spra k - s 11-32.indd 31

10-02-22 08.10.58

Matematik som språk Räkneord och struktur. Bulanda

Räkneord och struktur. Yoruba, Nigeria

Uppgifter

1. Studera exemplen från Afrika och diskutera de pedagogiska implikationerna.

Förslag: Dramatisera en diskussion där den ena personen vill att eleverna skall lära sig matematik på portugisiska och den andra personen vill att eleverna skall lära sig matematik på modersmålet. Anta att läraren talar det aktuella stamspråket. Välj roller som lärare eller föräldrar.

Hur stor relevans har diskussionen för arbetet i en nordisk skola?

2. Många klassrum är ”mångkulturella”. Ge exempel på möjligheter att utnyttja en mångsidig kulturbakgrund i matematikundervisningen. Tänk på att förslagen skall passa olika ålderssteg.

32

Ma som spra k - s 11-32.indd 32

10-02-22 08.11.01

Matematik som språk Verksamhetsteoretiska perspektiv

Norska originalets titel: Begynnelseopplæringen. Fagdidaktikk for matematikkundervisningen 1–6 klasse ISBN 978-91-47-04670-6 © 1987 Caspar forlag 1990, 2000 Författarna och Liber AB Författare: Marit Johnsen Høines Översättning: Mikael Mörling/Harald Nordli Fackgranskning: Lillemor Emanuelsson Omslag: Hans-Jörgen Hansson Upplaga 2:7 Tryck: Kina 2013

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

Ma som spra k - s 1-8.indd 4

13-05-22 17.04.18

Den didaktiska teori som utvecklas är knuten till Vygotskijs språkteoretiska tänkande och till de tal och de taloperationer som grundskolans elever möter. Bokens didaktiska perspektiv låter sig emellertid överföras till andra ämnen och andra åldersgrupper, och har betydelse för matematiklärandet generellt.

Marit Johnsen Høines är lärarutbildare i matematik vid Høgskolen i Bergen

matematik verksamhetsteoretiska perspektiv

som språk

Marit Johnsen Høines

och har lång erfarenhet som klasslärare på låg- och mellanstadiet.

verksamhetsteoretiska perspektiv

I Matematik som språk visar Marit Johnsen Høines hur barns informella språk och matematiska insikt kan bilda grunden för att lära sig matematik. Ett problemlösande förhållningssätt och ett språkligt perspektiv på matematiken ger läsaren insikter i hur barn utvecklar sitt talbegrepp och lär sig algoritmer.

Författaren uppmuntrar till en språklig mångfald där barnen talar, leker, ritar och skriver matematik, där matematik blir till ett kreativt samarbetsämne för både lärare och elever.

Texten är uppbyggd av verkliga exempel på ett sådant sätt att praktik förmedlar teorin och teorin förmedlar praktik.

Matematik som språk

Matematik som språk

Marit Johnsen Høines

Best.nr 47-04670-6 Tryck.nr 47-04670-6-07

liber

Ma som spra�k - omslag.indd 1

13-05-22 16.56.41