07-12-14

12.00

Sida 1

I Det matematiska barnet varvar författarna matematiska förklaringar och argument med konkreta – och ofta dråpliga – exempel på hur barn använder sin matematiska förmåga i olika situationer. De har också utarbetat arbetsuppgifter för läsaren att fundera över, enskilt eller i grupp. Sist i boken finns förslag på matematiska aktiviteter att göra tillsammans med barnen. Elin Kirsti Lie Reikerås är lektor i matematik vid Högskolan i Stavanger, där hon utbildar förskolelärare och vidareutbildar lärare inom specialpedagogik. Hon har varit engagerad i flera projekt knutna till matematik i förskolan och skolan. I dessa projekt har fokus varit på barns matematiska utveckling, barns uttryckssätt, kopplingen mellan äventyr och matematik och språkets betydelse. Ida Heiberg Solem är lektor i matematik vid Högskolan i Oslo, där hon utbildar och vidareutbildar allmänlärare. Hon har arbetat med många olika projekt i matematik, både för förskola och skola. Projekten har bland annat varit knutna till nybörjarundervisning i matematik, till språk och det matematiska och filosofiska samtalet samt till den mångkulturella skolan. Elin Kirsti Lie Reikerås

Lärare Lär Lärare Lär-serien vill inspirera, väcka debatt och föra ut aktuell forskning inom pedagogik och lärande.

ISBN 978-91-27-72294-1

9

789127 722941

Ida Heiberg Solem

• Ida Heiberg Solem/Elin Kirsti Lie Reikerås DET MATEMATISKA BARNET

”Vi vill i denna bok fokusera på hur barn utvecklar, använder och uttrycker sin matematik i förskoleåldern och under de första skolåren – för att på så sätt ge läsaren insikter och kunskaper som gör det lättare att möta det matematiska barnet”. Så skriver författarna i förordet till den här boken, som vänder sig till förskolelärare, lärare och andra pedagoger.

LÄRARE LÄR

DET MATEMATISKA BARNET

DET MATEMATISKA BARNET

Ida Heiberg Solem Elin Kirsti Lie Reikerås

LÄRARE LÄR

nytt omslag

Inlaga_001_345

09-06-15

16.59

Sida 2

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 3

Förord Alla som är tillsammans med små barn känner till deras nyfikenhet och vetgirighet. Barn utforskar omgivningen och olika samband, de tänker, funderar och drar slutsatser. Detta gäller även i mötet med matematiska utmaningar. Vi vill i denna bok fokusera på hur barn utvecklar, använder och uttrycker sin matematik i förskoleåldern och under de första skolåren – för att på så sätt ge läsaren insikter och kunskaper som gör det lättare att möta det matematiska barnet. Genom att ge exempel på hur barn använder sin matematiska kompetens i olika situationer försöker vi visa vilken allsidighet, bredd och djup som barns matematik egentligen rymmer. Och genom att knyta dessa exempel till det matematiska lärostoffet vill vi skapa en större medvetenhet och kvalitetshöjning, som gör det lättare att stimulera och utmana barnens matematiska kompetens. De exempel som texten är uppbyggd kring kommer från möten med barn. De är insamlade under lång tid och är hämtade från såväl egna observationer och studentobservationer som från exempel vi fått oss berättade av vänner och kolleger. Boken är ett resultat av många års erfarenhet från undervisning av och föreläsningar om barn och matematik. Den bygger också på det forsknings- och utvecklingsarbete som vi genomfört på förskolor och skolor. Det är många vi vill tacka. Först och främst Marit Johnsen Høines som övertalade oss att skriva boken och som gett oss stöd och kommit med konstruktiva förslag under arbetets gång. Vi vill också tacka Bjørg Tronshart som tolkat texten och tecknat. Tack alla ni som uppmuntrat oss – hemma och på jobbet. Tack till Kristin Hinna, Inger Hilmo, Nora Lin-

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 4

dén, Hanne Solem och Kjersti Melhus som läst och kommenterat texten. Vi vill också tacka våra studenter som generöst delat med sig av sina upptäckter om barns matematik och som visat oss att vuxna kan återerövra den förlorade skolmatematiken och det lekfulla tänkandet. Sist men inte minst vill vi tacka barnen – våra egna och alla de andra – som inspirerat oss att skriva. Utan dessa möten med er hade det inte blivit någon bok

Oslo och Stavanger, mars 2001 Ida Heiberg Solem Elin K. Lie Reikerås

4

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 5

Innehåll 1 1.1 1.2 1.3

Lyssna och titta – lär dig hitta 7 Om vad matematik är och kan vara 9 Språk och språkuttryck 14 Med matematiken i ena handen och barnet i den andra 20

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Fåglar har vingar därför att det finns katter 24 Alla djur med fyra ben säger bäää 26 Ekvationer och lejon eller omvänt 30 Kommer snö, kommer jul 36 En gåva är oändligt mycket mer än ingen gåva 39 Den kvalificerade förundraren 44 Tankfull förundran och förunderligt tänkande 48

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Bakom dörren, under bordet och högt upp i luften 52 Barns tidiga utforskande av rummet 53 Högt flyger de, och ont gör det när de faller 57 Om innanför, utanför, ovanför och bortanför 59 Om att sätta ord på begreppen – placeringsord 67 Topologiskt, euklidiskt och projektivt rum – olika synvinklar 71 Hur den vuxne kan underlätta barns utveckling av rumsbegreppen 75

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

En ring har inga sidor 81 Struktur och samband – behov av att klassificera 83 Barn är språkskapare – och språk skapar struktur 87 Former och figurer i plan 89 Former och figurer i rummet 105 Ur en annan synvinkel – topologisk geometri 115 Geometri på många olika sätt 120

5 5.1 5.2 5.3 5,4 5.5

Jag räknas som en och du som två 123 Olika aspekter av talbegreppet 125 Om barns utveckling av kardinaltalbegreppet 132 Mer om pekräkning 150 Om barns utveckling av ordinaltalbegreppet 157 Varför räknar barn? 165

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Tjugonio, tjugotio, tjugoelva 171 Ett och ett och två och två 175 Det blir systematik i räkningen 185 Additiva talsystem 188 Positionssystem eller placeringsvärdesystem 193 Den långa resan 201

5

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 6

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.5 7.6

En liter vetemjöl och två meter margarin 205 Jämförelseord 206 Mätning och mätredskap 208 Mätning av längd 212 Ytmått och area 222 Rymdmått och volym 224 Mätning av vikt 228 Olika sätt att mäta 232

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Ju fler luckor jag öppnar desto fortare blir det jul 235 Olika aspekter av tidsbegreppet 235 Föreställningar om tid 238 Tidsord 239 Tideräkning och kalendrar 242 Mätning av tid 245 Tiden går, år för år 249

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Blommiga, prickiga, rutiga 254 Spegelsymmetri 257 Rotationssymmetri 260 Om parallellförskjutning/förflyttning 262 Formlikhet 265 Om lek med mönster och dialogen med andra 267

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Jag kan plussa 274 Strategier i samband med de fyra räknesätten 275 De fyra räknesätten – olika sidor av samma sak 284 Olika sätt att uttrycka kunskap 290 Att fokusera uttryckssätten i arbetet med matematik i skolan 296 Att ta vara på det matematiska barnet även i skolan 298

Lekar, spel och samspel 304 Litteratur 338 Register 343

6

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 7

1 Lyssna och titta – lär dig hitta

Möte med det matematiska barnet ”Den är för kort.” Stian (6 år) lägger ifrån sig plankan som skulle ha varit en del av taket. Tillsammans med Mira (5 1⁄2 år) och Kjartan (4 år) bygger han en koja i trädgården. Barnen har hittat pinnar och brädor, papplådor och snören. De har gjort tre väggar och en dörröppning och kämpar med taket. Kjartan ger Stian en lång planka: ”Den här – den är större.” ”Och så måste vi ha spik.” Mira räknar upp: ”En, två, tre … där är tio!”

Barnen som bygger kojan har hittat och bearbetat material som passar för det tredimensionella byggnadsverk som de tänkt ut. De har jämfört längder och tjocklekar, beräknat och mätt. De har bestämt vinklar och höjder och skapat en koja som blivit tillräckligt stor för att man ska kunna vara inne i den, men tillräckligt liten för att kunna byggas. De här barnen har ännu inte börjat skolan. De använder inte papper och penna för att räkna ut längder och höjder. Barnen har inte lärt sig hur många centimeter som går på en meter, och de har heller inte lärt sig att om du har fem plankor och behöver en spik i vardera änden så kan det skrivas: fem gånger två är lika med tio. Men trots det visar barnen genom sitt byggande av kojan att de har matematisk kompetens. 7

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 8

Ina (5 1⁄2 år) och Ruben (4 1⁄2 år) spelar barnmonopol. Ina kastar tärningen. ”Fem”, säger hon när hon ser vad tärningen visar. ”Ett, två, tre, fyra, fem” räknar hon medan hon flyttar pjäsen. ”Du kom på min ruta”, säger Ruben och pekar. ”Du måste betala fem kronor till mig.” Ina hittar en femkronorssedel och betalar. Ruben kastar tärningen och får en tvåa och flyttar sin pjäs. Ina utropar: ”Du kom på min, du ska betala mig två kronor.” Ruben ger Ina en trekronorssedel. Ina: ”Nej, jag ska bara ha två kronor.” Ruben: ”Ja, jag vet det, men jag har inte, så jag måste få tillbaks av dig.” Ina: ”Vad då? Du ska ge mig, det är inte jag som ska ge dig.”

Spelet kräver att Ina och Ruben använder sina kunskaper om tal och räkning – både när de kastar tärningen, flyttar pjäserna och betalar hyresavgiften på motpartens egendom. Spelet utmanar deras matematiska kompetens och inbjuder till samtal och diskussioner. Ina och Ruben förklarar för varandra, argumenterar för sina åsikter och försöker förhandla sig fram till en gemensam ståndpunkt. Stian, Kjartan, Mira, Ina och Ruben använder matematiken som en naturlig del av sina aktiviteter och de uttrycker den genom praktiskt handlande och muntligt språk. Sabina väljer ett annat sätt att uttrycka sig på, ett sätt som passar hennes syfte. Hon använder teckning som uttrycksform. Sabina, som snart är sex år, har ritat en karta över klassrummet så att föräldrarna ska hitta fram till hennes bänk när de kommer på föräldramöte. Sabina synliggör många av sina kunskaper genom kartan. Kartan visar att hon kan känna igen och återge olika former, använda en förnuftig skala och placera tingen på rätt sätt i förhållande till varandra. Hon intar olika perspektiv, ritar bänken sedd uppifrån, dörren och dockhuset framifrån. 8

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 9

De matematikkunskaper som barnen dokumenterar genom dessa exempel är kunskaper som de tillägnat sig före skolstarten. Det rör sig om en matematik som de senare kommer att möta många gånger, bland annat i skolmatematiken. 1.1 ”Världen är full av matematik.” Om vad matematik är och kan vara Många förknippar matematik med gångertabeller, bråk och procent, uppställningar och uträkningar. Vi är vana vid att dela in matematiken i geometri och talräkning, algebra och ekvationer, statistik och sannolikhetskalkyler. Men om vi ska kunna upptäcka barns matematik måste vi också ha referenser som går bortom dessa indelningar. Vi måste se och känna igen matematiken i andra kontexter. Barnen möter matematiken i vardagliga situationer: 9

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 10

• Fyraåringen som är med i butiken och får hjälpa till med att väga apelsinerna och leta fram tre bröd. • Tvååringen som ska ha två smörgåsar och ett glas mjölk till frukost. • Treåringen som på vägen från förskolan vill gå i riktning mot sjön i stället för hemåt. • Femåringen som ska duka bordet och se till att alla får koppar. • Ettåringen som först går upp ur sängen, sedan får frukost och därefter skjutsas till förskolan. De här situationerna, liksom de inledande exemplen, visar att matematik är en naturlig del av barns vardag. Vi kan analysera matematiken utifrån ett ämnesperspektiv genom att studera hur barn använder och möter räkning, geometri och mätning. Vi kan också analysera barns upplevelser och utmaningar genom att relatera dem till de situationer och aktiviteter som barnet deltar i. Matematik utvecklas och uttrycks genom att man pendlar mellan handling och tänkande – genom matematiska aktiviteter. Att tänka, att uttrycka sina tankar och att handla flätas samman. Detta blir mycket tydligt när vi granskar det aktiva, lekfulla och utforskande barnet. Alan Bishop (1991) har formulerat sex fundamentala matematikaktiviteter.1 Vi ska ge en översikt av dessa grundläggande aktiviteter. Den kan göra att vi får en bredare och mer nyanserad uppfattning om vad matematik är och kan vara för oss och för barnen.

1

10

Alan Bishop menar att det handlar om matematiska aktiviteter som finns i alla kulturer, och de utgör grundvalen för utvecklingen av matematik.

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 11

Förklaring och argumentation

Matematiska aktiviteter

Motiveringar och förklaringar, resonemang och logiska slutsatser. Barn tänker och resonerar. De sätter ord på sina tankar och förklarar vad de menar. Stian och Kjartan motiverar sitt val av plankor, Ina och Ruben diskuterar sig fram till vem som ska betala vem. I matematiken är det ett centralt moment att motivera och dra slutsatser. Om Per är fem år och Kari är dubbelt så gammal, då är Kari tio år – därför att fem och fem är tio. Om 2 + a ska vara större än 2, måste a vara större än 0, för om vi lägger till ett negativt tal blir ju resultatet mindre.

Lokalisering Att hitta, orientera sig i rummet – lokalisering och placering. Barn behöver hitta vägen hem, förstå vad som menas med att kakburken står på översta hyllan, och de måste lära sig hitta nallen som de glömde ute på gården. Vi skapar mentala kartor för att orientera oss i omgivningen. När vi ska orientera oss på platser som vi inte känner till särskilt väl, använder vi oss ofta av nedtecknade kartor. Sabinas tecknade karta över hennes klassrum är ett exempel på att även barn kan återskapa rum genom att göra kartor.

Design Former och figurer, mönster och symmetri, arkitektur och konst. Barn känner igen egenskaper. Redan som mycket små hittar de likheter och skillnader. Form är en av de egenskaper som hjälper dem att skilja mellan olika saker. Formen är viktig när de bygger hus och kojor, oavsett om de bygger dem på marken, uppe i träd eller bara med klossar. Former kan också fogas ihop till mönster och border. Barn klipper ”snökristaller” i papper, de använder pärlor och de målar. Design och konsthantverk ger oss många exempel på figurer och mönster som är uppbyggda enligt matematiska lagbundenheter.

11

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 12

Räkning Räkning, antalsord, räknesystem och talsystem. Små barn visar hur gamla de är med hjälp av fingrarna, de rabblar upp tal och de räknar ut om lördagsgodiset är rättvist fördelat. De spelar spel där räkning och tal är väsentliga moment, de sjunger sånger som bygger på talramsor och de lägger pengar i sparbössan. Vi räknar ut om vår budget tål ytterligare en räkning, vi trycker på sifferknapparna på telefonen och på bankomaten, och vi läser serietabellerna för fotboll i tidningen. Överallt möter vi tal, räkning och antalsord i olika former.

Mätning Jämförelser, måttenheter och mätsystem, längd, area, volym, tid, vikt och pengar. Barn är upptagna av vem som är längst och vem som har den tyngsta väskan. De skaffar sig erfarenheter av volym när de leker i sandlådan och när de spiller ut glaset med mjölk vid frukostbordet. Barn filosoferar över tiden och är intresserade av pengar. De mäter och jämför. För att kunna köpa rätt antal tapetlängder måste vi ha de rätta måtten på väggen, och vi måste ha tillräckligt med pengar när vi kommer till affären. För att baka bullar är det viktigt att vi vet var vi ska läsa av gram och deciliter på måttet. När barn bygger kojor och hyddor använder de längdmått. Kartor baserar sig också på en förståelse av mått. Sabina i vårt exempel bedömde storleken på olika saker och förminskade alla i förhållande till varandra när hon ritade sin karta.

Lekar och spel Rollekar, rollspel, fantasilekar, kurragömma, strategispel, tärningsspel, pussel … Barn leker på många olika sätt beroende på hur gamla de är och i vilken situation de befinner sig. Ettåringen som leker med besticklådan, treåringen som bygger torn och fyraåringen som leker rollekar med dockor använder matematik, var och en på sitt sätt. Rolleken bygger på föreställningen om en handling, en ordningsföljd och ett logiskt samband, även om den utvecklas

12

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 13

och förändras under lekens gång. Många spel utmanar och utvecklar barns kunskaper om tal och räkning, liksom deras logiska tänkande. Dessutom kräver ofta spel att barnen måste argumentera för sina synpunkter och motivera sina handlingar, något som ju är en viktig del av matematiken.

När vi analyserar barns aktiviteter ur ett matematiskt perspektiv upptäcker vi både ämnesmatematiska teman och Bishops fundamentala matematikaktiviteter. Men detta kräver att vi har kompetensen att känna igen matematiken och förstå barns sätt att uttrycka matematik. Torstein (1 1⁄2 år) leker på golvet tillsammans med en vuxen. Han hittar två hönor i leksakslådan och placerar en höna på vardera knät hos den vuxne. Han rotar lite till i lådan och hittar ytterligare en höna. Han springer bort till den vuxne för att sätta hönan på ett knä, men tittar förvirrat från det ena knät till det andra. ”Var ska den här hönan stå?” tycks han tänka. Han ordnar upp situationen genom att kasta iväg alla de tre hönorna. Han leker lite med en bil innan han går bort till leksakslådan igen. Och där var det ju en höna till! Han samlar ihop de tre andra, går bort till den vuxne och placerar med en självsäker min två hönor på vardera knät.

Uppgift 1.1

Använder Torstein matematik? Och när börjar barn använda matematik? Ge exempel. När använder du matematik i din vardag? Analysera en vanlig dag, från det du går upp på morgonen tills du lägger dig. Försök att placera in det du kommer fram till i Bishops kategorier/aktiviteter.

Uppgift 1.2

Elisabeth Doverborg (1987) har undersökt hur personal på svenska daghem/förskolor arbetar med matematik. Sammanfattningsvis kommer hon fram till att personalens beskrivningar kan delas in i tre huvudsakliga arbetssätt: A Som en aktivitet för sig. Skolförberedande aktiviteter. De påbörjas ett tag innan barnen ska börja skolan.

Uppgift 1.3

13

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 14

B Som en naturlig del i alla situationer. Behöver inte poängteras eller stimuleras. C Matematik är inget för små barn. De kommer att lära sig matematik när de börjar skolan. Diskutera dessa beskrivningar. Vilka konsekvenser får de olika inställningarna när det gäller arbetet med barn? Vilket arbetssätt sympatiserar du mest med? Formulera gärna din egen syn på vad matematik är för små barn.

1.2 ”Jaså, var det så du menade?” Språk och språkuttryck

Aktivt lyssnande Hjalmar (vuxen): ”Vet du vilken ’måne’ vi har nu?”2 Bjarte (5 år): ”Mmm … ja, det vet jag. Månen är gul.” Hjalmar: ”Nej, det är inte månen på himlen jag menar, utan ’månen’ på året. Du vet väl att det finns många ’måner’ på ett år.” Bjarte: ”Ja, nu vet jag vad du menar. Månen är rund!”

Bjarte förstår inte vart Hjalmar vill komma med sin fråga, utan försöker efter bästa förmåga ta fram erfarenheter och begrepp som han själv förbinder med ordet måne. Det han associerar med måne är gul och rund. Hjalmar och Bjarte använder samma ord eller språkuttryck men med olika innehåll. De pratar om två vitt skilda saker. I mötet med barn upplever vi ofta att de kan lägga in något helt annat än vad vi tänkt i ett påstående eller en kommentar.

2

14

Hjalmar är från Stavanger, där man uttalar det norska ordet ”måned” (= månad) som ”måne”.

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 15

Thea har sin uppmärksamhet någon annanstans än den vuxne förväntar sig: Amir (student) leker med Thea (3 år). De bygger med lego, det vill säga: Thea är mest upptagen av att göra två stora högar med legobitar. ”Var är det mest legobitar?”, frågar Amir förväntansfullt. ”I Legoland”, svarar Thea stolt, för där hade hon varit förra sommaren. ”Och så på dagis.”

Exemplen med Bjarte och Thea visar situationer där det faller på den vuxne att komma barnet till mötes genom att välja andra infallsvinklar eller andra språkuttryck. Amir kan till exempel fortsätta samtalet med Thea genom att fråga hur många legobitar det kan finnas i Legoland. Tusen? Miljoner? Har man lika många i förskolan? Och hur många har Thea? Är det någon skillnad mellan hennes högar? På så sätt kan den vuxne möta barnet där barnet är. Detta gör Hjalmar i det fortsatta samtalet med Bjarte. Hjalmar skiftar fokus när han inser att Bjarte och han inte talar om samma ”måne”: Hjalmar: ”Ja, månen är rund. Ibland är den stor och rund och gul.” Bjarte: ”Ibland är den vit också …” Hjalmar: ”Och ibland är den borta …” De pratar lite om månen innan Hjalmar återkommer till frågan: ”Men vet du vad december är då?” ”Då är det jul och …” Bjarte ler: ”Jaså, var det en sån måne du menade!”

Hjalmar kommer Bjarte till mötes. Han diskuterar Bjartes ”måne” innan han på nytt tar upp den ursprungliga frågan, och då ur en ny infallsvinkel. Bjarte förstår plötsligt vart han vill komma: ”Jaså, var det en sån …” En förutsättning för att etablera kommunikation är att vi 15

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 16

förstår varandras språkuttryck. Det innebär att parterna har en önskan om att förstå vad som ligger bakom det som uttrycks. Vuxna har ett särskilt ansvar när det gäller att lyssna till vad barnet har att säga. Vi är i en förstaklass tidigt på hösten. Alla har fått varsin pärm som de ska skriva sitt namn på. Och det går bra. Karen stavar högt sitt namn utan att bli ombedd. Läraren: ”Vet du hur många bokstäver du har i ditt namn, Karen?” Karen (utan att tveka): ”Fem.” Orkan (nästan samtidigt som Karen): ”Jag har också fem.” De andra räknar febrilt bokstäverna som de skrivit. Torbjørn: ”Jag har åtta!” Tobias: ”Jag har fem eller sex?” Bjørn-Olav: ”Jag har tjugo namn!” Läraren: ”Det heter bokstäver, inte namn. Du har nio.” Bjørn-Olav: ”Men … det var inte det jag menade”, mumlar han. En student som är närvarande går bort till Bjørn-Olav, som sitter helt stilla och ser lite nedslagen ut. Hon viskar till honom: ”Jag förstod vad du menade. Du räknade med även dina två efternamn!” Bjørn-Olav skiner upp: ”Ja”, säger han med tacksamhet i blicken.

Läraren rättar Bjørn-Olav i stället för att ta sig tid att försöka förstå vilka tankar och slutsatser som ligger bakom hans svar. Till skillnad från Hjalmar, i det tidigare exemplet, kommer läraren inte barnet till mötes, hon letar inte efter ett möjligt sätt att kommunicera med Bjørn-Olav och ta reda på vad han tänker. Hon är så fast i problemställningen ”namn är lika med förnamn” att det inte faller henne in att vissa elever även kan räkna med efternamnet. Bristande kommunikation är något som många upplevt i skolmatematiken. Elever och studenter kan berätta om situa16

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 17

tioner där läroboken och läraren uttryckt sig med ett språk som gjorde att de inte förstod vad som var problemställningen, vad matematiken handlade om. De berättar om episoder där de förgäves försökt uttrycka sina tankar eller där läraren feltolkat dem. I många fall hade situationen kunnat se annorlunda ut om pedagogen hade haft större kännedom om elevens språkuttryck och om den vuxne bemödat sig att tillmötesgå elevens matematikspråk och inte lärobokens. Som pedagoger möter vi ofta barn som Bjørn-Olav, Thea och Bjarte. Barn som säger eller gör något annat än det vi tänkt oss, som inte kommer med det förväntade eller ”korrekta” svaret. Då är det viktigt att veta att det är den vuxnes ansvar att tillmötesgå barnet, inte omvänt. Det är den vuxne som måste hitta vägen fram till barnens tänkande och språk, ge dem möjlighet att förvalta och vidareutveckla den kompetens som de besitter. Barns matematikspråk: kommunikationsoch tankeredskap Birgit ställer Ylva följande fråga: ”I den första bilen är det ett barn, i den andra är det ett barn och i den tredje är det två. Hur många barn blir det tillsammans?”

17

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 18

Ylva ritar alla bilarna med barn i. Teckningen hjälper Ylva att lösa den utmaning hon ställs inför. Denna konkretisering ger henne en möjlighet att räkna personerna i de olika bilarna. På så sätt löser hon uppgiften. Ylva vet hur symbolen för fyra ser ut. Därför kan hon också skriva ner det antal som hon kommit fram till. Ylva kan många talsymboler, men hon kan ännu inte räkna med hjälp av dem. För Ylva är siffer- eller talsymbolerna inte ett språk som hon är förtrogen med. Hon har emellertid ett annat språk som ger henne möjligheten att räkna ut antalet. Teckning är ett språkuttryck som fungerar som tankeredskap för Ylva. Teckningen hjälper henne i övergången till andra matematikspråk: till att räkna muntligt, till att skriva tal och räkna ut tal. För att barn ska kunna utveckla sin matematiska kompetens är det viktigt att de får välja språkuttryck som lämpar sig för dem: Grete håller upp tre fingrar och säger: ”Jag är så här många år!” Studenten: ”Är du tre år?” ”Nej, jag är så här många”, upprepar hon samtidigt som hon återigen sträcker upp tre fingrar. Tamar tittar på och håller sedan upp fyra fingrar: ”Så mycket är jag. Det är fyra.” De två flickorna jämför fingrarna. ”Du har mer”, säger Grete och pekar på Tamars lillfinger. ”Det är för att jag är större”, säger Tamar. Grete nickar.

Grete kan visa hur gammal hon är. Hon vet precis hur många fingrar som ska upp – inte en, inte två, utan tre. Detta är ett språkuttryck som Grete förfogar över eller ”äger” – och som Tamar och studenten också förstår med en gång. I sin respons använder studenten ett annat språkuttryck för samma sak: ”tre år”. Men det avvisar Grete. Hon uttrycker sin ålder ge18

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 19

nom de tre fingrarna. Tamar svarar Grete genom att använda samma språkuttryck, och Grete har inga problem med att se att de har olika antal. Hon jämför och accepterar att Tamar är ”störst”. Ett språk som vi äger och kan tänka genom kallar Marit Johnsen Høines (1998) språk av första ordningen. Det är språk som vi uttrycker oss genom och som vi tolkar spontant. De tre fingrar som Grete håller upp är ett exempel på något som för henne är språk av första ordningen. För studenten och för Tamar är både det muntliga uttrycket och fingrarna språk av första ordningen. ”Tre år” är däremot ett uttryck som är ”främmande” för Grete i denna situation. Detta kallar Johnsen Høines språk av andra ordningen. Det är språk som inte är naturliga för oss att tänka i och uttrycka oss genom. Det är språk som vi inte omedelbart förstår (främmande språk). Så är till exempel kinesiska ett språk av andra ordningen för de flesta av oss som bor i Norden. Men även arbetsritningen till den nya bokhyllan eller bruksanvisningen till mobiltelefonen kan för oss vara språk av andra ordningen. Huruvida ett språk är av första eller andra ordningen beror på våra subjektiva upplevelser och erfarenheter. Det som en person har lätt att uttrycka sig genom, kan vara ett främmande språk för en annan. Tre fingrar var ett språk av första ordningen för både studenten, Grete och Tamar. Det muntliga räkneordet tre år var däremot ett språk av andra ordningen för Grete. Jørgen (4 år) arbetar med att skapa en bild som är sammansatt av olika trekanter och fyrkanter. Han håller på att göra ett trapets när följande samtal utspinner sig. Den vuxne: ”Hur många sidor har den där figuren?” 19

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 20

Jørgen: ”En, två, tre, fyra.” Den vuxne: ”Då är det en …?” Jørgen: ”Fyrkant!” Den vuxne: ”Ja, och sådana fyrkanter kan vi kalla ett trapets.” Jørgen stannar till, tittar på figuren och sedan på den vuxne innan han mycket bestämt säger: ”Nej, det är en sån som elefanter står på!”

”Fyrkant” är ett ord som Jørgen är förtrogen med. På samma sätt är ”en sån som elefanter står på” också ett uttryck som säger honom hur figuren ser ut. Bägge språkuttrycken är för Jørgen språk av första ordningen. Men trapets är ett språkuttryck som Jørgen inte känner till; det är alltså ett språk av andra ordningen för honom. Nästa gång som den vuxne talar med Jørgen om fyrkanter och ber honom hitta ett trapets, kan hon lägga till: ”Du vet, en sån som elefanter står på.” Den vuxne hjälper på så sätt barnet att översätta, och Jørgen förstår vad hon menar. Genom att medvetet använda de båda uttrycken parallellt kan Jørgen efter ett tag få ett ägandeförhållande även till språkuttrycket trapets; det blir en del av hans eget språk. Då kan vi säga att ”trapets” blivit ett språk av första ordningen för Jørgen. 1.3 Med matematiken i ena handen och barnet i den andra För att komma det matematiska barnet till mötes behöver vi alltså olika typer av kunskap. Med hjälp av kunskaper om vad matematik är, kan vi analysera var och hur matematik förekommer, dess olika former och sammanhang. Kunskaper om de matematiska ämnena och de matematiska aktiviteterna hjälper oss att se och utmana barns matematik. Vi skaffar oss en kompetens som gör att vi kan möta barn med ett aktivt intresse, uppmuntra dem och underlätta deras utveckling. 20

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 21

Intresserade och lyhörda kommunikationspartners är ett centralt moment i utvecklingen av matematisk kompetens: Erövrandet av matematikens värld är en ständigt pågående interaktion mellan lyhörda pedagoger och barn som är intresserade eller som blivit intresserade när de väl upptäckt denna värld. (Doverborg & Samuelsson 1999:3)

Att ha kunskap om och förstå barns språk är nödvändigt i mötet med barnets matematik. Vi har sett att språk kan fungera som redskap för tänkande och kommunikation. Detta får konsekvenser för hur vi interagerar med barn. Vi kan upptäcka vad de tänker och hur vi kan kommunicera på ett stödjande sätt. När barn får frihet att uttrycka sig kan deras kompetens både överraska och utmana oss. Ibland kan utmaningen bli i kraftigaste laget. I en förstaklass hade eleverna fått i läxa att göra en ”räkneberättelse” till uppgiften: nio minus tre. De fick teckna, berätta eller skriva som de ville. Här är Malins svar:

21

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 22

Malin väljer skrivriktning som det passar henne, och hon både ritar och använder talsymboler i sin lösning. Hon använder ett språk som hon kan uttrycka sig genom, vilket gör att hon kan lösa uppgiften. Läraren ser däremot inte omedelbart vad Malin uttrycker, så hon ber henne läsa det för henne: ”Nio äpplen, tre äts upp, hur många blir kvar. Sex!” sa hon mycket nöjd och pekade i boken.1 Uppgift 1.4

Vilken betydelse har förståelsen av barns uttryckssätt när man arbetar med små barn och matematik?

Uppgift 1.5

Kan du hitta exempel från din egen skoltid då du upplevde bristande kommunikation inom matematik? Har du exempel på hur du utnyttjat språkformer som hjälpt dig i ditt arbete med ämnet? • Kan du hitta exempel inom matematiken som utgör språk av första ordningen för dig? • Kan du hitta exempel inom matematiken som utgör språk av andra ordningen för dig? • Jämför varandras berättelser och hitta exempel på hur ni upplever språk olika: det som är språk av första ordningen för en person, är språk av andra ordningen för en annan person.

Uppgift 1.6

Barns matematiska kompetens – observationsuppgift i matematik. Genom mötet med barn lär vi oss upptäcka barns matematik. Vi utmanas till att kommunicera matematik med barn. Därför får du i uppgift att genomföra en observation av ett barn i åldern ett till åtta år. Det är en poäng att barnet inte gått för länge i skolan. Med observation menas i detta sammanhang ”att iaktta och undersöka”. Det kan handla om att observera

1

22

För att läsa Malins berättelse: börja mitt på arket, läs åt höger, fortsätt neråt och läs åt vänster, fortsätt upp längs vänstra kanten, därefter åt höger (näst översta raden), sedan åt vänster högst upp: 9 äpplen, 3 äts upp, hur många blir kvar?

Inlaga_001_345

07-12-12

15.01

Sida 23

hur barnet leker själv, i samspel med andra, på förskolan, på fritids, i familjen, hos grannen medan du är barnvakt osv. (Det kan också vara dina egna barn.) Det kan antingen vara en tillrättalagd situation eller en tillfällig händelse. Observationen kan göras under en begränsad period, eller så kan du välja att följa barnet under en längre tid och notera det som händer. Det är viktigt att inte bara se utan att också kommunicera och interagera med barnet. Du ska försöka få fram en så täckande bild som möjligt av barnets matematiska kompetens: • Vad kan eller vet barnet, och hur använder det sina kunskaper? • Genom vilka språkformer uttrycker sig barnet? • Hur kommunicerar du med barnet? • Hur argumenterar, resonerar och frågar barnet? Försök analysera vilken matematik du hittar hos barnet utifrån Bishops fundamentala aktiviteter. Jämför dina observationer med andras. Diskutera den interaktion och kommunikation som ni hade med barnet under arbetets gång.

23

07-12-14

12.00

Sida 1

I Det matematiska barnet varvar författarna matematiska förklaringar och argument med konkreta – och ofta dråpliga – exempel på hur barn använder sin matematiska förmåga i olika situationer. De har också utarbetat arbetsuppgifter för läsaren att fundera över, enskilt eller i grupp. Sist i boken finns förslag på matematiska aktiviteter att göra tillsammans med barnen. Elin Kirsti Lie Reikerås är lektor i matematik vid Högskolan i Stavanger, där hon utbildar förskolelärare och vidareutbildar lärare inom specialpedagogik. Hon har varit engagerad i flera projekt knutna till matematik i förskolan och skolan. I dessa projekt har fokus varit på barns matematiska utveckling, barns uttryckssätt, kopplingen mellan äventyr och matematik och språkets betydelse. Ida Heiberg Solem är lektor i matematik vid Högskolan i Oslo, där hon utbildar och vidareutbildar allmänlärare. Hon har arbetat med många olika projekt i matematik, både för förskola och skola. Projekten har bland annat varit knutna till nybörjarundervisning i matematik, till språk och det matematiska och filosofiska samtalet samt till den mångkulturella skolan. Elin Kirsti Lie Reikerås

Lärare Lär Lärare Lär-serien vill inspirera, väcka debatt och föra ut aktuell forskning inom pedagogik och lärande.

ISBN 978-91-27-72294-1

9

789127 722941

Ida Heiberg Solem

• Ida Heiberg Solem/Elin Kirsti Lie Reikerås DET MATEMATISKA BARNET

”Vi vill i denna bok fokusera på hur barn utvecklar, använder och uttrycker sin matematik i förskoleåldern och under de första skolåren – för att på så sätt ge läsaren insikter och kunskaper som gör det lättare att möta det matematiska barnet”. Så skriver författarna i förordet till den här boken, som vänder sig till förskolelärare, lärare och andra pedagoger.

LÄRARE LÄR

DET MATEMATISKA BARNET

DET MATEMATISKA BARNET

Ida Heiberg Solem Elin Kirsti Lie Reikerås

LÄRARE LÄR

nytt omslag