9789152317310

matematik

matematik

vux 1b/1c

Matematik Origo vux är moderna läroböcker anpassade för VUX 2012. I Matematik Origo hittar du

vux 1b/1c

Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Resonemang, kommunikation och problemlösning för alla Målbeskrivningar, tankekarta och test till varje kapitel

matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufåker Mikael Marklund

vux

1b/1c

Serien består av Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker, Mikael Marklund

Matematik Origo vux 1b/1c Matematik Origo vux 2b/2c Matematik Origo vux 3b/3c Matematik Origo 4 och Matematik Origo 5 Till varje bok i serien Matematik Origo vux hör ett häfte med fullständiga lösningar till alla uppgifter.

ISBN 978-91-523-1731-0

(523-1731-0)

OrigoNY_vux1bc_omslag_ORIG.indd 1-3

2012-06-01 10:41

SANOMA Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Fax 08–696 86 10

Redaktion: Lena Bjessmo, Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Karin Olofsson, Jakob Robertsson, Jan Wilhelmsson och Yann Robardey.

Bildredaktör: Lena Bjessmo

Matematik Origo vux 1b/1c ISBN 978-91-523-1731-0 © 2012 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker, Mikael Marklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Lettland

by Livonia Print, 2012

Vux1_framvagnNY.indd 2

2012-10-18 12:57

Till läsaren Matematik Origo vux 1b/1c är skriven för dig som

ska läsa matematik kurs 1b eller 1c på vuxengymnasiet. Boken är helt anpassad för VUX 2012 och följer ämnesplanens centrala innehåll och syfte. För oss som har skrivit den här boken är matematik så mycket mer än att bara räkna. Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram resonemang, förståelse och problemlösning. Vår förhoppning är att Matematik Origo ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi känner inför matematikämnet.

• Matematik Origo vux 1b/1c är indelad i fem kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de Förkunskaper du behöver, det Centrala innehåll som gäller för just den kurs du ska läsa och vad du ska kunna när du har arbetat färdigt med kapitlet.

• I boken finns en tydlig märkning som gör att du snabbt ser vilka delar av boken som hör till kurs 1b och vilka som hör till kurs 1c. De avsnitt som saknar märkning gäller både kurs 1b och kurs 1c. De avsnitt som endast hör till kurs 1b är märkta med 1b i marginalen och de avsnitt som endast hör till 1c är märkta med 1c . Det finns också uppgifter som i första hand är tänkta för en av kurserna.

Sådana uppgifter är märkta med 1b respektive 1c .

• Teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser teorin och förklarar viktiga matematiska färdigheter. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din grafritande räknare.

Vux1_framvagnNY.indd 3

• Till varje avsnitt finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. På varje nivå finns uppgifter som tränar din förmåga till problemlösning. Öppna uppgifter, markerade med ö , är uppgifter som inte har ett givet svar och som många gånger kräver en matematisk diskussion.

• Efter varje delkapitel kommer Resonemang och begrepp. Där kan du utveckla förmågan att förstå och använda matematiska begrepp, att föra matematiska resonemang och att kommunicera matematik.

• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

• Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop. Tankekartan kan ses som en sammanfattning av kapitlet och är en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Några få begrepp är inte gemensamma för båda kurserna.

De är märkta med 1b respektive 1c .

• I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer.

Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet.

• Sist i varje kapitel finns ett Test. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan räknare och en del där du får använda räknare.

Lycka till med dina matematikstudier!

Författarna

2012-10-18 12:57

Innehåll 1 Tal

6

1.1 Tal i olika former. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Talmängder 8 Negativa tal 9 Primtal och delbarhet 12 Bråk 15 Addition och subtraktion av bråk 18 Multiplikation och division av bråk 20

104

3.1 Procent och procentberäkningar. . . . . . . . . . 106 Procent – ett sätt att skriva hundradelar 106 Andelen och det hela 108 Promille och ppm 111

1.2 Potenser.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Potenser med positiva heltalsexponenter 23 Negativa exponenter och exponenten noll 26 Prioriteringsregler 28

3.2 Procentuella förändringar. . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Förändringsfaktor 113 Procentenheter 117

3.3 Procentberäkningar i samhället.. . . . . . . . . . 119

1.3 Talsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tal i decimalform 31 Värdesiffror 34 Tal i grundpotensform 37 Prefix 39 Det binära talsystemet 41

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Historia: Talsystem genom historien. . . . . . . . . . . 46 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Algebra och ekvationer

3 Procent

54

2.1 Algebraiska uttryck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Teckna och tolka uttryck 56 Att förenkla uttryck 59 Multiplicera in i parenteser 62 Faktorisera uttryck 64

2.2 Ekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Vad är en ekvation? 66 Ekvationslösningens grunder 68 Mer om ekvationer 70 Ekvationer med nämnare 72 Ekvationen som en matematisk modell 74 Andra- och tredjegradsekvationer 78 1c Potenser i stället för rotuttryck 81 Olikheter 83

2.3 Formler och talföljder.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Index och KPI 119 Ränteberäkningar 123 Lån och kreditköp 125

Historia: Procenttecknet och Big Mac-index. . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Funktioner

129 130 131 134 136

4.1 Ekvationer, tabeller och grafer. . . . . . . . . . . . 138 Koordinatsystemet 138 Linjära samband 140 Från ekvation till graf 143 Proportionalitet 146 Räta linjens ekvation 148 Ekvationslösning med grafritande räknare 152

4.2 Vad är en funktion?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Funktion och funktionsvärde 154 Definitionsmängd och värdemängd 157 Exponentialfunktioner 160 1b Potensfunktioner 164 1c Potensfunktioner 169

Historia: Kryptering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 175 176 180

Att använda formler 86 Mönster och formler 89 Aritmetiska talföljder 92

Historia: Fibonaccis talföljd.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Vux1_framvagnNY.indd 4

2012-10-18 12:57

5 Statistik

182

5.1 Tolka tabeller och diagram. . . . . . . . . . . . . . . . 184 Frekvenstabell 184 Tolka och granska diagram 186 Urval 193 Svarsbortfall 198

Historia: Opinionsundersökningar. . . . . . . . . . . . . 201 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 208

6.1 Enkla slumpförsök. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 210 Sannolikhet som relativ frekvens 214

6.2 Slumpförsök i flera steg.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Produktregeln 218 Träddiagram 221 Komplementhändelse 225

Historia: Sannolikhetslära och spel.. . . . . . . . . . . . 228 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Vux1_framvagnNY.indd 5

234

7.1 Vinklar och trianglar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Olika slags vinklar 236 Vinklar i trianglar 239

5.2 Granska statistik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6 Sannolikhetslära

7 Geometri och bevis

7.2 Omkrets, area och volym. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Enheter för area och volym 243 Geometriska figurer 245 Volym och area 249 Skala 253 1b Symmetri 256

7.3 Matematiska bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Matematisk argumentation 263 Satser och bevis 267 Pythagoras sats 271

7.4 Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

1c Likformiga trianglar 275 Tangens för en vinkel 278 Sinus och cosinus 281

7.5 Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

1c Vektorer och skalärer 286

Räkneoperationer med vektorer 291 Subtraktion med vektorer 294 Vektorer i koordinatform 296

Historia: Det finns ingen kungsväg ….. . . . . . . . . 300 Tankekarta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 1b Kapiteltest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 1c Kapiteltest.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Facit

312

Register

344

2012-10-18 12:57

7 Geometri Delkapitel 7.1 Vinklar och trianglar 7.2 Omkrets area och volym 7.3 Matematiska bevis 7.4 Trigonometri 7.5 Vektorer

Förkunskaper ˭˭ Ekvationslösning ˭˭ Omskrivning av formler

”D

et är bevisat att betygen gynnar kvinnor och att högskoleprovet gynnar män” är ett uttalande från en forskare vid ett svenskt universitet. ”Det är bevisat” är ett vanligt förekommande uttryck. Med det menar man för det mesta att man är säker på sin sak.

I matematiken skulle däremot sådana påståenden inte klassas som bevisade. Ett matematiskt bevis är ett logiskt resonemang som inte lämnar några luckor och inte kan motsägas.

234 Vux1_kap07.indd 234

2012-10-18 13:02

Centralt innehåll

1b 1c

Kunskapsmål

Enligt ämnesplanen i matematik Gy 2011

När du är klar med det här kapitlet ska du kunna

˭˭ Begreppet symmetri och olika typer av symmetriska transformationer av figurer i planet samt symmetriers förekomst i naturen och i konst från olika kulturer

˭˭ namnge några viktiga vinklar och känna till sambanden mellan dem

˭˭ Representationer av geometriska objekt och symmetrier med ord, praktiska konstruktioner och estetiska uttryckssätt

˭˭ använda Pythagoras sats

˭˭ Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik inklusive implikation och ekvivalens samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga sammanhang och inom olika ämnesområden ˭˭ Illustration av begreppen definition, sats och bevis, till exempel med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma ˭˭ Begreppen sinus, cosinus och tangens och metoder för beräkning av vinklar och längder i rätvinkliga trianglar ˭˭ Begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett koordinatsystem ˭˭ Addition och subtraktion med vektorer och produkten av en skalär och en vektor

1b 1c

˭˭ använda vinkelsumman i trianglar och andra månghörningar vid beräkningar ˭˭ beräkna omkrets och area för några enkla geometriska figurer ˭˭ beräkna area och volym för några enkla geometriska kroppar ˭˭ avgöra om geometriska figurer eller föremål är symmetriska ˭˭ förstå skillnaden mellan spegelsymmetri och rotationssymmetri ˭˭ konstruera några enkla symmetriska figurer ˭˭ följa och förstå matematiska bevis ˭˭ använda implikation och ekvivalens vid matematiska resonemang ˭˭ beräkna sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar med hjälp av tangens, sinus och cosinus ˭˭ förstå skillnaden mellan en vektor och en skalär, addera och subtrahera vektorer samt multiplicera en vektor med en skalär ˭˭ använda och tolka vektorer, både som riktade sträckor och skrivna i koordinatform ˭˭ dela upp en vektor i två vinkelräta komposanter samt kunna addera och subtrahera vektorer i koordinatform

235 Vux1_kap07.indd 235

2012-10-18 13:02

7.1 Vinklar och trianglar

Olika slags vinklar

Vinkel

Här intill har vi ritat två strålar som utgår ifrån samma punkt. De bildar tillsammans en vinkel.

Den gemensamma punkten A kallas vinkelspets och de två strålarna kallas vinkelben. En och samma vinkel kan betecknas på olika sätt:

C A

a B

α = ∧A = ∧BAC = ∧CAB

Babyloniska astronomer var de första som man säkert vet mätte storleken hos vinklar. För mer än tre tusen år sedan kunde de bestämma en vinkels storlek genom att rita en cirkel med medelpunkten i vinkelspetsen. Sedan jämförde de cirkelbågen som rymdes mellan vinkelbenen med cirkelns omkrets.

Babylonierna valde att dela cirkelns omkrets i 360 delar. Talet 360 härstammar från deras tidmätning. Ett babyloniskt kalenderår hade 12 månader med 30 dagar. Ett varv runt cirkeln är 360 grader. Det skrivs 360°.

Det är enklast att mäta vinklar med en gradskiva.

Namn på vinklar Spetsig vinkel

u 0° < u < 90°

Sidovinklar

Rät vinkel

u u = 90°

Trubbig vinkel

Rak vinkel

u

u

90° < u < 180°

I figuren utgår en stråle från en punkt på linjen.

Det bildas två vinklar u och v bredvid varandra.

Vinklarna u och v kallas sidovinklar. Summan av två sidovinklar är 180°.

u = 180°

u v

u + v = 180°

Även tre eller flera vinklar som tillsammans bildar en rak vinkel kallas sidovinklar.

236

geometri • 7.1 vinklar och trianglar

Vux1_kap07.indd 236

2012-10-18 13:02

Bisektris

Vertikalvinklar

En stråle som delar en vinkel i två lika stora delar kallas bisektris.

Runt två linjers skärningspunkt bildas fyra vinklar.

Motsatta vinklar kallas vertikalvinklar. Vertikalvinklar är lika stora. x = y och

Likbelägna vinklar Alternatvinklar

Bisektris

a x

y b

α=β

Vinklarna u och v kallas likbelägna vinklar.

v w

Vinklarna u och w kallas alternatvinklar.

u

l

Om linjerna k och l är parallella, så är likbelägna vinklar och alternatvinklar lika stora. u = v

7 Exempel:

och

u=w

Beräkna vinkeln α.

135°

Lösning:

k

α

Vinklarna är sidovinklar 135° + α = 180°

Vinkelsumman av sidovinklar

α = 180° – 135° = 45°

Vi löser ut α

Svar: Vinkeln α är 45°.

7 Exempel:

I figuren är linjerna l och k parallella och u = 60°. Bestäm vinklarna v och α. a

Lösning:

l

v u

k

Vinklarna u och v är alternatvinklar vid parallella linjer.

Därför är de lika stora. u = v = 60° Vinklarna u och α är sidovinklar. u + α = 180°

α = 180° – u = 180° – 60° = 120°

Svar: v = 60° och α = 120°.

geometri • 7.1 vinklar och trianglar

Vux1_kap07.indd 237

237 2012-10-18 13:02

Nivå 1

7108 Vilka av följande likheter gäller? a) ∧CAB = ∧BAC

7101 Beräkna vinkeln z.

b) ∧DAB = ∧DBA z

54°

c) α = ∧ABD

a

A

B

7109 Beräkna de okända vinklarna i figuren.

7102 Beräkna vinkeln u.

67°

u

54°

7103 Bestäm vinkeln v.

5x

135°

7104 I figuren är sträckan AD bisektris till ∧BAC. Beräkna vinkeln BAC.

4x 3x

7110 Gäller följande olikheter? Motivera dina svar.

B

a) en rak vinkel + en spetsig vinkel < 270° b) en rät vinkel + en trubbig vinkel > 270°

35°

A

6x

Nivå 2

v

C

D

D

c) en spetsig vinkel + en trubbig vinkel < 180°

7111 Beräkna vinkeln mellan visarna.

C

7105 Två linjer skär varandra och bildar fyra vinklar, u, v, α och β. I figuren är u = 43°.

a

u

b

7112 I figuren är linjerna k och l parallella. Linjen m bildar rät vinkel med k och l och vinkeln u är en tredjedel av vinkeln mellan k och m.

Bestäm vinkeln v.

v

a) Bestäm vinkeln α. b) Bestäm vinkeln β.

7106 Linjerna k och l skär varandra i en punkt. En av vinklarna som bildas i skärningspunkten är 90 grader. Hur stora är de övriga vinklarna?

7107 I figuren är linjerna k och l parallella. Bestäm vinklarna x, y och z.

u v

k l

Nivå 3

x

52°

k z y

238

m

7113 Beräkna den minsta vinkeln mellan visarna när klockan är tolv minuter över sju.

l

geometri • 7.1 vinklar och trianglar

Vux1_kap07.indd 238

2012-10-18 13:02

Vinklar i trianglar Det är vinklarna i triangeln som bestämmer triangelns form.

Namn på trianglar Rätvinklig ˭ triangel

Likbent ˭ triangel

Liksidig ˭ triangel

Spetsvinklig˭ triangel

u

Trubbvinklig ˭ triangel

uu

En av vinklarna är rät. ˭ u = 90°

Två sidor är ˭ lika långa och basvinklarna ˭ är lika stora

Alla sidor är lika långa och alla vinklar är 60°

Alla vinklar är spetsiga, alltså mindre än 90°

En av vinklarna är trubbig. ˭ u > 90°

Vilken som helst

Vinkelsumman i en triangel

Om man river av hörnen på en godtycklig triangel och lägger dem intill varandra, så ser man att vinklarna tillsammans bildar en rak vinkel. Det visar att den godtyckliga triangelns vinkelsumma är 180°.

2 1

2 3

3

1

Det här resonemanget gäller inte som ett bevis på att triangelns vinkelsumma är 180°, slutsatsen grundar sig ju bara på en triangel. På sidan 267 hittar du ett matematiskt bevis på att triangelns vinkelsumma är 180°.

Triangelns vinkelsumma Vinkelsumman i en triangel är 180°

Vinkelsumman i en fyrhörning

Alla fyrhörningar kan delas in i två trianglar, där varje triangel har vinkelsumman 180°.

Därför blir fyrhörningens vinkelsumma 180° + 180° = 360°

Fyrhörningens vinkelsumma Vinkelsumman i en fyrhörning är 360°

geometri • 7.1 vinklar och trianglar

Vux1_kap07.indd 239

239 2012-10-18 13:02

Symmetri Ordboken symmetri kommer från grekis-

kans ”symmetria” som betyder ”jämförande mätning” och har sina rötter i ”symmetros” som betyder ”att ha ett gemensamt mått, att vara proportionell”

Vad är symmetri? undrade Alice när hon klev in i Spegellandet.

Det är inte alldeles enkelt att besvara hennes fråga, eftersom vi oftast har en medfödd uppfattning om vad symmetri är. Ett sätt att beskriva symmetri är att säga att det är en sorts harmoni som härstammar från balanserade proportioner. Ett annat sätt är att säga att något är symmetrisk om det består av två likadana delar. Dagligen upptäcker vi att spegelbilder, blommor, djur och ansikten är symmetriska. Den tyske matematikern Hermann Weyl (1885-1955) skrev att ”Symmetri, oavsett hur brett eller smalt vi definierar dess innebörd, är ett begrepp genom vilket människan under historiens gång har försökt att förstå och skapa ordning, skönhet och perfektion.”

1b

Och den skotske vetenskapsmannen James Maxwell (1831–1879) öppnade sitt tal hos Royal Society i januari 1871 med orden ”Mathematics loves symmetry above all”.

Vi hittar symmetri i naturen, konsten och arkitekturen.

Spegelsymmetri

Den vanligast förekommande formen av symmetri i naturen är spegelsymmetri. Man säger att något är spegelsymmetrisk om den har två delar som är varandras spegelbilder.

Spegelsymmetriska figurer

256

geometri • 7.2 omkrets, area och volym

Vux1_kap07.indd 256

2012-10-18 13:02

Symmetrilinje

I figurer som är spegelsymmetriska kan man rita minst en symmetrilinje.

Figuren delas i två halvor av symmetrilinjen. Det medför att de två halvorna är spegelbilder av varandra. En figur kan ha flera symmetrilinjer.

Symmetrilinje

Symmetrilinjer

Om man drar en sträcka genom två motsvarande punkter på var sin halva av en spegelsymmetrisk figur, så kommer den sträckan att vara rätvinklig mot symmetrilinjen. Varje sådan sträcka halveras av symmetrilinjen.

Sträckan halveras av symmetrilinjen.

Figurer som inte är symmetriska kallas för asymmetriska.

1b

Asymmetriska figurer

Rotationssymmetri

Mittpunkt

Om man roterar en cirkel kring sin mittpunkt, så kan man inte tydligt se rotationen eftersom cirkelns rand kommer att befinna sig i samma position under hela rotationen. På så sätt överlappar cirkeln sig själv under rotationen. Om man däremot roterar en liksidig triangel eller en kvadrat kring mittpunkten, så kommer rotationen att synas och sidorna kommer först efter ett tag att överlappa sina ursprungliga lägen, det vill säga att figurerna kommer först efter ett tag att se ut på exakt samma sätt som de såg ut innan rotationen.

B

Vi namnger figurerna med bokstäver vid hörnen, så att du ser rotationen. Men bokstäverna är inte en del av figuren.

C

A

A

B

C

B

A

A

D

C

D

B

C

Figurer som efter en viss rotation överlappar sitt ursprungliga läge är rotationssymmetriska. Detta medför att man kan rotera dessa figurer med ett bestämt antal grader utan att de förändrar sina egenskaper. Här ovanför har vi visat att cirklar, liksidiga trianglar och kvadrater är rotationssymmetriska.

På samma sätt kan man visa att varje regelbunden månghörning är rotationssymmetrisk.

geometri • 7.2 omkrets, area och volym

Vux1_kap07.indd 257

257 2012-10-18 13:02

Rotationspunkt

Rotationssymmetriska figurer roteras kring en bestämd punkt för att de ska överlappa sitt ursprungliga läge, denna punkt kallas för rotationspunkt eller mittpunkt.

En figurs rotationssymmetri kan anges med hjälp av den vinkel man behöver rotera figuren för att den ska överlappa sitt ursprungsläge. En sådan vinkel måste vara mindre än 360°, det vill säga mindre än ett helt varv. En liksidig triangel behöver man rotera

Också i naturen hittar vi rotationssymmetri.

360° ​ ____ ​ =

120° 3 för att den ska överlappa sitt ursprungliga läge. Man säger därför att den liksidiga triangeln har rotationssymmetri med 120°.

Varje figur kommer naturligtvis att överlappa sig själv efter att ha roterat ett helt varv, men det är inte så att varje figur är rotationssymmetrisk.

1b

Liksidig triangel 360º ​ = 120º ​ _____ 3

Regelbunden femhörning 360º ​ = 72º ​ _____ 5

Regelbunden sexhörning 360º ​ = 60º ​ _____ 6

Det finns gott om figurer, till exempel rektanglar, som är både spegelsymmetriska och rotationssymmetriska. Dessa figurer kan naturligtvis både vridas med ett antal grader eller speglas i sin symmetrilinje för att de ska överlappa sitt ursprungliga läge.

Att rotera rektangeln ABCD 180° och därefter spegla i någon av symmetrilinjerna ger samma resultat som att först spegla och sedan rotera den 180°.

Vi sätter ut bokstäverna ABCD för att rotationerna och speglingarna ska framgå. Bokstäverna är inte en del av figuren.

D

C

B

A

C

D

Rotera 180° A

B Spegla

A

Spegla B

C

D

B

A

Rotera D

258

Spegling följd av symmetrisk rotation

C

För figurer som är både spegelsymmetriska och rotationssymmetriska spelar det ingen roll i vilken ordning en symmetrisk rotation och en spegling utförs, resultatet av dessa två efterföljande operationer kommer att vara detsamma.

geometri • 7.2 omkrets, area och volym

Vux1_kap07.indd 258

2012-10-18 13:02

7 Exempel:

Hur många symmetrilinjer kan man dra genom följande symmetriska figurer? a)

b) Romb

Fjäril

Lösning:

a) Vi kan dra endast en symmetrilinje genom fjärilen, den har en symmetrilinje.

b) Vi kan dra två symmetrilinjer genom romben, som därmed har två symmetrilinjer.

7 Exempel:

Med hur många grader behöver man rotera följande figurer för att de ska överlappa sitt ursprungliga läge? a)

1b

b) Romb

Lösning:

a) Romben har fyra hörn men är inte en regelbunden geometrisk figur.

Figuren visar att vi måste rotera romben 180° för att den ska överlappa sitt ursprungliga läge.

Romben har roterat 180°

b) Figuren visar att vi måste rotera den

360° ​ ____ ​ =

120° 3 för att den ska överlappa sitt ursprungliga läge.

geometri • 7.2 omkrets, area och volym

Vux1_kap07.indd 259

259 2012-10-18 13:02

7 Exempel:

Är följande figurer symmetriska? a)

Lösning:

b)

L

a) Vi undersöker om sträckor genom två motsvarande punkter på var sin halva av figuren halveras av en symmetrilinje.

A

Vi drar en symmetrilinje L genom figurens mitt och linjer genom de motsvarande punkterna A och B respektive P och Q enligt figuren.

Vi mäter avståndet mellan A och B respektive P och Q. Sedan observerar vi att dessa avstånd halveras av den tilltänkta symmetrilinjen L. Vi kan naturligtvis inte på samma sätt undersöka alla sträckor mellan motsvarande punkter i figuren, men vi har god anledning att tro att figuren är symmetrisk.

1b

P

b) Vi undersöker om sträckor genom två motsvarande punkter på var sin halva av figuren halveras av en symmetrilinje.

L A

B

Vi drar både en linje L genom figurens mitt och en sträcka genom de motsvarande punkterna A och B, som markerar personens ögon i figuren.

Vi mäter avståndet mellan A och B och observerar att avståndet inte halveras av linjen L. Vi kan därmed dra slutsatsen att figuren inte är symmetrisk.

7264 Hur många symmetrilinjer kan man dra genom följande symmetriska figurer? Rita av figurerna och markera alla symmetrilinjer.

260

Q

Nivå 1

a)

A

7265 Med hur många grader behöver man rotera följande figurer för att de ska överlappa sitt ursprungliga läge? a)

b)

b)

geometri • 7.2 omkrets, area och volym

Vux1_kap07.indd 260

2012-10-18 13:02

7266 Med hur många grader behöver man rotera en regelbunden sjuhörnig för att den ska överlappa sitt ursprungliga läge?

7267 Rita figurerna och avgör sedan med hjälp av symmetrilinjer om följande figurer är spegelsymmetriska. a)

b)

7271 Vi vill att figuren ska bli symmetrisk så att någon av diagonalerna är symmetrilinje. Rita av figuren och komplettera den med 2 halva rutor så att den blir spegelsymmetrisk.

7272 Figuren bredvid är en vanligt förekommande symbol för återvinning. Rita av figuren på ett rutat papper.

7268 Vilka av följande figurer är asymmetriska?

A

C

B

a) Rotera figuren med en symmetrisk rotation av 120° och spegla den sedan symmetriskt i en horisontell axel genom mittpunkten. b) Spegla figuren i en horisontell axel genom mittpunkten och rotera sedan figuren med en symmetrisk rotation av 120°.

D

1b

c) Vilken slutsats kan du dra av resultaten från a) och b)?

Nivå 2 7269 Rita eller klipp ut (av en bit papper) en spegelö symmetrisk figur.

7270 Avgör om följande figurer är rotationssymmetriska, spegelsymmetriska eller både rotationssymmetriska och spegelsymmetriska. a) Likbent triangel

7273 Rita en figur som är rotationssymmetrisk ö med a) 120°

b) 45°

7274 Vilka av följande bokstäver är

A B C D U M O P R X W Ö a) spegelsymmetriska? b) rotationssymmetriska? c) både spegelsymmetriska och rotationssymmetriska?

b) Pentagram

c)

7275 Rita av figuren och komplettera den med 2 hela rutor och en halv ruta så att den blir rotationssymmetrisk med 180° men inte spegelsymmetrisk.

geometri • 7.2 omkrets, area och volym

Vux1_kap07.indd 261

261 2012-10-18 13:02

Tangens för en vinkel Trigonometri kan användas för att beräkna sidor och vinklar i trianglar.

Med hjälp av trigonometri kan man till exempel beräkna höjden av ett berg utan att behöva bestiga det. Redan under antiken använde man trigonometriska metoder vid navigering, för att rita kartor eller för att bestämma planeternas banor.

Tangens

I det föregående avsnittet har vi visat att trianglar är likformiga om de överensstämmer i två vinklar. Om rätvinkliga trianglar överensstämmer i den ena spetsiga vinkeln, så är de likformiga, eftersom de räta vinklarna också är lika.

C’’

A’

C

v v

v B

A

B’

C’

A’’

B’’

De rätvinkliga trianglarna här ovanför är likformiga. Att trianglarna är likformiga medför att kvoten mellan en till vinkeln v motstående och närliggande katet har samma värde:

1c

BC B'C' B''C'' ___ ​ ​= ​ ____ ​ = ​ _____ ​ AB

A'B'

A''B''

Förhållandet mellan motsvarande sidor

Kvoten mellan motstående och närliggande katet till vinkeln v kallas tangens för vinkeln v. Tangens för vinkeln v betecknas tan v och beror bara på vinkelns storlek.

Tangens för en vinkel För de spetsiga vinklarna v i rätvinkliga trianglar gäller att motstående katet tan v = ​ ______________ ​ närliggande katet

ON

På din räknare

motstående˭ katet v närliggande katet

Du använder räknaren för att beräkna tangens för en vinkel. Se först till att räknaren är inställd på grader. Tryck på MODE och kontrollera att DEGREE är markerad.

För att beräkna värdet av tan 37° trycker du tan 37 ) ENTER

278

geometri • 7.4 trigonometri

Vux1_kap07.indd 278

2012-10-18 13:02

7 Exempel:

Hur bred är floden mellan punkterna P och Q?

x

motstående katet tan v = ​ ______________ ​

Lösning:

Q

40°

närliggande katet x tan 40° = ​ ____ ​ Vi löser ut x genom att 150

P

150 m

multiplicera båda leden med 150

x = 150 ∙ tan 40°

Beräknar med hjälp av räknaren

x ≈ 130

Avrundar till 2 gällande siffror

Svar: Floden är 130 m bred mellan punkterna P och Q.

7 Exempel:

Hur lång är sträckan markerad med x?

(cm) x

64°

motstående katet tan v = ​ ______________ ​ närliggande katet 35 35 tan 64° = ​ ___ ​ Vi löser ut x genom att först multiplicera båda leden med x x x ∙ tan 64° = 35 Dividerar sedan båda leden med tan 64°

Lösning:

35 tan 64°

x = ​ ______ ​

Beräknar med hjälp av räknaren

x ≈ 17

Avrundar till 2 gällande siffror

1c

Svar: Sträckan markerad med x är 17 cm.

Nivå 1 7409 Bestäm med hjälp av räknaren, avrunda resultatet till 3 decimaler. a) tan 4°

b) tan 53°

c) tan 89°

7411 Bestäm tan v både med räknarens tangensfunktion och med hjälp av definitionen. Jämför sedan resultaten. (cm)

a)

43 v = 35,2°

7410 Ange värdet av tan v och tan u.

a)

(cm) u

61

4

3

1

v = 60°

(cm) 12

b)

(cm)

b)

v 5

5 v

u

__

​√3 ​

7412 Bestäm x x a) tan 45° = ​ ___ ​ 17

24 b) tan 30° = ​ ___ ​ x

13

geometri • 7.4 trigonometri

Vux1_kap07.indd 279

279 2012-10-18 13:02

C

A

B

41°

248 m

7414 Hur lång är sträckan markerad med x? (cm)

a)

71° 1,0

7419 Hefi befinner sig 230 m från ett torn som syns under en vinkel av 38°.

38°

x

230 m

Bestäm tornets höjd med lämpligt antal värdesiffror. Hefi är 1,75 m lång.

(cm)

b) 17

1c

7 11

7418 Bestäm tan C, om tan A = ​ ___ ​

7413 Från havsytan ser man en klippa under en vinkel av 41°. Avståndet till klippan är 248 m. Bestäm klippans höjd ovan- för havsytan.

25°

x

7415 Bestäm flodens bredd mellan M och N.

7420 Höjden i en liksidig triangel är 7 cm. Bestäm triangelns area.

90 m O

N

7421 Viktoria löste en uppgift som handlade om ö tangens för en vinkel i en rätvinklig triangel.

Uppgiften innehöll informationen 12 cm respektive 53° och svaret blev 9,0 cm. Ge ett exempel på hur uppgiften kunde ha varit formulerad.

58° M

Nivå 2 7416 I figuren är BC parallell med DE och FG. Bestäm tangens för G C

E

Nivå 3 7422 Ange en formel som beskriver triangelns area med hjälp av sidan x och vinkeln u.

5 A

D

B

F

x

u

7

8

a) vinkeln BAC

b) vinkeln FGA

7417 Bestäm tan 31° med hjälp av figuren, utan att använda räknarens tangensfunktion.

7423 Avståndet mellan stolparna på andra sidan kanalen är 80 m. Beräkna kanalens bredd.

80 m

(cm) 12

7,0 59° 14

280

34°

43°

geometri • 7.4 trigonometri

Vux1_kap07.indd 280

2012-10-18 13:02

Sinus och cosinus I föregående avsnitt definierade vi tangens för en vinkel i en rätvinklig triangel som kvoten mellan motstående och närliggande katet. Det finns fler viktiga förhållanden mellan sidorna i rätvinkliga trianglar som har fått egna namn. Två av dessa är: • Kvoten mellan av motstående katet och hypotenusan kallas sinus för vinkeln v och skrivs sin v.

hypotenusa

motstående˭ katet

• Kvoten mellan närliggande katet och hypotenusan kallas cosinus för vinkeln v och skrivs cos v.

v närliggande katet

Sinus- och cosinusvärdena beror, precis som tangensvärdena, endast på vinkelns storlek.

Sinus och cosinus för en vinkel För spetsiga vinklar v i rätvinkliga trianglar gäller att motstående katet ​ sin v = ​ ______________

hypotenusa

hypotenusa

närliggande katet cos v = ​ ______________ ​

hypotenusa

ON

På din räknare

1c

motstående˭ katet

v närliggande katet

Kontrollera först att räknaren är inställd på grader.

För att beräkna värdet av sin 37° trycker du sin 37 ) ENTER Värdet av cosinus för en vinkel beräknas på liknande sätt.

I en trigonometrisk tabell finns värdet av sin v, cos v och tan v listat för olika vinklar.

De första trigonometriska tabellerna konstruerades i Grekland runt 150 f.Kr. av Hipparchos för att underlätta astronomiska observationer. Han gjorde mycket noggranna beräkningar av årets längd och månens omloppstid, samt framställde en avancerad metod för att bestämma geografiska positioner med hjälp av latituder och longituder. Han katalogiserade också närmare tusen stjärnor och lade grunden för den moderna trigonometrin.

geometri • 7.4 trigonometri

Vux1_kap07.indd 281

281 2012-10-18 13:02

7 Exempel:

Fjällstugans tak bildar en rät vinkel.

Bestäm takets mått. x

y

37,0°

18,1 m

Lösning:

Vi kallar takets sida för x respektive y, enligt bilden.

Beräknar sidan x x sin 37,0° = ​ ____ ​ 18,1

motstående katet ​ sin v = __________________ ​

hypotenusa

Vi löser ut x genom att multiplicera båda leden med 18,1. x = 18,1 ∙ sin 37,0° x ≈ 10,9

Med räknaren. Avrundar till 3 värdesiffror.

Beräknar sidan y y cos 37,0° = ​ ____ ​ 18,1

1c

y = 18,1 ∙ cos 37,0° y ≈ 14,5

närliggande katet ​ cos v = _________________ ​

hypotenusa Man kan även beräkna tredje sidan med hjälp av Pythagoras sats

Med räknaren. Avrundar till 3 värdesiffror.

Svar: Takets sidor är 10,9 m och 14,5 m.

Nivå 1 7424 Bestäm med räknare. Avrunda resultatet till 3 decimaler. a) sin 54°

b) sin 89,9°

c) cos 73°

d) cos 0,1°

3

b)

4 u

61

(cm)

b)

2

11

(cm)

__

7427 Hur lång är sträckan markerad med x?

Svara med lämpligt antal gällande siffror.

u

a)

5

x

b) 65°

12

(cm)

32 x

29°

13 17

c) (cm)

​√2 ​

v

28

a)

v = 10,4°

7425 Beräkna sin v och cos u. a)

7426 Bestäm sin v både med räknarens sinusfunktion och med hjälp av definitionen. Jämför sedan resultaten. v = 45°

7428 Beräkna linbanans längd.

u 23

v 5

v 18° 295 m

282

geometri • 7.4 trigonometri

Vux1_kap07.indd 282

2012-10-18 13:02

Nivå 2 7429 Bestäm sin 39,5° med hjälp av figuren, utan att använda räknarens sinusfunktion.

(m) 7 50,5°

7435 Bestäm med hjälp av definitionerna kvoterna för sin A, sin B, cos A och cos B i den rätvinkliga triangeln. Vilket är sambandet mellan dessa kvoter?

C

11

b A

7430 Beräkna sin C, om 14 a) cos A = ​ ___ ​ 23 12 b) sin A = ​ ___ ​ 31

A

B

c

Nivå 3

B

C

7436 Bestäm höjden av höghuset.

46,5°

7431 Beräkna triangelns area.

(cm)

12

a

35° 19

7432 Sidan i en liksidig triangel är 17 cm. Beräkna triangelns area.

7433 Ptolemaios från Alexandria (runt 150 e.Kr.) var den som bidrog mest till trigonometrins utveckling under antiken. Han skapade kordatabeller (egentligen sinustabeller) för vinklar mellan 0° och 90°. Värdena var korrekt angivna med upp till sex decimaler. Testa den antika metoden genom att lösa uppgifterna här nedanför.

72°

1c 18 m

28,6°

7437 En vandrare ser toppen av en klippa under en vinkel på 42°. Om han flyttar sig 50 m närmare klippan, så syns toppen under en vinkel på 57°. Bestäm avståndet från vandrarens första observationspunkt till klippans topp.

1 Korda

a) Beräkna halva kordans längd. b) Jämför resultatet från a) med räknarens värde för sin 36°. Vad finns det för samband mellan värdena? c) Gäller sambandet från b) även för andra vinklar? Motivera ditt svar.

7434 Förklara med hjälp av definitionerna, varför varken sinus eller cosinus för en vinkel kan anta värden som är större än 1.

42°

57°

50 m

7438 Beräkna k = (sin v)2 + (cos v)2 för några olika värden på v. a) Vilket värde på k fick du i de olika fallen? b) Visa att sambandet gäller för alla vinklar i en rätvinklig triangel.

geometri • 7.4 trigonometri

Vux1_kap07.indd 283

283 2012-10-18 13:02

historia

Det finns ingen kungsväg …

Euklides Elementa Omkring år 300 f.Kr. hade kung Ptolemaios bestämt sig för att grunda ett universitet i Alexandria, som var en av antikens blomstrande städer, belägen i nuvarande Egypten. Han kallade tidens främsta vetenskapsmän och lärare till universitetet. En av dessa lärare var Euklides och det skulle visa sig att hans arbete skulle användas i matematikundervisningen mer än två tusen år framöver.

Euklides hade samlat dåtidens matematiska kunskaper i sitt stora verk, Elementa, som näst efter Bibeln betraktas som den mest spridda boken i världen. Verket är indelat i 13 böcker, de första sex handlar om planfigurer och deras egenskaper, de följande tre om talteori och övriga om irrationella tal och rymdgeometri. I Elementa presenterades matematiken på ett helt nytt sätt. Matematiska påståenden bevisades logiskt med hjälp av definitioner och axiom. Axiom står för enkla, självklara grundsatser som inte behöver bevisas.

Euklides Elementa

Euklides från Megara ˭ (ca 325–265 f.Kr.)

Några exempel på Euklides axiom: • Det hela är lika med summan av dess delar.

• Genom två punkter kan dras en och endast en linje.

• Givet en linje l och en punkt P utanför linjen, så går det att dra precis en linje som går genom P och är parallell med l. Detta kallas för parallellaxiomet.

2

c = 25 c a b

a2 = 9

b2 = 16

Pythagoras sats som den visas i Elementa.

? Vad är det för skillnad på en definition och ett axiom? Vad är det för skillnad på ett påstående och en sats?

300

När ett påstående har bevisats, så omvandlas det till en sats. Varje bevisad sats i Elementa avslutas med det latinska uttrycket quad erat demonstrandum som betyder vilket skulle bevisas. Än i dag avslutas bevis med förkortningen q.e.d. eller v.s.b. Euklides har även utvecklat språket genom att tillföra ord som triangel, kvadrat, cirkel, problem, bas, definition, axiom och parallell.

Ord av Euklides Kung Ptolemaios var fascinerad av geometri. Han ville förstå allt, men var alldeles för otålig och frågade Euklides om hur man på ett enkelt sätt kunde lära sig geometri. Euklides svarade: Det finns ingen kungsväg till geometrin.

En annan gång lär en av studenterna ha frågat Euklides om det fanns någon mening med att lära sig geometri. Varpå Euklides vände sig med följande ord till en av sina betjänter: Belöna omedelbart den här studenten med tre mynt, för att han söker efter meningen med att lära sig geometri.

geometri • historia

Vux1_kap07.indd 300

2012-10-18 13:02

tankekarta

Geometri Matematiska bevis

Matematisk argumentation

• logiska resonemang utan luckor • allmängiltiga

• påståenden

• ej mätningar eller gissningar

• implikation • ekvivalens

Bevis av en sats • definition • axiom

Symmetri 1b

• tidigare bevisade satser

• symmetrilinje

• motivera varje steg

• spegelsymmetri

• v.s.b.

• rotationssymmetri 360° • rotationsvinkel = _____ ​ ​ n

Vinklar • spetsig vinkel

• vertikalvinkel

• rät vinkel

• likbelägna vinklar

Geometriska figurer

• trubbig vinkel

• alternativvinklar

• månghörningar

• rak vinkel

• bisektris

• kroppar

• sidovinkel

• omkrets, area, volym • skala

Trianglar • vinklar • vinkelsumman är 180°

Vektorer

1c

Trigonometri

• längd och riktning

• likformighet

• skillnad jämfört med skalär

• sinus

• punkt i koordinatsystemet

• cosinus

• rätvinklig

• addition och subtraktion av vektorer

• tangens

• Pythagoras sats

• produkt av vektor och skalär

• trubbvinklig • likbent • liksidig

1c

• beräkna sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar

geometri • tankekarta

Vux1_kap07.indd 301

301 2012-10-18 13:02

blandade uppgifter

5 Gör omvandlingarna a) 1,6 dm =

m

b) 0,0075 cm =

mm

m2

cm2

Nivå 1

c) 7,55

1 Här visas några mätvärden med enheter.

d) 124 000 cm2 =

m2

e) 0,033 m3 =

cm3

2,1 dm3

4,5 dm

5 dl 3,2 liter

0,4 dm2

Några av dessa går att addera. Bestäm vilka och beräkna deras totala summa. (NP MaA vt 2005)

2 Mia såg följande bild med text i sin bok:

=

6 Beräkna volymen av en boll med diametern 25 cm.

7 Hur många grader förflyttar sig klockans minutvisare under fem minuter?

Mät vinkeln med hjälp av en gradskiva.

Mia räckte upp handen och undrade vilken vinkel hon skulle mäta, eftersom hon såg två vinklar på bilden. Kan du motivera hennes fråga?

8 Ett triangulärt sjömärke har basen 1,6 m och 1b höjden 1,0 m. a) Bestäm sjömärkets area. b) Vilken skala är bilden i?

3 Beräkna vinklarna x, y och z. a)

x

b) y

x 49°

92° z

4 Beräkna vinklarna x, y och z. a)

x 51°

b)

71° y 109°

101°

9 Bestäm x

c)

a)

38°

z

302

x

76° x + 6°

b) 2x

x

geometri • blandade uppgifter

Vux1_kap07.indd 302

2012-10-18 13:02

a)

​___›

15 I ett rätvinkligt koordinatsystem går vektorn ​AB​ 1c mellan punkterna A(4, –1) och B(7, 0) och ​___› vektorn ​PQ​ mellan

P(0, –3) och Q(1, 1). _​ __›

_​ __›

a) Ange ​AB​ och ​

PQ​ som

punkter i koordinatsystemet.

b)

​___›

​___›

b) Bestäm längden av ​AB​ och ​

PQ​ . ​_›

11 Med hur många grader behöver man rotera 1b figuren för att den ska överlappa sitt ursprungliga läge?

16 Beräkna |​u ​| om vektorn u i det rätvinkliga 1c koordinatsystemet bestäms av _ ​›

a) ​u ​ = (–1, –1) ​_›

___

b) ​u ​ = (–1, ​√24 ​ )

17 Beräkna tan v.

1c a) (cm)

blandade uppgifter

10 Hur många symmetrilinjer kan man dra genom 1b följande symmetriska figurer? Rita av figurerna och markera alla symmetrilinjer.

4

v 7

b) 5

12 Beräkna längden av sträckan markerad med x. (cm)

a)

3

7,0

3,0

18 Bestäm längden av sidan markerad med x.

1c Svara med lämpligt antal gällande siffror.

x

b)

(cm)

v

(cm)

a)

(cm) 6,0

x

x

43° 11 (cm)

b)

5,0

45°

13 Är triangeln i figuren rätvinklig?

x

51

(cm)

45

22

​_›

​_›

19 Vektorerna ​a ​ = (4, 1), ​b ​ = (–1, 5) befinner sig i 1c det rätvinkliga koordinatsystemet. Bestäm 51

14 Bestäm längden av sträckan mellan punkterna 1c a) (–2, 3) och (5, 1)

_​ _›

_ ​›

​_›

​_›

​_›

a) ​w​ = ​ a ​ + ​b ​

​_›

b) ​p ​ = ​b ​ – 2​a ​ ​__›

c) |​w​ | i exakt form

b) (–3, –5) och (4,–2)

geometri • blandade uppgifter

Vux1_kap07.indd 303

303 2012-10-18 13:02

kapiteltest

Del 1 Utan räknare 1b

1 Vi vill att figuren ska bli symmetrisk så att någon av diagonalerna är symmetrilinje. Komplettera figuren med 2 rutor så att den blir spegelsymmetrisk.

2 Vilka av följande bokstäver är

A E F H K N O X Y Z a) spegelsymmetriska? b) rotationssymmetriska? c) både spegelsymmetriska och rotationssymmetriska?

3 Undersök om det är möjligt att sätta ut → eller ↔ mellan följande satser.

Om inte, hitta ett motexempel.

1b

a) Det snöar

Det är vinter

b) Triangeln är likbent

Två vinklar i triangeln är lika stora

c) x = 5

(x – 2)2 = 9

4 Beräkna de okända vinklarna i figuren. a)

b)

48° 2x x

x

x

5 Beräkna de med x markerade sidornas längd.

(cm)

100

x

x

308

6 Koordinaterna för fyrhörningen ABCD:s hörn i det rätvinkliga koordinatsystemet är A (–1, 4), B (–4, 5), C (–5, –2) och D (–1, 1). Vi vill skapa en symmetrisk figur genom att spegla fyrhörningen i y-axeln. Bestäm koordinaterna för den nya fyrhörningens hörn.

geometri • kapiteltest

Vux1_kap07.indd 308

2012-10-18 13:02

kapiteltest

Del 2 Med räknare 1b 7 Bilden till vänster är en förminskning av frimärket till höger.

a) Bestäm skalan mellan bilden och originalet. b) Beräkna bildens area och originalets area. c) Hur många gånger större är originalets area än bildens area?

8 Tornet består av ett rätblock och en pyramid. Beräkna tornets volym. Svara i kubikmeter. (dm)

1b 14,0

9,0

5,0 5,0

9 Hur stor area har figuren? Figuren består av en likbent triangel och två halvcirklar. (cm)

7

7

10 Rubiks kub är ett mekaniskt spel i form av en kub.

Varje sida av kuben är indelad i 3 × 3 små kvadrater.

• Tänk dig att Rubiks kub är uppbyggd av små kuber, även inuti. Hur många små kuber består då den stora kuben av?

• Hur många små kuber kommer att ha 1, 2 respektive 3 färgade sidor?

• Visa att en kub som består av k × k × k små kuber kommer att ha 6(k – 2)2 små kuber med färg på endast en sida.

geometri • kapiteltest

Vux1_kap07.indd 309

309 2012-10-18 13:02

kapiteltest

Del 1 Utan räknare 1c

1 Utför följande räkneoperationer och visa resultatet med hjälp av vektorerna i figuren. a) w = u + v

b) p = 2q – r

​_›

​q ​

​__›

​ u​ _​› ​v ​

2 Utför följande beräkningar med u = (7, –3) och v = (9, 2) och ange resultatet i koordinatform. a) 2u + v

1c

​_›

​r ​

b) 3v – u

3 Undersök om det är möjligt att sätta ut → eller ↔ mellan följande satser.

Om inte, hitta ett motexempel.

a) Det snöar

Det är vinter

b) Triangeln är likbent

Två vinklar i triangeln är lika stora

c) x = 5

(x – 2)2 = 9

4 Beräkna de okända vinklarna i figuren. a)

b)

48°

x

x

2x

x

5 Beräkna de med x markerade sidornas längd.

(cm) 100

x

x

6 I figuren är linjerna k och l parallella.

Bestäm alla vinklar i den färgade triangeln.

k 125°

115°

l

7 Visa att arean av triangeln ABC är b ∙ c ∙ sin A ​ Area = ​ _________

2 C

310

B c

a

b

A

geometri • kapiteltest

Vux1_kap07.indd 310

2012-10-18 13:02

kapiteltest

Del 2 Med räknare 1c 8 Beräkna sidan markerad med x. a)

(cm)

b) 52°

x

x

9

23° 28

​__›

​__›

9 Beräkna storleken av vektorerna ​F1 ​ och ​

F2 ​, tyngdkraftens komposanter längs med och vinkelrätt mot vägen.

​__›

F ​ 2 ​ ​__›

35°

​F1 ​

1c

G = 34 kN

x (cm)

10 Beräkna sträckan markerad med x.

17° 36° 12

11 I figuren är två vektorer u och v ritade.

•

​_›

y

​_›

Bestäm ​u ​ + ​v ​. Visa operationen med hjälp av vektorerna i figuren och bestäm resultatet i koordinatform.

​_›

​v ​

​_› ​_›

• Beräkna längden av vektorerna ​ u _ ​, ​v ​ och ​_› ​_› ​_› ​› ​u ​ + ​v ​. Visa att vektorerna ​u ​ och ​v ​ uppfyller olikheten ​_›

​_›

​_›

|​u ​ + ​v ​| ≤ |​u ​| + |​v ​|

som också kallas triangelolikheten. _ ​›

_ ​›

_ ​›

x

1

​_›

_​_› u​ ​

1

_ ​›

_ ​›

_ ​›

• För vilka vektorer ​u ​ och ​v ​ gäller likheten |​u ​ + ​v ​| = |​u ​| + |​v ​|? Motivera ditt svar.

• Förklara, gärna med_ hjälp av en figur, varför triangelolikheten gäller för ​_› ​› alla vektorer ​u ​ och ​v ​.

geometri • kapiteltest

Vux1_kap07.indd 311

311 2012-10-18 13:02

matematik

matematik

vux 1b/1c

Matematik Origo vux är moderna läroböcker anpassade för VUX 2012. I Matematik Origo hittar du

vux 1b/1c

Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter Resonemang, kommunikation och problemlösning för alla Målbeskrivningar, tankekarta och test till varje kapitel

matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufåker Mikael Marklund

vux

1b/1c

Serien består av Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker, Mikael Marklund

Matematik Origo vux 1b/1c Matematik Origo vux 2b/2c Matematik Origo vux 3b/3c Matematik Origo 4 och Matematik Origo 5 Till varje bok i serien Matematik Origo vux hör ett häfte med fullständiga lösningar till alla uppgifter.

ISBN 978-91-523-1731-0

(523-1731-0)

OrigoNY_vux1bc_omslag_ORIG.indd 1-3

2012-06-01 10:41