9789147115679

numerus MATEMATIK

1B

ANDREAS RUNG EVA VON HEIJNE THOMAS RUNDLÖF

numerus MATEMATIK

1B

ANDREAS RUNG EVA VON HEIJNE THOMAS RUNDLÖF

LIBER

Till läsaren Välkommen till Matematik Numerus 1b!

HUR ÄR BOKEN UPPLAGD?

MED DIGITALA VERKTYG

Boken är indelad i 7 kapitel. Vart och ett av dessa börjar med en kort text om syftet med kapitlet.

Sedan varvas avsnitt med förklarande text, kontrollfrågor, lösta exempel och uppgifter att lösa.

I varje kapitel finns en eller flera större datorbaserade övningar under rubriken Med digitala verktyg. Övningarna fungerar både som lektionsaktiviteter i grupp och för enskilt arbete.

Här tränar du användning av symbolhanterande verktyg och kalkylering. De program som används är Microsoft Excel och GeoGebra. Inga förkunskaper krävs.

KONTROLLFRÅGOR OCH EXEMPEL

Genom att svara på Kontrollfrågor kan du testa att du har förstått den förklarande texten. Det är också bra om du studerar lösta Exempel innan du börjar med uppgifterna. Exemplen är konkreta och tar upp det viktigaste i teorin.

UPPGIFTER MED FÖRMÅGEMARKERINGAR

Uppgifterna är indelade i tre olika svårighetsgrader. Dessutom är de indelade efter matematisk förmåga. Ett streck över en eller flera uppgifter anger nivån (svårighetsgraden), och små bokstäver till höger på strecket anger vilka förmågor som tränas i uppgiften: NIVÅ 2

B P PL M R K

Syftet med markeringen är att du själv ska ha koll på att du verkligen tränar alla förmågor under kursens gång, och veta på vilken nivå du klarar dem. En bred matematisk förmåga har du nytta av i dina studier, ditt arbete och i vardagen.

DISKUTERA, RESONERA OCH MODELLERA

I boken finns större problemlösningsuppgifter, som kallas Diskutera, resonera och modellera. Du kan lösa dessa uppgifter på egen hand, men de är också lämpliga att diskutera med någon annan.

SAMMANFATTNING OCH BLANDADE UPPGIFTER

I slutet av kapitlen finns en Sammanfattning som ger dig en tydlig översikt över de viktigaste momenten i kapitlet. Därefter följer Blandade uppgifter från kapitlet, sorterade efter nivå och förmåga.

KAPITELTEST MED BEDÖMNINGSMALL

Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest med bedömningsmall. Mallen fyller du själv i. Syftet är att du ska kunna identifiera vad du behöver träna mer på. Bedömningsmallen gör det också lättare för din lärare att få en bild av dina kunskaper.

TACK

Vi vill rikta ett stort tack till de lärare och elever som kommit med förslag till förändringar och förbättringar under tillkomsten av denna bok. Vi vill speciellt tacka Lars Thunberg och Mimmi von Plato som granskat materialet. Eventuella kvarvarande brister ansvarar vi naturligtvis själva för.

Lycka till med studierna!

Författarna och Liber AB

TILL L ÄSAREN

III

P – PROCEDURFÖRMÅGA

FÖRMÅGOR B – BEGREPPSFÖRMÅGA

Att förstå, använda och beskriva matematiska begrepp och sambanden mellan begreppen

EXEMPEL

Viktiga begrepp är funktion, ekvation, uttryck och variabel. Att förstå dessa begrepp och att kunna använda dem korrekt räknas som begreppsförmåga.

RL – RELEVANSFÖRMÅGA

Att kunna relatera till matematikens roll, betydelse och användning inom andra ämnen, och i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.

EXEMPEL

Du visar att du förstår matematikens roll i världen runtomkring genom att till exempel redogöra för hur geometri används vid byggkonstruktion, eller procent vid ränteberäkningar.

IV

NUMERUS

Att hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär, såväl med verktyg (t.ex. miniräknare) som utan verktyg.

EXEMPEL

Ekvationen 6x = 36 har lösningen x = 6.

Grundläggande procedurförmåga visar du till exempel genom att lösa en ekvation eller förenkla ett uttryck.

FÖRMÅGOR När du arbetar med Matematik Numerus 1b kommer du att träna olika matematiska förmågor.

K – KOMMUNIK ATIONSFÖRMÅGA

Att kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

EXEMPEL

Kommunikation handlar om det matematiska språket. Om du använder korrekta begrepp och symboler kan andra förstå hur du tänker. Det kan till exempel vara att skriva ”6x = 36 som har lösningen x = 6”, i stället för att inkorrekt skriva ”6x = 36 = 6”.

PL – PROBLEMLÖSNINGSFÖRMÅGA

Att formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.

EXEMPEL

”I en förening med 24 medlemmar är 1/6 män. Hur många i gruppen är inte män?” Vid problemlösning ska du tolka ett problem, och översätta det till matematiska symboler och uttryck.

Sedan behöver du en strategi för att lösa problemet. I exemplet är målet att komma fram till att 5/6 inte är män och att det motsvarar 20 personer.

M – MODELLERINGSFÖRMÅGA

Att tolka en verklig situation och utforma en matematisk modell för den samt att använda modellen och utvärdera dess användningsområde och begränsningar.

EXEMPEL

”Du köper x äpplen för 5 kr/st och y bananer för 7 kr/st. Ställ upp en formel för den totala kostnaden.”

R – RESONEMANGSFÖRMÅGA

Att följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

Modellering går ut på att översätta mellan verklighet och modell. Här handlar det om att kunna formulera sambandet 5x + 7y = total kostnad. Du ska sen kunna använda sambandet för att räkna ut kostnaden för till exempel 8 bananer och 10 äpplen.

EXEMPEL

”Förklara vad det innebär att en rät linje har riktningskoefficienten –2”.

Resonemangsförmåga visar du när du diskuterar matematik. Målet är här att beskriva, muntligt eller skriftligt, hur riktningskoefficienten påverkar linjens lutning.

FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR

V

Innehåll 1 TAL OCH ARITMETIK 1.1 1.2 1.3

4.4

Talmängder och räkneregler .................................2 Rationella tal ........................................................... 16 Kvadratrötter och tal i potensform ................... 28

Grafisk ekvationslösning och modellering ................................................... 205 SAMMANFATTNING ............................................... 220 BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 222 KAPITELTEST .......................................................... 227

SAMMANFATTNING ................................................. 49 BLANDADE UPPGIFTER ......................................... 51 KAPITELTEST ............................................................ 55

5 GEOMETRI 5.1

2 ALGEBRA OCH EKVATIONER 2.1 2.2 2.3 2.4

Uttryck ...................................................................... 58 Ekvationer ................................................................ 71 Olikheter ................................................................... 82 Formler och mönster ............................................ 86

5.2 5.3

Geometriska grundbegrepp ............................. 232 Plana figurer, omkrets och area ....................... 237 Kroppar, volym och begränsningsarea .......... 247 SAMMANFATTNING ............................................... 257

6 GEOMETRI DEL 2

SAMMANFATTNING ............................................... 111

6.1

BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 113

6.2

KAPITELTEST .......................................................... 118

6.3

Vinklar och bevis ................................................. 260 Skala och likformighet ....................................... 265 Symmetri ................................................................ 271 SAMMANFATTNING ............................................... 293

3 PROCENT OCH SANNOLIKHETSLÄRA 3.1 3.2 3.3 3.4

Procent, andelar och antal ................................ 122 Procentuella förändringar ................................. 128 Lån, ränta och index ........................................... 136 Sannolikhetslära ................................................... 145

4.2 4.3

VI

KAPITELTEST .......................................................... 299

7 STATISTIK 7.1 7.2

Att tolka och rita tabeller och diagram ......... 304 Vilseledande statistik .......................................... 315

SAMMANFATTNING ............................................... 162

SAMMANFATTNING ............................................... 322

BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 163

BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 323

KAPITELTEST .......................................................... 168

KAPITELTEST .......................................................... 326

4 FUNKTIONER 4.1

BLANDADE UPPGIFTER ....................................... 295

Koordinatsystemet och funktionsbegreppet ............................................. 172 Linjära samband ................................................... 183 Potensfunktioner och exponentialfunktioner ........................................ 197

NUMERUS

SVAR TILL KONTROLLFRÅGOR ......................... 331 SVAR OCH LÖSNINGAR TILL MED DIGITALA VERKTYG .................................... 334 SVAR OCH LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER ............................................ 336 REGISTER ................................................................ 386 BILDFÖRTECKNING .............................................. 388

Kapitel 1

1.1 Talmängder och räkneregler 1.2 Rationella tal 1.3 Kvadratrötter och tal i potensform

TAL OCH ARITMETIK Vad du kommer att lära dig …

Att beskriva hur talen kan delas in i olika talmängder och strategier för att räkna med olika typer av tal. … och varför För att kunna lösa problem med hjälp av matematik måste du kunna räkna med olika typer av tal. De basfärdigheter som du lär dig i det här kapitlet kommer du att ha användning för i resten av gymnasiematematiken.

CENTRALT INNEHÅLL ■ Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.

■ Metoder för beräkningar inom vardagslivet och karaktärsämnena med reella tal skrivna på olika former, inklusive potenser med reella exponenter samt strategier för användning av digitala verktyg.

1.1 Talmängder och räkneregler Talmängder Tal brukar delas in i olika talmängder.

De naturliga talen

Den första och enklaste talmängden är de naturliga talen. Den betecknas med N och består av noll och de positiva heltalen.

Om vi vill ange att mängden N består av de naturliga talen skriver vi N = { 0 ,1, 2 , 3, … } . Klamrarna anger att vi har en mängd och punkterna visar att mönstret fortsätter.

De hela talen Summan av de motsatta talen är noll.

De naturliga talen ingår i en större mängd kallad de hela talen. I denna mängd ingår också de negativa heltalen. Vi skriver

–3 + 3 = 0

–4 –3 –2 –1 0

1

Z = { …− 3, −2, − 1,0,1,2,3… } .

2

3

4

Vi ser att det för varje positivt heltal finns ett motsatt negativt heltal och att summan av de två talen är noll.

De rationella talen

De hela talen ingår i sin tur i de rationella talen, eller bråktalen. Talet fyra 4 8 12 20 kan till exempel skrivas 4 = = = ... och är därför ett rationellt tal.

1 2 3 5 a De rationella talen betecknas Q = , där a och b är heltal och b inte är noll . b

}

}

Att b inte får vara noll brukar man kalla att ”b är skiljt från noll”, vilket skrivs b ≠ 0.

De irrationella talen

Det finns även tal som inte kan skrivas som ett bråk. Dessa kallas för de irrationella talen och betecknas med I. Ett av de mest kända exemplen är talet π (pi), som bland annat används vid beräkningar av cirklars omkrets och areor. Många kvadratrötter är också irrationella tal, till exempel 2 och 3 .

Gemensamt för de irrationella talen är att de har en oändlig decimalutveckling som inte är periodisk. Det innebär att det inte går att hitta ett mönster i decimalernas följd och att det inte finns en sista decimal.

2 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

R

De reella talen Q Z

2 7

N

1

13 π

27

0

–18 12 5

Alla tal som finns på tallinjen tillhör antingen de rationella talen eller de irrationella talen.

Tillsammans bildar de talmängden reella tal som betecknas R.

–

–1

–3

7 3 2

5 12

De reella talen fyller tallinjen helt utan mellanrum.

Tal ur mängden I

Vissa talmängder används så ofta att de har speciella symboler

De naturliga talen N = { 0,1,2,3, … } De hela talen Z = { …− 3 − 2, − 1,0,1,2,3…} De rationella talen Q =

} ba , där a och b är heltal och b inte är noll}

De reella talen R, som alltså utgörs av de rationella talen Q och de irrationella talen I.

NIVÅ 1

1101

B P PL M R K

a) Till vilken eller vilka talmängder hör följande tal: 2 –1/2

0,4

π

0

2

B P PL M R K

1103

a) Hur många olika bråk kan du skapa av talen, om du får använda samma tal i både täljare och nämnare?

–8/4

b) Rita en tallinje och markera talen.

1102

b) Vilka bråk kan du skapa om talen endast får förekomma en gång, antingen i täljaren eller i nämnaren?

a) Ge fyra exempel på bråk som har värdet 5. b) Ge fyra exempel på bråk med värden bland de negativa heltalen.

Du har talen 1, 2, 3 och 4.

NIVÅ 2

1104

Ge fyra exempel på par av tal a och b så att a det rationella talet och det inverterade b b talet inte har värden bland de hela a talen.

1.1 TALMÄNGDER OCH R ÄKNEREGLER

3

Prioriteringsregler Den räkneordning vi måste följa när flera olika räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är: Prioriteringsregler

1. Beräkna alla parenteser.

2. Utför alla multiplikationer och divisioner.

3. Avsluta med att addera och subtrahera alla termer.

EXEMPEL 1

6 + 3 · 3 = 6 + 9 = 15 Vi börjar alltid längst till vänster och skriver av hela uttrycket, även de delar vi inte ännu har beräknat. Vi använder oss av ett eller flera mellanled. Var noga med att hela tiden ha samma värde på båda sidor om likhetstecknet.

EXEMPEL 2

Vi använder parenteser för att till exempel visa att två tal ska adderas innan vi utför en multiplikation.

Om summan av talen 3 och 5 ska multipliceras med 4 måste vi skriva: (3 + 5) · 4 = 8 · 4 = 32 Om vi utelämnar parentesen resulterar det i en helt annan beräkning: 3 + 5 · 4 = 3 + 20 = 23

EXEMPEL 3

Beräkna värdet av 16 −

2 ⋅ (12 − 3) +4 6

Vi börjar med parentesen: 16 −

2 ⋅ (12 − 3) 2⋅9 + 4 = 16 − +4 6 6

Därefter utför vi multiplikationen och divisionen. Om multiplikation och division förekommer tillsammans är det valfritt vilket man börjar med. Sist utför vi addition och subtraktion.

16 −

4 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

2⋅9 18 + 4 = 16 − + 4 = 16 − 3 + 4 = 17 6 6

NIVÅ 1

1105

1106

B P PL M R K

Beräkna a) 3 + 4 · 5

b) 4 · 3 + 2 · 7

c) 6 · 7 – 3 · 9

d) 9 · 5 – 3 – 4 · 4

Beräkna 14 36 + −2 b) 12/4 – 3 + 18/2 a) 7 9 c) 5 – 32/8 + 48/6 d) 56/(3 + 5) – 45/9 + 2

EXEMPEL 4

14 + 6 20 + 12 / 3 − 3 = + 12 / 3 − 3 = 5 5 =4+4–3=5 14 + 6 = (14 + 6) / 5 Här har vi tänkt på att 5 där parentesen beräknas först.

1107

1110

Beräkna a) 17 · 2 –

c) 17 · 3 – 5 · 4 + 11 · 3 = 8 · 13 – 7 + 2

26 + 8 + 5 · 7 – 16 9+8

b) 16 · 3 – 5 · (3 + 8) – 3 + 7 · 9 + 5 12 + 7 ⋅ 7 + 9 ⋅ 9 + 8 c) 7 ⋅ 9 − 13

NIVÅ 2

1111

= 36 – 6 + 40 + 4 = 74

Det finns ett fel i varje beräkning. Vilket?

stämmer trots att en subtraktion har utförts först. Kontrollera att det stämmer genom en egen beräkning. Förklara när addition och subtraktion kan utföras först.

b) 12 – 3 · 4 = 9 · 4 = 36 c) 45/5 + 4 = 45/9 = 5 Det finns ett fel i varje beräkning. Vilket? a) 32 – 64/4 + 4 + 7 · 8 = = 32 – 64/8 + 56 = 32 – 8 + 56 = 80 b) 48/(4 + 4) – 3 · 3 + 15 · 2 = = 12 + 4 – 9 + 30 = 37

Beräkningen = (2 + 7) · 4 – 2 · 3 + 8 · 5 + 4 =

a) 7 + 3 · 4 = 10 · 4 = 40

1109

B P PL M R K

7 + (2 + 7) · 4 – 2 · 3 + 8 · 5 – 3 =

B P PL M R K

1108

Sätt ut en parentes i höger led (på höger sida om likhetstecknet) så att likhetstecknet gäller.

72 = 72 / 5 + 4 a) 5+4 b) 12 · 3 – 4 · 4 + 15 = 6 · 2 + 4 – 1

1112

Utför följande beräkning på minst två olika sätt: 27 + 9 7 + 4 ⋅ (3 + 2) − 6 + 12

c) 17 – 18/9 + 9 · 4 + 6 = 17 – 2 + 90 = 105

1.1 TALMÄNGDER OCH R ÄKNEREGLER

5

Räkneregler för negativa tal När vi lägger till negativa tal måste vi tänka på hur detta påverkar beräkningarna i de fyra olika räknesätten.

Addition med ett negativt tal

5 + (–3) = 5 – 3 = 2 Räkneregeln förstår vi om vi jämför med tillgångar och skulder. Om man har 5 kronor och lägger till en skuld på 3 kronor blir det bara 2 kronor kvar.

(

)

+ −

=

Vi skriver ett generellt uttryck genom att använda a och b i stället för siffror: a + (–b) = a – b Två operationstecken (i detta fall minustecknet och plustecknet) måste alltid skiljas åt med hjälp av en parentes.

Observera att det första minustecknet står för skillnaden mellan två tal. Det andra minustecknet visar att talet i sig är negativt.

Subtraktion med ett negativt tal

5 – (–3) = 5 + 3 = 8 Vi kan tänka oss skillnaden mellan våning 5 och 3:e källarvåningen. Det är 8 steg mellan våningsplanen där entréplanet är våning noll. På tallinjen ser vi tydligt att skillnaden är 8.

5

0

5 – (–3) = 8 –3

−3

6 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

0

5 8 steg

Vi kan även visa detta genom att lägga till (–3) och 3, som är motsatta tal och har summan 0. Vi kan då ändra uttryckets utseende, utan att ändra dess värde. =0 5 − (−3) = 5 − (−3) + 0 = 5 −(−3) + (−3) + 3 = 5 + 3 =0

Generellt med talen a och b får vi =0

a – (–b) = a – (–b) + 0 = a – (–b) + (–b) + b = a + b =0

KONTROLL

Beräkna a) 9 – (–3)

b) 7 + (–2)

c) 9 – (+3)

Multiplikation mellan ett positivt och ett negativt tal

Om vi tänker på att multiplikation är upprepad addition får vi: 3 · (–5) = (–5) + (–5) + (–5) = –5 –5 –5 = –15 Generellt kan vi skriva a · (–b) = –ab Multiplikation mellan två negativa tal

För att förstå multiplikation mellan två negativa tal utför vi multiplikation med 0. Alla multiplikationer med noll ger produkten 0.

(–3) · 0 = (–3) · ((–5)+ 5) = (–3) · (–5) + (–3) · 5 = 15 – 15 = 0 =0

Måste få värdet 15

Det vill säga att (–3) · (–5) = 3 · 5 = 15 Generellt med talen a och b får vi (–a) · (–b) = ab KONTROLL

Beräkna a) 7 · (–5)

b) –7 · (–5)

c) –8 · 6

1.1 TALMÄNGDER OCH R ÄKNEREGLER

7

Division mellan ett positivt och ett negativt tal

−12 12 12 = = − = −4 −3 3 3 Att ovanstående stämmer kan vi visa genom att multiplicera både täljare och nämnare (förlänga) med –1. −12 −12 ⋅ (−1) 12 12 = = = − = −4 3 3 ⋅ (−1) −3 3 Generellt med talen a och b skriver vi −a a a = =− b −b b Division mellan två negativa tal

Om båda talen i divisionen är negativa får vi genom att multiplicera med –1 att −12 −12 ⋅ (−1) 12 = = =4 −3 −3 ⋅ (−1) 3 Ett generellt uttryck med a och b skrivs då −a −a ⋅ (−1) a = = −b −b ⋅ (−1) b KONTROLL

Beräkna a)

−18 9

b)

18 −9

c)

−72 −9

Räkneregler

a + (–b) = a – b a – (–b) = a + b a · (–b) = –ab (–a) · (–b) = ab −a a a = =− b −b b −a a = −b b Minnesregel för alla fyra räknesätten: Lika tecken ger plus och olika tecken ger minus.

8 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

EXEMPEL 1

Beräkna 5 + (–8) – (+4) – (–2) Ersätt de dubbla tecknen med enkla: 5 + (–8) – (+4) – (–2) = 5 – 8 – 4 + 2 = –5

EXEMPEL 2

Beräkna 5 · (–8) + (–4) · (–2) Vi följer prioriteringsreglerna och multiplicerar först: 5 · (–8) + (–4) · (–2) = –40 + 8 = –32

EXEMPEL 3

Beräkna −12 −

15 −8 + = –12 – (–5) + (–2) = –12 + 5 – 2 = –9 −3 4

Samma beräkning kan även skrivas

15 (−8) == –12 – (–5) + (–2) = –9 −3 4

–12 – 15/(–3) −12 − ++

NIVÅ 1

1113

B P PL M R K

1117

a) 72/(–9) −38 c) −2

Beräkna a) –7 – (–2) + (–8) b) 5 – (+3) – (–6)

1114

1118

Beräkna a) 5 · (–3) + (–5) · (–7) b) –7 · (–4) + (–3) · 8

1115

Beräkna 18 −16 a) 5 + − −9 4 b) –3 – 21/(–3) – (–15)/(–3)

1116

Beräkna a) 6 · (–4) c) 3 + (–8)

Beräkna b) 15 – (–9) 63 d) −9

Beräkna a) 3 – 6 · 5 – (+7) b) 16/(–4) – 6 · (–7) 3 ⋅ (−11) − (+7) c) 5 + (−13)

b) –3 · 8 −27 d) 3

1.1 TALMÄNGDER OCH R ÄKNEREGLER

9

EXEMPEL 4

B P PL M R K

Beräkna −12 ⋅ 5 −

15 + (−6) ⋅ (−4) + (−3) . −3 − 2

1122

15 + (−6) ⋅ (−4) + (−3) = −3 − 2 15 −12 ⋅ 5 − + (−6) ⋅ (−4) + (−3) = −5 −12 ⋅ 5 −

En burk med pastasås som har temperaturen 42 °C placeras i en frys med temperaturen –21 °C. Såsens temperatur sjunker med 3 °C var 15:e minut. a) Vilken temperatur har såsen efter 75 min? b) Efter hur lång tid har såsen samma temperatur som frysen?

–60 – (–3) + 24 + (–3) = –60 + 3 + 24 – 3 = –36 I första mellanledet har den osynliga parentesen i divisionen beräknats. Vanligtvis utför vi flera operationer samtidigt: −12 ⋅ 5 −

15 + (−6) ⋅ (−4) + (−3) = −3 − 2

–60 – (–3) + 24 – 3 = –36

1119

Beräkna a) –4 · (–7) + 56/(–7) + (–8) b) 11 – (–3) · 4 – 7 · 9 + 55/(–11) c) –15 · 4 – 3 · (–13) + (18 · 2 + 4)/8 + 2 56 d) −7 ⋅ 8 + + (−5) ⋅ (−7) − (+2) −4 − 3

1120

Beräkna a) –2 · 3 · (–5)

B P PL M R K

b) –2 · (–2) · (–2) · (–2)

1123

c) –3 · (–3) · (–2) + 8 – (–3) d) 2 · 7 · (–8) – (–3) · (–9) NIVÅ 2

1121

Vilken beräkning ger det största talet?

–5 · (–5) · (–5) · (–5) · (–5) eller –3 · (–3) · (–3) · (–3)?

Hur avgör man storleken på enklaste vis?

B P PL M R K

Det finns ett fel i det matematiska språket i varje uppgift. Vilket? a) 12 · –4 + 16 · 5 b) 34 · (–7) + 6 – –8 33 + (−8) –27––1 + 4 · 5 c) + −3 d) 2 − 3 − (−2) 3

10 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

NIVÅ 3

1124

B P PL M R K

En skuld betecknas med –a kr och en inkomst med b kr. Hur kan nedanstående uttryck tolkas? a) b + (–a) om a > b b) b + (–a) om a < b

DISKUTERA, RESONERA OCH MODELLERA

B P PL M R K

Kopiera eller skriv av rutan nedan.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Eratosthenes (276–194 f. Kr.) var en forntida grekisk vetenskapsman som uppfann ett såll för att plocka fram tal med speciella egenskaper.

Utgå från talet två och stryk alla tal som är större än två och finns med i tvåans multiplikationstabell, det vill säga tal som är delbara med två.

Utgå sedan från det första tal som är större än två och som inte är struket.

Stryk alla tal större än talet och som finns i dess multiplikationstabell.

Upprepa proceduren till dess att det inte går att hitta fler tal att utgå ifrån.

Vad är speciellt med de tal som inte är strukna? Vad har de gemensamt?

K APITEL 1 . DISKUTER A , RESONER A OCH MODELLER A

11

Primtal, primtalsfaktorisering och delbarhet Låt oss börja med talen 6 och 7. Vi ser att 6 = 2 · 3 och 7 = 7 · 1.

6 är delbart med både 2 och 3. Med delbart menar vi att kvoten blir ett heltal: 6 6 = 3 och = 2 2 3 6 är ett exempel på ett sammansatt tal.

Generellt skriver vi att a är delbart med b om kvoten

a är ett heltal. b

Talen 2, 3 och 7 kan inte skrivas som en produkt av två mindre heltal. De är exempel på det vi kallar primtal.

Primtal

Ett primtal är ett heltal större än 1 som bara är delbart med sig självt och 1.

Bland annat vid bråkräkning är det användbart att kunna bestämma vilka och hur många primtal som ingår i ett sammansatt tal. Primtalen under 20 är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 och 19.

Primtalsfaktorisering

Uppdelningen av sammansatta tal i primtalsfaktorer kallas för primtalsfaktorisering. Vi kan dela upp talet 120 i primtalsfaktorer med ett faktorträd.

Faktorträd.

Den yttre grenen visar primtalsfaktoriseringen: 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5.

120 2

60 2

30 2

15 3

KONTROLL

12 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

5

Dela upp talet 132 i primtalsfaktorer med ett faktorträd.

I stället för att använda träd kan vi successivt (stegvis) plocka fram primtalsfaktorerna med hjälp av multiplikationstabellerna och divisioner. Vi primtalsfaktoriserar 280.

280 = 10 ⋅ 28 = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 7 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 23 ⋅ 5 ⋅ 7 10

28

Metoden tar mindre plats än faktorträd och går dessutom snabbare.

KONTROLL

Primtalsfaktorisera utan faktorträd a) 150

b) 126

Några enkla delbarhetsregler är användbara när du primtalsfaktoriserar: 1. Alla jämna tal är delbara med 2.

2. Tal vars siffersumma är delbar med 3 är själva delbara med 3. Till exempel har 126 siffersumman 1 + 2 + 6 = 9 och är därmed delbart med 3.

3. Tal som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5.

Primtalsfaktorisering och delbarhet

1. Talet a är delbart med talet b om kvoten

a är ett heltal. b

2. Delbarhetsregler a) Jämna tal är delbara med 2. b) Tal vars siffersumma är delbar med 3 är själva delbara med 3. c) Tal som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5.

3. De sammansatta talen är uppbyggda av primtal.

4. Primtalen under 20 är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 och 19.

EXEMPEL 1

213 har siffersumman 2 + 1 + 3 = 6, som är delbar med 3.

213 är alltså delbart med 3: 213 = 71 3

1.1 TALMÄNGDER OCH R ÄKNEREGLER

13

NIVÅ 1

1125

B P PL M R K

Vilka av de fem talen är delbara med 2?

1128

a) 35

12, 17, 21, 28 och 1 192 1126

Vilka av de fem talen är delbara med 3?

1129

Vilka av de fem talen är delbara med 5?

1130

c) 36

d) 44

b) 99

Primtalsfaktorisera talen. a) 98

701, 990, 1 005, 719 och 12 007

b) 70

Primtalsfaktorisera talen. a) 51

39, 45, 47, 372 och 10 011 1127

Primtalsfaktorisera talen.

b) 200

c) 112

d) 351

Hur stora tal måste vi testa med?

Vi tittar på talet 127. Med räknare får vi 127 ≈ 11,3 . När vi primtalsfaktoriserar 127 behöver vi därför bara prova med primtal mindre än 11,3, det vill säga 2, 3, 5, 7 och 11. Inget av primtalen upp till och med 11 delar 127. Därför är 127 ett primtal.

Utan räknare tittar vi på kvadrater av tal. Vilken heltalskvadrat är närmast mindre än 127? 112 = 121 och 122 = 144. Alltså räcker det att prova med alla primtal upp till och med 11.

Största primtalsfaktor

För att avgöra om ett tal m är ett primtal testar man endast med primtal mindre än m .

EXEMPEL 2

Avgör om talen är sammansatta eller inte. Primtalsfaktorisera de sammansatta talen. a) 717 7 + 1 + 7 = 15, det vill säga siffersumman är delbar med 3.

717 = 3 · 239 239 är enligt reglerna inte delbart med 2, 3 eller 5.

239 ≈ 15,5 .

Division med primtalen 7, 11 och 13 ger inte ett heltal.

239 är således ett primtal och vi får 717 = 3 · 239.

14 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

b) 1 092 1 092 = 2 · 546 = 2 · 2 · 273 273 ≈ 16,5 , så det största primtal vi provar med är 13.

Vi får: 1092 = 2 · 546 = 2 · 2 · 273 = 2 · 2 · 3 · 91 = 2 · 2 · 3 · 7 · 13 = = 22 · 3 · 7 · 13 KONTROLL

Vilket är det största primtal som du ska försöka primtalsfaktorisera med om du har talen a) 159

NIVÅ 2

1131

b) 1 031

B P PL M R K

Avgör om talet är ett primtal eller inte.

Primtalsfaktorisera talet om det är sammansatt. a) 2 873

b) 449

c) 839

NIVÅ 3

1134

Tina påstår att om talet a är delbart med 5 så är talet 3a + 15b också delbart med 5, förutsatt att b är ett heltal. Stämmer hennes påstående?

1135

Ali provar att summera två på varandra följande primtal större än 2. Alla summeringar resulterar i ett sammansatt tal som i sin tur består av 3 primtalsfaktorer. Visa honom att summan av två på varandra följande primtal alltid kan skrivas som en produkt av minst 3 primtalsfaktorer.

d) 843

1132

Visa att summan av två på varandra följande udda tal alltid är delbar med 2.

Två på varandra följande udda tal är till exempel 13 och 15 eller 221 och 223.

1133

Perfekta tal är tal där summan av alla ingående faktorer blir talet självt. Som faktorer räknas alla faktorer som bildar talet, inklusive 1. Talet självt ingår inte.

B P PL M R K

6 är ett perfekt tal därför att 6 = 1 · 6 = 2 · 3 och 1 + 2 + 3 = 6.

24 är inte ett perfekt tal därför att 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6.

Alla faktorer till 24 har summan 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36.

Ett av talen 28 och 30 är ett perfekt tal.

Vilket?

1.1 TALMÄNGDER OCH R ÄKNEREGLER

15

1.2 Rationella tal Ordet rationell kommer från latinets ratio som kort och gott betyder kvot.

täljare —————— = kvot nämnare

KONTROLL

Ett rationellt tal, eller bråktal, beskriver en andel eller ett förhållande mellan två heltal. Rationella tal har en täljare och en nämnare.

På ett klassråd har fyra av tio elever bestämt sig för vart de vill åka på klassresa. Vi kan beskriva andelen elever som har bestämt sig med bråket 4 . Bråkets värde uttryckt i decimalform är 0,4.

10

Skriv ett rationellt tal med nämnaren 8 och täljaren 5, och beräkna dess värde i decimalform.

Ett förhållandetal beskriver storleksförhållandet mellan två tal.

I vardagen träffar vi på förhållandetal till exempel när vi ska blanda saft eller när vi arbetar med skala på kartor och bilder. Ofta står det på saftförpackningarna ”spädes 1 + 4” som är ett vardagligt sätt att uttrycka förhållandetalet 1:4 på. 1:4 utläses ”ett till fyra”. Det innebär att av 5 dl färdigblandad saft är 1 dl saft från förpackningen, och 4 dl är vatten.

KONTROLL

I en klass på 30 elever vill 18 sluta tidigt på fredagar och 12 vill inte göra det. Beskriv detta med ett förhållandetal.

Några viktiga definitioner

Ett rationellt tal är ett bråktal, och består av en täljare och en nämnare, som båda är heltal.

Ett förhållandetal beskriver storleksförhållandet mellan två tal.

16 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

EXEMPEL 1

På en saftförpackning med 25 cl koncentrerad saft står det ”spädes 1 + 7”. Hur mycket färdigblandad saft kan vi göra med en hel förpackning?

Förhållandetalet är 1:7. Det innebär att för varje centiliter koncentrerad saft ska vi tillsätta 7 centiliter vatten.

25 cl koncentrerad saft ska vi alltså späda med 7 · 25 cl = 175 cl vatten.

Den totala mängden färdigblandad saft blir 25 cl + 175 cl = 200 cl = 2 liter.

NIVÅ 1

1201

B P PL M R K

1203

Skriv ett bråk som anger hur stor andel som är färgad i figurerna.

a) Hur stor andel var emot? b) Skriv ett förhållandetal som visar resultatet av omröstningen.

a)

NIVÅ 2

b)

På ett sammanträde röstade 30 personer för ett visst förslag, och 6 röstade emot.

1204

B P PL M R K

På en saftflaska står det ”spädes 1+ 9”. a) Redogör för vad det innebär. b) Hur stor andel av den färdigblandade saften är vatten?

c)

c) Hur mycket färdig saft kan vi blanda till om flaskan innehåller 0,75 liter?

d)

1202

Skriv talens värde i decimalform.

1 2 3 11 b) c) d) a) 10 5 20 50

1. 2 R ATIONELL A TAL

17

Att förlänga och förkorta bråk Vi kan förlänga ett bråk genom att multiplicera både täljare och nämnare med samma heltal: 4 4⋅2 8 = = 7 7 ⋅ 2 14

Här har vi förlängt bråket med 2.

Vi kan förkorta ett bråk genom att dividera både täljare och nämnare med samma heltal: 8 8/2 4 = = 20 20 / 2 10

Här har vi förkortat bråket med 2.

Ett bråks enklaste form får vi om vi förkortar bråket så långt som möjligt, genom att dividera täljare och nämnare med ett så stort heltal som möjligt.

40 20 går till exempel att förkorta till . Det går att förkorta ytterBråket 48 24 5 ligare till som är bråkets enklaste form.

6 Ibland behöver vi kunna jämföra värdet på olika bråk, och det kan bli invecklat om bråken har olika nämnare. Ett sätt att jämföra är att först se till att alla bråken har en gemensam nämnare. Om man förlänger bråken med varandras nämnare får de en gemensam nämnare.

KONTROLL

64 i enklaste form.

96 5 4 b) Vilket bråk är minst, eller ?

13 11 a) Skriv bråket

Förlänga och förkorta bråk

Att förlänga ett bråktal innebär att man multiplicerar både täljare och nämnare med samma tal.

Att förkorta ett bråktal innebär att man dividerar både täljare och nämnare med samma tal.

Ett bråk i sin enklaste form har en så liten nämnare som möjligt.

När vi arbetar med bråk strävar vi oftast efter att ha en så liten nämnare som möjligt, och att samtliga bråk har samma nämnare. Den nämnare som uppfyller båda dessa krav är den minsta gemensamma nämnaren (MGN), som är det minsta tal som är delbart med alla bråkens nämnare.

18 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

En metod att hitta MGN till två eller flera bråk är att primtalsfaktorisera alla nämnarna. Vi skapar sedan ett nytt sammansatt tal som är uppbyggt av de olika primtalsfaktorerna.

MGN

Den minsta gemensamma nämnaren (MGN) till två eller flera bråktal är det minsta tal som är delbart med alla bråkens nämnare.

För att vi ska kunna addera och subtrahera rationella tal krävs att talen har samma nämnare.

EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

2 5 och är MGN = 21, eftersom det minsta tal som är 3 7 delbart med både 3 och 7 är 3 · 7 = 21.

Till bråken

Vilket bråk är störst,

4 5 eller ?

9 11

Vi börjar med att förlänga bråken så att de får en gemensam nämnare.

4 4 ⋅ 11 44 5 5 ⋅ 9 45 = = och = = 9 9 ⋅ 11 99 11 11 ⋅ 9 99 Bråket

EXEMPEL 3

5 är alltså störst.

11

Vi har två bråk,

4 1 och .

9 6

Nämnaren 9 går att faktorisera till 3 · 3.

Nämnaren 6 går att faktorisera till 2 · 3.

Den minsta gemensamma nämnaren blir 2 · 3 · 3 = 18.

Vi kan alltså skriva båda bråken med nämnaren 18: 4 8 1 3 = och = 9 18 6 18 MGN = 18

1. 2 R ATIONELL A TAL

19

NIVÅ 1

1205

1206

1207

1208

B P PL M R K

Förläng 2 a) med 4 3 2 med 5 c) 5 Förkorta 20 med 5 a) 30 12 med 4 c) 16

40 med 8 48 72 d) med 12 96

b)

Skriv i dess enklaste form förhållandet mellan talen a) 25 och 45

b) 14 och 42

c) 36 och 84

d) 64 och 104

Hur stor andel av rutorna i figuren är a) färgade?

1209

1 med 3 6 1 d) med 7 2 b)

1211

Vilka av nedanstående bråk har samma värde?

4 4 12 5 12 36 7 5 15 9 21 45

1212

Vilket tal fattas?

1 = a) 2 4 2 c) = 5 40

b) vita?

Förläng eller förkorta bråket a) täljaren blir 8

2 så att 5

1213

c) förlängs med 3

d) nämnaren blir –100

20 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

15 om det 20

b) förkortas med 5

c) täljaren blir 12

Vilket bråk är störst av 3 4 och b) a) 5 7 13 2 c) och d) 21 3

Vilket utseende får bråket a) förlängs med 5

b) nämnaren blir 10

1210

3 12 = 4 16 4 d) = 100

b)

d) skrivs i dess enklaste form?

5 6 och 6 7

11 7 och 17 11

1214

Vilken är den enklaste formen av 4 32 54 21 b) c) d) a) 6 36 45 49

EXEMPEL 4

1219

5 5 och 12 18 genom att primtalsfaktorisera nämnarna.

Bestäm MGN till bråken

a) Hur stor andel av hennes kulor är gula? b) Anna-Karin ger bort fyra röda kulor.

Hur stor andel av kulorna är gula nu?

12 = 3 · 2 · 2 och 18 = 3 · 3 · 2

Svara med bråk i enklaste form.

5 5 5 5 = och = 12 3 ⋅ 2 ⋅ 2 18 3 ⋅ 3 ⋅ 2

1220

Det minsta talet som är delbart med både 12 och 18 innehåller fyra faktorer, två tvåor och två treor: MGN = 2 · 2 · 3 · 3 = 36

1215

Anna-Karin har kulor i tre olika färger.

18 är svarta, 10 är röda och 12 är gula.

B P PL M R K

1221

Bestäm minsta gemensamma nämnare till 1 1 2 1 och b) och a) 2 4 3 6 3 3 2 3 c) och d) och 4 7 11 5

1216

Beräkna och svara i enklaste form 1 2 1 1 b) + a) + 5 5 2 4 1 2 2 1 c) + d) + 4 3 7 5

1217

Beräkna och svara i enklaste form 3 1 4 1 − b) − a) 4 3 5 2 9 3 10 1 c) − d) − 7 4 11 3

Hugo cyklar till skolan. Det tar 12 minuter och 40 sekunder. Hur stor del av en timme motsvarar det?

1222

1 1 Olle får i uppgift att addera och 3 4 2 och får svaret . Läraren påstår att Olle 7 har räknat fel. Förklara noggrant för Olle varför hans lärare säger att svaret är fel, och visa honom hur han ska få rätt svar på uppgiften.

Alice delar en pizza i sju lika stora bitar.

Hon äter själv upp en av bitarna. Av det som är kvar äter en trut upp en tredjedel.

Visa att truten har ätit dubbelt så mycket som Alice.

B P PL M R K

1218

Erik, Julia och Amina ska dela på en 1 5 kladdkaka. Erik äter , Amina äter 3 12 och Julia får det som blir kvar. Hur stor del av kladdkakan får Julia?

1. 2 R ATIONELL A TAL

21

NIVÅ 2

1223

1224

1225

1226

B P PL M R K

Ange ett bråk mellan 3 4 2 3 a) och b) och 4 5 5 7 1 1 3 4 c) − och − d) − och − 5 6 8 9 1 Vilket bråk ska adderas till för att 6 7 ? summan ska bli 12 23 Vilket bråk ska subtraheras från för 24 1 att differensen ska bli ?

6 Vilket tal är y?

13 y −1 = a) 6 6

b) 4 +

5 y = 11 11 B P PL M R K

1227

Rita en figur som illustrerar beräkningen 1 1 7 + = 3 4 12

EXEMPEL 5

Vi undersöker två bråk med lite större näm37 5 och . Vilket är störst? nare: 630 84 För att hitta MGN faktoriserar vi de båda nämnarna: 630 = 10 · 63 = 2 · 5 · 7 · 9 = 2 · 5 · 7 · 3 · 3, 37 37 = det vill säga 630 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 84 = 2 · 42 = 2 · 7 · 6 = 2 · 7 · 2 · 3, 5 5 = så 84 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 Den minsta gemensamma nämnaren behöver innehålla följande faktorer: 2, 2, 3, 3, 5, 7. Det innebär att MGN = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 1260.

Med minsta gemensamma nämnaren blir bråken 37 2 ⋅ 37 74 = = 630 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 1260 5 5 ⋅3⋅5 75 = = 84 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 1260 Bråket

5 är alltså störst!

84

NIVÅ 3

1228

B P PL M R K

Vilket tal är störst av 13 1 44 2 a) och b) och 462 36 975 45 c)

22 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

och

10 12 och 96 112

d)

15 16 och 372 396

DISKUTERA, RESONERA OCH MODELLERA

NIVÅ 2

På de flesta räknare finns en tangent för att invertera tal. Ofta har den symbolen ”X–1”. Den tangenten kan du med fördel använda i den här övningen.

1. Använd din räknare för att beräkna värdet av följande tre bråk-

summor: 1 1 1+ + 2 4

1 1 1 1+ + + 2 4 8

1 1 1 1 1+ + + + 2 4 8 16

• Vi ska nu utöka summan med ytterligare några termer. Vilka blir de tre följande termerna om vi ska följa samma mönster? Vilket värde får summan när de tre termerna lagts till?

• Nu utökar vi summan ytterligare med ett stort antal termer som följer samma mönster. Vilket värde tror du att summan kommer att närma sig när vi lägger till fler och fler termer?

2. Använd din räknare för att beräkna värdet av följande tre bråk-

summor: 1 1 1+ + 3 9

1 1 1 1+ + + 3 9 27

1 1 1 1 1+ + + + 3 9 27 81

• Precis som tidigare vill vi utöka bråksumman med fler termer efter samma mönster. Vilka är de två följande termerna?

• Använd din räknare för att undersöka vilket värde summan kommer att närma sig när du lägger till fler termer.

3. Gör en internetsökning där du tar reda på några olika situationer då

summor har spelat en roll för matematikens utveckling. Inom vilka olika matematikområden har man använt sig av summor? (Till exempel geometri eller algebra)

K APITEL 1 . DISKUTER A , RESONER A OCH MODELLER A

23

Att multiplicera och dividera rationella tal För att vi ska kunna addera och subtrahera rationella tal måste talen ha samma nämnare. De två återstående räknesätten, multiplikation och division, kräver inte detta.

A. Vi visar multiplikation av två bråktal: 3 3 3⋅3 9 ⋅ = = 4 7 4 ⋅ 7 28 2 av 28 äpplen? Vi ska multiplicera ett bråk med ett 7 heltal. Vi skriver därför om heltalet 28 till ”28 hela” på följande sätt:

B. Hur mycket är

2 2 28 56 ⋅ 28 = ⋅ = =8 7 7 1 7 2 av 28 äpplen är 8 stycken.

7 Multiplikation av bråk

a c a ⋅ c ac ⋅ = = b d b ⋅ d bd

KONTROLL

Hur mycket är

4 av 45 kanelbullar?

9

2 För division av bråk finns en liknande regel. Vi ska beräkna 3 .

3 4 4 Vi förlänger med .

3 2 2 4 2 ⋅ ⋅ 3 = 3 = 3 3 =4⋅2 = 8 3 3 1 3 3 9 ⋅ 4 4

24 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

3 4 kallas det inverterade bråket till .

4 3 Räkneregel för division med bråk

Vi multiplicerar täljarens bråk med nämnarens inverterade bråk.

KONTROLL

a) Vilket är det inverterade bråket till

b) Hur mycket är

3 ?

7

2 ?

2 13

Division av bråk

a b = a ⋅ d = ad c b c bc d Vi ser att ett nödvändigt krav är att varken b eller c har värdet 0.

1. 2 R ATIONELL A TAL

25

NIVÅ 1

1229

1230

B P PL M R K

Hur mycket är 1 a) ⋅3 4 3 c) ⋅ 21 7

b) 4 ⋅ d)

Beräkna 1 3 a) ⋅ 3 4

d)

12 10 20 ⋅ ⋅ 5 4 25

c)

1 4 3

b)

3 4 5

d)

1237

Hur många sjundedelar får plats i nio elftedelar?

1238

En flaska innehåller 1,5 liter läsk.

Hur många glas som vardera rymmer 1 liter kan man fylla?

3

1239

a)

c)

3 7 6 5

b)

1 4 2 5

d)

3 11 9 22

1 av 280 kr?

7

1233

Hur mycket är

1234

Hur mycket är hälften av en tiondel?

1235

Hur många timmar är a) ett artondels dygn? b) en femtedels vecka?

26 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

I en klass med 32 elever är andelen 3 pojkar .

8 a) Hur stor andel flickor är det i klassen? b) Hur många flickor går i klassen?

B P PL M R K

1240

Beräkna och svara i enklaste form.

3 4 1 3

a , b a, b ≠ 0, och dess inverterade bråk?

Vad blir produkten av ett bråk,

2 5 4 3 8 7

B P PL M R K

1236

Beräkna och svara i enklaste form. a)

1232

7 ⋅4 4

2 3 b) ⋅ 5 8

1 1 c) 3 ⋅ ⋅ 4 15 1231

3 12

NIVÅ 2

1241

2 Beräkna summan a + b om a = och 7 8 a⋅b = .

21 Ellen bjuder hem några kompisar på pizza. Hon räknar med att alla kommer att äta fyra femtedels pizza, så hon beställer hem åtta stycken. Hur många kompisar har hon bjudit?

B P PL M R K

1242

Formulera ett eget problem som leder till 3 bråket 4 . Beräkna bråkets värde.

1 6

NIVÅ 3

1243

B P PL M R K

Beräkna

2 1+

2

1+

1245

4 3 B P PL M R K

1244

B P PL M R K

1246

a och b är hela tal, a ≠ 0 och b ≠ 0. Vilket a tal ska vi multiplicera med för att få b a)

1 b

b)

b a

c)

1 a

x har ett värde som ligger mitt 96 1 1 emellan och . Vilket är talet x?

6 8 Bråket

Oskar klipper en gräsmatta på 3 timmar medan samma gräsmatta tar 2 timmar för Lisa. Hur lång tid tar det att klippa gräsmattan om de klipper samtidigt?

B P PL M R K

d) b

1247

I Egypten räknade man för länge sedan med stambråk, det vill säga bråk där täljaren alltid har värdet 1. a) ”Nio tjugondelar” kan skrivas som en summa av två olika stambråk, där det 1 ena är− . Vilket är det andra?

5 b) Vilka två stambråk ska subtraheras för 5 att differensen ska bli ?

14

1. 2 R ATIONELL A TAL

27

1.3 Kvadratrötter och tal i potensform Kvadratrötter En kvadrat har arean 25 cm2. Hur lång är kvadratens sida? a

För att lösa problemet måste vi hitta ett tal som är sådant, att talet multiplicerat med sig självt får värdet 25. Om vi kallar talet för a får vi problemet a · a = 25 att lösa.

Här är det enkelt att se, med huvudräkning, att lösningen är a = 5 eftersom 5 · 5 = 25.

Vi säger att ”5 i kvadrat är 25”. Uttryckssättet hänger ihop med det geometriproblem vi just har löst. Andra exempel på ”kvadrattal” är 4, 9, 16 och 36 eftersom 2 i kvadrat är 4, 3 i kvadrat är 9, 4 i kvadrat är 16 och 6 i kvadrat är 36.

En matematisk formulering av lösningen innehåller begreppet kvadratrot.

Kvadratroten ur 25 är 5, eftersom 5 · 5 = 25. Vi skriver detta

25 = 5 .

Kvadratrot

Med kvadratroten ur ett positivt tal a menar vi det positiva tal vars kvadrat är a. Vi skriver a .

Med hjälp av kvadratrot kan vi lösa ett annat, liknande problem.

EXEMPEL 1

En kvadrat har arean 21 cm2.

Hur lång är kvadratens sida?

21 cm2

a

Här hittar vi inget heltal som passar. Eftersom 4 · 4 = 16 och 5 · 5 = 25 så måste svaret ligga någonstans mellan 4 och 5.

Lösningen till problemet är att sidan är a = 21 ≈ 4,582575695 som är ett irrationellt tal. Det exakta värdet är a = 21 .

Om sidan är 21 cm är arean 21cm ⋅ 21cm = 21 cm 2 .

28 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

NIVÅ 1

1301

1302

B P PL M R K

B P PL M R K

Beräkna följande tal med hjälp av huvudräkning. a)

49

b)

81

c)

10000

d)

0,25

Beräkna följande tal med din räknare.

Svara med två decimalers noggrannhet. a)

2

b)

13

c)

20,25

d)

117

1303

En kvadrat har arean 64 cm2. Hur lång är kvadratens sida?

1304

En kvadrat har arean 121 cm2. Vilken omkrets har kvadraten?

1305

Beräkna kvadratens omkrets, och svara med två decimaler, om arean är a) 45 cm2

b) 91 cm2

c) 42,25 cm2

d) 114,49 cm2

1306

En rektangel består av tre kvadrater i rad.

Dess area är 192 cm2. Vilken omkrets har rektangeln?

1307

En kvadrat delas så att man får två trianglar. En triangel har arean 47 cm2. Vilken omkrets har kvadraten?

Räkneregler för kvadratrötter

Ibland kan man få komplicerade uttryck som innehåller kvadratrötter, eller stora tal vars kvadratrot ska beräknas, och då kan man behöva förenkla uttrycken för att de ska bli lättare att beräkna.

EXEMPEL 2

Hur mycket är

9 ⋅ 25 och

36 ?

16

Vid multiplikation och division får vi dela upp kvadratroten i två separata kvadratrötter: 9 ⋅ 25 = 9 ⋅ 25 = 3 ⋅ 5 = 15 En snabb kontroll: 9 · 25 = 225, och

225 = 15 enligt räknaren.

36 36 6 3 = = = =1,5 1,5 16 16 4 2 En snabb kontroll:

36 = 2,25 och 16

2,25 = 1,5 enligt räknaren.

1.3 K VADR ATRÖT TER OCH TAL I POTENSFORM

29

EXEMPEL 3

Förenkla uttrycket

32 ⋅ 2 8

2 ⋅ 16 ⋅ 2 2 ⋅ 16 ⋅ 2 2 ⋅4⋅ 2 4⋅ 2 32 ⋅ 2 = = = = = 2⋅ 2 2 8 2⋅4 2⋅ 4 2 ⋅2 Längre än så kommer vi inte, men vi kan välja att skriva 2 som

4:

2⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 2⋅4 = 8 Räkneregler för kvadratrötter

a⋅b = a ⋅ b

NIVÅ 1

B P PL M R K

1308

Jämför uttrycken 9 + 4 och Har de samma värde?

1309

Förenkla uttrycken

1310

16 + 9 25

b)

8 ⋅ 18 12

c)

8⋅ 2 4

d)

2⋅

(

32 − 8

)

Förenkla a)

3⋅ 6 2

b)

c)

2 ⋅ 12 3

d)

3⋅ 6 18 15 ⋅ 12 5 ⋅ 25 B P PL M R K

Vilket tal ska stå i stället för a?

2⋅ 4 a⋅ a =1 b) =1 a) 5 a c)

25 ⋅ a = 10 2

30 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

d)

3 1 = a 2

a a = b b

1312

Lotte påstår att 64 + 25 = 13 . Har hon tänkt rätt? Hur har hon tänkt tror du?

1313

Låt a och b vara två olika positiva heltal. Visa med två exempel att a + b ≠ a+b .

9+ 4 .

a)

NIVÅ 2

1311

a⋅a = a ⋅ a = a

NIVÅ 3

B P PL M R K

1 2 = 2 2

1314

Visa att

1315

En så kallad pythagoreisk trippel består av tre positiva heltal a, b, c som uppfyller att a · a + b · b = c · c. a) Visa att talen 3, 4 och 5 är en pythagoreisk trippel. b) Om de två minsta talen är 8 och 15, vilket är det tredje? c) Det största talet är 29 och det minsta 20. Vilket är det tredje?

Potenser med heltalsexponenter Additionen 4 + 4 + 4 + 4 + 4 kan vi skriva som en produkt: 5 · 4. Även en upprepad multiplikation kan skrivas enklare. Produkten 5 · 5 · 5 skriver vi i stället 53.

bas

Vi beräknar potenser före multiplikation och division, till exempel 5 · 23 = 5 · 8.

potens

53

exponent

Skrivsättet kallas potensform. 53 kallas för en potens och utläses ”5 upphöjt till 3”. 5 är bas och 3 är exponent.

Så här gör vi när vi räknar med potenser: Multiplikation av potenser 45 · 42 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 47 Vi adderar exponenterna.

Division av potenser 54 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 4− 2 = 5 2 = 52 5⋅5 52 5⋅5 1 = = = 5−2 54 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 52

2−2 52 = 5 = 50 = 1 2 5

Vi subtraherar exponenterna.

Enligt regeln för division av potenser 52 gäller 4 = 52−4 = 5−2 . Slutsatsen blir 5 1 att 2 = 5−2 .

5 52 = 1 eftersom ett tal dividerat med 52 sig självt blir 1. Slutsaten blir att 50 = 1.

Potens av en potens (52 )3 = 52 ⋅ 52 ⋅ 52 = 5

2+2+2

=5

2⋅3

=5

Vi multiplicerar exponenterna.

6

Potens av en produkt (5 · 2)3 = 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 = = 5 · 5 · 5 · 2 · 2 · 2 = 53 · 23 Potens av en kvot  2 2 2 2 22   = ⋅ = 2 3 3 3 3

Vi upphöjer varje faktor i parentesen.

Vi upphöjer nämnare och täljare var för sig.

1.3 K VADR ATRÖT TER OCH TAL I POTENSFORM

31

Räkneregler för potenser

ax · ay = ax+y

Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas exponenterna.

ax = a x − y , (a ≠ 0) Vid division av potenser med samma bas subtraay heras exponenterna.

1 = a− x , (a ≠ 0) En positiv exponent i nämnaren kan skrivas som ax en negativ exponent i täljaren. a0 = 1, (a ≠ 0)

Allt som upphöjs till 0 blir 1.

(ax)y = axy

Vid potens av en potens multipliceras exponenterna.

(a · b)x = ax · bx

Vid potens av en produkt upphöjs varje faktor för sig.

 a x a x   = x , (b ≠ 0) Vid potens av en kvot upphöjs nämnare och b  b täljare för sig.

KONTROLL

1 Vad kallas 5:an och vad kallas 3:an i potensen 53?

2 Vad blir 30?

3 Hur gör du med exponenterna vid a) multiplikation av potenser med samma bas? b) division av potenser med samma bas? c) en potens av en potens?

EXEMPEL 1

Skriv som en potens med hjälp av räknereglerna. a) 72 · 76 Här har vi multiplikation av två potenser med samma bas och vi adderar då exponenterna.

72 · 76 = 72 + 6 = 78 b)

76 72 Här har vi division mellan två potenser med samma bas och vi subtraherar då exponenterna.

76 = 7 6− 2 = 7 4 72

32 K APITEL 1 . TAL OCH ARITMETIK

NIVÅ 1

B P PL M R K

Förenkla med hjälp av räknereglerna

Skriv som en potens

1316

a) 2a3 + a3

b) 5x2 – 4x2

Skriv som en potens

1317

b) 32 · 33

a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 Skriv som en potens

1318

a) 52 · 57 a) 5 · 52 1320

b) a4 · a

b)

 2 2 22   = 2 3 3 Även här använder vi ofta regeln ”baklänges”: 3 103  10  = = 43   2,53  2,5 

17 0 x0 1324

Förenkla 32 ⋅ 33 a) 34

1323

Här har vi en potens av en kvot och vi upphöjer då nämnare och täljare var för sig:

4a 2 b) 2a5

a) 50

(4 · 2)3 = 43 · 23

 2 2 b)   3

Förenkla

1322

Här har vi en potens av en produkt och vi upphöjer då varje faktor var för sig.

Ofta använder vi regeln ”baklänges”: 43 · 2,53 = (4 · 2,5)3 = 103

Skriv som en potens 43 43 b) 5 a) 4 4 Förenkla 6b 2 a) 3b

1321

a) (4 · 2)3

b) a3 · a2

Skriv som en potens

1319

EXEMPEL 3

b)

5

5 5 ⋅ 54

Förenkla a) 23 · 2-2 · 5-2 · 53

3

b) 52 · 3–1 · 24 · 5–1 · 2–2 · 32

EXEMPEL 2

Förenkla 52 · 34 · 5–1 · 3–2 med hjälp av räknereglerna och svara i potensform.

Vi beräknar varje bas för sig: 2

4

–1

–2

2–1

5 ·3 ·5 ·3 =5

4–2

·3

1325

Beräkna a) (1,5 · 2)2

1326 2

=5·3

1327

Beräkna  1 2 a)   4 Beräkna  3 2 a)   4

b) 28 · 0,58

b)

2 2 2 ⋅ ⋅ 3 3 3

b)

63 1,53

1.3 K VADR ATRÖT TER OCH TAL I POTENSFORM

33

sjömil

175

subtraktion

skala 265

symmetri

skärningspunkt slumpförsök

177

4

utfallsrum 145

271

symmetrilinje

utformningsfel 315 271

uttryck 58

145

slumpmässigt urval

304

tallinje

82

variabel 58

spegelsymmetri 271

talmängder

2

speglingslinje

tesselering

286

tiopotenser

36

271

stapeldiagram 306 starttal 97

variabelterm 58 vektor 279 vilseledande statistik 315

translation 278

vinklar

statistisk undersökning

304

triangel

volym

Statistiska centralbyrån

143

träddiagram

257

stolpdiagram 306

typvärde

stratifierat urval

täljare

stråle

304

150

307

16

260 234

volymenhet

235

värdemängd 179 värdetabell

186

233

sträcka

233

utfall 145

återläggning

145

Bildförteckning Omslagsbilder: Shutterstock

139 Nora Lorek/TT 140 Cultura Creative/Johnér

1

SPL/IBL Bildbyrå

10

Lisa Björner/Johnér

17

Matton/Johnér

155 CC-BY-SA Vesihiisi. https:// commons.wikimedia.org/ wiki/

20

plainpicture/Johnér

158 Maskot/Johnér

27

Johan Ödmann/Johnér

161 Karl Forsberg/Johnér

35

Andreas Kindler/Johnér

166 Christine Olsson/TT

36 (1) plainpicture/Johnér

171 Fredrik Ludvigsson/Johnér

36 (2) SPL/IBL Bildbyrå

176 Lisa Björner/Johnér

52

plainpicture/Johnér

178 Henrik Trygg/Johnér

56

SPL/IBL Bildbyrå

187, 207 plainpicture/Johnér

57

Hercules Milas/Alamy/IBL Bildbyrå

193 Philip Laurell/Johnér

Jesper Molin/Johnér

241 Bridgeman/IBL Bildbyrå

75

76, 77 Maskot/Johnér 81

plainpicture/Johnér

85

Tomas Oneborg/SvD/TT

131 Ingela Nyman/Johnér

388 REGISTER / BILDFÖRTECKNING

232 SPL/IBL Bildbyrå 259 Jeppe Wikström/Johnér 264 Matton/Johnér 265 SPL/IBL Bildbyrå 281 Erich Lessing/IBL Bildbyrå

286 (2) ”Marilyn” Bridgeman/IBL Bildbyrå © 2017 The Andy Warhol Foundation for the Visual Arts, Inc./Licensed by Artists Rights Society (ARS), New York.

287 Iain Masterton/Alamy/IBL Bildbyrå 288 M.C. Escher’s ”Day and Night” © 2017 The M.C. Escher Company-The Netherlands. All rights reserved.

305 (2) Ulf Palm/TT 309 Jakob Fridholm/Johnér 313 Izabelle Nordfjell/TT 315 Håkan Hjort/Johnér 323 Rebecca Wallin/Johnér 328 Cultura Creative/Johnér Övriga foton: Shutterstock

ISBN 978-91-47-11567-9 © 2018 Andreas Rung, Eva von Heijne, Thomas Rundlöf och Liber AB PROJEKTLEDARE: Calle Gustavsson OMSLAG: Cecilia Frank FORMGIVNING: Nette Lövgren och Cecilia Frank BILDREDAKTÖR: Marie Olsson ILLUSTRATIONER: Björn Magnusson PRODUKTION: Adam Dahl GRANSKARE: Lars Thunberg och Mimmi von Plato

Första upplagan 1 REPRO: Exakta Print, Malmö TRYCK: People Printing, Kina 2018

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm KUNDSERVICE TFN 08-690 90 00

www.liber.se E-POST kundservice.liber@liber.se

Matematik Numerus är en ny matematikserie för gymnasiets högskoleförberedande program. Böckerna ger goda förutsättningar för fortsatta studier och passar också för vuxenutbildning och basår.

Utmärkande för serien: • uppgifter kopplade till förmågorna • utförliga lösningar i facit och på webben • rikt och pedagogiskt genomtänkt digitalt material Matematik Numerus omfattar samtliga kurser på gymnasiets b- och c-spår.

Läs mer om serien och digitalt material på www.liber.se.

Andreas Rung är civilingenjör och lärare, med en doktorsexamen i fysik. Han undervisar vid Kungsholmens gymnasium i Stockholm.

Eva von Heijne är civilingenjör och lärare i matematik och kemi, med lång erfarenhet från undervisning på gymnasiet. För närvarande är Eva verksam inom Vuxenutbildningen i Lidingö.

Thomas Rundlöf är lärare i matematik och naturkunskap vid Enskilda Gymnasiet i Stockholm.

Best.nr 47-11567-9 Tryck.nr 47-11567-9