9789140673695 by Smakprov Media AB

Formula Matematik

Lärarhandledning BO SJÖSTRÖM

JACOB SJÖSTRÖM

InnehållsförtecknIng Del 1

Allmänt om Prima Formula

Del 4

forskningsprojekt ”klass 4b–6b” . . . . . . . . . . . . 5 Prima fOrMUlA 4–6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Elevbokens upplägg Kapitlens innehåll Rep och Formativ bedömning Läxor Gruppledtrådar Sambandsblad Dvd Lärar- och elevwebb Uppgifter för IST (Interaktiv skrivtavla)

6 6 7 7 7 7 7 8 8

ett kapitels upplägg och delar . . . . . . . . . . . . . . . 8 Mål och Diskussionsbild Gemensamt spår (G-spår) Aktiviteter Reflektion och utvärdering Teorirutor Textuppgifter och nakna uppgifter Lösa problem Tänk efter Diagnos Utmaningar Spår 1 och 2 Något extra

9 10 10 10 12 12 14 16 16 16 16 16

Innehåll på dvd:n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Del 2

Kommentarer till elevbokens sidor

kapitel 1 Tal och räknesätt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 kapitel 2 Bråk och decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . 44 rep 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Formativ själv- och kamratbedömning

kapitel 3 Procent och bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 kapitel 4 Sannolikhet och bråk . . . . . . . . . . . . . . . 86 rep 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Formativ själv- och kamratbedömning

100

kapitel 5 Lägesmått och diagram . . . . . . . . . . . . 101 kapitel 6 Koordinatsystem och förflyttningar . . . 117 rep 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Formativ själv- och kamratbedömning

129

Del 3

Gruppledtrådar

gruppledtrådar till kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . 162 facit till gruppledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Anvisningar till övningar med gruppledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 gruppledtrådar till kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . 132 gruppledtrådar till kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . 138 gruppledtrådar till kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . 144 gruppledtrådar till kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . 150 gruppledtrådar till kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . 156

Mål, kunskapskrav, prov och bedömningsunderlag

Målöversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Kunskapskrav för betyg A, C och E i slutet av årskurs 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Allmänt om proven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Prov 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Prov 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Prov 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Facit och bedömningsförslag, Prov 1 Facit och bedömningsförslag, Prov 2 Facit och bedömningsförslag, Prov 3

186 189 193

Del 5

Kompletterande material, kopieringsunderlag och facit

kompletterande material . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Kategorisering av elevers syn på matematik och lärande Utdrag ur Evald, Bosse Bus och jag

197 198

sambandsblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Addition och subtraktion (passar som introduktion) 200 Tid och räknesätt (passar till kapitel 1) 201 Multiplikation och division (passar till kapitel 2) 202 Bråk-decimaltal-procent (passar till kapitel 3) 203 Sannolikhet och bråk (passar till kapitel 4) 204 Lägesmått, summa och antal (passar till kapitel 5) 205 Lägesmått och negativa tal (passar till kapitel 6) 206 Tom tabell (passar till kapitel 1–6) 207 kopieringsunderlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Räkna med nollor (elevboken s . 18, Aktivitet 1:5) 208 Tangrampussel (elevboken s . 45, Aktivitet 2:2) 209 Ett bussproblem (elevboken s . 66, Aktivitet 2:6 B) 210 Sannolikhet med cirklar (elevboken s .135, Aktivitet 4:2) 211 Frekvens (elevboken s . 196, Aktivitet 5:7, uppg . A) 212 Urtavlor (elevboken kapitel 1) 213 Diagram (elevboken kapitel 5 och 6) 214 Koordinatsystem (elevboken kapitel 6) 215 facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Kapitel 1 Tal och räknesätt Kapitel 2 Bråk och decimaltal Rep 1 Kapitel 3 Procent och bråk Kapitel 4 Sannolikhet och bråk Rep 2 Kapitel 5 Lägesmått och diagram Kapitel 6 Koordinatsystem och förflyttningar Rep 3 Läxor

217 221 226 227 229 232 232 236 238 239

F O R S K N I N G S P R O J E K T

”K

L A S S

4B–6B”

Forskningsprojekt ”Klass 4b–6b” I lärarhandledningen hänvisas ibland till hur elever i ”Klass 4b–6b” har arbetat med, upplevt och reflekterat över vissa aktiviteter och uppgifter. Dessa erfarenheter har sitt ursprung i ett forskningsprojekt som jag, Bo Sjöström, gjorde när jag följde en klass från fyran till sexan. Erfarenheterna och lärdomarna från forskningen har satt sina spår i elevbokens upplägg. I projektet undersökte och lärde jag känna de krafter som verkar i ett klassrum där läraren vill göra matematikundervisningen mera undersökande. Vilka hinder och vilka möjligheter dyker upp? I mitt forskningsprojekt preciserade jag följande frågor: 1. Vilka aktiviteter växer fram i ett klassrum där läraren försöker göra matematikundervisningen mera undersökande? Hur reagerar eleverna på sådana aktiviteter? 2. Vilka mönster, strukturer eller strategier växer fram? 3. Hur förändras elevernas syn på undervisningen över tid? (Hur lång tid tar det?) 4. Hur kan erfarenheter från detta arbete komma till nytta i nya förändringsprocesser eller i andra klassrum?

Strategier i arbetet Efterhand formulerade vi tre övergripande strategier som var vägledande för oss i förändringsarbetet: Ös 1: Vi utgår ifrån elevernas syn på matematik och lärande. Vi försöker efterhand utmana eleverna i denna deras syn. Ös 2: Innehåll – lärande ska matcha varandra/samverka i våra olika moment i förändringsarbetet. Ös 3: De moment vi arbetar med ska utformas så att eleven i möjligaste mån får tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer.

Vikten av reflektion För att följa elevernas utveckling av deras syn på matematik och lärande fick de kontinuerligt frågor att reflektera över. De mest givande var de ”situationsbundna” som t.ex. besvarades i samband med en aktivitet. Exempel på sådana frågor finns till varje kapitel i denna lärarhandledning under den återkommande rubriken Reflektionsförslag. Vi använde även frågor av allmän karaktär: • Hur tänker du/andra?

• Vad är viktigt att kunna?

• Vad lärde du/andra?

• Hur vet du vad du kan?

• Hur lärde du/andra?

• Hur vet din lärare vad du kan?

Frågorna kallar vi ”syn-på-frågor”. Den första frågan handlar om tänkande, nästa två om lärande och resten om kunnande och medvetenhet. Om eleverna reflekterar kommer detta också att påverka deras syn på matematik och lärande. ”Syn-på-frågor” kan alltså vara ett medel i förändringsprocessen. Elevers olika sätt att tänka och se samband visade oss hur viktigt det är att aktiviteter och uppgifter är utformade så att de kan ge upphov till djupare begreppsförståelse som är värd att reflektera över och bli medveten om. Begrepp och samband inom begrepp samt mellan begrepp kan synliggöras via väl valda uppgifter i en lämplig progression. En sådan finns i elevboken. Och i lärarhandledningen trycker vi på värdet av reflektion och medvetenhet.

P R I M A

R M U L A

4–6

Prima FORMULA 4–6 Prima FORMULA är ett läromedel för grundskolan år 4–6. Prima FORMULA ingår i en matematikserie och är länken mellan Prima Matematik för år F–3 och Formula Matematik för år 7–9. Läromedlet Prima FORMULA består av: • Prima FORMULA 4 elevbok, lärarhandledning, elev- och lärarwebb, elevfacit • Prima FORMULA 5 elevbok, lärarhandledning, elev- och lärarwebb, elevfacit • Prima FORMULA 6 elevbok, lärarhandledning, elev- och lärarwebb, elevfacit

Elevbokens upplägg Prima FORMULA 5 elevbok omfattar sex kapitel. Efter vartannat kapitel ﬁnns Rep 1, 2 resp. 3, med bl.a. repetitionsuppgifter. Boken avslutas med ett läxavsnitt med fyra läxor till vart och ett av de sex kapitlen.

Kapitlens innehåll Varje kapitel i elevboken har namn som innehåller två matematiska begrepp förenat med ett ”och”. Detta för att belysa att det finns samband mellan dessa två begrepp. Dessutom finns flera andra samband mellan begrepp både inom ett kapitel och mellan olika kapitel.

P R I M A

R M U L A

4–6

Rep och Formativ bedömning Rep står inte bara för repetition utan också för sammanhållande rep, eller tråd. Repsidor finns efter kapitel 2, 4 och 6. Här sammankopplas olika begrepp, som behandlats i föregående kapitel, för att visa på hur saker hänger samman och bygger på varandra. Sista uppgifterna i Repen är svårare och mera omfattande än resten av uppgifterna. De liknar provuppgifter som finns i provens B-del. Detta för att eleverna ska få möjligheter att vänja sig vid uppgifter där högre kvaliteter kan uppvisas. Välj gärna ut elevlösningar från sådana uppgifter för att visa klassen olika typer av lösningar och hur bedömningar görs av dessa. Du kan använda uppgifterna med utsatta poäng så som i nationella prov. Du kan också använda uppgifterna för Formativ bedömning riktat till eleven för Själv- och kamratbedömning. Formativ bedömning sker gärna i samband med de mål som ska nås. Lämpliga mål kan du hämta från respektive kapitels första sida i elevboken. I lärarhandledningens Del 2 finns förslag till hur Repens sista uppgifter kan formuleras för Formativ bedömning. Där finns också exempel på var och hur Formativ bedömning kan användas i samband med vissa avsnitt i elevboken.

Läxor Till varje kapitel finns fyra läxor. De ligger dels på elevbokens sista sidor och dels på webben. De sista uppgifterna i varje läxa är av lite speciell karaktär. Eleverna kan t.ex. få i uppgift att diskutera något med en vuxen eller kamrat eller få ett uppdrag att utföra en aktivitet i hemmet. Detta kan bidra till att eleven får en vidgad syn på matematik och att hemmet får insyn och engagemang i aktuellt innehåll i skolmatematiken. Se speciellt varje läxas avslutande uppgift.

Gruppledtrådar Precis som för åk 4, finns till varje kapitel 6 sidor med, av elever oerhört uppskattade, Gruppledtrådar. Se anvisningar i Del 3 s. 131.

L Gruppledtrådar 5-1A och 5-1B passar till s. 6–13.

Sambandsblad Precis som för åk 4, finns till varje kapitel lämpliga Sambandsblad. Se anvisningar i Del 5.

Dvd Till elevboken medföljer en dvd-skiva med extra övningsblad till eleverna i form av utskrivbara pdf:er. På skivan finns också filmer på teorigenomgångar av viktiga moment till varje kapitel. Skivan i elevböckerna är densamma som skivan längst bak i lärarhandledningen. För uppspelning av teorigenomgångarna på datorn används mediaspelarprogram t.ex. Windows Media Player, men det går lika bra att spela upp dem med andra program eller med vilken dvd-spelare som helst. Övningsbladen når man genom Utforskaren i datorn.

Dvd:ns Övningsblad I elevboken finns hänvisningar till de extra övningsbladen med färdighetsträning på dvd-skivan. Hänvisningarna anges med övningsbladets nummer och finns längst ner på sidorna. I elevboken belyses varje begrepp/moment utifrån olika situationer eller olika exempel. Därför ges inte så mycket plats för elever att arbeta med ”samma sak på samma sätt”. Denna typ av färdighetsträning finns istället på dvd:ns övningsblad. Det finns många sätt att använda Övningsbladen; alltifrån att du delar ut uppgifter till några eller alla elever när du anser att mer träning måste tillföras till att eleverna själva får ta ansvar för vad som ska tränas och hur det ska göras. Bladen är av typ ”fylleriuppgifter” utformade så att eleven kan skriva svaren direkt på utskrivna kopior eller i sitt dokument på datorn.

P R I M A

R M U L A

4–6

Dvd:ns Teorigenomgångar på film Till varje kapitel finns pedagogiska filmer med tydlig berättarröst som går igenom teori och exempel. Teorigenomgångarna kan användas av läraren t.ex. vid presentation av nya moment. Eleven kan använda dem vid läxläsning, repetition och träning inför prov. Genomgångarna har också visat sig vara ett uppskattat föräldrastöd vid läxarbetet.

Lärar- och elevwebb Till Prima FORMULA ﬁnns också lärar- och elevwebbtjänster. Lärarwebben är som en lärarhandledning på nätet med alla dess fördelar. Den innehåller t.ex. Bildbanken med kapitlens diskussionsbilder, enstaka sidor, aktiviteter och uppgifter ur elevboken kan du använda vid t.ex. uppstart av lektioner, nya moment, teorigenomgångar och som diskussionsunderlag. Provgeneratorn kan du använda för att skapa prov med facit och bedömningsunderlag. Läxorna till eleverna finns i elevboken men om du föredrar att behålla elevboken i skolan kan de hämtas på lärarwebben. Interaktiva moment som t.ex. tar upp Aktiviteter och Gruppledtrådar. Målöversikten belyser Lgr11:s kunskapskrav i matematik för betygen A, C och E i åk 6 med koppling till Centralt innehåll samt anger i vilket eller vilka kapitel i Prima FORMULA eleverna kan arbeta med detta innehåll (och utveckla sådana förmågor). Teorigenomgångarna på film är desamma som eleverna har på sin dvd i elevboken. Eleverna kan titta på de teorigenomgångar som finns på elevbokens dvd och göra läxorna digitalt istället för att bära hem boken när läxorna ska göras.

Uppgifter för IST (Interaktiv skrivtavla) Om du har lärarwebben kan du projicera mål- och diskussionsbilder, aktivitetsrutor och teorirutor på en interaktiv skrivtavla eller med hjälp av en projektor.

G 1 2 8

Ett kapitels upplägg och delar Alla elever arbetar i det Strukturen i varje kapitel gemensamma spåret (”G-spåret”) som avMål- och Diskussionssida slutas med en diagnos. Efter diagnosen är det Aktiviteter, Teorirutor och Uppgifter lämpligt att lärare och elev tillsammans komGemensam del mer överens om vilket Lösa Problem, Tänk efter, Utmaningar spår eleven bör fortsätta på. Diagnos Spår 1 behandlar baskunskaperna i det Valmöjlighet Spår 1 Spår 2 Gemensamma spåret. Spår 2 innehåller Uppsamling Något extra aktiviteter och uppgifter och utmaning av mera utmanande karaktär. Varje kapitel avslutas med Något extra, enkla och mera utmanande uppgifter av blandad karaktär, t.ex. med historiskt perspektiv.

E T T

K A P I T E L S

U P P L Ä G G

O C H

D E L A R

Mål och Diskussionssida Varje kapitel inleds på samma sätt. Här kan eleverna se vilka Mål de ska nå samt diskutera med läraren och klasskamrater till Diskussionsbilden.

Målen Målen i elevboken riktar sig till eleverna och talar om vad de bör kunna när de har arbetat med kapitlet. Det kan t.ex. vara att kunna uppskatta, jämföra och mäta tider eller göra överslag och använda miniräknare. Eleverna har möjlighet att nå målen genom att arbeta aktivt i kapitlets olika delar, i t.ex.: • aktiviteter • enskilda uppgifter • lärarledda diskussioner osv.

Med att lära sig menas inte bara att man lär sig något nytt begrepp. Det kan också innebära att man blir säkrare på sådant man tycker att man redan kan, t.ex. genom att: • upptäcka ﬂera olika situationer där begreppet kommer till användning • se olika sätt att tänka kring begreppet • se samband mellan olika begrepp.

Mål, delmål och måluppgifter Målen anknyter till och är en utveckling av de mål som finns i läroplan och kursplan. I G-spåret kan elever nå målen vid arbete med Aktiviteter, Teorirutor och de uppgifter som hör till. En del elever tycker de lär sig bäst när de gör Aktiviteter, andra vid självständigt arbete med uppgifter. I Lärarhandledningens del 2 finner du, för varje kapitel, en översikt av målen indelade i delmål och förslag på typiska måluppgifter som eleverna bör göra när de arbetar mera självständigt. Översikten kan också fungera som stöd för eleverna genom att de själva kan ”bocka av” de olika delmålen och följa sin egen utveckling. Ett viktigt mål är att eleven ska utveckla sin förmåga att lösa problem och använda ett problemlösande förhållningssätt. Detta hoppas vi eleven utvecklar under arbete genom hela boken. I slutet av varje G-spår har vi dessutom ett par sidor med ”Lösa problem” där fokus ligger på att eleven ska upptäcka och utveckla strategier för problemlösning (se beskrivning under rubriken Lösa problem nedan).

Diskussionsbilden Bilden och den tillhörande öppna frågan har anknytning till kapitlets innehåll. Även om diskussionen är lärarledd, är det bra om eleverna uppmuntras att själva upptäcka olika saker som bilden visar och komma på andra frågor som är intressanta att diskutera. Efterhand kan diskussionen styras in så att denna närmar sig kapitlets innehåll. Genom diskussionen kan du få inblick i elevernas förkunskaper, vilka föreställningar de har kring olika begrepp och hur de uttrycker sitt kunnande.

Målöversikt I Del 4 hittar du en målöversikt över Prima FORMULAS mål med direkt koppling till målen i Lgr11. Den ﬁnns såväl digitalt på lärarwebben som i pappersform i storformat. I lärarhandledningen är den förminskad för att få plats. Översikten

E T T

K A P I T E L S

U P P L Ä G G

O C H

D E L A R

startar i Lgr11:s Kunskapskrav för åk 6, går vidare i Centrala mål och landar i var i Prima FORMULA du kan hitta övningar som bearbetar det speciella målet. Här visas också betygskriterier i tre nivåer, betyg A, C och E. Översikten är tänkt som ett aktivt dokument där du t.ex. kan skriva namn på elever som behöver träna eller utmanas mer inom vissa områden.

Gemensamt spår (G-spår)

G-spårets Aktiviteter, Teori-rutor och uppgifter tar upp sådant som kan bidra till att eleven når kapitlets mål. Alla G-spår startar med en Aktivitet. Uppgifterna direkt efter täcker upp aktivitetens innehåll så att kunskapen befästs och så att de elever som missat poängen i aktiviteten får nya chanser att upptäcka den. Är innehållet i aktiviteten befäst hos en elev kan eventuellt motsvarande uppgifter efter aktiviteten ”kvittas” bort. Så fort ett nytt begrepp introduceras i kapitlet inleds det med en ny aktivitet. Teorirutor ligger insprängda i kapitlet när det nya ska belysas extra.

Aktiviteter Ett kapitels första Aktivitet kommer direkt efter sidan med Diskussionsbilden. Fler aktiviteter kommer efterhand i kapitlet i anslutning till att nya begrepp ska introduceras. Aktiviteterna hjälper eleverna att upptäcka och utveckla olika begrepp, metoder och samband. Om elever arbetar med aktiviteter i par eller grupp kan de utveckla sina förmågor att samarbeta och samlära. De kan då, i sina diskussioner med kompisarna, få flera möjligheter att verbalisera sitt tänkande och argumentera för sina metoder. Detta leder till att de kan göra val bland fler fungerande metoder och strategier. Om eleverna är ovana vid att arbeta i grupper så låt dem till en början arbeta i grupper om två eller högst tre. Målet kan sedan vara att de kan vara fyra i varje grupp eftersom de då har möjlighet att arbeta både två och två samt alla fyra. Det viktigaste är att eleverna trivs med att arbeta tillsammans i gruppen, inte att de ligger på samma kunskapsnivå. Störst utbyte brukar elever få om gruppen består av både praktiker (utför eller tänker på konkreta sätt) och teoretiker (tänker abstrakt eller generellt). En del grupper kan fungera direkt medan andra behöver lång tid och handledning för att hitta former för samlärande. För att samarbetet ska fungera bra är det lämpligt att det finns spelregler för uppträdande och bemötande gentemot varandra och för hur arbetet ska fortlöpa i en arbetsprocess. Låt gärna eleverna diskutera sig fram till gemensamma spelregler eller ett kontrakt som alla kan ställa sig bakom.

Reflektion och utvärdering För att utveckla elevens syn på och förmåga till samarbete samt medvetenhet kring sitt och andras lärande är det viktigt att Aktiviteter följs upp med frågor (i enkät- eller diskussionsform) som leder till reflektion. I lärarhandledningens Del 2 får du förslag på reflektionsuppgifter efter varje Aktivitet. Nedan ser du exempel på allmänna frågor som kan användas till alla aktiviteter. Eleverna kan bearbeta dem enskilt eller gemensamt, skriftligt eller muntligt.

Reflektionsförslag efter Aktivitet 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Vad är ni bra på i gruppen som gör att alla kan lära sig något? 4. Vad kan ni ändra på i gruppen för att alla ska lära sig så bra som möjligt?

E T T

K A P I T E L S

U P P L Ä G G

O C H

D E L A R

Om du har för avsikt att behålla gruppkonstellationerna under en längre tid, vilket vi rekommenderar, bör ett par frågor vara återkommande så att du och dina elever kan följa utvecklingen. De två första frågorna kan du ställa för att följa utvecklingen över tid. De därpå följande är sådana du kan ge vid lämpliga tillfällen för att den enskilde eleven, respektive gruppen, ska förbättra lärandet och samarbetet. Eleverna bör också efter arbete med ”vanliga” uppgifter ges tid att reflektera över sitt kunnande och lärande. Egentligen bör eleverna fundera på vad de lärt sig efter varje ny sida, men det är lättast att se meningen med detta när sidan innehåller tydliga exempel som lätt leder till lärorika reflektioner. Därför pekar vi i Lärarhandledningen ut sådana exempel i varje kapitel. Nedan ser du reflektionsförslag som eleverna kan arbeta med efter en ”vanlig” sida i elevboken.

Reflektionsförslag efter sidan 111–114 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Hur tänker du när du löser uppgift 74? 3. Hur tänker du när du löser uppgift 69? 4. Vilken nytta har du av att kunna sådant som finns i uppgift 69? 5. Hur vet du vilken av butikerna som är billigast i uppgift 64–65?

Metakognition och Reflektion För att stärka elevens tilltro till den egna förmågan att lära och elevens medvetenhet om vad han eller hon kan och inte kan är det viktigt att eleven kontinuerligt får arbeta med frågor av metakognitiv karaktär. Metakognition kan kortfattat beskrivas som kunskap om kunskap, och är reflektion kring den egna kunskapen. Som lärare kan du hjälpa eleven med detta genom att välja ut sidor eller avsnitt i elevboken så att eleven individuellt, i grupp eller helklass kan reflektera över att, vad och hur han eller hon har lärt sig. När eleverna reflekterar tillsammans med andra kan de också lyssna på och ta del av andras sätt att tänka och lära sig. Eleven kan bli mer medveten om sitt eget lärande genom reflektion och på så sätt oftare få ”aha”-upplevelser. Det är bra om eleven själv upptäcker nyttan med detta. Men vi tror att du måste hjälpa eleven att titta på lämpliga uppgifter och ”tvinga” eleven att stanna upp och skriva ner någon form av reflektion. Sådan reflektion kan vara speciellt lärorik i anslutning till arbetet med en aktivitet (enligt ovan). Eleverna bör också efter arbete med ”vanliga” uppgifter ges tid att reflektera över sitt kunnande och lärande.

” ”

I litteraturen finns flera olika beskrivningar på vad man kan mena med ”metakognition”. Här följer några citat:

” ”

Att på det här viset ’tänka om sitt eget tänkande’, så kallad metakognition, är av allt att döma ingen medfödd förmåga, utan något som man kan lära sig …

Tankesmedjan. Rapport 1, 2007; IUP, bedömning och betygsättning, www.tankesmedjan.nu.

Metakognitiv kompetens är med andra ord förmågan att observera, reflektera över och reglera det egna tänkandet och lärandet. Att döma av tillgänglig forskning är denna benägenhet och förmåga olikartad hos olika människor. //…// Bristen på metakognitiv kompetens kan vara ett av de stora hindren för många elevers utveckling genom arbetet i skolan.

Lärares tänkande om elevers tänkande. Sjöström m.fl., Studentlitteratur&Utbildningsradion, 1991.

T I D

O C H

R Ä K N E S Ä T T

1. Tid och räknesätt Mål, delmål och måluppgifter I G-spåret kan elever nå målen vid arbete med Aktiviteter, Teorirutor och de uppgifter som hör till. En del elever tycker de lär sig bäst när de gör Aktiviteter, andra vid självständigt arbete med uppgifter. Nedan finns en översikt av kapitlets mål indelade i delmål och förslag på typiska måluppgifter som eleverna bör göra när de arbetar mera självständigt. Översikten kan också fungera som stöd för eleverna genom att de själva kan bocka av de olika delmålen och följa sin egen utveckling. I Del 1, s. 9–10, finns en allmän beskrivning av Mål, delmål och måluppgifter.

Mål

Delmål

Uppgifter

1 Uppskatta, jämföra och mäta tider

I minuter, timmar och sekunder

I dygn och timmar

Diagnosuppgifter

I minuter, timmar och sekunder

2–4, 8–9

I dygn och timmar

13, 16–18, 25, 28–30

I sekunder

34–35

I dygn, år och datumskrivning

38, 40–41

Diagnosuppgifter

D 2–5

s. 7, 10

2 Välja tidsenheter, göra enhetsbyten och beräkningar s. 7–17

3 Utföra multiplikationer med stora tal s. 18–22

4 Göra överslag och använda miniräknare s. 23–24

5 Använda strategier vid problemlösning

Multiplikation med 10, 100 och 1 000

45–47

Multiplikation med stora tal

52–56, 60–64

Diagnosuppgifter

D 6–7

Göra överslag

68–69

Hantera stora tal, utan/med miniräknare

73–76

Diagnosuppgifter

D 8–9

Strategi 7

Strategi 1–6

81–85

s. 25–26

Se problemlösningsstrategier i Del 1 (s. 14) och specifika kommentarer i Lösa problem nedan.

T I D

O C H

R Ä K N E S Ä T T

Diskussionsbild (sidan 5) Bilden är tagen vid tolvslaget på Times Square i New York City. En populär plats med ett passande namn när man ska räkna in det nya året. Frågan i bilden avslutas inte. Den hålls öppen för att du och eleverna ska kunna fylla i frågan på flera sätt. Elevernas svar och diskussioner kan då ge dig en bild av vad de tycker är viktigt innehåll och vilka förkunskaper de har om detta. Efterhand kan du styra diskussionen så att den närmar sig kapitlets mål och innehåll. Se Diskussionsförslag nedan. Observera att diskussionsbilderna går att projicera på interaktiv skrivtavla. Se under rubriken Uppgifter för IST i Del 1. Vad kan orden ”jämföra” och ”mäta” i första målet betyda? Se BUS-faser nedan. Har eleverna arbetat med storheten Tid tidigare? (Prima 3A kap. 3)

Diskussionsförslag 1. Frågan i bilden är inte färdig. Hur kan den fortsätta? 2. Vad ser ni på bilden som har med storheten TID att göra? 3. Klockan har med enheterna timme och minut att göra. Vilka fler tidsenheter känner ni till? 4. På en minut går det 60 sekunder, 1 min = 60 s. Vilka andra enhetsbyten känner ni till? 5. Vad behöver ni kunna för att beräkna hur många sekunder ni levt? 6. Vad behöver ni kunna när ni använder miniräknare? 7. Vad menas med strategier (vid problemlösning)?

Tid för TID I forskningsprojekt ”Klass 4b–6b” (se Del 1) startade vi som första arbetsområde i 4b med tema TID. Eleverna tyckte det var kul och de närmade sig lätt vårt mål ”att tänka och lösa problem på olika sätt”, t.ex. i samband med uppgiftstypen 27–31 sidan 13. Men eleverna visade vid muntliga och skriftliga reflektioner att detta mål var unikt för detta innehåll. – Vänta bara tills vi börjar med riktig matte då måste man göra på ett enda sätt (bokens eller lärarens). + Vad är ”riktig” matte då? – Tja, t.ex. multiplikation. + Vad ska man kunna där? – Tabellen + Hur ska man lära sig i multiplikation? – Vi skriver, läraren rättar. Efter många gånger kan vi. (Hur det gick i klass 4b står att läsa i Lärarhandledning 4 s.105 ff.) I Formula 4 arbetade vi med flera ”enklare” storheter, t.ex. Längd, och först nu tar vi upp storheten Tid och då kopplad till Räknesätt, TID OCH RÄKNESÄTT, för att eleven ska känna att vi också har ”riktig matte”. Precis som när vi vid andra storheter ställt frågan om vad som menas med t.ex. volym kan vi nu undra: Vad menas med TID? Och på samma sätt som vi till tidigare storheter presenterat och kommenterat storhetens speciella begreppsutveckling i form av BUS-faser (se nedan) gör vi detta här för storheten TID.

T I D

O C H

R Ä K N E S Ä T T

Det gäller först att Upptäcka (se BUS-faser nedan) vad Tid kan stå för. Tid kan kännas (upplevas) olika beroende på hur trevligt man har. Är fem minuters promenad en sträcka eller en upplevelse i tid? När eleverna ska jämföra (BUS-fas 2) olika tider, hur gör de då? Det är annorlunda än att jämföra längder. Här kan man flytta två sträcker och lägga dem parallellt och se vilken som är längst. Tider är svårare att jämföra utan att mäta. Hur gör de om de ska uppskatta och mäta (BUS-fas 3) tider? Vilka referenser har eleverna, dvs. vilka tider är de redan bekanta med och kan referera till för att någorlunda placera in en ungefärlig tid? Vi vet att vi bör borsta tänderna i minst 2 minuter, men många tror att 2 minuter gått redan efter 45 sekunder. Vilka enheter (BUS-fas 4) känner eleverna till, och vilka referenser har de till dessa? Hur gör de när de ska växla mellan olika enheter (BUS-fas 4)? Har de lagt märke till att t.ex. växlingstalet 60 mellan timmar och minuter gör att enhetsbyten blir svårare än mellan t.ex. meter och decimeter? Kan eleverna göra beräkningar (BUS-fas 5), där ﬂera tidsenheter är inblandade? Hur många sekunder går det på ett dygn/ett år? Nedan presenterar vi våra BUS-faser för storheter med exempel för TID.

BUS-faser – Begrepps Utveckling för Storheter Exempel för TID Fas 1 UPPTÄCKA (känna) • upptäcka, lära känna begreppet och uppfatta dess egenskaper s .6. • diskutera olika uttrycksformer s. 6, 11, 17

Fas 2 JÄMFÖRA • sortera och rangordna s. 7–9 • göra direkt och indirekt jämförelse s. 6 • arbeta med konstans s. 9

Fas 3 MÄTA • uppskatta/jämföra med någon referens s. 6, 9, 15 • förstå mätning som idé s. 6, 9, 15 • mäta med vedertagna mätredskap s. 6, 9, 15

Fas 4 ENHETER • känna till olika enheter s. 7, 10, 14, 16 • kunna välja lämplig enhet och göra rimliga värderingar s. 6–7, 10, 16 • förstå hur man växlar mellan olika enheter s. 6–7, 10, 14, 17 • behärska olika uttrycksformer s. 17

Fas 5 BERÄKNA – VÄRDERA • arbeta med enkla beräkningar s. 7–8, 13–14, 17, 23 • bedöma rimlighet och värdera s. 23–24 (Mer att läsa om de olika BUS-faserna med tydliga exempel för storheten Längd finns på sidan 46–48 i Lh 4.)

T I D

O C H

R Ä K N E S Ä T T

Sidan 6 (G-spår) Aktivitet 1:1 Som du kan se i del 1 under rubriken Uppgifter för IST så kan aktivitetsrutorna projiceras på interaktiv skrivtavla. Att använda denna och att ta upp delar av aktiviteten till diskussion i helklass kan vara speciellt lämpligt vid bokens första aktivitet då det är viktigt att så många elever som möjligt ska se syftet med sådana uppgifter. A Denna del går ut på att upptäcka och uppskatta begreppet tid i tidsenheten minut. Försök leda in eleverna även på att en minut kan kännas olika lång beroende på vad man gör. I storheten Längd vet de kanske att en lodrät sträcka känns längre än samma sträcka som vågrät. Kanske kan elever knepet att räkna 101, 102, 103 osv. för att få fram 60 s = 1 min. Och i så fall kan de redan detta enhetsbyte. Kanske kan man jämföra med sin puls, som lätt kan känns på handledens insida. I så fall är man inne i fas 2 Jämföra och fas 3 Mäta. (Se BUS-faser ovan.) Nedan föreslår vi också en extra aktivitet, Aktivitet 1:1F. I denna kan gruppen mäta tiden en minut med egentillverkad utrustning. B Denna del belyser kapitlets första mål uppskatta, jämföra tider. Här handlar det om tidsenheten timme (h). Även enheten minut och enhetsbyten kommer in eftersom eleverna nog behöver addera en del tider i minuter. C Efter denna uppskattning har eleverna arbetat med tre olika tidsenheter. Vilken av dem är lättast att använda för att uppskatta/mäta så nära en sekund/minut/ timme som möjligt? Vad menas med ”nära”? Felmarginalen är ju relativ till tidsenheten. Jämför med t.ex. svårigheten att uppskatta 1 gram respektive 1 kg. D Här kan du fullfölja elevernas diskussion med att visa exempel på hur man kan bygga tidsmätare. Nedan föreslår vi också en extra aktivitet, Aktivitet 1:1G. I denna kan gruppen mäta tiden en sekund med egentillverkad utrustning. E Denna del belyser BUS-fas 3 mäta. Det är inte bara enhetsbyten som gör storheten TID annorlunda jämfört med andra storheter. En sträcka kan man mäta om flera gånger, en viss tid är betydligt svårare att mäta flera gånger. Dock finns tillfällen då det går, t.ex. hur lång en inspelad låt är (sidan 14, uppgift 35). Eleven tycker kanske inte det är någon större skillnad på att mäta längd och mäta tid. ”Längd mäter man t.ex. med linjal, och på liknande sätt mäter man tid med t.ex. en klocka.” Men visst finns skillnader; en sträcka kan mätas från punkt P till punkt Q och tvärtom. Tid mäts oftast, som i uppgift A ovan, från ”nu” till en tid ”senare”. Och när vi är vid tiden ”senare” så är ”nu” redan ”dåtid”. Och vi mäter i allmänhet inte tiden tillbaka igen.

Reflektionsförslag Nedan finns Reflektionsförslag där de tre första frågorna är av allmän karaktär och kan användas till alla aktiviteter, vilket kan vara bra för att följa elevers utveckling över tid. (I Del 1 ovan finns en allmän beskrivning under rubriken: Reflektion och utvärdering.)

T I D

O C H

R Ä K N E S Ä T T

Reflektionsförslag Aktivitet 1:1 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Hur skulle du beskriva vad TID är för någon som inte arbetat med Aktivitet 1:1? 4. Vad skulle du mer vilja undersöka som handlar om tid? 5. Vad har du för nytta av att kunna uppskatta och räkna med tider i t.ex. minuter och sekunder?

Extra Aktivitet 1:1F Timglas Ni behöver tomma flaskor med kork, och fin sand*. Tejp och sax. Bygg något som ni kan mäta minuter med. Foto på ett litet ”sandglas” finns på sidan 40 i elevboken. Häll på lite sand på en torr flaska, sätt kork på och gör ett litet hål i korken. Tejpa vid korken ihop denna flaska med en annan. Sanden ska kunna rinna från den ena flaskan till den andra när ni håller dem lodrätt. Mät tiden det tar för all sanden att rinna igenom. Ändra hålets storlek så att sanden rinner igenom fortare, t.ex. på 3 min, 2 min eller 1 min. * Om ni inte har sand så kan det gå med vatten i stället. Det går att göra många varianter av ”vattenur”.

Extra Aktivitet 1:1G Sekundpendel Ni behöver t.ex. tråd, någon tyngre sak och tidtagare. A Bygg något som ni kan mäta sekunder med. Ett förslag: Bind fast en tyngd, t.ex. en metallring eller en sko i en tråd eller ett snöre. Häng upp er ”pendel” i något så att den kan svänga fritt. Knuffa till den och mät hur lång tid det tar för pendeln att svänga fram och tillbaka, V–H–V, 10 gånger. Försök nu göra en pendel som gör V–H–V på 1 sekund.

Ytterläge: vänster V

höger H

B Försök nu göra en pendel som gör V–H–V på 2 sekunder eller annan lämplig tid. Vad ändrar ni på för att ändra tiden det tar? Det unika med Pendeln är att varken ”knuffet” (hur långt det är mellan ytterlägena) eller tyngden (hur mycket metallringen väger) har någon betydelse för svängningstiden. Endast med pendelns längd (l) kan man ändra svängningstiden.

R E P

Rep 1 Sidan 89–92 I Del 1 beskriver vi vad Rep 1–3 har för funktion och här kommenterar vi endast sista uppgiften. R25 är formulerad som en provuppgift med utsatta poäng utifrån betygen E–A och är därför lämplig som förberedelse inför större provuppgifter (t.ex. Prov 1–3). Du kan börja med att förklara för eleverna att följande ska bedömas: • Hur de löser uppgifter. • Vilka kunskaper de visar om matematiska begrepp. • Vilka metoder de väljer och hur de använder dem. • Hur väl de redovisar sitt arbete och använder ett matematiskt språk. Förslagsvis kan eleverna börja med att först bedöma sina egna lösningar och därefter jobba mer i par/grupp med varandras lösningar. De får då chansen att berätta för kompisar/lärare hur de tänkt, vad som var svårt och diskutera olika metoder och strategier med varandra. På det här sättet bekantar sig eleverna med poängsättningen och blir samtidigt, genom samspråk med andra, mer medvetna om sitt kunnande i förhållande till kapitlets mål. På nästa sida hittar du en Formativ själv- och kamratbedömning som eleverna kan använda. Eftersom formativ bedömning sätts i samband med de mål som ska nås har vi allra överst skrivit in elevbokens aktuella mål. Vid bedömningens högerkant har vi markerat med betygspoängen E–A och inom parantes hänvisar vi till de förmågor som eleverna ska utveckla (Lgr 11): P (problem)

• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder

B (begrepp)

• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp

M (metoder)

• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter

K (kommunikation) • föra och följa matematiska resonemang, och • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

R E P

Uppgift R25 utformad som en provuppgift R25 En fotbollsförening på 30 personer ska åka från Lund till Malmö. De bokar ett taxibolag som har två storlekar på bilarna.

Vanlig taxi 4 passagerare Fast pris mellan Lund och Malmö: 300 kr Stor taxi 7 passagerare Fast pris mellan Lund och Malmö: 450 kr

a Hur många bilar behövs om de bara väljer vanliga taxibilar?

(1/0/0)

b Hur mycket kostar resan för alla personer med bara vanliga taxibilar?

(1/0/0)

c Hur ska de välja bilar om det ska bli så billigt som möjligt?

(2/1/1)

d Hur mycket kostar resan då?

(1/1/1)

e Hur mycket blir det per person?

(1/1/0) (Max 6/3/2)

Formativ själv- och kamratbedömning Mål: Visa att du kan • utföra multiplikationer med stora tal

(kap 1)

• göra överslag

(kap 1)

• dividera med stora tal

(kap 2)

• använda strategier vid problemlösning.

(kap 1–2)

R25 a 8 st Du redovisar lösning och rätt svar. Du kan förklara hur du kom fram till svaret.

(M) (K)

b 2 400 kr Du redovisar lösning med rätt svar. Du kan förklara hur du kom fram till svaret.

(M) (K)

c 4 stor + 1 vanlig (2 platser över) eller 2 stor + 4 vanlig Du redovisar lösning med ett av svaren. Du kan förklara/motivera varför svaret blir så.

(M) (K)

Du redovisar lösning med även det andra svaret. Du kan förklara varför svaret blir så.

E (M, P)

Du redovisar lösning som visar tydligt hur två alternativ är möjliga. Du kan förklara för någon hur du tänkt kring båda alternativen, t.ex. med överslag.

C (M, P)

Du redovisar tydlig lösning som visar hur just dessa två alternativ är de bästa. Du kan förklara/motivera för någon hur du tänkt, t.ex. kring ”2 platser över”.

Får kopieras! © Författarna och Gleerups Utbildning AB.

(K)

A (M, P) (K)

R E P

d 2 100 kr Du redovisar lösning med rätt svar. Du kan förklara hur du kom fram till svaret. Du redovisar hur du beräknar vad varje taxi kostar och hur du får fram summan. Du kan förklara för någon hur du tänkt och på vilket sätt du skrivit ner din lösning. Du redovisar tydlig lösning och använder matematiskt språk. Du kan förklara för någon varför du skrivit som du gjort och varför det är rätt. e 70 kr Du redovisar lösning med rätt svar. Du kan förklara hur du kom fram till svaret. Du redovisar hur du beräknar 2100/30 med tydlig förkortning. Du kan förklara för någon hur du tänker när du förkortar.

(M) (K)

(M)

(K)

A (M, B) (K)

(M) (K)

Får kopieras! © Författarna och Gleerups Utbildning AB.

G R U P P L E D T R Å D A R

Gruppledtrådar 5–1A

(i samband med sidorna 6–13 i Prima FORMULA 5)

Hur dags vaknar Arvid?

5 – 1A

Hur dags vaknar Arvid?

Ledtråd 1

Ledtråd 2

Arvid lägger sig kl 21.30 och somnar efter 20 min.

Han sover tre gånger så lång tid efter midnatt som före midnatt.

5 – 1A

Hur dags vaknar Arvid?

5 – 1A

Hur dags vaknar Arvid?

Ledtråd 3

Ledtråd 4

Han sover 4 h 20 min längre efter midnatt än före.

Efter midnatt sover han 390 min.

5 – 1A

132

Hur dags vaknar Arvid?

5 – 1A

Hur dags vaknar Arvid?

Ledtråd 5

Ledtråd 6

Han sover 8 h 40 min.

Han vaknar 6,5 h efter midnatt.

Får kopieras! © Författarna och Gleerups Utbildning AB.

G R U P P L E D T R Å D A R

Gruppledtrådar 5–1B

(i samband med sidorna 6–13 i Prima FORMULA 5)