ANALYS I EN VARIABEL
Framställningen är rik på exempel som visar hur man använder de teoretiska resultaten vid konkret problemlösning. Många tillämpningar inom teknik och naturvetenskap diskuteras. Författarna har lagt ner stor möda på att successivt vänja läsaren vid matematikens och naturvetenskapens krav på stringenta och koncisa resonemang. I den tredje upplagan har författarna lagt sig vinn om att förnya texten och anpassa den till dagens studenter. Fler exempel har tillkommit för att ytterligare belysa teorin.
Tredje upplagan
| ANALYS I EN VARIABEL
Denna bok behandlar grunderna i differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Den innehåller också en introduktion till de komplexa talen.
Arne Persson Lars-Christer Böiers
Arne Persson och Lars-Christer Böiers är universitetslektorer i matematik och har mångårig erfarenhet av undervisning vid Lunds Tekniska Högskola.
ANALYS I EN VARIABEL
Arne Persson Lars-Christer Böiers Art.nr 3134
3:e uppl.
www.studentlitteratur.se
978-91-44-06765-0_01_coverHB.indd 1
2010-06-11 10.22
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 3134 ISBN 978-91-44-06765-0 Upplaga 3:3 © Författarna och Studentlitteratur 1990, 2001, 2010 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Henry Sivula Printed by Replika Press Pvt Ltd, India 2012
Förord Föreliggande bok behandlar grunderna i differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Den är en grundlig omarbetning av den tidigare utgåvan ”Arne Persson, Analys i en variabel”. Boken torde kunna användas som kurslitteratur vid de flesta av landets högskolor. Nödvändiga förkunskaper är gymnasiets matematikkurser på naturvetenskaplig eller teknisk gren. Vi har haft följande målsättning vid skrivandet: • att i rimlig utsträckning presentera en fullständig och strikt teori byggd på de reella talens egenskaper. Vissa långa eller tekniska bevis har emellertid utelämnats eller ersatts med översiktliga resonemang. • att med talrika exempel klargöra teorins innebörd och visa hur man kan använda de erhållna resultaten vid problemlösning. • att knyta an teorin till naturvetenskapliga och tekniska tillämpningar. • att successivt vänja läsaren vid det stringenta och logiskt exakta sätt att resonera som är gängse i naturvetenskap och teknik. Boken är organiserad i fem delar, en inledande del om funktioner och gränsvärden, två huvuddelar om differential- respektive integralkalkyl, samt därefter ett kapitel vardera om differentialekvationer respektive Maclaurinutveckling. Dessutom finns ett appendix med introduktion av komplexa tal, diskussion av några logiska symboler och summatecknet samt bevisen av de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner. I kapitel 1 har vi försökt mjukstarta framställningen med en repetition och fördjupning av vissa grundläggande moment i gymnasiekursen. iii
iv
Vid genomgången av de elementära funktionernas egenskaper har vi därvid funnit det lämpligt att även beröra vissa gränsvärdesrelationer. Vi har tillåtit oss att basera framställningen av dessa delar på ett intuitivt gränsvärdesbegrepp. Detta torde inte vålla läsaren några svårigheter, eftersom de flesta regler för gränsvärden är så naturliga att de närmast uppfattas som självklara. Med denna uppläggning vill vi successivt vänja den studerande vid att hantera gränsvärden och samtidigt öka motivationen för den senare mer stringenta framställningen, vilken presenteras i kapitel 2. Där fastlägges exakta definitioner och räknereglerna för gränsvärden preciseras och bevisas. Därmed uppnås även full exakthet i de i kapitel 1 förda resonemangen. Även i de senare kapitlen kommer läsaren att känna igen många begrepp från gymnasiekursen, till exempel derivata och integral. Men högskolans krav på stringent bevisföring och problemlösningsförmåga är så mycket högre ställda att de flesta förmodligen kommer att uppfatta materialet som i huvudsak nytt. Teorin för komplexa tal är i stort sett oberoende av det övriga materialet. På många studieorter ingår de komplexa talen som ett moment i andra kurser än envariabelanalysen, till exempel i algebra. För att öka friheten vid uppläggningen av undervisningen har vi därför placerat komplexa tal i ett separat appendix. Detta utnyttjas i full utsträckning i det övriga materialet först i samband med differentialekvationer. — Enligt författarnas erfarenhet är det emellertid i allmänhet bäst att ha den komplexa teorin avklarad innan man börjar på kapitel 5 om primitiva funktioner. I vissa sammanhang använder man där med fördel komplexa metoder. I texten förekommer många gånger uttryck i stil med ”följer omedelbart”, ”en enkel kontroll”, ”inses lätt”, etc. Läsaren rekommenderas att inte ta dessa uttryck alltför bokstavligt, åtminstone inte vid den första genomläsningen. Det finns åtminstone tre goda skäl till att författare skriver på detta sätt. För det första blir framställningen oöverskådlig och olidligt pedantisk om allting skall förklaras in i minsta detalj. För det andra tjänar uttrycken som en drivfjäder för läsaren att arbeta aktivt, vilket är mycket viktigt vid studiet av matematik. För det tredje, slutligen, utgör dessa uttryck en viss kontroll av inlärningen; de utelämnade
v
argumenten eller räkningarna bör vara ”enkla”, ”lätta”, etc., när man behärskar stoffet väl. Bokens referenssystem fungerar på följande sätt. Definitioner, satser, exempel och formler är numrerade i löpande följd inom varje kapitel. Vid hänvisning inom det aktuella kapitlet anges endast numret, möjligen tillsammans med en sidangivelse. Vid hänvisning till annat kapitel anges även dettas nummer, till exempel sats 3.2, som betyder sats 2 i kapitel 3. Problemlösning är en viktig del av matematiken. En övningssamling i två delar med svar och vissa lösta typuppgifter, anpassad till denna lärobok, har utarbetats vid matematiska institutionen i Lund. Den kan rekvireras från KF-SIGMA, Sölvegatan 22, 223 62 Lund. Man kan inte skriva en lärobok i matematik utan att ta intryck av andra författare på området samt använda mängder av råd och påpekanden från såväl kolleger som elever. Speciellt stor betydelse för författarnas syn på den grundläggande analysen har den numera klassiska läroboken av Hyltén-Cavallius och Sandgren, Matematisk analys I, haft. Bland kollegerna vill vi speciellt tacka Jan Gustavsson och Lars Vretare som läst och kritiserat våra manuskript och som dessutom bidragit med att utveckla tekniken att rita figurer på dator.
Lund, Kristi Himmelsfärdsdag 1990 Författarna
Förord till andra upplagan
I den andra upplagan har vi tillfogat ett inledande kapitel, numrerat 0. Avsikten har varit att lyfta fram vissa grundläggande färdigheter i algebraisk räkning och ekvationslösning som man bör ha förvärvat innan man påbörjar högskolestudier i matematik. Kapitlet innehåller dessutom en kort presentation av matematisk teoribildning med diskussion av vanliga begrepp som definition, sats och bevis. I övrigt skiljer sig den andra upplagan från den första bara därigenom att vi finputsat framställningen här och var samt tillfogat ytterligare några exempel på tillämpningar av matematik inom andra ämnesområden. Tillkomsten av kapitel 0 har medfört några smärre förändringar i kapitel 1. Indelningen i kapitel och avsnitt är oförändrad i hela boken. Vi tackar alla kolleger vid avdelningen för matematik LTH som läst igenom och kommit med synpunkter på en preliminär version av kapitel 0.
Lund, midsommarafton 2001 Författarna
Förord till tredje upplagan
I den tredje upplagan har vi reviderat texten på många ställen. Syftet har varit att anpassa framställningen till studenter med förändrade förkunskaper. Resonemangen har förtydligats och på en del ställen gjorts utförligare. Ett antal nya exempel har tillkommit, främst i de tidiga kapitlen. Avsnittet om asymptoter har tonats ner. Kapitel 9 om Maclaurinutvecklingar har skrivits om helt. — Förutom i kapitel 9 har indelningen i avsnitt bibehållits. Vi har också tagit tillfället i akt att komplettera teorin i appendix C med Bolzano-Weierstrass’ sats. Ingen revidering av en lärobok av detta slag kan ske utan påverkan från studenter och från lärare som använt boken i sin undervisning. Vi har fått många värdefulla synpunkter från våra kolleger vid Matematik LTH, och vi vill tacka dem alla för detta. För den som känner behov av att komplettera med litteratur som ger en överbryggning från gymnasieskolan vill vi rekommendera Diehl, Inledande geometri för högskolestudier , Studentlitteratur 2010. Denna bok ansluter väl till vår framställning. — Slutligen vill vi nämna att den övningssamling som utarbetats vid Matematik LTH i anslutning till föreliggande bok numera distribueras av Studentlitteratur.
Lund, pingstafton 2010 Författarna
Innehåll
I
GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
0 Introduktion 0.1 Olika talsystem . . 0.2 Algebraisk räkning 0.3 Ekvationer . . . . . 0.4 Olikheter . . . . . 0.5 Räta linjer . . . . . 0.6 Matematisk teori .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
1 . . . . . .
. . . . . .
1 Funktioner 1.1 Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Absolutbeloppet . . . . . . . . . . . . . 1.4 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Rationella funktioner . . . . . . . . . . . 1.6 Potens- och exponentialfunktioner . . . 1.7 Logaritmfunktioner . . . . . . . . . . . . 1.8 Kompletteringar av funktionsbegreppet . 1.9 De trigonometriska funktionerna . . . . 1.10 Arcusfunktionerna . . . . . . . . . . . . 1.11 De hyperboliska funktionerna . . . . . . 1.12 Rekursiva talföljder. Induktion . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
3 3 6 15 22 25 27
. . . . . . . . . . . .
35 35 36 43 47 67 70 78 86 98 119 124 126
2 Gränsvärden 135 2.1 Definition och räkneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.2 Kontinuerliga funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ix
x
Innehåll
2.3 2.4 2.5
II
Talet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Standardgränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Användningar av gränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . 162
DIFFERENTIALKALKYL
183
3 Derivator 3.1 Introduktion till begreppet derivata . . 3.2 Derivatans definition . . . . . . . . . . 3.3 Derivationsregler . . . . . . . . . . . . 3.4 De elementära funktionernas derivator 3.5 Egenskaper hos deriverbara funktioner 3.6 Derivator av högre ordning . . . . . . 3.7 Komplexvärda funktioner . . . . . . . 3.8 Differentialer . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
185 185 187 193 202 209 218 221 223
4 Användningar av derivator 4.1 Kurvritning . . . . . . . . . . . 4.2 Lokala extremvärden . . . . . . 4.3 Optimering . . . . . . . . . . . 4.4 Olikheter . . . . . . . . . . . . 4.5 Numerisk lösning av ekvationer 4.6 Konvexa funktioner . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
225 225 229 232 240 242 251
. . . .
259 . 259 . 269 . 278 . 285
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
5 Primitiva funktioner 5.1 Allmänna egenskaper hos primitiva funktioner 5.2 Rationella funktioner . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Funktioner innehållande rotuttryck . . . . . . 5.4 Trigonometriska funktioner . . . . . . . . . .
III
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
INTEGRALKALKYL
6 Integraler 6.1 Integralens definition . . . . . . . . . . 6.2 Integration av kontinuerliga funktioner 6.3 Räknelagar och uppskattningar . . . . 6.4 Beräkning av integraler . . . . . . . .
291 . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
293 . 293 . 298 . 302 . 306
Innehåll
6.5
xi
Generaliserade integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
7 Användningar av integraler 7.1 Areabestämningar . . . . . . . . 7.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Volymberäkningar . . . . . . . . 7.4 Längd av kurvor . . . . . . . . . 7.5 Rotationsytor . . . . . . . . . . . 7.6 Plana kurvors krökning . . . . . 7.7 Tröghetsmoment . . . . . . . . . 7.8 Masscentrum . . . . . . . . . . . 7.9 Integraler och summor . . . . . . 7.10 Integraler i sannolikhetsläran . . 7.11 Numerisk beräkning av integraler
IV
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
DIFFERENTIALEKVATIONER
8 Differentialekvationer 8.1 Inledande exempel. Terminologi . . . . . . 8.2 Linjära ekvationer av första ordningen . . 8.3 Separabla differentialekvationer . . . . . . 8.4 Integralekvationer . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Linjära ekvationer av andra ordningen . . 8.6 Lösning av den homogena ekvationen . . . 8.7 Partikulärlösning till y + ay + by = h(x) 8.8 Linjära ekvationer av godtycklig ordning . 8.9 Ekvationer av speciella typer . . . . . . .
V
. . . . . . . . . . .
321 . 321 . 325 . 327 . 331 . 339 . 341 . 343 . 346 . 350 . 355 . 358
363 . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
TAYLORS FORMEL
9 Maclaurins och Taylors formler 9.1 Inledning. Exempel på några approximativa formler . 9.2 Approximation med polynom . . . . . . . . . . . . . 9.3 Maclaurins formel. Entydighet . . . . . . . . . . . . . 9.4 Standardutvecklingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Bevis för Maclaurins formel . . . . . . . . . . . . . .
365 365 371 377 382 386 388 396 410 413
417 . . . . .
. . . . .
. . . . .
419 419 422 424 431 436
xii
Innehåll
9.6 9.7
Olika aspekter på resttermen . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Andra användningar av Taylors formel . . . . . . . . . . . 449
APPENDIX A Komplexa tal A.1 Inledning om talsystem . . . . . . . . A.2 Definition av komplexa tal . . . . . . A.3 Räkneoperationer . . . . . . . . . . . A.4 Konjugering och absolutbelopp . . . A.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Komplexa tal på polär form . . . . . A.7 Den komplexa exponentialfunktionen A.8 Andragradsekvationen . . . . . . . . A.9 Den binomiska ekvationen . . . . . . A.10 Allmänna polynomekvationer . . . .
455 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
457 . 457 . 459 . 460 . 465 . 470 . 472 . 479 . 480 . 483 . 485
B Matematiskt symbolspråk 491 B.1 Mängder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 B.2 Implikation och ekvivalens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 B.3 Summatecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 C Teori för kontinuerliga funktioner
501
INDEX
513
Det grekiska alfabetet alfa beta gamma delta epsilon zeta eta theta
A B Γ Δ E Z H Θ
α β γ δ ε ζ η θϑ
iota kappa lambda my ny xi omikron pi
I K Λ M N Ξ O Π
ι κ λ μ ν ξ o π&
rho sigma tau ypsilon fi chi psi omega
P Σ T Υ Φ X Ψ Ω
ρ σς τ υ ϕφ χ ψ ω
Kapitel 3
Derivator 3.1
Introduktion till begreppet derivata
Många praktiska frågeställningar handlar om hur snabbt ett visst förlopp ändras, till exempel ”hur fort kör bilen?”, ”hur snabbt sjunker lufttrycket med stigande höjd över jordytan?”, ”hur snabbt sönderfaller ett radioaktivt ämne?”, ”hur mycket ökar skatten med växande inkomst?”, etc. Vi skall skaffa oss ett matematiskt verktyg som mäter hastigheten i dylika förändringar. För den skull betraktar vi först ett konkret exempel. Låt f (x) beteckna temperaturfördelningen längs en tunn stav placerad utefter x-axeln. Vi antar att temperaturen mäts i grader Celsius och att längdenheten är meter. Om man har fullständig kännedom om funktionen f (x) bör det också vara möjligt att svara på frågan: hur snabbt, uttryckt i grader per meter, ändrar sig temperaturen längs med staven vid en viss punkt x0 ? Det bör med andra ord finnas ett uttryck bildat enbart med hjälp av f (x) som på ett rimligt sätt mäter temperaturändringen per meter i en given punkt x0 i staven. För att finna detta uttryck konstaterar vi först att från punkten x0 till en närbelägen punkt x0 +h har temperaturen ändrats med f (x0 +h) − f (x0 ) grader. I intervallet med ändpunkterna x0 och x0 +h är följaktligen tem-
x x0
x0 +h
185
186
Kapitel 3. Derivator
peraturökningen (eller minskningen) i genomsnitt (1)
f (x0 +h) − f (x0 ) h
grader per meter. Uttrycket (1) innebär inget precist svar på den ställda frågan om hur stor tillväxthastigheten är i just punkten x0 , men ju mindre intervall (dvs. ju mindre värde på |h|) vi använder oss av ju närmare bör vi komma en exakt angivelse. Om gränsvärdet (2)
f (x0 +h) − f (x0 ) h→0 h lim
existerar är det därför rimligt att betrakta detta som mätetal för temperaturens ändringstakt i punkten x0 . Gränsvärdet (2) utgör alltså det uttryck vi letar efter. Exempel 1. Antag att temperaturfördelningen i staven ovan ges av √ f (x) = x. Bestäm temperaturens tillväxthastighet (i ◦ C/m) i punkten x = 1. Lösning: Efter vad vi har sett består uppgiften i att bestämma gränsvärdet √ f (1+h) − f (1) 1+h − 1 = lim . lim h→0 h→0 h h Förlängning med konjugatkvantiteten ger √ √ √ ( 1+h − 1)( 1+h + 1) (1+h) − 1 1+h − 1 √ = = √ = h h( 1+h + 1) h( 1+h + 1) 1 1 → =√ 2 1+h + 1
då h → 0.
Med andra ord växer temperaturen i punkten x = 1 med hastigheten 12 grad per meter (om man rör sig åt höger). Ett negativt resultat skulle ha inneburit en motsvarande minskning av temperaturen. Man kan också ge gränsvärdet (2) en geometrisk tolkning. Differenskvoten f (x0 +h) − f (x0 ) h
3.1. Introduktion till begreppet derivata
187
betyder ju riktningskoefficienten för den sekant ) som går genom punkterna (x0 , f (x0 )) och (x0+h, f (x0+h)) på funktionskurvan y = f (x). Om gränsvärdet (2) existerar kommer sekanten att få ett gränsläge t när h går mot noll. Denna gränslinje kallar man tangent till kurvan y = f (x) i punkten (x0 , f (x0 )). Det är alltså rimligt att säga: gränsvärdet (2) av differenskvoten är lika med riktningskoefficienten för tangenten till funktionskurvan y = f (x) i punkten (x0 , f (x0 )). y t ) f (x0 +h) f (x0 )
x0
3.2
x0 +h
x
Derivatans definition
Resultatet av analysen i föregående avsnitt visar att gränsvärden av formen (2) är av stort intresse, och vi påbörjar nu ett systematiskt studium av sådana. Definition 1. Antag att funktionen f är definierad i en omgivning av punkten x0 . Om gränsvärdet lim
h→0
f (x0 +h) − f (x0 ) h
existerar så säges f vara deriverbar i punkten x0 . Gränsvärdet kallas derivatan av f i x0 och betecknas f (x0 ),
df (x0 ) eller Df (x0 ). dx
188
Kapitel 3. Derivator
Om en funktion f är deriverbar i varje punkt i sin definitionsmängd säger vi kortfattat att f är deriverbar. Funktionen x −→ f (x),
x ∈ Df ,
kallas derivatan av f . För denna finns bland annat beteckningarna df , Df. f , dx I samband med diskussion av en funktionskurva y = f (x) används också skrivsätten dy . y och dx Exempel 2. Polynom av grad högst lika med 1, f (x) = ax + b, är deriverbara med
x ∈ R,
f (x) = a.
Ty (a(x0 +h) + b) − (ax0 + b) ah f (x0 +h) − f (x0 ) = = =a → a h h h då h → 0 för varje punkt x0 ∈ R. För en konstant funktion är a = 0. Vi har alltså speciellt visat att derivatan av varje konstant funktion är identiskt noll. Exempel 3. Funktionen
√ f (x) = c x,
x > 0,
där c är en konstant, är deriverbar med c f (x) = √ . 2 x Ty en upprepning av räkningen i exempel 1 för en allmän punkt x0 ger √ √ c x0 +h − c x0 (x0 +h) − x0 f (x0 +h) − f (x0 ) √ = =c √ = h h h( x0 +h + x0 ) =√
c c √ → √ x0 +h + x0 2 x0
då h → 0.
3.2. Derivatans definition
189
Exempel 4. För ett monom xn gäller D(xn ) = nxn−1 . Binomialsatsen ger nämligen att n + n xn−1 h + n xn−2 h2 + . . . + hn − xn n n x 0 0 1 0 2 0 (x0 +h) − x0 = = h h h + n2 xn−2 h2 + . . . + hn nxn−1 0 0 = = h + = nxn−1 0
n n−2 h + . . . + hn−1 . 2 x0
Här har alla termer utom den första gränsvärdet 0 då h → 0. Vi får alltså att (x0 +h)n − xn0 → nxn−1 då h → 0. 0 h
Geometrisk tolkning av derivata I slutet av avsnitt 3.1 såg vi att det är rimligt att uppfatta den räta linje som går genom punkten (x0 , f (x0 )) och har riktningskoefficienten f (x0 ) som en tangent till funktionskurvan y = f (x). Vi definierar därför tangenten i punkten (x0 , f (x0 )) som den linje vars ekvation är (3)
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ). y
f (x0 )
lutning f (x0 )
x0
x
190
Kapitel 3. Derivator
Vi talar också om f (x0 ) som funktionskurvans lutning eller branthet i punkten (x0 , f (x0 )). Exempel 5. Beräkna tangenten till funktionskurvan √ y = x, x > 0, i punkten (9, 3) (som är en punkt på kurvan!). Lösning: Enligt exempel 3 är 1 dy = √ . dx 2 x 1
1 6
Derivatans värde för x = 9 är alltså √ = . Den sökta tangentekvatio2 9
nen på enpunktsform blir därför
y
1 y − 3 = (x − 9), 6
3
som vi kan skriva på formen x − 6y + 9 = 0.
9
x
Exempel 6. Om en rät linje har riktningskoefficienten a = 0, så har en 1 normal till densamma som bekant riktningskoefficienten − . Uppgift: a beräkna normalen i punkten (9, 3) till kurvan i föregående exempel. Lösning: Den aktuella normalens riktningskoefficient får vi till 1 − 1 = −6. 6
Eftersom normalen ska gå genom punkten (9, 3) blir därför dess ekvation y − 3 = (−6)(x − 9), som vi skriver
y 3
y + 6x − 57 = 0. 9
x
3.2. Derivatans definition
191
Derivator i tillämpningarna De flesta fysikaliska och tekniska tillämpningar av begreppet derivata bygger på den tolkning som vi kom fram till i inledningen: den hastighet varmed ett visst förlopp y = f (x) tillväxer i en viss punkt x0 anges av derivatan f (x0 ) i denna punkt. Enheten för förloppets tillväxthastighet beror på enheterna för x och y i sambandet y = f (x). Om till exempel s(t) anger tillryggalagd vägsträcka (meter) för något objekt vid tiden t (sekunder) blir s (t) den vanliga (momentana) hastigheten vid tiden t mätt i meter per sekund. Om y(t) är mängden radioaktiv materia i kilogram vid tiden t (sekunder) betyder −y (t) ämnets sönderfallshastighet vid tiden t i kg/s. Observera minustecknet: sönderfall innebär negativ tillväxt. Om f (x) står för temperaturen (◦ C) i punkten x på en talaxel graderad i meter så anger f (x) temperaturstegringen i ◦ C/m vid punkten x, etc. Exemplen kan lätt mångfaldigas. Exempel 7. Ett kärl har formen av en horisontell triangulär ränna med mått i meter enligt figuren. I den vid tiden t = 0 tomma rännan tappas vatten med en konstant hastighet av 3 m3 per timme. Hur snabbt stiger vattennivån y(t) vid en viss tidpunkt t (timmar)? 2
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2
⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y(t) ⎪ ⎪ ⎩ ⎩
4
Lösning: Först beräknar vi nivån y(t) som funktion av t. Av likformiga trianglar ser vi att vattenytans bredd är lika med nivån y(t). Vi bestämmer y(t) genom att teckna vattenvolymen i rännan efter t timmar på två sätt: y(t)y(t) · 4. 3t = 2
192
Kapitel 3. Derivator
Detta ger oss
y(t) =
3√ t. 2
Derivatan av denna funktion beräknas enligt exempel 3 med c = Resultatet blir att vattnet stiger med hastigheten 1 y (t) = 2
3 2.
3 1 √ 2 t
meter per timme vid tiden t.
Andraderivata Det kan naturligtvis i vissa fall finnas anledning att studera tillväxthastigheten hos derivatan f av en funktion f . Man ska då bilda (f ) . Denna funktion kallas andraderivatan av f och betecknas på endera av sätten f ,
f (2) ,
D2 f
och
d2 f . dx2
Enligt sin definition mäter f (x) hur snabbt tillväxthastigheten ökar i punkten x. Detta brukar man kalla accelerationen hos förloppet f (x). Om till exempel s(t) betyder tillryggalagd vägsträcka i meter vid tiden t sekunder så är s (t) den vanliga accelerationen i (m/s)/s, dvs. i m/s2 . Beroende på tolkningen av f (x) kan emellertid accelerationen f (x) ha helt olika enheter. I exemplet där f (x) är temperaturen (◦ C) i punkten x (m) blir accelerationens enhet (◦ C/m)/m, dvs. ◦ C/m2 . Exempel 8. Ett rätlinjigt förlopp f (x) = ax + b har enligt exempel 2 konstant tillväxthastighet f (x) = a och accelera tionen f (x) = 0.
3.3. Derivationsregler
3.3
193
Derivationsregler
Deriverbarhet och kontinuitet Vi ska nu härleda ett antal räkneregler för derivation. Bland annat för detta ändamål behöver vi följande resultat. Sats 1. Om en funktion f är deriverbar så är den kontinuerlig. Bevis. Antag att f är deriverbar i en punkt x0 ∈ Df . Enligt definitionen av kontinuitet ska vi visa att f (x0 +h) → f (x0 ) då h → 0. Men f (x0 +h) − f (x0 ) · h → f (x0 ) · 0 = 0 då h → 0. h Detta visar satsen. f (x0 +h) − f (x0 ) =
Omvändningen till sats 1 är inte sann. Till exempel är funktionen f (x) = |x| kontinuerlig men inte deriverbar i x = 0. Det sista ser man av derivatans definition, ty för h > 0 har vi |h| h f (0+h) − f (0) = = = 1 → 1 då h → 0+ , h h h medan för h < 0 |h| −h f (0+h) − f (0) = = = −1 → −1 då h → 0− . h h h Gränsvärdet då h → 0 av differenskvoten i punkten 0 existerar tydligen inte. y
y = |x|
x
När som i detta fall vänster- respektive högergränsvärdet av differenskvoten existerar var för sig talar man om vänsterderivatan respektive högerderivatan av f . Tydligen är f deriverbar i en punkt precis när såväl vänster- som högerderivatan existerar och de är lika.
194
Kapitel 3. Derivator
Man talar ibland om deriverbara funktioner i slutna invervall [a, b]. Då kräver man att f är deriverbar i a < x < b samt att högerderivatan existerar i a och vänsterderivatan i b.
Algebraiska räkneregler Sats 2. Låt f och g vara deriverbara funktioner och α en konstant. Då är funktionerna αf , f +g, f g och f /g deriverbara i sina respektive definitionsmängder, och vi har följande formler för deras derivator: (4)
(αf ) (x) = αf (x),
(5)
(f +g) (x) = f (x) + g (x),
(6)
(f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x), f g
(7)
(x) =
f (x)g(x) − f (x)g (x) . g(x)2
Bevis. Vi ger inget separat bevis av regel (4), eftersom den utgör ett specialfall av (6), nämligen då g(x) = α. (5): För differenskvoten av f +g i en punkt x har vi direkt att [f (x+h) + g(x+h)] − [f (x) + g(x)] = h =
f (x+h) − f (x) g(x+h) − g(x) + → f (x) + g (x) då h → 0. h h
Alltså är f +g deriverbar och dess derivata ges av (5). (6): I analogi med beviset av produktregeln (2.7) för gränsvärden, sidan 140, skriver vi om differenskvoten för f g som f (x+h)g(x+h) − f (x)g(x) = h =
[f (x+h) − f (x)] g(x+h) + f (x)g(x+h) − f (x)g(x) = h
=
g(x+h) − g(x) f (x+h) − f (x) · g(x+h) + f (x) · . h h
ANALYS I EN VARIABEL
Framställningen är rik på exempel som visar hur man använder de teoretiska resultaten vid konkret problemlösning. Många tillämpningar inom teknik och naturvetenskap diskuteras. Författarna har lagt ner stor möda på att successivt vänja läsaren vid matematikens och naturvetenskapens krav på stringenta och koncisa resonemang. I den tredje upplagan har författarna lagt sig vinn om att förnya texten och anpassa den till dagens studenter. Fler exempel har tillkommit för att ytterligare belysa teorin.
Tredje upplagan
| ANALYS I EN VARIABEL
Denna bok behandlar grunderna i differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Den innehåller också en introduktion till de komplexa talen.
Arne Persson Lars-Christer Böiers
Arne Persson och Lars-Christer Böiers är universitetslektorer i matematik och har mångårig erfarenhet av undervisning vid Lunds Tekniska Högskola.
ANALYS I EN VARIABEL
Arne Persson Lars-Christer Böiers Art.nr 3134
3:e uppl.
www.studentlitteratur.se
978-91-44-06765-0_01_coverHB.indd 1
2010-06-11 10.22