9789147085491

Matematikboken UTMANINGEN Utmaningen är en ny komponent i serien Matematikboken.

Utmaningen Y erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med det matematiska innehållet i Matematikboken Y. I Utmaningen Y finns: • Målsidor • Genomgångar • Typexempel • Uppgifter av undersökande karaktär • Mycket problemlösning • Ledtrådar och lösningsförslag

Matematikboken Y

Bashäfte

Utmaningen

Lärarhandledning

Onlinebok

Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda för årskurserna 7– 9.

Till varje årskurs finns, utöver Utmaningen, en grundbok, ett enklare bashäfte och en lärarhandledning. Grundboken finns som onlinebok, en digital version av boken med interaktiva verktyg. Du hittar också en hel del tips och extramaterial på www.matematikbokenxyz.se.

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-08549-1 Tryck.nr 47-08549-1

Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén Omslag Y Utmaningen.indd 1

11-12-21 07.49.04

ISBN 978-91-47-08549-1 © 2012 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB Projektledare och redaktör: Sara Ramsfeldt och Patrik Marinilli Formgivning och layout: Eva Jerkeman och Monica Schmidt/Exaktaprinting Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson och Ingrid Magnusson Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: People Printing, Kina 2012

Bildförteckning 5 Mikael Andersson/NordicPhotos 8 Marja Airio/Hehkuva/Scanpix 9 Torbjörn Andersson/Scanpix 11 Camilla Cherry/Scanpix 12 (2) Yuri Kochetkov/EPA/Scanpix 14 Sam Stadener/Scanpix 16 Tuomas Marttila/Lehtikuva/Scanpix 18 Personalities/Topham/Scanpix 19 Richard l’Anson/Lonely Planet/Scanpix 26 Klaus Rose/Scanpix 27 Dimitar Dilkoff/AFP/Scanpix 30 Science Photo Library/IBL 33 Kristina Johnson 36 Atlantic/Age/Scanpix 50 David Muscroft/Age/Scanpix 53 Sara Arnald/Scanpix/Bildhuset 54 Claes Andrén/Naturfotograferna/IBL 56 Göran Gustafson/Scanpix 57 Yuri Cortez/AFP/Scanpix 60 Cecilia Mellberg/Scanpix/Bildhuset 63 Tobias Röstlund/Scanpix Övriga bilder: Liber arkiv, OPV Online, Photodisc och Shutterstock.

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för under­ visningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrätts­organisa­ tioner och huvudman för utbildnings­samordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Y utmaning - s 1-80.indb 2

11-12-21 09.09.31

Så här använder du Utmaningen Y Utmaningen Y vänder sig till dig som arbetar i ett högt tempo och söker större utmaningar i matematik. Det fungerar bra att arbeta i Utmaningen Y samtidigt som andra elever i klassen arbetar i Matematikboken Y. Böckerna har nämligen samma kapitelindelning, och Utmaningen Y bygger vidare på och breddar det som tas upp i Matematikboken Y. Kapitlen inleds med en målsida där vi beskriver vilka kompetenser och vilket innehåll du kan öva på i kapitlet. Här hittar du också de centrala matematiska begrepp som kommer att tas upp. Använd gärna målsidan för att fundera över vad du redan kan innan du sätter igång arbetet med kapitlet. Gå även tillbaka till målsidan när du är färdig och fundera över vad du lärde dig för nytt eller vad du blev bättre på.

Varje kapitel är uppdelat i mindre avsnitt. I början av avsnitten finns det genomgångar, faktarutor och typexempel. Uppgifterna kommer sedan i stigande svårighetsgrad. Det gör att du lätt kommer igång med ditt arbete men också slutligen når en avancerad nivå på matematiken.

Varje kapitel avslutas med riktigt klurig Problemlösning. Där finns inga givna lösningsmetoder, utan här är det meningen att du ska utveckla ditt eget förråd av strategier. Tips på några användbara strategier finns i slutet av boken, på sidan 79.

De uppgifter där du har stor nytta av att använda miniräknare är markerade med en streckad linje.

Utöver facit finns det förslag på lösningar till nästan hälften av uppgifterna. I lösningarna visar vi ett sätt att lösa uppgiften på. Före facit hittar du dessutom ledtrådar till just de uppgifterna. Ledtrådarna ger dig en liten hjälp på vägen så att du kan komma vidare om du har kört fast. Uppgifter som det finns ledtrådar och lösningar till är markerade med .

Lennart, Kristina och Conny

3

Y utmaning - s 1-80.indb 3

11-12-21 09.09.31

11

Bråk och procent

5

5

Bråkform och decimalform 6 Mer än 100 % 9 Förändringsfaktor 11 Upprepade förändringar 13 Problemlösning 15

2

Bråk och potenser

6

16

Algebra och mönster

Formler 27 Aritmetiska talföljder 29 Geometriska talföljder 31 Uppdelning i faktorer 32 Förkortning av rationella uttryck 34 Problemlösning 35

4

geometri

50

Ekvationer med flera nämnare 51 Problem med hastighet 55 Olikheter 57 Problemlösning 59

Sannolikhet och statistik 60

Beräkna sannolikheten 61 Komplementhändelse 62 Medelvärde, median och grafer 64 Problemlösning 66

Tid och rörelse 17 Sträcka, hastighet och tid 18 Räkna med bråk 20 Räkna med potenser 23 Problemlösning 25

3

ekvationer

Ledtrådar 67 26

Facit och lösningar 70 Problemlösningsstrategier 79 Begreppsregister 80

36

Vinklar 37 Vinklar i en cirkel 39 Fyrhörning i en cirkel 42 Cirkel och cirkelsektor 45 Cylinderns mantelyta 47 Problemlösning 49

4

Y utmaning - s 1-80.indb 4

11-12-21 09.09.31

4

geometri

Här får du utveckla din kompetens i att:

u använda geometriska satser för att beräkna vinklars storlek u förstå giltigheten hos några geometriska formler u använda formler för att beräkna omkrets och area av cirkelsektorer och mantelytors area

u tolka information och välja lämplig metod för att lösa

ke l Ra nd vin ke l Me de lpu nk tsv Ci ink rk els el ek to r Cy lin de r Ma nt ely ta

ov in

ke l Sid

vin

Ytt er

ris se kt Bi

Be

gr

eP

P

matematiska problem

36

Y utmaning - s 1-80.indb 36

11-12-21 09.10.24

Fyrhörning i en cirkel Bilden visar en fyrhörning som har sina hörn på en cirkel. Man säger att fyrhörningen är inskriven i cirkeln. I en sådan fyrhörning är summan av motstående vinklar 180° vilket vi kan bevisa.

Bevis: u

2v M 2u

v

Vi kallar storleken av två motstående vinklar för u och v. En medelpunktsvinkel är dubbelt så stor som en randvinkel på samma cirkelbåge. Det betyder att den mindre medelpunktsvinkeln är 2u och den större 2v.

2u + 2v = 360 2u 2v 360 + = 2 2 2 u + v = 180 I en fyrhörning, som är inskriven i en cirkel, är summan av motstående vinklar 180°.

42

4 • Geometri

Y utmaning - s 1-80.indb 42

11-12-21 09.10.26

Hur stor är vinkeln D?

D

C 7x

5x + 7x = 180

De motstående vinklarna är sammanlagt 180°.

12x = 180 x = 15 ∧B = 4 · 15° = 60°

4x

5x

∧D = 180° – 60° = 120°

B

A

Svar: Vinkeln D är 120°.

415 Hur stora är vinklarna A

och C?

417 Hur stor är vinkeln ABC?

C

D

D 5x

M

C

40° 110° 4x B

A

416 I den inskrivna fyrhörningen är

AC diameter i cirkeln. Vinkeln C är 36° större än vinkeln A. Hur stora är fyrhörningens vinklar?

A B

418 Beräkna vinklarna i triangeln

ABC.

C

D M C

B

A 65°

A

46°

D a Rita gärn r. re u g fi egna

B

4 • Geometri

Y utmaning - s 1-80.indb 43

43

11-12-21 09.10.26

PrOBLeMLÖSNINg 433 Varje cirkel har diametern

2 cm. Vilket är det exakta värdet på längden av den röda kurvan?

438 Vilket tal saknas?

1

8

27

?

125

439 Fyrhörningens omkrets är

30 cm. Diagonalen delar fyrhörningen i två trianglar som har omkretsen 24 cm respektive 28 cm. Hur lång är diagonalen?

434 Hur stor andel av figuren är

blå? Svara med ett bråk.

440 Per hittar på sin egen ”timme”.

Han säger att en ”Per-timme” är den tid det tar från det att timvisaren och minutvisaren täcker varandra och till dess att det sker nästa gång. Hur lång är en sådan ”Per-timme” uttryckt i timmar, minuter och sekunder?

435 Hur stor är summan av de

markerade vinklarna? c

b a

d

436 På hur många sätt kan en rät

linje dras i en kvadrat så att kvadratens area delas i två lika stora delar?

441 Tänk dig en klocka där dygnet

har 10 timmar och där varje timme har 100 minuter. Hur mycket är en vanlig klocka när den här klockan visar 6,75?

100 9 10 1

437 Studera bilderna nedan. Tänk

dig att mönstret fortsätter på samma sätt. Hur många rutor är vita om kvadraten består av 1 001 x 1 001 rutor?

75

8

2

7

3 6

25

5 4 50

442 Det femsiffriga talet XX5XX

är jämnt delbart med 6. Vilken siffra står bokstaven X för?

4 • Geometri

Y utmaning - s 1-80.indb 49

49

11-12-21 09.10.31

324

325 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339

Teckna summan av de tre talen. Förenkla uttrycket och bryt sen ut den gemensamma faktorn.

Kalla talen för a, a + 1, a + 2 och a + 3. Teckna summan och förenkla. b) Använd uttrycket från a och pröva dig fram.

Vilket är medelvärdet av de fem talen?

Jämför talen i undre raden med talen i den övre.

Hur många rutor sammanlagt innehåller den n:e figuren?

Vad är gemensamt för alla tal som står i mitten?

Försök se mönstret.

Pröva dig fram och hitta lösningen på så sätt. a) Kalla talets tiotalssiffra för a och entalssiffra för b. Talet kan då tecknas 10a + b.

Teckna de sex första talen i talföljden. Beräkna summan.

Använd ett så kallat Venndiagram.

A

B

431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442

C

4 404 405 406 412

413 414 417 418 419 420 421 422 427

geometri

Teckna uttryck för triangelns vinklar. Hur stor är summan av triangelns vinklar?

Börja med att räkna ut hur stor vinkeln ABE är.

Börja med att räkna ut hur stor vinkeln BCE är.

Räkna först ut hur stor vinkeln u är. Tänk sen på att randvinkeln v också har en medelpunktsvinkel på samma båge.

Det finns två medelpunktsvinklar.

Hur stor är den tredje vinkeln i vänstra triangeln?

Den ena medelpunktsvinkeln AMC är 150°.

Hur stor är den andra?

Leta efter randvinklar på samma båge.

Hur stor är summan av 5x och 4x?

Hur stor är vinkeln ACD? Vinkeln CAE är lika stor som vinkeln CDE. Hur stor är den?

Randvinkeln ADB står på en halvcirkel. Hur stor är den?

Hur stor area har de båda cirkelsektorer som har radierna 16 cm och 10 cm?

68

Kalla höjden för h och teckna ett uttryck för volymen.

Tältet är en liggande halv cylinder.

Jämför den krokiga delen av den röda kurvan med en cirkels omkrets.

Kalla radien i en liten cirkel för r. Vilken radie har då den stora cirkeln?

Hur stor är summan av de inre vinklarna, det vill säga fyrhörningens vinklar?

Tänk på linjer genom kvadratens mittpunkt.

Antalet vita rutor är så kallade jämna kvadrater.

Jämför med antalet rutor i respektive kvadrat.

Det handlar om potenser.

Kalla diagonalens längd för x cm och längden av fyrhörningens sidor för a, b, c och d.

Hur många ”Per-timmar” går det på 12 vanliga timmar?

Hur stor andel av dygnet har gått när klockan visar 6,75?

För att ett tal ska vara delbart med 2 måste det vara ett jämnt tal. För att ett tal ska vara delbart med 3 måste talets siffersumma vara delbar med 3.

5

ekvationer

Antag att det dröjer x h innan de båda möts.

Cyklist Fotgängare v = 16 km/h v = 6 km/h t=xh t=xh s = 16x km s = 6x km 518 Antag att bilisten körde med den lägre hastigheten i x h.

Första delen Andra delen v = 50 km/h v = 70 km/h t=xh t = (4 – x) h s = 50x km s = 70(4 – x) km 519 Antag att det dröjer x h innan Sara hinner upp Peter.

Peter Sara v = 6 km/h v = 18 km/h t = (x + 0,5) h t=xh s = 6(x + 0,5) km s = 18x km 520 Antag att omkörningen tar x h.

Bil A Bil B v = 100 km/h v = 80 km/h t=xh t=xh s = 100x km s = 80x km 517

Ledtrådar

Y utmaning - s 1-80.indb 68

11-12-21 09.11.03

Matematikboken UTMANINGEN Utmaningen är en ny komponent i serien Matematikboken.

Utmaningen Y erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med det matematiska innehållet i Matematikboken Y. I Utmaningen Y finns: • Målsidor • Genomgångar • Typexempel • Uppgifter av undersökande karaktär • Mycket problemlösning • Ledtrådar och lösningsförslag

Matematikboken Y

Bashäfte

Utmaningen

Lärarhandledning

Onlinebok

Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda för årskurserna 7– 9.

Till varje årskurs finns, utöver Utmaningen, en grundbok, ett enklare bashäfte och en lärarhandledning. Grundboken finns som onlinebok, en digital version av boken med interaktiva verktyg. Du hittar också en hel del tips och extramaterial på www.matematikbokenxyz.se.

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-08549-1 Tryck.nr 47-08549-1

Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén Omslag Y Utmaningen.indd 1

11-12-21 07.49.04