9789127422452

MATEMATIK

från Natur & Kultur

FYSIK

från Natur & Kultur

Denna formelsamling är avsedd för kurserna i matematik, fysik och kemi på gymnasieskolan och komvux.

Formelsamlingen kan användas både i undervisning och vid prov.

KEMI

Boken är lätt att hitta i och formlerna och tabellerna presenteras på ett överskådligt sätt med tydliga illustrationer.

OCH

Formler Tabeller

TABELLER

OCH

Rune Alphonce Helen Pilström

Formler OCH Tabeller

Formler Tabeller

från Natur & Kultur

ISBN 978-91-27-42245-2

9 789127 422452

Formler och Tabeller Omslag 111212.indd 1

2011-12-12 16.24

Formler och tabeller 111212.indd 1

2011-12-12 15.38

Förord Formler och tabeller är avsedd för gymnasieskolans kurser i matematik, fysik och kemi. Detta är den andra upplagan och boken är nu i fyrfärg – med pedagogiska illustrationer, en tilltalande form och en tydlig struktur.

I den här upplagan har hänsyn tagits till de nya ämnesplanerna för matematik, fysik och kemi enligt Gy2011. Enligt Gy2011 ska klimat och miljö behandlas i undervisningen i fysik och kemi. Eftersom klimatdata uppdateras ofta har vi valt att inte inkludera alltför mycket av detta i boken, eftersom vi tror att man vill använda dagsfärsk information inom detta område.

Däremot kan man hitta denna information hos bl.a. FN:s klimatpanel IPCC, Naturvårdsverket och SMHI. Vi vill tacka Lars Bergström för värdefull information. Ett tack också till Hans Heikne och Conny Modig för viktiga synpunkter.

Författarna och Natur & Kultur

3

Formler och tabeller 111212.indd 3

2011-12-12 15.38

Innehåll Grekiska alfabetet omslag s 2 Några grekiska räkneord omslag s 2 Prefix omslag s 2

Grundämnenas periodiska system omslag s 3

Matematik

Fysik

formler

formler

Aritmetik och algebra 7 Geometri 10 Trigonometri 15 Derivator 20 Exponentiella modeller 23 Integraler 24 Beskrivande statistik 25 Index, talföljder och serier 28 Sannolikheter 29 Mängder, logik och talteori 36 Komplexa tal 38 Differentialekvationer 39 Numeriska metoder 40 Approximerande polynom 41 Vektorer 42 Matriser 43

tabeller

Några symboler 6 Några exakta trigonometriska funktionsvärden 18 Konsumentprisindex 28 Fakulteter 30 Binomialkoefficienter (Pascals triangel) 30 Binomialfördelningen 32 Den allmänna normalfördelningen 34 Den standardiserade normalfördelningen Frekvensfunktionen 34 Fördelningsfunktionen 35 Primtalen mindre än 1000 37

Mekanik 44 Värmelära, tryck och gaser 47 Ellära 48 Vågrörelselära 53 Optik 54 Elektromagnetisk strålning 56 Atom-, kärn- och partikelfysik 57 Relativitetsteori 58 Astrofysik 59

Kemi formler

Grundläggande begrepp 60 Gaser 61 Termokemi 61 Kemisk jämvikt 62 Syror och baser 62 Lösningar 64 Organisk kemi 65 Elektrokemi 67

4

Formler och tabeller 111212.indd 4

2011-12-12 15.38

Fysik och kemi tabeller

Konstanter 68 Energiinnehåll (värmevärde) i några vanliga bränslen 68 Omvandlingsfaktorer 69 Tyngdaccelerationen g för olika latituder 69 Mekaniska och termiska data för fasta kroppar 70 Värmeledningsförmåga 70 Mekaniska och termiska data för vätskor 71 Mekaniska och termiska data för gaser 71 Resistivitet och temperaturkoefficient 72 Termoemk 72 Isolermaterial 73 Magnetiska material 73 Ljudhastighet i olika medier 73 Vattenångas mättnadstryck 74 Brytningsindex för vissa Fraunhoferlinjer 74 Våglängder i luft för några grundämnens emissionslinjer 75 Synligt ljus 75 Några nuklider (halveringstider) 76 Några viktiga elementarpartiklar 80 Leptoner och kvarkar 81 Astronomiska data 82 Grundämnestabell 83 Atomernas elektronkonfiguration 86

Atom- och jonradier 88 Joniseringsenergi 89 Elektronegativiteter 89 Syres löslighet i vatten 90 Fryspunktssänkning och kokpunktshöjning 90 Några bildningsentalpier 91 Några förbränningsentalpier 91 Några oorganiska joner 92 Oorganiska föreningars egenskaper 93 Löslighetsprodukter 95 Koncentrerade syror och ammoniak 96 Syra–bas-indikatorer 96 Buffertlösningar 96 Syra- och baskonstanter 97 Normalpotentialer 98 Några kovalenta bindningar, deras längd och bindningsenergier 99 Märkningssymboler för fara 99 Organiska föreningars egenskaper 100 De tjugo vanliga aminosyrorna 104 Våra viktigaste vitaminer 105 Några livsmedels energi och näringsämnen 106 Rekommenderat dagsintag av vissa mineralämnen 108 Livsmedelstillsatser 108 Register 109

5

Formler och tabeller 111212.indd 5

2011-12-12 15.38

MATEMATIK

Några symboler > ? ≥ < = ≤ = ≠ ≈ [a, b] ]a, b] ]–∞, b] fi € Ÿ ⁄ ÿ p Æ q p ´ q Œ œ Õ Ã » « ð \ Ø N Z Q R C |x| a ∫ b (mod m) [x] @ ~

större än mycket större än större än eller lika med mindre än mycket mindre än mindre än eller lika med lika med ej lika med ungefär lika med intervallet a ≤ x ≤ b intervallet a < x ≤ b intervallet x ≤ b medför att ekvivalent med och eller (och/eller) icke om p, så q p om och endast om q tillhör tillhör icke delmängd av äkta delmängd av union snitt komplement differensmängd tomma mängden naturliga talen hela talen rationella talen reella talen komplexa talen absolutbeloppet av x a – b är delbart med m det största heltalet mindre än eller lika med x kongruent med likformig med

AB

vektorn AB

|AB| cot v cosec v sec v

storlek av vektorn AB cotangens v = 1/tan v cosecans v = 1/sin v secans v = 1/cos v

→

→

6

Formler och tabeller 111212.indd 6

2011-12-12 15.38

Konstanter och testdata _

​ 2 ​

√ π e lg e ln 10

≈ 1,41421 35623 73095 ≈ 3,14159 26535 89793 ≈ 2,71828 18284 59045 ≈ 0,43429 44819 03252 ≈ 2,30258 50929 94046

1°

= π/180 rad ≈ 0,01745 32925 19943

1 rad = 180°/π

sin 1 sin 1° tan 45 tan 45°

MATEMATIK

Aritmetik och algebra ≈ 0,84147 09848 07897 ≈ 0,01745 24064 37284 ≈ 1,61977 51905 43862 =1

≈ 57,29577 95130 82321°

Rationella närmevärden till π 355 ​≈ 3,1415929 _ ​ 22 ​ ≈ 3,143 ​ _ 7

113

Rationella uttryck ad + ​ bc _ ​ c ​ = ​ _ ​ a ​ + _

b

d

bd

ab ​ ​ a ​ ∙ _ ac ​ _ a∙_ ​ b ​ = ​ _ ​ c ​ = ​ _

c c b d bd

a ​ _ ​ a ​ ​ _ b a a ad ac b _ _ _ _ _ _ ​ = ​ ​ ​

​ ​ = ​ ​ ​ c​ ​ ​ = ​ bc ​ _ c bc b b _ ​ ​ d c

(Alla nämnare ≠ 0.)

Några algebraiska formler (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b 2 a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)

⎞

⎬

⎠

Kvadreringsreglerna Konjugatregeln

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab 2 + b 3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab 2 – b 3 a3 + b 3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b 3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (a + b)n där n är ett positivt heltal, se binomialsatsen s 31.

7

Formler och tabeller 111212.indd 7

2011-12-12 15.38

Polynom Ett uttryck av formen a0 + a1x + a2x2 + … + an–1xn–1 + anxn

x om x ≥ 0 –x om x < 0

⎬

⎞

|x| =

⎠

MATEMATIK

Absolutbelopp

Absolutbeloppet |x| är det av talen x och –x som är positivt (eller 0).

_

_

​√a ​ ​ b ​ ​ ab ​ = √

∙ √ _ ​√_ a ​

_

_

√ _

​ a ​ ​ ​ ​ = ​ _ ​√b ​ b

an ≠ 0 kallas ett polynom av n:te graden i x.

En funktion y = f(x), där f(x) är ett polynom, kallas polynomfunktion.

Rotlagar _

där talen a0 , a1, a2 , …, an–1, an är reella och

_

​√a 2b ​ = |a| √ ​ b ​

a ≥ 0

b≥0

Faktorsatsen

a ≥ 0

b>0

Om ett polynom f (x) delas med x – a så blir resten f (a) (restsatsen).

Ett polynom f (x) har faktorn x – a om och endast om f (a) = 0 (faktorsatsen).

b≥0

Kvadratkomplettering

() () ( ) ()

2 2 p2 p2 p p x2 + px = x2 + px + ​ _ ​ – _ ​ ​ = x + _ ​ ​ – _ ​ ​ 2 2 2 2

Andragradsekvationen

Polynomdivision

x2 + px + q = 0

f (x) = x3 + 8x – 24 f (2) = 0 f (x) är delbart med x – 2

√( _​ 2 ​ ) – q ​

p x=–_ ​ ​ ± ​ 2

_

p

2

()

p2 ​ ​ – q ≥ 0 Rötterna är reella om _ 2 Om ekvationen x2 + px + q = 0 har rötterna x1 och x2 så är x1 + x2 = –p x1 ∙ x2 = q

Potenser

x2 + 2x + 12 x3 + 0x2 + 8x – 24 | x – 2 x3 – 2x2 2x2 + 8x 2x2 – 4x 12x – 24 12x – 24 0

För reella x och y och positiva a och b gäller a x a y = a x + y

a x ​ = a x – y ​ _ a x ​ = ​ _ y a bx

() _ ​ a ​

x

b

n_

a1/n = ​√ a ​ där n är ett heltal ≥ 2 ​ 1x Specialfall: a0 = 1, a–x = _ a ​Talet a ∙ 10n där 1 ≤ a < 10 och n är ett heltal är skrivet i grundpotensform. (a x)y = a xy

8

x

a x b x = (ab)

Formler och tabeller 111212.indd 8

2011-12-12 15.38

Övergång från potensform till logaritmform Potensform

Logaritmform

a =b

x = loga b

x

2 = 32 x

MATEMATIK

Logaritmer

x = log2 32 = lb 32

ex = 3

x = ln 3

10 x = 5

x = lg 5

Specialfall: lg 10 = 1, lg 1 = 0, ln e = 1, ln 1 = 0

Logaritmlagar

För positiva tal A, B, a, b, och c gäller lg AB = lg A + lg B ​ A ​ = lg A – lg B lg _ B lg Ap = p lg A

()

Motsvarande lagar gäller för andra baser. log b _ lg b ln b ​= ​ ​= _ ​ ​ ​ c loga b = _ logc a lg a ln a

Proportionalitet y = kx

y är proportionell mot x

y = kx 2 ​ 1 ​ y=_ ​ k ​= k _ x x

y är proportionell mot x 2 y är omvänt proportionell mot x

k är proportionalitetskonstanten.

Närmevärden Om n är ett närmevärde till talet t så kallas φ=n–t närmevärdets fel.

Om f är en uppskattning av felet (en felgräns) så är n – f ≤ t ≤ n + f, vilket skrivs t=n±f felet ​ Relativa felet = ​ __ närmevärdet Ett närmevärde är korrekt avrundat om felgränsen f är en halv enhet i sista gällande siffran.

Formler och tabeller 111212.indd 9

9

2011-12-12 15.38

MATEMATIK

Geometri Area, omkrets och volym triangel bh ​ Arean = ​ _ 2

c

a

h

Herons formel: __ – a) (s – b) Arean = √ ​ s(s (s – c) ​ där s = (a + b + c)/2

b

Parallellogram

h

Arean = bh

b

Rektangel

Arean = ab Omkretsen = 2a + 2b

b a

Romb

d d2 Arean = bh = _ ​ 1 ​

2 Diagonalerna delar varandra mitt itu under räta vinklar.

d2

h

b a

Parallelltrapets

h

h(a + b) ​ Arean = _ ​

2

b

Cirkel 2 _ Arean = πr 2 = ​ πd ​ 4 Omkretsen = 2πr = πd

d1

d r

Cirkelsektor Bågen b = _ ​ α ​ 2πr = vr 360 2 br ​ α ​ πr 2 = ​ vr _ ​ = ​ _ Arean = ​ _ 360 2 2

10

α är medelpunktsvinkeln i grader v är medelpunktsvinkeln i radianer

Formler och tabeller 111212.indd 10

r b

v r

2011-12-12 15.38

MATEMATIK

Cirkelsegment 1 r 2(v – sin v) Arean = _ 2 v är medelpunktsvinkeln i radianer

v

r

r

rätbloCk

c

Volymen = abc

b

a

prisma

Volymen = Bh där B är basytans area.

h B

klot (sfär) 3

_ Volymen = 4πr 3 Arean = 4πr 2

r

h

klotsegment

r

1 πh 2(3r – h) Volymen = _ 3 Buktiga ytans area = 2πrh

rak Cirkulär CYlinder

Volymen = πr 2h Mantelarean = 2πrh Totala arean = 2πrh + 2πr 2 = 2πr(h + r)

h r

rak Cirkulär kon πr h Volymen = _ 3 Mantelarean = πrs Totala arean = πrs + πr 2 = πr(s + r) 2

h

stYmpad kon πh (R2 + Rr + r 2) Volymen = _ 3 Mantelarean = πs(R + r)

pYramid

Bh där B är basytans area.

Volymen = _ 3

Formler och tabeller 111212.indd 11

s r

r h

s R

h B

11

2011-12-12 15.38

MATEMATIK

Kongruens Två trianglar är kongruenta om de överensstämmer i 1. två sidor och mellanliggande vinkel (första kongruensfallet) 2. de tre sidorna (andra kongruensfallet) 3. två vinklar och mellanliggande sida (tredje kongruensfallet)

Några begrepp och satser Vinkelsumman i en triangel u + v + x = 180°

v

Yttervinkelsatsen u+v=y

x

u

y

Sidovinklar x + y = 180°

Pythagoras sats

a2 + b2 = c2 Om a, b och c är positiva heltal, sägs de bilda en pythagoreisk taltrippel.

c

a b

Några exempel:

a

3

5

8

7

20

12

9

28

11

33

16

48

36

13

39

65

b

4

12

15

24

21

35

40

45

60

56

63

55

77

84

80

72

c

5

13

17

25

29

37

41

53

61

65

65

73

85

85

89

97

Likformighet

I likformiga månghörningar är 1. kvoten av motsvarande sidor lika 2. motsvarande vinklar lika Likvinkliga trianglar är likformiga. x y = a b

x y

a b

Skala

För likformiga avbildningar gäller: Längdskalan är förhållandet mellan en sträcka i bilden och motsvarande sträcka i föremålet.

Areaskalan = (längdskalan)2 Volymskalan = (längdskalan)3

12

Formler och tabeller 111212.indd 12

2011-12-12 15.38

En linje som skär två sidor i en triangel och är parallell med den tredje.

a

Transversalsatsen

c

a = c b d

b

En parallelltransversal delar två sidor i en triangel i samma förhållande.

MATEMATIK

Parallelltransversal

d

Topptriangelsatsen

En parallelltransversal delar en triangel så att topptriangeln är likformig med hela triangeln.

Bisektris

C

En linje (stråle) som delar en vinkel mitt itu.

CD är en bisektris.

b

Bisektrissatsen b ​ x ​ = ​ _ ​ _ y

A

a

a

D

x

Median

B

C

En sträcka i en triangel från ett hörn till motstående sidas mittpunkt M. CM är en median.

Medianerna i en triangel skär varandra i triangelns tyngdpunkt T. De delar varandra i förhållandet 2:1.

y

T A

M

B

Randvinkelsatsen

Medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som en randvinkel på samma cirkelbåge.

Följdsatser: Randvinklar på samma cirkelbåge är lika stora.

Randvinklar på en halvcirkelbåge är räta (90°).

Motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel är tillsammans 180°.

Kordasatsen a∙b=c∙d

a d

v

2v

c b

13

Formler och tabeller 111212.indd 13

2011-12-12 15.38

MATEMATIK

från Natur & Kultur

FYSIK

från Natur & Kultur

Denna formelsamling är avsedd för kurserna i matematik, fysik och kemi på gymnasieskolan och komvux.

Formelsamlingen kan användas både i undervisning och vid prov.

KEMI

Boken är lätt att hitta i och formlerna och tabellerna presenteras på ett överskådligt sätt med tydliga illustrationer.

OCH

Formler Tabeller

TABELLER

OCH

Rune Alphonce Helen Pilström

Formler OCH Tabeller

Formler Tabeller

från Natur & Kultur

ISBN 978-91-27-42245-2

9 789127 422452

Formler och Tabeller Omslag 111212.indd 1

2011-12-12 16.24