Ellära
Krets- och fältteori Lars bergström lars nordlund
ISBN 978-91-47-10619-6 © 2012 Lars Nordlund, Lars Bergström och Liber AB Projektledare: Kajsa Lindroth Förläggare: Peter Rajan Form: Nette Lövgren Sättning: Integra Software Services Illustrationer: Författarna Omslag: Nette Lövgren Omslagsbild: Pixel Embargo/Shutterstock Produktion: Jürgen Borchert Tredje upplagan 1 Repro: Integra Software Services Tryck: Kina 2012
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se
Innehåll 1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Förord Kirchhoffs lagar – resistorkopplingar
Allmänt Kirchhoffs strömlag Kirchhoffs spänningslag Ohms lag och referenser. Resistans och konduktans Förbrukad och avgiven energi och effekt Resistorkopplingar Övningsuppgifter
sid
7 9
9 10 13 15 18 21 34
LIKSTRÖM 2
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5
5.1 5.2
Mätning av spänning, ström och resistans – Mätonoggrannhet
43
Digitala och analoga instrument. Instruments egenförbrukning och resistans Mätning av spänning Mätning av ström Mätning av resistans Mätonoggrannhet Övningsuppgifter
43 44 47 50 54 64
Tvåpoler
66
Tvåpoler och tvåpolers karakteristik Ideala tvåpoler Beroende generatorer Kopplingsschema och beräkningsschema Övningsuppgifter
66 71 78 80 83
Aktiva linjära tvåpoler
87
Ekvivalent spännings- och strömtvåpol Effektanpassning Analys av nät med olinjära komponenter Mätning av en linjär tvåpols inre resistans Övningsuppgifter
87 97 100 108 110
Linjär kretsteori
119
Analys av linjära nät Metoder för nätsolvering
119 123
4
5.3 5.4 5.5
Förändringar i nät – superposition Fyrpoler – reciprocitet – fyrpolsparametrar Övningsuppgifter
136 149 157
VÄXELSTRÖM 6
Grundbegrepp – instrumentvisningar
163
6.1 6.2 6.3
Grundläggande begrepp Mätning av växelström och växelspänning Övningsuppgifter
163 166 172
Sinusformad ström och spänning
174
Grundbegrepp vid sinusformade storheter Visarrepresentation av sinusstorheter Övningsuppgifter
174 186 193
Ideala komponenter i växelströmskretsar
197
Passiva ideala tvåpoler Ideala transformatorer Ideala passiva tvåpoler vid sinusformat stationärtillstånd Övningsuppgifter
197 209 211 217
Den komplexa metoden
221
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
Komplext beräkningsschema för passiva linjära tvåpoler Kretsanalys med komplexa metoden Aktiv effekt och effektanpassning Resonans Frekvens-, amplitud- och fasfunktion för ett linjärt system Sammanfattning av den komplexa metoden Övningsuppgifter
222 236 243 251 261 266 267
10
Elkraftsteknik
274
10.1 10.2 10.3 10.4
Effekt vid sinusformad ström och spänning Trefas Eldistribution Övningsuppgifter
274 290 302 305
7
7.1 7.2 7.3 8
8.1 8.2 8.3 8.4 9
FÄLTTEORI 11
Elektriska fält
309
11.1
Elektrisk fältstyrka
309
INNEHÅLL
11.2 11.3 11.4 11.5
Elektrisk spänning och potential Elektrisk ström Kapacitans Övningsuppgifter
314 319 322 326
12
Magnetiska fält
329
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
Magnetism Magnetisk flödestäthet Magnetiska kretsar Induktion och induktans Elektromagnetiska vågor Övningsuppgifter
329 333 349 359 372 376
APPENDIX A
Medelvärden
383
B
Den komplexa metoden
392
Svar till övningsuppgifterna
399
Sakregister
412
Engelsk–svensk ordlista
418
Svensk–engelsk ordlista
421
5
FÖRORD
Förord Klassiskt indelas ellära i kretsteori och fältteori. Kretsteorin omfattar beräkningar av storheter, främst spänningar och strömmar, i elektriska kopplingar. Fältteorin beskriver egenskaper hos de bakomliggande elektriska och magnetiska fälten. Den teoretiska fältteorin bygger på de samband som formulerades av Maxwell på 1860-talet. Kretsteorin kan ses som ett specialfall av den generella fältteorin, där man bortser från vad som händer i rymden kring en koppling. Man gör då den approximationen att allt väsentligt sker i de ledare och komponenter som kopplingen består av. Framställningen i denna bok är koncentrerad på kretsteorin, som behandlas i kapitlen 1–10. I kapitel 1 behandlas några samband som är generella för likström och växelström såsom Kirchhoffs lagar, spännings- och strömdelning och effektberäkningar. Kapitel 2 behandlar grundläggande mätteknik vid mätning av likspänning, likström och resistans och kapitlen 3–5 kretsteori vid likström. Kapitlen 6 och 7 behandlar grundläggande begrepp för tidvariabla storheter i allmänhet och sinusformade storheter i synnerhet. I kapitel 8 introduceras dels de i växelströmskretsar vanligaste ideala tvåpolerna, dels visardiagram. Tonvikten ligger på presentationen av den komplexa metoden, jω-metoden, i kapitel 9. Kapitel 10 behandlar några elkrafttekniskt intressanta områden som trefassystem samt aktiv, reaktiv och skenbar effekt. En något djupare fältteoretisk bakgrund till kretsteorin ges i kapitlen 11–12. I kapitel 11 behandlas elektriska fält och i kapitel 12 magnetiska fält. I dessa kapitel ges tekniska aspekter på begreppen kapacitans, induktion och induktans. Vi har valt att organisera innehållet så att kretsteorin och fältteorin kan läsas oberoende av varandra och i önskad ordningsföljd. Detta medför vissa upprepningar. Grundläggande elektrisk mätteknik har integrerats i framställningen. I samband med att olika storheter introduceras, ges också en kortfattad beskrivning av hur mätning av storheterna sker. Generella mättekniska problemställningar, som mätonoggrannhet och instrumentens inverkan på mätningens resultat, behandlas. De matematiska bakgrunderna har i stor utsträckning samlats i appendix. Varje kapitel innehåller lösta exempel och avslutas med ett stort antal övningsuppgifter. I facit till vissa av dessa ges anvisningar för lösning och/eller mellanresultat. Urvalet av exempel och uppgifter har gjorts med avsikten att dessa skall utgöra en träning i analys av enklare elektriska kretsar och har därför en begränsad verklighetsanknytning. För exempel med sådan anknytning hänvisar vi till kurslitteratur inom olika teknikområden som exempelvis grundläggande elektronik. Boken är främst anpassad för högskoleingenjörsutbildningar i elektroteknik men torde vara användbar för många andra tekniska utbildningar på motsvarande nivå. Lars Bergström
Lars Nordlund
7
Kirchhoffs lagar – resistorkopplingar
1.
Allmänt
1.1
I detta kapitel presenteras de fundamentala lagar på vilka all analys av såväl likströmssom växelströmskretsar baseras. Vidare skall vi behandla några grundläggande resistorkopplingar. Vi utgår från ett antal i fysiken definierade begrepp som elektrisk ström, spänning, potential, effekt och resistans. Dessa förutsätter i sin tur andra begrepp såsom elektrisk laddning och elektriskt fält. En sammanfattning av den fysikaliska bakgrund som krävs i detta kapitel, återfinns i kapitel 11. För att en elektrisk ström skall uppkomma krävs en energikälla och en sluten väg för strömmen. En sådan strömbana kallas elektrisk krets. Förutom en elenergikälla innehåller den elektriska kretsen normalt också någon apparat som förbrukar elenergi. Elenergikällor och elenergiförbrukare kallas kretskomponenter. För att åskådliggöra hur kretskomponenterna är hopkopplade kan man rita ett kopplingsschema. I figuren nedan visas ett exempel där man utför mätningar på en lampa som drivs av ett likspänningsaggregat. Strömmen till lampan och spänningen över denna mäts med två mätinstrument. TILLQUIST
METEX V
A 0
3
0
A 30
0
M-3850
0
V
30
VOLTAGE
CURRENT
μ~ A
VOLTAGE
mA
mA 10A OFF
DC/AC
A
~ ~
mA
μA ON/OFF
CURRENT
~ mV OFF V
V 3
DT-445
10A Ω OFF
Ω
A mA/μA COM
V/Ω
V mV
ON/OFF
− GND +
− GND +
− UL +
5V/3A 20A
−
+
Kopplingen kan tydligare och enklare åskådliggöras med kopplingsschemat till höger.
mA COM
V, Ω
I
A G
I + UL −
V
10
Man kan koppla samman elenergikällor och elenergiförbrukare i mer komplicerade kretsar. Sådana kretsar kallas även elektriska nät. I dessa kan man urskilja grenar innehållande en eller flera komponenter. Grenarna är sammankopplade med varandra i knutpunkter (noder). Kopplingsschemat visar hur en R likströmsgenerator G matar två glödlampor L1 och L2, driver en likM G E strömsmotor M och laddar en ackuL1 L2 mulator E via en resistor R. Kopplingen innehåller fem grenar och två knutpunkter (noder). Kretsteorin erbjuder metoder för analys av elektriska nät. Denna analys kan exempelvis bestå av beräkning av spänningar och strömmar i nätet. I detta kapitel presenteras de grundläggande samband på vilka alla kretsteoretiska beräkningar baseras. Viktigast av dessa samband är Kirchhoffs1 lagar vilka gäller för likström samt i varje tidpunkt också för växelström.
1.2
Kirchhoffs strömlag
I kapitel 11 definieras storheten elektrisk ström. Strömmens fysikaliska riktning definieras enligt följande: Den fysikaliska riktningen hos en elektrisk ström av enbart positiva laddningar sammanfaller med laddningarnas rörelseriktning. Om enbart negativa laddningar deltar i laddningstransporten, blir strömmens fysikaliska riktning motsatt rörelseriktningen hos dessa laddningar. strömriktning
+
+ +
strömriktning
+
− −
−
−
Vi betraktar nu ett ställe där flera strömförande ledare är förenade i en knutpunkt enligt figuren nedan. Strömmen består av laddningar i rörelse. Inga laddningar alstras, försvinner eller lagras i knutpunkten. Under varje godtycklig tidsperiod måste därför den laddning som går från knutpunkten vara lika stor som den som går till knutpunkten.
1 Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887), tysk fysiker. Han var en mångsidig forskare inom teoretisk fysik och uppställde de fundamentala lagar som beskriver tillståndet i en elektrisk krets.
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
I1
ledare − qe
I3 I3 = I1 + I2
I2
Kombinerar vi denna slutsats med definitionen på ström, får vi följande lag för strömgrening i en knutpunkt:
Summan av de utgående strömmarna från en knutpunkt är lika med summan av de inkommande strömmarna.
Denna lag kallas Kirchhoffs strömlag, förkortat KI, eller Kirchhoffs första lag (eng. KCL, Kirchhoff´s Current Law). Lagen gäller för både likström och växelström (vid varje godtycklig tidpunkt) och är en av de två lagar som uppställdes av Kirchhoff år 1847.
EXEMPEL 1.1:
Beräkna strömmarna I1, I2 och I3 i nedanstående figurer.
b)
a)
1A 3A
5A
6A
2A I1
c)
4A
I3
3A
3A I2
11
12
LÖSNING:
Utgående strömmar = I1 + 3 A b) Inkommande strömmar = 2 A + 5 A Kirchhoffs strömlag (KI) ger I1 + 3 A = 2 A + 5 A c) I1 = 4 A
a)
KI ger 1 A + 3 A = I2 + 6 A I2 = −2 A KI ger: 4 A = I3 + 3 A 3 I3 = 1 A
I exempel 1.1 blev strömmen I1 positiv och strömmen I2 negativ. Vi tolkar detta som att strömmen i första fallet går i samma riktning som I1:s pil, medan strömmen i andra fallet går i motsatt riktning mot I2:s pil. Vi skiljer således på • strömmens referensriktning som hör ihop med den algebraiska storhet som i en beräkning representerar strömmen och • strömmens fysikaliska riktning som hör ihop med rörelseriktningen hos laddningsbärarna enligt definitionen av strömmens riktning. Referensriktningen väljs godtyckligt och anges med en pil på grenen. Ger beräkningarna en positiv ström sammanfaller strömmens fysikaliska riktning med den angivna referensriktningen. Ger beräkningarna en negativ ström går strömmen i motsatt riktning mot referensriktningen. Strömbeteckningen blir fullständig först med en utsatt referensriktning. Vi kan redovisa strömmarna i exempel 1.1b på olika sätt: a)
b) 1A
6A
3A −2 A
c) −1 A 6A
−3 A
1A
−2 A
−6 A
3A 2A
I figur b) och c) har alla referensriktningarna valts in mot respektive ut från knutpunkten. Av figurerna framgår att Kirchhoffs strömlag även kan formuleras på följande sätt: • Om referensriktningarna väljs konsekvent, antingen in mot eller ut från knutpunkten, är summan av strömmarna noll.
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
Med konsekvent vald referensriktning kan lagen alltså uttryckas I1 + I2 + . . . + In = 0 I3
eller kortare
Ik
I2
n
a Ik = 0
I1
k=1
1.3
In
In−1
Kirchhoffs spänningslag
I kapitel 11 definieras storheterna elektrisk potential och elektrisk spänning. En elektrisk spännings fysikaliska polaritet definieras enligt följande:
+
V1 = 13 V
V2 = 8 V
V1 5V
5V
U=5V −
+ V1
− V2
V2
Den fysikaliska polariteten för spänningen mellan två punkter anger man genom att med ”⫹” markera punkten med den högre potentialen och med ”⫺” den med den lägre. För att markera vilka tecken som hör till samma spänning kan man sammanbinda dem med en båge. Alternativt kan man som i den högra figuren ange polariteten med en pil vars spets är riktad mot punkten med den lägre potentialen. Vi betraktar nu ett elektriskt fält enligt figuren till höger. Om vi flyttar oss längs den slutna vägen ABCDA i fältet och summerar potentialändringarna får vi:
B VB VC
A VA
C
(VB − VA) + (VC − VB) + (VD − VC) + (VA − VD) = 0
D VD
13
14
Summan av alla potentialändringar längs vägen är noll eftersom vi återkommer till samma potential som vi startade från. Vi kan också uttrycka potentialändringarna med spänningar: UBA + UCB + UDC + UAD = 0 Denna andra viktiga lag för elektriska kretsar kallas Kirchhoffs spänningslag, förkortat KU, eller Kirchhoffs andra lag (eng. Kirchhoff´s Voltage Law, KVL). Den kan formuleras på följande sätt: Den algebraiska summan av potentialändringarna (spänningarna) längs en sluten väg är lika med noll. Observera att resultatet är oberoende av i vilken riktning vi går längs den slutna vägen.
EXEMPEL 1.2
a)
I figuren till höger är UBA = −2 V, UCB = −7 V och UDC = 15 V. Beräkna UAD och UAC.
UCB
UBA
B+ −
+ C− −
−A + +
UAC UDC
b)
LÖSNING:
Vi väljer vägen ABCDA. KU ger då UBA + UCB + UDC + UAD = 0 −2 V − 7 V + 15 V + UAD = 0 UA D = −6 V Vi väljer därefter vägen ABCA. KU ger då UBA + UCB + UAC = 0 −2 V − 7 V + UAC = 0 UAC = 9 V
b)
− +D
+ UX −
Beräkna spänningen UX i kopplingen till höger. + 12 V −
a)
UAD
Vi startar i nedre högra hörnet och går ett varv motsols. KU ger + 5 V + UX − 12 V = 0 UX = 7 V
+ 5V −
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
I exemplet ovan blev UAD negativ och UAC positiv. Detta innebär för UAC att den punkt som markerats med plustecken har högre potential än den som markerats med minustecken. För UAD gäller däremot att den med plustecken markerade punkten har lägre potential än den som är markerad med minustecken. På motsvarande sätt som för strömriktningar skiljer vi därför på • spänningens referenspolaritet som hör ihop med den algebraiska storhet som i en beräkning representerar spänningen och • spänningens fysikaliska polaritet som anger vilken av de två aktuella punkterna som har högst potential. Referenspolariteten väljs godtyckligt. Ger beräkningarna en positiv spänning, betyder det att den med ”+” markerade sidan har högst potential. Ger beräkningarna en negativ spänning, betyder det att den med ”−” markerade sidan har högst potential. Spänningsbeteckningen blir fullständig först med utsatt referenspolaritet. Vi exemplifierar detta med hjälp av figuren till höger. Spänningen U1 = − 9 V och spänningen U2 = 9 V.
1.4
− U1 +
+ 9V −
+ U2 −
Ohms lag och referenser Resistans och konduktans
Enligt Ohms lag är spänningen u(t) över en ledare i varje ögonblick praktiskt taget proportionell mot strömmen i(t) genom ledaren: u(t) = R . i(t)
i i = G⋅u u = R⋅i u
Proportionalitetsfaktorn R är ledarens resistans1 (enhet: 1 ohm = 1 Ω). Alternativt kan sambandet skrivas i(t) = G . u(t)
där G = 1/R = ledarens konduktans2 (enhet: 1siemens = 1 S). Ovanstående samband åskådliggörs grafiskt med en rät linje genom origo enligt figuren. 1 Eng. resistance = motstånd; resistans 2 Eng. conductance = ledningsförmåga; konduktans
15
16
Strömmen genom en resistor är riktad från högre potential mot lägre. Detta medför följande låsning mellan referensriktningen för strömmen genom och referenspolariteten för spänningen över en resistor: • Referenspolariteten för spänningen R . i är låst enligt figuren till höger, i och med att man valt referensriktningen för strömmen i.
+ R⋅i −
i
i
R
• Referensriktningen för strömmen u/R = G . u är låst enligt figuren till höger, i och med att man valt referenspolaritet för spänningen u.
u/R
+
u −
G⋅ u
R = 1/G
Vi tillämpar denna regel tillsammans med Kirchhoffs spänningslag i exempel 1.3 nedan. Lägg märke till att vi där utnyttjar följande viktiga egenskap hos denna lag: När man tillämpar Kirchhoffs spänningslag och summerar potentialändringar runt en sluten väg, behöver man inte följa ledaren hela vägen. Man kan även göra hopp mellan punkter i kretsen som inte har direkt elektrisk kontakt med varandra.
EXEMPEL 1.3
Beräkna i kopplingen till höger a) spänningen U1 b) spänningen U2 c) potentialerna VB och VC d) spänningen U3
B 0,2 A
+ U3
5Ω
− C
− U2
+ 20 Ω
0,5 A + − 16 V + −
+
−
U1 + A
LÖSNING:
a)
KU motsols i högra slingan med början i punkten A ger −6 V − 5 Ω . 0,5 A + 16 V + U1 = 0 U1 = 6 V + 2,5 V − 16 V U1 = − 7,5 V
− 6V +
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
b)
KU medsols i kopplingens nedre vänstra hörn med början i A ger 20 Ω . 0,2 A + U2 + U1 = 0 U2 = −4 V − ( −7,5 V) U2 = 3,5 V
c)
Punkten A är jordad, d.v.s. potentialen VA = 0. Potentialen VB får vi genom att gå från punkten A längs högra delen av kretsen till punkten B och registrera potentialförändringarna längs vägen: VB = VA −6 V
⇒
VB = −6 V
På motsvarande sätt får vi
VC = VA + 20 Ω . 0,2 A
d)
⇒
VC = 4 V
Spänningen U3 är lika med potentialdifferensen mellan punkterna B och C (i just denna ordning med hänsyn till referenspolariteten hos U3): U3 = VB − VC = −6 V − 4 V
⇒
U3 = −10 V
En komponent som är konstruerad för att hålla ett visst resistansvärde kallas en resistor eller (vardagligare) ett motstånd. Benämningen resistor är att föredra för att undgå sammanblandning av motstånd som benämning på komponent och motstånd som benämning på egenskapen resistans. I en koppling förekommer resistanser inte enbart i resistorer. Komponenterna i kopplingen förenas inbördes med ledningar som har en viss, liten resistans. De båda ledarna i en kabel bör vara väl isolerade från varandra, d.v.s. resistansen mellan ledarna bör vara stor. En viss ström (krypström) läcker dock genom det isolerande materialet. Resistansen mellan ledarna kallas kabelns isolationsresistans och är av storleksordningen 1 GΩ. I kontaktstället mellan ledare och komponenter finns s.k. kontaktresistans som kan vara av storleksordl R = ρ ningen 1 mΩ. A För resistansen hos en ledare med R är ledarens resistans konstant tvärsnitt gäller ρ är ledarmaterialet resistivitet l R = ρ l är ledarens längd A A
är ledarens tvärsnittsarea
17
18
Om längden anges i m och tvärsnittsarean i mm2, blir enheten för resistivitet 1 Ω mm2/m. Koppar, som är det vanligaste ledarmaterialet, har resistiviteten 1,72 . 10−2 Ω mm2/m. Resistansen hos en 1 m lång kopplingssladd av koppar med tvärsnittsarean 2,5 mm2 är ca 7 mΩ. En sådan sladd tål en ström på ca 15 A utan att bli skadligt uppvärmd. Resistiviteten är temperaturberoende. För metalledningar ökar resistansen något med temperaturen.
1.5
Förbrukad och avgiven energi och effekt
En tvåpolig komponent upptar eller avger eleffekt beroende på riktningen hos strömmen genom komponenten relativt polariteten hos spänningen över den enligt figurerna nedan. I dessa anger pilarna fysikalisk strömriktning och ”+” att punkten har fysikaliskt högre potential än punkten med ”−”. i(t)
+
u(t) −
Komponenten förbrukar vid tidpunkten t eleffekten p(t) = u(t)·i(t).
−
i(t)
30 mA
Betrakta kopplingsschemat till höger. Beräkna den eleffekt komponenterna avger
+
Komponenten avger vid tidpunkten t eleffekten p(t) = u(t)·i(t).
EXEMPEL 1.4
a)
u(t)
+ UR − 12 V
9V
b) förbrukar.
LÖSNING:
a)
Enligt definitionen är den avgivna effekten lika med produkten av spänningen över en komponent och strömmen ut från den sida som har högst potential. Detta innebär följande avgivna effekter: 12 V-batteriet: P = 12 V . 30 m A = 360 mW Resistorn: KU ger UR = 3 V. P = 3 V . ( −30 mA) = −90 mW 9 V-batteriet P = 9 V . ( − 30 mA) = −270 mW Negativ avlämnad effekt tolkar vi som att komponenten förbrukar effekt. Resistorn och 9 V-batteriet förbrukar således effekt. (Batteriet laddas upp.)
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
b)
Enligt definitionen är den förbrukade effekten lika med produkten av spänningen över en komponent och strömmen in på den sida som har högst potential. Detta innebär följande förbrukade effekter: 12 V-batteriet: P = 12 V . ( −30 mA) = −360 mW Resistorn: P = 3 V . 30 mA = 90 mW 9 V-batteriet P = 9 V . 30 mA = 270 mW Negativ förbrukad effekt innebär att komponenten avger effekt. Detta leder till samma slutsatser som i a).
Om komponenten är en resistor gäller enligt Ohms lag att u(t) = R·i(t) med referenser enligt figuren till höger.
i(t)
+
u(t)
−
R
i
u2(t) Den av resistorn förbrukade effekten p(t) = u(t) ⋅ i(t) = uR⋅i2(t) = R kan därför beräknas med något av de tre uttrycken under figuren. Om den av en komponent momentant förbrukade/avgivna effekten är given som p(t) = u(t) . i(t) , kan vi beräkna den förbrukade/avgivna elenergin W12 mellan tidpunkterna t1 och t2 genom att med en integral summera effekten: t2
W12 =
Lt1
p(t)dt =
t2
Lt1
u(t) . i(t)dt
För specialfallet likström, d.v.s. då u(t) = Uoch i(t) = I blir det konstanta värdet för den förbrukade/avgivna effekten P = U . I ( =R . I 2 = U 2/R)
och för den mellan tidpunkterna t1 och t2 förbrukade/avgivna energin W12 = P . (t2 − t1) = U . I . (t2 − t1)
Ovanstående uttryck för den effekt och energi som förbrukas i resistorer, gäller även vid växelström om man räknar med effektivvärden för spänning och ström. Effektivvärdet är en typ av medelvärde som används vid växelspänningar och växelströmmar. 1.5.1
Elenergikällor
Som elenergikälla i portabla utrustningar används olika typer av batterier. Den förste som konstruerade ett batteri var den italienske fysikern Alessandro Volta1. Ett batteri har två 1 Alessandro Volta (1745–1847), konstruerade år 1800 det första batteriet, ”Voltas stapel”. Detta bestod av ett antal seriekopplade element, vart och ett bestående av en zink- och en kopparplatta med mellanlägg av filt indränkt med svavelsyra. Varje sådant element gav en spänning på ca 1 V. Volta har fått ge namn åt enheten för elektrisk spänning och potential.
19
20
poler och en elektrolyt. De kemiska processerna gör att laddningar separeras så att pluspolen får ett överskott på positiva laddningar och minuspolen, ett överskott på negativa laddningar. Den kemiska separationen av laddningarna ökar dessas potentiella energi, eftersom laddningarna flyttas mot de krafter som det elektriska fältet ger upphov till.
+
Strömriktning
+++++ − −
+ −
Yttre ledare
−
−−−−−
Strömriktning
−
Om elenergikällan belastas med en yttre ledare enligt figuren ovan, kommer laddningsbärarna (elektronerna i en metallisk ledare) att påverkas av det elektriska fältet mellan batteriets poler. Detta ger upphov till en elektrisk ström som upprätthålls genom att batteriet hela tiden fortsätter att separera laddningar. Lägg märke till att strömmen inne i batteriet går från minus till plus. Vanliga hushållsbatterier utgörs, liksom Voltas första batteri, av primärceller. De är förbrukningsartiklar och är inte avsedda att laddas upp på nytt. De enklaste primärcellerna är s.k. brunstensbatterier som är uppbyggda enligt figuren nedan. Pluspol Kolstav
Plasttätning
Plasthölje
Packning
Pappersseparator Elektrolyt (salmiak)
Brunsten (MnO2) Zinkkapsel
Papperskopp Minuspol
Alkaliska batterier har längre livslängd än brunstensbatterier. Den viktigaste skillnaden mellan dessa båda batterityper är att man använder olika elektrolyter. Ackumulatorer utgör sekundärceller som kan laddas om. Den första, blyackumulatorn, konstruerades omkring år 1860. Ett bilbatteri är en ackumulator med flera seriekopplade sekundärceller, där elektroderna består av bly och blyföreningar och elektrolyten av svavelsyra. Uppladdning av en ackumulator sker från en annan elenergikälla som ger en ström in på ackumulatorns pluspol.
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
Enheten för ett batteris kapacitet är 1 Ah (1 amperetimma). Kapaciteten 1 Ah innebär exempelvis att batteriet kan lämna en ström på 10 mA under 100 h utan att spänningen mellan batteriets poler sjunker nämnvärt. Livslängden hos ett batteri påverkas bl.a. av hur stor ström som tas ut och om strömuttaget sker kontinuerligt eller oregelbundet. Kapaciteten hos brunstensbatterier ligger kring 1 Ah. Alkaliska batterier har en kapacitet på ca 10 Ah och ett bilbatteri ca 100 Ah. Generatorer i kraftverk omvandlar mekanisk energi till elenergi i form av växelström. Laddningsseparationen orsakas av elektromagnetiska krafter. I en likriktare (AC/DC-omvandlare) kan växelström omvandlas till likström. Detta utnyttjas i alla sammanhang där utrustningen inte behöver vara portabel, eftersom energin via växelströmsnätet är mycket billigare än den energi man kan få från batterier. I laboratoriesammanhang använder man likspänningsaggregat där spänningen kan varieras. Elektronikutrustning, som exempelvis hemdatorer, har inbyggda spänningsaggregat som ger fasta likspänningar.
1.6
Resistorkopplingar
1.6.1
Serie- och parallellkoppling
Seriekoppling
Definition: Två eller flera komponenter är seriekopplade om de är kopplade så att de genomflyts av samma ström. Vi betraktar n seriekopplade resistorer enligt figuren nedan. us + i
+
+ u1 − R1
i
u2 − R2
+ un − i
i
Rn
− i
Spänningen över kedjan av de seriekopplade resistorerna betecknar vi us. Sambandet mellan denna spänning och delspänningarna över de olika resistorerna får vi med hjälp av KU: us − u1 − u2 −. . .− un = 0
⇒ n
us = u1 + u2 + . . . + un = a uk k=1
(1)
21
22
Detta samband uttrycker att spänningen över seriekopplingen är lika med summan av delspänningarna över de seriekopplade komponenterna. Om vi tillämpar Ohms lag i ekvation (1) får vi us = R1 . i + R 2 . i +... R n . i = i . (R1 + R 2 +...+ R n) = i . a R k n
k=1
Av detta framgår att vi får samma samband mellan spänning och ström, om vi ersätter de seriekopplade resistorerna med en enda resistor med resistansen n
R s = R 1 + R 2 +...+ R n = a R k k=1
Ersättningsresistorns resistans är alltså summan av de seriekopplade resistorernas resistanser. Den är således större än resistansen hos var och en av de inkopplade resistorerna. Resistansen ökar för varje ytterligare resistor som seriekopplas. Parallellkoppling
Definition: Två eller flera komponenter är parallellkopplade om de är kopplade så att det ligger samma spänning över samtliga. Vi betraktar n parallellkopplade resistorer enligt figuren till höger. Strömmen till (och från) parallellkopplingen betecknar vi ip. Sambandet mellan denna ström och delströmmarna genom de parallellkopplade resistorerna finner vi genom att tillämpa KI på en av de två anslutningspunkterna för parallellkopplingen:
ip
i1
i2
+
in
R1
R2
u
R
−
n
ip = i1 + i2 +...in = a ik
(2)
k=1
Detta samband uttrycker att strömmen i tilledningarna är lika med summan av delströmmarna genom komponenterna.
ip
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
De n resistorerna i parallellkopplingen kan ersättas med en enda resistor. Om vi tillämpar Ohms lag i sambandet (2) får vi ip =
n u u u 1 1 1 1 + +...+ = u.( + +...+ ) = u. a R1 R2 Rn R1 R2 Rn k=1 Rk
Av detta framgår att vi får samma samband mellan spänning och ström om vi ersätter de parallellkopplade resistorerna med en enda resistor med resistansen Rp för vilken gäller n 1 1 1 1 1 = + +...+ = a Rp R1 R2 Rn k=1 Rk
Om vi ersätter de inverterade värdena av resistanserna med konduktansvärden, får vi för den ersättande resistorns konduktans n
Gp = G1 + G2 +...+ Gn = a Gk k=1
Ersättningsresistorns konduktans är alltså summan av de parallellkopplade resistorernas konduktanser. Ersättningsresistansen R p är således mindre än resistansen hos var och en av de inkopplade resistorerna. Resistansen minskar för varje ytterligare resistor som parallellkopplas. Om uttrycket för ersättningsresistansen R p tillämpas på specialfallet med två resistorer, får vi R1 1 1 1 = + Rp R1 R2 R2 Med högerledet på gemensamt bråkstreck och efter invertering, får vi uttrycket Rp =
produkten R1R2 a= b summan R1 + R2
Observera att detta uttryck endast gäller vid parallellkoppling av två resistorer.
23
24
22 Ω
EXEMPEL 1.5
a)
A
Beräkna resistansen hos den resistor som kan ersätta kopplingen mellan punkterna A och B.
15 Ω
B b)
Beräkna resistansen hos den resistor som kan ersätta kopplingen mellan punkterna C och D.
33 Ω
C 33 Ω
15 Ω
22 Ω
D c)
Beräkna strömmen IX i kopplingen till höger.
E
10 Ω
IX 30 Ω
12 V
60 Ω
F
LÖSNING:
a)
De tre resistorerna är seriekopplade. En ersättande resistor skall därför ha resistansen RA B = 22 Ω + 33 Ω + 15 Ω
b)
⇒
RA B = 70 Ω
De tre resistorerna är parallellkopplade. En ersättande resistor skall därför ha konduktansen GCD =
1 1 1 + + 22 Ω 33 Ω 15 Ω
⇒
GCD = 142,4 mS
En ersättande resistors resistans skall därför vara RCD = c)
1 142,4 mS
⇒
RCD = 7,02 Ω
Resistansen mellan E och F består av 10 Ω i serie med en parallellkoppling av 30 Ω och 60 Ω. Detta kan kort skrivas REF = 10 Ω + 30 Ω//60 Ω 30 Ω//60 Ω = och
1800 Ω 2 30 Ω . 60 Ω = = 20 Ω 30 Ω + 60 Ω 90 Ω
REF = 10 Ω + 30 Ω//60 Ω = 10 Ω + 20 Ω = 30 Ω
Ohms lag ger
IX =
12 V = 0,40 A 30 Ω
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
Kombinationer av serie- och parallellkopplingar
Om ett resistansnät med två inkopplingspunkter består av en kombination av serie- och parallellkopplingar, kan vi ersätta nätet med en enda ersättningsresistor. Tillvägagångssättet är följande: • Ersätt först alla seriekopplingar med ekvivalenta R s. • Ersätt därefter alla uppkomna parallellkopplingar med ekvivalenta R p. Upprepa denna procedur tills den ursprungliga kopplingen är reducerad till en enda resistor.
EXEMPEL 1.6
Beräkna resistansen hos den resistor som kan ersätta kopplingen mellan polerna A och B. R 1 = 50 Ω R 2 = 10 Ω
A
R 7 = 25 Ω R 8 = 8 Ω
R6
R4
R 3 = 20 Ω R 4 = 30 Ω R 5 = 40 Ω R 6 = 15 Ω
R3
R2 R1
R7
R5 R8
B
LÖSNING:
R 6 och R 7 är seriekopplade. Vi ersätter dem med R 67 = R 6 + R 7 = 15 Ω + 25 Ω = 40 Ω.
R3
R2 A
R4 R5
R1
R 67
R8 B R3 och R4 är parallellkopplade. Vi ersätter dem med R 34. R 34 = R 3//R 4 = 20 Ω//30 Ω = 12 Ω.
A
R5 och R67 är parallellkopplade. Vi ersätter dem med R 567 = R 5//R 67 = 40 Ω//40 Ω = 20 Ω.
B
R1
R 34 R 567
R2 R8
25
26
R2, R34, R567 och R8 är seriekopplade. Vi ersätter dem med R2345678 = R2 + R34 + R567 + R8 = 10 Ω + 12 Ω + 20 Ω + 8 Ω = 50 Ω.
A R1
R2345678
B Slutligen får vi Rekv = R1//R2345678 = 50 Ω//50 Ω = 25 Ω
A
R ekv B
1.6.2
Spännings- och strömdelning
Spänningsdelning vid seriekopplade resistorer
I förra avsnittet fann vi att spänningen över en kedja av seriekopplade resistorer är lika med summan av delspänningarna över resistorerna. Vi ska nu omvänt bestämma hur stor del av en given totalspänning som kommer att ligga över var och en av resistorerna och utgår då från följande figur med n seriekopplade resistorer. us + i
+
+ u1 − R1
i
u2 − R2
+ un − i
i
−
Rn
i
Spänningen över hela seriekopplingen kan skrivas u s = i . (R1 + R2 +...+ R n)
⇔
i =
us R1 + R2 +...+ Rn
Spänningen uk över resistorn med nummer k i kedjan (1 ≤ k ≤ n) är därför us uk = Rk . i = Rk . ⇔ R 1 + R 2 +...+ R n
⇔
uk =
Rk R1 + R 2 +...+ R n
.u
s
Den del av totalspänningen som ligger över en resistor i seriekopplingen, är således proportionell mot resistorns resistans. För resistorn med resistansen Rk är alltså andelen lika med Rk R1 + R2 +...+ R n
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
Strömdelning vid parallellkopplade resistorer
I föregående avsnitt fann vi att strömmen genom en parallellkoppling av resistorer är lika med summan av strömmarna genom var och en av resistorerna i kopplingen. Vi frågar oss nu hur totalströmmen fördelas på parallellkopplingens resistorer. Därvid utgår vi från figuren nedan som visar en parallellkoppling av n stycken resistorer. ip Vi fann tidigare att strömmen genom parallellkopplingen kunde skrivas ip = u . (
1 1 1 + +...+ ) R1 R2 Rn
i1
i2
+
in
R1
R2
u
Rn
Vi skriver om uttrycket med hjälp av konduktanser och får då ip = u . (G1 + G2 +...+ Gn)
⇔
u =
−
⇔
ip
ip G1 + G2 +...+ Gn
Strömmen ik genom resistorn med nummer k i kedjan (1 ≤ k ≤ n) är därför ik = ⇔
ip u = u . Gk = Rk G1 + G2 +...+ Gn Gk G1 + G2 +...+ Gn
ik =
.G
⇔
k
.i
p
Den andel av totalströmmen som går genom en resistor i parallellkopplingen är således proportionell mot resistorns konduktans. För resistorn med resistansen Gk är alltså andelen lika med Gk G1 + G2 +...+ Gn
I1
För specialfallet med en parallellkoppling av två resistorer kan följande uttryck för strömdelningen användas:
I1 =
G1 G1 + G2
.I
tot
=
1 R1 1 1 + R1 R2
.I
tot
=
R1R2 . a
R2
Itot
R1R2 .
1 R1
1 1 + b R1 R2
R1
=
R2 . I R2 + R1 tot
Observera att det är den ”andra” grenens resistans som står i uttryckets täljare!
27
28
22 Ω
EXEMPEL 1.7
a)
b)
Beräkna spänningen U över 33 Ω - resistorn då generatorspänningen är 50,0 V.
+
+ 50 V G −
33 Ω
U −
15 Ω
10 Ω
Beräkna strömmen genom 30 Ω - resistorn i vidstående koppling.
IX 30 Ω
12 V
60 Ω
LÖSNING:
a)
De tre seriekopplade resistorerna delar på generatorspänningen 50,0 V. Spänningen över 33 Ω - resistorn blir då U = ⇒
b)
33 Ω 22 Ω + 33 Ω + 15 Ω
. 50,0 V
=
33 70
. 50,0 V
U = 23,6 V
I exempel 1.5 c beräknade vi strömmen IX till 0,4 A. De två resistorerna till höger är parallellkopplade och delar på strömmen IX. Vi kan därför teckna strömmen genom 30 Ω-resistorn som en andel av IX: I30Ω =
60 Ω 60 Ω + 30 Ω
⇒
I30Ω = 267 mA
.I
X
= 0,6667 . 0,4 A
I elinstallationer i bostäder är alla apparater parallellkopplade och är då inkopplade till samma spänning (230 V). Den totala strömförbrukningen får vi genom att summera de enskilda apparaternas strömförbrukning. I en del undantagsfall är tvåpoler seriekopplade. Ett exempel på detta är en julgransbelysning som exempelvis kan bestå av 16 lampor. Spänningen över varje lampa är då 230 V/16, d.v.s. ca 14 V.
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
För att kunna ställa in olika effekter på kokplattorna hos en spis använder man olika kombinationer av serie- och parallellkopplingar. En kokplatta kan bestå av tre värmespiraler enligt figuren nedan, där spänningen (230 V eller 400 V) kopplas in på olika sätt till de fyra anslutningspunkterna. R1 A
B R2
C
D R3
Om spänningen kopplas in mellan B och C kommer R1, R2 och R3 att vara seriekopplade, vilket ger det lägsta effektläget. Om man kopplar ihop A och C samt B och D samt ansluter spänningen mellan A/C och B/D kommer R1, R2 och R3 att vara parallellkopplade, vilket ger det högsta effektläget.
1.6.3
Ytterligare resistornät
Det är lätt att hitta ett resistivt nät som inte innehåller serie- och parallellkopplingar. Den ekvivalenta resistansen för ett sådant nät kan då inte beräknas genom successiva förenklingar som i avsnitt 1.6.1. Betrakta t.ex. figuren till höger och anta att vi vill beräkna en ekvivalent resistans RAB.
A
För denna tvåpol kan vi i stället tillämpa en förenk- B lingsmetod som bygger på ekvivalens mellan resistornät som har tre anslutningspunkter, s.k. resistiva trepoler. För resistiva trepoler gäller att de kan ersättas antingen av en ekvivalent triangelkoppling (D- eller Δ-koppling) av tre resistorer eller av en ekvivalent stjärnkoppling (Y-koppling) av tre resistorer.
29
30
2
3
R31
1
R20
R23
R12
2
⇔
2
⇔
1
⇔ 3
R10
0 R30 3
1
Triangelkoppling
Stjärnkoppling
Härav följer att till varje stjärnkoppling av ideala resistorer hör en ekvivalent triangelkoppling och omvänt. Att beräkna den till en stjärnkoppling ekvivalenta triangelkopplingen kallas att göra en stjärn–triangel–transformation. Att beräkna den till en triangelkoppling ekvivalenta stjärnkopplingen kallas att göra en triangel–stjärn–transformation. Triangel–stjärn–transformation
De tre resistorerna i triangelkopplingen har enligt figuren ovan resistanserna R12, R23 och R31. För att kunna bestämma de tre resistanserna R10, R20 och R30 i den ekvivalenta stjärnkopplingen krävs tre ekvationer. Betrakta resistansen mellan 1 och 2. För ekvivalens krävs att denna resistans är lika för de båda kopplingarna. För stjärnkopplingen är resistansen lika med R10 + R20. För triangelkopplingen är resistansen lika med R12 parallellt med R23 + R31, d.v.s. R10 + R20 =
R12(R23 + R31) R12 + R23 + R31
Motsvarande ekvationer kan ställas upp för resistansen mellan 2 och 3 respektive mellan 3 och 1. Ur detta ekvationssystem erhålls lösningen R10 =
R12
R12R31 + R23 + R31
R20 =
R12
R12R23 + R23 + R31
R30 =
R12
R23R31 + R23 + R31
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
Sambanden kan sammanfattas i ord enligt följande: En stjärnstråles resistans är lika med produkten av de två ”omfattande” triangelsidornas resistanser dividerat med summan av de tre triangelsidornas resistanser.
EXEMPEL 1.8
B
B
Beräkna den Y-koppling som är ekvivalent med D-kopplingen i figuren till höger.
60 Ω
A LÖSNING
Enligt sambanden ovan är På motsvarande sätt erhålles och
120 Ω
180 Ω
⇔ C
RB RA
RC
C
A
60 Ω . 180 Ω = 30 Ω 60 Ω + 180 Ω + 120 Ω 60 Ω . 120 Ω RB = = 20 Ω 360 Ω 120 Ω . 180 Ω RC = = 60 Ω 360 Ω RA =
2
Stjärn–triangel–transformation
Sambanden vid en stjärn–triangel–transformation kan härledas på motsvarande sätt som vid en triangel– stjärn–transformation men med användande av konduktanser. De tre resistorerna i stjärnkopplingen har konduktanserna G10, G20 och G30. För att kunna bestämma de tre obekanta konduktanserna G12, G23 och G3 krävs tre ekvationer.
G20 G10 G30
1
3
2
G12
1
G23
G31
3
31
32
Kortslut punkterna 2 och 3 i de båda kopplingarna (se figuren). För att kopplingarna skall vara ekvivalenta, måste konduktansen mellan punkterna 1 och 2 vara lika i de båda fallen. För triangelkopplingen är konduktansen lika med G12 + G31 och för stjärnkopplingen lika med G10 i serie med konduktansen G20 + G30. Vid seriekoppling adderas resistanserna. För en seriekoppling av G1 och G2 gäller 1 1 1 = + Gs G1 G2
⇒
Gs =
1 1 1 + G1 G2
=
G1G2 G1 + G2
( Jämför uttrycket för en parallellkoppling av två resistorer.) För konduktansen mellan punkterna 1 och 2 gäller då G12 + G31 =
G10(G20 + G30) G10 + G20 + G30
Motsvarande ekvationer kan ställas upp för konduktansen mellan 2 och 3 (kortslutning mellan 3 och 1) respektive konduktansen mellan 3 och 1 (kortslutning mellan 1 och 2). Ur detta ekvationssystem erhålls lösningen G12 =
G10G20 , G10 + G20 + G30
G23 =
G20G30 , G10 + G20 + G30
G31 =
G30G10 . G10 + G20 + G30
Sambanden kan sammanfattas i ord: En triangelsidas konduktans är lika med produkten av de två ”omfattande” stjärnstrålarnas konduktanser dividerat med summan av de tre stjärnstrålarnas konduktanser.
B
EXEMPEL 1.9:
Beräkna den D-koppling som är ekvivalent med Y-kopplingen i figuren till höger.
10 Ω
B
⇔
50 Ω 25 Ω A
C
A
RAB
RBC
RCA
C
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
LÖSNING:
GA = 1/50 Ω = 20 mS GB = 1/10 Ω = 100 mS GC = 1/25 Ω = 40 mS GAB =
GAGB 20 mS . 100 mS 2000 = = mS = 12,5 mS GA + GB + GC 20 mS + 100 mS + 40 mS 160
d.v.s. RAB = 80 Ω På motsvarande sätt erhålles: GBC =
GBGC 100 mS . 40 mS 4000 = mS = 25,0 mS ⇒ RBC = 40 Ω = GA + GB + GC 160 mS 160
GCA =
GCGA 40 mS . 20 mS 800 = = mS = 5,0 mS ⇒ RCA = 200 Ω GA + GB + GC 160 mS 160
Av de båda senaste exemplen framgår att vid ekvivalenta stjärn- och triangelkopplingar är resistansvärdena generellt lägre i stjärnkopplingen än i triangelkopplingen1. Om exempelvis R10 = R20 = R30 = R så är R12 = R23 = R31 = −3 R. Om vi återvänder till frågeställningen i början av avsnittet så kan vi nu beräkna en ekvivalent ersättningsresistans mellan punkterna A och B för kopplingen nedan till vänster. Triangeln R1-R2-R3 kan göras om till en ekvivalent stjärna. Av stjärnans tre ”strålar” kommer en att ligga i serie med R4 och en annan i serie med R5. Kopplingen består då enbart av serie- och parallellkopplingar.
A
A R2
R1
⇔
R3 R4
R5
R4
B B
1 Minst två av resistanserna vid stjärnkopplingen är mindre än den minsta vid triangelkopplingen.
R5
33
34
1.7
Övningsuppgifter
1.1
Betrakta de två delarna av ett större nät enligt figurerna till höger.
3A
−3 A
I1
−5 A
Beräkna a) strömmen I1, b) strömmen IA, då IB = 3,5 A IC = 7,2 A ID = 5,3 A
IB
IA ID
IC
1.2
Bestäm strömmarna I1 och I2 i vidstående koppling.
24 A 13 A
I1
I2
1.3
+ 16 V −
+ 3V −
A
+ 7V −
U2
5V B
D
+
+ −
− 10 V +
+ U1 −
−
C + 2V −
a) Bestäm spänningarna U1 och U2 i figuren ovan. b) Bestäm potentialen i punkterna A, B, C och D.
+ 9V −
1. KIRCHHOFFS LAGAR – RESISTORKOPPLINGAR
1.4
1.5
1.6
1.7
I figuren till höger är några potentialer givna. a) Ange strömmens fysikaliska riktning. Beräkna b) spänningen UBC c) strömmen om R = 100 Ω d) potentialen VA e) spänningen över tvåpol 1.
Beräkna i kopplingen till höger a) strömmen I b) potentialen i punkten B c) spänningen U.
Beräkna i kopplingen till höger a) spänningen U b) strömmen I c) potentialen i punkten P d) batteriets polspänning E.
VA R
Beräkna i kopplingen till höger B a) strömmen I b) potentialen i 4Ω punkten B c) batterispänningen E d) den av 10 V-batteriet avgivna effekten.
R 2
VD = 0
+ 21 V −
P
VB = 240 V
1
4Ω
1A
4Ω
2A
B 4Ω
2Ω
+ U −
I
− E + 2Ω 2Ω
VC = 220 V
+ 11 V −
4A
1Ω 1Ω I
+ U −
+ 15 V −
2Ω
1Ω
+ 10 V −
4A
I 3Ω
25 Ω
2Ω
2A 4A
6Ω
3Ω
+E −
35
Sakregister A AC-effektivvärde 168 ackumulator 20 admittans 230 aktiv effekt 182, 243, 276, 295, 299 aktiv linjär tvåpol 87 aktiv tvåpol 68 alkaliskt batteri 20 ampere 332 amperemeter 47, 167 Ampères lag 336, 373 amplitud 175 amplitudfunktion 262 amplitudkarakteristik 262 amplitudvillkor 241 analogt instrument 43, 60 anpassningstransformator 249 antenn 372, 375 arbetspunkt 70 attraktion 329, 331 avgiven effekt 18 avgiven energi 18 B bandbredd 258 batteri 20 belastningssträng 292 beloppsmedelvärde 180 beroende generator 78 beräkningsschema 79, 80, 223 Biot-Savarts lag 339 bottenvärde 164 brygga 235 bryggkoppling 93 brytning 140 brytningssatsen 145 C cirkulerande ström 133 coulomb 309
Coulombs lag 310 cykel 165 cylinderkondensator 324 D DC-kopplat instrument 182 deltakoppling 29 dielektrikum 325 dielektriskt material 325 digitalt instrument 43, 59 dipol 329 direktivitet 375 display 43 D-koppling 29, 292 Domän 351 E effekt i trefassystem 301 effektanpassning 97, 246 effektfaktor 279 effektivvärde 166, 181 effektivvärdesregistrerande instrument 168, 182 egenförbrukning 44, 171 ekvivalenta tvåpoler 75, 87 eldistribution 302 elektrisk fältstyrka 309, 311, 317 elektrisk krets 9 elektrisk laddning 309 elektrisk potential 315, 317 elektrisk spänning 315, 317, 332 elektrisk ström 10, 320, 332 elektriska SI-enheter 325 elektriskt filter 261 elektriskt flöde 323 elektriskt fält 311 elektriskt nät 10 elektrodynamiskt instrument 184 elektromagnetiska vågor 373 elektromagnetiskt fält 373 elektron 309
SAKREGISTER
elementarladdning 309 elenergi 18 elenergiförbrukare 66 elenergikälla 19 elkraftsteknik 274 energi i kondensator 199 energikälla 19, 66 energiöverföring 274 enfassystem 290 F farad 198 fasdifferens 176 fasfunktion 255 fasföljd 291 fasförskjutning 274 faskarakteristik 262 faskompensering 288 faskonstant 176 fasledare 292 fasskena 303 fasspänning 293 fasvillkor 241 ferromagnetism 351 filter 261 flat spole 343 flöde 209, 323, 349 flödestäthet 334, 336 formfaktor 181 frekvens 166 frekvensbegränsning 171 frekvensfunktion 262 fyrpol 149 fyrpolsekvation 153 fyrpolsparameter 153 fysikalisk polaritet 13, 15 fysikalisk strömriktning 12 fält 311, 373 fältlinje 312, 330 fältstyrka 311 fältteori 309 förbrukad energi 18 fördelningsnät 309 förändringar i nät 136
G Gauss sats 323, 373 generator 21, 78 generatorsträng 292 godhetstal 257 gren 120 grundenhet 332 grupp 303 gruppcentral 303 gummibandsregeln 345 H Hall 349 halleffekt 349 hallelement 349 hallsond 349 hallspänning 349 henry 204 hertz 166 homogent fält 312 homogent magnetfält 335 huvudspänning 393 högerhandsegeln 333, 345 högerskruvregeln 333 I ideal induktor 203, 223 ideal kondensator 224 ideal resistor 71, 222 ideal transformator 209 ideal tvåpol 71, 197 ideal voltmeter 46 impedans 227 impedansanpassning 249 impedansmätning 232 induktans 364 induktion 203, 359 induktionslagen 361 induktiv karaktär 228 induktor 203, 207, 212, 223 influens 313 inkoppling av amperemeter 47 inkoppling av voltmeter 44, 167
413
414
inre resistans 91, 108 insignal 261 instrumentfel i datablad 59 instrumentvisning 180 insvängningsförlopp 208 isolationsresistans 17 J jon 309 jordfelsbrytare 304 jordning 315 Joule 322 Joules lag 322 jω-metoden 221 K kapacitans 197, 322 kapacitet 21 kapacitiv karaktär 228 kapacitivitetstal 325 karakteristik 66 Kirchhoff 10 Kirchhoffs metod 123 Kirchhoffs spänningslag 13 Kirchhoffs strömlag 10 klassbeteckning 60 knutpunkt 10 koaxialkabel 314 koaxialledare 324 kompassnål 329 komplex admittans 230 komplex impedans 226 komplex storhet 188 komplex värld 266 komplexa metoden 221 komplext beräkningsschema 223 komplexvärd visare 188 kondensator 197, 212, 224 kondensatorenergi 199 konduktans 15, 23, 32, 231 konduktansmatris 154 konduktansparameter 154 kontaktresistans 17
kopplingsfaktor 371 kopplingsschema 80 kortslutningsström 68 kraftverkan på laddningar 348 kretsanalys 236 kretskomponent 9 kvadratiskt medelvärde 181 källspänning 72, 355 källström 72 kärna 309 L Laddning 309 laddning av kondensator 201 laddningar i rörelse 347 laddningsbärare 309 ledningselektron 319 Lenz 360 Lenz lag 360 likriktare 21 likriktarinstrument 167, 180 likriktat medelvärde 166, 178 likspänningskomponent 165 likströmskomponent 167 likströmskopplat instrument 167 likströmsmätande instrument 167 linjeström 293 linjär kretsteori 119 linjär tvåpol 69 linjära nät 119 linjärt system 261 lågspänningsnät 302 M magnetfält 330 magnetisk energi 205 magnetisk flödestäthet 334, 336 magnetisk fältstyrka 353 magnetisk kraftverkan 344 magnetisk källspänning 355 magnetisk mättnad 352 magnetisk reluktans 354 magnetiska kretsar 353, 356
SAKREGISTER
magnetiskt flöde 209, 349 magnetism 329 maska 120 maskanalys 123, 133 maximalfel 56 maximalfelsangivelse 57 Maxwell 373 Maxwells ekvationer 373 medeleffekt 182 medeleffektförbrukning 276 medelvärde 166 minusingång 130 momentaneffekt 182, 274 momentanvinkel 176 momentanvärde 175, 188 momentanvärdesaxel 186 motfas 177 motstånd 18 multimeter 45 mätfel 55 mätinstrument 43 mätonoggrannhet 54, 61 mätosäkerhet 171 N nersida 210 neutron 309 nod 10, 120 nodanalys 123, 126, 130 nolledare 292 nollpunkt 292 nollställd generator 73 nordpol 329 nät 10 nät med olinjära komponenter 100, 104 nätsolvering 119, 122, 123 nätstruktur 119
Ohms lag 10, 322 olinjär tvåpol 69 omsättningstal 209 onoggrannhet 55, 58, 61 operationsförstärkare 130 OP-förstärkare 130 oprecision 55 P Parallellkoppling 22, 24, 104, 198, 204 parallellresonanskrets 254 passiv tvåpol 68, 197, 211 pendlande effekt 274 periodisk växelspänning 166 periodtid 166, 175 permanentmagnet 329 permeabilitet 356 permeabiliteten för vakuum 335 permeabilitetstal 352 permittivitet 310, 325 permittivitet för vakuum 310 plant nät 121 plattkondensator 323 plusingång 130 pol 66 polaritet 13 port 149 potential 315, 317 Poyntings vektor 374 precision 55 primärcell 20 primärsida 209 proton 309 pulserande likspänning 165 punktladdning 310 punktmarkering 362 R
O oberoende generator 78 Ohm 321 ohm 10, 322 Ohmmeter 50
reaktans 203, 228 reaktiv effekt 279 reciprocitet 149 reciprocitetssats 150 reell värld 266
415
416
referensnod 126 referenspolaritet 15, 316 referensriktning 12 referensstråle 186 regionnät 302 relativ onoggrannhet 58 relativ permeabilitet 352 reluktans 354 repulsion 329, 331 resistans 15, 228, 322, 333 resistansmatris 153 resistansmätning 50 resistansparameter 153 resistiv fyrpol 150 resistiv trepol 30 resistivitet 18 resistor 18, 71, 211, 222 resistorkopplingar 9, 21 resistornät 29 resonans 251, 256 resonanskrets 251 resonanskurva 253 resonansvinkelfrekvens 254 rotor 291 S sammansatt mätonoggrannhet 61 sant värde 54 sekundärcell 20 sekundärsida 209 seriekoppling 21, 23, 104, 199, 204 serieresonanskrets 258 siemens 15, 230 sinusformad spänning 174 sinusformad ström 174 sinusspänning 174 självinduktion 364 skenbar effekt 282 skyddsjord 303 skärmning 314 slutning 140 slutningssatsen 140 solenoid 342 spänning 315, 317, 332
spänningsdelning 26 spänningsfall 289 spänningsförstärkning 143 spänningsgenerator 72 spänningsmätning 44 spänningsriktig koppling 51, 175 spänningstvåpol 73 stamnät 302 stationärtillstånd 208 stator 291 sträng 291 stjärn-triangel-transformation 31 strukturdiagram 121 strängspänning 193 strängström 293 ström 10, 320 strömdelning 26 strömförstärkning 151 strömförstärkningsfaktor 78 strömgenerator 72 strömmätning 47 strömriktig koppling 51, 184 strömriktning 10 strömtvåpol 74 styckvis linearisering 105 substitutionsmetoden 53 superposition 137, 140 susceptans 231 sydpol 329 symmetrisk trefasbelastning 292 symmetrisk trefasspänning 291 symmetriskt trefassystem 290 system 261 systematiskt mätfel 56 säkring 303 T Tellegens teorem 150 termoinstrument 168 termokors 168 tesla 335 tidgraf 163 tidskonstant 201 tidvinkel 175
SAKREGISTER
tillfälligt mätfel 56 tomgångsspänning 68 topologi 120 topp-till-botten-värde 165 topp-till-topp-värde 164 toppvärde 164 toroid 343 transform 266 transformation 266 transformator 209 transformvärld 266 trefas 290 trefassystem 290 trepol 29 triangelkoppling 29, 292, 297 triangel-stjärn-transformation 30 tvåpol 66, 69, 71, 73, 74, 87 tvåpolsersättningar 88 tvåpolssatsen 91 tvåport 149 tvåwattmetermetoden 301 tvåpolers karakteristik 66
visardiagram 190 visare som komplex storhet 187 visarrepresentation 186 Volta 19 volt-amperemetermetoden 51 voltmeter 44 vridjärnsinstrument 168 vridspoleinstrument 167 vågekvationen 373 vågor 372 värdesiffror 57 växelspänning 163 växelström 163 växelströmsbrygga 235
U
Å
uppsida 210 urladdning av kondensator 203 utsignal 261
återtransform 266
V V-A-metoden 51 varvtalsomsättning 209 vinkelfrekvens 175
W wattmeter 184 weber 350 Weisska domäner 351 Y Y-koppling 29, 292
Ö ömsesidig induktans 206, 366 Örsted 330 Överföringskonduktans 151 Överföringsresistans 151 Övergångsförlopp 208
417
Ellära är en lärobok med fokus på kretsteori och grundläggande fältteori. I samband med att fysikaliska storheter introduceras behandlas även elektrisk mätteknik, med kortfattade beskrivningar av hur mätningar går till och hur generella mättekniska problem påverkar mätningens resultat. Boken är upplagd så att kretsteorin och fältteorin kan läsas oberoende av varandra och i önskad ordningsföljd. Varje kapitel innehåller lösta räkneexempel och avslutas med ett stort antal övningsuppgifter som ger läsaren träning i analys av enklare elektriska kretsar. I appendix sammanfattas nödvändiga matematikkunskaper. Ellära är främst anpassad för ingenjörsutbildningar i elektroteknik på universitet och högskolor, men är även användbar på andra tekniska utbildningar på motsvarande nivå.
Lars Bergström och Lars Nordlund har båda lång erfarenhet av undervisning i ellära för blivande ingenjörer, som lektorer vid Chalmers tekniska högskola.
Best.nr 47-10619-6 Tryck.nr 47-10619-6