9789147126293

algebra Mönster

Uttryck med parenteser

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Antalet tändstickor bildar ett mönster som kan skrivas som en talföljd.

Antalet stickor: 3, 5, 7, 9, …

Antalet ökar med 2 för varje triangel.

Differensen är 2.

Antalet stickor i den n:e figuren kan beräknas med uttrycket 2n + 1.

Differens

a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac a(a + c) = a2 + ac

Ekvationer 3x + 7 = 22 vänster led

Balansmetoden:

Talets nummer

2n + 1 Variabelterm

matematIK Y

höger led

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

Sifferterm

Uttryck med potenser a · 2a = 2a2 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Medelvärde

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla tal och sedan dividera med antalet tal.

Median

Sannolikhet i flera steg Sannolikheten för flera händelser i följd räknar man ut genom att multiplicera sannolikheterna med varandra. Till exempel är sannolikheten att slå två fyror efter varandra med en vanlig tärning: 1 · 1 = 1 6 6 36

Kombinatorik

Medianen är det mellersta talet efter att talen skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen.

Typvärde

Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Variationsbredd är differensen mellan det största och det minsta värdet i ett statistiskt material.

4 2 6 7 3 n = 22

Omslag Y GB korr 2 ny.indd 1

Stolpdiagram 10 8

f

Stapeldiagram 10 8 6

6 4

4

2

2 1

2

Utmaning Y

Lärarguide Y

www.matematikxyz.com Matematik XYZ hemsida

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

3

4

5

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

1 2 3 4 5

Bas Y

Variationsbredd

Tabeller och diagram Frekvenstabell

Matematik Y

Linjediagram

Cirkeldiagram

milj. inv. folkmängd 4

12 %

3

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

matematik

Undvall Johnson Welén

Med tre siffror 1, 4 och 7 kan vi bilda tresiffriga tal.

Om varje siffra bara kan användas en gång så är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.

Om varje siffra kan förekomma flera gånger så är antalet kombinationer 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Frekvens f

Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.

Lägesmått och spridning

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Antal rätt x

matematIK Y

x =5 V.L. = 3 · 5 + 7 = 22 H.L. = 22 Alltså stämmer lösningen.

Prövning:

Matematik Y är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp

Best.nr 47-12629-3 Tryck.nr 47-12629-3

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2018-03-28 09:43

ISBN 978-91-47-12629-3 © 2018 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB projektledare och redaktör Sara Ramsfeldt/MeningsUtbytet AB formgivare Cecilia Frank/Frank Etc. AB bildredaktör Susanna Mälarstedt/Sanna Bilder illustratör Björn Magnusson sättning Monica Schmidt/Exakta Print AB omslag Cecilia Frank produktionsledare Adam Dahl Femte upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People printing, Kina 2018

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 Kundservice.liber@liber.se www.liber.se

Sid 1-5 GB Y Framvagn.indd 2

2018-03-26 13:04

SÅ HÄR ANVÄNDER DU matematIK Y matematik Y innehåller fem kapitel som är uppdelade i avsnitt. I avsnitten finns det uppgifter på tre nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå tre ger rejäla utmaningar.

Du kan välja att arbeta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bas Y med enklare uppgifter. Om nivå tre inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaning Y .

Uppgifterna är markerade med bokstäver, som visar vilka matematiska förmågor du tränar. Vi förkortar förmågorna så här: Vid uppgifter där det passar att använda miniräknare finns en miniräknarmarkering.

P

Problemlösning

B

Begrepp

M

Metod

R

Resonemang

K

Kommunikation

Kapitlen innehåller: Ingress – En kort diagnos visar vad du redan kan och kan hjälpa dig att välja nivå. Här finns

även Centralt innehåll från kursplanen och en lista med matematiska begrepp ur kapitlet.

Inledningar – Vid exemplen på lösningar hittar du kommentarrutor. De blåa rutorna

hjälper dig med metoder och resonemang. De röda rutorna hjälper dig att kommunicera matematiskt och redovisa dina lösningar på ett bra sätt.

Miniteman – När några uppgifter handlar om samma ämne är de inramade tillsammans

med bild och bildtext. I bildtexten finns det information som behövs för att lösa uppgifterna.

Ledtrådar – Till en del uppgifter finns det ledtrådar som du kan ta hjälp av. Dessa uppgifter

är markerade med ett

L

.

Aktiviteter – Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Aktiviteterna belyser centrala

matematiska begrepp.

När du har gjort Blandade uppgifter från hela kapitlet och en Diagnos går du vidare till Träna eller Utveckla.

Förmågorna i fokus hjälper dig att utveckla en eller ett par förmågor i taget. Uppgifterna

finns i slutet av varje kapitel.

Kapitlen avslutas med en Sammanfattning av centrala begrepp och metoder.

Det finns fyra Läxor till varje kapitel. Läxorna innehåller först uppgifter från de avsnitt som du senast har arbetat med och sedan uppgifter som repeterar sådant du jobbat med tidigare.

Lennart, Kristina och Conny

3

Sid 1-5 GB Y Framvagn.indd 3

2018-03-26 13:04

1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

6

1.1

Räkna med bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.2

Addition och subtraktion av bråk . . . . 16

Träna Taluppfattning och tals användning . . . 46

1.3

Multiplikation av bråk . . . . . . . . . . . . . . 22

Utveckla Taluppfattning och tals användning 49

1.4

Division av bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.6

Tiopotenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 samband och förändring

58

2.1

Andelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.2

Jämförelser och förändringar . . . . . . . . 66

Träna Samband och förändring . . . . . . . . . . . . 93

2.3

Det hela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Utveckla Samband och förändring . . . . . . . . . 96

2.4

Delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.5

Ränta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3 GEOMETRI

104

3.1

Omkrets och area . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2

Cirkelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Träna Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.3

Volym och begränsningsarea . . . . . . . 118

Utveckla Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.4

Enheter för volym . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.5

Prisma och pyramid . . . . . . . . . . . . . . . 130

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.6

Cylinder, kon och klot . . . . . . . . . . . . . 135

4

Sid 1-5 GB Y Framvagn.indd 4

2018-04-12 12:26

4 Algebra

158

4.1

Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . 160

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.2

Mönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Träna Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4.3

Uttryck med parenteser . . . . . . . . . . . . 171

Utveckla Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.4

Multiplikation av parenteser . . . . . . . . 177

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.5

Uttryck med potenser . . . . . . . . . . . . . 183

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.6

Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.7

Ekvationer med parenteser . . . . . . . . . 193

4.8

Problemlösning med ekvationer . . . . 198

5 SANNOLIKHET OCH STATISTIK

220

5.1

Hur stor är sannolikheten? . . . . . . . . . 222

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.2

Oberoende och beroende händelser . 231

Träna Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . 254

5.3

Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Utveckla Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . 257

5.4

Tabeller och diagram . . . . . . . . . . . . . . 243

Förmågorna i fokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Läxor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Problemlösningsstrategier. . . . . . . . . . . . . . . . 313 Begreppsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

5

Sid 1-5 GB Y Framvagn.indd 5

2018-04-11 08:28

KAN DU DET HÄR?

ETT

1 5

1 Vilket tal är lika med 1 ?

A: 1,5 C: 1,15

B: 11,5 D: 1,2

2 Vilken omvandling är korrekt gjord?

3 11 = 8 8 9 1 C: = 3 3 3

2 122 = 4 4 12 1 D: =2 4 4

A: 1

B: 1

3 Hur mycket är 14 – 3 · 2?

A: −8

B: 22

C: 6

D: 8

TVÅ

4 Hur mycket är 20 · 600?

A: 1 200 B: 20 600 C: 12 000 D: 120 000

C: 1,25

3 =1 ?

4 D: 1,75

C: 0,95

D:

5 Vilket tal saknas i uträkningen 2 – A: 0,25

B: 1,4

6 Hur mycket är A:

4 9

3 1 + ?

4 5

B: 0,9

00, 099 ?

0,33 0, B: 0,3 C: 0,03

7 Hur mycket är A: 3

8 Vilket tal ligger mitt emellan A: 0,32

?

B: 0,52

17 200

TRE D: 0,003

2 och 0,64?

5

C: 0,525

D: 0,62

9 Det femsiffriga talet 31 2 ? 4 är jämnt delbart med både 3 och 4. Vilken siffra saknas?

A: 1 B: 4 C: 5 D: 8

6

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 6

2018-03-28 08:36

1 tal

1 Taluppfattning och tals användning Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.

Tal i potensform. Grundpotensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix.

Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik.

Metodernas användning i olika situationer.

Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och inom andra ämnesområden.

bråkform blandad form decimalform förlängning förkortning enklaste form minsta gemensam nämnare (MGN) potens

Begrepp

bas

Vilka begrepp känner du till sedan tidigare?

Kan du beskriva dem?

exponent tiopotens

grundpotensform

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 7

2018-03-28 08:36

Räkna med bråk

1.1

Andel Kvadraten är indelad i fem lika stora delar. Två av dessa är röda.

2 Vi säger att andelen som är röd är två femtedelar. Det kan vi skriva som .

5 Andelen har då skrivits i bråkform.

2 är ett bråk. De båda tal som bildar ett bråk kallas 5 täljare och nämnare.

Talet

Bråk

Om vi utför divisionen 2 / 5 får vi 0,4. Det läses som ”fyra tiondelar” 2 eller ”noll komma fyra”. Bråket har då skrivits i decimalform.

5 Följande samband mellan bråkform och decimalform är viktiga att kunna utantill: 1 = 1 1

2 ≈ 0,67 3

1 = 0,5 2

1 ≈ 0,33 3

1 = 0,25 4

1 = 0,2 5

1 1 = 0,01 = 0,001 1 000 100

1 = 0,1 10

täljare

2 bråkstreck

5 nämnare

≈ betyder ”är ungefär lika med”

Bråkform och blandad form 13 fjärdedelar skrivs

13 i bråkform. Vi kan rita det så här: 4

Bråkform 4 4

8

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 8

+

1.1

4 4

+

4 4

+

1 4

=

13 4

RÄKNA MED BRÅK

2018-03-28 08:37

Det behövs 4 fjärdedelar för att bygga en hel. Vi kan därför också rita så här:

1

+

Vi ser att

1

+

1

+

1 4

=

3

1 tal

Blandad form 1 4

13 1 = 3 . Vi har då skrivit bråket i blandad form.

4 4

Förlängning och förkortning Värdet av ett bråk kan uttryckas på oändligt många sätt.

1 Till exempel kan skrivas så här: 2 1 2 3 4 5 6 = = = = = = 2 4 6 8 10 12 När ett bråk skrivs i bråkform på ett nytt sätt kallas det för att förlänga eller förkorta bråket.

1 1⋅2 2 = = 2 2⋅2 4

Här förlänger vi med 2, vilket betyder att både täljare och nämnare multipliceras med 2.

6 6/6 1 = = 12 12 / 6 2

Här förkortar vi med 6, vilket betyder att både täljare och nämnare divideras med 6.

När ett bråk är skrivet med så liten nämnare som möjligt, är det skrivet i enklaste form.

Bråket kan då inte förkortas mer.

Däremot kan ett bråk förlängas hur många gånger som helst.

Jämföra tal i bråkform Om man vill jämföra storleken av två bråk med olika nämnare, så är en bra metod att skriva bråken med samma nämnare. Den nämnare som man då ofta väljer är den minsta gemensamma nämnaren (MGN).

3 4 och den minsta gemensamma nämnaren 20 eftersom 4 5 20 är det minsta tal som är delbart med både 4 och 5. Vi förlänger det första bråket med 5 och det andra bråket med 4.

Till exempel har bråken

3 3 ⋅ 5 15 4 4 ⋅ 4 16 = = = och = 4 4 ⋅ 5 20 5 5⋅4 20

< betyder ”är mindre än”

15 16 3 4 Eftersom < så gäller att < .

20 20 4 5

> betyder ”är större än”

1.1

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 9

RÄKNA MED BRÅK

9

2018-03-28 08:37

EXEMPEL

Vilket tal är störst,

2 5 eller ?

3 7

MGN: 21 2 2·7 14 = = 3 3·7 21 5 5·3 15 = = 7 7·3 21 Svar:

För att kunna jämföra bråken skriver vi dem med samma nämnare.

Den minsta gemensamma nämnaren till 3 och 7 är 21. För att få nämnaren 21 förlänger du

2 3

med 7 och

5 7

med 3.

Ett annat sätt att jämföra bråken är att skriva dem i decimalform. Du får då att 2 3

≈ 0, 67 och

5 7

≈ 0, 71 .

K • Skriv en gemensam nämnare, till exempel den minsta gemensamma nämnaren.

5 är störst.

7

• Visa förlängningarna.

• Skriv svar.

EXEMPEL

Hur stor andel av rektangeln är vit?

Svara med ett bråk i enklaste form.

3 = 0,75 4

1 = 0,2 5

Eftersom

1 4

3

1

4

5

= 0, 25 så är

3 4

= 0, 75.

De här bråken kan du skriva exakt i decimalform.

3 1 5 5/5 1 Andel vit: 1– – =1– 0,75 – 0,2 = 0,05 = = = 4 5 100 100 / 5 20 Du kan förkorta med 5.

Svar:

1 av rektangeln är vit.

20

K • Presentera och teckna beräkningen.

• Skriv ut mellanled.

• Skriv svar.

10

1.1

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 10

RÄKNA MED BRÅK

2018-03-28 08:37

1

2

Skriv talen i bråkform. a) 1

2 3

b) 2

1 4

c) 1

4 5

d) 3

1 2

B M

5

Skriv de tal som bilderna visar i blandad form och i bråkform. a)

Hur stor andel av blommorna är rosa?

Svara med ett bråk i enklaste form. B

b) K

6

7

1 + 0,9 2 1 c) 1 + 0,7 4

4

Förläng bråken så att nämnaren blir 20. a)

3 10

b)

1 4

c)

1 2

d)

2 5

Skriv bråken i enklaste form. a)

10 15

b)

3 12

c)

4 14

d)

8 12

1 3 eller 4 8

L

M K

b)

M K

2 7 eller 3 9

8

1 = 1,4 och förstår inte 4 hur det kan vara lika med 0,25. Förklara för henne hur hon kan tänka.

B R

9

Skriv talen i blandad form.

Emelie tror att

a)

10 3

b)

27 4

c)

22 5

d)

22 9

10

B M

Vilken pil pekar på vilket tal? a)

5 2

b)

4 3

c)

3 2

d)

9 4

AB

0

1

1.1

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 11

b)

Vilket tal är störst?

B M

B M

3 − 0,3 4 1 1 d) + 2 4

a)

a)

3

B

1 tal

ETT

P

C D

2

3

RÄKNA MED BRÅK

11

2018-03-28 08:37

TVÅ

11

12

13

Skriv talen som bråk i enklaste form. a)

12 16

b) åtta tiondelar

c)

10 35

d) 0,24

14

Visa om påståendena stämmer eller ej. a)

2 5 < 3 6

b)

3 7 > 5 10

c)

3 5 < 4 6

d)

1 = 0,33 3

M R

11 12

1.1

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 12

b) 0,25 d) 1 8 23

2 19

47 49

5 21

Av alla som dör i trafiken per år 3 B är män.

4 a) Hur stor andel av de som dör är kvinnor? Svara i decimalform.

M K

b) Hur stor andel av de som dör i trafiken har inte färdats i bil?

Svara i bråkform.

Vilket eller vilka av bråken i rutan är ungefär lika med de här talen?

Motivera dina svar.

P 1 a) 3 c) 0,1

12

B M

Tre femtedelar av alla som dör i trafiken färdas i bil.

Av de omkomna är 4 % under 18 år. Tre tiondelar av alla som dör är 65 år eller äldre.

c) Hur stor andel av de omkomna är under 18 år? Svara med ett bråk i enklaste form. L R

15

Hur stor andel av de som dör i trafiken är i åldern 18–64 år?

Svara i decimalform. L

P M K

7 68

RÄKNA MED BRÅK

2018-03-28 08:37

Hur stor andel av sedlarnas

B M K

19

a) antal är 50-lappar? b) värde är 50-lappar?

Svara med bråk i enklaste form.

20

I Tiundaskolan går 160 av skolans 400 elever i årskurs 8. I Heidenstamskolan går 90 av skolans 300 elever i årskurs 8. a) På vilken skola är andelen elever i årskurs 8 störst? L

M K

b) Hur stor är andelen elever i årskurs 8 på den skolan? Svara med ett bråk i enklaste form.

B M

Vilket tal pekar pilen på?

L

1 tal

16

P K

a) 1

5 6

3

b) 2 3

17

18

24 vatten. ”Då 25 12 består en halv gurka av vatten” 25 säger Ester. Tänker hon rätt eller fel?

Förklara hur du tänker.

M

3 4

En gurka består av

R

a) Vilken av följande beräkningar ger det största svaret och vilken ger det minsta?

M A:

2 + 1,3 5

B: 3,4 − 1

3 4

C:

7 4 + 10 5

D: 3,2 − 1

3 5

b) Skriv det minsta svaret i blandad form.

B

1.1

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 13

RÄKNA MED BRÅK

13

2018-03-28 08:37

TRE 21

22

Skriv bråken i blandad form med så liten nämnare som möjligt. a)

12 9

b)

15 6

c)

25 15

d)

42 35

B M

Hur stor andel av figuren är lila? Svara med ett bråk i enklaste form.

P B a)

1

K

3 (cm)

2

2

4

26

b) 2

4

2

a) köttbullar

2

(cm)

2

Skriv talen i storleksordning.

Börja med det största.

2 3

3 4

5 6

3 b) 4

4 5

7 10

a)

b) ärtor

c) Albin äter upp alla köttbullar, fyra femtedelar av pastans vikt och tre fjärdedelar av ärtornas vikt. Hur stor andel av det som finns kvar är ärtor?

Svara i bråkform.

M K

11 12

27

13 20

Vilket tal pekar pilen på?

25

14

1 1 3 − +2 4 10 5

b) M K

5 men 6 mindre än 1. Hur många sådana bråk finns det?

Skriv ett bråk som är större än

1.1

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 14

P K

3 4

3

1 2 a) 2 − 1,9 + 4 5 b) 1

L

a) 1

24

K

Svara med bråk i enklaste form och i decimalform.

1

23

Albin lagar lunch av 120 g köttbullar, 200 g pasta och 80 g ärtor. Hur stor andel av lunchens vikt består av B M

1

28 P

1 12

6 15 28 , och är 7 16 29 närmast 1? Förklara hur du tänker.

Vilket av bråken

P R

RÄKNA MED BRÅK

2018-03-28 08:37

30

Vid en expedition till Antarktis hittade några biologer nya djur. En fjärdedel av djuren var jättestora maskar och tre femtedelar var väldiga havsspindlar.

Resten var sjöpungar. a) Hur stor andel av djuren var sjöpungar? Svara med bråk i enklaste form och i decimalform.

B M

Salper och sjöpungar tillhör båda familjen manteldjur. Salper simmar vid ytan på dagen, men på natten vilar de på 800 m djup. Hur mycket djupare är det jämfört med det djup som sjöpungar oftast finns på?

M K

1 tal

29

K

b) Hur många sjöpungar hittade biologerna om antalet havsspindlar var 12? L P K

På 1 500 m djup i Antarktis har man hittat en ny form av sjöpungar som ser ut som jättestora blommor av glas. Oftast finns sjöpungar på sju tjugofemtedelar av det djupet.

utmaning Y KAPITEL 1

1.1

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 15

RÄKNA MED BRÅK

15

2018-03-28 08:37

Addition och subtraktion av bråk

1.2

AKTIVITET: Kvadrat i bitar Materiel:

Papper, penna, linjal och sax

Antal deltagare:

1–2 st C Vilken är summan av alla andelar?

A

C

B

D

E Klipp ut bitarna.

G E

1 D Vilken av bitarna är närmast 5 i storlek?

H

F

A Rita av bilden i skala 3 : 1.

F Ge förslag på vilka tre bitar som du kan lägga ihop för att de ska motsvara 7 av hela kvadraten.

16

B Hur stor andel av hela kvadraten är de olika bitarna? Skriv andelarna i bråkform.

G Ge förslag på tre bitar som tillsam5 mans motsvarar ungefär av 9 hela kvadraten.

I

16

1.2

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 16

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

2018-03-28 08:37

Om vi ska addera bråken

1 tal

Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare 1 1 och kan vi göra det på två sätt.

2 3

METOD 1 Vi förlänger bråken så att de får samma nämnare. Det enklaste är oftast att välja den minsta gemensamma nämnaren (MGN). I det här fallet är 6 den minsta gemensamma nämnaren eftersom det är det minsta tal som är delbart med både 2 och 3.

Den här metoden ger ett exakt svar.

1 1 1⋅3 1⋅2 3 2 5 + = + = + = 2 3 2⋅3 3⋅2 6 6 6

Det första bråket förlängs med 3 och det andra med 2.

Vi kan visa förlängningen så här:

=

+

1 2

+

1

+

3 6

3

+

2 6

Vi delar in de båda kvadraterna i lika delar, det vill säga i sjättedelar. Det motsvarar förlängningen.

I den första kvadraten är Vi ser då att

3 2 orange och i den andra .

6 6

1 1 3 2 5 + = + = .

2 3 6 6 6

METOD 2 Vi skriver bråken i decimalform och adderar därefter. Eftersom vi i det här fallet avrundar det andra talet så får vi ett ungefärligt svar.

1 1 + ≈ 0,5 + 0,33 = 0,83 2 3 Även när man subtraherar bråk måste man först skriva bråken med samma nämnare eller göra om dem till decimalform.

1.2

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 17

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

17

2018-03-28 08:37

EXEMPEL

a)

5 3 + 8 4

2 8 b) 1 − 9 9

c)

1 + 0,7 6

5 3 5 3·2 5 6 11 3 + = + = + = =1 8 4 8 4·2 8 8 8 8

a)

Det minsta tal som är delbart med 8 och 4 är 8. Alltså är den minsta gemensamma nämnaren 8 (MGN: 8).

Förläng

MGN: 8

3 4

med 2 så att du får

åttondelar i båda bråken.

2 8 11 8 3 3 / 3 1 b) 1 – = – = = = 9 9 9 9 9 9/3 3

Här är det samma nämnare från 2 början. Börja med att skriva 1 9 i bråkform. Sen blir det enklare att subtrahera.

Förkorta med 3.

1 1 7 1·5 7·3 + = c) + 0,7 = + = 6 6 10 6·5 10·3 =

5 21 26 26 / 2 13 + = = = 30 30 30 30 / 2 15

Skriv sju tiondelar i bråkform, 0, 7 =

7 10

.

Minsta gemensamma nämnaren (MGN) är 30. För att få nämnaren 30 i båda bråken förlänger du det första bråket med 5 och det andra bråket med 3.

Förkorta med 2.

MGN: 30 3 Svar: a) 1 8

18

1.2

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 18

1 b) 3

13 c) 15

K • Teckna uppgifterna.

• Skriv ut mellanled.

• Skriv svar med så liten nämnare som möjligt.

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

2018-03-28 08:37

ETT

32

2 9 1 c) 2 − 5 a) 1 −

a) 2 c)

33

4 1 −1 5 5

7 1 − 8 8

5 1 + 8 8 3 1 d) + 4 4

34

b)

b)

2 2 d) 1 + 2 7 7

c)

M K

35

2 1 2 + + 3 3 3

a) 0,9 −

M K

En bloggare frågade sina följare om de 8 som svarade tror på spöken. Det var 21 6 ”ja” och som svarade ”vet ej”.

21 Resten svarade ”nej”. Hur stor andel svarade ”nej”?

M K

M K

Svaren på uppgifterna finns markerade på tallinjen. Vilken pil hör till vilken uppgift?

P a)

6 1 + 8 4

b)

7 1 − 10 5

c)

2 1 +1 5 10

d)

11 1 − 12 6

e) Beräkna summan av A och B. A

36

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 19

1 1 + 2 4 3 1 d) + 4 12 b)

1 1 − 4 8

0

1.2

1 5

1 tal

31

2 1 + 3 4 2 4 c) − 3 9 a)

B

C

B M K

D

1

2

b)

1 5 + 3 6

d) 0,9 −

3 5

M K

37

1 1 När Maja räknar + får hon svaret 4 4 2 . Gör Maja rätt? Förklara hur du 8 M R tänker.

38

Patrik, Diamond och Armin ska dela på en summa pengar. Patrik ska ha hälften och Armin en fjärdedel. Diamond får 60 kr. Hur mycket får Patrik och Armin? L P K

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

19

2018-03-28 08:37

TVÅ 39

40

7 4 + 9 9 3 3 3 c) + + 4 4 4 a)

a) 0,13 − 7 3 − 8 4

c)

41

3 50

43

20

2 5

1 7 d) 2 − 1 8 8 3 + 0,7 20 4 7 d) 1 − 9 9

44 M K

P R

D:

2 3 1 − + 3 4 6 K

45

Vid en undersökning frågade man elever som var 10–15 år hur de får använda mobiltelefonen i skolan.

Hur stor andel av eleverna får använda mobiltelefon under lektionstid? B M K

46

55 hundradelar av eleverna svarade att det skulle vara bra med ett förbud mot mobiltelefoner i skolan. En fjärdedel svarade att ett förbud skulle vara dåligt.

Resten svarade ”vet ej”. Hur stor andel svarade ”vet ej”? Svara med ett bråk i enklaste form.

B M K

M K

Sofia beräknar

3 – 0,1 4

b) Beräkna differensen mellan de två svaren i uppgift a).

B M

M K

3/4 liter

1 1 7 − och får .

3 4 12 Förklara varför hon direkt borde ha förstått att svaret är fel.

a) Vilken beräkning ger det största och vilken ger det minsta svaret?

M 1 5 3 3 A: + B: 2 − − 9 6 8 4 C:

b)

Omar blandar juicen och mineralvattnet i en stor kanna. Hur stor volym har blandningen?

1/3 liter

42

b) 2 −

Hälften av eleverna svarade att de bara får använda 2 mobiltelefonen på rasterna. får inte använda 5 telefonen alls under skoldagen. Resten får använda den även under lektionstid.

I en skål finns en fruktsallad av mango och hallon. Fruktsalladen väger 150 g.

Två tredjedelar av salladen är mango.

Hur mycket hallon ska du lägga i för att hälften av fruktsalladen ska vara mango?

P K

1.2

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 20

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

2018-03-28 08:37

47

48

11 2 − 12 3 3 5 c) +1 8 6 a)

Världens högsta träd är ett mammutträd. Sveriges högsta träd är en gran.

Granen är cirka 9/25 av mammutträdets höjd. Hur högt är Sveriges högsta träd?

Avrunda till hela meter.

B M K

52

Sveriges äldsta tall har en ålder som är 2/25 av världens äldsta träd. Sveriges äldsta ek har en ålder som är 2/19 av världens äldsta träd. Hur mycket äldre är eken än tallen? Avrunda till tiotal år.

B M

P

Andel personer

Städare Fiskare Skomakare Djuruppfödare Vårdpersonal

1 5

K

37 hundradelar

53

4 25 1/4 70 200

Åsa, Emma och Nishti äger en häst till2 1 sammans. Åsa äger och Emma äger .

5 3 a) Hur stor andel äger Nishti?

B M K b) Det kostar 45 000 kr per år att ha hästen i ett stall. Hur mycket ska var och en betala?

50

51 M K

I tabellen ser du andelen personer som har valt samma yrke som någon av sina föräldrar. För vilket yrke är det vanligast?

Yrke

49

4 3 + 5 4 1 11 d) 3 − 1 4 12 b)

1 tal

TRE

En tredjedel av träden i en skog är granar och en fjärdedel är tallar. Hälften av de övriga träden är lövträd. Hälften av lövträden är björkar. Hur stor andel av träden i skogen är björkar? Svara med ett bråk i enklaste form. L P B K

Världens äldsta träd är en gran som är 9 550 år gammal och står på Fulufjället i nordvästra Dalarna i Sverige. Världens högsta träd är 115 m högt och finns i Kalifornien, USA.

P K

Tänk dig att du skriver MATEMATIK ÄR TOPPEN. Du skriver om meningen men flyttar den sista bokstaven i varje ord till början av ordet. Du får då KMATEMATI RÄ NTOPPE. Sen skriver du om det igen med den nya sista bokstaven först. Du får då IKMATEMAT ÄR ENTOPP Hur många gånger måste du skriva om det för att det ska stå L

P K

1.2

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 21

a) Ge exempel på vilka tal x och y kan vara om 1 1 1 + = x y 2 b) Hur många lösningar finns det?

Motivera ditt svar. L

MATEMATIK ÄR TOPPEN igen?

54

P R

utmaning Y KAPITEL 1

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

21

2018-03-28 08:37

1.3

Multiplikation av bråk

Multiplikation av två tal i bråkform (cm)

(cm)

(cm)

1 2 1

1

Kvadratens area är 1 cm · 1 cm = 1 cm2.

1

1

2

2

1

1

1

2

2

2

Om vi delar in sidornas längder i två lika delar blir varje del

1 cm lång.

2

Hur stor area har då den röda kvadraten?

Vi ser att det får plats fyra små kvadrater i den stora kvadraten.

1 1 Alltså är den röda kvadratens area av den stora kvadratens area, alltså cm2.

4 4 1 1 Men arean är lika med basen gånger höjden. Vi kan därför teckna den så här: ⋅ cm2.

2 2 1 1 1⋅1 1 Alltså är ⋅ = = .

2 2 2⋅2 4 Täljarna multipliceras för sig och nämnarna för sig.

Multiplikation av ett heltal och ett bråk Hur är det då när vi multiplicerar ett heltal med ett bråk?

1 .

2 1 1 1 1 3 1 Om vi tecknar multiplikationen som en addition får vi: 3 ⋅ = + + = = 1 2 2 2 2 2 2

Vi kan som exempel titta på multiplikationen tre gånger en halv, 3 ⋅

Vi kan också skriva 3 som

+ 1 2

+

+ 1 2

= 1

+

2 3·

22

1.3

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 22

1 3 1 3⋅1 3 1 3 och får då: 3 ⋅ = ⋅ = = =1 2 1 2 1⋅2 2 2 1

1 2

=

=

= 3 2 3 2

=

1

=

1

1 2 1 2

M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K

2018-03-28 08:37

EXEMPEL

1 3 ⋅ 2 5

a)

b) 3 ⋅

4 7

c)

1 3 1·3 3 = · = 2 5 2·5 10

3 6 ⋅ 4 7

1 tal

a)

När du multiplicerar två bråk med varandra multiplicerar du täljarna för sig och nämnarna för sig.

4 3 4 3·4 12 5 b) 3· = · = = =1 7 1 7 1·7 7 7 3

Skriv 3 i bråkform som

3 1

.

Det finns ett tal i täljaren (6) och ett tal i nämnaren (4) som är delbart med 2. Du kan då förkorta med 2.

3 6 3·6 3·6 9 c) · = = = 4 7 4·7 4·7 14

Du kan också först multiplicera och sen förkorta

2

med 2. Då får du:

3⋅6 4⋅7

=

18 28

=

18 / 2 28 / 2

=

9 14

.

K

Svar: a)

3 10

5 b) 1 7

c)

9 14

• Skriv av uppgiften.

• Visa mellanleden i dina beräkningar.

• Omvandla till enklaste form.

• Skriv svar.

EXEMPEL

I en spargris finns 120 mynt. Två tredjedelar av mynten är femkronor.

Hur många femkronor finns i spargrisen?

Mynt totalt: 120 st

40

2·120 2 2 120 st = st = 80 st Antal femkronor: ·120 st = · 3·1 3 3 1 1

Det finns ett tal i täljaren (120) och ett tal i nämnaren (3) som är delbart med 3. Du kan då förkorta med 3.

K • Presentera dina fakta.

Svar: Det är 80 stycken femkronor i spargrisen.

• Presentera och teckna dina beräkningar.

• Visa alla steg i lösningen.

• Ta med enheter i varje led.

• Skriv svar.

1.3

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 23

M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K

23

2018-03-28 08:37

ETT 55

56

57

1 1 ⋅ 2 3 1 1 c) ⋅ 3 4

2 2 ⋅ 5 3 1 d) 2 ⋅ 3

1 ⋅4 8 2 c) 5 ⋅ 7

1 2 3 d) 4

a)

a)

59

b)

b)

4 5 5 ⋅ 9

⋅

M K

Den här bilden kan som addition 4 4 skrivas + .

5 5

1

60

a) Hur kan additionen skrivas som en multiplikation? b) Vilken är produkten?

a)

1 2

B M

1

dl

3 1 ⋅ 8 6

c) 0,3 ⋅

1 2

b) 6 ⋅ 5 7

d)

1

dl

1 2

dl

2 9

3 ⋅ 10 5

M K

B M K

61

24

K

M K

+

58

Hur mycket innehåller de tre glasen sammanlagt? L M

1 1 = . Tänker 4 8 han rätt? Förklara hur du tänker.

Visa att 3 ⋅

1 = 1.

3

L

P

Noah tror att 2 ⋅

1.3

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 24

M R

M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K

2018-03-28 08:37

62

63

64

2 1 ⋅ 5 3 2 3 c) ⋅ 9 5 a)

2 3 a) ⋅ 3 5 3 4 c) ⋅ 8 9

d)

2 5

66

7 ⋅2 8

M K

67

7 b) 5 ⋅ 10 7 c) ⋅3 12

M K

B M

b) Vilken är produkten?

B M

+

+

a) Hur stor andel av pizzan är uppäten?

B

b) Rasmus äter upp tre fjärdedelar av det som är kvar av pizzan.

Hur stor andel av hela pizzan äter han? L B M

K

c) Hur stor andel finns sen kvar av pizzan?

Förklara vad det är för skillnad på att förlänga ett bråk med 2 och att multiplicera ett bråk med 2.

B Beräkna genom att först skriva båda faktorerna i bråkform.

B M 5 1 1 a) ⋅1 b) 4 ⋅ 2 6 3 8 1 1 c) 2 ⋅ 1 2 10

a) Hur kan bilden skrivas som en multiplikation?

+

65

b) 3 ⋅

68

K

2 1 ⋅1 3 5

Fadi påstår att en femtedel av en tredjedel är lika mycket som en tredjedel av en femtedel. Kan det stämma?

Motivera ditt svar.

P R

P B

1.3

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 25

d) 4

R

1 tal

TVÅ

M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K

25

2018-04-12 12:32

TRE 69

70

7 4 ⋅ 8 5 5 c) 0,1 ⋅ 6 a)

2 ⋅ 12 9

2 3

2 ?

3

Förklara hur du tänker.

B M R

C: 0,7 ⋅

2 3

B:

2 4 ⋅ 3 7

D:

8 2 ⋅ 5 3

75

I undersökningen svarade 3/4 av männen och 3/5 av kvinnorna att de var ute i naturen ”minst en eller ett par gånger i veckan”. Hur stor andel av alla svarade så? L P K

Vid en undersökning svarade

Vid en undersökning i Linköpings kommun tillfrågades 150 kvinnor och 120 män om olika naturfrågor.

27 % svarade att de var ute i naturen dagligen.

a) Skriv 0,75 · 0,4 som en multiplikation av två bråk i enklaste form. b) Vilken är produkten?

73

2 att ”det 5 ökar livskvalitén att vara ute i skog 1 och mark”. Av de övriga var det som 9 svarade att det ”saknar betydelse för livskvalitén”. Hur stor andel svarade något annat? L P K

K

1 2 d) 4 ⋅ 1 5 7

2 ⋅2 3

74 M K

Vilka av produkterna är större än

A:

72

d)

3 4

Beräkna genom att först skriva båda faktorerna i bråkform.

B M 3 2 1 a) 2 ⋅ 14 b) 3 ⋅ 1 7 3 8 c) 1,2 ⋅ 1

71

b) 5 ⋅

B

B M

Av Ninas lön dras 1/3 i skatt. Av det som är kvar efter skatt betalar Nina 2/5 i hyra för sin lägenhet. a) Hur stor andel av lönen betalar Nina i hyra? L B

M K

b) Hur stor andel av lönen har Nina kvar efter hon har betalat skatt och hyra?

P K

utmaning Y KAPITEL 1

26

1.3

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 26

M U LT I P L I K AT I O N A V B R Å K

2018-03-28 08:38

Division av bråk 1 tal

1.4

AKTIVITET: Bråktavlan 2–3 st

Antal deltagare:

1 1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 4

1 6

1 12

1 4

1 6

1 8

1 8 1 12

1 6 1 8

1 12

1 12

1 8 1 12

1 12

1 Vilket eller vilka bråk på bråktavlan

är lika med de här talen?

1 1 3 a) b) c) 2 3 4 Beräkna med hjälp av bråktavlan.

1 1 1 2 a) 1 b) 1 c) 1 2 4 8 1 1 2 4

b)

1 1 3 12

c)

1 4

1 6

A Använd bråktavlan, diskutera med varandra och lös följande uppgifter.

3 a)

1 3

1 6

1 8 1 12

1 6

1 8 1 12

1 8

1 12

1 12

1 12

1 12

4 a)

1 2 2

b)

1 3 2

c)

1 4 2

5 a)

4 4 8

b)

3 3 12

c)

2 4 3

B Hitta på egna uppgifter till bråktavlan. Låt en kompis lösa dina uppgifter.

1 1 3 6

1.4

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 27

1 8

DIVISION AV BRÅK

27

2018-03-28 08:38

Division av heltal med bråk Om man ska räkna ut 2

2 kan man tänka 3

2 ”Hur många gånger får plats i 2 hela?”.

3 Bilden visar att det får plats 3 gånger.

Alltså är 2

1

1

2

2

2

3

3

3

2 = 3.

3

Vi kan skriva 2 hela som

6 2 6 2 och får då 2 = .

3 3 3 3

Vi skriver alltså de båda talen som bråk med samma nämnare och kan tänka: ”Hur mycket är 6 tredjedelar dividerat med 2 tredjedelar?”

2

2 6 = 3 3

2 6 tredjedelar 6 = = =3 3 2 tredjedelar 2

Vi kan jämföra med ”6 kg dividerat med 2 kg”.

Division av bråk med bråk Hur mycket är

4 2 ? Vi skriver de båda bråken med samma nämnare och får då 3 9

4 2 12 2 = det vill säga: ”Hur mycket är 12 niondelar dividerat med 2 niondelar?”

3 9 9 9 4 3

2 12 = 9 9

2 12 niondelar 12 = = =6 9 2 niondelar 2

Vi kan jämföra med ”12 kg dividerat med 2 kg”.

Division av bråk med heltal 5 2 ? Även här kan vi skriva de båda talen med samma nämnare Hur mycket är 6 och får då: 5 5 2= 6 6

28

1.4

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 28

12 5 sjättedelar 5 = = 6 12 sjättedelar 12

DIVISION AV BRÅK

2018-03-28 08:38

EXEMPEL

2 5

b) 1

1 4 3 5

c)

2 20 2 20 a) 4 = = =10 5 5 5 2

3 2 4

1 tal

a) 4

Skriv 4 som femtedelar. Då får du ”20 femtedelar dividerat med 2 femtedelar”.

20 femtedelar 2 femtedelar

=

20 2

= 10

Är det rimligt att svaret är större än 4? Ja, det är det eftersom nämnaren är ett tal som är mindre än 1.

1 4 4 4 20 12 20 20 / 4 5 2 b) 1 = = = = = =1 3 5 3 5 15 15 12 12 / 4 3 3 Börja med att omvandla 1 till bråkform. 1

1 3

=

1 3

Förläng bråken så att du får samma nämnare.

Förkorta med 4 och svara i blandad form.

4 3

Skriv 2 som fjärdedelar så får du:

3 3 8 3 2= = c) 4 4 4 8

3 fjärdedelar 8 fjärdedelar

=

3 8

Du kan också tänka så här: ”

3 4

=

6 8

och hälften av

6 8

är

3 8

.”

K

Svar: a) 10

b) 1

2 3

c)

3 8

• Skriv av uppgiften.

• Visa alla steg i lösningen.

• Räkna fram svaret i enklaste form och skriv det i blandad form om det går.

• Skriv svar.

EXEMPEL

Emma och Sabrye har kokat 6 liter saft. Saften ska hällas i flaskor som rymmer 3/4 liter. Hur många flaskor blir det?

Volym: 6 liter Antal flaskor: 6

24 24 3 3 st = st = st = 8 st 4 4 4 3

Skriv 6 som fjärdedelar så får du

24 fjärdedelar 3 fjärdedelar

=

24 3

K

=8

• Presentera fakta.

• Teckna dina beräkningar.

Svar: Det blir 8 flaskor med saft.

• Visa alla steg i lösningen.

• Skriv svar.

1.4

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 29

DIVISION AV BRÅK

29

2018-03-28 08:38

ETT 76

77

78

79

1 2 1 c) 2 4

1 3 1 d) 2 5

1 1 a) 2 4

2 1 b) 3 6

a) 1

80

b) 1

c)

4 2 5 5

d)

6 1 9 3

a)

1 2 2

b)

1 2 3

c)

2 3 5

d)

2 4 3

M K

a) Chokladkakan bestod från början av 10 rutor. Hur stor andel av chokladkakan är kvar? Svara med bråk i enklaste form.

B b) Johan och Sophie delar lika på det som är kvar. Hur stor andel av hela chokladkakan får de var?

M

K

M K

M K

Vilken eller vilka av divisionerna i rutan ger en kvot som är a) större än 1 b) lika med 1 c) mindre än 1 d) Förklara hur du tänker.

P R

A:

1 2 3

B: 1

C:

1 2

D:

1 3

1 4

E:

5 2 6

F:

1 4

1 2

5 10

2 5

81

82

83

30

1.4

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 30

Mauricio tror att en tredjedel 1 1 av är . Stämmer det?

3 9 Förklara hur du tänker.

3 1 8 4 4 7 c) 5 10 a)

3 2 5 3 2 c) 4 a)

1 4 3 d) 10

b)

3 8 4 5

3 5 3 d) 2 4

M R

M K

b) 2

M K

DIVISION AV BRÅK

2018-03-28 08:38

84

a) 1 c)

85

86

1 5

2 2 3

1 1 2 3 5 2 c) 6 a)

4 2 10 5 3 d) 3 4

89

b)

M K

1 2 7 3 d) 8 4

2 1 3 2 2 c) 4 5 a)

4 2 9 3 3 5 d) 8 6

1 tal

TVĂ&#x2026; b)

M K

b) 4

M K

a) Hur stor andel av pizzan finns kvar?

B

b) Eira och Martin delar lika pĂĽ det som finns kvar. Hur stor andel av hela pizzan fĂĽr var och en?

M

K

90

1 liter mjĂśl hemma.

3 a) Det behÜvs 2 ½ dl vetemjÜl till en sockerkaka. Hur münga hela sockerkakor räcker mjÜlet till? L M K

Mira har 1

b) Ungefär hur münga hela deciliter mjÜl finns kvar om Mira bakar tre sockerkakor?

P B

91 87

Magnus har tvü och tvü tredjedels äpple och vill dela upp det rättvist mellan sig och tre kompisar. Hur stor andel av ett helt äpple für var och en?

M K

88

Joshua fÜrstür inte hur divisionen 2 kan ge ett svar som är stÜrre än 2.

Hur kan du fĂśrklara det fĂśr honom?

Vilket tal saknas?

2 a) ? u 3 9 1 1 b) u ?

3 2

P K

3 4

B M R

1.4

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 31

L

K

DIVISION AV BRĂ&#x2026;K

31

2018-03-28 08:38

TRE 92

93

94

5 2 6 5 2 c) 9

3 10 2 5 d) 3 9

4 7 3 c) 8

2 2 3 5 5 d) 3 9

a)

a)

96

2 0,3 5

b)

d) 1

5 1 1 9 6

På 1 h 40 min kör Matilda 50 km på sin moped. Vilken är medelhastigheten? L

M K

B M K

I ett recept på pannkaka står det att det behövs ett ägg till två portioner. Skriv i bråkform hur mycket mjöl det behövs till en portion. L M K

99

a) Till hur många portioner pannkakor räcker 10 dl mjölk? L M K 1 b) Miro har 1 liter mjöl i skafferiet.

3 Till hur många hela portioner pannkakor räcker det? L B M K

Pannkaka är en maträtt som finns över hela världen. Enligt ett vanligt recept blandar man 1 ¼ dl mjöl och 2 ½ dl mjölk med 1 ägg.

P B K

1 1 När Yang räknade ut divisionen 2 3 fick han svaret 1,5. a) Är det rimligt att svaret är större än 1? Förklara hur du tänker. b) Är svaret korrekt?

97

98 M K

Skriv talen i bråkform och beräkna.

1 1 1 1 a) 2 1 b) 1 3 2 6 4 3 c) 2

95

1 3 1 3

b) 1

1 varv 3 per minut när man spelar den.

Hur många varv snurrar skivan på 3 min 45 s? L

R M K

En LP-skiva snurrar 33

P B K

utmaning Y KAPITEL 1

32

1.4

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 32

DIVISION AV BRÅK

2018-03-28 08:38

1.5

Potenser 5

Vad är en potens?

3

Ett kortare sätt att skriva till exempel uttrycket 3 + 3 + 3 + 3 + 3 är 5 · 3, det vill säga som en multiplikation.

1 tal

potens exponent

bas

Även uttrycket 3 · 3 · 3 · 3 · 3 kan skrivas på ett kortare sätt, nämligen 35.

Det är då skrivet som potens och uttalas ”tre upphöjt till fem”. Talet 3 är potensens bas och berättar vilket tal som ska multipliceras med sig självt.

Talet 5 kallas exponent och berättar hur många gånger man ska multiplicera talet med sig självt. 35 betyder alltså att 3 multipliceras med sig självt 5 gånger.

Prioriteringsregler När ett numeriskt uttryck innehåller både potenser och olika räknesätt så är det viktigt att beräkningarna görs i rätt ordning: 1. Parenteser 2. Potenser 3. Multiplikation och division 4. Addition och subtraktion Det innebär att till exempel uttrycket 12 + 5 ∙ 32 beräknas så här: 12 + 5 ∙ 32 = 12 + 5 ∙ 9 = 12 + 45 = 57

De första som använde sig av potenser var babylonierna.

Man har hittat lertavlor som är nästan 4 000 år gamla med matematiska uträkningar vid floden Eufrats strand i nuvarande Irak.

EXEMPEL

Skriv på ett kortare sätt. a) 7 · 7 · 7 · 7 · 7

b) 4 + 4 + 4 + 4 + 4

c) x · x · x · x

a) 7·7·7·7·7 = 75 b) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5·4 c) x·x·x·x = x4 Svar: a) 75

b) 5·4

Observera att 4 + 4 + 4 + 4 + 4 inte kan skrivas som en potens, men det kan skrivas som en multiplikation.

c) x4 1.5

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 33

POTE NSE R

33

2018-03-28 08:38

EXEMPEL

⎛ 2⎞ 2 b) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

a) 53

c) 0,23

d) 10 · 0,42

a) 53 = 5·5·5 = 125 ⎛ 2⎞ 2 2 2 2·2 4 b) ⎜ ⎟ = · = = ⎝ 3⎠ 3 3 3·3 9 0,2 · 0,2 = 0,02 · 2 = 0,04

c) 0,23 = 0,2·0,2·0,2 = 0,008

0.04 · 0,2 = 0,004 · 2 = 0,008

d) 10·0,42 = 10·0,16 = 1,6

Potensen beräknas först och därefter multiplikationen.

Svar: a) 125 b)

4 9

Men du kan tänka så här: ”2 gånger 2 gånger 2 är lika med 8. Svaret ska ha tre decimaler och är därför 0,008.”

c) 0,008 d) 1,6

EXEMPEL

a) 24 – 22

b) 5 · 32

c)

2 3 ⋅ 32 102

d) (11 – 3)2

a) 24 – 22 = 16 – 4 = 12

Räkna ut potenserna först, 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 och 22 = 2 · 2 = 4.

b) 5·32 = 5·9 = 45

Lägg märke till att potensen beräknas först.

23 ·32 8·9 72 c) = = = 0,72 102 100 100 d) (11 – 3)2 = 82 = 64

Parentesen beräknas först och därefter potensen.

K

Svar: a) 12

b) 45

c) 0,72

d) 64

• Skriv av uppgiften.

• Visa dina beräkningar.

• Skriv svar.

34

1.5

Sid 6-57 GB Y KAPITEL 1.indd 34

POTE NSE R

2018-03-28 08:38

facit Begreppsregister A Algebraiskt uttryck Andel 8, 61 Antagande 198 Area 106 Avrunda 66

171

B Balansmetoden 188 Bas 33, 183 Basyta 118 Begränsningsarea 119 Beroende händelser 231 Blandad form 9 Bråkform 8, 61 C Centiliter 125 Centimeter 124 Cirkel 106 Cirkeldiagram 243 Cylinder 118, 135 D Deciliter 125 Decimalform 8, 61 Del 61 Det hela 61 Diameter 106 Differens 165 Dimension 106 Dragning med återläggning 231 Dragning utan återläggning 231 E Ekvation 188 Enklaste form 9 Exponent 33, 183

318

F Frekvens 243 Förenkling 160 Förkorta 9 Förlänga 9 Förändring 77 G Grundpotensform 38 Gynnsamma utfall 223 H Höger led

Median 244 Milliliter 125 Minsta gemensam nämnare (MGN) 9 Månghörning 106 Möjliga utfall 223 Mönster 165

Ränta

83

N Numeriskt uttryck 171 Närmevärde 106

Slumpmässigt försök 223

Räntesats

83

Rätblock

118

S Sidoyta

118

Sifferterm

165

Spridning

244

Stapeldiagram 243 O Obekant tal 188 Oberoende händelser 231 Olikformig sannolikhetsfördelning 223 Omkrets 106

Stolpdiagram 243

Tiopotens

L Likformig sannolikhetsfördelning 223 Linjediagram 243 Liter 125 Lägesmått 244

P Parallellogram 107 Parallelltrapets 107 Parentes 171 Pi (π) 106 Polygon 106 Potens 33, 183 Prioriteringsregler 33 Prisma 118, 130 Procentenhet 84 Procentform 61 Prövning 188 Pyramid 118, 130

M Mantelarea 135 Mantelyta 135 Medelpunkt 106 Medelvärde 244

R Radie 106 Rektangel 107 Relativ frekvens 243 Romb 107

Volym

188

K Kant 118 Kapital 83 Klot 118, 136 Kombinatorik 237 Kon 118, 136 Konstant 160 Kub 118 Kubikcentimeter 119, 124 Kvadrat 107 Kvadratcentimeter 124

Sträcka

106

T Talföljd Term Tid

165 160

83

Triangel

38 107

Träddiagram Typvärde

224, 232

244

U Utfall

223

Uttrycks värde

160

V Variabel 160 Variabelterm

165

Variationsbredd

244

119

Vänster led

188

Y Yta

106

BEGRE PPSREGISTE R

Sid 318-320 GB Y REGISTER.indd 318

2018-03-27 10:51

Facit

Bildförteckning 6:1 12 13:2 14 15 16 20:3 21 26 30:1 32 33 35 36 40 41 43 44 48 49 52 58:1 60 64 65:1 66 69 71 74 76 77:1 80:2 81 82:1 86 87 88:2 91 96 104:1 108 110 113 121:1

Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Henrik Trygg/Johnér Bildbyrå Susanne Walström/Johnér Bildbyrå Anna Skoog/Johnér Bildbyrå Morten Rasmussen/Biofoto/TT Ulf Rennéus/Mary Square Images Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå Peter Turander/Azote plainpicture/Johnér Bildbyrå Håkan Hjort/Johnér Bildbyrå Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå DEA/G. Dagli Orti/De Agostini/Getty Images Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå Cultura Creative/Johnér Bildbyrå NASA NASA inigoarza/Getty Images Jessica Gow/TT Helena Larsson/IBL Bildbyrå Susanne Kronholm/Johnér Bildbyrå Lasse Svensson/KVP/TT Lena Granefelt/Johnér Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Ignacio Palacios/Getty Images Image Source/Johnér Bildbyrå Marie Linnér/Scandinav/TT Peter Cairns/Nature Picture Library/IBL Bildbyrå Cultura Creative/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Science Photo Library/IBL Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Kari Kohvakka/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Plattform/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Jeppe Wikström/Johnér Bildbyrå Plattform/Johnér Bildbyrå Matton Collection/Johnér Bildbyrå Hasse Holmberg/TT Roberto Pangiarella/EyeEm/Getty Images Travelpix Ltd/Getty Images Jojie Alcantara/Getty Images Erik G Svensson Arla

121:2 123:1 123:2 123:3 125:1 125:2 126 128:1 128:3 129:2 132 134 136 139:1 140:1 143:1 144:2 145:1 148:3 149:2 152:2 160 162 167 176 181 182 190:2 190:3 191:1 195:3 196 196 205 207 208:3 211 220:1 228 230:2 231:1 236:2 242 247

Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå Ulf Palm/TT Dansukker Bloomberg Creative Photos/Getty Images Arla plainpicture/Johnér Bildbyrå Fazer Kvarn Lidköping Kungsörnen GK Hart/Vikki Hart/Getty Images Jörgen Larsson/jlfoto.com Aquael, Warszawa Tue Fig/TT Ulf Rennéus/Mary Square Images Anna Roström/Johnér Bildbyrå plainpicture/Johnér Bildbyrå Susanna Blåvarg/Johnér Bildbyrå Arla Massimo Borchi/Atlantide Phototravel/Getty Images © Midsona Plattform/Johnér Bildbyrå Kenneth Hellman/Johnér Bildbyrå Jean Vaillancourt/Mostphotos Courtesy Everett Collection/IBL Bildbyrå Ulf Rennéus/Mary Square Images Matton Collection/Johnér Bildbyrå Hans Bjurling/Johnér Bildbyrå Niclas Vestefjell/Johnér Bildbyrå Cloetta Sverige Erik G Svensson Erik G Svensson Lieselotte Van Der Meijs/Johnér Bildbyrå Fredrik Nyman/Johnér Bildbyrå Cloetta Sverige Beatrice Lundborg/TT Caiaimage/Johnér Bildbyrå Susanne Walström/Johnér Bildbyrå Michael Erhardsson/Mostphotos Maxrale/Getty Images Henrik Trygg/Johnér Bildbyrå Erik G Svensson Erik G Svensson Matton Collection/Johnér Bildbyrå Anna Kern/Johnér Bildbyrå Maskot Bildbyrå AB/Johnér Bildbyrå

BILDFÖRTECKNING

Sid 318-320 GB Y REGISTER.indd 319

319

2018-03-27 10:51

249 Hans Berggren/Johnér Bildbyrå 267 Lieselotte Van Der Meijs/Johnér Bildbyrå 270:1 NASA - digital version copyright Science Faction/Getty Images 270:2 Erik Simonsen/Getty Images 271:2 Tore Hagman/TT 275 Jan Halaska/Getty Images 277 Jörgen Wiklund/Johnér Bildbyrå 278 Carl de Souza/AFP/TT 281:2 NOAA/Satellite and Information Service

320

Övriga bilder: Shutterstock

Karta: Liber kartor

Sedlar och mynt: Riksbanken

BILDFÖRTECKNING

Sid 318-320 GB Y REGISTER.indd 320

2018-03-27 10:51

algebra Mönster

Uttryck med parenteser

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Antalet tändstickor bildar ett mönster som kan skrivas som en talföljd.

Antalet stickor: 3, 5, 7, 9, …

Antalet ökar med 2 för varje triangel.

Differensen är 2.

Antalet stickor i den n:e figuren kan beräknas med uttrycket 2n + 1.

Differens

a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c a(b + c) = ab + ac a(a + c) = a2 + ac

Ekvationer 3x + 7 = 22 vänster led

Balansmetoden:

Talets nummer

2n + 1 Variabelterm

matematIK Y

höger led

3x + 7 = 22 3x + 7 – 7 = 22 – 7 3x = 15 3x 15 = 3 3

Sifferterm

Uttryck med potenser a · 2a = 2a2 2a ∙ 3a = 2 ∙ 3 ∙ a ∙ a = 6a2

SAnnolikhet och statistik Sannolikhet

Medelvärde

Medelvärde räknar man ut genom att addera alla tal och sedan dividera med antalet tal.

Median

Sannolikhet i flera steg Sannolikheten för flera händelser i följd räknar man ut genom att multiplicera sannolikheterna med varandra. Till exempel är sannolikheten att slå två fyror efter varandra med en vanlig tärning: 1 · 1 = 1 6 6 36

Kombinatorik

Medianen är det mellersta talet efter att talen skrivits i storleksordning. Om det finns två tal i mitten får man medianen genom att beräkna medelvärdet av de två talen.

Typvärde

Typvärde är det värde som förekommer flest gånger. Det kan finnas flera typvärden.

Variationsbredd är differensen mellan det största och det minsta värdet i ett statistiskt material.

4 2 6 7 3 n = 22

Omslag Y GB korr 2 ny.indd 1

Stolpdiagram 10 8

f

Stapeldiagram 10 8 6

6 4

4

2

2 1

2

Utmaning Y

Lärarguide Y

www.matematikxyz.com Matematik XYZ hemsida

Serien täcker hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Har du frågor om metodik, innehåll eller digitalt material till serien är du välkommen att kontakta författarna via seriens hemsida eller maila till info@matematikxyz.com.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

3

4

5

rätt

To yo t Vo a l Ni vo ss an VW SA AB BM W

1 2 3 4 5

Bas Y

Variationsbredd

Tabeller och diagram Frekvenstabell

Matematik Y

Linjediagram

Cirkeldiagram

milj. inv. folkmängd 4

12 %

3

60 %

2 1 årtal 1700

1800

1900

28 %

matematik

Undvall Johnson Welén

Med tre siffror 1, 4 och 7 kan vi bilda tresiffriga tal.

Om varje siffra bara kan användas en gång så är antalet kombinationer 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.

Om varje siffra kan förekomma flera gånger så är antalet kombinationer 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Frekvens f

Matematik XYZ vänder sig till årskurs 7-9. I varje årskurs finns en grundbok, en basbok, en utmaningsbok, en lärarguide med bedömningsstöd och ett omfattande digitalt material på seriens hemsida. Där hittar du bland annat nedladdningsbara filer, filmer, SMART Board-filer och webbappar.

Lägesmått och spridning

Sannolikheten (P) för en händelse = antalet gynnsamma utfall = antalet möjliga utfall

Antal rätt x

matematIK Y

x =5 V.L. = 3 · 5 + 7 = 22 H.L. = 22 Alltså stämmer lösningen.

Prövning:

Matematik Y är väl anpassad till kursplan och kunskapskrav i matematik genom: • kapitel i enlighet med det centrala innehållet • uppgifter på tre nivåer • exempel på lösningar och redovisningar med god kvalité • variation i uppgifterna • markeringar av vilka förmågor varje uppgift tränar • avsnitt med fokus på förmågorna • sammanfattningar av centrala begrepp och metoder • ledtrådar som hjälp att komma vidare • register med centrala matematiska begrepp

Best.nr 47-12629-3 Tryck.nr 47-12629-3

Lennart Undvall Kristina Johnson Conny Welén

2018-03-28 09:43