– matematisk metodik Matematisk verksamhet består i att formulera samt lösa problem. I den här boken behandlas matematiska grunder – såsom begreppen sats, bevis och definition – i kontexten problemlösning. På detta sätt ges allmänna riktlinjer för hur du närmar dig, löser och utvecklar en problemställning, och på samma gång, riktlinjer för hur du tar till dig matematiskt stoff i allmänhet. Områdesspecifika problemlösnings strategier arbetas fram inom områdena algebra, talteori och kombina torik, detta från satser, bevis, axiom och logiska principer. Materialet utgör ett självständigt kurs- och breddningsmaterial, där bokens problem på ett naturligt sätt kan tjäna som examinerande underlag. Materialet kan även användas som komplement till andra kurser, eller som givande läsning för den enskilde problemlösaren. Boken är skriven för att kunna möta elever förhållandevis tidigt i skol systemet, begrepp från grundskolan är fullt tillräckliga att ha med sig. Boken vänder sig främst till elever på gymnasienivå. Huvudsyftet med boken är att ge nycklar för kreativitet och för hur man tar till sig mate matik, och på så vis bana väg för fortsatta studier i ämnet, inte minst för högskolestudier.
| Problemlösningens grunder – matematisk metodik
Problemlösningens grunder
Henrik Petersson
Henrik Petersson är docent vid Chalmers tekniska högskola och tjänstgör som lektor i matematik på Hvitfeldtska gymnasiet i Göteborg, där han är verksam inom skolans spetsutbildning i matematik. Henrik har flera års erfarenhet av undervisning på både högskole- och gymnasienivå.
Problemlösningens grunder matematisk metodik
Art.nr 37703
Henrik Petersson www.studentlitteratur.se
978-91-44-09187-7_01_cover.indd 1
2013-04-09 12.50
9 april 2013 – sida 2 – # 2
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Presskopias skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess. Art.nr 37703 isbn 978-91-44-09187-7 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2013 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Lotta Bruhn Omslagsbild: javarman/Shutterstock
Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2013
9 april 2013 – sida 3 – # 3
INNEHÅLL
Förord 5
Bokens upplägg 7
Läsanvisning 9
KAPITEL 1
Sats 11
KAPITEL 2
Bevis 21
KAPITEL 3
Definition 31
KAPITEL 4
Algebra 37
4.1 4.2 4.3 4.4
Omskrivning 37 Ansättning 40 Ekvationslösning 45 Problemexempel 1 61
KAPITEL 5
5.1 5.2 5.3 5.4
Talteori 65
Delbarhetsprinciper 65 Talrepresentationer 78 Restaritmetik 79 Problemexempel 2 88
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
3
9 april 2013 – sida 4 – # 4
innehåll
KAPITEL 6
6.1 6.2 6.3 6.4
Multiplikationsprincipen 91 Additionsprincipen 93 Standarddragningar 100 Problemexempel 3 108
KAPITEL 7
4
Kombinatorik 91
Redovisning 111
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
9 april 2013 – sida 5 – # 5
FÖRORD
Den här boken är i första hand riktad till matematikintresserade elever på gymnasiet. Boken utgör ett självständigt breddningsmaterial, som även kan användas som komplement till andra kurser. Bokens utformning är präglad av, från min sida, följande ingångar i detta bokprojekt: • Bokens problem kan tjäna som examinerande underlag. Detta tar sig uttryck i problemställningarna och hur problemen följs upp i facit. • Boken är skriven för att kunna möta elever tidigt på gymnasiet, ja till och med drivna grundskoleelever, och samtidigt för att erbjuda utmaningar och värdefullt stoff för elever som knackar på dörren till högskolestudier. Begrepp från grundskolan är således fullt tillräckliga att ha med sig för att kunna börja förkovra sig i denna bok. Personligen anser jag det för övrigt bättre att elever på grundskolan som saknar utmaningar i matematikämnet arbetar med matematiska grunder, som denna bok behandlar, snarare än att de börjar läsa gymnasiekurser på egen hand. Huvudsyftet med boken är att lyfta fram delar av matematiken som jag upplever inte riktigt behandlas i kursböcker på framför allt gymnasiet, saker som är viktiga för fortsatta studier i ämnet. Skolmatematiken reduceras många gånger till att ta till sig begrepp i meningen att standard- och rutinmässiga problem kan hanteras. Men för att nå längre i sin utveckling i matematik måste man även ha och skapa förståelse för hur man förstår matematik. Detta innefattar förtrogenhet med matematikens grundläggande beståndsdelar – sats, bevis och definition. Elever kommer naturligtvis relativt tidigt i kontakt med dessa begrepp, men vad jag saknar i skollitteraturen är en orientering kring hur man ska ta till sig dessa storheter och hur de förhåller sig till varandra. Hur ska man exempelvis läsa en sats eller ett bevis, © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
5
9 april 2013 – sida 6 – # 6
förord
vad ska man ta fasta på ... ? En annan aspekt som jag vill lyfta fram med denna bok är hur arbete med skriftlig redovisning ger verktyg för att skapa förståelse i matematik. Det ställs i regel väldigt lite krav på elevers sätt att redovisa sina lösningar – ekvationer och uttryck rabblas gärna upp utan någon närmare förklaring gällande relationen mellan dem. Det finns en risk att en matematisk text uppfattas som något som endast ska betraktas, likt en tavla eller formler på ett formelblad, inte att den ska kunna läsas och följas. Att tänka innebär i någon mening att tala med sig själv, och jag tror därmed att det i ett lärandeperspektiv finns något att hämta i att arbeta mot fullständigare resonemang och god precision i formuleringarna. Mycket av matematikens själ ligger, vill jag påstå, i hur den uttrycks i text. Boken är orienterad mot problemlösning. Matematikens hörnstenar – sats, bevis, definition – behandlas i kontexten problemlösning. På detta sätt ges allmänna riktlinjer för hur man närmar sig en problemställning (och matematiskt stoff i allmänhet). I boken presenteras även områdesspecifika problemlösningsstrategier. Dessa verktyg kan vara av visst egenintresse, men en baktanke från min sida är att belysa matematikens underliggande strukturer genom det sätt som dessa arbetas fram. Jag har vigt ett kapitel åt riktlinjer för hur man strukturerar en matematisk text. Det är det matematiska arbetssättet – metodiken – som är i fokus i boken, snarare än det matematiska innehållet. Mina erfarenheter som ligger till grund för detta bokinitiativ är matematikundervisning på både gymnasiet och högskolan, samt forskningsverksamhet. Drivkrafterna bakom denna bok stannar inte bara vid mina betraktelser som lärare samt erfarenheter av att skriva matematiska arbeten. En motiverande faktor är även upplevelser från min egen skolgång, där det var först efter gymnasiet jag började förstå matematikens själ – att det var ett ämne som öppnar upp för kreativitet och ett ämne för mig. Slutligen, ett stort tack till min familj och mina elever som direkt eller indirekt påverkat innehållet i denna bok. Göteborg, 2013 Henrik Petersson
6
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
9 april 2013 – sida 7 – # 7
BOKENS UPPLÄGG
Inledningsvis, i kapitel 1, 2 och 3, berörs hörnstenar inom matematiken och samtidigt grunder för problemlösning – begreppen sats, bevis och definition. Att lösa problem innebär att genomföra bevis, och att förstå och utveckla problemställningar kräver förståelse kring satsbegreppet. Att ha kontakt med definitionen av de begrepp som ingår i en problemställning är inte bara nödvändigt för att förstå problemet, det pekar också många gånger ut en riktning i vilken problemet kan lösas. Olika områdesspecifika verktyg presenteras därefter i respektive områdeskapitel 4–6. Strategier och principer illustreras i Exempel. I slutet av de olika kapitlen finns även så kallade Problemexempel. Där exemplifieras inte bara belysta verktyg utan syftet här är att även lyfta fram arbetsgången vid problemlösning samt sätt att resonera kring metoderna när komplexiteten i problemen ökar. Efter olika avsnitt där metoder och principer belysts, förekommer ett fåtal Instuderingsuppgifter. Dessa ger läsaren möjlighet att bekanta sig med metoderna. Tanken är att det ska vara mer eller mindre uppenbart hur dessa uppgifter kan lösas utifrån de givna exemplen. Med dessa som grund kan läsaren sedan ta sig an Problemen, där problemställningarna är mer öppna. Problemen i problemdelen är av varierad svårighetsgrad, som det lämnas åt läsaren att identifiera (det hör ett problemlösningsarbete till). Ett facit avslutar varje kapitel. Ett bra problem kännetecknas av att det är rikt även då svaret är känt. Till vissa problem anges dock bara delar av svaret, dels för att ett givet svar bedöms kunna påverka problemarbetet, och dels av skälet att boken (problemen) ska kunna användas som ett examinerande underlag.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
7
9 april 2013 – sida 8 – # 8
bokens upplägg
I slutet av boken, i kapitel 7, presenteras riktlinjer för hur man redovisar en lösning på ett problem. Att detta kapitel avslutar boken betyder inte att det bör läsas sist, det kan behandlas närhelst då det är övergripande relevant. En rekommendation är att problemen i boken inte endast ägnas åt att lösas, utan att eleven/läsaren också arbetar med redovisningen av själva lösningsarbetet. Sammanfattningsvis: I kapitel 1–3 samt 7 behandlas allmänna riktlinjer och angreppssätt kopplat till problemlösning, medan kapitel 4–6 lyfter fram områdesspecifika verktyg. Här och var förekommer det asterisker ∗, både i exemplen och i den löpande texten. Dessa uppmanar läsaren till att reflektera över giltigheten över det resonemang som förs. Det kan exempelvis röra sig om en påstådd likhet, varför gäller likheten? Läsaren uppmanas med andra ord till aktiv läsning. Genom hela boken utgår vi från det reella talområdet. Detta innebär att då begreppet tal förekommer så syftar det till ett reellt tal, om inget annat anges. På sina ställen förtydligas dock denna utgångspunkt, exempelvis genom att det uttryckligen efterfrågas reella lösningar till ekvationer. Det kan slutligen vara värt att poängtera att boken skiljer sig från hur många läroböcker idag är utformade – ett inledande exempel följt av ett större antal rutinmässiga uppgifter, små variationer av exemplet. Här är det rutinmässiga nedtonat, texten och dess exempel pekar på grundläggande principer och tekniker som banar väg för en förförståelse, men det är i samspel med problemlösningsarbetet som texten lyfter. Läsaren bör vara införstådd med att problemen i regel tar tid, arbetet med ett och samma problem kan mycket väl behövas läggas åt sidan för att sedan återupptas.
8
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
9 april 2013 – sida 9 – # 9
LÄSANVISNING
Jag rekommenderar att kapitel 1 behandlas, eller åtminstone läses, inledningsvis. Kapitlet förtjänar att återbesökas, både under och mellan arbetet med övriga kapitel. Övriga kapitel står i huvudsak på egna ben, och kan därmed väsentligen läsas i valfri ordning. Kapitel 2 och 3 är således inte nödvändiga för att ta sig an senare delar, men en orientering i dessa kapitel berikar läsningen och underlättar problemlösningsarbetet i områdeskapitlen 4–6. Min rekommendation är med andra ord att arbetet med kapitel 4–6 sker i samspel med det som behandlas i kapitel 1–3. Vidare bör det sägas att vart och ett av kapitlen 4–6 på ett naturligt sätt kan delas upp i två delar, vilket möjliggör en kortare, eller inledande, något mer elementär kurs/läsning. Samtliga av dessa kapitel innehåller tre huvudsektioner, och kapitel 4 kan delas upp i Del 1: 4.1–2 och Del 2: 4.3. Kapitel 5 har en naturlig uppdelning i Del 1: 5.1 och Del 2: 5.2–3. Kapitel 6 kan slutligen delas upp i Del 1: 6.1–2 och Del 2: 6.3. Den inledande delen, Del 1, följs i varje kapitel av en separat problemdel. Den avslutande sektionen, problemexemplet, i vart och ett av dessa kapitel 4–6, kan med fördel studeras redan efter Del 1.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
9
9 april 2013 – sida 10 – # 10
KAPITEL 3
9 april 2013 – sida 31 – # 31
Definition
Vi har i tidigare kapitel pekat på vikten av att skilja på begreppen sats och definition vid exempelvis lösningen av ett problem. En sats är en utsaga vars sanningsvärde grundar sig på ett bevis, medan definitioner är utgångspunkter som därmed inte behöver verifieras. Definitioner och axiom är besläktade såtillvida att axiom anger, likt definitioner, förutsättningar som inte behöver bevisas. Definitioner talar om betydelsen av begrepp, medan axiom är av karaktären att de etablerar förutsättningar för existensen av ett matematiskt område. Vi har i kapitel 1 nämnt axiomet Välordningsprincipen (s. 13), som utgör en grundbult inom talteorin. När du står inför en problemställning, eller en sats, så är en lämplig första strategi (se även kapitel 1, s. 17) att reflektera över begreppen i problemformuleringen/satsen – hur definieras de? En sådan begreppsorientering är nödvändig för att förstå problemet eller satsen. √ Att försöka bevisa att p är ett irrationellt tal för varje primtal p, är ett hopplöst företag om inte begreppen primtal och irrationellt tal är klara. Å andra sidan är stora delar av problemet redan löst då vi skriver ned definitionen av dessa båda begrepp och sätter in det i sammanhanget (gör gärna det). Förståelse av begreppen i en problemställning är alltså inte bara nödvändigt för att förstå problemet, en orientering i begreppens innebörd pekar även många gånger ut en riktning i vilken problemet kan lösas. Att fördjupa sig i matematiken i allmänhet innebär att möta mängder av nya begrepp. Att utveckla en mer genuin förståelse av ett matematiskt område kräver att hela tiden ha kontakt med definitionen av aktuella begrepp, och med dessa som utgångspunkt bygga på med satser och räkneregler etc. Att kunna arbeta förutsättningslöst, eller bättre formulerat, att kunna ta till sig © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
31
9 april 2013 – sida 32 – # 32
3 definition
givna förutsättningar, är centralt för nå längre i sin kunskapsutveckling i matematik. En tjusning med matematikämnet är hur varje ny definition fungerar som en spelregel i ett samtidigt nytt äventyrsspel, äventyret att undersöka vad definitionen leder till. Det är detta professionella matematiker (forskare) väsentligen ägnar sig åt – man introducerar nya begrepp och med dessa som verktyg löser man gamla problem, eller upptäcker nya som man i bästa fall också kan lösa. På detta sätt är och förblir matematiken ett levande ämne. Det vi vill lyfta fram i detta avsnitt är betydelsen av att kunna arbeta utifrån definitioner, utifrån givna förutsättningar. Problemen i problemdelen nedan bygger just på att kunna dra slutsatser utifrån givna begrepp, som definierar förutsättningarna. Nyckeln är att hela tiden i lösningsarbetet ha kontakt med definitionen av problemställningens begrepp. Vi illustrerar först med ett par exempel. Exempel 3.1 För alla möjliga (reella) tal a och b definieras räkneregeln ∗ genom: a ∗ b = a ⋅ b − 1, där a ⋅ b = ab är vanlig multiplikation mellan a och b. Undersök om den associativa lagen a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c gäller för denna räkneregel. Vi ska alltså avgöra om a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c gäller för alla möjliga värden på a,b,c. För att kunna avgöra detta måste vi gå tillbaka till definitionen av ∗, vad betyder a ∗ (b ∗ c) respektive (a ∗ b) ∗ c? Om vi börjar med a ∗ (b ∗ c) så har vi: a ∗ (b ∗ c) = a(b ∗ c) − 1 = a(bc − 1) − 1 = abc − a − 1. På samma sätt följer det att: (a ∗ b) ∗ c = (a ∗ b)c − 1 = (ab − 1)c − 1 = abc − c − 1. För att den associativa lagen ska gälla måste alltså likheten abc − a − 1 = abc − c − 1 gälla för alla möjliga tal a,b,c. Men vi konstaterar att denna likhet gäller bara om a = c, varför den associativa lagen inte gäller. ∎
32
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
9 april 2013 – sida 33 – # 33
3 definition
Exempel 3.2 Ett reellt tal n kallas produktstabilt då n 2 − 1 = 3k för något heltal k. Visa att produkten av två produktstabila tal också är produktstabilt. Låt n och m vara produktstabila tal, vilka som helst. Enligt definitionen av ett produktstabilt tal, så gäller det att visa att det finns ett heltal k sådant att (nm)2 − 1 = 3k. För att kunna visa detta, måste vi gå tillbaka till vad vi vet om n och m. Eftersom dessa båda tal är produktstabila vet vi att n 2 − 1 = 3r och m 2 − 1 = 3s för några heltal r och s. Följaktligen är n 2 = 3r + 1 och m 2 = 3s + 1. Detta ger oss nu (nm)2 − 1 = n 2 m 2 − 1 = (3r + 1)(3s + 1) − 1 = 9rs + 3r + 3s. För att knyta ihop säcken måste vi verifiera att 9rs + 3r + 3s kan skrivas som 3k = 3 ⋅ heltal. Men vi har att 9rs + 3r + 3s = 3(3rs + r + s) = 3 ⋅ heltal, och vi har därmed bevisat att nm är produktstabilt. ∎ Notera hur lösningen, i de båda exemplen, ligger förhållandevis nära det vi redan, per definition, vet. Genom att formulera förutsättningarna, och vad vi vill komma fram till, så har vi lagt en god grund till att lösa problemet.
© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R
33
– matematisk metodik Matematisk verksamhet består i att formulera samt lösa problem. I den här boken behandlas matematiska grunder – såsom begreppen sats, bevis och definition – i kontexten problemlösning. På detta sätt ges allmänna riktlinjer för hur du närmar dig, löser och utvecklar en problemställning, och på samma gång, riktlinjer för hur du tar till dig matematiskt stoff i allmänhet. Områdesspecifika problemlösnings strategier arbetas fram inom områdena algebra, talteori och kombina torik, detta från satser, bevis, axiom och logiska principer. Materialet utgör ett självständigt kurs- och breddningsmaterial, där bokens problem på ett naturligt sätt kan tjäna som examinerande underlag. Materialet kan även användas som komplement till andra kurser, eller som givande läsning för den enskilde p roblemlösaren. Boken är skriven för att kunna möta elever förhållandevis tidigt i skol systemet, begrepp från grundskolan är fullt tillräckliga att ha med sig. Boken vänder sig främst till elever på gymnasienivå. Huvudsyftet med boken är att ge nycklar för kreativitet och för hur man tar till sig mate matik, och på så vis bana väg för fortsatta studier i ämnet, inte minst för högskolestudier.
| Problemlösningens grunder – matematisk metodik
Problemlösningens grunder
Henrik Petersson
Henrik Petersson är docent vid Chalmers tekniska högskola och tjänstgör som lektor i matematik på Hvitfeldtska gymnasiet i Göteborg, där han är verksam inom skolans spetsutbildning i matematik. Henrik har flera års erfarenhet av undervisning på både högskole- och gymnasienivå.
Problemlösningens grunder matematisk metodik
Art.nr 37703
Henrik Petersson www.studentlitteratur.se
978-91-44-09187-7_01_cover.indd 1
2013-04-09 12.50