9789140684264

Matematik

99

Formula

Formula

9

Formula är ett basläromedel i matematik för grundskolans årskurs 7–9.

Uppgifterna i Formula stimulerar till att upptäcka mönster, se samband och förstå begrepp, kring vilka eleven aktivt kan bygga upp sitt kunnande.

Aktiviteterna utvecklar förmågor och ger möjlighet till lärande i samspel med andra. Problemlösningssidorna och Tänk efter utvecklar problemlösningsstrategier. Diagnoser följs av individanpassad träning i olika spår.

Läromedlet omfattar för varje årskurs 7–9: • Elevwebb • Lärarwebb

99

Bo Sjöström har i många år arbetat med Matematik och lärande vid Malmö högskola och med konstruktion av nationella prov i matematik.

Petra Svensson är lärare på Rosengårdsskolan i Malmö.

ISBN: 978-91-40-68426-4

PETRA SVENSSON

Gert Mårtensson har mångårig erfarenhet från olika grundskolor i Malmö.

Matematik

BO SJÖSTRÖM

• Elevbok

GERT MÅRTENSSON

Läromedlet ingår i serien Prima – Prima Formula – Formula.

a l u m r Fo

ON RTENSS GERT MÅ

TRÖM BO SJÖS

N VENSSO PETRA S

9 789140 684264

40684264_f9_omslag.indd 1

2013-12-17 16:42

Formula Matematik

GERT MÅRTENSSON

BO SJÖSTRÖM

9

PETRA SVENSSON

I din hand håller du ett läromedel från Gleerups.

Gleerups författare är lärare med erfarenhet från klassrummet.

Lärare och elever hjälper till att utveckla våra produkter genom värdefulla synpunkter på både innehåll och form.

Vi förankrar våra produkter i skolan där de hör hemma.

Gleerups läromedel är alltid utvecklade i samarbete med dig!

Har du som användare frågor eller åsikter, kontakta oss gärna på telefon 040-20 98 00 eller via www.gleerups.se

Författare till detta läromedel är Gert Mårtensson med mångårig erfarenhet från olika grundskolor i Malmö, Bo Sjöström som arbetar med matematik och lärande vid Malmö högskola och Petra Svensson, lärare på Rosengårdsskolan, Malmö.

40684264_f9_01.indd 1

2013-12-17 16:14

Välkommen att arbeta med Formula Boken innehåller sju kapitel. De fem första kapitlen följer samma modell med G-spår, Spår 1 och Spår 2 som tidigare. I kapitel 6 repeterar du grunderna inför det nationella provet och i kapitel 7 fördjupar du dina kunskaper.

Kapitelmodell Varje kapitel inleds med en diskussionsbild som anknyter till kapitlets innehåll och en målbeskrivning som talar om vad vi hoppas att du kan när du arbetat med kapitlet.

G

Kapitlets innehåll består av: Innehåll i de gemensamma spåren

Aktiviteter hjälper dig att upptäcka och utveckla olika begrepp, metoder och samband.

Teorirutor beskriver begrepp eller ger förslag på metoder.

Uppgifter ökar din förståelse och din färdighet samt utvecklar din förmåga att lösa problem.

Problemlösning där du kan upptäcka och använda olika strategier.

Tänk efter med markering för de förmågor du speciellt kan utveckla.

P

B M R

Problemlösnings- Begrepps- Metodförmåga förmåga förmåga

Problemlösning 1 Tänk efter 1 Diagnos 1

1

2

K

Resonemang- Kommunikationsförmåga förmåga

G

Diagnoser ger dig en uppfattning om du uppnått målen i den gemensamma delen.

Spår 1 behandlar baskunskaperna i de gemensamma spåren.

Det tillkommer inga nya moment.

Spår 2 fördjupar och utvidgar det som tidigare behandlats.

Det är av mera utmanande karaktär.

Utmaningar kluriga uppgifter, som du kan försöka lösa när

som helst under året.

Problemlösning 2 Tänk efter 2 Diagnos 2

Kapiteldiagnos hjälper dig att se om du nått målen för hela

kapitlet.

Repetition omfattar och repeterar innehållet från kapitlets

två gemensamma spår. Det tillkommer inga nya moment.

1

2

Något extra är precis som Spår 2 fördjupande och av mera

utmanande karaktär.

Kapiteldiagnos

Kapitlet avslutas med en Sammanfattning.

Vi hoppas att boken ska hjälpa dig att förstå matematik i skolan och i din omgivning, att du ska känna att du kan, och att detta kan vara både nyttigt och roligt.

Repetition Något extra Sammanfattning

Författarna

40684264_f9_01.indd 3

2013-12-17 16:14

Innehåll

1 Stora och små tal

...............

5

G-spår 6 Spår 1 14 Spår 2 18 G-spår 20 Spår 1 35 Spår 2 40 Repetition 1 48 Något extra 1 50 Sammanfattning 1 52

5 Area och volym

2 Procent och sannolikhet

......

53

G-spår 54 Spår 1 70 Spår 2 78 G-spår 81 Spår 1 91 Spår 2 93 Repetition 2 100 Något extra 2 102 Sammanfattning 2 104

3 Funktioner och grafer

6 Inför NP

. . . . . . . . 105

4 Algebra och ekvationer

40684264_f9_01.indd 4

. . . . . . 145

. . . . . . . . . . . . . . . 199

G-spår 200 Spår 1 217 Spår 2 224 G-spår 227 Spår 1 235 Spår 2 238 Repetition 5 244 Något extra 5 246 Sammanfattning 5 248

1 2 3 4 5

G-spår 106 Spår 1 114 Spår 2 117 G-spår 119 Spår 1 131 Spår 2 134 Repetition 3 140 Något extra 3 142 Sammanfattning 3 144

G-spår 146 Spår 1 158 Spår 2 165 G-spår 171 Spår 1 182

Spår 2 186 Repetition 4 194 Något extra 4 196 Sammanfattning 4 198

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Tal och mönster 250 Bråk och procent 262 Geometri 274 Algebra och ekvationer 286 Statistik, sannolikhet och grafer

7 Mer för NP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Uttryck 312 Ekvationer 316 Uttryck med parenteser 319 Andragradsekvationer 323 Aritmetiska talföljder 327 Mönster och andragradsuttryck Skala 331 Funktioner och grafer 335 Fibonaccis talföljd 339 Pascals triangel 342 Läxor Facit

298

329

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Register

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

2013-12-17 16:14

h c o t n e c o Pr t e h k i l o n san

Mål:

40684264_f9_02.indd 53

2

kunna kapitel ska du ta et d ed m När vi arbetat beräkningar alet och göra tt n ce ro p a n • beräk et är känt när procenttal tenheter nt och procen ce ro p å p ja il • sk romille ningar med p äk er b a kl en ra • utfö gsfaktor med förändrin ar g in n äk er b • göra mt göra nolikheten sa • beräkna san är känd sannolikheten är n ar g in n äk ber

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Aktivitet 2:1

G

Kryssa rektanglar Ni behöver: En tärning och rutat papper.

A

Rita ett rutnät 5 x 2 rutor som på bilden. Kryssa 8 rutor.

Hur stor del av hela rektangeln är då förkryssad?

Svara i

1 bråkform

B

3 procentform

Rita ett rutnät 5 x 4 rutor som på bilden. Kryssa 8 rutor.

Hur stor del av hela rektangeln är då förkryssad?

Svara i

1 bråkform

C

2 decimalform

2 decimalform

3 procentform

Rita ett rutnät 10 x 4 rutor som på bilden.

Kryssa 8 rutor.

Hur stor del av hela rektangeln är då förkryssad?

Svara i

1 bråkform

2 decimalform

3 procentform

D Rita egna rutnät och kryssa ett antal rutor.

Byt rutnät med en kamrat och lös varandras uppgifter.

Svara i

1 bråkform

E

2 decimalform

3 procentform

Ni ska kasta en tärning 30 gånger och beräkna dels summan av de udda talen som tärningen visar och dels summan av de jämna talen.

1 Vilken av de båda summorna tror ni har störst chans att bli högst?

2 Gör era 30 kast och beräkna de två summorna.

3 Försök beräkna hur många procent summan av de udda talen respektive summan av de jämna talen är av antalet kast.

Diskutera resultatet.

4 Vilka odds tycker ni det är mellan summan av udda tal och summan av jämna tal?

54

40684264_f9_02.indd 54

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Bråkform, decimalform och procent

0

1 4 0,25

1 2 0,5

3 4 0,75

0

25 %

50 %

75 %

Bråkform

0

Decimalform Procentform

G 1 1 100 %

Hur många procent av figuren ar färgad?

2 25 1 = = 0,25 = 25 % = 8 100 4 25 % av figuren är färgad.

Skriv i procentform.

2001

a

2 10

b

20 100

c

2 100

d

2 1 000

2002

a

1 5

b

3 5

c

1 50

d

1 500

2003

a

3 25

b

3 20

c

3 200

d

3 250

2004

a

1 8

b

3 8

c

1 16

d

3 16

2005

a 0,30

2006

Hur många procent av figuren är

a röd

2007

b 0,3

d 0,025

b grön

Hur många procent motsvarar varje bit om en tårta skärs upp i

a 4 lika stora bitar

2008

c 0,03

b 8 lika stora bitar

c 16 lika stora bitar

Hur många procent av kvadraten är

a grön

b röd

c blå

55

40684264_f9_02.indd 55

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Procenttalet söks

G

En affär säljer en smartphone till ordinarie pris för 3 500 kr.

Under en rea sänks priset med 700 kr.

Med hur många procent sänks priset?

Ordinarie pris: 3 500 kr Prissänkning: 700 kr Prissänkning i procent:

700 7 7/7 1 = = = = 0,2 = 20 % 3 500 35 35 / 7 5

2009

Ordinarie pris på en vara är 2 000 kr. Du får 400 kr i rabatt.

Hur stor är rabatten i procent?

2010

Priset på en vara är 1 600 kr. På detta pris tillkommer moms med 400 kr.

Beräkna momsen uttryckt i procent.

2011

Carl undersökte studsen hos tre olika bollar.

Han släppte bollarna från en höjd på 2 m och mätte sedan hur högt bollarna studsade.

Bilden visar resultatet.

Hur många procent av fallhöjden 2 m studsade

a boll A

2012

b boll B

boll A boll B

boll C

100 cm

96 cm

120 cm

c boll C

Eleverna i en klass fick svara på frågan ”Vilken är din favoritsport?”

Resultatet blev så här: Fotboll

Handboll

Annan sport

Ingen sport

7

3

10

5

Hur många procent av

a alla eleverna hade fotboll som favoritsport b eleverna som valt sport hade fotboll som favoritsport

2013

a Hur många procent av hela rutnätet är orange? b Hur många procent av den färgade figuren är orange?

2014

Mässing är en blandning av koppar och zink.

Vilken blir kopparhalten i procent om man blandar 325 g koppar med 175 g zink?

56

40684264_f9_02.indd 56

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Priset för en flygresa höjdes från 2 700 kr till 3 600 kr.

Hur stor var höjningen i procent?

G

Prishöjning i kronor: 3 600 – 2 700 = 900 Prishöjning i procent: 900 9 9/9 1 = = = = 0,333... ~ 0,33 = 33 % 2 700 27 27 / 9 3

2015

Hur stor är rabatten i procent?

Avrunda vid behov till hela procent.

a

Köp 4 betala för 3

b

Köp 3 betala för 1

c

Köp 5 betala för 3

2016

Priset på en bussbiljett höjdes från 15 kr till 18 kr.

Beräkna höjningen i procent.

2017

Hur många procent rabatt ger T-shirt-erbjudandet?

2018

Du köper en moped för

Ord pris 80:-

b 3 600 kr och säljer den för 4 800 kr.

Hur stor är vinsten i procent?

1 000

2019

Beräkna rabatten i procent för det här erbjudandet.

2020

Priset på datorer har sjunkit.

En dator som år 2000 kostade 8 000 kr kan man idag köpa för 3 000 kr.

Med hur många procent har priset sjunkit?

Hur många procent rabatt ger erbjudandet?

IDAG:

2 st 96:-

a 4 800 kr och säljer den för 3 600 kr.

Hur stor är förlusten i procent?

2021

T-SHIRT

presentkort värda 500:-/st säljes för

400:-/st Köp 3 glas för 450 kr så får du det fjärde, värt 150 kr, på köpet 57

40684264_f9_02.indd 57

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Jämför med procent

G

En bussbiljett kostar för vuxna 20 kr och för ungdomar 16 kr. a Hur många procent dyrare är vuxenbiljetten än ungdomsbiljetten?

Dyrare i kr: 20 – 16 = 4 4 1 Dyrare i procent: = = 25 % 16 4 b Hur många procent billigare är ungdomsbiljetten än vuxenbiljetten?

Billigare i kr: 20 – 16 = 4 4 1 Billigare i procent: = = 20 % 20 5

2022

Hur många procent

a längre är den gröna sträckan jämfört med den röda

4 cm

b kortare är den röda sträckan jämfört med den gröna

2023

Hur många procent

5 cm

10 kr /

a billigare är de gröna äpplena än de röda

kg

15 kr /

kg

b dyrare är de röda äpplena än de gröna

2024

Hur många procent

a dyrare blir priset per plagg om du köper 2 st i stället för 5 st b billigare blir priset per plagg om du köper 5 st i stället för 2 st

2025

En bussresa kostar 20 kr utan rabattkort.

Ett rabattkort för 10 resor kostar 120 kr.

Hur många procent

a billigare blir en resa med rabattkort b dyrare blir en resa utan rabattkort

2 st valfria plagg

200 kr 5 st valfria plagg

400 kr

58

40684264_f9_02.indd 58

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Procenttalet är känt

G

Hur mycket är 40 % av 150 kr?

Carl:

Bella:

10 % av 150 kr =

1 % av 150 kr =

150 kr = 15 kr 10 40 % av 150 kr = 4 · 15 kr = 60 kr

Oskar:

2 1 40 % = av 150 kr = 30 kr 5 5 2 av 150 kr = 2 · 30 kr = 60 kr 5

2026

150 kr = 1,50 kr 100 40 % av 150 kr = 40 · 1,50 kr = 60 kr

Diba: 40 % = 0,40 0,40 · 150 kr = 60 kr

Hur många sekunder är

a 60 % av en minut

2027

Beräkna

a 40 % av 60

2028

2029

b 1 % av en timme

b 60 % av 40

c 80 % av 40

Vilket eller vilka uttryck visar 2 % av 400 kr?

2 400 0,2 400 A B 0,2 · 400 C 100 100

d 100 % av 40

D 0,02 · 400

Priset för en lägenhet steg med 5 %.

Beräkna ökningen i kronor för en lägenhet som kostade

a 800 000 kr

b 1,8 miljoner kr

2030

Normalsaltat smör innehåller 1,2 % salt och extrasaltat 1,8 %.

Hur mycket mer salt innehåller ett 500 g-paket extrasaltat smör än ett 500 g-paket normalsaltat?

2031

Carl och Sara sommarjobbar i en kiosk. Vardagar, måndag–fredag, är timlönen 80 kr. Under helger, lördag–söndag, är timlönen 50 % mer.

En vecka jobbar Carl och Sara 35 timmar vardera.

a Hur mycket tjänar Carl då 5 av hans 35 timmar är jobb under helgen? b Sara tjänar 3 200 kr. Hur många av hennes timmar är jobb under helgen?

59

40684264_f9_02.indd 59

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Förändringsfaktor

G

Prissänkning 100 % Gammalt pris En prissänkning med 40 % innebär att man får betala det 40 % 60 % gamla priset minus sänkningen.

Sänkning Nytt pris 100 % – 40 % = 60 % = 0,6.

Om det gamla priset för en bok är 150 kr blir det nya priset 0,6 · 150 kr = 90 kr.

Prishöjning 100 % Gammalt pris En prishöjning med 40 % innebär att man får betala det 140 % Nytt pris gamla priset plus höjningen.

100 % + 40 % = 140 % = 1,4 Om det gamla priset för en bok är 150 kr blir det nya priset 1,4 · 150 kr = 210 kr.

40 % Höjning

Talen 0,6 och 1,4 som man multiplicerar med kallas förändringsfaktorer.

Nya värdet = förändringsfaktorn · gamla värdet

2032

Vilken blir förändringsfaktorn om priset för en vara sänks med

a 30 %

2033

b 15 %

c 5%

d 0,5 %

b höjs med 20 %

En charterresa kostar 4 500 kr.

Vilket blir det nya priset om priset

a sänks med 20 %

2036

d 0,5 %

En dator kostar 7 500 kr.

Vilket blir det nya priset om priset

a sänks med 40 %

2035

c 5%

Vilken blir förändringsfaktorn om priset för en vara höjs med

a 30 %

2034

b 15 %

b höjs med 5 %

Williams månadslön är 18 000 kr. Lönen höjs med 4,5 %.

Hur stor blir Williams nya lön?

60

40684264_f9_02.indd 60

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Vid ett öppningserbjudande är priset för en iPad 3 000 kr.

Priset höjs därefter med 20 % för att sedan sänkas med 20 %. a Vilket är priset efter båda prisändringarna?

Pris efter höjningen: 1,2 · 3 000 kr (behöver inte beräknas nu) Pris efter sänkningen: 0,8 · 1,2 · 3 000 kr = 0,96 · 3 000 kr = 2 880 kr

G

0,96

b Hur många procent har priset ändrats efter båda prisändringarna?

Eftersom förändringsfaktorn är 0,96 betyder detta att priset sjunkit med 100 % – 96 % = 4 %

2037

Vad betyder de två förändringsfaktorerna?

a 0,9 · 1,2

2038

c 0,9 · 0,8

Vilken blir den totala höjningen eller sänkningen i procent efter dessa ändringar?

a 1,2 · 1,2

2039

b 1,1 · 1,1

b 1,5 · 0,5

c 2,0 · 0,5

En vara kostar 400 kr. Teckna med förändringsfaktorer och beräkna hur mycket varan kostar om priset

a först stiger med 20 % och sedan sjunker med 10 % · · 400 = · 400 = b först sjunker med 10 % och sedan stiger med 20 % · · 400 = · 400 =

2040

Priset för ett par jeans är 800 kr. Under en rea sänks priset först med 30 % och sedan med 20 %.

Hur mycket kostar jeansen efter andra sänkningen?

2041

En flygbiljett kostar 8 000 kr. Priset höjs först med 25 % och sedan med ytterligare 20 %.

Med hur många procent har priset höjts sammanlagt?

2042

En tv kostar 8 000 kr.

Priset höjs först med 25 % för att sedan sänkas med 20 %.

a Vilket blir priset efter båda prisändringarna? b Med hur många procent har det ursprungliga priset förändrats?

61

40684264_f9_02.indd 61

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Ränta

G

Avgiften som det kostar att låna pengar kallas ränta. Om du lånar pengar av banken får du betala ränta till banken och om du sätter in pengar på banken får banken betala ränta till dig.

Räntan beräknas efter en procentsats som kallas räntesats. Storleken på räntan beror förutom på lånets storlek och räntesats också på hur lång lånetiden är. Om inget annat sägs om tiden gäller ett år.

Exempel:

Ränta (kr):

2043

Du lånar 4 000 kr av banken till en räntesats av 8 %.

Efter ett halvår betalar du tillbaka lånet jämte ränta.

Hur mycket får du då betala?

0,08 4 000 = 160 2

Du lånar 6 000 kr till en räntesats av 8,5 %.

Hur stor blir räntan för

a ett helt år

2044

Att betala (kr): 4 000 + 160 = 4 160

b ett kvartal

Emma köper en säng som kostar 8 500 kr.

Hon betalar 20 % kontant och tar resten på avbetalning.

Emma får då betala 425 kr varje månad i 18 månader.

a Hur mycket får Emma betala sammanlagt för sängen? b Hur många procent dyrare blir det att köpa sängen på avbetalning än att betala den kontant?

2045

En postorderfirma erbjuder ett lån på 10 000 kr att betalas av med 560 kr varje månad i två år. Vilken räntesats gäller för lånet?

2046

Lucas fick ett år 360 kr i ränta på pengarna han hade insatta på ett bankkonto som gav 3 % i ränta.

Hur mycket pengar hade Lucas på kontot vid årets slut?

2047

SMS-lån går lätt och snabbt att få men till en hög ränta.

Hur stor blir

Betala 5 679 kr.

a månadsräntan b årsräntan

2048

Låna 5 000 kr i en månad.

Du sätter in 5 000 kr på ett bankkonto som ger dig 2 % i ränta.

Hur mycket har du på ditt konto efter

a ett år

b två år

c fem år

62

40684264_f9_02.indd 62

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Räkna med moms På nästan allt vi köper får vi betala en skatt till staten som kallas mervärdesskatt eller moms. Den vanligaste momsen är 25 % som vi får betala på de flesta varor och tjänster vi köper.

G

25 % +

pris utan moms + moms 25 % = pris med moms

= moms

pris med moms

pris utan moms 20 % – pris med moms

pris med moms – moms 20 % = pris utan moms

= moms pris utan moms

Pris utan moms · 1,25 = pris med moms Pris med moms · 0,8 = pris utan moms

2049

En dvd-spelare kostar utan moms 1 200 kr.

Hur mycket kostar den med moms?

2050

Kostnaden för dina mobilsamtal är en månad 180 kr utan moms.

Hur stor är kostnaden med moms?

2051

Du har köpt en cd som med moms kostar 90 kr.

Hur mycket har du betalat i moms?

2052

En dator kostar med moms 5 500 kr.

Hur mycket kostar datorn utan moms?

2053

På böcker och tidningar är momsen lägre än 25 %.

a Hur stor är momsen i procent på boken? b En tidning kostar 50 kr utan moms.

Hur mycket kostar den med moms?

2054

Flyga högt Kvitto Flyga högt 159:varav moms

9:-

Du har handlat mat för 336 kr varav momsen utgör 36 kr.

Hur stor är momsen i procent på mat?

63

40684264_f9_02.indd 63

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Det hela söks

G

En vara säljs med 15 % rabatt.

Vilket är ordinarie pris om du får 450 kr i rabatt?

15 % är 450 kr

1 % är

450 kr = 30 kr 15

100 % är 100 · 30 kr = 3 000 kr

Ordinarie pris för varan är 3 000 kr.

2055

Beräkna hur mycket 100 % är om

a 4 % är 160 kr

2056

b 40 % är 90 kr

c 4,5 % är 90 kr

Vilket är ordinarie pris om 30 % rabatt är

a 60 kr

b 300 kr

c 600 kr

2057

Adam säljer lotter för sitt basketlag.

När Adam sålt 70 lotter har han sålt 35 % av lotterna han ska sälja.

Hur många lotter ska Adam sälja sammanlagt?

2058

När Elias cyklat 21 km har han avverkat 70 % av sin cykeltur.

Hur långt har Elias kvar att cykla?

2059

Hur mycket kostar hundkorgen till ordinarie pris?

2060

Hundkorg 20 % rabatt NU 320 kr

I en park med gula och röda tulpaner är 2 100 gula och 40 % röda.

Hur många tulpaner är det sammanlagt i parken?

64

40684264_f9_02.indd 64

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Mer än 100 % 2061

Skriv i decimalform.

a 3%

2062

c 1,2

d2

G

b 0,2

b 100 %

c 150 %

d 200 %

Med hur många procent har priset höjts?

a

2065

d 300 %

Hur lång blir en 3 cm lång sträcka om längden ökar med

a 50 %

2064

c 130 %

Skriv som procent.

a 0,02

2063

b 30 %

500 kr

250 kr

b

750 kr

250 kr

Vad ska du multiplicera ett tal med om det ska bli

a 50 % större

b 100 % större

c 200 % större

2066

Utgå från kvadraten på bilden.

Hur många procent större area får en kvadrat vars sidor är dubbelt så långa?

2067

En vara som år 1950 kostade 25 kr kostar idag ca 125 kr.

Hur stor är prishöjningen i procent?

2068

En nyfödd kattunge vägde 90 g. Efter en månad vägde den 360 g och efter två månader var vikten 720 g.

Med hur många procent har kattungens vikt ökat när den är

(cm)

5,0

a en månad b två månader

65

40684264_f9_02.indd 65

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Procent och procentenheter

G

Om priset för en vara höjs från 8 kr till 10 kr är höjningen i kronor: 10 – 8 = 2

Om räntesatsen för ett lån höjs från 8 % till 10 % är höjningen i procentenheter: 10 – 8 = 2

Höjningen i procent: 2 1 = = 25 % 8 4

Höjningen i procent: 2 1 = = 25 % 8 4

Procentenheter är differensen av två procentsatser.

2069

Banken höjer räntesatsen för ett sparkonto från 4 % till 5 %.

Hur stor är räntehöjningen i

a procentenheter

2070

Banken sänker räntesatsen för ett sparkonto från 5 % till 4 %.

Hur stor är räntesänkningen i

a procentenheter

2071

b procent

Den 1 januari 2002 sänktes momsen för böcker från 25 % till 6 %.

Hur stor var sänkningen i

a procentenheter

2073

b procent

Vid en väljarundersökning ökade andelen väljare som var osäkra på vilket parti de skulle rösta på från 20 % till 25 %.

Hur stor var ökningen i

a procentenheter

2072

b procent

b procent

När man skulle välja representanter till elevrådet stod valet mellan Elena och Liam.

Elena fick 60 % av rösterna och Liam 40 %.

a Hur stor är differensen i procentenheter? b Hur många procent fler röster fick Elina jämfört med Liam? c Hur många procent färre röster fick Liam jämfört med Elina?

2074

När terminen startar består klass 9c av 10 flickor och 10 pojkar.

Efter en månad får klassen 3 nya flickor och 2 nya pojkar.

Med hur många procentenheter förändras då andelen

a flickor b pojkar 66

40684264_f9_02.indd 66

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Promille

G

Promille betyder tusendelar och skrivs med tecknet ‰.

1 = 0,001 = 0,1 % 1‰= 1 000 10 = 0,010 = 1 % 10 ‰ = 1 000 15 = 0,015 = 1,5 % 15 ‰ = 1 000 1,5 = 0,0015 = 0,15 % 1,5 ‰ = 1 000

2075

Skriv i decimalform.

a 2‰

2076

b 0,0005

b 40 ‰

b 0,3 %

c 4,5 ‰

d 0,4 ‰

c 0,03 %

d 0,003 %

b 1,5 ‰ av 6 000 kr

c 0,5 ‰ av 2 400 kr

b 7 kr av 2 000 kr

c 4 kr av 20 000 kr

Hur många promille är

a 3 kr av 500 kr

2081

d 0,5

Beräkna

a 2 ‰ av 3 000 kr

2080

c 0,05

Skriv som promille.

a 3%

2079

d 0,2 ‰

Skriv som procent.

a 400 ‰

2078

c 2,5 ‰

Skriv som promille.

a 0,005

2077

b 20 ‰

Hur mycket salt finns det i 10 kg (~ 10 l) vatten från

a norra Östersjön (Bottenviken) där salthalten är 3 ‰ b södra Östersjön där salthalten är 10 ‰

2082

Sverige har ca 10 miljoner invånare och hela världen ca 6 miljarder.

Hur många promille av hela världens befolkning utgör Sveriges invånare?

67

40684264_f9_02.indd 67

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Problemlösning 2:1

G

P1

I en fruktkorg finns 9 äpplen och 1 päron.

a Hur många procent av frukterna utgör äpplena? b Hur många äpplen får man ta bort om andelen äpplen ska minskas till 80 %?

P2

Ge exempel på tal som kan stå i rutorna.

10 % av

P3

+ 20 % av

= 250

Punkterna A och B är mittpunkter på kvadratens sidor.

Hur många procent av kvadraten utgör den blå triangeln?

A

B

P4

Visa att den gula cirkeln utgör 50 % av den röda halvcirkeln.

P5

Både Elias och Viktor har en lina med vimplar.

Elias har 50 % blå, 35 % röda, 10 % gula och 5 % gröna vimplar.

Viktor har 40 % blå, 32 % röda, 20 % gula och 8 % gröna vimplar.

a Vilket är det minsta antal vimplar som Elias och Viktor kan ha? b Vem har då flest röda flaggor?

P6

Värdet av en summa pengar, t.ex. 100 kr, kan antingen öka eller minska med 10 % varje år. Undersök om det tar lika många år för summan att fördubblas som att halveras.

P7

Syskonen Kim, Linn och Sam har sparat pengar för att kunna köpa en hundvalp. Kim har sparat ihop till 50 % av vad hunden kostar och Linn till 40 % av det som är kvar att betala. Sam betalar 2 400 kr som är beloppet som saknas för att köpa valpen.

Hur mycket kostar hundvalpen?

68

40684264_f9_02.indd 68

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Tänk efter 2:1

T1

En affär sänker priset för en vara med 50 % och kort därefter med ytterligare 50 %. Förklara om kunden har rätt som påstår att varan nu är gratis.

P

B M R

K

Alva har köpt en mp3-spelare för 800 kr. För ett år sedan var priset 400 kr högre. Alva säger att priset nu är 50 % lägre än för ett år sedan. Förklara om Alva rätt eller fel.

P

B M R

K

Elias vill sänka momsen med 30 %. Ebba säger att det går ju inte eftersom momsen bara är 25 %.

Vad säger du?

P

B M R

K

T4

Förklara skillnaden mellan procent och procentenheter.

P

B M R

K

T5

Ett matteprov bestod av endast två uppgifter. 70 % av eleverna i klassen löste uppgift 1 och 60 % av eleverna löste uppgift 2. 9 elever löste både uppgift 1 och uppgift 2.

Hur många elever var det i klassen?

P

B M R

K

T2

T3

G

Diagnos 2:1

D1 Hur många procent av rutorna är a röda

b blå

c gula och blå

D2 I 9a går 30 elever och i 9b 24 elever.

Hur många procent

a fler elever går i 9a jämfört med i 9b b färre elever går i 9b jämfört med i 9a

D3 En tv kostar 7 200 kr.

Priset sänks med 15 %.

Hur mycket kostar tv:n efter sänkningen?

D4 Vilken är förändringsfaktorn om priset på en vara

a sänks med 20 %

b höjs med 20 %

D5 Räntesatsen på ett konto höjdes från 2 % till 3 %.

Hur stor var höjningen uttryckt i

a procentenheter

b procent 69

40684264_f9_02.indd 69

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Procenttalet söks Hur många procent av rutorna är

a röda

b gula

c blå

4 1 = = 0,5 = 50 % 8 2 3 b Gula rutor: = 0,375 = 37,5 % 8 1 c Blå ruta: = 0,125 = 12,5 % 8 a Röda rutor:

1

2083

Hur många procent av rutnätet är grönt?

a

2084

b

Hur många procent av den liksidiga triangeln är

a grön

2085

b gul

Hur många procent är

a 25 kr av 125 kr

b 30 kr av 50 kr

c 50 kr av 150 kr

2086

Emma får 150 kr i rabatt på en tröja som kostar 750 kr.

Hur stor är rabatten i procent?

2087

Med hur många procent

a ökar arean av rutnätet om du lägger till 5 rutor b minskar arean av rutnätet om du tar bort 4 rutor

2088

Spolvätskan i en vindrutespolare är en blandning av 0,5 liter koncentrerad spolvätska och 1,5 liter vatten.

Hur många procent av spolvätskan utgörs av vatten?

2089

Du löser 20 g socker i 180 g vatten.

Vilken sockerhalt i procent får lösningen?

2090

Skriv som procent

a 0,30

b 0,3

c 0,03

d 0,003

70

40684264_f9_02.indd 70

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Priset på en mountainbike sänks från 9 000 kr till 6 000 kr.

Beräkna sänkningen i procent.

Sänkning i kronor: 9 000 – 6 000 = 3 000 3 000 1 Sänkning i procent: = ~ 0,33 = 33 % 9 000 3

2091

a 12 kr till 15 kr

2092

1

Beräkna höjningen i procent om priset höjs från

b 50 kr till 75 kr

c 800 kr till 1 000 kr

Beräkna sänkningen i procent om priset sänks från

a 15 kr till 12 kr

b 75 kr till 50 kr

2093

Priset på en tv sänks från 8 000 kr till 6 000 kr.

Med hur många procent sänks priset?

2094

Hur många procent rabatt ger erbjudandet?

2095

Sedan Emma börjat träna cykling har hon sänkt sin vilopuls från 60 till 48.

Med hur många procent har Emma sänkt sin vilopuls?

c 1 000 kr till 800 kr

KÖP 5 DVD Betala för 3

2096

Hur många procent större blir rektangelns area om både längd och bredd ökar med 1 m?

2097

År 2011 var medellivslängden för kvinnor 84 år och för män 80 år.

Hur många procent högre medellivslängd hade kvinnorna än männen?

2098

Inträdet till en djurpark höjs från 80 kr till 110 kr.

Med hur många procent höjs priset?

(m)

3

4

71

40684264_f9_02.indd 71

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Jämför med procent Alva har sparat 150 kr och Ebba 120 kr. a Hur många procent mer har Alva sparat jämfört med Ebba?

1

Skillnad i kronor: 150 – 120 = 30 30 3 1 Skillnad i procent: = = = 25 % 120 12 4 b Hur många procent mindre har Ebba sparat jämfört med Alva?

Skillnad i kronor: 150 – 120 = 30 30 3 1 Skillnad i procent: = = = 20 % 150 15 5

2099

Hur många procent a mindre är arean av rektangel A än arean av rektangel B b större är arean av rektangel B än arean av rektangel A

2100

A

B

Ett paket kaffe kostar 50 kr i affär A och 40 kr i affär B. Hur många procent a billigare är kaffet i affär B jämfört med i affär A b dyrare är kaffet i affär A jämfört med i affär B

2101

Hur många procent a billigare är bananerna än mandarinerna b dyrare är mandarinerna än bananerna

2102

15 kr /kg 20 kr /kg

Hur många procent a fler orange rutor finns det än gula rutor b färre gula rutor finns det än orange rutor

2103

Under en vecka fick Adam 20 sms och Oscar 15 sms.

Hur många procent a fler sms fick Adam jämfört med Oskar b färre sms fick Oscar jämfört med Adam

72

40684264_f9_02.indd 72

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Procenttalet är känt En vattenmelon innehåller ca 90 % vatten.

Hur mycket vatten finns det i en vattenmelon som väger 3 kg?

Alva:

3 1 % av 3 kg = kg = 0,03 kg 100 90 % av 3 kg = 90 · 0,03 kg = 2,7 kg

Ebba: 90 % = 0,9

1

0,9 · 3 kg = 2,7 kg

Beräkna

2104

a 5 % av 600 kr

b 15 % av 1 200 kr

c 75 % av 1 600 kr

2105

a 2 % av 200 kr

b 2,5 % av 200 kr

c 0,2 % av 200 kr

2106

Päron innehåller ca 85 % vatten.

Hur mycket vatten finns det i ett päron som väger 200 g?

2107

På en minigolfbana är banrekordet 25 slag.

Hur många slag får du högst slå på en runda om du vill ha

Minigolfmärke Brons = dubbla banrekordet Silver = banrekordet + 60 % av detta Guld = banrekordet + 40 % av detta

a bronsmärket b silvermärket c guldmärket

2108

Euromyntet 50 cent är gjort av en legering som kallas nordiskt guld och består av 89 % koppar, 5 % aluminium, 5 % zink och 1 % tenn.

a Hur mycket tenn har det gått åt att tillverka 50-centsmynt som har ett värde av 50 euro? b Hur mycket zink har det gått åt att tillverka 50-centsmynt som har ett värde av 100 euro?

2109

Vikt 7,8 g 1 euro = 100 cent

En bok kostar 200 kr. Vid en bokrea får man 30 % rabatt.

Sista readagen sänks reapriset med ytterligare 20 %.

a Vad kostar boken efter första sänkningen? b Vad kostar boken efter andra sänkningen? c Med hur många procent har priset totalt sänkts?

73

40684264_f9_02.indd 73

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Mer än 100 %

1

Höjning 50 %

Höjning 100 %

Nytt pris: 1,5 · 200 kr = 300 kr

Nytt pris: 2 · 200 kr = 400 kr

Höjning 150 %

Höjning 200 %

Nytt pris: 2,5 · 200 kr = 500 kr

Nytt pris: 3 · 200 kr = 600 kr

2110

Skriv som procent.

a 0,02

2111

d2

b 60 %

c 160 %

d 600 %

Hur många procent är

a 20 kr av 25 kr

2113

c 1,2

Skriv i decimalform.

a 6%

2112

b 0,2

b 25 kr av 20 kr

Rita ett rutnät som är

a 50 % större än rutnätet på bilden b 100 % större än rutnätet på bilden c 150 % större än rutnätet på bilden

2114

Vilket blir det nya priset om 600 kr höjs med

a 50 %

2115

b 100 %

c 150 %

d 200 %

Hur många procent höjs priset om det höjs från 800 kr till

a 1 200 kr

b 1 600 kr

c 2 400 kr

d 3 600 kr

74

40684264_f9_02.indd 74

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Det hela söks Priset på ett par jeans sänks med 25 % och kostar nu 600 kr.

Vilket är ordinarie pris för jeansen?

En sänkning med 25 % betyder att man betalar 75 % av ordinarie pris som är 100 %.

1

600 kr 600 kr = 200 kr 25 % 3 100 % = 4 · 200 kr = 800 kr 75 %

Ordinarie pris är 800 kr.

2116

En tröja säljs med 30 % rabatt. Rabatten är 150 kr.

a Vilket är det ursprungliga priset?

b Vilket är priset efter rabatt?

2117

John sparar till en ny cykel. Han har redan sparat 750 kr vilket är 20 % av vad cykeln kostar.

Hur mycket kostar cykeln John tänkt köpa?

2118

Vilket är ordinarie priset för jeansjackan?

2119

I en klass är en flicka och två pojkar vänsterhänta vilket motsvarar 10 % av klassens elever.

Hur många elever är det i klassen?

2120

Vid en äppelodling fick man ett år kassera 8 % av skörden vilket motsvarade 200 kg.

Hur stor var hela skörden det här året?

2121

En dvd-skiva säljs med 20 % rabatt för 84 kr.

Vad kostar skivan till ordinarie pris?

2122

På en chipspåse står ”Nu 25 % mer”.

Chipsen i påsen väger nu 200 g.

Hur mycket chips innehöll påsen från början?

JEANSJACKA 20 % RABATT NU 1 200 KR

75

40684264_f9_02.indd 75

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Förändringsfaktor Om priset på en vara sänks med 10 % får man det nya priset genom att multiplicera det gamla priset med 0,90 (100 % – 10 %).

Om priset på en vara höjs med 10 % får man det nya priset genom att multiplicera det gamla priset med 1,10 (100 % + 10 %).

1

Talen 0,90 och 1,10 kallas förändringsfaktorer.

En vara kostar 120 kr. Priset sänks med 20 %.

Hur mycket kostar varan efter prissänkningen?

En prissänkning med 20 % innebär att man betalar 80 %.

Nytt pris 0,80 · 120 kr = 96 kr En vara kostar 120 kr. Priset höjs med 20 %.

Hur mycket kostar varan efter prishöjningen?

En prishöjning med 20 % innebär att man betalar 120 %.

Nytt pris 1,20 · 120 kr = 144 kr

2123

Vilken är förändringsfaktorn om priset på en vara

a sänks med 30 % b sänks med 3 % c höjs med 30 % d höjs med 3 %

2124

Vilken är förändringsfaktorn om ett värde höjs med

a 100 %

2125

b 200 %

En vara kostar 500 kr. Med hur många procent har priset sänkts eller höjts om det nya priset fås genom uträkningen

a 1,25 · 500 kr

2126

b 0,85 · 500 kr

c 1,05 · 500 kr

Vad kostar joggingskorna om priset

a sänks med 40 %

2127

c 250 %

400 kr

? kr +10 %

650:–

b höjs med 40 %

–10 %

? kr

Priset för en vara höjs först med 10 % och sänks därefter med 10 %.

a Vilket blir priset efter första prisändringen? b Vilket blir priset efter andra prisändringen? c Med hur många procent ändras priset efter båda prisändringarna?

76

40684264_f9_02.indd 76

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Procentenheter och promille Vid en röstning om vem som var matchens lirare fick Hanna 60 % av rösterna och Maja 40 %. a Hur stor var skillnaden i procentenheter?

60 % – 40 % = 20 procentenheter b Hur många procent fler röster fick Hanna än Maja?

20 2 1 = = = 0,5 = 50 % 40 4 2

2128

1

Smör har en fetthalt på 80 % medan fetthalten i Lätta är 28 %.

a Hur stor är skillnaden i procentenheter? b Hur många procent lägre fetthalt har Lätta jämfört med Smör?

2129

År 1996 sänktes momsen på livsmedel från 25 % till nuvarande 12 %.

a Hur stor var sänkningen i procentenheter? b Hur stor var sänkningen i procent?

2130

Promille betyder tusendelar och skrivs med tecknet ‰.

Skriv som promille

a 0,002

2131

b 5,5 ‰

d 0,2

c 50 ‰

d 500 ‰

Beräkna

a 4 ‰ av 6 000 kr

2133

c 0,02

Skriv i decimalform.

a 5‰

2132

b 0,0025

b 4,5 ‰ av 6 000 kr

c 0,4 ‰ av 6 000 kr

b 10 kr av 2 000 kr

c 5 kr av 20 000 kr

Hur många promille är

a 5 kr av 1 000 kr

77

40684264_f9_02.indd 77

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Procentuella förändringar 2134

Priset på en vara är p kr.

Vilken är den procentuella förändringen av priset efter de här förändringarna?

a 1,2 · 1,2 · p

2135

b 0,8 · 0,8 · p

c 1,2 · 0,8 · p

Priset på en vara är p kr.

Skriv ett uttryck för priset efter de här förändringarna.

a Först en höjning med 40 % och därefter en sänkning med 40 % b Först en höjning med 50 % och därefter en ny höjning med 150 % c Först en höjning med 300 % och därefter en sänkning med 99 % d Med hur många procent sänks priset på varan i c-uppgiften?

2

2136

En vara kostar p kr. Hur mycket kostar varan om priset

a först stiger med 25 % och sedan sjunker med 20 % b först sjunker med 20 % och sedan stiger med 25 % c Förklara resultaten i a- och b-uppgiften d I uppgift a såg du att 1,25 · 0,8 · p = p. Vilka andra förändringsfaktorer kan stå i rutorna så att värdet p blir oförändrat? · ·p=p

2137

Både längd och bredd ska ökas med 20 % i en rektangulär hästhage.

Med hur många procent kommer

a staketets längd att öka b hagens area att öka

2138

+40 %

Vilken väg ger

a störst slutvärde

100 kr

A

+60 %

b minst slutvärde +30 %

B +20 %

C

+20 %

+30 %

D

+40 %

E

? kr

+50 %

78

40684264_f9_02.indd 78

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Du har 500 kr på ett bankkonto som ger 4 % i ränta. Till vilket belopp har dina pengar vuxit efter 5 år om räntesatsen förblir densamma?

Kapital efter 1 år: 1,04 · 500 kr Kapital efter 2 år: 1,04 · 1,04 · 500 kr = 1,042 · 500 kr Kapital efter 5 år: 1,045 · 500 kr ~ 608,33 kr På miniräknaren kan du beräkna 1,045 så här: 1,04

x

=

=

=

=

eller 1,04

xy

5

=

Använd miniräknare och avrunda i svaren på lämpligt sätt.

2139

Med hur många procent har en summa pengar ökat eller minskat i värde om förändringen räknas ut så här

a 1,43

2140

b fem år

2144

c tio år

b två år

c fem år

Du sätter in 100 kr på ett bankkonto som ger 4 % i ränta.

Efter hur många år har beloppet med oförändrad räntesats vuxit till minst

a 120 kr

2143

2

En bil kostade 160 000 kr i inköp.

Bilens värde minskar med 10 % varje år. Hur mycket är bilen värd efter

a ett år

2142

c 0,83

Du sätter in 1 000 kr på ett bankkonto som ger 5 % i ränta.

Hur mycket pengar har du på ditt bankkonto, om räntesatsen förblir densamma, efter

a ett år

2141

b 1,253

b 150 kr

Banken har två olika sparkonton.

Hur mycket tjänar du på att välja kapitalkonto i stället för sparkonto om du låter 500 kr stå inne på kontot i fem år med oförändrade räntesatser?

c 200 kr

Sparkonto 3% Kapitalkonto 4 %

År 2011 hade Kina 1,34 · 109 invånare och Indien 1,24 · 109 invånare.

Befolkningstillväxten per år beräknas vara 0,5 % i Kina och 1,5 % i Indien.

Hur många invånare beräknas

a Kina ha år 2020

b Indien ha år 2020 79

40684264_f9_02.indd 79

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Så här kan du beräkna en procentuell förändring med hjälp av förändringsfaktorn.

Ett pris höjs från 200 kr till 250 kr.

Det nya priset 250 = = 1,25 = 125 % Det gamla priset 200

Det gamla priset har höjts från 100 % till 125 % – en höjning med 25 %.

Ett pris sänks från 250 kr till 200 kr.

Det nya priset 200 = = 0,80 = 80 % Det gamla priset 250

2145

2

Det gamla priset har sänkts från 100 % till 80 % – en sänkning med 20 %

Hur stor är den procentuella ändringen om förändringsfaktorn är

a 1,4

b 1,04

c 0,6

d 0,94

2146

Vikten på ett nyfött föl ökade på en vecka från 40 kg till 52 kg.

Med hur många procent ökade vikten?

2147

Anna förbättrade det senaste året sitt rekord i längdhopp från 400 cm till 460 cm.

Hur stor var förbättringen i procent?

2148

En sommar hade Kiruna 240 soltimmar i juli månad och Lund 200.

Hur många procent

a fler soltimmar hade Kiruna jämfört med Lund b färre soltimmar hade Lund jämfört med Kiruna

2149

Priset på en mountainbike sänktes från 5 400 kr till 4 800 kr.

Hur stor var sänkningen i procent?

2150

Ett vanligt brevporto som i dag kostar 6 kr kostade 1954 endast 25 öre.

Hur stor är den procentuella höjningen?

80

40684264_f9_02.indd 80

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Aktivitet 2:2 Sannolika summor

G

Ni behöver: Två tärningar.

Summa

1

2

3

4

5

x 6

7

8

9

10

11

12

A

Var och en av er ritar upp en liknande spelplan som ovan och ritar ut 20 cirklar för de summor ni tror att tärningarna kommer att visa när ni kastar tärningarna 20 gånger.

B

Turas om att kasta de två tärningarna. Sätt ett kryss i cirklarna när tärningarna visar summor som du ritat cirklar för. Om tärningarna hamnar som på bilden (2 + 4) sätter du ett kryss i cirkeln för summan 6.

Vinnare är den som har flest cirklar med kryss efter 20 kast.

Diskutera hur ni skulle placera cirklarna om ni skulle göra om försöket.

C

Välj eller lotta ut var sin av summorna S och T. S-summor: 5, 6, 7, 8, 9 T-summor: 2, 3, 4 och 10, 11, 12

Alternativ Avprickning

Frekvens

S T

Gör en tabell där ni prickar av när summan hamnar i alternativ S eller i T. Kasta tärningarna 36 gånger och se vilket alternativ som får högst frekvens.

D Välj eller lotta ut var sin av summorna U och V. U-summor: 5, 6, 7, 8 V-summor: 2, 3, 4 och 9, 10, 11, 12

Alternativ Avprickning

Frekvens

U V

Kasta tärningarna 36 gånger och se vilket alternativ som får högst frekvens den här gången.

E

Rita upp en likadan spelplan som ni gjorde i A ovan. Denna gång ritar ni ut 36 cirklar för de summor ni tror tärningarna kommer att visa när ni kastat 36 gånger. Vinnare är den som har flest cirklar ifyllda efter 36 kast.

F

Diskutera hur många gånger de olika summorna 2–12 skulle komma upp om ni kastar 360 (3 600) gånger.

81

40684264_f9_02.indd 81

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Sannolikhet

G

När du kastar en vanlig tärning kan det bli sex olika resultat.

Man säger att det finns sex möjliga utfall.

De sex utfallen har lika stor möjlighet att inträffa under förutsättning att tärningen inte är falsk. Det betyder att om vi gör många kast med tärningen bör en sjättedel av kasten bli en sexa och fem sjättedelar något annat än en sexa. Sannolikheten för de olika utfallen kan skrivas: 1 5 P(6) = ~ 0,17 = 17 % P(1, 2, 3, 4 eller 5) = ~ 0,83 = 83 % 6 6 Bokstaven P kommer av det latinska ordet för sannolikhet, probabilitas.

Jämför med det engelska ordet för sannolikhet, probability.

Sannolikheten för ett utfall kan anges i bråkform, decimalform eller procentform, men vanligast är att den anges i bråkform eller procentform.

Summan av sannolikheterna för de olika tänkbara utfallen är 1.

1 5 6 I detta exempel gäller + = = 1.

6 6 6

I uppgifterna 2151 och 2153–2156 ska du svara både i bråkform, decimalform och procentform.

2151

Du kastar en vanlig 6-sidig tärning.

Hur stor är

a sannolikheten att du får en fyra, femma eller sexa b sannolikheten att du får en femma eller sexa c sannolikheten att du får ett värde mindre än 5 d summan av sannolikheterna i uppgift b och c

2152

a Ungefär hur många sexor bör du få om du kastar tärningen 6 000 gånger? b Ungefär hur många sexor bör du få om du kastar tärningen 1 000 gånger? c Ungefär hur många sexor bör du få om du kastar tärningen 10 000 gånger? d Du har kastat tärningen 6 gånger och inte fått en enda sexa.

Hur stor är sannolikheten att du får en sexa i ditt sjunde kast?

82

40684264_f9_02.indd 82

2013-12-17 16:17

2

2153

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Sanna tar på måfå en kula i skålen.

a Hur stor är sannolikheten att kulan är gul?

G

b Sanna lägger inte tillbaka den gula kulan, och tar en ny kula.

Hur stor är sannolikheten att den är gul?

2154

Chokladhjulet kan stanna på 20 olika nummer.

Du satsar på nummer 9.

Vilken är sannolikheten att du

a vinner

2155

b förlorar

Oskar satsar på 7, 11, 13 och 17.

Vilken är sannolikheten att han

a vinner

2156

b förlorar

I en påse finns alla bokstäverna som bildar ordet D E C E M B E R.

D

E

C

E

M

B

E

R

Hur stor är sannolikheten att den bokstav du tar upp är

a ett C

2157

b ett E

c en annan bokstav än C och E

En kortlek har 52 kort jämnt fördelade på ”färgerna” klöver, ruter, hjärter och spader. Du drar på måfå ett kort ur kortleken.

Hur stor är sannolikheten att kortet är

a ett klöver eller spader b ett ruter c ett ess d knekt, dam eller kung

2158

I tabellen ser du antalet lotter med olika färger.

Lotterna ligger i en påse.

Hur stor är sannolikheten att den lott du tar upp är

a blå

2159

b röd

c grön eller gul

Färg

Antal

Blå

10

Gul

40

Röd

70

Grön

80

Elias och Lucas kastar tärning om vem som ska få gratisbiljett till en konsert. Elias får alla jämna tal som tärningen visar och Lucas alla udda.

Vinnare blir den som efter lika många kast först får summan 30 eller mer.

Vem tror du vinner? Förklara.

83

40684264_f9_02.indd 83

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Sannolikheten för två händelser

G

Vi snurrar båda hjulen. För att lättare kunna beräkna sannolikheten för alla utfall av summan som kan inträffa gör vi upp en tabell De fyra utfallen är: 1+3=4

1+4=5

2+3=5

2+4=6

Hjul 1

Hjul 2 Hjul 1

Vi ser då att t.ex.

1 P(summa 4): = 0,25 4 2 1 = 0,5 P(summa 5): = 4 2

Hjul 2

+

1

2

3

4

5

4

5

6

I uppgift 2160–2166 behöver du bara svara i bråkform.

2160 +

1

1

2

2

3

2 3

Du snurrar på båda hjulen och beräknar summan av talen som pilarna visar på. Gör färdigt tabellen.

Hur stor är sannolikheten för att summan av talen som pilarna visar på är

a 6

2161

b5

c 4

d 2 eller 3

Du snurrar på båda hjulen.

Hur stor är sannolikheten för att summan av talen som pilarna visar på är

a 8 b5 c 4 eller 6 d Sanna har i en uppgift beräknat sannolikheten för en viss summa och fått svaret 1/8.

Hur kan uppgiften lyda?

84

40684264_f9_02.indd 84

2013-12-17 16:17

2

2162

Vid kast med två tärningar kan man få 36 olika utfall när man beräknar summan av tärningarnas prickar. Gör färdigt tabellen.

Beräkna sannolikheten för att summan ska bli

PROCENT OCH SANNOLIKHET

+ 2

2

3

3

4

5

6

7

4

5

6

3

G

4

a 12

5

b7

6

c mindre än 7

7

2163

Hur stor är sannolikheten enligt tabellen i föregående uppgift att summan av prickarna

a blir 5, 6, 7, 8 eller 9 b inte blir 5, 6, 7, 8 eller 9 c blir 5, 6, 7 eller 8 d inte blir 5, 6, 7 eller 8

2164

Du kastar en blå och en röd 6-sidig tärning.

Hur stor är sannolikheten att

a att tärningarna visar samma antal prickar b den blå tärningen visar fler prickar än den röda c den röda tärningen visar fler prickar än den blå

2165

Du kastar två vanliga 6-sidiga tärningar.

Hur stor är sannolikheten att summan av prickarna blir

a större än 7

2166

b mindre än 7

Du kastar två tärningar och bildar produkten av talen som prickarna visar. Gör färdigt tabellen.

Beräkna sannolikheten för att produkten blir

c7

· 1

3

b 30

4

d ett udda tal e ett kvadrattal (1, 4, 9, 16, 25 eller 36)

3

2

3

2

a 36 c 6 eller 8

2

5 6 85

40684264_f9_02.indd 85

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Träddiagram

G

För att få med alla tänkbara utfall för en upprepad händelse har man ofta hjälp av att rita ett träddiagram. Träddiagrammet nedan visar sannolikhetsfördelningen av flickor och pojkar i familjer med upp till tre barn.

Ur diagrammet får vi följande möjliga utfall.

Enbarnsfamiljen: f eller p Tvåbarnsfamiljen: ff, fp, pf eller pp Trebarnsfamiljen: fff, ffp, fpf, fpp, pff, pfp, ppf, ppp

första barnet

andra barnet

tredje barnet

p

f

f

f

p

f p

f

p

f

p p

f

p

Om vi räknar med att sannolikheten att föda en flicka och en pojke är lika, 1 dvs. = 0,5 får vi bl.a. följande sannolikheter: 2 1 Två pojkar (pp) i en tvåbarnsfamilj: = 0,25 = 25 % 4 2 1 Olika kön (fp, pf) i en tvåbarnsfamilj: = = 0,5 = 50 % 4 2 1 Tre flickor (fff) i en trebarnsfamilj: = 0,125 = 12,5 % 8

2167

Du singlar slant med en 1-krona.

Hur stor är sannolikheten att du

a får krona två gånger i rad b vid två kast får olika c får krona tre gånger i rad d inte får krona tre gånger i rad

2168

Du har fått krona tre gånger i rad när du kastat en 1-krona.

Hur stor är sannolikheten att du får krona i fjärde kastet?

klave

krona

86

40684264_f9_02.indd 86

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

I uppgifterna 2169–2174 behöver du bara svara i bråkform.

2169

G

En plastslant är blå på ena sidan och röd på andra sidan.

Du kastar plastslanten två gånger.

Hur stor är sannolikheten att du får

a blått båda gångerna b rött båda gångerna c olika färg

2170

Du snurrar på lyckohjulet två gånger.

Hur stor är sannolikheten att du får

a blått båda gångerna b olika färg

2171

Du snurrar på lyckohjulet två gånger.

Hur stor är sannolikheten att summan blir

a 5 b9

2172

Du snurrar på lyckohjulet två gånger.

Hur stor är sannolikheten att summan blir

a 4 b större än 5

2173

Ett fotbollslag har tre målvakter. Inför lagets två första matcher bestämmer man att lotta om vem av Kalle, Ronnie och Thomas som ska stå i mål.

Hur stor är sannolikheten att

a Kalle blir målvakt i båda matcherna b Kalle blir målvakt i minst en av matcherna c Kalle och Ronnie blir målvakt i var sin match

2174

En kortlek har 52 kort jämnt fördelade på hjärter, ruter, klöver och spader. Du drar på måfå ett kort, tittar på kortet och stoppar sedan tillbaka kortet i leken som du blandar väl innan du drar ett andra kort.

Hur stor är sannolikheten att du får

a ett hjärter båda gångerna

b ett rött kort båda gångerna

c inget hjärter alls

d minst ett hjärter 87

40684264_f9_02.indd 87

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Beräkningar med hjälp av sannolikheter

G

Lotto är ett av våra populäraste spel.

För att vinna måste man pricka in minst fyra av trettiofem nummer.

1 .

Sannolikheten att pricka in minst fyra rätta nummer är 55 Filip som spelar 2 rader i veckan har ett år spelat sammanlagt 715 rader.

Hur många gånger är det troligt att Filip haft minst fyra rätt?

1 715 Antal gånger: · 715 = = 13 55 55

2175

Sannolikheten för att tomatfrön ska gro är 4/5.

En påse innehåller 50 frön.

Hur många av fröna kan man räkna med ska gro?

2176

Trisslotter är Sveriges mest sålda skraplotter.

Sannolikheten att vinna på en trisslott är 1/5.

Hur många vinstlotter bör du få om du köper

a 5 trisslotter

b 20 trisslotter

c 25 trisslotter

2177

Sannolikheten för att en kund i en viss affär ska köpa mjölk är 0,6.

Under en vecka har affären 2 500 kunder.

Hur många av dessa bör ha köpt mjölk?

2178

Du kastar en vanlig tärning 1 200 gånger.

I hur många av kasten kan du räkna med att få

a en sexa

2179

c lägre än en fyra

En lampfabrik har funnit att sannolikheten för att en lampa ska lysa mer än 1 000 timmar är 70 %.

Hur många lampor bör brinna mer än 1 000 timmar av

a 800 lampor

2180

b högre än en fyra

b 1 200 lampor

c 1 500 lampor

Penninglotten har funnits att köpa sedan 1897.

Sannolikheten att vinna på en penninglott är ”1 på 3,6”.

Hur många vinstlotter bör du få om du köper

a 36 lotter

b 18 lotter

c 540 lotter

88

40684264_f9_02.indd 88

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Problemlösning 2:2

P1

Adam har fyra tröjor, en blå (B), en gul (G), en röd (R) och en svart (S).

Han har fyra byxor i samma färger som tröjorna.

a På hur många sätt kan han kombinera byxa med tröja? b Han tar, utan att titta, en tröja och en byxa.

Vilken är sannolikheten att de har samma färg? c Bella har fem olika tröjor och tre olika byxor.

På hur många sätt kan hon kombinera byxa med tröja?

B G R S

G

B G R S

P2

Cesar har 4 tröjor, 3 byxor och 2 kepsar. Diba har tre av varje plagg.

Vem kan kombinera de tre plaggen på flest sätt?

P3

Bella hänger upp sina olika byxor på krokar.

På hur många olika sätt kan hon placera byxorna om hon använder

a tre olika byxor och tre krokar b fyra byxor och fyra krokar c fem byxor och fem krokar d fem byxor och tre krokar

P4

På ett kodlås till en väska väljer man tre olika siffror, t.ex. 902.

a På hur många sätt kan man bilda koden om alla siffrorna ska vara olika? b Hur stor är sannolikheten, för en person som inte kan koden, att trycka rätt kod i första försöket?

P5

Pinkoden till ett bankkort består av fyra siffror.

På hur många sätt kan man bilda koden om alla siffrorna ska vara olika?

P6

Spelmarkerna som du kastar är blå på ena sidan och röda på den andra sidan.

Hur stor är sannolikheten att markerna visar samma färg om du kastar

a 2 marker

b 3 marker

c 5 marker 89

40684264_f9_02.indd 89

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Tänk efter 2:2

G

T1

Sannolikheten att vinna på ett lotteri är 0,35.

Hur stor är sannolikheten att man inte vinner?

T2

Du singlar slant. I ditt första kast kommer krona upp.

P

B M R

K

a Hur stor är sannolikheten att krona kommer upp i ditt andra kast? b Du gör två nya kast. Vilken är sannolikheten att krona kommer upp i båda?

T3

T4

Pia påstår att sannolikheten för att få ”olika” när man kastar ett mynt två gånger är 1/3, eftersom där finns tre utfall: krona-krona, klave-klave eller ”olika”.

Förklara för Pia om hon har rätt eller fel.

P

B M R

K

P

B M R

K

P

B M R

K

Charlie och Sanna kastar en tärning 200 gånger.

Charlie satsar på alla udda tal och Sanna på de jämna.

a Vem tror du har störst summa när de kastat klart? Motivera. b Sanna tror att hennes summa kommer att vara ungefär 400.

Hur kommer hon fram till detta? c Ungefär vilken summa tror du Charlie får?

Diagnos 2:2

D1 Du snurrar på lyckohjulet.

Vid ditt första försök stannar hjulet på 6.

Hur stor är sannolikheten att hjulet vid ditt andra försök stannar på

a 6

b 4 eller 5

c ett tal större än 2

D2 Du snurrar på hjulet två gånger.

Hur stor är sannolikheten att summan av talen som hjulet stannat vid är

a 12

b7

c 14

D3 Sannolikheten för att ett nyfött barn i Sverige är en pojke antas vara 0,515.

Hur många pojkar bör det vara på 2 000 nyfödda barn?

D4 Du säljer lotter på torget. I lotteriet finns det sammanlagt 50 vinstlotter och 950 nitlotter. En dag säljer du 200 lotter.

Hur många vinstlotter bör du ha sålt den här dagen?

90

40684264_f9_02.indd 90

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Sannolikheter Hur stor är sannolikheten att hjulet stannar på a grön färg b röd färg 1 P(grön) = = 0,5 = 50 % 2 1 ~ 0,17 = 17 % P(röd) = 6 2 1 = ~ 0,33 = 33 % P(blå) = 3 6

2181

2185

c en etta eller en sexa

b fem nummer

Bokstäverna som bildar ordet MAT T E stoppas i en påse.

Hur stor är sannolikheten att du ur påsen plockar upp

a ett M

2184

b en etta

Ett lyckohjul har nummer från 1 till och med 50.

Hur stor är sannolikheten att vinna om man satsar på

a ett nummer

2183

1

För att komma ur boet när man spelar Fia måste man slå en etta eller sexa.

Hur stor är sannolikheten i bråkform att slå

a en sexa

2182

c blå färg

c åtta nummer

M

b ett T

A

T

T

E

c en annan bokstav än T

Hur stor är sannolikheten för vinst?

a Vinst på var fjärde lott.

b En av fem lotter ger vinst.

c Var åttonde lott är en vinstlott.

d Två av fem lotter är vinstlotter.

Sanna tar, utan att titta, en kula ur skålen.

a Hur stor är sannolikheten att Sanna tar en gul kula? b Kulan hon tar är gul.

Hon lägger inte tillbaka den.

Hon tar en ny kula.

Hur stor är sannolikheten att den är gul?

91

40684264_f9_02.indd 91

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

2186

I en påse finns det lika många gula, gröna och röda kulor. Du tar på måfå två kulor ur påsen. I tabellen ser du vilka möjligheter det finns att ta två kulor.

Hur stor är sannolikheten i bråkform att du tar

a två gula kulor

1

b åtminstone en kula som är gul c två kulor där ingen av kulorna är gula

2187

Färg

Sannolikhet

Gul

0,32

Svart

0,12

Röd

0,12

Grön

0,12

b brun färg

Orange

0,12

c röd eller grön färg

Brun

0,20

En påse innehåller 200 chokladlinser.

Tabellen visar linsernas färg och sannolikheten för att ur en full påse ta en viss färg.

Hur många linser bör i en full påse ha

a gul färg

2188

En låda innehåller 600 pärlor som är blå, röda och vita.

Sannolikheten att ta en blå pärla är 0,25 och en röd pärla 0,4.

Ungefär hur många vita pärlor bör det vara i lådan?

2189

Du snurrar på lyckohjulet två gånger.

Hur stor är sannolikheten i bråkform att det blir

a gult båda gångerna b grönt båda gångerna c gult och blått

2190

Du snurrar på lyckohjulet två gånger.

Vilken summa är det störst sannolikhet att du får?

2191

Du har en 8-sidig och en 12-sidig tärning.

Med vilken av tärningarna är det störst sannolikhet att du slår

a en ”åtta” b högst en ”sexa” 92

40684264_f9_02.indd 92

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Kombinatorik 567

Hur många olika tresiffriga tal kan du bilda med siffrorna 5, 6 och 7? Varje siffra får endast förekomma en gång.

765 657

675 576 756

Du kan systematiskt få fram alla möjligheter genom att skriva talen i ordningsföljd.

Vi kan också resonera oss fram till svaret.

Med tre olika siffror kan första siffran i talet väljas på tre olika sätt.

När första siffran är vald kan andra siffran bara väljas på två sätt.

Sedan finns det bara en siffra kvar som får bli tredje siffra.

Antalet olika tal som kan bildas med tre siffror blir alltså 3 · 2 · 1 = 6

2192

2

a Hur många olika fyrsiffriga tal kan du bilda med siffrorna 1, 2, 3, 4 om varje siffra endast får förkomma en gång? b Hur många av dessa börjar på siffran 1?

2193

På hur många olika sätt kan Adam, Bella, Cesar, Diba och Erik ställa sig när de ska bilda en kö?

2194

För att komma in i en del hus får man trycka in fyra av knapparna 0–9 i rätt följd på ett kodlås. Samma siffra får bara tryckas in en gång.

a Hur många olika koder finns det? b Hur stor är sannolikheten för en person, som inte kan rätt kod, att trycka rätt i första försöket?

2195

Pinkoden till en mobiltelefon består av fyra siffror som får förekomma mer än en gång när man trycker in koden.

a Hur många olika koder finns det? b Hur stor är risken (sannolikheten) att en person som ”hittat” din mobiltelefon ska lyckas trycka in rätt pinkod på första försöket?

2196

a Du har 6 olika tröjor (T) och 4 olika byxor (B).

På hur många olika sätt kan du klä dig om du väljer på måfå bland dina tröjor och byxor? Se tabell.

B1

B2

B3

B4

T1 T1 B1 T2

b En kompis har 5 olika tröjor och 5 olika byxor.

På hur många olika sätt kan han klä sig?

T3

c På hur många olika sätt kan man kombinera 5 tröjor, 4 byxor och 3 halsdukar?

T5

T4

T6

93

40684264_f9_02.indd 93

2013-12-17 16:17

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Mer om sannolikhet Lyckohjulet får snurra.

Hur stor är sannolikheten att hjulet ska stanna på en fyra eller ett tal större än 8?

1 4 P(fyra): P(tal större än 8): 12 12 1 4 5 P(fyra eller tal större än 8): + = ~ 0,42 = 42 % 12 12 12

2

Hur stor är sannolikheten att hjulet ska stanna på ett udda tal eller ett tal större än 8?

6 4 P(udda tal): P (tal större än 8): 12 12 2 6 4 2 8 ~ 0,67 = 67 % P(udda tal eller tal större än 8): + – = = 3 12 12 12 12 Innan du adderar sannolikheter måste du se efter så att ett utfall inte kommer med på mer än ett ställe. I detta exempel är talen 9 och 11 med i båda händelserna ”udda tal” och ”tal större än 8”.

2 Därför måste du subtrahera med .

12

2197

Ett kort dras på måfå ur en kortlek.

Hur stor är sannolikheten att

a kortet är en kung eller dam

2198

b en kung eller ett klöver

Vid roulettespel har alla nummer lika stor chans att vinna. Nummer 0 har grön färg och av de övriga 36 numren är hälften röda och hälften svarta.

Vartannat av numren 1–36 är rött och vartannat svart. Nummer 36 är rött.

Hur stor är sannolikheten att du vinner om du spelar på

a rött och dessutom på alla nummer mellan 30–36 b rött och dessutom på alla nummer mellan 1–18

2199

Du har sett att röd färg vunnit de senaste åtta spelen och bestämmer dig för att satsa på svart i nästa spel.

Hur stor är sannolikheten för att du ska vinna?

94

40684264_f9_02.indd 94

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Sannolikheten att vinna på ett lotteri är 0,2.

Hur stor är sannolikheten att köpa 0,2

b 3 nitlotter i rad c först 1 nitlott och sedan 2 vinstlotter P(vinstlott) = 0,2 P(nitlott) = 1 – 0,2 = 0,8

0,2

V

a 3 vinstlotter i rad

0,8

V 0,2

V

0,8

N

V

0,8

V

N 0,8 0,2

N 0,2

0,8 0,2

N

V

N 0,8 0,2

N

V

0,8

N

a P(3 vinstlotter i rad): 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008 = 0,8 % b P(3 nitlotter i rad): 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512 = 51,2 % c P(först 1 nitlott och sedan 2 vinstlotter): 0,8 · 0,2 · 0,2 = 0,032 = 3,2 %

2200

Du singlar slant med en 1-krona.

Hur stor är sannolikheten att du får

2

a krona två gånger i följd b krona tre gånger i följd c krona en gång och klave två gånger

2201

Sannolikheten att vinna på ett lotteri är 30 %.

Hur stor är sannolikheten att köpa

a två vinstlotter i rad b tre nitlotter i rad c först en vinstlott och sedan två nitlotter

2202

Du drar ett kort ur en vanlig kortlek, lägger tillbaka kortet och blandar innan du tar ett nytt kort.

Hur stor är sannolikheten att du drar

a två hjärter i rad b två klädda (kung, dam eller knekt) i rad c först ett hjärter och sedan ett spader

2203

Du kastar en vanlig tärning två gånger.

Hur stor är sannolikheten att tärningen

a först visar ett jämnt antal prickar och sedan en trea b först visar mer än fyra prickar och sedan en etta 95

40684264_f9_02.indd 95

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

2204

Sannolikheten för att en skytt träffar mitt i prick är 0,8.

Han skjuter tre skott i rad.

Hur stor är sannolikheten att

a alla tre skotten träffar mitt i prick b inget av skotten träffar mitt i prick c minst ett av skotten träffar mitt i prick

2205

Du tar först en kula ur burk A och därefter en kula ur burk B. Hur stor är sannolikheten att du får

a två röda kulor

2

b två blå kulor c en röd och en blå

2206

A

B

Du spelar Yatzy som är ett tärningsspel med fem tärningar.

Efter första kastet har du fått

Du behåller de tre ”fyrorna” och slår om de andra två tärningarna.

Hur stor är sannolikheten att du får

a minst en ”fyra”

2207

b två ”fyror”

När 9A ordnade en basar för att få in pengar till en resa hade man de här två tärningsspelen. För att delta i spelen fick man satsa 10 kr och om man vann var vinsten 50 kr.

Spel 1 Kasta två tärningar och addera talen som prickarna visar.

Du vinner om summan blir större än 10.

Spel 2 Kasta två tärningar och bilda produkten av talen som prickarna visar.

Du vinner om produkten blir större än 20.

a På vilket av spelen skulle du välja att satsa en tiokrona?

Beräkna sannolikheten för vinst på

b spel 1 c spel 2 96

40684264_f9_02.indd 96

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Du tar på måfå en kula ur burken, iakttar färgen och lägger tillbaka kulan innan du tar en andra kula.

Hur stor är sannolikheten att du tar två kulor med olika färg?

5 3 15 P(röd, gul): · = 5 3 8 8 64 8 8 3 5 15 P(gul, röd): · = 8 8 64 5 3 5 3 8 8 8 8 15 15 30 P(olika färg) + = ~ 0,47 64 64 64 Du tar på måfå en kula ur burken, iakttar färgen och lägger inte tillbaka kulan innan du tar en andra kula.

Hur stor är sannolikheten att du tar två kulor med olika färg?

5 3 15 = P(röd, gul): · 5 3 8 7 56 8 8 3 5 15 = P(gul, röd): · 8 7 56 4 3 5 2 15 15 30 7 7 7 7 + = ~ 0,54 P(olika färg): 56 56 56

2208

En påse innehåller 2 blå och 5 vita kulor. Du tar på måfå en kula ur påsen, iakttar färgen och lägger tillbaka kulan och tar en ny.

Hur stor är sannolikheten att du tar

a två blå kulor

2209

c två kulor med olika färg

b två vita kulor

c två kulor med samma färg

En påse innehåller 2 vita och 3 blå kulor. Du tar på måfå en kula ur påsen, iakttar färgen men lägger inte tillbaka kulan innan du tar en ny.

Hur stor är sannolikheten att du tar

a två vita kulor

2211

b två vita kulor

En påse innehåller 4 vita och 5 blå kulor. Du tar på måfå en kula ur påsen, iakttar färgen och lägger tillbaka kulan och tar en ny.

Hur stor är sannolikheten att du tar

a två blå kulor

2210

2

b två blå kulor

c två kulor med samma färg

En påse innehåller 2 vita och 6 blå kulor. Du tar på måfå en kula ur påsen, iakttar färgen men lägger inte tillbaka kulan innan du tar en ny.

Hur stor är sannolikheten att du tar

a två vita kulor

b två blå kulor

c två kulor med olika färg 97

40684264_f9_02.indd 97

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Kapiteldiagnos 2

G

K1

27 av 450 kontrollerade bilar hade fel på bromsarna.

Hur många procent motsvarar detta?

K2

Vid en bokrea sänktes priset på alla böcker med 30 %.

Hur mycket kostade en bok under rean som tidigare kostat 180 kr?

K3

Liam och Oskar köper båda en likadan Ipad. Liam köper sin på måndagen och Oskar sin på tisdagen. Liam betalar 250 kr mer än vad Oskar gör.

Vilket är ordinarie priset för Ipaden?

K4

Måndag

Tisdag

rabatt

rabatt

15 % 20 %

En bok kostar 200 kr. För att öka försäljningen sänker man priset med 10 %. Året därpå höjer man alla priser med 10 %.

a Hur mycket kostar boken efter båda prisändringarna? b Med hur många procent har priset ändrats efter de båda ändringarna?

K5

Vid ett val minskade andelen väljare för Lokalpartiet från 5,0 % till 4,5 %.

Hur stor var minskningen i

a procentenheter

K6

En dator visar slumpvis talen 0–999.

Hur stor är sannolikheten att datorn visar ett

a ensiffrigt tal

K7

b procent

b tvåsiffrigt tal

c tresiffrigt tal

Hur stor är sannolikheten att färgsnurran ska stanna på

a rött b blått c gult d Hur stor är summan av 1/2, 1/3 och 1/6?

K8

I ett lotteri med 3 000 lotter är sannolikheten att få en vinstlott 0,3.

Hur många nitlotter finns det i lotteriet?

98

40684264_f9_02.indd 98

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Utmaningar 2

U1 På ett kloster får 100 munkar dela på 100 brödskivor. Varje gammal munk får 3 skivor medan varje ung munk får nöja sig med en tredjedels skiva.

Hur många gamla respektive unga munkar finns det på klostret?

U2 Båda trianglarna är liksidiga.

Hur många procent utgör den gula triangeln av den stora orange?

U3 Du har 5 vita och 5 svarta kulor som ska stoppas ner i de två muggarna.

Hur ska kulorna fördelas så att sannolikheten att plocka upp en svart kula blir så stor som möjligt när du på måfå väljer en av muggarna?

U4 För att lyckas fly ska en spion passera tre gränser. Vid varje gräns måste han betala hälften av de pengar han har då han kommer fram till gränsen. När spionen passerat alla tre gränserna ska han ha kvar 500 kr.

Hur mycket pengar måste spionen minst ha för att kunna genomföra sin flykt?

99

40684264_f9_02.indd 99

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Repetition 2 2212

Ordna talen i storleksordning. Börja med det minsta.

2 3 9 0,401 39 % 5 8 25

2213

Beräkna

a 2 % av 3 000 kr

b 0,2 % av 3 000 kr

c 2 ‰ av 3 000 kr

2214

Stina fick 57 poäng av 75 möjliga på sitt prov i engelska.

Hur många procent motsvarar Stinas poäng?

2215

Hur många procent av den färgade figuren är

a gul

b blå

2216

John sparar till en ny cykel.

Han har redan sparat 750 kr vilket är 20 % av vad cykeln kostar.

Hur mycket kostar cykeln John tänkt köpa?

2217

När Julia och Sara kastade pil fick Julia 50 poäng och Sara 40 poäng.

Hur många procent

a fler poäng fick Julia än Sara

b färre poäng fick Sara än Julia

2218

En cykel kostar 3 500 kr.

Priset sänks först med 20 % och höjs därefter med 25 %.

Hur mycket kostar cykeln efter båda prisändringarna?

2219

Ett par jeans kostar 600 kr.

Priset höjs först med 10 % och sänks därefter med 10 %.

a Hur mycket kostar jeansen efter båda prisändringarna? b Med hur många procent har priset ändrats efter båda prisändringarna?

2220

En av växthusgaserna är koldioxid. Genom vår förbränning av fossila bränslen har koldioxid halten i luften ökat från 0,03 % år 1950 till 0,04 % idag.

Hur stor är ökningen räknad i

a procent b procentenheter 100

40684264_f9_02.indd 100

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

2221

Ett chokladhjul har 25 nummer.

Hur många nummer måste man spela på om sannolikheten för vinst ska vara 0,2?

2222

Sannolikheten för att köpa en vinstlott i ett lotteri med 2 000 lotter är 0,15. Priset för en lott är 50 kr och värdet av varje vinst är 150 kr.

Hur stor vinst ger lotteriet om alla lotter blir sålda?

2223

Bilden visar korten i ”färgen” hjärter som är en av de fyra ”färgerna” hjärter, ruter, spader eller klöver i en vanlig kortlek.

a Hur många kort har en vanlig kortlek? b Hur stor är chansen att dra ett hjärter? c Hur stor är chansen att dra ett ess? d Hur stor är chansen att dra en svart dam? e Hur stor är chansen att dra ett klätt kort?

2224

2225

Ett experiment gick ut på att ta en kula ur en påse, notera färgen och därefter lägga tillbaka kulan i påsen.

Tabellen visar resultatet efter 50 respektive 600 försök.

Vilket är det mest sannolika antal röda kulor man tar vid 400 försök?

Antal försök

Antal röda kulor

50

10

600

150

Skålarna A och B innehåller vardera 3 kulor som bilden visar. Du tar en kula på måfå från varje skål.

Hur stor är sannolikheten att de båda kulorna har

a samma färg b olika färg

2226

A

B

Båda hjulen snurras samtidigt.

Hur stor är sannolikheten för följande händelser när hjulen stannat?

a Båda talen är lika b Summan av talen är större än 10 c Produkten är ett udda tal.

101

40684264_f9_02.indd 101

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Något extra 2 2227

Hur många procent av hela kvadraten utgör den

a orange triangeln b blå triangeln

2228

En kvadrat har sidan 5 cm.

Sidorna görs 20 % längre.

a Med hur många procent ökar omkretsen? b Med hur många procent ökar arean? c Hur lång ska kvadratens sida vara om kvadratens area ska fördubblas?

2229

En nyplockad vattenmelon har en vattenhalt på 92 %.

När den har legat i solen en tid har vattenhalten sjunkit till 90 %.

Hur mycket väger melonen då om den vägde precis 1 kg när den plockades?

2230

a Diba har fyra sorters bröd.Hon kombinerar brödet med en sorts pålägg.

Hur många olika smörgåsar kan hon göra om hon har sex sorters pålägg? b Eric har fyra sorters bröd, två sorters smör och sex sorters pålägg.

Hur många olika smörgåsar kan han göra?

2231

Du kastar två av tärningarna samtidigt.

Hur stor är sannolikheten att

a Tärning A visar fler prickar än tärning B b Tärning B visar fler prickar än tärning C c Tärning C visar fler prickar än tärning D

A

B

C

D

102

40684264_f9_02.indd 102

2013-12-17 16:18

2

PROCENT OCH SANNOLIKHET

Aktivitet 2:3 Ni behöver ett häftstift.

Ett häftstift kan hamna med spetsen antingen upp eller ner. Det finns alltså två utfall.

A

Utfall U

Utfall N

Ni kan inte teoretiskt beräkna sannolikheten för utfallen, men ni kan genom egna försök få fram bra värden.

1 Diskutera och gissa sannolikheten för spets upp.

2 Gör 10 kast. I hur många procent av kasten kom spetsen upp?

3 Diskutera och gissa på nytt sannolikheten för spets upp.

4 Gör därefter ett stort antal (t.ex. 100) kast.

I hur många procent av kasten kom spetsen upp?

B

Använd ert resultat i A och beräkna hur många gånger spetsen bör komma upp vid 40 kast. Gör kasten och jämför resultatet med det beräknade värdet.

Aktivitet 2:4 Ni behöver en tändsticksask.

Utfall A

En kastad tändsticksask hamnar oftast med största sidan uppåt (och nedåt), utfall A. Sannolikheten för de tre utfallen är svår att beräkna, bl.a. beroende av hur fylld med tändstickor den är.

A

Utfall B Utfall C

Välj själva om ni ska använda en tom ask eller en med stickor i.

1 Diskutera och gissa sannolikheterna för P(A), P(B) och P(C).

2 Gör 10 kast. I hur många procent blev utfallet A, B respektive C? Om C utföll noll gånger av tio, kan man då skriva P(C) = 0?

3 Gör ett stort antal kast (t.ex. 100) och pricka av kasten i en frekvenstabell.

Beräkna även frekvensen.

B

Nu vet ni ungefär hur stor sannolikheten är för utfall A–C för just er ask.

Utfall

Avprickning

A

IIII IIII III …

B

IIII III …

C

III

Frekvens

3/100 = 3 %

1 Hur stämmer era sannolikheter med förhållandet mellan area A, B och C? 2 När familjen Ask spelar ”Kasta tändsticksask” räknar de poäng så här: 1 poäng för utfall A, 5 poäng för utfall B och 10 poäng för utfall C. Är de poängen ”rättvisa” i förhållande till era beräknade sannolikheter?

103

40684264_f9_02.indd 103

2013-12-17 16:18

Matematik

99

Formula

Formula

9

Formula är ett basläromedel i matematik för grundskolans årskurs 7–9.

Uppgifterna i Formula stimulerar till att upptäcka mönster, se samband och förstå begrepp, kring vilka eleven aktivt kan bygga upp sitt kunnande.

Aktiviteterna utvecklar förmågor och ger möjlighet till lärande i samspel med andra. Problemlösningssidorna och Tänk efter utvecklar problemlösningsstrategier. Diagnoser följs av individanpassad träning i olika spår.

Läromedlet omfattar för varje årskurs 7–9: • Elevwebb • Lärarwebb

99

Bo Sjöström har i många år arbetat med Matematik och lärande vid Malmö högskola och med konstruktion av nationella prov i matematik.

Petra Svensson är lärare på Rosengårdsskolan i Malmö.

ISBN: 978-91-40-68426-4

PETRA SVENSSON

Gert Mårtensson har mångårig erfarenhet från olika grundskolor i Malmö.

Matematik

BO SJÖSTRÖM

• Elevbok

GERT MÅRTENSSON

Läromedlet ingår i serien Prima – Prima Formula – Formula.

a l u m r Fo

ON RTENSS GERT MÅ

TRÖM BO SJÖS

N VENSSO PETRA S

9 789140 684264

40684264_f9_omslag.indd 1

2013-12-17 16:42