9789162276379

Origo

Origo Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

övningar, problemlösning och kommunikations­ uppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D

ISBN 978-91–622–7637–9

www.bonnierutbildning.se

Best.nr 622–7637–9

Matematik kurs A och B för naturvetenskapliga och tekniska program BONNIERS

Till läsaren Den här boken i serien ORIGO är skriven för dig som går Naturvetenskaps-

eller Teknikprogrammet och ska läsa Matematik A och B. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal.

Bonnier Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Box 3159 Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström, Olof Edblom och Lena Torbjörnson Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Jerker von Vegesack och Yann Robardey.

Filippa Widlund.

Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs AB för NV och TE ISBN 978-91–622–7637–9 © 2007 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Sweden by Fälth & Hässler, Värnamo 2007

• ORIGO kurs AB är indelad i elva kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå.

• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din graf­ ritande räknare.

• Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden.

• Efter varje delkapitel kommer Diskutera och fundera. Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet.

• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

• Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet.

• Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. Dessa har mer laborativ karaktär och kräver ibland tillgång till material eller dator.

• Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen.

Lycka till!

Författarna

Till läsaren Den här boken i serien ORIGO är skriven för dig som går Naturvetenskaps-

eller Teknikprogrammet och ska läsa Matematik A och B. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal.

Bonnier Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Box 3159 Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström, Olof Edblom och Lena Torbjörnson Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Jerker von Vegesack och Yann Robardey.

Filippa Widlund.

Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs AB för NV och TE ISBN 978-91–622–7637–9 © 2007 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Sweden by Fälth & Hässler, Värnamo 2007

• ORIGO kurs AB är indelad i elva kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå.

• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din graf­ ritande räknare.

• Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden.

• Efter varje delkapitel kommer Diskutera och fundera. Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet.

• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.

• Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet.

• Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. Dessa har mer laborativ karaktär och kräver ibland tillgång till material eller dator.

• Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen.

Lycka till!

Författarna

Innehåll Kurs A 1 Tal

6

1.1 Tal på olika former.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Talmängder 8 • Negativa tal 9 • Egenskaper hos de hela talen 12 • Bråk 15 • Bråkräkning 18

1.2 Potenser.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Potenser med positiva heltals­exponenter 21 • Negativa expo­nenter och exponenten noll 24 • Prioriteringsregler 26

1.3 Decimalsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Historia: Procenttecknet och Big Mac-index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4 Funktioner och grafer

110

4.1 Allmänt om funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Koordinatsystemet 112 • Funktioner som grafer 114 • Funktioner som tabeller och formler 117 • Ekvationslösning med grafritande räknare 120

4.2 Speciella funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Tal i decimalform 29 • Gällande siffror och överslagsräkning 32 • Tal i grundpotensform 36 • Prefix 38

Linjära funktioner 122 • Proportionaliteter 125 • Exponential­funktioner 128

Historia: Talsystem genom historien. . . . . 40 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Historia: Cogito, ergo sum.. . . . . . . . . . . . . . . . 132 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2 Algebra och ekvationer

48

5 Statistik

138

2.1 Algebraiska uttryck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Tabeller och diagram.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.2 Ekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Tolka och granska statistik.. . . . . . . . . . . . . . . 151

2.3 Formler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Historia: Florence Nightingale. . . . . . . . . . . . 159 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Teckna och tolka uttryck 50 • Att förenkla uttryck 53 • Mer om parenteser i uttryck 56 Vad är en ekvation? 59 • Ekvationslösningens grunder 61 • Ekvationer med nämnare 64 • Potensekvationer 66 • Potenser i stället för rotuttryck 69 • Problemlösning med hjälp av ekvationer 71 Att använda formler 74 • Mönster och formler 77

Historia: Fibonaccis talföljd.. . . . . . . . . . . . . . 80 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 Procent

86

3.1 Procent och procentberäkningar. . . . . . . . . . . 88 Procent, promille och ppm 88 • Procentuella förändringar 91 • Procentenheter 95

3.2 Ränta och index.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Lån och ränta 97 • Index och KPI 100

Frekvenstabell 140 • Avläsa och rita diagram 142 • Diagram med kalkylprogram 149 Lägesmått 151 • Granska statistik 154

6 Geometri

166

6.1 Vinklar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Olika slags vinklar 168 • Vinklar i trianglar 171 • Pythagoras sats 174 • Koordinatgeometri 177

6.2 Enheter, omkrets, area och volym. . . . . . . . 179 Omkrets och area 179 • Volym och area 183

6.3 Skala och likformighet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Skala 188 • Likformiga månghörningar 192 • Likformiga trianglar 194

6.4 Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Tangens 198 • Sinus och cosinus 201 • Att bestämma vinklar 204

Historia: Pythagoras och Gyllene snittet 206 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

214

7.1 Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Funktionsbegreppet 216 • Definitionsmängd och värdemängd 219 • Korrelation 221

7.2 Räta linjen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Rita och bestämma räta linjer 224 • Räta linjens ekvation 227 • Räta linjen på allmän form 230 • Linjer som är parallella och vinkelräta 231 • Linjär regression 233

9.1 Slumpförsök i ett steg.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Sannolikheten för en händelse 292 • Sannolikhet genom experiment 295

9.2 Slumpförsök i flera steg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Historia: Sannolikhets­lära och spel.. . . . . 306 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10 Statistiska undersökningar 312 10.1 Att göra en statistisk undersökning. . . . . . 314 Planering och urval 314 • Genomförande 317 • Analys och diskussion 320

7.3 Linjära ekvationssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Grafisk lösning 235 • Algebraisk lösning av ekvationssystem 238 • Linjära olikheter 241

Historia: Kryptering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8 Andragrads­ekvationer

290

Träddiagram 298 • Sannolikhet beskriven med diagram 302 • Komplementhändelse 304

Kurs B 7 Linjära funktioner

9 Sannolikhetslära

250

8.1 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Multiplikation av parenteser 252 • Kvadreringsreglerna och konjugatregeln 254 • Faktorisering av uttryck 257 • Kvadratkomplettering 259

8.2 Andragradsfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Grafen till en andragradsfunktion 262 • Andragradsfunktioner och kvadratkomplettering 267

8.3 Lösa andragradsekvationer. . . . . . . . . . . . . . . 270 Enkla andragradsekvationer 270 • Andragradsekvationer på faktorform 272 • Grafisk lösning 274 • Andragradsekvationer och kvadratkomplettering 277 • En lösningsformel 279 • Mer om andragradsekvationer 282

Historia: Ekvationer av högre grad.. . . . . . . 284 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

10.2 Statistisk spridning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Spridningsmått 324 • Normalfördelning 328

Historia: Opinions­undersökningar.. . . . . . . 332 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

11 Geometri och bevis

338

11.1 Satser och bevis.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Matematiska bevis 340 • Topptriangelsatsen och transversalsatsen 344

11.2 Satser om cirkeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Randvinklar och medelpunkts­vinklar 347 • Fler satser om cirkeln 351

Historia: Det finns ingen kungsväg …. . . . 354 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Facit

360

Register

396

Innehåll Kurs A 1 Tal

6

1.1 Tal på olika former.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Talmängder 8 • Negativa tal 9 • Egenskaper hos de hela talen 12 • Bråk 15 • Bråkräkning 18

1.2 Potenser.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Potenser med positiva heltals­exponenter 21 • Negativa expo­nenter och exponenten noll 24 • Prioriteringsregler 26

1.3 Decimalsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Historia: Procenttecknet och Big Mac-index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4 Funktioner och grafer

110

4.1 Allmänt om funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Koordinatsystemet 112 • Funktioner som grafer 114 • Funktioner som tabeller och formler 117 • Ekvationslösning med grafritande räknare 120

4.2 Speciella funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Tal i decimalform 29 • Gällande siffror och överslagsräkning 32 • Tal i grundpotensform 36 • Prefix 38

Linjära funktioner 122 • Proportionaliteter 125 • Exponential­funktioner 128

Historia: Talsystem genom historien. . . . . 40 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Historia: Cogito, ergo sum.. . . . . . . . . . . . . . . . 132 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2 Algebra och ekvationer

48

5 Statistik

138

2.1 Algebraiska uttryck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Tabeller och diagram.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.2 Ekvationer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Tolka och granska statistik.. . . . . . . . . . . . . . . 151

2.3 Formler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Historia: Florence Nightingale. . . . . . . . . . . . 159 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Teckna och tolka uttryck 50 • Att förenkla uttryck 53 • Mer om parenteser i uttryck 56 Vad är en ekvation? 59 • Ekvationslösningens grunder 61 • Ekvationer med nämnare 64 • Potensekvationer 66 • Potenser i stället för rotuttryck 69 • Problemlösning med hjälp av ekvationer 71 Att använda formler 74 • Mönster och formler 77

Historia: Fibonaccis talföljd.. . . . . . . . . . . . . . 80 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 Procent

86

3.1 Procent och procentberäkningar. . . . . . . . . . . 88 Procent, promille och ppm 88 • Procentuella förändringar 91 • Procentenheter 95

3.2 Ränta och index.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Lån och ränta 97 • Index och KPI 100

Frekvenstabell 140 • Avläsa och rita diagram 142 • Diagram med kalkylprogram 149 Lägesmått 151 • Granska statistik 154

6 Geometri

166

6.1 Vinklar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Olika slags vinklar 168 • Vinklar i trianglar 171 • Pythagoras sats 174 • Koordinatgeometri 177

6.2 Enheter, omkrets, area och volym. . . . . . . . 179 Omkrets och area 179 • Volym och area 183

6.3 Skala och likformighet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Skala 188 • Likformiga månghörningar 192 • Likformiga trianglar 194

6.4 Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Tangens 198 • Sinus och cosinus 201 • Att bestämma vinklar 204

Historia: Pythagoras och Gyllene snittet 206 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

214

7.1 Funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Funktionsbegreppet 216 • Definitionsmängd och värdemängd 219 • Korrelation 221

7.2 Räta linjen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Rita och bestämma räta linjer 224 • Räta linjens ekvation 227 • Räta linjen på allmän form 230 • Linjer som är parallella och vinkelräta 231 • Linjär regression 233

9.1 Slumpförsök i ett steg.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Sannolikheten för en händelse 292 • Sannolikhet genom experiment 295

9.2 Slumpförsök i flera steg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Historia: Sannolikhets­lära och spel.. . . . . 306 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10 Statistiska undersökningar 312 10.1 Att göra en statistisk undersökning. . . . . . 314 Planering och urval 314 • Genomförande 317 • Analys och diskussion 320

7.3 Linjära ekvationssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Grafisk lösning 235 • Algebraisk lösning av ekvationssystem 238 • Linjära olikheter 241

Historia: Kryptering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8 Andragrads­ekvationer

290

Träddiagram 298 • Sannolikhet beskriven med diagram 302 • Komplementhändelse 304

Kurs B 7 Linjära funktioner

9 Sannolikhetslära

250

8.1 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Multiplikation av parenteser 252 • Kvadreringsreglerna och konjugatregeln 254 • Faktorisering av uttryck 257 • Kvadratkomplettering 259

8.2 Andragradsfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Grafen till en andragradsfunktion 262 • Andragradsfunktioner och kvadratkomplettering 267

8.3 Lösa andragradsekvationer. . . . . . . . . . . . . . . 270 Enkla andragradsekvationer 270 • Andragradsekvationer på faktorform 272 • Grafisk lösning 274 • Andragradsekvationer och kvadratkomplettering 277 • En lösningsformel 279 • Mer om andragradsekvationer 282

Historia: Ekvationer av högre grad.. . . . . . . 284 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

10.2 Statistisk spridning.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Spridningsmått 324 • Normalfördelning 328

Historia: Opinions­undersökningar.. . . . . . . 332 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

11 Geometri och bevis

338

11.1 Satser och bevis.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Matematiska bevis 340 • Topptriangelsatsen och transversalsatsen 344

11.2 Satser om cirkeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Randvinklar och medelpunkts­vinklar 347 • Fler satser om cirkeln 351

Historia: Det finns ingen kungsväg …. . . . 354 Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Test & Tankekarta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Facit

360

Register

396

4 Funktioner och

grafer Graf kommer av det grekiska ordet graphein, som betyder att skriva.

Används ofta i betydelsen av ritad figur som åskådliggör ett matematiskt samband.

Innehåll 4.1 Allmänt om funktioner 4.2 Speciella funktioner

Förkunskaper • Tallinjen • Förändringsfaktor • Potenser • Formler • Ekvationer

Mål

O

rdet funktion har olika betydelser beroende på i vilket sammanhang ordet används. En läkare kan mena hjärtats funktion, en programmerare ett samband i ett programspråk och en bilförsäljare pratar antagligen om någon ny finess på den senaste bilmodellen när han använder ordet. Inom matematiken använder man ordet funktion när man vill säga att variabler hör ihop enligt en bestämd regel, till exempel genom en matematisk formel. En graf är ett annat sätt att åskådliggöra en funktion. Funktioner har stor betydelse i våra vardagsliv, ofta utan att vi behöver vara medvetna om dem. I det här kapitlet får du lära dig om matematiska funktioner och hur man ställer upp och använder dem.

• Känna till begreppet funktion • Förstå och kunna använda koordinatsystemet • Kunna tolka funktioner genom grafer, tabeller och formler • Kunna lösa ekvationer med hjälp av grafritande räknare • Kunna ställa upp och använda linjära funktioner • Förstå och kunna använda begreppet proportionalitet • Kunna ställa upp och använda exponentialfunktioner

110

111

4 Funktioner och

grafer Graf kommer av det grekiska ordet graphein, som betyder att skriva.

Används ofta i betydelsen av ritad figur som åskådliggör ett matematiskt samband.

Innehåll 4.1 Allmänt om funktioner 4.2 Speciella funktioner

Förkunskaper • Tallinjen • Förändringsfaktor • Potenser • Formler • Ekvationer

Mål

O

rdet funktion har olika betydelser beroende på i vilket sammanhang ordet används. En läkare kan mena hjärtats funktion, en programmerare ett samband i ett programspråk och en bilförsäljare pratar antagligen om någon ny finess på den senaste bilmodellen när han använder ordet. Inom matematiken använder man ordet funktion när man vill säga att variabler hör ihop enligt en bestämd regel, till exempel genom en matematisk formel. En graf är ett annat sätt att åskådliggöra en funktion. Funktioner har stor betydelse i våra vardagsliv, ofta utan att vi behöver vara medvetna om dem. I det här kapitlet får du lära dig om matematiska funktioner och hur man ställer upp och använder dem.

• Känna till begreppet funktion • Förstå och kunna använda koordinatsystemet • Kunna tolka funktioner genom grafer, tabeller och formler • Kunna lösa ekvationer med hjälp av grafritande räknare • Kunna ställa upp och använda linjära funktioner • Förstå och kunna använda begreppet proportionalitet • Kunna ställa upp och använda exponentialfunktioner

110

111

Funktioner som grafer

a-uppgifter

Diagrammet till höger visar hur kostnaden för ett telefonsamtal ändras med den tid samtalet varar. Ju längre tid samtalet varar, desto högre blir kostnaden.

Funktion

kr

y

4116 Grafen visar vad det kostar att anlita en snickare.

1,5 1,0

kr

0,5

För varje värde på samtalstiden finns ett värde på kostnaden. Man säger att kostnaden är en funktion av tiden. Linjen i diagrammet kallas funktionens graf.

4118 Här nedanför ser du hur temperaturen har varierat under ett vinterdygn.

x 1

2

3

7 Exempel:

En simbassäng töms på vatten.

Grafen i diagrammet visar hur vattenmängden i bassängen ändras med tiden. a) Hur mycket vatten fanns i bassängen från början?

a) Vilken var temperaturen kl. 12?

1

2

3

4

5

6 dagar

a) Hur mycket kostar det att anlita snickaren i tre dagar?

m

Sträcka

200

Merlene Evelyn

50 000

Tid 5

10 15 20 25

s

25 000

a) Vem av löparna vinner loppet?

Tid 0,5

1,0

b) Vem är snabbast i starten?

1,5 h

O,75 h

a) Vid tiden 0, dvs. där grafen skär y-axeln kan man avläsa att den vattenmängd som fanns från början var 75 000 l.

c) Vad händer efter drygt 25 s?

4117 I figuren syns grafen som anger hur lufttrycket varierar med höjden. mbar

Lufttryck

1 000

500 Tid Höjd över havet

den horisontella axeln och avläs tiden.

c) 15 min = 0,25 h. Då är det 62 500 l vatten kvar i bassängen.

Leta rätt på tiden på den horisontella axeln, avläs på den vertikala.

75 000 ​ d) På 1,5 h har 75 000 l runnit ut. Hastigheten är ______ ​ l/h = 50 000 l/h.

1,5

4120 Eva cyklar till skolan. Grafen visar Evas väg.

Rita av diagrammet och sätt ut händelserna A–C på lämpligt ställe.

Sträcka

Leta rätt på vattenmängden på den vertikala axeln, gå in mot grafen, gå ner till 1 000

3 000

5 000

m

A Eva stannar vid rött ljus B Eva har glömt väskan och vänder

a) Vilket är lufttrycket 1 000 m över havsytan? b) Vid vilken höjd är lufttrycket 700 mbar? c) Kebnekaise är ungefär 2 100 m högt.

Vilket är lufttrycket på toppen?

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

4119 Graferna visar sambandet mellan sträcka och tid för Merlene och Evelyn under ett 100meterslopp.

100

75 000 b) När halva bassängen är tömd finns det ______ ​ ​ l = 37 500 l vatten 2 kvar i bassängen. Efter ca 0,75 h = 45 min är halva bassängen tömd.

114

b) När var temperaturen –2 °C?

Från början var det 75 000 l

d) Med vilken hastighet rinner vattnet ut?

10 12 14 16 18 20 22 24 kl.

10 000

62 500 l

c) Hur mycket vatten finns det kvar efter 15 minuter?

Lösning:

8

Volym

b) Hur lång tid tog det att tömma bassängen till hälften?

6

–4

b) Hur länge kan du anlita snickaren för 10 000 kr?

75 000

4

–2

Tid

l

Tid 2

20 000

Funktion En funktion är ett samband som parar ihop värdet på en variabel med värdet på en annan. Man säger att y är en funktion av x, om det finns exakt ett y-värde som hör ihop med varje x-värde.

Temperatur

2

Kostnad

4 min

Axlarna i ett diagram beskriver storheter, t.ex. kostnad och tid

°C

C Eva cyklar så fort hon kan 4121 Rita en graf över din färd till skolan. ö

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

115

Funktioner som grafer

a-uppgifter

Diagrammet till höger visar hur kostnaden för ett telefonsamtal ändras med den tid samtalet varar. Ju längre tid samtalet varar, desto högre blir kostnaden.

Funktion

kr

y

4116 Grafen visar vad det kostar att anlita en snickare.

1,5 1,0

kr

0,5

För varje värde på samtalstiden finns ett värde på kostnaden. Man säger att kostnaden är en funktion av tiden. Linjen i diagrammet kallas funktionens graf.

4118 Här nedanför ser du hur temperaturen har varierat under ett vinterdygn.

x 1

2

3

7 Exempel:

En simbassäng töms på vatten.

Grafen i diagrammet visar hur vattenmängden i bassängen ändras med tiden. a) Hur mycket vatten fanns i bassängen från början?

a) Vilken var temperaturen kl. 12?

1

2

3

4

5

6 dagar

a) Hur mycket kostar det att anlita snickaren i tre dagar?

m

Sträcka

200

Merlene Evelyn

50 000

Tid 5

10 15 20 25

s

25 000

a) Vem av löparna vinner loppet?

Tid 0,5

1,0

b) Vem är snabbast i starten?

1,5 h

O,75 h

a) Vid tiden 0, dvs. där grafen skär y-axeln kan man avläsa att den vattenmängd som fanns från början var 75 000 l.

c) Vad händer efter drygt 25 s?

4117 I figuren syns grafen som anger hur lufttrycket varierar med höjden. mbar

Lufttryck

1 000

500 Tid Höjd över havet

den horisontella axeln och avläs tiden.

c) 15 min = 0,25 h. Då är det 62 500 l vatten kvar i bassängen.

Leta rätt på tiden på den horisontella axeln, avläs på den vertikala.

75 000 ​ d) På 1,5 h har 75 000 l runnit ut. Hastigheten är ______ ​ l/h = 50 000 l/h.

1,5

4120 Eva cyklar till skolan. Grafen visar Evas väg.

Rita av diagrammet och sätt ut händelserna A–C på lämpligt ställe.

Sträcka

Leta rätt på vattenmängden på den vertikala axeln, gå in mot grafen, gå ner till 1 000

3 000

5 000

m

A Eva stannar vid rött ljus B Eva har glömt väskan och vänder

a) Vilket är lufttrycket 1 000 m över havsytan? b) Vid vilken höjd är lufttrycket 700 mbar? c) Kebnekaise är ungefär 2 100 m högt.

Vilket är lufttrycket på toppen?

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

4119 Graferna visar sambandet mellan sträcka och tid för Merlene och Evelyn under ett 100meterslopp.

100

75 000 b) När halva bassängen är tömd finns det ______ ​ ​ l = 37 500 l vatten 2 kvar i bassängen. Efter ca 0,75 h = 45 min är halva bassängen tömd.

114

b) När var temperaturen –2 °C?

Från början var det 75 000 l

d) Med vilken hastighet rinner vattnet ut?

10 12 14 16 18 20 22 24 kl.

10 000

62 500 l

c) Hur mycket vatten finns det kvar efter 15 minuter?

Lösning:

8

Volym

b) Hur lång tid tog det att tömma bassängen till hälften?

6

–4

b) Hur länge kan du anlita snickaren för 10 000 kr?

75 000

4

–2

Tid

l

Tid 2

20 000

Funktion En funktion är ett samband som parar ihop värdet på en variabel med värdet på en annan. Man säger att y är en funktion av x, om det finns exakt ett y-värde som hör ihop med varje x-värde.

Temperatur

2

Kostnad

4 min

Axlarna i ett diagram beskriver storheter, t.ex. kostnad och tid

°C

C Eva cyklar så fort hon kan 4121 Rita en graf över din färd till skolan. ö

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

115

4122 I diagrammet kan man avläsa hur långt man färdas på en viss tid med farten 70 km/h respektive 110 km/h. km

Sträcka

160 120 80 40

Tid 20 40 60 80

min

Funktioner som tabeller och formler

c-uppgifter 4125 Enligt Einsteins relativitetsteori händer något med tiden för en kropp som rör sig med en hastighet som närmar sig ljusets. Kurvan i figuren visar förhållandet mellan hastighet i procent av ljushastigheten och tidsutvidgning i procent. %

Tabell

b) En sträcka tar 50 min att köra med farten 110 km/h. Hur mycket längre blir restiden med farten 70 km/h? (Np MaA vt 2002)

Tidsutvidgning

50

4123 Rita diagram som visar hur de understrukna storheterna kan ändras med tiden. a) Hastigheten hos en 100-meters löpare under loppet. b) Höjden på en tall under 5 års tid (växer den lika mycket på vintern?). c) Längden på en människa under de 20 första levnadsåren. d) Längden på gräset på en gräsmatta under en sommar.

4124 Flaskan till höger fylls med jämn hastighet med kranvatten. Rita ett diagram som visar hur vattnets höjd i flaskan ändras med tiden.

116

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

x (min)

y (kronor)

0

0,45

1

0,68

2

0,91

3

1,14

4

1,37

5

1,60

Tabellen och grafen nedanför beskriver temperaturen i Norrtälje under ett dygn i december. Temperaturen T är en funktion av tiden t.

30 20

t (h)

T (°C)

10

0

-8

4

-9

8

-9

12

-4

16

-5

20

-10

24

-13

Hastighet 25

50

75

Procent av ljushastigheten

b-uppgifter

Variabeln y beror av x, därför kallas x den oberoende variabeln och y den beroende variabeln

40

a) Bestäm hur lång tid det tar att åka 30 km med farten 70 km/h.

Man kan också beskriva en funktion med hjälp av en tabell. För kostnaden y kr för x min samtalstid (från exemplet på sidan 114) ser tabellen ut så här:

En person som färdas i en rymdraket med halva ljushastigheten i en timme upplevs av en person på jorden ha färdats i 69 min (115 % av 60 min = 69 min). a) En person färdas i en rymdfarkost med halva ljushastigheten i en kvart. Hur länge upplevs han ha färdats av en person på jorden? b) En person färdas i en rymdfarkost med 75 % av ljushastigheten. Hur länge anser rymdfararen att han varit borta om en person på jorden bestämmer tiden till 2 dygn? c) Vad händer med tiden om hastigheten närmar sig ljushastigheten?

4126 En boll kastas rakt framåt mot ett framrusande tåg. Rita ett diagram som beskriver bollens hastighet en stund före kollisionen till en stund efter.

Formel

°C

T

4

t 2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 h

–4 –8 –12

Ytterligare ett sätt att visa funktioner är med hjälp av en formel som beskriver sambandet. För samtalskostnaden gäller formeln y = 0,23x + 0,45. y = 0,23x + 0,45

Fast kostnad (öppningsavgift)

Rörlig kostnad (minutavgift)

Det går däremot inte att hitta någon formel som visar hur temperaturen varierar under ett dygn.

Rita en graf

Om man vill rita grafen till en funktion för hand gör man oftast en tabell först. Då använder man alla tre sätten att representera funktionen.

Graf

Formel

y = 2x + 3

y Kallas ofta värdetabell

Tabell

Välj några x-värden och räkna ut tillhörande y-värden med formeln.

11 9 7

3

Pricka in punkterna i ett koordinatsystem och dra linjen

1

x

5

x

y

0

3

x = 0 ger y = 2 ∙ 0 + 3 = 3

2

7

y=2∙2+3=7

4

11

y = 2 ∙ 4 + 3 = 11

1

3

5

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

117

4122 I diagrammet kan man avläsa hur långt man färdas på en viss tid med farten 70 km/h respektive 110 km/h. km

Sträcka

160 120 80 40

Tid 20 40 60 80

min

Funktioner som tabeller och formler

c-uppgifter 4125 Enligt Einsteins relativitetsteori händer något med tiden för en kropp som rör sig med en hastighet som närmar sig ljusets. Kurvan i figuren visar förhållandet mellan hastighet i procent av ljushastigheten och tidsutvidgning i procent. %

Tabell

b) En sträcka tar 50 min att köra med farten 110 km/h. Hur mycket längre blir restiden med farten 70 km/h? (Np MaA vt 2002)

Tidsutvidgning

50

4123 Rita diagram som visar hur de understrukna storheterna kan ändras med tiden. a) Hastigheten hos en 100-meters löpare under loppet. b) Höjden på en tall under 5 års tid (växer den lika mycket på vintern?). c) Längden på en människa under de 20 första levnadsåren. d) Längden på gräset på en gräsmatta under en sommar.

4124 Flaskan till höger fylls med jämn hastighet med kranvatten. Rita ett diagram som visar hur vattnets höjd i flaskan ändras med tiden.

116

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

x (min)

y (kronor)

0

0,45

1

0,68

2

0,91

3

1,14

4

1,37

5

1,60

Tabellen och grafen nedanför beskriver temperaturen i Norrtälje under ett dygn i december. Temperaturen T är en funktion av tiden t.

30 20

t (h)

T (°C)

10

0

-8

4

-9

8

-9

12

-4

16

-5

20

-10

24

-13

Hastighet 25

50

75

Procent av ljushastigheten

b-uppgifter

Variabeln y beror av x, därför kallas x den oberoende variabeln och y den beroende variabeln

40

a) Bestäm hur lång tid det tar att åka 30 km med farten 70 km/h.

Man kan också beskriva en funktion med hjälp av en tabell. För kostnaden y kr för x min samtalstid (från exemplet på sidan 114) ser tabellen ut så här:

En person som färdas i en rymdraket med halva ljushastigheten i en timme upplevs av en person på jorden ha färdats i 69 min (115 % av 60 min = 69 min). a) En person färdas i en rymdfarkost med halva ljushastigheten i en kvart. Hur länge upplevs han ha färdats av en person på jorden? b) En person färdas i en rymdfarkost med 75 % av ljushastigheten. Hur länge anser rymdfararen att han varit borta om en person på jorden bestämmer tiden till 2 dygn? c) Vad händer med tiden om hastigheten närmar sig ljushastigheten?

4126 En boll kastas rakt framåt mot ett framrusande tåg. Rita ett diagram som beskriver bollens hastighet en stund före kollisionen till en stund efter.

Formel

°C

T

4

t 2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 h

–4 –8 –12

Ytterligare ett sätt att visa funktioner är med hjälp av en formel som beskriver sambandet. För samtalskostnaden gäller formeln y = 0,23x + 0,45. y = 0,23x + 0,45

Fast kostnad (öppningsavgift)

Rörlig kostnad (minutavgift)

Det går däremot inte att hitta någon formel som visar hur temperaturen varierar under ett dygn.

Rita en graf

Om man vill rita grafen till en funktion för hand gör man oftast en tabell först. Då använder man alla tre sätten att representera funktionen.

Graf

Formel

y = 2x + 3

y Kallas ofta värdetabell

Tabell

Välj några x-värden och räkna ut tillhörande y-värden med formeln.

11 9 7

3

Pricka in punkterna i ett koordinatsystem och dra linjen

1

x

5

x

y

0

3

x = 0 ger y = 2 ∙ 0 + 3 = 3

2

7

y=2∙2+3=7

4

11

y = 2 ∙ 4 + 3 = 11

1

3

5

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

117

Skrivsättet f(x) f är den vanligaste beteckningen för en funktion, men man kan använda vilken bokstav eller symbol man vill

7 Exempel:

Det är vanligt att man skriver t.ex. f(x) i stället för y i funktioner. f är funktionens namn. Lite förenklat kan man säga att y och f(x) betyder samma sak.

I stället för att skriva att y = 15 för x = 3 kan man skriva f(3) = 15, och menar då att funktionsvärdet är 15 när x = 3.

7 Exempel:

b) Läs av värdet av x då f(x) = 0.

Lösning:

Låt f(x) = –9x + 2. a) Bestäm f(–4) b) Bestäm f(0) c) Förenkla f(1 + h) så långt som möjligt.

Lösning:

a) f(–4) = –9 ∙ (–4) + 2 = 38

a)

Tryck först Y= , skriv sedan in funktio- nen efter Y1 = genom att trycka (––) 0,7 X,T, ,n + 15. Tryck graph . Om du inte har ställt om räknarefönstret, så kommer du förmodligen inte att se mycket av grafen. Tryck på window och ändra räknarfönstrets inställningar, tryck sedan på graph igen.

b) f(x) = 0 då grafen skär x-axeln. För att läsa av ett värde på grafen trycker du på trace . Styr markören med hjälp av piltangenterna.

Sätt in –4 i stället för x

b) f(0) = –9 ∙ 0 + 2 = 2

a) Rita grafen till funktionen f(x) = –0,7x + 15 på grafräknaren.

Vi beräknar värdet av f när x = 0

Termer med x blir 0, när x = 0

Svar: Grafen skär x-axeln för x ≈ 21,4.

c) f(1 + h) = –9(1 + h) + 2 = –9 – 9h + 2 = –9h – 7 Ersätt x med 1 + h

Multiplicera in –9 i parentesen

a-uppgifter

7 Exempel:

Att hyra bil en dag kostar 450 kr. Dessutom tillkommer bensinkostnad på 8,20 kr/mil. Låt den totala kostnaden y kr vara en funktion av sträckan x mil.

Ange en formel för y som en funktion av x och rita grafen.

4131 Diagrammet visar samtalskostnaden som funktion av antalet minuter som du pratar.

4127 Låt f(x) = 3x – 1 och beräkna a) f(1)

b) f(12)

kr

c) f(–2)

4128 Gör en tabell och rita grafen till

Lösning:

y = 450 + 8,2x Fast kostnad

a) y = 2x + 5

Kostnaden ökar med 8,20 kr/mil

Värdetabell

b) y = –1,5x + 1,5

4129 Rita graferna till funktionerna

y

0

450

600

10

532

500

på din räknare.

20

614

400

a) Vilken eller vilka av graferna går genom origo?

700

300

100

10 15 20 25 30 mil

12 Tid 6

10

14 min

b) Beskriv med ord vad f(12) betyder.

x 5

20

a) Bestäm f(12).

b) Hur kan man ta reda på om grafen går genom origo, utan att rita den?

200

28

2

x

y

36

4

2

y1 = x + 2x – 5 y2 = –x2 + 7x y3 = –3x – 5

kr

Kostnad

4132 Grafen visar funktionen y = f(x). a) Bestäm f(3). b) Bestäm f(0). c) För vilka värden på x är f(x) = 0?

b-uppgifter

y

x

1 1

4130 Låt f(x) = 3x2 + 1 och beräkna a) f(2)

118

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

b) f(1)

c) f(–1)

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

119

Skrivsättet f(x) f är den vanligaste beteckningen för en funktion, men man kan använda vilken bokstav eller symbol man vill

7 Exempel:

Det är vanligt att man skriver t.ex. f(x) i stället för y i funktioner. f är funktionens namn. Lite förenklat kan man säga att y och f(x) betyder samma sak.

I stället för att skriva att y = 15 för x = 3 kan man skriva f(3) = 15, och menar då att funktionsvärdet är 15 när x = 3.

7 Exempel:

b) Läs av värdet av x då f(x) = 0.

Lösning:

Låt f(x) = –9x + 2. a) Bestäm f(–4) b) Bestäm f(0) c) Förenkla f(1 + h) så långt som möjligt.

Lösning:

a) f(–4) = –9 ∙ (–4) + 2 = 38

a)

Tryck först Y= , skriv sedan in funktio- nen efter Y1 = genom att trycka (––) 0,7 X,T, ,n + 15. Tryck graph . Om du inte har ställt om räknarefönstret, så kommer du förmodligen inte att se mycket av grafen. Tryck på window och ändra räknarfönstrets inställningar, tryck sedan på graph igen.

b) f(x) = 0 då grafen skär x-axeln. För att läsa av ett värde på grafen trycker du på trace . Styr markören med hjälp av piltangenterna.

Sätt in –4 i stället för x

b) f(0) = –9 ∙ 0 + 2 = 2

a) Rita grafen till funktionen f(x) = –0,7x + 15 på grafräknaren.

Vi beräknar värdet av f när x = 0

Termer med x blir 0, när x = 0

Svar: Grafen skär x-axeln för x ≈ 21,4.

c) f(1 + h) = –9(1 + h) + 2 = –9 – 9h + 2 = –9h – 7 Ersätt x med 1 + h

Multiplicera in –9 i parentesen

a-uppgifter

7 Exempel:

Att hyra bil en dag kostar 450 kr. Dessutom tillkommer bensinkostnad på 8,20 kr/mil. Låt den totala kostnaden y kr vara en funktion av sträckan x mil.

Ange en formel för y som en funktion av x och rita grafen.

4131 Diagrammet visar samtalskostnaden som funktion av antalet minuter som du pratar.

4127 Låt f(x) = 3x – 1 och beräkna a) f(1)

b) f(12)

kr

c) f(–2)

4128 Gör en tabell och rita grafen till

Lösning:

y = 450 + 8,2x Fast kostnad

a) y = 2x + 5

Kostnaden ökar med 8,20 kr/mil

Värdetabell

b) y = –1,5x + 1,5

4129 Rita graferna till funktionerna

y

0

450

600

10

532

500

på din räknare.

20

614

400

a) Vilken eller vilka av graferna går genom origo?

700

300

100

10 15 20 25 30 mil

12 Tid 6

10

14 min

b) Beskriv med ord vad f(12) betyder.

x 5

20

a) Bestäm f(12).

b) Hur kan man ta reda på om grafen går genom origo, utan att rita den?

200

28

2

x

y

36

4

2

y1 = x + 2x – 5 y2 = –x2 + 7x y3 = –3x – 5

kr

Kostnad

4132 Grafen visar funktionen y = f(x). a) Bestäm f(3). b) Bestäm f(0). c) För vilka värden på x är f(x) = 0?

b-uppgifter

y

x

1 1

4130 Låt f(x) = 3x2 + 1 och beräkna a) f(2)

118

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

b) f(1)

c) f(–1)

funktioner och grafer • 4.1 allmänt om funktioner

119

Exponentialfunktioner

En population med 8 000 pingviner ökar med 6,5 % per år. Tabellen beskriver ökningen.

7 Exempel:

a) Hur många bakterier fanns vid försökets start?

Tid (år) Antal pingviner

b) Hur många bakterier finns det efter en timme?

0

8 000

1

8 000 ∙ 1,065 ≈ 8 520

2

8 000 ∙ 1,0652 ≈ 9 074

3

8 000 ∙ 1,0653 ≈ 9 664

..

..

b) N(60) = 1 700 ∙ 1,0460 ≈ 17 900

t

8 000 ∙ 1,065t

c) Förändringsfaktorn 1,04 betyder en ökning med 4 % per minut.

c) Vad betyder 1,04 i formeln?

Förändringsfaktorn 1,065 motsvarar en ökning med 6,5 %

Pingvinpopulationens tillväxt beskrivs av exponentialfunktionen N = 8 000 ∙ 1,065t, där N är antalet pingviner och t är antalet år efter mätningens start. I en exponentialfunktion står variabeln, i detta fall t, i exponenten.

Upprepade procentuella förändringar där förändringsfaktorn är konstant, ger upphov till exponentialfunktioner.

Antal

N

50 000

20 000 10 000 5

Inköpspriset på en traktor är 372 000 kr. Traktorns värde sjunker med 18 % per år.

c) Efter hur många år är traktorn värd mindre än 120 000 kr?

10 15 20 25 år

Lösning:

a)

En minskning med 18 % innebär att förändringsfaktorn är 0,82, a = 0,82. Det återstår att bestämma C i funktionen y = C ∙ 0,82x.

Om x = 0 är y = 372 000, vilket ger 372 000 = C ∙ 0,820 och alltså C = 372 000.

Svar: Formeln är y = 372 000 ∙ 0,82x

b) Sätt in x = 10 i formeln. Det ger y = 372 000 ∙ 0,8210 kr ≈ 51 000 kr c) Vi ska lösa ekvationen 120 000 = 372 000 ∙ 0,82x. Det gör vi enklast med hjälp av grafräknaren.

y = Cax 0<a<1

Tryck Y= och skriv in 372 000 ∙ 0,82x efter Y1 och 120 000 efter Y2. Om du har standardfönstret inställt, så syns inga grafer när du trycker graph . Tryck window och ändra fönsterinställningen som i bilden till höger. Tryck graph igen.

Finn skärningspunkten genom någon av metoderna från sidan 120. Det ger lösningen x ≈ 5,7.

Svar: Efter 6 år är traktorn värd mindre än 150 000 kr.

x

En exponentialfunktion beskriver något som ändras med lika många procent hela tiden. En linjär funktion beskriver däremot något som ändras med lika mycket, hela tiden.

funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

60 min på en timme

b) Hur mycket är traktorn värd efter 10 år?

t

y

x

a) Vid försökets start är t = 0: N(0) = 1 700 ∙ 1,040 = 1 700 ∙ 1 = 1 700

a) Ange en formel på formen y = Cax som beskriver traktorns värde y kr efter x år.

Grafen till vänster visar en exponentialfunktion med a > 1 och grafen till höger har a < 1.

y = Cax a>1

7 Exempel:

30 000

En funktion på formen f(x) = Cax kallas exponentialfunktion.

C och a är konstanter och a > 0.

y

Lösning:

40 000

Exponentialfunktion

128

Antalet bakterier i ett biologiskt försök beskrivs med funktionen N(t)=1 700 ∙ 1,04t, där t är antalet minuter efter försökets start.

funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

129

Exponentialfunktioner

En population med 8 000 pingviner ökar med 6,5 % per år. Tabellen beskriver ökningen.

7 Exempel:

a) Hur många bakterier fanns vid försökets start?

Tid (år) Antal pingviner

b) Hur många bakterier finns det efter en timme?

0

8 000

1

8 000 ∙ 1,065 ≈ 8 520

2

8 000 ∙ 1,0652 ≈ 9 074

3

8 000 ∙ 1,0653 ≈ 9 664

..

..

b) N(60) = 1 700 ∙ 1,0460 ≈ 17 900

t

8 000 ∙ 1,065t

c) Förändringsfaktorn 1,04 betyder en ökning med 4 % per minut.

c) Vad betyder 1,04 i formeln?

Förändringsfaktorn 1,065 motsvarar en ökning med 6,5 %

Pingvinpopulationens tillväxt beskrivs av exponentialfunktionen N = 8 000 ∙ 1,065t, där N är antalet pingviner och t är antalet år efter mätningens start. I en exponentialfunktion står variabeln, i detta fall t, i exponenten.

Upprepade procentuella förändringar där förändringsfaktorn är konstant, ger upphov till exponentialfunktioner.

Antal

N

50 000

20 000 10 000 5

Inköpspriset på en traktor är 372 000 kr. Traktorns värde sjunker med 18 % per år.

c) Efter hur många år är traktorn värd mindre än 120 000 kr?

10 15 20 25 år

Lösning:

a)

En minskning med 18 % innebär att förändringsfaktorn är 0,82, a = 0,82. Det återstår att bestämma C i funktionen y = C ∙ 0,82x.

Om x = 0 är y = 372 000, vilket ger 372 000 = C ∙ 0,820 och alltså C = 372 000.

Svar: Formeln är y = 372 000 ∙ 0,82x

b) Sätt in x = 10 i formeln. Det ger y = 372 000 ∙ 0,8210 kr ≈ 51 000 kr c) Vi ska lösa ekvationen 120 000 = 372 000 ∙ 0,82x. Det gör vi enklast med hjälp av grafräknaren.

y = Cax 0<a<1

Tryck Y= och skriv in 372 000 ∙ 0,82x efter Y1 och 120 000 efter Y2. Om du har standardfönstret inställt, så syns inga grafer när du trycker graph . Tryck window och ändra fönsterinställningen som i bilden till höger. Tryck graph igen.

Finn skärningspunkten genom någon av metoderna från sidan 120. Det ger lösningen x ≈ 5,7.

Svar: Efter 6 år är traktorn värd mindre än 150 000 kr.

x

En exponentialfunktion beskriver något som ändras med lika många procent hela tiden. En linjär funktion beskriver däremot något som ändras med lika mycket, hela tiden.

funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

60 min på en timme

b) Hur mycket är traktorn värd efter 10 år?

t

y

x

a) Vid försökets start är t = 0: N(0) = 1 700 ∙ 1,040 = 1 700 ∙ 1 = 1 700

a) Ange en formel på formen y = Cax som beskriver traktorns värde y kr efter x år.

Grafen till vänster visar en exponentialfunktion med a > 1 och grafen till höger har a < 1.

y = Cax a>1

7 Exempel:

30 000

En funktion på formen f(x) = Cax kallas exponentialfunktion.

C och a är konstanter och a > 0.

y

Lösning:

40 000

Exponentialfunktion

128

Antalet bakterier i ett biologiskt försök beskrivs med funktionen N(t)=1 700 ∙ 1,04t, där t är antalet minuter efter försökets start.

funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

129

a-uppgifter 4229 Kapitalet K kr på ett bankkonto ges av formeln K = 4 400 ∙ 1,02t, där t är tiden räknad i år. a) Hur mycket pengar finns det på kontot efter 8 år? b) Vad betyder talet 4 400 i formeln?

4230 Vilken graf hör ihop med vilken funktion? y1 = 2x y2 = 3x y3 = 0,4x y4 = 2x + 3 y5 = 2x – 3

y

A

C D

B x

1 1 E

4235 Ett radioaktivt preparat sönderfaller enligt formeln N = N0 ∙ 2–t/T, där N är den återstående mängden radioaktivt preparat, N0 den ursprungliga mängden, t är den tid som förflutit sedan sönderfallet började och T den så kallade halveringstiden, dvs. den tid det tar för mängden radioaktivt preparatet att halveras. Hur många procent återstår av följande ämnen efter 1 000 år?

238U

a)

b)

14C

c)

35S

4239 Kalle har sina sparpengar på ett konto med räntesatsen 2 %, medan Joakim lyckats hitta ett konto med 4 % räntesats. Ingen av dem gör några insättningar eller uttag på dessa konton. Med hur många procent mer än Kalles pengar har Joakims pengar växt efter a) 10 år

b) 20 år

a) Alternativ 1

5,73 ∙ 103 år

b) Alternativ 2

24Na

15,0 h

c) Vilket alternativ är bäst för Leena?

35

S

88 dygn

a) Vilken temperatur hade kaffet då det hälldes i termosen?

210Pb

22,3 år

220

55,6 s

b) Vilken temperatur har kaffet efter 5 timmar?

238U

4,5 ∙ 109 år

4232 Rita grafen till y = 2x, y = 3x och y = 4x i samma koordinatsystem. a) Graferna skär varandra i samma punkt.

Vilken är skärningspunkten? b) Går även graferna till t.ex. y = 5x och y = 0,5x genom samma punkt? c) Förklara resultatet.

b-uppgifter 4233 Antalet bakterier i en odling förändras enligt formeln N = 3 600 ∙ 1,044t, där t är tiden i minuter och N är antalet bakterier. a) Hur många bakterier fanns det när odlingen påbörjades? b) Hur många bakterier finns det efter en timme? c) Vid vilken tidpunkt är det 10 000 bakterier i odlingen? Lös med hjälp av grafräknaren eller pröva dig fram. funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

4236 Therese matar in funktionerna y = 2x, y = 22x, y = 3x och y = 4x på sin grafräknare.

När hon ritar graferna, så ser hon bara tre stycken i stället för fyra. Förklara varför.

4237 Temperaturen T °C på kaffet i Klas termos i uppgift 4231 beskrivs av formeln T = 96 ∙ 0,96t, t timmar efter att termosen fyllts. Klas dricker inte kaffe som är kallare än 60 °C vid serveringen. Hur länge duger kaffet i termosen åt Klas?

c-uppgifter 4238 En lägenhet på Övermalm har under en tioårsperiod ökat i värde med 7,3 % per år. a) Ställ upp en formel som visar värdeökningen för en lägenhet som kostade A kr för 10 år sedan.

b) exponentiellt

Skriv en formel som visar Leenas månadslön efter t år enligt

14

Rn

a) linjärt

Alternativ 1: Höjning med 1 000 kr/mån Alternativ 2: Höjning med 4 %

Halveringstid

C

4242 Mattias inventerar ett område för att bestämma hur vanlig en viss växt är. Han lägger ut en provruta och räknar alla plantor av den arten i det området. Han hittar 22 exemplar.

Efter 2 år gör han om inventeringen och finner då 26 exemplar i samma ruta. Hur många exemplar borde han finna efter 10 år om förändringen sker

4240 Leena har 22 000 kr i månadslön. Hon ska få en löneförhöjning varje år och får välja mellan två alternativ.

Ämne

4231 Temperaturen T °C på kaffet i Klas termos t timmar efter att termosen fyllts beskrivs av formeln T = 96 ∙ 0,96t.

130

4234 Befolkningsantalet i ett land har sedan år 1980 utvecklats enligt formeln y = 3,2 ∙ 1,039t, där y är invånarantalet i miljoner och t är antalet år efter år 1980. Tolka konstanterna 3,2 och 1,039 i formeln.

4241 Rita graferna till f(x) = 2x och g(x) = 0,5x i samma koordinatsystem. Graferna är varandras spegelbild i y-axeln. Förklara varför.

Diskutera och fundera • Vad är skillnaden mellan en linjär funktion som beskriver en proportionalitet och en som inte gör det?

• Varför beskriver kostnaden för ett vanligt telefonsamtal med öppningsavgift inte en proportionalitet?

• Nämn minst en likhet och en skillnad mellan graferna till funktionerna y = 3x och y = –3x.

• Varför är f(x) = 3x en exponentialfunktion, men inte g(x) = x3?

• Hur ser grafen till en exponentialfunktion ut om a = 1?

b) Hur mycket är en lägenhet som kostade 880 000 kr för tio år sedan värd i dag? funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

131

a-uppgifter 4229 Kapitalet K kr på ett bankkonto ges av formeln K = 4 400 ∙ 1,02t, där t är tiden räknad i år. a) Hur mycket pengar finns det på kontot efter 8 år? b) Vad betyder talet 4 400 i formeln?

4230 Vilken graf hör ihop med vilken funktion? y1 = 2x y2 = 3x y3 = 0,4x y4 = 2x + 3 y5 = 2x – 3

y

A

C D

B x

1 1 E

4235 Ett radioaktivt preparat sönderfaller enligt formeln N = N0 ∙ 2–t/T, där N är den återstående mängden radioaktivt preparat, N0 den ursprungliga mängden, t är den tid som förflutit sedan sönderfallet började och T den så kallade halveringstiden, dvs. den tid det tar för mängden radioaktivt preparatet att halveras. Hur många procent återstår av följande ämnen efter 1 000 år?

238U

a)

b)

14C

c)

35S

4239 Kalle har sina sparpengar på ett konto med räntesatsen 2 %, medan Joakim lyckats hitta ett konto med 4 % räntesats. Ingen av dem gör några insättningar eller uttag på dessa konton. Med hur många procent mer än Kalles pengar har Joakims pengar växt efter a) 10 år

b) 20 år

a) Alternativ 1

5,73 ∙ 103 år

b) Alternativ 2

24Na

15,0 h

c) Vilket alternativ är bäst för Leena?

35

S

88 dygn

a) Vilken temperatur hade kaffet då det hälldes i termosen?

210Pb

22,3 år

220

55,6 s

b) Vilken temperatur har kaffet efter 5 timmar?

238U

4,5 ∙ 109 år

4232 Rita grafen till y = 2x, y = 3x och y = 4x i samma koordinatsystem. a) Graferna skär varandra i samma punkt.

Vilken är skärningspunkten? b) Går även graferna till t.ex. y = 5x och y = 0,5x genom samma punkt? c) Förklara resultatet.

b-uppgifter 4233 Antalet bakterier i en odling förändras enligt formeln N = 3 600 ∙ 1,044t, där t är tiden i minuter och N är antalet bakterier. a) Hur många bakterier fanns det när odlingen påbörjades? b) Hur många bakterier finns det efter en timme? c) Vid vilken tidpunkt är det 10 000 bakterier i odlingen? Lös med hjälp av grafräknaren eller pröva dig fram. funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

4236 Therese matar in funktionerna y = 2x, y = 22x, y = 3x och y = 4x på sin grafräknare.

När hon ritar graferna, så ser hon bara tre stycken i stället för fyra. Förklara varför.

4237 Temperaturen T °C på kaffet i Klas termos i uppgift 4231 beskrivs av formeln T = 96 ∙ 0,96t, t timmar efter att termosen fyllts. Klas dricker inte kaffe som är kallare än 60 °C vid serveringen. Hur länge duger kaffet i termosen åt Klas?

c-uppgifter 4238 En lägenhet på Övermalm har under en tioårsperiod ökat i värde med 7,3 % per år. a) Ställ upp en formel som visar värdeökningen för en lägenhet som kostade A kr för 10 år sedan.

b) exponentiellt

Skriv en formel som visar Leenas månadslön efter t år enligt

14

Rn

a) linjärt

Alternativ 1: Höjning med 1 000 kr/mån Alternativ 2: Höjning med 4 %

Halveringstid

C

4242 Mattias inventerar ett område för att bestämma hur vanlig en viss växt är. Han lägger ut en provruta och räknar alla plantor av den arten i det området. Han hittar 22 exemplar.

Efter 2 år gör han om inventeringen och finner då 26 exemplar i samma ruta. Hur många exemplar borde han finna efter 10 år om förändringen sker

4240 Leena har 22 000 kr i månadslön. Hon ska få en löneförhöjning varje år och får välja mellan två alternativ.

Ämne

4231 Temperaturen T °C på kaffet i Klas termos t timmar efter att termosen fyllts beskrivs av formeln T = 96 ∙ 0,96t.

130

4234 Befolkningsantalet i ett land har sedan år 1980 utvecklats enligt formeln y = 3,2 ∙ 1,039t, där y är invånarantalet i miljoner och t är antalet år efter år 1980. Tolka konstanterna 3,2 och 1,039 i formeln.

4241 Rita graferna till f(x) = 2x och g(x) = 0,5x i samma koordinatsystem. Graferna är varandras spegelbild i y-axeln. Förklara varför.

Diskutera och fundera • Vad är skillnaden mellan en linjär funktion som beskriver en proportionalitet och en som inte gör det?

• Varför beskriver kostnaden för ett vanligt telefonsamtal med öppningsavgift inte en proportionalitet?

• Nämn minst en likhet och en skillnad mellan graferna till funktionerna y = 3x och y = –3x.

• Varför är f(x) = 3x en exponentialfunktion, men inte g(x) = x3?

• Hur ser grafen till en exponentialfunktion ut om a = 1?

b) Hur mycket är en lägenhet som kostade 880 000 kr för tio år sedan värd i dag? funktioner och grafer • 4.2 speciella funktioner

131

historia

h

Cogito, ergo sum Cartesius

René Descartes (1596–1650) undervisar drottning Kristina.

z y x

Ett kartesiskt koordinatsystem.

Mannen bakom koordinatsystemet, René Descartes, även kallad Cartesius, föddes år 1596 i La Haye i Frankrike. Descartes kom från en adlig, rik familj och fick möjlighet att studera, forska och författa. Han har påverkat filosofin på ett betydelsefullt sätt. Descartes ifrågasatte allt, men fann i själva tvivlet ett bevis för sin existens. Hans mest kända uttalande är ”Cogito, ergo sum”, som betyder ”Jag tänker alltså är jag till”.

Descartes gjorde också många banbrytande upptäckter inom matematikens område. Han skapade den analytiska geometrin, den gren av geometrin där man studerar räta linjer, kurvor, plan och ytor med hjälp av koordinatsystem och algebra.

Kartesiskt koordinatsystem Det var en fluga som skulle leda honom fram till en av hans största upptäckter. En morgon när han låg och filosoferade i sin säng, fick han se en fluga komma gående i taket. Han följde den med blicken och plötsligt slog honom tanken att han kunde beskriva flugans läge genom att ange avståndet till två väggar med ett gemensamt hörn. Han kunde till och med beskriva vilket läge som helst i rummet genom att ange avståndet från två väggar med ett gemensamt hörn och avståndet från golvet. Det kartesiska koordinatsystemet var fött. Varje punkt i planet kan anges med två koordinater, x och y. I rummet kan man ange varje punkt med hjälp av tre koordinater, x, y och z. År 1649 blev han inbjuden till Stockholm av drottning Kristina som hennes privatlärare. Han tvingades stiga upp tidigt på morgnarna och frös mycket på det kalla slottet. Det klarade inte den klene Descartes av och i februari 1650 dog han i lunginflammation.

GPS

h ? Välj ett föremål i det rum du befinner dig i.

Beskriv föremålets läge.

Ange origo och föremålets koordinaterna för din kompis. Kan han eller hon lista ut vilket föremål du tänker på?

132

Varje punkt i rummet kan beskrivas med tre koordinater. På ungefär samma sätt kan varje objekt positionsbestämmas med cirka 10 meters noggrannhet med hjälp av GPS (Global Positioning System). Det är ett satellitnavigationssystem för bestämning av positioner hos båtar, flygplan, landfordon eller personer. GPS har ett system av 24 satelliter i sex banor på 22 000 km höjd med 12 timmars omloppstid. Satelliternas sänder tidsuppgifter till mottagarna som ska positionsbestämmas. Skillnaden mellan skickad tid och tid vid mottagandet anger avståndet till satelliten.

Kombinationen av data från flera satelliter ger mottagarens position, med latitud, longitud och höjd över marken.

funktioner och grafer • historia

Blandade uppgifter a-uppgifter

7 Rita grafen till den funktion som beskrivs av tabellen.

1 Rita ett koordinatsystem och pricka in följande punkter A = (3, 5)

B = (–2, 1)

C = (2, 0)

D = (–1, –3)

2 En inredningsarkitekt tar 500 kr för ett hembesök och sedan 380 kr för varje timme hon befinner sig i kundens hem. Låt S vara priset som kunden får betala och t antalet timmar som besöket varar. a) Ange en formel för funktionen där S är summan i kr och t antalet timmar som besöket varar.

65

8

80

9 Låt f(x) = 5x – 12. Bestäm a) f(2)

b) f(–3)

c) x då f(x) = 0

d) f(a)

b) f(1)

c) f(–2)

11 Beskriv funktionen y = –3x – 4 med hjälp av en a) tabell

3 Ange de markerade punkternas koordinater.

A

6

8 Rita grafen som visar hastigheten som en funktion av tiden, när en bil börjar en färd som slutar med hastigheten 80 km/h.

a) f(0)

c) När kommer besöket att kosta mer än 2 000 kr?

y

b) graf

12 Vilket k- och m-värde har funktionerna? a) y = –4x + 1 5x 1 ​ ​ ​ ​ – __ c) y = ___ 2 3

x

1 D 1

y 50

10 Låt f(x) = 3x3 – 7x – 4. Beräkna

b) Rita funktionens graf.

C

x 4

b) y = 7 + 3,5x 2x d) y = – ___ ​ ​ 9

13 Ange en linjär funktion med B

4 Vad skulle grafen till höger ö kunna visa? Rita av den och gradera axlarna på lämpligt sätt.

y

a) k = 4 och m = –3

b) k = 0 och m = 4,5

c) k = 3 och m = 0

d) k = m = 0

14 2,851 kg vindruvor på lösvikt kostar 70,99 kr. x

5 Vilken figur bildas, om man sammanbinder följande punkter?

(0, 0), (–3, 0), (–2, –2), (2, –2), (3, 0), (0, 0), (0, 5), (–3, 1), (3, 1), (0, 5) 6 En rektangel har tre av sina hörn i punkterna (7, 5), (–2,5; 5) och (7, –1). Bestäm rektangelns omkrets.

a) Vilket är kilopriset? b) Skriv priset y kr som en funktion av vikten x kg.

15 Priset på äpplen är proportionellt mot vikten.

Vilka värden har a och b?

Vikt (kg)

3

5

b

Pris (kr)

27

a

72

(Np MaA vt 1999)

funktioner och grafer • blandade uppgifter

133

historia

h

Cogito, ergo sum Cartesius

René Descartes (1596–1650) undervisar drottning Kristina.

z y x

Ett kartesiskt koordinatsystem.

Mannen bakom koordinatsystemet, René Descartes, även kallad Cartesius, föddes år 1596 i La Haye i Frankrike. Descartes kom från en adlig, rik familj och fick möjlighet att studera, forska och författa. Han har påverkat filosofin på ett betydelsefullt sätt. Descartes ifrågasatte allt, men fann i själva tvivlet ett bevis för sin existens. Hans mest kända uttalande är ”Cogito, ergo sum”, som betyder ”Jag tänker alltså är jag till”.

Descartes gjorde också många banbrytande upptäckter inom matematikens område. Han skapade den analytiska geometrin, den gren av geometrin där man studerar räta linjer, kurvor, plan och ytor med hjälp av koordinatsystem och algebra.

Kartesiskt koordinatsystem Det var en fluga som skulle leda honom fram till en av hans största upptäckter. En morgon när han låg och filosoferade i sin säng, fick han se en fluga komma gående i taket. Han följde den med blicken och plötsligt slog honom tanken att han kunde beskriva flugans läge genom att ange avståndet till två väggar med ett gemensamt hörn. Han kunde till och med beskriva vilket läge som helst i rummet genom att ange avståndet från två väggar med ett gemensamt hörn och avståndet från golvet. Det kartesiska koordinatsystemet var fött. Varje punkt i planet kan anges med två koordinater, x och y. I rummet kan man ange varje punkt med hjälp av tre koordinater, x, y och z. År 1649 blev han inbjuden till Stockholm av drottning Kristina som hennes privatlärare. Han tvingades stiga upp tidigt på morgnarna och frös mycket på det kalla slottet. Det klarade inte den klene Descartes av och i februari 1650 dog han i lunginflammation.

GPS

h ? Välj ett föremål i det rum du befinner dig i.

Beskriv föremålets läge.

Ange origo och föremålets koordinaterna för din kompis. Kan han eller hon lista ut vilket föremål du tänker på?

132

Varje punkt i rummet kan beskrivas med tre koordinater. På ungefär samma sätt kan varje objekt positionsbestämmas med cirka 10 meters noggrannhet med hjälp av GPS (Global Positioning System). Det är ett satellitnavigationssystem för bestämning av positioner hos båtar, flygplan, landfordon eller personer. GPS har ett system av 24 satelliter i sex banor på 22 000 km höjd med 12 timmars omloppstid. Satelliternas sänder tidsuppgifter till mottagarna som ska positionsbestämmas. Skillnaden mellan skickad tid och tid vid mottagandet anger avståndet till satelliten.

Kombinationen av data från flera satelliter ger mottagarens position, med latitud, longitud och höjd över marken.

funktioner och grafer • historia

Blandade uppgifter a-uppgifter

7 Rita grafen till den funktion som beskrivs av tabellen.

1 Rita ett koordinatsystem och pricka in följande punkter A = (3, 5)

B = (–2, 1)

C = (2, 0)

D = (–1, –3)

2 En inredningsarkitekt tar 500 kr för ett hembesök och sedan 380 kr för varje timme hon befinner sig i kundens hem. Låt S vara priset som kunden får betala och t antalet timmar som besöket varar. a) Ange en formel för funktionen där S är summan i kr och t antalet timmar som besöket varar.

65

8

80

9 Låt f(x) = 5x – 12. Bestäm a) f(2)

b) f(–3)

c) x då f(x) = 0

d) f(a)

b) f(1)

c) f(–2)

11 Beskriv funktionen y = –3x – 4 med hjälp av en a) tabell

3 Ange de markerade punkternas koordinater.

A

6

8 Rita grafen som visar hastigheten som en funktion av tiden, när en bil börjar en färd som slutar med hastigheten 80 km/h.

a) f(0)

c) När kommer besöket att kosta mer än 2 000 kr?

y

b) graf

12 Vilket k- och m-värde har funktionerna? a) y = –4x + 1 5x 1 ​ ​ ​ ​ – __ c) y = ___ 2 3

x

1 D 1

y 50

10 Låt f(x) = 3x3 – 7x – 4. Beräkna

b) Rita funktionens graf.

C

x 4

b) y = 7 + 3,5x 2x d) y = – ___ ​ ​ 9

13 Ange en linjär funktion med B

4 Vad skulle grafen till höger ö kunna visa? Rita av den och gradera axlarna på lämpligt sätt.

y

a) k = 4 och m = –3

b) k = 0 och m = 4,5

c) k = 3 och m = 0

d) k = m = 0

14 2,851 kg vindruvor på lösvikt kostar 70,99 kr. x

5 Vilken figur bildas, om man sammanbinder följande punkter?

(0, 0), (–3, 0), (–2, –2), (2, –2), (3, 0), (0, 0), (0, 5), (–3, 1), (3, 1), (0, 5) 6 En rektangel har tre av sina hörn i punkterna (7, 5), (–2,5; 5) och (7, –1). Bestäm rektangelns omkrets.

a) Vilket är kilopriset? b) Skriv priset y kr som en funktion av vikten x kg.

15 Priset på äpplen är proportionellt mot vikten.

Vilka värden har a och b?

Vikt (kg)

3

5

b

Pris (kr)

27

a

72

(Np MaA vt 1999)

funktioner och grafer • blandade uppgifter

133

c-uppgifter

16 Priset på guld är 127 000 kr/kg. a) Rita en graf som visar kostnaden som en funktion av mängden guld man köper.

28 a) Ange en funktion där f(1) = f(–1) b) Ange en funktion där f(–5) = –f(5)

b) Konstruera en formel som beräknar kostnaden när man köper en viss mängd guld.

29 Lös ekvationen 2x3 – 2x2 + 2x – 5 = 0 med grafritande räknare. Svara med två decimalers noggrannhet.

17 Var skär grafen till funktionen y = 3x – 7 a) y-axeln?

b) x-axeln?

18 25,0 g kol innehåller 1,25 · 1024 st kolatomer.

Hur många kolatomer innehåller 42,0 g kol, om massan är proportionell mot antalet kolatomer?

19 Olle kör bil med hastigheten 110 km/h. Teckna den körda sträckan y km som en funktion av tiden x h. Rita funktionens graf för de första 5 timmarnas bilfärd.

20 Rita en graf som visar ringblommans höjd de första sex veckorna efter att fröet har såtts i rabatten.

Kostnad

100

Undersökningar

80 60 40 20

Sträcka

0

0

1

0

a) Vad kostar en 10 kilometer lång taxiresa?

2

2

b) Hur långt kommer man för 100 kr?

3

8

4

17

5

29

6

35

b) Hur många bakterier fanns i odlingen från början? c) Med hur många procent ökar antalet bakterier för varje timme?

b-uppgifter 22 a) Ge exempel på en funktion y = f(x) som ger ö samma y-värde för olika x-värden. b) Ge exempel på en funktion f(x) där funktionsvärdet minskar med ökande x-värden.

134

kr 120

Höjd (cm)

a) Rita grafen.

funktioner och grafer • blandade uppgifter

31 Värdet på en moped sjunker exponentiellt med lika många procent varje år. Hur stor är den årliga procentuella värdeminskningen, om mopeden är värd 7 300 kr efter tre år och kostade 11 900 kr som ny?

23 Grafen visar hur kostnaden för en taxiresa varierar med resans längd.

Tid (veckor)

21 Funktionen N(t) = 5 000 · 1,3t ger antalet bakterier i en odling efter t timmar.

30 Skissera en graf som visar hastigheten som en funktion av tiden för fallskärmshopparen Jenny, om hoppet varar i 6 minuter och hon faller fritt de första 40 sekunderna.

2

4

6

8

10 12 km

c) Tolka grafens skärningspunkt med y-axeln. d) Ange funktionen för hur priset y kronor beror av resans längd x kilometer.

24 Rita funktionerna y = x2 och y = 3 – x på din räknare. I vilka punkter skär graferna varandra?

sänka skepp

vad betyder k och m?

Spela sänka skepp med en kompis.

1. Skriv in y1 = 2x + 3 på grafräknaren och tryck graph .

1. Gör spelplaner genom att rita var sitt koordinatsystem där –3 ≤ x ≤ 3 och –3 ≤ y ≤ 3. Pricka in dina båtar på det ena koordinatsystemet. (Visa inte din motspelare.) Så här kan det se ut:

x

1 1

a) x-axeln?

b) y-axeln?

27 Kapitalet K kronor efter t år i en räntefond beskrivs av formeln K(t) = 10 000 ∙ 1,042t. a) Hur mycket sattes in i fonden från början? b) Vilken är den årliga räntesatsen? c) Hur lång tid tar det innan kapitalet överstiger 15 000 kronor?

.

3. Skriv sedan y3 = 4x + 3 och därefter y4 = 0,5x + 3 och titta på graferna.

• Fundera över hur grafen till y = –2x + 3 ser ut.

Rita den på räknaren.

• Vilken betydelse har k i formeln y = kx + m?

4. Skriv in y1 = 2x + 3 på grafräknaren och tryck graph .

25 Lös ekvationen 3x2 – x = x + 8 med hjälp av din räknare.

26 Var skär grafen till funktionen y = 2x – 4

graph

• Jämför graferna med varandra. Vilka likheter och skillnader finns?

y Ändra gärna antalet båtar och storleken på dem om ni vill

2. Skriv in y2 = 3x + 3 och tryck

Ubåt 3 st Jagare 2 st Hangarfartyg 1 st

2. Turas om med att ange koordinater. Om skepp finns på koordinaten så säger man ”träff ” och eventuellt ”sänkt” om hela båten träffats. Den som sänkt motspelarens alla skepp har vunnit spelet.

5. Skriv in y2 = 2x + 1 och tryck

graph

.

6. Skriv sedan y3 = 2x och därefter y4 =2x – 5 och titta på graferna.

• Vad skiljer graferna åt?

• Vilka likheter finns?

• Fundera över hur grafen till y = 2x + 10 ser ut.

Rita den på räknaren.

• Vilken betydelse har m i formeln y = kx + m?

• Sammanfatta dina slutsatser.

funktioner och grafer • blandade uppgifter

135

c-uppgifter

16 Priset på guld är 127 000 kr/kg. a) Rita en graf som visar kostnaden som en funktion av mängden guld man köper.

28 a) Ange en funktion där f(1) = f(–1) b) Ange en funktion där f(–5) = –f(5)

b) Konstruera en formel som beräknar kostnaden när man köper en viss mängd guld.

29 Lös ekvationen 2x3 – 2x2 + 2x – 5 = 0 med grafritande räknare. Svara med två decimalers noggrannhet.

17 Var skär grafen till funktionen y = 3x – 7 a) y-axeln?

b) x-axeln?

18 25,0 g kol innehåller 1,25 · 1024 st kolatomer.

Hur många kolatomer innehåller 42,0 g kol, om massan är proportionell mot antalet kolatomer?

19 Olle kör bil med hastigheten 110 km/h. Teckna den körda sträckan y km som en funktion av tiden x h. Rita funktionens graf för de första 5 timmarnas bilfärd.

20 Rita en graf som visar ringblommans höjd de första sex veckorna efter att fröet har såtts i rabatten.

Kostnad

100

Undersökningar

80 60 40 20

Sträcka

0

0

1

0

a) Vad kostar en 10 kilometer lång taxiresa?

2

2

b) Hur långt kommer man för 100 kr?

3

8

4

17

5

29

6

35

b) Hur många bakterier fanns i odlingen från början? c) Med hur många procent ökar antalet bakterier för varje timme?

b-uppgifter 22 a) Ge exempel på en funktion y = f(x) som ger ö samma y-värde för olika x-värden. b) Ge exempel på en funktion f(x) där funktionsvärdet minskar med ökande x-värden.

134

kr 120

Höjd (cm)

a) Rita grafen.

funktioner och grafer • blandade uppgifter

31 Värdet på en moped sjunker exponentiellt med lika många procent varje år. Hur stor är den årliga procentuella värdeminskningen, om mopeden är värd 7 300 kr efter tre år och kostade 11 900 kr som ny?

23 Grafen visar hur kostnaden för en taxiresa varierar med resans längd.

Tid (veckor)

21 Funktionen N(t) = 5 000 · 1,3t ger antalet bakterier i en odling efter t timmar.

30 Skissera en graf som visar hastigheten som en funktion av tiden för fallskärmshopparen Jenny, om hoppet varar i 6 minuter och hon faller fritt de första 40 sekunderna.

2

4

6

8

10 12 km

c) Tolka grafens skärningspunkt med y-axeln. d) Ange funktionen för hur priset y kronor beror av resans längd x kilometer.

24 Rita funktionerna y = x2 och y = 3 – x på din räknare. I vilka punkter skär graferna varandra?

sänka skepp

vad betyder k och m?

Spela sänka skepp med en kompis.

1. Skriv in y1 = 2x + 3 på grafräknaren och tryck graph .

1. Gör spelplaner genom att rita var sitt koordinatsystem där –3 ≤ x ≤ 3 och –3 ≤ y ≤ 3. Pricka in dina båtar på det ena koordinatsystemet. (Visa inte din motspelare.) Så här kan det se ut:

x

1 1

a) x-axeln?

b) y-axeln?

27 Kapitalet K kronor efter t år i en räntefond beskrivs av formeln K(t) = 10 000 ∙ 1,042t. a) Hur mycket sattes in i fonden från början? b) Vilken är den årliga räntesatsen? c) Hur lång tid tar det innan kapitalet överstiger 15 000 kronor?

.

3. Skriv sedan y3 = 4x + 3 och därefter y4 = 0,5x + 3 och titta på graferna.

• Fundera över hur grafen till y = –2x + 3 ser ut.

Rita den på räknaren.

• Vilken betydelse har k i formeln y = kx + m?

4. Skriv in y1 = 2x + 3 på grafräknaren och tryck graph .

25 Lös ekvationen 3x2 – x = x + 8 med hjälp av din räknare.

26 Var skär grafen till funktionen y = 2x – 4

graph

• Jämför graferna med varandra. Vilka likheter och skillnader finns?

y Ändra gärna antalet båtar och storleken på dem om ni vill

2. Skriv in y2 = 3x + 3 och tryck

Ubåt 3 st Jagare 2 st Hangarfartyg 1 st

2. Turas om med att ange koordinater. Om skepp finns på koordinaten så säger man ”träff ” och eventuellt ”sänkt” om hela båten träffats. Den som sänkt motspelarens alla skepp har vunnit spelet.

5. Skriv in y2 = 2x + 1 och tryck

graph

.

6. Skriv sedan y3 = 2x och därefter y4 =2x – 5 och titta på graferna.

• Vad skiljer graferna åt?

• Vilka likheter finns?

• Fundera över hur grafen till y = 2x + 10 ser ut.

Rita den på räknaren.

• Vilken betydelse har m i formeln y = kx + m?

• Sammanfatta dina slutsatser.

funktioner och grafer • blandade uppgifter

135

Kapitel 4

1 Vilka koordinater har punkterna?

Funktioner och grafer 6 Rita grafen till funktionen f(x) = 0,5x – 4 för hand.

y A

7 Diagrammet visar kostnaden för ett telefonsamtal. x

1 B

1

C

kr

• samband • y = f(x) • oberoende variabel x

Kostnad

Koordinatsystem

• beroende variabel y

1,5

y

a) Hur mycket pengar satte Anders in? b) Hur stor är räntesatsen på kontot?

4 Visar tabellerna y som en funktion av x? b)

6

7 min

8 Lös ekvationen x2 – 2 = 2x + 3 på räknaren.

9 Bamrah investerar 12 000 kr i en aktiefond.

Hur många år tar det för värdet att växa till 15 500 kr, om den årliga procentuella tillväxten är 4,3 %?

10 Vilken eller vilka av funktionerna är linjära funktioner?

x

y

5

0

4

f(x) = 3x +

–1

2

0

3

0

1

1

2

1

2

1

1

g(x) = –5 7 h(x) = __ ​ ​x – 1 3

2

5

2

0

2

–1

5 Ange k och m i funktionerna

x b) y = __ ​ ​+ 7

136

5

c) Vilken är samtalskostnaden per minut?

3 Anders har satt in pengar på ett konto.

Kapitalet K efter t år beskrivs av formeln K = 8 500 ∙ 1,019t kr.

a) y = –15x + 4

4

b) Hur mycket kostar det att tala i 5 minuter?

D y = –3x + 1

–2

3

a) Hur stor är öppningsavgiften för samtalet?

1

C y = –2x + 3

y

2

x

1

funktioner och grafer • kapiteltest

2

• origo

Tid 1

B y = 3x + 1

a) x

• koordinataxlar x och y

0,5

A y = 2x + 5

!

Funktion

1,0

2 Vilken funktion visar grafen?

tankekarta

kapiteltest

?

x2

• fyra kvadranter

Beskriv en funktion

• en punkts läge beskrivs av koordinater (x, y) • ett diagram har storheter på axlarna

• graf • tabell • formel

Proportionalitet • direkt proportionalitet y = kx • proportionalitet t.ex. y = kx2

Linjär funktion • rät linje • räta linjens ekvation y = kx + m, k och m konstanter

Direkt proportionalitet • rät linje genom origo

Exponentialfunktioner

11 48,32 liter bensin kostar 509,29 kr. Priset är en direkt proportionalitet mot volymen.

• y = Cax

a) Ange proportionalitetskonstanten.

• a > 1 • 0 < a < 1

• y = kx • linjär funktion med m = 0 • k kallas proportionalitetskonstant

y

x

b) Vad betyder proportionalitetskonstanten? c) Ange en formel som visar priset y kr som en funktion av volymen x liter.

k • omvänd proportionalitet t.ex. y = ​ __ ​ x

y

x

funktioner och grafer • tankekarta

137

Kapitel 4

1 Vilka koordinater har punkterna?

Funktioner och grafer 6 Rita grafen till funktionen f(x) = 0,5x – 4 för hand.

y A

7 Diagrammet visar kostnaden för ett telefonsamtal. x

1 B

1

C

kr

• samband • y = f(x) • oberoende variabel x

Kostnad

Koordinatsystem

• beroende variabel y

1,5

y

a) Hur mycket pengar satte Anders in? b) Hur stor är räntesatsen på kontot?

4 Visar tabellerna y som en funktion av x? b)

6

7 min

8 Lös ekvationen x2 – 2 = 2x + 3 på räknaren.

9 Bamrah investerar 12 000 kr i en aktiefond.

Hur många år tar det för värdet att växa till 15 500 kr, om den årliga procentuella tillväxten är 4,3 %?

10 Vilken eller vilka av funktionerna är linjära funktioner?

x

y

5

0

4

f(x) = 3x +

–1

2

0

3

0

1

1

2

1

2

1

1

g(x) = –5 7 h(x) = __ ​ ​x – 1 3

2

5

2

0

2

–1

5 Ange k och m i funktionerna

x b) y = __ ​ ​+ 7

136

5

c) Vilken är samtalskostnaden per minut?

3 Anders har satt in pengar på ett konto.

Kapitalet K efter t år beskrivs av formeln K = 8 500 ∙ 1,019t kr.

a) y = –15x + 4

4

b) Hur mycket kostar det att tala i 5 minuter?

D y = –3x + 1

–2

3

a) Hur stor är öppningsavgiften för samtalet?

1

C y = –2x + 3

y

2

x

1

funktioner och grafer • kapiteltest

2

• origo

Tid 1

B y = 3x + 1

a) x

• koordinataxlar x och y

0,5

A y = 2x + 5

!

Funktion

1,0

2 Vilken funktion visar grafen?

tankekarta

kapiteltest

?

x2

• fyra kvadranter

Beskriv en funktion

• en punkts läge beskrivs av koordinater (x, y) • ett diagram har storheter på axlarna

• graf • tabell • formel

Proportionalitet • direkt proportionalitet y = kx • proportionalitet t.ex. y = kx2

Linjär funktion • rät linje • räta linjens ekvation y = kx + m, k och m konstanter

Direkt proportionalitet • rät linje genom origo

Exponentialfunktioner

11 48,32 liter bensin kostar 509,29 kr. Priset är en direkt proportionalitet mot volymen.

• y = Cax

a) Ange proportionalitetskonstanten.

• a > 1 • 0 < a < 1

• y = kx • linjär funktion med m = 0 • k kallas proportionalitetskonstant

y

x

b) Vad betyder proportionalitetskonstanten? c) Ange en formel som visar priset y kr som en funktion av volymen x liter.

k • omvänd proportionalitet t.ex. y = ​ __ ​ x

y

x

funktioner och grafer • tankekarta

137

Origo

Origo Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

övningar, problemlösning och kommunikations­ uppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper.

Serien består av Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D

ISBN 978-91–622–7637–9

www.bonnierutbildning.se

Best.nr 622–7637–9

Matematik kurs A och B för naturvetenskapliga och tekniska program BONNIERS