9789152337486

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake

7 7

●● Tydlig struktur – koppling till centralt innehåll åk 7–9 i Lgr11 ●● Eleven i fokus – vardagsnära uppgifter ●● Uppslaget – koppling till förmågorna ●● Svarta sidorna – rejäla utmaningar till varje kapitel ●● Problemlösning – helt kapitel med strategier och uppgifter ●● Repetition – blandade uppgifter på flera nivåer ●● Verktygslådan – en uppslagsdel Matte Direkt 7 består av Lärobok, Lärarguide, Arbetsblad och prov samt Träningshäften. Matte Direkt 7 finns också som digital bok.

ISBN 978-91-523-3748-6

(523-3748-6)

7

Välkommen till Matte Direkt 7 Boken består av sex huvudkapitel med följande struktur: blå kurs grundkurs

diagnos

sammanfattning röd kurs

● Grundkursen går igenom det innehåll och de begrepp som presenteras i

inledningen av kapitlet. I slutet av grundkursen finns Uppslaget. ● Uppslaget innehåller uppgifter och utmaningar där du kan träna

förmågorna i matematik. ● Diagnosen avslutar grundkursen. ● Blå kurs kan du välja om diagnosen kändes svår. I den blå kursen finns SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Lena Bjessmo, Olof Edblom, Helena Fridström, Kenneth Lovén Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout: Typoform, Karin Olofsson Omslag: Typoform, Andreas Lilius Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson, Filippa Widlund Matte Direkt 7 ISBN 978-91-523-3748-6 © 2016 Synnöve Carlsson, Karl-Bertil Hake, Birgitta Öberg och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck: Livonia Print, Lettland 2016

allt innehåll. Det gör att du kan arbeta med den parallellt med grundkursen. ● Röd kurs väljer du om diagnosen gick bra. I den röda kursen möter du

fördjupande och mer krävande uppgifter. Du kan även arbeta med röd kurs parallellt med grundkursen. ● Svarta sidor finns i slutet av varje kapitel. Där finns uppgifter för dig som

vill ha en ordentlig utmaning. ● Sammanfattningen repeterar kapitlets viktigaste moment.

I slutet av boken hittar du Problemlösning, Repetition, Verktygslådan och Facit. ● Problemlösning är ett fristående kapitel som tar upp olika strategier för

att lösa matematiska problem. Du kan arbeta med kapitlet när du vill. ● Repetition finns till varje huvudkapitel. ● Verktygslådan är en sammanställning av bokens viktigaste begrepp och

metoder. Här finns även instruktioner till att använda digitala verktyg. ● Facit ger dig svaren till alla uppgifter på Grundkursen, Blå kurs och Röd

kurs. Svaren till uppslagen, diagnoser, och repetitioner har din lärare.

Lycka till!

Författarna

Välkommen till Matte Direkt 7 Boken består av sex huvudkapitel med följande struktur: blå kurs grundkurs

diagnos

sammanfattning röd kurs

● Grundkursen går igenom det innehåll och de begrepp som presenteras i

inledningen av kapitlet. I slutet av grundkursen finns Uppslaget. ● Uppslaget innehåller uppgifter och utmaningar där du kan träna

förmågorna i matematik. ● Diagnosen avslutar grundkursen. ● Blå kurs kan du välja om diagnosen kändes svår. I den blå kursen finns SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Lena Bjessmo, Olof Edblom, Helena Fridström, Kenneth Lovén Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout: Typoform, Karin Olofsson Omslag: Typoform, Andreas Lilius Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson, Filippa Widlund Matte Direkt 7 ISBN 978-91-523-3748-6 © 2016 Synnöve Carlsson, Karl-Bertil Hake, Birgitta Öberg och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck: Livonia Print, Lettland 2016

allt innehåll. Det gör att du kan arbeta med den parallellt med grundkursen. ● Röd kurs väljer du om diagnosen gick bra. I den röda kursen möter du

fördjupande och mer krävande uppgifter. Du kan även arbeta med röd kurs parallellt med grundkursen. ● Svarta sidor finns i slutet av varje kapitel. Där finns uppgifter för dig som

vill ha en ordentlig utmaning. ● Sammanfattningen repeterar kapitlets viktigaste moment.

I slutet av boken hittar du Problemlösning, Repetition, Verktygslådan och Facit. ● Problemlösning är ett fristående kapitel som tar upp olika strategier för

att lösa matematiska problem. Du kan arbeta med kapitlet när du vill. ● Repetition finns till varje huvudkapitel. ● Verktygslådan är en sammanställning av bokens viktigaste begrepp och

metoder. Här finns även instruktioner till att använda digitala verktyg. ● Facit ger dig svaren till alla uppgifter på Grundkursen, Blå kurs och Röd

kurs. Svaren till uppslagen, diagnoser, och repetitioner har din lärare.

Lycka till!

Författarna

i

4 Bråk

Innehåll

. . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Tiosystemet ● De fyra räknesätten ● Delbarhet ● Primtal och sammansatta tal ● Tal i decimalform ● Multiplikation och division med 10 och 100 ● Avrundning ● Överslagsräkning

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . . .

41

26 28

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Olika dimensioner ● Kroppar – föremål som har längd, bredd och höjd ● Vinklar ● Trianglar ● Fyrhörningar ● Omkrets ● Area ● Rektangelns area ● Höjder i trianglar ● Triangelns area ● Sammansatta figurer ● Volym ● Begränsningsyta

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . . .

93

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 102 104

76 78

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

164 166

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . .

168

Del av en hel ● Mer än en hel ● Del av ett antal ● Beräkna delen ● Olika bråk men lika stor andel ● Förlänga och förkorta bråk ● Addera och subtrahera bråk ● Tal i bråkform och i decimalform

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

177

108

122 124

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

Grön kurs. .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . .

208

Det hela är 100 % ● En tiondel är 10 % ● En hundradel är 1 % ● Beräkna det nya värdet ● Hur många procent? ● Jämför med procent ● Bråkform, decimalform och procentform ● Beräkna det hela

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

217

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget..

Diagnos. . .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228 230 240 242

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . .

244

Tabeller ● Lägesmått ● Spridningsmått ● Diagram ● Blandat med statistik

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

253

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

126

Uttryck och prioriteringsreglerna ● Skriva uttryck ● Förenkla uttryck ● Uttryck med parenteser ● Ekvationslösning ● Problemlösning med hjälp av ekvationer ● Mönster

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

137

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

138

Mer om uttryck ● Mer om uttryck med parenteser ● Mer om ekvationslösning ● Mer om problemlösning med hjälp av ekvationer ● Mer om mönster

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 146 148

!

254

Mer om tabeller och lägesmått ● Mer om diagram ● Mer om cirkeldiagram ● Vilseledande diagram

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?! Problemlösning Blå kurs.

223 224 226

204 206

Tabeller ● Lägesmått ● Spridningsmått ● Diagram . . . . . . . . . . . . . .

218

Det hela är 100 % ● Mer om att beräkna delen ● Mer om att beräkna andelen ● Mer om att beräkna det hela ● Blandat med procent

6 Statistik Grön kurs. .

185 186 188 190

Det hela är 100 % ● En tiondel är 10 % och en femtedel är 20 % ● Höjning och sänkning ● En hundradel är 1 % ● Beräkna det nya värdet ● Hur många procent? ● Bråkform, decimalform och procentform ● Räkna med procent i decimalform ● Beräkna det hela ● Blandat med procent

Uppslaget..

Diagnos. . .

178

Andelar och förhållanden ● Mer om förlängning ● Mer om förkortning ● Mer om att addera och subtrahera bråk ● Mer om tal i bråkform och i decimalform ● Calculate with american measurements

5 Procent

106

Uttryck och prioriteringsreglerna ● Skriva och förenkla uttryck ● Uttryck med parenteser ● Ekvationslösning ● Problemlösning med hjälp av ekvationer ● Mönster

Uppslaget..

Diagnos. . .

94

Mer om månghörningar ● Platonska kroppar ● Mer om area ● Mer om volym ● Mer om begränsningsyta och volym

3 Algebra Grön kurs. .

49 50 52

54

Olika dimensioner ● Kroppar – föremål som är tredimensionella ● Månghörningar – figurer som är tvådimensionella ● Vinklar ● Triangelns vinkelsumma ● Olika typer av trianglar ● Olika typer av fyrhörningar ● Omkrets ● Area ● Rektangelns area ● Parallellogrammens area ● Triangelns area ● Sammansatta figurer ● Volym ● Rätblock ● Begränsningsyta

Uppslaget..

Diagnos. . .

42

Mer om olika talsystem ● Mer om primtal och sammansatta tal ● Faktorisering ● Huvudräkning på olika sätt ● Beräkna med överslagsräkning

2 Geometri Grön kurs. .

Uppslaget..

Diagnos. . .

152

6

Olika sätt att skriva tal ● Tiosystemet ● De fyra räknesätten ● Delbarhet ● Primtal och sammansatta tal ● Tal i decimalform ● Multiplicera med 10, 100 och 1000 ● Dividera med 10, 100 och 1000 ● Avrunda heltal ● Avrunda decimaltal ● Överslagsräkning

Uppslaget..

Diagnos. . .

. . . . . . . . . . . . . .

Del av en hel ● Mer än en hel ● Del av ett antal ● Beräkna delen ● Olika bråk men lika stor andel ● Jämföra bråk ● Förlänga bråk ● Förkorta bråk ● Addera och subtrahera bråk ● Tal i bråkform och i decimalform

1 Tal Grön kurs. .

Grön kurs. .

150

261 262 264 266

Repetition

274

Verktygslådan

298

Facit

318

Bildförteckning.

Register.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

350

i

4 Bråk

Innehåll

. . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Tiosystemet ● De fyra räknesätten ● Delbarhet ● Primtal och sammansatta tal ● Tal i decimalform ● Multiplikation och division med 10 och 100 ● Avrundning ● Överslagsräkning

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . . .

41

26 28

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Olika dimensioner ● Kroppar – föremål som har längd, bredd och höjd ● Vinklar ● Trianglar ● Fyrhörningar ● Omkrets ● Area ● Rektangelns area ● Höjder i trianglar ● Triangelns area ● Sammansatta figurer ● Volym ● Begränsningsyta

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . . .

93

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 102 104

76 78

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

164 166

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . .

168

Del av en hel ● Mer än en hel ● Del av ett antal ● Beräkna delen ● Olika bråk men lika stor andel ● Förlänga och förkorta bråk ● Addera och subtrahera bråk ● Tal i bråkform och i decimalform

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

177

108

122 124

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

Grön kurs. .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . .

208

Det hela är 100 % ● En tiondel är 10 % ● En hundradel är 1 % ● Beräkna det nya värdet ● Hur många procent? ● Jämför med procent ● Bråkform, decimalform och procentform ● Beräkna det hela

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

217

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget..

Diagnos. . .

. . . . . . . . . . . . . .

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228 230 240 242

Blå kurs.

. . . . . . . . . . . . . . . .

244

Tabeller ● Lägesmått ● Spridningsmått ● Diagram ● Blandat med statistik

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

253

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

126

Uttryck och prioriteringsreglerna ● Skriva uttryck ● Förenkla uttryck ● Uttryck med parenteser ● Ekvationslösning ● Problemlösning med hjälp av ekvationer ● Mönster

Uppslaget..

. . . . . . . . . . . . . .

137

Röd kurs. .

. . . . . . . . . . . . . . .

138

Mer om uttryck ● Mer om uttryck med parenteser ● Mer om ekvationslösning ● Mer om problemlösning med hjälp av ekvationer ● Mer om mönster

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 146 148

!

254

Mer om tabeller och lägesmått ● Mer om diagram ● Mer om cirkeldiagram ● Vilseledande diagram

Uppslaget.. . . . . . .

Svarta sidorna.. . .

Sammanfattning. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?! Problemlösning Blå kurs.

223 224 226

204 206

Tabeller ● Lägesmått ● Spridningsmått ● Diagram . . . . . . . . . . . . . .

218

Det hela är 100 % ● Mer om att beräkna delen ● Mer om att beräkna andelen ● Mer om att beräkna det hela ● Blandat med procent

6 Statistik Grön kurs. .

185 186 188 190

Det hela är 100 % ● En tiondel är 10 % och en femtedel är 20 % ● Höjning och sänkning ● En hundradel är 1 % ● Beräkna det nya värdet ● Hur många procent? ● Bråkform, decimalform och procentform ● Räkna med procent i decimalform ● Beräkna det hela ● Blandat med procent

Uppslaget..

Diagnos. . .

178

Andelar och förhållanden ● Mer om förlängning ● Mer om förkortning ● Mer om att addera och subtrahera bråk ● Mer om tal i bråkform och i decimalform ● Calculate with american measurements

5 Procent

106

Uttryck och prioriteringsreglerna ● Skriva och förenkla uttryck ● Uttryck med parenteser ● Ekvationslösning ● Problemlösning med hjälp av ekvationer ● Mönster

Uppslaget..

Diagnos. . .

94

Mer om månghörningar ● Platonska kroppar ● Mer om area ● Mer om volym ● Mer om begränsningsyta och volym

3 Algebra Grön kurs. .

49 50 52

54

Olika dimensioner ● Kroppar – föremål som är tredimensionella ● Månghörningar – figurer som är tvådimensionella ● Vinklar ● Triangelns vinkelsumma ● Olika typer av trianglar ● Olika typer av fyrhörningar ● Omkrets ● Area ● Rektangelns area ● Parallellogrammens area ● Triangelns area ● Sammansatta figurer ● Volym ● Rätblock ● Begränsningsyta

Uppslaget..

Diagnos. . .

42

Mer om olika talsystem ● Mer om primtal och sammansatta tal ● Faktorisering ● Huvudräkning på olika sätt ● Beräkna med överslagsräkning

2 Geometri Grön kurs. .

Uppslaget..

Diagnos. . .

152

6

Olika sätt att skriva tal ● Tiosystemet ● De fyra räknesätten ● Delbarhet ● Primtal och sammansatta tal ● Tal i decimalform ● Multiplicera med 10, 100 och 1000 ● Dividera med 10, 100 och 1000 ● Avrunda heltal ● Avrunda decimaltal ● Överslagsräkning

Uppslaget..

Diagnos. . .

. . . . . . . . . . . . . .

Del av en hel ● Mer än en hel ● Del av ett antal ● Beräkna delen ● Olika bråk men lika stor andel ● Jämföra bråk ● Förlänga bråk ● Förkorta bråk ● Addera och subtrahera bråk ● Tal i bråkform och i decimalform

1 Tal Grön kurs. .

Grön kurs. .

150

261 262 264 266

Repetition

274

Verktygslådan

298

Facit

318

Bildförteckning.

Register.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

350

1 2

Geometri

Duktiga snowboard- och skidåkare kan göra hopp, där de snurrar i luften. När de gör en ”tre-sextio”, gör de ett hopp och snurrar 360°. Då har de snurrat ett helt varv. ●● Hur många varv har snowboardåkaren

snurrat om hon gör en ”sju-tjugo”?

●● En Big Jump-åkare har just satt rekord

med sina två skidor och gjort en ”sextontjugo”. Hur många varv är det?

Innehåll Mål När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig

●● att beskriva olika slags vinklar,

månghörningar och kroppar

●● att beräkna omkrets och area av

månghörningar

●● att beräkna volym av prismor ●● några enheter för längd, area och volym ●● att beräkna arean av begränsningsytor

Begrepp endimensionell Begrepp längd

sträcka meter tvådimensionell area yta kvadratmeter tredimensionell

hörn prisma rätblock kub

trubbvinklig triangel

månghörning

parallell

sida

parallelltrapets

diagonal rät vinkel spetsig vinkel trubbig vinkel rak vinkel

kropp

vinkelsumma

kubikmeter

likbent triangel

sidoyta basyta

5

spetsvinklig triangel

pyramid

volym

kant

rätvinklig triangel

liksidig triangel

parallellogram romb kvadrat rektangel

●● En linje har en dimension –

längd.

●● En yta har två dimensioner –

längd och bredd.

bas höjd begränsningsyta

●● En kropp har tre dimensioner –

längd, bredd och höjd.

55

1 2

Geometri

Duktiga snowboard- och skidåkare kan göra hopp, där de snurrar i luften. När de gör en ”tre-sextio”, gör de ett hopp och snurrar 360°. Då har de snurrat ett helt varv. ●● Hur många varv har snowboardåkaren

snurrat om hon gör en ”sju-tjugo”?

●● En Big Jump-åkare har just satt rekord

med sina två skidor och gjort en ”sextontjugo”. Hur många varv är det?

Innehåll Mål När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig

●● att beskriva olika slags vinklar,

månghörningar och kroppar

●● att beräkna omkrets och area av

månghörningar

●● att beräkna volym av prismor ●● några enheter för längd, area och volym ●● att beräkna arean av begränsningsytor

Begrepp endimensionell Begrepp längd

sträcka meter tvådimensionell area yta kvadratmeter tredimensionell

hörn prisma rätblock kub

trubbvinklig triangel

månghörning

parallell

sida

parallelltrapets

diagonal rät vinkel spetsig vinkel trubbig vinkel rak vinkel

kropp

vinkelsumma

kubikmeter

likbent triangel

sidoyta basyta

5

spetsvinklig triangel

pyramid

volym

kant

rätvinklig triangel

liksidig triangel

parallellogram romb kvadrat rektangel

●● En linje har en dimension –

längd.

●● En yta har två dimensioner –

längd och bredd.

bas höjd begränsningsyta

●● En kropp har tre dimensioner –

längd, bredd och höjd.

55

Grundkurs Olika dimensioner

G

Enheter för olika dimensioner

En kropp är tredimensionell:

En yta är tvådimensionell:

Höjd

Längd

En linje är endimensionell:

Föremål som är tredimensionella kallas för kroppar.

1

�D När vi mäter något som är tredimensionellt, så mäter vi volymen av en kropp. Enheten kan vara kubikmeter. En kubikmeter förkortas m3.

När man ritar något som ska vara endimensionellt så blir det tvådimensionellt. Även om man använder en smal penna så får strecket man ritar en bredd och en längd.

Längd

Bredd

Vilka av figurerna har

a) längd, bredd och höjd

�D När vi mäter något som är tvådimensionellt, så mäter vi arean av en yta. Enheten kan vara kvadratmeter. En kvadratmeter förkortas m2.

Längd

Bredd

5

B

C

Barnet är en meter långt, golvet är 4 kvadratmeter stort och kuben är en kubikmeter stor.

Välj den enhet man använder när man ska ange

a) hur stort golvet i ett rum är

m

b) hur mycket luft som finns i ett rum

b) endast längd och bredd A

G

�D När vi mäter något som är endimensionellt, så mäter vi längden av en sträcka. Enheten kan vara meter.

En meter förkortas m.

Vi lever i en tredimensionell värld. Allt vi ser runt omkring oss har tre dimensioner. Det har längd, bredd och höjd.

m2

m3

c) hur lång golvlisten är i ett rum

D

d) hur stor en gräsmatta är e) hur långt ett staket är f) hur mycket vatten som får plats i ett badkar.

2

6

Vilka av figurerna är

a) tredimensionella A

a) meter

b) tvådimensionella B

C

Titta dig omkring i det rum du befinner dig. Ge exempel på föremål som mäts i enheten

D

E

7

3

Vilken dimension har sträckan mellan kryssen?

4

Ge exempel på något som är

a) tredimensionellt b) tvådimensionellt c) endimensionellt 56

2 GeoMetrI

c) kubikmeter

När man ska mäta behöver man ibland mindre enheter än meter, kvadratmeter och kubikmeter. Ge exempel på några andra mindre enheter för

a) längd

8

b) kvadratmeter

b) area

c) volym

Lisa har skrivit det här på en lapp: Jag är 158 A lång. Jag bor i en lägenhet som har storleken 75 B. Ibland badar jag i badkaret. Det rymmer 0,5 C. När jag mätte arean på mattebokens framsida så var den ungefär 4 D. Längden på min penna är 12 E. Jag har fått en ny säng. Den är 2 F lång och 80 G bred.

Vilka enheter ska det stå i stället för bokstäverna?

2 GeoMetrI

57

Grundkurs Olika dimensioner

G

Enheter för olika dimensioner

En kropp är tredimensionell:

En yta är tvådimensionell:

Höjd

Längd

En linje är endimensionell:

Föremål som är tredimensionella kallas för kroppar.

1

�D När vi mäter något som är tredimensionellt, så mäter vi volymen av en kropp. Enheten kan vara kubikmeter. En kubikmeter förkortas m3.

När man ritar något som ska vara endimensionellt så blir det tvådimensionellt. Även om man använder en smal penna så får strecket man ritar en bredd och en längd.

Längd

Bredd

Vilka av figurerna har

a) längd, bredd och höjd

�D När vi mäter något som är tvådimensionellt, så mäter vi arean av en yta. Enheten kan vara kvadratmeter. En kvadratmeter förkortas m2.

Längd

Bredd

5

B

C

Barnet är en meter långt, golvet är 4 kvadratmeter stort och kuben är en kubikmeter stor.

Välj den enhet man använder när man ska ange

a) hur stort golvet i ett rum är

m

b) hur mycket luft som finns i ett rum

b) endast längd och bredd A

G

�D När vi mäter något som är endimensionellt, så mäter vi längden av en sträcka. Enheten kan vara meter.

En meter förkortas m.

Vi lever i en tredimensionell värld. Allt vi ser runt omkring oss har tre dimensioner. Det har längd, bredd och höjd.

m2

m3

c) hur lång golvlisten är i ett rum

D

d) hur stor en gräsmatta är e) hur långt ett staket är f) hur mycket vatten som får plats i ett badkar.

2

6

Vilka av figurerna är

a) tredimensionella A

a) meter

b) tvådimensionella B

C

Titta dig omkring i det rum du befinner dig. Ge exempel på föremål som mäts i enheten

D

E

7

3

Vilken dimension har sträckan mellan kryssen?

4

Ge exempel på något som är

a) tredimensionellt b) tvådimensionellt c) endimensionellt 56

2 GeoMetrI

c) kubikmeter

När man ska mäta behöver man ibland mindre enheter än meter, kvadratmeter och kubikmeter. Ge exempel på några andra mindre enheter för

a) längd

8

b) kvadratmeter

b) area

c) volym

Lisa har skrivit det här på en lapp: Jag är 158 A lång. Jag bor i en lägenhet som har storleken 75 B. Ibland badar jag i badkaret. Det rymmer 0,5 C. När jag mätte arean på mattebokens framsida så var den ungefär 4 D. Längden på min penna är 12 E. Jag har fått en ny säng. Den är 2 F lång och 80 G bred.

Vilka enheter ska det stå i stället för bokstäverna?

2 GeoMetrI

57

Kroppar – föremål som är tredimensionella

G

Prisma, rätblock, kub och pyramid är exempel på rymdgeometriska kroppar.

kant

sidoyta

Längs en kant möts två sidoytor.

En sidoyta kallas ibland för basyta.

Månghörningar – figurer som är tvådimensionella Trianglar, fyrhörningar och femhörningar är exempel på månghörningar.

hörn

sida

basyta

I ett hörn möts flera kanter.

Rätblock Ett prisma med en rektangel som basyta.

Pyramid Spetsig kropp med en månghörning som basyta.

Kub Ett rätblock där alla sidoytor är kvadratiska

G

E

b)

A

B

C

D

E

F

b) femhörning

14 Vad heter kroppen och vad heter formen på de olika sidoytorna? a)

b)

c)

d)

F

15 Vilken av figurerna kan vikas till en kub?

10 Hur många hörn, kanter och sidoytor har kropparna? a)

hörn har de olika figurerna?

13 Varför kan det inte finnas en diagonal i en trehörning?

D

B

b) Hur många sidor och hur många

a) fyrhörning

9 Vilket matematiskt namn har formen på förpackningarna?

C

11 a) Vad kallas figurerna?

12 Rita och undersök hur många diagonaler du kan rita i en

Ett rätblock har 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor.

A

hörn

diagonal

I femhörningen här bredvid är en diagonal inritad.

En diagonal är en sträcka mellan två hörn som inte ligger intill varandra. Diagonalen kan alltså inte vara en sida.

Prisma Basytan är en månghörning och sidoytorna är rektanglar.

G

c)

d)

A

B

C

D

E

16 Bilden visar en utvikt tärning. På en

tärning är summan av prickarna på två motstående sidor alltid sju. Rita av bilden och rita prickar så att det blir rätt.

Arbetsblad 2:1

58

2 geometri

2 geometri

59

Kroppar – föremål som är tredimensionella

G

Prisma, rätblock, kub och pyramid är exempel på rymdgeometriska kroppar.

kant

sidoyta

Längs en kant möts två sidoytor.

En sidoyta kallas ibland för basyta.

Månghörningar – figurer som är tvådimensionella Trianglar, fyrhörningar och femhörningar är exempel på månghörningar.

hörn

sida

basyta

I ett hörn möts flera kanter.

Rätblock Ett prisma med en rektangel som basyta.

Pyramid Spetsig kropp med en månghörning som basyta.

Kub Ett rätblock där alla sidoytor är kvadratiska

G

E

b)

A

B

C

D

E

F

b) femhörning

14 Vad heter kroppen och vad heter formen på de olika sidoytorna? a)

b)

c)

d)

F

15 Vilken av figurerna kan vikas till en kub?

10 Hur många hörn, kanter och sidoytor har kropparna? a)

hörn har de olika figurerna?

13 Varför kan det inte finnas en diagonal i en trehörning?

D

B

b) Hur många sidor och hur många

a) fyrhörning

9 Vilket matematiskt namn har formen på förpackningarna?

C

11 a) Vad kallas figurerna?

12 Rita och undersök hur många diagonaler du kan rita i en

Ett rätblock har 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor.

A

hörn

diagonal

I femhörningen här bredvid är en diagonal inritad.

En diagonal är en sträcka mellan två hörn som inte ligger intill varandra. Diagonalen kan alltså inte vara en sida.

Prisma Basytan är en månghörning och sidoytorna är rektanglar.

G

c)

d)

A

B

C

D

E

16 Bilden visar en utvikt tärning. På en

tärning är summan av prickarna på två motstående sidor alltid sju. Rita av bilden och rita prickar så att det blir rätt.

Arbetsblad 2:1

58

2 geometri

2 geometri

59

Vinklar

G

Triangelns vinkelsumma 1 varv = 360° 1 __ varv = 180° 2

För att kunna beskriva olika månghörningar behöver man kunna namnge olika vinklar.

1 __ varv = 90° 4

En rät vinkel markeras med en hake.

Rät vinkel 90°

Trubbig vinkel större än 90°

Vilka av vinklarna är

C

B

90

80 70 100 11 0 1 60 20

180 170 160 0 10 20 150 30 14 40 0

100 110 80 70

F

23

b)

2

3

4

5

6

B

50°

7

8

9

10

x

c) 64°

38°

d)

48°

22

24

32°

2 GeoMetrI

b) 15�00

c) 16�00

35°

Räkna ut vinklarna markerade med x.

d) 21�30

25 ArbetsblAd 2:22:3

b)

85° 45°

c) ”ten-eighty”

Hur många grader är den minsta vinkeln mellan timvisaren och minutvisaren när klockan är

a) 18�00 60

b) ”fem-fyrtio”

62°

x 25°

Hur många varv har en snowboardåkare snurrat när han gjort en

a) ”hundraåttio”

x

x

x

a)

21

120°

c)

C

Räkna ut vinkeln som är markerad med x. Använd inte gradskiva. x

25°

x

b) Vilken vinkel är störst?

b)

En triangel har tre sidor och tre vinklar. tri = tre, angel = vinkel

Vinklarna i triangeln är tillsammans 180°.

a)

Här ser du tre vinklar.

a)

35°

Räkna ut vinkeln x.

50°

A

40°

Svar: Vinkeln v = 105°

H

5 13 0 0

1

0 12 0 60 13 0 5

a) Vilka vinklar är lika stora?

20

v

v = 180° � 75° = 105°

D

Rita en trubbig vinkel, en rät vinkel och en spetsig vinkel. Mät vinklarnas storlek med en gradskiva.

1

35° � 40° = 75°

0 10 20 170 180 30 160 50 40 0 1 14

19

Beräkna vinkeln v.

G

c) räta

2

3

Exempel

E

A

b) trubbiga

3

1

Om man vet två av triangelns vinklar kan man räkna ut den tredje vinkeln.

a) spetsiga

18

Rak vinkel 180°, ett halvt varv

2

0

17

Spetsig vinkel mindre än 90°

G

Summan av vinklarna i en triangel är alltid 180°. Man säger att triangelns vinkelsumma är 180°.

Det kan man visa genom att riva av hörnen på en papperstriangel och lägga dem intill varandra.

x

c)

80°

x

x

120°

x

a) Går det att rita en triangel som har två räta vinklar?

Motivera ditt svar.

b) Går det att rita en triangel som har två trubbiga vinklar?

Motivera ditt svar.

2 GeoMetrI

61

Vinklar

G

Triangelns vinkelsumma 1 varv = 360° 1 __ varv = 180° 2

För att kunna beskriva olika månghörningar behöver man kunna namnge olika vinklar.

1 __ varv = 90° 4

En rät vinkel markeras med en hake.

Rät vinkel 90°

Trubbig vinkel större än 90°

Vilka av vinklarna är

C

B

90

80 70 100 11 0 1 60 20

180 170 160 0 10 20 150 30 14 40 0

100 110 80 70

F

23

b)

2

3

4

5

6

B

50°

7

8

9

10

x

c) 64°

38°

d)

48°

22

24

32°

2 GeoMetrI

b) 15�00

c) 16�00

35°

Räkna ut vinklarna markerade med x.

d) 21�30

25 ArbetsblAd 2:22:3

b)

85° 45°

c) ”ten-eighty”

Hur många grader är den minsta vinkeln mellan timvisaren och minutvisaren när klockan är

a) 18�00 60

b) ”fem-fyrtio”

62°

x 25°

Hur många varv har en snowboardåkare snurrat när han gjort en

a) ”hundraåttio”

x

x

x

a)

21

120°

c)

C

Räkna ut vinkeln som är markerad med x. Använd inte gradskiva. x

25°

x

b) Vilken vinkel är störst?

b)

En triangel har tre sidor och tre vinklar. tri = tre, angel = vinkel

Vinklarna i triangeln är tillsammans 180°.

a)

Här ser du tre vinklar.

a)

35°

Räkna ut vinkeln x.

50°

A

40°

Svar: Vinkeln v = 105°

H

5 13 0 0

1

0 12 0 60 13 0 5

a) Vilka vinklar är lika stora?

20

v

v = 180° � 75° = 105°

D

Rita en trubbig vinkel, en rät vinkel och en spetsig vinkel. Mät vinklarnas storlek med en gradskiva.

1

35° � 40° = 75°

0 10 20 170 180 30 160 50 40 0 1 14

19

Beräkna vinkeln v.

G

c) räta

2

3

Exempel

E

A

b) trubbiga

3

1

Om man vet två av triangelns vinklar kan man räkna ut den tredje vinkeln.

a) spetsiga

18

Rak vinkel 180°, ett halvt varv

2

0

17

Spetsig vinkel mindre än 90°

G

Summan av vinklarna i en triangel är alltid 180°. Man säger att triangelns vinkelsumma är 180°.

Det kan man visa genom att riva av hörnen på en papperstriangel och lägga dem intill varandra.

x

c)

80°

x

x

120°

x

a) Går det att rita en triangel som har två räta vinklar?

Motivera ditt svar.

b) Går det att rita en triangel som har två trubbiga vinklar?

Motivera ditt svar.

2 GeoMetrI

61

Uppslaget

Uppslaget

Begrepp och resonemang

G

Arbeta tillsammans

Vem eller vilka har rätt?

Finns det något samband mellan omkretsen och arean av en rektangel?

Klipp av en bit snöre eller metalltråd som är 30 cm lång.

När omkretsen ökar i en rektangel, så minskar alltid arean.

När omkretsen ökar i en rektangel, så ökar alltid arean.

Anna

Lägg snöret på rutnätet så att snöret stänger in ett område. Hur stor area har området?

Gör området så litet som möjligt. Hur ser området ut? Hur stor area har området?

Bemjamin

När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean öka.

Gör området så stort som möjligt. Hur ser området ut nu? Hur stor area har området?

När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean minska.

Clara

Problemlösning

Dilan

Begrepp

A

Beskriv figurerna med hjälp av några av begreppen i rutan.

Rät vinkel höjd basyta kant hörn sida sidoyta bas area volym omkrets endimensionell tvådimensionell tredimensionell

Triangel

Rita av begreppskartan och fyll i det som saknas. som har lika långa sidor kallas

?

?

?

likbent triangel

rätvinklig triangel

och i den är vinklarna

?

2 GeoMetrI

B

B

Begreppskarta

6

A

G

Rita ett rutnät som är 15 cm × 15 cm i ditt räknehäfte. Rutorna ska ha arean 1 cm2.

Sant eller falskt?

Basim lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 40 cm. Det är 30 cm mellan varje platta. Gången är 6 meter och ska börja och sluta med en platta. Hur många plattor behöver han?

1 2 3

Golvet i ett rum kan ha arean 15 m2.

4

När man beräknar arean tar man reda på hur långt det är runt om en figur.

Hans ska sätta staket runt en kaninhage som ligger mot en vägg. Hagen behöver alltså bara ha staket på tre sidor. Sidorna skall vara i hela meter.

Staketet är 20 meter långt. Hur långa ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt?

5

En kropp som har volymen en kubikmeter är alltid en kub.

6

Du räknar ut triangelns area genom att multiplicera basen med höjden.

7 8

I en triangel kan man dra tre höjder.

9

Det är alltid rät vinkel mellan sidoytorna i ett rätblock.

Volym mäts i meter.

Det finns fyra räta vinklar i en rektangel.

Det spelar ingen roll vilken vinkel som höjden har mot basen.

10 Kvadratcentimeter är en enhet för area.

11 En kvadratdecimeter är ungefär lika stor som en fingernagel.

12 Ett rätblock har 8 kanter.

2 GeoMetrI

77

Uppslaget

Uppslaget

Begrepp och resonemang

G

Arbeta tillsammans

Vem eller vilka har rätt?

Finns det något samband mellan omkretsen och arean av en rektangel?

Klipp av en bit snöre eller metalltråd som är 30 cm lång.

När omkretsen ökar i en rektangel, så minskar alltid arean.

När omkretsen ökar i en rektangel, så ökar alltid arean.

Anna

Lägg snöret på rutnätet så att snöret stänger in ett område. Hur stor area har området?

Gör området så litet som möjligt. Hur ser området ut? Hur stor area har området?

Bemjamin

När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean öka.

Gör området så stort som möjligt. Hur ser området ut nu? Hur stor area har området?

När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean minska.

Clara

Problemlösning

Dilan

Begrepp

A

Beskriv figurerna med hjälp av några av begreppen i rutan.

Rät vinkel höjd basyta kant hörn sida sidoyta bas area volym omkrets endimensionell tvådimensionell tredimensionell

Triangel

Rita av begreppskartan och fyll i det som saknas. som har lika långa sidor kallas

?

?

?

likbent triangel

rätvinklig triangel

och i den är vinklarna

?

2 GeoMetrI

B

B

Begreppskarta

6

A

G

Rita ett rutnät som är 15 cm × 15 cm i ditt räknehäfte. Rutorna ska ha arean 1 cm2.

Sant eller falskt?

Basim lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 40 cm. Det är 30 cm mellan varje platta. Gången är 6 meter och ska börja och sluta med en platta. Hur många plattor behöver han?

1 2 3

Golvet i ett rum kan ha arean 15 m2.

4

När man beräknar arean tar man reda på hur långt det är runt om en figur.

Hans ska sätta staket runt en kaninhage som ligger mot en vägg. Hagen behöver alltså bara ha staket på tre sidor. Sidorna skall vara i hela meter.

Staketet är 20 meter långt. Hur långa ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt?

5

En kropp som har volymen en kubikmeter är alltid en kub.

6

Du räknar ut triangelns area genom att multiplicera basen med höjden.

7 8

I en triangel kan man dra tre höjder.

9

Det är alltid rät vinkel mellan sidoytorna i ett rätblock.

Volym mäts i meter.

Det finns fyra räta vinklar i en rektangel.

Det spelar ingen roll vilken vinkel som höjden har mot basen.

10 Kvadratcentimeter är en enhet för area.

11 En kvadratdecimeter är ungefär lika stor som en fingernagel.

12 Ett rätblock har 8 kanter.

2 GeoMetrI

77

Diagnos

9

Begrepp och metod

D

1

a)

Vilka av figurerna har

a) längd, bredd och höjd A

Hur stor volym har figurerna?

b)

b) endast längd och bredd

B

C

10

Vilken enhet använder man när man ska ange hur

2 cm

2 cm

4 cm 4 cm

Beräkna rätblockets 3 cm

b) begränsningsarea 2 cm

c) långt det är runt fotbollsplanen

4 cm

Mät och beräkna figurens omkrets och area.

b)

Resonemang och kommunikation

c)

11 12

4

2 cm

2 cm

a) volym

b) stort klassrummet är

a)

2 cm

D

a) mycket vatten det finns i en simbassäng

3

2 cm

4 cm

4 cm

3 cm

2

c)

a) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 16 cm.

cm 33cm

b) Räkna ut rektanglarnas area.

5

Rita en triangel som har arean 12 cm2.

6

Hur stor area har klubbmärket i Jack Russel-klubben?

7

Räkna ut ramens area.

5 dm

Andrea säger: Om en rektangel har större omkrets än en annan rektangel så har den också alltid större area. Har Andrea rätt eller fel? Skriv ned hur du resonerar.

Visa hur du räknar ut volymen av ett rätblock.

Problemlösning

13

Petter har 110 meter stängsel att sätta upp för att skydda sina får. Han vill att fåren ska få så mycket yta att beta på som möjligt och att fårhagen ska vara en fyrhörning. Vilka mått har den fyrhörning som ger mest yta till Petters får?

2 dm

50 cm 70 cm

60 cm

3 dm

80 cm

8

Vad är det för skillnad på begreppen ”sida” och ”sidoyta”? Vad är det för skillnad på sida och kant?

Bedömningsuppgift Du har 5 spagettibitar i längderna 3 cm, 6 cm, 8 cm, 11 cm och 18 cm.

a) På vilka sätt kan du välja tre bitar och lägga dem i form av en triangel? b) Beskriv vad som måste gälla för de kortare sidorna jämfört med den långa sidan om det ska vara möjligt att bilda en triangel.

8

2 GeoMetrI

2 GeoMetrI

79

D

Diagnos

9

Begrepp och metod

D

1

a)

Vilka av figurerna har

a) längd, bredd och höjd A

Hur stor volym har figurerna?

b)

b) endast längd och bredd

B

C

10

Vilken enhet använder man när man ska ange hur

2 cm

2 cm

4 cm 4 cm

Beräkna rätblockets 3 cm

b) begränsningsarea 2 cm

c) långt det är runt fotbollsplanen

4 cm

Mät och beräkna figurens omkrets och area.

b)

Resonemang och kommunikation

c)

11 12

4

2 cm

2 cm

a) volym

b) stort klassrummet är

a)

2 cm

D

a) mycket vatten det finns i en simbassäng

3

2 cm

4 cm

4 cm

3 cm

2

c)

a) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 16 cm.

cm 33cm

b) Räkna ut rektanglarnas area.

5

Rita en triangel som har arean 12 cm2.

6

Hur stor area har klubbmärket i Jack Russel-klubben?

7

Räkna ut ramens area.

5 dm

Andrea säger: Om en rektangel har större omkrets än en annan rektangel så har den också alltid större area. Har Andrea rätt eller fel? Skriv ned hur du resonerar.

Visa hur du räknar ut volymen av ett rätblock.

Problemlösning

13

Petter har 110 meter stängsel att sätta upp för att skydda sina får. Han vill att fåren ska få så mycket yta att beta på som möjligt och att fårhagen ska vara en fyrhörning. Vilka mått har den fyrhörning som ger mest yta till Petters får?

2 dm

50 cm 70 cm

60 cm

3 dm

80 cm

8

Vad är det för skillnad på begreppen ”sida” och ”sidoyta”? Vad är det för skillnad på sida och kant?

Bedömningsuppgift Du har 5 spagettibitar i längderna 3 cm, 6 cm, 8 cm, 11 cm och 18 cm.

a) På vilka sätt kan du välja tre bitar och lägga dem i form av en triangel? b) Beskriv vad som måste gälla för de kortare sidorna jämfört med den långa sidan om det ska vara möjligt att bilda en triangel.

8

2 GeoMetrI

2 GeoMetrI

79

D

Ekvationslösning

Exempel Lös ekvationerna

I ekvationen x + 5 = 9 står x för ett okänt tal. När man löser ekvationen räknar man ut värdet av det okända talet.

B

x+5=9 x+5–5=9–5 x=4

a)

6 3x __ ___ = 3 3

Det okända talet är 4

x – 7 = 12 x – 7 + 7 = 12 + 7 x = 19

Addera 7 på båda sidor.

b) 3x = 27 3x ___ 27 ___ = 3

3

x __ =6

c)

5

x __ ∙5=6∙5

Dividera med 3 på båda sidor.

5

x=9

x = 30

Multiplicera med 5 på båda sidor.

Lös ekvationerna

36

a) x + 6 = 18

b) 40 = x + 15

c) x – 8 = 11

d) 25 = x – 12

37

a) 2x = 8

b) 3x = 24

c) 4x = 22

d) 40 = 5x

38

Hur många mynt innehåller påsarna?

a)

x __ =8

4 x __ ∙ 4 = 8 ∙ 4 4

Dividera båda sidor med 3.

x=2

Lös ekvationerna

b)

Lös ekvationerna. Räkna som i exemplen.

41

a) 2x + 4 = 14

b) 9x + 6 = 51

c) 28 = 7x + 7

42

x a) __ + 3 = 7

x b) __ + 12 = 16

c) 30 = __ + 25

43

a) 3x – 4 = 8

b) 5x – 6 = 19

c) 18 = __ – 2

44

Här är en talgåta:

5

6

c)

x 2

med 3 och sedan minskar med 4 får jag talet ��.

Vilket tal tänker jag på?

A 3x + 11 = 4

a) Vilken av ekvationerna ger rätt lösning till talgåtan?

C 4x – 3 = 11

B 3x – 4 = 11

Här är en annan talgåta:

A 2 + x + 9 = 39

●● Om jag dubblar min ålder och lägger till �, så får

b) x = 6

40

a) Vilken av ekvationerna ger rätt lösning till talgåtan?

A x+4=8

B 2x + 4 = 10

C 3x + 4 = 16

x A __ + 4 = 7 2

x B 4 – __ = 2 3

x C __ + 4 = 8 2

I burken finns det x stycken karameller.

Totalt finns det 25 karameller.

Hur många karameller är det i burken?

3 AlGebrA

C 2x + 9 = 39

b) Besvara frågan. c) Hur gammal är mamman?

46

x

47 ArbetsblAd 3:7

132

B 2x – 9 = 39

jag min mammas ålder. Hur gammal är jag?

Vilka av ekvationerna har lösningen

Kom ihåg att du alltid kan pröva om din lösning är rätt. Sätt in värdet av x i ekvationen och se om likheten stämmer.

x 7

●● Jag tänker på ett tal. Om jag multiplicerar talet

45

a) x = 4

Multiplicera båda sidor med 4.

x = 32

b) Vilket är talet?

39

B

Addera båda sidor med 2.

4

3x = 6

Subtrahera 5 från båda sidor om likhetstecknet

Exempel a)

4

x __ –2+2=6+2

Subtrahera båda sidor med 9.

3x + 9 – 9 = 15 – 9

Skriv av ekvationen

x __ –2=6

b)

3x + 9 = 15

I burken finns det x stycken karameller.

Totalt är det 32 karameller. Hur många karameller finns det i en burk?

x

x

Skillnaden mellan två tal är 14. Det ena talet är 15. Vilket kan det andra talet vara? Det finns två lösningar. Skriv båda två.

ArbetsblAd 3:8 3 AlGebrA

133

Ekvationslösning

Exempel Lös ekvationerna

I ekvationen x + 5 = 9 står x för ett okänt tal. När man löser ekvationen räknar man ut värdet av det okända talet.

B

x+5=9 x+5–5=9–5 x=4

a)

6 3x __ ___ = 3 3

Det okända talet är 4

x – 7 = 12 x – 7 + 7 = 12 + 7 x = 19

Addera 7 på båda sidor.

b) 3x = 27 3x ___ 27 ___ = 3

3

x __ =6

c)

5

x __ ∙5=6∙5

Dividera med 3 på båda sidor.

5

x=9

x = 30

Multiplicera med 5 på båda sidor.

Lös ekvationerna

36

a) x + 6 = 18

b) 40 = x + 15

c) x – 8 = 11

d) 25 = x – 12

37

a) 2x = 8

b) 3x = 24

c) 4x = 22

d) 40 = 5x

38

Hur många mynt innehåller påsarna?

a)

x __ =8

4 x __ ∙ 4 = 8 ∙ 4 4

Dividera båda sidor med 3.

x=2

Lös ekvationerna

b)

Lös ekvationerna. Räkna som i exemplen.

41

a) 2x + 4 = 14

b) 9x + 6 = 51

c) 28 = 7x + 7

42

x a) __ + 3 = 7

x b) __ + 12 = 16

c) 30 = __ + 25

43

a) 3x – 4 = 8

b) 5x – 6 = 19

c) 18 = __ – 2

44

Här är en talgåta:

5

6

c)

x 2

med 3 och sedan minskar med 4 får jag talet ��.

Vilket tal tänker jag på?

A 3x + 11 = 4

a) Vilken av ekvationerna ger rätt lösning till talgåtan?

C 4x – 3 = 11

B 3x – 4 = 11

Här är en annan talgåta:

A 2 + x + 9 = 39

●● Om jag dubblar min ålder och lägger till �, så får

b) x = 6

40

a) Vilken av ekvationerna ger rätt lösning till talgåtan?

A x+4=8

B 2x + 4 = 10

C 3x + 4 = 16

x A __ + 4 = 7 2

x B 4 – __ = 2 3

x C __ + 4 = 8 2

I burken finns det x stycken karameller.

Totalt finns det 25 karameller.

Hur många karameller är det i burken?

3 AlGebrA

C 2x + 9 = 39

b) Besvara frågan. c) Hur gammal är mamman?

46

x

47 ArbetsblAd 3:7

132

B 2x – 9 = 39

jag min mammas ålder. Hur gammal är jag?

Vilka av ekvationerna har lösningen

Kom ihåg att du alltid kan pröva om din lösning är rätt. Sätt in värdet av x i ekvationen och se om likheten stämmer.

x 7

●● Jag tänker på ett tal. Om jag multiplicerar talet

45

a) x = 4

Multiplicera båda sidor med 4.

x = 32

b) Vilket är talet?

39

B

Addera båda sidor med 2.

4

3x = 6

Subtrahera 5 från båda sidor om likhetstecknet

Exempel a)

4

x __ –2+2=6+2

Subtrahera båda sidor med 9.

3x + 9 – 9 = 15 – 9

Skriv av ekvationen

x __ –2=6

b)

3x + 9 = 15

I burken finns det x stycken karameller.

Totalt är det 32 karameller. Hur många karameller finns det i en burk?

x

x

Skillnaden mellan två tal är 14. Det ena talet är 15. Vilket kan det andra talet vara? Det finns två lösningar. Skriv båda två.

ArbetsblAd 3:8 3 AlGebrA

133

Problemlösning med hjälp av ekvationer

Exempel En gräsmatta har formen av en rektangel. Omkretsen är 28 meter och längden är 4 meter längre än bredden.

Hur långa är rektangelns sidor?

Exempel Elsa är 5 år äldre än Sixten. Tillsamman är de 19 år.

Hur gammal är Elsa och hur gammal är Sixten?

B

Sixten x år

Elsa x + 5 år

3 Förenkla och lös ekvationen.

4x + 8 – 8 = 28 – 8

Tillsammans är Elsa och Sixten 19 år.

4x = 20

2x + 5 – 5 = 19 – 5

20 4x ___ ___ = 4

2x = 14

4 Tolka lösningen och besvara frågan.

14 2x ___ ___ = 2

4 Tolka lösningen och besvara frågan

2

x=7

52

Då är längden 5 + 4 = 9 m

En annan gräsmatta har omkretsen 40 meter. Längden är 6 meter längre än bredden.

Signe är 3 år äldre än Leyla. Tillsammans är de 19 år.

för x.

b) Hur långa är sidorna? Ställ upp en ekvation och lös den.

53

Armin är 7 år yngre än Gösta. Tillsammans är de 15 år.

En rastgård för hundar har omkretsen 30 meter. Bredden är 3 meter kortare än längden.

a) Rita en bild och skriv uttryck för längd och bredd.

a) Kalla Armins ålder för x. Skriv ett uttryck för Göstas ålder.

Kalla bredden för x.

b) Ställ upp en ekvation och räkna ut Armins och Göstas ålder.

b) Hur långa är sidorna? Ställ upp en ekvation och lös den.

Oskar delar upp snäckor i två högar.

54

a) Skriv ett uttryck för hur många snäckor det är sammanlagt. b) Sammanlagt är det 20 snäckor. Hur många snäckor finns det i varje hög? Lös med ekvation.

x

8 fler än x

55

Arean av trädgårdslandet är 24 m2. Beräkna omkretsen.

a)

Matilda har 2 påsar med kulor.

x+2 6

6 · (x + 2) = 24

b)

6x + 12 = 24 6x = 12

b) Det är sammanlagt 29 kulor. Hur många kulor är det i

3

varje påse? Lös med ekvation.

5 färre än x

x+2

ArbetsblAd 3:9

x=2 x+1

4 x

3 AlGebrA

Arean av rektangeln är 24 m2.

Beräkna omkretsen.

En fotbollsplan har omkretsen 300 meter. Den långa sidan är 50 meter längre än den korta. Beräkna längden på sidorna med hjälp av en ekvation.

a) Skriv ett uttryck för hur många kulor det är sammanlagt.

134

x

a) Rita en bild och skriv uttryck för längd och bredd. Kalla bredden

b) Ställ upp en ekvation och räkna ut Leylas och Signes ålder.

51

Omkretsen är längden runt om. Kalla den korta sidan för x. Kalla den långa sidan för x + 4.

Då är Elsa 7 + 5 år = 12 år

a) Kalla Leylas ålder för x. Skriv ett yttryck för Signes ålder.

50

4

x=5

B

x+4

Svar: Bredden är 5 meter och längden är 9 meter

Svar: Elsa är 12 år och Sixten är 7 år.

49

4x + 8 = 28

2x + 5 = 19

3 Förenkla och lös ekvationen

48

x + x + 4 + x + x + 4 = 28

2 Ställ upp en ekvation.

x + x + 5 = 19

x

1 Rita en rektangel och skriv uttryck för rektangelns sidor.

1 Skriv ett uttryck för Sixtens och Elsas ålder.

2 Ställ upp en ekvation

(m)

Längden är 6 m och bredden är 2 m + 2 m = 4 m.

Omkretsen är 6 m + 4 m + 6 m + 4 m = 20 m

3 AlGebrA

135

Problemlösning med hjälp av ekvationer

Exempel En gräsmatta har formen av en rektangel. Omkretsen är 28 meter och längden är 4 meter längre än bredden.

Hur långa är rektangelns sidor?

Exempel Elsa är 5 år äldre än Sixten. Tillsamman är de 19 år.

Hur gammal är Elsa och hur gammal är Sixten?

B

Sixten x år

Elsa x + 5 år

3 Förenkla och lös ekvationen.

4x + 8 – 8 = 28 – 8

Tillsammans är Elsa och Sixten 19 år.

4x = 20

2x + 5 – 5 = 19 – 5

20 4x ___ ___ = 4

2x = 14

4 Tolka lösningen och besvara frågan.

14 2x ___ ___ = 2

4 Tolka lösningen och besvara frågan

2

x=7

52

Då är längden 5 + 4 = 9 m

En annan gräsmatta har omkretsen 40 meter. Längden är 6 meter längre än bredden.

Signe är 3 år äldre än Leyla. Tillsammans är de 19 år.

för x.

b) Hur långa är sidorna? Ställ upp en ekvation och lös den.

53

Armin är 7 år yngre än Gösta. Tillsammans är de 15 år.

En rastgård för hundar har omkretsen 30 meter. Bredden är 3 meter kortare än längden.

a) Rita en bild och skriv uttryck för längd och bredd.

a) Kalla Armins ålder för x. Skriv ett uttryck för Göstas ålder.

Kalla bredden för x.

b) Ställ upp en ekvation och räkna ut Armins och Göstas ålder.

b) Hur långa är sidorna? Ställ upp en ekvation och lös den.

Oskar delar upp snäckor i två högar.

54

a) Skriv ett uttryck för hur många snäckor det är sammanlagt. b) Sammanlagt är det 20 snäckor. Hur många snäckor finns det i varje hög? Lös med ekvation.

x

8 fler än x

55

Arean av trädgårdslandet är 24 m2. Beräkna omkretsen.

a)

Matilda har 2 påsar med kulor.

x+2 6

6 · (x + 2) = 24

b)

6x + 12 = 24 6x = 12

b) Det är sammanlagt 29 kulor. Hur många kulor är det i

3

varje påse? Lös med ekvation.

5 färre än x

x+2

ArbetsblAd 3:9

x=2 x+1

4 x

3 AlGebrA

Arean av rektangeln är 24 m2.

Beräkna omkretsen.

En fotbollsplan har omkretsen 300 meter. Den långa sidan är 50 meter längre än den korta. Beräkna längden på sidorna med hjälp av en ekvation.

a) Skriv ett uttryck för hur många kulor det är sammanlagt.

134

x

a) Rita en bild och skriv uttryck för längd och bredd. Kalla bredden

b) Ställ upp en ekvation och räkna ut Leylas och Signes ålder.

51

Omkretsen är längden runt om. Kalla den korta sidan för x. Kalla den långa sidan för x + 4.

Då är Elsa 7 + 5 år = 12 år

a) Kalla Leylas ålder för x. Skriv ett yttryck för Signes ålder.

50

4

x=5

B

x+4

Svar: Bredden är 5 meter och längden är 9 meter

Svar: Elsa är 12 år och Sixten är 7 år.

49

4x + 8 = 28

2x + 5 = 19

3 Förenkla och lös ekvationen

48

x + x + 4 + x + x + 4 = 28

2 Ställ upp en ekvation.

x + x + 5 = 19

x

1 Rita en rektangel och skriv uttryck för rektangelns sidor.

1 Skriv ett uttryck för Sixtens och Elsas ålder.

2 Ställ upp en ekvation

(m)

Längden är 6 m och bredden är 2 m + 2 m = 4 m.

Omkretsen är 6 m + 4 m + 6 m + 4 m = 20 m

3 AlGebrA

135

Uppslaget

Mönster

Begrepp

Figurerna ändras efter ett bestämt mönster och kan beskrivas med en bild, med ord, med en tabell eller med ett uttryck.

B

Bild Figur 1

Figur 2

Figur 3

I varje ny figur ökar antalet blå plattor med 3.

Ord

I figur nr 4 är antalet plattor 3 ∙ 4 + 1 = 13 I figur nr n är antalet plattor 3 ∙ n + 1 = 3n + 1

Uttryck

Antal blå plattor

1

4=1∙3+1

2

7=2∙3+1

3

10 = 3 ∙ 3 + 1

4

13 = 4 ∙ 3 + 1

n

n ∙ 3 + 1 = 3n + 1

Figur 1

Figur 2

Tabell

Figur nr

56 Bilderna visar de tre första figurerna i ett mönster.

Figur 3

a) Rita figur 4 och figur 5.

Figur nr

Antal cirklar

1

3

2

5

3

7

b) Rita av tabellen och fyll i antalet cirklar för figur 4 och 5.

4

c) Hur många fler cirklar behövs för varje ny figur?

5

d) Vilket uttryck visar hur många cirklar som behövs till figur n?

n

3n + 1

2+n

2n + 1

Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i det som saknas.

3 mindre än x

Resonemang och kommunikation

Här intill ser du deras lösningar:

Arvid:

a) Vem har rätt? Motivera ditt svar.

Amina: 4 5 + 7 = 5 2

b) Vilka fel har de andra gjort?

Ammar: 4 · 5 + 7 = 2 7

4 + 5 + 7 = 1 6

A Familjen Bok har tre barn. Summan av barnens åldrar är 16 år. Emma är

antalet rutor för figur 4 och 5.

3 år äldre än Jorun och Noomi är 2 år yngre än Jorun. Hur gamla är barnen?

c) Hur många fler plattor behövs till Figur 1

Figur 2

Figur 3

B Hur många röda lådor ska placeras på den tomma vågskålen för att vågen ska vara i jämvikt?

som behövs till figur n?

n+4

3 mer än x

Problemlösning

b) Gör en tabell som i rutan och fyll i

4n + 1

?

uttrycket kan ha sett ut innan Omar förenklade det.

a) Rita figur 4 och 5

5n

?

B Omar har förenklat ett uttryck till 7x + 5. Ge två olika förslag på hur

57 Här är de tre första figurerna i ett annat mönster.

?

●●Beräkna värdet av uttrycket 4a + 7 om a = 5.

e) Hur många cirklar behövs till figur 10?

d) Vilket uttryck visar hur många plattor

3x betyder

A Arvid, Amina och Ammar löser följande uppgift:

3n

varje ny figur?

B

Uttrycket

a)

4n + 4

b)

e) Hur många plattor behövs till figur 100?

Arbetsblad 3:10–3:11 136

3 algebra

3 algebra

137

Uppslaget

Mönster

Begrepp

Figurerna ändras efter ett bestämt mönster och kan beskrivas med en bild, med ord, med en tabell eller med ett uttryck.

B

Bild Figur 1

Figur 2

Figur 3

I varje ny figur ökar antalet blå plattor med 3.

Ord

I figur nr 4 är antalet plattor 3 ∙ 4 + 1 = 13 I figur nr n är antalet plattor 3 ∙ n + 1 = 3n + 1

Uttryck

Antal blå plattor

1

4=1∙3+1

2

7=2∙3+1

3

10 = 3 ∙ 3 + 1

4

13 = 4 ∙ 3 + 1

n

n ∙ 3 + 1 = 3n + 1

Figur 1

Figur 2

Tabell

Figur nr

56 Bilderna visar de tre första figurerna i ett mönster.

Figur 3

a) Rita figur 4 och figur 5.

Figur nr

Antal cirklar

1

3

2

5

3

7

b) Rita av tabellen och fyll i antalet cirklar för figur 4 och 5.

4

c) Hur många fler cirklar behövs för varje ny figur?

5

d) Vilket uttryck visar hur många cirklar som behövs till figur n?

n

3n + 1

2+n

2n + 1

Rita av och gör klart begreppskartan genom att fylla i det som saknas.

3 mindre än x

Resonemang och kommunikation

Här intill ser du deras lösningar:

Arvid:

a) Vem har rätt? Motivera ditt svar.

Amina: 4 5 + 7 = 5 2

b) Vilka fel har de andra gjort?

Ammar: 4 · 5 + 7 = 2 7

4 + 5 + 7 = 1 6

A Familjen Bok har tre barn. Summan av barnens åldrar är 16 år. Emma är

antalet rutor för figur 4 och 5.

3 år äldre än Jorun och Noomi är 2 år yngre än Jorun. Hur gamla är barnen?

c) Hur många fler plattor behövs till Figur 1

Figur 2

Figur 3

B Hur många röda lådor ska placeras på den tomma vågskålen för att vågen ska vara i jämvikt?

som behövs till figur n?

n+4

3 mer än x

Problemlösning

b) Gör en tabell som i rutan och fyll i

4n + 1

?

uttrycket kan ha sett ut innan Omar förenklade det.

a) Rita figur 4 och 5

5n

?

B Omar har förenklat ett uttryck till 7x + 5. Ge två olika förslag på hur

57 Här är de tre första figurerna i ett annat mönster.

?

●●Beräkna värdet av uttrycket 4a + 7 om a = 5.

e) Hur många cirklar behövs till figur 10?

d) Vilket uttryck visar hur många plattor

3x betyder

A Arvid, Amina och Ammar löser följande uppgift:

3n

varje ny figur?

B

Uttrycket

a)

4n + 4

b)

e) Hur många plattor behövs till figur 100?

Arbetsblad 3:10–3:11 136

3 algebra

3 algebra

137

Röd kurs Andelar och förhållanden

4

Hugo blandar saft i fyra olika glas. Han blandar saften så att förhållandet mellan koncentrerad saft och vatten blir olika i de olika glasen.

1

På en saftflaska står det: Spädes 1 + 3

2 1:2

3

4

2:3

3:2

4:3

Det betyder att till varje del saft ska man tillsätta 3 delar vatten.

Förhållandet mellan saft och vatten är 1�3.

1 Andelen koncentrerad saft är __ 4 3 Andelen vatten är __ 4

R

Man säger ”ett till tre”.

a) Hur stor andel av den färdiga saften är vatten i de olika glasen?

Vatten

Koncentrerad saft

R

b) I vilket glas är andelen vatten minst?

Spädes 1+3

c) Hur stor andel av den färdiga saften är koncentrerad saft i de olika glasen?

d) I vilket av glasen är den färdiga saften minst koncentrerad?

Exempel

5

Emma ska blanda saft och häller 2 dl koncentrerad saft i en tillbringare.

a) Hur mycket vatten ska hon hälla i?

a) Hur stor andel är den koncentrerade juicen i den drickfärdiga juicen?

Till 2 dl koncentrerad saft ska hon tillsätta 3 gånger så mycket vatten. 3 · 2 dl = 6 dl.

2 dl koncentrerad saft

b) Hur stor blir andelen koncentrerad saft?

Totala mängden färdigblandad saft blir 2 dl + 6 dl = 8 dl. Andelen koncentrerad saft blir 8

4

b) Hur mycket koncentrerad juice innehåller förpackningen?

3 · 2 dl vatten

Svar: Emma ska hälla i 6 dl vatten.

2 __ 1 __ =

På en förpackning står det ”Superkoncentrerad juice. Spädes 1 + 9.

Ger 5 liter dryck.”

6

En blandning mellan två metaller kallas en legering. Brons är en legering mellan koppar och tenn. Ett vanligt förhållande mellan metallerna i brons är 4 delar koppar och en del tenn.

a) Hur stor andel är tenn i legeringen brons? Skriv som ett bråk. b) En bronsyxa från vikingatiden väger 3 kg. Hur mycket väger kopparen

Mängden koncentrerad saft ________________________

i yxan om förhållandet mellan metallerna är det vanliga?

Totala mängden saft

1 Svar: Andelen koncentrerad saft blir __ .

4

7

Per, Lisa och Reza spelade på Lotto. De satsade i förhållandet 2�2�4.

a) Reza satsade 300 kr. Hur mycket satsade då Per och Lisa?

1

a) 1 dl koncentrerad saft

2

b) 3 dl koncentrerad saft

c) 5 dl koncentrerad saft.

Hur mycket saft kan Emma göra av

a) 1 dl koncentrerad saft

3

b) De vann 1�600 kr. Hur ska de fördela vinsten?

Hur mycket vatten ska Emma hälla i om hon har

b) 3 dl koncentrerad saft

a) Kombinera flaskorna med bilderna

A

8

När Victor hoppar tresteg är förhållandet mellan längden på 1:a steget, längden på 2:a steget och längden på 3:e steget 3�2�4. Hur långt hoppar han totalt om det andra steget är 2,70 m? )

c) 5 dl koncentrerad saft B

C

som visar andelen koncentrerad saft.

b) Stina gör 6 dl saft från flaska A och

6 dl saft från flaska C. Sedan häller hon ihop blandningarna i en stor flaska. Beräkna andelen 1 koncentrerad saft i den stora flaskan.

178

4 brÅK

Spädes 1+2

2

Spädes 1+4

3

Spädes 1+5

V

Första steget

V

Andra steget

H

Tredje steget

Nationellt ämnesprov åk 9 2004

4 ArbetsblAd 4:11 4 brÅK

179

Röd kurs Andelar och förhållanden

4

Hugo blandar saft i fyra olika glas. Han blandar saften så att förhållandet mellan koncentrerad saft och vatten blir olika i de olika glasen.

1

På en saftflaska står det: Spädes 1 + 3

2 1:2

3

4

2:3

3:2

4:3

Det betyder att till varje del saft ska man tillsätta 3 delar vatten.

Förhållandet mellan saft och vatten är 1�3.

1 Andelen koncentrerad saft är __ 4 3 Andelen vatten är __ 4

R

Man säger ”ett till tre”.

a) Hur stor andel av den färdiga saften är vatten i de olika glasen?

Vatten

Koncentrerad saft

R

b) I vilket glas är andelen vatten minst?

Spädes 1+3

c) Hur stor andel av den färdiga saften är koncentrerad saft i de olika glasen?

d) I vilket av glasen är den färdiga saften minst koncentrerad?

Exempel

5

Emma ska blanda saft och häller 2 dl koncentrerad saft i en tillbringare.

a) Hur mycket vatten ska hon hälla i?

a) Hur stor andel är den koncentrerade juicen i den drickfärdiga juicen?

Till 2 dl koncentrerad saft ska hon tillsätta 3 gånger så mycket vatten. 3 · 2 dl = 6 dl.

2 dl koncentrerad saft

b) Hur stor blir andelen koncentrerad saft?

Totala mängden färdigblandad saft blir 2 dl + 6 dl = 8 dl. Andelen koncentrerad saft blir 8

4

b) Hur mycket koncentrerad juice innehåller förpackningen?

3 · 2 dl vatten

Svar: Emma ska hälla i 6 dl vatten.

2 __ 1 __ =

På en förpackning står det ”Superkoncentrerad juice. Spädes 1 + 9.

Ger 5 liter dryck.”

6

En blandning mellan två metaller kallas en legering. Brons är en legering mellan koppar och tenn. Ett vanligt förhållande mellan metallerna i brons är 4 delar koppar och en del tenn.

a) Hur stor andel är tenn i legeringen brons? Skriv som ett bråk. b) En bronsyxa från vikingatiden väger 3 kg. Hur mycket väger kopparen

Mängden koncentrerad saft ________________________

i yxan om förhållandet mellan metallerna är det vanliga?

Totala mängden saft

1 Svar: Andelen koncentrerad saft blir __ .

4

7

Per, Lisa och Reza spelade på Lotto. De satsade i förhållandet 2�2�4.

a) Reza satsade 300 kr. Hur mycket satsade då Per och Lisa?

1

a) 1 dl koncentrerad saft

2

b) 3 dl koncentrerad saft

c) 5 dl koncentrerad saft.

Hur mycket saft kan Emma göra av

a) 1 dl koncentrerad saft

3

b) De vann 1�600 kr. Hur ska de fördela vinsten?

Hur mycket vatten ska Emma hälla i om hon har

b) 3 dl koncentrerad saft

a) Kombinera flaskorna med bilderna

A

8

När Victor hoppar tresteg är förhållandet mellan längden på 1:a steget, längden på 2:a steget och längden på 3:e steget 3�2�4. Hur långt hoppar han totalt om det andra steget är 2,70 m? )

c) 5 dl koncentrerad saft B

C

som visar andelen koncentrerad saft.

b) Stina gör 6 dl saft från flaska A och

6 dl saft från flaska C. Sedan häller hon ihop blandningarna i en stor flaska. Beräkna andelen 1 koncentrerad saft i den stora flaskan.

178

4 brÅK

Spädes 1+2

2

Spädes 1+4

3

Spädes 1+5

V

Första steget

V

Andra steget

H

Tredje steget

Nationellt ämnesprov åk 9 2004

4 ArbetsblAd 4:11 4 brÅK

179

Mer om förkortning

Mer om förlängning När man ska jämföra bråk eller addera och subtrahera bråk, är det bra att skriva om bråken så att de får samma nämnare.

Ett annat namn för samma nämnare är gemensam nämnare

Om man till exempel ska hitta en gemensam nämnare 1 1 till bråken __ och __ så kan man förlänga bråken med 4 6 det andra bråkets nämnare.

R

6 1 · 6 ___ ____ = 4·6

1 Förläng __ med 6.

4

24

1 · 4 ___ 4 ____ = 6·4

24

När man förkortar ett bråk så dividerar man bråkets täljare och nämnare med samma tal. Bråkets värde förändras inte. Ibland kan det vara svårt att direkt se det största tal som både täljare och nämnare är delbart med. Då kan man förkorta bråket stegvis. Till exempel kan man förkorta med 2 om både täljare och nämnare är jämna tal.

Exempel

36 Förkorta bråket ___ så att nämnaren blir så liten som möjligt.

54

1 Förläng __ med 4.

6

Både 36 och 54 är jämna tal.

En gemensam nämnare till båda bråken är 24.

För att hitta minsta gemensamma nämnaren kan man 4:ans tabell: 4 8 12 jämföra de olika nämnarnas multiplikationstabeller.

6:ans tabell: 6 12 18 Det minsta tal som är gemensamt i båda tabellerna är den minsta gemensamma nämnaren.

1 1 Den minsta gemensamma nämnaren till bråken __ och __ är 12.

4 6 1 · 3 ___ 3 1 ____ 1 · 2 ___ 2 1 ____ __ __ Förläng så att båda bråken får nämnaren 12. = = = = 4 4 · 3 12 6 6 · 2 12

Förläng bråken och skriv dem med minsta gemensamma nämnare.

9 10 11

36 _____ 36/2 ___ 18 _____ 18/3 __ 6 6/3 2 ___ = = = = = ____ = __ 54

9

9/3

Det går också att 36 förkorta ___ med 54 3, 6 eller 9.

3

Både 6 och 9 är delbara med 3.

Förkorta följande bråk så att nämnaren blir så liten som möjligt.

14

8 a) ___ 24

30 b) ___ 54

18 c) ___ 24

36 d) ___

30 e) ____

84

150

1 3 c) __ och ___

5 1 d) __ och ___

15

42 a) ___ 98

45 b) ___

24 c) ___

45 d) ___

75 e) ___

3 1 1 a) __ , __ och __

5 2 7 b) __ , __ och __

1 2 1 c) __ , __ och __

3 1 2 d) __ , __ och __

16

32 a) ___

45 b) ___

108 c) ____

60 d) ___

42 e) ____

17

I rutan står det olika bråk. En del av dem har samma värde.

2 3

9

5

6

3 8

4

6

5 9

14

8

15

6 7

Mikael, Hossam och Alma försöker dela på 180 kr så att Mikael ska få 1 1 1 __ , Sanna __ och Alma __ av summan.

2 3 4

2

180

27/3

5 2 b) __ och __

8

1 1 b) Om Mikael får __ och Hossam __ av summan, hur stor andel får då Alma?

13

27

Både 18 och 27 är delbara med 3.

20

21

3

3 Eleverna i Jennifers klass håller alla på med idrott eller musik. Det är __ av 5 2 eleverna i klassen som håller på med musik och __ som håller på med 3 någon idrott. Hur stor andel av eleverna i klassen håller på med både musik och idrott?

3 5 I en liten byskola är __ av eleverna under 8 år och ___ är mellan 8 och 8 16 10 år. Resten, 12 elever, är över 10 år. Hur många elever finns det i skolan?

4 brÅK

60

24

36

72

48

75

16

90

a) Para ihop de bråk som har samma värde. b) Vilket bråk hör inte ihop med något av de övriga?

a) Det går inte. Förklara varför.

12

54/2

3 1 a) __ och __ 6

R

18

140

10 ___ 16 8 ___ 14

4 __

16 ___

7 5 __ 8

15 ___

28 12 ___ 21

21 15 ___ 27

40 ___ 56 25 ___ 40

I burkarna har färgerna rött och blått blandats för att få lila färg.

I vilka av burkarna är andelen röd densamma?

A

B

C

D

2 delar röd 3 delar blå

1 del röd 3 delar blå

4 delar röd 12 delar blå

10 delar röd 15 delar blå ArbetsblAd 4:12 4 brÅK

181

Mer om förkortning

Mer om förlängning När man ska jämföra bråk eller addera och subtrahera bråk, är det bra att skriva om bråken så att de får samma nämnare.

Ett annat namn för samma nämnare är gemensam nämnare

Om man till exempel ska hitta en gemensam nämnare 1 1 till bråken __ och __ så kan man förlänga bråken med 4 6 det andra bråkets nämnare.

R

6 1 · 6 ___ ____ = 4·6

1 Förläng __ med 6.

4

24

1 · 4 ___ 4 ____ = 6·4

24

När man förkortar ett bråk så dividerar man bråkets täljare och nämnare med samma tal. Bråkets värde förändras inte. Ibland kan det vara svårt att direkt se det största tal som både täljare och nämnare är delbart med. Då kan man förkorta bråket stegvis. Till exempel kan man förkorta med 2 om både täljare och nämnare är jämna tal.

Exempel

36 Förkorta bråket ___ så att nämnaren blir så liten som möjligt.

54

1 Förläng __ med 4.

6

Både 36 och 54 är jämna tal.

En gemensam nämnare till båda bråken är 24.

För att hitta minsta gemensamma nämnaren kan man 4:ans tabell: 4 8 12 jämföra de olika nämnarnas multiplikationstabeller.

6:ans tabell: 6 12 18 Det minsta tal som är gemensamt i båda tabellerna är den minsta gemensamma nämnaren.

1 1 Den minsta gemensamma nämnaren till bråken __ och __ är 12.

4 6 1 · 3 ___ 3 1 ____ 1 · 2 ___ 2 1 ____ __ __ Förläng så att båda bråken får nämnaren 12. = = = = 4 4 · 3 12 6 6 · 2 12

Förläng bråken och skriv dem med minsta gemensamma nämnare.

9 10 11

36 _____ 36/2 ___ 18 _____ 18/3 __ 6 6/3 2 ___ = = = = = ____ = __ 54

9

9/3

Det går också att 36 förkorta ___ med 54 3, 6 eller 9.

3

Både 6 och 9 är delbara med 3.

Förkorta följande bråk så att nämnaren blir så liten som möjligt.

14

8 a) ___ 24

30 b) ___ 54

18 c) ___ 24

36 d) ___

30 e) ____

84

150

1 3 c) __ och ___

5 1 d) __ och ___

15

42 a) ___ 98

45 b) ___

24 c) ___

45 d) ___

75 e) ___

3 1 1 a) __ , __ och __

5 2 7 b) __ , __ och __

1 2 1 c) __ , __ och __

3 1 2 d) __ , __ och __

16

32 a) ___

45 b) ___

108 c) ____

60 d) ___

42 e) ____

17

I rutan står det olika bråk. En del av dem har samma värde.

2 3

9

5

6

3 8

4

6

5 9

14

8

15

6 7

Mikael, Hossam och Alma försöker dela på 180 kr så att Mikael ska få 1 1 1 __ , Sanna __ och Alma __ av summan.

2 3 4

2

180

27/3

5 2 b) __ och __

8

1 1 b) Om Mikael får __ och Hossam __ av summan, hur stor andel får då Alma?

13

27

Både 18 och 27 är delbara med 3.

20

21

3

3 Eleverna i Jennifers klass håller alla på med idrott eller musik. Det är __ av 5 2 eleverna i klassen som håller på med musik och __ som håller på med 3 någon idrott. Hur stor andel av eleverna i klassen håller på med både musik och idrott?

3 5 I en liten byskola är __ av eleverna under 8 år och ___ är mellan 8 och 8 16 10 år. Resten, 12 elever, är över 10 år. Hur många elever finns det i skolan?

4 brÅK

60

24

36

72

48

75

16

90

a) Para ihop de bråk som har samma värde. b) Vilket bråk hör inte ihop med något av de övriga?

a) Det går inte. Förklara varför.

12

54/2

3 1 a) __ och __ 6

R

18

140

10 ___ 16 8 ___ 14

4 __

16 ___

7 5 __ 8

15 ___

28 12 ___ 21

21 15 ___ 27

40 ___ 56 25 ___ 40

I burkarna har färgerna rött och blått blandats för att få lila färg.

I vilka av burkarna är andelen röd densamma?

A

B

C

D

2 delar röd 3 delar blå

1 del röd 3 delar blå

4 delar röd 12 delar blå

10 delar röd 15 delar blå ArbetsblAd 4:12 4 brÅK

181

Mer om att addera och subtrahera bråk Exempel

3 7 Beräkna __ – ___ 4 10

Bråk med nämnaren 10, 100 eller 1�000 är lätta att skriva i decimalform.

För att kunna göra om bråk till decimalform med huvudräkning är det därför bra att kunna skriva om ett bråk så att nämnaren blir 10, 100 eller 1�000.

Minsta gemensamma nämnare för 4 och 10 är 20.

3 7 Förläng __ med 5 och ___ med 2.

10 4

R

Mer om tal i bråkform och i decimalform

4

10

4·5

10 · 2

20

20

9 a) Skriv ___ som ett decimaltal.

20

Ett bråk som har nämnaren 10, 100 eller 1 000 är lätt att skriva i decimalform.

60 9 _____ 9/3 ___ 3 _____ 3 · 5 ____ 15 ___ = = = = = 0,15 60 60/3 20 20 · 5 100

Beräkna. Svara med så liten nämnare som möjligt.

19

7 2 a) __ – __

20

a) 3 – __

21

3 5 1 a) __ + __ – __

22

8

8

3

4 7

b) 3 __ – 2 __

c) 5 __ – 3 __

7 9

d) 2 __ – 1 __

3 2 2 b) __ – __ + __

1 5 1 c) __ + __ – __

3 2 1 d) __ – __ + __

5

6

4

9

2 3

5 6

12

2 5 c) __ + __

3

8

1 3

5

3 3 d) __ + ___

7

6

7

10

5 9

4 7

3

4

3

13

1

15

23

2

3

35

3,5

1 3 30 b) ___ + _____ + _____ 41

3 __ 8

1�000

3 __ 4

2�000

65/5 13 65 0,65 = ____ = ______ = ___ 100 100/5 20

9

Förkorta eller förläng med lämpligt tal och skriv sedan i decimalform.

1

2

103 203 602 c) ____ + ____ – ____ 300

1

601

897

1 __

2 __

3

3

0

Vilket bråk ska 13 5 a) adderas till __ för att summan ska bli ___ 8

16 1 5 b) subtraheras från ___ för att differensen ska bli __ 12 4

24 25

Förläng med 5

b) Skriv 0,65 som bråk med så liten nämnare som möjligt.

Vilket tal i rutan är det bästa närmevärdet till uttrycket?

Motivera ditt val.

7 11 17 6 a) ___ + ___ + ___ + ___

23

Förkorta med 3

5 2 b) __ + __ 12

26

24 a) ___ 60

12 b) ___ 20

63 c) ___

72 d) ___

15 e) ___

27

3 a) ___

4 b) ___

7 c) ___

125 d) ____

420 e) ____

ArbetsblAd 4:13 4 brÅK

20

30

200

28

a) 0,3

b) 0,4

c) 0,8

d) 1,6

29

a) 0,12

b) 0,35

c) 0,125

d) 2,625

31

Jesper, Hugo, Olga och Leila har skottat var sin del av en parkering. Jesper 1 1 1 1 har skottat __ , Olga __ , Hugo __ och Leila __ av parkeringen. Hur stor 3 4 5 6 andel av parkeringen är kvar att skotta?

25

70

60

560

Skriv som ett bråk med så liten nämnare som möjligt.

30

1 Ange två olika bråk som har summan __ . Visa hur du kom fram till ditt svar.

5

50

Felix ska baka en kaka. Han följer ett amerikansk recept där det står att han 3 ska ta 1 __ cup socker. Hur många deciliter är det om en cup motsvarar 2,4 dl?

4 Elsa åker buss till sin morfar. Hon är uttråkad och frågar busschauffören hur långt det är kvar. Busschauffören svarar: ”Vi har nu åkt 32,3 mil och 4 om 2,5 mil har vi åkt __ av hela vägen.” Hur långt har Elsa kvar att åka?

9

32 En egendoms område utgöres till

182

R

Exempel

3 ___ 7 ____ 3 · 5 _____ 7 · 2 ___ 15 ___ 14 ___ 1 __ – = – = – =

7 ___

af åker och äng; de öfriga ägorna utgöra 10 192,6 hektar. Hur stort är hela ägoområdet?

– ur ”Sifferräknelära” från 1896

4 brÅK

183

Mer om att addera och subtrahera bråk Exempel

3 7 Beräkna __ – ___ 4 10

Bråk med nämnaren 10, 100 eller 1�000 är lätta att skriva i decimalform.

För att kunna göra om bråk till decimalform med huvudräkning är det därför bra att kunna skriva om ett bråk så att nämnaren blir 10, 100 eller 1�000.

Minsta gemensamma nämnare för 4 och 10 är 20.

3 7 Förläng __ med 5 och ___ med 2.

10 4

R

Mer om tal i bråkform och i decimalform

4

10

4·5

10 · 2

20

20

9 a) Skriv ___ som ett decimaltal.

20

Ett bråk som har nämnaren 10, 100 eller 1 000 är lätt att skriva i decimalform.

60 9 _____ 9/3 ___ 3 _____ 3 · 5 ____ 15 ___ = = = = = 0,15 60 60/3 20 20 · 5 100

Beräkna. Svara med så liten nämnare som möjligt.

19

7 2 a) __ – __

20

a) 3 – __

21

3 5 1 a) __ + __ – __

22

8

8

3

4 7

b) 3 __ – 2 __

c) 5 __ – 3 __

7 9

d) 2 __ – 1 __

3 2 2 b) __ – __ + __

1 5 1 c) __ + __ – __

3 2 1 d) __ – __ + __

5

6

4

9

2 3

5 6

12

2 5 c) __ + __

3

8

1 3

5

3 3 d) __ + ___

7

6

7

10

5 9

4 7

3

4

3

13

1

15

23

2

3

35

3,5

1 3 30 b) ___ + _____ + _____ 41

3 __ 8

1�000

3 __ 4

2�000

65/5 13 65 0,65 = ____ = ______ = ___ 100 100/5 20

9

Förkorta eller förläng med lämpligt tal och skriv sedan i decimalform.

1

2

103 203 602 c) ____ + ____ – ____ 300

1

601

897

1 __

2 __

3

3

0

Vilket bråk ska 13 5 a) adderas till __ för att summan ska bli ___ 8

16 1 5 b) subtraheras från ___ för att differensen ska bli __ 12 4

24 25

Förläng med 5

b) Skriv 0,65 som bråk med så liten nämnare som möjligt.

Vilket tal i rutan är det bästa närmevärdet till uttrycket?

Motivera ditt val.

7 11 17 6 a) ___ + ___ + ___ + ___

23

Förkorta med 3

5 2 b) __ + __ 12

26

24 a) ___ 60

12 b) ___ 20

63 c) ___

72 d) ___

15 e) ___

27

3 a) ___

4 b) ___

7 c) ___

125 d) ____

420 e) ____

ArbetsblAd 4:13 4 brÅK

20

30

200

28

a) 0,3

b) 0,4

c) 0,8

d) 1,6

29

a) 0,12

b) 0,35

c) 0,125

d) 2,625

31

Jesper, Hugo, Olga och Leila har skottat var sin del av en parkering. Jesper 1 1 1 1 har skottat __ , Olga __ , Hugo __ och Leila __ av parkeringen. Hur stor 3 4 5 6 andel av parkeringen är kvar att skotta?

25

70

60

560

Skriv som ett bråk med så liten nämnare som möjligt.

30

1 Ange två olika bråk som har summan __ . Visa hur du kom fram till ditt svar.

5

50

Felix ska baka en kaka. Han följer ett amerikansk recept där det står att han 3 ska ta 1 __ cup socker. Hur många deciliter är det om en cup motsvarar 2,4 dl?

4 Elsa åker buss till sin morfar. Hon är uttråkad och frågar busschauffören hur långt det är kvar. Busschauffören svarar: ”Vi har nu åkt 32,3 mil och 4 om 2,5 mil har vi åkt __ av hela vägen.” Hur långt har Elsa kvar att åka?

9

32 En egendoms område utgöres till

182

R

Exempel

3 ___ 7 ____ 3 · 5 _____ 7 · 2 ___ 15 ___ 14 ___ 1 __ – = – = – =

7 ___

af åker och äng; de öfriga ägorna utgöra 10 192,6 hektar. Hur stort är hela ägoområdet?

– ur ”Sifferräknelära” från 1896

4 brÅK

183

Uppslaget

Calculate with american measurements

Problemlösning, resonemang och kommunikation 2 ​ __ ​ meter lång. Kan du av denna göra en remsa som 3 är en halv meter utan att mäta? Visa.

A En pappersremsa är

In the United States they use different units for length, for example yards, feet and inches.

1 yard (yd) = 3 feet (ft) = 36 inches (in)

R

B En mus har ätit

1 inch ≈ 25,4 mm ≈ 2,5 cm

R

8 nötter hade musen från början?

33 Write as a fraction. a) An inch of a yard

3 __ ​ ​ av sitt nötförråd. Det är då 120 nötter kvar. Hur många

C Hur stor andel av figuren är skuggad? b) An inch of a foot

34 How long is one yard in meters? Round to one decimal place.

35 The ruler is graded in inches and divided into four 12 sections, M, A, T and H. The length ___ ​ ​ inches 5 will be in section A. Estimate in which section each of the following lengths will be.

20 a) ​ ___ ​ inches 8

36 b) ​ ___ ​ inches

M

A

1

2

4

5

6

D Fabian har gitarrlektion. Under lektionen säger gitarrläraren att en

of fabric is measured in yards. Jennifer is a size 38.

4

Size

a) How much fabric does she need for a blouse and

Blouse

3 b) She buys a piece of fabric that is 4 __ ​ ​ yd. How much

Skirt

a skirt?

4

37 Jennifer’s friend Amy is also sewing a blouse and a skirt.

She is a size 36. She finds one piece of red fabric that is 5 3 4 __ ​ ​ yd and one piece of blue fabric that is 4 __ ​ ​ yd.

6 8

a) How much fabric does she have left if she uses the red piece?

b) How much fabric does she have left if she uses the

femtedel av gitarrlektionen har gått. Efter ytterligare 15 minuter säger läraren att halva tiden har gått. Hur lång är gitarrlektionen?

18 d) ​ ___ ​ inches

16

36 Jennifer is sewing a blouse and a skirt. The amount

fabric is left over?

H

3

60 c) ​ ___ ​ inches

8

T

1

2

36

38

3 1 ​ __ ​ yd 8

1 1 __ ​ ​ yd 2

3 3 2 __ ​ ​ yd 4

4

5 5 2 __ ​ ​ yd 6

E Anna deltar i ett terränglopp. Hon springer den första tredjedelen av

loppet och joggar sedan en hälften så lång sträcka som hon sprang från början. Sedan blir hon ännu tröttare och går de 4 km som är kvar till målet.

Hur långt var terrängloppet?

6

F Karim, Elsa och Johanna delar ut reklamblad. Tillsammans har de delat ut

420 stycken. Karim har delat ut hälften så många reklambad som Elsa och Elsa har delat ut hälften så många som Johanna. Hur många reklamblad delade de ut var och en?

G Kevin har två flaskor med hallonsaft. Han blandar

lika mycket saft från de båda flaskorna. Hur stor blir andelen koncentrerad saft om han sedan häller ihop de båda blandningarna?

Spädes 1+2

Spädes Spädes 1 + 41 + 2

Spädes Spädes 1 + 51 + 4

Spädes 1+5

blue piece?

c) Which piece should she use? Explain.

2 d) For a small bag she needs __ ​ ​ yd. Is the largest piece 3 enough for a blouse, a skirt and a bag?

184

4 bråk

4 bråk

185

Uppslaget

Calculate with american measurements

Problemlösning, resonemang och kommunikation 2 ​ __ ​ meter lång. Kan du av denna göra en remsa som 3 är en halv meter utan att mäta? Visa.

A En pappersremsa är

In the United States they use different units for length, for example yards, feet and inches.

1 yard (yd) = 3 feet (ft) = 36 inches (in)

R

B En mus har ätit

1 inch ≈ 25,4 mm ≈ 2,5 cm

R

8 nötter hade musen från början?

33 Write as a fraction. a) An inch of a yard

3 __ ​ ​ av sitt nötförråd. Det är då 120 nötter kvar. Hur många

C Hur stor andel av figuren är skuggad? b) An inch of a foot

34 How long is one yard in meters? Round to one decimal place.

35 The ruler is graded in inches and divided into four 12 sections, M, A, T and H. The length ___ ​ ​ inches 5 will be in section A. Estimate in which section each of the following lengths will be.

20 a) ​ ___ ​ inches 8

36 b) ​ ___ ​ inches

M

A

1

2

4

5

6

D Fabian har gitarrlektion. Under lektionen säger gitarrläraren att en

of fabric is measured in yards. Jennifer is a size 38.

4

Size

a) How much fabric does she need for a blouse and

Blouse

3 b) She buys a piece of fabric that is 4 __ ​ ​ yd. How much

Skirt

a skirt?

4

37 Jennifer’s friend Amy is also sewing a blouse and a skirt.

She is a size 36. She finds one piece of red fabric that is 5 3 4 __ ​ ​ yd and one piece of blue fabric that is 4 __ ​ ​ yd.

6 8

a) How much fabric does she have left if she uses the red piece?

b) How much fabric does she have left if she uses the

femtedel av gitarrlektionen har gått. Efter ytterligare 15 minuter säger läraren att halva tiden har gått. Hur lång är gitarrlektionen?

18 d) ​ ___ ​ inches

16

36 Jennifer is sewing a blouse and a skirt. The amount

fabric is left over?

H

3

60 c) ​ ___ ​ inches

8

T

1

2

36

38

3 1 ​ __ ​ yd 8

1 1 __ ​ ​ yd 2

3 3 2 __ ​ ​ yd 4

4

5 5 2 __ ​ ​ yd 6

E Anna deltar i ett terränglopp. Hon springer den första tredjedelen av

loppet och joggar sedan en hälften så lång sträcka som hon sprang från början. Sedan blir hon ännu tröttare och går de 4 km som är kvar till målet.

Hur långt var terrängloppet?

6

F Karim, Elsa och Johanna delar ut reklamblad. Tillsammans har de delat ut

420 stycken. Karim har delat ut hälften så många reklambad som Elsa och Elsa har delat ut hälften så många som Johanna. Hur många reklamblad delade de ut var och en?

G Kevin har två flaskor med hallonsaft. Han blandar

lika mycket saft från de båda flaskorna. Hur stor blir andelen koncentrerad saft om han sedan häller ihop de båda blandningarna?

Spädes 1+2

Spädes Spädes 1 + 41 + 2

Spädes Spädes 1 + 51 + 4

Spädes 1+5

blue piece?

c) Which piece should she use? Explain.

2 d) For a small bag she needs __ ​ ​ yd. Is the largest piece 3 enough for a blouse, a skirt and a bag?

184

4 bråk

4 bråk

185

Svarta sidorna

1 En sockerlösning består av socker och vatten. I en sockerlösning som väger 200 g finns det 5 % socker. Räkna ut andelen socker om man tillsätter ytterligare

a) 50 g vatten

b) 50 g socker

2 I Ninos klass går 14 pojkar och 60 % av eleverna är flickor. I Sandras klass går 2 pojkar och 80 % av eleverna är flickor. I vilken klass går det flest flickor?

S

3 Paul springer sin träningsrunda på 5 km tre gånger i veckan. En dag

förbättrade han sin bästa tid med 10 sekunder. Hans tidigare bästa tid var 16 min och 40 s. Med hur många procent förbättrade Paul sin tid?

4 I en burk finns en odling av bakterier. Varje timme fördubblas mängden bakterier. Burken blev fylld till 100 % av bakterier kl 16.00. Hur mycket var klockan då burken var fylld till 50 % av bakterier?

5 Hur många procent av de två cirklarnas sammanlagda yta är färgad?

10 Värdet av en aktie sjönk under det första året med 30 %. Nästa år sjönk det ytterligare 30 %. Då hade aktien ett värde på 42 kr. Vad kostade aktien från början?

11 Värdet på en annan aktie steg under det första året med 20 %. Året därpå sjönk värdet med 20 %. Då hade den ett värde på 71 kr. Vad var aktien värd från början?

12 I en fruktodling är

3 __ ​ ​ av träden äppelträd. Av de övriga träden är 4

1 2 __ ​ ​ päronträd, __ ​ ​ plommonträd och resten är körsbärsträd. Hur 5

5

S

många

procent av alla träden är körsbärsträd?

13 En vara kostar p kr. Priset sänks med z kr. Vilket av uttrycken i rutan visar

a) det nya priset?

p ​ __ ​ z

z ​ __ ​ p – z p

b) hur många procent som priset har sänkts?

z–p

z p ​ ​ 100 · (p – z) 100 · __ ​ ​ 10 · __ z p

100 · (z – p)

14 Wilma jobbar i en kiosk på sommarlovet. Hon får välja mellan två alternativ när hon ska få betalt för jobbet:

6 Förra året var 75 % av eleverna på skolan med i fotbolls-

turneringen. I år har intresset minskat, endast 20 % av eleverna är med och inga nya har börjat spela. Hur många procent av eleverna som var med i förra årets fotbollsturnering har slutat?

7 a) En rektangels sidor minskar med 20 %. Med hur många procent minskar arean?

b) I en rektangel så ökar längden med 50 % och bredden

minskar med 50 %. Hur många procent förändras arean?

1. Att få 630 kr/vecka plus 3 % av det hon säljer för.

2. Att inte få någon fast lön utan bara få 12 % av det hon säljer för.

Hur mycket måste Wilma minst sälja för per vecka för att alternativ 2 ska vara bäst?

15 Vid en undersökning svarade 36 % av skolans elever att de inte besökt

någon bio eller något disco den senaste månaden, 52 % svarade att de hade gått på bio och 32 % svarade att de hade varit på ett disco. Hur många procent av skolans elever hade varit både på en bio och på disco?

8 I ett val mellan två kandidater deltog bara 50 % av de

röstberättigade. Kandidat A fick 30 % av rösterna och kandidat B fick 70 % av rösterna. Vilka valresultat hade varit möjliga om alla hade röstat?

9 Under en värmebölja avdunstar varje dag 10 % vatten från en damm i en villaträdgård. Hur många hela dagar tar det innan hälften av vattnet i dammen har dunstat bort?

224

5 procent

5 procent

225

Svarta sidorna

1 En sockerlösning består av socker och vatten. I en sockerlösning som väger 200 g finns det 5 % socker. Räkna ut andelen socker om man tillsätter ytterligare

a) 50 g vatten

b) 50 g socker

2 I Ninos klass går 14 pojkar och 60 % av eleverna är flickor. I Sandras klass går 2 pojkar och 80 % av eleverna är flickor. I vilken klass går det flest flickor?

S

3 Paul springer sin träningsrunda på 5 km tre gånger i veckan. En dag

förbättrade han sin bästa tid med 10 sekunder. Hans tidigare bästa tid var 16 min och 40 s. Med hur många procent förbättrade Paul sin tid?

4 I en burk finns en odling av bakterier. Varje timme fördubblas mängden bakterier. Burken blev fylld till 100 % av bakterier kl 16.00. Hur mycket var klockan då burken var fylld till 50 % av bakterier?

5 Hur många procent av de två cirklarnas sammanlagda yta är färgad?

10 Värdet av en aktie sjönk under det första året med 30 %. Nästa år sjönk det ytterligare 30 %. Då hade aktien ett värde på 42 kr. Vad kostade aktien från början?

11 Värdet på en annan aktie steg under det första året med 20 %. Året därpå sjönk värdet med 20 %. Då hade den ett värde på 71 kr. Vad var aktien värd från början?

12 I en fruktodling är

3 __ ​ ​ av träden äppelträd. Av de övriga träden är 4

1 2 __ ​ ​ päronträd, __ ​ ​ plommonträd och resten är körsbärsträd. Hur 5

5

S

många

procent av alla träden är körsbärsträd?

13 En vara kostar p kr. Priset sänks med z kr. Vilket av uttrycken i rutan visar

a) det nya priset?

p ​ __ ​ z

z ​ __ ​ p – z p

b) hur många procent som priset har sänkts?

z–p

z p ​ ​ 100 · (p – z) 100 · __ ​ ​ 10 · __ z p

100 · (z – p)

14 Wilma jobbar i en kiosk på sommarlovet. Hon får välja mellan två alternativ när hon ska få betalt för jobbet:

6 Förra året var 75 % av eleverna på skolan med i fotbolls-

turneringen. I år har intresset minskat, endast 20 % av eleverna är med och inga nya har börjat spela. Hur många procent av eleverna som var med i förra årets fotbollsturnering har slutat?

7 a) En rektangels sidor minskar med 20 %. Med hur många procent minskar arean?

b) I en rektangel så ökar längden med 50 % och bredden

minskar med 50 %. Hur många procent förändras arean?

1. Att få 630 kr/vecka plus 3 % av det hon säljer för.

2. Att inte få någon fast lön utan bara få 12 % av det hon säljer för.

Hur mycket måste Wilma minst sälja för per vecka för att alternativ 2 ska vara bäst?

15 Vid en undersökning svarade 36 % av skolans elever att de inte besökt

någon bio eller något disco den senaste månaden, 52 % svarade att de hade gått på bio och 32 % svarade att de hade varit på ett disco. Hur många procent av skolans elever hade varit både på en bio och på disco?

8 I ett val mellan två kandidater deltog bara 50 % av de

röstberättigade. Kandidat A fick 30 % av rösterna och kandidat B fick 70 % av rösterna. Vilka valresultat hade varit möjliga om alla hade röstat?

9 Under en värmebölja avdunstar varje dag 10 % vatten från en damm i en villaträdgård. Hur många hela dagar tar det innan hälften av vattnet i dammen har dunstat bort?

224

5 procent

5 procent

225

Sammanfattning

S

●●Det hela är 100 %

●●En hundradel är 1 %

Procent betyder hundradelar, eller ”av hundra”. Tecknet för procent är %.

Det hela = 1 = 100 % 1 ​ ​ = 50 % Hälften = __ 2 1 ​ ​ = 25 % En fjärdedel = __ 4 3 Tre fjärdedelar = __ ​ ​ = 75 % 4 1 En femtedel = __ ​ ​ = 20 % 5 1 En tiondel = ___ ​ ​ = 10 % 10

●●Bråkform, decimalform och procentform

Bråkform Decimalform Procentform 1 ____ ​ ​ = 0,01 = 1% 100 62 = 0,62 = 62 % ​ ____ ​ 100 40 = 0,4 = 40 % ​ ____ ​ 100 105 ​ = 1,05 = 105 % ​ ____ 100

●●Beräkna delen När du ska beräkna hur mycket 43 % av 700 kr är, kan du göra på olika sätt.

Metod 1 700 kr 1 % av 700 kr = ______ ​

​ = 7 kr 100 43 % av 700 kr = 43 · 7 kr = 301 kr Metod 2 43 % av 700 kr = 0,43 · 700 kr = 301 kr

226

5 procent

●● Beräkna det hela

S

6 % är 18 kr 18 kr = 3 kr Räkna ut vad 1 % är 1 % är _____ ​ ​ 6 100 % är 100 · 3 kr = 300 kr Räkna ut vad 100 % är 1 ____ ​ ​ = 1 %

6 % är 18 kr

Om 6 % är 18 kr, så är 100 % 300 kr.

100

Röd kurs

En av de hundra rutorna är färgad gul.

En procent av rutorna är färgad gul.

●●Beräkna andelen

●●Mer om att beräkna det hela

När man ska beräkna hur stor andelen är i procent kan man göra på olika sätt.

Exempel

Exempel

Priset på en jacka ökar med 15 % till 1 265 kr. Vilket var det gamla priset?

●●Höjning och sänkning

Rabatten på en tröja är 50 kr av 200 kr.

När du ska beräkna hur mycket du ska betala om ett pris ändras kan du först räkna ut ändringen och sedan det nya värdet.

Hur många procent är rabatten?

50 kr ________ 50 kr/2 ______ 25 kr ​ ______

​ = ​ ​ = ​ ​ = 25% 200 kr 200 kr/2 100 kr

Exempel Ett par skor kostar 600 kr. Priset sänks med 45 %. Vilket är det nya priset?

Metod 1 600 kr ​ 1 % av 600 kr = ______

​ = 6 kr 100 45 % av 600 kr = 45 · 6 kr = 270 kr Nytt pris: 600 kr – 270 kr = 330 kr

Förkorta med 2 för att få hundradelar.

Rabatten på ett hopprep är 12 kr av 25 kr.

Hur många procent är rabatten?

12 kr ________ 12 kr ∙ 4 ______ 48 kr _____ ​

​ = ​ ​ = ​ ​ = 48 % 25 kr 25 kr ∙ 4 100 kr Förläng med 4 för att få hundradelar.

Metod 2 45 % av 600 kr = 0,45 · 600 kr = 270 kr

Ibland går det inte att förkorta eller förlänga ett bråk till hundradelar. Då får man istället skriva talet i decimalform och avrunda till hundradelar.

Nytt pris: 600 kr – 270 kr = 330 kr

Exempel I klass 7a går det 28 elever. Av dem är 11 flickor. Hur stor andel av eleverna i 7a är flickor?

11 ​ ___ ​≈ 0,39 = 39 % 28

Det nya priset blir 100 % + 15 % = 115 % av det gamla priset.

1 265 kr

motsvarar 115 %

1 265 kr ________ ​

​ = 11 kr

motsvarar 1 %

11 · 100 = 1 100

motsvarar 100 %

115

Svar: Det gamla priset var 1 100 kr.

Exempel Priset på ett par skor minskar med 12 % till 836 kr. Vilket var det gamla priset?

Det nya priset blir 100 % – 12 % = 88 % av det gamla priset.

836 kr

motsvarar 88 %

836 kr ______ ​

​ = 9,50 kr

motsvarar 1 %

88

9,50 · 100 kr = 950 kr motsvarar 100 % Svar: Det gamla priset var 950 kr.

Ungefär 39 % av eleverna i 7a är flickor.

5 procent

227

Sammanfattning

S

●●Det hela är 100 %

●●En hundradel är 1 %

Procent betyder hundradelar, eller ”av hundra”. Tecknet för procent är %.

Det hela = 1 = 100 % 1 ​ ​ = 50 % Hälften = __ 2 1 ​ ​ = 25 % En fjärdedel = __ 4 3 Tre fjärdedelar = __ ​ ​ = 75 % 4 1 En femtedel = __ ​ ​ = 20 % 5 1 En tiondel = ___ ​ ​ = 10 % 10

●●Bråkform, decimalform och procentform

Bråkform Decimalform Procentform 1 ____ ​ ​ = 0,01 = 1% 100 62 = 0,62 = 62 % ​ ____ ​ 100 40 = 0,4 = 40 % ​ ____ ​ 100 105 ​ = 1,05 = 105 % ​ ____ 100

●●Beräkna delen När du ska beräkna hur mycket 43 % av 700 kr är, kan du göra på olika sätt.

Metod 1 700 kr 1 % av 700 kr = ______ ​

​ = 7 kr 100 43 % av 700 kr = 43 · 7 kr = 301 kr Metod 2 43 % av 700 kr = 0,43 · 700 kr = 301 kr

226

5 procent

●● Beräkna det hela

S

6 % är 18 kr 18 kr = 3 kr Räkna ut vad 1 % är 1 % är _____ ​ ​ 6 100 % är 100 · 3 kr = 300 kr Räkna ut vad 100 % är 1 ____ ​ ​ = 1 %

6 % är 18 kr

Om 6 % är 18 kr, så är 100 % 300 kr.

100

Röd kurs

En av de hundra rutorna är färgad gul.

En procent av rutorna är färgad gul.

●●Beräkna andelen

●●Mer om att beräkna det hela

När man ska beräkna hur stor andelen är i procent kan man göra på olika sätt.

Exempel

Exempel

Priset på en jacka ökar med 15 % till 1 265 kr. Vilket var det gamla priset?

●●Höjning och sänkning

Rabatten på en tröja är 50 kr av 200 kr.

När du ska beräkna hur mycket du ska betala om ett pris ändras kan du först räkna ut ändringen och sedan det nya värdet.

Hur många procent är rabatten?

50 kr ________ 50 kr/2 ______ 25 kr ​ ______

​ = ​ ​ = ​ ​ = 25% 200 kr 200 kr/2 100 kr

Exempel Ett par skor kostar 600 kr. Priset sänks med 45 %. Vilket är det nya priset?

Metod 1 600 kr ​ 1 % av 600 kr = ______

​ = 6 kr 100 45 % av 600 kr = 45 · 6 kr = 270 kr Nytt pris: 600 kr – 270 kr = 330 kr

Förkorta med 2 för att få hundradelar.

Rabatten på ett hopprep är 12 kr av 25 kr.

Hur många procent är rabatten?

12 kr ________ 12 kr ∙ 4 ______ 48 kr _____ ​

​ = ​ ​ = ​ ​ = 48 % 25 kr 25 kr ∙ 4 100 kr Förläng med 4 för att få hundradelar.

Metod 2 45 % av 600 kr = 0,45 · 600 kr = 270 kr

Ibland går det inte att förkorta eller förlänga ett bråk till hundradelar. Då får man istället skriva talet i decimalform och avrunda till hundradelar.

Nytt pris: 600 kr – 270 kr = 330 kr

Exempel I klass 7a går det 28 elever. Av dem är 11 flickor. Hur stor andel av eleverna i 7a är flickor?

11 ​ ___ ​≈ 0,39 = 39 % 28

Det nya priset blir 100 % + 15 % = 115 % av det gamla priset.

1 265 kr

motsvarar 115 %

1 265 kr ________ ​

​ = 11 kr

motsvarar 1 %

11 · 100 = 1 100

motsvarar 100 %

115

Svar: Det gamla priset var 1 100 kr.

Exempel Priset på ett par skor minskar med 12 % till 836 kr. Vilket var det gamla priset?

Det nya priset blir 100 % – 12 % = 88 % av det gamla priset.

836 kr

motsvarar 88 %

836 kr ______ ​

​ = 9,50 kr

motsvarar 1 %

88

9,50 · 100 kr = 950 kr motsvarar 100 % Svar: Det gamla priset var 950 kr.

Ungefär 39 % av eleverna i 7a är flickor.

5 procent

227

?!

Arbeta baklänges

Problemlösning

Rita en bild

Exempel Andrea tänker på ett tal. Hon adderar med 18 och multiplicerar sedan med 6. Då blir svaret 150.

Vilket tal tänkte Andrea på?

Börja med 150 och arbeta baklänges. · 6 � 150 150 ____ � 25 6

Exempel Filip syr en jacka och ska sy fem knapphål.

Det ska vara 30 cm mellan översta och understa knapphålet. Hur långt ska det vara mellan knapphålen?

På bilden ser man att det är fyra mellanrum mellan fem knapphål.

30 cm ______ � 7,5 cm

4 Svar: Det är 7,5 cm mellan varje knapphål.

1 2 3

4

?!

266

Tomas gör en slalombana till sin hund. Banan har 6 vita pinnar och är 4 meter lång. Det är samma avstånd mellan varje pinne. Hur långt är det mellan varje pinne?

Leo står i en busskö. Han är den sjunde personen om man räknar framifrån kön och den nionde personen om man räknar bakifrån kön. Hur många står i kön?

Fia målar en vägg. Hon står på mittersta steget på en stege. Sedan klättrar hon upp fyra steg. Efter en stund måste hon gå ned tre steg. Sedan klättrar hon upp fem steg. Då finns det två steg kvar på stegen. Hur många steg har stegen?

Johan har höns och grisar.

Tillsamman har djuren 5 huvuden och 14 ben.

Hur många höns har Johan?

PROBLEMLÖSNING

� 18 � 25 25 – 18 � 7

Ett tal multiplicerat med 6 är lika med  Division är motsatt räknesätt till multiplikation Ett tal adderat med 8 är lika med 2 Subtraktion är motsatt räknesätt till addition

Svar: Hon tänkte på talet 7.

5 6 7 8 9

10

Kontrollera: 7 + 8 = 2, 2 · 6 = . Det stämmer!

Mohammed tänker på ett tal. Han adderar 23 och multiplicerar sedan med 8. Han får då talet 280. Vilket tal tänkte han på?

Leyla tänker också på ett tal. Hon multiplicerar talet med 8 och subtraherar sedan 42. Hon får då talet 54. Vilket tal tänkte hon på?

Ludvig tänker på ett tal. Han subtraherar 63 och dividerar med 5.

Sedan adderar han 17. Då får han talet 28. Vilket tal tänkte han på?

I en korg finns det äpplen. Alma tar hälften av äpplena. Bodil tar sedan en tredjedel av de äpplen som är kvar. Slutligen tar Cilla de 6 sista äpplena.

Hur många äpplen fanns det från början?

I en skål finns geléhjärtan. Isak tar en tredjedel och Arvin tar en fjärdedel. Anette får det som blir över och det är 5 geléhjärtan. Hur många geléhjärtan fanns det från början?

Hugo har fått sin första lön. Han köper ett par högtalare för en tredjedel av lönen och ett par jeans för 30 % av det som är kvar. Sedan äter han middag tillsammans med en kompis och betalar med hälften av det som då är kvar av lönen. Han har då 483 kr kvar. Hur mycket fick han i lön?

PROBLEMLÖSNING

267

?!

?!

Arbeta baklänges

Problemlösning

Rita en bild

Exempel Andrea tänker på ett tal. Hon adderar med 18 och multiplicerar sedan med 6. Då blir svaret 150.

Vilket tal tänkte Andrea på?

Börja med 150 och arbeta baklänges. · 6 � 150 150 ____ � 25 6

Exempel Filip syr en jacka och ska sy fem knapphål.

Det ska vara 30 cm mellan översta och understa knapphålet. Hur långt ska det vara mellan knapphålen?

På bilden ser man att det är fyra mellanrum mellan fem knapphål.

30 cm ______ � 7,5 cm

4 Svar: Det är 7,5 cm mellan varje knapphål.

1 2 3

4

?!

266

Tomas gör en slalombana till sin hund. Banan har 6 vita pinnar och är 4 meter lång. Det är samma avstånd mellan varje pinne. Hur långt är det mellan varje pinne?

Leo står i en busskö. Han är den sjunde personen om man räknar framifrån kön och den nionde personen om man räknar bakifrån kön. Hur många står i kön?

Fia målar en vägg. Hon står på mittersta steget på en stege. Sedan klättrar hon upp fyra steg. Efter en stund måste hon gå ned tre steg. Sedan klättrar hon upp fem steg. Då finns det två steg kvar på stegen. Hur många steg har stegen?

Johan har höns och grisar.

Tillsamman har djuren 5 huvuden och 14 ben.

Hur många höns har Johan?

PROBLEMLÖSNING

� 18 � 25 25 – 18 � 7

Ett tal multiplicerat med 6 är lika med  Division är motsatt räknesätt till multiplikation Ett tal adderat med 8 är lika med 2 Subtraktion är motsatt räknesätt till addition

Svar: Hon tänkte på talet 7.

5 6 7 8 9

10

Kontrollera: 7 + 8 = 2, 2 · 6 = . Det stämmer!

Mohammed tänker på ett tal. Han adderar 23 och multiplicerar sedan med 8. Han får då talet 280. Vilket tal tänkte han på?

Leyla tänker också på ett tal. Hon multiplicerar talet med 8 och subtraherar sedan 42. Hon får då talet 54. Vilket tal tänkte hon på?

Ludvig tänker på ett tal. Han subtraherar 63 och dividerar med 5.

Sedan adderar han 17. Då får han talet 28. Vilket tal tänkte han på?

I en korg finns det äpplen. Alma tar hälften av äpplena. Bodil tar sedan en tredjedel av de äpplen som är kvar. Slutligen tar Cilla de 6 sista äpplena.

Hur många äpplen fanns det från början?

I en skål finns geléhjärtan. Isak tar en tredjedel och Arvin tar en fjärdedel. Anette får det som blir över och det är 5 geléhjärtan. Hur många geléhjärtan fanns det från början?

Hugo har fått sin första lön. Han köper ett par högtalare för en tredjedel av lönen och ett par jeans för 30 % av det som är kvar. Sedan äter han middag tillsammans med en kompis och betalar med hälften av det som då är kvar av lönen. Han har då 483 kr kvar. Hur mycket fick han i lön?

PROBLEMLÖSNING

267

?!

Repetition 2 Repetition 2 kan du göra efter grön kurs sidan 15 eller blå kurs sidan 33.

Repetition 1 Vilken siffra är hundratalssiffra i följande tal? c) 200 450

d) 23 096

b) 1 003

c) 13 640

d) 7 305

8

c) 5

12

15

21

30

4 Kulorna ska delas lika. På hur många olika sätt kan du dela a) 21 kulor

b) 20 kulor

c) 19 kulor

5 Vilket är det minsta primtalet som är större än

a) produkten av 12 och 6

b) differensen av 18 och 3

c) kvoten av 48 och 8

d) summan av 16 och 4

4 Hur mycket mindre eller större blir talet om entalssiffran och hundratalssiffran byter plats?

b) 684

c) 1 359

a) fyra hundratal och tre tiotal

a) 10

b) 20

b) fem hundratal och sex tiotal

c) sex hundratal och sju ental

6 Använd alla siffrorna 1, 3, 4 och 6 och beräkna

c) 30

6 Rita av och gör klart faktorträden.

15

a) 5

·

d) 8 791

5 Vad är differensen mellan

b)

12 3

7

·

2

42

c)

·

d)

·

2

·

Repetition

·

8 Sara och Sandra har två mynt. På vartdera myntet har de klistrat en lapp a) Vilka tal kan det stå på lapparna om talen 10 och 15 kom upp en gång?

8 Summan av tre på varandra följande udda tal är 207. Vilka är talen?

·

4

2, 6 och 10?

b) differensen mellan det största jämna talet och det minsta udda talet du

höger i talet. Ge exempel.

·

S7uan Hur kan du se att 1095 är delbart med 3 och 5 men inte med

a) summan av det största talet och det minsta talet du kan skriva

S7uan Förklara hur en siffras platsvärde i ett tal förändras då siffran flyttas åt

24 6

och skrivit ett tal. De kastar mynten och adderar de två tal som kommer upp. Efter en stund märker de att summan alltid blir 24, 25, 36 eller 37.

kan skriva

274

b) 3

upp kulorna om det finns

3 Beräkna

a) 135

b) tre olika faktorer

3 Vilka tal i rutan är delbara med a) 2

2 Vilket platsvärde har siffran 3 i talen a) 368

c) Beräkna skillnaden mellan talen.

a) två olika faktorer

Repetition 1 kan du göra efter grön kurs sidan 11 eller blå kurs sidan 31.

b) 5 238

b) Bilda det minsta udda tal du kan av siffrorna 1, 3, 6 och 8.

2 Skriv talet 24 som en produkt av

Repetition 1

a) 307

1 a) Bilda det största jämna tal du kan av siffrorna 1, 3, 6 och 8.

b) Finn en annan lösning på problemet.

9 I sexfingerlandet räknar man med 6 som bas. Det betyder att man där bara har 6 siffror i sitt talsystem (0, 1, 2, 3, 4 och 5). De första talen är 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12 … Alina skriver sin ålder med siffrorna 31 i sexfingerlandets talsystem. Hur skriver vi Alinas ålder i vårt tiosystem?

Repetition

275

Repetition 2 Repetition 2 kan du göra efter grön kurs sidan 15 eller blå kurs sidan 33.

Repetition 1 Vilken siffra är hundratalssiffra i följande tal? c) 200 450

d) 23 096

b) 1 003

c) 13 640

d) 7 305

8

c) 5

12

15

21

30

4 Kulorna ska delas lika. På hur många olika sätt kan du dela a) 21 kulor

b) 20 kulor

c) 19 kulor

5 Vilket är det minsta primtalet som är större än

a) produkten av 12 och 6

b) differensen av 18 och 3

c) kvoten av 48 och 8

d) summan av 16 och 4

4 Hur mycket mindre eller större blir talet om entalssiffran och hundratalssiffran byter plats?

b) 684

c) 1 359

a) fyra hundratal och tre tiotal

a) 10

b) 20

b) fem hundratal och sex tiotal

c) sex hundratal och sju ental

6 Använd alla siffrorna 1, 3, 4 och 6 och beräkna

c) 30

6 Rita av och gör klart faktorträden.

15

a) 5

·

d) 8 791

5 Vad är differensen mellan

b)

12 3

7

·

2

42

c)

·

d)

·

2

·

Repetition

·

8 Sara och Sandra har två mynt. På vartdera myntet har de klistrat en lapp a) Vilka tal kan det stå på lapparna om talen 10 och 15 kom upp en gång?

8 Summan av tre på varandra följande udda tal är 207. Vilka är talen?

·

4

2, 6 och 10?

b) differensen mellan det största jämna talet och det minsta udda talet du

höger i talet. Ge exempel.

·

S7uan Hur kan du se att 1095 är delbart med 3 och 5 men inte med

a) summan av det största talet och det minsta talet du kan skriva

S7uan Förklara hur en siffras platsvärde i ett tal förändras då siffran flyttas åt

24 6

och skrivit ett tal. De kastar mynten och adderar de två tal som kommer upp. Efter en stund märker de att summan alltid blir 24, 25, 36 eller 37.

kan skriva

274

b) 3

upp kulorna om det finns

3 Beräkna

a) 135

b) tre olika faktorer

3 Vilka tal i rutan är delbara med a) 2

2 Vilket platsvärde har siffran 3 i talen a) 368

c) Beräkna skillnaden mellan talen.

a) två olika faktorer

Repetition 1 kan du göra efter grön kurs sidan 11 eller blå kurs sidan 31.

b) 5 238

b) Bilda det minsta udda tal du kan av siffrorna 1, 3, 6 och 8.

2 Skriv talet 24 som en produkt av

Repetition 1

a) 307

1 a) Bilda det största jämna tal du kan av siffrorna 1, 3, 6 och 8.

b) Finn en annan lösning på problemet.

9 I sexfingerlandet räknar man med 6 som bas. Det betyder att man där bara har 6 siffror i sitt talsystem (0, 1, 2, 3, 4 och 5). De första talen är 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12 … Alina skriver sin ålder med siffrorna 31 i sexfingerlandets talsystem. Hur skriver vi Alinas ålder i vårt tiosystem?

Repetition

275

Mayafolkets talsystem

Verktygslådan sida

Olika talsystem

298

De fyra räknesätten

299

Egenskaper hos tal

301

Huvudräkning

302

Tal i decimalform

302

Decimaltal

303

Avrundning

303

Överslagsräkning

303

Geometri

304

Algebra

307

Bråk

308

Procent

310

Statistik

312

Räknaren

314

Diagram med kalkylprogram

314

Medelvärde, typvärde och median med kalkylprogram

317

1 · 20 = 20

I verktygslådan hittar du en sammanställning av begrepp och metoder som du kan ha nytta av i ditt arbete med matematiken. Här finns även övningar som du gör med hjälp av digitala verktyg.

20

0·1=0

Tiosystemet I tiosystemet använder vi tio siffror:

6 · 20 = 120 123

3·1=3

tio tu s tu ent al se n hu tal nd r tio ata ta l l en ta l

Innehåll

För att skriva tal större än 20, placerade man symbolerna i olika positioner som i vårt tiosystem. Men man skrev symbolerna nerifrån och upp. Symbolen för noll var en snäcka:

Tecknen för 1–19.

Platsvärde

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.

7

Med dessa siffror skriver vi tal. Tiosystemet är ett positionssystem. Det betyder att en siffras platsvärde beror på vilken plats den har i talet.

I talet 70 har siffran 7 platsvärdet tiotal.

Siffran 7 är värd 7 tiotal.

7

I talet 702 har siffran 7 platsvärdet hundratal.

Siffran 7 är värd 7 hundratal.

7

0

7

0

2

7

0

2

6

0

2

6

8

Nollan markerar en tom entalsplats

De fyra räknesätten Olika talsystem Egyptiska talsystemet

eller

1 235

21

124 000

298

I

II

III

IV

V

VI

1

2

3

4

5

6

VERKTYGSLÅDAN

Subtraktion

2+4=6

6–4=2

term

6

Romerska talsystemet

Addition

IX betyder 10 – 1

VII VIII 7

8

summa

term

differens –4

+4 0

2

4

6

8

Multiplikation

IX

X

XI

L

C

D

M

9

10

11

50

100

500

1 000

faktor

produkt

0

2

2

Division

2·4=8

XI betyder 10 + 1

0 täljare nämnare

4

6

8

8 __ =2 4

kvot 4

6

8

VERKTYGSLÅDAN

99

Mayafolkets talsystem

Verktygslådan sida

Olika talsystem

298

De fyra räknesätten

299

Egenskaper hos tal

301

Huvudräkning

302

Tal i decimalform

302

Decimaltal

303

Avrundning

303

Överslagsräkning

303

Geometri

304

Algebra

307

Bråk

308

Procent

310

Statistik

312

Räknaren

314

Diagram med kalkylprogram

314

Medelvärde, typvärde och median med kalkylprogram

317

1 · 20 = 20

I verktygslådan hittar du en sammanställning av begrepp och metoder som du kan ha nytta av i ditt arbete med matematiken. Här finns även övningar som du gör med hjälp av digitala verktyg.

20

0·1=0

Tiosystemet I tiosystemet använder vi tio siffror:

6 · 20 = 120 123

3·1=3

tio tu s tu ent al se n hu tal nd r tio ata ta l l en ta l

Innehåll

För att skriva tal större än 20, placerade man symbolerna i olika positioner som i vårt tiosystem. Men man skrev symbolerna nerifrån och upp. Symbolen för noll var en snäcka:

Tecknen för 1–19.

Platsvärde

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.

7

Med dessa siffror skriver vi tal. Tiosystemet är ett positionssystem. Det betyder att en siffras platsvärde beror på vilken plats den har i talet.

I talet 70 har siffran 7 platsvärdet tiotal.

Siffran 7 är värd 7 tiotal.

7

I talet 702 har siffran 7 platsvärdet hundratal.

Siffran 7 är värd 7 hundratal.

7

0

7

0

2

7

0

2

6

0

2

6

8

Nollan markerar en tom entalsplats

De fyra räknesätten Olika talsystem Egyptiska talsystemet

eller

1 235

21

124 000

298

I

II

III

IV

V

VI

1

2

3

4

5

6

VERKTYGSLÅDAN

Subtraktion

2+4=6

6–4=2

term

6

Romerska talsystemet

Addition

IX betyder 10 – 1

VII VIII 7

8

summa

term

differens –4

+4 0

2

4

6

8

Multiplikation

IX

X

XI

L

C

D

M

9

10

11

50

100

500

1 000

faktor

produkt

0

2

2

Division

2·4=8

XI betyder 10 + 1

0 täljare nämnare

4

6

8

8 __ =2 4

kvot 4

6

8

VERKTYGSLÅDAN

99

Räknaren

Stapeldiagram Anna gör en undersökning på ett äldreboende. Undersökningen handlar om antalet barnbarn som de boende har. Ada har 7, Beda har 2, Evert har 8 och Folke har 11.

På många räknare finns det knappar som det står M på.

1. För in all data i ett kalkylblad.

M+ lägger till i minnet

C

AC % MC M R M–

M- drar ifrån i minnet MR visar det som finns i minnet

7

MC raderar minnet

4

2 ∙ 5 + 3 ∙ 4 räknas så här på räknaren: 2

×

5

M+

8

3

×

4

1

22

M+ MR

0

9

5 2 .

÷ M+ ÷

6 3 =

× – +

17 ∙ 7,5 – 3 ∙ 1,2 räknas så här på räknaren: 1

7

×

7

.

5

M+

3

×

1

.

2

123,9

M- MR

Minnesknappen är bra när man räknar bråk 3 __ 5 __ + räknas så här: 7 9 3

–••

7

M+

5

–••

9

M+ MR

2. Markera det du vill presentera genom att klicka och dra över de celler som innehåller data.

3. Klicka på Infoga, Diagram och välj ett stapeldiagram.

4. Det går att ändra olika delar av

diagrammet. Klicka på rubriken i diagrammet. Ändra rubriken till Antal barnbarn till boende på äldreboendet.

Diagrammet ligger ovanpå kalkylbladet. Du kan flytta diagrammet och se vilka data som hör till diagrammet. Du kan även kopiera diagrammet och klistra in det i ett dokument eller i en presentation.

0,98412698

Cirkeldiagram

Diagram med kalkylprogram Ett kalkylprogram kan hjälpa dig med olika beräkningar och är ett utmärkt hjälpmedel när du skall presentera insamlade data från undersökningar i tabeller och diagram.

När du öppnar ett nytt kalkylblad i ett kalkylprogram ser du en mängd rutor. Rutorna kallas celler. Varje cell har ett namn. Namnet ges av siffrorna till vänster och bokstäverna ovanför, t.ex. B3 eller F2.

Den cell som är markerad med fet ram kan du skriva i, både med siffror och med bokstäver. Det du skriver syns både i cellen och i formelfältet som är den vita rutan ovanför kalkylbladet. Om du vill flytta markören mellan cellerna kan du använda piltangenterna eller klicka med musen. Du kan ändra i en cell genom att skriva i formelfältet.

Ida gör en undersökning under sommarlovet.

Det är solsken 27 dagar, regn 19 dagar, molnigt 13 dagar och åska 4 dagar.

1. För in all data i ett kalkylblad.

2. Markera de celler du vill visa i ett diagram.

3. Klicka på Infoga, Diagram och välj ett cirkeldiagram.

4. Klicka på rubriken och ändra till Sommarväder.

Formelfält B3

F2

314

VERKTYGSLÅDAN

VERKTYGSLÅDAN

31

Räknaren

Stapeldiagram Anna gör en undersökning på ett äldreboende. Undersökningen handlar om antalet barnbarn som de boende har. Ada har 7, Beda har 2, Evert har 8 och Folke har 11.

På många räknare finns det knappar som det står M på.

1. För in all data i ett kalkylblad.

M+ lägger till i minnet

C

AC % MC M R M–

M- drar ifrån i minnet MR visar det som finns i minnet

7

MC raderar minnet

4

2 ∙ 5 + 3 ∙ 4 räknas så här på räknaren: 2

×

5

M+

8

3

×

4

1

22

M+ MR

0

9

5 2 .

÷ M+ ÷

6 3 =

× – +

17 ∙ 7,5 – 3 ∙ 1,2 räknas så här på räknaren: 1

7

×

7

.

5

M+

3

×

1

.

2

123,9

M- MR

Minnesknappen är bra när man räknar bråk 3 __ 5 __ + räknas så här: 7 9 3

–••

7

M+

5

–••

9

M+ MR

2. Markera det du vill presentera genom att klicka och dra över de celler som innehåller data.

3. Klicka på Infoga, Diagram och välj ett stapeldiagram.

4. Det går att ändra olika delar av

diagrammet. Klicka på rubriken i diagrammet. Ändra rubriken till Antal barnbarn till boende på äldreboendet.

Diagrammet ligger ovanpå kalkylbladet. Du kan flytta diagrammet och se vilka data som hör till diagrammet. Du kan även kopiera diagrammet och klistra in det i ett dokument eller i en presentation.

0,98412698

Cirkeldiagram

Diagram med kalkylprogram Ett kalkylprogram kan hjälpa dig med olika beräkningar och är ett utmärkt hjälpmedel när du skall presentera insamlade data från undersökningar i tabeller och diagram.

När du öppnar ett nytt kalkylblad i ett kalkylprogram ser du en mängd rutor. Rutorna kallas celler. Varje cell har ett namn. Namnet ges av siffrorna till vänster och bokstäverna ovanför, t.ex. B3 eller F2.

Den cell som är markerad med fet ram kan du skriva i, både med siffror och med bokstäver. Det du skriver syns både i cellen och i formelfältet som är den vita rutan ovanför kalkylbladet. Om du vill flytta markören mellan cellerna kan du använda piltangenterna eller klicka med musen. Du kan ändra i en cell genom att skriva i formelfältet.

Ida gör en undersökning under sommarlovet.

Det är solsken 27 dagar, regn 19 dagar, molnigt 13 dagar och åska 4 dagar.

1. För in all data i ett kalkylblad.

2. Markera de celler du vill visa i ett diagram.

3. Klicka på Infoga, Diagram och välj ett cirkeldiagram.

4. Klicka på rubriken och ändra till Sommarväder.

Formelfält B3

F2

314

VERKTYGSLÅDAN

VERKTYGSLÅDAN

31

Synnöve Carlsson Karl-Bertil Hake

7 7

●● Tydlig struktur – koppling till centralt innehåll åk 7–9 i Lgr11 ●● Eleven i fokus – vardagsnära uppgifter ●● Uppslaget – koppling till förmågorna ●● Svarta sidorna – rejäla utmaningar till varje kapitel ●● Problemlösning – helt kapitel med strategier och uppgifter ●● Repetition – blandade uppgifter på flera nivåer ●● Verktygslådan – en uppslagsdel Matte Direkt 7 består av Lärobok, Lärarguide, Arbetsblad och prov samt Träningshäften. Matte Direkt 7 finns också som digital bok.

ISBN 978-91-523-3748-6

(523-3748-6)

7