Introducción a las funciones
Guía de Trabajo Matemática
Guatemala, 2020
Introducción a las funciones
DATOS GENERALES Competencia: Utiliza modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y comunicación de resultados. Contenido: relaciones y funciones Tiempo de desarrollo: cuatro períodos
LA SERIE DE FIBONACCI
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta; o sea, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
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Introducción a las funciones
Ideas claves ➢ Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos que se asocia a cada elemento del primer conjunto con algún elemento del segundo conjunto. ➢ Una función es una relación en la cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. ➢ Para terminar si una relación es una función gráficamente se deben de trazar rectas verticales y si toca en alguna parte más de un punto no es función.
Relación y Funciones (explicación del tema)
Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos que se asocia a cada elemento del primer conjunto con algún elemento del segundo. La regla de correspondencia es el enunciado formal que permite definir una relación. Una función por su parte es una relación pero que es uno a uno, es decir a cada elemento del conjunto A (dominio) se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B (contradominio).
Figura A
El diagrama mostrado en la figura A se denomina sagital, que es una representación gráfica en la cual la flechas indican las relaciones entre los elementos de cada conjunto.
Para comprobar si una gráfica es o no una función se trazan rectas verticales y si toca dos puntos de la gráfica entonces no es una función. Elaborado y adaptado por R&S Education
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Introducciรณn a las funciones
Ejemplo 1: Determine si las siguientes grรกficas son funciones
Ejercicio de comprensiรณn 1 Determine si las siguientes grรกficas son funciones
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Introducción a las funciones
Plano Cartesiano: Fue inventado por el filósofo y matemático francés René Descartes. Consiste en dos rectas numéricas dibujadas perpendicularmente una a la otra en sus orígenes. Las dos rectas numéricas perpendiculares se llaman ejes coordenados.
y
II Cuadrante
I Cuadrante
-x III Cuadrante
x
-y
IV Cuadrante
Gráfica de Relaciones: Para graficar las relaciones se deben seguir los siguientes pasos sencillos. a. Debe de recordar que en una relación a los primeros elementos del par ordenado se escriben en el eje x. Y los segundos elementos del par ordenado se escriben en el eje y. b. Se llamará a una coordenada a las intersecciones entre dos líneas que se dibujan en el plano cartesiano c. Para localizar un par ordenado coloco un punto para representar el primer elemento del par ordenado en el eje x. d. Luego localizar el segundo elemento del par ordenado colocando un punto en el eje y. e. Ahora dibuja una línea recta como muestra la figura 1.
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Introducción a las funciones
f. Dibujar la otra línea que muestra la figura 2.
g. La coordenada será el punto donde se intersecan las dos líneas que dibujamos.
Disparemos en la coordenada (a,b)
Ejercicio de comprensión 2 Localizar los puntos en el plano cartesiano (-3,2), (5,4), (-2,-3), (-4,3) Recordar que los primeros valores corresponden a “x” y los segundos a “y”.
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Introducciรณn a las funciones
Actividades de aprendizaje Compruebe si las siguientes grรกficas son funciones o no.
Localizar los pares en un plano cartesiano (-3,-2), (-4,3),(0,1), (3,0), (5,5), (-5,5)
Escriba cuรกles son las dificultades que ha tenido para realizar los ejercicios _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Elaborado y adaptado por R&S Education
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Introducción a las funciones
DATOS GENERALES Competencia: Utiliza modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y comunicación de resultados. Contenido: funciones lineales y cuadráticas Tiempo de desarrollo: cuatro períodos
Función Lineal y Cuadrática
En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. El término modelización matemática es utilizado también en diseño gráfico cuando se habla de modelos geométricos de los objetos en dos (2D) o tres dimensiones (3D).
Ideas claves ➢ Una función lineal es aquella en la cual tiene una ecuación de grado 1. ➢ Una función cuadrática es aquella en la cual su ecuación es de grado 2. ➢ El vértice de una función cuadrática es el punto más alto o más bajo de la gráfica. ➢ La gráfica de una función lineal es una línea recta y de una función cuadrática es una U.
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IntroducciĂłn a las funciones
FunciĂłn Lineal y CuadrĂĄtica (explicaciĂłn del tema)
La funciĂłn lineal es el tipo de funciĂłn matemĂĄtica en donde la grĂĄfica es una lĂnea recta que pasa por el origen de coordenadas y la funciĂłn cuadrĂĄtica es la funciĂłn polinomial de grado 2 o funciĂłn de segundo grado, en donde su grafica es una parĂĄbola vertical es orientada hacia arriba o hacia abajo.
La funciĂłn lineal y la funciĂłn cuadrĂĄtica son algunas de las aplicaciones de la matemĂĄtica en la que pueden ser utilizadas para medir distancias, resolver problemas, comparaciones, determinar volĂşmenes, en fin para cualquier tipo de trabajo. La notaciĂłn para escribir una funciĂłn es f(x), lo cual indica que todo estĂĄ en funciĂłn o depende de “xâ€?.
Pasos para construir una grĂĄfica Para construir una grĂĄfica, lo primero que se debe de hacer es generar una tabla de puntos, esto se hace asignando valores de “xâ€? en la ecuaciĂłn que se quiere graficar.
Ejemplo 1 Graficar đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ − 2 Primero armar la tabla, sustituir valores de “xâ€? en la funciĂłn.
x
đ?’‡(đ?’™) = đ?’™ − đ?&#x;?
-3
−3 − 2 = −5
-2
−2 − 2 = −4
-1
−1 − 2 = −3
0
0 − 2 = −2
1
1 − 2 = −1
2
2−2=0
3
3−2=1
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IntroducciĂłn a las funciones
Ahora localizar los puntos en un plano cartesiano. Y despuĂŠs se deben unir para trazar una grĂĄfica a mano alzada y de forma suave.
Ejercicio de comprensiĂłn 1 Graficar đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ − 3 Primero armar la tabla, sustituir valores de “xâ€? en la funciĂłn.
x
đ?’‡(đ?’™) = _______
-3 -2 -1 0 1 2 3
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IntroducciĂłn a las funciones
Ahora localizar los puntos en un plano cartesiano. Y despuĂŠs unir para trazar una grĂĄfica a mano alzada y de forma suave.
Ejemplo 2 Si a una persona por vender un producto gana Q.25.00 diarios y Q.0.08 por cada producto vendido. ÂżCuĂĄnto ganĂł Alberto si vendiĂł 440 productos en un dĂa? ÂżMarta ganĂł Q.93.00 en un dĂa cuĂĄntos productos vendiĂł?
Primero plantear la ecuaciĂłn, se sabe que empieza ganando Q.25.00 por un dĂa y desde ahĂ gana en funciĂłn de los productos que venda, por ejemplo si Ăşnicamente vendiera 10 productos en el dĂa ganarĂa 10(0.08)+25=25.80, entonces la funciĂłn que representa cuĂĄnto gana en un dĂa es đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0.08đ?‘Ľ + 25 Para determinar cuĂĄnto gano si vendiĂł 440 productos, se cambia “xâ€? por 440 y nos da como resultado. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0.08đ?‘Ľ + 25 đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0.08(440) + 25 đ?‘“(đ?‘Ľ) = 60.20 Elaborado y adaptado por R&S Education
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IntroducciĂłn a las funciones
Alberto ganĂł por la venta de los 440 productos en ese dĂa Q.60.20
En el caso de Marta ya sabemos cuĂĄnto le pagaron pero no cuanto vendiĂł, para esto hay que hacer un despeje. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0.08đ?‘Ľ + 25 đ?‘“(đ?‘Ľ) − 25 = 0.08đ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ) − 25 =đ?‘Ľ 0.08
đ?‘Ľ=
93 − 25 0.08
đ?‘Ľ = 850 Marta vendiĂł 850 productos.
Ejercicio de comprensiĂłn 2 Una empresa que renta autos tiene una oferta de Q.32.00 por dĂa mĂĄs Q.0.18 por milla. Norma alquila un dĂa condujo 83 millas, ÂżCuĂĄnto pagĂł Norma? Por su parte RamĂłn pagĂł Q.69.80 de alquiler, ÂżCuĂĄntas millas recorriĂł RamĂłn con el auto rentado?
1. Plantear la ecuaciĂłn de la situaciĂłn.
2. Determinar el valor de pago de Norma.
3. Ahora determinar lo recorrido por RamĂłn
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IntroducciĂłn a las funciones
Ejemplo 3 Graficar đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 − 3 Armar la tabla, dando valores de x
x
đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;‘
-3
(-3)2-3=6
-2
(-2)2-3=1
-1
(-1)2-3=-2
0
(0)2-3=-3
1
(1)2-3=-2
2
(2)2-3=1
3
(3)2-3=6
Localizamos los puntos y trazamos la grĂĄfica.
El punto (0,3) corresponde al vĂŠrtice de la parĂĄbola (parĂĄbola es el nombre que recibe la grĂĄfica de una funciĂłn de segundo grado)
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IntroducciĂłn a las funciones
Ejercicio de comprensiĂłn 3 Graficar đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 2 − 4
Armar la tabla dando valores a x
x
đ?’‡(đ?’™) = _________
-3 -2 -1 0 1 2 3
Localizamos los puntos y trazamos la grĂĄfica.
Identificar el vĂŠrtice en tu parĂĄbola.
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IntroducciĂłn a las funciones
Ejemplo 4 Dada la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 3 determine su vĂŠrtice
Para determinar el vĂŠrtice cuando no nos da la grĂĄfica se utiliza la siguiente ecuaciĂłn para determinar el valor de “xâ€? del vĂŠrtice y luego se sustituye en la funciĂłn para obtener el valor de “yâ€?. đ?‘Ľ=
−đ?‘? 2đ?‘Ž
Primero identificar a “bâ€? y “aâ€?, hay que recordar que la ecuaciĂłn de segundo grado es de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? a= 3 y b=2 Calcular el valor de “xâ€? con la ecuaciĂłn
đ?‘Ľ= đ?‘Ľ=
−đ?‘? 2đ?‘Ž
−2 1 =− 2(3) 3
Ahora sustituir ese valor por “xâ€? en la funciĂłn y da como resultado el valor de “yâ€? đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 3 1 2 1 10 đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3 (− ) + 2 (− ) − 3 = − 3 3 3 1
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El vĂŠrtice de estĂĄ parĂĄbola se encuentra en (− 3 , − 3 )
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IntroducciĂłn a las funciones
Ejemplo 4 Dada la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ + 2 determine su vĂŠrtice Primero localizar a “bâ€? y “aâ€? a= ____ y b=____ Calculamos el valor de “xâ€? con la ecuaciĂłn −đ?‘? 2đ?‘Ž −(___) đ?‘Ľ= = 2(___) đ?‘Ľ=
Ahora sustituimos ese valor por “xâ€? en la funciĂłn y nos da como resultado el valor de “yâ€? đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ľ) = El vĂŠrtice de estĂĄ parĂĄbola se encuentra en (____, ____)
Actividades de aprendizaje Grafica y las que sea posible determina o indica su vĂŠrtice 1. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ + 4 2. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 2 3. đ?‘“(đ?‘Ľ) = −3đ?‘Ľ + 7 4. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ + 4 5. đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ľ + 4
Escriba cuĂĄles son las dificultades que ha tenido para realizar los ejercicios _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Elaborado y adaptado por R&S Education
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