3a. Lista de Exerc´ıcios de MAT 3110 - C´ alculo I BMAC- 1o. semestre de 2010 - Noturno - Turma 54 Profa. Maria Izabel Ramalho Martins
I. Para recordar logar´ıtmos 1. Calcule: a. log10 100
b. log1/2
√
c. log√3 9
2
2. Determine o dom´ınio de: a. y = log(x + 1) b. y = ln(x2 − 1) 3. Ache o dom´ınio e esboce o gr´ afico: a. f (x) = ln(−x) b. y = ln(x + 1)
c. y = log x2
c. y = |lnx|
d. y = log3 |x|
e. y = ln(ln x).
d. y = ln|x|
4. Calcule os seguintes limites: 2 x a. lim 1 + x→+∞ x e.
b.
lim
x→+∞
1 1+ x
lim (ln(2x + 1) − ln(x + 3)) f.
x→+∞
x+2
lim ln
x→+∞
1 x c. lim 1 + x→∞ 2x
x 3x + 1
2 x+1 d. lim 1 + x→+∞ x
g. Mostre que lim
h→0
ah − 1 = ln a (a > 0, a 6= 1) h
II. Sobre Derivadas 1. Associe cada um dos gr´ aficos de fun¸ca˜o, de (a) a (d), com os gr´ aficos de suas respectivas derivadas, de (i) a (iv).
1
2. Seja f e g fun¸co˜es deriv´ a(veis em um intervalo I e a ∈ I. f (x), se x ≥ a, Considere a fun¸ca˜o h(x) = . g(x), se x < a. Prove que h ´e deriv´ avel em x = a se, e somente se, f (a) = g(a) e f ′ (a) = g ′ (a).
3. Encontre constantes a, b e c para que a fun¸ca˜o f (x) = seja deriv´ avel em IR e
f ′ (0)
= 0.
( ax2 + bx + c, se x > 1, x2 − 5x + 6,
se x ≤ 1.
4. Dadas as fun¸co˜es f abaixo, determine os pontos do Df em elas tˆem derivadas e nesses pontos determine f ′ . Esboce o gr´ afico de f e de f ′ . ( x2 + 3x, a. f (x) = 5x − 1, ( −x + 3, c. f (x) = 3,
se x ≥ 1, se x < 1. se x 6= 1, se x = 1.
( 2x2 + 1, b. f (x) = 2x + 1, ( sen x se d. f (x) = x, se
se x ≥ 0, se x < 0. x ≤ 0, x > 0.
x2 se x ≤ 0, x 5. Considere a fun¸ca˜o f abaixo: f (x) = se 0 < x < 2, x−2 x + 1 se x ≥ 2.
Verifique se f ´e cont´ınua em x = 0 e em x = 2; verifique se f ´e deriv´ avel em x = 0 e em x = 2. 6. Verifique se f ´e deriv´ avel no ponto p indicado; nos casos em que f ´e x2 sen 1 x sen 1 se x 6= 0, p = 0. b. f (x) = a. f (x) = x x 0 se x = 0. 0 3 2 x −x x + sen x se x > 0 √ 5 3 c. f (x) = d. f (x) = x + 4x se x < 0 p = 0. x−1 1 0 se x = 0 2 √sen(x ) , se x 6= 0 e. f (x) = p=0 x2 + x4 0 se x = 0 2
deriv´ avel em p, determine f ′ (p): se x 6= 0,
p = 0.
se x = 0. se x > 1, se x ≤ 1.
p = 1.
7. Seja f : IR → IR uma fun¸ca˜o tal que −x2 + 2x ≤ f (x) − 4 ≤ x2 − 2x + 2, para ∀x ∈ IR. a. Mostre que f ´e cont´ınua em x = 1. b f ´e deriv´ avel em x = 1? Por que? 8. Calcule a fun¸ca˜o derivada das fun¸co˜es indicadas abaixo, simplificando o resultado: x−1 1 + 2x √ 3 x2 4. f (x) = x2 x + 2 − x 3
1. f (x) =
7. f (x) = x2 ln x − x ex 4x 4 ex − + 2 3 3x x 13. f (x) = cotg(3x2 + 5) √ 16. y = sec x2 + 1 10. f (x) =
2. f (x) =
2x3 + 1 x+2
5. f (x) = x sen x cos x √ x 8. f (x) = x+2 t2 + 1 t 11. f (t) = + 2 t t +1 2 14. y = x ln x √ 17. y = sen 3 x √ x
+ e2
19. y = ln(cos x)
20. y = e
22. y = ln(x2 − 2x)
23. y = ln(ln x) q √ 26. y = x + x r sen x 29. y = x
25. y = x e−x
2
28. y = esen 2x + π 2
3. f (x) =
x3
1 +2
6. f (x) = xe − ex ln x + e3 x √ 12. f (x) = x sen( x5 − x2 )
9. f (x) =
15. y = sen x2 + sen2 x 2
18. y = xπ − π x
2
21. y = sen(x − sen x) 1 x e − e−x 24. y = 2 1 27. y = sen √ 4 x3 30. y(t) = t2 + x − xt + 1
9. Considere a fun¸ca˜o f (x) = x|x|. a. Determine f ′ (x), para x > 0. Qual a taxa de varia¸ca˜o de f em x = 3? b. Determine f ′ (x), para x < 0? Qual a inclina¸ca˜o da reta tangente ao gr´ afico de f no ponto (−1, f (−1))? c. A fun¸ca˜o f ´e deriv´ avel em x = 0? Justifique. 10. Seja f : IR → IR uma fun¸ca˜o que ´e deriv´ avel em x = 0 e tal que f (0) = f ′ (0) = 0. Considere g uma fun¸ca˜o definida em IR, limitada e que n˜ao ´e deriv´ avel em x = 0. Calcule a derivada da fun¸ca˜o h(x) = f (x)g(x) no ponto p = 0. √ √ 11. Seja g(x) = 3 x3 − x2 sen( 3 x). (5 + g(x))(2x + 3 sec x) a. Calcule g ′ (3). b. Calcule g ′ (0). c. Calcule f ′ (0), onde f (x) = x = tg x + 4 3
12. Considere a curva y = x2 − 3x. a. Determine a equa¸ca˜o de sua reta tangente no ponto (1, −2). b. Quantas s˜ ao as retas que passam por (0, −2) e s˜ ao tangentes `a curva dada? Em que pontos tais retas tocam a curva? Esboce a curva e as retas. 13. a. Ache os pontos sobre a curva y = 4x3 + 6x2 − 24x + 10 nos quais a reta tangente ´e horizontal. b. Determine uma reta que ´e tangente ` a curva y = x3 + 3x e paralela `a reta y − 6x − 1 = 0. c. Determine todos os pontos (xo , yo ) sobre a curva y = 4x4 − 8x2 + 16x + 7 tais que a reta tangente `a curva em (xo , yo ) ´e paralela ` a reta 16x − y + 5 = 0. 14. Seja f (x) =
3x + 1 . Determine todas as retas tangentes ao gr´ afico de f que passam pela origem. x−1
III. Mais sobre derivadas 1. Seja f : IR → IR uma fun¸ca˜o deriv´ avel e tal tangente ao seu gr´ afico no ponto de abscissa √ que a reta 2 ′ 3 ´e x + 2y = 6. Seja g(x) dada por g(x) = f ( 9 + 4x ) . Determine g (0).
2. Sejam f e g fun¸co˜es deriv´ aveis em IR e tais que f (g(x)) = x, para todo x ∈ IR. Sabendo-se que f ′ (1) = 2 e g(0) = 1, calcule o valor de g ′ (0). 3. Seja f : IR → IR uma fun¸ca˜o deriv´ avel at´e a 2a ordem. Considere a fun¸ca˜o g : IR → IR dada por g(x) = x f (x + 1 + sen 2x), para todo x ∈ IR. a. Calcule g ′′ (x). b. Calcule g ′′ (0), supondo que f (1) = −1, f ′ (1) = 3 e f ′′ (1) = 7. 4. Suponha que f ´e uma fun¸ca˜o injetora, deriv´ avel, e que sua inversa f −1 seja tamb´em deriv´ avel. Use a regra da cadeia para mostrar que (f −1 )′ (x) =
1 , desde que o denominador seja n˜ao nulo. f ′ (f −1 (x))
5. Usando o exerc´ıcio anterior, encontre (f −1 )′ (5), sabendo-se que f (4) = 5 e que f ′ (4) = 2/3. 6. Calcule a derivada de cada uma das fun¸co˜es abaixo: a. g(x) = arccos x d. g(x) = arcsen(x2 )
b. g(x) = cos(arctg x) √ e. g(x) = 1 − x2 arcsen x
4
c. g(x) = x2 arctg x f. g(x) = x arctg(x2 − x)