2a. Lista de Exerc´ıcios de MAT 3110 BMAC - IMEUSP - 1o. sem. 2010 - Turma 54 Profa. Maria Izabel Ramalho Martins I. Limites e Continuidade
1. Calcule os seguintes limites, caso existam, justificando seu c´ alculo: 3 x→1 x − 2 −x3 − 2x2 + 4x + 8 4. lim x→−2 2x3 + 9x2 + 12x + 4 √ x2 + 16 − 5 7. lim x→−3 x2 + 3x sen(x2 − 3x + 2) 10. lim x→2 x−2 √ x4 + x2 13. lim x→0 √ x u2 + 12 − 4 √ 16. lim u→2 2 − u3 − 4 t+1 19. lim √ t→−1 5 t + 1 | x − 1| 22. lim− x−1 x→1 √ x3 + x2 − 5x + 3 25. lim x→1 x2 − 1 √ √ 28. lim 3 x + 1 − 3 x x→+∞ √ 5x6 + 7x4 + 7 31. lim x→+∞ x4 − 2 2x3 + 2 34. lim √ x→−∞ 4 7x12 + 5x4 + 7 1 37. lim x sen x→+∞ x 1.
lim
x−1 x→1,01 |x − 1| x−3 √ 5. 6. lim √ x→3 x− 3 x4 − x3 − x2 + 1 sen(21x) 8. lim 9. lim 2 x→1 x→0 sen(2010x) x +x−2 √ √ 4 5 2x − 1 x4 + 1 − 1 12. lim 11. lim + √ x→0 x4 x→1/2 2x − 1 2.
x−2 x→2 2x − 4 x2 + x − 56 lim 2 x→7 x − 11x + 28 lim
14. lim
x→0
17. lim
x→0
20. lim
x→2
23. lim t→0
26. lim
x→+∞
29. lim
x→−∞
32. lim
x→−∞
35. lim
u→2
38. lim
x→−∞
tg x x sen(sen(2x)) x √ 2 − x3 − 1 √ x2 + 3 − 2 √ t2 + 9 − 3 t sen t x √ x+1 √ 3 x+1 √ 3 4x + 1 3x5 + 2x2 − 4 √ x6 + x + 1 2 u2 − 3u + 2 cos x x
3.
lim
15. lim
x→0
18. limπ x→ 2
21. lim
x→2
24. lim− x→2
27. lim
x→−∞
30. lim
x→+∞
33. lim
x→−∞
1 − cos x x2 cos x x − π2 √ x2 + 12 − 4 √ 2 − x3 − 4 √ x2 − 4x + 4 x−2 2 − x + 5x2 − 5x5 2x3 − 2x2 + 5 √ √ x 2 + 1 − x4 + 1 √ x2 + 9 + x + 3
2 x2 − 3x + 2 x→1 (x2 − 2x) sen(x2 − 4) √ √ 39. lim x→2 x2 + 4 − 4x
36. lim+
x6 x6 2. Seja f : IR → IR tal que 1 + x2 + ≤ f (x) + 1 ≤ sec x2 + , para todo x ∈ IR. 3 3 Calcule, justificando, 1 a. lim f (x) ; b. lim f (x) cos . x→0 x→0 x + x2
3. Para cada fun¸c˜ao dada, determine o conjunto dos pontos de seu dom´ınio em que ela ´e cont´ınua. Justifique. |x − 3| 3 , se x 6= 3, b. f (x) = a. f (x) = x−3 1, x+2 se x = 3 2 2 sen(x − 1) − 1, se x > 1, 2 x − 9 , se x 6= 3, x − 3x + 2 d. f (x) = c. f (x) = x − 3 , se x < 1, x−1 2, se x = 3 −1, se x = 1 4. Determine L para que a fun¸ca˜o dada seja cont´ınua. 2 x − x , se x 6= 0, 1 − cos x , se x 6= 0, x b) f (x) = a) f (x) = x L, se x = 0. L, se x = 0. 5. Considere a fun¸c˜ao f : IR → IR definida por: 2 x − 3x + 2 , se x 6= 1, f (x) = x−1 0, se x = 1. Verifique que lim+ f (x) = lim− f (x). Pergunta-se: f ´e cont´ınua no ponto x = 1? x→1
x→1
Por que? 6. Dˆe exemplos de: a. Fun¸c˜oes f , g e de um ponto p tais que ∃ lim (f (x) + g(x)) ∈ IR, por´em os x→p
lim f (x) e lim g(x) n˜ao existem.
x→p
x→p
b. Fun¸c˜oes f , g e de um ponto p tais que
lim (f (x)g(x)) ∈ IR , mas que pelo
x→p
menos um dos lim f (x) ou lim g(x) n˜ao existe. x→p
x→p
7. Decida se cada uma das afirma¸c˜oes abaixo ´e verdadeira (V) ou falsa (F). Se for V , prove; caso contr´ario, dˆe um contra-exemplo. a) Seja f : IR → IR uma fun¸ca˜o. Se |f | ´e cont´ınua, ent˜ao f ´e cont´ınua. b) Se f : IR → IR e g : IR → IR s˜ao fun¸co˜es que n˜ao cont´ınuas em um ponto p ∈ IR ent˜ao a fun¸ca˜o f g n˜ao ´e cont´ınua em p. c) Se f e g s˜ao fun¸co˜es tais que lim (f (x)+g(x) = ` ∈ IR e x→xo
ent˜ao ∃ lim f (x) = ` − `2 . x→xo
II. Mais limites
1. Calcule os seguintes limites, caso existam (Justifique.):
lim g(x) = `2 ∈ IR,
x→xo
x2 − 2x x2 − 3x + 2 x→1 √ 4. lim (x − 3 x) x→=∞ √ 7. lim ( x2 + 9 − x − 3) 1.
lim+
x2 − 2x x2 − 4x + 4 x→2 x − sen x 5. lim x→+∞ x + sen x
2.
lim−
2−x (1 − x)3 x→1 p √ √ 6. lim ( x + x − x) 3.
lim+
x→+∞
x→+∞
2. Seja f : IR → IR uma fun¸ca˜o. f (x) f (x) a. Assumindo que lim 2 = 1, calcule lim . x→2 x x→2 x f (x) b. Assumindo que lim = 0, calcule lim f (x). x→0 x x→0 f (x) c. Assumindo que lim 2 = +∞, calcule lim f (x). x→+∞ x + x x→+∞ 3. A resolu¸c˜ao abaixo est´a incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite: ! r √ 1 lim −x x2 + x − x = lim x2 1 + x→+∞ x→+∞ x r 1 = lim x 1+ − 1 = lim (x · 0) = 0. x→+∞ x→+∞ x |{z} →0 | {z } →0
4. Dˆe exemplos de fun¸co˜es f e g tais que: f (x) = 0. x→0 g(x)
a. lim f (x) = +∞, lim g(x) = +∞ e lim x→0
x→0
b. lim f (x) = +∞, lim g(x) = +∞ e lim f (x) − g(x) = 1. x→0
x→0
x→0
f (x) c. lim f (x) − g(x) = 0 e lim 6= 1. x→0 x→0 g(x) f (x) d. lim = 1 e lim f (x) − g(x) 6= 0. x→0 g(x) x→0