1a. Lista de Exerc´ıcios de MAT 3110
BMAC - IMEUSP - 1o. sem. 2010 - Turma 54 Profa. Maria Izabel Ramalho Martins 1. (Para que fun¸c˜ ao de v´ arias senten¸cas?) O c´alculo do imposto de renda de pessoa f´ısica do ajuste anual do ano/base de 2009 e ano calend´ario de 2010 ´e feito da seguinte forma: depois de algumas dedu¸c˜oes sobre o total de rendimentos anuais, chega-se a um valor denominado base de c´ alculo. Sobre a base de c´alculo aplica-se uma al´ıquota e, do resultado obtido, deduz-se uma parcela. A al´ıquota e a parcela dependem da base de c´alculo conforme a tabela abaixo:
base de c´ alculo at´e R$ 17.215,08 acima de R$ 17. 215,08 e at´e R$ 25. 800,00 acima de R$ 25. 800,00 e at´e R$ 34. 400,40 acima de R$ 34. 400,40 e at´e R$ 42. 984,00 acima de R$ 42. 984,00
al´ıquotas parcela a deduzir isento 0 7, 5% R$ 1. 291,00 15 % R$ 3. 226,13 22, 5% R$ 5. 806,00 27, 5% R$ 7. 955,00
Seja f (x) o valor do imposto devido quando a base de c´alculo for x reais. Dˆe uma express˜ao para f (x) e esboce seu gr´afico. Qual o papel da parcela a deduzir?
2. Um loja compra camisetas a R$ 5,00 a unidade. A loja revende 100 camisetas por mˆes, cobrando R$ 18,00 por unidade. Para estimular a venda, a loja planeja reduzir o pre¸co de venda. Estima-se que para cada redu¸ca˜o de R$ 1,00 no pre¸co, a loja vender´a 25 camisetas a mais por mˆes. Expresse o lucro mensal L em fun¸c˜ao do pre¸co a que as camisetas s˜ao vendidas; desenhe o gr´afico e estime o pre¸co de venda ´otimo.
3. Seja n > 1 um n´ umero inteiro e a, b, x n´ umeros reais. Mostre que a. an −bn = (a − b) (an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + a2 bn−3 + a bn−2 + bn−1 ) = (a − b) b. x − b = c.
√ 3
√ 5
x+1 −
x−
P
n j=1
√ √ √ √ √ √ √ √ √ 5 5 5 5 5 5 5 b x 4 + x 3 5 b + x 2 b2 + 5 x b3 + b4 .
q √ √ √ √ 3 3 3 x (x + 1)2 + 3 x + 1 3 x + x2 = 1.
n−2 d. Quando n ´e ´ımpar, an + bn = (a + b) (an−1 b + an−3 b2 − · · · + a2 bn−3 − a bn−2 + bn−1 ) = P− a n j−1 n−j j−1 =(a + b) a b j=1 (−1)
1
an−j bj−1 .
4. Usando o ex. 3, determine a express˜ao a ser colocada em (· · ·) para que a igualdade seja verdadeira. √ a. x − 27 = ( 3 x − 3) (· · ·). c. x4 =
√ 4
b. x2 + x =
x4 + 1 − 1 (· · ·)
√
2x2 + 1 −
d. x + 2 =
√ 3
x+
√
x2 − x + 1 (· · ·)
√ 3 2 (· · ·)
5. Para cada uma das fun¸co˜es abaixo, determine o dom´ınio e esboce seu gr´afico. a. f (x) =
√ x+1
d. f (x) =
√ −x
b. f (x) = e. f (x) =
g. f (x) = |x2 − 1| j. f (x) = x3 − 3
√ 3
1+x x
c. f (x) =
i. f (x) = | 2x + 2 | − 2
x3 − 2x − 4 k. f (x) = x−2
x2 − 1 , se x 6= 1 m. f (x) = x − 1 5, se x = 1
n. f (x) =
x2
f. f (x) = x − | x |
x
h. f (x) = | cos x |
√
(
l. f (x) =
x−3 +2 x2 − 9
x2 + 1, se x < 1 x + 1, se x ≥ 1
o. f (x) = (x + 3)4 − 3
p. f (x) = tg x
6. Tente esbo¸car o gr´aficos das fun¸co˜es: ( 3
a. y = x − x
3
b. y = x − x
2
c. f (x) =
2
1, se x ´e racional 0, se x ´e irracional
d. f (x) = sen
1 x