Pronti per... INVALSI ed Esame di Stato - Matematica by Gruppo Editoriale Raffaello

3 a

P ro

classe

F RANCES CO CARNEVALI

. . . r e p i t n

SCO E C N A FR ALI V E N R CA

I S L A V N I tato S i d ME

A S E ed

T EN OC I D NI R ZI O PE L U O NE S IO ON IZ C ED

Pronti per... INVALSI ed ESAME di Stato - Matematica - classe 3 a

Scuola Secondaria di Primo Grado

Matematica

PER L’INVALSI:

PER L’ESAME:

16 allenamenti sui 4 nuclei tematici, combinabili tra loro 1 prova simulata 46 quesiti e problemi sui 4 nuclei tematici 2 prove simulate

Tabelle per la valutazione Regole e formule

I LA SEZIONE INVALSI È ANCHE IN VERSIONE DIGITALE www.raffaellodigitale.it

COMPUTER BASED

Il libro continua online! Per esercitarti con la versione computer based accedi al www.raffaellodigitale.it, cerca il testo Pronti per... INVALSI ed ESAME di Stato - Matematica e digita il codice sotto riportato.

3 a

P ro

classe

. . . r e p i t n

SCO E C N A FR ALI V E N R CA

I S L A V N I tato S i d ME

A S E ed

7 2 3

Matematica

LA SEZIONE INVALSI Ã&#x2C6; ANCHE IN VERSIONE DIGITALE

COMPUTER BASED

Redazione: Emanuele Pirani Progetto grafico e impaginazione: Simona Albonetti, Giorgio Lucarini Copertina: Simona Albonetti Stampa: Gruppo Editoriale Raffaello Il Gruppo Editoriale Raffaello mette a disposizione i propri libri di testo in formato digitale per gli studenti ipovedenti, non vedenti o con disturbi specifici di apprendimento. L’attenzione e la cura necessarie per la realizzazione di un libro spesso non sono sufficienti a evitare completamente la presenza di sviste o di piccole imprecisioni. Invitiamo pertanto il lettore a segnalare le eventuali inesattezze riscontrate. Ci saranno utili per le future ristampe.

È vietata la riproduzione dell’opera o di parti di essa con qualsiasi mezzo, comprese stampa, fotocopie e memorizzazione elettronica se non espressamente autorizzate dall’Editore. Nel rispetto delle normative vigenti, le immagini che rappresentano marchi o prodotti commerciali hanno esclusivamente valenza didattica. L’Editore è a disposizione degli aventi diritto con i quali non è stato possibile comunicare, nonché per eventuali omissioni o inesattezze nella citazione delle fonti.

Ristampa: 6 5 4 3 2 1 0

2024 2023 2022 2021 2020 2019 2018

INDICE

Presentazione

.........................................................................................................................................................

Pronti per l’INVALSI .....................................................................................................................................

Allenamento 1 - NUMERI

Allenamento 2 - NUMERI ........................................................................................................................................... 12

Allenamento 3 - NUMERI ........................................................................................................................................... 15

Allenamento 4 - NUMERI ........................................................................................................................................... 18

Allenamento 5 - SPAZIO E FIGURE ....................................................................................................................... 21

Allenamento 6 - SPAZIO E FIGURE ....................................................................................................................... 26

Allenamento 7 - SPAZIO E FIGURE ....................................................................................................................... 31

Allenamento 8 - SPAZIO E FIGURE ....................................................................................................................... 37

Allenamento 9 - DATI E PREVISIONI

Allenamento 10 - DATI E PREVISIONI ................................................................................................................ 46

Allenamento 11 - DATI E PREVISIONI ................................................................................................................ 50

Allenamento 12 - DATI E PREVISIONI ................................................................................................................ 54

Allenamento 13 - RELAZIONI E FUNZIONI ...................................................................................................... 58

Allenamento 14 - RELAZIONI E FUNZIONI ...................................................................................................... 62

Allenamento 15 - RELAZIONI E FUNZIONI ...................................................................................................... 67

Allenamento 16 - RELAZIONI E FUNZIONI ...................................................................................................... 72

PROVA SIMULATA .............................................................................................................................................................. 76

.........................................................................................................................................

.................................................................................................................

Pronti per l’Esame di Stato ........................................................................................................

QUESITI E PROBLEMI ........................................................................................................................................................ 90

PROVE D'ESAME .................................................................................................................................................................. 105

Regole e formule .............................................................................................................................................. 108

NUMERI ..................................................................................................................................................................................... 109

SPAZIO E FIGURE ................................................................................................................................................................ 112

DATI E PREVISIONI

RELAZIONI E FUNZIONI .................................................................................................................................................. 122

..........................................................................................................................................................

119

PRESENTAZIONE

Il libro Questo volume nasce per un duplice scopo: aiutare gli studenti della terza classe della Scuola Secondaria di Primo Grado ad affrontare la Prova Nazionale INVALSI e la prova scritta di Matematica durante l’Esame di Stato. Il libro è composto da tre parti: la prima dedicata alla preparazione della prova INVALSI, la seconda all’allenamento per la prova scritta di Matematica e la terza al ripasso delle regole e delle formule. Nel costruire i quesiti si è fatto riferimento alla recente normativa1 e in particolare si è cercato di impiegare una molteplicità di linguaggi (testi, tabelle, figure, immagini e grafici) e di contestualizzare le richieste in situazioni reali di vita quotidiana, in modo da abbracciare più competenze, sempre nell’ambito dei quattro nuclei tematici previsti nel Quadro di riferimento: numeri, spazio e figure, dati e previsioni, relazioni e funzioni. Inoltre, le prove sono costruite in modo da consentire all’insegnante di valutare il livello di competenza raggiunto dagli studenti.

Prima parte - Pronti per l’INVALSI Gli allenamenti presenti nella prima sezione di questo volume sono pensati per essere svolti singolarmente oppure in abbinamento tra loro. È possibile cioè allenarsi in modo specifico sui singoli nuclei tematici: Numeri, Spazio e figure, Dati e previsioni, Relazioni e funzioni misurandosi con tipologie diverse di domande e con differenti livelli di difficoltà, ma è anche possibile abbinare gli allenamenti tra loro. Ci si può allenare in maniera intensiva su un unico nucleo tematico, oppure combinare allenamenti di nuclei tematici differenti per comporre una simulazione di una prova ufficiale. Il libro si adatta pertanto alle esigenze dello studente e a quelle del docente e della classe. È possibile tenere traccia dei propri risultati nelle tabelle che seguono, considerando che a ogni risposta esatta corrisponde 1 punto e a ogni risposta sbagliata 0 punti. Le domande che presentano più item sono considerate corrette solo se tutti gli item sono corretti. Per conoscere poi la corrispondenza tra punteggio e livello di competenza, si può fare riferimento alla tabella della pagina seguente. Allenamenti Numeri Allenamento 1: ..../12 Allenamento 2: ..../12 Allenamento 3: ..../12 Allenamento 4: ..../12 Totale 1-2-3-4: ..../48

Spazio e figure Allenamento 5: ..../12 Allenamento 6: ..../12 Allenamento 7: ..../12 Allenamento 8: ..../12 Totale 5-6-7-8: ..../48

Prova simulata componibile n. ... Numeri: allenamento n. .... Spazio e figure: allenamento n. .... Dati e previsioni: allenamento n. .... Relazioni e funzioni: allenamento n. .... Totale prova Livello di competenza

Dati e previsioni Allenamento 9: ..../12 Allenamento 10: ..../12 Allenamento 11: ..../12 Allenamento 12: ..../12 Totale 9-10-11-12: ..../48

Relazioni e funzioni Allenamento 13: ..../12 Allenamento 14: ..../12 Allenamento 15: ..../12 Allenamento 16: ..../12 Totale 13-14-15-16: ..../48

Punti: ..../12 Punti: ..../12 Punti: ..../12 Punti: ..../12 Punti: ..../48 Livello: ..../5

Chiude la sezione INVALSI una prova simulata completa da svolgere in 90 minuti. Per ricavare la corrispondenza tra il punteggio totale e il livello di competenza si può fare riferimento alla tabella nella pagina a fianco. È possibile esercitarsi su tutti i contenuti della sezione INVALSI anche in versione digitale – Computer Based, collegandosi al sito www.raffaellodigitale.it

1 D.lgs n.62/2017: Valutazione e certificazione delle competenze nel primo ciclo ed esami di Stato.

D.M. 741 del 3 ottobre 2017: Esame di Stato conclusivo del primo ciclo di istruzione. D.M. 742 del 3 ottobre 2017: Finalità della certificazione delle competenze.

PRESENTAZIONE

Tabella di corrispondenza punteggio-livello di competenza Risposte corrette nella Prova Simulata 0-4

5-12

13-19

20-26

27-31

32-36

Risposte corrette nella Prova Componibile 0-5

6-16

17-26

27-35

36-42

43-48

Livello di competenza INVALSI

Descrizione livelli di competenza (in base a quanto stabilito dall’INVALSI per la prova nazionale del 2018)

L’esito conseguito dall’allievo/a nella prova non consente l’attestazione del raggiungimento del livello 1.

Livello 1. L’allievo/a utilizza conoscenze elementari e semplici abilità di base, prevalentemente acquisite nella scuola primaria. Risponde a domande formulate in maniera semplice, relative a situazioni scolastiche abituali per la scuola secondaria di primo grado o a contesti che richiamano l’esperienza comune, direttamente ed esplicitamente collegate alle informazioni contenute nel testo.

Livello 2. L’allievo/a conosce le nozioni fondamentali previste dalle Indicazioni nazionali di matematica per la scuola secondaria di primo grado ed esegue procedimenti di calcolo e procedure di base. Utilizza le rappresentazioni abituali degli oggetti matematici studiati (ad esempio i numeri decimali) e ricerca dati in grafici e tabelle di vario tipo per ricavarne informazioni. Risolve problemi semplici e di tipo conosciuto e risponde a domande in cui il collegamento tra la situazione proposta e la domanda è diretto e il risultato è immediatamente interpretabile e riconoscibile nel contesto.

Livello 3. L’allievo/a utilizza le abilità di base acquisite nella scuola secondaria di primo grado e collega tra loro le conoscenze fondamentali. Risponde a domande che richiedono semplici ragionamenti a partire dalle informazioni e dai dati o che richiedono il controllo dei diversi passaggi risolutivi e del risultato. Risolve problemi in contesti abituali o che presentano alcuni elementi di novità, per esempio nella rappresentazione delle informazioni. Riconosce rappresentazioni diverse di uno stesso oggetto matematico (ad esempio numeri decimali e frazioni).

Livello 4. L’allievo/a conosce, anche in casi non ordinari, i principali oggetti matematici (ad esempio una figura geometrica) incontrati nella scuola secondaria di primo grado e utilizza con efficacia le conoscenze apprese. Risponde a domande nelle quali le informazioni non sono esplicitamente collegate alle richieste, ma che richiedono una interpretazione della situazione proposta, anche in contesti non abituali. Riesce a costruire un modello con il quale operare, anche utilizzando a livello semplice il linguaggio simbolico proprio della matematica. Utilizza diverse rappresentazioni degli oggetti matematici conosciuti, in particolare dei numeri. Descrive il proprio ragionamento per giungere a una soluzione e riconosce, tra diverse argomentazioni per sostenere una tesi, quella corretta. Produce argomentazioni a supporto di una risposta data, in particolare sulla rappresentazione di un insieme di dati.

Livello 5. L’allievo/a utilizza con sicurezza gli aspetti concettuali e procedurali degli argomenti più importanti proposti nelle Indicazioni nazionali di matematica per la scuola secondaria di primo grado. Risponde a domande che richiamano situazioni non ordinarie per le quali è necessario costruirsi un modello adeguato. Utilizza diverse rappresentazioni degli oggetti matematici e passa con sicurezza da una all’altra. Illustra e schematizza procedimenti e strategie risolutive dei problemi e fornisce giustificazioni con un linguaggio adeguato al grado scolastico, anche utilizzando simboli, in tutti gli ambiti di contenuto (Numeri, Spazio e figure, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni).

PRESENTAZIONE

Seconda parte - Pronti per l’Esame di Stato Questa parte del libro è dedicata all’esercitazione di abilità e competenze logico matematiche, in vista della prova scritta di Matematica, così come è prevista dal D.M. 741 del 3 ottobre 2017: Art. 8 - Prova scritta relativa alle competenze logico matematiche 1. La prova scritta relativa alle competenze logico matematiche accerta la capacità di rielaborazione e di organizzazione delle conoscenze, delle abilità e delle competenze acquisite dalle alunne e dagli alunni nelle seguenti aree: numeri; spazio e figure; relazioni e funzioni; dati e previsioni. 2. La commissione predispone almeno tre tracce, ciascuna riferita alle due seguenti tipologie: a) problemi articolati su una o più richieste; b) quesiti a risposta aperta. 3. Nella predisposizione delle tracce la commissione può fare riferimento anche ai metodi di analisi, organizzazione e rappresentazione dei dati, caratteristici del pensiero computazionale. 4. Qualora vengano proposti più problemi o quesiti, le relative soluzioni non devono essere dipendenti l’una dall’altra, per evitare che la loro progressione pregiudichi l’esecuzione della prova stessa. 5. Nel giorno di effettuazione della prova la commissione sorteggia la traccia che viene proposta ai candidati. In particolare, questa sezione si compone di: - 46 quesiti e problemi suddivisi nei 4 nuclei tematici: Numeri, Spazio e figure, Dati e previsioni, Relazioni e funzioni. - 2 prove d’esame complete. Nella versione annotata per il docente sono presenti tutte le soluzioni. Per la valutazione delle 2 prove d’esame è stata predisposta una tabella con gli indicatori specifici di cui tenere conto per ciascun quesito. Per ricavare la corrispondenza tra il punteggio totale e il voto finale si può fare riferimento alla tabella apposita.

L’appendice Regole e formule Abbiamo arricchito il volume con una sezione finale chiamata Regole e formule che presenta, in forma chiara e sintetica, tutte le conoscenze di base utili ad affrontare gli allenamenti e le prove presenti nel volume e in generale il programma della terza classe. Si tratta di un’agile «cassetta degli attrezzi» nella quale, se lo ritiene opportuno, lo studente potrà andare a ricercare gli strumenti più adeguati alla situazione e al problema da risolvere, dimostrando quindi di essere in grado di scegliere e utilizzare le conoscenze, nell’ottica di una didattica mirata alla certificazione delle competenze. La sezione Regole e formule può inoltre essere utilizzata come veloce strumento di ripasso generale, suddiviso anche questo secondo i 4 nuclei tematici.

PRESENTAZIONE

Tabelle per la valutazione delle prove d’esame Prova d’esame 1 Quesito 1: lo studente... Traccia il poligono ABCD 4 a. Determina le lunghezze dei lati 4 2 Calcola il perimetro Determina l’altezza del trapezio 2 Calcola l’area della superficie del trapezio 2 b. Descrive il trapezio 2 c. Calcola la lunghezza della diagonale 3 d. Disegna il solido di rotazione 3 Descrive il solido ottenuto 2 e. Determina l’area laterale dei due coni 3 Determina l’area laterale del cilindro 3 Determina l’area totale del solido 2 f. Calcola il volume dei due coni 3 Calcola il volume del cilindro 3 Calcola il volume del solido 2 Totale quesito 1 40 Quesito 2: lo studente... Risolve l’equazione 1 8 Risolve l’equazione 2 6 1 Identifica che sono equivalenti Totale quesito 2 15 Quesito 3: lo studente... a. Compila correttamente la tabella 6 6 b. Rappresenta correttamente l’istogramma c. Determina la moda 2 Determina la mediana 2 Calcola la media aritmetica 3 d. Calcola la probabilità 1. 2 Calcola la probabilità 2. 2 Calcola la probabilità 3. 2 Totale quesito 3 25 Quesito 4: lo studente... a. Compila correttamente la tabella 6 b. Scrive la legge di proporzionalità 2 Indica che si tratta di una proporzionalità diretta 2 c. Traccia correttamente il grafico 6 d. Indica che si tratta di una proporzionalità inversa 2 2 Scrive la relazione che lega I a V Totale quesito 4 20 Totale punteggio prova d’esame 1 100

Prova d’esame 2 Quesito 1: lo studente... a. Determina l’area di base del parallelepipedo 3 Determina l’area totale del parallelepipedo 3 b. Determina l’altezza del parallelepipedo 3 Determina il volume del parallelepipedo 3 Calcola il peso del solido 3 c. Calcola l’altezza della piramide 3 Calcola l’apotema della piramide 4 d. Calcola l’area di base della piramide 3 Calcola l’area laterale della piramide 3 Calcola l’area totale della piramide 2 Totale quesito 1 30 Quesito 2: lo studente... Rappresenta il triangolo 3 a. Determina la lunghezza di ciascun lato 3 Classifica il triangolo 3 b. Calcola il perimetro del triangolo 3 Determina l’altezza del triangolo 3 Calcola l’area del triangolo 3 c. Rappresenta il triangolo A'B'C' 3 3 Determina le coordinate dei punti A', B' e C' d. Disegna la retta r 2 Dimostra algebricamente che il punto B appartiene 3 alla retta r e. Risolve l’equazione 4 Determina l’ascissa del punto medio M 2 Totale quesito 2 35 Quesito 3: lo studente... a. Calcola la velocità della sfera 4 b. Scrive la legge che lega y a x 2 6 c. Compila correttamente la tabella d. Rappresenta la funzione nel piano cartesiano 6 Stabilisce il tipo di proporzionalità che lega le due e. 2 grandezze Totale quesito 3 20 Quesito 4: lo studente... a. Determina la probabilità a. 3 b. Determina la probabilità b. 3 c. Determina la probabilità c. 3 d. Determina la probabilità d. 3 Determina la probabilità composta 3 Totale quesito 4 15 Totale punteggio prova d’esame 2 100

Tabella di conversione punteggio/voto Punteggio 95 – 100 85 – 94 75 – 84 65 – 74 55 – 64 41 – 54 0 – 40

Voto 10 9 8 7 6 5 4

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamenti

Numeri

Spazio e figure

Dati e previsioni

Relazioni e funzioni

Prova simulata

Allenamento

NUMERI

D1 Di seguito sono elencati i prezzi della benzina senza piombo di quattro diversi distributori: Servito (€/litro)

Self Service (€/litro)

InquinaMen

1,618

1,578

TuttoGas

1,492

1,472

ViaggiaPiù

1,526

1,481

ZetaBenz

1,634

1,569

a. Qual è la massima differenza di prezzo al litro tra i vari distributori scegliendo il «servito»?

A. 0,142 centesimi/litro B. 1,42 centesimi/litro C. 14,2 centesimi/litro D. 142 centesimi/litro

b. Quanti euro risparmia il papà di Veronica facendo il pieno di 40 litri al self-service invece che al servito presso il distributore ZetaBenz?

Risposta: ........................... € 2, 6

D2 Nell’operazione: 253 # 768 quali delle seguenti alternative è equivalente alla moltiplicazione data?

A. 250 # 760 + 3 # 8 B. 200 # 700 + 53 # 68 C. 200 # 768 + 53 # 768 D. 200 # 700 + 50 # 60 + 3 # 8

D3 Il 47% di 320 si può calcolare:

A. dividendo 320 per 47 B. moltiplicando 320 per 0,47 C. dividendo 47 per 3,2 D. moltiplicando 320 per 47

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D4 Osserva la retta orientata e indica quale numero potrebbe essere rappresentato dal punto A. 200

225

250

A. 225,6 B. 230 C. 240 D. 255

D5 Quale frazione corrisponde alla parte colorata del disegno?

3 A. 4 6 B. 10 16 C. 6 3 D. 8

D6 Marco esegue sulla sua calcolatrice (non scientifica) unâ&#x20AC;&#x2122;espressione premendo in successione i tasti:

4 # 15 - 12 # 3 =

Quale delle seguenti espressioni puĂ˛ aver risolto?

A. 4 # 15 - 12 # 3 = B. 4 # ^15 - 12 # 3h = C. ^4 # 15 - 12h # 3 = D. 4 # ^15 - 12h # 3 = PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D7 Un pasticciere per fare un cioccolato da 700 g utilizza 420 g di pasta di cacao.

a. Qual è la percentuale di cacao del cioccolato?

Risposta: .......................... % 60

b. Un giorno il pasticciere decide di fondere assieme 600 g di cioccolato fondente al 50% di cacao e 400 g di cioccolato extra-fondente con l’80% di cacao.

Quale sarà la percentuale di cacao presente alla fine nel cioccolato? A. 58% B. 62% C. 65% D. 68%

D8 Un quarto di 440 è: A. 1 40 B. 2 20 C. 4 10 D. 4 39

D9 Collega con una freccia i seguenti numeri alla loro corretta posizione sulla retta orientata. 0, 5

0, 5 2

0, 5

D10 Tra i pianeti nani del sistema solare Eris ha una massa quattro volte maggiore a quella di Haumea. Sapendo che la massa di Haumea è di 4, 2 . 10 21 kg qual è la massa di Eris?

A. 4, 2 $ 10 84 kg B. 16, 8 $ 40 21 kg C. 1, 68 $ 10 22 kg D. 4, 2 $ 10 25 kg

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D1 Determina il valore dell’espressione: 1 1 1+ 2 + 4 = 1 1 1 + + 2 4 8

A. 2 1 B. 2 49 C. 32 8 D. 7

D2 Le 3000 pagine numerate di un vocabolario hanno uno spessore di 9 cm. a. Qual è lo spessore di un singolo foglio del vocabolario, in millimetri?

0, 06 mm Risposta: .......................... b. Scrivi i calcoli che hai svolto per trovare la soluzione. 3000 | 2 = 1500; 9 cm = 90 mm; 90 | 1500 = 0, 06 mm ....................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................

D3 Disponi i seguenti numeri in ordine crescente: - 0, 5 5 -2

5 -2

+ 7

1 - 0, 5 1 - 1 4

1 -4 1 + 7

D4 Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a b c d

Il 30% di 300 è 100 3 3 Il rapporto tra 2 e 4 è 2 5 6 di 1,2 valgono 1 3 3 il 25% di 8 è 2

D5 Zia Betta ha la passione delle marmellate, la scorsa settimana ha preparato 7 kg di marmellata di pesche e ha riempito vasetti da 450 g. Quanti vasetti è riuscita a riempire completamente?

Risposta: .......................... 15 PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D6 Alle Olimpiadi di Scienze vengono assegnati i punti secondo la seguente tabella: Parte

N° domande

Punteggio per ogni risposta Corretta

Non data

Errata

-1

-2

-3

a. Qual è il punteggio massimo che una squadra può ottenere?

A. 13

B. 22

C. 88

D. 90

b. La squadra della 3a C ha dato le seguenti risposte: Parte A B C

Numero risposte Corrette

Non date

Errate

6 2 1

2 1 1

2 3 4

Quale punteggio ha ottenuto? 12 Risposta: ..........................

D7 Vera e Zoraide stanno svolgendo la seguente espressione: 18 # 79 - 17 # 79 + 13 # 79 - 12 # 79 + 19 # 79 - 21 # 79 = Vera impiega molto tempo per svolgere le sei moltiplicazioni, mentre Zoraide, utilizzando una proprietà delle operazioni, impiega pochissimo tempo per risolvere l’intera espressione. 18 # 79 - 17 # 79 + 13 # 79 - 12 # 79 + 19 # 79 - 21 # 79 = =?= = 0 # 79 = =0 Completa la risoluzione dell’espressione con il passaggio che ha permesso a Zoraide di non svolgere le sei moltiplicazioni. ^ 18 - 17 + 13 - 12 + 19 - 21 h # 79 Risposta: .....................................................................................................................................................................................................................................................

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D8 Agnese, Beatrice, Christian e Dario risolvono la seguente espressione: 2 + 2 # 22 = Chi l’ha risolta correttamente? = 4 # 22 = = 82 = = 64 a.

Agnese

= 2 # 42 = = 2 + 16 = = 18 b.

Beatrice

= 2+2#4 = = 2+8 = = 10 c.

Christian

= 2+2#4 = = 4#4 = = 16 d.

Dario

D9 Ezio, Franca e Giovanna organizzano una festa per il compleanno di Helga. Ezio spende € 34 per il regalo, Giovanna € 41 per il cibo e le bevande, mentre Franca si occupa di tovaglie, tovaglioli e dei bicchieri spendendo € 18. Poiché vogliono dividere tutta la spesa in parti uguali quanto deve dare Franca ai due amici?

Completa la risposta:

10 3 Franca deve dare € .......................... a Ezio e € .......................... a Giovanna.

D10 Indica se ciascuna delle seguenti uguaglianze è vera (V) o falsa (F). V

44 $ 43 $ 4 = 47

10 10 | 10 5 = 10 5

32 2 | 2 = 16 2

8 4 $ 3 3 = 24 8

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D1 Di seguito sono riportate le offerte telefoniche di quattro diverse compagnie: Air Pocofon Quattro Tom

Costo (â&#x201A;Ź/mese) 5,00 6,00 8,00 10,00

Minuti 200 400 500 500

Osserva la tabella e completa la frase. Considerando soltanto il costo di una chiamata in centesimi al minuto, la compagnia piĂš conveniente Ă¨ la 1, 5 Pocofon .......................................................................... con una tariffa pari a .......................... centesimi al minuto.

D2 In quale delle seguenti serie i numeri sono disposti in ordine crescente? 3 A. 3, 2 , 3 , r 3 B. 3 , r, 3, 2 3 C. 2 , 3 , 3, r 3 D. 3 , 2 , 3, r

D3 Collega con una freccia i numeri con la loro posizione sulla retta: 1 -2

-2

-1

+ 0, 3

- 1, 7

3 +4

D4 Giovanni segna dei punti sulla linea dei numeri. Pone A = 1; B al centro di OA; C al centro di BA e D al centro di BC. O 0

A 1

A quale frazione corrisponde il punto D? 3 A. 4 3 B. 8 5 C. 8 7 D. 16 PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D5 Indica se ciascuna delle seguenti uguaglianze è vera (V) o falsa (F). V a

36 | 100 = 6 | 10

41 2 - 40 2 = 41 - 40

13 8 = 13 4

12 2 + 5 2 = 12 + 5

D6 Per trasformare una temperatura espressa in gradi centigradi (°C) in gradi Fahrenheit (°F) si moltiplica la temperatura per 9 si divide per 5 e si aggiunge 32. a. A quale temperatura in gradi Fahrenheit corrispondono 25 °C?

77 Risposta: .......................... °F b. Scrivi l’espressione che permette di trasformare 59 °F in gradi Celsius.

^ 59 - 32 h # 5 | 9 Risposta: ................................................................

D7 Elena svolge la seguente espressione: ^ 14 | 2 h + 13 # ^ 12 - 5 # 2 h =

Quale delle seguenti espressioni non è equivalente a quella data?

A. 14 | 2 + 13 # 12 - 5 # 2 =

B. 14 | 2 + 613 # ^12 - 5 # 2h@ =

C. 14 | 2 + 13 # 612 - ^5 # 2h@ =

D. ^14 | 2h + " 13 # 612 - ^5 # 2h@, =

D8 Francesca, Giulio, Ilaria e Luca risolvono la seguente espressione: 82 + 42 = Chi dei quattro la svolge correttamente? = 64 + 16 = = 80 = 40 a.

Francesca

PRONTI PER L'INVALSI

= 64 + 16 = = 80 . 9 b.

Giulio

= 82 + 42 = = 8 + 4 = 12 c.

Ilaria

= 82 + 42 = = 2, 82 + 2 . 4, 82 d.

Luca

Allenamento

NUMERI

D9 Un elefante pesa circa 6 tonnellate ovvero 6 . 10 3 kg . Sapendo che il peso della Grande Piramide di Giza è di 6 . 10 9 kg sapresti dire quanti elefanti ci vorrebbero per eguagliare il suo peso?

1 000 000 Risposta: .................................................................

D10 Laura e Martina misurano la loro altezza. Laura misura 148,5 cm e Martina 156 cm, però si accorgono che al metro da loro usato mancano i primi 2,5 centimetri.

a. Quanto è più alta Martina di Laura? A. 5 cm B. 7,5 cm C. 8,5 cm D. 10 cm

b. Quanto è alta realmente Laura?

146 Risposta: .......................... cm

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D1 Zia Zoe va dal fioraio e compra una Kalanchoe da € 8,50 e tre sanseverie da € 18,00. Se paga con due banconote da € 50,00 come può essere calcolato il resto? A. 2 # 50 - ^8, 50 + 18h # 3

B. 2 # 50 - ^8, 50 + 18 # 3h

C. 2 # 50 - ^8, 50 - 18 # 3h

D. 8, 50 + 18 # 3 - 50 # 2

Mezza pensione

Camera e colazione

D2 La famiglia Schmidt, composta padre madre e due bambini, in estate viene vacanza in una località balneare della Puglia. L’albergo da loro scelto applica le seguenti tariffe.

Camera singola

Punteggio per ogni risposta Dal 01/01 al 31/05 Dal 01/06 al 30/06 Dal 01/07 al 31/08 Dal 01/08 al 24/08 Dal 16/09 al 31/12 Dal 01/09 al 15/09 Dal 25/08 al 31/08 60,00 € 70,00 € 80,00 € 90,00 €

Camera doppia 3°/4° letto in camera doppia Camera singola

40,00 €

48,00 €

58,00 €

70,00 €

20,00 €

29,00 €

35,00 €

42,00 €

72,00 €

82,00 €

90,00 €

100,00 €

Camera doppia 3°/4° letto in camera doppia

50,00 €

65,00 €

75,00 €

92,00 €

35,00 €

49,00 €

60,00 €

a. Quanto spende la famiglia Schmidt se arrivano il pomeriggio del 15/06 e ripartono la mattina del 22/06, alloggiando a mezza pensione?

1596, 00 € Risposta: .......................... b. Quanto avrebbe speso di meno al giorno la famiglia Schmidt se avesse alloggiato in camera con la sola colazione?

74, 00 € Risposta: ..........................

D3 Collega con una freccia i numeri con la loro posizione sulla retta: 7 -2

-5

- 4, 5

-4

- 3, 5

PRONTI PER L'INVALSI

-3

- 2, 5

-2

- 10

- 1, 5

1 -4

-1

- 0, 5

0, 5

Allenamento

NUMERI

D4 Collega ogni numero razionale con una scrittura equivalente: A. 0,3 1. 3% 3 B. 0, 3 2. 10 1 -1 C. 0,03 3. ` 3 j 1 D. 3,0 4. 3 16 D5 Quanto vale la metà di ` 1 j ? 2

1 17 A. ` 2 j 1 16 B. ` 4 j 1 15 C. ` 2 j 1 8 D. ` 2 j

D6 Sapendo che la formula per trasformare i gradi Fahrenheit in gradi Celsius è: 5 C = ^ F - 32 h . 9

A quanti gradi Celsius corrispondono 14 °F? Risposta: .......................... - 10 °C

D7 Osserva la seguente espressione: 1

1- 2 2- 3 4- 5 2 + 3 - 6 =

Scrivi i segni + o – corretti, dopo il primo passaggio. 1 1 1 1 + 2 - 3 + 6

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

NUMERI

D8 Luca risolve l’equazione 3 ^ x - 4h = 2 ^9 - x h + 5 nel seguente modo: testo: primo passaggio secondo passaggio

3 ^ x - 4h = 2 ^9 - xh + 5 3x - 12 = 18 - 2x + 5 3x - 2x = 18 - 12 + 5

terzo passaggio

x = 11

econdo Marco, il suo compagno di banco, c’è un errore in un passaggio, ma Luca è convinto S di averla svolta correttamente. Chi dei due ha ragione?

Luca, perché effettivamente l’equazione è corretta.

secondo Marco, perché Luca ha commesso un errore nel ..................................................................... passaggio.

D9 Tra i protisti (organismi eucarioti unicellulari) l’Amoeba proteus, ha un diametro circa 10 volte più grande della lunghezza di una Euglena gracilis. Sapendo che l’Euglena gracilis è lunga circa 5 . 10 - 5 m , qual è il diametro di un’Amoeba proteus?

5 $ 10- 4

____

D10 Dati tre numeri consecutivi n, n + 1 e n + 2 , indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

La somma dei tre numeri è sempre un numero pari

Il loro prodotto è sempre divisibile per 6

La loro media è n + 1

Sommando il primo e il terzo si ottiene sempre un numero pari

D11 In quale delle seguenti serie i numeri sono disposti in ordine crescente?

3 1 2 A. - 2, - 2 , - 2 , - 2 2 3 1 B. - 2 , - 2, - 2 , - 2 1 2 3 C. - 2 , - 2 , - 2 , - 2 2 3 1 D. - 2, - 2 , - 2 , - 2

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D1 Erminio costruisce delle figure utilizzando tessere bianche e nere come quella in figura. Quale delle seguenti figure non è possibile costruire?

tessera

A. Figura A

B. Figura B

C. Figura C

D. Figura D

D2 Nel seguente piano cartesiano è rappresentato il trapezio ABCD, Luca deve disegnare il simmetrico della figura rispetto al punto P.

10 D

−4

−2

−4

Quali sono le coordinate del punto Cl simmetrico del punto C rispetto al punto P? -2 ) 13 Risposta: -6Cl (.......................... ; ..........................

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D3 Nella figura 1 Ă¨ rappresentata la pianta di tre edifici. Se un osservatore vede i tre edifici come nella figura 2, da quale posizione li sta osservando? B C

A. Posizione A

B. Posizione B

C. Posizione C

D. Posizione D

D4 Disponi i seguenti poligoni in ordine da quello di area minore a quello di area maggiore.

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE

14 m

15 m

D5 Il marchese di Falcobolzo sta assaltando il castello del conte di Roccataccola. Le sue truppe hanno delle scale alte 15 m e il castello ha le mura alte 14 m, ma è protetto da un fossato largo 9 m disposto come nella figura.

a. A quanti metri dalla cima delle mura poggerà la scala?

Risposta: ............................................... m 2

b. Quanti metri dovrà essere lunga come minimo la scala per riuscire a raggiungere la cima delle mura?

A. 16 m

B. 17 m

C. 20 m

D. 23 m

D6 Osserva la seguente figura:

Sapendo che OH = HB , e che ED è perpendicolare al diametro AB, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

Il segmento EB (non rappresentato) è congruente al raggio OA

L’angolo ODE (non rappresentato) è di 45°

Il segmento OH è la metà del segmento DH

Il segmento AE (non rappresentato) è il doppio del segmento DH

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D7 Osserva la seguente figura:

C c

apendo che AB = 16 cm, quale delle seguenti lunghezze si avvicina maggiormente a quella S dell’arco DB? A. 32 cm B. 28 cm C. 25 cm D. 20 cm

D8 Osserva il seguente solido composto da un cubo con due piramidi aventi le basi coincidenti a due delle sue facce opposte:

Completa la seguente tabella. a. Numero facce quadrate

....................... 4

b. Numero facce triangolari

8 .......................

c. Totale facce

12 .......................

D9 La seguente figura è formata da quadrati di diverse dimensioni:

Se il lato del quadrato azzurro è lungo 1 cm, quanto vale l’area dell’intera figura?

40 Risposta: ............................................... cm2 PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D10 Osserva i seguenti solidi e individua quelli che hanno lo stesso volume.

Solido A

A. Solidi A e B

B. Solidi B e C

C. Solidi B e D

D. Solidi C e D

Solido B

Solido C

Solido D

D11 Osserva la seguente figura mistilinea:

Quale delle seguenti figure ha il perimetro diverso da quella sopra rappresentata?

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

A. Figura 1

B. Figura 2

C. Figura 3

D. Figura 4

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D1 Quale delle seguenti figure ha lâ&#x20AC;&#x2122;area diversa dalle altre?

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

A. Figura 1

B. Figura 2

C. Figura 3

Fig. 4

D. Figura 4

D2 Osserva il seguente solido formato da cubi uniti tra loro:

a. Potendo osservare il solido da ogni direzione, quanti sono i cubi nascosti, ovvero quelli di cui non Ă¨ possibile vedere nessuna faccia?

30 Risposta: ...............................................

b. Quanti sono invece i cubi di cui si vedono soltanto due facce?

A. 10

B. 30

C. 40

D. 70 PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D3 Osserva la seguente figura:

Quanti triangoli come quello azzurro servirebbero per formare il triangolo piĂš grande, di colore verde?

16 Risposta: ...............................................

D4 Osserva il seguente grafico cartesiano. Tracciando la retta r passante per AB e la retta s passante per CD quali sono le coordinate del punto di intersezione E delle rette r ed s?

10 B

D 6

-6

-4

11 ) 7 Risposta: E (.......................... ; .......................... -4

-6

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D5 Sul triangolo ABC sono stati costruiti dei semicerchi aventi il diametro coincidente con ciascuno dei lati del triangolo. A

Sapendo che AB = 4 cm e BC = 6 cm determina l’area del semicerchio costruito sul lato AC. A. 4 r cm 2 13 B. 2 r cm 2 C. 8 r cm 2 25 D. 2 r cm 2

D6 Osserva la seguente figura:

Le immagini successive rappresentano sempre la stessa figura ruotata secondo angoli diversi. In un caso l’immagine è però anche speculare, quale?

Fig. 1

A. Figura 1

PRONTI PER L'INVALSI

Fig. 2

Fig. 3

B. Figura 2

C. Figura 3

Fig. 4 D. Figura 4

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D7 Nella figura 1 Ă¨ rappresentata la pianta di quattro costruzioni piramidali. Se un osservatore vede le costruzioni come nella figura 2, da quale posizione li sta osservando? B C

A. Posizione A

B. Posizione B

C. Posizione C

D. Posizione D

D8 Sapendo che il lato di un quadretto vale 2 cm calcola lâ&#x20AC;&#x2122;area della seguente figura.

8 Risposta: ............................................... cm2

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE

12 cm

5 cm

10 cm

26 cm

D9 Piero si diverte a costruire delle rampe per far saltare le sue automobiline. Ieri ne ha costruita una come quella mostrata nella figura:

12 cm

a. Qual è la lunghezza del tratto a della rampa?

20 Risposta: ............................................... cm

b. Qual è la lunghezza dell’intero percorso che compie l’automobilina prima di fare il salto?

A. 45 cm

B. 47 cm

C. 50 cm

D. 62 cm

D10 Nella seguente immagine sono rappresentati due contenitori cilindrici:

Sapendo che il secondo ha altezza doppia, ma diametro la metà rispetto a quelli del primo, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V

Il volume del primo è doppio di quello del secondo

L’area di base del primo è quattro volte quella del secondo

I due solidi sono equivalenti

L’area laterale del primo è doppia rispetto a quella del secondo

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE

t inscritto nella circonferenza di D1 Osserva la seguente figura che rappresenta il triangolo ABC centro O: C

t ? t misura 27°, quanto misura l’angolo CAB Se l’angolo ABC

63 ° Risposta: ...................

D2 Calcola il cateto mancante del triangolo rettangolo mostrato nella seguente figura.

20 __cm ?

2 cm

Risposta: ................... 4 cm

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D3 Di seguito Ă¨ rappresentato un solido e quattro possibili sviluppi piani:

B A

D C

Quale dei quattro sviluppi piani genera il solido rappresentato nella figura in alto? A. Figura A B. Figura B C. Figura C D. Figura D

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D4 Osserva la seguente figura formata dal quadrato ABCD e da due triangoli rettangoli BFC e DCE: E

a. Sapendo che AD = u e DE = 2u , indica quale delle seguenti affermazioni è falsa.

A. L’area del triangolo DCE è uguale all’area del quadrato ABCD

B. Il segmento CF è la metà del segmento EC C. Il segmento BF è la metà del segmento CF D. Il perimetro del triangolo DCE è maggiore del perimetro del quadrato ABCD

b. Quanto vale l’area del triangolo BFC?

0, 25 u2 Risposta: ..........................

D5 Osserva il seguente grafico cartesiano. Tracciando la retta r passante per AB e la retta s passante per CD quali sono le coordinate del punto di intersezione E delle rette r ed s?

12 10

A B

6 C

4 2

-6

-4

2, 5 9, 5 ; .......................... Risposta: E (.......................... ) -4

-6

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D6 Osserva il seguente solido:

Le seguenti figure rappresentano lo stesso solido visto da angolazioni differenti, tranne una che rappresenta un solido simmetrico a quello dato, quale?

Fig.Fig. 1 1

Fig.Fig. 2 2

A. Figura 1

Fig.Fig. 3 3

B. Figura 2

C. Figura 3

Fig.Fig. 4 4 D. Figura 4

D7 Per andare dal punto A al punto B vengono utilizzati quattro diversi percorsi alternativi alla via diretta: 4

3 a

1 0

Disponi i quattro percorsi (a, b, c, d) in ordine dal piĂš breve al piĂš lungo. b

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D8 Osserva la seguente figura: D

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

L’angolo BÂD misura 135°

AB misura 1,5a

L’angolo DĈB misura più di 150°

L’area del quadrilatero ABCD misura 1,5a2

D9 Quale delle seguenti figure ha il volume maggiore delle altre?

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

A. Figura 1

B. Figura 2

C. Figura 3

Fig. 4

D. Figura 4

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D10 Secondo Esopo, la volpe e la cicogna si invitano spesso a pranzo. Quando la volpe va a casa della cicogna percorre il tragitto ABCD, mentre la cicogna vola direttamente dalla propria casa a quella della volpe secondo il tragitto DA. C

Sapendo che AB = 528 m; BC = 850 m; CD = 792 m , quanta strada percorre in più la volpe rispetto alla cicogna?

A. 600 m

B. 850 m C. 1570 m D. Non si può sapere, perché non si hanno le misure di BH e HC

D11 Sapendo che il lato di un quadretto vale 1 cm calcola l’area della seguente figura.

3, 44 Risposta: ............................................... cm2

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D1 Osserva il seguente solido:

Quale delle seguenti figure rappresenta un solido uguale a quello dato?

Fig. 1

Fig. 2

A. Figura 1

Fig. 3

B. Figura 2

C. Figura 3

Fig. 4

D. Figura 4

D2 A sinistra Ă¨ mostrato il triangolo rettangolo con le misure dei lati che corrispondono alla terna pitagorica fondamentale:

5 cm 4 cm

? 4_ cm

_3 cm 3 cm

Quanto varrebbe lâ&#x20AC;&#x2122;ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono lunghi 3 cm e 4 cm?

Risposta:

.......7 ..........cm ...................

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D3 Nel seguente piano cartesiano è rappresentato il quadrilatero ABCD, Nicoletta deve disegnare 10 il simmetrico della figura rispetto alla retta r. 8 D

4 A

−10

−8

−6

−2

−4

−2

−4

−6

Quali sono le coordinate del punto Bl simmetrico del punto B rispetto alla retta r?

-2 ) Risposta: Bl (.......................... - 7 ; ..........................

t t e ADE t . Se gli angoli D t eC D4 La seguente figura è composta da due triangoli rettangoli simili: ABC misurano 24° quanto misura l’angolo α indicato nel disegno? D 24°

C 24°

a E

48 ° Risposta: ...................... PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D5 Osserva i seguenti solidi:

Solido Area di base (u2) Altezza (u)

A 4 2

B 1 10

C 4 9

D 2 7

Quale solido ha il volume maggiore? A. Solido A B. Solido B C. Solido C D. Solido D

D6 Osserva la seguente sequenza di solidi:

Spigolo di base b (cm)

Area totale A (cm2)

Volume V (cm3)

................... 30

9 ...................

a. Completa la tabella.

b. Qual Ă¨ la relazione che lega la superficie allo spigolo di base?

A. B. C. D.

A = b2 A = 4b 2 + 2b A = 6b 2 A = 2b 2 + 4b PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE D7 Osserva il seguente triangolo ABC, in cui è inscritto il quadrato CDEF:

1 cm

F 4 cm

D A

a. Calcola l’area del triangolo EBF.

Risposta ...................................... cm2 2

b. Qual è il rapporto tra l’area del triangolo EBF e l’area del triangolo AED?

A. 4 | 1 B. 5 | 1 C. 16 | 1 D. 25 | 1

D8 Due serbatoi cilindrici d’acciaio, A e B, sono stati costruiti in modo tale che l’altezza di A è tre volte di quella di B, mentre il diametro di A è uguale alla metà di quello di B.

Se la capacità di A è di 15 hl, quale sarà quella di B?

Risposta: ............................................... hl 20

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

SPAZIO E FIGURE

D9 Per confezionare la bandiera della propria squadra del cuore (a sinistra) Irene utilizza una stoffa di 1,5 m2.

Giovanna vuole confezionare una bandiera ancora più grande (a destra), aumentando ogni lato della metà. Quale sarà l’area della bandiera di Giovanna? A. 2 m2 B. 2,25 m2 C. 3 m2 D. 3,375 m2

D10 Collega ogni figura con quella equivalente.

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

DATI E PREVISIONI D1 Da una indagine in una scuola sul tempo dedicato al giorno ai videogiochi è risultato il seguente grafico: 50

percentuale di alunni

0 0-1

1-2

2-3

tempo (ore al giorno)

Se gli alunni che trascorrono 0-1 ore ai videogiochi sono 54 quanti sono in totale gli alunni intervistati?

A. 162 B. 180 C. 196 D. 216

D2 Christian segna sul suo diario i voti orali e scritti che ha preso di italiano nel corso dell’anno. Orale: 6, 4, 8, 8 Scritto: 6, 7, 8, 8, 7, 9 La media dei quattro voti orali è 6,5 e la media dei sei scritti è 7,5. Quale sarebbe invece la media complessiva di tutti i voti di Christian?

7, 1 Risposta: ...............................................

D3 Eleonora, Francesco e Giacomo stanno mangiando una crêpe ciascuna. Eleonora mangia 2 3 5 3 della sua, Francesco i 6 e Giacomo i 4 .

Che frazione di crêpe hanno mangiato in media i tre ragazzi? 3 4 Risposta ...................................... PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

DATI E PREVISIONI

D4 Il seguente diagramma classifica i biomi in base alla temperatura media e alle precipitazioni annuali:

400

Precipitazioni annuali (cm)

300

Foresta pluviale tropicale

200

100

Foresta temperata umida

Foresta tropicale stagionale

Foresta temperata

A Taiga

Prateria/savana

Ghiacci

Deserto

Tundra

0 30

−10

−20

Temperatura media (°C)

a. Osserva il grafico e completa la frase.

5 Il punto A nel diagramma ha una temperatura media di ...................................... °C e una piovosità annuale di ...................................... cm. 75

b. A che bioma corrisponde una località ha una temperatura media di 25 °C e una piovosità annua di 200 cm?

Risposta: ................................................................................................................................................................................................................................... foresta pluviale tropicale

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

DATI E PREVISIONI D5 Alberto, Beatrice e Caterina stanno giocando al gioco dell’oca. Alberto col segnalino rosso occupa la casella 62, Beatrice con il blu sta nella casella 60 e Caterina con il segnalino verde nella casella 57:

Nel gioco dell’oca vince chi raggiunge la casella 63 con un lancio di dadi esatto, altrimenti retrocede dei punti in eccesso; chi dei tre ha la maggiore probabilità di vincere fermandosi con il lancio di un solo dado nella casella 63?

A. Alberto B. Caterina C. Alberto e Beatrice D. Nessuno, hanno tutti e tre la stessa probabilità

D6 Di seguito sono elencati i voti dell’ultimo compito di matematica della 3a B: Angela Bruno Cinzia Davide Eleonora

8 5 9 7 5

9 8 7 10 6

Mirco Norberto Olga Pietro Roberta

10 5 8 4 5

Simone Tania Ugo Vittoria Zaira

6 8 7 8 9

a. Compila la tabella riepilogativa con le frequenze assolute dei voti degli alunni maschi e femmine della 3a B. Voto 4 5 6 7 8 9 10

Francesca Giovanni Hanna Ilaria Luciano

Maschi (n) 1 .................... .................... 2 2 .................... 2 .................... 1 .................... 0 .................... .................... 1

Femmine (n) 0 .................... .................... 2 .................... 0 1 .................... 4 .................... .................... 3 1 ....................

b. Qual è la probabilità (in frazione) che un’alunna femmina scelto a caso abbia ottenuto un voto uguale o maggiore a 6? 9 11 Risposta: .......................... PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

DATI E PREVISIONI

D7 Tiziana vuole inventare delle bandiere tricolori, usando tre colori differenti per ogni bandiera. Ha a disposizione cinque colori: bianco, blu, giallo, rosso e verde.

a. Quante bandiere diverse può al massimo colorare?

60 Risposta: ..........................

b. Quale sarebbe il numero delle diverse bandiere possibili avendo la possibilità di usare sei colori anziché cinque? A. lo stesso numero B. il doppio C. il triplo

D. sei volte tanto

D8 Il seguente grafico rappresenta la distribuzione delle specie viventi tra i maggiori gruppi tassonomici: Altri invertebrati

Procarioti

Protisti Insetti

Funghi Piante

Cordati

a. Se il numero di specie di insetti conosciuti è circa 900 000, quante sono all’incirca le specie conosciute di esseri viventi?

Risposta: ............................................................... 1 800 000

b. Gli scienziati stimano che l’ottanta percento circa delle specie non è ancora stato descritto. Secondo queste stime quante potrebbero essere in totale le specie degli esseri viventi?

A. 720 000 B. 4 500 000 C. 7 200 000 D. 9 000 000 PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

DATI E PREVISIONI D1 Riccardo e Simone giocano a dadi. Riccardo scommette che lanciando il proprio dado farà un punteggio più alto di quello di Simone. Qual è la probabilità che Riccardo vinca la scommessa?

1 A. 2 2 B. 6 15 C. 36 7 D. 12

numero alunni

D2 Il seguente grafico rappresenta la distribuzione delle attività pomeridiane degli alunni di terza di un istituto: 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Calcio

Basket

Nuoto

Altri sport

Nessuna

Qual è la probabilità in percentuale che un alunno scelto a caso non pratichi alcuno sport?

24 Risposta: ............................................... %

D3 Le sedici classi di una scuola stanno organizzando delle partite di calcetto con una squadra per classe. Vorrebbero organizzare un campionato in cui ogni squadra gioca una sola volta con tutte le altre.

a. Quante partite dovrebbero essere giocate in tutto? A. 32 B. 120 C. 240 D. 256

b. Dato il gran numero di partite da giocare invece che il campionato gli organizzatori propongono un torneo ad eliminazione diretta, in cui chi perde non gioca più e chi vince passa il turno e gioca con un’altra squadra vincitrice, fino ad arrivare alla finale. Quante partite si dovrebbero giocare in questo caso?

Risposta: .......................... 15 PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

DATI E PREVISIONI

120

12 10

100 80

Dicembre

Ottobre

Novembre

Settembre

Agosto

Luglio

−20 −40 −60

Giugno

20 0

Maggio

4 2 Aprile

Marzo

Febbraio

Precipitazioni (mm) Temperature (°C) Temperature (°C)

140

Gennaio

Precipitazioni (mm)

D4 Il seguente grafico rappresenta l’andamento climatico di una località sciistica italiana:

−2 −4 −6

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

Il mese più piovoso è luglio

I mesi più freddi sono febbraio e marzo

Il mese meno piovoso è dicembre

Nel mese più piovoso cadono più di 100 mm di pioggia

D5 Alessia e Giacomo, che abitano a Roma, decidono di andare a Rimini in treno. Non essendoci una linea diretta devono fare un cambio a Bologna. Di seguito sono riportati alcuni degli orari dei treni da Roma a Bologna e da Bologna a Rimini: Treno 9572 588 9416 9418 9526

Partenza da Roma Termini 10:05 10:30 10:35 10:50 11:20

Arrivo a Bologna 12:20 14:43 12:50 13:05 13:36

Treno 1545 8889 11539 8891 609

Partenza da Bologna 12:25 12:42 13:35 13:42 14:00

Arrivo a Rimini 13:48 13:34 15:01 14:34 15:08

a. Quale combinazione di treni permette ad Alessia e Giacomo di arrivare prima a Rimini?

Risposta: Alessia e Giacomo devono prendere a Roma il treno .......................... 9572 e a Bologna il

b. Quale tra queste combinazioni di treni permette ad Alessia e Giacomo di fare il viaggio da Roma a Rimini nel più breve tempo possibile?

8889 ..........................

A. 9572 e 1545 B. 9416 e 11539 C. 9418 e 8891 D. 9526 e 8891 PRONTI PER L'INVALSI

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DATI E PREVISIONI D6 In una scuola viene fatto un sondaggio per valutare quali corsi pomeridiani attivare. Il risultato viene riportato nella seguente tabella: Attività

Preferenze (n)

Attività sportive

Laboratorio teatrale

Strumento musicale

Laboratorio di informatica

Quale dei seguenti grafici può rappresentare la distribuzione delle preferenze? 1

A. Grafico 1

B. Grafico 2

C. Grafico 3

D. Grafico 4

D7 È Halloween, quattro bambini vestiti da Fantasma, Mummia, Strega e Zombie sono intenti a fare «dolcetto o scherzetto», ma poiché litigano sempre su chi deve essere il primo o il secondo decidono di seguire questa semplice regola: a ogni casa a cui suonano il campanello per chiedere i dolcetti dovranno utilizzare un ordine differente da ognuno dei precedenti ed, entro la serata, dovranno aver esaurito tutte le possibili combinazioni.

a. In quanti modi si possono disporre in ordine Fantasma, Mummia, Strega e Zombie? A. 4 B. 8 C. 16 D. 24

b. Ipotizzando che impieghino 5 minuti per ogni casa dopo quante ore avranno terminato?

Risposta: .......................... ore 2

D8 Matteo scommette delle figurine coi suoi compagni. Lunedì vince 22 figurine, martedì ne perde 19, mercoledì e giovedì ne perde 7 al giorno e venerdì ne vince solo una. Quante figurine ha vinto o perso mediamente ogni giorno?

2 perde mediamente .......................... Risposta: Matteo .......................... figurine al giorno.

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Allenamento

DATI E PREVISIONI

D9 Il seguente profilo altimetrico rappresenta una delle quattro sezioni della successiva carta in rilievo di una zona appenninica: 2200

Quota (m)

2150 2100 2050 2000 1950 1900 Distanza

A quale delle sezioni corrisponde il profilo altimetrico? A. Sezione A B. Sezione B C. Sezione C D. Sezione D

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Allenamento

DATI E PREVISIONI D1 Zia Eleonora ha la passione per le rose. Coltiva cespugli di rose rosse, bianche, rosa e gialle. Il seguente grafico rappresenta la distribuzione delle rose nei diversi colori:

Gialle

Bianche Rosse Rosa

Che percentuale rappresentano le rose bianche rispetto al totale?

12, 5 Risposta: ............................................... %

D2 Un pacchetto di caramelle contiene 8 caramelle al limone 4 all’arancia e 2 alla fragola.

a. Qual è la probabilità (in frazione) di estrarre casualmente una caramella alla fragola? 1 7 Risposta: .......................... b. Quante caramelle alla fragola bisognerebbe aggiungere al pacchetto per fare in modo che la probabilità di estrarre casualmente una caramella alla fragola sia del 40%? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

D3 Il papà di Massimiliano vuole comprare un’automobile. Il modello che ha scelto è disponibile in diverse versioni: può scegliere tra sei diversi colori per la carrozzeria, tre diversi colori per gli interni e tre diversi set di accessori. Quante sono le possibili versioni del modello d’auto scelto dal papà di Massimiliano?

A. 12 B. 18 C. 36 D. 54

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DATI E PREVISIONI D4 Cinque cuginetti decidono di misurare la loro statura e la segnano su un foglio:

Michele Nad ia Ores te Pao lino Rebecca

1,55 m 1,37 m 1,45 m 1,25 m 1,38 m

Quale valore rappresenta la mediana? A. 1,37 m B. 1,38 m C. 1,40 m D. 1,45 m

D5 Nel sistema di misurazione anglosassone 12 pollici (inches) corrispondono a un piede (foot) e 3 piedi a una iarda (yard). Micheal, che viene da Londra, dice che per arrivare all’altezza di due iarde gli mancano un piede e un pollice.

a. Completa la seguente frase.

4 11 Michael è alto .......................... piedi e .......................... pollici.

b. Se un pollice equivale circa a 2,5 cm, quanto potrebbe essere alto all’incirca Michael?

A. 148 cm B. 158 cm C. 168 cm D. 178 cm

D6 Il professore di scienze motorie della 3a B organizza una gara di salto in alto e segna i risultati ottenuti per i maschi e le femmine. Le 12 femmine della classe saltano mediamente 90 cm, gli 8 maschi 110 cm. Qual è la media dei risultati dell’intera classe?

A. 96 cm B. 98 cm C. 100 cm D. 102 cm PRONTI PER L'INVALSI

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DATI E PREVISIONI D7 Il seguente grafico rappresenta il flusso migratorio della popolazione in Italia:

Immigrati Emigrati 600

Persone (in migliaia)

500 400 300 200 100 0

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 Anno

Osserva il grafico e indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

V a

Nel 2006 sono giunti in Italia circa 300 immigrati

Nel 2016 si è avuto il maggior rapporto tra immigrati ed emigrati

Dal 2011 al 2016 il numero di emigrati è sempre aumentato rispetto all’anno precedente

Negli anni considerati il numero di immigrati è sempre stato maggiore di quello degli emigrati

D8 Due sacchetti contengono rispettivamente 20 e 30 biglie. Nel primo sacchetto il 20% delle biglie sono bianche, mentre nel secondo l’80% delle biglie sono bianche. Unendo il contenuto dei due sacchetti in qual è la probabilità di estrarre casualmente una biglia bianca?

A. 28% B. 50% C. 56% D. 60%

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DATI E PREVISIONI

D9 Tommaso e Vittorio giocano con i dadi. Tommaso lancia due dadi a 6 facce e somma il punteggio ottenuto, Vittorio lancia un solo dado a dodici facce.

Chi ha la maggiore probabilità di fare come punteggio 12? 1 1 2 1 A. Tommaso perché la sua probabilità di fare 12 è 6 + 6 = 6 , mentre per Vittorio è 12 1 1 1 11 1 B. Tommaso perché la sua probabilità di fare 12 è 6 + 6 - 36 = 36 , mentre per Vittorio è 12 1 C. Nessuno, infatti hanno entrambi 12 di probabilità che il punteggio sia 12. 1 1 1 1 D. Vittorio perché la sua probabilità di fare 12 è 12 , mentre per Tommaso è 6 $ 6 = 36

D10 Di seguito sono riportati i dati meteorologici di una settimana del mese di maggio relativi a una località italiana: Temperatura minima (°C) 14 15 13 12 9 11 11

Giorno 11 12 13 14 15 16 17

Temperatura massima (°C) 23 23 24 21 19 20 22

71% 78% 77% 74% 58% 60% 65%

Abbina a ciascun grafico la serie di dati a cui11si riferisce. 1211 1312 1413 1514 1615 1716 1

11 1211 1312 1413 1514 1615 1716 17

Umidità (%)

Temperatura minima (°C) 4

11 1211 1312 1413 1514 1615 1716 17

11 17 1211 1312 1413 1514 1615 1716 17 11 1211 1312 1413 1514 1615 1716

Temperatura massima (°C) 2

Vento max (Km/h) 18 17 13 22 26 18 16

Umidità 3 (%)

11 1211 1312 1413 1514 1615 1716 17

Vento max 1 (Km/h)

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DATI E PREVISIONI

Alunni

D1 La professoressa di geografia chiede agli alunni della 3a C quanti stati esteri hanno visitato negli ultimi tre anni. Dalle risposte degli alunni costruisce il seguente grafico: 12 10 8 6 4 2 0

Stati visitati

a. Quanti alunni hanno visitato più di uno stato estero?

9 Risposta: ..........................

b. Che frazione di alunni non ha visitato neanche uno stato estero? 1 A. 3 2 B. 3 3 C. 5 2 D. 5

D2 La media dei voti di matematica di Simone è di 7,7. Ha avuto cinque valutazioni: un 6,5, un 7, un 8, un 8,5, ma non si ricorda la quinta valutazione. Qual è il quinto voto che rende la media pari a 7,7?

8, 5 Risposta: ...............................................

D3 In una classe di 16 alunni 10 hanno studiato e 6 no. L’insegnante di scienze ha l’abitudine di estrarre a sorte gli alunni da interrogare.

a. Qual è la probabilità (in frazione) di estrarre un alunno preparato? 5 8 Risposta: .......................... b. Nel caso invece volesse interrogare due alunni, qual è la probabilità che entrambi siano preparati? 3 A. 8 5 B. 16 19 C. 40 1 D. 2 PRONTI PER L'INVALSI

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DATI E PREVISIONI

Numero alunni

D4 Il seguente grafico rappresenta la distribuzione dei risultati ottenuti dagli alunni della 3aA nella prova Invalsi di Matematica dello scorso anno: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Livello

a. Qual è la media dei livelli ottenuto dalla classe?

A. 2,5 B. 2,8

C. 3 D. 3,2

b. Qual è la probabilità, espressa come frazione, che scegliendo un alunno a caso abbia avuto una valutazione inferiore a 3? 7 20 Risposta: ..........................

D5 In un sacchetto ci sono 4 caramelle alla menta e 2 alla fragola.

a. Qual è la probabilità di estrarre casualmente una caramella alla menta? 1 A. 2 1 B. 3 1 C. 4 2 D. 3 b. Come calcoleresti invece la probabilità che estraendo due caramelle siano entrambe alla fragola? 2 2 A. 6 + 6 2 2 B. 6 $ 6 2 1 C. 6 + 6 2 1 D. 6 $ 5 PRONTI PER L'INVALSI

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DATI E PREVISIONI D6 La seguente carta altimetrica riporta alcuni sentieri di montagna:

210

2000

0m 210

0 21

2200 m D B

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V

Il dislivello tra A e C è di circa 200 m

Per andare da E a C prima si sale poi si scende di quota

Il tratto più ripido è il sentiero che va da B a C

Il tratto col maggiore dislivello è quello che va da A a D

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DATI E PREVISIONI

D7 Di seguito è riportato il certificato delle competenze di Letizia. I livelli di competenza degli alunni sono indicati con livelli da D (iniziale) ad A (avanzato): Competenze chiave europee

Livello

Comunicazione nella madrelingua o lingua di istruzione

Comunicazione nelle lingue straniere

Competenza matematica e competenze di base in scienza e tecnologia

Competenze digitali

Imparare ad imparare

Competenze sociali e civiche

Spirito di iniziativa e imprenditorialità

Consapevolezza ed espressione culturale

a. Qual è la moda dei livelli di competenza? A. A B. B C. C D. D b. È possibile calcolare la media dei livelli di competenza? A. Sì B. Sì, ma solamente assegnando un valore numerico a ogni lettera C. Sì, perché ai livelli è già assegnato un valore numerico D. No, poiché i livelli sono dati qualitativi e non quantitativi

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RELAZIONI E FUNZIONI D1 Massimo colleziona modellini di auto di Formula 1. Quello che gli piace di più è il modellino di una Ferrari dell’82. Ne ha uno in scala 1 : 18 che è lungo 25 cm.

a. Quanto potrebbe essere lunga in realtà l’automobile?

A. 3,6 m

B. 4,5 m

C. 5,4 m

D. 6 m

b. Massimo ha anche un modellino in scala 1 : 50 di un’auto che nella realtà è lunga 4 m. Quanto è lungo il modellino?

8 Risposta: .......................... cm

D2 Osserva il seguente figura piana pentagonale, formata dalla combinazione di un rettangolo e un triangolo isoscele:

2 4

Qual è la formula che esprime il perimetro della figura piana?

A. 2p = 8 + 2x

B. 2p = 12 + 2x

C. 2p = 16 + 2x

D. 2p = 12 + 3x

D3 Se n è un numero dispari qualsiasi, quale delle seguenti operazioni non dà mai come risultato un numero dispari?

A. n 2 + 1

B. 2 $ n + 1

C. 3 $ n

D. 5 $ n + 2 PRONTI PER L'INVALSI

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RELAZIONI E FUNZIONI

D4 Carlo, che è pasticciere, quando prepara delle torte usa una quantità di impasto (in grammi) pari a: q = 2, 5 . d 2 dove d è il diametro (in cm) della tortiera utilizzata. In genere usa tortiere da 24 cm, ma l’altro giorno ha dovuto utilizzarne una da 36 cm. Poiché il diametro della tortiera è aumentato di 1,5 volte, di quante volte sarà aumentata in proporzione la quantità di impasto?

A. 1,5 volte

B. 2 volte

C. 2,25 volte

D. 3 volte

D5 Osserva le seguenti figure:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

...

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

Fig. 8

e si continua allo stesso modo la sequenza delle figure da quanti quadretti sarebbe composta S la figura 8?

36 Risposta: ..........................

D6 Se T T = & & & quale delle seguenti uguaglianze è falsa?

A. & & & & & & = T T T T

B. T T T T = & & & T T

C. T T T T T T = & & & & & & T T T

D. T T T T T T = & & & T T T T

PRONTI PER L'INVALSI

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RELAZIONI E FUNZIONI D7 Una ditta che vende prodotti on line applica le spese di spedizione solo sugli ordini inferiori a € 50. Il seguente grafico rappresenta il costo complessivo per l’acquisto di DVD (che hanno tutti lo stesso prezzo) in funzione del numero di DVD acquistati. 96 88 80

Spesa complessiva (€)

72 Lorem ipsum

64 56 48 40 32 24 16 8 0

9 10 11 12 13

Numero DVD

Osserva il grafico e completa la frase.

8 Ogni DVD costa € .......................... e le spese di spedizione per ordini inferiori a € 50 ammontano a € .......................... . 12

D8 Quando Paolo va in bicicletta parte da casa, arriva fino al circuito, fa un certo numero di giri poi torna a casa seguendo lo stesso percorso dell’andata.

a. Sapendo che il circuito è lungo 400 m e che la casa di Paolo dista 700 m dal circuito, qual è la formula che permette di stabilire quanti metri ha percorso Paolo (d) in funzione del numero di giri (n) del circuito?

A. d = 400 + 700 $ n

B. d = 700 + 400 $ n

C. d = 1300 $ n

D. d = 1400 + 400 $ n

b. Se un giorno Paolo fa 12 giri, quanti km ha complessivamente percorso?

Risposta: .......................... 6, 2 km PRONTI PER L'INVALSI

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RELAZIONI E FUNZIONI

D9 Il seguente grafico rappresenta le velocità di un’automobile tenute durante un tragitto: 120

Velocità (km/h)

100 80 60 40 20 0

Tempo (min)

I ndica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

Il viaggio è durato 80 minuti

Durante il tragitto l’automobile si è fermata almeno una volta

La velocità massima non ha superato i 110 km/h

Al tempo t = 20 minuti, l’automobile procedeva a velocità costante

D10 Nella seguente figura è rappresentato un rettangolo del perimetro di 560 cm: D

3 4 x A

Quale delle seguenti equazioni permette di calcolare la base x del rettangolo? 3 A. x + 4 x = 560 3 B. 4 x 2 = 560 3 C. 2 ` x + 4 x j = 560 3 D. x + 4 x = 560 $ 2 PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

RELAZIONI E FUNZIONI D1 Osserva le seguenti figure:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

...

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

Fig. 8

Fig. 9

a. Se si continua allo stesso modo la sequenza delle figure da quanti quadretti sarebbe composta la figura 9?

Risposta: .......................... 81

b. Una figura con 210 quadretti potrebbe appartenere alla sequenza?

A. Sì, perché è pari a 21 # 20 | 2

B. Sì, perché è uguale alla somma di tutti i numeri da 1 a 20

C. No, perché il numero non è un quadrato perfetto

D. No, perché è un numero pari

D2 Nella seguente figura è rappresentato un trapezio isoscele del perimetro di 84 cm: D

Quale delle seguenti equazioni permette di calcolare il lato obliquo x del trapezio?

A. x + 2x = 36 + 84

B. 4x + 36 = 84

C. x + 2x + x = 84 + 36

36 cm

D. x ^36 + 2xh | 2 = 84

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RELAZIONI E FUNZIONI

D3 Roberto e Simona sono nel laboratorio di fisica: Roberto fa muovere un oggetto lungo un percorso e Simona prende i dati della posizione dell’oggetto per un minuto. Simona ha prodotto poi il seguente grafico: 140 120

Distanza (cm)

100 80 60 40 20 0

Tempo (secondi)

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

A 10 secondi l’oggetto sta accelerando

Tra 20 e 40 secondi l’oggetto è fermo

A 50 secondi l’oggetto è tornato nella posizione di partenza

A 45 secondi la velocità è maggiore che a 15 secondi

D4 Anna pensa un numero x. Al numero somma il doppio e il quadruplo del numero stesso e ottiene 840. Come completeresti l’equazione che permette di calcolare il numero x? 7 ..........................

x = 840

D5 Matteo e Christian costruiscono con dei mattoncini cubici delle torri a base quadrata. Matteo ne costruisce una avente lo spigolo di base di 10 cm e alta 90 cm. Con lo stesso numero di pezzi Christian ne costruisce un’altra avente lo spigolo di base triplo. Quale sarà l’altezza della torre di Christian?

10 Risposta: .......................... cm PRONTI PER L'INVALSI

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RELAZIONI E FUNZIONI D6 Tommaso ha la febbre. Alle 8:00 di stamattina aveva 38,0 °C, tre ore dopo la temperatura è salita di 0,5 °C e alle 14:00 era di 39,0 °C. Quattro ore dopo la temperatura è scesa di 1,5 °C e finalmente alle 21:00 è arrivata a 37,00 °C. Quale dei seguenti grafici rappresenta l’andamento della temperatura di Tommaso? Grafico 2

39,5

Temperatura (°C)

Grafico 1

38,5 38 37,5 37 36,5 08:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00

Ora

Ora Grafico 4 39,5

Temperatura (°C)

Grafico 3 39,5

38,5 38 37,5 37 36,5 08:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00

Ora

38,5 38 37,5 37 36,5 08:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00

Ora

A. Grafico 1 B. Grafico 2 C. Grafico 3 D. Grafico 4

D7 Se n è un numero pari qualsiasi, quale delle seguenti operazioni dà sempre come risultato un numero dispari?

A. n | 2

B. 5 $ n

C. n 2 | 2 + 1

D. 3 $ n + 2 PRONTI PER L'INVALSI

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RELAZIONI E FUNZIONI

D8 Osserva la seguente figura che rappresenta il rettangolo ADEF inscritto nel triangolo isoscele rettangolo ABC: C

10 F

45° A

Sapendo che i lati AB e AC del triangolo misurano 10 cm e il lato AD del rettangolo misura x, qual è la formula che permette di trovare l’area del rettangolo?

A. A = 10 $ x

B. A = x $ ^10 - xh C. A = 100 - x 2

D. Non è possibile con i dati a disposizione calcolare l’area del rettangolo

D9 Dati due numeri naturali n e m si sa che il prodotto di n per il successivo di m è un numero dispari.

Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?

A. n è pari ed m è dispari

B. m è pari ed n è dispari

C. Sono entrambi dispari

D. Sono entrambi pari

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

RELAZIONI E FUNZIONI D10 Elisa e Valeria vanno a correre tre volte alla settimana nel circuito vicino casa e percorrono lo stesso numero di giri. Elisa fa cinque giri nello stesso tempo in cui Valeria ne fa sei, per cui per finire nello stesso tempo Valeria parte quando Elisa ha già effettuato 4 giri.

a. Dopo quanti giri Elisa e Valeria terminano il loro allenamento?

A. 24

B. 26

C. 30

D. 34

b. Qual può essere il grafico che rappresenta l’andamento delle due amiche? Elisa

Grafico 2

Valeria

Distanza percorsa (km)

Grafico 1

10 8 6 4 2 0

10 8 6 4 2

Tempo (minuti)

Grafico 3

Elisa

Tempo (minuti)

Grafico 4

Valeria

Distanza percorsa (km)

Valeria

0 0

10 8 6 4 2 0

Elisa

Valeria

10 8 6 4 2 0

Tempo (minuti)

A. Grafico 1 B. Grafico 2 C. Grafico 3 D. Grafico 4

Elisa

PRONTI PER L'INVALSI

Tempo (minuti)

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RELAZIONI E FUNZIONI

D1 Al cinema XYZ le proiezioni dei film costano tutte € 5,00. Attivando la tessera XYZ ogni tre biglietti acquistati il quarto è gratis. Quale dei seguenti grafici rappresenta la relazione tra il costo complessivo in euro e il numero di biglietti acquistati? Grafico 1

Grafico 2 60

45 40

Costo complessivo (€)

35 30 25 20 15

10 10 5 0

0 0

Biglietti (n)

Grafico 3

Grafico 4 60

45 40

Costo complessivo (€)

35 30 25 20 15

10 10 5 0

0 0

Biglietti (n)

A. Grafico 1 B. Grafico 2 C. Grafico 3 D. Grafico 4 PRONTI PER L'INVALSI

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RELAZIONI E FUNZIONI D2 In uno schiaccianoci la forza da applicare (P) per rompere una noce con resistenza (R) è regolata dalla relazione: P $ bP = R $ bR dove b R è il braccio della resistenza e b P è il braccio della potenza. P

bR bP

a. Qual è la potenza (in kg) da applicare per rompere una noce che ha resistenza R = 20 kg , in uno schiaccianoci con b R = 4 cm, b P = 16 cm per rompere una noce?

5 Risposta: .......................... kg

b. Cosa accadrebbe se uno schiaccianoci avesse la lunghezza del braccio della potenza doppia rispetto a quello precedentemente utilizzato?

A. La potenza dimezzerebbe

B. La potenza raddoppierebbe

C. Il braccio della resistenza dovrebbe dimezzare

D. La resistenza dovrebbe dimezzare

D3 Osserva la seguente figura ABCDEF, ottenuta ritagliando il quadrato DCKE dal quadrato ABKF: E

x D

Sapendo che il lato AB è lungo 8 cm, mentre il lato CK è lungo x, quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A. L’area della figura ABCDEF è A = 64 - x 2

B. La lunghezza del lato DC è x

C. Il perimetro della figura ABCDEF è pari a 2p = 32 - 4x

D. Il segmento FE è lungo 8 - x PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

RELAZIONI E FUNZIONI D4 Osserva le seguenti figure:

...

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

...

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

e si continua allo stesso modo la sequenza delle figure da quanti quadretti sarebbe composta S la figura 7?

A. 49

B. 70

C. 75

D. 85

D5 Nella seguente figura Ă¨ rappresentato un rettangolo di area 72 cm2 e perimetro 36 cm: D

Quale delle seguenti equazioni non permette di calcolare la base x del rettangolo? x A. x + 2 = 36 x2 B. 2 = 72 x C. x + 2 = 18 D. x 2 = 144

PRONTI PER L'INVALSI

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RELAZIONI E FUNZIONI D6 Dati tre qualsiasi numeri naturali consecutivi, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

la loro somma è sempre pari

la loro somma è sempre dispari

la loro somma è sempre divisibile per 3

il loro prodotto è sempre divisibile per 6

D7 Daniele è un appassionato di escursioni nel verde. Sabato scorso ne ha fatta una e al termine della camminata la app del suo smartphone che misura il percorso effettuato dava questa schermata: 3,5 3

Percorso (km)

2,5 2 1,5 1 0,5 0

Tempo (minuti)

a. Quanto tempo ha impiegato Daniele a percorrere il primo chilometro?

15 Risposta: .......................... minuti

b. Quale potrebbe essere la velocità media tenuta da Daniele nell’intero percorso?

A. Compresa tra 1,5 e 2 km/h

B. Compresa tra 2 e 2,5 km/h

C. Compresa tra 2,5 e 3 km/h

D. Compresa tra 3 e 3,5 km/h

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RELAZIONI E FUNZIONI D8 Stefano e Raffaele frequentano la stessa piscina che applica i seguenti prezzi: Iscrizione annuale

Ingresso

€ 15,00 -

€ 6,50 € 8,00

Offerta A: Offerta B:

a. Stefano ha scelto l’offerta A, mentre Raffaele l’offerta B. Un giorno, andando in piscina assieme, si accorgono di aver effettuato lo stesso numero di ingressi ed aver complessivamente pagato la stessa cifra. Quanti ingressi hanno fatto?

10 Risposta: .......................... ingressi

b. Qual è la formula che permette di calcolare il costo complessivo degli ingressi secondo l’offerta A indicando con n il numero degli ingressi e con C il costo?

A. C = 15 - ^8 - 6, 5h $ n B. C = 15 + 6, 5 $ n

C. C = 15 $ n + 6, 5 $ n

D. C = 15 $ n + 6, 5

D9 Dati quattro numeri consecutivi, indica quale delle seguenti affermazioni è falsa.

A. La loro somma è sempre pari, infatti 2 + 3 + 4 + 5 = 14

B. Il loro prodotto è multiplo di tre, infatti 2 $ 3 $ 4 $ 5 = 120

C. la differenza tra la somma degli ultimi due e la somma dei primi due è sempre uguale a uno stesso numero, infatti ^4 + 5h - ^2 + 3h = 9 - 5 = 4 , ma anche ^8 + 9h - ^6 + 7 h = 17 - 13 = 4

D. Il loro prodotto è sempre multiplo di cinque, infatti 2 $ 3 $ 4 $ 5 = 120

PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

RELAZIONI E FUNZIONI D1 Osserva la seguente carta topografica in scala 1 : 25 000.

a. Qual è la distanza in linea d’aria tra i punti A e B segnati sulla carta?

Risposta: .......................... 1, 75 km

(accettato da 1, 7 a 1, 8)

b. Se la stessa distanza fosse riportata in una scala 1 : 10 000, di quanto sarebbe la distanza rispetto alla scala 1 : 25 000?

A. 4 volte minore

B. 2,5 volte minore

C. 2,5 volte maggiore

D. 4 volte maggiore

D2 In un negozio di abbigliamento applica la seguente offerta: «Ogni due pezzi acquistati quello che costa meno lo paghi la metà». Chiara, Daria ed Eleonora entrano subito nel negozio e comprano ciascuna due capi di abbigliamento:

- Carla: un maglione da € 100 e una sciarpa da € 20; - Daria: una maglia da € 90 e un portafogli da € 30; - Eleonora: una gonna da € 80 e una camicia da € 40.

a. Quale delle tre amiche spenderà meno?

A. Carla

B. Daria

C. Eleonora

D. Nessuna, spendono tutte la stessa cifra

b. In base a quanto riportato nell’offerta qual è lo sconto massimo possibile in percentuale?

25 Risposta: .......................... % PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

RELAZIONI E FUNZIONI D3 Osserva il seguente grafico che rappresenta il moto di due oggetti lungo un percorso rettilineo: 35 30

Distanza (cm)

25 20

Oggetto A

Oggetto B

10 5 0

Tempo (secondi)

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

V a

L’oggetto A ha cambiato direzione dopo 4 secondi

L’oggetto B è partito 4 secondi dopo l’oggetto A

L’oggetto B ha accelerato tra i 4 e i 9 secondi

La massima velocità è stata raggiunta dall’oggetto B dopo i 9 secondi

D4 Sul retro di una confezione di cornflakes sono riportati i seguenti valori nutrizionali: VALORI NUTRIZIONALI ED ENERGETICI Alimenti Cornflakes Proteine 6,6 g Lipidi 0,8 g Carboidrati 87,4 g Zuccheri solubili 10,4 g Fibra totale 3,8 g Energia 361 kcal - 1512 kj

Qual è il valore energetico di una porzione di cornflakes da 30 g?

A. circa 108 kcal

B. circa 120 kcal

C. circa 450 kcal

D. oltre 10 000 kcal PRONTI PER L'INVALSI

Allenamento

RELAZIONI E FUNZIONI D5 Osserva il seguente solido costituito dal cubo di lato a, a cui è stata tolta una sezione a forma di prisma quadrangolare regolare con lato di base pari a b: a

Qual è la formula che esprime il volume del solido?

A. V = a 3

B. V = a 3 - b 3

C. V = a 3 - ab 2

D. V = a 3 - b 2

D6 Di seguito è riportato il grafico che rappresenta l’andamento delle maree a Venezia: 200

E A

80 40

24/03

25/03

2:00

23:00

20:00

17:00

14:00

11:00

8:00

5:00

2:00

17:00

− 40

23:00

120

20:00

Marea (cm)

160

26/03

a. Osserva il grafico e completa la frase.

Nel periodo considerato la marea più bassa è indicata dal punto .......................... , mentre quella massima O E dal punto .......................... . b. Quale potrebbe essere il massimo della marea raggiunto nel punto C?

110 Risposta: .......................... cm PRONTI PER L'INVALSI

(accettato da 105 a 115)

Allenamento

RELAZIONI E FUNZIONI D7 Se n è un numero naturale qualsiasi, quale delle seguenti operazioni dà sempre come risultato un numero dispari?

A. 2 $ n + 2

B. 2 $ n + 3

C. 3 $ n + 2

D. 3 $ n + 3

D8 Hu gioca con il teatro delle ombre cinesi:

Torcia

Figura

Ombra

50 cm 3m

Se la figura è alta 20 cm, quanto sarà alta lʼombra proiettata sulla parete?

120 Risposta: .......................... cm

D9 Nella seguente immagine è rappresentato un triangolo ottusangolo: C

h=4

H A

A. AC = 3 + x

B. AC = 4 2 + 3 2 + x 2

Come calcoleresti la lunghezza del lato AC in funzione della misura x del segmento BH?

3 cm

C. AC = 4 2 + ^3 + xh2 D. AC =

x2 + 42

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D1 Il rubinetto di casa di zio Archimede non si chiude bene e goccia sempre. Ieri sera prima di andare a dormire zio Archimede ha messo una caraffa graduata sotto il rubinetto e la mattina seguente, dopo esattamente 10 ore, il livello dell’acqua della bottiglia segnava circa 1,2 litri.

Sapendo che ogni minuto cadono mediamente 10 gocce, qual è il volume di una goccia?

A. 0,2 ml

B. 0,5 ml

C. 0,6 ml

D. 1,2 ml

D2 Osserva la seguente figura costruita in modo tale che ogni triangolo inscritto ha i vertici sui punti medi del triangolo circoscritto:

Sapendo che l’area verde è 156 cm2 calcola l’area gialla della figura.

Risposta: .......................... cm2 36

D3 Quattro amici vanno a giocare a tennis e decidono di fare un doppio.

In quanti modi diversi possono formare le due coppie?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

D4 Quanto vale la metà di 216?

A. 116

B. 24

C. 28

D. 215 PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D5 Osserva le seguenti figure:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

...

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

Fig. 8

Fig. 9

Fig. 10

a. Se si continua allo stesso modo la sequenza delle figure da quanti quadretti sarebbe composta la figura 10?

Risposta: .......................... 110

b. Se il lato di ogni quadretto Ă¨ lungo 1 cm, quanto misura il perimetro della figura 10?

A. 40 cm

B. 42 cm

C. 68 cm

D. 84 cm y

D6 Associa ciascuna delle seguenti funzioni al rispettivo grafico. x

y = 4$x

y = 12 - x

A y

B-2 .................................................... y

A-4 .................................................... y

y = 2$x+6

B y

12 y= x

4 C

D y

C-1 ....................................................

D-3 ....................................................

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D7 Osserva la seguente figura: D

Qual è la formula che esprime l’area della figura ABCD? A. A = 2 $ ^6 + xh

B. A = 7 + x

C. A = 12 + x + 4 2 + x 2

D. A = 4 $ ^3 + xh

D8 Osserva il seguente solido, da quanti cubetti è formato?

75 Risposta: ..........................

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D9 In una classe viene chiesta agli alunni la meta principale delle loro vacanze estive. Il grafico che riassume i risultati dell’indagine è il seguente: Mare Montagna Campagna Città

Qual è la serie di dati che corrisponde all’areogramma? Località Mare Montagna Campagna Città

N° alunni 11 7 4 2 A.

Serie 1

N° alunni 11 8 3 2 B.

Serie 2

N° alunni 10 8 4 2 C.

Serie 3

N° alunni 9 7 5 3 D.

Serie 4

D10 Di seguito è riportato l’andamento del numero di iscritti per anno scolastico di un Istituto Comprensivo: 1600

N° iscritti

1500 1400 1300 1200 1100 1000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020 Anno scolastico

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

Dal 2004 al 2015 ogni anno l’istituto ha registrato un aumento del numero di alunni

Il minino numero di iscritti si è avuto nel 2017

Nel 2008 gli iscritti erano circa 1250

Nei 10 anni tra il 2008 e il 2018 il numero di iscritti è aumentato di più di 300 unità

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D11 Emanuele si allena al tiro con l’arco tre volte alla settimana, il lunedì il mercoledì e il venerdì. La scorsa settimana ha realizzato i seguenti centri: Giorno Lunedì Mercoledì Venerdì

N° tiri 50 70 80

N° centri 20 42 64

Percentuale 40% 60% 80%

Qual è la percentuale complessiva dei centri realizzati la scorsa settimana?

63 Risposta: .......................... %

D12 I professori di due diverse scuole calcolano i voti dei test nei seguenti modi (P è la percentuale di risposte esatte): P v = 10 8$P v = 2 + 100

Scuola A Scuola B

a. Alice frequenta la scuola A e Beatrice la scuola B. Entrambe nei loro compiti hanno risposto esattamente all’80% delle domande. Completa l’affermazione (considera anche i decimi). 8 ..........................

8, 4 . , mentre quello di Beatrice è ..........................

Il voto di Alice è

b. Costanza che frequenta la scuola B ha preso soltanto un 6. Qual è stata la percentuale delle sue risposte esatte?

A. 50%

B. 56%

C. 60%

D. 64%

D13 Osserva i tre seguenti contenitori, tutti della stessa altezza e della capacità di due litri:

Se nei tre contenitori viene versato un litro d’acqua ciascuno, in quale dei tre contenitori il livello dell’acqua sarà più alto?

A. Contenitore A

B. Contenitore B

C. Contenitore C

D. Il livello sarà uguale nei tre contenitori PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D14 La pressione viene definita come il rapporto tra forza che agisce su una superficie e l’area della superficie, secondo la relazione: F P= A In un laboratorio, dopo aver effettuato una prova, il docente dice di eseguire un secondo esperimento applicando la stessa forza su una superficie 4 volte minore. Come varia la pressione?

A. Diminuisce di 16 volte

B. Diminuisce di 4 volte

C. Aumenta di 4 volte

D. Aumenta di 16 volte

D15 Osserva il seguente grafico cartesiano: y A

2 P B −8

−6

−4

−2

14 x

−2

−4

−6

Scrivi le coordinate del punto Al simmetrico rispetto al punto P. -4 ) Risposta: Al (.......................... ; .......................... +7

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D16 Osserva la seguente figura che rappresenta un triangolo rettangolo retto in A: C

7 cm A

3 cm Date le misure riportate sulla figura la lunghezza dell’ipotenusa BC è:

A. 3,5 cm

B. 4 cm

10 cm

52 cm

D17 In un centro estivo stanno raccogliendo le iscrizioni per la prossima stagione, finora si sono iscritti 50 alunni distribuiti per età secondo la seguente tabella:

a. Qual è la moda delle età?

.......................... 11

Risposta:

b. Qual è l’età media?

A. 10,0

B. 10,5

C. 10,9

D. 11,0 PRONTI PER L'INVALSI

Età

N° iscritti

PROVA SIMULATA D18 Dati due numeri naturali a, multiplo di 2, e b, multiplo di 3, quale delle seguenti affermazioni riguardanti il numero c = a . b + 1 è sempre vera?

A. c è pari

B. c è dispari

C. c è divisibile per 7

D. c è divisibile per 6

D19 È maggiore la probabilità che esca un 8 lanciando un dado a 8 facce o ottenere la somma 8 lanciando due dadi da 4?

Indica la risposta. 1 A. La probabilità è in entrambi i casi 8 . B. È maggiore con il dado a 8 facce perché la probabilità è 1 1 1 lamente 4 $ 4 = 16 . C. È maggiore con i due dadi da 4 perché la probabilità è 1 dado a 8 facce è 8 . D. È maggiore con i due dadi da 4 perché la probabilità è 1 facce è 8 .

1 8 , mentre con i due dadi da 4 è so1 1 1 1 7 4 + 4 - 4 $ 4 = 16 , mentre con il 1 1 2 4 + 4 = 4 , mentre con il dado a 8

D20 Morena sulla sua calcolatrice (non scientifica) svolge le seguenti operazioni in successione: 6-4 #2 +5 -6 #3 =

Quale delle seguenti espressioni ha calcolato? A. 6^6 - 4h # 2 + 5 - 6@ # 3 =

B. ^6 - 4h # ^2 + 5 - 6h # 3 =

C. ^6 - 4h # 2 + ^5 - 6h # 3 = D. 6 - 4 # 2 + 5 - 6 # 3 =

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D21 Un commerciante decide di liberarsi dei modelli di televisione dello scorso anno e li mette in vendita con il 30% di sconto. Visto che non è riuscito a vendere l’ultimo televisore che a prezzo intero costava € 800, decide di fare un ulteriore sconto del 20% sul prezzo già scontato.

Qual è il prezzo finale del televisore?

Risposta: .......................... € 448

D22 Una compagnia telefonica offre due diverse tariffe: l’offerta A con scatto alla risposta di 10 centesimi e poi 2 centesimi al minuto, l’offerta B di 4 centesimi al minuto, senza scatto alla risposta.

Quale dei seguenti grafici corrisponde correttamente alle due offerte?

Grafico 1

Offerta A

Grafico 2

Offerta B

Costo (centesimi)

16 14 12 10 8 6 4 2 0

25 20 15 10

0 2

Tempo (minuti)

Grafico 3

Offerta A

25 20 15 10 5

Grafico 4

Offerta B

Costo (centesimi)

Offerta B

Tempo (minuti)

Offerta A

Offerta B

25 20 15 10 5

0 0

Tempo (minuti)

A. Grafico 1 B. Grafico 2 C. Grafico 3 D. Grafico 4

Offerta A

20 18

PRONTI PER L'INVALSI

Tempo (minuti)

PROVA SIMULATA D23 Osserva la seguente figura, formata da due circonferenze secanti di raggio AH = 8 cm e CK = 6 cm :

Sapendo che CD e CB sono tangenti alla circonferenza di centro A, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a

Il quadrilatero ABCD è un rombo

La distanza tra i centri AC è di 14 cm

L’area del quadrilatero ABCD è di 48 cm2

La lunghezza del segmento BD è di 8 cm

D24 Osserva la seguente figura:

8 Se A vale 5 , quanto vale B? A. 2,5 B. 3 ,75 C. 4 D. 8 PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D25 Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). V a b

3 5 3 I 4 di 5 sono i 4 8 9 di 2,25 valgono 2

80 diminuito del 40% è uguale a 32

3 3 1 Il rapporto tra 8 e 4 è 2

D26 Osserva la seguente figura ABCDE inscritta nel quadrato OBCD di lato 20 cm: D

a. Determina il perimetro della figura ABCDE (usa r = 3, 14 ).

Risposta: .......................... 87, 1 cm

b. Quale calcolo permette invece di determinarne l’area? 3 A. A = 20 2 - 4 $ 20 $ r 3 B. A = 20 2 - 4 $ 20 2 $ r 3 C. A = 20 2 - 4 $ 10 2 $ r

D. A = 20 2 - 3 $ 10 2 $ r

D27 In una scuola un terzo degli alunni ha scelto si seguire il laboratorio di informatica, un quarto i corsi di atletica, un sesto il laboratorio teatrale e un dodicesimo quello di fotografia. Se 36 alunni non hanno scelto alcun laboratorio e gli altri hanno scelto un solo laboratorio ciascuno, quanti alunni sono iscritti alla scuola?

216 alunni Risposta: ..........................

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D28 Nel 2017 è stato scoperto un pianeta extrasolare a 15 000 anni luce dalla Terra, attorno a una piccola stella, la cui massa è circa 6 . 10 28 kg . Se la massa della Terra è 6 . 10 24 kg , di quante volte il pianeta extrasolare è più grande del nostro pianeta?

A. 4 volte B. 4 0 volte C. 4 000 volte

D. 10 000 volte

Percentuale (%)

D29 Un’associazione culturale propone una serie di corsi enogastronomici. Gli iscritti possono frequentare uno o più corsi e il grafico che segue mostra la loro distribuzione: 60 50 40 30 20 10 0

N° corsi frequentati

Se gli iscritti che frequentano 2 laboratori sono in tutto 12, quanti sono in tutto gli iscritti all’associazione?

60 Risposta: .......................... iscritti

D30 Chiara afferma che se a e b sono numeri primi allora anche a . b + 1 è un numero primo. Quale tra le seguenti è l’unica argomentazione che giustifica la risposta corretta?

Chiara ha ragione perché:

A. ad esempio, 2 e 11 sono numeri primi, 2 $ 5 + 1 fa 23 che è ancora un numero primo B. a d esempio, 6 e 8 non sono numeri, 6 $ 8 + 1 fa 49 che non è un numero primo

Chiara non ha ragione perché: C. ad esempio, 4 e 15 non sono numeri primi, ma 4 $ 15 + 1 fa 61 che è un numero primo

D. ad esempio, 2 e 7 sono numeri primi, ma 2 $ 7 + 1 fa 15 che non è un numero primo

PRONTI PER L'INVALSI

PROVA SIMULATA D31 Se x = - 1 , disponi in ordine crescente x, x 2 e x 3 . 2 x

D32 Osserva la seguente figura che rappresenta il deltoide ABCD: C 90°

D ?

45° A

apendo che l’ampiezza dell’angolo A è di 45° e quella dell’angolo C di 90°, l’ampiezza dell’anS golo B è di:

A. 112c 30l

B. 122c 50l

C. 135c

D. 245c

PRONTI PER L'INVALSI

PRONTI PER L'ESAME

Quesiti e problemi

Numeri

Spazio e figure

Dati e previsioni

Relazioni e funzioni

100

Prove dâ&#x20AC;&#x2122;esame

105

QUESITI E PROBLEMI

Numeri Allenamento 1 Risolvi le seguenti espressioni algebriche: a. 610 - 3 $ ^15 - 20h + ^3 - 7h@ | 65 - ^6 - 10h $ ^- 2 h - 4@ =

b. - 12 + 6- 8 + 26 | ^- 2h - 2 $ ^- 4h + 18 - 25@ | 65 + 3 $ ^- 3h - 8 | ^- 4h | ^- 2h@ = 17 5 1 35 2 2 1 11 c. $8` 6 - 2 j $ ` 3 - 6 j - ` 3 + 9 j | ` 4 - 12 j 13 7 1 5 3 1 3 8 d. 8` 6 - 10 + 5 j | ` 6 + 2 - 4 j + 6 B $ 8` 2 - 3 e. 65 $ 3 - ^3h3@3 | ^3 2 - 3 $ 7h2 + ^20 - 5 2 + 5 0h2 =

11 ` 1 . ` 2 31 8 B | - 2 j $ 3 - 15 j = 7 `1 4 1 6 j $ 4 - 5 - 20 jB =

f. ^6 4 | 6 3 - 5 2 - 5 1h2 | ^3 2 - 3 $ 5h2 + ^12 - 4 2h3 =

3 2 4 1 1 2 1 1 2 1 1 g. 8` 3 - 2 + 6 j - ` 6 - 2 j B | 8` 3 - 1 j - ` 3 - 1 j B = 2 -3 5 2 -1 3 1 2 1 -2 2 h. 82 $ ` - 3 j + ` - 2 j B + 8 2 | 5 - 3 $ ` - 3 j B =

[ - 3] [ - 8] 21 [- 4 ] 7 [- 6 ] [ + 4] [ - 48 ] 6 [- 5 ] 1 [+ 4 ]

Allenamento 2 Semplifica le seguenti espressioni letterali: a. 3 ^a - 5bh + a ^2b - 3h - 2b ^a - 5h + 6ab | ^- 2ah = b. 6^5a - 3bh^8a - 5bh + 7a ^7b - 5ah@ | 5 =

c. â + 3bh^2a - bh - 2a â - 7bh + 6a 2 b 2 | ^- 3abh - 3b ^3a - bh = d. ^3a - bh^3a + bh - â + 3bh^2a - bh - â - 3bh2 =

e. â - 2bh2 - a ^3 - 4bh + ^2a + 3bh^2a - 3bh - 5 â + bhâ - bh =

1 2 1 1 5 1 f. 2a ` 2 a + 3 j - ` 3 a + 2 j $ ` 2a - 2 j + a ` 2 - 3 a j = 2 5 5 4 5 10 15 1 g. ` - 3 ab j | ` 3 ab j + ` 4 a 2 b 2 - 8 a 2 b j | ` - 2 ab j + 8 a $ ` 3 b - 2 j = 2 2 2 2 2 5 5 3 h. ` 2 a - 3 b j` 2 a + 3 b j - ` 2 a - b j + 5b ` 9 b - 3 a j =

[ - 8b ] [ a 2 + 3b 2 ] [ + 8ab ] [6a 2 + ab - 7b 2 ] [ - 3a ] [ + 1] 1 [ - 2 ab ] 1 1 [ 4a 2 - 3 ab - 3 b 2 ]

Allenamento 3 Risolvi le seguenti equazioni e verificale: a. ^ x - 3h $ 4 - ^2x - 5h $ 3 = 6 $ ^2 - xh - 1 b. 5 ^ x + 2h = 7 ^2x - 1h - 4 ^3x + 1h

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

[ + 2] [- 7]

QUESITI E PROBLEMI Allenamento 4 Risolvi le seguenti equazioni e stabilisci se ciascuna è determinata, indeterminata o impossibile: a. 23x - 6 ^3x + 2h = 5 ^ x + 6h [impossibile] b. 2 ^3x - 2h - 3 ^ x + 1h = 3 ^ x - 1h - 4 [indeterminata] c. 5 ^ x + 2h = 6 ^2 - xh - 2 ^ x + 1h [0]

Allenamento 5 Risolvi le seguenti equazioni: a. ^ x - 1h^ x + 3h = x ^ x - 4h - 4 ^ x - 3h b.

3 [+ 2 ]

x + 2 2x + 1 4 - x 3x + 2 3 - 9 = 6 - 2

1 [- 2 ]

c. ^ x + 1h2 - ^ x - 2h2 = ^ x - 3h^ x + 3h - ^ x + 2h2 x ^3x - 1h 4 ^2x - 1h 3x ^2 + xh 6x 2 - 1 d. = + 8 2 3 4

[ - 1] 5 [ + 16 ]

Allenamento 6 Risolvi il seguente problema mediante un’equazione. 3 La somma di due segmenti è 84 cm e uno è i 4 dell’altro. Calcola la lunghezza dei due segmenti: [48 cm; 36 cm]

Allenamento 7 Risolvi il seguente problema mediante un’equazione. 2 La somma di tre segmenti è 77 cm. Calcola la lunghezza dei tre segmenti sapendo che il secondo è 3 del primo e il terzo supera il primo di 13 cm. [24 cm; 16 cm; 37 cm]

Allenamento 8 Risolvi il seguente problema mediante l’uso di equazioni. Il perimetro di un triangolo isoscele è 100 cm e la base supera ciascuno dei lati obliqui di 22 cm. Calcola l’area del triangolo. [240 cm 2 ]

Allenamento 9 Risolvi il seguente problema mediante l’uso di equazioni. 3 Un trapezio isoscele ha il perimetro di 210 cm. Calcola l’area del trapezio sapendo che la base minore è 5 1 della base maggiore e che ciascun lato obliquo è 4 della base maggiore. [1200 cm 2 ]

Allenamento 10 Risolvi il seguente problema mediante l’uso di equazioni. L’area laterale di un parallelepipedo rettangolo è 888 cm2, l’altezza è di 12 cm e una delle dimensioni di base supera l’altra di 3 cm. Calcola il volume del solido. [4080 cm 2 ]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI

Spazio e figure Allenamento 11 In un piano cartesiano, rappresenta il poligono di vertici: A ^- 5; + 3h B ^+ 7; + 3h C ^+ 7; + 8h a. Descrivi il poligono ABC ottenuto congiungendo i punti dati e classificalo in base ai lati e agli angoli.

[Il poligono ABC è un triangolo rettangolo scaleno, retto in B]

b. Calcola perimetro ed area del poligono ABC (considerando 1 u = 1 cm).

[ 2p = 30 cm; A = 30 cm 2 ]

c. Disegna il simmetrico di ABC rispetto all’asse x e scrivi le coordinate dei punti Al Bl Cl .

[ Al ^- 5; - 3h; Bl ^+ 7; - 3h; Cl ^+ 7; - 8h ]

d. Rappresenta la retta r che passa per il lato AB e scrivine l’equazione.

[soluzione grafica; y = + 3 ]

1 e. Rappresenta sullo stesso grafico la retta s di equazione y = - 5 x + 2 e verifica algebricamente che passa per il punto A. 1 [risolve l'equazione: + 3 = - $ ^- 5 h + 2 ] 5 f. Scrivi l’equazione della retta t parallela alla retta s e passante per l’origine degli assi.

1 [y = - 5 x]

Allenamento 12 un piano cartesiano, rappresenta il poligono di vertici: In A ^+ 4; - 2h B ^+ 9; - 2h C ^+ 6; + 2h D ^+ 1; + 2h a. Descrivi il poligono ABCD ottenuto congiungendo i punti dati.

[Il poligono è un rombo]

b. Calcola perimetro e area del quadrilatero considerando 1 u = 1 cm.

[ 2p = 20 cm; A = 20 cm 2 ]

c. Rappresenta il quadrilatero Al Bl Cl Dl simmetrico di ABCD rispetto all’origine e determina le coordinate dei punti Al , Bl , Cl e Dl . [soluzione grafica; Al ^- 4; + 2h; Bl ^- 9; + 2h; Cl ^- 6; - 2 h; Dl ^- 1; - 2 h ]

d. Disegna la retta r: y = - 2x + 6 . Individua il vertice del quadrilatero che appartiene alla retta r.

[soluzione grafica; il vertice A appartiene alla retta r]

e. Scrivi l’equazione della retta s perpendicolare alla retta r e passante per l’origine degli assi.

1 [y = 2 x]

Allenamento 13 un piano cartesiano traccia le rette di equazione r: y = 2x + 4 e s: y = - 3x + 9 . In a. Determina le coordinate del punto di intersezione A tra la retta r e l’asse delle x e del punto di intersezione B tra la retta s e l’asse delle x. [ A ^- 2;0h; B ^+ 3;0 h ]

b. Determina le coordinate del punto di intersezione C tra le rette r ed s.

[ C ^+ 1; + 6h ]

c. Unisci i punti ABC e classifica il triangolo ottenuto in base ai lati e agli angoli. [soluzione grafica; il triangolo ABC è un triangolo acutangolo scaleno]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI d. Calcola l’area del triangolo ABC, considerando 1 u = 1 cm.

[A = 15 cm 2 ]

e. Fai ruotare il triangolo ABC di 90° in senso orario rispetto all’origine degli assi O e determina le coordinate dei punti Al , Bl e Cl .

[soluzione grafica; Al ^0; + 2h; Bl ^0; - 3h; Cl ^+ 6; - 1h ]

Allenamento 14

3 Traccia in un piano cartesiano la retta r: y = - 4 x + 6 . Indica con A e B le intersezioni della retta rispettivamente con gli assi x e y. a. Determina le coordinate dei punti A e B. [ A ^+ 8;0h; B ^0; + 6h ]

b. Traccia un triangolo congiungendo i punti O, A e B.

[soluzione grafica]

c. Calcola il perimetro e l’area del triangolo OAB.

[ 2p = 24 cm; A = 24 cm 2 ]

d. Dato il punto P ^- 5; - 3h, trasla il triangolo OAB del vettore OP e determina le coordinate dei punti Ol , Al e Bl . [soluzione grafica; Ol ^- 5; - 3h; Al ^+ 3; - 3 h; Bl ^- 5; + 3h ]

Allenamento 15 In un piano cartesiano traccia il triangolo di vertici: A ^- 3; - 3h B ^+ 4; - 3h C ^+ 3; + 6h a. Calcola l’area del triangolo ABC, considerando 1 u = 1 cm.

[A = 31,5 cm 2 ]

b. Calcola il perimetro del triangolo ABC approssimato ai centesimi.

[ 2p . 26, 88 cm ]

c. Determina le coordinate dei punti M, N, P rispettivamente punti medi dei lati AB, BC e CA e riportali sul grafico. 1 7 3 3 [ M ` + 2 ; - 3 j; N ` + 2 ; + 2 j; P ` 0; + 2 j; soluzione grafica]

d. Determina l’equazione della retta r, che passa per i punti A e C e quella della retta s che passa per i punti M e N. Spiega perché le rette r e s sono parallele. 3 3 3 3 15 [ r : y = + 2 x + 2 ; s: y = + 2 x - 4 le rette r ed s sono parallele perché hanno lo stesso coefficiente angolare; + 2 ]

Allenamento 16 Un parallelepipedo ha le dimensioni di base lunghe rispettivamente 6 cm e 10 cm e il suo volume è pari a 900 cm3. Calcola: a. l’altezza del parallelepipedo; [h = 15 cm]

b. l’area della superficie totale del parallelepipedo;

[At = 600 cm 2 ]

c. la lunghezza della diagonale del parallelepipedo. [d = 19 cm]

Il ha la stessa area totale di un cubo. Calcola: parallelepipedo d. la lunghezza dello spigolo;

[l = 10 cm]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI e. il volume del cubo; f. la lunghezza della diagonale del cubo.

[V = 1000 cm 3 ]

[ d cubo = 10 $ 3 cm . 17, 32 cm ]

Allenamento 17 Un solido è costituito da un parallelepipedo retto a base quadrata sormontato da una piramide avente la base coincidente con quella del parallelepipedo. 2 Sapendo che lo spigolo di base dei due solidi è di 18 cm, l’altezza della piramide è 5 di quella del parallelepipedo e che l’altezza dell’intero solido è 140 cm, calcola: a. le misure delle altezze dei due solidi; [ h piram = 40 cm; h parall = 100 cm ]

b. l’area della superficie totale del solido composto;

[At = 9000 cm 2 ]

c. il volume del solido;

[V = 36 720 cm 2 ]

d. il peso del solido in chilogrammi supponendo che sia di un legno con Ps = 0,75 g/cm3.

[p = 27,54 kg]

Allenamento 18 Un prisma retto ha come base un triangolo isoscele avente la base lunga 20 cm e i lati obliqui di 26 cm. Sapendo che il solido pesa 13,8 kg ed è di gesso (Ps = 2,3 g/cm3), calcola: a. l’altezza relativa alla base del triangolo isoscele; [ h b = 24 cm ]

b. il volume del prisma; [V = 6000 cm 3 ]

c. l’altezza del prisma; [ h b = 25 cm ]

d. l’area della superficie totale del prisma. [At = 2280 cm 2 ]

Sapendo che il prisma è equivalente a un parallelepipedo a base quadrata di altezza 15 cm, calcola: e. lo spigolo di base del parallelepipedo; [l = 20 cm]

f. l’area della superficie totale del parallelepipedo. [At = 2000 cm 2 ]

Allenamento 19 Una vasca in cemento (Ps = 2,3 g/cm3) è costituita da un parallelepipedo cavo delle dimensioni di base rispettivamente di 125 cm e 80 cm e di altezza 64 cm. La cavità è sempre a forma di parallelepipedo con le dimensioni di base di 120 cm e 75 cm e di altezza 60 cm. Calcola: a. l’area della superficie totale della vasca; [At = 69 640 cm 2 ]

b. il volume della vasca;

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

[V = 100 000 cm 3 = 100 dm 3 ]

QUESITI E PROBLEMI c. il peso della vasca espresso in chilogrammi; [P = 230 kg]

d. la capacità della vasca espressa in litri; [Vi = 540 l]

e. il livello raggiunto dall’acqua (espresso in cm) se nella vasca fossero versati 360 l di acqua. [h = 40 cm]

Allenamento 20 Un solido è formato da cilindro sormontato da un cono avente la base coincidente con una delle basi del cilindro. Il cilindro ha il diametro di 16 cm e altezza di 5 cm ed è equivalente al cono. Dopo aver disegnato il solido composto, calcola: a. l’altezza del cono; [h = 15 cm]

b. l’area della superficie totale del solido composto;

[ A t = 280r cm . 879, 2 cm 2 ]

c. il volume e il peso del solido sapendo che è di gomma (Ps = 0,9 g/cm3). [V = 640r cm 3 . 2009, 6 cm 3; P . 1809 g ]

Allenamento 21 Il trapezio rettangolo ABCD, retto in A e D, base maggiore AB = 12 cm, base minore CD = 6 cm e lato obliquo BC = 10 cm. a. Calcola il perimetro e l’area del trapezio. 2

[ 2p = 36 cm; A = 72 cm ]

b. Disegna il solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base minore. [Soluzione grafica]

c. Descrivi il solido ottenuto.

[Il solido è un cilindro con una cavità a forma di cono avente la base coincidente con una delle due basi del cilindro e l’apotema coincidente con il lato obliquo del trapezio]

d. Calcola l’area della superficie totale del solido di rotazione.

[ A t = 336r cm . 1055 cm ]

e. Calcola il volume del solido e il suo peso sapendo che è di gesso (Ps = 1,4 g/cm3).

[V = 640r cm . 2009, 6 cm ; P . 2813 g ]

Allenamento 22 Il triangolo rettangolo ABC, retto in A, ha i cateti AB e AC rispettivamente lunghi 7,5 cm e 10 cm. a. Calcola la lunghezza del perimetro e l’area del triangolo ABC.

[ 2p = 30 cm; A = 37, 5 cm ]

b. Disegna il solido generato dalla rotazione completa del triangolo attorno all’ipotenusa. c. Descrivi il solido ottenuto.

[Soluzione grafica]

[Il solido è un solido composto formato da due coni aventi la base coincidente]

d. Calcola l’area della superficie totale del solido di rotazione.

[ A t = 105r cm . 329, 7 cm ]

e. Calcola il volume e il peso del solido, sapendo che è di ferro (Ps = 7,8 g/cm3).

[V = 150r cm . 471 cm ; P . 3674 g ]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI

Dati e previsioni Allenamento 23 Un dado è stato lanciato 20 volte e si sono registrati i seguenti punteggi: 5 2

2 6

3 6

4 2

6 1

1 5

3 1

6 4

a. Costruisci una tabella per delle frequenze assolute ( fa ), relative ( fr ) e percentuali ( f % ) dei dati. fa 3 4 3 2 2 6 20

risultato 1 2 3 4 5 6 totale

fr 0,15 0,2 0,15 0,1 0,1 0,3 1

f% 15% 20% 15% 10% 10% 30% 100%

b. Rappresenta i valori delle frequenze assolute con un istogramma. [Soluzione grafica]

c. Calcola la media, la moda e la mediana. [Media = 3,7; moda = 6; mediana = 3,5]

d. Calcola la probabilità che nel lancio di un dado esca: 1. il numero 4; 2. un numero pari; 3. il numero 7.

1 1 [1. 6 ; 2. 2 ; 3. 0, evento impossibile]

Allenamento 24 una classe di 25 alunni viene svolta un’indagine sulle abitudini alimentari degli alunni: si vuole In sapere le porzioni di frutta e verdura assunte quotidianamente. I dati raccolti sono stati i seguenti: 2 5 3

2 4 6

5 3 1

6 4 6

3 5 4

4 4

0 3

7 3

1 5

4 5

a. C ostruisci una tabella per delle frequenze assolute ( fa ), relative ( fr ) e percentuali ( f % ) per i valori da 0 a 7 porzioni. n° porzioni 0 1 2 3 4 5 6 7 totale

b. Calcola la media, la moda e la mediana.

fa 1 2 2 5 6 5 3 1 25

fr 0,04 0,08 0,08 0,2 0,24 0,2 0,12 0,04 1

f% 4% 8% 8% 20% 24% 20% 12% 4% 100% [Media = 3,8; moda = 4; mediana = 4]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI c. Rappresenta con un istogramma il grafico della distribuzione delle frequenze assolute. [Soluzione grafica]

d. Calcola la percentuale di alunni che ha un consumo insufficiente di frutta e verdura, ovvero inferiore a 3 porzioni. [20%]

e. Calcola la percentuale di alunni che ha un consumo ottimale di frutta e verdura, ovvero consuma 5 o più porzioni. [36%]

Allenamento 25 una classe viene svolta un’indagine sulla meta principale delle vacanze estive degli alunni. Le In risposte sono state riassunte nella seguente tabella: Mare 10

alunni (n)

Crociera 1

Montagna 7

Città 3

Campagna 2

Altro 1

a. Qual è la moda delle località scelte? [Moda: mare]

b. Rappresenta i dati in un ortogramma di frequenza. [Soluzione grafica]

c. Rappresenta i dati in un areogramma circolare, calcolando per ciascuna modalità l’ampiezza in gradi del settore circolare. [Soluzione grafica. Mare: 150°; crociera: 15°; montagna: 105°; città: 45°; campagna: 30°; altro: 15°]

Allenamento 26 In una gara di tiro con l’arco un atleta ha lanciato 50 frecce ottenendo i risultati mostrati nella seguente tabella: Punti n° tiri

0 1

1 1

2 1

3 3

4 6

5 6

6 7

7 9

8 7

9 5

Dopo aver disegnato l’istogramma di frequenza, calcola: a. la moda;

10 4

[Moda = 7]

b. la media dei punteggi nei 50 tiri.

[Media = 6,24]

All’atleta mancano 10 tiri per completare la gara. c. Q uale dovrebbe essere la media dei punteggi dei successivi 10 tiri per completare la gara a 400 punti?

[Media = 8,8]

d. Se la media dei successivi 10 tiri fosse 7 quale sarebbe il suo punteggio complessivo?

[Punteggio = 382]

Allenamento 27 Nella seguente tabella sono riportate le temperature minime e massime in una settimana di gennaio di una località montana: Giorno Tmin (°C) Tmax (°C)

5 -4 10

6 -5 9

7 -6 8

8 -7 6

9 -5 6

10 1 11

11 -2 13

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI a. Rappresenta le due serie di dati in un unico diagramma cartesiano, unendo i punti delle temperature minime con una linea tratteggiata e quelli delle temperature massime con una linea continua. [Soluzione grafica]

b. Scrivi in quale giorno si è avuta la temperatura minore e in quale quella maggiore. [Temperatura minore: giorno 8; temperatura maggiore: giorno 11]

c. Calcola la media aritmetica delle temperature massime e la media aritmetica delle temperature minime della settimana. [ Media min = - 4; Media max = + 9 ]

Allenamento 28 In una classe viene misurata l’altezza di tutti gli alunni. Le altezze sono di seguito riportate: 168

152

154

158

151

146

164

155

162

163

164

168

163

167

163

159

156

174

158

161

163

160

151

157

a. C alcola la media aritmetica e la mediana delle altezze della classe. [Media aritmetica = 160; mediana = 161]

b. Completa la seguente tabella, suddividendo i dati per classi di altezza (ricorda che se un valore coincide a un estremo dell’intervallo, appartiene alla classe maggiore: es. 170 apparterrebbe alla classe 170-175 e non alla classe 165-170): classi di altezza (cm) alunni (n)

145-150 1

150-155 4

155-160 6

160-165 10

165-170 3

170-175 1

c. Costruisci l’istogramma delle frequenze ottenute. [Soluzione grafica]

Allenamento 29 Una scatola contiene 20 biglie rosse, 25 bianche e 5 nere. Calcola la probabilità in frazione e in percentuale di estrarre: a. una biglia nera; b. una biglia che non sia rossa; c. una biglia che sia bianca o rossa; d. una biglia blu; e. una biglia bianca o rossa o nera. 5 0 50 30 45 [a. 50 = 10%;b. 50 = 60%;c. 50 = 90%; d. 50 = 0%, evento impossibile; e. 50 = 100%, evento certo ]

Allenamento 30 Calcola la probabilità in frazione e in percentuale che in un mazzo di carte italiane venga estratto: a. il sette di denari; b. un fante; c. una carta di spade; d. una qualsiasi figura (fante, cavallo o re); e. una carta di denari o un asso. 1 1 3 13 1 [ a. 40 = 2, 5%;b. 10 = 10%; c. 4 = 25%; d. 10 = 30%; e. 40 = 32, 5% ]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI Allenamento 31 Calcola la probabilità in frazione che nel gioco della tombola il primo numero estratto sia: a. il 15; b. un numero pari; c. un multiplo di 5; d. un numero minore di 100; e. un numero maggiore di 30; f. il numero 93.

1 1 2 1 [a. 90 ;b. 2 ; c. 5 ; d.1, evento certo; e. 3 ; f.0, evento impossibile]

Dopo aver estratto 10 numeri, qual è la probabilità che all’undicesima estrazione esca il numero 8?

1 [ 80 ]

Allenamento 32 Nel lancio di due dadi qual è la probabilità che: a. la somma sia 12; b. la somma sia 7; c. esca lo stesso valore in entrambi; d. la somma sia minore di 2; e. la somma sia pari; f. il prodotto sia dispari. 1 1 1 1 1 [a. 36 ;b. 6 ; c. 6 ; d.0, evento impossibile; e. 2 ; f. 4 ]

Allenamento 33 In una cesta ci sono 6 maglie verdi e 24 maglie rosse, in un’altra ci sono 8 pantaloncini bianchi e 12 pantaloncini rossi. Estraendo casualmente un indumento da ogni cesta, calcola la probabilità in percentuale nei seguenti casi: a. estrarre una maglia rossa dalla prima cesta; b. estrarre un pantaloncino rosso dalla seconda cesta; c. vestirsi con la maglia rossa e il pantaloncino rosso; d. vestirsi con la maglia verde e il pantaloncino bianco. [a. 80%; b. 60%; c. 48%; d. 8%]

Allenamento 34 Nei topi il carattere pelo grigio (G) è dominante sul carattere pelo bianco (g). Osserva i seguenti incroci: 1. GG # gg 2. Gg # Gg 3. Gg # gg 4. gg # gg a. Costruisci per i quattro incroci le tabelle a doppia entrata e determina la percentuale che, in ciascuno di essi, nascano dei topolini bianchi.

[1. 0%; 2. 25%; 3. 50%; 4. 100%]

b. Quali leggi di Mendel spiegano i risultati degli incroci 1. e 2.?

[L’incrocio 1. la prima legge di Mendel o legge della dominanza; l’incrocio 2. la seconda legge di Mendel o legge della segregazione dei caratteri]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

QUESITI E PROBLEMI

Relazioni e funzioni Allenamento 35

1 Rappresenta sul piano cartesiano le rette a: y = - 2 x + 5 e b: y = 2x . a. Traccia le due rette in un piano cartesiano. [soluzione grafica]

Determina il valore delle ordinate delle due rette per il valore di ascissa x = 6 . b. [Retta a: y = 2; retta b: y = 12 ]

c. Determina i valori delle ascisse x di ciascuna retta per cui risulta y = - 2 . [Retta a: x = + 14; retta b: x = - 1]

d. Determina il valore di x per cui entrambe le rette hanno la stessa ordinata. [ x = 2]

Allenamento 36 Osserva le seguenti funzioni: a: y = 2x b: y = x 2 a. Completa la seguente tabella dei valori per le due funzioni: Funzione a b

x= y= y=

1 2 1

2 4 4

3 6 9

5 10 25

6 12 36

b. Disegna il grafico relativo alle due funzioni (con linea continua la funzione a, con linea tratteggiata la funzione b). [soluzione grafica]

c. Che forma ha il grafico di ciascuna funzione?

[La funzione a è una retta passante per l’origine degli assi, la funzione b è una parabola]

d. Quali funzioni sono sempre crescenti e quali decrescenti per i valori di x indicati? [Per i valori indicati di x, le due funzioni sono entrambe crescenti]

e. Tra quelle elencate ci sono delle funzioni di proporzionalità diretta o inversa? Se sì, quale o quali? [Solo la funzione a: rappresenta una proporzionalità diretta]

Allenamento 37 Osserva le seguenti funzioni: 24 a: y = x b: y = 12 - x a. Completa la seguente tabella dei valori per le due funzioni: Funzione a b

x= y= y=

2 12 10

100

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

3 8 9

4 6 8

6 4 6

12 2 0

QUESITI E PROBLEMI b. Disegna il grafico relativo alle due funzioni (con linea continua la funzione a, con linea tratteggiata la funzione b). [soluzione grafica]

c. Che forma ha il grafico di ciascuna funzione?

[La funzione a è un ramo di iperbole equilatera, la funzione b è una retta]

d. Quali funzioni sono sempre crescenti e quali decrescenti?

[Le due funzioni sono entrambe decrescenti]

e. Tra quelle elencate ci sono delle funzioni di proporzionalità diretta o inversa? Se sì, quale o quali?

[Solo la funzione a è una proporzionalità inversa]

Allenamento 38 Un uomo corre a velocità costante percorrendo 900 m in 5 minuti. a. Calcola la sua velocità espressa in metri al secondo.

[ v = 3 m/s ]

Calcola la sua velocità espressa in chilometri orari. b.

[ v = 10, 8 km/h ]

c. Attribuendo allo spazio percorso (in metri) la variabile y, al tempo (in secondi) la variabile x, scrivi la legge matematica che lega la y alla x. [y = 3 $ x] d. Completa la seguente tabella relativa al moto dell’atleta: tempo (s) spazio (m)

5 15

10 30

20 60

30 90

45 135

60 180

e. Rappresenta sul piano cartesiano la funzione ottenuta, scegliendo le opportune unità di misura.

[soluzione grafica]

f. Stabilisci il tipo di proporzionalità che lega le due grandezze.

[Lo spazio e il tempo sono direttamente proporzionali]

Allenamento 39 Data una serie di rettangoli aventi la base lunga 8 cm e altezza variabile, completa la seguente tabella: altezza (cm) perimetro (cm)

2 20

4 24

6 28

8 32

12 40

10 36

a. Rappresenta sul piano cartesiano la funzione ottenuta, scegliendo le opportune unità di misura.

[soluzione grafica]

Indicando con x l’altezza e con y il perimetro, scrivi la relazione che lega la y alla x. b.

[ y = 2x + 16 ]

c. Puoi dire se tra le due grandezze esiste una proporzionalità diretta o inversa? Giustifica la tua risposta.

[No, al raddoppiare del lato il perimetro non raddoppia; oppure: No, la relazione non è del tipo y = k x ]

d. Indicando invece l’area dei rettangoli con y e l’altezza con x, scrivi la relazione che lega l’area all’altezza e indica se si tratta di una proporzionalità diretta o inversa. [ y = 8 $ x ; l’altezza e l’area sono direttamente proporzionali]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

101

QUESITI E PROBLEMI Allenamento 40 Un ciclista impiega 3 ore per percorrere la strada tra due città che distano 108 km. a. Calcola la velocità del ciclista in km/h. [ v = 36 km/h ]

b. Considerando sempre costante la velocità, attribuendo allo spazio percorso (in km) la variabile y, al tem po (in h) la variabile x, scrivi la legge matematica che lega la y alla x. [ y = 36 $ x ] c. Completa la seguente tabella: tempo (s) spazio (m)

0,5 18

1 36

2 72

2,5 90

3 108

4,5 162

d. Rappresenta sul piano cartesiano la funzione ottenuta, scegliendo le opportune unità di misura. [soluzione grafica]

e. Stabilisci il tipo di proporzionalità che lega le due grandezze. [Spazio e tempo sono direttamente proporzionali]

f. Mantenendo costante lo spazio facendo variare la velocità, che relazione di proporzionalità intercorre tra le grandezze velocità e tempo? [Mantenendo lo spazio costante, velocità e tempo sono inversamente proporzionali]

Allenamento 41 A una molla viene applicato un peso di 60 g che ne provoca l’allungamento di 4 cm. a. Di quanto sarebbe l’allungamento se venisse applicato un peso di 150 g? [ l = 10 cm ]

Quale peso bisogna applicare per far allungare la molla di 15 cm? b.

= 225 g ]

c. Indica con y l’allungamento della molla e con x il peso applicato, scrivi la legge matematica che lega la y alla x. 1 [ y = 15 $x] d. Qual è il valore della costante elastica? [k =

1 15 ]

e. Traccia il grafico della funzione in un sistema di riferimento cartesiano scegliendo opportunamente per ciascun asse l’unità di misura. [soluzione grafica]

Allenamento 42 Un mattone ha le dimensioni di base pari ad a = 12 cm b = 25 cm e un’altezza c = 6 cm. a. Calcola l’area della superficie delle tre diverse facce (ab, ac e bc). 2

[ A ab = 300 cm ; A ac = 72 cm ; A bc = 150 cm ]

b. Calcola la pressione esercitata dal mattone (espressa in g/cm2) quando è poggiato su ciascuna delle tre di verse facce, sapendo che ogni mattone pesa 3,6 kg. 2

[ Pab = 12 g/cm ; Pac = 50 g/cm

102

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

; Pbc

= 24 g/cm ]

QUESITI E PROBLEMI c. Un mattone viene poggiato sulla faccia di area maggiore e si dispongono altri mattoni uno sopra l’altro in 2 modo da formare una pila; attribuendo alla pressione (in g/cm ) la variabile y e al peso dei mattoni della pila (in g) la variabile x, scrivi la legge matematica che lega la y alla x. x [ y = 300 ]

d. Calcola i valori della pressione per una pila da 1 a 6 mattoni e rappresenta i dati ottenuti in un sistema di riferimento cartesiano scegliendo opportunamente per ciascun asse l’unità di misura. Indica se si tratta di una proporzionalità diretta o inversa. N° mattoni Peso (g) Pressione (cm3)

1 3600 12

2 7200 24

3 10 800 36

4 14 400 48

5 18 000 60

6 21 600 72

[Soluzione grafica, proporzionalità diretta]

Allenamento 43 In un circuito viene applicata una differenza di potenziale è di 240 volt e viene fatta variare la resistenza. a. Completa la seguente tabella con i valori della resistenza e intensità di corrente: Resistenza (Ω) Intensità (A)

40 6

100 2,4

120 2

240 1

300 0,8

480 0,5

b. Indicando con y i valori dell’intensità di corrente e con x quelli della resistenza, esprimi la relazione che lega la y alla x. Di che relazione di proporzionalità si tratta? 240 [ y = x , proporzionalità inversa]

c. Traccia il grafico della funzione in un sistema di riferimento cartesiano scegliendo opportunamente per ciascun asse l’unità di misura. [Soluzione grafica]

d. Scrivi almeno un altro esempio di leggi fisiche o geometriche che seguono la stessa legge. [Soluzioni varie]

Allenamento 44 Si vuole realizzare un cilindretto del peso esatto di 126 g, avendo a disposizione i materiali elencati nella seguente tabella: Materiale Peso specifico (g/cm3) Volume (cm3)

gomma 0,9 140

granito 2,52 50

cemento 3,5 36

ottone 8,4 15

argento 10,5 12

palladio 12 10,5

a. Completa la tabella calcolando il volume o il peso specifico dei cilindretti realizzati nei diversi materiali. b. Indica con y il volume dell’oggetto e con x il suo peso specifico, scrivi la legge matematica che lega la y alla x. Di che relazione di proporzionalità si tratta? 126 [ y = x , proporzionalità inversa]

c. Traccia il grafico della funzione in un sistema di riferimento cartesiano scegliendo opportunamente per ciascun asse l’unità di misura.

[Soluzione grafica]

d. Mantenendo costante il volume e facendo variare il peso specifico, che tipo di proporzionalità lega il peso al peso specifico? [Proporzionalità diretta, P = Ps $ V ] PRONTI PER L'ESAME DI STATO

103

QUESITI E PROBLEMI Allenamento 45 A una serie di leve di primo genere sono applicate delle resistenze pari a 30 N. Sapendo che il braccio della resistenza è sempre lungo 12 cm, completa la seguente tabella: lunghezza del braccio della potenza (cm) Potenza (N)

7,5

a. Indica con y la potenza e con x la lunghezza del braccio della potenza, scrivi la legge matematica che lega la y alla x. Di che relazione di proporzionalità si tratta?

360 [ y = x , proporzionalità inversa]

b. Traccia il grafico della funzione in un sistema di riferimento cartesiano scegliendo opportunamente per ciascun asse l’unità di misura. [Soluzione grafica]

c. In quali delle situazioni (a-f ) la leva risulta vantaggiosa? In quali svantaggiosa? [La leva è vantaggiosa nelle situazioni d, e ed f, è svantaggiosa nelle situazioni a e b]

Allenamento 46 Un galleggiante cilindrico del volume di 3000 cm3 e con area di base di 150 cm2 è immerso in acqua e sporge per 4 cm dalla superficie. Considerando il peso specifico dell’acqua uguale a 1 g/cm3, determina: a. la parte del volume che rimane immersa nell’acqua e quella che emerge dall’acqua; [Volume della parte immersa: 600 cm 3 ; volume della parte emersa: 2400 cm 3 ]

il peso del cilindro; b. [Peso del cilindro: 2400 g]

c. il peso specifico del materiale di cui è composto il cilindro. [Peso specifico: 0,8 g/cm 3 ]

104

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

PROVE D'ESAME

Prova d'esame 1 Quesito 1 In un piano cartesiano traccia il poligono di vertici:

A ^- 2; + 2h B ^+ 7; + 2h C ^+ 4; + 6h D ^+ 1; + 6h

[soluzione grafica]

a. Calcola perimetro e area del quadrilatero considerando 1 u = 1 cm. 2

[ 2p = 22 cm; A = 24 cm ]

b. Descrivi il poligono ABCD ottenuto congiungendo i punti dati. [Il poligono è un trapezio isoscele]

c. Calcola la lunghezza della diagonale AC. [ AC 52 cm = 2 13 cm . 7, 2 cm ]

d. Disegna il solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore e descrivi il solido ottenuto. [Soluzione grafica; il solido è un cilindro sormontato da due coni, ciascuno avente la propria base coincidente con una delle basi del cilindro]

e. Calcola l’area della superficie totale del solido di rotazione. [ A t = 64r cm 2 . 200, 96 cm 2 ]

f. Calcola il volume del solido. 3

[V t = 80r cm . 251, 2 cm ]

Quesito 2 Risolvi le seguenti equazioni e stabilisci se sono equivalenti: ^2x - 5 h^ x + 8 h - 3x ^1 - 2xh = 4x ^2x - 3h

[2]

3x - 2 2 - x x + 4 4 - 3 = 6

[2; sì, sono equivalenti]

Quesito 3 In un’indagine svolta in classe sui libri letti nello scorso trimestre, sono state ottenute le seguenti risposte: 4; 6; 6; 0; 4; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 4; 1; 2; 4; 5; 3; 3; 4; 4 a. Costruisci una tabella per delle frequenze assolute ( fa ), relative ( fr ) e percentuali ( f % ) dei dati. n° libri 0 1 2 3 4

fa 1 2 2 5 7

6 totale

fr 0,05 0,1 0,1 0,25 0,35

f% 5% 10% 10% 25% 35%

0,1

10%

0,05

100%

b. Rappresenta i valori delle frequenze assolute con un istogramma. [Soluzione grafica]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

105

PROVE D'ESAME c. Calcola la moda, la mediana e la media aritmetica. [Moda = 4; mediana = 3,5; media aritmetica = 3,3]

d. Calcola la probabilità che scegliendo casualmente un alunno abbia letto: 1. 4 libri; 2. meno di 4 libri; 3. più di 7 libri.

1 7 [1. 20 ; 2. 2 ; 3. 0, evento impossibile]

Quesito 4 In un circuito con una resistenza di 2000 Ω, viene fatta variare la differenza di potenziale applicata. a. Completa la seguente tabella con i valori della differenza di potenziale e intensità di corrente: Voltaggio (V) Intensità (A)

80 0,04

100 0,05

120 0,06

150 0,075

200 0,1

240 0,12

b. Indicando con y i valori dell’intensità di corrente e con x quelli del voltaggio, esprimi la relazione che le ga la y alla x. Di che relazione di proporzionalità si tratta? x [ y = 0, 0005 $ x o y = 2000 , è una proporzionalità diretta]

c. Traccia il grafico della funzione in un sistema di riferimento cartesiano scegliendo opportunamente per ciascun asse l’unità di misura. [Soluzione grafica]

d. Se avessi mantenuto costante la differenza di potenziale e fatto variare la resistenza, che genere di proporzionalità legherebbe l’intensità di corrente alla resistenza? Scrivi la relazione che lega le due grandezze. V [La relazione tra intensità di corrente e resistenza è un proporzionalità inversa, infatti l = R ]

Prova d'esame 2 Quesito 1 Un solido di alluminio ( Ps = 2, 7 g/cm3) ha la forma di un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni di base rispettivamente lunghe 4 cm e 5 cm. Sapendo che l’area laterale del solido è 144 cm2, calcola: a. l’area di base e quella totale del parallelepipedo; [ Ab

= 20 cm ; A t = 184 cm

]

b. il volume e il peso del solido. [V

= 160 cm ; P = 432 g ]

Il solido viene fuso in solido equivalente avente la forma di una piramide retta a base quadrata. Sapendo che lo spigolo di base della piramide è 8 cm, calcola: c. l’altezza e l’apotema della piramide; [h

= 7, 5 cm; a = 8, 5 cm ]

d. l’area della superficie totale della piramide. [ At

Quesito 2 un piano cartesiano, rappresenta il triangolo di vertici: In A ^+ 1; - 5h B ^+ 11; - 5h C ^+ 6; + 7h

106

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

= 200 cm

]

PROVE D'ESAME a. Calcola la lunghezza dei lati AB, BC, CA, considerando 1 u = 1 cm, e indica che tipo di triangolo hai ottenuto. [ AB = 10 cm; BC = 13 cm; CA = 13 cm; ABC è un triangolo isoscele ]

b. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

[ 2p = 36 cm; A = 60 cm 2 ]

c. Rappresenta il triangolo Al Bl Cl simmetrico di ABC rispetto all’asse y e determina le coordinate dei punti Al , Bl e Cl . [ Al ^- 1; - 5h; Bl ^- 11; - 5h; Cl ^- 6; + 7h ]

d. Disegna la retta r: y = - x + 6 e dimostra algebricamente che il punto B appartiene alla retta r.

[Soluzione grafica]

e. Risolvi la seguente equazione e verifica che la soluzione è uguale all’ascissa del punto medio M del segmento BC: ^ x + 4 h $ ^ x - 4 h = ^ x - 1 h2 17 17 [ x = 2 ; M`+ 2 ; + 1j ]

Quesito 3 Nel laboratorio di scienze viene fatta rotolare una sfera di acciaio percorrendo una distanza di 2,4 m in 1,6 secondi. a. Calcola la velocità della sfera in m/s. [1, 5 m/s]

b. La prova viene ripetuta facendo rotolare la sfera a velocità differenti, ma mantenendo costante la distanza percorsa. Attribuendo alla velocità la variabile y e al tempo la variabile x, scrivi la legge matematica che lega la y alla x. 2, 4 [y = x ]

c. Completa la seguente tabella: tempo (s) velocità (m/s)

0,8 3

1 2,4

1,2 2

1,6 1,5

2,4 1

4,8 0,5

Rappresenta sul piano cartesiano la funzione ottenuta, scegliendo le opportune unità di misura. d. [Soluzione grafica]

e. Stabilisci il tipo di proporzionalità che lega le due grandezze. [Tempo e velocità sono inversamente proporzionali]

Quesito 4 Da un mazzo di carte italiane viene estratta una carta, calcola la probabilità che la carta sia: a. il re di denari; b. un qualsiasi 7; c. una qualsiasi figura; d. una figura di spade. 1 1 3 3 [a. 40 ;b. 10 ; c. 10 ; d. 40 ]

Estraendo invece due carte, senza rimetterle nel mazzo, qual è la probabilità che siano entrambe di denari?

9 [ 156 ]

PRONTI PER L'ESAME DI STATO

107

REGOLE E FORMULE

Numeri

109

Spazio e figure

112

Dati e previsioni

119

Relazioni e funzioni

122

REGOLE E FORMULE

Numeri Insiemi numerici numeri naturali N = {0, 1, 2, 3 ,...} numeri interi relativi

Z = {... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 ...} Q a = $ 3 , 7 , 10 , ... . 4 8 9 Q = $ - 5 , + 1 , + 12 , ... . 2 25 6

numeri razionali assoluti numeri razionali relativi

! I numeri razionali possono dare origine a numeri naturali, decimali limitati, decimali periodici semplici o misti.

numeri irrazionali assoluti I a = " 2 , 3 , 10 , ... ,

numeri irrazionali relativi I = " - 6 , - 5 , + 15 , ... ,

R = Q , I = $ - 1 , - 6 , + 3, ... . 4

numeri reali

0 -4

7 2

-3

-2

5 3

-1

1 2

1 4

3 +2

Numeri naturali L’insieme N dei numeri naturali è infinito e ordinato. !

numero

n-1

n+1

n-1 1 n 1 n+1 !

Pari: p = 2n Dispari: d = 2n + 1

+ p p p d

d d

# p p p

Divisibilità Il multiplo di un numero a è il prodotto di a per qualsiasi numero naturale n. L’insieme Ma dei multipli di a è infinito. Un numero b è divisore di a se la divisione a : b è esatta (non ha resto). L’insieme Da dei divisori di a è finito. I numeri primi sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi. I numeri composti sono divisibili, oltre che per uno e per se stessi, per almeno un altro numero. Scomposizione in fattori primi: un numero composto si può scomporre nel prodotto di numeri primi. Due numeri sono primi tra loro se nella loro scomposizione non hanno fattori primi in comune. REGOLE E FORMULE

109

REGOLE E FORMULE Massimo comun divisore M.C.D. - minimo comune multiplo m.c.m. M.C.D. il maggiore dei divisori comuni ai numeri dati

m.c.m. il minore dei multipli comuni ai numeri dati

Algoritmo per il calcolo del M.C.D.: Algoritmo per il calcolo del m.c.m.: • Si scompongono i numeri dati in fattori primi • Si scompongono i numeri dati in fattori primi • Si calcola il prodotto dei fattori primi comuni, • Si calcola il prodotto dei fattori primi comuni e presi una sola volta, con il minimo esponente non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente ! M.C.D. = 1 se i numeri sono primi tra loro

! m.c.m. = prodotto dei numeri dati se sono primi fra loro

M.C.D. = il minore dei numeri dati se è divisore di tutti gli altri

m.c.m. = il maggiore dei numeri dati se è multiplo di tutti gli altri

Estrazione di radice quadrata È l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato. È possibile estrarre la radice di numeri naturali solo per quei numeri che vengono detti quadrati perfetti. n = a se a 2 = n La radice quadrata di numeri che non sono quadrati perfetti è un numero irrazionale. 2 = 1, 4142 ...

Numeri razionali Una frazione può essere: propria a 1 b $ a 1 1 b

impropria a 2 b $ a 2 1 b

apparente a = n . b $ a = n b

! Le frazioni possono dare origine a numeri naturali, numeri decimali limitati o illimitati periodici.

Rapporti e proporzioni Rapporto: è il quoziente tra due numeri a e b, con b ! 0 . Può essere rappresentato: Come divisione

Come frazione

Come numero decimale

a|b

a b

Proporzione: è l’uguaglianza tra due rapporti conseguenti

a | b = c | d antecedenti

medi

a|b = c|d estremi

Proprietà fondamentale delle proporzioni Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: b $ c = a $ d

110

REGOLE E FORMULE

Numeri relativi I numeri relativi sono numeri preceduti dal segno + (positivi), dal segno – (negativi) I numeri relativi possono essere: concordi: stesso segno

discordi: segno diverso

opposti: discordi e con lo stesso valore assoluto

Addizione algebrica Se i due numeri sono concordi il risultato ha lo stesso segno dei due addendi e il valore assoluto è la somma dei valori assoluti. Es.: - 5 - 6 =- 11 Se i due numeri sono discordi il risultato ha il segno del maggiore dei due in valore assoluto e il valore assoluto è uguale alla differenza dei valori assoluti. Es.: - 5 + 6 =+ 1 Se i due numeri sono opposti si annullano e la somma è zero. Es.: - 5 + 5 = 0 Sottrazione: si trasforma la sottrazione in una addizione algebrica tra il primo numero e l’opposto del secondo. Es.: - 5 - ^- 6h =- 5 + 6 =+ 1

Moltiplicazione e divisione Il prodotto tra numeri relativi è un numero che ha per valore assoluto il prodotto dei due valori assoluti e segno positivo se i due numeri sono concordi e negativo se sono discordi. Es.: ^- 5h . ^- 6h =+ 30; ^- 5h . ^+ 6h =- 30

Il quoziente tra numeri relativi è un numero che ha per valore assoluto il quoziente dei due valori assoluti e segno positivo se i due numeri sono concordi e negativo se sono discordi. Es.: ^- 28h | ^- 7h =+ 4; ^- 28h| ^+ 7h =- 4 #

Elevamento a potenza Nella potenza di un numero relativo con esponente pari, il segno è positivo e il valore assoluto è uguale alla base elevata all’esponente. Nella potenza di un numero relativo con esponente dispari, il segno è quello della base e il valore assoluto è uguale alla base elevata all’esponente. Le potenze possono avere anche esponente negativo: a -n = 1n 3 -2 = 12 a 3

-2 5 j2 ` = `4 j 4 5

1 2 -1 = 2

Estrazione di radice quadrata e cubica ! Si può estrarre la radice quadrata soltanto di numeri positivi. La radice quadrata nei numeri relativi ha due soluzioni opposte.

- 2 non ha soluzioni in R . + 64 = ! 8

Può invece essere calcolata la radice cubica sia di numeri positivi sia di numeri negativi: 3

+ 27 =+ 3

- 27 =- 3 REGOLE E FORMULE

111

REGOLE E FORMULE

Spazio e figure Unità di misura Sistemi di misura decimali: Lunghezza km = 1000 m hm = 100 m dam = 10 m m dm = 0,1 m cm = 0,01 m mm = 0,001 m

Volume cm3 dm3 m3

Volume km3 = 109 m3 hm3= 106 m3 dam3= 103 m3 m3 dm3 = 10-3 m3 cm3 = 10-6 m3 mm3=10-9 m3

Superficie km2 = 106 m2 hm2 = 104 m2 dam2 = 102 m2 m2 dm2 = 10-2 m2 cm2 = 10-4 m2 mm2 = 10-6 m2

Peso g kg t

Capacità kl = 1000 l hl = 100 l dal = 10 l l dl = 0,1 l cl = 0,01 l ml = 0,001 l

Sistema di misura sessagesimale

Capacità ml l kl

Peso Mg (t) = 1000 kg q = 100 kg kg hg = 0,1 kg dag = 0,01 kg g = 0,001 kg dg = 0,0001 kg cg = 0,00001 kg mg = 0,000001 kg

Sistema di misura misto Tempo Ora (h) = 1h = 60m Minuto (m) = 1m = 60s Secondo (s) = 1s Decimo di secondo (d) = 1d = 0,1s Centesimo di secondo (c) = 1c = 0,01s

Angoli Grado (°) = 1° = 60’ Primo (’) = 1’ = 60” Secondo (”) = 1”

Angoli particolari Angolo nullo a = 0°

Angolo acuto a < 90°

Angolo retto a = 90°

b O

a=b

b O

Angolo concavo contiene il prolungamento dei suoi lati Bisettrice È la semiretta che ha l’origine coincidente col vertice dell’angolo e che divide l’angolo in due parti congruenti Angoli complementari Sono due angoli la cui somma è un angolo retto (α + β = 90°)

112

REGOLE E FORMULE

Angoli opposti al vertice I lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro

a=b a

Angoli supplementari Sono due angoli la cui somma è un angolo piatto (α + β = 180°)

Angoli esplementari Sono due angoli la cui somma è un angolo giro (α + β = 360°)

b a

Angolo convesso non contiene il prolungamento dei suoi lati

Angolo giro a = 360°

a a

Angolo piatto a = 180°

Angolo ottuso 90° < a < 180°

REGOLE E FORMULE

Rette Posizioni reciproche di due rette Rette incidenti r + s = "P,

Rette perpendicolari r + s = "P,

Rette parallele r+s = Q

s P

r+s = r = s r/s

r's

r=s

Rette coincidenti

s r

Rette parallele tagliate da una trasversale La retta t taglia le rette parallele r ed s formando coppie di angoli: - Corrispondenti (1t e 5t , 2t e 6t , 3t e 7t , 4t e 8t ) congruenti - Alterni interni (3t e 6t , 4t e 5t ) congruenti - Alterni esterni (1t e 8t , 2t e 7t ) congruenti - Coniugati interni (3t e 5t , 4t e 6t ) supplementari - Coniugati esterni (1t e 7t , 2t e 8t ) supplementari

t 2t

3t 6t

s 7t

Triangoli Classificazione rispetto ai lati Triangolo scaleno ha tre lati disuguali

Triangolo isoscele ha due lati congruenti

Triangolo equilatero ha tre lati congruenti

B AB ! BC ! CA

A AC = CB

t = Bt A

AB = BC = CA

t = Bt = Ct = 60° A

Classificazione rispetto agli angoli Triangolo acutangolo ha tre angoli acuti

Triangolo rettangolo ha un angolo retto e due acuti

t 1 90°; Bt 1 90°; Ct 1 90° A

Triangolo ottusangolo ha un angolo ottuso e due acuti C

t = 90°; Bt + Ct = 90° A

t 2 90°; Bt 1 90°; Ct 1 90° A

REGOLE E FORMULE

113

REGOLE E FORMULE

Formule della geometria piana Figure

Formule

Triangolo

2p = a + b + c

$ hb A = b2

a hc

Formula di Erone

Triangolo equilatero l h

30° l 60°

Triangolo rettangolo

b = 2hA b

A = p . (p - a) . (p - b) . (p - c)

2p 3

2p = 3 . l

. h= l 3 2

. l= 2 h 3

. A= b h 2

. h= 2 A b

. b= 2 A h

A = c 1 2$ c 2

c 1 = 2c$ A 2

c 2 = 2c$ A 1

A = i $2h i

i = 2h$ A i

h i = 2 i$ A

3 = 1, 732...

2p = c 1 + c 2 + i

h b = altezza relativa al lato b

hi c1

Teorema di Pitagora

i = c 12 + c 22

c 1 = i 2 - c 22

c 2 = i 2 - c 12

Primo Teorema di Euclide

AH | AC = AC | AB BH = BC = BC | AB H

Secondo Teorema di Euclide

BH = BC = CH | BH

2p = 2 . b + 2 . h = 2 . ^ b + h h

Rettangolo

p = b + h semiperimetro h

A = b.h b

114

REGOLE E FORMULE

d = b2 + h2

h= A b

b= A h

h = d2 - b2

b = d2 - h2

h b = 2bA

REGOLE E FORMULE Figure

Formule

Parallelogramma

2p = 2 . a + 2 . b = 2 . ^ a + b h p = a + b semiperimetro

a b

h b = altezza relativa al lato b

A = a $ ha

h a = altezza relativa al lato a

l d1 l

2p = 4 . l

A = b.h

b= A h

l= Trapezio

D l1 A

h= A b

d 1 m2 + c d 2 m2 2 2

. A = (b 1 + b 2) h 2

l2 B

I l rombo è un particolare parallelogramma

p= A a

A = p.a

2. A (b 1 + b 2)

. (b 1 + b 2) = 2 A h

2p l= n ! a = apotema = raggio del cerchio inscritto n f = numero fisso r = raggio del cerchio circoscritto

a = l . nf

H = proiezione del lato obliquo AD sulla base maggiore AB A CK = proiezione del lato obliquo CB sulla base maggiore AB

2p = n . l

Poligoni regolari

b = hA b a = hA a

2p = b 1 + b 2 + l 1 + l 2

h H

hb = A b ha = A a

2p 4 . . . A = d1 d2 d2 = 2 A d1 = 2 A 2 d1 d2 ! Questa formula permette di trovare anche l’area del deltoide

Rombo h

A = b $ hb

a= A p

2 a2 + c l m 2

Poligoni inscritti: un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza Poligoni circoscritti: un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza Circonferenza e cerchio r O d

l a

C = 2.r.r

r = C. 2 r

AC = r . r2

AC r

Arco di circonferenza

l : C = a : 360°

Settore circolare A S : A C = a : 360° l : C = AS : AC REGOLE E FORMULE

115

REGOLE E FORMULE

Formule della geometria solida Figure

Formule

Prisma retto

A l = 2p . h b b bb b

Parallelepipedo rettangolo

c c cc bc b bb b

l l ll l

h h hh h a b ab ra abbb

l l ll l

A l = 2ac + 2bc A t = 2ac + 2bc + 2ab V = a.b.c

a = V. b c

Al = 4 . l2

Al 4

At = 6 . l2

At 6

V = l3

l=3 V

d=l. 3

l= d 3

Al = p . a

p = Aal

a = Apl

h h hh h

. Ab = 3 V h

. h= 3 V Ab

r = apotema del poligono di base

a = h 2 + r2

Al = 2 . r . r . h

Al 2.r.r

REGOLE E FORMULE

Al 2.r.h

V r.h

hh h

V = r . r2 . h

h h hh h

A t = A l + 2 . A b =hh2 . r aa. r . (h + r) aa

r hr = V. 2 r r rr r

h = 2.r

d d dd d

c = V. a b

b = aV. c

d = a2 + b2 + c2

. V = Ab h 3

Cilindro equilatero

116

h= V Ab

At = Al + Ab

a a aa a

Cilindro

r r rr r

Ab = V h

Stesse del prisma retto, inoltre:

Cubo

Piramide retta regolare

V = Ab . h

d d dd d

a a aa a

h = Al 2p

At = Al + 2 . Ab

h h hh h

c c a ccc a aa a

2p = A l h

Al = 4 . r . r2 At = 6 . r . r2 V = 2 . r . r3

r =aa

a d a d ddr = d

Al 4r At 6r

r=3 V 2r r r rr r

a h

REGOLE E FORMULE

h r

Figure

Formule

Cono h

A t = A l + A b = r . r . (a + r)

d r

Sfera r a h

a = rA. lr

r = rA. la

Al = r . r . a

. 2. V= r r h 3

. h = 3 . V2 r r

A = 4 . r . r2

V = 4 . r . r3 3

. r = 3 3 .V 4 r

3 .V r.h

A 4.r

Similitudine

C r

C' h

H A

Due poligoni sono simili se hanno i lati corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione. Il rapporto di similitudine Ă¨ uguale al rapporto tra lati, perimetri, altezze, diagonali e altre misure lineari corrispondenti di due poligoni simili.

At = Bt = Ct A'B' = B'C' = C'A' = k AB BC CA 2p' =k 2p h' = k h ecc...

Il rapporto tra le aree di poligoni simili Ă¨ invece uguale al quadrato del rapporto di similitudine.

A' = k 2 A

REGOLE E FORMULE

117

REGOLE E FORMULE

Trasformazioni isometriche Le figure sottoposte a trasformazioni isometriche (movimenti rigidi) conservano l’ampiezza degli angoli e la lunghezza dei segmenti Translazione Isometria individuata da un vettore v, segmento orientato, che indica verso, direzione, lunghezza. Per ogni coppia di punti corrispondenti A e A' risulta AA' = v Si indica con il simbolo t v

C' B

AA' = BB' = CC' = v

Simmetria assiale Isometria individuata da un asse di simmetria r.

r B'

Per ogni coppia di punti corrispondenti A e A', detti simmetrici rispetto alla retta r, risulta che r è perpendicolare ad AA' nel suo punto medio (r è asse del segmento AA').

C' AM

AM = MA'; AA' = r

Si indica con il simbolo s a Simmetria centrale Isometria individuata da un punto O, detto centro di simmetria.

Per ogni coppia di punti corrispondenti A e A', detti simmetrici rispetto al punto O, risulta che O è punto medio del segmento AA'. Si indica con il simbolo s o

B' A'

AO = OA'; BO = B'O; CO = C'O

Rotazione Isometria individuata da un punto O, detto centro di rotazione e da un angolo orientato a.

Per ogni coppia di punti corrispondenti A e A' risulta t ' = a. che hanno stessa distanza da O e che AOA

Si indica con il simbolo ra

a = 90°

B' A'

Il piano cartesiano Ogni punto sul piano cartesiano è definito da una coppia ordinata di numeri reali.

II quadrante

y origine degli assi

Es. il punto P ^5; - 4h è definito dalla coppia ordinata xP = 5 e yP = - 4

asse delle ordinate

III quadrante

Distanza tra due punti: AB =

118

REGOLE E FORMULE

^ x A - x B h2 + ^ y A - y B h2

asse delle ascisse

ascissa di P

O ordinata di P

I quadrante

xB Punto medio: M ` xA + 2 ;

P (x P , y P) IV quadrante yA + yB j 2

REGOLE E FORMULE

Dati e previsioni Statistica La statistica è la scienza che studia i fenomeni collettivi. Il carattere è l’aspetto di un fenomeno collettivo che si vuole analizzare. I caratteri possono essere qualitativi, se espressi da dati non numerici, o quantitativi, se espressi da dati numerici. La modalità è uno dei diversi modi in cui si può presentare un carattere. Frequenza assoluta ( fa ) è il numero di volte in si presenta una certa modalità. Frequenza relativa ( fr ) è il quoziente tra la frequenza assoluta e il numero totale dei dati. Frequenza percentuale ( f% ) è la frequenza relativa espressa in percentuale. Descrittori statistici La moda è il valore che si presenta con la frequenza massima. Disponendo i dati in ordine crescente la mediana è il valore che occupa la posizione centrale (nel caso che il numero totale di dati sia dispari) o il valore medio dei due dati centrali (nel caso che il numero totale dei dati sia pari). La media aritmetica si calcola dividendo la somma di tutti i dati per il numero totale dei dati. ! La mediana e la media aritmetica si possono determinare solo per dati quantitativi.

Elaborazione dei dati I dati raccolti vengono inseriti in una tabella di frequenza. Esempio: Da una indagine svolta su un gruppo di 20 ragazzi sulle loro merende preferite sono stati raccolti i seguenti dati: pizza, pizza, merendina, panino, merendina, pizza, panino, panino, pizza, panino, pizza, pizza, merendina, pizza, pizza, panino, pizza, panino, merendina, merendina.

Modalità

fa frequenza assoluta

fr frequenze relativa

f% frequenza percentuale

Pizza

9/20 = 0,45

45%

Panini

6/20 = 0,30

30%

Merendine

5/20 = 0,25

25%

Totale

1 100% La somma delle fa deve La somma delle fr deve risul- La somma delle f% deve corrispondere al n. dei dati tare 1 risultare 100%

REGOLE E FORMULE

119

REGOLE E FORMULE

Rappresentazione grafica dei dati Ideogramma Rappresentazione grafica che utilizza un disegno stilizzato, chiamato unità grafica, che viene riportato in modo proporzionale al valore numerico da rappresentare.

Quantità di olio prodotta dai maggiori Paesi europei nel 1984 Italia Grecia Portogallo 100 90

Spagna

80 70

Una bottiglia = 500 migliaia di quintali

Istogramma Rappresentazione grafica che utilizza rettangoli con la base congruente e l’altezza proporzionale al valore da rappresentare. Nell’istogramma i rettangoli sono affiancati.

60 50

n. alunni

350

300

250

10 0

200

Genna

150 100 50

100

Ortogramma Stessa rappresentazione grafica dell’istogramma, ma con i rettangoli distanziati.

2000

2002

2004

2006

2008

2010

anni

60 50

100

n. alunni

350

300

250

peso (kg) 90 80 91 70 90 60

50 200

470

Gennaio

40 150

350

87 30

300

86 20

250

85 10

200

840

100 50 0

100

150

Diagramma cartesiano 50 Rappresentazione grafica che utilizza punti la cu0 2000 2002 2004 2006 2008 2010 anni i posizione, riportata sugli assi cartesiani, esprime i n. alunni 350 valori delle grandezze. 300 La spezzata che unisce tali punti rappresenta l’andapeso (kg) 250 91 200 mento del fenomeno. 150 100

2000 2002 Gennaio Febbraio

1°

2°

139

128

86 0

470 Gennaio

Febbraio

Marzo

Aprile

Maggio

1°

2°

3°

4°

139

470

910

88 87 86 85 84 83 82

REGOLE E FORMULE

3°

4°

5° settimana

128

2°

Giugno

anni

85 Areogramma 84 Rappresentazione grafica che utilizza un cerchio di83 peso (kg) 82 viso in settori di ampiezza proporzionale ai dati da 1° 2° 3° 4° 5° 91 settimana 90 rappresentare.

1°

649

2010

5° settimana

2008

4°

2006

3°

50 2004

anni Giugno

peso (kg)

100

2002

2006 2008 2010 Aprile Maggio

2000

2004 Marzo

120

80 70

89 n. alunni

910

649

470

Febbra

REGOLE E FORMULE

Probabilità La probabilità di un evento E è data dal rapporto fra il numero f dei casi favorevoli all’evento e il numero f complessivo n dei casi possibili: p (E) = n Un evento E può essere: Impossibile Quando non potrà mai verificarsi

Casuale o aleatorio Quando il suo verificarsi dipende solo dal caso

Certo Quando è possibile stabilire con certezza il suo verificarsi

p (E) = 0

0 # p (E) # 1

p (E) = 1

Incompatibili Quando il verificarsi del primo evento E1 esclude il verificarsi del secondo E2; (i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente)

Compatibili Quando il verificarsi del primo evento E1 non esclude il verificarsi del secondo E2; (i due eventi possono verificarsi contemporaneamente)

Complementari Quando il verificarsi del primo evento E1 esclude il verificarsi del secondo E2, ma sicuramente uno dei due eventi si verificherà

Probabilità totale di due (o più) eventi incompatibili

Probabilità totale di due eventi compatibili

Probabilità di eventi complementare

È uguale alla somma delle probabilità di singoli eventi

È uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi diminuita della probabilità dell’evento comune ai due eventi

La probabilità dell’evento E2 complementare dell’evento E1 è data dalla formula

p t = p (E 1) + p (E 2) - p c

p (E 2) = 1 - p (E 1)

Probabilità totale Due eventi E1 ed E2 possono essere:

p t = p (E 1) + p (E 2)

Probabilità composta Un evento E si dice composto se il suo verificarsi è legato al verificarsi contemporaneo o in successione degli eventi E1, E2... che lo compongono. Gli eventi composti possono essere: Indipendenti Se il verificarsi di uno qualsiasi dei due eventi non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro.

Dipendenti Se il verificarsi di uno qualsiasi dei due eventi modifica la probabilità del verificarsi dell’altro.

Probabilità di un evento E, costituito da due eventi indipendenti E1 e E2 È uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi:

Probabilità di un evento E costituito da due eventi dipendenti E1 ed E2 È uguale al prodotto tra la probabilità dell’evento E1 e la probabilità condizionata dell’evento E2 (nell’ipotesi che il primo evento si sia verificato):

p (E) = p (E 1) . p (E 2)

p (E) = p (E 1) . p (E 2 /E 1)

REGOLE E FORMULE

121

REGOLE E FORMULE

Relazioni e funzioni Le grandezze proporzionali Una funzione è una relazione tra due grandezze variabili, in cui a ogni valore della prima corrisponde uno e un solo valore della seconda. La prima è detta indipendente (x), perché può assumere liberamente valori diversi; la seconda è detta variabile dipendente (y) e assume valori definiti in base alla variabile indipendente. Le funzioni empiriche derivano da misure sperimentali (es. la temperatura in funzione del tempo). Le funzioni matematiche sono esprimibili mediante formule matematiche (es. il perimetro del quadrato in funzione della lunghezza del lato). Grandezze costanti conservano sempre lo stesso valore Grandezze variabili possono assumere valori diversi x variabile indipendente, y variabile dipendente Grandezze direttamente proporzionali Due grandezze variabili x e y si dicono direttamente proporzionali se al raddoppiare, triplicare... della x anche la y raddoppia, triplica... il rapporto tra y e x è costante y =k x

Il grafico della proporzionalità diretta è una semiretta passante per l’origine 0 degli assi y = 2x x 1 2 3 4

y= k.x

y 2 4 6 8

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

8 9 10

1 2 3 4 5 6

8 9 10

Grandezze inversamente proporzionali Due grandezze variabili x e y si di- Il grafico della proporzionalità inversa è un ramo di cono inversamente proporzionali 10 9 se al raddoppiare, triplicare... di x, iperbole equilatera 8 y diventa la metà, la 7 terza parte... y = 10 6 x il prodotto tra x e y è costante x y 5 4 1 10 k . 3 y= x y= k 2 5 x 2 5 2 1 10 1 0

1 2 3 4 5 6

8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Esempi di grandezze proporzionali Velocità v = st s = v.t

t = vs

# 3, 6 m/s

km/h | 3, 6

122

REGOLE E FORMULE

REGOLE E FORMULE Peso specifico

P P Ps = V P = V . Ps V= P s 2 2 2 ! Il peso specifico si esprime in g/cm , kg/dm o Mg/m , ma ricorda che il valore numerico del peso specifico non varia nelle tre modalità.

Equilibrio di forze in una leva P . b p = R . br La potenza (P) e la resistenza (R) si esprimono in newton (N) o chilogrammi forza (kg), i bracci della potenza e della resistenza sono unità di lunghezza. Legge di Ohm V = R. I Unità di misura:

V R I

V (volt) Ω (ohm) A (ampere)

Legge di Hooke l=k.F L’allungamento della molla (l) è direttamente proporzionale alla forza applicata (F), k è detta costante elastica della molla.

Calcolo letterale Monomi simili: hanno la stessa parte letterale. Es. + 3a 2 e - 4a 2 Monomi opposti: hanno la stessa parte letterale, ma i coefficienti numerici sono opposti (uno negativo e l’altro positivo) . Es. + 3ab 2 e - 3ab 2 Monomi uguali: hanno la stessa parte letterale e lo stesso coefficiente. Es. + 5x 2 e + 5x 2 Addizione algebrica Addizione algebrica di monomi Possono essere addizionati solo monomi simili, il monomio somma ha la stessa parte letterale degli addendi, mentre il coefficiente è dato dalla somma algebrica dei coefficienti. Addizione algebrica di polinomi

- 5a + 2a = ^- 5 + 2h a =- 3a

Somma: si scrivono i termini del primo e del secondo polinomio e si sommano algebricamente i termini simili. ^3a + 2b - 5h + ^2a - 5b + 2h = 3a + 2b - 5 + 2a - 5b + 2 = 5a - 3b + 3

Differenza: si scrivono i termini del primo polinomio col loro segno e quelli del secondo col segno opposto infine si sommano algebricamente i termini simili. ^3a + 2b - 5 h + ^2a - 5b + 2h = 3a + 2b - 5 - 2a + 5b - 2 = a + 7b - 7

REGOLE E FORMULE

123

REGOLE E FORMULE Moltiplicazione e divisione Prodotto di due monomi Il coefficiente è il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi, per la parte letterale si addizionano gli esponenti delle lettere uguali. + 34 a 2 b . ` - 85 ab 2 j =- 65 a 2 + 1 b 2 + 1 =- 65 a 3 b 3 Prodotto di un monomio per un polinomio

Si applica la proprietà distributiva e si moltiplica il monomio per ogni termine del polinomio. - 3ab 2 . ^2a 2 - 4bh =- 6a 3 b 2 + 12ab 3

Prodotto di due polinomi

Ogni termine del primo polinomio va moltiplicato per tutti i termini del secondo polinomio. Divisione tra due monomi

^2a - 3b h . ^4a - 5b h = 8a 2 - 10ab - 12ab + 15b 2

Il coefficiente è il quoziente dei coefficienti dei due monomi, per la parte letterale si sottraggono gli esponenti del secondo monomio da quelli del primo. - 35a 2 b 3 | 10a 2 b =- 72 a 2 - 2 b 3 - 1 - 72 b 2 Divisione tra un polinomio e un monomio

Si applica la proprietà distributiva della divisione: ogni termine del polinomio va diviso per il monomio. ^12x 4 - 6x 3 + 18x 2 - 9xh | ^- 3xh = 4x 3 + 2x 2 - 6x + 3 Potenza di un monomio

Si calcola la potenza del coefficiente e si moltiplicano gli esponenti di ogni lettera per l’esponente della potenza a cui è elevato il monomio. ^12x 4 - 6x 3 + 18x 2 - 9xh | ^- 3xh = 4x 3 + 2x 2 - 6x + 3

! Il segno della potenza è sempre positivo si l’esponente è pari, mentre mantiene il segno della base se

l’esponente è dispari.

Prodotti notevoli Prodotto tra la somma e la differenza di due monomi ^a + b h^a - b h = a 2 - b 2 Quadrato di un binomio Cubo di un binomio

^a + b h2 = a 2 + 2ab + b 2 ^a - b h2 = a 2 - 2ab + b 2

^a + b h3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

^a - b h3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Equazioni Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti almeno una incognita (una lettera, in genere x). La soluzione di un’equazione è un valore da assegnare alla x in modo tale che i risultati delle due espressioni del primo e secondo membro siano uguali. ! Ricorda che un’equazione è verificata solo per uno o alcuni valori di x, mentre un’identità è verificata

per qualsiasi valore di x.

Due equazioni che ammettono la stessa soluzione si dicono equivalenti.

124

REGOLE E FORMULE

REGOLE E FORMULE Verificare un’equazione Verificare un’equazione significa sostituire alla x dell’equazione il risultato e riscontrare che si ottiene un’uguaglianza. Verifica che x =+ 2 è soluzione dell’equazione 4 ^ x - 4 h = 5 ^ x - 2 h - 4x : 4 ^^+ 2h - 4h = 5 ^^+ 2h - 2h - 4 ^+ 2h 4 ^- 2h = 5 . 0 - 8

Verifica che x =- 2 è soluzione dell’equazione 4 ^ x - 4 h = 5 ^ x - 2 h - 4x :

-8 = 0 - 8 - 8 =- 8

4 ^^- 2h - 4h = 5 ^^- 2h - 2h - 4 ^- 2h 4 ^- 6h = 5 . ^- 4h + 8 - 24 =- 20 + 8 - 24 ! - 14

L’equazione è verificata per x =+ 2

L’equazione non è verificata per x =- 2

Come risolvere un’equazione Per risolvere un’equazione dapprima si deve, attraverso una serie di passaggi, semplificare l’equazione fino alla forma normale ax = b . In ogni passaggio l’equazione scritta deve essere equivalente alla precedente. Conseguenze Principio del trasporto: in una equazione un qualsiasi termine può essere trasportato da un membro all’altro purché lo si cambi di segno.

Primo principio di equivalenza Addizionando o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, si ottiene un’equazione equiSe in un’equazione ci sono in valente a quella data. ciascun membro due termini uguali, questi possono essere eliminati. Secondo principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Esempi 3x - 5 =+ 4 3x =+ 5 =+ 4 5x = 2x - 6 5x - 2x =- 6

5x - 2 = 3 - x - 2 5x - 2 = 3 - x - 2 5x = 3 - x

Se si cambia il segno a ogni ter- - 5x + 3 =- 2x - 2 mine di un’equazione si ottiene 5x - 3 = 2x + 2 un’equazione equivalente a quella data. Un’equazione che presenta termini con coefficienti frazionari può essere trasformata in un’equazione con coefficienti interi, moltiplicando ciascun membro per il m.c.m. dei denominatori.

x 3x + 2 x+3 1 3- 4 = 2 +6 m.c.m. = 12 3 1 . ` 3x - 3x 4+ 2 j . 12 = ` x + 2 + 6 j 12 x. 3x + 2 . 12 = x + 3 . 12 + 1 . 12 3 12 - 4 2 6 . . 4x - ^3x + 2h 3 = ^ x + 3h 6 + 2 REGOLE E FORMULE

125

REGOLE E FORMULE Discutere di un’equazione Discutere un’equazione significa individuare il numero di soluzioni dell’equazione stessa. Per un’equazione di primo grado ridotta alla forma normale ax = b si possono avere i seguenti casi: b!0

x = ba

determinata

ammette una sola soluzione 2x = 6

x = 62 = 3

b=0

x = 0a

determinata

ammette una sola soluzione 2x = 0

b!0

x = b0

impossibile

non ammette soluzioni

0x = 6

b=0

x = 00

indeterminata

ammette infinite soluzioni

0x = 0

x = 02 = 0 x = 60 impossibile x = 00 indeterminata

a!0

a=0

Rette nel piano cartesiano Equazioni della retta generica x = kx + q k è il coefficiente angolare q è il termine noto e rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse y. Rette parallele Sono parallele due rette che hanno lo stesso coefficiente angolare k. kl = k Rette perpendicolari Sono perpendicolari due rette se il prodotto dei loro coefficienti angolari è –1, ovvero il coefficiente di una è l’opposto del reciproco del coefficiente dell’altra: k l =- 1 k Equazioni di rette particolari y = kx Retta per l’origine: Rette parallele all’asse x: y = k Rette parallele all’asse y: x = k y=0 Equazione dell’asse x: x=0 Equazione dell’asse y: Intersezione di una retta con gli assi cartesiani Asse y: nell’equazione della retta si sostituisce x = 0 e si risolve per y. Asse x: nell’equazione della retta si sostituisce y = 0 e si risolve per x. Intersezioni di due rette Determina prima il valore della x, eguagliando i secondi membri delle due equazioni. Equazione della retta passante per due punti Retta passante per P ^ x 1; y 1h e ^ x 2; y 2h : y - y1 x - x1 y2 - y1 = x2 - x1

126

REGOLE E FORMULE

SOLUZIONI GRAFICHE Allenamento 11

Allenamento 22

Allenamento 35 y

A r

-10

-6

-8

-4

-2

D 5

-4

B C'

-8

Allenamento 23

-5

Allenamento 12 r

-5

-6

Allenamento 36

6 5 Frequenza (n)

3 2

-10

-6 6

-8

-4 4

-2 2

1 4

D' -2

Punteggio

Allenamento 24

-4

-6

Alunni (n)

s 10

4 3

C 5

1 A'

-5

Allenamento 13

3 4 Porzioni (n)

Allenamento 25

-5

Allenamento 14 -10

12 10

8 Alunni (n)

B 5

città

A 5

montagna

x 10

P O'

crociera

0 mare

-5

Allenamento 15 10

Temperatura (°C)

0 -2 2

campagna

altro

Allenamento 37 14

x -2

città

-4

montagna

crociera

Allenamento 27

-10

-6

mare

6 4

O 0

-5

altro

campagna

-5

- 10

-4

Giorno

-6

2 -8

Allenamento 28

Allenamento 21

x 0

B 10

Alunni (n)

6 4 2

0 145-150

150-155

155-160

160-165

165-170

170-175

Altezza (cm)

SOLUZIONI GRAFICHE

127

18 16 14 12

Allenamento 38

Allenamento 43 10

Prova 1 Quesito 4

y (m)

0.2

300

6 0.15

y (A)

250

200

y (A) 0.1

2 250

150

200

400

600

0.05

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

x( )

100

200 50

Allenamento 44

G 0

100

150

200

100

150

200

250

x (V)

Prova 2 Quesito 2

150

x (s)

Allenamento 39 50

100

y (N)

y (cm)

-10

10 300

-5 5

A' A -5

x (cm) 0

250

x (cm)

Prova 2 Quesito 3

Allenamento 45

Allenamento 40 200

100 5

80 4

150 60

y (m)

y (N)

100

y (m/s)

x (g)

x (cm)

100

y (cm) 10

160

-2

100

150

200

250

300

x (g)

120

x 2

400

-8

450

500

550

8 7

80 Alunni (n)

60 40

5 4 3 2 1

0 0

5000

10000

15000

20000

25000

x (g)

SOLUZIONI GRAFICHE

30000

35000

40000

45000

Libri letti (n)

50000

55000

60000

-6

-4

-2

Prova 1 Quesito 3

Allenamento 42 100

-2

350

O e

-2

140

y (g/cm2)

B O

-4c

-6

3 x (s)

Prova 1 Quesito 1

Allenamento 41 20

128

120

e' 2

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