3.1 Aritmetisk talföljd och summa
7 Exempel:
a) Är det en ändlig eller oändlig talföljd?
Talföljder och mönster Hur fortsätter raderna? A B D G K 2 –4 6 –8 10
b) Ange de fem första elementen i talföljden.
Inte sällan förekommer talföljder i ”knep och knåp” eller i så kallade IQ-test. Ofta ska man tala om hur talföljden fortsätter. Två exempel på talföljder är A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 B: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
c) Är talföljden beskriven med en rekursiv eller en sluten formel?
Lösning:
Index
Rekursiv formel
Sluten formel
Ofta beskriver man talföljderna med en formel. I en rekursiv formel anger man ett startvärde och beskriver därefter nästa element med hjälp av det föregående. Ibland måste man ange mer än ett startvärde och använda flera element för att få det följande elementet. Talföljderna ovan beskrivs rekursivt genom:
7 Exempel:
A: a1 = 1; an = an – 1 + 2 för n = 2, 3, 4, …, 8
a2 = 5 ∙ 2 – 1 = 9
a3 = 5 ∙ 3 – 1 = 14
a4 = 5 ∙ 4 – 1 = 19
a5 = 5 ∙ 5 – 1 = 24
Svar: 4, 9, 14, 19, 24
Lösning:
Svar: Det är en sluten formel.
Beskriv talföljden 2, 6, 18, 54, 162, 486 med en rekursiv formel. a1 = 2
Det första elementet är 2
B: b1 = 3; bn = 2bn – 1 för n = 2, 3, …, 7
Man får nästa element genom att multiplicera det föregående med 3.
Ett annat sätt att beskriva en talföljd är genom en sluten formel. Man får då elementets värde genom att sätta in värdet på dess index i formeln.
an = 3an – 1 för n = 2, 3, 4, 5, 6
Det är totalt 6 element
Svar: a1 = 2; an = 3an – 1 för n = 2, …, 6
B: bn = 3 ∙ 2n – 1 Ger t.ex. b4 = 3 ∙ 24 – 1 = 24
I A är differensen mellan två på varandra följande element konstant. Då säger man att det är en aritmetisk talföljd. I B är i stället kvoten mellan två element konstant och den kallas en geometrisk talföljd. En välkänd talföljd är Fibonaccis talföljd, som inleds 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Man får nästa element genom att addera de två föregående elementen med varandra. Punkterna i slutet betyder att talföljden fortsätter i oändlighet. Fibonaccis talföljd beskrivs enklast med en rekursiv formel. f1 = f2 = 1; fn = fn – 1 + fn – 2 för n > 2
Här behövs två startvärden
Talföljderna A och B har ett ändligt antal element, dvs. talföljden ”tar slut”. Sådana talföljder kallas för ändliga talföljder. Fibonaccis talföljd är ett exempel på en oändlig talföljd.
80
c) I formeln an = 5n – 1 får man värdet av ett element genom att sätta in värdet på index, alltså är det en sluten formel.
A: an = 2n – 1 Ger a1 = 2 ∙ 1 – 1 = 1; a2 = 2 ∙ 2 – 1 = 3 osv. Leonardo Fibonacci (1170–1250) har gett namn åt Fibonaccis talföljd.
a) Eftersom det inte finns några begränsningar för n, så är talföljden oändlig. b) a1 = 5 ∙ 1 – 1 = 4
Talen i en talföljd kallas för element. Talföljd A är en uppräkning där elementen är de åtta första positiva udda talen. B är en talföljd som börjar med 3 och där man får nästa element genom att dubbla det föregående. Elementen i talföljden brukar man beteckna med en bokstav och ett index. Elementen i talföljd A kan då kallas a1, a2, a3 osv. I exemplet ovan får vi alltså a1 = 1, a2 = 3 och a3 = 5.
En talföljd anges med formeln an = 5n – 1.
talföljder och summor • 3.1 aritmetisk talföljd och summa
a-uppgifter 3101 Vilka tal saknas i talföljderna? a) 5, 10, 20, , 80, 1 1 1 b) __ , __ , , ___ 2 4 16 c) 2, 5, , 11, , 17 3102 Vilken är den konstanta differensen respektive kvoten mellan elementen i talföljderna A och B i texten på föregående sida?
3103 Vilken är den konstanta differensen respektive kvoten i talföljderna a) 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55 b) 0,5, 2, 8, 32, 128, … 3104 Bestäm de fem första elementen i en talföljd där a) an = n – 2 b) an = 5 – 3n c) an = 2n – 1 3 d) an = __ n talföljder och summor • 3.1 aritmetisk talföljd och summa
81