Page 1

Origo

Origo

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper. Serien består av Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91-622-8812-9

www.bonnierutbildning.se

(8812-9)

Matematik kurs C för naturvetenskapliga och tekniska program BON N I E R S


Till läsaren DEN HÄR BOKEN i serien ORIGO är skriven för dig som går Naturvetenskaps-

eller Teknikprogrammet och ska läsa Matematik C. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal. • ORIGO kurs C är indelad i sex kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå. BONNIER UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs C för NV och TE ISBN 978-91–622–8812-9 © 2008 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Italy by STIGE S.p.A. Turin 2008

• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din grafritande räknare. • Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden. • Efter varje delkapitel kommer Diskutera och fundera. Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet. • I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv. • Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet. • Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. Dessa har mer laborativ karaktär och kräver ibland tillgång till material eller dator. • Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen. Lycka till! Författarna


Till läsaren DEN HÄR BOKEN i serien ORIGO är skriven för dig som går Naturvetenskaps-

eller Teknikprogrammet och ska läsa Matematik C. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal. • ORIGO kurs C är indelad i sex kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå. BONNIER UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10

Redaktion: Karolina Danström och Olof Edblom Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jakob Robertsson Bildredaktör: Margareta Söderberg

Origo kurs C för NV och TE ISBN 978-91–622–8812-9 © 2008 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen

Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Printed in Italy by STIGE S.p.A. Turin 2008

• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. I samband med exemplen finns kortfattade instruktioner till hur du kan använda din grafritande räknare. • Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden. • Efter varje delkapitel kommer Diskutera och fundera. Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet. • I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv. • Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet. • Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. Dessa har mer laborativ karaktär och kräver ibland tillgång till material eller dator. • Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen. Lycka till! Författarna


Innehåll 1 Algebraiska uttryck

6

1.1 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Värdet av ett polynom 8 Multiplikation av polynom Faktorisera polynom 13

46

2.1 Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Potenser 48 Grafer till potensfunktioner

11

1.2 Polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Andragradsekvationer 15 Mer om polynomekvationer 18 Problemlösning med algebraiska metoder Grafen till en polynomfunktion 23 Faktorsatsen 26

2 Logaritmer

21

1.3 Rationella uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Förkortning och förlängning 29 Addition och subtraktion 31 Multiplikation och division 33 Rationella funktioner 35

Historia: Sophie Germain och Fermats sista sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

51

2.2 Exponentialfunktioner och logaritmer . . . 56 Vad är en exponentialfunktion? 56 Logaritmer – ett sätt att lösa exponentialekvationer Logaritmlagarna 63 Naturvetenskapliga tillämpningar 67

4.1 Sekanter och tangenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Räta linjens ekvation 104 Sekantens lutning 108 Tangentens lutning 111 Numerisk derivering 115

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 78

3.1 Aritmetisk talföljd och summa. . . . . . . . . . . 80 Talföljder och mönster 80 Aritmetiska talföljder 83

3.2 Geometrisk talföljd och summa . . . . . . . . . . 86 93

Historia: Intelligenstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Grafer och derivata

162

6.1 Samband mellan funktionens graf och dess derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Växande och avtagande funktioner 164 Derivatans nollställen 168

Derivatans definition 119 Derivatans användning 123

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Geometriska talföljder 86 Geometrisk summa 89 Talföljder och gränsvärden

102

4.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

59

Historia: Från logaritmtabell till räknesticka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Talföljder och summor

4 Ändringskvot och derivata

6.2 Största och minsta värde . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 173 Maximi- och minimiproblem 176

Historia: Tangenters konstruktion . . . . . . 126

Historia: Fermats metod för extrempunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5 Deriveringsregler

132

5.1 Deriveringsregler för potensoch polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Derivatan av enkla potensfunktioner 134 Derivatan av polynomfunktioner 138 Mer om derivatan av potensfunktioner 140

5.2 Derivatan av exponentialfunktioner . . . . 144 Derivatan av ex 144 Derivatan av ekx och ax 148 Derivatans tillämpningar 151

Historia: Newton, Leibniz och derivatan 156 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Facit

186

Register

206


Innehåll 1 Algebraiska uttryck

6

1.1 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Värdet av ett polynom 8 Multiplikation av polynom Faktorisera polynom 13

46

2.1 Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Potenser 48 Grafer till potensfunktioner

11

1.2 Polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Andragradsekvationer 15 Mer om polynomekvationer 18 Problemlösning med algebraiska metoder Grafen till en polynomfunktion 23 Faktorsatsen 26

2 Logaritmer

21

1.3 Rationella uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Förkortning och förlängning 29 Addition och subtraktion 31 Multiplikation och division 33 Rationella funktioner 35

Historia: Sophie Germain och Fermats sista sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

51

2.2 Exponentialfunktioner och logaritmer . . . 56 Vad är en exponentialfunktion? 56 Logaritmer – ett sätt att lösa exponentialekvationer Logaritmlagarna 63 Naturvetenskapliga tillämpningar 67

4.1 Sekanter och tangenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Räta linjens ekvation 104 Sekantens lutning 108 Tangentens lutning 111 Numerisk derivering 115

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 78

3.1 Aritmetisk talföljd och summa. . . . . . . . . . . 80 Talföljder och mönster 80 Aritmetiska talföljder 83

3.2 Geometrisk talföljd och summa . . . . . . . . . . 86 93

Historia: Intelligenstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Grafer och derivata

162

6.1 Samband mellan funktionens graf och dess derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Växande och avtagande funktioner 164 Derivatans nollställen 168

Derivatans definition 119 Derivatans användning 123

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Geometriska talföljder 86 Geometrisk summa 89 Talföljder och gränsvärden

102

4.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

59

Historia: Från logaritmtabell till räknesticka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Talföljder och summor

4 Ändringskvot och derivata

6.2 Största och minsta värde . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Kurvkonstruktion med hjälp av derivata 173 Maximi- och minimiproblem 176

Historia: Tangenters konstruktion . . . . . . 126

Historia: Fermats metod för extrempunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5 Deriveringsregler

132

5.1 Deriveringsregler för potensoch polynomfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Derivatan av enkla potensfunktioner 134 Derivatan av polynomfunktioner 138 Mer om derivatan av potensfunktioner 140

5.2 Derivatan av exponentialfunktioner . . . . 144 Derivatan av ex 144 Derivatan av ekx och ax 148 Derivatans tillämpningar 151

Historia: Newton, Leibniz och derivatan 156 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Facit

186

Register

206


2 Logaritmer Logaritmer har spelat en viktig roll vid numeriska beräkningar under mer än 300 år.

Innehåll 2.1 Potensfunktioner 2.2 Exponentialfunktioner och logaritmer

Förkunskaper • Procenträkning med förändringsfaktor • Algebra • Potenser

Mål • Kunna använda potenslagarna • Förstå och kunna använda potensfunktioner • Kunna lösa potensekvationer • Förstå och kunna använda exponentialfunktioner • Veta hur grafer till olika potens- och exponentialfunktioner ser ut • Behärska logaritmlagarna • Kunna lösa exponentialekvationer

”T

he greatest shortcoming of the human race is our inability to understand the exponential function.” Det här berömda citatet kommer från den amerikanske fysikern Albert A. Bartlett. Han menar att även en liten procentuell tillväxt kan leda till stora förändringar över en lång tidsperiod. Det han tänker på är framförallt befolkningsökningen i världen, men också hoten inom miljöområdet visar exponentiell tillväxt. 46

47


2 Logaritmer Logaritmer har spelat en viktig roll vid numeriska beräkningar under mer än 300 år.

Innehåll 2.1 Potensfunktioner 2.2 Exponentialfunktioner och logaritmer

Förkunskaper • Procenträkning med förändringsfaktor • Algebra • Potenser

Mål • Kunna använda potenslagarna • Förstå och kunna använda potensfunktioner • Kunna lösa potensekvationer • Förstå och kunna använda exponentialfunktioner • Veta hur grafer till olika potens- och exponentialfunktioner ser ut • Behärska logaritmlagarna • Kunna lösa exponentialekvationer

”T

he greatest shortcoming of the human race is our inability to understand the exponential function.” Det här berömda citatet kommer från den amerikanske fysikern Albert A. Bartlett. Han menar att även en liten procentuell tillväxt kan leda till stora förändringar över en lång tidsperiod. Det han tänker på är framförallt befolkningsökningen i världen, men också hoten inom miljöområdet visar exponentiell tillväxt. 46

47


3.1 Aritmetisk talföljd och summa

7 Exempel:

a) Är det en ändlig eller oändlig talföljd?

Talföljder och mönster Hur fortsätter raderna? A B D G K 2 –4 6 –8 10

b) Ange de fem första elementen i talföljden.

Inte sällan förekommer talföljder i ”knep och knåp” eller i så kallade IQ-test. Ofta ska man tala om hur talföljden fortsätter. Två exempel på talföljder är A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 B: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192

c) Är talföljden beskriven med en rekursiv eller en sluten formel?

Lösning:

Index

Rekursiv formel

Sluten formel

Ofta beskriver man talföljderna med en formel. I en rekursiv formel anger man ett startvärde och beskriver därefter nästa element med hjälp av det föregående. Ibland måste man ange mer än ett startvärde och använda flera element för att få det följande elementet. Talföljderna ovan beskrivs rekursivt genom:

7 Exempel:

A: a1 = 1; an = an – 1 + 2 för n = 2, 3, 4, …, 8

a2 = 5 ∙ 2 – 1 = 9

a3 = 5 ∙ 3 – 1 = 14

a4 = 5 ∙ 4 – 1 = 19

a5 = 5 ∙ 5 – 1 = 24

Svar: 4, 9, 14, 19, 24

Lösning:

Svar: Det är en sluten formel.

Beskriv talföljden 2, 6, 18, 54, 162, 486 med en rekursiv formel. a1 = 2

Det första elementet är 2

B: b1 = 3; bn = 2bn – 1 för n = 2, 3, …, 7

Man får nästa element genom att multiplicera det föregående med 3.

Ett annat sätt att beskriva en talföljd är genom en sluten formel. Man får då elementets värde genom att sätta in värdet på dess index i formeln.

an = 3an – 1 för n = 2, 3, 4, 5, 6

Det är totalt 6 element

Svar: a1 = 2; an = 3an – 1 för n = 2, …, 6

B: bn = 3 ∙ 2n – 1 Ger t.ex. b4 = 3 ∙ 24 – 1 = 24

I A är differensen mellan två på varandra följande element konstant. Då säger man att det är en aritmetisk talföljd. I B är i stället kvoten mellan två element konstant och den kallas en geometrisk talföljd. En välkänd talföljd är Fibonaccis talföljd, som inleds 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Man får nästa element genom att addera de två föregående elementen med varandra. Punkterna i slutet betyder att talföljden fortsätter i oändlighet. Fibonaccis talföljd beskrivs enklast med en rekursiv formel. f1 = f2 = 1; fn = fn – 1 + fn – 2 för n > 2

Här behövs två startvärden

Talföljderna A och B har ett ändligt antal element, dvs. talföljden ”tar slut”. Sådana talföljder kallas för ändliga talföljder. Fibonaccis talföljd är ett exempel på en oändlig talföljd.

80

c) I formeln an = 5n – 1 får man värdet av ett element genom att sätta in värdet på index, alltså är det en sluten formel.

A: an = 2n – 1 Ger a1 = 2 ∙ 1 – 1 = 1; a2 = 2 ∙ 2 – 1 = 3 osv. Leonardo Fibonacci (1170–1250) har gett namn åt Fibonaccis talföljd.

a) Eftersom det inte finns några begränsningar för n, så är talföljden oändlig. b) a1 = 5 ∙ 1 – 1 = 4

Talen i en talföljd kallas för element. Talföljd A är en uppräkning där elementen är de åtta första positiva udda talen. B är en talföljd som börjar med 3 och där man får nästa element genom att dubbla det föregående. Elementen i talföljden brukar man beteckna med en bokstav och ett index. Elementen i talföljd A kan då kallas a1, a2, a3 osv. I exemplet ovan får vi alltså a1 = 1, a2 = 3 och a3 = 5.

En talföljd anges med formeln an = 5n – 1.

talföljder och summor • 3.1 aritmetisk talföljd och summa

a-uppgifter 3101 Vilka tal saknas i talföljderna? a) 5, 10, 20, , 80, 1 1 1 ​   ​  b) ​ __ ​ , ​ __  ​, , ___ 2 4 16 c) 2, 5, , 11, , 17 3102 Vilken är den konstanta differensen respektive kvoten mellan elementen i talföljderna A och B i texten på föregående sida?

3103 Vilken är den konstanta differensen respektive kvoten i talföljderna a) 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55 b) 0,5, 2, 8, 32, 128, … 3104 Bestäm de fem första elementen i en talföljd där a) an = n – 2 b) an = 5 – 3n c) an = 2n – 1 3 ​   ​ d) an = __ n talföljder och summor • 3.1 aritmetisk talföljd och summa

81


3.1 Aritmetisk talföljd och summa

7 Exempel:

a) Är det en ändlig eller oändlig talföljd?

Talföljder och mönster Hur fortsätter raderna? A B D G K 2 –4 6 –8 10

b) Ange de fem första elementen i talföljden.

Inte sällan förekommer talföljder i ”knep och knåp” eller i så kallade IQ-test. Ofta ska man tala om hur talföljden fortsätter. Två exempel på talföljder är A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 B: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192

c) Är talföljden beskriven med en rekursiv eller en sluten formel?

Lösning:

Index

Rekursiv formel

Sluten formel

Ofta beskriver man talföljderna med en formel. I en rekursiv formel anger man ett startvärde och beskriver därefter nästa element med hjälp av det föregående. Ibland måste man ange mer än ett startvärde och använda flera element för att få det följande elementet. Talföljderna ovan beskrivs rekursivt genom:

7 Exempel:

A: a1 = 1; an = an – 1 + 2 för n = 2, 3, 4, …, 8

a2 = 5 ∙ 2 – 1 = 9

a3 = 5 ∙ 3 – 1 = 14

a4 = 5 ∙ 4 – 1 = 19

a5 = 5 ∙ 5 – 1 = 24

Svar: 4, 9, 14, 19, 24

Lösning:

Svar: Det är en sluten formel.

Beskriv talföljden 2, 6, 18, 54, 162, 486 med en rekursiv formel. a1 = 2

Det första elementet är 2

B: b1 = 3; bn = 2bn – 1 för n = 2, 3, …, 7

Man får nästa element genom att multiplicera det föregående med 3.

Ett annat sätt att beskriva en talföljd är genom en sluten formel. Man får då elementets värde genom att sätta in värdet på dess index i formeln.

an = 3an – 1 för n = 2, 3, 4, 5, 6

Det är totalt 6 element

Svar: a1 = 2; an = 3an – 1 för n = 2, …, 6

B: bn = 3 ∙ 2n – 1 Ger t.ex. b4 = 3 ∙ 24 – 1 = 24

I A är differensen mellan två på varandra följande element konstant. Då säger man att det är en aritmetisk talföljd. I B är i stället kvoten mellan två element konstant och den kallas en geometrisk talföljd. En välkänd talföljd är Fibonaccis talföljd, som inleds 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Man får nästa element genom att addera de två föregående elementen med varandra. Punkterna i slutet betyder att talföljden fortsätter i oändlighet. Fibonaccis talföljd beskrivs enklast med en rekursiv formel. f1 = f2 = 1; fn = fn – 1 + fn – 2 för n > 2

Här behövs två startvärden

Talföljderna A och B har ett ändligt antal element, dvs. talföljden ”tar slut”. Sådana talföljder kallas för ändliga talföljder. Fibonaccis talföljd är ett exempel på en oändlig talföljd.

80

c) I formeln an = 5n – 1 får man värdet av ett element genom att sätta in värdet på index, alltså är det en sluten formel.

A: an = 2n – 1 Ger a1 = 2 ∙ 1 – 1 = 1; a2 = 2 ∙ 2 – 1 = 3 osv. Leonardo Fibonacci (1170–1250) har gett namn åt Fibonaccis talföljd.

a) Eftersom det inte finns några begränsningar för n, så är talföljden oändlig. b) a1 = 5 ∙ 1 – 1 = 4

Talen i en talföljd kallas för element. Talföljd A är en uppräkning där elementen är de åtta första positiva udda talen. B är en talföljd som börjar med 3 och där man får nästa element genom att dubbla det föregående. Elementen i talföljden brukar man beteckna med en bokstav och ett index. Elementen i talföljd A kan då kallas a1, a2, a3 osv. I exemplet ovan får vi alltså a1 = 1, a2 = 3 och a3 = 5.

En talföljd anges med formeln an = 5n – 1.

talföljder och summor • 3.1 aritmetisk talföljd och summa

a-uppgifter 3101 Vilka tal saknas i talföljderna? a) 5, 10, 20, , 80, 1 1 1 ​   ​  b) ​ __ ​ , ​ __  ​, , ___ 2 4 16 c) 2, 5, , 11, , 17 3102 Vilken är den konstanta differensen respektive kvoten mellan elementen i talföljderna A och B i texten på föregående sida?

3103 Vilken är den konstanta differensen respektive kvoten i talföljderna a) 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55 b) 0,5, 2, 8, 32, 128, … 3104 Bestäm de fem första elementen i en talföljd där a) an = n – 2 b) an = 5 – 3n c) an = 2n – 1 3 ​   ​ d) an = __ n talföljder och summor • 3.1 aritmetisk talföljd och summa

81


Derivatan av ekx och ax

Derivatan av f(x) = 5x

Inom naturvetenskapen är det vanligt att händelser beskrivs med exponentialfunktioner som är beroende av tiden. Till exempel kan man beskriva avsvalningen för kaffe, som har temperaturen 90 °C och står i en termos i 0 °C utomhus, med funktionsuttrycket

För logaritmer gäller att om basen är 10, så kan talet 5 skrivas som 10log 5. Om basen i stället är e, så kan talet 5 skrivas som eln 5, där ln betyder loge och kallas för den naturliga logaritmen. Repetera gärna logaritmer i kapitel 2.

f(t) = 90e–0,043t, där f(t) är kaffets temperatur i °C efter t timmar.

Derivatan av f(x) = e2x

Vi vill beräkna derivatan av f(x) = 5x. Om vi kan uttrycka potensen 5x som en potens med basen e, så kan vi använda de redan kända deriveringsreglerna för ekx. Vi skriver om 5 till basen e med hjälp av logaritmer.

Funktionen kan alltså skrivas

För att veta hur snabbt kaffets temperatur förändras vid en viss tidpunkt behöver man kunna bestämma exponentialfunktionens derivata. Men f(t) = 90e–0,043t har en koefficient, –0,043, i exponenten. Vi börjar därför med att hitta deriveringsregler för en funktion av typen f(x) = ekx , där k är en konstant.

Enligt deriveringsreglerna för ekx har vi

Vi deriverar f(x) = e2x med hjälp av derivatans definition

På samma sätt kan man visa att derivatan för f(x) = 52x är f´(x) = 52x ∙ ln 5 ∙ 2.

f(x + h) – f(x) e2(x + h) – e2x e2x + 2h – e2x f´(x) = lim ____________ = lim __________ = lim __________ = h→0 h→0 h→0 h h h

Derivatan av f(x) = ax och f(x) = akx

2x

2h

2x

2x

2h

f(x) = 5x = (eln 5)x = ex ln 5

f´(x) = ex ln 5 ∙ ln 5 = 5x ∙ ln 5

f(x) = ax har derivatan f´(x) = ax ∙ ln a

2h

e ∙e –e e (e – 1) e –1 = lim __________ = lim _________ = e2x ∙ lim ______ h→0

h

h→0

h

h→0

f(x) = akx, där k är konstant, har derivatan f´(x) = akx ∙ ln a ∙ k

h

Faktorn e2x påverkar inte gränsvärdet av uttrycket när h går mot 0, därför e2h – 1 kan vi skriva uttrycket som en produkt av e2x och gränsvärdet av ______ h

e2h – 1 f´(x) = e2x ∙ lim ______ h→0 h

ln 5 är ett tal och e x ln 5 följer formen ekx

Naturliga logaritmen Om y = ex, så är x = loge y = ln y Logaritmen med basen e, (loge), kallas för den naturliga logaritmen och betecknas ln.

eh – 1 Vi har tidigare visat att lim _____ = 1 h→0 h

e2h – 1 Vi beräknar lim ______ genom att förlänga bråket med 2: h→0 h

ON

På din räknare

e2h – 1 e2h – 1 lim 2 ∙ ______ = 2 ∙ lim ______ = 2 ∙ 1 = 2 h→0 h → 0 2h 2h

Om du vill beräkna ln 5 på din räknare, så trycker du LN 5 ENTER .

e2h – 1 lim ______ = 1 2h

h→0

f(x) = e2x har alltså derivatan f´(x) = e2x ∙ 2

7 Exempel:

kx

Derivatan av e

f(x) = ekx, där k är konstant, har derivatan f´(x) = ekx ∙ k Derivatan f´(t) för kaffets temperatur f(t) = 90e–0,043t är alltså

Derivatan av f(x) = ax

a) y = 2e3x

b) f(x) = 5 ∙ 4x

c) g(x) = 4e–x + 5x2 – e7x

d) h(x) = x3 – 11 ∙ 35x

a) y´ = 2e3x ∙ 3 = 6e3x

f´(t) = 90 ∙ e–0,043t ∙ (–0,043) = –3,87e–0,043t

b) f´(x) = 5 ∙ 4x ∙ ln 4 = 5 ln 4 ∙ 4x

I föregående avsnitt har vi visat numeriskt att

c) g´(x) = 4 ∙ e–x ∙ (–1) + 5 ∙ 2x – e7x ∙ 7 =

f(x) = 2x har f´(x) ≈ 0,69 ∙ 2x och f(x) = 3x har f´(x) ≈ 1,10 ∙ 3x. Vi ska ta reda på om det finns ett enklare sätt att beräkna derivatan av f(x) = ax exakt.

148

Lösning:

Bestäm derivatan av följande funktioner exakt

deriveringsregler • 5.2 derivatan av exponentialfunktioner

Derivera varje term för sig

= –4e–x + 10x – 7e7x d) h´(x) = 3x2 – 11 ∙ 35x ∙ ln 3 ∙ 5 = 3x2 – 55 ln 3 ∙ 35x

deriveringsregler • 5.2 derivatan av exponentialfunktioner

149


Derivatan av ekx och ax

Derivatan av f(x) = 5x

Inom naturvetenskapen är det vanligt att händelser beskrivs med exponentialfunktioner som är beroende av tiden. Till exempel kan man beskriva avsvalningen för kaffe, som har temperaturen 90 °C och står i en termos i 0 °C utomhus, med funktionsuttrycket

För logaritmer gäller att om basen är 10, så kan talet 5 skrivas som 10log 5. Om basen i stället är e, så kan talet 5 skrivas som eln 5, där ln betyder loge och kallas för den naturliga logaritmen. Repetera gärna logaritmer i kapitel 2.

f(t) = 90e–0,043t, där f(t) är kaffets temperatur i °C efter t timmar.

Derivatan av f(x) = e2x

Vi vill beräkna derivatan av f(x) = 5x. Om vi kan uttrycka potensen 5x som en potens med basen e, så kan vi använda de redan kända deriveringsreglerna för ekx. Vi skriver om 5 till basen e med hjälp av logaritmer.

Funktionen kan alltså skrivas

För att veta hur snabbt kaffets temperatur förändras vid en viss tidpunkt behöver man kunna bestämma exponentialfunktionens derivata. Men f(t) = 90e–0,043t har en koefficient, –0,043, i exponenten. Vi börjar därför med att hitta deriveringsregler för en funktion av typen f(x) = ekx , där k är en konstant.

Enligt deriveringsreglerna för ekx har vi

Vi deriverar f(x) = e2x med hjälp av derivatans definition

På samma sätt kan man visa att derivatan för f(x) = 52x är f´(x) = 52x ∙ ln 5 ∙ 2.

f(x + h) – f(x) e2(x + h) – e2x e2x + 2h – e2x f´(x) = lim ____________ = lim __________ = lim __________ = h→0 h→0 h→0 h h h

Derivatan av f(x) = ax och f(x) = akx

2x

2h

2x

2x

2h

f(x) = 5x = (eln 5)x = ex ln 5

f´(x) = ex ln 5 ∙ ln 5 = 5x ∙ ln 5

f(x) = ax har derivatan f´(x) = ax ∙ ln a

2h

e ∙e –e e (e – 1) e –1 = lim __________ = lim _________ = e2x ∙ lim ______ h→0

h

h→0

h

h→0

f(x) = akx, där k är konstant, har derivatan f´(x) = akx ∙ ln a ∙ k

h

Faktorn e2x påverkar inte gränsvärdet av uttrycket när h går mot 0, därför e2h – 1 kan vi skriva uttrycket som en produkt av e2x och gränsvärdet av ______ h

e2h – 1 f´(x) = e2x ∙ lim ______ h→0 h

ln 5 är ett tal och e x ln 5 följer formen ekx

Naturliga logaritmen Om y = ex, så är x = loge y = ln y Logaritmen med basen e, (loge), kallas för den naturliga logaritmen och betecknas ln.

eh – 1 Vi har tidigare visat att lim _____ = 1 h→0 h

e2h – 1 Vi beräknar lim ______ genom att förlänga bråket med 2: h→0 h

ON

På din räknare

e2h – 1 e2h – 1 lim 2 ∙ ______ = 2 ∙ lim ______ = 2 ∙ 1 = 2 h→0 h → 0 2h 2h

Om du vill beräkna ln 5 på din räknare, så trycker du LN 5 ENTER .

e2h – 1 lim ______ = 1 2h

h→0

f(x) = e2x har alltså derivatan f´(x) = e2x ∙ 2

7 Exempel:

kx

Derivatan av e

f(x) = ekx, där k är konstant, har derivatan f´(x) = ekx ∙ k Derivatan f´(t) för kaffets temperatur f(t) = 90e–0,043t är alltså

Derivatan av f(x) = ax

a) y = 2e3x

b) f(x) = 5 ∙ 4x

c) g(x) = 4e–x + 5x2 – e7x

d) h(x) = x3 – 11 ∙ 35x

a) y´ = 2e3x ∙ 3 = 6e3x

f´(t) = 90 ∙ e–0,043t ∙ (–0,043) = –3,87e–0,043t

b) f´(x) = 5 ∙ 4x ∙ ln 4 = 5 ln 4 ∙ 4x

I föregående avsnitt har vi visat numeriskt att

c) g´(x) = 4 ∙ e–x ∙ (–1) + 5 ∙ 2x – e7x ∙ 7 =

f(x) = 2x har f´(x) ≈ 0,69 ∙ 2x och f(x) = 3x har f´(x) ≈ 1,10 ∙ 3x. Vi ska ta reda på om det finns ett enklare sätt att beräkna derivatan av f(x) = ax exakt.

148

Lösning:

Bestäm derivatan av följande funktioner exakt

deriveringsregler • 5.2 derivatan av exponentialfunktioner

Derivera varje term för sig

= –4e–x + 10x – 7e7x d) h´(x) = 3x2 – 11 ∙ 35x ∙ ln 3 ∙ 5 = 3x2 – 55 ln 3 ∙ 35x

deriveringsregler • 5.2 derivatan av exponentialfunktioner

149


Blandade uppgifter a-uppgifter 1 Låt f(x) = x2 − 3x + 2 och beräkna a) f(0) b) f(−2) c) x när f(x) = 0 2 Utför multiplikationen och förenkla där det går. a) (5x2 − 3)(7 − 2x) b)

(x2

– 4)(x – 5)

3 Kajsa har löst andragradsekvationen x2 + 9x = −20 och fått ekvationens rötter till x1 = 4 och x2 = 5. Pontus säger att det är fel trots att han inte har löst ekvationen. Förklara hur han kan se det.

12 Av tre på varandra följande heltal är det mellersta x. Teckna och förenkla produkten av det största och det minsta talet. 4 Vad ska stå i

)2 = 4x2 + 12x + 9

a) (2x + b) (

för att likheterna ska gälla? + 4) = 16x2 − 16

− 4)(

5 Arvid står högst upp i ett torn och släpper en sten. Efter t sekunder är stenens höjd h(t) meter över marken, där h(t) = 9,8 − 4,9t2. Hur lång tid tar det för stenen att falla till marken? 6 Faktorisera uttrycken b) 3x2y + 12xy c) 2a2b + 4ab2 + 2b3 7 För vilka värden på variabeln x är uttrycken inte definierade? x x3 − 8 7 + 4x b) _____ c) ______ a) ______ 2 x x −9 5x + 1 8 Faktorisera polynomen a) p(x) = x2 – 12x – 13 b) q(x) = c) r(x) =

x2

Lös ekvationen x − 4/x − 1 = 2

Ola och Mia har löst uppgiften men de har fått helt olika svar. Ola har fått två rötter x1 = –1 och x2 = 4. Mia har bara fått en rot x = −2. När de tittar i böckerna ser de att i Mias bok är parenteser utsatta som inte finns i Olas bok. Sätt ut parenteser i uppgiften så att du får samma svar som Mia. 14 Lös polynomekvationerna grafiskt. x2 a) __ – 3 = 0 3 b) x3 + 10x2 + 13x – 24 = 0

a) 4x2y − 2x2y2

2x2

13 I en mattebok finns uppgiften:

+ 4x – 48

– 64

9 I vilka punkter skär grafen till f(x) = 0,5(x + 2)(x − 7) koordinataxlarna? 10 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. 8a2 + 12a a) ________ 4a + 6 2x2 + 4x + 2 b) __________ 2x2 − 2

c) x3 – 5x2 + 2x = –10 15 Lös andragradsekvationerna a) x2 – 4x + 4 = 0 b) x2 + x = 30 5x 3 c) x2 – ___ + __ = 0 4 8 16 Antalet gräshoppor i en gräshoppskoloni N(x) beskrivs med funktionen N(x) = 100 000 ∙ 1,12x, 0 ≤ x ≤ 10, där x är antalet veckor efter det att man börjat uppskatta antalet. a) Beräkna N(4) b) Förklara vad du beräknat i a) 17 Bromssträckan för en bil s(v) meter bestäms vid ett visst tillfälle av funktionen s(v) = 0,25v + 0,02v2, där v är hastigheten i km/h. a) Bestäm s(90) − s(70)

11 Teckna ett uttryck för kvoten mellan triangelns och 1 rektangelns area. Bestäm x så att kvoten blir __. 6

b) Vad innebär resultatet i a)?

40

algebraiska uttryck • blandade uppgifter

20 Ett andragradspolynom har nollställena x = –5 och x = 7. Grafen skär y-axeln i punkten (0, –35). Vilket är polynomet? 4 2 21 Skriv ______ − ______2 med gemensam nämnare 2 2 a −b ab − b och förkorta om det går. 22 Faktorisera polynomen a) 12x3 – 4x b) 4x3 + 4x2 + x 23 I Klaras mattebok står det: Grafen till ett andragradspolynom p(x) har nollställen i punkterna (0, 4) och (0, –2). Den skär y-axeln där y = –8. Vilket är polynomet? Klara vill inte lösa uppgiften, utan menar att något är fel. Har Klara rätt och vilket är i så fall felet? 24 Ge exempel på ett rationellt uttryck ö a) med definitionsmängden x ≠ 7. b) som har nollstället x = 5 och definitionsmängden x ≠ 0. 25 Lös ekvationerna a) (x – 1)(x + 99) = 0 b) x3 – x2 = 0 20 c) 5x2 = ___ 9 26 Lös andragradsekvationerna a) x2 + 9x + 20 = 0 b) 5x2 + 7x + 2 = 0

3

c) 3x2 – 8x + 4 = 0

x

x–1 x+2

x2 + 6x + 2 b) f(x) = _________ x(x − 3)

2

x 18 Lös ekvationen __ − x − 6 = 0 med minst två olika metoder.

19 Bestäm definitionsmängden för de rationella funktionerna x2 − 3x + 5 a) f(x) = _________ 2x − 1

x+3

algebraiska uttryck • blandade uppgifter

41


Blandade uppgifter a-uppgifter 1 Låt f(x) = x2 − 3x + 2 och beräkna a) f(0) b) f(−2) c) x när f(x) = 0 2 Utför multiplikationen och förenkla där det går. a) (5x2 − 3)(7 − 2x) b)

(x2

– 4)(x – 5)

3 Kajsa har löst andragradsekvationen x2 + 9x = −20 och fått ekvationens rötter till x1 = 4 och x2 = 5. Pontus säger att det är fel trots att han inte har löst ekvationen. Förklara hur han kan se det.

12 Av tre på varandra följande heltal är det mellersta x. Teckna och förenkla produkten av det största och det minsta talet. 4 Vad ska stå i

)2 = 4x2 + 12x + 9

a) (2x + b) (

för att likheterna ska gälla? + 4) = 16x2 − 16

− 4)(

5 Arvid står högst upp i ett torn och släpper en sten. Efter t sekunder är stenens höjd h(t) meter över marken, där h(t) = 9,8 − 4,9t2. Hur lång tid tar det för stenen att falla till marken? 6 Faktorisera uttrycken b) 3x2y + 12xy c) 2a2b + 4ab2 + 2b3 7 För vilka värden på variabeln x är uttrycken inte definierade? x x3 − 8 7 + 4x b) _____ c) ______ a) ______ 2 x x −9 5x + 1 8 Faktorisera polynomen a) p(x) = x2 – 12x – 13 b) q(x) = c) r(x) =

x2

Lös ekvationen x − 4/x − 1 = 2

Ola och Mia har löst uppgiften men de har fått helt olika svar. Ola har fått två rötter x1 = –1 och x2 = 4. Mia har bara fått en rot x = −2. När de tittar i böckerna ser de att i Mias bok är parenteser utsatta som inte finns i Olas bok. Sätt ut parenteser i uppgiften så att du får samma svar som Mia. 14 Lös polynomekvationerna grafiskt. x2 a) __ – 3 = 0 3 b) x3 + 10x2 + 13x – 24 = 0

a) 4x2y − 2x2y2

2x2

13 I en mattebok finns uppgiften:

+ 4x – 48

– 64

9 I vilka punkter skär grafen till f(x) = 0,5(x + 2)(x − 7) koordinataxlarna? 10 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. 8a2 + 12a a) ________ 4a + 6 2x2 + 4x + 2 b) __________ 2x2 − 2

c) x3 – 5x2 + 2x = –10 15 Lös andragradsekvationerna a) x2 – 4x + 4 = 0 b) x2 + x = 30 5x 3 c) x2 – ___ + __ = 0 4 8 16 Antalet gräshoppor i en gräshoppskoloni N(x) beskrivs med funktionen N(x) = 100 000 ∙ 1,12x, 0 ≤ x ≤ 10, där x är antalet veckor efter det att man börjat uppskatta antalet. a) Beräkna N(4) b) Förklara vad du beräknat i a) 17 Bromssträckan för en bil s(v) meter bestäms vid ett visst tillfälle av funktionen s(v) = 0,25v + 0,02v2, där v är hastigheten i km/h. a) Bestäm s(90) − s(70)

11 Teckna ett uttryck för kvoten mellan triangelns och 1 rektangelns area. Bestäm x så att kvoten blir __. 6

b) Vad innebär resultatet i a)?

40

algebraiska uttryck • blandade uppgifter

20 Ett andragradspolynom har nollställena x = –5 och x = 7. Grafen skär y-axeln i punkten (0, –35). Vilket är polynomet? 4 2 21 Skriv ______ − ______2 med gemensam nämnare 2 2 a −b ab − b och förkorta om det går. 22 Faktorisera polynomen a) 12x3 – 4x b) 4x3 + 4x2 + x 23 I Klaras mattebok står det: Grafen till ett andragradspolynom p(x) har nollställen i punkterna (0, 4) och (0, –2). Den skär y-axeln där y = –8. Vilket är polynomet? Klara vill inte lösa uppgiften, utan menar att något är fel. Har Klara rätt och vilket är i så fall felet? 24 Ge exempel på ett rationellt uttryck ö a) med definitionsmängden x ≠ 7. b) som har nollstället x = 5 och definitionsmängden x ≠ 0. 25 Lös ekvationerna a) (x – 1)(x + 99) = 0 b) x3 – x2 = 0 20 c) 5x2 = ___ 9 26 Lös andragradsekvationerna a) x2 + 9x + 20 = 0 b) 5x2 + 7x + 2 = 0

3

c) 3x2 – 8x + 4 = 0

x

x–1 x+2

x2 + 6x + 2 b) f(x) = _________ x(x − 3)

2

x 18 Lös ekvationen __ − x − 6 = 0 med minst två olika metoder.

19 Bestäm definitionsmängden för de rationella funktionerna x2 − 3x + 5 a) f(x) = _________ 2x − 1

x+3

algebraiska uttryck • blandade uppgifter

41


Kapitel 1

1 Förenkla uttrycket 5x3 – 25x2 a) _________ 5x2

x2 − 4 b) ______ x2 + 2x

2 Omkretsen av en rektangel är 15 cm. Den ena sidan är x cm. Teckna ett uttryck för rektangelns area. 3 Vad ska stå i rutan för att uttrycket ska kunna skrivas som en jämn kvadrat? a) 9x2 − 30x + b) 4x2 +

x+9

4 Kostnaden K(x) i kronor för att framställa ett reklamblad kan beskrivas med funktionen K(x) = 1 100 + 0,1x + 0,005x2, där x är antalet blad som trycks. a) Beräkna K(1 000).

9 Lös ekvationerna 5 1 1 a) ___ − ___ = ___ 3x 6x 10

5 Ange defi nitionsmängd och nollställen till funktionen x2 − x − 6 f(x) = ________ x−1 6 Faktorisera polynomet 6x2 − 4x − 2 så långt som möjligt. 7 Johanna jobbar extra i en korvkiosk. I januari är hennes timlön x kr och hon får totalt 2 520 kr i lön. I februari höjs timlönen med 3,50 kr per timme och hon tjänar totalt 2 394 kr. Teckna ett uttryck för antalet timmar, som hon har jobbat under de två månaderna och förenkla uttrycket.

44

algebraiska uttryck • kapiteltest

Algebra

Polynomfunktioner

• uttryck

• kontinuerliga funktioner

• polynom

• andragradsfunktion

y

• ekvationer • funktioner

x

1

x+3 x−4 b) _____ + _____ = 2 x−1 x−6

1

y

1

• faktorsatsen

x

1

x

1

• nollställen

11 I figuren ser du grafen till en polynomfunktion av grad 3. Vilket är polynomet?

y

• tredjegradsfunktion

10 Hur många nollställen har polynomfunktionen f(x) = 2x3 + 2x − 2?

b) Beskriv med ord vad K(1 000) betyder. c) Hur många reklamblad kan man trycka för 10 000 kr?

!

Algebraiska uttryck 8 Skriv uttrycket som en kvot av två polynom 2x − 1 _____ 4−x ______ − x+3 x−2

taNKEKarta

KaPitELtEst

?

1

Polynom

Polynomekvationer

• variabel, koefficient och konstantterm

• faktorisering

• gradtal

• kvadratkomplettering

• polynomfunktion

• grafisk lösning

• polynomekvation

• ett polynom av grad n har högst n rötter

• pq-formeln

12 Ge exempel på en polynomfunktion av andra graden som saknar nollställen. 13 Lös ekvationen x3 + x2 − 2x = 0

Rationella uttryck

Rationella funktioner

14 För en andragradsfunktion f(x) gäller att den har nollställen där x = 2 och x = −1 och att grafen går genom punkten (1, −4). Bestäm f(x).

• uttryck i bråkform

• definitionsmängd

• polynom i täljaren och nämnaren

• värdemängd

15 Förenkla det rationella uttrycket 8x2 + 16x – 120 _____________ 6x2 + 60x + 150 så långt som möjligt.

• förkortning, förlängning och förenkling

• ej definierat för 0 i nämnaren

y

• icke kontinuerliga funktioner om variabeln i närmaren

1

1 y = __ x

x

1

algebraiska uttryck • tankekarta

45


Kapitel 1

1 Förenkla uttrycket 5x3 – 25x2 a) _________ 5x2

x2 − 4 b) ______ x2 + 2x

2 Omkretsen av en rektangel är 15 cm. Den ena sidan är x cm. Teckna ett uttryck för rektangelns area. 3 Vad ska stå i rutan för att uttrycket ska kunna skrivas som en jämn kvadrat? a) 9x2 − 30x + b) 4x2 +

x+9

4 Kostnaden K(x) i kronor för att framställa ett reklamblad kan beskrivas med funktionen K(x) = 1 100 + 0,1x + 0,005x2, där x är antalet blad som trycks. a) Beräkna K(1 000).

9 Lös ekvationerna 5 1 1 a) ___ − ___ = ___ 3x 6x 10

5 Ange defi nitionsmängd och nollställen till funktionen x2 − x − 6 f(x) = ________ x−1 6 Faktorisera polynomet 6x2 − 4x − 2 så långt som möjligt. 7 Johanna jobbar extra i en korvkiosk. I januari är hennes timlön x kr och hon får totalt 2 520 kr i lön. I februari höjs timlönen med 3,50 kr per timme och hon tjänar totalt 2 394 kr. Teckna ett uttryck för antalet timmar, som hon har jobbat under de två månaderna och förenkla uttrycket.

44

algebraiska uttryck • kapiteltest

Algebra

Polynomfunktioner

• uttryck

• kontinuerliga funktioner

• polynom

• andragradsfunktion

y

• ekvationer • funktioner

x

1

x+3 x−4 b) _____ + _____ = 2 x−1 x−6

1

y

1

• faktorsatsen

x

1

x

1

• nollställen

11 I figuren ser du grafen till en polynomfunktion av grad 3. Vilket är polynomet?

y

• tredjegradsfunktion

10 Hur många nollställen har polynomfunktionen f(x) = 2x3 + 2x − 2?

b) Beskriv med ord vad K(1 000) betyder. c) Hur många reklamblad kan man trycka för 10 000 kr?

!

Algebraiska uttryck 8 Skriv uttrycket som en kvot av två polynom 2x − 1 _____ 4−x ______ − x+3 x−2

taNKEKarta

KaPitELtEst

?

1

Polynom

Polynomekvationer

• variabel, koefficient och konstantterm

• faktorisering

• gradtal

• kvadratkomplettering

• polynomfunktion

• grafisk lösning

• polynomekvation

• ett polynom av grad n har högst n rötter

• pq-formeln

12 Ge exempel på en polynomfunktion av andra graden som saknar nollställen. 13 Lös ekvationen x3 + x2 − 2x = 0

Rationella uttryck

Rationella funktioner

14 För en andragradsfunktion f(x) gäller att den har nollställen där x = 2 och x = −1 och att grafen går genom punkten (1, −4). Bestäm f(x).

• uttryck i bråkform

• definitionsmängd

• polynom i täljaren och nämnaren

• värdemängd

15 Förenkla det rationella uttrycket 8x2 + 16x – 120 _____________ 6x2 + 60x + 150 så långt som möjligt.

• förkortning, förlängning och förenkling

• ej definierat för 0 i nämnaren

y

• icke kontinuerliga funktioner om variabeln i närmaren

1

1 y = __ x

x

1

algebraiska uttryck • tankekarta

45


6 Grafer och

derivata En viktig tillämpning av derivatan är att skissa funktionens graf.

Innehåll 6.1 Samband mellan funktionens graf och dess derivata 6.2 Största och minsta värde

Förkunskaper • Ekvationslösning • Räta linjens ekvation • Andragradsfunktioner • Derivata

D

erivata är ett fantastiskt hjälpmedel i arbetet med matematiska tillämpningar inom naturvetenskap, teknik och ekonomi. Att uppnå maximal tillväxt eller att försöka hitta en minimal förlust, är exempel på problem som kan lösas med hjälp av derivata. I det här kapitlet får du lära dig att finna en funktions största eller minsta värde med hjälp av derivata. Du kommer också att lära dig att konstruera grafen till en funktion med hjälp av funktionens derivata.

• Deriveringsregler

Mål • Känna till begreppen växande respektive avtagande funktion • Känna till sambandet mellan funktionens graf och derivata • Kunna bestämma lokala extrempunkter och terrasspunkter • Kunna använda derivatan för en funktion för att beskriva egenskaper hos funktionen och dess graf • Kunna använda sambandet mellan en funktions graf och dess derivata i tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel

162

163


6 Grafer och

derivata En viktig tillämpning av derivatan är att skissa funktionens graf.

Innehåll 6.1 Samband mellan funktionens graf och dess derivata 6.2 Största och minsta värde

Förkunskaper • Ekvationslösning • Räta linjens ekvation • Andragradsfunktioner • Derivata

D

erivata är ett fantastiskt hjälpmedel i arbetet med matematiska tillämpningar inom naturvetenskap, teknik och ekonomi. Att uppnå maximal tillväxt eller att försöka hitta en minimal förlust, är exempel på problem som kan lösas med hjälp av derivata. I det här kapitlet får du lära dig att finna en funktions största eller minsta värde med hjälp av derivata. Du kommer också att lära dig att konstruera grafen till en funktion med hjälp av funktionens derivata.

• Deriveringsregler

Mål • Känna till begreppen växande respektive avtagande funktion • Känna till sambandet mellan funktionens graf och derivata • Kunna bestämma lokala extrempunkter och terrasspunkter • Kunna använda derivatan för en funktion för att beskriva egenskaper hos funktionen och dess graf • Kunna använda sambandet mellan en funktions graf och dess derivata i tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel

162

163


Sekantens lutning y Sekant x

Förändringshastigheten är här förändringen i antal bakterier per tidsenhet.

En rät linje har samma lutning överallt. En kurvas lutning kan däremot variera. En rät linje genom två punkter på en kurva kallas sekant. Med hjälp av en sekant kan vi bestämma en kurvas medellutning i ett intervall. Vi börjar med att studera kurvan i st y diagrammet som visar hur antalet Bakterieodling 600 bakterier y i en viss bakterieodling 500 ändras med tiden x. Av kurvans 400 form ser vi att bakterietillväxten 300 inte är lika stor hela tiden. För att 200 bestämma den genomsnittliga förändringshastigheten mellan två 100 punkter, så kan vi ta reda på kur5 10 15 20 vans medellutning. Det gör vi genom att dra en sekant genom två punkter på kurvan och bestämma sekantens lutning.

Sedan avläser vi y-värdena i diagrammet och beräknar sekantens lutning:

st 600

Δy 540 – 200 ____ 340 ​ ___  ​= ​ ________  ​  = ​   ​ = 34

400

Δx

25 – 15

10

Kurvans medellutning i intervallet är 34. Genom att bestämma sekantens lutning har vi visat att i tidsintervallet 15–25 timmar är den genomsnittliga förändringshastigheten 34 bakterier per timme. Ändringskvot

y

Medelhastigheten får vi genom att först dra en sekant som skär kurvan där x1 = 0,1 och x2 = 0,2, och sedan avläsa y-koordinaterna och beräkna sekantens k-värde.

x 0,1

s

Svar: Äpplets medelhastighet mellan 0,1 och 0,2 sekunder är 1,5 m/s.

x 25 30 35 h

7 Exempel:

Lösning:

Låt y = 3x2 + 2x beskriva en kurva. Bestäm ekvationen för den sekant som går genom punkterna där x1 = –1 och x2 = 1. Vi börjar med att beräkna y-värdena för x1 = –1 och x2 = 1. y1 = 3 ∙ (–1)2 + 2 ∙ (–1) = 1 y2 = 3 ∙ 12 + 2 ∙ 1 = 5

y

Sedan beräknar vi riktningskoefficienten k:

Bakterieodling

y2 – y1 _______ 4 5–1 k = ​ ______ = ​ __  ​= 2    ​= ​    ​  x2 – x1 1 – (–1) 2 Punkten (1, 5) och k = 2 sätts in i y = kx + m

300

5=2∙1+m

200

m=3

100

x 5

Svar: Sekantens ekvation är y = 2x + 3

10 15 20 25 30 35 h

Δy Den genomsnittliga förändringshastigheten ___ ​   ​kallas ändringskvot eller Δx differenskvot och beskriver kurvans medellutning i intervallet.

ändringskvot och derivata • 4.1 sekanter och tangenter

m

0,2 – 0,05 Δy y2 – y1 ________ k = ___ ​  = 1,5 ​    ​= ______ ​     ​ = ​  Δx x2 – x1 0,2 – 0,1

Sekant och ändringskvot

108

Lösning:

500

En sekant som går genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) på kurvan y = f(x) Δy y2 – y1 har lutningen ​ ___ ​= ​ ______    ​ Δx x2 – x1 Δy y2 – y1 __________ f(x ) – f(x1) Kvoten ___ ​   ​= ​ ______    ​= ​  2  ​    kallas Δx x2 – x1 x2 – x1 funktionens ändringskvot mellan x1 och x2.

Ett äpple faller från ett träd. Sträckan som äpplet faller, y meter, kan beskrivas med funktionen f(x) = 4,9x2, där x är tiden i sekunder. Bestäm äpplets medelhastighet mellan 0,1 och 0,2 sekunder.

0,05

Om vi vill bestämma den genomsnittliga förändringshastigheten av antalet bakterier mellan 15 och 25 timmar efter försökets början, så drar vi först en sekant genom de punkter på kurvan där x = 15 och x = 25.

7 Exempel:

7 Exempel:

Lösning:

Beräkna ändringskvoten för f(x) = x2 + 2, då x ändras från 3 till 3 + h. Ändringskvoten blir y2

y1

När x = 3 + h, så är f(3 + h) = (3 + h)2 + 2 2

2

Δy f(3 + h) – f(3) __________________ (3 + h) + 2 – (3 + 2) ___ ​  ​= ​ ____________  ​  = ​         ​=    Δx

y

∆y = y2 – y1 ∆x = x2 – x1

1

(3 + h) – 3

h

Använd kvadreringsregeln och förenkla

9 + 6h + h2 + 2 – 11 ______ 6h + h2 _______ h(6 + h) = _________________ ​      ​  = ​      ​ = ​      ​ = 6 + h h h h

x Bryt ut h i täljaren och förkorta med h

1

Svar: Ändringskvoten är 6 + h.

ändringskvot och derivata • 4.1 sekanter och tangenter

109


Sekantens lutning y Sekant x

Förändringshastigheten är här förändringen i antal bakterier per tidsenhet.

En rät linje har samma lutning överallt. En kurvas lutning kan däremot variera. En rät linje genom två punkter på en kurva kallas sekant. Med hjälp av en sekant kan vi bestämma en kurvas medellutning i ett intervall. Vi börjar med att studera kurvan i st y diagrammet som visar hur antalet Bakterieodling 600 bakterier y i en viss bakterieodling 500 ändras med tiden x. Av kurvans 400 form ser vi att bakterietillväxten 300 inte är lika stor hela tiden. För att 200 bestämma den genomsnittliga förändringshastigheten mellan två 100 punkter, så kan vi ta reda på kur5 10 15 20 vans medellutning. Det gör vi genom att dra en sekant genom två punkter på kurvan och bestämma sekantens lutning.

Sedan avläser vi y-värdena i diagrammet och beräknar sekantens lutning:

st 600

Δy 540 – 200 ____ 340 ​ ___  ​= ​ ________  ​  = ​   ​ = 34

400

Δx

25 – 15

10

Kurvans medellutning i intervallet är 34. Genom att bestämma sekantens lutning har vi visat att i tidsintervallet 15–25 timmar är den genomsnittliga förändringshastigheten 34 bakterier per timme. Ändringskvot

y

Medelhastigheten får vi genom att först dra en sekant som skär kurvan där x1 = 0,1 och x2 = 0,2, och sedan avläsa y-koordinaterna och beräkna sekantens k-värde.

x 0,1

s

Svar: Äpplets medelhastighet mellan 0,1 och 0,2 sekunder är 1,5 m/s.

x 25 30 35 h

7 Exempel:

Lösning:

Låt y = 3x2 + 2x beskriva en kurva. Bestäm ekvationen för den sekant som går genom punkterna där x1 = –1 och x2 = 1. Vi börjar med att beräkna y-värdena för x1 = –1 och x2 = 1. y1 = 3 ∙ (–1)2 + 2 ∙ (–1) = 1 y2 = 3 ∙ 12 + 2 ∙ 1 = 5

y

Sedan beräknar vi riktningskoefficienten k:

Bakterieodling

y2 – y1 _______ 4 5–1 k = ​ ______ = ​ __  ​= 2    ​= ​    ​  x2 – x1 1 – (–1) 2 Punkten (1, 5) och k = 2 sätts in i y = kx + m

300

5=2∙1+m

200

m=3

100

x 5

Svar: Sekantens ekvation är y = 2x + 3

10 15 20 25 30 35 h

Δy Den genomsnittliga förändringshastigheten ___ ​   ​kallas ändringskvot eller Δx differenskvot och beskriver kurvans medellutning i intervallet.

ändringskvot och derivata • 4.1 sekanter och tangenter

m

0,2 – 0,05 Δy y2 – y1 ________ k = ___ ​  = 1,5 ​    ​= ______ ​     ​ = ​  Δx x2 – x1 0,2 – 0,1

Sekant och ändringskvot

108

Lösning:

500

En sekant som går genom punkterna (x1, y1) och (x2, y2) på kurvan y = f(x) Δy y2 – y1 har lutningen ​ ___ ​= ​ ______    ​ Δx x2 – x1 Δy y2 – y1 __________ f(x ) – f(x1) Kvoten ___ ​   ​= ​ ______    ​= ​  2  ​    kallas Δx x2 – x1 x2 – x1 funktionens ändringskvot mellan x1 och x2.

Ett äpple faller från ett träd. Sträckan som äpplet faller, y meter, kan beskrivas med funktionen f(x) = 4,9x2, där x är tiden i sekunder. Bestäm äpplets medelhastighet mellan 0,1 och 0,2 sekunder.

0,05

Om vi vill bestämma den genomsnittliga förändringshastigheten av antalet bakterier mellan 15 och 25 timmar efter försökets början, så drar vi först en sekant genom de punkter på kurvan där x = 15 och x = 25.

7 Exempel:

7 Exempel:

Lösning:

Beräkna ändringskvoten för f(x) = x2 + 2, då x ändras från 3 till 3 + h. Ändringskvoten blir y2

y1

När x = 3 + h, så är f(3 + h) = (3 + h)2 + 2 2

2

Δy f(3 + h) – f(3) __________________ (3 + h) + 2 – (3 + 2) ___ ​  ​= ​ ____________  ​  = ​         ​=    Δx

y

∆y = y2 – y1 ∆x = x2 – x1

1

(3 + h) – 3

h

Använd kvadreringsregeln och förenkla

9 + 6h + h2 + 2 – 11 ______ 6h + h2 _______ h(6 + h) = _________________ ​      ​  = ​      ​ = ​      ​ = 6 + h h h h

x Bryt ut h i täljaren och förkorta med h

1

Svar: Ändringskvoten är 6 + h.

ändringskvot och derivata • 4.1 sekanter och tangenter

109


7 Exempel:

Lösning:

Bestäm vätejonkoncentrationen om pH-värdet är 3,2. pH = –lg [H+]

[H+] är vätejonkoncentrationen i mol/dm3

Att pH-värdet är 3,2 innebär att lg [H+] = –3,2 10lg [H+] = 10–3,2 [H+] = 10–3,2 mol/dm3 ≈ 6,3 · 10–4 mol/dm3 Svar: Vätejonkoncentrationen är 6,3 · 10–4 mol/dm3 vid pH-värdet 3,2.

a-uppgifter 2250 Funktionen N(t) = 3 000 ∙ 1,03t beskriver tillväxten hos en bakteriepopulation i ett laboratorium där N(t) är antalet bakterier efter t timmar. a) Hur många bakterier finns från början? b) Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme? c) Hur lång tid tar innan antalet bakterier är 5 000? 2251 Arean hos löven på ett träd växer under en period på försommaren exponentiellt med 3,5 % per dygn. a) Arean är en dag 5,0 m2. Beräkna arean efter 14 dygn. b) Bestäm exponentialfunktionen som beskriver tillväxten. c) Hur lång tid tar det för lövens area att bli 10 m2? 2252 En lösnings pH-värde bestäms av formeln pH = –lg [H+], där [H+] är koncentrationen av vätejoner i mol/dm3. Beräkna pH-värdet utan räknare om vätejonkoncentrationen är a) 0,1 mol/dm3 c) 0,000 01 mol/dm3 2253 Använd formeln för pH-värde och beräkna vätejonkoncentrationen om pH-värdet är

68

b) 7,5

a) Man har 50 g av preparatet. Hur lång tid tar det innan 25 g återstår? b) Använd formeln för radioaktivt sönderfall och beräkna hur mycket det finns kvar av 50 g av preparatet efter 10 år. c) Hur lång tid tar det tills 50 g har sönderfallit till 2,0 g?

b-uppgifter 2255 En sjö håller på att växa igen. Arean minskar exponentiellt. Vattenytan mätte 12 km2 år 1960 och 8,0 km2 år 2000. a) Med hur många procent minskar arean varje år? b) Hur ser exponentialfunktionen ut som visar hur arean minskar?

c) 12

logaritmer • 2.2 exponentialfunktioner och logaritmer

2259 År 1960 fanns det uppskattningsvis 20 000 gråsälar i Östersjön. På grund av höga halter av miljögifter minskade sedan antalet sälar kraftigt. Minskningen var exponentiell och år 1980 fanns endast 2 000 gråsälar kvar. a) Vilken var den genomsnittliga årliga procentuella minskningen av antalet gråsälar mellan åren 1960 och 1980?

2261 Med C-14 metoden kan man bestämma hur gammalt ett arkeologiskt fynd är. Metoden bygger på att mängden C-14 är konstant i allt levande och när organismen dör och inga atomer av C-14 tillförs, så sönderfaller de C-14-atomer som då finns i den. Halveringstiden för C-14 är 5 730 år. Halten C-14 är 1,2 ∙ 10–6 ppm i levande organismer. Hur gammalt är ett arkeologiskt fynd som innehåller 1,0 ∙ 10–7 ppm C-14?

c-uppgifter 2262 I ett laboratorieförsök fanns det 40 000 bakterier efter 3,0 timmar. Efter 7,0 timmar fanns det 800 000 bakterier. Hur många bakterier fanns det vid försökets början om tillväxten varit exponentiell?

Efter 1980 har sälstammen delvis återhämtat sig. Uppskattningsvis fanns det år 2005 12 000 gråsälar i Östersjön. Enligt en prognos från Naturvårdsverket kommer antalet gråsälar att öka exponentiellt med 6,5 % per år under de närmaste åren. b) Vilket år kommer antalet gråsälar återigen att vara 20 000 om prognosen håller?

(NP MaC vt 2002) 2260 Av ett radioaktivt preparat sönderfaller 3 % varje år. Beräkna ämnets halveringstid.

c) Hur stor bör vattenytan vara år 2010? d) När är arean 4,0 km2? 2256 Antalet bakterier i en bakteriekultur tillväxer exponentiellt. Efter ett dygn har 2 000 bakterier blivit 100 000 st. a) Med hur många procent växer antalet bakterier per timme?

b) 0,001 mol/dm3

a) 2,0

2254 Ett radioaktivt preparat har halveringstiden 5,0 år och sönderfaller enligt formeln y = y0 · 0,5x/T.

2258 Jordbävningen vid Salomonöarna år 2007 gav upphov till en tsunami. Jordbävningen hade magnituden 8 på Richterskalan. Magnituden beräknas efter formeln 2 M = __ ​  ​  (lg E – 4,4), 3 där E är den frigjorda energin i joule. Hur mycket energi frigjordes i jordbävningen vid Salomonöarna?

b) Hur lång tid tog det för bakterierna att bli 10 000 st? 2257 250 g av en radioaktiv isotop sönderfaller till 25 g på 100 år. Beräkna halveringstiden.

Diskutera och fundera • Ge exempel på en exponentialfunktion y = C · ax som avtar med växande värden på x.

• Beskriv hur logaritmer kan göra om multiplikation och division till addition och subtraktion.

• Varför skär inte grafen till en exponentialfunktion x-axeln? • Vad betyder logaritmer? • Varför kan man inte beräkna lg 0? logaritmer • 2.2 exponentialfunktioner och logaritmer

69


7 Exempel:

Lösning:

Bestäm vätejonkoncentrationen om pH-värdet är 3,2. pH = –lg [H+]

[H+] är vätejonkoncentrationen i mol/dm3

Att pH-värdet är 3,2 innebär att lg [H+] = –3,2 10lg [H+] = 10–3,2 [H+] = 10–3,2 mol/dm3 ≈ 6,3 · 10–4 mol/dm3 Svar: Vätejonkoncentrationen är 6,3 · 10–4 mol/dm3 vid pH-värdet 3,2.

a-uppgifter 2250 Funktionen N(t) = 3 000 ∙ 1,03t beskriver tillväxten hos en bakteriepopulation i ett laboratorium där N(t) är antalet bakterier efter t timmar. a) Hur många bakterier finns från början? b) Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme? c) Hur lång tid tar innan antalet bakterier är 5 000? 2251 Arean hos löven på ett träd växer under en period på försommaren exponentiellt med 3,5 % per dygn. a) Arean är en dag 5,0 m2. Beräkna arean efter 14 dygn. b) Bestäm exponentialfunktionen som beskriver tillväxten. c) Hur lång tid tar det för lövens area att bli 10 m2? 2252 En lösnings pH-värde bestäms av formeln pH = –lg [H+], där [H+] är koncentrationen av vätejoner i mol/dm3. Beräkna pH-värdet utan räknare om vätejonkoncentrationen är a) 0,1 mol/dm3 c) 0,000 01 mol/dm3 2253 Använd formeln för pH-värde och beräkna vätejonkoncentrationen om pH-värdet är

68

b) 7,5

a) Man har 50 g av preparatet. Hur lång tid tar det innan 25 g återstår? b) Använd formeln för radioaktivt sönderfall och beräkna hur mycket det finns kvar av 50 g av preparatet efter 10 år. c) Hur lång tid tar det tills 50 g har sönderfallit till 2,0 g?

b-uppgifter 2255 En sjö håller på att växa igen. Arean minskar exponentiellt. Vattenytan mätte 12 km2 år 1960 och 8,0 km2 år 2000. a) Med hur många procent minskar arean varje år? b) Hur ser exponentialfunktionen ut som visar hur arean minskar?

c) 12

logaritmer • 2.2 exponentialfunktioner och logaritmer

2259 År 1960 fanns det uppskattningsvis 20 000 gråsälar i Östersjön. På grund av höga halter av miljögifter minskade sedan antalet sälar kraftigt. Minskningen var exponentiell och år 1980 fanns endast 2 000 gråsälar kvar. a) Vilken var den genomsnittliga årliga procentuella minskningen av antalet gråsälar mellan åren 1960 och 1980?

2261 Med C-14 metoden kan man bestämma hur gammalt ett arkeologiskt fynd är. Metoden bygger på att mängden C-14 är konstant i allt levande och när organismen dör och inga atomer av C-14 tillförs, så sönderfaller de C-14-atomer som då finns i den. Halveringstiden för C-14 är 5 730 år. Halten C-14 är 1,2 ∙ 10–6 ppm i levande organismer. Hur gammalt är ett arkeologiskt fynd som innehåller 1,0 ∙ 10–7 ppm C-14?

c-uppgifter 2262 I ett laboratorieförsök fanns det 40 000 bakterier efter 3,0 timmar. Efter 7,0 timmar fanns det 800 000 bakterier. Hur många bakterier fanns det vid försökets början om tillväxten varit exponentiell?

Efter 1980 har sälstammen delvis återhämtat sig. Uppskattningsvis fanns det år 2005 12 000 gråsälar i Östersjön. Enligt en prognos från Naturvårdsverket kommer antalet gråsälar att öka exponentiellt med 6,5 % per år under de närmaste åren. b) Vilket år kommer antalet gråsälar återigen att vara 20 000 om prognosen håller?

(NP MaC vt 2002) 2260 Av ett radioaktivt preparat sönderfaller 3 % varje år. Beräkna ämnets halveringstid.

c) Hur stor bör vattenytan vara år 2010? d) När är arean 4,0 km2? 2256 Antalet bakterier i en bakteriekultur tillväxer exponentiellt. Efter ett dygn har 2 000 bakterier blivit 100 000 st. a) Med hur många procent växer antalet bakterier per timme?

b) 0,001 mol/dm3

a) 2,0

2254 Ett radioaktivt preparat har halveringstiden 5,0 år och sönderfaller enligt formeln y = y0 · 0,5x/T.

2258 Jordbävningen vid Salomonöarna år 2007 gav upphov till en tsunami. Jordbävningen hade magnituden 8 på Richterskalan. Magnituden beräknas efter formeln 2 M = __ ​  ​  (lg E – 4,4), 3 där E är den frigjorda energin i joule. Hur mycket energi frigjordes i jordbävningen vid Salomonöarna?

b) Hur lång tid tog det för bakterierna att bli 10 000 st? 2257 250 g av en radioaktiv isotop sönderfaller till 25 g på 100 år. Beräkna halveringstiden.

Diskutera och fundera • Ge exempel på en exponentialfunktion y = C · ax som avtar med växande värden på x.

• Beskriv hur logaritmer kan göra om multiplikation och division till addition och subtraktion.

• Varför skär inte grafen till en exponentialfunktion x-axeln? • Vad betyder logaritmer? • Varför kan man inte beräkna lg 0? logaritmer • 2.2 exponentialfunktioner och logaritmer

69


HIsTORIa

h

Tangenters konstruktion Hårt arbete att hitta tangenten Den grekiska matematikern Euklides (ca 325–265 f.Kr.) beskriver i sitt verk Elementa en tangent till en cirkel som den räta linje som vidrör cirkeln i en punkt utan att skära den. Euklides landsman Apollonios (ca 262–190 f.Kr) utgick från detta när han ställde upp två krav för att en rät linje skulle godkännas som tangent till en kurva.

Blandade uppgifter a-uppgifter 1 I diagrammet ser du en kurva med en utritad sekant. Beräkna sekantens lutning. y

Isaac Barrow (1630–1677)

__

y = √x

y

P

O

R a e y x

x

Q

h ? Rita en kurva med en tangent som inte uppfyller Apolonios krav på en tangent.

Isaac Barrow Isaac Barrow (1630–1677) var professor i Cambridge och lärare till bland annat Isaac Newton. Han bestämde år 1669 en tangent till kurvan __ y = √x , se figuren till vänster, genom att bestämma läget av P, tangentens skärningspunkt med x-axeln. __

y = √x och därför y2 = x (y + a)2 = x + e

För små värden på a och e

y2 + 2ya + a2 = x + e

y2 = x

2ya + a2 = e

h ? Visa hur man kan bestämma riktningskoefficienten till alla tangenter till kurvan y = √x med hjälp av Isaac Barrows slutsats, dvs. att PO i figuren är lika med OQ.

__

126

e __ = 2y + a = 2y a PQ __e ___ = = 2y y a PQ = 2y2 = 2x

x

1

b) Vad i funktionsuttrycket bestämmer linjens lutning?

6 Figuren visar den titrerkurva som Malin fick fram då hon titrerade ättiksyra med natriumhydroxidlösning.

1

pH

2 Mia och Andreas har vägt sin baby varje månad under det första halvåret och antecknat resultatet i ”Babyns bok”. Så här såg det ut: x (mån) y (kg)

0

1

3,6

2

3

4

5

6

3,8 4,7 5,6 6,1 6,8 7,4

a) Bestäm Δy för perioden och förklara vad det är. b) Bestäm Δx. c) Hur stor var den genomsnittliga viktökningen under första halvåret? 3 Rita en kurva som går igenom punkterna (–2, 3) och (0, 1), och som har negativ lutning i intervallet –2 < x < 0 och positiv lutning i intervallen x < –2 och x > 0. 4 Kurvan visar formen på en rutschkana. Hur bestämmer man lutningen mitt på rutschkanan? m

10 8 6 4 2

Volym 10

20

30 ml

Hur mycket steg pH-värdet i genomsnitt vid tillsats av 20 ml natriumhydroxidlösning? Ange förändringshastigheten i pH-enheter/ml. 7 I figuren är kurvans tangent i punkten (1, 2) utritad. Bestäm tangentens ekvation. y

x

1 1

y

8 Beräkna ändringskvoten mellan punkterna (–1, f(–1)) och (1, f(1)) på kurvan f(x) = x2 – 2x + 1.

1

a försummas eftersom det är litet x

På grund av likformiga trianglar

a) Hur vet man att funktionens graf är en rät linje?

c) I vilken punkt skär linjen y-axeln?

1. Den skulle ha en punkt gemensam med kurvan, medan 2. inga andra punkter ligger på kurvan. Apollonios bestämde sedan en tangent till en kurva genom att med linjal och passare konstruera en linje som uppfyllde de villkoren. Nya metoder arbetades fram först långt senare. En av dem som intresserade sig för saken var den franska filosofen och matematikern René Descartes (1596–1650). Descartes var framför allt filosof, men i ett appendix till hans bok Discours de la Métode från år 1637 beskriver han sin metod att hitta tangenten till en kurva. Han bestämde tangenten till en kurva genom att söka en cirkel med samma tangent i tangeringspunkten. För att bestämma tangenten drog han normalen till kurvan i tangeringspunkten. Därför kallas hans metod normalmetoden. Det är en arbetsam metod, men den ledde fram till den diskussion som uppstod bland 1600-talets matematiker, och som har haft betydelse för matematikens utveckling.

5 Låt y = –2x + 1.

1

m

9 För funktionen y = f(x) vet man att f(2) = 4 och f(–1) = 13. Beräkna ändringskvoten.

PO är alltså lika med OQ och tangenten kan bestämmas.

ändringskvot och derivata • historia

ändringskvot och derivata • blandade uppgifter

127


HIsTORIa

h

Tangenters konstruktion Hårt arbete att hitta tangenten Den grekiska matematikern Euklides (ca 325–265 f.Kr.) beskriver i sitt verk Elementa en tangent till en cirkel som den räta linje som vidrör cirkeln i en punkt utan att skära den. Euklides landsman Apollonios (ca 262–190 f.Kr) utgick från detta när han ställde upp två krav för att en rät linje skulle godkännas som tangent till en kurva.

Blandade uppgifter a-uppgifter 1 I diagrammet ser du en kurva med en utritad sekant. Beräkna sekantens lutning. y

Isaac Barrow (1630–1677)

__

y = √x

y

P

O

R a e y x

x

Q

h ? Rita en kurva med en tangent som inte uppfyller Apolonios krav på en tangent.

Isaac Barrow Isaac Barrow (1630–1677) var professor i Cambridge och lärare till bland annat Isaac Newton. Han bestämde år 1669 en tangent till kurvan __ y = √x , se figuren till vänster, genom att bestämma läget av P, tangentens skärningspunkt med x-axeln. __

y = √x och därför y2 = x (y + a)2 = x + e

För små värden på a och e

y2 + 2ya + a2 = x + e

y2 = x

2ya + a2 = e

h ? Visa hur man kan bestämma riktningskoefficienten till alla tangenter till kurvan y = √x med hjälp av Isaac Barrows slutsats, dvs. att PO i figuren är lika med OQ.

__

126

e __ = 2y + a = 2y a PQ __e ___ = = 2y y a PQ = 2y2 = 2x

x

1

b) Vad i funktionsuttrycket bestämmer linjens lutning?

6 Figuren visar den titrerkurva som Malin fick fram då hon titrerade ättiksyra med natriumhydroxidlösning.

1

pH

2 Mia och Andreas har vägt sin baby varje månad under det första halvåret och antecknat resultatet i ”Babyns bok”. Så här såg det ut: x (mån) y (kg)

0

1

3,6

2

3

4

5

6

3,8 4,7 5,6 6,1 6,8 7,4

a) Bestäm Δy för perioden och förklara vad det är. b) Bestäm Δx. c) Hur stor var den genomsnittliga viktökningen under första halvåret? 3 Rita en kurva som går igenom punkterna (–2, 3) och (0, 1), och som har negativ lutning i intervallet –2 < x < 0 och positiv lutning i intervallen x < –2 och x > 0. 4 Kurvan visar formen på en rutschkana. Hur bestämmer man lutningen mitt på rutschkanan? m

10 8 6 4 2

Volym 10

20

30 ml

Hur mycket steg pH-värdet i genomsnitt vid tillsats av 20 ml natriumhydroxidlösning? Ange förändringshastigheten i pH-enheter/ml. 7 I figuren är kurvans tangent i punkten (1, 2) utritad. Bestäm tangentens ekvation. y

x

1 1

y

8 Beräkna ändringskvoten mellan punkterna (–1, f(–1)) och (1, f(1)) på kurvan f(x) = x2 – 2x + 1.

1

a försummas eftersom det är litet x

På grund av likformiga trianglar

a) Hur vet man att funktionens graf är en rät linje?

c) I vilken punkt skär linjen y-axeln?

1. Den skulle ha en punkt gemensam med kurvan, medan 2. inga andra punkter ligger på kurvan. Apollonios bestämde sedan en tangent till en kurva genom att med linjal och passare konstruera en linje som uppfyllde de villkoren. Nya metoder arbetades fram först långt senare. En av dem som intresserade sig för saken var den franska filosofen och matematikern René Descartes (1596–1650). Descartes var framför allt filosof, men i ett appendix till hans bok Discours de la Métode från år 1637 beskriver han sin metod att hitta tangenten till en kurva. Han bestämde tangenten till en kurva genom att söka en cirkel med samma tangent i tangeringspunkten. För att bestämma tangenten drog han normalen till kurvan i tangeringspunkten. Därför kallas hans metod normalmetoden. Det är en arbetsam metod, men den ledde fram till den diskussion som uppstod bland 1600-talets matematiker, och som har haft betydelse för matematikens utveckling.

5 Låt y = –2x + 1.

1

m

9 För funktionen y = f(x) vet man att f(2) = 4 och f(–1) = 13. Beräkna ändringskvoten.

PO är alltså lika med OQ och tangenten kan bestämmas.

ändringskvot och derivata • historia

ändringskvot och derivata • blandade uppgifter

127


a-uppgifter 6214 Daniel försöker i förväg beräkna intäkterna från klassens studentskiva. Erfarenheten visar att han bör använda formeln I = 600x – 2x2, där I betecknar intäkterna och x biljettpriset i kronor. Vilket biljettpris ger maximal intäkt?

6219 Elever från en högstadieklass har fått i uppdrag att bygga en drake. Summan av höjden och basen får inte överstiga 120 cm. Eleverna tror att ju större area en drake har, desto bättre flyger den. Vilka mått på höjden och basen ger drakens största möjliga area?

6215 En grans tillväxthastighet, v(t) i meter per år, kan beskrivas med funktionen v(t) = −0,0009t2 + 0,05t, där t är tiden i år. När är tillväxthastigheten störst?

b) Beräkna den maximala vinsten. 6217 Torbjörn vill bygga en rektangulär grillbar vid poolen. Han har kantstenar som räcker till en omkrets på 28 meter. Vilka mått på grillbaren ger den största möjliga arean? 6218 En lantbrukare vill hägna in ett rektangulärt område mot ett vattendrag med ett stängsel som är 3 600 m långt. Stängslet ska alltså räcka till tre sidor. Vilka mått på inhägnaden ger den största möjliga arean?

6226 Lotta vill plantera fyra olika växter i en rektangulär rabatt. Hon har 200 meter staket till sitt förfogande, som ska räcka både runt hela området och till att avgränsa de mindre områdena innanför. Vilka mått på området ger den största arean?

x 1

a) Bestäm en funktion A(x) för rektangelns area.

en

a) Hur många skivor ska Fredrik sälja för att maximera vinsten? Motivera ditt svar.

y

1

en

jd Hö s Ba

6216 Fredrik har tagit med sig 180 cd-skivor till försäljning på en loppmarknad. Vinsten som han får från skivförsäljningen kan beskrivas med funktionen V(a) = a(60 – 0,2a), där a betecknar antalet sålda skivor och V är vinsten i kronor.

6223 I figuren är linjen y = 7 – 2x ritad i första kvadranten. En rektangel ritas under kurvan enligt figuren.

6220 Summan av två tal är 1. Multiplicera talen. Vilken är deras största produkt? 6221 Fältforskningsenheten vid Sveriges Lantbruksuniversitet har undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkar skördens storlek för olika kornsorter. För kornsorten Baronesse gäller funktionen f(x) = 0,002x3 – 0,81x2 + 105,6x + 1 600 0 < x < 180

b) Bestäm det största värdet som rektangelns area kan anta.

6227 I figuren är kurvan y = x2 – 5 ritad. En rektangel ritas mellan kurvan och x-axeln enligt figuren. Bestäm det största värdet som rektangelns area kan anta. y

6224 Summan av diametern och höjden i en cylinderformad behållare är 20 cm. Beräkna behållarens maximala volym. 6225 En rät linje bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel i den första kvadranten. Bestäm triangelns största area om summan av x- och y-koordinaterna för linjens skärningspunkter med axlarna är 21.

där f(x) är skördens storlek i kg/hektar och x är mängden tillsatt kväve i kg/hektar. Hur mycket kväve ska tillsättas för att skördens storlek ska bli maximal?

x

1 1

c-uppgifter 6228 Vilken radie och höjd ska en plåtcylinder med volymen π v.e. ha, om materialåtgången ska vara så liten som möjligt?

(Np MaC vt 2005)

b-uppgifter 6222 I figuren är kurvan y = 9 – x2 ritad i första kvadranten.

• Hur kan man skissa grafen till en funktion genom att studera funktionens derivata?

y 9

Diskutera och fundera

• Varför behöver man känna till derivatans nollställen för att

y = 9 – x2

rita funktionens graf?

6 3

x 1

2

3

• I vilka punkter i defi nitionsområdet kan en funktion anta sitt minsta värde?

• Kan en funktion uppta sitt största eller minsta värde i en a) Bestäm ett funktionsuttryck A(x) för rektangelns area. b) Bestäm det största värdet som rektangelns area kan anta.

178

grafer och derivata • 6.2 största och minsta värde

punkt i defi nitionsområdet där funktionens derivata är skild från noll? Motivera ditt svar.

• Kan funktionen anta sitt största eller minsta värde i en punkt där funktionen saknar derivata? Motivera ditt svar.

grafer och derivata • 6.2 största och minsta värde

179


a-uppgifter 6214 Daniel försöker i förväg beräkna intäkterna från klassens studentskiva. Erfarenheten visar att han bör använda formeln I = 600x – 2x2, där I betecknar intäkterna och x biljettpriset i kronor. Vilket biljettpris ger maximal intäkt?

6219 Elever från en högstadieklass har fått i uppdrag att bygga en drake. Summan av höjden och basen får inte överstiga 120 cm. Eleverna tror att ju större area en drake har, desto bättre flyger den. Vilka mått på höjden och basen ger drakens största möjliga area?

6215 En grans tillväxthastighet, v(t) i meter per år, kan beskrivas med funktionen v(t) = −0,0009t2 + 0,05t, där t är tiden i år. När är tillväxthastigheten störst?

b) Beräkna den maximala vinsten. 6217 Torbjörn vill bygga en rektangulär grillbar vid poolen. Han har kantstenar som räcker till en omkrets på 28 meter. Vilka mått på grillbaren ger den största möjliga arean? 6218 En lantbrukare vill hägna in ett rektangulärt område mot ett vattendrag med ett stängsel som är 3 600 m långt. Stängslet ska alltså räcka till tre sidor. Vilka mått på inhägnaden ger den största möjliga arean?

6226 Lotta vill plantera fyra olika växter i en rektangulär rabatt. Hon har 200 meter staket till sitt förfogande, som ska räcka både runt hela området och till att avgränsa de mindre områdena innanför. Vilka mått på området ger den största arean?

x 1

a) Bestäm en funktion A(x) för rektangelns area.

en

a) Hur många skivor ska Fredrik sälja för att maximera vinsten? Motivera ditt svar.

y

1

en

jd Hö s Ba

6216 Fredrik har tagit med sig 180 cd-skivor till försäljning på en loppmarknad. Vinsten som han får från skivförsäljningen kan beskrivas med funktionen V(a) = a(60 – 0,2a), där a betecknar antalet sålda skivor och V är vinsten i kronor.

6223 I figuren är linjen y = 7 – 2x ritad i första kvadranten. En rektangel ritas under kurvan enligt figuren.

6220 Summan av två tal är 1. Multiplicera talen. Vilken är deras största produkt? 6221 Fältforskningsenheten vid Sveriges Lantbruksuniversitet har undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkar skördens storlek för olika kornsorter. För kornsorten Baronesse gäller funktionen f(x) = 0,002x3 – 0,81x2 + 105,6x + 1 600 0 < x < 180

b) Bestäm det största värdet som rektangelns area kan anta.

6227 I figuren är kurvan y = x2 – 5 ritad. En rektangel ritas mellan kurvan och x-axeln enligt figuren. Bestäm det största värdet som rektangelns area kan anta. y

6224 Summan av diametern och höjden i en cylinderformad behållare är 20 cm. Beräkna behållarens maximala volym. 6225 En rät linje bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel i den första kvadranten. Bestäm triangelns största area om summan av x- och y-koordinaterna för linjens skärningspunkter med axlarna är 21.

där f(x) är skördens storlek i kg/hektar och x är mängden tillsatt kväve i kg/hektar. Hur mycket kväve ska tillsättas för att skördens storlek ska bli maximal?

x

1 1

c-uppgifter 6228 Vilken radie och höjd ska en plåtcylinder med volymen π v.e. ha, om materialåtgången ska vara så liten som möjligt?

(Np MaC vt 2005)

b-uppgifter 6222 I figuren är kurvan y = 9 – x2 ritad i första kvadranten.

• Hur kan man skissa grafen till en funktion genom att studera funktionens derivata?

y 9

Diskutera och fundera

• Varför behöver man känna till derivatans nollställen för att

y = 9 – x2

rita funktionens graf?

6 3

x 1

2

3

• I vilka punkter i defi nitionsområdet kan en funktion anta sitt minsta värde?

• Kan en funktion uppta sitt största eller minsta värde i en a) Bestäm ett funktionsuttryck A(x) för rektangelns area. b) Bestäm det största värdet som rektangelns area kan anta.

178

grafer och derivata • 6.2 största och minsta värde

punkt i defi nitionsområdet där funktionens derivata är skild från noll? Motivera ditt svar.

• Kan funktionen anta sitt största eller minsta värde i en punkt där funktionen saknar derivata? Motivera ditt svar.

grafer och derivata • 6.2 största och minsta värde

179


Kapitel 5

Deriveringsregler

1 Derivera med hjälp av deriveringsreglerna a) f(x) =

x5

+

3x2

c) f(x) = 11x + ex

__

b) y = √x – 4x + 6 x 1 d) y = __ – __ 5 2

2 Beräkna f´(2) för f(x) = 15x – ex, genom att a) bestämma f´(x)

b) beräkna f´(2)

3 Derivera med hjälp av deriveringsreglerna __

b) y = (x – 1)(√x – 2) 4 Lös ekvationen f´(x) = 0 för följande funktioner a) f(x) = x3 – 9x + 12 b) f(x) =

– 2x + e

5 Beräkna lutningen för tangenten till kurvan y där x = –1 x b) y = 4x3 – 3x a) y = x2 – __ + 11 2 6 Klara säger att derivatan kan betyda ett tal eller en funktion. Samuel tycker att hon borde bestämma sig, eftersom derivatan inte kan betyda två olika saker. Vem har rätt? Motivera ditt svar. x3 7 Låt f(x) = __ + x2 – 8 3 a) Bestäm ekvationen för tangenten till f(x) där x = 0 b) Finns det någon tangent till f(x) som är parallell med y = 7 – x? c) Kan det finnas flera tangenter till f(x), som är parallella med y = 7 – x?

160

a) Vad säger värdet H(4) om stenens rörelse? b) Vad säger värdet H´(2) om stenens rörelse? c) Vilken är stenens hastighet på 24 meters höjd?

!

Derivata • ett tal • en funktion

f(x + h) – f(x) • derivatans definition f´(x) = lim _____________ h→0 h

d) Förklara varför man får två värden i c).

a) y = (x – 1)2

e2x

8 Om man befinner sig på månen och kastar en sten rakt upp med hastigheten 12 m/s, så kan stenens höjd H efter t sekunder beskrivas med funktionsuttrycket H(t) = 12t – 0,83t2.

TaNKEKaRTa

KaPITELTEST

?

deriveringsregler • kapiteltest

9 En ekonom på Kassabanken konstaterade att ”Handeln med aktier fortsätter att minska, och minskningen kommer att ske i snabbare takt än under förra veckan”. Förklara uttalandet med hjälp av derivator. 10 Ge ett exempel på två olika funktioner f(x), g(x) som uppfyller villkoret

Deriveringsregler

Talet e

• derivatan av en konstant är noll

• f(x) = ex är lika med sin derivata: f´(x) = ex

• derivatan av f(x) = k · xn är f´(x) = k · n · xn – 1 • derivatan av f(x) = ekx är f´(x) = k · ekx

eh – 1 • lim ______ = 1 h→0 h • e ≈ 2,72

• derivatan av f(x) = akx är f´(x) = akx · ln a · k

• e är ett irrationellt tal

• polynomfunktioner deriveras term för term

f´(x) = g´(x) = 3x2 – 5x + 1 11 Invånarantalet i en förort till Los Angeles ökar exponentiellt med tiden. För tio år sedan hade förorten 85 000 invånare, nu bor där 102 000 personer. a) Bestäm en exponentialfunktion med basen e som beskriver befolkningsökningen. b) Om hur många år, räknat från idag, kommer invånarantalet att öka med 3 000 personer per år?

Derivatans tillämpningar • förändringshastighet • tangentens ekvation • linjer parallella med tangenten • normal till tangenten • marginalkostnad • momentanhastighet

12 Tangenten till kurvan y = ae3x + bx i punkten (0, 1) är parallell med linjen z = 1 – 6x. Bestäm talen a och b.

deriveringsregler • tankekarta

161


Kapitel 5

Deriveringsregler

1 Derivera med hjälp av deriveringsreglerna a) f(x) =

x5

+

3x2

c) f(x) = 11x + ex

__

b) y = √x – 4x + 6 x 1 d) y = __ – __ 5 2

2 Beräkna f´(2) för f(x) = 15x – ex, genom att a) bestämma f´(x)

b) beräkna f´(2)

3 Derivera med hjälp av deriveringsreglerna __

b) y = (x – 1)(√x – 2) 4 Lös ekvationen f´(x) = 0 för följande funktioner a) f(x) = x3 – 9x + 12 b) f(x) =

– 2x + e

5 Beräkna lutningen för tangenten till kurvan y där x = –1 x b) y = 4x3 – 3x a) y = x2 – __ + 11 2 6 Klara säger att derivatan kan betyda ett tal eller en funktion. Samuel tycker att hon borde bestämma sig, eftersom derivatan inte kan betyda två olika saker. Vem har rätt? Motivera ditt svar. x3 7 Låt f(x) = __ + x2 – 8 3 a) Bestäm ekvationen för tangenten till f(x) där x = 0 b) Finns det någon tangent till f(x) som är parallell med y = 7 – x? c) Kan det finnas flera tangenter till f(x), som är parallella med y = 7 – x?

160

a) Vad säger värdet H(4) om stenens rörelse? b) Vad säger värdet H´(2) om stenens rörelse? c) Vilken är stenens hastighet på 24 meters höjd?

!

Derivata • ett tal • en funktion

f(x + h) – f(x) • derivatans definition f´(x) = lim _____________ h→0 h

d) Förklara varför man får två värden i c).

a) y = (x – 1)2

e2x

8 Om man befinner sig på månen och kastar en sten rakt upp med hastigheten 12 m/s, så kan stenens höjd H efter t sekunder beskrivas med funktionsuttrycket H(t) = 12t – 0,83t2.

TaNKEKaRTa

KaPITELTEST

?

deriveringsregler • kapiteltest

9 En ekonom på Kassabanken konstaterade att ”Handeln med aktier fortsätter att minska, och minskningen kommer att ske i snabbare takt än under förra veckan”. Förklara uttalandet med hjälp av derivator. 10 Ge ett exempel på två olika funktioner f(x), g(x) som uppfyller villkoret

Deriveringsregler

Talet e

• derivatan av en konstant är noll

• f(x) = ex är lika med sin derivata: f´(x) = ex

• derivatan av f(x) = k · xn är f´(x) = k · n · xn – 1 • derivatan av f(x) = ekx är f´(x) = k · ekx

eh – 1 • lim ______ = 1 h→0 h • e ≈ 2,72

• derivatan av f(x) = akx är f´(x) = akx · ln a · k

• e är ett irrationellt tal

• polynomfunktioner deriveras term för term

f´(x) = g´(x) = 3x2 – 5x + 1 11 Invånarantalet i en förort till Los Angeles ökar exponentiellt med tiden. För tio år sedan hade förorten 85 000 invånare, nu bor där 102 000 personer. a) Bestäm en exponentialfunktion med basen e som beskriver befolkningsökningen. b) Om hur många år, räknat från idag, kommer invånarantalet att öka med 3 000 personer per år?

Derivatans tillämpningar • förändringshastighet • tangentens ekvation • linjer parallella med tangenten • normal till tangenten • marginalkostnad • momentanhastighet

12 Tangenten till kurvan y = ae3x + bx i punkten (0, 1) är parallell med linjen z = 1 – 6x. Bestäm talen a och b.

deriveringsregler • tankekarta

161


Origo

Origo

Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund

Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper. Serien består av Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE

Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D Origo Lärarhandledning kurs E

ISBN 978-91-622-8812-9

www.bonnierutbildning.se

(8812-9)

Matematik kurs C för naturvetenskapliga och tekniska program BON N I E R S

9789162288129  

Matematik kurs C för naturvetenskapliga och tekniska program BONNIERS Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you