Ознаки збіжності числових рядів by Yura Pagor

Вступ Досліджуючи тему ознаки збіжності числових рядів я дізнався багато цікавого і раніше вивченого матеріалу. Я вважаю що ця тема є однією з найважливіших, тому що ми з неї беремо свої початкові знання про ряди, які збігаються і розбігаються. Я ознайомлюся з новими ознаками які я ще не вивчав. Це ознаки Раабе, Куммера. Можна говорити дуже багато цікавого і корисного про дану тему, але я хочу перейти відразу до основного. При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається, або збігається. Ще ми будемо розглядати в цій курсовій роботі умовну збіжність додатних рядів, розглянемо теореми які досліджують і доводять збіжність. Розглянемо ознаки збіжності доведемо їх, наведемо приклади.

2. Ряд. Нехай є нескінченна послідовність чисел u1 , u2 ,...,un ,...

Вираз

u1  u2  u3  ... un  ... 

називається числовим рядом і позначається  un . n 1

Числа u1 , u2 ,...,un ,... є члени ряду. Сума ряду. Суму n перших членів ряду звуть n -ю частковою сумою цього ряду і позначають через Sn:  Sn  u1  u2  ... un   un . n 1

Якщо існує скінченна границя S послідовності (Sп), то вона є сумою ряду і кажуть, що ряд збігається: S  lim S n . n

Якщо ні, то кажуть, що ряд є розбіжним і суми не має. Приклад. Розглянемо ряд a  aq  aq2  ... aqn 1  ...,

який має назву "геометрична прогресія" з першим членом а і знаменником q (а  0). Сума п перших членів геометричної прогресії дорівнює Sn  ( a  aqn ) /( 1  q ) , де q  1 . Зробимо аналіз цього виразу: 1) якщо | q | 1 , то qn  0 коли n   і lim Sn  lim ( a /( 1  q )  aq n /( 1  q ))  a /( 1  q ) . n

n

У цьому випадку ряд збігається і його сума дорівнює: S = а/(1 – q); n 2) якщо | q | 1 , то q   коли n   і тоді Sn   , тобто

lim S n

n

не існує.

Таким чином, коли | q | 1 ряд є розбіжним; 3) якщо | q | 1 , ряд має вигляд а + а + а + ... + а + ... S n не існує. Таким чином, ряд є У цьому разі Sп = па, і отже nlim  розбіжним; 4) якщо q = –1, ряд має вигляд а – а + а – а + а –... У цьому разі Sп = 0, коли п = 2k, Sп = а, коли п = 2k + 1. Отже, Sп границі не має - ряд є розбіжним. Таким чином, геометрична прогресія являє числовий ряд, який збігається тільки тоді, коли |q| < 1. Залишок ряду. Залишком ряду u1  u2  u3  ... uk  uk 1  ... uk   ...

після k-го члена є нескінченний ряд 4

uk 1  uk  2  ... uk   ...,

який утворюється з початкового ряду відкиданням перших k членів. 2.1. Властивості числових рядів: 1) якщо числовий ряд збігається, то збігається і будь-який з його залишків і навпаки, із збіжності залишку випливає збіжність вихідного ряду; 2) якщо ряд збігається, то залишок ряду після k-го члена прямує до нуля коли k   ; 3) якщо члени збіжного ряду помножити на один і той самий множник С, то його збіжність не порушиться, а сума буде помножена на С:    Cun  C  un ; n 1

n 1

4) два збіжні ряди 

u1  u2  u3  ... un  ...  un  a , n 1 

v1  v2  v3  ... vn  ...  vn  b n 1

можна почленно додавати (або віднімати), і ряд ( u1  v1 )  (u2  v2 )  (u3  v3 )  ... ( un  vn )  ...

також збігається, а його сума (різниця) дорівнює а + b (відповідно а –b); 5) загальний член un збіжного ряду прямує до нуля, коли n   (необхідна ознака збіжності числового ряду). Доказ. Нехай ряд u1  u2  ... un  ...

збігається, тобто має місце рівність lim S n  S ,

n

де S - сума ряду (скінченне фіксоване число); але тоді має місце також рівність lim Sn 1  S , n

бо при

n

( n  1)   .

Віднімемо почленно з першої рівності другу, маємо lim Sn  lim Sn 1  0

n

або Але Отже,

n

lim ( Sn  Sn 1 )  0

n

Sn  Sn 1  un

lim un  0 ,

n

що і треба було довести. Наслідок. Якщо п-й член ряду не прямує до нуля коли розбіжним. (Достатня ознака розбіжності ряду). Приклад. Ряд (1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + п/(2п – 1) + ... un  lim n( 2n  1 )  1 / 2  0 . є розбіжним, оскільки nlim  n

n,

то ряд є

Підкреслимо, що розглянута ознака є тільки необхідною, але не є достатньою, тобто з того що п-й член прямує до нуля, ще не випливає, що ряд є збіжним - він може бути і розбіжним. Приклад. Числовий ряд 5



1  1 / 2  1 / 3  1 / 4  ... 1 / n  ...  ( 1 / n ) , n 1

звуть гармонічним. Кожен член такого ряду, починаючи з другого, є середнім гармонічним двох сусідніх членів: 1 / c  1 / 2( 1 / a  1 / b ) . Гармонічний ряд є розбіжним, хоча lim ( 1 / n )  0 . n

Це буде доведено нижче. 2.2. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів. Числовий ряд 

u1  u2  u3  ... un  ...  un n 1

звуть додатним, якщо всі члени ряду - додатні числа: u1  0 , u2  0 , ...,un  0 ,...

Послідовність часткових сум додатного ряду - зростаюча послідовність. Додатний числовий ряд збігається, якщо послідовність часткових сум ряду обмежена зверху, і розбігається в противному разі (необхідна і достатня умова збіжності додатного числового ряду). Збіжність (або розбіжність) додатного числового ряду часто встановлюють, порівнюючи даний числовий ряд з іншим, який напевно є збіжним (або розбіжним) числовим рядом. 1) Ознака порівняння. Нехай маємо два додатні числові ряди  І. u1  u2  u3  ... un  ...  un , II.

n 1 

v1  v2  v3  ... vn  ...  vn n 1

Якщо, починаючи з деякого члена, для усіх п > Ν виконується нерівність un  vn , то із збіжності ряду II випливає збіжність ряду І, а з розбіжності ряду І випливає розбіжність ряду II. а. Доведення першого твердження. Нехай Sп і  n відповідні п-і часткові суми І і II рядів. Тому що un  vn , то Sn   n . Оскільки ряд II збігається, то існує границя його часткової суми lim  n   . n

З того, що члени рядів І і II додатні, випливає, що  n   і тоді Sn   Отже, часткові суми Sп обмежені. Але коли п зростає, то зростає і Sп. З того, що послідовність Sп зростаюча і обмежена, випливає, що вона має границю lim S n  S , n причому очевидно, що Приклад. Ряд

S 

Тобто ряд І теж збіжний.

1  1 / 22  1 / 33  1 / 44  ... 1 / nn  ...

збігається, бо його члени (починаючи з другого) не більше відповідних членів ряду 1  1 / 22  1 / 23  1 / 24  ... 1 / 2n  ..., 6

який збігається. Це геометрична прогресія із q = 1/2. Його сума S = 2. Отже, перший ряд збігається і його сума не перевищує 2. б. Доведення другого твердження. Нехай Sп і  n відповідні п-і часткові суми І і II рядів. Так як un  vn , то  n  Sn . Оскільки ряд І розбігається то lim S n   . Тоді lim  n   . Тобто ряд II теж розбігається. n

n

Приклад. Ряд 1  1 / 2  1 / 3  ... 1 / n  ...

є розбіжним, так як його члени (починаючи а другого) більше відповідних членів розбіжного гармонічного ряду 1  1 / 2  1 / 3  ... 1 / n  ...

Розглянуту ознаку можна сформулювати так: якщо існує границя lim ( un / vn )  A ( A  0 ), n

то із збіжності ряду II при скінченному А випливає збіжність ряду І, а з розбіжності ряду І при A  0 випливає розбіжність ряду II. Приклад. Розглянемо ряди попереднього прикладу. Для них А = 0. lim (( 1 / n ) /( 1 / n ))  lim 1 / n  0 . n

n

Отже, перший ряд теж розбіжний, тому що гармонічний ряд є розбіжним.

3. Умовна збіжність додатнього ряду. Займемся тепер питанням про встановленя збіжності чи розбіжності ряду. Це питання саме лекше вирішується для рядів, члени яких невідємні; для короткості такі ряди ми будем називати просто додатніми. Нехай ряд ∞

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ 𝑛 =1

Буде додатнім, 𝑎𝑛 ≥ 0 (n=1, 2, 3,…). Тоді очевидно 𝐴𝑛+1 = 𝐴𝑛 + 𝑎𝑛+1 ≥ 𝐴𝑛 𝐴𝑛 − виявляється додатньою. Згадуючи теорему про обмеження монотонної варіанти, ми безпосередньо приходим до наступного основного в теорії додатних рядів реченням: Додатній ряд (А) завжди мають суму; ця сума буде звичайно (і,послідовно, ряд-збіжний), якщо часткові суми ряду обмежені зверху і без скінченний (α ряд – розбігається) у противному випадку. Усі признаки збіжності (і розбіжності) додатних рядів в кінцевому рахунку,основані на цій простій теоремі. Але без посереднє її використовують в рідких випадках дозволяє судити про характер ряду. Теореми порівняння рядів. Збіжність чи розбіжність додатного ряду часто встановлюється шляхом порівнянням його з другим рядом, відомо збіжні чи розбіжні. В основі такого порівняння лежить наступна проста теорема. Теорема 1. Нехай дано два додатних ряду ∞ 𝑛 =1 𝑎𝑛 ∞ 𝑛 =1 𝑏𝑛

= 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ (A) = 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ + 𝑏𝑛 + ⋯ (B) Якщо хоча б починаючи з будь якого місця (скажімо, для n >N), виконується нерівність 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 то збіжного ряду (В) випливає збіжність ряду (А) або також з розбіжності ряду (А) випливає розбіжність ряду (В). Доведення. На основі того, що відкидається з кінцевого числа початкових членів ряду не відображається на його поведінці, ми можемо вважати не порушуючи загальності, що 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 при всіх значеннях n=1, 2, 3,… визнавши частинні суми рядів (А) і (В),відповідно, через А𝑛 і В𝑛 будемо мати: А𝑛 ≤ В𝑛 . Нехай ряд (В) збігається; тоді , по основній теоремі збіжності додатнього ряду, суми В𝑛 обмежині: В𝑛 ≤ L (L=const; n=1, 2, 3,…). В силу попередніх нерівностей і подавно

А𝑛 ≤ L, а це по тій же

теоремі веде за собою збіжність ряду (А). Інколи на практиці більш 8

комфортніша наступна теорема, випливаючи з першої: Теорема 2. Якщо існує межа 𝑙𝑖𝑚

𝑎𝑛 𝑏𝑛

=𝐾

(0≤K≤+∞),

то із збіжності ряду (В), при К≤+∞, випливає збіжність ряду (А), а із розбіжності першого ряду, при К>0, впливає розбіжність другого.(таким чином,при 0<K<+∞ обидва ряди збігаються або обидва розбігаються одночасно.) Доведення. Нехай ряд (В) збігається і К<+∞. Взяв довільне число ε>0,по самому визначенню межі,для достатньо великих n будемо мати ε, звітци

𝑎𝑛 𝑏𝑛

<K +

𝑎𝑛 < (K +ε) 𝑏𝑛 .

Одночасно з рядом (В) буде збігатися і ряд Σ(K +ε) 𝑏𝑛 , одержаний множенням його членів на постійне число K +ε. Звідси з попередньої теореми, випливає збіжність ряду (А). Якщо ж ряд (В) розбігається і К > 0 то в цьому випадку зворотне відношення

𝑏𝑛 𝑎𝑛

має кінцеву межу; ряд (А) повинен бути розбіжним, якщо

він збіжний, то, по доведеному збігався би і ряд (В). Нарешті приведемо ще одну теорему порівняння також представляючи собою дослідження першої. Теорема 3. Якщо хоча б починаючи з деякого місця (скажемо для n>N ), виконується нерівність

𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛

≤

𝑏𝑛 +1 𝑏𝑛

То із збіжності ряду (В) випливає збіжність раду (А) чи навпаки із розбіжності раду (А) випливає розбіжність ряду (В). Доведення. Як і вище при доведені теореми 1, не змінюючи загальності, можна вважати що нерівність

𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛

≤

𝑏𝑛 +1 𝑏𝑛

значенях n=1, 2, 3,… В такому випадку будемо мати

спраджуэться для всых 𝑎2 𝑎1

≤

𝑏2 𝑏1

𝑎3 𝑎2

≤

𝑏3 𝑏2

,… 9

𝑎𝑛 𝑎 𝑛 −1

𝑏𝑛

≤

𝑏𝑛 −1

Помноживши по членно ці нерівності, одержимо: 𝑎𝑛 𝑎1

≤

𝑏𝑛 𝑏1

або 𝑎𝑛 ≤

𝑎1 𝑏1

∗ 𝑏𝑛 (n=1, 2, 3, …).

Нехай ряд (В) збіжний; разом з ним збіжний ряд Σ

𝑎1 𝑏1

∗ 𝑏𝑛

одержаний множенням його членів на постійний множник 𝑎1 𝑏1

. А тоді по теоремі 1, збігається рад А , що і потрібно було довести.

4. Ознака Даламбера. Якщо існує границя

lim ( un 1 / un )  d

n

тоді: а) ряд збігається у разі d < 1, б) ряд розбігається у разі d > 1. Якщо d = 1, відповіді на питання про збіжність або розбіжність ряду сформульована ознака не дає. Доведення. а) Нехай d < 1. Візьмемо число q, яке задовольняє нерівності d < q < 1. З визначення границі і відношення un1 / un випливає, що для n  N буде мати місто нерівність un 1 / un  q , Запишемо цю нерівність, починаючи з номера N: uN 1  quN , uN  2  quN 1  q2uN , uN 3  quN  2  q2uN 1  q3uN

……………………... Розглянемо два ряди: u1  u2  u3  ... uN  uN 1  uN  2  ...;

uN  quN  q2uN  q3uN  ...

Другий ряд є геометрична прогресія із знаменником q < 1. Отже, цей ряд збігається. Члени першого ряду, починаючи з uN 1 менші відповідних членів другого ряду. За ознакою порівняння перший ряд теж збігається. б) Нехай d > 1. Тоді з рівності lim ( un1 / un )  d випливає, що, починаючи з n

деякого номера N, тобто для

, буде мати місце нерівність un 1 / un  1 , або un 1  un для усіх n  N . Але це означає, що члени ряду зростають, починаючи з номера N+1, і тому загальний член ряду не прямує до нуля. Отже, ряд є розбіжним. Приклад. Дослідити збіжність ряду: n N

1  1 /( 1 2 )  1 /( 1 2  3 )  ... 1 /( 1 2  3...n )  ...

Розв'язок. Тут un  1 /( 1  2  3...n )  1 / n! , un 1  1 /( 1  2  3...n( n  1 ))  1 /( n  1 )! un 1 / un  n! /( n  1 )!  1 /( n  1 ) .

Отже,

lim 1 /( n  1 )  0  1 .

n

Ряд збігається.

Приклад. Дослідити збіжність ряду 2

Розв'язок. Тут

22 23 2n   ...  ... 2 3 n

un  2 n / n ; un 1  2 n 1 /( n  1 ) ; un 1 / un  ( 2n 1 /( n  1 ))( n / 2n )  2n /( n  1 ) ; lim 2n /( n  1 )  2  1

n 

Ряд є розбіжним. Ознака Коші. Якщо існує границя lim n un  d ,

n 

тоді при d < 1 ряд збігається, а при d > 1 - розбігається. Якщо d = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Доведення цієї ознаки аналогічне доведенню ознаки Даламбера.  Приклад. Ряд  1 / 2 n збіжний, бо, за ознакою Коші, n 1

lim n 1 / 2 n  1 / 2  1 .

n 

Приклад. Ряд



 ( 2n /( n  1 ))

n 1

розбіжний, бо, за ознакою Коші,

lim n ( 2n /( n  1 ))n  lim 2 n /( n  1 )  2  1 .

n

4.1 Інтегральна ознака. Нехай члени ряду u1  u2  u3  ... un  ...

додатні і незростаючі, тобто u1  u2  u3  ...

і нехай f(x) - така неперервна незростаюча функція, що f ( 1 )  u1 , f ( 2 )  u2 ,..., f ( n )  un . Тоді справедливі такі ствердження:  а) якщо невласний інтеграл  f(x)dx збігається, то збігається і числовий 1

ряд; б) якщо невласний інтеграл розбігається, то розбігається і числовий ряд. Доведення. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладемо на осі Ох номера 1, 2, 3, ..., п, п+1, ... членів ряду, а на осі Оу - відповідні значення членів ряду u1 ,u2 ,...,un ,... . Побудуємо на цьому рисунку графік неперервної незростаючої функції y = f(x). Розглядаючи, бачимо, що ступінчаста фігура, утворена прямокутниками, n 1 має площу Sn, а площа криволінійної трапеції дорівнює  f(x)dx . Отже, 1

n 1

S n   f(x)dx . 1

4.2 Ознака Куммера. Нехай С1 , С2 , … , С𝑛 , … буде довільна послідовність додатніх чисел, такі що ряд

∞ 1 1 С 𝑛

розбіжний. Складемо для досліджуваного ряду (А) варіанту К𝑛 = С𝑛 *

𝑎𝑛

𝑎 𝑛 +1

- с𝑛+1 .

Якщо (для n > N) виконується нерівність К𝑛 ≥ δ, де δ-постійне додатнє число, то ряд збігається. Якщо ж (для n > N) К𝑛 ≤ 0, то ряд розбігається. Доведення. Нехай К𝑛 = С𝑛 *

𝑎𝑛

𝑎 𝑛 +1

- с𝑛+1 ≥ δ > 0

(цю нерівність очевидно можна вважати виконаною при всіх n). Помноживши обидві частини цеї нерівності на 𝑎𝑛+1 , одержимо 𝑐𝑛 𝑎𝑛 - с𝑛+1 𝑎𝑛+1 ≥ δ𝑎𝑛+1 , значить 𝑐𝑛 𝑎𝑛 - с𝑛+1 𝑎𝑛+1 > 0 або 𝑐𝑛 𝑎𝑛 > с𝑛+1 𝑎𝑛+1 . Звідси випливає, що змінна 𝑐𝑛 𝑎𝑛 монотонно спадає і послідовно прямує до кінцевої межі (так як вона обмежена знизу нулем). ∞ 𝑛 =1 (𝑐𝑛

І так ряд

𝑎𝑛 − с𝑛+1 𝑎𝑛+1 ) збігається або сума його n перших

членів: 𝑐𝑛 𝑎𝑛 − с𝑛+1 𝑎𝑛+1 має кінцеву межу. Але тоді з нерівності 𝑐𝑛 𝑎𝑛 - с𝑛+1 𝑎𝑛+1 ≥ δ𝑎𝑛 +1 , і теоремі 1, випливає що збігається ряд ∞ 𝑛=1 δ𝑎𝑛 +1

, а з ним і даний ряд (А).

Якщо ж , для n > N К𝑛 = С𝑛 *

𝑎𝑛

𝑎 𝑛 +1

- с𝑛+1 ≤0, то маємо

Так як ряд

1 с𝑛

𝑎𝑛 𝑎 𝑛 +1

≥

1 𝑐 𝑛 +1 1 𝑐𝑛

уявимо розбіжним, то за теоремою 3 розбігається і

дослідницький ряд (А), що і треба було довести. У визначній формі ознака Куммера виглядає так: Припустимо що варіанта К𝑛 має межу (кінцевий або ні): 𝑙𝑖𝑚К𝑛 = К. тоді при К >0 ряд збігається, а при К <0 розбігається. 14

Ознака Бертрана. Припустимо, що варіанта 𝐵𝑛 має межу 𝐵 = lim⁡𝐵𝑛 Тоді при B>1 ряд збігається, а при В<1 – розбігається. 1

Дійсно так як lim in (1+ )𝑛+1 =log e=1, то варіанта Куммера Kn 𝑛

прямує до межі K = B-1 (K=±∞, якщо В=±∞). Залишається послатися ознаку Куммера. Спів складаючи ознаки Раабе і Бертрана, можна було би повторити зауваження, які ми вище зробили по причині ознаки Даламбера і Раабе Цей ланцюжок все більш і більш чутливіший ознак може бути безкінечно продовжено.

4.3 Ознаки Раабе і Куммера. ∞

1 1 1 = 1 + + ⋯+ + ⋯ 𝑛 2 n

(H)

𝑛=1 𝑎 𝑛 +1

𝑅𝑛 = 𝑛

𝑎𝑛

− 1 варіанта Раабе.

Якщо, при достатньо великих n, виконується нерівність 𝑅𝑛 ≥ 𝑟, де r – постійне число, більше одиниці, то рад збігається; якщо ж, починаючи з деякого місця, 𝑅𝑛 ≤ 1, то ряд розбіжний. І так, нехай при достатньо великих n, маємо 𝑛 𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛

𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛

− 1 > 𝑟 > 1 або

>1+ . n

Візьмемо тепер любе число s між 1 і r: r>s>1. lim𝑛→∞ (1 +

1 𝑠 ) 𝑛

𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛 1 𝑛

𝑠 −1

= 𝑠, то для достатньо великих n буде

𝑟

𝑎 𝑛 +1

𝑛

𝑎𝑛

> 1 + а послідовно і

находимо

𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛

≥

𝑛 𝑛 +1

1 𝑛 +1 1 n

> (1 +

1 𝑠 ) 𝑛

1 (𝑛 +1)𝑠 1 ns

𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛 1 𝑛

𝑠 −1

< 𝑟 або

. Звітци відразу

; примінивши до рядів (А) і (Н) теорему 3,

заключення про розбіжність ряду(А). Ознаки Раабе теж використовується переваги у визначеній формі: Припустимо,що варіанта 𝑅𝑛 має межу або ні 𝑙𝑖𝑚𝑅𝑛 = 𝑅 Тоді при 𝑅 > 1 ряд розбіжний, а при 𝑅 < 1 ряд розбіжний. Ознаки Куммера. Тепер ми введем один всім звичну ознаку, яка належить Куммеру його швидше можна розглядати як загальну схему для одержаня конкретних ознак .

4.4 Ознака Гауса. Припустимо, що для даного ряду (А) відношення може бути представлена у вигляді:

𝑎𝑛 𝑎 𝑛 +1

𝜃𝑛

𝑛

𝑛2

=λ+ +

𝑎𝑛 𝑎 𝑛 +1

де λ і µ - постійне, а 𝜃𝑛 має обмежену величину: 𝜃𝑛 ≤L; тоді ряд збігається, якщо λ>1 або λ=1, µ>1, і розбігається якщо λ<1 або λ=1, µ≤1. >

Випадок λ 1 зводяться до ознак Даламбера, або lim <

𝑎 𝑛 +1 1 𝑎𝑛

𝜆

нехай тепер λ=1; тоді 𝑅𝑛 = 𝑛

𝑎 𝑛 +1 𝑎𝑛

−1 =µ+

𝜃𝑛 𝑛

, R=µ

і випадок µ 1 вичерпуються ознакою Раабе. Якщо µ=1 то <

маємо 𝐵𝑛 = ln 𝑛(𝑅𝑛 − 1) = Так як

ln 𝑛 𝑛

* 𝜃𝑛

, як відомо, прямує до нуля при n прямуючому до ∞,

а 𝜃𝑛 обмежена, то В= lim 𝐵𝑛 =0, і за ознакою Бертрана ряд збігається.

Висновки В цій курсовій роботі ми розглядали тему «ознаки збіжності числових рядів». В цій темі я дізнався багато нового, і повторив пройдений матеріал раніше. Дослідження курсової роботи привело мене до ознайомлення таких ознак: Коші, Даламбера, Куммера, Раабе, Бертрана і Гауса. Що ефективно використовується при досліджені на збіжність числових рядів, на жаль в викладеному курсі математичного аналізу не було охоплено всі ці ознаки. Я вважаю що ця тема є однією з найважливіших, тому що ми з неї беремо свої початкові знання про ряди, які збігаються і розбігаються. Взагалі ця робота приємно мене здивувала своїми прошарками знання і конкретності, хочеться все більше і більше викласти матеріалу, але він схожий, або з однієї ознаки випливає інша ознака, за допомогою однієї ознаки чи теореми доводяться інші. Але уся математика пов ’язане одне за одним, одне з одного.

Використана література: 1. Фіхтенгольц “Курс диференціального і інтегрального числення” – Москва 1970 рік. 2. Сайт “вікіпедія”